Tema 2: Principios de conservación 2_Principios d… · Momento lineal y su conservación. ... aplicadas constantes y la fuerza de rozamiento entre sólidos que surge por el contacto

Fundamentos Físicos I_Tema 2 María Elena Saiz 0

Tema 2: Principios de conservación

En este tema se recuerdan los conceptos fundamentales que permiten estudiar la evolución de los sistemas

físicos. Nos introducimos en la parte de la Física llamada Mecánica. La Mecánica consta de dos partes:

1) la Cinemática, que estudia los movimientos que pueden adquirir los cuerpos.

2) la Dinámica, que estudia la relación causa-consecuencia, es decir, las interacciones (causas) con los

movimientos que estas producen (consecuencias).

El estudio completo de los sistemas reales es muy complejo por la multitud de factores que habría que tener en

cuenta, pero se pueden hacer ciertas hipótesis, simplificaciones, aproximaciones… que permiten abordar aspectos

parciales del problema. Así, la Dinámica empieza estudiando la hipótesis de una partícula, pero amplía a sistemas

de muchas partículas, pasando después a sistemas continuos: sólidos rígidos, sólidos deformables, líquidos, gases y

plasmas.

A partir del modelo “fuerza” (inventado para cuantificar las interacciones conocidas) y definiendo ciertas

magnitudes útiles (momento lineal, momento angular, energía, etc.), se establecen unos principios generales que son

aplicables a cualquier circunstancia, pudiendo deducir consecuencias concretas cuando se aplican a situaciones

más particulares (gravitatorias, electromagnéticas, cuánticas, etc.).

Un principio de conservación es tan férreo que se asume, se busca, y si algún proceso “parece” no

verificarlo, no se rechaza el principio pensando que falla sino que se busca la “pieza que se nos ha olvidado”

tener en cuenta.


Conceptos previos de Dinámica

Partícula libre no está sometida a ninguna interacción. Realmente no existe, pues sería necesario

que estuviera aislada, pero puede considerarse libre si:

a) está a distancia muy grande de otros objetos tal que las interacciones con ella son despreciable

b) no está a distancia muy grande pero la interacción neta sobre ella es nula

Las leyes de Newton son las leyes básicas de la Dinámica; relacionan la causa (descrita por el

concepto de fuerza con el que se cuantifica la interacción) con el efecto o consecuencia (el

movimiento que produce en el cuerpo).

Principio de inercia Newton: Una partícula libre se mueve siempre con velocidad constante, es

decir, sin aceleración. También puede enunciarse así: Un cuerpo permanece en estado de reposo o

movimiento rectilíneo uniforme salvo que existan fuerzas que obliguen a cambiar su estado de

movimiento.

SR inercial sistema que está en reposo o se traslada respecto de otro con movimiento uniforme

(V cte implica que no cambia ni en módulo, ni en dirección, ni en sentido). Por tanto,


a) dos observadores inerciales (observador inercial = observador que ve un fenómeno desde un SR

inercial) pueden relacionar las medidas que cada uno hace en su SR. Si V << c

transformaciones de Galileo; si V c transformaciones de Lorentz

b) dos SR inerciales no pueden tener un movimiento relativo de rotación (la rotación implica ya

una aceleración)

Momento lineal (o cantidad de movimiento) p mv . Da más información que sólov . En

función de esta magnitud, el Principio de inercia quedaría enunciado como: toda partícula libre se

mueve con p cte .


Momento lineal y su conservación. Leyes de Newton

El principio de conservación del momento lineal (basado en los resultados de los experimentos de

choques) dice: el momento lineal de un sistema de partículas que están sujetas sólo a interacción mutua

(está aislado) se conserva, es decir, total

p cte. Vamos a ver que a partir de él pueden deducirse las tres

leyes de Newton.

Sea un sistema aislado formado por dos partículas1 que describen las trayectorias del dibujo, donde

tales trayectorias son consecuencia de la interacción mutua existente entre ambas partículas. Se han

señalado las velocidades de cada una en dos instantes de tiempo distintos.

En el instante t 1 2 1 1 2 2

p p p m v m v

En el instante t´ 1 2 1 1 2 2

p´ p´ p´ m v´ m v´

Según el principio de conservación del momento lineal,

total en t total en t´

p p

1 partícula: cuerpo, en realidad, extenso, pero considerado como puntual

t

t

t´

t´

1v

´

1v

2v

´

2v


Es ampliable a cualquier sistema de partículas que permanezca aislado, es decir, a sistemas de más

de 2 partículas, siempre que las partículas del sistema estén sujetas sólo a interacciones mutuas.

Si total en t total en t´ 1 2 1 2

p p p p p ´+ p ´ cada partícula experimenta un cambio de

momento lineal en ese intervalo de tiempo, de forma que lo intercambian 1 2

p p en t = t´- t

1 2 1 2 1 2

t 0 t 0

p p p p dp dp lim lim

t t t t dt dt

Si se identifica que la variación temporal del momento lineal que ha sufrido cada partícula ha sido

consecuencia de la interacción con la otra partícula, y que esta interacción se cuantifica con la llamada

“fuerza” dp

Fdt

. Esta expresión es una expresión básica de la Dinámica 2ª ley de Newton

La “fórmula” anterior se interpreta como sigue: “la fuerza neta actuante sobre un cuerpo (es

la fuerza que resulta de la interacción con otro u otros cuerpos, los que sean), es igual a la

variación temporal de su momento lineal.

causa consecuencia


En el caso más general: dp d(mv) dm dv

F v mdt dt dt dt

. Sólo si m = cte reproducimos la segunda

ley de Newton en su forma más conocida, aunque no la más general: F ma .

Resolviendo la ecuación diferencial de la 2ª ley de Newton puede obtenerse, de forma más o menos

complicada, la velocidad y la trayectoria del cuerpo sometido a esa fuerza, sin más que recordar que:

F dv dr

F ma a v r(t)m dt dt

.

El Principio de inercia enunciado antes es un caso particular de lo anterior ya que si sólo se tiene

una partícula aislada (libre) F 0 p cte mv cte v cte 1ª ley de Newton

Retomando la situación del sistema aislado con las dos partículas interactuando, se llega a la

tercera ley de Newton. Efectivamente, de 1(2) 2(1)

1 2dp dp

dt dt

F F 3ª ley de Newton

La fuerza que soporta la partícula 1 (debido a la interacción que ejerce la partícula 2 sobre ella) es igual y de

sentido contrario a la fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la partícula 2, por lo que ¡¡¡¡las fuerzas de acción y

reacción son fuerzas que no pueden estar aplicadas ambas en el mismo cuerpo!!!!.


Comentarios sobre las leyes de Newton

Sólo son válidas en SR inerciales, es decir, en los SR que están en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme,

ya que las definiciones de p , F ... están todas referenciadas a SR libres de interacción, es decir, inerciales.

Todos los SR inerciales son equivalentes por lo que las leyes se enuncian de la misma forma en todos.

Si un observador es un SR NO inercial, es decir, presenta algún tipo de aceleración, y desea resolver

correctamente el problema del movimiento de un cuerpo que se mueve solidario con él aplicando la 2ª ley de

Newton debe tener en cuenta, además de todas las fuerzas que tendría en cuenta si su SR fuera inercial, la

llamada fuerza de inercia o ficticia: inercia SR

F mA , siendo SR

A la aceleración que tiene el SR NO inercial

respecto del inercial. La fuerza de inercia de un SR acelerado en rotación recibe el nombre especial de fuerza centrífuga.

El que se cumpla o no la tercera ley de Newton depende de la validez de la “interacción instantánea”. En

mecánica newtoniana se suponen interacciones instantáneas (llamada también acción a distancia). Sin embargo,

en fenómenos electromagnéticos las interacciones se propagan con velocidad finita menor o igual que la de la

luz en el vacío.

Cuando deja de ser válido suponer que las velocidades V << c, que es el dominio de la Mecánica de Newton, la

medida depende del estado de movimiento de los cuerpos debe usarse la Mecánica Relativista de Einstein.

En la medida de lo muy pequeño, el instrumento perturba la propia medida a realizar porque no es posible

diseñar aparatos con precisiones tan pequeñas como se desee. Entonces entra en juego la Mecánica Cuántica.


Comentarios sobre fuerzas

A la hora de aplicar la ecuación F ma para resolver el movimiento de un cuerpo, nos encontramos con

alguno de los siguientes tipos de fuerzas, o nos suenan ciertos nombres de fuerzas.

1) Fuerza constante. Su valor no depende ni de la posición ni de la velocidad del cuerpo. Ejemplos son: fuerzas externas

aplicadas constantes y la fuerza de rozamiento entre sólidos que surge por el contacto entre ellos.

Para equilibrio estático ap roz s

F F 0

y roz s roz lim s sF F N

Para movimiento ap roz d

F F ma

y roz d dF N roz lim sF d s

2) Fuerza dependiente explícitamente del tiempo, F f(t).

Con fuerzas del tipo 1) y 2) resolver el movimiento del cuerpo, es decir, resolver la 2ª ley de Newton, es relativamente fácil: integrar

a(t) para obtener la velocidad, e integrar v(t) para obtener la posición r(t)t, es decir, obtener la trayectoria del cuerpo.

3) Fuerza dependiente de la posición, F f(r) , las cuales pueden ser conservativas o no conservativas.

Ejemplos son: la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos, la fuerza eléctrica entre dos cargas, la fuerza elástica o ley de Hook

( F K x ), y, en general, cuando se trabaja en problemas de oscilaciones pequeñas.

N

Froz

Fap

mg


4) Fuerza dependiente de la velocidad, F f(v) . Son fuerzas resistivas, disipativas y, por tanto, nunca conservativas.

Ejemplos son: la fuerza de rozamiento viscoso sólido-fluido. De forma general, R(v) = Av + Bv2 donde A y B son ctes que

dependen del fluido y de la forma del objeto que se mueve dentro del fluido. Por ejemplo, para un cuerpo esférico A r y B r2

siendo r el radio de la esfera. Dependiendo del fluido y del objeto, existe una velocidad crítica para la cual ambos términos en R(v)

son comparables. Si v < vcr en R(v) predominará el primer término (término viscoso); si v > vcr el segundo (término turbulento).

5) Fuerza centrípeta, tensiones, etc. No son fuerzas distintas a las anteriores que no caigan en ninguno de los apartados.

Tienen esos nombres en función del contexto en el que nos encontremos. Por ejemplo, la fuerza centrípeta no es una fuerza con

nombre propio que ejerza “nadie”, es simplemente que la fuerza que se está ejerciendo sobre un cuerpo (que puede ser de tipo

eléctrico, gravitacional, tensional, etc.) tiene “carácter centrípeto”, es decir, está dirigida en todo momento hacia el centro de

curvatura de la trayectoria que sigue el cuerpo.

6) Fuerzas centrales. Como en el caso 5) es una propiedad que tienen algunas fuerzas. Se llaman así a aquellas fuerzas que

actúan según la línea que une el centro de fuerzas O, que es donde está colocado quien ejerce

la fuerza, y el cuerpo o partícula sobre la que actúa la fuerza, es decir, son de la forma:

r

rF(r) F(r)( u ) F(r)( )

r. El signo positivo será para fuerza repulsiva y el negativo para

atractiva. Son muy importantes en Física porque la fuerza gravitatoria y la eléctrica son de este

tipo y, como veremos más adelante, moverse bajo ellas tiene importantes consecuencias.

ru

F

F F

F

O

r


Energía y su conservación. Recordemos algunos conceptos:

1) Trabajo realizado por una fuerza (circulación).

2

1

dW F dr W= F dr

2) Potencia: ritmo al que se realiza trabajo

dW F dr F vdt

P F vdt dt dt

, con F la fuerza aplicada sobre la partícula y v su velocidad.

3) Energía. Todo fenómeno físico lleva consigo cambios, ya sea en su posición o/y en las propiedades

del cuerpo, debidos a que han actuado fuerzas (externas o internas). A la capacidad que posee el cuerpo

de alterar su estado se dice que posee una energía (externa, interna, química, calorífica....).

3.1 Energía cinética, la ligada al movimiento: 21 1Ec mv mv v

2 2

2dv 1 d 1dW F dr F vdt m vdt m (v v)dt d mv

dt 2 dt 2 2 2

2 1 2 1

1 1W Ec Emv mv c

2 2Ec

Este resultado, W Ec , es totalmente general y no depende de la naturaleza de la fuerza que actúe,

ni del tipo de trayectoria seguida por la partícula desde el punto 1 al 2.

F

dr

r

1

2


gF

Consecuencia: Si F dr W = 0 Ec 0 v cte . Ejemplo:

3.2 Energía potencial y fuerzas conservativas. La energía potencial es la ligada al tipo de campo

de fuerzas que actúa sobre la partícula. En el caso general, el trabajo realizado por una fuerza depende

de la trayectoria seguida por el cuerpo. Pero si no es así, es decir, si el trabajo que realiza la fuerza F no

depende de la trayectoria, es porque esta es conservativa. En ese caso, y sólo en ese caso, la fuerza F

deriva de un campo escalar que en este caso llamamos energía potencial U.

Aplicando lo estudiado en el Tema 1,

F U y F dr U dr dU 2

1

2 1

2

1

W (U(r ) U(F d r ))r dU U

Mientras que 21Ec mv

2 es independiente del tipo de fuerza que provoca el movimiento del cuerpo,

la energía potencial U(r) sí depende de la fuerza conservativa de la que derive. Por ejemplo:

Para fuerza eléctrica y gravitatoria: 1

U(r)r

Para fuerza de tipo elástico: 21F kx U(x) kx

2


La función energía potencial U(r) está definida salvo una constante ya que U y (U cte)

tienen asociadas la misma fuerza F . Esto se resuelve eligiendo una referencia de energía potencial

cero (bien en el o en un punto concreto 0

r ). Así es como se puede hablar de energía potencial en

un punto cualquiera r del espacio.

0 0

r

r r

r

0W F dr (U(r) U(r )) U(r) F dr tal que tomamos

0U(r ) 0

Por ejemplo, con la fuerza elástica F kx se ha obtenido: 0 0

x x

0x x

U(x) U(x ) kx dx kxdx

2 2

0

1k(x x )

2 , con x0 posición de equilibrio. Tomando x0 = 0 y U(x0) = 0 queda U(x) = kx

2/2.

3.3 Energía mecánica, o total, de la partícula. Es la suma de la cinética y la potencial: Ec + U

Ya podemos enunciar el Principio de conservación de la energía mecánica: Si las fuerzas que

actúan sobre la partícula son conservativas (y si las no conservativas que actúan, si es que las hay, no

realizan trabajo) la energía mecánica de la partícula se conserva.

Efectivamente, W Ec U Ec U 0 2 1 m

(Ec U) (Ec U) cte E cte


En el caso de actuar fuerzas no conservativas que sí realizan trabajo. Es fácil encontrar fuerzas

no conservativas en sistemas reales. Un ejemplo es la fuerza de rozamiento o la fuerza viscosa,

oponiéndose siempre al movimiento relativo. Si es fuerza no conservativa rozcF dr 0 . En

ese caso, aunque actúen también fuerzas conservativas, la energía mecánica Em = Ec + U no se

conserva y el balance energético queda así:

total cons no cons no cons

W W W U W Ec 2 1 no cons 2 1

(U U ) W Ec Ec

1 1 no cons 2 2

Ec U W Ec U m1 no cons m2

E W E cons

m no

E W

El término no cons

W representa una transferencia de energía que, en general, es irreversible.

La ley de conservación de la energía establece que la energía total de un sistema aislado

se conserva. Cada una de las contribuciones a la energía total del sistema puede variar en el tiempo,

transformándose en una de otro tipo pero su suma no cambia.


Análisis de curvas de energía potencial

El análisis energético puede ser de gran utilidad a la hora de resolver el problema del movimiento

de un cuerpo, es decir, de encontrar su trayectoria r(t) cuando se desconoce explícitamente F(t) .

Veamos por qué decimos esto.

Sea, por ejemplo, el movimiento rectilíneo de una partícula que sabemos que se mueve bajo la

acción de una fuerza conservativa. Tomemos el eje X como dirección del movimiento.

Si el movimiento es rectilíneo en la dirección del eje X x

F F( u )

Como la fuerza actuante es conservativa )rU(-F /)rU(

z

UF ;

y

UF ;

x

UF zyx

Como en este caso 0F F zy U(x,y,z)U(r) U(x) ya que )y(fU y )z(fU x

dU(x)F u

dx (1)

Como la fuerza actuante es conservativa la energía mecánica, Em, de la partícula se conserva

2

2

m

1Ec U(x) mv U(

1 dxE cte m U(x)

2 dtx)

2

(2)

v

X Problema unidimensional


2

m mdx 2(E U(x)) dx 2(E U(x))

dt m dt m

m

dxdt

2(E U(x))

m

0 0

x t

0x t

m

dxdt (t t )

2(E U(x))

m

Al realizar la integral del término izquierdo de la última igualdad, una vez conocida la función

U(x), y recordando que Em es un valor constante, se obtiene x(t), que es la trayectoria de la partícula

tendríamos resuelto cuantitativamente el problema del movimiento de esa partícula.

