TEORI ANTRIAN _Matematika_

  • View
    401

  • Download
    32

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Teori antrian

Text of TEORI ANTRIAN _Matematika_

  • 0

    BAHAN AJAR

    Mata Kuliah : TEORI ANTRIAN Kode MK : MAT 713 Jumlah SKS : 3 SKS Dosen Pengampu: PUTRIAJI H, S.Si., M.Pd., M.Sc.

    PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

    FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

    TAHUN AKADEMIK 2011/2012

  • 1

    PENGANTAR PROSES STOKASTIK Proses stokastik adalah suatu proses yang dalam pengambilan keputusan mengaitkan dengan peluang.

    Berhingga { }10,,2,1 K Tak berhingga dan terbilang { }K,, 21 nn Tak berhingga dan tak terbilang { }Rxxx

  • 2

    Proses Markov adalah suatu himpunan-himpunan objek dan himpunan keadaan sedemikian

    rupa sehingga:

    1. pada sebarang waktu yang diketahui tiap-tiap objek harus berada dalam keadaan

    tertentu.

    2. peluang atau probabilitas berpindahnya keadaan satu ke keadaan lain dalam selang

    waktu tertentu hanya tergantung pada dua keadaan itu.

    Rantai Markov Bilangan-bilangan bulat positif dari selang waktu setelah proses perpindahan menyatakan

    tahapan-tahapan proses yang jumlahnya hingga/tak hingga tetapi dapat dihitung (countable)

    maka proses markov tersebut merupakan Rantai Markov (Markov Chain). Rantai Markov Waktu Diskrit Konsep dasar: Sifat Markov

    ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

    ( )ij

    kk

    kk

    kkkk

    PiXjXP

    itXjtXP

    ttXttXttXjtXP

    ====

    =======

    +

    +

    +

    1

    1

    00111 ,,, K

    Nilai saat ini dari rantai Markov kX disebut sebagai suatu STATE .

    Probabilitas bersyarat

    i} X | j P{X k1k === +ijP Catatan: k dan k+1 menunjukkan waktu.

    j menunjukkan state yang baru.

    i menunjukkan state yang baru

    ijP disebut probabilitas transisi dengan =

    =0

    1j

    ijP

    Rantai Markov Waktu Kontinu Perhatikan proses stokastik waktu kontinu {X(t), t 0} dengan daerah space i = 0,1,2,. Proses {X(t), t 0} adalah rantai markov waktu kontinu jika untuk semua s, t 0 dan bilangan non negative i, j, x(u), 0 u s.

    P{X(t+s) = j | X(s) = i , X(u) = x(u), 0 u < s} = P{X(t+s) = j | X(s) = i} Dan jika probabilitas ini bebas dari s, maka RMWK ini mempunyai probabilitas transisi

    stationary.

    Pij(t)=P{X(t+s) = j | X(s) = i} untuk setiap s.

    Selain itu, RMWK adalah suatu proses stokastik yang memiliki sifat markov dimana distribusi

    bersyarat dari state di masa mendatang pada waktu t+s, diberikan oleh state saat ini yaitu s

  • 3

    dan semua state yang telah berlaku/state sebelumnya hanya bergantung pada state yang

    sedang berlangsung saat ini dan itu independent dari masa lalu.

    Andaikan suatu RMWK memasuki state i pada suatu waktu, katakan waktu 0 dan andaikan

    bahwa proses tersebut tidak meninggalkan state i (yaitu tidak terjadi transisi) selama s unit

    waktu berikutnya. Maka probabilitas bahwa proses tidak akan meninggalkan state i selama t

    unit waktu yang terjadi adalah sama dengan probabilitas akan tetap berada dalam state

    tersebut selama interval [s, s+t] adalah hanya probabilitas bahwa ia akan bertahan di state i

    untuk setidaknya selama unit waktu t. Hal ini mengingat bahwa sebagai suatu proses dalam

    state i pada waktu s yang mengikuti sifat Markovian property.

    Berikut ini merupakan sifat proses markov waktu kontinu:

    Waktu yang dihabiskan proses pada sembarang state harus memoryless Exponentially distributed state times P(sistem dalam state i untuk waktu T | sistem pada state i saat ini) =

    TtT

    et = )1( dengan 0t

  • 4

    PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN

    Proses kelahiran adalah bertambahnya/bergabungnya obyek dalam suatu populasi. Contoh: tumbuhnya tumbuhan, bakteri membelah diri

    Proses kematian adalah berkurangnya obyek dalam suatu populasi apabila ada anggota populasi yang meninggalkan populasi.

    Contoh: proses peluluhan, proses migrasi

    Proses kelahiran murni apabila hanya terjadi penambahan anggota atau hanya terjadi proses kelahiran.

    Proses kematian murni apabila hanya terjadi proses kematian saja. Contoh:

    - pendaftaran lomba dalam jangka waktu tertentu tanpa dilakukan seleksi terlebih

    dahulu merupakan proses kelahiran murni.

    - Proses seleksi setelah proses pendaftaran lomba ditutup merupakan proses kematian

    murni.

    - Bila proses seleksi berlangsung dalam jangka waktu pendaftaran lomba maka terjadi

    proses kelahiran dan kematian bersamaan.

    Dalam pendefinisian proses kelahiran dan kematian terdapat beberapa pendefinisian sebagai

    berikut:

    Proses kelahiran dan kematian adalah suatu rantai markov waktu kontinu dengan state {0,1,} dimana untuk setiap transisi dari state n hanya dapat menuju ke state n+1

    (kelahiran) atau state n-1 (kematian).

    Dengan kata lain dapat dikatakan bahwa proses kelahiran-kematian adalah kasus khusus pada proses markov waktu kontinu di mana setiap state menggambarkan ukuran populasi

    dan dimana transisinya dibatasi terhadap kelahiran-kematian.

    Proses kelahiran-kematian mempunyai banyak aplikasi diantaranya penerapan dalam demography, teori antrian, atau biologi contohnya dalam mempelajari evolusi pada bakteri.

    Proses Kelahiran Markov Adalah proses markov dimana peluang transisi/berpindah dari keadaan (state) satu ke

    keadaan lain hanya bergantung pada keadaan sekarang tidak bergantung pada bagaimana

    mencapai keadaan yang sekarang (prosesnya kelahiran).

  • 5

    Proses Kematian Markov Adalah proses markov dimana peluang transisi/berpindah dari keadaan satu ke keadaan lain

    hanya bergantung pada keadaan sekarang tidak bergantung pada bagaimana mencapai

    keadaan yang sekarang (prosesnya kematian).

    Suatu proses disebut proses kelahiran-kematian jika merupakan proses stokastik {X(t), t

    0} yang adalah suatu rantai markov yang mempunyai probabilitas transisi stationary dan

    memenuhi:

    (i) N(0) = n menyatakan banyaknya populasi pada waktu t = 0. (ii) Distribusi-distribusi peluang yang menentukan jumlah kelahiran dan kematian

    dalam selang waktu tertentu hanya bergantung pada panjang selangnya jadi tidak

    ada titik awalnya.

    (iii) Peluang untuk terjadinya satu kelahiran saja dalam selang waktu t , bila pada titik awal selang tersebut terdapat suatu populasi dengan n anggota, adalah:

    P {X(t+ t ) X(t) = 1 | X(t) = n} = n t + 0( t ) Birth Rate (iv) Peluang untuk terjadinya satu kematian saja dalam selang waktu t , bila pada titik

    awal selang tersebut terdapat suatu populasi dengan n anggota, adalah:

    P {X(t+ t ) X(t) = -1 | X(t) = n} = n h + 0( t ) Death Rate (v) Peluang untuk terjadi lebih dari satu kelahiran atau kematian dalam selang waktu

    t , adalah: P {dua atau lebih peristiwa terjadi (t, t+ t ) | X(t) = n} = 0( t ) dengan parameter { n , n , n = 0,1,2,} dimana n laju kelahiran dan n laju kematian.

    Misalkan jumlah orang dalam suatu populasi atau suatu sistem adalah n, maka:

    Laju kelahiran/kedatangan dalam state n adalah n . Nilainya ditulis { n , n 0}. Laju kematian/kepergian dalam state n adalah n .Nilainya ditulis { n , n 1}.

  • 6

    Berikut diagram laju (rate diagram) untuk proses kelahiran dan kematian:

    State dari suatu proses biasanya idenya sebagai representasi dari jumlah beberapa populasi

    dan saat state meningkat 1 dikatakan bahwa terjadi kelahiran, dan saat state menurun 1

    dikatakan terjadi kematian.

    Karena itu dalam suatu proses kelahiran dan kematian dapat diterka bahwa sewaktu-waktu

    terdapat n orang dalam sistem sampai waktu kelahiran berikutnya berdistribusi eksponensial

    (proses poisson) dengan laju n dan independent dengan waktu hingga kematian berikutnya yang berdistribusi eksponensial dengan laju n . Kedatangan baru yang masuk dalam suatu sistem pada laju n dengan waktu sampai dengan kedatangan berikutnya berdistribusi eksponensial (proses poisson) dengan mean

    n1 .

    Kepergian seseorang dari sistem dengan laju n dengan waktu sampai dengan kepergian berikutnya berdistribusi eksponensial dengan mean

    n1 dan independen dengan kedatangan

    berikutnya.

    Bentuk proses kelahiran-kematian secara umum yang merupakan proses stokastik yang

    adalah suatu rantai Markov yang mempunyai karakteristik berikut:

    Jika dimisalkan populasi = n, kelahiran dan kematian adalah suatu proses poisson: laju kelahiran n dan laju kematian n (0 = 0).

    B(t,t) adalah jumlah kelahiran dalam periode (t, t+t). D(t, t) adalah jumlah kematian dalam periode (t, t+t). Dengan demikian:

    )(01}|0),({ ttnpopulasittBP n +=== )(0}|1),({ ttnpopulasittBP n +===

    )(0}|0),({ tnpopulasittBP ==> )(01}|0),({ ttnpopulasittDP n +===

  • 7

    )(0}|1),({ ttnpopulasittDP n +=== )(0}|1),({ tnpopulasittDP ==>

    Proses kelahiran-kematian secara umum sebagai rantai Markov dapat ditulis dalam bentuk

    matriks transisi berikut:

    =

    OMMMMLLLL

    333

    2222

    1111

    00

    10010

    01001

    P

    Perlu diketahui bahwa jumlah state dari 0 sedemikian sehingga jumlah state adalah sama

    sebagaimana jumlah populasi.

    Contoh Rantai Markov Waktu Kontinu Proses Kelahiran Dan Kematian Contoh 1 Sebuah swalayan memiliki satu pelayan (kasir) dan pelanggan yang akan membayar

    bergabung dalam suatu antrian saat mereka datang. Kedatangan pelanggan sesuai dengan

    laju dengan waktu interval kedatangan berdistribusi eksponensial (proses poisson) dan pelayan melayani pelanggan dengan laju dengan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial. Jika X(t) adalah jumlah pelanggan dalam antrian pada waktu t,