-
7/22/2019 ssddddd
1/21
ANALIZA I SINTEZA SISTEMA U PROSTORU STANJA
12. Osnovne forme modela u prostoru stanja
Tehnika modela u prostoru stanja predstavlja moderan pristup u
teoriji linearnih sistema.
Modeli u prostoru stanja su naroito pogodni za predstavljanje
multivarijabilnih sistema sa velikimbrojem ulaza i izlaza i vrlo su
efikasni za numerike algoritme izraunavanja. Takoe, modeli u
prostoru stanja su omoguili definisanje novih koncepata u
teoriji sistema kao to su kontrolabilnost
i opservabilnost. Mi emo se u okviru ovog kursa baviti
linearnim, kauzalnim, vremenski
nepromenljivim sistemima i model u prostoru stanja za takav
kontinualan LTI sistem ima sledeu
formu:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0; 0dx t
Ax t Bu t x xdt
y t Cx t Du t
= + =
= +
(6.1)
pri emu se prva od jednaina u (6.1) naziva jednainom stanja dok
se druga od njih nazivajednainom merenja ili opservacije. Primetimo
da je jednaina stanja vektorska diferencijalna
jednaina dok je jednaina merenja algebarska. Ako usvojimo
dimenzije pojedinih vektorskih
promenljivih: ( ){ }dim 1t n= , ( ){ }dim 1u t m= i ( ){ }dim 1y
t r= , gde je ( )t vektor stanja,vektor ulaza ili upravljanja i
vektor merenja ili opservacija, tada dimenzije pojedinih
matrica postaju jednoznane:
( )u t ( )y t
{ }dim A n n= , { }dim B n m= , { }dim C r n= i { }dim D r m=
.
Ukoliko poemo od pretpostavke da je sistem opisan skupom
diferencijalnih jednaina,najjednostavniji i direktni nain da se
formira odgovarajui model u prostoru stanja jeste da se za
elemente vektora stanja izaberu sve zavisne promenljive i svi
njihovi izvodi osim najviih. Ovakvim
izborom se za elemente vektora stanja biraju fizike promenljive.
Ovaj emo postupak ilustrovatisledeim primerom.
Primer 6.1: Posmatrajmo jednosmerni motor upravljan strujom u
rotoru. Njegovo ponaanje se
moe opisati dvema diferencijalnim jednainama, od kojih jedna
predstavlja Omov zakon zaelektrino kolo rotora, dok druga
predstavlja jednakost pokretakih i otpornih momenata:
( )( ) ( ) ( )rr r r me m
di tL R i t K t u
dt+ + = r t (6.2)
( ) ( )
( ) 0mem r e e md t
K i t J F tdt
+ + = (6.3)
Dakle, za ovako opisan sistem, direktni metod za formiranje
modela u prostoru stanja jeste da se za
elemente vektora stanja usvoje sve zavisne promenljive ( ( )ri t
i ( )m t ) i svi njihovi izvodi osim
najviih. Poto su nae diferencijalne jednaine (6.2) i (6.3)
jednaine prvog reda, to znai da e na
model u prostoru stanja imati samo dve koordinate: struju rotora
i brzinu okretanja osovine motora:
( ) ( )
( ) ( )
1
2
r
m
t i t
t t
=
= (6.4)
Formirati model u prostoru stanja postaje jednostavno:
-
7/22/2019 ssddddd
2/21
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 2
1
1
r merr m
r r r
mer
r r r
di t KRr
x t i t tdt L L L
KRx t x t u t
L L L
= = +
= +
u t
(6.5)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 m em e em er me e e e
d t K F K F 1 2x t i t t x tdt J J J J
= = = x t (6.6)
U matrinoj formi je ove dve relacije mogue zabeleiti na sledei
nain:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0
mer
r r
r
em e
e e
KR
L LLt Ax t Bu t x t u t
K F
J J
= + = +
(6.7)
Time smo formirali jednainu stanja. Ukoliko je u posmatranom
sistemu mogue meriti brzinu
okretanja osovinu, dakle na raspolaganju nam je
tahogenerator:
( ) ( ) ( )2TG m TGy t K t K x t= = (6.8)
odgovarajua jednaina merenja postaje:
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )0 TGy t Cx t Du t K x t u t= + = + 0
(6.9)
Jednaine (6.7) i (6.9) definiu model u prostoru stanja za
jednosmerni motor upravljan strujom u
rotoru, pri emu su koordinate stanja izabrane direktno na osnovu
diferencijalnih jednaine, te ove
koordinate imaju svoj fiziki smisao. U narednom tekstu emo
opisati postupak formiranja nekihdrugih vrsta modela u prostoru
stanja, ije koordinate stanja nisu fizike promenljive, ve esto
neka njihova linearna kombinacija, ali su zato forme modela
karakteristine i po nekim svojstvimaznaajne.
