Teorema de PitgorasDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegacin, bsqueda El Teorema de Pitgoras establece que en un tringulo rectngulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del tringulo rectngulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del tringulo rectngulo: los que conforman el ngulo recto). Si un tringulo rectngulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro tringulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.DemostracinSea el tringulo rectngulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el rea del cuadrado de lado c es igual a la suma de las reas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

Si aadimos tres tringulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamao. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el rea de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

Ya que .Es evidente que el rea del cuadrado de lado c es la suma del rea de los cuatro tringulos de altura a y base b que estn dentro de l ms el rea del cuadrado menor:

Con lo cual queda demostrado el teorema.[editar] Demostraciones supuestas de Pitgoras

Se cree que Pitgoras se bas en la semejanza de los tringulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.Se estima que se demostr el teorema mediante semejanza de tringulos: sus lados homlogos son proporcionales.[1]Sea el tringulo ABC, rectngulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a y b, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.Los tringulos rectngulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en comn, y los ngulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos tringulos son semejantes. De la semejanza entre ABC y AHC:y dos tringulos son semejantes si hay dos o ms ngulos congruentes.

De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relacin entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razn de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitgoras para demostrar su teoremaPitgoras tambin pudo haber demostrado el teorema basndose en la relacin entre las superficies de figuras semejantes.Los tringulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razn de semejanza entre dichos tringulos. Si ahora buscamos la relacin entre sus superficies:

obtenemos despus de simplificar que:

pero siendo la razn de semejanza, est claro que:

Es decir, "la relacin entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razn de semejanza".Aplicando ese principio a los tringulos rectngulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:(I)y por la semejanza entre los tringulos ACH y ABC resulta que:

pero segn (I) , as que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitgoras.