BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK

---------------------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 1GIAÛI TÍCH HAØM MOÄT BIEÁN

• BAØI 7: KYÕ NAÊNG KHAI TRIEÅN TAYLOR

• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (12/2007)

KHAI TRIEÅN CÔ BAÛN: MUÕ, LGIAÙC, HYPERBOLIC

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Töø khai trieån haøm y = ex Khai trieån sinx,

cosx, sinhx, coshx

0,3

tg 43

xxoxxx Chuù yù phaàn dö cosx, sinx, chx, shx: o nhoû cuûa soá haïng bò trieät tieâu!

0,)!2(

1...!4!2

1cos 12242

xxonxxxx nnn

0,)!12(

1...!3

sin 22123

xxonxxxx nnn

...!2

12

xxex

chaün Muõ

leû Muõ

12

2222

123

)!2(...

!21ch,

!12...

!3sh

nn

nn

xonxxxxo

nxxxx

xxxx ch,shcos,sin daáu ñan khoângnhöng nhötöï Töông

KHAI TRIEÅN CÔ BAÛN: LUYÕ THÖØA, 1/(1 x), LN(1 + x)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Haøm nghòch ñaûo – inverse function

(Toång caáp soá nhaân): nnnnn xoxxxx

xoxxx

111

1,11

1 2

Toång quaùt: Haøm luyõ thöøa (1 + x) Nhò thöùc Newton (1 + x)n nn xox

nnxxx

!1

!2111 2

VD: Khai trieån MacLaurint haøm

3 caáp ñeán3 1 xxf

Giaûi:

0,!3

2311

31

31

!21

31

31

311 3

32

31

xxoxxxx

nnn

xoxn

xxxx 132 )1(

321ln

ln(1 + x): 1/(1+x) xn/n, ñan daáu

BAÛNG KHAI TRIEÅN CAÙC HAØM CÔ BAÛN: 7 HAØM

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Haøm Khai trieån Phaàn dö

Lagrange

x11

!!3!21

32

nxxxxn

1

!1

n

c

xne

nn

n xnxxx 2

242

!21

!4!21

22

!22sincos

nx

nc

121253

!121

!5!3

n

nn xnxxxx

32

!32sincos

nx

nc

nn xxxx 11 32

x11

xe

xcos

xsin

x1

x1ln

12

1

111

n

nn x

cnxxxx 321

nxnnxx

!1

!211 2

nxxxxxn

n 1432

1432

PPHAÙP KHTRIEÅN MACLAURINT: TOÅNG, HIEÄU, TÍCH

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VD: Khai trieån ML ñeán caáp 3:

xx

exf x

1ln51

2

Giaûi:

32

22

...2

5...12...2

1 xoxxxxxxxf

VD: Khai trieån MacLaurint ñeán caáp 3:

xxxf coshcos

Ñöa haøm caàn khai trieån veà daïng toång, hieäu, tích (ñhaøm, tphaân) caùc haøm cô baûn. Aùp duïng kh/tr MacLaurint cô baûn

Giaûi:

0,1!2

1!2

1 332

32

xxoxoxxoxxf

Chuù yù: Coù theå söû duïng caû ñaïo haøm, tích phaân (coi chöøng C!) VD: Khai trieån ML ñeán caáp 2:

11ln 2 xxxf

KHTRIEÅN MACLAURINT HAØM THÖÔNG: DUØNG 1/(1 x)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VD: Khai trieån MacLaurint

3 caáp2 caáp ,cos

1b/ ,2

/xx

eax

Vôùi thöông (tyû soá, phaân soá) 2 haøm soá: Duøng Chuù yù: ÔÛ maãu soá baét buoäc phaûi xuaát hieän soá 1!

x11

Giaûi:

2

22

2

421

!21

21

211

21/ xoxxxoxx

xea x

...22

1!211

cos1b/

23

23

2

32

xoxxox

xoxx

VD: Khai trieån MacLaurint ñeán caáp 2

34

12

xx

xf

Giaûi:

xxxxxxxf

11

311

31

21

31

11

21

311

KHAI TRIEÅN MACLAURINT VÔÙI HAØM HÔÏP -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

VD: Khai trieån MacLaurint

4 caáp ñeánxbxa cos/sin/ 2

Haøm hôïp f(u(x)): Khai trieån laàn löôït töøng böôùc. Ñaàu tieân khai trieån MacLaurint u(x), sau ñoù khai trieån f(u) & caét ñeán luyõ thöøa ñöôïc yeâu caàu (Coù theå ñoåi thöù töï). Chuù yù quan troïng: Luoân kieåm tra ñieàu kieän u(0) = 0!