Kontrolabilna kanonina forma
Pretpostavimo da je kontinualni LTI sistem opisan funkcijom
prenosa:
( )2
3 2
2 4 3
5 7
s sG s
s s s
+ +=
1+ + + (6.10)
Prvi korak u formiranju modela u prostoru stanja koji emo zvati
kontrolabilna kanonina forma
jeste da proverimo da li je polinom u imeniocu funkcije prenosa
monik. Polinom je monik ukolikoje njegov najstariji koeficijent
jednak 1. Ukoliko to nije sluaj, i brojilac i imenilac funkcije
prenosa
treba podeliti najstarijim koeficijentom polinom u imeniocu. U
naem sluaju to jeste sluaj, pamoemo prei na sledei korak. Funkcija
prenosa sistema predstavlja kolinik Laplasovihtransformacija
signala na izlazu i ulazu u sistem i pri tome se nita nee promeniti
ukoliko ovaj
kolinik i podelimo i pomnoimo Laplasovom transformacijom nekog
signala koga emo
zvati pomonim signalom:
( )c t
( ) ( )
( )( )( )
2
3 2
2 4 3
5 7 1
Y s C ss sG s
U s s s s C s
+ += =
+ + + (6.11)
Zbog ovog pomonog signala se esto ovaj postupak naziva metodom
pomone promenljive.Kako
signal moe biti bilo koji signal (osim onog koji je identiki
jednak nuli), moemo ga izabrati
tako da imenilac na desnoj strani jednakosti (6.11) bude jednak
imeniocu na levoj strani jednakosti,i da brojilac na levoj strani
bude jednak brojiocu na desnoj strani, odnosno:
( )c t
-
7/22/2019 ssddddd
3/21
( ) ( ) ( )22 4 3Y s s s C s= + + (6.12)
( ) ( ) ( )3 25 7 1U s s s s C s= + + + (6.13)
Ako na relaciju (6.13) primenimo inverznu Laplasovu
transformaciju dobija se diferencijalna
jednaina treeg reda:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 7u t c t c t c t c t = + + + (6.14)
Vrlo je jednostavno formirati elektrino kolo koje e za zadati
ulazni signal generisati
pomoni signal , korienjem integratora, sabiraa i mnoaa. Takvo
kolo je prikazano na slici
6.1. i naziva se simulacioni blok dijagram. Takoe, primenom
inverzne Laplasove transformacije na
relaciju (6.12) dobijamo:
( )u t
( )c t
( ) ( ) ( ) ( )2 4 3y t c t c t c t= + + (6.15)
te se i signal merenja lako moe generisati na osnovu signala u
simulacionom blok dijagramu.( )y t
c cc c
5
7
1
+
++ +
u
24
3y
++
+
Slika 6.1: Simulacioni blok dijagram sistema
Poslednji korak koji nas dovodi do modela u prostoru stanja
jeste izbor elemenata vektora stanja.Uvek se, ukoliko je na
raspolaganju simulacioni blok dijagram, za elemente vektora stanja
biraju
izlazi iz integratora. S obzirom da u naem simulacionom blok
dijagramu figuriu tri integratora (jer
je stepen polinoma u imeniocu funkcije prenosa jednak tri), na
vektor stanja e imati tri koordinate.
Ukoliko za elemente vektora stanja izaberemo redom signale ( )c
t , ( )c t i , model postaje:( )c t
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2 3
3 17 5 7 5
x t c t x t
x t c t x t
2 3t c t c t c t c t u t x t x t x t u t
= =
= =
= = + = +
(6.16)
dok jednaina merenja glasi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 33 4 2 3 4 2y t c t c t c t x t x
t x t= + + = + + (6.17)
Relacije (6.16) i (6.17) se mogu napisati u kompaktnoj matrinoj
formi:
( ) ( )
( ) [ ] ( )
0 1 0 0
0 0 1 0
1 7 5 1
3 4 2
t u
y t x t
= +
=
t (6.18)
i ovakva forma se naziva kontrolabilnom kanoninom formom.
Kanoninost forme se ogleda u
pravilima na osnovu kojih se vrlo jednostavno mogu formirati
matriceA,Bi Cukoliko je poznata
funkcija prenosa sistema. Matrica A koja je generalno dimenzija
n n se sastoji od tri bloka. U
-
7/22/2019 ssddddd
4/21
gornjem levom uglu se nalazi jedinina matrica dimenzija ( ) (
)1n n 1 , u prvoj koloni matriceA
su svi lanovi osim poslednjeg jednaki nuli, dok se u poslednjoj
vrsti matrice Analaze koeficijenti
karakteristinog polinoma (polinoma iz imenioca funkcije prenosa)
itani sleva nadesno sapromenjenim znakom. Dalje, u matriciBsu svi
elementi jednaki nuli osim poslednjeg koji je jednak
1, dok su u matrici C smeteni koeficijenti polinoma iz brojioca
funkcije prenosa itani slevanadesno.
Prilikom formiranja kontrolabilne kanonine forme sistema
potrebno je dati dve napomene.Prvo, primetimo u primeru 6.1 je
matrica D u jednaini merenja jednaka nuli. Ona e uvek biti
jednaka nuli ukoliko je polinom u brojiocu nieg stepena od
polinoma u imeniocu funkcije prenosa.U sluaju da su ova dva
polinoma istog stepena, njih treba podeliti tako da se dobije
konstanta ipravi razlomak, pri emu e dobijena konstanta biti
smetena u matricu D. Ovaj e postupak biti
ilustrovan u primeru 6.2. Druga vana napomena jeste da
kontrolabilna kanonina forma moe da se
formira samo za sisteme koji imaju jedan ulaz, dakle za SISO i
SIMO sistema. Postupak formiranjakontrolabilne kanonine forme za
sistem sa vie izlaza bie ilustrovan u primeru 6.3.
Primer 6.2:Posmatrajmo sistem ija je funkcija prenosa
( )3
3 24 2
2 6 2s sG s
s s s+=
1+ + (6.19)
Prvo primetimo da polinom u imeniocu nije monik, zato emo i
brojilac i imenilac funkcije prenosa
podeliti sa 2:
( )3
3 2
2
3 0
s sG s
s s s
+=
+ + .5 (6.20)
Dalje, primetimo da su polinomi u brojiocu i imeniocu istog
stepena. Potrebno je izvriti deljenje
ovih polinoma tako da dobijemo konstantu i pravi razlomak u kome
je stepen polinom u brojiocunii od stepena polinoma u imeniocu:
( )2
3 2
6 3 12
3 0
s sG s
s s s
+ = +
+ + .5 (6.21)
Sada je postupak identian onome koji je opisan u primeru 6.1., s
tim to sada postoji i matrica Dkoja je jednaka skalaru 2:
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( ) [ ] ( )
0 1 0 0
0 0 1 0
0.5 1 3 1
1 3 6 2
t x t
y t x t u t
= +
= +
u t
(6.22)
Primer 6.3: Formiraju kontrolabilnu kanoninu formu sistema sa
jednim ulazom i tri izlaza koji jeopisan matricom kolonom funkcija
prenosa:
( )
( )
( )
2
1
1
1
2 1
1
s s
sG s
s
s
s s
= +
+
(6.23)
U sluaju sistema sa vie ulaza ili izlaza potrebno je za poetak
odrediti karakteristini polinom
sistema ( )f s . Karakteristini polinom multivarijabilnog
sistema se odreuje kao najmanji
-
7/22/2019 ssddddd
5/21
zajedniki sadralac svih polinoma u imeniocima elemenata matrice
funkcija prenosa. Dakle, u
naem sluaju je:
( ) ( ) ( ){ } ( )2 21 , 1, 1 1 3f s NZS s s s s s s s s= + = =
s (6.24)
Tada se matrica funkcija prenosa napie u sledeoj formi:
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1
2
2 3
2
3
11 1
2 1
G s f s s
G s G s f s sf s s s
s sG s f s
+ = =
(6.25)
Sada se na osnovu karakteristinog polinoma, iji stepen odreuje i
red modela formira matricaA,
matrica Bzadrava formu kakvu je imala i za SISO sisteme, dok e
matrica Cimati onoliko vrsta
koliko je izlaza, pri emu je svaka vrsta odreena odgovarajuim
polinomom u matrici (6.25):
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
1 1 0
0 0 1
1 1 2
x t x t
y t x t
= +
=
u t
(6.26)
Primer 6.4:Na analogan nain se moe formirati i model u prostoru
stanja za diskretni LTI sistem.
Ukoliko je diskretni sistem predstavljen funkcijom diskretnog
prenosa:
( )2
3 2
0.8 0.6
0.5 0.4
z zG z
z z z
+=
+ + (6.27)
odgovarajui model u prostoru stanja se takoe sastoji od dve
relacije, od kojih je prva diferencna i
naziva se jednainom stanja ili jednainom tranzicije:
[ ] [ ] [ ] [ ] 01 , 0k Ax k Bu k x+ = + =x (6.28)
dok je druga, ponovo algebarska jednaina opservacije ili
merenja:
[ ] [ ] [ ]y k Cx k Du k= + (6.29)
Ukoliko nam je cilj da formiramo kontrolabilnu kanoninu formu
diskretnog LTI sistema, potrebno
je analogno simulacionom blok dijagramu na slici 6.1., da
formiramo simulacioni blok dijagram
diskretnog sistema koji se sastoji od elemenata za kanjenje,
sabiraa i mnoaa. Ponovo uvodei
pomonu promenljivu dobijamo relacije:
( ) ( )
( )( )( )
2 1 2
3 2 1 2 3
0.8 0.6 0.8 0.6
0.5 0.4 1 0.5 0.4
Y z C z z z z z zG z
U z z z z z z z C z
+ += = =
+ + + +
3
(6.30)
odnosno, u vremenskom domenu:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 0.8 2 0.6 3
1 0.5 2 0.4 3
y k c k c k c k
u k c k c k c k c k
= +
= + + (6.31)
Odgovarajui simulacioni blok dijagram dat je na slici 6.2.
-
7/22/2019 ssddddd
6/21
[ ]c k [ ]1c k
1
0.5
0.4
+
+
+ +
u
10.8
0.6y
++
+
1z
1z
1z
[ ]2c k [ ]3c k
Slika 6.2: Simulacioni blok dijagram diskretnog LTI sistema
Prilikom formiranja modela u prostoru stanja na osnovu
oformljenog simulacionog blok dijagrama
diskretnog LTI sistema, za elemente vektora stanja se usvajaju
izlazi iz blokova za kanjenje.
Dakle, u cilju formiranja kontrolabilne kanonine forme usvojiemo
za elemente vektora stanja
redom sledee signale: [ ] [ ]1 3x k c k= , [ ] [ ]2 2x k c k= i
[ ] [ ]3 1x k c k= , pa e otuda jednainestanja biti:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2
2 3
3
1 2 3
1 2
1 1
1 1 0.5 2 0.4 3
0.4 0.5
x k c k x k
x k c k x k
x k c k u k c k c k c k
x k x k x k u k
+ = =
+ = =
]+ = = +
= + +
(6.32)
dok jednaina opservacije glasi:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 20.6 3 0.8 2 1 0.6 0.8y k c k c k c
k x k x k x k= + = + 3
]
(6.33)
U matrinoj formi, relacije (6.32) i (6.33) postaju:
[ ] [
[ ] [ ] [ ]
0 1 0 0
1 0 0 1 0
0.4 0.5 1 1
0.6 0.8 1
x k u
y k x k
+ = +
=
k
(6.34)
Primetimo da matriceA,Bi Czadovoljavaju ista ona kanonina
pravila koja su izvedena za sluaj
kontinualnog LTI sistema.
Opservabilna kanonina forma
Sledea znaajna i esto koriena kanonina forma modela u prostoru
stanja jeste
opservabilna kanonina forma. Nain na koji se ona generie e opet
biti ilustrovan na na primeru
sistema ija je funkcija prenosa data relacijom (6.10):
( )2
3 2
2 4 3
5 7
s sG s
s s s
+ +=
1+ + + (6.35)
Prvi korak jeste da se, ukoliko je polinom u imeniocu funkcije
prenosa monik, polinom u brojiocu i
imeniocu podele najviim stepenom polinoma u imeniocu:
( ) ( )
( )
2 3
2 3
2 4 3
5 7 11
Y s s s sG s
U ss s s
+ += =
+ + +
(6.36)
Unakrsnim mnoenjem, dobija se relacija:
-
7/22/2019 ssddddd
7/21
( ) ( )2 3 2 3
5 7 1 2 4 31Y s U s
s s s s s s
+ + + = + +
(6.37)
ili
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(1 1 1
5 2 7 4 3Y s Y s U s Y s U s Y s U s
s s s
) = + + + + +
(6.38)
Poslednja relacija nam govori da se signal ( )y t moe dobiti kao
integral zbira tri signal koji se
nalaze u vitiastoj zagradi, signala ( )5y t , ( )2u t i signala
koji se moe dobiti kao integral zbira
sledea tri signala, , i signala koji je integral zbir signala i(
)7y t ( )4u t ( )y t ( )3u t .
Odgovarajui simulacioni blok dijagram je prikazan na slici
6.3.
( )1 t( )y t
( )u t
( )2x t( )3x t5
2
7
4
1
3++
++
+++
+
Slika 6.3: Simulacioni blok dijagram kontinualnog LTI
sistema
Usvajajui izlaze iz integratora za elemente vektora stanja, kako
je to oznaeno na slici 6.3, dobija
se model u prostoru stanja u sledeoj formi:
( ) ( ) ( )
5 1 0 2
7 0 1 4
1 0 0 3
x t x t
= +
u t (6.39)
( ) [ ] ( )1 0 0y t x t= (6.40)
Ovaj model u prostoru stanja se naziva opservabilna kanonina
forma i njoj su svojstvene sledee
pravilnosti. MatricaAkoja je u optem sluaju kvadratna matrica
dimenzija n se sastoji iz tri
bloka: u njenoj prvoj koloni se nalaze koeficijenti
karakteristinog polinoma itani sleva nadesno sa
promenjenim znakom (preskaui prvi koeficijent koji mora biti
jednak 1), u gornjem desnom uglu
nalazi se jedinina matrica dimenzija ( )
n
( )1n n 1 , dok se u poslednjoj vrsti osim prvog elementa
nalaze sve same nule. U matriciBse nalaze koeficijenti polinoma
u brojiocu funkcije prenosa itani
sleva nadesno, dok matrica Cuvek ima istu formu, prvi element je
1 dok su svi ostali nule.
Vezano za formiranje opservabilne kanonine forme potrebno je
dati sledee napomene.
Samo sistemi sa jednim izlazom, dakle SISO i MISO sistemi, mogu
imati opservabilnu kanoninuformu u prostoru stanja. Postupak za
formiranje opservabilne kanonine forme diskretnih sistema je
potpuno analogan postupku koji je veobjanjen. Jedina je razlika
u tome to se u simulacionomblok dijagramu umesto integratorskih
blokova koriste elementi za jedinino kanjenje. Na sledeem
primeru je ilustrovan ovaj postupak.
Primer 6.5: Za diskretni sistem sa dva ulaza i jednim izlazom
ija je matrica vrsta funkcija
diskretnih prenosa data
-
7/22/2019 ssddddd
8/21
( )( )
3
2
2
11
zG z
zz z
z + =
(6.50)
formirajmo opservabilnu kanoninu formu modela u prostoru stanja.
U pitanju je sistem sa dvaulaza i jednim izlazom, te je potrebno
prvo odrediti karakteristini polinom sistema:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 , 1 1 1 3f z NZS z z z z z z z= = + =
z (6.51)
Tada se matrica funkcija diskretnog prenosa moe napisati u
sledeoj formi:
( ) 3 33
12G z z z z
z z
2 = + + (6.52)
Dalje, primetimo da su polinomi u brojiocu istog stepena kao i
karakteristini polinom, pa je
potrebno izvriti odgovarajue deljenje polinoma:
( ) [ ] 231
1 1 2G z z z z z z
= + + + (6.53)
Sada na osnovu ovako dobijene forme matrice funkcija diskretnog
prenosa direktno moemo pisati
opservabilnu kanoninu formu u prostoru stanja:
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
1
2
1
2
0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 1
0 0 0 2 0
1 0 0 1 1
u kx k x k
u k
u ky k x k
u k
+ = +
= +
(6.54)
ili, ako nam je elje da formiramo i simulacioni blok dijagram,
relaciju (6.53) treba napisati usledeoj formi:
( ) [ ] 2 3 121
1 1 21
G z z z z z z
2 = + + + (6.55)
to dovodi do sledee veze izmeu ulaznih signala i izlaza:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )({ )}1 1 11 2 2 1 2 12Y z U z U z
z U z z Y z U z U z z U z = + + + + + + (6.56)
Na osnovu ovako napisane veze izmeu ulaznih signala i izlaza,
jednostavno se formira simulacioni
blok dijagram prikazan na slici 6.4.
1z
1z
1z
2
[ ]1u k
[ ]2u k
[ ]y k+
+
++
+
+ +
+
+
Slika 6.4: Simulacioni blok dijagram diskretnog sistema sa dva
ulaza i jednim izlazom
-
7/22/2019 ssddddd
9/21
Usvajanjem izlaza iz kola za kanjenje za elemente vektora stanja
dobio bi se model u prostoru
stanja prikazan relacijama (6.54).
Dijagonalna kanonina forma
Postupak formiranja dijagonalne kanonine forme modela u prostoru
stanja ilustrovaemo
na primeru sledeeg sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom.
Neka je njegova funkcija prenosa:
( )3 2
4
6 11
sG s
s s s 6
+=
+ + + (6.57)
Prvi korak u formiranju dijagonalne kanonine forme jeste da se
funkcija prenosa napie u formi
zbira parcijalnih razlomaka:
( )( ) ( ) ( )
4 1.5 2 0.5
1 2 3 1 2
sG s
s s s s s s 3
+= =
+ + + + + ++ (6.58)
Tada se izlaz sistema moe napisati kao zbir tri pomona
signala:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.5 2 0.5
1 2 3Y s G s U s U s U s U s
s s s= = +
+ + + (6.59)
koji se vrlo jednostavno mogu realizovati u simulacionom blok
dijagramu (slika 6.5).
1
+
2
+
3
+
1.5
2
0.5
( )u t ( )y t+
+
+
Slika 6.5: Simulacioni blok dijagram sistema
Usvajanjem izlaza iz integratora za elemente vektora stanja
dobija se model u prostoru stanja koji se
naziva kontrolabilna kanonina forma:
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( )
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 3 1
1.5 2 0.5
x t x t
y t x t
= +
=
u t (6.60)
Dijagonalna kanonina forma je specifina po tome to je matrica
stanjaAdijagonalna matrica, i na
njenoj dijagonali se nalaze polovi sistema (nule karakteristinog
polinoma). U matrici Bse nalazejedinice, dok se u matrici Cnalaze
reziduali uz odgovarajue polove. Primetimo da ukoliko sistema
ima konjugovano kompleksne polove, tada dijagonalnu kanoninu
formu nije mogue formirati jerbi se na dijagonali matrice stanja
pojavili kompleksni brojevi, to nije uobiajeno za predstaverealnih
sistema u prostoru stanja.
-
7/22/2019 ssddddd
10/21
Posebnu panju privlae sistemi koji imaju viestruke realne
polove. Za njih, takoe, nijemogue formirati dijagonalnu kanoninu
formu, ali je zato mogue formirati model u prostoru
stanja koji je vrlo blizak dijagonalnoj formi, i naziva se
Jordan-ovom kanoninom formom.Postupak za formiranje Jordan-ove
kanonine forme bie ilustrovan na sledeem primeru.
Primer 6.6: Posmatrajmo sistem funkcije prenosa
( )( ) ( ) ( )
31
2 5 6sG s
s s s2+=
+ + + (6.61)
koji ima tri realna pola u takama -2, -5 i -6, pri emu je prvi
od njih viestrukosti 3, drugi jejednostruk, i trei pol je
viestrukosti 2. Takoe, kao kod dijagonalne kanonine forme, potrebno
je
da se funkcija prenosa napie u formi zbira parcijalnih
razlomaka.
