08/04/2013

1

TEORI ANTRIANTEORI ANTRIANPengertianPengertianTeoriTeori antrianantrian adalahadalah studistudi matematikalmatematikal daridarikejadiankejadian atauatau garisgaris tunggutunggu daridari nasabahnasabah((satuansatuan)) ygyg memerlukanmemerlukan layananlayanan ((fasilitasfasilitaslayananlayanan))layananlayanan))..KejadianKejadian garisgaris tunggutunggu timbultimbul disebabkandisebabkan oleholehkebutuhankebutuhan akanakan layananlayanan melebihimelebihi kemampuankemampuan((kapasitaskapasitas)) pelayananpelayanan atauatau fasilitasfasilitas layananlayanannasabahnasabah ygyg datangdatang tidaktidak bisabisa segerasegera mendapatmendapat--kankan layananlayanan disebabkandisebabkan kesibukankesibukan pelayananpelayanan..

Contoh dalam kehidupan sehariContoh dalam kehidupan sehari--harihari1. Deretan mobil yg berhenti karena 1. Deretan mobil yg berhenti karena traffic lighttraffic light..2. Antrian dari permintaan telepon pada 2. Antrian dari permintaan telepon pada switch switch

boardboard..3. Antrian loket bioskop, kereta api, kasir bank,3. Antrian loket bioskop, kereta api, kasir bank,

dermaga pelabuhan, jalan tol, bandara udara.dermaga pelabuhan, jalan tol, bandara udara.dermaga pelabuhan, jalan tol, bandara udara.dermaga pelabuhan, jalan tol, bandara udara.4. Antrian mobil pada pompa bensin, truk4. Antrian mobil pada pompa bensin, truk--truk ygtruk yg

menunggu muatan, kedatangan pesanan pd menunggu muatan, kedatangan pesanan pd gudang, dll.gudang, dll.

Konsep Dasar Teori AntrianKonsep Dasar Teori Antrian1. Tujuan adalah meminimumkan total dua biaya1. Tujuan adalah meminimumkan total dua biaya

yaitu : biaya langsung penyediaan fasilitas yaitu : biaya langsung penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung yg timbulpelayanan dan biaya tidak langsung yg timbulkarena nasabah harus menunggu untuk dilakarena nasabah harus menunggu untuk dila--yani.yani.yani.yani.

2. Elemen2. Elemen--elemen sistem antrianelemen sistem antriana. Sumber Masukkana. Sumber Masukkan : adalah kumpulan : adalah kumpulan

orangorang--orang (nasabah) atau barang yangorang (nasabah) atau barang yangdatang atau dipanggil pada suatu sistemdatang atau dipanggil pada suatu sistemyg dilayani.yg dilayani.

Kumpulan orangKumpulan orang--orang (nasabah) atau brgorang (nasabah) atau brgboleh berhingga atau tidak berhingga.boleh berhingga atau tidak berhingga.

b. Proses Masukkan b. Proses Masukkan : adalah proses terjadinya: adalah proses terjadinyaantrian akibat kedatangan satuanantrian akibat kedatangan satuan--satuansatuanorang atau barang. Secara teori, waktu keorang atau barang. Secara teori, waktu ke--datangan antara satuandatangan antara satuan satuan dengan satusatuan dengan satudatangan antara satuandatangan antara satuan--satuan dengan satusatuan dengan satu--an berikutnya dianggap acak dan bebas an berikutnya dianggap acak dan bebas (biasanya menggunakan distribusi Poisson).(biasanya menggunakan distribusi Poisson).Mekanisme layanan terdiri 3 aspek :Mekanisme layanan terdiri 3 aspek :(1). Tersedianya pelayanan.(1). Tersedianya pelayanan.

08/04/2013

2

Mekanisme pelayanan tidak selalu terseMekanisme pelayanan tidak selalu terse--dia setiap saat.dia setiap saat.