Pero también, dada una curva de energía potencial, se puede hacer una descripción cualitativa de

los posibles movimientos que puede tener la partícula en este problema unidimensional, según sea el

valor que tome su energía mecánica Em. Lo veremos a continuación.

Análisis del movimiento de la partícula a partir de la curva de energía potencial en un problema

unidimensional. Concepto de equilibrio.

Sigamos suponiendo una partícula que se mueve con movimiento rectilíneo a lo largo del eje X

bajo fuerzas conservativas. Sabemos que se cumple (1) y (2). Supongamos que la curva de energía

potencial U(x) es la de la figura que sigue. En ella vamos a ir trazando distintos valores de energía

mecánica que puede tener la partícula, Em, y vamos a analizar los posibles movimientos para esa

energía concreta.


Partimos con un primer valor de Em, que hemos llamado E1. Se han señalado en la figura (mediante

las flechas), los valores que corresponden a la energía cinética y la potencial para ese punto x elegido.

Análisis para una energía total E1

La energía cinética para todo punto x es

1c xEE U( ) . Como el valor de U en la

gráfica corresponde a la distancia vertical

desde el eje X a la curva U(x) puede

comprobarse que 21 Ec mv < 0 x

2 . Ello

implica velocidades imaginarias y, por tanto,

sin significado físico en Mecánica Clásica (no

despreciables en Mecánica cuántica).

Por tanto, si la partícula tiene la energía total E1, no es posible ningún tipo de movimiento desde el

punto de vista de la Mecánica Clásica.

Ec

E1 U

U(x)

x

E1



El movimiento puede ocurrir sólo en

dos regiones: entre las posiciones de los

intervalos [x1, x2] y [x3, x4], que son los

que corresponden a valores de Ec > 0.

Además, la partícula no puede “saltar” de

uno de los intervalos al otro.

Analicemos el movimiento en el intervalo

[x3, x4]. En el otro intervalo es totalmente similar.

Supongamos que la partícula se encuentra en el punto x3 Ec(x3) = 0 U(x3) = E2. Por tanto,

en ese punto e instante, la partícula se encuentra en reposo (v=0). Sin embargo, sobre ella está actuando

una fuerza 0 pues sabemos que dU(x)

Fdx

, y existe fuerza en un punto si la derivada de U(x) en ese

punto es no nula. Para justificar esto basta recordar el significado geométrico de la derivada de una

curva/función en un punto: la pendiente de la curva/función en ese punto.

x1 x2 x3 x4

U(x)

x

E2


Por tanto, como en x3 la curva tiene pendiente no nula, en ese punto existe fuerza sobre la partícula

aunque no tenga velocidad. Por otro

lado, como dU(x)

0dx

, es decir, la

pendiente es negativa

3 3 3 xF(x ) 0 F(x ) F(x )u . Esto

significa que la partícula se acelera en la

dirección x

u , hacia la derecha.

A medida que se mueve en este

sentido, el valor de U(x) va

disminuyendo hasta que llega a un valor x = xmin2 en la que U(x) es mínima. En dicho punto la

pendiente de la curva U(x) es nula y por tanto, la fuerza en dicho punto también. En x = xmin2

min 2

min2

x

dU(x)U(x ) es mínima 0 F 0

dx y su velocidad es máxima.

x3 x4

U(x)

x

E2

xmin2 xmin1

F


Puesto que la partícula llega a x = xmin2 con velocidad hacia la derecha no nula, rebasa esa posición

y llega a posiciones x > xmin2 actuando ahora sobre ella una fuerza no nula pero de frenado puesto que

ahora está dirigida en sentido contrario al del movimiento, es decir, hacia la izquierda.

En el intervalo (xmin2, x4] se tiene que dU(x)

0dx

x

F(x) 0 F(x) F(x)( u )

Al llegar al punto x4, la partícula permanece instantáneamente en reposo ya que ahí, de nuevo,

posee una velocidad nula (E2= U(x4)) su movimiento se invierte puesto que en ese punto ahora está

sometida a una fuerza (hacia la izquierda) no nula que la acelera en ese sentido. De esta forma, llegaría

de nuevo al punto x3. El análisis se repetiría en el intervalo [x1, x2].

Por tanto, si la partícula tiene la energía total E2, en cada intervalo de posiciones en los que es

posible el movimiento ([x1, x2] y [x3, x4]), realizaría, en conjunto, un movimiento periódico que se

repetiría indefinidamente, salvo que se modifique su energía total.

A los puntos x1, x2, x3 , x4 se les llama puntos de retroceso o de retorno

Los intervalos [x1, x2] y [x3, x4] corresponden a pozos de potencial

El intervalo (x2, x3) corresponde a una barrera de potencial


Los puntos xmin1 y xmin2 (para los cuales U(x) es mínima) se les llama puntos de equilibrio.

Además, son puntos de equilibrio estable: 2

2

d U(x)0

dx


Para esta energía sólo es posible el

movimiento en los intervalos [x5, x6] y

[x7, ]. En el intervalo de posiciones

[x5, x6] el tipo de movimiento es como

el analizado en el apartado anterior,

siendo en este caso las posiciones x5 y

x6 los puntos de retroceso.

Analicemos el posible movimiento en el intervalo [x7, ]. Supongamos que la partícula viene

desde el . Para posiciones x >> x7 podemos decir que U(x) cte Ec cte v cte ,

E3

x5 x6 x7

U(x)

x

xmin2

acelerado

frenado

frenado

acelerado

xmin1


resultado que podíamos haber obtenido también razonando de la siguiente manera: como para x >> x7 la

pendiente de la curva U(x) es 0 F 0 v cte .

A medida que la partícula se va acercando, empieza a experimentar una fuerza en el mismo sentido

que la de su movimiento (x

dUF u

dx con

dU0

dx ) por lo que experimenta una aceleración. Cuando

llega a xmin2 posee aceleración nula y velocidad máxima. Rebasa esta posición y para x [x7, xmin2)

experimenta una fuerza de frenado (x

dUF u

dx con

dU0

dx ). Llega al punto de retroceso x7 (v(x7) = 0

pues E3 = U(x7)) e invierte su sentido de movimiento, volviendo a sufrir todas las variaciones en la

velocidad experimentadas en la primera parte del recorrido.

En cualquier caso, en el intervalo [x7, ) la partícula tiene un movimiento no acotado pues

puede venir del infinito y regresar al infinito.



El único movimiento posible es

un movimiento no acotado en todo

el intervalo [x8, ). Si la partícula

viene desde el infinito, se vería:

acelerada en posiciones del intervalo

(xmin2, x >>], frenada en (x9, xmin2),

acelerada de nuevo en (xmin1, x9) y

frenada en [x8, xmin1). A partir del

punto de retroceso x8 invierte su movimiento, pudiendo regresar de nuevo al infinito.

Las posiciones xmin1, xmin2 y x9 corresponden a posiciones de fuerza nula, por tanto, de

posiciones de equilibrio. Mientras que las posiciones xmin1 y xmin2 son de equilibrio estable, pues

corresponden a valores de mínimos relativos de la energía potencial U(x), la posición x9 es de

x8 x9

U(x)

x

E4

frenado

acelerado

acelerado

frenado

acelerado frenado

frenado acelerado

xmin2 xmin1


equilibrio inestable pues corresponde a un máximo relativo de la energía potencial U(x), es decir, en el

punto x9 se tiene 2

2

d U(x)0

dx .

Nota: cuando hablamos de velocidad máxima nos referimos a la máxima velocidad dentro del intervalo

de posiciones analizado, que depende evidentemente del valor de la energía total de la partícula. Por

ejemplo para el valor de energía E4 se tiene que

min2 min1 9 min2 min1 9

Ec(x ) Ec(x ) Ec(x ) v(x ) v(x ) v(x )

Para hacer conexiones entre conceptos: ¿concuerda lo que sabes acerca del movimiento de un

oscilador armónico simple cuando se analiza su curva de energía potencial? Recordemos algunas cosas:

i.-Un oscilador armónico simple es un sistema sobre el que actúa una fuerza restauradora (recuperadora) de la

forma: F kx , es decir dirigida siempre en sentido contrario al desplazamiento de la partícula, x .

Esta fuerza recuperadora puede ser de tipo elástico, de tipo eléctrico, etc.

x

F

x

F

x = x0= pos.de equilibrio


-x1 x1

E

U(x)

x

ii.- Ecuación dinámica del oscilador armónico simple. Según la 2ª ley de Newton

2

2

d xm F kx

dt

2

2

d x kx 0

dt m

22

02

d xx 0

dt tal que

m

k20 , cuya solución es 0

x(t) Acos t .

iii.- Energía mecánica de un oscilador armónico.

Energía cinética: 2

0

2

22 21 1 dx 1Ec m Amv m

2 2 dtx(t)

2

. Por tanto, máx en x = 0 y nula en x = A.

Al ser F kx conservativa la energía potencial es: 2 2 2

0

1U(x) m

1k x(t)

2x

2 , con U(x0=0) = 0. Por

tanto, máx en x = A y mínima (nula en este caso) en x = 0.

La energía total es: 2 2 2 22

0 0

2

0

2 21U m A x(t)

2

1E m A

1Ec m A x(t)

2cte!!

2

La representación gráfica de la función U(x) del oscilador es la de la

figura. Con lo visto en el análisis de curvas de energía potencial, podemos

concluir que para la energía total como la pintada en la figura, E, el único

movimiento posible del sistema es un mov. periódico en el pozo de

potencial entre los puntos -x1 y x1, que son simétricos respecto del eje

vertical y que corresponden a las posiciones de máxima elongación en

cada sentido del movimiento, es decir, -x1 = -A y x1 = A.


Momento angular y su conservación

Recordemos algunos conceptos:

1) Momento de una fuerza respecto de un punto O. Se define como: r F al plano

formado por r y F .

Si actúan varias fuerzas concurrentes result i i resulti i

r F r F ,

que corresponde al momento respecto de O de la fuerza resultante.

2) Momento angular de la partícula respecto de un punto O. Se define como: L r p r mv

L al plano formado por r y v

Como, en general, r y v cambian con el tiempo, es decir, r r(t)

y v v(t) L L(t) , es decir, puede cambiar con el tiempo en módulo,

dirección y sentido. Veamos lo que vale su variación temporal:

dL d dr dp

r p p r r Fdt dt dt dt

, donde L y son referidos al mismo punto O.

O

L

r

v

r

F

O


Por tanto, como dL

dt , se puede enunciar el principio de conservación del L : “Si 0 L = cte

(en magnitud, dirección y sentido)”

¿Cuándo 0 ? Es nulo bien cuando F 0 (partícula aislada), bien cuando, aun siendo F 0 , la

fuerza no ejerza ningún momento mecánico.

Consecuencias de la conservación del momento angular (si 0 L cte )

como L plano formado por r y v t, y la dirección de L no cambia el plano determinado

por r y v que contiene la posición inicial de la partícula, es fijo el movimiento de la partícula

está contenido en un plano.

se verifica la ley de las áreas: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales

t 0 t 0

1 1 A 1 rA r r r r r li

dm lim r

2 2

A 1 1 L r v cte

dt 2t 2 2 mt

r

r r r

O


Notas importantes:

La conservación de L es independiente de la conservación o no de p , y de la conservación o no de la energía

mecánica de la partícula.

La expresión dL

dt es una relación vectorial. Puede ocurrir que sólo alguna de las componentes de sea nula

sólo se conservará la correspondiente componente de L . Por ejemplo, si se cumple

z

z z

dL0 0 L cte

dt .