( )( ) ( ) ( )
2 32 52 2
a b c d e f G s
s s ss s s= + + + + +
+ + ++ + +2
6 6 (6.62)
pri emu je:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3
22 2
3
2 5
2 2
6 6
1 1lim 2 0.027; lim 2 0.0382
2! 1!
1lim 2 0.0208; lim 5 0.1481;
0!
1 1lim 6 0.1211 ; lim 6 0.0781
1! 0!
s s
s s
s s
d da s G s b s G s
ds ds
c s G s d s G s
de s G s f s G s
ds
= + = = + =
= + = = + =
= + = = + =
(6.63)
Na osnovu relacije (6.62) lako se uspostavlja veza izmeu ulaza i
izlaza sistema u sledeoj formi:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )2 3 22 5 62 2 6
a b c d e f Y s U s U s U s U s U s U s
s s ss s s= + + + + +
+ + ++ + +(6.64)
to rezultuje simulacionim blok dijagramom kakav je prikazan na
slici 6.6.
2
+
2
+
2
+
5
+
6
+
6
+
c
a
b
d
e
f
++
+
+
++
( )u t ( )y t
1x
2x
3x
4x
56x
Slika 6.6: Simulacioni blok dijagram sa viestrukim polovima
Usvajanjem elemenata vektora stanja kako je to naznaeno na slici
6.6, model u prostoru stanja u
formi Jordan-ove kanonine forme postaje:
-
7/22/2019 ssddddd
11/21
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( )
2 1 0 0 0 0 0
0 2 1 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0 1
0 0 0 5 0 0 1
0 0 0 0 6 1 0
0 0 0 0 0 6 1
x t x
y t c b a d f e x t
= +
=
t u t
(6.65)
Dobijena matricaAse moe predstaviti kao blok matrica, dimenzija
3 3 , jer su u sistemu prisutnatri razliita pola. Blok koji
odgovara trostrukom polu je dimenzija 3 3 , blok koji
odgovarajednostrukom polu u taki -5 je dimenzija 1 1 , dok blok
koji odgovara dvostrukom polu u taki -6je dimenzija 2 . Blokovski
gledano matricaAje dijagonalna, na dijagonali svakog
dijagonalnog
bloka se nalaze polovi sistema onoliko puta kolika je
viestrukost pola koji odgovara posmatranom
bloku. Osnovna razlika Jordan-ove kanonine forme u odnosu na
dijagonalnu je ta, da se nasubdijagonali dijagonalnog bloka iznad
glavne dijagonale, ukoliko je pol viestrukosti vee od
jedan, nalazi niz jedinica. Matrica B se takoe moe posmatrati
kao blok matrica, pri emu su usvakom bloku svi elementi nule, osim
poslednjeg elementa koji odgovara bloku i koji je jednak
jedan. Konano, u matrici C se nalaze odgovarajui reziduali. U
cilju vebanja formiranja
Jordan-ove kanonine forme, pogledajmo sledei primer.
2
Primer 6.7: Funkcija prenosa sistema je
( )( ) ( ) ( )( )
4 2
1
1 3 4 5G s
s s s s=
+ + + +3
(6.66)
Sistem je desetog reda, ali ima samo etiri razliita pola.
Jordan-ova kanonina forma ovakvog
sistema glasi:
( ) ( ) ( )
( )
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 5 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 5 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1
t x
y t d c b a
= +
=
t u t
[ ] ( )f e g j i h x t
(6.67)
gde su a,b,c,d.... odgovarajui reziduali.
13. Veze izmeu razliitih modela u prostoru stanja i funkcije
prenosa sistema
Kao to smo vevideli, za jedan isti sistem, zadat funkcijom
prenosa, mogue je formirati
razliite modele u prostoru stanja. Meutim, s obzirom da ti
modeli predstavljaju jedan isti sistem,njihove matrice stanja,
ulaza i merenja ne mogu biti proizvoljne, ve izmeu njih mora
postojati
neka veza. Pretpostavimo da je jedan isti sistem predstavljen
pomou dva razliita modela u
-
7/22/2019 ssddddd
12/21
prostoru stanja. Prvi model u kome je vektor stanja ( )x t
okarakterisan je kvartetom matrica
:( ), , ,A B C D
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
= +
= +
(6.68)
dok je drugi model sa vektorom stanja ( )z t , predstavljen
kvartetom matrica ( ) :, , ,E F H G
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
z t Ez t Fu t
y t Hz t Gu t
= +
= +
(6.69)
Pretpostavimo jo da postoji regularna matrica Ttakva da je:
( ) ( )x t Tz t= (6.70)
Poslednja relacija ne umanjuje optost razmatranja, jer mi se
bavimo linearnim, vremenski
invarijantnim sistemima, pa je logino da se izmeu razliitih
vektora stanja moe uspostaviti
linearno preslikavanje. Tada, na osnovu relacija (6.68), (6.69)
i (6.70) moemo napisati sledei nizjednakosti:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (1 )t Ax t Bu t Tz t T Ez t Fu t
TET x t TFu t = + = = + = + (6.71)
odnosno:
( ) ( ) ( ) ( )1Ax t Bu t TET x t TFu t+ = + (6.72)
Poslednja jednakost mora biti zadovoljena za svako ( )x t i za
svako ( )u t , u pitanju je identitet, na
osnovu ega zakljuujemo da je:
1A TET= (6.73)
B TF= (6.74)
Takoe, posmatrajui jednaine merenja moemo napisati sledei niz
jednakosti:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t Cx t Du t CTz t Du t Hz t Gu t= +
= + = + (6.75)
odnosno
( ) ( ) ( ) ( )CTz t Du t Hz t Gu t + = + (6.76)
Poslednja jednakost takoe mora biti zadovoljena za svako ( )z t
i svako , pa zakljuujemo da
je:
( )u t
CT H= (6.77)
D G= (6.78)
Relacije (6.73), (6.74), (6.77) i (6.78) predstavljaju veze koje
moraju postojati izmeu matricarazliitih modela u prostoru stanja a
za isti sistem.