Giaûi:

423

2 ...!3

sin00&/ xoxuuuuxua

...211

2421

2421/

21

442

442

uxoxxxoxxb

u

VD (caûnh giaùc!): Khtrieån MacLaurint y = ln(2 + x) ñeán caáp 2

KHAI TRIEÅN TAYLOR QUANH x – x0: ÑÖA VEÀ KTR ML

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VD: Khai trieån Taylor haøm

3 caáp ñeán 2quanh 10 x

xxf

Khai trieån Taylor f(x) quanh x = x0: Ñoåi bieán t = x – x0 vaø söû duïng khai trieån Mac Laurint cho haøm f(t) Caùch 2: Bieán ñoåi ñeå (x – x0) xuaát hieän tröïc tieáp trong haøm soá!

Giaûi: Caùch 1: t = x – 2

21

21

211

21

211 t

ttxxf

Caùch 2: Taïo (x – 2) trong haøm

221

121

221

xxxf

VD: Khai trieån Taylor haøm

2 caáp ñeán 8quanh 03 xxxf

Giaûi:

...

82

3112

821282

313 xxx

ÖÙNG DUÏNG KT TAYLOR. TÌM GIÔÙI HAÏN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------

Tìm lim: Khai trieån ML vôùi phaàn dö Peano + Ngaét boû VCB

VD: Tìm

xe

xxxxx sin1

1ln3sin43sinlim3

0

xxx

x

11lnlim 2(SGK/80)

3

43

03

43

0

6lim6

limx

xox

x

xoxxx

xx

20

1ln33sinlimx

xxx

xx

xxxx

1

1ln1lim 20

xxxx

xxxx

x 11ln

11lnlim 220

VD: Tính

30

sinlimx

xxx

VD: Tìm

20

1ln11lim

xx

xxx

ÖÙNG DUÏNG KT TAYLOR. TÍNH GAÀN ÑUÙNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Tính gaàn ñuùng & öôùc löôïng sai soá: phaàn dö Lagrange

xxcxxn

cfRxx

kxfxf n

n

n

n

k

kk

,,)!1(

,!

)( 01

0

1

00

0

VD: Goùc x naøo cho pheùp xaáp xæ sinx x vôùi ñoä chính xaùc 10-4

Töông töï: Caàn choïn bao nhieâu soá haïng trong khai trieån haøm y = ex ñeå coù theå xaáp xæ e vôùi ñoä chính xaùc 10-4

VD: Tính gaàn ñuùng giaù trò soá e vôùi ñoä chính xaùc 10-4 (SGK/79)Giaûi:

!13,1,0,

!1!1

!21

!111

nSec

ne

ne

c

S

VI PHAÂN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------

Haøm khaû vi taïi x0 y = Ax + o(x), x 0 : Soá gia haøm soá bieåu dieãn tuyeán tính theo x vaø voâ cuøng beù baäc cao cuûa x Vi phaân: dy = Ax =

f’(x)dx Nhaän xeùt: Haøm coù ñaïo haøm Coù vi phaân: Haøm khaû vi

x

y

O

xfyC :

0x

0xf

xx 0

xxf 0

x

y

xxf 0'1/ C: haèng soá dC = 0 & d(Cy) = Cdy 2/ Vi phaân toång, hieäu, tích, thöông:

udvvduuvd

dvduvud

2vudvvdu

vud

VI PHAÂN HAØM HÔÏP ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

VD: Tính dy cuûa a/ y = sinx b/ y = sinx, x = costGiaûi:

dytytdtxxdxdyb cossinsincoscos/ hoaëc

VD: Tính d2y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sintÑS:

2

22

2

12/ dxxxyda

2

222

1sin''/ dtxtdxyydb

Vi phaân caáp 1:

dxydytxxxfy

xxfy'

:,:,

hôïphaøm

laäp ñoäc bieán

Vi phaân caáp 1: baát bieán!

yddxfydx 322 ,'': laäp ñoäc Bieán 22222 ''''', dtxxdxdfdxfydtxxxfy

Vi phaân caáp cao: