S GD&T NG THP P N THANG IM THI TH TUYN SINH I HC NM 2014 CHNH THC Mn: TON; Khi A, A1 v khi B (p n thang im gm 06 trang)

Cu p n im a) 1,0

Khi 2m ta c hm s 2 1

1

xy

x

TX: 21

\ 1 , ' 0,( 1)

y xx

D D

0,25

Hm s nghch bin trn cc khong: ( ;1) v (1; )

Gii hn v tim cn:1 1

lim ; limx x

y y

tim cn ng: x = 1

lim lim 2x x

y y

tim cn ngang y = 2

0,25

Bng bin thin:

0,25

th: i qua cc im 1

; 0 , 0; 12

v nhn

giao im 2 tim cn I(1; 2) lm tm i xng.

0,25

b) 1,0 Ta c: ,M N cch u ,A B nn , : 3M N d y x l ng trung trc ca ,A B

Phng trnh honh giao im ca ( )mC v :d

21 3 ( 2) 2 0, 11

mxx x m x x

x

(1)

0,25

d ct ( )mC ti hai im phn bit ,M N (1) c hai nghim phn bit khc 1 2( 2) 8 0

11 0

mm

m

(*)

0,25

1 (2,0 im)

Khi (1) c hai nghim phn bit 1 2,x x . Theo nh l Vi-et, ta c :1 2

1 2

2

2

x x m

x x

Gi 1 1 2 2( ; 3), ( ; 3)M x x N x x 2 2

1 2 1 22[( ) 4 ] 2[( 2) 8]MN x x x x m

Din tch t gic AMBN bng 18 21

. 18 3 2. 2[( 2) 8] 182

AB MN m

0,25

x

y

+

y

1

+

2

2

1

2 1

1

2

0 x

y

2 1( 2) 13

mm

m

So vi iu kin (*) suy ra gi tr m cn tm l m=3 0,25 iu kin: 2 ,x k k Z Khi , phng trnh cho tng ng:

sin 2 cos 2 4 s inx cos 3cos cos 1 0x x x x x

0,25

s inx 0s inx(cos s inx 2) 0

cos s inx 2 0( )x

x VN

0,25

x k 0,25

2 (1,0 im)

So vi iu kin ban u, suy ra 2 ,x k k l nghim phng trnh. 0,25

Xt h phng trnh 2 2

2 2

2 5 3 4 (1)

3 3 1 0 (2)

y y y x x

y x y x

Ta c : (2) 2 23 3 1x x y y . Thay vo (1) ta c:

2 2 2 2 2 2 2 22 5 3 1 4 ( 1) ( 1) 4 4y y y x y y x y y x x (*)

0,25

Xt hm s ( ) 4f t t t vi 0t . Ta c /1

( ) 1 02 4

f tt

vi mi 0t

Suy ra ( )f t ng bin trn [0; ) . Do

(*) 2 2 2 21

( 1) ( ) ( 1)1

x yf y f x y x

x y

0,25

Vi 1x y , ta c h 2 2

11 2

33 3 1 0

2

xx y

y x y xy

0,25

3 (1,0 im)

Vi 1x y , ta c h 2 2

11 4

33 3 1 0

4

xx y

y x y xy

Vy h c hai nghim: 1 3 1 3

; ; ;2 2 4 4

0,25

Ta c: 2

2

3

1 1 1 2ln

2 1 1 ( 1)

x xI dx

x x x

0,25

t 2

1 2

1 ( 1)

xt dt dx

x x

. Vi

2 3

3 2

x t

x t

Do 3

2

1.ln

2I t tdt

0,25

t 2

1ln

2

u t du dtt

tdv tdt v

. Suy ra 32 2 2

2

3 3 31ln ln

2 2 24 4 4 8

t t tI t tdt t

0,25

4 (1,0 im)

9 5ln 3 ln 2

4 8I

0,25

Gi H l hnh chiu vung gc ca S ln (ABC). Ta c:

( )( )

(gt)