Ako potraimo funkciju prenosa sistema iji su ovo modeli u
prostoru stanja, lako jedokazati da se dobija isti rezultat
nezavisno od toga od kakvog modela u prostoru stanja kreemo.
Naime, sada emo ilustrovati postupak na osnovu koga se, polazei
od modela u prostoru stanja,moe odrediti funkcija prenosa sistema.
Krenimo od jednaine stanja (6.68):
( ) ( ) ( ) ( ) 0; 0t Ax t Bu t x x= + = (6.79)
-
7/22/2019 ssddddd
13/21
i na nju primenimo Laplasovu transformaciju:
( ) ( ) ( )0sX s x AX s BU s = + (6.80)
Ukoliko nam je cilj da odredimo funkciju prenosa sistema,
pretpostavimo da je poetni uslov
sistema jednak nuli: , odnosno da je sistem relaksiran:0
0x =
( ) ( ) ( )sX s AX s BU s = (6.81)
odnosno
( ) ( ) ( )1
X s sI A BU s
= (6.82)
Primenjujui Laplasovu transformaciju i na jednainu merenja:
( ) ( ) ( )Y s CX s DU s= + (6.83)
pa smenjujui (6.82) u (6.83) konano dobijamo:
(6.84)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
Y s C sI A BU s DU s C sI A B D U s
= + = +
1
Drugim reima, funkcija prenosa ili matrica funkcija prenosa,
zavisno od broja ulaza i izlazasistema postaje:
( ) ( )1
G s C sI A B D
= + (6.85)
Potpuno identini rezultat bi se dobio da smo krenuli od modela u
prostoru stanja po vektoru stanja
. Ako krenemo od rezultata (6.85) uzimajui u obzir veze izmeu
matricaA, E, B, F, C, H, Di
G, dobija se sledea jednakost:
( )z t
(6.86)( )
( )
( ) ( )
11 1 1 1
11 1
1 11 1
C sI A B D HT sTT TET TF G
HT T sI E T TF G
HT T sI E T TF G H sI E F G
+ = + = = + =
= + = +
Izvedene veze izmeu razliitih modela u prostoru stanja i
funkcije prenosa sistema su u
vanosti i za sluaj diskretnih sistema. Sada emo samo pokazati
postupak kojim se na osnovu
modela u prostoru stanja diskretnog sistema moe odrediti
funkcija diskretnog prenosa. Poemo liod jednaine stanja:
[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0k Ax k Bu k x x+ = + = (6.87)
i primenimo li na nju zed transformaciju, dobija se:
( ) ( ) ( )0zX z zx AX z BU z = + (6.88)
Kako nam je cilj odreivanje funkcije diskretnog prenosa,
pretpostavimo opet da je poetni uslov
jednak nuli , odnosno da je sistem relaksiran:0
0x =
( ) ( ) ( )zX z AX z BU z = (6.89)
ime dobijamo zed transformaciju vektora stanja:
( ) ( ) ( )1
X z zI A BU z
= (6.90)
Smenom dobijenog izraza u jednainu merenja na koju je takoe
primenjena zed transformacija:
-
7/22/2019 ssddddd
14/21
( ) ( ) ( )Y z CX z DU z = + (6.91)
dobija se:
(6.92)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
Y z C zI A BU z DU z C zI A B D U z = + = +
1
na osnovu ega zakljuujemo da je funkcija diskretnog prenosa, ili
matrica funkcija diskretnog
prenosa, zavisno od broja ulaza i izlaza sistema, jednaka:
( ) ( )1
G z C zI A B D
= + (6.93)
14. Fundamentalna matrica sistema i jednaina kretanja sistema u
prostoru stanja
Posmatrajmo linearan stacionaran kontinualan sistema koji je
opisan sledeom jednainom
stanja modela u prostoru stanja:
( ) ( ) ( ) ( ) 0; 0x t Ax t Bu t x x= + = (6.94)
U pitanju je vektorska diferencijalna jednaina prvog reda sa
konstantnim koeficijentima, i na je
cilj da je reimo, kako bismo u svakom trenutku znali kakva je
vrednost pojedinih koordinata stanja.Naravno, ova se diferencijalna
jednaina moe reiti na nekoliko razliitih naina, meutim, mi
emo se posluiti Laplasovom transformacijom. Primenom ove
transformacije na relaciju (6.94),kako je to vepokazano u
prethodnom pitanju, dobija se algebarska relacija:
( ) ( ) ( ) (1 1
0 )X s sI A x sI A BU s
= + (6.95)
Oigledno je da matrica ima kljunu ulogu u odzivu sistema i
kretanju sistema u prostoru
stanja. Ova matrica se uobiajeno obeleava sa
(1
sI A
)
( )s , njena inverzna Laplasova transformacija sa
( )t i naziva sefundamentalnom matricom.Dakle, relacija (6.95)
se moe prepisati u formi:
( ) ( ) ( ) ( )0X s s x s BU s= + (6.96)
Kada bismo znali ta je matrica ( ) ( ){ }1t L s = , na relaciju
(6.96) bismo mogli da primenimoinverznu Laplasovu transformaciju i
da dobijemo jednainu kretanja sistema u prostoru stanja:
( ) ( ) ( ) ( )00
t
x t t x t Bu d = + (6.97)
Fundamentalna matrica ( )t ima svoju Laplasovu transformaciju (
, i to je zapravo samo
matrina forma skalarne funkcije
)1
sI A
( ) ( )atf t e h t= ija je Laplasova transformacija ( ) ( ) 1F s
s a
= .
Dakle, fundamentalna matrica ( )t je matrini eksponent proizvoda
At:
( ) Att e = (6.98)
Tako, smenom (6.98) u (6.97), konano dolazimo do jednaine
kretanja sistema u prostoru stanja:
( ) ( ) ( )00
t A tAtx t e x e Bu d
= + (6.99)
Obratimo panju na to da se eksponent matrice ne moe dobiti tako
to se svaki element matrice
digne na eksponent, veje postupak izraunavanja sadran u sledeoj
relaciji:
( ) ( ){ }11Att e L sI A = = (6.100)
-
7/22/2019 ssddddd
15/21
to e biti ilustrovano sledeim primerom.
Primer 6.8: Kontinualni LTI sistem je opisan modelom u prostoru
stanja:
( ) ( ) ( ) ( ) 02 1 0
; 05 4 1
x t x t u t x
= + x= (6.101)
Ako elimo da odredimo jednainu kretanja sistem u prostoru stanja
prvo je neophodno da naemofundamentalnu matricu:
( ) ( )( ) ( )
1
1 2 1 4 11
5 4 52 4 5
s ss sI A
s ss s
+ +
= = = 2
+ ++ + +
(6.102)
Primeniti inverznu Laplasovu transformaciju na matricu znai
primeniti inverznu Laplasovu
transformaciju na svaki njen element:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 22 2
1 1
2 22 2
3 3
3 3
4 1
3 2 3 2
5 2
3 2 3 2
cos 2 0.5sin 2 0.5 sin 2
2.5 sin 2 cos 2 0.5sin 2
t t
t t
sL L
s s
ts
L Ls s
e t t e t
e t e t t
+
+ + + + = +
+ + + +
+ ==
(6.103)
Sada zamenom fundamentalne matrice u (6.38) dobijamo:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
3 3
10 201
3 3
2 10 20
3
0
3
0
cos 2 0.5sin 2 0.5 sin 2
2.5 sin 2 cos 2 0.5sin 2
0.5 sin 2
cos 2 0.5sin 2
t t
t t
t t
t t
e t t x e t xx t
x t e t x e t t x
e t u d
e t t u
d
+ +
= +
+ +
(6.104)
Primenom programskog paketa MATLAB se vrlo jednostavno moe
simulirati odziv elemenata
vektora stanja za proizvoljne poetne uslove i za proizvoljni
ulazni signal. Na slici 6.7 su prikazani
ovi odzivi uz pretpostavku da su poetni uslovi [ ]0 1 1T
x = i uz ulazni signal kakav je prikazan na
slici.
a) b)
-
7/22/2019 ssddddd
16/21
c) d)
Slika 6.7: a) Upravljaki signal; b) Odziv prve koordinate ( )1x
t ; c) Odziv druge koordinate ( )2 t ;
d) Fazni portret ( )2 1x
MATLAB kod koji realizuje ovu simulaciju je sledei:
Fundamentalna matrica je sutinski vana za ponaanje sistema. U
sluaju odsustva ulaznogsignala, jednaina kretanja sistema
glasi:
( ) ( ) 0 0Att t x e= = x (6.105)
i potpuno je odreena fundamentalnom matricom. Fundamentalna
matrica zadovoljava sledeu
diferencijalnu jednainu:
( )( ) ( ), 0
d tA t
dt
I= = (6.106)
U literaturi se ova matrica esto oznaava kao 'state transition
matrix' i zadovoljava sledea
svojstva
(6.107)
( )
( ) ( )
( ) ( ) (
( ) ( )
1
2 1 2 1 1 0
) 0
)
)
) ,i
a I
b t t
c t t t t t t
d t it i N
=
=
=
=
)
>> sys=ss([-2 1; -5 -4],[0;1],[1 0; 0 1],0);
>> x0=[1;-1];
>> T=0:0.01:10;
>> U=[sin(2.5*T(1:250)) ones(1,250) -ones(1,250)
zeros(1,251)];
>> x=lsim(sys,U,T,x0);
>> figure(1);plot(T,x(:,1));
>> figure(2); plot(T,x(:,2));>> figure(3);
plot(T,U);
>> figure(4); plot(x(:,1),x(:,2));
-
7/22/2019 ssddddd
17/21
Iz svojstva pod b) se moe zakljuiti da je fundamentalna matrica
regularna za svako t. Konano,
korienjem Tejlorovog razvoja ova se matrica numeriki esto rauna
na sledei nain:
( ) ( ) ( )
2 3
2! 3!
At AT AT
t e I At = = + + + + (6.108)
U primeru 6.1 je prikazan opti postupak za sraunavanje
fundamentalne matrice sistema, meutim,
u nekim specifinim sluajevima, kao to je dijagonalna kanonina
forma ili Jordan-ova kanonina
forma, fundamentalna matrica se moe direktno pisati:
1
2
3
1
2
3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 n
t
t
At t
tn
e
e
A e e
e
0
= =
(6.109)
1 1 1
1 1
1
2
3 3
3
2
1
1
1
2
3
3
1 0 0 0 0 0 0 020 1 0 0 0
0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 1
0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0
t t t
t t
tAt
t
t t
t
t
e te e
e te
eA e
e
e te
e
0
= =
(6.110)
Fundamentalna matrica i jednaina kretanja sistema u prostoru
stanja diskretnih LTI sistema
Na slian nain, na koji je izvedena jednaina kretanja sistema za
kontinualni LTI sistem,
moe se definisati fundamentalna matrica i jednaina kretanja za
diskretni LTI sistem. Krenimo od
modela diskretnog sistema u prostoru stanja:
[ ] [ ] [ ] [ ] 01 ; 0x k Ax k Fu k x+ = + =x (6.111)
Primenom zed transformacije na poslednju relaciju i reavanjem po
( )X z , dobija se:
( ) ( ) [ ] ( ) (1 1
0 )X z zI A zx zI A BU z
= + (6.112)
Sada se, za diskretne sisteme, matrica
(6.113)( ) ( )1
z zI A
= z
kao i njen vremenski lik [ ]k naziva fundamentalnom matricom
sistema. Ponovo se, po analogiji
sa skalarnim sluajem, gde se signalu [ ] [ ]kf k a h k=
pridruuje zed lik , uoavada u vremenskom domenu fundamentalna
matrica ima formu:
( ) ( )1
F z z z a
=
[ ] ( ){ }1 kk Z z A = = (6.114)
Primenom inverzne zed transformacije na relaciju (6.51) dobijamo
reenje diferencne jednaine:
-
7/22/2019 ssddddd
18/21
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
1
0 0
0
11
0
0
1 * 1k
i
kk k i
i
k k x k Bu k k x k i Bu
A x A Bu i
=
=
= + = +
= +
i
(6.115)
to predstavlja jednainu kretanja diskretnog sistema u prostoru
stanja.
Fundamentalna matrica za diskretne sisteme ima sledea
svojstva:
[ ]
[ ] [ ] [
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2 0 2 1 1 0
) 0
)
)
) 1
i
a I
b k k k k k k
c k ik
d k A k
=
=
=
+ =
] (6.116)
koja nije teko dokazati.
