BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK

---------------------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 1GIAÛI TÍCH HAØM MOÄT BIEÁN

• BAØI 5: ÑAÏO HAØM

• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (11/2007)

NOÄI DUNG------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

1- ÑÒNH NGHÓA ÑAÏO HAØM

4- ÑAÏO HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC5- ÑAÏO HAØM HAØM THEO THAM SOÁ 6 – ÑAÏO HAØM CAÁP CAO

2- DUØNG ÑÒNH NGHÓA TÍNH ÑAÏO HAØM: HAØM KHOÂNG SÔ CAÁP (HAØM GHEÙP) – ÑAÏO HAØM 1 PHÍA3- ÑAÏO HAØM HAØM AÅN

ÑAÏO HAØM ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

xxfxxf

xf

xxxfxfxf

xxxx

)()(limlimlim)(' 00

000

00

0

YÙ nghóa hình hoïc: Heä soá goùc tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) y = f(x) taïi tieáp ñieåm M(x0, f(x0))Haøm coù ñaïo haøm taïi x0 Lieân tuïc taïi x0. Ngöôïc laïi: SAI!

HAØM GHEÙP, TRÒ TUYEÄT: ÑAÏO HAØM MOÄT PHÍA

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

)0)()(lim)(' 00

00

x

xxfxxfxf

x (i.eÑaïo haøm

phaûi:Ñaïo haøm traùi:

) (i.e 0)()(lim)(' 00

00

xx

xfxxfxfx

Haøm y = f(x) coù ñaïo haøm höõu haïn taïi x0 f’(x0+) = f’(x0)

0, 0 xxxfVD:

VD: Tính ñaïo haøm taïi x0 = 1

1,12

1,2

xxxx

xf

KHI NAØO DUØNG ÑAÏO HAØM 1 PHÍA? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

VD: Tìm a, b ñeå haøm soá sau coù ñaïo haøm taïi x0 = 0

0,cossin

0,12

xxbxaxbxax

xf

Chuù yù: Neân kieåm tra tröôùc ñieàu kieän lieân tuïc

VD: Tính ñaïo haøm taïi x0 = 0 cuûa haøm

0,0

0,1sin)(

2

x

xx

xxf

Ñaïo haøm haøm sô caáp (xaùc ñònh qua 1 bieåu thöùc): baûng ñaïo haøm cô baûn + ñaïo haøm toång, hieäu, tích, thöông, hôïpÑaïo haøm haøm khoâng sô caáp ( 2 bieåu thöùc): ñònh nghóa & duøng ñaïo haøm traùi, ñaïo haøm phaûi

TÍNH ÑAÏO HAØM HAØM SÔ CAÁP ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Baûng ñaïo haøm caùc haøm sô caáp cô baûn: töï xem laïiÑaïo haøm Ñaïo haøm haøm hôïp

(C)’ = 0(x)’ = x–1 (u)’ = u–1.u’

(1/x)’ = –1/x2 (1/u)’ =

(sinx)’ = cosx (sinu)’ =(cosx)’ = –sinx (cosu)’ =

(tgx)’ = 1/cos2x = 1 + tg2x

(tgu)’ =

(cotgx)’ = –1/sin2x = (cotgu)’ = (ex)’ = ex, (ax)’ = axlna (eu)’ = (lnx)’ = 1/x, (logax) =

1/(xlna)(lnu)’ =

xx 21' 'u

QUY TAÉC TÍNH ÑAÏO HAØM ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Quy taéc ñaïo haøm toång, hieäu, tích, thöông: töï xem laïi

''' vuvu '' CuCu uvvuuv '''

'''' uvwwuvvwuuvw 2

' ''v

uvvuvu

y = f(x)g(x) log (cô soá e) hoaù 2 veá. VD:

?'112

y

xy

x

u'!än Xuaát hie:''')(:)(, xux uyyxufyxuuufy

Ñaïo haøm haøm hôïp: Quy taéc daây xích!

VD: Cho y = f(x2). Tính caùc ñaïo haøm y’, y’’

ÑAÏO HAØM HAØM AÅN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Haøm aån : F(x,y) = 0 x [a, b] y = y(x) x [a, b] VD : Haøm aån y = y(x) xaùc ñònh töø phöông trình y = 1 + xey

VD ñang xeùt :

y

y

x xeey

1'

Tính y’: Ñaïo haøm tröïc tieáp 2 veá theo x, chuù yù y = y(x) roài giaûi phöông trình aån y’

VD : Ñaïo haøm y’(0) cuûa haøm aån )('0ln 23 xyexyx y

)0('0 yy

ÑAÏO HAØM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC – HYPERBOLIC

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = f(x) haøm

ngöôïc x = g(y). Taïi y0 = f(x0):

xf

yfxf

yg'1

'1'

'1

00

222 11'arctg;

11'arccos;

11'arcsin

xx

xx

xx

:Gnhôù

211 x211 x

211 x 211 x

21' uu 21' uu

21' uu 21' uu

uu 2cosh'uu 2sinh'

(arcsinx)’ = (arcsinu)’ =(arccosx)’ = (arccosu)’ =(arctgx)’ = (arctgu)’ =(arccotgx)’ = (arccotgu)’ =(shx)’ = chx (shu)’ = u’ . chu (chx)’ = shx (chu)’ = u’ . shu (thx)’ = 1/ch2x = 1 – th2x (thu)’ =(cothx)’ = –1/sh2x = 1 – coth2x

(cothu)’ =

ÑAÏO HAØM HAØM THEO THAM SOÁ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Haøm theo tham soá : x = x(t), y = y(t) y = y(x)VD : Haøm bieåu dieãn ñöôøng cycloid x = a(t – sint), y = a(1 – cost)

t

txxxxx x

yyy

txtyy

''

'''';)(')(''

P/phaùp: Ñöa veà ñ/haøm theo t!

VD : Tham soá hoaù ñöôøng elip & vieát p/trình tieáp tuyeán:

'sin'cos

'''

cossin

tatb

xyy

tbytax

t

tx

Ñöôøng cycloid

tty x cos1

sin'

ÑAÏO HAØM CAÁP CAO ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Ñhaøm caáp 2: y’’(x) = [y’(x)]’ . ÑH caáp n: y(n)

(x) = [y(n-1)(x)]’Kyù hieäu:

n

n

dxyd Moät soá ñaïo haøm caáp

cao cô baûn: xnx ee

aaa nxnx ln

2sinsin )( nxx n

2sinsin )( nbaxabax nn

nnnbaxnabax 11

)(

n

nnn

baxnabax

!1)1(ln1

)(

KYÕ NAÊNG TÍNH ÑAÏO HAØM CAÁP CAO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Phaân tích haøm veà daïng “toång” caùc haøm ñôn giaûn

VD:1

1)( 2 x

xf xxf 2sin)( VD:

VD: f(x) = x2ex

vuCvuCuvCvuCuv nnn

nn

nn

n

k

knkkn

n

110

0

)()( ' :Lebnitz

Toång quaùt: f(x) = u.v, u – ña thöùc baäc m Caùc ñaïo haøm u(k) = 0 k > m Toång u(k)v(n – k) chæ goàm vaøi thöøa soá: tính ñôn giaûn!