TEORIJA IZ - gimnazija-vnazora-zd.skole.hr · PDF fileNastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE,

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:

-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA

-SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA - ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA

- PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM -SLIČNOST TROKUTA

Razred:I sukladnost_i_slicnost doc.

TEORIJA

IZ

SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA

SUKLADNOST TROKUTA

SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA

TROKUTA

ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA PROPORCIONALNOST DUŽINA

SLIČNOST TROKUTA






6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA

6.1.1 Sukladnost dužina

6.1.2 Sukladnost kutova

6.2. SUKLADNOST TROKUTA

6.2.1 Općenito o sukladnosti trokuta

6.2.2 Prva konstrukcija S-S-S

6.2.3 Druga konstrukcija S-K-S

6.2.4 Treća konstrukcija K-S-K

6.2.5 Četvrta konstrukcija S-S-K

6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA

6.3.1 Simetrala dužine

6.3.1.1 Konstrukcija simetrale dužine 6.3.1.2 Okomica na zadani pravac iz zadane točke

6.3.2 Simetrala kuta

6.3.2.1 Konstrukcija simetrale kuta

6.3.3 Svojstva srednjice trokuta

6.4. ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA

6.4.1 Središte opisane kružnice

6.4.2 Središte upisane kružnice

6.4.3 Ortocentar

6.4.4 Težište trokuta

6.4.5 Heronova formula za površinu trokuta






6.5. PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM

6.5.1 Omjeri i razmjeri

6.5.2 Dijeljenje dužine u zadanom omjeru

6.5.3 Talesov teorem

6.6. SLIČNOST TROKUTA

6.6.1 Općenito o sličnosti trokuta

6.6.2 Kriterij za sličnost trokuta

6.6.3 Opsezi i površine sličnih trokuta

6.6.4 Euklidov poučak






6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA

6.1.1 Sukladnost dužina

Dvije dužine i su sukladne ako su jednake

duljine

jednakostraničan trokut - sukladne sve stranice

a a

a

sukladne - suprotne stranice paralelograma

b b

a

a






jednakokračan trapez - sukladni kraci

c

bb

a

6.1.2 Sukladnost kutova

Dva su kuta sukladna ako imaju istu mjeru.

Mjera kuta izražava se:

stupnjevima

radijanima (mjera kuta u radijanima je

duljina pripadajućeg luka jedinične

kružnice sa središtem u vrhu kuta).

uni kut se dijeli na 36 jednakih dijelova a svaki od tih dijelova

iznosi 1 jedan stupanj . Stupanj se dijeli na minute 1 6 i sekunde

1 6 .

uni kut ima mjeru 36 , ispruženi kut 18 pravi kut .

Puni kut ima mjeru u radijanima 2π, ispruženi kut π, a pravi kut .






jednakostraničan trokut - sukladna dva kuta uz

osnovicu

a a

a

sukladni - suprotni kutovi u paralelogramu

b b

a

a






jednakokračan trapez - sukladni kutovi uz osnovicu

c

bb

a

6.1.2.1 Kutovi s paralelnim kracima

Kada su kraci kutova paralelni kutovi su:

sukladni

ili

suplementarni (zbroj mjera kutova jednak je 1 )

sukladni kutovi






suplementarni kutovi

6.1.2.2 Poučak o vršnim kutovima

Dva pravca se sijeku i određuju dva para međusobno sukladnih

kutova.

a1

sukladni kutovi

AVB i CVD

BVC i DVA

V

C B

D A






6.1.2.3 Poučak o kutovima uz presječnicu (transverzalu)

p i q su paralelni pravci, a pravac t presječnica ili

transverzala) ih siječe. Pravac t (transverzala) s paralelnim

pravcima p i q određuje sukladne kutove.

Možemo li sukladne kutove označiti CAB i DBE ?

EAC EBD

presječnica ili transverzala

q

p

t

C

D

E

B

A

6.1.2.3 Kutovi s okomitim kracima

Kutovi s okomitim kracima su:

sukladni ili

sumplementarni1

1 z roj mjera kutova jednak je 18






sukladni kutovi

suplementarni kutovi

6.2. SUKLADNOST TROKUTA

6.2.1 Izometrija ravnine

Izometrija ravnine je preslikavanje koje čuva udaljenost točaka.

Mora biti ispunjen uvjet da su i ilo koje dvije točke u ravnini a i

su slike tih točaka, tada je






Sukladnost likova

Kada izometrija preslikava lik na lik tada je lik L sukladan .

Svaka dva kruga jednakog polumjera su sukladna.

Svaka dva kvadrata su sukladna

Sukladnost složenih likova nije uvijek lako utvrditi.

6.2.1.1 Općenito o sukladnosti trokuta

Trokuti su sukladni ako su im odgovarajuće stranice sukladne i odgovarajući kutovi. Oznaka za sukladnost .

oučci ili teoremi o sukladnosti trokuta su minimalno dovoljni za sukladnost trokuta.

6.2.2 Prva konstrukcija S-S-S

S-S-S teorem o sukladnosti: Dva trokuta su sukladna ako su im

sukladne sve tri stranice.

Kako konstruirati trokut kojemu su zadane duljine stranica a, b i c ? Da i konstrukcija ila moguća duljina najdulje stranice mora iti manja od zbroja duljina preostalih dviju (nejednakost trokuta).






1. Prenesimo šestarom duljinu odabrane stranice na pravac (proizvoljno nacrtan). 2. Iz ru nih točaka konstruirane stranice zasijecimo kružni luk duljine a i kružni luk duljine . 3. Sjecište kružnih lukova je vrh C.

6.2.3 Druga konstrukcija S-K-S

S-K-S teorem o sukladnosti: Dva trokuta su sukladna ako su im

sukladne dvije stranice i kut među njima.

Kako konstruirati trokut kojemu su zadane duljine dviju stranica b, c i kut α među njima?

1. Prenesimo šestarom duljinu oda rane stranice na pravac

(proizvoljno nacrtan).

2. Uz vrh A konstruirajmo kut α.

3. Na drugom kraku konstruiranog kuta nanosimo stranicu duljine b s

i tako je određen vrh C.






6.2.4 Treća konstrukcija K-S-K

K-S-K teorem o sukladnosti: Dva trokuta su sukladna ako su im

sukladne jedna stranica i dva kuta uz tu stranicu.

Kako konstruirati trokut kojemu su zadana duljina stranice c i kutovi α i β uz tu stranicu?

1. Prenesimo šestarom duljinu stranice

2. Uz vrh A konstruirajmo kut α. 3. Uz vrh B konstruirajmo kut β. 4. U točki gdje se sijeku krakovi kutova α i β je vrh C.






6.2.5 Četvrta konstrukcija S-S-K

S-S-K teorem o sukladnosti: Dva trokuta su sukladna ako su im

sukladne dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici.

Kako konstruirati trokut kojemu su zadane duljine

stranica a i c te kut ?

1. renesimo šestarom duljinu krače stranice

2. Uz vrh C konstruirajmo kut .

3. Iz vrha B nanosimo dulju stranicu.

4. U sjecištu kraka kuta i dulje stranice (nanijeli u vrh B) je vrh A.











6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA

6.3.1 Simetrala dužine

Simetrala dužine je pravac okomit na dužinu i prolazi polovištem.

Napomena: U softveru Sketchpad ne može se simetrala nacrtati kao

točka-crta.

B AP = BPmožemo pisati

AP = PB

polovištePA

simetrala dužine






Poučak ili teorem o simetrali dužine

Svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od krajnjih točaka

dužine.

Na simetrali dužine uzeli smo ilo koju točku označili je s C i spojili

točku C s krajevima dužine .






Grafički dokaz da je točka C jednako udaljena od krajnjih točaka

dužine .

simetrala dužine

proizvoljno odabrana točka na simetrali-bilokoja točka ravnine

AP = BP

APC = BPC = 90

AC = BC

C

A P B

Ta dva kuta su sukuti. Svaki od njih iznosi 90°.

Obrat poučka o simetrali dužine

Neka točka ravnine jednako je udaljena od krajnjih točaka zadane

dužine, onda ta točka uvijek pripada simetrali dužine.






6.3.1.1 Konstrukcija simetrale dužine

je zadana dužina.

Opisujemo kružnicu istog polumjera većeg od oko zadanih točaka

i . C i D su sjecišta tih kružnica.

C i D leže na simetrali dužine , pravac CD je simetrala dužine

6.3.1.2 Okomica na zadani pravac iz zadane točke

slika 1 slika 2






Zadan je pravac p i točka . Kako konstruirati pravac koji prolazi točkom P i okomit je na zadani?

Iz točke P zasiječemo pravac p u točkama i (slika 1).

Na slici 2 točka je polovište dužine odnosno jedna od točka

simetrale dužine koja leži na pravcu p.

Iz g rnj h a za jučuje da konstrukcija okomice na zadani pravac ne ovisi tome da li je točka na pravcu ili izvan njega.

Kada točka ne leži na pravcu (slika 1) onda smo spustili okomicu iz zadane točke . Kada je točka na pravcu (slika 2) onda smo podigli okomicu u točki .

6.3.2 Simetrala kuta

Pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli kut u dva dijela naziva se simetrala kuta.

Poučak ili teorem o simetrali kuta

Svaka točka leži na simetrali kuta ako i samo ako je jednako udaljena od njegovih krakova.

Točka T leži na simetrali kuta s vrhom u V. N1 i N2 su nožišta okomica koje su spuštene iz točke T.






Trokuti ∆ VN1C i ∆ VN2C su sukladni. je zajednička stranica tih

dvaju pravokutnih trokuta.

CVN1 CVN2

to znači da je točka C na simetrali kuta

CVN1 CVN2= 90

CN1 = CN2

oznaka za sukladnost

C

N2

N1V

Obrat poučka o simetrali dužine

Neka točka ravnine jednako je udaljena od krakova danog kuta,

onda ta točka pripada simetrali kuta.






6.3.2.1 Konstrukcija simetrale kuta

PVK QVK VPK VQK VK simetrala kuta

V je vrh danog kuta. Oko vrha V opišemo ilo koju kružnicu koja sječe krakove danog kuta u točkama i Q. Oko točaka i Q opišemo

kružnicu istog polumjera većeg od . Točka K je jedno od sjecišta.






6.3.3 Svojstva srednjice trokuta

Srednjica je simetrala koja spaja polovišta dviju stranica trokuta.

Poučak ili teorem o simetrali kuta

Srednjica trokuta je dužina koja prolazi polovištem jedne stranice i paralelna je s drugom stranicom. Dvostruko je kraća od stranice s kojom je paralelna odnosno njena duljina je jednaka polovini duljini te stranice.

MN = BP = 1

2BC

N je polovište stranice AC ,

MN srednjica trokuta

P je polovište stranice BC,

MP je srednjica trokuta

MNP = CPN SUKLADNI TROKUTI -podudaraju se u svim trima kutovima

MN = BP = PC

AMN = MBP SUKLADNI TROKUTI -podudaraju se u svim trima kutovima i jednojstranici

AM MB

presječna točka M N

P

oznaka za paralelnoCB

A

Documents

TEORIJA IZ - gimnazija-vnazora-zd.skole.hr · PDF fileNastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice:-SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE,