TEOREMA DE JORDAN - VON NEUMANN

Teorema . Sea (V ,〈•,•〉) un espacio vectorial con producto interior y ||x|| =√〈x,x〉 la norma inducida por 〈•,•〉,

entonces la norma satisface la identidad del paralelogramo.

||x+ y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2

)Demostracion.

||x+ y||2 + ||x − y||2 = 〈x+ y,x+ y〉+ 〈x − y,x − y〉

= 〈x,x〉+ 2Re〈x,y〉+ 〈y,y〉+ 〈x,x〉 − 2Re〈x,y〉+ 〈y,y〉

= 2(〈x,x〉+ 〈y,y〉)

= 2(||x||2 + ||y||2

).

�

Teorema (Jordan - Von Neumann). Sea (V , || • ||) un espacio vectorial normado sobre R. Entonces || • || esinducida por un producto interior definido en V , es decir, existe un producto interior 〈•,•〉 : V ×V → R tal que|| • || =

√〈•,•〉 si y solo si satisface la identidad del paralelogramo.

Demostracion. La ida es clara, por el Teorema . Solo hay que mostrar el regreso.Sea || • || : V → K una norma, donde K = R o C, talque satisface la identidad del paralelogramo. Tenemos

lo siguiente:

||x+ y||2 = ||x||2 + 2Re〈x,y〉+ ||y||2

||x − y||2 = ||x||2 − 2Re〈x,y〉+ ||y||2

Entonces,

Re〈x,y〉 =14

[||x+ y||2 − ||x − y||2

].

De manera analoga, se tiene

Im〈x,y〉 =14

[||x+ iy||2 − ||x − iy||2

].

Definimos la funcion 〈•,•〉 : V ×V → K como sigue:

〈x,y〉 = Re〈x,y〉+ iIm〈x,y〉

=14

[||x+ y||2 − ||x − y||2

]+i4

[||x+ iy||2 − ||x − iy||2

]=

14

4∑j=1

ij ||x+ ijy||2

Vamos a demostrar que 〈•,•〉 es un producto interior en V , es decir, que para toda x,y,z ∈ V y λ ∈ K secumple:

() 〈x,x〉 ≥ 0;() 〈x,x〉 = 0 si y solo si x = 0;() 〈x,y〉 = 〈y,x〉;() 〈x+ y,z〉 = 〈x,z〉+ 〈y,z〉;() 〈λx,y〉 = λ〈x,y〉.

Y ademas, veremos que se cumple√〈•,•〉 = || • ||.

〈x,x〉 =14

[||2x||2

]+i4

[||x+ ix||2 − ||x − ix||2

]=

14

[||2x||2

]+i4

[|1 + i|2||x||2 − |1− i|2||x||2

]= ||x||2.

Resta probar que es producto interior.

() 〈x,x〉 ≥ 0, ya que 〈x,x〉 = ||x||2 ≥ 0;() 〈x,x〉 = 0 si y solo si ||x||2 = 0 si y solo si x = 0;()

〈x,y〉 =14

[||x+ y||2 − ||x − y||2

]+i4

[||x+ iy||2 − ||x − iy||2

]=

14

[||y + x||2 − ||y − x||2

]+i4

[||y − ix||2 − | − i|2||y + ix||2

]=

14

[||y + x||2 − ||y − x||2

]− i

4

[||y + ix||2 − ||y − ix||2

]= 〈y,x〉;

() Sean x,y,z ∈ V . Existen u,w ∈ V tal que u +w = x,u −w = y y usando los lemas y . Se tiene elresultado de inmediato.

〈x,z〉+ 〈y,z〉 = 〈u +w,z〉+ 〈u −w,z〉

= 2〈u,z〉

= 〈2u,z〉

= 〈x+ y,z〉;

() Sea λ ∈ K y x,y ∈ V . Por demostar que 〈λx,y〉 = λ〈x,y〉.�

Algunos resultados que nos ayudan a demostar la linealidad del producto interior del Teorema deJordan - Von Neumann.

Lema . Sea x,y ∈ V , entonces existen u,v ∈ V tal que u + v = x,u − v = y. Sean u,v,w ∈ V , por la identidad delparalologramo se tiene que:

||(u + v) +w||2 + ||(u + v)−w||2 = 2||u + v||2 + 2||w||2.

Ademas,||(u − v) +w||2 + ||(u − v)−w||2 = 2||u − v||2 + 2||w||2.

Entonces se tiene,(||u +w+ v||2 + ||u +w − v||2

)+(||u −w+ v||2 + ||u −w − v||2

)= 2

(||u − v||2 − ||u − v||2

).

Por definicion de producto interior,

4Re〈u +w,v〉+ 4Re〈u −w,v〉 = 8Re〈u,v〉

Entonces,

2Re〈u,v〉 = Re〈u +w,v〉+ Re〈u −w,v〉

Y por lo tanto

Re2〈u,v〉 = Re(〈u +w,v〉+ 〈u −w,v〉)

Lema . Si Im2〈u,v〉 = Im (〈u +w,v〉+ 〈u −w,v〉). Para toda u,v,w ∈ V se tiene,

2〈u,v〉 = 〈u +w,v〉+ 〈u −w,v〉

Lema . En particular si u = w en el lema anterior, se tiene 2〈u,v〉 = 〈2u,v〉+ 〈0,v〉. Por lo tanto,

2〈u,v〉 = 〈2u,v〉

para toda u,v ∈ V .

Algunos resultados que nos ayudan a demostar la multiplicacion por escalares del producto interiordel Teorema de Jordan - Von Neumann.

Lema . Si λ = n ∈N, entonces 〈nx,y〉 = 〈(n− 1)x+ x,y〉 = 〈(n− 1)x,y〉+ 〈x,y〉.Para n = 3, se tiene que 2〈x,y〉+ 〈x,y〉 = 3〈x,y〉.Supongamos 〈nx,y〉 = n〈x,y〉 (hipotesis de induccion), de donde

〈(n+ 1)x,y〉 = 〈nx+ x,y〉

= 〈nx,y〉+ 〈x,y〉

= n〈x,y〉+ 〈x,y〉

= (n+ 1)〈x,y〉

Por lo tanto,

() 〈nx,y〉 = n〈x,y〉

para toda n ∈N.

Lema . Si λ = 1n , con n ∈N. Notese que n

⟨1nx,y

⟩=

⟨n(

1n

)x,y

⟩= 〈x,y〉. Entonces,

()⟨(1n

)x,y

⟩=

(1n

)⟨x,y

⟩para toda n ∈N.

Lema . De () y (), si r ∈Q+ tal que r = nm con n,m ∈N. Tenemos

r〈x,y〉 =nm〈x,y〉

= n⟨ xm,y

⟩=

⟨ nmx,y

⟩= 〈rx,y〉

Por lo tanto, r〈x,y〉 = 〈rx,y〉, para toda r ∈Q+.Si r = 0, 〈0, y〉 = 0 = 0〈x,y〉.Por lo tanto para toda r ≥ 0, r ∈Q,

r〈x,y〉 = 〈rx,y〉.

Observacion. || • || es continua: Sea (V , || • ||) un espacio vectorial normado y || • || : V →R tal que |||x||− ||y||| ≤||x − y||.Sean (V , || • ||), (W, || • ||) espacios vectoriales normados sobre K , entonces (V ×Y , || • ||V×Y ). Entonces,

||F(x1, y1)−F(x2, y2)|| = ||(x1 + y1)− (x2 + y2)||

≤ ||x1 − x2||+ ||y1 − y2||

Por lo tanto 〈rnx,y〉 = 〈λx,y〉.

Lema . Sea λ ∈R con λ ≥ 0, entonces existe (rn) ∈Q+ tal que rn→ λ. Entonces, rn〈x,y〉 → λ〈x,y〉.Sea λ ∈R con λ < 0. Por demostar que 〈λx,y〉 = λ〈x,y〉, es decir, 〈λx,y〉 −λ〈x,y〉 = 0.

〈λx,y〉 −λ〈x,y〉 = 〈λx,y〉+ 〈−λx,y〉

= 〈λx+ (−λx), y〉

= 0.

Por lo tanto, para toda λ ∈R,〈λx,y〉 = λ〈x,y〉.