Si la fuerza que actúa sobre la partícula es central F // r 0 L cte

i. se verifica la ley de las áreas

ii. el movimiento tiene lugar en un plano


El campo gravitatorio

Una de las interacciones fundamentales de la Naturaleza es la gravitatoria: la que surge entre los

cuerpos debida a la masa que tienen. Algunos conceptos, leyes y, por tanto, consecuencias, estudiados

hasta el momento van a ser aplicables a este tipo de interacción.

La interacción entre dos masas, m1 y m2, se cuantifica mediante la fuerza

gravitatoria. Su dependencia con las masas, distancias, etc., fue obtenida de

forma experimental por I. Newton: la Ley de Gravitación Universal.

21

1 2 1 2

m1 sobre m2 r 2 12 3

2 1 2 1

m m m mF G u G (r r )

r r r r

De igual forma: 12

2 1 2 1

m2 sobre m1 r 1 22 3

1 2 1 2

m m m mF G u G (r r )

r r r r

donde G = 6.6710-11 Nm2/kg2 es la constante de gravitación universal. Como 2 1 1 2

r r (r r )

m1 sobre m2 m2 sobre m1F F , que representa la ley de acción-reacción, 3ª ley de Newton.

m1

m2

2 1r r

2r

1r

m2

m1

m1 sobre m2F

m2 sobre m1F


Fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo muy masivo de masa M (un astro, por ejemplo)

sobre otro de masa m, es decir, M >> m. Teniendo en cuenta el intercambio de momento lineal que

tiene cada masa en la interacción gravitatoria (pM = - pm MvM = - mvm ), es muy buena

aproximación suponer que M está en reposo y que es m la masa que se mueve bajo la acción

ejercida por M. El cuerpo de masa M, por tanto, es el centro de fuerzas para m y a M podemos

considerarla colocada en el origen de coordenadas. Por otro lado, el SR centrado en M es inercial

ya que lo podemos considerar en reposo. La fuerza gravitatoria que M ejerce sobre m cuando esta

se encuentra a una distancia r de M se expresará como: M sobre m r2 3

Mm MmF G u G r

r r

Por tanto, la intensidad del campo gravitatorio que M crea a una distancia r de ella es:

sobre m

r2

F Mg(r) G u

m r

Cualquier otra masa m´ colocada en un punto que dista r de M, experimentará: M sobre m´

F m´g

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa gF U , donde U representa la energía

potencial gravitatoria que tiene la masa m´ por encontrarse en el campo gravitatorio g(r) creado por


M: r

g

MmU(r) F dr G

r , donde r es la distancia de m al origen de coordenadas, que es

donde está M, y el origen de energía potencial nula se ha tomado en el infinito.

Cuando trabajamos a distancias h próximas a la superficie del astro (que consideramos que tiene

radio R) podemos expresar 0

r R h / h<<R F mg siendo 0

g el valor de la intensidad de

campo en la superficie: 0 2

Mg G

R . De esta forma, la intensidad del campo a una altura h respecto de

la superficie se expresa como: 2

0 2

Rg(r) g

(R h)

. En esa aproximación:

0U mg h

Si la única fuerza que actúa sobre m es la gravitatoria, al ser esta conservativa, la energía

mecánica de m se conserva, es decir: 2

m

1 MmE mv G cte

2 r

La fuerza gravitatoria que actúa sobre m es fuerza central 0 L = cte y el movimiento

de m se desarrolla en un plano.

Analicemos brevemente los posibles movimientos de m en el plano. Para ello, preparemos primero la

notación adecuada, así será más sencillo el análisis a partir de cosas ya estudiadas.


Movimiento de la partícula en un plano bajo la acción de una fuerza. Problema bidimensional

Sea una partícula de masa m que describe la trayectoria de

la figura. Es conveniente utilizar en este caso coordenadas

polares planas (la distancia al origen, r, y el ángulo con el

eje horizontal, ). Recordemos que los vectores ru y u

cambian con el punto considerado r x y

x y

u cos u sen u

u sen u cos u

x y xr

y

d d dsen u cos u sen u cos u

dt d

du du

d tt dt dt

r

du du

dt dt

De aquí a la página 33 inclusive, se incluye un análisis detallado de cómo se resuelve el problema bidimensional. Sin embargo,

en clase partiremos de la expresión final que se obtiene para Em y haremos el estudio de los movimientos posibles a partir de la curva

de energía potencial efectiva Uef típica para interacciones de tipo gravitatorio, o eléctrico atractivo. Se aconseja al alumno leerlo en

su conjunto para tener la visión global del planteamiento.

Expresiones de r , v y a en este sistema de coordenadas

r

r ru

Y

X

u

u

ru

r

ru

No despistarse, el

ángulo de esta

figura, en realidad es

el que hemos llamado

coordenada en el

sistema de

coordenadas esféricas


r

r r rr r

dud dr dr d(ru ) u r u r u

dt dt d

drv v

t dt dtu v u

dt

donde

r

drv

dt y

dv r r

dt

r

2 2

θrr θ r θ θ2 2

2 22 2 2

r

a

θ θ r r2 2 2

dud dr d d r dr du dr d d du r u u u r u r

dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt

d r dr d d d d r d u 2 u r

dva

d

u r u r udt dt dt dt

t

dt dt dt

r r

2

2

a

dr d d2 r u

dt dt da u

ta u

Por tanto, r r

F F u F u , donde:

22

r r 2

d r dF ma m r

dt dt

2

2

dr d dF ma m 2 r

dt dt dt

Como la fuerza gravitatoria es central i. L cte

2

r r r r z

d dL r mv r m(v u v u ) mrv (u u ) mrr (u u ) mr u cte

dt dt

2 dmr L cte

dt

ii. r

F F(r)u F = 0

r

F

F

F

rF


Como la fuerza gravitatoria es conservativa 1) F U(r)

r r r

U(r) 1 U(r)F F u F u u u

r r

, donde U(r) , en principio, depende de las coordenadas r

y , es decir, U(r) U(r, ) . Igualando componentes: r

UF

r

r

01 U

F

!! U f( ) U = U(r)

lo que significa que la energía potencial U depende sólo de la distancia r al centro de fuerzas.

