Statistika_Matematika III 2011

8/16/2019 Statistika_Matematika III 2011

http://slidepdf.com/reader/full/statistikamatematika-iii-2011 1/10

Drugi parcijalni ispit iz Matematike III, 21. 01. 2011.

1. Riješiti diferencijalnu jednačinu: ( )1 sin ! , . y y x const α α ′′ + = + =

2. "drediti #aplas$%u transf$rmaciju funkcije ( ) & 2 !& sin & 2 .t f t t t t e−= +

&. 'astanak d%ije $s$(e zakazan je izme)u 1* i 21 sat na $dre)en$m mjestu uz $(a%ezučekanja 10 minuta. +$lika je %jer$%atn$a susreta ak$ je d$lazak s%ake $d $s$(a

neza%isan i jednak$ m$gu u (il$ k$je %rijeme izme)u 1* i 21 sat-

!. unkcija gustine %jer$%atn$e slučajne pr$mjenlji%e X data je sa:

( )[ ]

2! , 0 1

0, 0,1 .

c x x f x

x

− ≤ ≤= ∉

Izračunati nep$znatu k$nstantu c, matematičk$ $čeki%anje ( ) E X i disperziju ( )2. X σ

/ismeni di$ ispita iz Matematike III, 2. 01. 2011.

1. Raz%iti funkciju ( )1, 1, 2

& , 2 &

x f x

x x

< ≤= − < <

u $urier$% red u inter%alu&

,& .2

÷

2. Riješiti diferencijalnu jednačinu

2

&

&

1

x y

x y′ =

+ +.

&. $m$gena numerisana k$cka (aca se puta uzast$pn$. 3eka je X slučajna %eličina k$ja

predsta%lja (r$j d$(ijeni4 šestica. 3ai zak$n %jer$%atn$e pr$mjenlji%e X i izračunati

matematičk$ $čeki%anje i disperziju pr$mjenlji%e X .

!. 5ri mašine pr$iz%$de artikle k$ji m$gu (iti I i II klase. 6zet je slučajan uz$rak $d 200

artikala i u$čen je slijedei (r$j artikala I i II klase:

+lasaMašina

7

Mašina

8

Mašina

9

I !0 & 2

II 11 1* 2

5estirati 4ip$tezu da k%alitet pr$iz%$da ne za%isi $d mašine na k$j$j je pr$iz%eden sa rizik$m0,0α = .

/ismeni di$ ispita iz 'tatistikeMatematike III ;stari pr$gram<, 2. 01. 2011.

1. unkcija gustine %jer$%atn$e slučajne pr$mjenlji%e = data je sa :

f ; > < ?

[ ]

[ ]

∉

∈⋅

1,0,0

1,0,

x

xarctgxk

a< "drediti k$nstantu k .

(< "drediti ( ) E X i ( )

2

. X σ



2. Iz špila $d & karata nasumice su iz%učene tri karte. 3ai %jer$%atn$u da e me)u

njima (iti: a< (ar jedan as, (< (ar d%a asa.

&. 5ri mašine pr$iz%$de artikle k$ji m$gu (iti I i II klase. 6zet je slučajan uz$rak $d 200

artikala i u$čen je slijedei (r$j artikala I i II klase:

+lasa Mašina7

Mašina8

Mašina9

I !0 & 2

II 11 1* 2

5estirati 4ip$tezu da k%alitet pr$iz%$da ne za%isi $d mašine na k$j$j je pr$iz%eden sa rizik$m0,0α = .

!. $m$gena numerisana k$cka (aca se puta uzast$pn$. 3eka je X slučajna %eličina

k$ja predsta%lja (r$j d$(ijeni4 šestica. 3ai zak$n %jer$%atn$e pr$mjenlji%e X i

izračunati matematičk$ $čeki%anje i disperziju pr$mjenlji%e X .