SH ABC ABAB SHA HA HA AB

SA AB

. Tng t HC BC

V ABC vung cn ti B Suy ra t gic HABC l hnh vung

0,25

Ta c: / / ( ) / / ( )AH BC SBC AH SBC

[ , ( )] [ , ( )] 2d A SBC d H SBC a

Dng HK SC ti K (1). Do ( ) (2)BC HC

BC SHC BC HKBC SH

(1) v (2) suy ra ( )HK SBC . T [ , ( )] 2d H SBC HK a

0,25

Tam gic HKC vung ti K 2 2 2 23 2KC HC HK a a a

SHC HKC . 2. 3

6HK SH HK HC a a

SH aKC HC KC a

Th tch khi chp S.ABC c tnh bi:

3

.

1 1 1 6. . . 3. 3. 6

3 6 6 2S ABC ABC

aV S SH AB BC SH a a a (vtt)

0,25

5 (1,0 im)

Gi I l trung im ca SB. Chng minh c H, A, C u nhn SB di mt gc vung

Suy ra1

2IA IB IC IS IH SB , nn I l tm mt cu (S) ngoi tip hnh chp

.S HABC , cng l tm mt cu ngoi tip hnh chp S.ABC

(S) c bn knh 2 2 2 21 1 1

6 6 32 2 2

R SB SH HB a a a

Suy ra (S) c din tch l 2 2 24 4 ( 3) 12S R a a (vdt)

0,25

Ta c: 2 2 2x y xy

Do : 2 216

2 2P x y

xy

0,25

T gi thit ta c 4 4 2 22 2

3 3 2xy x y x yxy xy

t 0t xy , ta c: 2 3 22

3 3 2 2 3 3 2 0 ( 1)( 2)(2 1) 0t t t t t t t tt

1( 2)(2 1) 0 2

2t t t v 0t

0,25

6 (1,0 im)

Khi : 28

1P t

t

(1). Xt hm s 2

8( )

1f t t

t

trn

1;2

2

0,25

S

B

H C

A

K

Ta c

/

2

/

2 2

8 1( ) 2 , ;2

(1 ) 2

1 12 2

( ) 0 12 2

( 1) 4 0 ( 1)( 3 4) 0

f t t tt

t tf t t

t t t t t

Ta li c 1 67 20

(1) 5, , (2)2 12 3

f f f

. Suy ra 1

;22

20( ) ( )

3f t Max f t

(2)

T (1) v (2) suy ra 20

3P . Du ng thc xy ra khi

22

0

xyx y

x y

Vy 20

23

MaxP x y .

0,25

A

B C

D

M

H

K

I

ng thng BC qua K nhn (0;2)KH

lm vect php tuyn

Phng trnh ng thng : 1 0BC y

Gi M l trung im BC Phng trnh ng thng : 3 0IM x M BC IM Ta im M l (3;1)

0,25

Gi D l im i xng vi A qua I . Ta c / /DB AB

DB CHCH AB

Tng t / /DC BH nn t gic HBDC l hnh bnh hnh nn M l trung im HD .

Xt tam gic AHD c IM l ng trung bnh nn 2 ( 1; 5)AH IM A

0,25

Gi ( ;1)B b BC . Ta c IB IA 21

( 3) 16 16 45

bb

b

0,25

7.a (1,0 im)

Vi 5 (5;1)b B (1;1)C

Vi 1 (1;1)b B (5;1)C

Vy ( 1; 5), (5;1), (1;1)A B C hoc ( 1; 5), (1;1), (5;1)A B C

0,25

( 2;0;4)AB

. Trung im I ca on thng AB c to 4; 2;4 Gi ( )Q l mt phng trung trc ca AB

: 2 4 0 2 4 4 0Q x y z : 2 4 0Q x z

0,25

Ta c ( )MA MB M Q

Theo gi thit ( )M P ( ) ( )M d P Q

0,25

8.a (1,0 im)

Chn , 2; 5;1d P Qu n n

l vect ch phng ca d , im 0;3;2N thuc mt 0,25

phng (P) v (Q) suy ra

2

: 3 5

2

x t

d y t

z t

.