(2). Kapasitas Pelayanan(2). Kapasitas PelayananKapasitas dari mekanisme pelayanan diKapasitas dari mekanisme pelayanan di--ukur berdasarkan jumlah langganan yangukur berdasarkan jumlah langganan yangdapat dilayani secara bersamadapat dilayani secara bersama--sama.sama.

(3). Lamanya Pelayanan(3). Lamanya PelayananLamanya pelayanan adalah waktu yangLamanya pelayanan adalah waktu yangdibutuhkan untuk melayani seorang langdibutuhkan untuk melayani seorang lang--ganan atau satu satuan.ganan atau satu satuan.

Berdasarkan ketiga sifatBerdasarkan ketiga sifat--sifat tersebut di atas sifat tersebut di atas membentuk bermacammembentuk bermacam--macam sistem antrian, macam sistem antrian, yaitu :yaitu :(1). (1). Singel ChannelSingel Channel--Single Phase Single Phase artinya: hanyaartinya: hanya

ada satu jalur memasukki sistem pelayananada satu jalur memasukki sistem pelayananatau ada satu fasilitas pelayanan.atau ada satu fasilitas pelayanan.Contoh :Contoh :-- Antrian pelanggan dari seorang tukang Antrian pelanggan dari seorang tukang

cukur, pembelian tiket kereta api yang dicukur, pembelian tiket kereta api yang di--layani oleh satu loket, layanan pelangganlayani oleh satu loket, layanan pelangganoleh satu pelayan toko. oleh satu pelayan toko.

Antrian

(M)

Fasilitas

Pelayanan

Sumber Masukkan Sistem Antrian Keluaran

Nasabah yang

Populasi

(S) Nasabah yang

dilayani

Gbr. Single Channel-Single Phase

Nasabah/Individu

(2). (2). Single Channel MultiphaseSingle Channel Multiphase : satu jalur : satu jalur dengan dua atau lebih pelayanan yang didengan dua atau lebih pelayanan yang di--laksanakan secara berurutan.laksanakan secara berurutan.Contoh :Contoh :-- Pencucian mobil, tukang cat mobilPencucian mobil, tukang cat mobil

(3). Multi Channel Single Phase(3). Multi Channel Single Phase : ada dua atau : ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal.tunggal.Contoh :Contoh :-- Pembelian tiket yg dilayani lebih dari satu Pembelian tiket yg dilayani lebih dari satu loket, potong rambut dgn bbrp tukang potong loket, potong rambut dgn bbrp tukang potong

08/04/2013

3

M S M S

Sumber Masukkan Sistem Antrian Keluaran

Nasabah/Individu

Nasabah/Individu yg

Telah dilayani

Gbr. Single Channel Multiphase

Keterangan : M = Antrian

S = Fasilitas Pelayanan (Server)

M

S

Sumber Masukkan Sistem Antrian Keluaran

Nasabah/Individu

S Nasabah/Individu yg

Telah dilayani

Gbr. Multi Channel Singel Phase

Keterangan : M = Antrian

S = Fasilitas Pelayanan (Server)

(4). (4). Multi Channel Multi Phase Multi Channel Multi Phase : : banyak jalurbanyak jalurdan banyak fasilitas pelayanan.dan banyak fasilitas pelayanan.Contoh : Contoh : -- Pelayanan herregestrasi mahasiswaPelayanan herregestrasi mahasiswa-- Pelayanan pasien di rumah sakit mulai dariPelayanan pasien di rumah sakit mulai dari

d ft di b hd ft di b hpendaftaran, diagnosa, penyembuhan, pendaftaran, diagnosa, penyembuhan, sampai pembayaran.sampai pembayaran.

Selain empat bentuk sistem antrian di atas Selain empat bentuk sistem antrian di atas sering juga terjadi bentuk sistem campuran sering juga terjadi bentuk sistem campuran ((mixed arrangementsmixed arrangements) yg merupakan campuran ) yg merupakan campuran dari dua atau lebih sistem antrian di atas.dari dua atau lebih sistem antrian di atas.

M

S M S

Sumber Masukkan Sistem Antrian Keluaran

Nasabah/Individu

S M S

Nasabah/Individu yg

Telah dilayani

Gbr. Multi Channel Multi Phase

08/04/2013

4

Misal : TokoMisal : Toko--toko dengan beberapa pelayan, toko dengan beberapa pelayan, namun pembayarannya hanya pada seorang namun pembayarannya hanya pada seorang kasir (kasir (single channelsingle channel).).

c. Disiplin Antrianc. Disiplin Antrian : menunjukkan pedoman kepu: menunjukkan pedoman kepu--tusan yang digunakan untuk menseleksi individu tusan yang digunakan untuk menseleksi individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu (prioritas).dahulu (prioritas).(p )(p )Ada 5 bentuk disiplin pelayanan :Ada 5 bentuk disiplin pelayanan :(1). (1). First Come First Served (FCFS)First Come First Served (FCFS) atau atau FirstFirst--InIn

FirstFirst--Out (LIFO)Out (LIFO),, artinya : lebih dulu datangartinya : lebih dulu datanglebih dulu dilayani. Misal : antri beli tiket bioslebih dulu dilayani. Misal : antri beli tiket bios--kop.kop.

(2). (2). Last Come First Served (LCFS)Last Come First Served (LCFS) atau atau LastLastIn First Out (LIFO)In First Out (LIFO) : yg datang terakhir yg: yg datang terakhir yglebih dahulu dilayani/keluar. Misal : sistem lebih dahulu dilayani/keluar. Misal : sistem antrian dalam elevator (lift) untuk lantai yangantrian dalam elevator (lift) untuk lantai yangsama.sama.

(3). (3). Service In Random Order (SIRO)Service In Random Order (SIRO) : panggil: panggil--( )( ) ( )( ) p ggp ggan didasarkan pada peluang secara randoman didasarkan pada peluang secara randomtidak masalah siapa yg lebih dahulu datang.tidak masalah siapa yg lebih dahulu datang.

(4). (4). Priority Service (PS)Priority Service (PS) : prioritas layanan di: prioritas layanan diberikan kepada mereka yg mempunyai berikan kepada mereka yg mempunyai prioritas lebih rendah.prioritas lebih rendah.

d. Kepanjangan Pelayanand. Kepanjangan PelayananBanyaknya sistem pelayanan dpt menampung Banyaknya sistem pelayanan dpt menampung jumlah individujumlah individu--individu yg relatif besar, tetapi individu yg relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yg mempunyai kapasitas ada beberapa sistem yg mempunyai kapasitas yg terbatas. Bila kapasitas antrian menjadi yg terbatas. Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yg faktor pembatas besarnya jumlah individu yg dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berdapat dilayani dalam sistem secara nyata, ber--p y y ,p y y ,arti sistem mempunyai kepanjangan antrian yg arti sistem mempunyai kepanjangan antrian yg terbatas (finite) dan model antrian terbatas hrs terbatas (finite) dan model antrian terbatas hrs digunakan untuk menganalisis sistem tersebut.digunakan untuk menganalisis sistem tersebut.Contoh : jumlah parkir atau layanan parkir yg Contoh : jumlah parkir atau layanan parkir yg terbatas, jlh tempat tidur yg terbatas di rumahterbatas, jlh tempat tidur yg terbatas di rumah

sakit. Secara umum model antrian terbatas lebih kompleks daripada model antrian yg terbatas.

e. Tingkat PelayananWaktu yg digunakan untuk melayani individu-individu dalam sistem disebut waktu pelayananindividu dalam sistem disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan, ttp mungkin juga random. Bila distribusi mengikuti distribusi eksponensial, waktu pelayanan (unit/ jam) akan mengikuti distribusi Poisson.

