-
7/23/2019 TEK_P7
1/25
FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
Furijeovi redovi su nam omogucili da analizu slozenoperiodicnih
stanja svedemo na analizu
prostoperiodicnih stanja.
10.1 Direktna Furijeova transformacija
Ako imamo vremensku funkciju f(t)tada njenu Furijevu
transformaciju oznacavamo i definiemo:
F{f(t)}= F(j) =
+
f(t) e j t dt (10.485)
Dakle, vremenskoj funkcijif(t) dodjeljujemo kompleksnu funkciju
F(j). To jeD
F T (DFT) ili kratko Furijeva transformacija. Integral u
relaciji(10.485) se moze dobiti transformacijom nad kompleksnim
Furijeovim redom.
10.1.1 Osnovni uslovi za egzistenciju direktne Furijeve
transforma-
cije
Da bi postojala Furijeova trenasformacija neke funkcije f(t)
moraju biti zadovoljeni sledeci
uslovi:
1. Vremenska funkcija f(t) ne smije da ima drugih prekida sem
prekida prve vrste (konacni
prekidi).
2. Broj ovakvih prekida mora biti konacan.
3. Uslov apsolutne integrabilnosti odnosno
+
f(t) dt
mora da ima konacnu vrijednost to znaci da je f() = 0.
349
-
7/23/2019 TEK_P7
2/25
350
Uslovi (1,2,3) smatraju se strogim uslovima pa veliki broj
funkcija u klasicnom smislu nema
DFT. Npr. prostoperiodicne velicine (sin t icos t) pa i
Hevisajdova funkcija nemaju DFT.
10.2 Inverzna Furijeova transformacija
Za funkcijuf(t),I F T (IFT)se definie kao
f(t) = 1
2
+
F(j) e j t d (10.486)
Relacija (10.486) se naziva i Furijeov integral. Inverza
Furijeova transformacija predstavlja
uoptenje Furijeovog reda u kompleksnom obliku za bilo koju
vremensku funkciju f(t) kojazadovoljava svojstva 1,2,3. Ovo se
kratko obeljezava:
F 1 {F(j)}= f(t)
Primjer: Odrediti Furijeovu transformaciju funkcije f(t) =e t
h(t) (h(t)- Hevisajdova
funkcija)
1
t
( ) = ( )
t
f t e h t
Da bi ova funkcija f(t) imala Furijevu transformaciju treba da
je >0 i tada imamo:
F(j) = F {f(t)}=
+
f(t) e j t dt=
+
e t h(t)e j t dt=
0
e t e j t dt=
0
e ( + j ) t dt
= e ( + j ) t 1
(+j)
+ 0
0
1
(+j)
=
1
+j
Dakle, DFT odf(t) je:
F
e t h(t)
= 1
+j
uz uslov da je > 0. Relacije (10.485) i (10.486) kojima se
izrazavaju DFT i IFT nazivaju
se prvim oblicima Furijeve transformacije.
-
7/23/2019 TEK_P7
3/25
351
10.3 Drugi oblik za DFT i IFT
Polazeci od prvog oblika za DFT oblika (10.485) i Ojlerovog
obrasca e j = cos + j sin
mozemo pisati
F(j) =
+
f(t) e j t dt=
+
f(t) (cos t jsin t) dt=
+
f(t)cos tdt j
+
f(t)sin tdt
Kosinusna transformacija je data izrazom
F1
() =
+
f(t)cos tdt
dok je sinusna transformacija.
F2
() =
+
f(t)sin tdt
pa na kraju dobijamo da je Furijeova transformacije funkcije
f(t) jednaka
F(j) =F1
() jF2
() (10.487)
Relacija (10.487) predstavlja drugi oblik DFT. Polazeci od
osnovnog oblika za inverzni Furi-
jeovu transformaciju
f(t) = 1
2
+
F(j) e j t d = 1
2
+
[F1
()jF2
()] [cos t jsin t] d
f(t) = 1
2
+
[F1 ()cos t + F2 ()sin t] d+j 1
2
+
[F1 ()sin t F2 ()cos t] d
(10.488)
Gledajuci fizicki, funkcija f(t) je realna i bilo kakva njena
transformacija mora biti realna.
Zato je dio uz "j" u relaciji (10.488) jednak nuli pa je:
f(t) = 1
2
+
[F1
()cos t+ F2
()sin t] d (10.489)
Relacija (10.489) predstavlja drugi oblik inverzne Furijeove
transformacije. Napomena:
Funkcija F1
() je parna funkcija zato to sadrzicos t. Funkcija F2
()je neparna funkcija
-
7/23/2019 TEK_P7
4/25
352
zato to sadrzisin t. Proizvod (neparna parna) = neparna = F1
()sin t = neparna.
