УВОД

Отпорност материјала је део механике деформабилног тела, који изучава стање

напона и деформације чврстог тела при различитим дејствима, увођењем извесних

претпоставки и поједностављених математичких израза који су погодни за инжењерску

праксу.

Отпорност материјала је посебна техничка дисциплина која се бави решавањем

следећих задатака: димензионисање елемената конструкција; провера чврстоће,

крутости и стабилности елемената конструкција.

Одређивање димензија саставних елемената конструкција зове се димензионисање.

Димензионисање се врши тако што на основу спољашњих дејстава одређују највеће

вредности сила у пресеку, затим на основу њих се налазе изразе за највеће напоне у

зависности од релевантних димензија. Ове димензије одређу се коришћењем услова да

стварни максимални напон несме да пређе дозвољену вредност напона у зависности од

врсте материјала.

Провера чврстоће конструкције подразумева поступак провере безбедности

конструкције без могућности лома.

Провера крутости конструкције подразумева поступак којим се одређује способност

конструкције да се супростави спољашњем оптерећењу, а да при том деформације не

прекораче дозвољене вредности.

Провера стабилности конструкције подразумева проверу способности конструкције да

сачува свој првобитни облик под утицајем спољашњег оптерећења.

У Отпорности материјала изучавају се чврста тело које се под дејством спољашњих

сила деформишу мењајући облик и запремину.

Деформацијом се назива промена облика и димензију тела изазвана дејством

спољашњих сила. Деформације могу бити еластичне и пластичне.

Еластичне деформације су привремене или повратне деформације и оне нестају по

уклањању спољашњих сила, тј. тело се враћа у првобитни облик и на првобитне

димензије по престанку дејства спољашњих сила.

Пластичне деформације су трајне или неповратне деформације и после дејства сила

тело задржава нови деформисани облик и димензије.

Разарање тела настаје када деформације пређу границу кидања или гњечења

материјала, тј. када међумолекуларне силе попусте под дејством спољашњих сила тако

да настају прслине, пукотине или ломови.

115

ГЛАВА 1

ОПШТИ ПОЈМОВИ

1.1 Основне претпоставке и принципи

У Отпорности материјала изучавамо чврсто тело које је идеализовано и има следећа

својства:

Тело је еластично, тј. има способност да се враћа у првобитно стање

после престанка дејства спољашњих сила;

Тело се посматра као непрекидна средина, одн. континуум;

Тело је хомогено и изотропно, што подразумева да има иста механичка

својства у свим тачкама и за све правце кроз те тачке;

Деформације су мале у односу на димензије чврстог тела, што омогућује

примену приципа суперпозиције по коме није битан редослед дејства сила

чији се утицаји појединачно могу да разматрају, а затим суперпонирају;

Замишљени раван пресек чврстог тела пре деформације остаје раван и

после деформације (Бернулијева хипотеза).

Нека на чврсто (деформабилно) тело делује систем спољашњих сила 0....., 21 nFFF

и нека је под дејством тих сила тело у равнотежи (сл. ). Као резултат дејства

спољашњег система сила у телу се јављају унутрашње силе које се противе дејству

спољашњих сила и теже да задрже претходно стање. Са повећањем интензитета

спољашњих сила појачава се и интензитет унутрашњих сила које уравнотежавају

дејство спољашњих сила. Међутим када се наруши ова равнотежа даљим појачавањем

дејство спољашњих сила долази деформације тела.

У Отпорности материјала често се користе Сен-Венанов принцип и принцип

суперпозиције утицаја.

По Сен-Венановом принципу се дејство површинских сила, које су распоређене по

релативно малој површини, може заменити статички еквивалентним оптерећењем

које се редукује на главни вектор и главни момент за тежиште површине као

редукциону тачку. Према Сен-Венановом принципу је битан распоред сила само у

непосредној веома малој околини њиховог дејства, те се као такав може занемарити.

Овај принцип се може применити у случају када је област дејства оптерећења мала у

односу на димензије тела.

Принцип суперпозиције утицаја (принцип независности дејства сила) дозвољава да се

посматра појединачно дејство сила било којим редоследом и затим изврши сабирање

добијених резултата.

Укутрашње силе

Задатак Отпорности материјала огледа се у одређивању унутрашњих сила које

се јављају у елементима конструкција под дејством спољашњих сила.

Унутрашње силе одређују се методом пресека.

Тело Q под дејством система спољашњих сила 0....., 21 nFFF

нека се налази у

равнотежи (Сл. ).

116

У мислима нека је тело је пресечено једном

равни и подељено на два дела. Када се уклони

десни део (део II) и његово дејство на први део

замени унутрашњим силама у пресеку, леви

део остаје у равнотежи. Унутрашње силе у

пресеку замењују дејтво спољашњих сила које

делују на десном делу који је уклоњен. Сада се

посматра равнотежа левог дела (део I). У

пресеку C левог дела у општем случају делује

систем произвољних сила у равни чији је

распоред непознат. Систем произвољних сила

може да се редукује на тежиште сила и као резултат редукције се добија статички

еквивалент, главни вектор и главни момент.

У односу на Декартов координатни

систем у простору Оxyz главни вектор и

главни момент унутрашњих сила разлажу се

на компоненте:

tuyxtytxa MMMMFFF ,,,,, . (сл.2).

aF -аксијална (нормална) сила у правцу Cz,

txF - трансверзална сила у правцу осе Cx,

tyF - трансверзална сила у правцу осе Cy,

Мx- момента савијања око осе Cx,

Мy- момент савијања око осе Cy,

Мz=Mu -момент увијања око осе Cz.

Компоненте унутрашњих сила које дејствују на тај део тела мора да буду у равнотежи

са спољашњим силама које дејствују на исти део тела. Према томе, једначине

равнотеже за унутрашње и спољашње силе, које дејствују на посматрани одсечени део

тела, а распоређене су произвољно у простору, могу се написати у следећем облику,

сагласно релацији (53) првог дела, узимајући у обзир све силе (спољашње и

унутрашње) за одсечени део тела:

(1) 0 ; (2) 0 ; (3) 0 ; (4) 0 ; (5) 0 ; (6) 0 .x y zX Y Z M M M (1)

1.2 Напон

Тело Q под дејством система спољашњих сила 0....., 21 nFFF

нека се налази у

равнотежи. Тело је пресечено једном равни и посматра се равнотежа левог дела

пресека. После одстрањивања десног дела

пресека, његово дејство замењено је

унутрашњим силама. У посматраном пресеку

C-C, посматра се елементарна површина A ,

са тежиштем О и нормалом n

. Дејство

унутрашњих силе које делују на елементарној,

коначној површини A , замењено је

статичким еквивалентом, главним вектором

RF

и главним моментом M

сл.....

Количник резултанте унутрашњих сила које

дејствују на елементарну површину и

117

елементарне површине назива се средњи (просечни) укупни напон srnp ,

у тачки 0 за

раван са нормалом n

. Правац и смер средњег укупног напона поклапа се са смером и

правцем резултанте унутрашњих сила.

Стање напона је познато ако је позната његова вредност у свакој тачки пресека,

односно запремине тела.

Укупни напон у тачки О, одређује се посматрањем стања напона у граничном процесу

када елементарна поврашина A тежи нули и достиже бесконачно малу вредност dA.

dA

Fd

A

Fsrn

Ap R

An

p

limlim

0

,0

Гранична вредност средњег укупног

напона када елементарна површина

тежи нули зове се тоталан (укупан)

напон np

у тачки О за раван са

нормалом n

. Укупни напон једнак је

изводу главног вектора по површини

пресека.

Укупан напон је вектор чији се правац

не поклапа ни са правцем резултанте

унутрашњих сила ни са правцем

нормале n

на раван пресека C-C..

Гранична вредност количника главног

момента M

и површине A , једнак је

нули 0lim0

A

M

A

, јер главни момент брже тежи нули пошто је производ две

бесконачно мале величине.

Резултанте унутрашњих сила за делове I и II су по аксиому статике (А6) о једнакости

дејства и противдејства једнаких интензитета, истих праваца и супротних смерова, па

су сходно томе и одговарајући напони такође супротни вектори .

Укупни напон np

у тачки О пресека C-C са нормалом n

може се разложити на

компонентне напоне (сл.4), један у правцу нормале на пресек, који се зове нормални

напон n

, и један тангенцијални (смичући) n

у равни пресека:

sl.3 Средњи укупан напон и укупан напон

118

nnnp

; (6)

а n

на два тангенцијална (смичућа) напона у истој

равни пресека nx

и ny

: nynxnnp

; (7)

Нормални напон се означава грчким словом -

сигма и индексом нормале n, а тангенцијални се

означава грчким словом - тау и индексима, тако да

први индекс означава правац нормале на раван

пресека (на сл.4- n

), а други правац напона у равни

пресека (на сл.4-правац осе x

или y

).

Израз за укупни напон (6) може да се напише у

следећем облику:

jinp nynxnn

;

nynxnnp ,,

(8)

Разлагање укупног напона np

на нормални

и смичући

напон има физчког смисла.

Нормални напон

је последица линеарних деформација и представља величину

унутрашњих сила на јединицу површине која се противи промени запремине тела,

односно представља јединичну силу управну на раван пресека. Смичући напон

је

последица деформације смицања и представља величину унутрашње силе на јединицу

површине која се противи деформацији смицања, односно представља јединичну силу

која лежи у самој равни пресека.

Према распореду дејстава напона унутрашње силе су:

.

;.

;

;

;

;

dAxyM

dAxM

dAyM

dAF

dAF

dAF

A

zyzxz

A

zy

A

zx

A

zyTy

A

zxTx

A

za

(**)

На слици је показан распоред

нормалног и смичућих напона на

бесконачно малој површини dA. На

основу статичких услова равнотеже

и интеграцијом по читавој површини попречног пресека одређени су изрази за

унутрашње силе у попречном пресеку (изрази **). Из овога се закључује да ако су

познати компонентални напони xzxyz ,, као функције положаја тачке унутрашње силе

у пресеку се могу одредити.

Ако је распоред унутрашњих сила у пресеку равномеран онда је укупни напон:

.A

Fpn

Појам напона везан за одређену тачку и раван којој припада та тачка. Број равни

пресека које садрже ту тачку је неограничен па ће према томе за ту тачку постојати

sl.4 Разлагање укупног напона

на компонентне напоне

)64(;0;0;0),..31(;0;0;0 zyx MMMZYX

119

сл.5 Компонентни напони у

Декартовом координатном систему

бесконачан број тоталних напона. Скуп свих

тоталних напона у тој тачки назива се

стањем напона.

Међутим, овај се проблем може упростити,

јер те вредности подлежу везама, нису

потпуно независне, тако да је довољно да се

за усвојени Декартов координатни систем у

простору, у околини тачке О у односу на

елементарну запремину, посматрају укупни

напони чије су нормале заправо осе

координатног система. То су три вектора

напона, са по три компонентна напона

(сл.5), која се могу написати у облику

матрице напона, и они у потпуности

одређују напонско стање у тачки О. Дакле, напонско стање у тачки О одређено је са

x xy xz

yx y yz

zx zy z

S

девет компонентних напона, три нормална и шест тангенцијалних, који се

представљају у облику квадратне схеме која се зове тензор напона или матрица

тензора напона (9).

1.4 Мала деформација

Под малом деформацијом чврстог тела подразумевају се мале промене облика и

запремине тела под дејством спољашњих сила.

При малој деформацији тела (сл.6), релативни положаји честица тела се мењају а самим

тим и положаји посматраних честица тела. Ако се уоче две тачке чврстог тела на малом

бесконачно блиском растојању АB= dl пре дејства спољашњих сила, по оптерећењу ово

растојање се мења, јер тачке А и B прелазе у нове положаје А’ и B’ блиске претходним

А’B’= dl + dl , при чему се растојање l мења за дужину dl , које се зове

апсолутна (укупна) промена дужине. Ова промена дужине настаје као последица појаве

нормалног напона у чврстом телу.

Однос апсолутне (укупне)

промене дужине и претходне

дужине представља средњу

релативну промену дужине

(средњу дилатацију у околини

тачке А у правцу АB): dl

dlsr

Гранична вредност ове средње

вредности када dl тежи нули

зове се дилатација (специфична

промена дужине) у тачки А за

правац АB: dl

dldl

0lim ; (10)

За неку другу дуж кроз тачку А

120

sl.6 Deformacije: dilatacija i klizanje

дилатација би, у општем случају, имала неку другу вредност, тј. дилатација је величина

која се односи на тачку и правац кроз ту тачку. Она може да буде позитивна и тада

представља релативно издужење, или негативна, када представља скраћење. Дилатација

је неименовани број.

Дуж АB, под дејством спољашњег оптерећења, мења не само дужину већ и правац, тако

да је за потпуно познавање деформације у околини посматране тачке потребно да се

одреди промена угла између праваца. Ако посмартамо прав угао са теменом у тачки К

чврстог тела пре деформације чији краци пролазе кроз тачке М и N, тај угао се после

деформације променио за угао који се назива угао клизања. Гранична вредност

промене правог угла, када дужи КМ и КC теже нули, представља клизање

21 MKN у тачки К за раван МКН.

Клизање је мера промене облика тела као последица дејства тангенцијалног напона и

зове се деформација смицања.

Клизање може да буде позитивно ако прав угао постаје оштар и обрнуто, негативно

ако прав угао постаје туп.

Аналогно одређивању стања напона можемо да говоримо о стању деформације. Кроз

било коју тачку чврстог тела може да се постави безброј дужи и равни, и да за сваку од

њих одреди дилатацију и клизање. Скуп тих вредности одређује стање деформације у

датој тачки.

Стање деформације у посматраној тачки је у

потпуности одређено са девет величина и то три

дилатације и шест клизања, које се такође могу

да представе у облику квадратне матрице, у

односу на Декартов координатни систем и за

елементарну запремину у околини посматране

тачке. Та матрица се зове матрица тензора

деформације или тензор деформације (11).

1.5 Врсте напрезања

У статици је доказано да постоје три статичка елемента: сила, момент силе и спрег

сила, која изазивају различита кретања: сила транслаторно, спрег обртно, а момент силе

има двојако дејство, као сила и спрег, тј. може изазвати транслацију и ротацију. Према

тим статичким елементима, под дејством спољашњих сила, настаје напонско-

деформационо стање у чврстом телу произвољног облика, чија је анализа веома сложен

задатак који изучава Теорија еластичности. Међутим, већина саставних елемената

конструкције има облик тзв. призматичних штапова, па се проблем одређивања

напонско-деформационог стања поједностављује тако што се уводе претходно

побројане хипотезе и принципи према којима можемо посебно да анализирамо основне

врсте напрезања, а затим да вршимо суперпозицију утицаја. Разликујемо пет основних

врста напрезања: аксијално, смицање, увијање, савијање и извијање.

