Upload
lamthuy
View
238
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 6
Pebruari Pekan Ke-2, 2008
Nomor Soal: 51-60
51. Jumlah n bilangan positif kelipatan 3 adalah 360. Berapakah nilai n?
A. 28 B. 24 C. 18 D. 15 E. 14
Solusi: [D]
3 6 9 ... 360
2 1 3602
na n b
3 3 720n n
23 3 720 0n n
2 240 0n n
15 16 0n n
15n (diterima) atau 16n (ditolak)
52. Gunakan data barisan geometri 4
1 3dan 148
4 4r S
untuk menentukan suku ketiga.
A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 E. 7
Solusi: [E]
4
4
1
1
a rS
r
4
11
595 4
141
4
a
3 595 11
16 256a
3 595 255
16 256a
3 595 2567 16
16 255a
2
3 2
17 16 7
4u ar
53. Barisan bilangan bulat positif, , didefinisikan rekursif sebagai dan
dan dan k adalah konstanta bulat positif. Jika 4a adalah kuadrat sempurna
dan 80320
k
Na
, tentukan jumlah angka-angka bilangan N tersebut.
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 14
2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
Solusi: [C]
Pertama tulislah
2
2 11 1 1 1a ka k k k k
2 3 2
3 21 1 1 1a ka k k k k k k
3 2 4 3 2
4 31 1 1 1a ka k k k k k k k k
Karena 4a adalah kuadrat sempurna, maka ambillah
2
4a m , sehingga
4 3 2 21k k k k m
4 3 2 2 1k k k k m
Yang mengakibatkan
4 2 3 2 1k k k k m
2 2 2 21 1 1k k k k m
2 2 1 1 1k k k m m
Kita dapat mengasumsikan bahwa ada nilai k yang unik. Jika kita menganggap bahwa dua faktor
yang diberikan adalah sama, kemudian mengambil perbedaan mereka untuk melihat bahwa
2 2 1 1 1k k k m m 1 2k 3k
sehingga 3 2
33 3 3 1 40a
selanjutnya, 80320 80320
200840
k
Na
Jadi, jumlah angka-angka bilangan N tersebut adalah 2 + 0 + 0 + 8 = 10.
54. Tentukan jumlah dari semua nilai untuk “x” bahwa 4, x, y, 18 adalah barisan dengan tiga suku
pertama adalah barisan aritmetika dan tiga suku terakhir adalah barisan geometri.
A. 8 B. 9 C. 1
93
D. 10 E. 11
Solusi: [D]
4x b 2 8 2x b .... (1) (b adalah beda antara dua suku berurutan)
4 2y b .... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) dipoeroleh
2 4x y
2 4y x .... (3)
Barisan geometri: x, y, 18
18y
x y
2 18y x .... (4)
Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh:
2
2 4 18x x
24 16 16 18x x x
3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
24 34 16 0x x 22 17 8 0x x
2 1 8 0x x
1atau 8
2x x
Jadi, jumlah nilai “x” adalah 1 1
8 82 2 .
Catatan:
Kita dapat menentukan jumlah nilai “x” langsung dari persamaan kuadrat 22 17 8 0x x
menggunakan rumus 1 2
bx x
a , sehingga 1 2
17 12 8
2 2x
.
55. Sebuah barisan, di mana 1 3 510, 18, 27a a a adalah barisan kuadrat di mana setiap suku
ke-n dapat dinyatakan dengan 2
na An Bn C . Berapakah nilai 8 kali suku ke-6?