F2
()cos t = neparna, pa je integral
+
[F1
()sin t F2
()cos t] d = 0 (10.490)
Cinjenica da je integral u relaciji (10.490) jednak nuli
izrazava zavisnost F1
() i F2
()
tj. F1
() i F2
() se ne mogu nezavisno zadavati jer moraju zadovoljiti dati
integral. To
je posledicaK-Ruslova diferencijabillnosti kompleksne funkcije
koja zavisi i od
realnog i imaginarnog dijela.
10.4 Treci oblik za DFT i IFT
Treci oblik za DFT dobijamo polazeci od relacije F(j) =F1
() jF2
() pa imamo
F() = mod {F(j)}=
F21
() + F22
() (10.491)
() = arg {F(j)}= arctanF
2
()
F1
() (10.492)
Funkcija izrazena relacijom (10.491) je parna funkcija po a
funkcija izrazena relacijom(10.492) je neparna funkcija po . Na
kraju imamo
F(j) =F() e j ( ) (10.493)
to predstavlja treci oblik za DFT. Funkcije F() i () nazivaju se
zajednickim imenom
spektar ucestanosti vremenske funkcije f(t) i to: F() -
amplitudski spektar i () -
fazni spektar. Iz ovog se razloga i primjena Furijeovih
transformacija u elektrotehnici naziva
spektralna analiza. Treci oblik za IFT dobijamo polazeci od
drugog oblika za IFT odnosno
relacije (10.489) imamo
F1
() = F()cos ()
F2
() = F()sin ()
Sada je:
f(t) = 1
+ 0
[F()cos ()cos t F()sin ()sin t] dt
-
7/23/2019 TEK_P7
5/25
353
f(t) = 1
+ 0
F()cos[ () + t] d (10.494)
Relacija (10.494) predstavlja treci oblik IFT.
10.5 Osobine Furijeove transformacije
Ako imamo vremensku funkcijuf(t)koja zadovoljava uslove
egzistencije Furijeve transforma-
cije, tada je njena Furijeva transformacija F(j) (Furijeva
transformacija = DFT u tekstu)
f(t)F
F(j)
1. Ako imamo zbir C1
f1
(t) + C2
f2
(t) tada je Furijeva transformacija jednaka
C1
F1
(j) + C2
F2
(j)
Ova osobina naziva se osobina linearnosti.
2. Ako imamo funkcijuf( ta
) gdje je a=const tada je Furijeva transformacija
|a|F(ja)
Ova osobina se nazivateorema skaliranja(ili promjena mjerila).
Ova teorema ukazuje
na sledece: to funkcija f(t) krace traje u vremenu treba iri
kompleksni spektar i
obratno.
3. Ako imamo pomjerenu vremensku funkcijuf(t ) tada je Furijeva
transformacija
e j
F(j)
Ovo je teorema kanjenja.
4. Ako imamo proizvod e j 0 f(t) tada je Furijeova
transformacija
e j 0 f(t)F
F(j j0
)
Ova teorema se naziova teorema pomjeraja u vremensakom domenu.
Pomjeranje
u vremenu za znaci mnozenje sa e j u kompleksnom domenu dok
pomjeranje u
kompleksnom domenu zaj 0
znaci mnozenje sae j 0 u vremenskom domenu.
-
7/23/2019 TEK_P7
6/25
354
5. Teorema simetricnosti (vazna osobina): Ako imamo F(jt) tada
je Furijeva trans-
formacija 2f(). Ako zamijenimo mjesta promjenjivim ( i t)
dobijamo teoremu
simetricnosti.
6. Ako imaamo funkcijuf(t) tada je
f(t)F
F(j)
7. Teorema o diferenciranju u vremenskom domenu
d n
dtn [f(t)]
F
(j) n F(j) za n= 1, 2, 3.....
8. Teorema o diferenciranju u kompleksnom odmenu
t n f(t)F
(1) n dn
d (j) n F(j)
9. Konvolucija dvije funkcije u vremenskom domenu:
f1
(t) f2
(t)F
F1
(j) F2
(j)
10. Konvolucija u kompleksnom domenu
f1
(t) f2
(t)F
1
2F
1
(j) F2
(j)
11. Osobina modulacije
f(t)cos 0
tF
1
2[F(j +j
0
) + F(j j0
)]
f(t)sin 0
tF
1
2j[F(j j
0
) F(j +j0
)]
12. Paservalova teorema u Furijevoj transformaciji
+
f1
(t) f2
(t) dt= 1
2
+
F1
(j) F2
() d
f2
(t) - konjugovano kompleksna funkcija iako mi radimo samosa
realnim funkcijama radi
optosti koristimo mogucnost kompleksne funkcije. Specijalno, ako
je f1
(t) = f2
(t) = f(t)
-
7/23/2019 TEK_P7
7/25
355
dobijamo teoremu Releja ili teoremu energije:
+
f2 (t) dt= 1
2
+
|F(j)| 2 d
gdje je
|F(j)|= F() = mod {F(j)}
Ispostavlja se da neke vazne funkcije u elektrotehnici nemaju
Furijevu transformaciju u klasicnom
smislu (npr. sin,cos, Hevisajdova funkcija itd.). Zato moramo
napraviti neka uoptenja: Ako
posmatramo vremenskom funkciju f(t) = f1
(t) +jf2
(t) i njoj pridruzimo Furijevu trans-
formaciju F(j) =R () +jX() i polazeci od definicije DFT i IFT
mozemo napisati:
R () =
+
[f1
(t)cos t + f2
(t)sin t] dt
X() =
+
[f2
(t)cos t f1
(t)sin t] dt
i obrnuto
f1
(t) = 1
2
+
[R ()cos t X()sin t] d
f2
(t) = 1
2
+
[R ()sin t + X()cos t] d
Za realni signal (nema imaginarnog dijela)f2
(t) = 0 i f(t) =f1
(t) pa dobijamo
R () =
+
f(t)cos tdt
koja je parna funkcija
X() =
+
f(t)sin tdt
koja je neparna funkcija. Dalje, R() = R() i X() =X() pa kao
posledicu imamo
da je za realne signale
F (j) =F(j)
-
7/23/2019 TEK_P7
8/25
356
Ako je f(t) - parna funkcija odnosno f(t) = f(t) tada je X() = 0
(ako je f(t) parana
funkcija tada je F(j) realna funkcija) pa vazi
F(j) =R () =
+
f(t)cos t p a r n a p a r n a
dt= 2
+
0
f(t)cos tdt
Ako jef(t)- neparna funkcija odnosnof(t) =f(t)tada jeR () = 0(za
neparnu funkciju
f(t) funkcijaF(j) jecisto imaginarna i eventualno kompleksna)
i
F(j) =jX() =j
+
f(t)sin tdt= 2j
+ 0
f(t)sin tdt
Primjer: Posmatrajmo funkciju f(t) =1
t . Ovo je neparna funkcija odakle slijedi da jeR () = 0pa je
Furijeova transformacija
F(j) =j
+
1
tsin tdt
Da bi rijeili ovaj integral, prelazimo na kompleksnu funkciju i
preko teoreme o rezidiumima
imamo da je:+
ej t x
x dx= j za t >0
+
e j t x
x dx= j za t
-
7/23/2019 TEK_P7
9/25
357
jer je cos tx parna funkcija, 1x
neparna funkcija a njihov proizvod je neparna funkcija pa je
integral
+
c o s t x
x
dx= 0. Sada je:
F(j) =j
+
sin t
t dt=
j >0
j 0 (10.495)
-
7/23/2019 TEK_P7
10/25
358
pa je:
f(t) = 2
+
R ()cos td = 2
+ 0
X()cos td
Ova relacija je posledica diferencijabilnosti kompleksne
funkcije kod koje se kao posledicaKoi-Rimanovih uslovaR() iX() ne
mogu posebno i nezavisno zadavati.
Primjer: Naimo Furijevu transformaciju funkcije: f(t) =e | t |
tj. F
e | t |
=?
Rjeenje: Imali smo da je za >0
F
e t h(t)
= 1
+j =
2 + 2 j
2 + 2
Kako je e | t | parni dio funkcije 2e t h(t) tj. e | t | =Ev{2e
t h(t)}tada koristeci osobinu
(10.495) imamo:
F
e | t |
= 2Re
() = 2
2 + 2
Koristeci teoremu simetrije imamo:
F(jt)2f(j)
pa iz
e | t | 2
2 + 2
dobijamo 2
2 + t 2 2e | |
10.6 Funkcija prozora (Window Function)
Ako imamo funkciju w(t) sa osobinom da je w(t) = 0 za |t| > T
onda se za funkcijuw(t)
definie Furijeva transformacija funkcije fw
(t)
Fw
(j) =
+
f(t) w (t) e j t dt
gdje je fw
(t) = f(t) w (t) . Pravougaona prozorska funkcija ne vri nikakvu
modifikaciju
ulaznog signala, osim odsijecanja u slucajevima kada je
posmatrana funkcija (signal) beskon-
acnog trajanja ili kada je njegova duzina veca od duzine
upotrijebljene prozorske funkcije.
Furijeova transformacija funkcijew(t) je jednaka
W(j) =
+
w (t) e j t dt
-
7/23/2019 TEK_P7
11/25
359
Koristeci osobinu konvolucije funkcija u kompleksnom domenu
imamo da je (proizvodu funkcija
f(t)w(t) u vremenskom domenu odgovara konvolucija funkcija u
kompleksnom domenu)
Fw
(j) = 1
2
+
F(j jy)W(jy)dy
Definisali smo inverznu Furijevu transformaciju (IFT) kao:
f(t) =F 1 {F(j)}= 1
2
+
F(j)e j t d (10.496)
Relacija (10.496) predstavlja funkciju f(t) ucitavom domenu (,
+). Ako se ogranicimo
na interval (, +) funkcijuf(t) aproksimiramo sa funkcijomf
(t) definisanom kao:
f
(t) = 1
2
+
F(j)e j t d
Jasno je da f
(t)
f(t). To znaci da sve transformacije (i DFT i IFT) treba
shvatiti kao
glavne vrijednosti Furijevih integrala.
f
(t) = 1
2
+
F(j)e j t d = 1
2
+
e j t
+
f() e j d
F ( j )
d = 1
2
+
f()
+
e j ( t ) d
d
f
(t) =
+
f()sin (t )
(t ) d (10.497)
Relacija (10.497) predstavlja Furijev integral sa jezgrom.
sin (t )
(t )
-
7/23/2019 TEK_P7
12/25
360
s i n a t
t
a
a
a
t
sin at
t
a
(t)
Da bi dokazali da je s i n a t t
aproksimacija(t) funkcije (impulsne Dirakove funkcije),
imamo:
( )
a
p t
1
a a
t
pa
(t) =
1
0
|t|< a
|t|> a
Furijeva transformacija funkcije pa
(t) je:
F{pa
(t)}=
+
pa
(t) e j t dt=
a a
1e j t dt= e j t
j
a
a
= e j a
j + e
j a
j =2sin a
OznacavajuciSi(t) kao:
Si(t) =
t0
sin
d
koji se naziva integral sinus tada imamo
f
(t) =
+
1 sin (t ) (t )
d= 1{Si [ (t + a) S
i
(t a)]}
-
7/23/2019 TEK_P7
13/25
361
Za realne signale IFT zapisujemo kao:
f(t) = 1
2
+
F(j )e j t d
tj.
f(t) = 1
Re
+ 0
F(j)e j t d
Furijeova transformacija impulsne funkcije F{(t)}je jednaka po
definiciji
F{(t)}=
+
(t) e j t dt
Koristeci osobinu filtracije impulsne funkcije (t)
+
f(t) (t) dt= f(0)
a kako je f(t) =e j t odakle slijedi da jef(0) = 1 dobijamo
F{(t)}= 1 (10.498)
Ovdje se vidi teorema skaliranja, to funkcija f(t)krace traje u
vremenskom domenu treba
iri kompleksni spektar i obratno. Primjenjujuci IFT mozemo doci
do jednog definicionog
obrasca Dirakove (impulsne) funkcije
(t) = 1
2
+
F {(t)} e j t d = 1
2
+
e j t d
Koristeci svojstvo simetrije imamo da iz F{(t)} = 1 slijedi da
je inverzna Furijeova trans-
formacija izraza (10.498) jednaka
F 1 {1}= 2() = 2()
to znaci da je
(t)F
1
1F
1
2()
-
7/23/2019 TEK_P7
14/25
362
Ako postoji konstantaA tada bi njoj odgovarala IFT oblika
AF
1
2A()
Ovdje mozemo postaviti pitanje: Cemu je je jednaka Furijeova
transformacija Hevisajdovefunkcije (koja u klasicnom smislu nema
Furijevu transformaciju ali je pokuajmo dobiti preko
funkcije)? Hevisajdovu funkciju mozemo zapisati u obliku
h (t) =1
2+
1
2sgnt
Furijeva transformacija od konstante je jednaka 2A() . Treba
odrediti jo Furijevu trans-
formaciju F{sgnt}. Utvrdili smo da je
F 1
t
= jsgn
pa koristeci svojstvo simetrije[zamijenimo ittj. f(t)F(j),
F(jt)2f()]imamo:
sgnt 2
j
Sada je
F {h (t)}= F12+12 sgnt= F12 +12 F{sgnt}= 2()2 +12 2j =() +
1j
F{h (t)}= () + 1
j p o s o t j i r e a l n i i i m a g i n a r n i d i o
(10.499)
Dakle, Furijeova transformacija Hevisajdove funkcijeh(t)se ne
moze prikazati preko klasicnih
vec preko generalisanih funkcija ((t)). Ako postoji funkcijaf(t)
cija je Furijeova transfor-
macija F(j) treba odrediti Furijeovu transformaciju
integrala
F
t
f() d
=?
