PROFESORA: GLADYS ZORRILLA

OBJETIVOS:

• 1) Identificar los teoremas de Thales en su forma particular y general.

• 2) Aplicar los teoremas  de Thales en ejercicios prácticos  y problemas de planteo.

Una anécdota contada por Platón:

Nació alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía). Era un hombre que se destacó en varia áreas como: comercio, ingeniería, astronomía y geometría. Fue considerado uno de los siete sabios de Grecia

“Una noche Thales estaba observando el cielo y tropezó. Un sirviente lo Levantó y le dijo: cómo pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no puedes ver lo que está a tus pies”.

Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de Thales.

Rayos solares

Pirámide

S (sombra

pirámide)

H(altura de la pirámide)

s (sombra

bastón)

h (altura de bastón)

Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra, se pueda observar que:

Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes

Podemos, por tanto, establecer la proporción

HS

= hs

De donde H= h•Ss

Aplicaciones de esta idea…

Calcula la altura del siguiente edificio

x

5 m

3 m

12 m

Escribimos la proporción

y al resolverla tenemos

3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25 m

15 m

3

5

15

x

1ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, los segmentos que intersecan los lados son proporcionales.

BD

PB

AC

PA

HIPÓTESIS:

L1 // L2

TESIS:

L1

L2

L3

T

S

8

24

x15

EJEMPLO 1: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del trazo x

Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales

Es decir: 824

=15Y resolvemos la

proporción

24 • x = 8 • 15

X =8 • 15 24

X = 5

x

EJEMPLO 2: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD

Formamos la proporción

32 = x+4

x+1

Resolvemos la proporción

3(x + 1) = 2(x + 4)

3x + 3 = 2x + 8

3x - 2x = 8 - 3

X=5

L1

L2

L3

T

S

x+4

x+1

3 2

C

D

Luego, como CD = x + 4

CD= 5 + 4 = 9

2DO TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son proporcionales entre sí.

PD

PB

PC

PA

HIPÓTESIS:

L1 // L2

TESIS:

T S

L1

L2

L3

•EJEMPLO 1: En el dibujo: Si L1 // L2 // L3, entonces AC mide?.

Aplicando Thales, tenemos:

A

B

C

E

D

F

X

5X-2

3

12

15

3

26

xx

)26(315 xx

xx 15186 2x

61815 xx

1022626 xAC

•EJEMPLO 2: En el dibujo: Si L1 // L2 // L3, entonces el valor de x es?.

4

18

4

15

x

x

x

x

)18)(4()4)(15( xxxx

15x +60 –x2 -4x = 18x –x2 -72 +4x

xxxx 4154187260

x11132x12

3ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, éstas son entre sí como los segmentos medidos desde las paralelas al vértice.

CD

AB

PC

PA

HIPÓTESIS:

L1 // L2

TESIS:

•EJEMPLO : En el dibujo: Si L1 // L2 , entonces el valor de BC es?.

62

4

22

3

xx

)22(4)62(3 xx

88186 xx

xx 68818 x210

x5

915*2 BC

Triángulos de ThalesEn dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma

razón de semejanza  

B C

A

DE

De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre:

AEAB

=ED

O tambiénAE

ED= AB

BC

BC

A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble

L”

AE

EJEMPLO: En el triángulo ABC, DE//BC . Calcule x y el trazo AE

AB

C

x+3 x

8

12D

E

Formamos la proporción

x+3

=

2x+312

Resolvemos la proporción

Por que x+3+x =

2x+3

8(2x + 3) = 12( x + 3)

16x + 24 = 12x + 3616x – 12x = 36 – 24

4x = 12

X = 12 = 3 4

Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

8

T S

L1

L2

L3

En el dibujo: Si L1 // L2 // L3,// L4 , T y S transversales, los segmentos a, b, c, d , e y f son proporcionales

Es decir:

aa

b

b =d

c

e

d

"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales entre sí.

L4

c f

f

e

c

b

fe

d

cb

a

PC

PB

PD

PA)1

HIPÓTESIS: L1 // L2

TESIS:

PC

PD

PB

PA)2

DC

PD

AB

PA)3

Ejemplo 1: En la siguiente figura L1//L2. Si BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?

4

6

3

X

3

46x

436 x

x4

18

5,4x

Ejemplo 2: Para calcular el ancho de un río, Juana usó una cuerda de 30 metros como se ve en el dibujo, y midió la distancia d = 6 metros y h = 4 metros. ¿Cuál es el ancho del río?.

h d

X

Teorema de la bisectriz de un ángulo interior de un triángulo

La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a la de los lados del correspondiente ángulo del triángulo.

bA

b

uv

a

B

C

v

b

u

a

Ejemplo 1: En un ABC, CD es bisectriz del ángulo en C ; a = 8 cm , b = 20 cm y c = 14 cm. Calculemos u y v.

b

ac

A

C

B

v

u

v

b

u

a

uu 14

208

uu 20)14(8

uu 208112

uu 820112

u28112 ucm 4 cmv 10

D

Ejemplo 2: En un ABC con CD bisectriz del ángulo ACB ; a = 25 cm , b = 35 cm y u = 20 cm. Calcula v y c.

b a

c

A

C

Bv u

v

b

u

a

v

35

20

25

352025 v

25

700v cmv 28

cmuvc 482028

D

Teorema de la bisectriz de un ángulo exterior de un

triánguloLa bisectriz de un ángulo exterior de un vértice del triángulo divide exteriormente al lado opuesto en la razón de los lados que forman el ángulo interior adyacente.

ba

DA

C

B

v

u

v

b

u

a

c

v = c + u

ba

DA

C

B

v

u

8

126

uu

Ejemplo : En un ABC, con CB bisectriz del ángulo exterior en C ; a = 6 cm , b = 12 cm y AB = 8 cm. Calcula u.

uu 12)8(6

uu 12486

u648 ucm 8

uu 61248