а) б)

x xy xz

yx y yz

zx zy z

; (11)

121

ц) д) е)

ф)

г)

Аксијално напрезање - Код аксијалног напрезања силе дејствују у правцу уздужне

осе штапа (сл.7а) и теже да издуже или скрате штап, те се деформација јавља као

издужење или скраћење, тј. настаје дилатација и нормални напон у попречном

пресеку.

Смицање - Код смицања силе дејствују у равни попречног пресека штапа те му

мењају облик и настаје деформација у облику клизања (сл.7б), а настаје и

тангенцијални напон.

Увијање - Увијање штапа изазивају спрегови који дејствују у равнима његовог

попречног пресека и то су моменти увијања (сл.7ц), деформација је клизање и

компонентни напони су тангенцијални у попречном пресеку.

Чисто савијање - Савијање изазивају спрегови који дејствују у уздужној равни

симетрије греде (сл.7д), и то је тзв. чисто савијање, тада је укупни напон у

попречном пресеку одређен само нормаланом компонентом а деформација

дилатацијом .

Савијање силама - Силе изазивају савијање јер се редукују на трансверзалну силу и

нападни момент. Трансверзална сила изазива смицање, а нападни момент савијање

(сл.7е). У том случају, укупни напон у попречном пресеку је одређен и нормалном

и тангенцијалном компонентом, а деформација дилатацијом и клизањем. Ово

напрезање је сложено и зове се попречно савијање или савијање силама.

Извијање - Ако је штап оптерећен аксијалним силама притиска, а попречни пресек

је мали у односу на његову дужину, тј. ако је витак штап оптерећен критичном

аксијалном силом може да настане губитак еластичне стабилности, да се подужна

оса штапа деформише тако да се извије, и настаје извијање као специјалан случај

аксијалног напрезања на притисак (сл.7ф).

Сложена напрезања - У пракси се често јавља комбинација основних напрезања и

она тада изазивају сложена напрезања (сл.7г). И поред тога, укупни напон има

компонентне напоне у облику нормалног и тангенцијалног напона, а

деформација може да буде у облику дилатације и клизања .

сл.7 Врсте напрезања: а) аксијално (затезање и притисак); б) смицане; ц) увијање;

д) чисто савијање; е) попречно савијање; ф) извијање; г) сложено напрезање

122

ГЛАВА 2

ГЕОМЕТРИЈСКЕ КАРАКТЕРИСТИКЕ РАВНИХ ПРЕСЕКА

За решавање задатака Отпорности материјала применом методе равних пресека, а да би

се поједноставило писање неких израза за компонентне напоне и деформације,

потребно је знати неке величине, као што су површина или неки други изрази за које су

уведени називи статички моменти, моменти инерције и отпорни моменти равних

пресека. Све ове величине назване су једним именом геометријске карактеристике

(величине) равног пресека.

Најједноставнија карактеристика равног пресека је површина. Приближну вредност

површине задатог равног пресека приближно се одређује сабирањем површина

елементарних површи на које се дели дати пресек а тачну вредност интеграљењем, када

је елементарна површина бесконачно мала

и број елементарних површи тежи

бесконачности (сл.8):

n

i

in AAAAA1

21 ..... ; (12)

)(1

0ilim

A

i

n

inA dAAA ;

)( A

dAA .

Димензија површине је [L2], а мери се

јединицама cm2.

2.1 Статички моменти равних пресека

Приближна вредност статичког момента равног пресека за осу у равни дефинисана је

као збир производа елементарних површина и нормалног растојања тежишта те

елементарне површи од осе. По овој дефиницији је:

приближна вредност статичког момента равног пресека за осу x:

n

i

iinn

def

x AyAyAyS1

11

.

.... ;

приближна вредност статичког момента равног пресека за осу y:

n

i

iinn

def

y AxAxAxS1

11

.

.... .

Тачна вредност статичког момента равног пресека за осу у равни једнака је граничној

вредности овог израза када број елементарних површи тежи бесконачности.

Статички момент равног пресека (момент површине првог реда) за осу у равни једнак

је одређеном интегралу по датој површини производа нормалног растојања ма које

тачке елементарне површи од изабране осе и те елементарне површине. Димензија

статичког момента је [L3], а мери се јединицама cm

3.

По дефиницији, статички момент равног пресека за Ox осу је:

A

i

n

i

iA

def

x dAyAyS

n

.10

.

lim (13)

сл.8 Раван пресек подељен на елементарне

површи

123

сл.10 Раван пресек површине А; координате

ма које тачке бесконачно мале површине dА

и тежишта C у односу на транслирани

координатни систем

По дефиницији, статички момент равног пресека за Oy осу је:

A

i

n

i

iA

def

y dAxAxS

n

.10

.

lim . (14)

На основу дефиниције статичког момента, изрази за одређивање координата тежишта

равних површи, који су познати из статике (први део-рел 67), могу се написати у

облику:

;1

)(

A

y

CA

SdAx

Ax ;

1

)(

A

x

CA

SdAy

Ay (15)

Статички моменти површине А за осе

транслираног координатног система (сл.10) су:

)( A

x dAyS (а); )( A

dAS ; by ; (б)

)( A

y dAxS (ц); )( A

dAS ; ax ; (д)

(б)(а) )( A

x AbSdAbS ;

(д)(ц) )( A

y AaSdAaS .

Статички момент равног пресека у односу на

неку осу једнак је збиру статичког момента у

односу на паралелну осу и производа површине

и нормалног растојања између оса. Оса која

пролази кроз тежиште површи зове се

централна оса.

С обзиром на релације (15) и CC xayb ; ,

из последњих израза следи: за централне

(тежишне) осе статички моменти једнаки су

нули (сл.11).

0;0 SS . (16)

сл.9 Раван пресек А са уцртаним

координатама ма које тачке бесконачно

мале површине dА и тежишта C

сл.11 Транслиране координатне осе: а) централне (тежишне осе); б) 0x-централна оса

a) b)

124

2.2 Моменти инерције равних пресека

Моменти инерције равних пресека су моменти површине другог реда. За раван пресек

повшине А, који је подељен на коначан број елементарних површи iA (сл.12а) и за

коју је узета елементарна површина dА (сл.12б), и коју израчунавамо помоћу

приближних израза или тачних (12), дефиниције момената инерције равних површи у

приближном облику, а затим у тачном по примени граничних вредности на претходни

облик, а према већ објашњеној процедури у (2.1), су:

а) б) сл.12 Раван пресек површине А

Аксијални (осни или екваторијални) момент инерције површине А за неку осу

једнак је збиру производа квадрата растојања ма које тачке елементарне

површине од те осе и елементарне површине, тј. једнак је одређеном интегралу

по датој површини производа квадрата нормалног растојања ма које тачке

елементарне површи од изабране осе и те елементарне површине:

n

i

iinnx AyAyAyI1

22

1

2

1 .... ; 2 2

0

1 ( )

limi

n

x A i in i A

I y A y dA

; (16)

n

i

iinny AxAxAxI1

22

1

2

1 .... ; 2 2

0

1 ( )

limi

n

y A i in i A

I x A x dA

; 0;0 yx II .(17)

Поларни момент инерције површине А за неку тачку (пол) једнак је збиру

производа квадрата растојања ма које тачке елементарне површине од те

тачке и елементарне површине, тј. једнак је одређеном интегралу по датој

површини производа квадрата растојања ма које тачке елементарне површи од

изабране тачке и те елементарне површине:

2 2 2

0 1 1

1

....n

n n i i

i

I r A r A r A

; 2 2

0 0

1 ( )

limi

n

A i in i A

I r A r dA

. (18)

Центрифугални момент инерције површине А за пар узајамно управних оса

једнак је збиру производа нормалних растојања ма које тачке елементарне

површине од тих оса и елементарне површине, тј. једнак је одређеном

интегралу по датој површини производа нормалних растојања ма које тачке

елементарне површи од изабраних оса и те елементарне површине:

n

i

iiinnnxy AyxAyxAyxI1

111 .... ; (19)

125

0

1 ( )

limi

n

xy A i i in i A

I x y A xydA

; 0

xyI ; (20)

Димензија момената инерције је [L4], а мере се јединицама [cm

4].

Постоји веза између вредности аксијалних момената инерције за две узајамно управне

осе и поларног момента инерције за тачку пресека ових оса. С обзиром на дефиниције

момената инерције (16), (17) и (18) и да је r2=x

2+y

2, поларни момент инерције једнак је

збиру аксијалних момената инерције за две узајамно управне осе које се секу у полу.

2 2 2 2

0

( ) ( ) ( )

x y

A A A

I r dA x y dA x dA I I ; 0 0I . (21)

Коначно, према наведеним дефиницијама, тачне геометријске величине равног пресека

можемо одредити решавањем одређених интеграла по површини датог пресека (сл.12):

A

dAA ; )( A

x dAyS ; )( A

y dAxS ;

)(

2

A

x dAyI ; )(

2

A

y dAxI ; 2

0

( )A

I r dA ; )( A

xy dAyxI . (22)

Аксијални и поларни моменти инерције имају увек позитивне вредности, јер су

елементарне површине и квадрати растојања од оса или пола увек позитивне

вредности.

Центрифугални момент инерције може да има различити знак или да буде једнак нули,

што зависи од знака координата тежишта елемента површине dА. За површине у

првом и трећем квадранту су центрифугални моменти инерције позитивне величине,

јер су координате истог знака, а за површине у другом и четвртом квадранту су

негативне, јер су координате различитог знака. Центрифугални момент инерције је

једнак нули ако се бар једна оса симетрије површи поклопи са координатном осом.

При ротацији координатног система око тачке 0 не мења се растојање r тежишта

елемента површине dА, па ни поларни момент инерције и он је једнак збиру аксијалних

момената инерције за било које две узајамно управне осе кроз ту тачку.

2.3 Моменти инерције за паралелне осе-Штајнерова теорема

Ако транслирамо координатни систем 0xy до

положаја C (сл.13), где је C ( Cx a ; Cy b )

тежиште посматраног равног пресека површине

А, онда насталу трансформацију координата ма

које тачке елементарне површине dА можемо

написати у облику израза:

ax (а); by ; (б).

Применом израза (б) на израз )(

2

A

x dAyI (ц), који

је, по дефиницији, аксијални момент инерције

равног пресека за осу 0x (сл.13), добијамо израз

(д) који успоставља везу са моментом инерције

за паралелну тежишну осу C транслираног координатног система, тј.:

сл.13 Транслирани координатни

систем 0xy у положај са

координатним почетком у

тежишту пресека

126

(б) (ц)

AbIAbSbIdAbdAbdAdAbIAAAA

x 2222

2

22 (д)

јер је статички момент равног пресека за тежишну осу једнак нули, 0S (15).

Аналогно претходном поступку, применом израза (а) на израз )(

2

A

y dAxI (е), који је,

по дефиницији, аксијални момент инерције равног пресека за осу 0y (сл.13), добија se

израз (ф) који успоставља везу са моментом инерције за паралелну тежишну осу C

транслираног координатног система, тј.:

AaIAaSbIdAadAadAdAaIAAAA

y

22222

22 ; (ф)

јер је: 0S . (15)

Применом израза (а) и (б) на израз )( A

xy dAyxI (г) , који је, по дефиницији,

центрифугални момент инерције равног пресека за осе 0x и 0y (сл.13), добија се израз

(х) који успоставља везу са моментом инерције за паралелне тежишне осе C

транслираног координатног система, тј.:

xy

A A A A A

I b a dA dA a dA b dA ab dA ;

xyI I aS bS abA .

С обзиром да су 0S ; 0S , следи: xyI I abA ; (х)

Везу између поларних момената инерције за полове 0 и C налазимо заменом израза (д)

и (ф) у израз (21):

2 2 2

0 x y C CI I I I I a b A I r A ;(г)

Изрази (д), (ф), (х) и (г) представљају математички исказ Штајнерове теореме, која се

односи на два координатна система са паралелним осама од којих један координатни

систем мора да има координатни почетак у тежишту равног пресека.

Моменти инерције у односу на осе за координатни систем са почетком у тежишту

равног пресека CIIII ,,, зову се сопствени моменти инерције, а други сабирци у

изразима ArAyxAxAy CCCCC

222 ,,, зову се положајни моменти инерције. Према овој

теореми, момент инерције дате површине за било коју осу једнак је збиру сопственог

момента за њој паралелну осу и положајног момента инерције.

Штајнерова теорема се односи и на центрифугалне и поларне моменте инерције, што је

такође доказано.

AyII Cx

2 ; AxII Cy

2 ; AyxII CCxy ; 2

0 C CI I r A ; (23)

Применом израза (23) може се се срачунати моменте инерције за тежишне осе

(сопствене моменте инерције) уколико су познати моменти инерције за њима

одговарајуће паралелне осе 0x и 0y:

2

x CI I y A ; 2

y CI I x A ; xy C CI I x y A ; 2

0C CI I r A ; (24)

127

Сопствени аксијални моменти инерције, а самим тим и сопствени поларни момент

инерције, имају увек позитивне и мање вредности у односу на одговарајуће моменте

инерције за сваку паралелну осу. Сопствени центрифугални момент инерције једнак је

нули ако раван пресек има бар једну осу симетрије, која је и тежишна оса.

Примери израчунавања момената инерције и примена Штајнерове теореме

Применом наведених дефиниција и Штајнерове теореме, срачунавамо неке основне

геометријске карактеристике које се најчешће користе у пракси.

Пример 1. Одредити координате тежишта и моменте инерције правоугаоника (сл.14).

bdydA ; hy 0 ; bhbybdydAA h

o

h

A

|0)(

:

2|

2

1 2

0)( bxh

bhbh

hdxx

A

xdA

x b

o

b

A

C

;

2|

2

1 2

0)( hyb

bhbh

hdxy

A

ydA

y h

o

b

A

C

;

2,

2,

hbCyxC CC .

Аксијални момент инерције правоугаоника за 0x-осу

одређује се применом израза (16) и избором елементарне површине bdydA ;

0,y h :

3 32 2

0

( ) 0

|3 3

h

h

x

A

y bhI y dA y bdy b .

Аксијални момент инерције правоугаоника за 0y-осу одређује се применом израза (17)

и избором елементарне површине hdxdA ; 0,x b :

3 32 2

( ) 0

|3 3

b

b

y o

A

x hbI x dA x hdx h .

Центрифугални момент инерције правоугаоника за пар узајамно управних оса 0x и 0y

одређује се применом израза (20) и избором елементарне површине ;dydxdA

hybx 0;0 :

2 2 2 2

0 0

( ) 0 0 0 0

| |3 2 4

b h b h

b h

xy

A

x y b hI xydA xydxdy xdx ydy .

Применом Штајнерове теореме, која је дефинисана изразима (24) срачунавају се

сопствени моменти инерције, редом:

124323

33332 bhbhbh

bhhbh

AyII Cx

;

1223

332 hb

bhbhb

AxII Cy

;

сл.14 Правоугаони пресек

128

сл. 15 Троугаони пресек

0224

22

bhhbhb

AyxII CCxy .

Пример 2. Одредити координате тежишта троугла и аксијалне моменте инерције за осе

0x , C,C и Bx1 (сл.15).

Да би се решио овај задатак, полази се од избора елементарне површине dА. Она се

бира у облику траке паралелне 0x-оси, дужине x и бесконачно мале ширине dy. Из

сличности троуглова (сл.15) поставља се пропорција из које се изражава променљива x

преко y у датим границама.

; ; 0x h y b

dA xdy x h y y hb h h

;

Површину троугла израчунава се решавањем

одређеног интеграла, с тим што је претходно

елементарна површина изражена само помоћу

једне променљиве y у одређеним границама

hy 0 .

h 2

0

A 02 2

hb b y bhA dA h y dy hy

h h

;

Кординате тежишта Cy одређују се према другом

изразу из релације (67) – Статика (5.2.2).

2

0 0

1 1 1h h

C

A

b by ydA y h y dy hy y dy

A A h A h

2 3

0

1

2 3 3

2

hb y y hh

bh h

.

Аксијални момент инерције за 0x-осу рачунава се интеграљењем израза по дефиницији

(16):

dyyhyh

bdyyh

h

bydAyI

h

A

h

x 0

32

0

22 ;

12124343

3444

0

43 bhh

h

bhh

h

byyh

h

bI h

x

.

Сопствени момент инерције за C -осу (момент инерције за тежишну осу) срачунава се

применом Штајнерове теореме, која је дефинисана изразима (24), као разлику момента

инерције за 0x-осу и положајног момента инерције.

23 3 3 32

12 3 2 12 18 36x C

bh h bh bh bh bhI I y A

.

Момент инерције за 1Bx -осу израчунав се применом Штајнерове теореме, као збир

сопственог момента инерције и положајног момента инерције.

1

232

36 3 2x C

bh h bhI I h y A h

3 2 34.

36 9 2 4

bh h bh bh

129

Пример 3. Одредити поларни и аксијални момент инерције кружног пресека (сл.16)

2 ;dA rdr

0 :r R

22

0

0 0

2 2 2 ;2

R R

R

A

rA dA rdr rdr R

4 42 2 3

0 0

0 0

2 2 2 ; 4 2

R R

R

A

r RI r dA r rdr r dr

4

0 . 2 4

x y

I RI I

Аксијални моменти инерције кружног пресека једнаки су

за све централне правце због осне симетрије.

Пример 4. Одредити поларни и аксијални момент инерције кружног прстена (сл.17)

2

2 2 2 2 2

1 2 1 1r

A A A R r R RR

44 4 4 4

1 2 4

0 0 0 1 1 ;2 2 2 2

R r R r RI I I

R

4

40 1 ;2 4

x y

I R rI I

R

.

Аксијални моменти инерције кружног прстена једнаки су

за све централне правце због осне симетрије.

2.6 Полупречник инерције

Полупречником инерције равне површи у односу на произвољну осу x назива се величина

A

Ii xx , која има димензију дужине. Полупречник инерције може да се тумачи као

фиктивно растојање од осе x на коме треба поставити укупну површину А да бисмо

применили дефиницију аксијалног момента инерције: AiI xx

2 на целокупну површину

А. Аналогно уведеној дефиницији за полупречник инерције у односу на ма коју

осу:A

Ii xx , (35)

главни полупречници инерције су: A

Iii 11max и

A

Iii 22min ; (36)

2.7 Моменти инерције сложених равних пресека

Моменти инерције сложеног равног пресека, површине

n

i

iAA1

, срачунавају се као

збирови момената инерције појединих делова тог пресека рачунато у односу на исту

осу, пол или пар узајамно управних оса.

;1

)(

n

i

i

xx II ;1

)(

n

i

i

yy II ;1

)(

n

i

i

xyxy II (37)

сл.16 Крuжни пресек

сл.17 Крuжни прстен

130

Пример 5. Израчунати аксијални момент инерције за x-осу сложеног равног пресека

(сл.20).

За израчунавање аксијалног момента инерције за x-осу равног пресека, (сл.20) он се

подели га на три површи чије површине и координате тежишта знамо. Тада је:

321 AAAA ; )3()2()1(

xxxx IIII ; где је:

i

A

i

x dAyI

i

2)( (i =1,2,3); 4

22

22

2 aa

aA ;.

Аксијални момент инерције равног пресека за x-осу једнак је збиру аксијалних

момената инерције:

троугла, површине А1, за x-осу: 12

4)1( a

I x ; (на основу израза из примера 2.);

правоугаоника, површине А2, за x-осу: 3

2

3

)2( 43)2( aaa

I x ; (на основу израза из

примера 1.);

троугла, површине А3, за x-осу: 2412

)2( 43)3( aaa

I x ; (на основу израза из примера 2.).

сл.20 Сложен раван пресек

4 4 4 42 19.

12 3 24 24x

a a a aI

131

ГЛАВА 3

АКСИЈАЛНО НАПРЕЗАЊЕ

3.1 Основни појмови и претпоставке

Аксијално напрезање је случај напрезања када на оба краја штапа дејствују

системи спољашњих сила (сл.21а), од којих се сваки своди на резултанту која

дејствује у правцу осе штапа. У зависноси од смера ових сила штап је затегнут

(сл.21б) или притиснут (сл.21ц). Силе које дејствују на крајевима штапа морају да

буду у равнотежи, тј. 0, FF

.

сл.21 Аксијално напрезање: а) системи спољашњих сила на крајевима штапа; б) затезање; ц)

притисак

У случају аксијалног напрезања у попречном пресеку штапа нормална сила је

различита од нуле а остале компоненте унутрашњих сила су једнаке

нули

:.

.0;0 MFF ta

(38)

a) б) в)

г)

сл.22 Примена методе пресека за дефинисање унутрашњих сила

Аксијално напрегнут штап пресечен је на делове I и II неком равни - CC , која је

управна на осу штапа (сл.22а). После уклањања дела II и његов утицај замњен је

силом aF (сл.22б). Збир спољашњих и унутрашњих сила у правцу x-осе треба да

буде једнак нули да би део I остао у равнотежи, тј.:

FFFFX aa 0- . (39)

132

Унутрашња сила aF једнака је спољашњој сили оптерећења F. Аксијална

(нормална) сила се сматра позитивном ако изазива истезање (дејствује од пресека)

а негативном ако изазива притисак (дејствује ка пресеку).

Опште претпоставке на којима се базира отпорност материјала, а о којима је

раније било речи, примењују су при изучавању аксијалног напрезања, односно:

Сен-Венанов принцип - Начин на који спољашње силе дејствују на

крајевима штапа има утицај једино на тачке у непосредној околини. Према

овом принципу напони не зависе од расподеле спољашњих сила на

крајевима штапова већ само од њихове резултанте.

Бернулијева хипотеза - Равни пресеци који су управни на осу штапа пре

деформације остају равни и управни у односу на осу штапа и после

деформације.

3.2 Нормални напон у попречном пресеку

За одређивање напона користи се метода пресека. На бесконачно малу површину dА

дејствује елементарна унутрашња сила dAdFa (сл.22ц). По аксиому о једнакости

дејства и противдејства, унутрашње силе у пресеку - CC дела I једнаке су

унутрашњим силама у пресеку - CC дела II.

Укупна унутрашња сила једнака је интегралу по површини равног пресека штапа

елементарне унутрашне силе:

A

a dAF A

dA A ; (40)

јер је по Бернулијевој хипотези: const. (сл.22д); (41)

PamNA

F

A

F

A

FAFFF a

aa

2/;;);2()1( (42)

У попречним пресецима штапа на крајевима на које дејствују аксијалне силе,

према експерименталним истраживањима, до растојања која су једнака

максималној димензији попречног пресека, расподела нормалног напона није

равномерна. Удаљавањем од пресека дејства сила неравномерна расподела

напона тежи равномерној па се за прорачуне може користити релација (42). У

попречном пресеку штапа, који је аксијално напрегнут, јавља се нормални напон

чија је вредност одређена количником спољашње силе и површине попречног

пресека.

3.3 Напонско стање аксијално напрегнутог штапа

За одређивање напона у косом пресеку штапа користи се метода пресека и

постављају услови равнотеже за издвојени елемент abc штапа (сл.23):

2cos0coscos 0 xnxna dAdAF ; (а)

cossin0sincos0 xnxnt dAdAF . (б) (43)

Из релација (43), увођењем тригонометријских трансформација:

2 1 cos 2 cos ; sin2 2sin cos

2

;

133

следе изрази за нормални и тангенцијални напон у косом пресеку, чија је нормала

n:

2cos12

x

n ;

2sin2 x

n . (44)

Овим изразима је одређено напонско стање у било којој тачки штапа за различите

правце, који су одређени углом .

сл.23 Напони у косом пресеку штапа

Ако је 0 , што одређује попречни пресек штапа, тада је 0n и A

Fxn .

Ако је 2

, што одређује уздужни пресек штапа, тада је 0n и 0n . Ако је

4

, тада је:

2

x

n

и

2

x

n

.

3.4 Деформација аксијално напрегнутог штапа

сл.24 Деформација аксијално напрегнутог штапа: а) апсолутна промена дужине

б)апсолутна промена димензије попречног пресека

Апсолутна промена дужине штапа једнака је разлици дужине штапа после

деформације и првобитне дужине штапа (сл.24а). Она може да буде позитивна или

негативна у зависности од смера дејства спољашњих сила: lll 1 . (45)

134

Релативна промена дужине штапа једнака је количнику апсолутне промене

дужине и првобитне дужине штапа и зове се дилатација: l

ll

l

l 1

. (46)

Дилатација је неименован број и представља подужну (уздужну) дилатацију.

Попречна дилатација представља релативну промену карактеристичне димензије

попречног пресека штапа (сл.24б) и једнака је количнику апсолутне промене

карактеристичне димензије попречног пресека штапа и првобитне

карактеристичне димензије: a

aa

a

ap

1 . (47)

Поасонов закон повезује подужну и попречну дилатацију: p ; (48)

Оне су увек различитог знака, пропорционалне су, а коефицијент

пропорционалности зависи од врсте материјала и одређује се експериментално.

Коефицијент зове се Поасонов коефицијент и може да има вредности од нуле до

једне половине 2/1,0 .

Дилатације се могу изразити процентуално: oo

l

lo

o 100

; oo

pa

a

oo

100

. (49)

3.5 Хуков закон у случају аксијалног напрезања

Хук је формулисао закон о пропорционалности између силе и деформације. На

основу испитивања пробних епрувета на машинама на затезање - кидалицама,

утврђена је пропорционалност између спољашње силе и апсолутне промене

дужине (деформације) епрувете у области до границе пропорционалности, до тачке

P што је приказано на дијаграму (сл.25).

Према савременој формулацији Хуковог закона, пропорционалност се успоставља

између напона и дилатације: E , где је Е коефицијент пропорционалности,

који се зове Јангов модул еластичности

и има димензију напона (јединица

силе по јединици површине). Ова

релација представља први облик

Хуковог закона који гласи: Напон је

линеарна функција дилатације. Ако се

релација (42) применимо на први

облик Хуковог закона, тада се може

написати: E ;

l

l

A

F ; ;

F l

A l

U

lF

AE

lFl

l

lE

A

F

. (50)

Релација (50) представља други облик Хуковог закона, где је AEU крутост

штапа при аксијалном напрезању.

Из релације E следи, да је Јунгов модул еластичности Е једнак напону ,

када је релативно издужење једнако јединици ( 1 ), односно када је апсолутно

издужење ll . Апсолутно издужење једнако је l када се штап издужи за

првобитну дужину, односно када је llllll 211 . На основу овога

сл.25 Дијаграм: сила затезања-апсолутно издужење

135

закњучује се да је Јунгов модул елестичности једнак напону материјала у

попречном пресеку, када се штап издужи за првобитну дужину.

У инжењерској пракси је решавају се задатци провере напона, носивости, или

одређивање површине попречног пресека елемента оптерећеног на аксијално

напрезање.

Провера напона се врши поређењем стварног напона са дозвољеним напоном на

аксијално напрезање (затезање или притисак). Вредност стварног напона не сме

да прекорачи вредност дозвољеног напона. Стварни напон се срачунава као

количник силе и површине попречног пресека, по обрасцу (42). Дозвољени напон

зависи од врсте материјала и његова вредност се узима из таблица које су

сачињене на основу експерименталних резултата.

Под појмом носивост се подразумева максимална аксијална сила оптерећења која

не би изазвала пластичну деформацију елемента. Ова сила се одређује као

производ дозвољеног напона на аксијално напрезање (затезање или притисак) и

површине попречног пресека.

Површина попречног пресека (димензија попречног пресека) одређује се тзв.

поступком димензионисања, а то подразумева рачунање површине као количника

аксијалне силе и дозвољеног напона на аксијално напрезање (затезање или

притисак).

3.6 Аксијално термичко напрезање

Познато је да сва тела под утицајем температуре мењају своје димензије. Ако се

штап изложи дејству хомогеног температурног поља, долази до промене његових

димензија. Ако је штап слободно тело, појавиће се дилатација услед промене

температуре t , а не долази до појаве напона. Насупрот томе, ако је штап везано

тело, тако да се не може издужити или скратити, јавља се нормални напон у

штапу услед промене температуре, и тада је: A

FE tt . (51)

Релативна промена дужине услед промене температуре - температурна

дилатација је:

tl

ll

l

l ttt

1 . (52)

Апсолутна промена дужине је: tllt ; (53)

где је: tl1 - дужина штапа после промене температуре; l - првобитна дужина штапа;

t - промена температуре у C , - коефицијент линеарног температурног

ширења, који је једнак промени јединице дужине штапа при промени температуре

за 1 C .

Из претходних релација (51), (52) и (53) следи:

A

FtE

l

llE

l

lEE tt

tt

1

. (54)

Ови изрази важе само за случајеве када модул еластичности не зависи од

температуре или се веома мало мења са њеном променом.

Примери:

Пример 6.

Челична пробна епрувета пречника 20d mm и дужине 10l d

искидана је на машини за кидање при највећем оптерећењу од kNFM 1,142 .

136

сл.26 Попречни пресек ужета

Њена дужина после кидања износи mml 2471 . Колика је чврстоћа материјала на

кидање и колико је издужење?

22225,45

4

2

1,142

4

cm

kN

d

F

A

F MMM

;

1 1 10 247 200 47l l l l d mm .

Пример 7. Челично уже (сл.26) дизалице треба да носи терет од kNF 100 . Колико

жица, пречника mmd 13,1 , треба да има уже ако је дозвољени напон на истезање

225cm

kNde ?

2425

100cm

FA

A

F

de

de

;

1nAA , 2222

1 1014

cmmmd

A

;

40010

42

1

A

An комада жице.