Integral
t
f() d mozemo shvatiti kao konvoluciju funkcija f(t) h (t),
odnosno
t
f() d=f(t) h(t)
-
7/23/2019 TEK_P7
15/25
363
Dokaz: Koristeci osobinu da je
F{f(t) h (t)}= F(j) F{h (t)}
imamo da je
F
t
f() d
=F(j)
() +
1
j
= F(j) () +
F(j)
j =F(0) () +
F(j)
j
F
t
f() d
=F(0) () +
F(j)
j (10.500)
Ovdje treba napomenuti da je Ft
f() d = F ( j )j
ako je F(0) = 0 gdje je
F(0) =
+
f(t) e j t dt
= 0
=
+
f(t) dt. Kao posljedice ovih osobina imamo niz koris-
nih relacija:
1. Koristeci teoremu pomaka imamo da je
(t a) e j a
2. Koristeci teoremu o pomjeraju u kompleksnom domenu
e j t 2( a)
Sada mozemo naci Furijevu transformaciju funkcijasinicos:
cos 0
t=1
2 ej
0
t + e j 0 t = F{cos 0 t}= ( 0 ) + (+ 0 )
sin 0
t= 1
2j
e j 0 t e j 0 t
= F {sin
0
t}=
j [(
0
) (+ 0
)]
Koristeci ove osobine naci Furijeove transformacije: F{(cos
0
t) h (t)}=? i F{(sin 0
t) h (t)}=
? (cos 0
t - je parna funkcija i ima samo realni dio spektra sin 0
t - neparna funkcija i ima
samo imaginarni dio spektra). Iskoristimo teoremu
modulacije:
F{f(t)cos 0
t}=1
2[F(j j
0
) + F(j +j0
)]
-
7/23/2019 TEK_P7
16/25
364
F{f(t)sin 0
t}= 1
2j[F(j j
0
) F(j+j0
)]
gdje je F(j) =F{f(t)}. U ovom slucaju je f(t) = h (t). Furijeva
transformacija
Hevisajdove funkcije je F{h (t)}= () + 1j
pa imamo
F{(cos 0
t) h (t)} = 1
2
(
0
) (+ 0
) + 1
j ( 0
)+
1
j(+ 0
)
=
=
2[(
0
) (+ 0
)] +1
2
+ 0
+ 0
j( 0
) (+ 0
)=
=
2[(
0
) (+ 0
)] +
j ( 20
2 )
F{(cos 0
t) h (t)}=
2[( 0
) (+ 0
)] r e a l n i d i o
+j
( 20
2 ) i m a g i n r n i d i o
Ova dva dijela su zavisna tj. ne mogu se zadavati zbog
Koi-Rimanovih uslova. Na isti nacin
dobijamo za sledecu funkciju
F{(sin 0
t) h (t)} = 1
2j
(
0
) (+ 0
) + 1
j( 0
)
1
j(+ 0
)
=
= j
2[(+
0
) ( 0
)] + 1
2j
+ 0
+ 0
j( 0
) (+ 0
)=
= j 2 [(+
0
) ( 0
)] 12
2 0( 2 2
0
)=
= j
2[(+
0
) ( 0
)] i m a g i n r n i d i o
+
0
( 20
2 ) r e a l n i d i o
F{(sin 0
t) h (t)}=
0
( 20
2 )+j
2[(+
0
) ( 0
)]
Dakle, uvoenjem impulsne - funkcije dobili smo Furijeve
fransformacije i onih funkcija
koje nemaju Furijevu fransformaciju u klasicnom obliku (npr.
sin, cos) a izuzetno su vazne uelektrotehnici.
10.7 Primjena Furijeove transformacije u analizi elek-
triocnih kola
Sa primjenom Furijeove transformacije u analizi elektricnih kola
ulazimo u analizu dinamike
elektricnih kola, jer smo do sada analizirali samo stacionarno
stanje i ustaljeni rezim kola a
nismo razmatrali dinamiku kola koja u sebi sadrzi prelazne
procese.
Posmatrajmo prostoRL- kolo i naponski generator proizvoljne
vremenske zavisnosti ug
(t)
-
7/23/2019 TEK_P7
17/25
365
( )
g
u t
( )
R
u t
( )
L
u t
R L
( )i t
Slika 10.287: Prosto RLkolo
kao na slici 10.287. i u trenutkut0
"ukljucujemo" generator u kolo zatvaranjem prekidaca
. Sve radnje gdje vrimo neke izmjene: ukljucivanje,
iskljucivanje kola, promjena neke
grane itd. nazivamo komutacijom(promjena strukture kola ili
ON/OFF). Izvori (naponski
ili strujni) nazivaju se eksitacijom. Pod uticajem eksitacije u
kolu ce nastupiti promjenastruja i napona i ta posledica komutacije
(ukljucivajnem eksitacije u kolo) naziva se odziv.