Gi to 2 ;3 5 ;2M t t t (2 5;5 5 ; ); (2 3;5 5 ; 4)AM t t t BM t t t

Theo gi thit MA MB v 045MAB MAB vung cn ti M

Suy ra 2

. 0 2 5 2 3 5 5 4 0AM BM t t t t t

2 43 7 4 0 13

t t t t

Vi 1 2; 2;3t M

Vi 4 8 11 10

; ;3 3 3 3

t M

0,25

Gi ( , )z x yi x y R . Ta c 1 ( 1) ( 1)z i z x y i x yi 2 2 2 2( 1) ( 1) 1x y x y y x (1)

0,25

2 2 2 24( 2 ) ( ) 4[ ( 2) ] 4 2( 2 4)z z i x yi x y i x y x xy y i

2 4( 2 )z z i l s thc 2 4 0xy y (2)

0,25

T (1) v (2) ta c h 2

11 3 2

2 4 0 4 16 0

y xy x x x

xy y y yx x

0,25

9.a (1,0 im)

Vy 3 4z i hoc 2z i . 0,25

Ta c 5

2IA . Phng trnh ng trn ngoi tip ABC c dng

2 23 25(x 2) (y )2 4

Gi D l giao im th hai ca ng phn gic trong gc A vi ng trn ngoi tip ABC . Ta ca D l nghim ca h

2 2

1 0 4, 3 (4;3) (loai)

3 25 1 1 1 1(x 2) (y ) , ( ; )

2 4 2 2 2 2

x y x y D

x y D

0,25

V AD l phn gic trong ca gc A nn D l im chnh gia cung nh BC .

Do ID BC hay ng thng BC nhn 3

( ;2)2

DI

lm vec t php tuyn.

Phng trnh cnh BC c dng 3 4 0x y c

0,25

Do 2ABC IBCS S nn 2AH IK ( Vi ,H K ln lt l hnh chiu ca , A I ln BC )

M 24

( , )5

cAH d A BC

v

12( , )

5

cIK d I BC

nn

02 24 2 12

16

cAH IK c c

c

0,25

7.b (1,0 im)

Suy ra phng trnh ca cnh BC l 3 4 0x y v 3 4 16 0x y 0,25

Gi (Q) l mt phng qua A v vung gc vi . Khi pt .032:)( zyxQ

Ta c ).1;1;1(),1;1;2( PQ nn T gi thit suy ra M thuc giao tuyn d ca (P) v (Q).

0,25 8.b (1,0 im)

Chn )3;1;2(],[ QPd nnu l vect ch phng ca d v dN )1;0;1( nn 0,25

KH

D

I

CB

A

phng trnh tham s ca d l

1 2

1 3

x t

y t

z t

.

V M d suy ra (1 2 ; ; 1 3 ).M t t t

Gi H l giao im ca v mt phng (Q). Suy ra ).2

1;

2

1;1( H

Ta c 2 2

2 21 1 1( , ) (2 ) 3 14 22 2 2

d M MH t t t t t

.

0,25

( , )d M nh nht khi 21

( ) 14 22

f t t t nh nht 1 8 1 11

; ;14 7 14 14

t M

Vy 8 1 11

; ;7 14 14

M

.

0,25

Chn 3 vin bi t 50 vin bi c 350C cch350C 0,25

Gi A l bin c tng ba s trn ba vin bi c chn l mt s chia ht cho 3 Trong 50 vin bi ban u chia thnh 3 loi: 17 vin bi c s chia cho 3 d 1; 17 vin bi c s cho 3 d 2; 16 vin bi c s chia ht cho 3.

0,25

tm s cch chn 3 vin bi c tng s l mt s chia ht cho 3, ta xt 2 trng hp:

TH1: 3 vin bi c chn cng mt loi c 3 3 317 17 16 1920C C C cch

TH2: 3 vin bi c chn c mi vin mt loi c 1 1 117 17 16. . 4624C C C cch

Suy ra A 1920 4626 6544

0,25

9.b (1,0 im)

Vy xc sut cn tm l 6544 409

( )19600 1225

AP A

0,25

-------------------Ht-------------------