Polinomios. Sucesiones numéricas - edu.xunta.gal · Polinomios. Sucesiones numéricas 51 3 40 · 3 120 → Para una nave que mide 40 m de ancho, el largo idóneo es de 120 m. Si

Polinomios. Sucesiones numéricas

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3

40 · 3 120 → Para una nave que mide 40 m de ancho, el largo idóneo es de 120 m.

Si la nave midiera x metros de ancho, la longitud idónea del largo sería 3x.

a) x 5, con x edad de Toñi. c) , con x tiempo que tardé ayer.

b) 3x, con x temperatura en enero. d) 2x 10, con x coches del año pasado.

a) 14 5 9 c)

b) 3 · 9 27 d) 2 · 40 10 90


52

3

a) Operando en los dos miembros obtenemos 8x 1 8x 1 → Es identidad algebraica.

b) Operando en los dos miembros obtenemos 14 14 → Es identidad numérica.

c) → → Es identidad numérica.

d) → No es identidad.

a) Es una ecuación. Solo se cumple para x 2.

b) 2x 2 2 3 x 2 x 1 → 2x 2x → Es una identidad algebraica.

c) Es una ecuación. Solo se cumple para x 4.

d) Es una ecuación. Solo se cumple para x 1.

a) Coeficientes: y Coeficiente: 1

b) Coeficientes: y Coeficiente:

c) x 5x 2x 4x Coeficientes: 1, 5 y 2 Coeficiente: 4

d) 4x 3x Coeficientes: 4, 3, Coeficiente:

a) 10x3 c) e) 3

b) 2x4 d) 8x2 f) x2


53

3

a) x3 x2 7x 3 Grado 3 Término independiente 3

b) x3 x2 14 Grado 3 Término independiente 14

c) 4x3 x 4 Grado 3 Término independiente 4

a) 3 b) 21 c) 9 d) 126

a) 5x3 x2 3x 2 b) 5x4 3x3 5x2 6 c) 2x7 x6 2x4 x3

a) 2x2 2x b) 3x4 2x3 2x 1 c) 7x3 7x2 1

a) x2 4x 4 b) x2 4x 4 c) 9x2 12x 4 d) 4x2 4x 1

a) x2 25 b) 9x2 1 c) x2 9 d) 4 25x2


54

3

a) a1 6, a3 8, a6 11 c) a1 1, a3 1, a6 1

b) a1 0, a3 4, a6 10 d) a1 2, a3 8, a6 64

a) a1 5, a2 8, a3 11, a4 14, a5 17, a6 20

b) a1 , a2 , a3 1, a4 , a5 , a6

a) a6 10; an an 1 1

b) a7 64; an 2 · an 1

c) a6 20; an an 1 10

d) a8 43. El término general viene dado por an an 1 2an 2, con a0 0 y a1 1.

a1 50 an 10 an 1

a2 50 10 · 1 60; a3 50 10 · 2 70; …; a12 50 10 · 11 160

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 1 260

El coste total será de 1 260 €.

a) Es una progresión aritmética con d 1 y an 4 (n 1) · 1 n 3.

b) Es una progresión aritmética con d 2 y an 2 (n 1) · 2 2n.

c) Es una progresión aritmética con d 1 y an 1 (n 1) · (1) 2 n.

d) No es una progresión aritmética.


55

3

Los peldaños de la escalera están en progresión aritmética, con a1 15 y d 25.

El término general es an 15 (n 1) · 25 25n 15.

La escalera sube hasta la altura determinada por a20, es decir:

a20 25 · 20 15 485 cm

a) Es una progresión geométrica con r 5 y an 1 · 5n 1 5n 1.

b) Es una progresión geométrica con r 2 y an 1 · 2n 1 2n 1.

c) No es una progresión geométrica.

d) Es una progresión geométrica con r 1 y an 4 · 1n 1 4.

La altura que tiene el árbol cada año está en progresión geométrica:

a1 0,75; r 1,2; an 0,75 · 1,2n 1

La altura que alcanzará el árbol dentro de 10 años está determinada por a10:

a10 0,75 · (1,2)9 3,87 m

a) 2x

b)

c) 3x

d)

e) x2


56

3

a) x 24

2x 48 12 3x 72 8 x2 576

b) x 18

2x 36 9 3x 54 6 x2 324

c) x 54

2x 108 27 3x 162 18 x2 2 916

a) x 45

b) 3x

c) 2,5x

d) 2x 4y, con x número de motos e y número de coches.

e)

a) x 45 125 45 80 → La casa de Jesús tiene 80 m2.

b) 3x 3 · 0,65 1,95 → El cuaderno cuesta 1,95 €.

c) 2,5x 2,5 · 125 312,5 → La cantidad de harina es 312,5 g.

d) 2x 4y 2 · 5 4 · 18 82 → En total hay 82 ruedas.

e) 80,49 → Koji Murofushi lanzó el martillo a 80,49 m.


57

3

a) 3 · 2 2 · (3) 5 17 c) (2 2) · (3 8) 0

b) 2 4 · (3) 2 16 d) 3 2 · 2 5 · (3 3) 31

4 · (1) y 8 3 y 12 3 → y 9

a) Ecuación c) Identidad e) Ecuación

b) Identidad d) Ecuación f) Identidad

a) 4 · 2 8 16 → Sí se cumple.

b) 4 2 2 6 → No se cumple.

c) 5 · (6 2) 5 · 4 20; 10 · 2 20 → Sí se cumple.

d) 7 8; 3 · 2 2 8 → Sí se cumple.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) Identidad: 2 · (x 4) 4x (8 6x) → 2x 8 2x 8

b) Ecuación: 2 · (x 4) 4x (4). En este caso, la solución es x 2


58

3

a) 14 5 9 → No es solución.

b) 2 · 5 3 8 5 → Sí es solución.

c) 3 · 5 7 22 → No es solución.

d) 50 2 · 5 40 → Sí es solución.

e) 6 · 5 4 1 5 · 5 26 → Sí es solución.

f) 5 3 2 → No es solución.

a) Sí.

b) No, porque tiene exponente negativo.

c) No, porque no tiene exponente entero.

d) No, porque no tiene parte literal.

e) No, porque es suma de dos monomios.

f) Sí.

Respuesta abierta, por ejemplo:

a) x4

b) 3x2 7x6

c) x2 x3

x

9

1

7x4

4y3

2

9


59

3

a) 3x b) 5x c) 8x d) 4x e) 1,40x

3x2 x2 x2 6x3 x3 x3

a) 5x → El coeficiente es 5. b) 4x → El coeficiente es 4.

a) 9x → El coeficiente es 9.

b) 18x → El coeficiente es 18.

c) 3x 8 → No es un monomio.

a) 24x 10y b) 7x c) x y

a) Sí b) No c) Sí d) No


60

3

a) 7x5 4x6 3x2 x 5

b) 3x5 2x4

c) 8x7 7x5 3x3 x

a) 2 · 05 3 · 04 02 0 2 2

b) 16 2 · 15 14 7 · 1 2 5

c) 27 25 23 2 1 103

a) 6

b) 4

c) El valor numérico de cualquier polinomio para x 0 es su término independiente.

24 3 · 23 2k 1 3 → k 6

a) x3 x2

b) x5 6x2 2x 1

c) x2 x

d) 4x7 4x6 x5 x4 x3 x2 2x 2


61

3

El polinomio resultante puede ser, como mucho, de tercer grado.

a) 2x3 6x2 4x

b) 12x7 8x6 12x5

c) 3x6 12x5 21x3

d) 16x8 4x6 4x4 4x3

a) 3x5 7x4 7x2 6x 7

b) 3x5 7x4 8x2 6x 3

c) 21x6 18x4 18x3 15x2

d) 9x7 21x6 24x4 18x3 9x2

e) 21x6 9x4 18x3 15x2


62

3

a) x2 6x 9 e) 9x2 6x 1

b) x2 2x 1 f) 4x2 81

c) 1 2x x2 g) 25x2 64

d) 1 x2 h) 4x2 12x3 9x4

a) 2x4 8x2 2x b) 3x c) 100x

a) (x 6)2 c) 6x · (x7 1)

b) (2x 5)2 d) (x2 3)2

a) 10, 11, 12 → Cada término es el anterior más 1.

b) 20, 30, 40 → Cada término es el anterior menos 10.

c) 42, 49, 56 → Cada término es el anterior más 7.

d) 625, 3 125, 15 625 → Cada término es el anterior multiplicado por 5.

a) a6 63 216 b) El término general es an n3.

a) an n2 1 c) an (n 1)2

b) an n2 2 d) an (n 3)2


63

3

a) an 2n 3

b) an 2(n 2)

c) an 2n

d) an 3 · 2n → an 6n

a) 2, 4, 6, 8, 10

b) 27, 81, 243, 729, 2 187

c) 4, , , ,

d) 2, 1, 4, 7, 10

e) 2, 8, 16, 26, 38

f) 2, , , ,

El término general viene determinado por .

a) b) c) d)

a) b)


64

3

a) a1 1, a2 3, a3 2, a4 5, a5 7

b) b1 2, b2 4, b3 2, b4 , b5

c) c1 1, c2 0, c3 1, c4 0, c5 1

d) d1 2, d2 4, d3 7, d4 11, d5 16

a) a1 3, a2 4, an an 1 an 2 si n 3

b) b1 1, b2 2, b3 3, bn bn 1 bn 2 bn 3 si n 4

a) d 3 an 13 3n c) d 5 an 12 5n

b) d an n d) d 8 an 24 8n

a12 a1 (12 1) · d → 25 a1 11d

a5 a1 (5 1) · d → 11 a1 4d

Resolviendo el sistema se obtiene que d 2 y a1 3. El término general es: an 2n 1

a) a4 a3 d → d ; a3 a1 (3 1) · → a1

b) an


65

3

a) d 3, a1 5 → an 8 3n b) d , a1 → an

a10 a1 (10 1) · 5 32 → a1 13 a25 13 (25 1) · 5 107

a8 a1 (8 1) · d → 12 a1 7d

a12 a1 (12 1) · d → 32 a1 11d

Resolviendo el sistema se obtiene que a1 23 y d 5

El término general es an 5n 28

a) r 2, a1 3, an 3 · 2n 1

b) r 3, a1 3, an 3 · 3n 1 3n

c) No es progresión geométrica. Su término general es an (2)n 1

d) r , a1 , an

r ; ;

a3 a1 · r2 → r

Si r → a4 6 · 30 y an 6 ·

Si r → a4 6 · 30 y an 6 ·

an a1 · rn 1 7 · 3n 1 3 720 087 7 · 312

n 1 12 → n 13 → Nos referimos al término a13.


66

3

3 cm

3 cm

La base es 2 · 3x 6x.

A 3x · (x 2) 3x2 6x

Para x 1 → A 3 · 12 6 · 1 9 cm2

a) A x2 P 4x

b)

a) A 1 · 1 1 u2 b)

Las visitas del cometa Halley están en progresión aritmética.

Para saber el año del descubrimiento, considerando que es la primera visita, calculamos el primer término.

d 76, a4 1 986

a4 a1 (4 1) · d → 1 986 a1 3 · 76 → 1 758

El cometa Halley fue descubierto en el año 1758.

1 u

1 u

4 u

1,75 u


67

3

Los valores que toma el peso del bebé cada mes están en progresión geométrica.

Para averiguar el peso que tenía el bebé al final del cuarto mes, hay que calcular a5.

a1 2 900, r 1,2; a5 2 900 · 1,24 6 013,44 g

El número de ejercicios que realiza Marta cada día está en progresión aritmética.

La diferencia es d 2, y a1 3. Por tanto:

a1 3, a2 5, a3 7, a4 9, a5 11, a6 13, a7 15, a8 17, a9 19, a10 21

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 120 ejercicios.

Los valores que toma la presión atmosférica están en progresión geométrica.

Consideramos que el primer término de la sucesión es a1 presión atmosférica al nivel del mar P.

El término a2 corresponde a la presión atmosférica al subir 1 km, etcétera.

Calculamos a7:

a1 P, r 1 0,1 0,9 → an P · (0,9)n 1

El porcentaje de la presión atmosférica a 6 km de altura viene determinado por a7:

a7 P · (0,9)7 1 → (0,9)6 0,5314 53,14 %

Los valores que toma la cantidad de sustancia que queda tras la desintegración están en progresión geométrica.

Tras 25 minutos se habrá reducido a la mitad veces. Es decir, buscamos a11:

a1 1 600, r , an 1 600 · → a11 1 600 · 1,5625 g


68

3

Los valores que toma el tiempo de mejora están en progresión geométrica.

Sea an el tiempo que ha mejorado Nieves tras la semana n.

r ; a1 40, a2 20, a3 10, a4 5, a5 2,5

Al finalizar las 5 semanas de entrenamiento, Nieves aguantará sin respirar debajo del agua:

80 40 20 10 5 2,5 157,5 s.


69

3


70

3

a) Hablar 1 minuto cuesta: 18,15 6 24,15 céntimos.

Hablar 2 minutos cuesta: 18,15 2 · 6 30,15 céntimos.

Hablar 3 minutos cuesta: 18,15 3 · 6 36,15 céntimos.

b) El coste de una llamada por minutos es una progresión aritmética.

an 18,15 6n

c) a37 18,15 6 · 37 240,15 → El coste de una llamada de 37 minutos será de 2,40 €.

d) Se han realizado 24 llamadas nacionales, con una duración total de 1 hora, 39 minutos y 28 segundos.

Se han enviado 30 mensajes de texto.

Se han consumido 408 MB.

24 · 18,15 6 · 30 · 12 895 2 287,4

Con la nueva tarifa, estos servicios habrían costado 22,87 €.

Con la tarifa vigente se pagaron 27,77 €, es decir, la factura habría sido más barata con la nueva tarifa.

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