U posmatranom kolu ug
(t) je eksitacija a {i (t) , uR
(t) , uL
(t)} su odzivi. Pretpostavimo
da je kalem imao neku pocetnu energiju izrazenu strujom I0
koja je posledica akumulacije u
kalemu prije komutacije. Koristimo termin: I0
- pocetni uslov. Promjene u kolu se vre na
racun promjene energije eksitacije i na racun promjene
akumulisane energije u kolu.
10.8 Vrste odziva
10.8.1 Odziv usled akumulisane energije (pocetnih uslova)
Akumulisana energija moze postojati samo dinamickim elementima
(magnetna u kalemu i
elektrostaticka u kondezatoru). Pocetni uslovi su: iL
(0
)- struja u kalemu i uC
(0
)- napon
na kondenzatoru, jer se magnetna energija moze prikazati kao
12
Li2L
a energija kondezatora1
2
Cu 2C
. U ovom slucaju odziv neke grane se racuna tako to eliminiemo
sve eksitacije u kolu
tj. naponske generatore zamijenimo kratkom vezom a strujne
generatore zamijenimo prekidom
kola tj. e (t) = 0.
10.8.2 Odziv ukljucenja
To je odziv usled djelovanja eksitacija u kolu uz nulte pocetne
uslove tj. za kolo bez pocetne
akumulisane energije gdje je uC
(0
) = 0 i iL
(0
) = 0. U okviru ovog odziva bitni su:
(a) Odziv usled ukljucenja Hevisajdovog generatora (bilo
naponskog ili strujnog)
u g (t) = Uh (t)i
g
(t) = Ih (t)
-
7/23/2019 TEK_P7
18/25
366
(b) Odziv usled ukljucenja impulsnog generatora:
ug
(t) = (t)
ig
(t) = Q(t)
Pokazacemo da ako znamo odziv na Hevisajdov generator ili odziv
na impulsni generator
mozemo odrediti odziv za proizvoljnu vremensku eksitaciju
(proizvoljna zavisnost naponskog
ili strujnog generatora od vremena)
10.8.3 Kompletan (potpun) odziv
Ovaj odziv ukljucuje i pocetne uslove i komutaciju usled
eksitacije u kolu. Vratimo se na RL
- kolo prikazano na slici 10.287. Napon generatora je jednak
ug
(t) =uR
(t) + uL
(t) (10.501)
dok su naponi na otporniku i kalemu jednaki
uR
(t) = Ri (t) (10.502)
uL
(t) = Ldi (t)dt
(10.503)
Zamjenom (10.502) i (10.503) u (10.501) dobijamo
Ri (t) + Ldi (t)
dt =u
g
(t) (10.504)
Rlacija (10.504) je diferencijalna jednacina koja opisuje
dinamiku prikazanogRL kola. Odziv
usled pocetnih uslova (akumulisane energije) bi bio
Ri (t) + Ldi (t)
dt = 0 i (0
) =I0
Poto se komutacija vri u trenutku t= t0
obicno se uzimat0
= 0pa razlikujemo0, 0
, 0+
.
Ovdje jeug
(t) = 0 jer po definiciji odziva usled pocetnih uslova
eliminiemo sve eksitacuje u
kolu (naponski generator predstavlja kratak spoj a strujni
prekid). Odziv usled ukljucenja
Ri (t) + Ldi (t)
dt =u
g
(t) i (0
) = 0
Jednacinu
Ri (t) + Ldi (t)
dt =u
g
(t)
-
7/23/2019 TEK_P7
19/25
367
dobro je napisati u operatorskom obliku uvodeci operator
d
dt=D
i ()dt= D 1
pa je data jednacina oblika
Ri+ LDi= ug
(t)
ili
LDi+ Ri= ug
(t)
a uobicajeno je da se prvi stepen D ostavi samD+
R
L
i=
1
Lu
g
(t) (10.505)
Ako relaciju (10.505) pomnozimo saR imajucu i vidu da je uR
=Ri imamoD+
R
L
Ri=
R
Lu
g
(t)
odnosno
D+ RLu R = RL u g (t) (10.506)Ako relaciju (10.505)
diferenciramo pot i imajuci u vida da je odziv
uL
=Ldi
dt=LDi = Di =
uL
L
dobijamo D+
R
L
Di=
1
LDu
g
(t)
D+
R
L
u
L
L =
1
LDu
g
(t)
D+
R
L
u
L
=Dug
(t) (10.507)
Posmatrajuci relacije (10.505), (10.506) i (10.507) vidimo da
bez obzira koji odziv trazimo,
lijeva strana (D + RL
) ostaje ista i zakljucujemo da je to posljedica topologije kola
dok su desne
strane su razlicite. Rijeimo datoRLkolo preko Furijeove
transformacije.D+
R
L
i (t) =
1
Lu
g
(t) (10.508)
-
7/23/2019 TEK_P7
20/25
368
Poto za Furijeovu transformaciju posmatramo ukljucenje u
trenutku t= 0bilo koje vremenske
promjene eksitacijee(t) (slika ??) to je
t
( )e t
E(j) =F {e (t)}=
0
e () e j t dt
Ako kolo raspolaze pocetnom energijom to znaci da je u vremenu
< t < 0 kolo bilo
prikljuceno na generator (ili generatore) koji su proizveli tu
energiju. Funkcija kojom je
odreena vremenska zavisnost te eksitacije je nepoznata tj.