Пример 8. Карика ланца (сл.27) дизалице преноси силу Ф = 31,4 kN .

Одредити пречник кружног попречног пресека карике ако је дозвољени

напон на истезање 225dekN

cm

?

de

de

FA

A

F

22 ;

2 2

4 2 de de

d F Fd

;

cmd 1 .

Пример 9. Бакарна жица дужине л = 1,5 m и површине попречног пресека

23 mm издужи се под дејством силе Ф = 20 N за mml 9,0 .

2

6

21

2

1011,1103109,0

105,120

cm

N

Al

lFE

AE

lFl .

Пример 10. Котао тежине 29 kN обешен је помоћу ланца на куку (сл.28). Крајеви

ланца чине угао од 90 .

a) Одредити силе у деловима ланца;

b) Димензионисати карику ланца кружног пресека ако је

26000deN

cm

; kNG 29 ; 26000

cmN

de ;

?,1 dF ;

а) 21FG ;

сл.27 Карика ланца

137

NG

F 205062

1 .

б) A

Fde

2

1 ;

de

FdA

24

1

2

;

cmF

dde

5,12 1

1

.

Пример 11. Хоризонтални челични штап, дужине 4 m , квадратног попречног

пресека 21 cm , издужио се при загревању за 1 mm . Коликим силама треба

притискати на крајевима штапа да би се издужење поништило ако је

722 10 NE

cm

?

?,1,1,4 2 FmmlcmAml ;

7 0,11 2 10 5000

400

lF A A E A E N

l

.

Пример 12. Челични штап АБ обострано је укљештен при температури 0 C .

Одредити напон у штапу ако је температура порасла на 40 C ;

27102;0000125,0

cmNE .

1 20 , 40 40t C t C t C ;

.10000400000125,0102 27

cmNtEE t

Пример 13. На ком размаку треба наместити, при температури Ct 101 , крајеве

шина, дужине m12 , да би се при теператури 2 50t C додиривале не

изазивајући напон, ако је 27102;0000125,0

cmNE ? Колики се напон јавља

у шини ако температура порасте до 3 70t C ?

mmcmttlll

lttt 66,01212

;

223 5000cm

NttEE l

t .

Пример 14. Нормални напон по попречном пресеку затегнутог штапа (сл.29)

износи 2600 Ncm

. За неки коси пресек је тангенцијални напон 2260 Ncm

.

Одредити положај косог пресека и израчунати бројну вредност нормалног напона

у том пресеку.

сл.28 Схема вешања котла

138

coscos zI A

F

A

Fp ;

cos

AAI ; 2coscos zn p ;

2sin2

1cossinsin zzn p ;

2 2 260sin 2 0,866 30 ;

600

n

z

2

22

3600 cos 30 600 450

2n

Ncm

.

Пример 15. Бетонски стуб попречног пресека cm3030 цм притиснут је силом Ф

(сл.30). Одредити величину ове силе ако је нормалан напон у косом пресеку, под

углом 30º према попречном пресеку, 210 Ncm

. Одредити тангенцијални напон за

тај пресек.

230 ; 10nN

cm

;

cmA 3030 ;

?,? nF ; A

Fp .

22 coscoscosA

Fp zn ;

22 3

40

cos cmNn

z

;

NFAF z 1200030

403030 ;

277,52sin2

1

cmN

zn .

Пример 16. Стуб кружног попречног пресека изложен је дејству силе 20 kN .

Димензионисати стуб под условом да највећи тангенцијални напон не пређе

вредност 2700 Ncm

.

max

1sin 2 sin 2 1 45

2 2

zz

2max2 1400z

Ncm

;

z

z

FdA

A

F

4

2

; cmF

dz

26,42

; усваја се mmD 45 .

сл.29 Попречни и коси пресек штапа

сл.30 Попречни и коси пресек стуба

139

ГЛАВА 6

ЧИСТО САВИЈАЊЕ

6.1 Основни појмови и претпоставке

Чисто савијање је такав случај напрезања штапа када је у попречним пресецима

штапа главни вектор једнак нули, а главни момент има константну вредност (сл.

45). Због диференцијалне зависности између момента и трансверзалне силе, ако је

трансверзална сила једнака нули нападни момент има константну вредност:

.0;0;0 constMFdx

dMMFF t

x

ta (88)

а) б)

сл.45 Чисто савијање просте греде оптерећене: а) спреговима сила једнаких момената над

ослонцима; б) концентрисаним силама једнаких интензитета, симетрично (чисто

савијање у пољу б)

140

На (сл.45) су приказана два примера оптерећења просте греде. У првом случају је

греда по целом распону напрегнута на чисто савијање будући да је оптерећена

спреговима једнаких момената над ослонцима. Статички дијаграми показују да

унутрашње силе задовољавају услов о унутрашњим силама којим је дефинисано

чисто савијање. Трансверзална сила је једнака нули, а нападни момент има

константну вредност која је једнака моменту спрега узета са негативним знаком,

сагласно конвенцији о знаку сила у пресеку о чему је било речи у статици

(&1.6.3.4). У другом случају, чисто савијање је на делу греде b коме одговара

константан момент (M) и трансверзална сила једнака нули 0tF . Спољашња

оптерећења леже у једној равни.

За објашњавање и разумевање напонског стања уведиe se основнi појмовi (сл.46):

раван оптерећења је раван у којој леже све спољашње силе;

главне равни штапа су равни у којима леже централне осе инерције

попречних пресека;

линија силе је линија пресека равни оптерећења и попречног пресека.

Изучавање напонског и деформационог стања у случају чистог савијања спроводи

се уз помоћ предпоставки:

тачке које се налазе у равнима управним на осу штапа пре деформације остају

и после деформације у равнима управним на деформисану (савијену) осу

штапа, тзв. хипотеза равних пресека која је позната као Бернулијева

хипотеза (сл.47);

подужна влакна не дејствују једна на друге, тј. занемарују се напони који

дејствују бочно на влакна;

једна од главних централних оса инерције лежи у равни оптерећења, тј.

линија силе се поклапа са једном од главних централних оса инерције

попречног пресека штапа.

сл.46 Метода пресека - основни појмови

141

сл.47 Бернулијева хипотеза

6.2 Деформација у случају чистог савијања

Посматра се проста греду која је оптерећена спреговима сила над ослонцима

(сл.45, сл. 48). У зависности од смера спрегова сила једна влакна се издужују а

друга скраћују. С обзиром на то да је прелаз од издужених ка скраћеним влакнима

континуалан, унутар греде мора да постоји слој влакана која не мењају дужину

али се деформишу, и то тако што се померају у односу на првобитни раван

положај и искривљују се. Њихова дилатација једнака је нули. Ова влакна се зову

неутрална влакна и она образују неутралну површ или тзв. неутрални слој. Пресек

неутралне површи са попречним пресеком греде зове се неутрална оса. Савијена оса

штапа, која је пресек неутралне површи и равни оптерећења, зове се еластична

линија.

Применом методe пресека, у

мислима, штап је пресечен двема

паралелним равнима управно на

његову осу на бесконачно малом

растојању dx и уочиено је влакно

21KK које се налази на растојању у

од неутралне осе C1C2. После

деформације уочени елемент има

савијени облик, тако да су се пресеци заокренули за угао d и да се влакно 21KK

издужило. Дужина влакна

21KK пре деформације

једнака је дужини C1C2 пре и

после деформације, а после

деформације дужина 21KK

једнака је дужини лука који

је једнак производу

полупречника кривине и

елементарног угла

заокретања. На основу тога,

апсолутна промена дужине

сл.48 Еластичне линије просте греде услед напрезања на чисто савијање

142

посматраног влакна једнака је разлици ових дужина док је релативна промена

дужине (дилатација) једнака:

kk

kk

R

y

dR

dRdyR

CC

CCKK

dx

dx

21

2121

dyRKK k )(21 - дужина влакна после дејства оптерећења

dRdxCC 21 - дужина пре деформације (дужина дела неутралне осе)

Нормални напон по Хуковом закону може се биће једнак:

yR

EE

k

; (90)

6.3 Главне једначине у случају чистог савијања

За одређивање главне једначине чистог савијања, које се односе на кривину

еластичне линије и нормални напон, користи се методу пресека и једначине

равнотеже спољашњих и унутрашњих сила за посматрани део. Једначине

равнотеже за систем паралелних сила у простору, с обзиром на спољашње

оптерећење и елементарну унутрашњу силу (сл.50):

( )

(1) 0; 0A

X dA ;

( )

(2) 0; 0y

A

M z dA ; (91)

( )

(3) 0; 0z

A

M M y dA ;

Ако се у први услов равнотеже унесе израз за нормални напон (90), добија се

статички момент попречног пресека штапа за координатну осу Оz који мора да

буде једнак нули:

00 A

z

A k

SdAydAyR

E (92)

Да би статички момент за z-осу

био једнак нули, она мора да

буде централна оса, тако се

закључује да се тежиште

попречног пресека налази у

координатном почетку, тј. ОC

(сл.50).

Применом израза (90) на другу

једначину равнотеже, добија се

још један услов који се односи

на центрифугални момент

инерције:

143

0

0

zy

zy

kAkA

I

IR

EdAyz

R

EdAy

Ez

(93)

Центрифугални момент инерције једнак је нули ако је

бар једна од оса главна централна оса, тако да је z- оса главна централна оса:

OzCz (сл.50). Тада је: yR

E

k

. (94)

Из израза (94) следи да влакна Cx-осе нису напрегута: 00 y . (95)

Применом израза (94) на трећу једначину равнотеже добија се израз за кривину

еластичне линије, одн. реципрочну вредност полупречника кривине, који

представља прву главну једначину савијања:

z

k

z

kAkA

IR

EMI

R

EMdAy

R

EMdAy

EyM

2

(96)

B

M

IE

M

Rk

zk

1

(97)

где је zIEB - савојна крутост. (98)

Из израза (94) и (97) изводи се друга главна једначина савијања, која показује

линеарну зависност нормалног напона од растојања посматране тачке од

неутралне осе:

yI

M

I

M

R

E

yR

Ey

R

E

zzkkk

; (99)

Из прве главне једначине закључује се да је полупречник кривине еластичне линије

у случају чистог савијања директно пропорционалан аксијалном моменту инерције

и модулу еластичности, а обрнуто моменту савијања, па се штап мање савија ако

су модул еластичности и аксијални момент већи а нападни момент мањи. Ако је

штап константног попречног пресека од истог материјала, а нападни момент је

иначе константан, тада је полупречник кривине еластичне линије константан и

еластична линија је кружни лук. Из друге главне једначине закључујемо да се

нормални напон линеарно мења по пресеку у зависности од растојања влакна од

неутралне осе, да је на неутралној оси једнак нули, да је пропорционалан нападном

моменту и обрнуто пропорциналан аксијалном моменту попречног пресека за

неутралну осу. У свим пресецима је дијаграм напона исти ако је штап константног

попречног пресека и од истог материјала.

Екстремне вредности нормалног напона јављају се у тачкама које су на највећем

растојању од неутралне осе (сл.51), и то:

сл.51 Дијаграм нормалног напона у попречном

пресеку штапа при чистом савијању

сл.50 Спољашње опререћење и

унутрашња

144

;1

maxmaxW

My

I

M

z

;2

minminW

My

I

M

z

(100)

Величине 1

1h

IW z и

2

2h

IW z се зову отпорни моменти пресека у односу на крајња

влакна, и имају димензију трећег степена дужине 3L . Следи, за мање вредности

отпорног момента већа је вредност нормалног напона и обрнуто. Највећи напон по

апсолутној вредности настаје у влакну које је на највећем растојању од неутралне

осе, те се због тога за одредјивање највећег напона користи израз за најмањи

отпорни момент:

maxmax h

I

h

IW NOz

z . (101)

Отпорни момент површине пресека зове се количник момента инерције те

површине у односу на неутралну осу и растојања максимално удаљеног влакна од

неутралне осе: max

NONO

IW

h .

Димензионисање попречног пресека штапа, који је оптерећен на чисто савијање,

врши се на основу услова да највећа вредност нормалног напона буде мања од

дозвољене вредности нормалног напона, који зависи од врсте материјала.

;maxmax

fdoz

zfdoz

z

MWy

I

M

(102)

УВИЈАЊЕ ШТАПА КРУЖНОГ ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА

Основни појмови и претпоставке

Напрезање при коме се унутрашње силе у попречним пресецима штапа редукују

само на спегове сила у равнима пресека штапа зове се увијање (торзија). Остале

компоненте унутрашњих сила, момент савијања, трансверзална сила и нормална

сила, једнаке су нули:

0;0;0 atT FFMM . (69)

Увијање штапа кружног попречног пресека настаје при дејству пара сила које се

налазе у равни попречног пресека штапа. Момент овог пара сила зове се момент

увијања око подужне осе штапа. Моменти увијања могу бити концентрисани или

расподељени дуж штапа. На (сл.39) приказани су концентрисани моменти

увијања, који дејствују у одређеним пресецима. Увијање (торзија) је напрезање

штапа под дејством спољашњих спрегова сила који дејствују у равнима управним

на осу штапа (сл.39).

145

Чистом торзијом назива се напрезање штапа на чијим крајевима дејствују силе

које се редукују на спрегове сила у равнима крајева штапа, једнаких момената а

супротних смерова. Моменти тих спрегова сила називају се моментима торзије

(моментима увијања) и обележавају се TM . Ако замислимо да смо штап пресекли

произвољним пресеком управно на осу, тада из услова равнотеже произвољног

дела штапа закључујемо да се унутрашње силе у том пресеку, за било који део

штапа, редукују на спрег сила који дејствује у равни пресека, и има момент i

TM ,

који је једнак моменту спрега спољашњих сила на крају штапа. Пресечне силе су

у свим пресецима једнаке па се може претпоставити да су и напони у свим

пресецима једнаки, тј. да не зависе од координате дуж осе штапа.

За постављање теорије о торзији штапа кружног попречног пресека уведене су

следеће претпоставке:

хипотеза равних пресека - тачке које се налазе пре деформације у

равни управној на осу штапа налазе се и после деформације у тој

равни;

оса штапа остаје права и после деформације;

растојања између попречних пресека се не мењају услед деформације;

полупречници у произвољном попречном пресеку пре деформације

остају прави и после деформације;

у попречним пресецима штапа јављају се само тангенцијални

(смичући) напони.