08/04/2013

5

f. Keluar (Exit)f. Keluar (Exit)Sesudah seseorang (individu) telah selesai diSesudah seseorang (individu) telah selesai di--layani, dia akan keluar dan bergabung pada layani, dia akan keluar dan bergabung pada satu diantara katagori populasi. Dia mungkin satu diantara katagori populasi. Dia mungkin akan bergabung dengan populasi awal dan akan bergabung dengan populasi awal dan mempunyai probabilitas yg sama untuk memamempunyai probabilitas yg sama untuk mema--suki sistem kembali.suki sistem kembali.Sistem dan Struktur AntrianSistem dan Struktur Antriana. Sistem pelayanan komersiala. Sistem pelayanan komersialb. Sistem pelayanan bisnisb. Sistem pelayanan bisnis--industriindustri

c. Sistem pelayanan transportasid. Sistem pelayanan sosial.

Model AntrianModel AntrianDalam pengelompokkan model-model antrian yg berbeda-beda akan digunakan suatu notasiyang disebut Notasi Kendall’syang disebut Notasi Kendall’s.Notasi variabel dalam model antrian :λ = Tingkat kedatangan rata-rata1/λ = Waktu antar kedatangan rata-rataμ = Tingkat pelayanan rata-rata

1/1/μμ = waktu pelayanan rata= waktu pelayanan rata--ratarataσσ = Simpangan baku tingkat pelayanan= Simpangan baku tingkat pelayanann = Jumlah individu dlm sistem pd suatun = Jumlah individu dlm sistem pd suatu

waktu. waktu. nnqq = Jumlah individu rata= Jumlah individu rata--rata dalam antrianrata dalam antrian

J l h i di id d l i tJ l h i di id d l i tnntt = Jumlah individu dalam sistem= Jumlah individu dalam sistemttqq = Waktu rata= Waktu rata--rata dalam antrianrata dalam antriantttt = Waktu rata= Waktu rata--rata dalam sistemrata dalam sistemS = Jumlah fasilitas pelayananS = Jumlah fasilitas pelayananp = Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan p = Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan

Q = Kepanjangan maksimum sistem (antrian +Q = Kepanjangan maksimum sistem (antrian +ruang pelayanan).ruang pelayanan).

PPn n = Probabilitas jlh individu dalam sistem= Probabilitas jlh individu dalam sistemPP00 = Probabilitas tidak ada individu dlm sistem= Probabilitas tidak ada individu dlm sistemPPww = Probabilitas menunggu dalam antrian= Probabilitas menunggu dalam antrianCC Bi l / t kt f ilitBi l / t kt f ilitCCss = Biaya pelayanan/satuan waktu per fasilitas= Biaya pelayanan/satuan waktu per fasilitas

pelayananpelayananCCww = Biaya utk menunggu per satuan waktu per= Biaya utk menunggu per satuan waktu per

individuindividuCCt t = Biaya Total = S.C= Biaya Total = S.Css + n+ ntt. C. Cww

08/04/2013

6

FlowchartFlowchart Bentuk Umum Model AntrianBentuk Umum Model Antrian

SumberTak

Terbatas

Tingkat Kedatangan

Poisson

TingkatPelayananPoisson

KeluarFCFS

Populasi (I/F) Antrian (M/D) Fasilitas Pelayanan

(M/1 atau S)

Keluaran

Poisson Poisson

Kepanjangan

Antrian (I/F)

Gbr. Model Khusus Antrian : M/M/1: FCFS/I/I

Keterangan :Keterangan :M = Tingkat kedatangan dan pelayanan PoissonM = Tingkat kedatangan dan pelayanan PoissonD = Tingkat kedatangan atau pelayanan DeterministikD = Tingkat kedatangan atau pelayanan DeterministikK = Distribusi Erlang waktu antar kedatangan atauK = Distribusi Erlang waktu antar kedatangan atau

pelayananpelayananS = Jumlah fasilitas layananS = Jumlah fasilitas layananI = Sumber populasi atau kepanjangan antrian terbatasI = Sumber populasi atau kepanjangan antrian terbatasRumus :Rumus :1. Jumlah individu rata1. Jumlah individu rata--rata dalam antrian (nrata dalam antrian (nqq) :) :

)(n

2

q λμμλ−

=

2. Jumlah individu dalam sistem (antrian dan fasilitas2. Jumlah individu dalam sistem (antrian dan fasilitaspelayanan (npelayanan (ntt) :) :