A. 255 B. 288 C. 292 D. 259
E. 225 Solusi: [A]
2y ax bx c
10 a b c .... (1)
18 9 3a b c .... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
8 8 2a b .... (3)
27 25 5a b c .... (4)
Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh
9 16 2a b .... (5)
Dari persamaan (3) dan (5) diperoleh
1 8a 1
8a
1 1 78 8 2
8 8 2a b b
7 1 7 5110
2 8 2 8b c c
21 7 51
8 2 8na n n
2
6
1 7 51 36 168 51 2556 6
8 2 8 8 8 8 8a
Jadi, 6
2558 8 255
8a
56. Berapa banyak bilangan antara 1 dan 2013 yang bulat kelipatan 3 atau 4 tetapi bukan 12?
A. 501 B. 668 C. 840 D. 1040 E. 1030
Solusi: [C]
Bagilah 2013 dengan 3 dan abaikan sisanya, sehingga didapat 671. Bagilah 2013 dengan 4 dan
abaikan sisanya, sehingga didapat 503. Jumlahkan jawaban ini, sehingga diperoleh 1174.
Kemudian harus membagi 2013 dengan 12 dan abaikan sisanya, sehingga diperoleh 167. Tetapi
4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
kita tidak menginginkan keduanya, sehingga kita harus mengurangkan dua kali dari 1174,
sehingga didapat 1174 – 2 167 = 840.
57. Jumlah dua suku pertama deret geometri adalah 90. Jumlah suku ke enam dan ke tujuh adalah
10
27 . Tentukan jumlah lima suku pertama.
A. 2
1013
B. 1
1013
C. 1
1016
D. 2
1003
E. 1
1003
Solusi: [A]
2 90a u
1 90a r .... (1)
6 7
10
27u u
5 6 10
27ar ar
5 101
27ar r .... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
5 10
9027
r
5 1
243r
1
3r
1
3r
11 90 135
3a a
1
1
n
n
a rS
r
5
7
1135 1
135 1 243 135 244 305 23101
1 81 243 324 3 31
3
S
58. Diberikan tiga bilangan bulat positif, sehingga setiap hasil dua bilangan adalah unsur yang unik
dari {48,72,96} . Berapakah hasil dari ketiga bilangan bulat tersebut?
A. 484 B. 529 C. 576 D. 625 E. 676
Solusi: [C]
Misalnya bilangan-bilangan tersebut adalah x, y, dan z.
Kita mendapatkan sistem
xy = 24
yz = 27
xz = 32
ì
íï
îï
.
Hasil kali dari persamaan-persamaan tersebut memberikan:
48 72 96xy yz xz
5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
2 4 3 2 5 12 42 3 2 3 2 3 2 3xyz
12 4 6 22 3 2 3 64 9 576xyz
59. Hasil kali lima suku pertama deret geometri adalah 32. Jika suku ke empat adalah 1, misalnya
A = suku kedua. Jika 1, x, y, adalah barisan geometri dan x, y, 3 adalah barisan aritmetika,
ambillah B = nilai maksimum dari x + y. Tentukan nilai dari AB.
A. 4 B. 5 C. 10 D. 14 E. 15
Solusi: [D] 3
4 1u ar
1 2 3 4 5 32 u u u u u
3 2
1 1 11 32r
r r r
5
132
r
5 1
32r
1
2r
2 2
14
1
2
u A
Barisan geometri: 1, x, y, sehingga 2
1
x yy x
x.... (1)
Barisan aritmetika: x, y, 3, sehingga 3
32
xy x y y .... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh 2 3
2
xx
22 3 0 x x 2 3 1 0 x x
31
2 x x
23 3 9
2 2 4
x y
2
1 1 1 x y
Sehingga max
3
2x dan max
9
4y
max max
3 9 15
2 4 4 B x y
Jadi, 15
4 154
AB
60. Suku ke-3 barisan geometri adalah
243
2, dan suku ke-12 adalah
256
81. Jika suku ke-15
dinyatakan dalam a
b, tentukan nilai b a .
6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2008
A. 169 B. 149 C. 140 D. 139 E. 138
Solusi: [A]
11 912 3 u ar u r
256
81243
2 r9
256
812
243 r9
9
9
9
2
3r
r 2
3
13 12u u r
3256 2
81 3
2048
2187
a
b
Karena itu 2048a dan 2187b , sehingga 2187 2048 139b a