Primer 6.9: Za diskretni sistem ija je diferencna jednaina
stanja:
[ ] [ ] [ ]0 1
01 1 5
16 6
x k x k
+ = +
u k (6.117)
odrediti odziv koordinata stanja ako je ulazni signal [ ] ( ) [
]1 k
u k h k = uz poetni uslov
[ ] [ ]0 1 0 T
x = .
Prvi korak u reenju ovog problema jeste odreivanje fundamentalne
matrice sistema:
( ) ( )1
2
5
6
1 1 1 1
2 3 2 3
1
61 1 1 1
2 3 2 3
z z z
z z z z
z zI A z
zz
z z z z
+
+ + + + = =
+ + + +
(6.118)
Primenom inverzne zed transformacije, dobija se fundamentalna
matrica u vremenskom domenu:
[ ] [ ]
1 1 1 12 3 6 62 3 2 3
1 1 1 13 2
2 3 2 3
k k k k
k k k k k h
+ + =
k (6.119)
Konano reenje za [ ]x k moe se dobiti ili smenom dobijenog
izraza za [ ]k u relaciju (6.115) ili
primenom sraunavanjem izraza za ( )X z i naknadne primene
inverzne zed transformacije. U
ovom sluaju, drugi postupak se ini jednostavnijim:
-
7/22/2019 ssddddd
19/21
( ) ( ) [ ] ( ) ( )1
14 12 3
1 1 1
2 30
7 2 3
1 1 1
2 3
z z z
zz z
X z z x z z BU zz z z
zz z
+ + ++ +
= + =
+ ++ +
(6.120)
odnosno
[ ] ( ){ }( )
( )
1
1 114 12 3 1
2 3
1 17 2 3 1
2 3
k kk
k kk
x k Z X z
+ +
= =
+
(6.121)
15. Diskretizacija modela u prostoru stanja kontinualnih
sistema
Pretpostavimo da nam je kontinualni LTI sistem predstavljen
modelom u prostoru stanja:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
= +
= +
(6.122)
postavlja se pitanje da li je mogue ovom kontinualnom modelu nai
odgovarajui diskretni
ekvivalent u prostoru stanja:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1x k Ex k Fu
y k Cx k Du k
+ = +
= +
k (6.123)
ali tako da kretanje sistema u prostoru stanja kontinualnog i
diskretnog modela bude identino u
trenucima koji su jednaki celobrojnom multiplu periode
odabiranja. Drugim reima, kako treba da
izgledaju nepoznate matrice E i F, ako su matrice A i B poznate,
a da pri tome elimo da
zadovoljimo sledei uslov:
( ) [ ], 0,1,2,...x kT x k k= = (6.124)
gde je vektor na levoj strani poslednje jednakosti sraunat
reavanjem diferencijalne jednaine
(6.122) a vektor na desnoj strani reavanjem diferencne jednaine
(6.123).
Ovde emo izvesti postupak za odreivanje matrica E i F, pod
uslovom da upravljakisignal zadovoljava sledeu relaciju:( )u t
(6.125)( ) ( ) , [ , ), 0,1,2,...u t u kT za t kT kT T k = +
=
to drugim reima znai, da perioda odabiranja treba da bude
dovoljno mala tako da se vrednost
upravljakog signala u okviru jedne periode odabiranja moe
smatrati konstantnom. U tom sluaju,
pozivajui se na relaciju (6.99) moemo pisati:
( ) ( ) ( ) ( )0
0t
A tAtt e x e Bu d
= + (6.126)
Ovo je jednaina kretanja sistema u prostoru stanja kontinualnog
sistema i ona vai za svako ,
pa onda vai i za t i za t k : 0tkT= T T= +
-
7/22/2019 ssddddd
20/21
( ) ( ) ( ) ( )0
0kT A kTAkTx kT e x e Bu d
= + (6.127)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0kT T
A kT T A kT TkT T e x e Bu d
++ + + = + (6.128)
Tada na osnovu ove dve relacije moemo pisati:
( ) ( ) ( ) ( )kT T A kT TATkT
x kT T e x kT e Bu d +
+ + = (6.129)
Poslednji integral se vri u okviru jedne periode odabiranje, te
na osnovu nae pretpostavke signal
( )u moemo smatrati konstantnim ( )u kT . Takoe ukoliko u ovom
integralu izvrimo smenu
promenljivih kT = , dobija se:
( ) ( ) (0
TAT A )x kT T e x kT e Bd u kT + = (6.130)
odnosno:
( ) ( ) (0T
AT A
)x kT T e x kT e Bd u kT
+ = +
(6.131)
Uporeujui dobijeni izraz sa eljenom diferencnom jednainom:
[ ] [ ] [ ]1x k Ex k Fu+ = + k (6.132)
postaje jasno emu su jednake traene matriceEiF:
0;
TAT AE e F e
Bd= = (6.133)
Na sledeem primeru emo ilustrovati postupak diskretizacije
sistema na osnovu modela u prostoru
stanja.
Primer 6.10: Kontinualni sistem iji je model u prostoru
stanja:
( ) ( ) ( )2 1 0
0 1 1x t x t
= +
u t (6.134)
diskretizovati sa periodom odabiranja ln2secT= .
Na osnovu relacija (6.133) moemo direktno raunati:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 1
2 1 2 1 2
0 1 10 1
AT s s s s
E e T s sI As
s
+ + + + = = = = = + +
(6.135)
Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se
fundamentalna matrica u vremenskom
domenu:
(6.136)( ) ( )2 2
0
t t t
t
e e et
e
=
h t
pri emu se matricaEdobija smenom t=T:
( )0.25 0.25
0 0.5
E T
= =
(6.137)
Na slian nain se dobija i eljena matricaF:
-
7/22/2019 ssddddd
21/21
( )
22
00
0 0
0
10.125
20.5
TT
T T
T
e ee eF Bd d
ee
+
= = = =
(6.138)
Treba primetiti da su matrice EiFzapravo funkcije od periode
odabiranja ( ) ( ),E E T F F T= = .
Takoe treba primetiti da je ovakav postupak diskretizacije
kontinualnih sistema odgovarajui
postupku step invarijantnosti, jer uslov koji smo postavili nad
upravljakim signalom zapravoodgovara samo step pobudi ili pobudi
koja se sastoji od linearnih kombinacija jedininog step
signala.