3. Waktu rata3. Waktu rata--rata dalam antrian (trata dalam antrian (tqq) :) :

)(n t λμ

λ−

=

λ

4. Waktu rata4. Waktu rata--rata dalam sistem (trata dalam sistem (ttt) :) :)(

t q λμμλ−

=

)(1t t λμ −

=

5. Probabilitas tidak ada individu dalam sistem (P5. Probabilitas tidak ada individu dalam sistem (Pnn) :) :

6. Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan (p) :6. Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan (p) :

nn ))(1(P

μλ

μλ

−=

λ

Contoh SoalContoh Soal--1 :1 :Tuan Akhmad memiliki sebuah restauran yg melayani Tuan Akhmad memiliki sebuah restauran yg melayani pelanggannya di dalam mobil mereka. Restauran ini pelanggannya di dalam mobil mereka. Restauran ini beroperasi sukses selama beberapa bln di kota X.beroperasi sukses selama beberapa bln di kota X.

μ=p

08/04/2013

7

DiaDia sangatsangat prihatinprihatin dengandengan panjangnyapanjangnya garisgaris antrianantrianpadapada jamjam--jamjam makanmakan siangsiang dandan makanmakan malammalam.. BeberaBebera--papa langgannyalanggannya telahtelah mengadumengadu tentangtentang waktuwaktu menunggumenungguyangyang berlebihanberlebihan.. DiaDia merasamerasa bahwabahwa diadia suatusuatu ketikaketikaakanakan kehilangankehilangan parapara pelanggannyapelanggannya.. DiaDia memintameminta kitakitauntukuntuk menganalisismenganalisis sistemsistem antrianantrian dengandengan menggunamengguna--kankan teoriteori antrianantrian.. TingkatTingkat kedatangankedatangan ratarata--ratarata langganlanggan--anan selamaselama periodeperiode puncakpuncak adalahadalah 5050 mobilmobil perper jamjamanan selamaselama periodeperiode puncakpuncak adalahadalah 5050 mobilmobil perper jamjam..TingkatTingkat kedatangankedatangan mengikutimengikuti suatusuatu distribusidistribusi PoissonPoisson..WaktuWaktu pelayananpelayanan ratarata--ratarata 11 menitmenit dengandengan distribusidistribusieksponensialeksponensial..PertanyaanPertanyaan ::11.. HitungHitung tingkattingkat kegunaankegunaan bagianbagian pelayananpelayanan restauranrestauran

(p)(p) !!

2. Hitung jumlah mobil rata2. Hitung jumlah mobil rata--rata dalam antrian (nrata dalam antrian (nqq) !) !3. Hitung jumlah mobil rata3. Hitung jumlah mobil rata--rata dalam sistem (nrata dalam sistem (ntt) !) !4. Hitung waktu menunggu rata4. Hitung waktu menunggu rata--rata dalam antrian (trata dalam antrian (tqq) !) !5. Hitung waktu menunggu rata5. Hitung waktu menunggu rata--rata dalam sistem (trata dalam sistem (ttt) !) !6. Hitung probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem6. Hitung probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem

dan lebih dari empat mobil sistem !dan lebih dari empat mobil sistem !Pen elesaianPen elesaianPenyelesaian Penyelesaian ::

Tingkat kedatangan =Tingkat kedatangan =λλ = 50; = 50; Waktu pelayanan rataWaktu pelayanan rata--rata = 1/rata = 1/μμ = 1/60 = 1 menit.= 1/60 = 1 menit.

1. p = 1. p = λλ//μμ = 50/60 = 0,8333, artinya rata= 50/60 = 0,8333, artinya rata--rata bagian perata bagian pe--layanan sibuk (penggunaan fasilitas pelayanan) adalayanan sibuk (penggunaan fasilitas pelayanan) ada--lah 83,33 %.lah 83,33 %.

2.2.

3.3.

4.4.

mobil 1667.4)5060(60

50)(

n22

q =−

=−

=λμμ

λ

mobil 5)5060(

50)(

n t =−

=−

=λμ

λ

menit 5atau jam 08333,0)5060(60

50)(

tq =−

=−

=λμμ

λ

5.5.