. Met$d$m tangente riješiti jednačinu &

1 0 x x− + = sa tačn$šu 10 @ & .

Rezultate prikazi%ati na decimala.

Matematika 3: 1., 2., 3. i 5. zadatak

Statistika: prva 4 zadatka


1. Raz%iti u Maclaurin$% ;stepeni< red funkciju ( ) arcsin f x x= i $drediti inter%al u

k$me %rijedi taj raz%$j.

2. Riješiti sistem diferencijalni4 jednačina:

2 2

2

2 & .

x x y z

y x z

z x z

×

×

×

= − + +

= − +

= − +

&. D$kazati p$m$u #aplas$%e transf$rmacije da je&

0

&sin .

0

t te t dt

∞− =∫


( ) [ ]

[ ]

2 2 &, 1,1

.

0, 1,1

x

x xc x

f x e

x

+ +∈ −=

∉ −Izračunati nep$znatu k$nstantu c i izračunati %jer$%atn$u ( )0 . P X >

/ismeni di$ ispita iz 'tatistike Matematike III, 11. 02. 2011.

1. unkcija gustine %jer$%atn$e slučajne pr$mjenlji%e X data je sa:

( ) [ ]

[ ]

2 2 &, 1,1

.

0, 1,1

x

x xc x

f x e

x

+ +∈ −=

∉ −Izračunati nep$znatu k$nstantu c i izračunati %jer$%atn$u ( )0 . P X >



2. Iz %ree k$ja sadrAi 10 (ijeli4 i 10 crni4 kuglica iz%učen$ je B kuglica. 7k$ su s%e

iz%učene kuglice iste ($je, k$lika je %jer$%atn$a da su t$ crne kuglice-

&. 'lučajna pr$mjenlji%a X ima rasp$djelu

2 2 2 2

1 1 & !

.2 1 1 !1

X

θ θ θ θ

−

÷= ÷− ÷

3a $sn$%u uz$rka ( )1, 1,1,1, &,&, !− − $cjeniti parametar θ met$d$m maksimalne

%jer$d$st$jn$sti .

!. 'lučajn$m pr$mjenlji%$m X , k$ja ima n$rmalnu rasp$djelu, mjeri se k$ličina

g$dišnjeg %$den$g tal$ga na $dre)en$m mjestu. 6 t$ku $sam g$dina registr$%ane su

slijedee %rijedn$sti: &!,1C &&,C 2,!C &1,1C &0,*C &,2C 2B,!C &2,1C

"drediti *0 Etni inter%al p$%jerenja za $čeki%anje E(X).

. Met$d$m tangente riješiti jednačinu & 1 0 x x− + = sa tačn$šu 10 @ & .





1. Ispitati k$n%ergenciju reda( )

( )1

1 * ... ! &

2 10 ... ! 2n

n

n

∞

=

× × × × −× × × × −∑ .

2. Riješiti diferencijalnu jednačinu . x x

x x

e e y y

e e

−

−

−′′− = +

&. Date su d%ije kutije. 6 pr%$j se nalazi (ijeli4 i & crne kuglice, a u drug$j (ijeli4 i B

crni4 kuglica. Iz pr%e kutije pre(ačena je jedna kuglica u drugu kutiju. 7k$ je iz druge

kutije iz%učena (ijela kuglica, izračunati %jer$%atn$u da je iz pr%e kutije pre(ačena

crna kuglica u drugu kutiju.

!. 6 jedn$j šk$li k$ja (r$ji 120 učenika izmjerena je %isina s%i4 učenika. D$(ijeni su

sljedei rezultati:

Fisina u cm 8r$j učenika

10E12 1

12E1! 2

1!E1 !!

1E1B 10&

1BE10 211

10E12 &0&

12E1! 2&0

1!E1 12

1E1B *

1BE1B0 &0

1B0E1B2 &0

6z pretp$sta%ku da %isina učenika ima n$rmalnu rasp$djelu, nai inter%al p$%jerenja zasrednju %rijedn$st %isine učenika ak$ je ni%$ p$%jerenja β ? 0,*0.





( ) ( ) [ ][ ]

&1 2 1, 2,1&.

0, 2,1&

c x x x f x

x

− + ∈= ∉

Izračunati nep$znatu k$nstantu c i ( )& * . P X < <2. Date su d%ije kutije. 6 pr%$j se nalazi (ijeli4 i & crne kuglice, a u drug$j (ijeli4

i B crni4 kuglica. Iz pr%e kutije pre(ačena je jedna kuglica u drugu kutiju. 7k$ je iz

druge kutije iz%učena (ijela kuglica, izračunati %jer$%atn$u da je iz pr%e kutije

pre(ačena crna kuglica u drugu kutiju.

&. 'lučajna pr$mjenlji%a = ima n$rmalnu rasp$djelu sa funkcij$m gustine

%jer$%atn$e ( )

( ) 2

22

1

, .2

x m

f x e xσ

σ π

−

−

= ∈ ¡ 3a $sn$%u uz$rka ( )1 2, ,..., n x x x

$cjeniti parametar m met$d$m maksimalne %jer$d$st$jn$sti.

!. 6 jedn$j šk$li k$ja (r$ji 120 učenika izmjerena je %isina s%i4 učenika. D$(ijeni

su sljedei rezultati:

Fisina u cm 8r$j učenika

10E12 1

12E1! 2

1!E1 !!

1E1B 10&

1BE10 21110E12 &0&

12E1! 2&0

1!E1 12

1E1B *

1BE1B0 &0

1B0E1B2 &0

6z pretp$sta%ku da %isina učenika ima n$rmalnu rasp$djelu, nai inter%al p$%jerenja za

srednju %rijedn$st %isine učenika ak$ je ni%$ p$%jerenja β ? 0,*0.

. Izračunati pri(liAn$2

0

sin x dxπ

∫ 'imps$n$%$m met$d$m dijelei inter%al integracije

na 10 jednaki4 dijel$%a. 3ai zatim tačnu %rijedn$st t$g integrala, pa ustan$%iti

aps$lutnu grešku napra%ljenu pri računanju p$ 'imps$n$%$j f$rmuli. Rezultate

iskazi%ati na decimala .







( )

2 2 2sin & , ,& &

20, , .

& &

kx x dx x

f x

x

π π

π π

∈ = ∉

Izračunati nep$znatu k$nstantu k i E(X).

2. 6 krugu p$luprečnika r iza(rana je na slučajan način jedna tačka. "drediti

%jer$%atn$u da je ta tačka (liAa kruAn$j liniji neg$ centru kruga.

&. +utija sadrAi 12 kuglica: ! (ijele i B crni4. 3a slučajan način iz%lači se kuglica

(ez %raanja u kutiju. 7k$ je slučajna pr$mjenlji%a X zadana ka$ (r$j crni4

kuglica izme)u iz%učeni4, nai zak$n %jer$%atn$e te slučajne pr$mjenlji%e i

izračunati njenu %arijansu.

!. 5estirati 4ip$tezu $ neza%isn$sti $($lije%anja ljudi $d gripe i cijepljenja ljudi $d

gripe na $sn$%u uz$rka $d *&00 ljudi sa rizik$m 0,0α = i prema p$dacima u

ta(eli:

"($ljeli 3isu $($ljeli

3ecijepljeni !02 2!*

9ijepljeni 11 mjeseci

prije epidemije&2 &B*

9ijepljeni 1 mjesec

prije epidemije1&1 210*

. Riješiti sistem linearni4 jednačina GauH @ 'eidel$%$m met$d$m sa tačn$šu d$

10E&

1 2 &

1 2 &

1 2 &

20,1! 2,2& ,1B &B,22

1,1 20,0* *,11 2&,&1

2,2* ,0! 20,1 ,!.

x x x

x x x

x x x

+ + =+ + = −

− − = −




1.Ispitati k$n%ergenciju reda

1

n

n

ne∞

−

=∑ p$m$u +$šije%$g ;9auc4< integraln$g

kriterija.

2.Riješiti diferencijalnu jednačinu ( )&

2sin c$s c$s sin . x y y x y x x x′× + = −

&.Izračunati p$m$u #aplas$%e transf$rmacije integral 2

0

sin & .t te t dt

∞−∫

!.

unkcija gustine %jer$%atn$e slučajne pr$mjenlji%e X data je sa:



( )

2 2 2sin & , ,

& &

20, , .

& &

kx x dx x

f x

x

π π

π π

∈ = ∉

Izračunati nep$znatu k$nstantu k i E(X).

/ismeni di$ ispita iz Matematike III, 01. 0*. 2011.

1. Ispitati k$n%ergenciju reda

1

.2 &n n

n

n∞

= +∑2. Riješiti diferencijalnu jednačinu: ( )

2 2 2& ! . xy y x xy y′ − = − +&. 6 kutiji se nalaze cr%ena, pla%a i zelena k$ckica. 9r%ena k$ckica je ispra%n$ numerisana

(r$je%ima $d 1 d$ , na pla%$j k$ckici nalaze se (r$je%i 2, ! i na p$ d%ije strane, d$k se

na zelen$j k$ckici na s%i4 šest strana nalazi (r$j . 3a slučajan način se (ira jedna k$ckica

i (aca se tri puta.

a< 3ai %jer$%atn$u d$ga)aja da je u s%a tri (acanja pa$ (r$j .

(< 7k$ je u s%a tri (acanja pa$ (r$j , izračunati %jer$%atn$u d$ga)aja da je iza(rana zelena

k$ckica.

!. 7parat za mjerenje kr%n$g pritiska u mmg je testiran na slučajn$ $da(ranim zdra%im

regrutima na regrutaciji. Izmjerene %rijedn$sti su: 11B, 100, 11*, 122, 11&, 11, 12*, 11&,

1&1, 11*, 11B, 11, 1&, 12B, 11!, 12&, 12, 1&, 11*, 11, 12!, 12, 120, 121, 12B, 12!,

102. /$znat$ je da standardna %rijedn$st %isine kr%n$g pritiska k$d zdra%i4 $s$(a izn$si

0 11m = mmg. Ja g$rnje p$datke testirati da li je srednja %rijedn$st kr%n$g pritiska

zdra%i4 regruta jednaka standardn$j sa prag$m značajn$sti .

/ismeni di$ ispita iz 'tatistike Matematike III, 01. 0*. 2011.


( ), 0

c$s &

0, inače.

a x

f x x

π ≤ ≤=

"drediti nep$znatu k$nstantu a, te izračunati matematičk$ $čeki%anje ( ) E X i funkciju

rasp$djele ( ) . F x

2. 6 kutiji se nalaze cr%ena, pla%a i zelena k$ckica. 9r%ena k$ckica je ispra%n$ numerisana

(r$je%ima $d 1 d$ , na pla%$j k$ckici nalaze se (r$je%i 2, ! i na p$ d%ije strane, d$k se

na zelen$j k$ckici na s%i4 šest strana nalazi (r$j . 3a slučajan način se (ira jedna k$ckica

i (aca se tri puta.

a< 3ai %jer$%atn$u d$ga)aja da je u s%a tri (acanja pa$ (r$j .

(< 7k$ je u s%a tri (acanja pa$ (r$j , izračunati %jer$%atn$u d$ga)aja da je iza(rana zelena

k$ckica.

&. Rasp$djela slučajne pr$mjenlji%e X data je gustin$m



( )

11

, 1,

0, 1

x

e x f x

x

θ

θ

−>=

≤

0.θ >

Met$d$m maksimalne %jer$d$st$jn$sti na $sn$%u uz$rka $(ima n nai $cjenu parametra θ .