5.2 Деформација услед увијања штапа кружног пресека

Деформацијa штапа АB, кружног

попречног пресека, сагласно

наведеним претпоставкама, посматра

се на примеру који је приказан на

(сл.40). Ако је штап АB, дужине l,

кружног попречног пресека,

полупречника R, укљештен на левом

основом B, а на слободном крају

Aоптерећен спрегом сила који

дејствује у самој равни попречног

пресека, онда је изложен увијању услед

момента увијања. Влакно аb на

омотачу цилиндра заокренуће се око

тачке а за неки угао и прећи ће у

положај 1ab . Полупречник R пресека B

заокренуће се за мали угао , који се

назива угао увијања штапа. Влакно cd

сл.39 Увијање штапа под дејством концентрисаних момената увијања

146

на растојању r од геометријске осе Аz заокренуће се такође за неки мали угао r , коме

одговара лук 1cc пресека B. Према томе, могу се написати следеће

сл.40 Увијање конзоле под дејством спрега сила на слободном крају

релације које повезују угао увијања - угао заокретања полупречника (сл.40б) у

попречном пресеку и углове клизања , r - углове заокретања подужних влакана

(сл.40а), која су паралелна оси штапа АB:

rlccRlbb r11 ; (70)

Из (70) се види да је однос углова заокретања - углова клизања r , сразмеран односу

удаљења влакана од осе штапа, да се влакно осе штапа не деформише, а да се највише

деформишу влакна на цилиндичном омотачу штапа. Из претходних израза следи:

max

0

;

0 0;

Rr

r

R

r

r

(71)

На месту укљештења деформације су једнаке нули. Највише се деформише попречни

пресек на слободном крају, коме одговара угао увијања : .r

l

R

l r

Када се угао увијања сведе на јединицу дужине добиће се релативни угао увијања ,

односно, rRl

r .

5.3 Напон услед увијања штапа кружног пресека

5.3.1 Веза између напона и клизања

У попречном пресеку јавља се смичући напон. Максимални смичући напнон

јавља се у спољашњим влакнима и на основу Хуковог закона за смичуће напоне

може се написати:

GrG

GRG

rr

max.

где је G- модул клизања 2/ mN , а r - смичући напон у влакну на cd (у

цилиндричном слоју на растојању r од неутралне осе). Из претходна два израза

може се добити зависност између смичућих напона и растојања влакна

(цилиндричног соја) од неутралне осе у облику:

maxmax

R

r

r

Rr

rr

. (73)

сл.41 Дијаграм тангенцијалног напона у попречном

пресеку штапа

Из релација (73) се види да централна влакна нису

напрегнута и не деформишу се, а да су периферна

влакна најнапрегнутија. Тангенцијални напон се

линеарно мења са радијусом, што је приказано на

(сл.41).

147

5.3.2 Веза између напона и спољашњег оптерећења

За постављање везе између напона и спољашњег оптерећења

примењује се метода пресека према сл.42. Замишља се да је

пресечен део штапа и посматра се равнотежа одсеченог дела.

Утицај уклоњеног дела замењен је силама које се редукују

тако да се супротстављају дејству момента увијања. У

попречном пресеку вратила, елемент површине dА, на

удаљењу r од осе вратила, напада унутрашња сила

dA (сл.42). Попречни пресек садржи бесконачно много

елементарних површина dА, на различитим удаљењима од

осе, и сваку напада унутрашња сила. Елементарне

унутрашње силе леже у равни попречног пресека, а правци су

им управни на одговарајући радијус r. Момент елементарне

унутрашње силе dA у односу на осу вратила је. Резултујући

момент је у равнотежи са спољашњим моментом увијања.

Једначина равнотеже о збиру момената спољашњих и

унутрашњих сила за осу x, односно пројекција момента за пол

О на осу x биће:

A

tx dArMM 0 ; (74)

и заменом израза за тангенцијални напон из релације (73):

max R

r, добија се израза који успоставља везу између

спољашњег оптерећења и највеће вредности

тангенцијалног напона:

A

t

A

t dArR

MdAR

rrM .0 2max

max

(75)

У изразу (75) препознаје се израз за поларни момент инерције, који је дефинисан у

претходном поглављу (израз 18): A

dArI 2

0 . (76)

Применом израза за поларни момент (76) на (75) може се написати израз за највећу

вредност тангенцијалног напона, који се јавља у влакнима на ободу цилиндричне

повши радијуса R:

max

0

TMR

I . (77)

Поларни отпорни момент кружног попречног пресека дефинише се као количник

поларног момента инерције и највећег радијуса (R), који одговара растојању

најудаљенијег влакна од тежишта пресека: R

IW 0

0 . (78)

Применом (78) на (77), добиће се израз за максималну вредност тангенцијалног напона

у облику: 0

maxW

MT . (79)

сл.42 Метода пресека-напон и

спољашње оптерећења

148

Највећа вредност напона не сме да буде већа од одговарајуће дозвољене вредности

напона, што представља тзв. услов отпорности: max

0

TM

dtW . (80)

Дозвољени напон dt зависи од врсте материјала и од степена сигурности.

Из релација (73) и (77) може се одредити тангенцијални напон у било ком влакну

пресека на растојању r од осе штапа, а у пресеку штапа где је познат спољашњи

момент увијања:

rI

MR

I

M

R

r

R

r tt 00

max . (81)

Израз који успоставља везу између спољашњег момента увијања и тангенцијалног

напона познат је као друга главна једначина увијања и има следећи облик:

rI

M t 0

. (82)

5.3.3 Веза између угла увијања и спољашњег оптерећења

Применом израза (82) на израз G

, који добијамо из Хуковог закона за

смицање, а затим на израз (72), добија се израз за угао увијања у зависности од

спољашњег оптерећења (момента увијања):00 IG

lM

r

lr

IG

M

r

l

G

tt

(83)

где 0IG представља крутост при увијању (торзиону крутост).

Израз (83) успоставља везу између угла увијања и спољашњег момента увијања и

познат је као прва главна једначина увијања. Ако угао увијања поделимо дужином l ,

добићемо израз за редуковани угао увијања у односу на јединицу дужине (релативни

угао увијања):

tM

l

. (84)

За одређене услове и режиме рада прописују се дозвољени редуковани углови

увијања, па највећи стварни редуковани угао увијања не сме бити већи од

дозвољеног редукованог угла увијања. У изразима (83) и (84) угао увијања се мери у

радијанима, момент увијања у Nm , дужина у m , и торзиона крутост у 2Nm .

5.4 Димензионисање

За димензионисање попречног пресека користи се израз (80), уз услов да се бира

пресек у коме је највећи момент увијања. За највећу вредност момента увијања и

дозвољени напон срачунава се вредност поларног отпорног момента, а на основу

те вредности и полупречник или пречник пресека. Усваја се прву већу вредност

која је по стандардима одређена или погодна за израду кружног пресека штапа -

конструктивног елемента.

Помоћу израза (80) врши се и проверу напона. Ако максимални тангенцијални напон

није мањи од одговарајућег дозвољеног напона, мора да се повећају димензије

(отпорни момент), или да се изабере материјал са већим дозвољеним напоном ако

конструкција још није изведена, или да смањи оптерећење за већ постојећу

конструкцију.

149

сл.43 Кружно-прстенасти

попречни пресек

5.4.1 Димензионисање штапа кружног попречног пресека

На основу услова отпорности (80) може се извршити димензионисање, одн. могу да се

одреде пречник или полупречник попречног пресека штапа који је оптерећен на

увијање, помоћу следећег израза:

3max

3max 516

dt

t

dt

t MMD

. (85)

јер је:4 3

max 0max 0 0

0

; ; W ; 2 2

TM IR RI

W R

max max max max maxmax 33 3 3

0

2 2 16 5

2

T T T T Tdt

M M M M M

W R D DD

.

5.4.2 Димензионисање штапа кружно-прстенастог попречног пресека

С обзиром на то да су периферна влакна више оптерећена, целисходна је примена

“шупљих вратила”, одн. штапова чији је пресек кружно-прстенасти (сл.43).

Поступак димензионисања је аналоган поступку димензионисања штапа кружног

попречног пресека, с тим што се овде узима поларни отпорни момент инерције

као количник разлике поларних момената инерције већег и мањег кружног

пресека и највећег растојања влакна од централне осе (Р):

4 4

1 2

0 0 00

2 2

R rI I I

WR R R

3 3

4 41 12 16

R D ; (86)

Израз за димензионисање (85) се трансформише у следећи

облик:

34

max3

4

max

1

5

1

16

dt

T

dt

T MMD . (87)

Након срачунате вредности за спољашњи пречник према изразу (87), потребно је према

њој изабрати прву већу стандардну вредност за пречник, затим усвојити и вредност

унутрашњег пречника поштујући задати однос Dd / .

Примери:

Пример 21. Челична конзола, кружног попречног пресека, оптерећена је на

слободном крају моментом увијања NmMT 800 . Димензионисати конзолу ако је

дозвољени напон на увијање 2200 Ncm

.

Одредити угао увијања за распон конзоле ml 2 и модул клизања

528 10 NG

cm

.

max 0

0 0

;T T Tdt

dt

M R M MW

I W

150

3 303

0

161 112,68 ;

2 16

T T

dt dt

I M MW R d d cm

R

усваја се cmd 13 ;

2 2max 3

0

16185,45 200 ;T T

dt

M M N Ncm cmW d

max

0

0,00713692TM l lrad

G I d G

;

1800,41 0 24 31 .

151 сл.53 Метода пресека-унутрашње

елементарне силе у попречном пресеку

штапа у случају попречног савијања

ПОПРЕЧНО САВИЈАЊЕ

7.1 Основни појмови и претпоставке

Попречно савијање (савијање силама) је

такав случај напрезања при коме у

попречним пресецима греде главни

вектор унутрашњих сила лежи у равни

попречног пресека и главни момент није

једнак нули а није ни константан (сл.52).

То је случај савијања изазван силама чије

су нападне линије управне на подужну осу

греде (попречне силе). На основу

диференцијалне зависности између

нападног момента и трансверзалне силе

(релације из првог дела: (71) и (72)),

следи да ако је трансверзална сила

различита од нуле и главни момент је

различит од нуле и његова

функционална зависност од координате

дуж осе греде је за један степен већа од

функционалне зависности трансверзалне

силе.

.0;0;0 MFF at (103)

7.2 Деформација у случају попречног савијања

У случају попречног савијања, у пресецима греде настају нападни момент и

попречна сила. Услед настанка нападног момента М јавља се нормални напон.

Попречна сила tF представља резултанту непрекидно распоређених елементарних

унутрашњих сила, које леже у равни попречног пресека. Оне изазивају

тангенцијални (смичући) напон. Према томе, у случају попречног савијања настају

нормални и тангенцијални напони у

попречним пресецима (сл.53).

сл.54 Елементарни део греде

сл.52 Попречно савијање просте греде

152

сл.55 Деформација елементарног дела греде

Тангенцијални напони изазивају угаону деформацију (клизање) сваког елемента

попречног пресека. Пошто су тангенцијални напони неравномерно распоређени

по пресеку, то је и угаона деформација неравномерно распоређена по пресеку. За

разлику од чистог савијања, код попречног савијања попречни пресеци се криве, не

остају равни (сл.54). Теоријска и експериментална испитивања су показала да је

утицај клизања на дилатацију незнатан па се може занемарити при анализи

нормалног напона.

7.3 Нормални напон у случају попречног савијања

Нормални напон за случај попречног савијања одређује се на истоветан начин као

и код чистог савијања. Прва и друга главна једначина чистог савијања примењују

се за случај попречног савијања у истом облику. Једначина равнотеже за момент

силе за -осу (сл.53), где је момент спољашње силе F за пресек обележен словом М

гласи:

0zM M dA y ;

Ако се израз за нормални напон, yR

E (94)

унесe у претходну једначину, из ње се може

добити прва главну једначину савијања а

затим другу главну једначину савијања, која се

односи на зависност нормалног напона и

спољашњег момента савијања у датом пресеку,

а у тачкама попречног пресека на растојању y

од неутралне осе:

I главна једначина савијања:

zz

zIE

M

RyEIE

M

RI

R

EMdAy

R

EM

1;

1002

.

II главна једначина савијања:

Z

My

I .

Главне једначине, које се односе на кривину савијене осе греде и нормални напон,

користе се за чисто и за попречно савијање у истом облику.

7.4 Тангенцијални напон у случају попречног савијања

За одређивање тангенцијалног напона користимо методу пресека и следеће

претпоставке:

тангенцијални напони су једнаки у свим тачкама на истом растојању од

неутралне осе;

тангенцијални напон је паралелан трансверзалној сили. По методи пресека

издвојимо елементарну призму АBCD из греде тако што се одсече део између

две попречне и једне подужне равни (сл.57). Услов равнотеже (104) о

алгебарском збиру пројекција спољашњих и унутрашњих сила на правац

сл.56 Дијаграм нормалног напона

153

подужне осе x (сл.58) користи се за одређивање израза за тангенцијални

напон у тачкама на истом растојању од неутралне осе и у датом попречном

пресеку греде.

сл.57 Метода пресека - распоред компонентних напона

сл.58 Распоред сила и компонентних напона

odsods A

R

A

R dAFdAF ;;

0)(0 dxybFFX RR ; (104)

odsods A

R

A

R dAFdAF ;; ; (105)

zI

M;

zz I

dMM

I

M; (106)

ods odsA Azz

dxybdAI

dMMdA

I

MX ;0)(0 ; (107)

odsA

ods

NO

ods

z dASS ; (108)

)()()()(

ybI

SF

ybI

SF

ybI

S

dx

dMdxybS

I

dM

NO

ods

NOt

Z

ods

Zt

Z

ods

Zods

Z

Z

, јер је

dx

dMFt .

На овај начин изведена је трећа главна једначина савијања (формулу Журавског)

о тангенцијалном напону у датом попречном пресеку, а у влакнима на растојању y

154

од неутралне осе. Овај израз показује да је величина тангенцијалног напона

директно пропорционална величини трансверзалне силе у датом пресеку и

статичком моменту одсечене површине попречног пресека за неутралну осу, а

обрнуто пропорционална аксијалном моменту инерције попречног пресека за

неутралну осу и ширини попречног пресека паралелној неутралној оси, а на

растојању y од ње:

)()( ybI

SF

ybI

SF

NO

ods

NOt

Z

ods

Zt

; (109)

Одсеченом површином зовемо површину попречног пресека која се простире од

влакана у којима тражимо напон и даље од неутралне осе (сл.57), што асоцира на

део површине пресека коју би одбацили (одсекли). Највећи тангенцијални напон

је у попречном пресеку у коме је највећа трансверзална сила и у влакнима

попречног пресека за који је однос /ods

NOS b y највећи.

Израз (109) се користи за израчунавање тангенцијалног напона и проверу те

величине у односу на дозвољени тангенцијални напон.

7.4.1 Тангенцијални напон правоугаоног пресека

Израз (109) може да се ближе одреди за одређени попречни пресек. Будући да се у

пракси често користи правоугаони пресек (сл.59), може се показати да се

тангенцијални напон по висини пресека мења по закону квадратне параболе,

симетрично у односу на неутралну осу. Прво се рачуна статички момент одсеченог

дела правоугаоног пресека у функцији координате y, затим се тај израз и

одговарајући израз за момент инерције правоугаоног пресека унеси у израз (109) и

знајући да је ширина пресека за свако y једнака b, добија се израз за

тангенцијални напон (110). Максимална величина тангенцијалног напона (111) је

за 0y , на неутралној оси, а најмања, одн. нула, у крајњим влакнима за 2y h .