6. 6.

menit 6atau 1,0)5060(

1)(

1t t =−

=−

=λμ

......4)P(n3)P(n2)P(n1)P(n0)P(n1)P(n : 1n +=+=+=+=+==>>

17,0)83,0)(17,0())(1(P0)P(n 000 ==−=== ρρ

14,0)83,0)(17,0())(1(P1)P(n 110 ==−=== ρρ

Contoh SoalContoh Soal--22UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Ratadengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata--rata tingkat rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani ratayaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata--rata rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:

1.1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayananTingkat intensitas (kegunaan) pelayanan22 Jumlah rataJumlah rata rata kendaraan yang diharapkan dalamrata kendaraan yang diharapkan dalam2.2. Jumlah rataJumlah rata--rata kendaraan yang diharapkan dalam rata kendaraan yang diharapkan dalam

sistemsistem3.3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam

antrianantrian4.4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama

dalam sistem (menunggu pelayanan)dalam sistem (menunggu pelayanan)5.5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk

menunggu dalam antrianmenunggu dalam antrian

08/04/2013

8

Jawaban SoalJawaban SoalDiketahui: Diketahui: λλ = 20, = 20, μμ = 25= 25

1.1. p = p = λλ / / μμ = 20/25 = 0.80= 20/25 = 0.80Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1--p) untuk istirahatp) untuk istirahat

2. n2. ntt = = λλ / (/ (μμ –– λλ) = 20 / (25) = 20 / (25--20) = 4, atau20) = 4, ataunntt = p / (1= p / (1--p) = 0.80 / (1p) = 0.80 / (1--0.80) = 40.80) = 4Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistemkendaraan yang berada dalam sistemkendaraan yang berada dalam sistemkendaraan yang berada dalam sistem

3. n3. nqq = = λλ22 / / μ μ ((μμ –– λλ) = (20)) = (20)22 / 25(25/ 25(25--20) = 3.220) = 3.2Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraansebanyak 3.2 kendaraan

4. t4. ttt = 1 / (= 1 / (μμ –– λλ) = 1 / (25) = 1 / (25--20) = 0.2 jam atau 12 menit20) = 0.2 jam atau 12 menitJadi waktu rataJadi waktu rata--rata kendaraan menunggu dalam sistem selama rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit12 menit

5. tq = 5. tq = λλ / / μ μ ((μμ –– λλ) = 20 / 25(25) = 20 / 25(25--20) = 0.16 jam atau 9.6 menit20) = 0.16 jam atau 9.6 menitJJadi waktu rataadi waktu rata--rata kendaraan menunggu dalam antrian selama rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit9.6 menit

Model : M/M/SModel : M/M/S

Rumus :Rumus :1.1. 4.4.

22 55

s

sss

)()](1)[!(.

Pt2

0q μ

λλμμ

−=

02q P.)()!1(

)(n

λμλλ

μ

μ

−−=

ss

s

λ 12.2. 5.5.

3.3. 6.6.

7. 7.

∑−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1

0

0

1!!

)(

1P

s

n

ss

ss

n

μ

λμλ

μλ

μλ

−= qt nn

μ

λρs

=

λ1tt qt −=

]1[!

PP 0w

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

μ

λμλ

ss

s

Contoh :Contoh :Bagian kredit pada suatu Bank Swasta di Bagian kredit pada suatu Bank Swasta di Kota Palembang mempekerjakan 3 (tiga) Kota Palembang mempekerjakan 3 (tiga) orang karyawan untuk menangani panggilorang karyawan untuk menangani panggil--an masuk para pedagang. Waktu rataan masuk para pedagang. Waktu rata--rata yang dibutuhkan untuk menerima rata yang dibutuhkan untuk menerima

d d l h 0 5 it bil tid kd d l h 0 5 it bil tid kpara pedagang adalah 0,5 menit bila tidak para pedagang adalah 0,5 menit bila tidak diperlukan waktu menunggu . Tingkat pediperlukan waktu menunggu . Tingkat pe--layanan mengikuti distribusi eksponensial, layanan mengikuti distribusi eksponensial, karena kondisikarena kondisi--kondisi yang tidak biasa kondisi yang tidak biasa dapat menghasilkan baik waktu pelayanan dapat menghasilkan baik waktu pelayanan yang relatif lama ataupun pendek. Selama yang relatif lama ataupun pendek. Selama

periode puncak 8 jam, kantor menerima periode puncak 8 jam, kantor menerima total 1.750 panggilan (218,75 per jam). total 1.750 panggilan (218,75 per jam). Tingkat kedatangan panggilan mengikuti Tingkat kedatangan panggilan mengikuti distribusi Poisson.distribusi Poisson.Pertanyaan :Pertanyaan :

1 Hitung tingkat layanan panggilan per jam1 Hitung tingkat layanan panggilan per jam1. Hitung tingkat layanan panggilan per jam 1. Hitung tingkat layanan panggilan per jam ((µ) !µ) !

2. Hitung tingkat kegunaan karyawan (2. Hitung tingkat kegunaan karyawan (ρρ) !) !3. 3. Hitung probabilitas tidak ada panggilan !Hitung probabilitas tidak ada panggilan !

08/04/2013

9

4. Hitung jumlah pedagang rata4. Hitung jumlah pedagang rata--rata merata me--nunggu untuk dilayani !nunggu untuk dilayani !

5. Hitung jumlah pedagang dalam sistem !5. Hitung jumlah pedagang dalam sistem !6. Hitung waktu rata6. Hitung waktu rata--rata dalam antrian !rata dalam antrian !7. Hitung waktu rata7. Hitung waktu rata--rata dalam sistem !rata dalam sistem !8. Hitung probabilitas untuk menunggu (P8. Hitung probabilitas untuk menunggu (Pww)!)!Penyelesaian :Penyelesaian :(1). 1/(1). 1/µ=0,5; µ=10/5 =2x60 jam = 120 jamµ=0,5; µ=10/5 =2x60 jam = 120 jam

λλ= 218,75 pedagang per jam= 218,75 pedagang per jam

2. Kegunaan layanan (kegunaan karyawan):2. Kegunaan layanan (kegunaan karyawan):

3. Hitung probabilitas tidak ada panggilan !3. Hitung probabilitas tidak ada panggilan !

(60,76%) 6076,0)120)(3(

75,218===

μ

λρs

1417,0

!3}120/)75,218{(

!2}120/)75,218{(

!1120/)75,218(

!01

1

1!!

)(

1P 32

1

0

0 =+++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡=

∑−

=

s

n

ss

sn λ

μλ

μλ

4. J4. Jumlah pedagang rataumlah pedagang rata--rata menunggu untuk rata menunggu untuk dilayani !dilayani !

pedagang 5647,0)1417,0(}75,218)120(3{)!13(

12075,218)120)(75,218(

P.)()!1(

)(n 2

3

02q =−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−

=λ

μλλ

μ

μ

ss

s

⎟⎠

⎜⎝

⎥⎦⎢⎣ s μ

5. Hitung jumlah pedagang dalam sistem !5. Hitung jumlah pedagang dalam sistem !

6. Waktu rata6. Waktu rata--rata dalam antrian :rata dalam antrian :

pedagang 3876,28229,15647,0120

75,2185647,0nn qt =+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=−=

μλ

menit 0,6546jam 00258,0120

75,218

)360

75,2181)(!3)(120(

1417,0)()](1)[!(.

Pt3

22

0q ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

−= s

sss μ

λλμμ

7. Waktu rata7. Waktu rata--rata dalam sistem :rata dalam sistem :

8. Probabilitas untuk menunggu (P8. Probabilitas untuk menunggu (Pww) :) :

menit 0,6546jam 01091,0120

100258,01tt qt ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=−=

λ

3646,0

36075,2181[6

1417,0

]1[!

PP 0w =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

μ

λμλ

ss

s