!. 7parat za mjerenje kr%n$g pritiska u mmg je testiran na slučajn$ $da(ranim zdra%imregrutima na regrutaciji. Izmjerene %rijedn$sti su: 11B, 100, 11*, 122, 11&, 11, 12*, 11&,

1&1, 11*, 11B, 11, 1&, 12B, 11!, 12&, 12, 1&, 11*, 11, 12!, 12, 120, 121, 12B, 12!,

102. /$znat$ je da standardna %rijedn$st %isine kr%n$g pritiska k$d zdra%i4 $s$(a izn$si

0 11m = mmg. Ja p$datke iz g$rnje ta(lice testirati da li je srednja %rijedn$st kr%n$g

pritiska zdra%i4 regruta jednaka standardn$j sa prag$m značajn$sti .

. Data je diferencijalna jednačina2 2 y x y′ = − sa p$četnim usl$%$m ( )0 1. y = 3ai

pri(liAn$ rješenje $%e jednačine met$d$m Runge +uta na inter%alu [ ]0,1 ,

uzimajui k$rak 0,.h =



/ismeni di$ ispita iz Matematike III, 1. 0*. 2011.

GR6/7 7

1. Raz%iti u Maclaurin$% ;stepeni< red funkciju ( ) ( )arcsin 2 f x x= i $drediti inter%al u


2. Riješiti diferencijalnu jednačinu:22 2 . x y y y y e x′′′ ′′ ′+ − − = +

&. 3ai #aplas$%u transf$rmaciju funkcije ( ) ( )&sin 2 , 0. f t t t = ≥


( )

2 & && , ,

2 2.

& &0, ,

2 2

c x x

f x

x

× − ∈ −

= ∉ −

Izračunati nep$znatu k$nstantu c i ; 0<. P X >

GR6/7 8

1. Raz%iti u Maclaurin$% ;stepeni< red funkciju ( ) ( )arcc$s & f x x= i $drediti inter%al u


2. Riješiti diferencijalnu jednačinu: & c$s 2 . x y y y y e x′′′ ′′ ′− + + =

&. 3ai #aplas$%u transf$rmaciju funkcije ( ) &c$s , 0. f t t t = ≥!. unkcija gustine %jer$%atn$e slučajne pr$mjenlji%e X data je sa:

( )

2 , ,

2.

0, , 2

c x x

f x

x

× − ∈

=

∉



Izračunati nep$znatu k$nstantu c i10

.2

P X

> ÷ ÷

/ismeni di$ ispita iz 'tatistike Matematike III, 1. 0*. 2011.


( )

2 , ,

2.

0, ,

2

c x x

f x

x

× − ∈

= ∉


.2

P X

> ÷ ÷

2. "k$ jednak$krak$g tr$ugla čija je $sn$%ica 2!a = i krak 20b = $pisan je krug. 7k$ je iza(rana pr$iz%$ljna tačka unutar t$g kruga, izračunati %jer$%atn$u da se iza(rana

tačka nalazi i unutar tr$ugla.

&. Iz partije $d 00 pr$iz%$da, u k$j$j se nalazi &00 pr$iz%$da pr%e klase, slučajn$ se

(ira 10 pr$iz%$da sa %raanjem. Izračunati %jer$%atn$u da je $d t$ga (r$j pr$iz%$da

pr%e klase izme)u B i 10B.

!. /rema p$dacima u ta(eli nai nai aritmetičku, ge$metrijsku i 4arm$nijsku sredinu,

disperziju, razmak %arijacije, k$eficijent %arijacije, k$eficijent asimetrije i ekscesa, te

k$nstrisati 4ist$gram i p$lig$n rasp$djele:

+lase rek%encije

10 @ 20

20 @ &0 &0 @ !0 11

!0 @ 0 1

0 @ 0 1B

0 @ 0 1

0 @ B0 *

B0 @ *0 !