poznati su samo pocetni uslovi
(pocetna energija) kola. Poto se u F.T. vri integraljenje u
cijelom vremenskom domenu
< t < + a poznata je eksitacija e(t) koja se ukljucuje u
trenutku t = 0, slijedi
zakljucak: Furijeova transformacija se ne moze primijeniti u
analizi dinamike elektricnih
kola sa pocetnom energijom. Drugim rijecima, Furijeovu
transformaciju u analizi dinamike
elektricnih kola mozemo primijeniti samo za odreivanje odziva
ukljucenja (jer su tada pocetni
uslovi jednaki nuli) i moze se primijeniti na one eksitacije
koje ispunjavaju uslove egzistencije
Furijeove transformacije i samo u slucaju odziva ukljucenja.
Oznacimo:
I(j) =F {i (t)}
Ug
(j ) =F {ug
(t)}
Primijenimo Furijeovu transformaciju na relaciju (10.508)
F
D+
R
Li
= F
1
Lu
g
(t)
Na osnovu osobine linearnosti umjesto D = d/dt piemoj
j+R
L
I(j) =
1
LU
g
(j)
I(j) =1
L
Ug
(j )
j+ RL
= U
g
(j)
R +jL
Ovaj izraz nas podsjeca na kompleksnu struju za prostoperiodicnu
eksitaciju u ustaljenom
rezimu
Z(j) =R+jL
-
7/23/2019 TEK_P7
21/25
369
Dakle, impedansa Z(j) = R + jL je ista bilo za prostoperiodicnu
eksitaciju ili za
proizvoljnu vremensku eksitaciju. Ako posmatramo ustaljeni rezim
za prostoperiodicnu
eksitaciju tada je Ug
(j) - kompleksni predstavnik a ako posmatramo dinamiku kola
tada
je Ug
(j) Furijeova transformacija napona ug
(t) - proizvoljna zavisnost. Posmatrajmo kolo
prikazano na slici 10.288. i napiimo jednacinu po II Kirhofovom
zakonu
( )
g
u t
( )
R
u t
( )
L
u t
R L
( )i t
( )
C
u t
C
Slika 10.288: RednoRLC kolo
Ri (t) + Ldi (t)
dt +
1
C
+
i () d=ug
(t) (10.509)
Ako relaciju (10.509) diferenciramo i zapiemo u operatorskom
obliku iamcemo
Ldi 2 (t)
dt 2 + R
di (t)
dt +
i (t)
C =
dug
(t)
dt
D 2 +
R
LD+
1
LC
i (t) =
1
LDu
g
(t) (10.510)
Relacija (10.510) predstavlja operatorsku jednacina kada je
odziv struja i(t). Za vjezbu:
Posmatrajuci isto kolo naci odzive zauR
(t) , uL
(t) , iuC
(t). Primjenjujuci F.T. na (10.509)
imamo R+jL + 1jC I(j) =Ug (j)I(j) =
Ug
(j)
R +jL + 1j C
Z(j) =R +jL + 1
jC
Umjesto kompleksnog predstavnika napona uzimamo njegovu F.T.
Isto vazi za struju. Za-
kljucak: Sve metode koje su razvijene za analizu ustaljenih
rezima u kolima sa prostope-
riodicnom eksitacijom preko kompleksne metode mozemo primjeniti
za odreivanje odziva
ukljucenja preko F.T. samo to se umjesto kompleksnih
predstavnika struja i napona po-
-
7/23/2019 TEK_P7
22/25
370
javljuju njihove F.T. Dakle, mogu se primijeniti sve metode i
teoreme kao to smo uvoenjem
Furijevog reda sveli analizu kola sa slozenoperiodicnim strujama
na kompleksnu analizu uz
ogradu: F.T. mozemo primijeniti na one eksitacije cije vremenske
zavisnosti zadovoljavaju
uslove za primjenu F.T. u prelaznom rezimu. Kada odredimo
I(j) =1
L
Ug
(j)
j+ RL
pomocu inverzne F.T. dobijamo vremensku promjenu odziva
i (t) =F 1 {I(j)}= F 1
1
L
Ug
(j)
j+ RL
Oblik struje (odziva)i(t)zavisice od oblika eksitacijeug
(t). Ako je ug
(t) =U h (t) tj. uRL
- kolu ukljucujemo Hevisajdov generator, tada je F.T.
F{ug
(t)}= F {Uh (t)}= UF {h (t)}= U
() +
1
j
Zamjenom u polaznu relaciju dobijamo
I(j) =
U
L
() + 1
j
j+ R
L
= U()
R +jL+
U 1j
R +jL (10.511)
Poto je () = 0 samo za = 0 i () = 0 za = 0, tada zamjenom = 0 u
relaciju
(10.511) (zamjena = 0se vri u dijelu izraza u kome se nalaze i
i()) dobijamo
I(j) =U()
R +
U
j(R+jL)
Da bi nali IFT rastavimo sledeci izraz
1
j j + R L = A
j
+ B
j+R
L
=A
j+ R
L + Bj
j j + R L 1 = (A + B)j+ A
R
L
A + B = 0
A RL
= 1
= A=
L
R , B =A=
L
R
Prema tome, izraz za struju postaje
I(j) =U
R
1
j
1R
L
+j
+
u()
R
-
7/23/2019 TEK_P7
23/25
371
Odavde se na osnovu osobina F.T. lako dobija:
i(t) =F 1 {I(j)}= F 1
U()
R +F 1
U
R
1
j F 1
U
R
1R
L
+j
Na osnovu osobina koje smo naveli ranije slijedi da je
(t) 1
1 2()
sgnt 2j
=() = 1
2
dobijamo
i(t) =U
R
1
2+
1
2sgnt e
R
L
t
h(t)
Poto se radi o kauzalnoj funkciji, izraz za struju moramo
mnoziti sa h(t). Proizvod
1
2
sgnt
h(t) =1
2
pa konacno dobijamo izraz za struju koji je jednak
i(t) =U
R
1 e
R
L
t
h(t) (10.512)
Osobine Furijeove transformacije
F{(t)} = 1
F{h(t)} = () + 1
j
F
t
f()d
= F(0)() + F(j)j
F
t
f(t)dt
= F(j) ovo vazi samo ako je
f(t)dt= 0
F{sin 0 t} = j [( 0 ) (+ 0 )]
F{cos 0
t} = [( 0
) + (+ 0
)]
-
7/23/2019 TEK_P7
24/25
372
F{[cos 0
t] h(t)} =
2[(+
0
) + ( 0
)] + j
20
2
F{[sin wo
t] h(t)} =
j
2 [(w+ wo
) (w wo
)]
0
20
2
ej 0 t f(t)d e f
= F(j j0
)
f(t ) = e j F(j)
h(t) = 1
2+
1
2sgnt gdje je sgnt=
1 t 0
F(j) = F{sgnt}= 2
j
Primjer: U kolu prema slici 10.289 djeluje naponski generator
napona u g (t) =U e a t
h(t),a >0. Odreditii(t) =?
( )
g
u t
( )
R
u t
( )
L
u t
R L
( )i t
Slika 10.289:
Koristeci Furijeovu transformaciju imamo slicno kao za
prostoperiodicne struje
I(j) =U
g
(j)
Z(j)
Ug
(j) =F {ug
(t)}= F
Ue a t h(t)
= U
a +j
Z(j) =R +jL
I(j) = U
(a+j)(R +jL)=
U
L
1
(a+j)( RL
+j)
Sada je
i(t) =F 1 {I(j)}= F 1
U
L
1
(a +j)( RL
+j)
=
U
LF 1
1
(a+j)( RL
+j )
-
7/23/2019 TEK_P7
25/25
373
Da bi sveli na tablicne relacije Furijeove transformacije
koristimo razdvajanje
1
(a+j)( RL
+j)=
A
a +j+
BR
L
+j
1 =A
R
L+j
+ B (a+j)
Izjednacavuajuci kompleksne brojeve imamo:
A+ B = 0
A RL
+ Ba = 1
A =
1R
L
a; B =
1
a RL
i(t) =U
L
F 1 1 RL a (a+j)
1 RL a R L +j
i(t) = U
L
R
L
a e a t e R L t h(t)
Ovo vazi kada je R/L=a.
