TEOREMA DE

MUESTREO

EQUIPO 1

ANDRADE MÁRQUEZ CRISTIAN ALEXIS

RODRÍGUEZ CORONA LUIS EDUARDO

ZAMARRIPA RAMÍREZ KARLA GRISELLE

¿Qué es una señal?Cualquier perturbación física medible que transporta información.

En cualquier caso, una señal expresa variaciones continuas de una magnitud física.

Muestreo

El muestreo es la primera etapa que se realiza cuando digitalizamosseñales.

• Una señal de audio muestreada es igual a la señal de audio original enaquellos puntos donde se toma cada muestra.

• En el caso de una imagen estática (la que tomamos con una cámarade fotos), el muestreo produce una matriz bidimensional de muestrasrecogidas en diferentes puntos espaciales.

• Para una señal de vídeo muestreamos tanto en el dominio del espaciocomo en el del tiempo. Así lo que obtendríamos sería una secuenciade imágenes como las del caso anterior.

El teorema del muestreo (uniforme) de Nyquist-Shannon

Sea 𝑠 𝑡 una señal limitada en banda, que no tiene componentes espectralesmayores que la frecuencia 𝑓𝑠 [Hz]. El teorema de muestreo uniforme indica que𝑠 𝑡 queda determinada de forma única (sin perdida de información) por sus

valores a intervalos uniformes de tiempo menores o iguales que1

2𝑓𝑚segundos. Es

decir, la frecuencia de muestreo 𝑓𝑠 debe de ser:

𝑓𝑠 ≥ 2𝑓𝑚

Donde:

2𝑓𝑚 = frecuencia de muestreo de Nyquist

DemostraciónLimitada en banda:

𝑆 𝜔 = 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜔 > 𝜔𝑚

Donde: 𝜔𝑚 = 2𝜋𝑓𝑚 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑢𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑠 𝑡

Modelo matemático del proceso de muestreo:𝑠𝑠 𝑡 = 𝑠(𝑡)𝛿𝑇𝑠(𝑡)

Donde:

𝛿𝑇𝑠 𝑡 =

𝑛=−∞

∞

𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑠)

Y el periodo de muestreo es:

𝑇𝑠 =2𝜋

𝜔𝑠Se tiene:

𝐹 𝛿𝑇𝑠 𝑡 = ∆𝑇𝑠 𝜔 = 𝜔𝑠𝛿𝜔𝑠(𝜔)

Teniendo en cuenta que la multiplicación de dos funciones en el dominio del tiempo equivale a la convolución de sus espectros, se tiene:

𝑆𝑠 𝜔 =1

2𝜋𝑆 𝜔 ∗ 𝜔𝑠𝛿𝜔𝑠

𝜔

Al substituir 𝜔𝑠 =2𝜋

𝑇𝑠, obtendremos que:

𝑆𝑠 𝜔 =1

𝑇𝑠𝑆 𝜔 ∗ 𝛿𝜔𝑠

𝜔

Por definición:

𝑆𝑠 𝜔 =1

𝑇𝑠𝑆 𝜔 ∗

𝑛=−∞

∞

𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔𝑠

𝑆𝑠 𝜔 =1

𝑇𝑠

𝑛=−∞

∞

𝑆 𝜔 ∗ 𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔𝑠

𝑆𝑠 𝜔 =1

𝑇𝑠

𝑛=−∞

∞

𝑆 𝜔 − 𝑛𝜔𝑠

Podemos recuperar s 𝑡 a partir de𝑠𝑠 𝑡 si filtramos las componentes defrecuencias superiores a 𝜔𝑚 ,multiplicando 𝑆𝑠 𝜔 por una funciónrectangular

s 𝑡 recuperable a partir de la señal 𝑠𝑠 𝑡 debe cumplirse:𝜔𝑠 ≥ 2𝜔𝑚

Si 𝜔𝑠 < 2𝜔𝑚

MODULACIÓN POR IMPULSOS CODIFICADOS (PCM)

• Es un procedimiento de modulación utilizado para transformaruna señal analógica en una secuencia de bits o en una señal digital.

• El flujo PCM es una representación digital de una señal analógica endonde la magnitud de la onda analógica es tomada en intervalosuniformes (muestras), cada muestra puede tomar un conjunto finitode valores, los cuales se encuentran codificados.

• Tiene dos propiedades básicas que determinan su fidelidad a la señalanalógica original: la frecuencia de muestreo y la profundidad de bit.

Muestreo y cuantificación de una onda senoidal (roja) en

código PCM de 4-bits

• MUESTREO

Consiste tomar muestras (medidas) del valor de la señal n veces porsegundo, con lo que tendrán n niveles de tensión en un segundo.

• CUANTIFICACIÓN

Por eso en la cuantificación se asigna un determinado valor discreto acada uno de los niveles de tensión obtenidos en el muestreo.

• CODIFICACIÓN

En la codificación, a cada nivel de cuantificación se le asigna un códigobinario distinto, con lo cual ya tenemos la señal codificada y lista paraser transmitida.

• RECUPERACIÓN DE LA SEÑAL ANALOGICA

En la recuperación se realiza un proceso inverso, con lo que la señalque se recompone se parecerá mucho a las originales. Se produceuna distorsión conocida como ruido de cuantificación.

Elementos Formas de onda

MUESTREO DE SEÑALES FINITAS (EN EL TIEMPO)

Para eliminar el efecto de la deformación del espectro de una señal acausa de limitar su muestreo a un intervalo de tiempo finito, lo idealsería utilizar una función ventana cuyo espectro fuera una funciónimpulso unitario. Se pueden hacer dos cosas:

• Aumentar el tamaño de la ventana tanto como se pueda.

• Utilizar ventanas cuyo espectro se parezca lo máximo posible a una función impulso unitario

ALGUNAS FUNCIONES VENTANA

EL PROCESO DE MUESTREO

MUESTREO EN DOS DIMENSIONES

MUESTREO EN TRES DIMENSIONES

EJEMPLOS

• En un CD (Compact Disk) de audio, la frecuencia de muestreo es de

44.100 muestras/segundo. Esto significa que la máxima componente de

frecuencia representada es igual a 22.050 Hz.

• En un SuperAudio CD, la frecuencia de muestreo es igual a 2.8224 MHz.

• En el sistema Dolby Digital las frecuencias de muestreo son de 32 kHz,

44.1 kHz y 48 kHz.

• En el sistema DTS (Digital Theather System) las frecuencias de muestreo

son 32 kHz, 44.1 kHz, 48 kHz y 192 kHz.

• En el sistema PAL (Phase Alternating Line) el número de imágenes por

segundo es igual a 25. En el sistema NTSC (National Television System

Committee) 30. Nótese sin embargo que ambos representan las líneas de

cada imagen de forma analógica (625 líneas en PAL y 512 en NTSC).

• En MPEG-1 (Motion Picture Experts Group) (Video CD), la resolución del

vídeo tiene que ser inferior a 768×576 puntos.

• En MPEG-2 (DVD o Digital Versatile/Video Disk) la resolución tiene que

ser inferior a 1920×1080 puntos. Los DVD’s PAL almacenan típicamente

imágenes de 720×576 puntos (PAL DVDs) y los NTSC 720×480 puntos.