*0 @ 100 2

. Met$d$m tangente riješiti jednačinu & & 0 x x+ − = sa tačn$šu 10 @ & .






/ismeni di$ ispita iz Matematike III, $kt$(ar 2011.

1. Ja k$je α ∈¡ k$n%ergira red1

.n

n n n n

n

α

∞

=

+ + − ÷ ÷

∑

2. Riješiti sistem diferencijalni4 jednačina:

2 2

2

2 & .

x x y z

y x z

z x z

×

×

×

= − + +

= − +

= − +&. +utija sadrAi 12 kuglica: ! (ijele i B crni4. 3a slučajan način iz%lači se kuglica (ez

%raanja u kutiju. 7k$ je slučajna pr$mjenlji%a X zadana ka$ (r$j crni4 kuglica

izme)u iz%učeni4, nai zak$n %jer$%atn$e te slučajne pr$mjenlji%e i izračunati

njenu %arijansu.


regrutima na regrutaciji. Izmjerene %rijedn$sti su: 11B, 100, 11*, 122, 11&, 11, 12*,11&, 1&1, 11*, 11B, 11, 1&, 12B, 11!, 12&, 12, 1&, 11*, 11, 12!, 12, 120, 121,

12B, 12!, 102. /$znat$ je da standardna %rijedn$st %isine kr%n$g pritiska k$d zdra%i4

$s$(a izn$si 0 11m = mmg. Ja p$datke iz g$rnje ta(lice testirati da li je srednja

%rijedn$st kr%n$g pritiska zdra%i4 regruta jednaka standardn$j sa prag$m značajn$sti

.

/ismeni di$ ispita iz 'tatistike Matematike III, $kt$(ar 2011.


( )

2 , , 2

.

0, , 2

c x x

f x

x

× − ∈ =

∉


.2

P X

> ÷ ÷

2. "k$ jednak$krak$g tr$ugla čija je $sn$%ica 2!a = i krak 20b = $pisan je krug. 7k$

je iza(rana pr$iz%$ljna tačka unutar t$g kruga, izračunati %jer$%atn$u da se iza(rana

tačka nalazi i unutar tr$ugla.&. +utija sadrAi 12 kuglica: ! (ijele i B crni4. 3a slučajan način iz%lači se kuglica (ez

%raanja u kutiju. 7k$ je slučajna pr$mjenlji%a X zadana ka$ (r$j crni4 kuglica

izme)u iz%učeni4, nai zak$n %jer$%atn$e te slučajne pr$mjenlji%e i izračunati

njenu %arijansu.


regrutima na regrutaciji. Izmjerene %rijedn$sti su: 11B, 100, 11*, 122, 11&, 11, 12*,

11&, 1&1, 11*, 11B, 11, 1&, 12B, 11!, 12&, 12, 1&, 11*, 11, 12!, 12, 120, 121,

12B, 12!, 102. /$znat$ je da standardna %rijedn$st %isine kr%n$g pritiska k$d zdra%i4

$s$(a izn$si 0 11m = mmg. Ja p$datke iz g$rnje ta(lice testirati da li je srednja

%rijedn$st kr%n$g pritiska zdra%i4 regruta jednaka standardn$j sa prag$m značajn$sti

.



. Riješiti sistem linearni4 jednačina GauH @ 'eidel$%$m met$d$m sa tačn$šu d$ 10E&

1 2 &

1 2 &

1 2 &

20,1! 2,2& ,1B &B,22

1,1 20,0* *,11 2&,&1

2,2* ,0! 20,1 ,!.

x x x

x x x

x x x

+ + =

+ + = −− − = −

Matematika 3: 1., 2., 4. i 5. zadatak Statistika: prva 4 zadatka

Documents

Statistika_Matematika III 2011