Además, r

U dUF

r dr

por lo que Fr sólo puede ser función de r.

2) Em = cte

2 2

2 2

rm

1Ec U(r) m(v v )

1 dr dE m r U(r) cte

2 dU(r

2 t)

dt

Como 2 dL mr cte

dt

d Lr

dt mr

2

m

2

2E ct

1 drm

1e

LU(r)

22 dt mr


Llamando 2

ef2

1 LU(r) U (r)

2 mr energía potencial efectiva

2

m efE ct

1 drm

2U (r)

dte

¡lo que equivale a un problema unidimensional en la dirección radial! Esto, unido al movimiento

angular, que se resuelve a partir de L = cte, da la trayectoria completa de m en el plano.

Diagrama típico de curvas de energía potencial efectiva como suma de las curvas 2

2 2

1 L K

2 mr r y

KÚ(r)

r con K y Kćonstantes

Figura (a). Se representan las curvas 2

22mr

l para distintos valores del

momento angular (l1, l2, l3 con l1< l2< l3) y la curva de energía potencial U(r).

Figura (b). Se representan las funciones l

2

ef 2

1U (r) U(r)

2 mr . Las tres

curvas de trazo continuo corresponden a los valores de momento angular l1,

l2, l3 de la figura (a). Se ha representado también la curva con l = 0 que sería

la propia U(r). Notar que la curva U(r) corresponde a un potencial atractivo

ya que r

dU dU0 F= U= u F

dr dr es atractiva.

Energía Uef


Partamos de: 2

ef2

1 LU(r) U (r)

2 mr energía potencial efectiva

2

m efE ct

1 drm

2U (r)

dte

.

Trabajemos con el perfil típíco de Uef para un potencial atractivo como es el gravitatorio.

Dependiendo del valor de la energía

mecánica total que tenga la partícula (E1, E2,

E3, 0, ó E4 en la figura) esta tendrá distintos

tipos de órbita.

Si Em < 0, el movimiento es acotado y la

órbita es: circular (cuando Em = E1)

elíptica (si Em = E2 o Em = E3)

Si Em = 0, la órbita es parabólica

Si Em > 0, el movimiento es no acotado,

existe un máximo acercamiento al centro de fuerzas pero vuelve a escaparse. La órbita es

hiperbólica cuando Em = E4

r1 r0 r2 ró

Energía

E4

E3

E2

E1

Uef(r)

r 0


Para complementar lo visto en la página anterior.

Trayectorias de la partícula con energía total Em > 0 (energía E4)

En cualquier caso, la trayectoria es

una hipérbola, donde el centro de

fuerzas estaría colocado en el foco

de dicha hipérbola

r-

v0

v0

r+

m m

(a) atractivo (b) repulsivo

O


Trayectoria de la partícula con energía total Em < 0 (energías E2 o E3)

rmin r1 rmax r2

Si la energía de la partícula es Em = E1, la trayectoria es una circunferencia de radio r0

Si la energía de la partícula es Em = 0 la trayectoria es una parábola donde el centro de fuerzas

está en el foco de la parábola

r1

O

r2

r0

O

r´0 O


Sistemas de muchas partículas. Relaciones dinámicas para el sistema

Recordemos las relaciones dinámicas y energéticas para una partícula de masa m sometida a fuerzas:

p mv ; dp

Fdt

tal que Fes la fuerza neta (de carácter externo lógicamente)

L r p r mv ; dL

dt

2

2 11

W F dr Ec Ec Ec . Si F es conservativa F U Ec U cte

Ahora, queremos encontrar relaciones equivalentes a las anteriores pero para un sistema de

partículas. Para ello, necesitamos primero algunas

definiciones.

Consideremos un sistema de N partículas cuyas localizaciones

respecto del origen de coordenadas O de cierto sistema de

referencia inercial son 1

r , 2

r ...N

r

X

Y

Z

1r

2r

3

r

Nr

1v

2v

3v

Nv


Momento lineal del sistema de partículas: N N

sist i i i

i 1 i 1

P p m v

Momento angular del sistema de partículas: N N

sist i i i i

i 1 i 1

L L r m v

donde cada i

L está

determinado respecto de O, por lo que sist

L también.

Energía cinética del sistema de partículas N N

2

sist i i i i i

i 1 i 1

1 1Ec m v v m v

2 2

Las fuerzas actuantes sobre las partículas que forman el sistema hay que clasificarlas en: externas e

internas (para una partícula siempre eran externas).

o Fuerzas exteriores: i

F , que representa la fuerza total de carácter externo que actúa sobre la

partícula i. Provienen de las interacciones con otros elementos exteriores al sistema.

o Fuerzas interiores:i

f , que representa la fuerza total de carácter interno sobre la partícula i

debida a todas las interacciones ejercidas por el resto de las partículas que forman el sistema,

es decir, N

i ij

j 1j i

f f

. Para estas fuerzas es aplicable la ley de acción y reacción N

i

i 1

f 0


Relación dinámica entre la fuerza y el momento lineal

Al igual que el momento lineal (angular) del sistema de partículas lo obtenemos sumando los

momentos lineales (angulares) de cada partícula, la 2ª ley de Newton para el sistema de partículas lo

obtenemos sumando la 2ª de Newton de cada partícula. Escribamos la ecuación dinámica para cada

partícula i

i

ii

dp

dtfF Al sumar a todas las partículas:

N N N Nexti

i i i

extsi

i 1 i 1 i 1

s

i 1

tdp

F f F F dt

dPF

dt

donde ext

F es la resultante de las fuerzas exteriores, independientemente de en qué partículas estuviesen

aplicadas las diferentes i

F .