2

2

22222

1

222

1y

hby

hy

hby

hby

hyAydAS odsC

A

ods

Z

ods

;

;2

622

12

;12

;)( 2

2

3

2

2

3

3

yh

hb

F

b

yhb

hb

FhbIbyb tt

Z (110)

A

F

hb

F tty

2

3

2

30max : (111)

155

сл.59 Дијаграм тангенцијалног напона правоугаоног пресека

7.5 Напонско стање

7.5.1 Напони у попречном пресеку

Нормални напон у попречном пресеку се мења линеарно, у зависности од момента

савијања у датом пресеку, аксијалног момента инерције попречног пресека за

неутралну осу и растојања влакана од неутралне осе. Највећи нормални напон

јавља се у опасном пресеку греде (у пресеку греде са највећим нападним

моментом), и то као ивични нормални напон у том пресеку. Тангенцијални напон

се мења нешто сложеније, у зависности од трансверзалне силе у посматраном

пресеку, аксијалног момента инерције попречног пресека за неутралну осу,

статичког момента одсечене површине и ширине пресека у коме тражимо

вредност тангенцијалног напона:

ybI

SFy

I

M

Z

ods

Zt

Z

; . (112)

За правоугаони пресек је функционална зависност тангенцијалног напона у

облику квадратне параболе (сл.60). Највећа вредност тангенцијалног напона

јавља се у тачкама неутралне осе према изразу (111).

сл.60 Дијаграми компонентних напона правоугаоног попречног пресека

7.6 Димензионисање

156

сл.62 Попречно савијање просте

греде концентрисаним силама -

дијаграми момента савијања и

трансверзалне силе

У случају попречног савијања јавља се сложено напрезање с обзиром на то да

постоје нормални и тангенцијални напони. У већини случајева се тангенцијални

напон занемарује. За димензионисање попречног пресека у случају попречног

савијања користи се критеријум као и у случају чистог савијања. Узимајући

највећу вредност момента савијања и дозвољени напон на савијање израчунава се

вредност отпорног момента савијања (Wz), а на основу те вредности и једнa

димензијa попречног пресека. Усваја се прва већа вредност која је по стандардима

одређена или погодна за израду пресека штапа.

Димензионисање попречног пресека штапа који је оптерећен на попречно савијање

врши се на основу услова да највећа вредност нормалног напона буде мања од

дозвољене вредности нормалног напона: df

zdf

zZ

MW

W

My

I

M

maxmax

maxmax

max .

Примери:

Пример 30. Проста греда АБ, распона ml 6 (сл.62), оптерећена је теретима

kNF 401 и kNF 202 . Димензионисати челичну греду кружног попречног

пресека ако је дозвољени напон на савијање

MPadf 120 .

1º Одређивање отпора ослонаца:

1 20; 0A BY F F F F ;

kNFFFF BA 6021 ;

0652;0 21 BA FFFM ;

kNFB 30 ;

kNFA 30 .

2º Моменти у карактеристичним

пресецима:

0 BA MM ; kNmFM BD 301 ;

max

52 60 60 10f C AM M F kNm Ncm .

3º Димензионисање:

;maxmax

max df

z

f

f yI

M

max

max

max

fzz f df

z

MIW

y W

max

53

6 4

60 10500 ;

120 10 10

f

z

df

MW cm

;32

;64

;2

34

max

dW

dI

dy zz

;2,1732

3 cmdW

d z

усваја се .180 mmd

157

сл.63 Попречно савијање просте греде

једноликим оптерећењем-дијаграми

момента

савијања и трансверзалне силе

4º Провера напона:

;;968,0 max dfdfdfdf MPa

max

max

57

23 3 3

32 32 60 1010479 10,48 10 104,8 ;

18

32

f f f

f

z

M M MN Pa MPa

cmdW d

1

2 43max

max max; ; ; 30 30 10 ;64

zz

z

T S dI b d T kN N

I b

12

3 3318

486 ;12 12

z

dS cm

45152,9973 ; 18 ;zI cm b d cm

42 2max 157,19 157,19 10 1,5719 .df

N N MPam m

Пример 31. Димензионисати просту греду (сл.63) квадратног попречног пресека,

дужине ml 6 , ако је оптерећена једноликим оптерећењем m

kNq2

1 , ml 6 .

Дозвољени напон износи: 21000dfN

cm

;

Решење:

1

6 32

qF q l kN .

0 1,5 ;2

q

A B

FY F F kN

max

1 1 12,25

2 2 4f C AM M F q kNm ;

max

52,25 10fM Ncm .

max

max

f

f df

z

M

W ;

4

3

max

12

6

2

zz

aI a

Way

;

,52,1110

1025,26

63

3

53

max cmaMa

df

f

усваја се: .12 cma

158

РАВНО НАПРЕЗАЊЕ

4.1 Основни појмови и претпоставке

Танка плоча, произвољне контуре, константне дебљине , напрегнута је само силама

које дејствују дуж контуре. Резултанте оптерећења се налазе у средњој равни која полови

дебљину плоче (сл.31). На основама плоче 2z нема оптерећења и је мало. Може

се претпоставити да су у равнима, које су паралелне основама плоче напони једнаки нули,

да постоје само компонентни напони у равнима управним на средњу раван плоче и да они

не зависе од координате z, већ само од координата x и y . Тај

случај напрезања зове се равно (раванско) напрезање.

Равно (раванско) напрезање настаје када је танка плоча,

произвољне контуре, константне дебљине , напрегнута само

силама које дејствују дуж контуре и чије се резултанте налазе у

средњој равни плоче.

Многе конструкције имају саставне елементе у облику танких

плоча које су оптерећене у правцу своје средње равни. Као

пример се могу навести делови транспортних средстава или

резервоари за складиштење гасова и течности. Код њих настаје

равно напрезање које се дефинише напонским стањем у ма

којој тачки средње равни плоче. У свакој тачки средње равни

плоче могуће је поставити безброј равни пресека. У зависности

од равни пресека, у посматраној тачки (К) под утицајем

оптерећења јавља се укупни напон који се може разложити на

компонентне напоне, и то: (нормални) и (тангенцијални).

Величине компонентних напона зависе од пресека кроз дату

тачку елемента. Када се знају величине компонентних напона у

свим могућим равнима онда се зна напонско стање у тој тачки

(К). У случају равног напрезања, кроз дату тачку можемо

конструисати само једну раван у којој је укупни напон једнак

нули (величине компонентних напона једнаке су нули у равни

паралелној равни 0xy).

4.2. Став о коњугованости тангенцијалних напона

Посматра се један контрукцијски елемент у облику равне плоче мале дебљине (сл.32),

оптерећен произвољним силама по контури. Нека су резултанте тих сила у средњој равни

плоче.

Применом методе пресека из напрегнуте плоче издвоја се у произвољној тачки, помоћу

два пара паралелних равни са координатним осама (сл.32а), елементарну призму abcd

дебљине , страница dx и dy. Узимајући у обзир да су димензије dx и dy бесконачно мале

може се сматрати да су компонентни напони на супротним странама призме једнаки

(сл.32б). Утицај одсеченог дела плоче на елементарну призму надохнађује се унутрашњим

површинским силама (сл.32ц). Моментна једначина равнотеже, на пример за моментну

тачку А, кроз коју пролазе нападне линије свих сила које дејсвују у правцима нормала на

посматране бочне површине елементарне призме, има једноставан израз и зависи само од

сл.31 Општи случај равног

напрезања

159

сила које дејствују у самим равнима пресека, а образују два спрега сила:

0dydxdxdyM yxxyA .(55)

сл.32 Квадратна елементарна призма, компонентни напони и унутрашње силе

Из ове моментне једначине равнотеже закључујемо: тангенцијални напони, који дејствују

на две узајамно управне бесконачно мале равни, једнаки су и имају смер ка линији пресека

те две равни или од њих. Ово својство је познато у отпорности материјала као став о

коњугованости тангенцијалних напона.

yxxyAM 0 . (56)

4.3 Напони у косом пресеку

За одређивање напона у косом пресеку примељује се метода пресека. Издвоја се тространа

елементарна призма и утицај уклоњеног дела плоче плоче замењује се унутрашњим

силама (сл.33). Једначине равнотеже у се могу изразити у облику алгебарских збирова

пројекција свих сила на правац нормале и на правац тангенте:

0sincoscossinsincos )2(

0sincossincossincos )1(

22

n

22

n

dAdAdAdAdAT

dAdAdAdAdAN

yx

yx (57)

22

22

sincoscossin)2(

sincos2sincos)1(

yxn

yxn (58)

Применом тригонометријских израза: 2 1cos cos 2 1 ;

2 2 1

sin 1 cos 2 ;2

2sin cos sin2 ; 2 2cos sin cos2 ; (59)

на претходне релације (58), добијамо трансформисани облик израза за компонентне

напоне у косом пресеку, у функцији двоструког угла:

ncos 2 sin 2 ; sin 2 cos 22 2 2

x y x y x y

n

(60)

сл.33 Тространа елементарна призма, компонентни напони и унутрашње силе у попречном, уздужном

и косом пресеку

160

Закони промене нормалног и тангенцијалног напона у тачки C плоче дефинисани су

једначининама (60). Помоћу ових једначина могу се одредити компонентне напоне,

нормални и тангенцијални (смичући) напон, у тачки C за било коју раван пресека, под

било којим углом .

4.4 Главне равни и главни напони

Равни за које су тангенцијални напони једнаки нули називају се

главне равни. Нормални напони који дејствују на те равни зову се

главни напони.

У свакој тачки напрегнутог тела можемо да издвојимо

елементарни паралелопипед (сл.34), чије су равни главне равни

на које дејствују главни напони у три узајамно управна правца:

321 .

4.6 Чисто смицање

4.6.1 Појам чистог смицања

Равно напрезање, при коме на

ортогоналним странама елементарног

паралелопипеда дејствују само

тангенцијални напони назива се чисто

смицање (сл.35).

При овом напонском стању мењају се

углови између страница, док се дужине

страница не мењају.

Свака страница паралелограма се, при чистом смицању, помери у односи на њој паралелну

страницу за малу величину AA којe се назива апсолутно смицање које се мери дужинским

јединицама. Однос апсолутног смицања AA ’ према растојању а између паралелних страница

зовемо релативно смицање које је при малим деформацијама једнако углу клизања , а мери

се у радијанима.

– релативно смицање.

4.6.2 Напони код чистог смицања

Посматра се танка плоча правоугаоног облика, дебљине , затегнуту у правцу x-осе и

притиснуту правцу y-осе једноликим оптерећењем п по јединици површине (сл.36а).

Претпоставимо да су силе управне на контуру плоче. Из те плоче исецимо плочу квадратног

облика abcd, чије су странице паралелне страницама првобитне плоче. На њеним странама

дејствују само нормални напони (сл.36б): ;x yp p .

Из квадратне плоче abcd исецимо другу квадратну плочу АBCD и троугаону плочу BbC

(сл.36ц). Применом методе пресека, из једначина равнотеже за силе које нападају троугаону

плочу BbC, одређујемо вредности компонентних напона у равнима под углом 4 .

2 2 2 0 0

2 2 2 2 2

2 2 20

2 2 2 2 2

n n

n n

l l lN p p

l l lT p p p

(65)

сл.35 Чисто смицање

161

Квадратна плоча ABCD је напрегнута на чисто смицање, њене бочне стране су оптерећене

силама у самим странама, тј. нема сила у правцима нормала на бочне стране.

4.6.3 Деформација услед чистог смицања

Да бисмо одредили деформацију услед чистог смицања, посматрамо прво деформацију

квадратне плоче abcd. Разложимо дато напонско стање у два напонска стања (сл.37).

Применимо принцип суперпозиције, тј. укупну деформацију одредимо сабирањем

појединачних деформација, које настају услед појединачних напонских стања:

; x yp p .

Прицип суперпозиције подразумева сабирање деформација у правцима x и y оса на

следећи начин:

"'

xxx ; "'

yyy ;

E

p

E

xx

'

; E

p

E

y

x

";

E

p

E

xy

'

; E

p

E

y

y

";

E

pyx 1 ; (66)

1x y

pll l l

E . (67)

сл.36 Плоча правоугаоног облика, дебљине , затегнута у правцу x-осе и притиснута

правцу y-осе једноликим оптерећењем п по јединици површине

сл.37 Принцип суперпозиције деформација

162

Деформација призме ABCD, која је напрегнута на чисто смицање, настаје тако што се

прави углови BAD и BCD смањују за малу величину угла , док се прави углови ABC и

ADC повећавају за исту величину угла . Ова промена првобитно правог угла назива се

клизањем или смицањем и обележава се . За прорачун угла клизања користимо следећи

поступак у складу са сл.38.

12 2(1 ) tg ;4 2 1

2 2

l lOB l l

l l l lOA

sin 11 24 2 2 2(2 ) tg ; tg ;4 2 2 2 21 1cos 2 24 2

tg

tg

2 1(1 ) 2 2 ;

2 1

(3 ) 1 ; (4 ) p

E

2 1(4 ) (3 ) ; (5 )

p

E

; (6 )p

(6 ) (5 ) ; (7 )

2 1

E G

; (8 ) 2 1

EG

(7 ) ; (9 )G (68)

Посматрајмо групу израза (68). С обзиром на

; 6p и ; x yp p , израз 3

показује да је клизање једнако двострукој

вредности дилатације; израз 4 показује

везу између нормалног напона и дилатације;

израз 5 између нормалног напона и

клизања; израз 8 показује везу између

модула клизања G, модула еластичности Е и

Поасоновог коефицијента . Ове величине

дефинишу еластична својства изотропних

материјала и међусобно су зависне. Довољно

је да експериментом одредимо две, трећу

срачунавамо према овом изразу 8 . Израз

9

представља Хуков закон за случај смицања, и

он изражава линеарну зависност између

клизања и тангенцијалног напона. Овај

закон важи до границе пропорционалности.

Коефицијент пропорционалности зовемо модул клизања G. То је физичка константа

материјала, која одређује крутост при смицању (смицајну крутост), има димензију

напона као и модул еластичности Е, и мери се у 2kN

cm

. Димензионисање услед

смицања вршимо, на основу претпоставке да је напон једнолико распоређен по

сл.38 Деформација квадратног елемента

услед смицања

163

попречном пресеку, применом израза dsA

F

ds

FA

, где је А тражена димензија

попречног пресека, F сила оптерећења у самој равни пресека и ds дозвољени напон при

смицању, за који можемо приближно усвојити да је 0.8 de . Стварна вредност смичућег

напона не сме бити већа од дозвољене вредности.

У свакодневном животу срећемо се са напрезањем на чисто смицање у случајевима

сечења материјала помоћу маказа, када силе супротног смера дејствују у бесконачно

блиским равнима. Постоји низ примера сложених напрезања, нпр. смицање и аксијално

напрезање настају у закованим и завареним везама.

Примери:

Пример 17. Танка правоугаона плоча затегнута је у x и y правцу силама чији су напони

21000xkN

cm

; 2600y

kNcm

. Мудул еластичности је 6

22 10 kNEcm

а

Пуасонов коефицијент =1/3. Одредити:

a) Дилатације;

b) Нормални и тангенцијални напон под углом од 30о

према попречном пресеку

управном на осу 0x;

c) Највећи тангенцијални напон.

Решење:

a) Дилатације:

"'

xxx ; 6

'

102

1000

E

xx

;

6

"

102

600

3

1

E

y

x

4104 x ;

"'

yyy ; 6

'

102

1000

3

1

E

xy

;

4

6

" 103,1102

600

y

y

yE

.

b) Нормални и тангенцијални напон под углом од 30 према попречном пресеку

управном на осу 0x:

2

1000 600 1000-600cos 2 sin 2 cos60 900 ;

2 2 2 2

x y x y

n xykN

cm

2n

1000-600sin 2 cos 2 sin 60 100 3 ;

2 2

x y

xykN

cm

јер је .0xy

c) Највећи тангенцијални напон:

2

1000-600sin 2 sin90 200

2 2

x y

nkN

cm

.

Пример 18. Плоча је притиснута у оба правца тако да је 2600x y

kNcm

. Колики

су компонентни напони у косом пресеку к-к, који је нагнут под углом према попречном

пресеку п-п управном на 0x-осу?

2

600 600 -600 600cos 2 sin 2 cos2 600 ;

2 2 2 2

x y x y

n xykN

cm

600 600sin 2 cos 2 sin 2 0.

2 2

x y

n xy

164

Пример 19. Плоча је затегнута у правцу 0x-осе и притиснута у правцу 0y-осе, тако да је

2600x ykN

cm

. Колики су компонентни напони у косом пресеку к-к, који је

нагнут под углом 45 према попречном пресеку п-п управном на 0x-осу?

600 600 600 600cos 2 sin 2 cos90 0;

2 2 2 2

x y x y

n xy

2

600 600sin 2 cos 2 sin90 600 .

2 2

x y

n xykN

cm

Пример 20. Коликом силом Ф треба дејствовати да би маказама пресекли материјал

пресека површине 0,2 2cm , ако је дозвољени напон на смицање 210 kNcm

?

dsA

F ds 0,2 10 2F A kN .

ЕЛАСТИЧНА ЛИНИЈА

Геометријска оса греде се услед савијања криви (савија) у равни дејства оптерећења,

попречних сила и/или момената спрегова сила и настаје еластична линија греде.

Еластичне линије су приказане испрекиданим линијама на примерима (сл.68, сл.69).

Савијена оса греде зове се еластична линија. Кривина еластичне линије једнака је

количнику нападног момента и савојне крутости греде, а одређена је изразом (97):

За хомогену греду, израђену од једне врсте материјала (Е=const..), константног попречног

пресека, аксијални момент инерције за неутралну осу, па и савојна крутост имају

константну вредност. За случај чистог савијања (момент савијања у сваком пресеку има

исту вредност - константан је), кривина еластичне линије је такође константна. Онда је

еластична линија греде кружни лук. Проста греда AB, оптерећена спреговима над

ослонцима (сл.48а), има еластичну линију у облику кружног лука чије су крајње тачке у

ослонцима А и B.

За случај попречног савијања греде, која је оптерећена концентрисаним силама или

континуалним оптерећењима, где ова оптерећења дејствују у вертикалној равни савијања

кроз геометријску осу греде, настаје еластична линија у истој равни, чију кривину треба

одредити. Попречно померање тачака савијене осе греде у односу на осу неоптерећене

греде зове се угиб греде. Да би вредности угиба биле позитивне када вертикалне силе

дејствују наниже, усваја се координатни систем у левом ослонцу тако да је апсциса (0x-

оса) усмерена удесно а ордината (0y-оса) усмерена наниже. У овом случају се може

примењивати конвенција о знаку сила у пресеку . Заокретање (ротација) попречних

пресека настаје при савијању греде. Угао ротације попречних пресека, за случај малих

деформација у отпорности материјала, сматра се једнаким углу нагиба тангенте на

деформисану еластичну линију греде. Угао нагиба тангенте на еластичну линију је

позитиван уколико тангента ротира од 0x-осе ка 0y-оси (у смеру казаљке на сату). Угиби

се мере у центиметрима или милиметрима, а нагиби у радијанима или степенима. При

савијању осе греде долази и до померања тачака носача у правцу подужне осе. То

померање код просте греде омогућава покретни ослонац. Померање у правцу подужне осе

(аксијалном правцу) је знатно мање од угиба па се углавном занемарује. Највеће

дозвољене вредности угиба греда (fмаx), у техничкој пракси, износе два промила од

распона (дужине l) греде.

8.2 Диференцијална једначина еластичне линије

165

За извођење диференцијалне једначине еластичне линије полази се од израза за кривину

еластичне линије:

;

Из диференцијалне геометрије познат је израз за кривину криве:

(116)

где је: R- полупречник кривине; y - ордината тачке криве; dx

dyy и

2

2

dx

ydy - први и

други извод ординате y по кординати x, где је: x - растојање од левог ослонца греде (сл.68).

Ако се узме у обзир да су деформације веома мале, да y представља угиб и нагиб

еластичне линије, да је угиб веома мали у односу на дужину l : ly , и да је нагиб веома

мали: ydx

dytg и 1 одн. 1y . Тада именилац израза (116) може се

поједноставити, јер има вредност веома блиску јединици, тј. 1)1( 23

2 y .

Изједначавањем израза (97) и поједностављеног израза (116) добија се диференцијална

једначина еластичне линије у облику:

3

2 21

y M My

y

B B;

Да би се добио позитивни угиб када је трансверзална сила усмерена наниже, усваја се

координатни систем са координатним почетком у левом ослонцу, а ординатну y-осу

усмеравамо наниже. При томе, конвенција о знаку сила у пресеку (из графостатике) има

важност за одређивање знака нападног момента и трансверзалне силе. Према усвојеном

смеру осе y и према конвенцији о знаку нападног момента, момент М и y увек су

различитог знака, што је приказно на (сл.68, сл.69), тако да се коначно добија

диференцијална једначина еластичне линије у облику: M M

yEI

B

; (117)

8.3 Интеграљење диференцијалне једначине еластичне линије

Једна од метода за одређивање еластичне линије штапа је директна метода интеграљења

диференцијалне једначине облика (117). У било ком пресеку штапа x може да се одреди нагиб

(угао ротације попречног пресека) и угиб (померање тежишта пресека у правцу линије сила)

уколико се одреди први и други интеграл диференцијалне једначине еластичне линије штапа, с

тим што за одређивање интеграционих константи мора да се користе гранични услови у

зависности од начина ослањања штапа.

сл.68 Еластична линија просте греде сл. 69 Еластична линија конзоле

166

Пре интеграљења диференцијалне једначине потребно је да се подели штап на интервале у

којима је нападни момент изражен једним аналитичким изразом. За сваки интервал саставља се

израз за нападни момент у произвољном пресеку тог интервала и уврсти у десну страну

диференцијалне једначине. Тако добијена диференцијална једначина се интеграли два пута:

y x M x B ;

1

NO

M xy x dx C

EI ;

1 2

NO

M xy x dx dx C x C

EI

;

где су 1C и 2C интеграционе константе које треба да одредимо. Вредности интеграционих

константи одређује се уз помоћ граничних услова, на основу услова ослањања штапа и на

основу услова континуалности еластичне линије штапа на прелазу из једног у друго поље за

која се мењају изрази за момент савијања.

Опште решење диференцијалне једначине за случај константне савојне крутости штапа добија

се једноставније, и тада се интеграли само изразе за моменте савијања:

.NOEI const B ; 1y M x dx C B ; 1 2y M x dx dx C x C B ;

За одређивање интеграционих константи потребно је да се знају две партикуларне вредности

функција y и y у било којим пресецима. На тај начин се добију две једначине из којих могу да

се израчунају вредности двеју интеграционих константи. Потребан број партикуларних

вредности функција може се увек да поставити у облику граничних услова за одређивање

интеграционих константи, и то на местима ослањања, на границама интервала за случај да

нападни момент не може да се изрази једном непрекидном функцијом за цео распон штапа, и

на основу евентуалних услова симетрије, уколико постоје.

Неки примери постављања граничних услова:

зглобни ослонац (непокретан или покретан) (сл.68) искључује могућност угиба у

тачкама ослањања а дозвољава обртање крајњег пресека: 0y ;

круто укљештење (сл.69) искључује могућност обртања и померања укљештеног краја

штапа: 0y ; 0y ;

из услова непрекидности еластичне линије (сл.68), у пресеку у коме дејствује

концентрисана трансверзална сила F, произилази да на десном крају првог интервала

угиб и угао нагиба тангенте еластичне линије морају да буду једнаки, редом, угибу и

нагибу на левом крају (тј. на почетку) другог интервала: IICIC yy и IICIC yy (сл.74,

први интервал I је лево од пресека дејства силе, други интервал II је десно од истог

пресека).

Примери:

Пример 35. Интеграљењем диференцијалне једначине одредити еластичну линију просте греде

оптерећене једнакоподељеним континуалним оптерећењем q по целом распону l. Одредити

маскимални угиб греде и нагибе над ослонцима (сл.70).

Проста греда АB, распона l, оптерећена је континуалним оптерећењем .constq по

целом распону, константног је попречног пресека и хомогена, тј. савојна крутост је такође

константна дуж греде. За одређивање реакција континуално оптерећење можемо сматрати

концентрисаном силом, чија је величина једнака површини правоугаоника основице л и висине

q, а нападна линија пролази кроз тежиште истог правоугаоника и смер је наниже. Реакције у

ослонцима су једнаке половини силе оптерећења, што очигледно мора да буде испуњено и због

симетрије. Затим одредимо израз за нападни момент, у функцији координате x мерено од левог

ослонца удесно, у произвољном пресеку . Овај израз унесемо у општи израз за

диференцијалну једначину еластичне линије и два пута интегралимо. У изразима се појављују

две инеграционе константе које одредђујемо из граничних услова. Гранични услови зависе од

врсте веза. У овом случају гранични услови су: угиби пресека у тачкама ослањања морају да

буду једнаки нули, тј. ( 0 ; 0 BA yy ).

167

сл.70 Савијање просте греде оптерећене

једноликим оптерећењем по целом распону

constq ; constB ; qF ql ; 2

A b

qlF F ;

222

2qxx

qlxqxxFxMM A за 0 x l 2

2 2

ql qy M x x x B

2 3

12 2 2 3

ql x q xy C B

3 4

1 24 3 6 4

ql x q xy C x C B ;

00xyyA 2 20 0Ay C C B ;

0lxyyB

3 4

1 04 3 6 4

B

ql l q ly C l B

24

3

1

qlC .

32 3

24 4 6

ql ql qy x x

B B B

2 33

1 6 424

ql x x

l l

B; (118)

33 4

24 12 24

ql ql qy x x x

B B B

2 34

1 224

ql x x x

l l l

B; (119)

Из симетрије следи: BA ; A ; B ;

0yA ; lyB

;

3

24

ql

B; (120)

2maxmax

lxyyf

4 41 1 51 2

24 4 8 384

ql ql

B B; (121)

Пример 36. Одредити еластичну линију конзоле оптерећене једнакоподељеним

континуалним оптерећењем q по целом распону л, интеграљењем диференцијалне

једначине. Срачунати угиб и нагиб слободног краја конзоле (сл.71).

Да бисмо срачунали силе веза, прво заменимо једнолико оптерећење концентрисаном

силом, чији је интензитет једнак производу специфичног оптерећења и дужине конзоле

(qл), а нападна линија полови дужину конзоле. Из једначина равнотеже срачунавамо

непознате силе веза на месту укљештења. Силе веза конзоле су трансверзална сила AF ,

која је једнака укупном оптерећењу qл, и момент укљештења AM , који је једнак

производу концентрисане силе qл и крака те силе л/2 (сл.71). Ово је неопходно да бисмо

одредили силе у пресеку и нацртали одговарајуће дијаграме. Затим, напишемо израз за

нападни момент у пресеку са десне стране, мерећи растојање x слева од места укљештења,

унесемо тај израз у (117), интегралимо диференцијалну једначину два пута и укључимо

граничне услове да бисмо срачунали интеграционе константе. Највеће вредности угиба и

нагиба еластичне линије су у пресеку Б које срачунамо из одговарајућих израза (y и y ) за

x l .

168

За састављање диференцијалне једначине еластичне линије на овај начин није неопходно

да одређујемо реакције.

constq ; constB ; qlFq ; qlFF qA ; 2

2qlM A ;

y M x B ;

2

2xl

qxM

; lx 0 ;

2 22

2 2 2

l x ql qy q qlx x

B ;

2 2 3

12 2 2 3

ql x q xy x ql C B ;

2 2 3 4

1 22 2 2 3 6 4

ql x ql x q xy C x C B ;

000 2 CxyyA ;

000 1 CxyyA ;

2

2 3 4

4 6 24

ql ql qy x x x B ;

22 3

2 2 6

ql ql qy x x x B ;

2 23

3 36

ql x x xy

l l l

B; (122)

2 24

6 424

ql x x xy

l l l

B; (123)

3

6B

qly y x l

B;

3

6

ql

B; (124)

4

8B

qly y x l

B;

4

8B

qlf

B; (125)

Пример 37. Одредити угиб и нагиб краја Б конзоле, распона л, оптерећене

концентрисанон силом на слободном крају (сл.72).

Овај пример решавамо аналогно претходном примеру, с тим што је одређивање реакција

једноставније, јер је очигледно:

FFA ; A FlM ;

xlFMxM ; 10 x ;

y M x Fl Fx B ;

2

12

xy Flx F C B ;

2 3

1 22 6

x xy Fl F C x C B ;

0Ay ; 00 1 CyA ; 02 C ;

2 3

2 6

x xy Fl F B ;

сл.71 Савијање конзоле оптерећене једноликим

оптерећењем по целом распону

169

сл.72 Савијање конзоле оптерећене

оптерећене концентрисаном

силом

на слободном крају

сл.73 Проста греда оптерећена спрегом

2

2

xy Flx F B .

2

22

Fl x xy

B l l

;(126)

23

36

Fl x xy

l l

B;(127)

2

2B

Fly y l

B;(128)

3

3B B

Flf y y l

B;(129)

Пример 38. Написати једначину еластичне линије просте греде, распона л, оптерећене

спрегом над ослонцем А (сл.73).

Уколико просту греду напада момент спрега изнад ослонца, тада су силе веза (реакције)

једнаке и супротног смера, тако да оне чине спрег сила, крака л и момента спрега, који је

једнак датом моменту спрега оптерећења а супротног смера. По одређивању реакција,

напишимо израз за нападни момент са леве стране, унесимо га у диференцијалну

једначину и даље спроведимо процедуру интеграљења и одређивања интеграционих

константи на начин аналоган првом примеру:

BA FFl

M;

AM M x F x xl

M

M M ;

y M x xl

M

B M ;

2

12

xy x C

l

MB M ;

2 3

1 22 2 3

x xy C x C

l

MB M ;

103

ly l C

M;

000 2 Cy ;

2 1

2 3

ly x x

l

MMB M ; (130)

2 3

2 6 3

ly x x x

l

M M MB ;

(131)

3

l

M

B;

6

l

M

B. (132)

Пример 39. Извести једначину еластичне линије просте

греде, распона л, оптерећене концентрисаном силом Ф

(сл.74). Одредити нагибе тангенти еластичне линије

над ослонцима и угиб у пресеку дејства силе.

У случају да је проста греда оптерећна концентрисаном

силом Ф, нападни момент има облик троугла, па је

зависност момента од x различита у пољима И и ИИ,

лево и десно од нападне линије силе оптерећења. Због

тога морамо да поставимо две диференцијалне

170

једначине еластичне линије, за свако поље по једну, и појединачно интегралимо по два

пута. У интегралима се јављају четири интеграционе константе. Две одређујемо из услова

ослањања просте греде, да су угиби у ослонцима А и Б једнаки нули, а преостале две из

услова континуалности (непрекидности) еластичне линије просте греде, што значи да су у

пресеку греде, у коме дејствује нападна линија силе, угиби и нагиби еластичне линије на

границама првог и другог интервала међусобом једнаки.

;;l

FaF

l

FbF BA

Интервал И: ;;0 xl

FbxFxMax A

Fb

y xl

B ; (1)

2

12

Fb xy C

l B ; (2)

3

1 26

Fb xy C x C

l B ; (3)

Интервал ИИ: ; ;Fb

a x l M x x F x al

Fb

y x F x al

B ; (4)

22

32 2

F x aFb xy C

l

B ; (5)

33

3 46 6

F x aFb xy C x C

l

B ; (6)

0 0; 0;A By y y y l

; ;I II I IIy a y a y a y a 20 0 (3) 0;Ay y C

1 3(2) (5) ;I IIy a y a C C 2 4 4(3) (6) 0;I IIy a y a C C C

22

36

)6(0 bll

FbClyyB . (7)

Ако упоредимо диференцијалне једначине еластичних линија (1) и (4) за интервале И и

ИИ, уочићемо да су први чланови међусобно једнаки. У изразу (4), који се односи на

интервал ИИ, јавља се члан у облику бинома (x-а). С обзиром на то да је д(x-а)=дx,

интеграљење спроводимо у односу на одговарајући бином. Према томе, ове изразе можемо

да објединимо у облику једне диференцијалне једначине за целу греду постављањем

вертикалне црте после првог члана, по методи коју је поставио Клебш (А. Цлебсцх, [5]):

Fb

y x F x aa

B ;

Основно правило ове методе је да се координатни почетак налази у почетној тачки на

левој страни носача (тачка А) и x-оса је усмерена удесно. Први члан иза знака једнакости

односи се на део греде лево од нападне линије силе, а цео израз за део греде десно од

нападне линије силе. У левом делу од вертикалне црте промењлива је x, а у десном делу

(x-а). Интеграљењем добијамо једначину за нагиб тангенте еластичне линије као први

интеграл и једначину за угиб као други интеграл у следећем облику:

22

12 2

F x aFb xy C

l

B ;

sl.74 Prosta greda opterećena

koncentrisanom silom

171

33

1 26 6

F x aFb xy C x C

l

B .

Интеграционе константе су сада само две. Одређујемо их из услова ослањања греде, тј. из

услова да су угиби над ослонцима једнаки нули. Тада узимамо само израз до црте за

гранични услов који се односи на леви ослонац, када је 0x (И интервал), а за гранични

услов да је угиб над десним ослонцем једнак нули, када је x l , узимамо цео израз. Тако

смо добили интеграционе константе:

000 2 CyyA ; 22

16

0 bll

FbClyyB .

Применом добијених израза за интеграционе константе на први и други интеграл

диференцијалне једначине еластичне линије добијамо изразе за нагиб и угиб еластичне

линије просте греде, распона л, оптерећене концентрисаном силом Ф на растојању а од

левог ослонца и на растојању б од десног ослонца. Након сређивања ових израза у

функцији (x/л), са циљем да што једноставније и брже можемо да срачунавамо угиб или

нагиб еластичне линије у било ком пресеку греде, добијамо:

2 2 22

1 3 36

Fl b b x x ay

l l l l

B

; (133)

2 2 33

16

Fl b x b x x ay

l l l l l

B

; (134)

Нагиб тангенте еластичне линије над ослонцем А израчунавамо тако што у први израз

унесемо x/л=0 само до црте:

22 2

1 16 6

A

Fl b b Fl a b by

l l l l l

B B

; (135)

Нагиб тангенте еластичне линије над ослонцем Б израчунавамо тако што у цео израз

унесемо x/л=1 и x=л:

2 22 2

1 3 3 16 6

B

Fl b b l a Fl a b ay

l l l l l l

B B

; (136)

Угиб у пресеку дејства нападне линије силе добијамо из другог израза, где је ax :

2 2 2 23 3

16 3

Fl b a b a Fl a by

l l l l l l

B B

;

ГЛАВА 9

ИЗВИЈАЊЕ

9.1 Основни појмови и претпоставке

Извијање је врста напрезања која проистиче из аксијалног напрезања. Случај аксијалног

напрезања штапа на притисак,

код кога је дужина пуно већа од

димензија попречног пресека, када

се оса штапа криви тако да се

sl.77 Aksijalno naprezanje štapa

na pritisak i izvijanje

172

попречни пресеци угибају, зове се извијање (сл.77). Притисна сила изазива кривљење осе

штапа када достигне извесну величину. То је критична сила извијања KF . Вредност

критичне силе KF зависи од дужине штапа, попре-чног пресека, услова ослањања

штапа као и од механичких особина материјала.

9.2 Извођење Ојлеровог обрасца за величину критичне силе извијања

Посматрамо зглобно ослоњен хомогени штап АB (сл.78) у савијеном положају

равнотеже јер је аксијално притиснут силом F. Ослонци А и B не дозвољавају

померања у правцу управно на осу штапа, док покретни ослонац B дозвољава мало

померање у аксијалном правцу. Ови ослонци дозвољавају обртање око оса које су

управне на посматрану раван, што омогућава савијени облик равнотеже.

Претпостављамо да је угиб веома мали, тј. да је деформација мала, што је заправо и

основна претпоставка у отпорности материјала. Проблем теоријског одређивања

величине критичне силе изучавао је Ојлер. При малим величинама силе оса штапа

задржава свој праволинијски облик и у

попречним пресецима штапа настаје

нормални напон константне вредности,

као у случају аксијалног напре-зања на

притисак AF , где је А површина

попречног пресека штапа. Међутим, када

сила достигне критичну вредност штап

добија криволинијски облик, коме у неком

произвољ-ном пресеку x одговара

попречни угиб y. У том произвољном пресеку x штапа АB, за случај деформисаног

облика, момент савијања може се написати, сагласно конвенцији о моменту сила у

пресеку, у следећем облику: xFyxM ; (144)

Под претпоставком да су напони и деформације у границама пропорционалности,

можемо написати диференцијалну једначину еластичне линије деформисног

штапа:

2 2;y M x y d y dx B ; (145)

Ако унесемо (144) у (145), добијамо диференцијалну једначину другог реда у

облику:

y Fy x B ; (146)

коју можемо написати једноставније 0F

y y B

, и увођењем ознаке:

2

z

F F

EI

B; (147)

у облику хомогене диференцијалне једначине другог реда: 02 yy ; (148)

Опште решење ове диференцијалне једначине је: .sincos 21 xCxCy (149)

где су 1C и 2C интеграционе константе које треба да одредимо. Поред

интеграционих константи, није нам познат ни параметар . За одредјивање

непознатих користимо граничне услове, које постављамо на основу начина

ослањања штапа АB. Гранични услови се односе на угибе у ослонцима А и B, који

не дозвољавају померања управно на осу штапа, те угиби морају да буду једнаки

нули: 0 0; 0A By y x y y x l ; (150)

sl.78 Elastična linija zglobno oslonjenog

štapa opterećenog aksijalnom silom

173

Из првог услова одређујемо интеграциону константу 01 C , а из другог релацију:

.0sin2 lCyB (151)

Услов (151) је задовољен ако је: ,...3,2,1, t.j., 0sin ili 02 nnllC (152)

За случај када је 2C =0 сви угиби би били једнаки нули, па то одговара аксијалном

напрезању на притисак, заправо, не би дошло до извијања. Извијање настаје ако је

испуњен услов о синусу угла.

Ако из (152) израчунамо l

n

и то унесемо у израз (147), добијамо израз за

аксијалну силу при извијању:

22 2

2

ZZ

EIF EI n

l

; (153)

Из овог израза добијамо најмању силу при којој настаје извијање, за 1n и

најмању вредност аксијалног момента инерције попречног пресека штапа, тј.за

1n и minZI I :

2 min

min 2Z K

EII I F

l ; (154)

Изразом (154) је одређена вредност Ојлерове критичне силе извијања.

Критичној сили извијања одговара извијени облик штапа чија је еластична

линија облика синусоиде:

;sin2

x

lCy

(155)

max 21 2

ln y y C

;

max 22 4

ln y y C

;

max 23 6

ln y y C

.

Константу 2C не можемо да

одредимо. На средини греде, за 1n , јавља се највећи угиб:

;2

sin2

sin2

222max CCl

lC

lyy

(156)

Еластична линија је за 1n полуталас синусоиде и представља основни хармоник.

За ,...3,2n добијамо више хармонике и њима одговарају вредности сила

извијања које расту са квадратом броја н (сл.79). Сви хармоници имају неодређену

амплитуду која је једнака највећем угибу штапа, а који настаје за основни - први

sl.79 Izvijeni oblik štapa (osnovni i viši harmonici)

174

хармоник (случај 1n ) на средини распона, а на четвртини распона од ослонаца

за други хармоник када се јављају две максималне вредности угиба (сл.79), итд.

9.3 Основни случајеви извијања

На величину критичне силе извијања утичу услови ослањања штапа. За

одговарајуће граничне услове, аналогно описаном поступку у одељку (9.2),

можемо извести једначине еластичних линија штапова који су везани на друге

начине. Постоје четири основна начина ослањања штапа (сл.80).

Критична сила извијања за случај а) је: 2

min2

l

EIFK (&9.2). Решаванем

диференцијалних једначина другог реда еластичне линије за остале основне

случајеве ослањања штапа, добијени су изрази за величину критичне силе

извијања, редом:

б)2

min2

4l

EIFK π ; ц)

2

min2 4

l

EIFK π ; д)

2

min2 2

l

EIFK .

Ови изрази показују да за све случајеве можемо да користимо исти израз за

величину критичне силе извијања ако уведемо појам редуковане (слободне)

дужине штапа. Тада је:

,2

min2

r

Kl

EIF (157)

а за карактеристичне случајеве извијања (сл.79) редукована дужина штапа је

; 2 ; / 2;rl l l l 2 / 2l , редом.

175

сл.80 Основни случајеви извијања

9.4 Критични напон извијања

Израз за критичан (Ојлеров) напон извијања одређујемо полазећи од израза за

нормалан напон у попречном пресеку аксијално притиснутог штапа под дејством

Ојлерове критичне силе извијања:

22 2 2min min

2 2 2

KK

r r

F EI Ei E

A l A l

; (158)

где је mini

lr - неименован број који

зовемо виткост штапа. Израз (158) показује да критични напон зависи од модула

еластичности и виткости штапа. Модул еластичности карактерише хемијско

технолошка својства материјала штапа и има одређену вредност у зависности од

врсте материјала. Виткост штапа је коефицијент геометријског облика штапа

који зависи од дужине, попречног пресека и начина ослањања штапа. Према томе,

вредност критичног напона се мења по хиперболичкој зависности у функцији од

виткости штапа и ту законитост можемо да представимо Ојлеровом хиперболом у

sl.81 Dijagram kritični napon-vitkost štapa

176

координатном систему ,K (сл.81). Релацију (158) можемо применити само за

област у границама пропорционалности у којима важи Хуков закон, тј. за

,K p p - напон на граници пропорционалности. За штапове чији је критични

напон мањи од напона на граници пропорционалности, виткост је већа од

критичне вредности виткости штапа p :

2

2K p p

p

E E

. (159)

Ојлерова теорија има примену за прорачуне у случају извијања само ако су

вредности напона и виткости штапа у Ојлеровом подручју.

9.5 Димензионисање штапа напрегнутог на извијање

Ако је штап притиснут аксијалним силама, онда се поставља питање одређивања

критичне силе извијања и/или димензионисања попречног пресека штапа.

Извијање настаје када сила притиска достигне вредност критичне силе или је

већа од ње. Тада се вредност критичне силе извијања одређује према Ојлеровом

обрасцу:

,2

min2

r

Kl

EIF (157)

водећи рачуна о начину ослањања штапа избором одговарајуће вредности за

редуковану дужину штапа: 2/2;2/;2; lllllr . С обзиром на то да извијање

узрокује губитак стабилности конструкције, није дозвољено да сила притиска

достигне критичну вредност. Због тога се уводи степен сигурности при извијању

( ν ), који је неименован број већи од јединице, и којим се множи срачуната

вредност критичне силе извијања по Ојлеровом обрасцу: KFF . Из израза (157)

одређујемо најмању вредност момента инерције а затим потребну површину

попречног пресека:

2

22

min

min

2

2

min rrK

E

F

i

IA

E

lFI

.

Затим вршимо проверу виткости штапа и критичног напона. Овај се поступак

може применити само у Ојлеровом подручју. Постоје друге методе за прорачун

[4,5].

Примери:

Пример 41. Прост штап, дужине ml 10,2 , кружног попречног пресека оптерећен

је аксијалним силама kNF 100 (сл.78). Димензионисати штап ако је познато:

221000 kNEcm

; 5,3 ; 27,5dckN

cm

.

2

2

2

2

2

2

2

min 73,502100014,3

2101003,5cm

E

Fl

E

lFI rK

;

cmIRR

I 1,3/4 4

4min

4

min

;

177

cmR

A

IiRA 55,1

2

minmin

2 ;

105136min

P

Kr E

i

l

;

22 73,3cm

kNcm

kNA

FdcC .