Relación dinámica entre momento mecánico de la fuerza y el momento angular

NN N N N

sist i i i

i i i i ii

i 1 i 1 i 1

N

i i i

i1 1

i

i i1

dL dr dp dpp r r r

dt dt dt dtF r r fFf

Si consideramos que la fuerza de interacción entre cada par de partículas está dirigida según la

dirección que une ambas partículas (interacción gravitatoria, eléctrica, por ejemplo) N

i i

i 1

r f 0


N N

ext extsist

i i i

i 1 i 1

dLr F

dt

donde sist

L y ext están calculados respecto del mismo punto O

extsistdL

dt

ext no tiene por qué ser el momento mecánico de la resultante

extF

(sólo si son concurrentes las iF

).

Principios de conservación formulados para un sistema de partículas

Principio de conservación del momento lineal sist

P

Si un sistema de partículas está aislado (no existen fuerzas externas actuantes sobre el sistema) o

si la fuerza neta actuante es cero el momento lineal del sistema se conserva.

Puesto que extsistdP

Fdt

si ext

F 0 sist

N

i i

i 1

m vP cte

Principio de conservación del momento angular sist

L

Si un sistema de partículas está aislado (no existen fuerzas externas actuando) o si el momento

mecánico neto de las fuerzas externas es cero el momento angular del sistema se conserva


Puesto que extsistdL

dt Si

0F y 0F con 0

externas f. existen (no i 0F

extii

ext

i

sist

L cte

Principio de conservación de la energía

Si un sistema de partículas está aislado (no actúan ext

F Wext = 0), o si el Wext neto es nulo, la

energía del sistema (la cinética + la potencial interna) se conserva, existiendo un intercambio continuo

entre ellas.

Si un sistema de partículas no está aislado (actúan ext

F Wext 0), pero las fuerza externas

actuantes son conservativas, la energía total del sistema (la cinética + la potencial interna + la

potencial externa asociada a las fuerzas externas conservativas) se conserva.

Aunque sí existan fuerzas externas no conservativas, podemos generalizar completamente el

principio de conservacion de la energía ya que dentro del término extcons noW siempre ha sido posible

encontrar otras formas de energía que correspondan a ese trabajo,

total s i tist s scambios en otras formas de ene gía 0rE

que es lo mismo que decir que la energía puede ser transformada de una clase a otra, pero no puede ser

creada ni destruída. Esta afirmación es una generalización de la experiencia, que no ha entrado en


contradicción con ningún proceso observado en el universo por lo que el principio de conservación de

la energía se considera de validez general.

Ello significa que las fuerzas de interacción entre los cuerpos no sólo provocan movimientos sino que son

responsables de otros fenómenos físicos. Por ej., la fricción provoca un aumento de la temperatura del cuerpo; en

otras interacciones puede originarse energía en forma de sonido, radiación electromagnética, etc. Es por eso que,

para incluir otras formas distintas de energía que la energía cinética y potencial de los cuerpos directamente

observables, el concepto de energía fue necesario generalizarlo.

Elección de un sistema de referencia importante: SR centro de masas.

La definición que hemos dado para el momento lineal de un sistema de partículas, N

isist i

i 1

P m v

,

era respecto de un cierto SR inercial. Es posible encontrar otro SR respecto del cual el momento lineal

del sistema de partículas sea siempre nulo, es decir, N

isist i

i 1

m v 0P

. Este sistema de referencia es

el SR centro de masas (CM). En la expresión anterior la magnitud con “prima” significa que está

medida en el SR centro de masas.


Definición de CM

Vector de posición del CM:

N N

i i i i

i 1 i 1CM N

i

i 1

m r m r

rM

m

donde M es la masa total del sistema de partículas.

Velocidad del CM es:

N N

i i i i

i 1 i 1CM N

i

i 1

m v m v

vM

m

Aceleración del CM es:

N N

i i i i

i 1 i 1CM N

i

i 1

m a m a

aM

m

X

Y

Z

1r

2r

3

r

Nr

1v

2v

3v

Nv

CM

r

CM CM

v


Las relaciones dinámicas encontradas para un sistema de partículas, cuando se expresan relativo al

centro de masas, quedan:

N N

sist i i i C sistM

1

C

i

M

i 1

P m v = = m v P Mv

extsist Fdt

Pd

N N

extsist

i i i i CM

i 1 i 1

dP dm v m a Ma F

dt dt

CM ext

CMM F

va

dM

dt

es decir, lo que correspondería a una partícula cuya masa fuera la masa total del sistema, M, y se

moviera con CM

v y CM

a bajo una fuerza ext

F que es la resultante de todas las fuerzas externas al sistema.

Si el sistema es aislado sist CM

P Mv cte , por lo que el CM de un sistema aislado se mueve con

velocidad constante respecto del SR inercial O.


Colisiones: es un caso particular de interacción entre dos (o más) partículas.

En una colisión sólo actúan fuerzas internas por lo que:

sist sist antes de la colisión sist después de la colisiónP cte P P

Además, si:

la energía potencial interna no cambia en la colisión

sist sist antes de la colisión sist después de la colisión

Ec cte Ec Ec colisión perfectamente elástica

la energía potencial interna cambia en la colisión

sist sist antes de la colisión sist después de la colisión

Ec cte Ec Ec colisión inelástica y se habla de un

coeficiente de restitución, que da idea de la proporción de energía cinética que se pierde en la

colisión por deformación.

En clase de problemas trabajaremos con colisiones en 1-D y 2-D.

Documents

Tema 2: Principios de conservación 2_Principios d… · Momento lineal y su conservación. ... aplicadas constantes y la fuerza de rozamiento entre sólidos que surge por el contacto