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Universidad Nacional de Panamá.

Facultad de Administración de Empresa y Contabilidad

Trabajo de Matemática

Integrante:

Lisseth Ortega

Cedula: 8-889-955

Grupo

AN21M

INDICE

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Introducción……………………………………………………………………………………………………….. 3

Funciones Exponenciales y Logarítmica……………………………………………………………….. 4

Funciones exponenciales……………………………………………………………………………………... 4

Características………………………………………………………………………………………..…………… 4

Grafica de la función exponencial…………………………………………………………………………. 5

Funciones logarítmica…………………………………………………………………………………………. 7

Propiedades de los logaritmos…………………………………………………………………………….. 7

Interés compuesto……………………………………………………………………………………………... 10

Crecimiento y decrecimiento poblacional……………………………………………………………..11

Regla de conversión de exponencial a logaritmos naturales……………………………….... 13

Reglas para calcular exponenciales…………………………………………………………………….. 15

Grafica de la función exponencial……………………………………………………………………..… 16

Propiedades de los logaritmos…………………………………………………………………………… 17

Conclusión………………………………………………………………………………………………………… 19

Bibliografía…………………………………………………………………………………………..…………… 20

INTRODUCCION

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En este trabajo que les presentare a continuación podremos aprender un poco de las funcione exponenciales y logarítmica, sus características, graficas, interés compuesto, entre muchos otros temas mas.

Todos estos temas que mencionare son de suma importancia, ya que nos serán de gran ayuda en nuestro diario vivir.

FUNCIONES EXONENCIALES Y LOGARITMICA

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Funciones Exponenciales

Se pueden definir como aquellas donde la variable independiente se encuentra en el exponente asociado a una base constante.

Características

Las características generales de las funciones exponenciales son:

1) El dominio de una función exponencial es R.

2) Su recorrido es   (0, +∞) .

3) Son funciones continuas.

4) Como   a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto   (0, 1).

    La función corta el eje Y en el punto   (0, 1)   y no corta el eje X.

5) Como   a1 = a , la función siempre pasa por el punto   (1, a).

6) Si   a > 1   la función es creciente.

    Si   0 < a < 1   la función es decreciente.

7) Son siempre concavas.

8) El eje X es una asíntota horizontal.

Grafica de la función exponencial

Ejemplo de funciones exponenciales:   f(x) = 2x          g(x) = 2 - x = (1/2)

1) Dominio:

El dominio de las funciones exponenciales es R.

Dom(f) = Dom(g) = R .

2) Recorrido:

El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .

Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .

3) Puntos de corte:

f(0) = 20 = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).

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g(0) = - 20 = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).

La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje X.

4) Crecimiento y decrecimiento:

La función   f(x)   es creciente ya que   a >1 .

La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a <1 .

5) Concavidad y convexidad:

Las funciones   f(x)   y   g(x)   son concavas.

6) Asíntotas:

Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje X.

Ejemplo de funciones exponenciales:   f(x) = ex

1) Dominio:

El dominio de las funciones exponenciales es R.

Dom(f) = R .

2) Recorrido:

El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .

Im(f) = (0, + ∞) .

3) Puntos de corte:

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f(0) = e0 = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).

La función   f(x)  no corta al eje X.

4) Crecimiento y decrecimiento:

La función   f(x)   es creciente ya que   e>1 .

5) Concavidad y convexidad:

Las función   f(x)   es concava.

6) Asíntotas:

Las función   f(x)   tiene una asintota en el eje X.

FUNCIONES LOGARITMICA

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la

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función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logbx, lo que permite obtener n.[1]

(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x> 0 y n puede ser cualquier número real (n∈R).[2]

Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 <  a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que apertenece al intervalo 0 <  a < 1, su inversoa-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los realesR, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn> 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejosC, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.

Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16, etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4, etc.

Identidades logarítmicas

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

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El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

El logaritmo de a en la base b es igual al cociente del logaritmo de a en la base c, entre el logaritmo de b en la base c.[3]

Sea l el logaritmo de a en la base b, entonces el logaritmo de la potencia emésima de a en la base b a la n es lm/n[4]

Elección y cambio de base

Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):

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en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el

logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

INTERES COMPUESTO

El interés compuesto representa la acumulación de intereses devengados por un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición de modo que los intereses

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que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

Cálculo del interés compuesto

Para un período de tiempo determinado, el capital final (CF) se calcula mediante la fórmula

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período

Repitiendo esto para un tercer período

y generalizando a n los períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:

dónde:

es el capital al final del enésimo período

es el capital inicial

es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

es el número de períodos

Para hacer cálculos continuos en el tiempo en lugar de calcular cantidades para finales de períodos puede usarse la tasa de interés instantánea p, así el capital final actualizado al tiempo t viene dado por:

El resto de tasas pueden calcularse sin problemas a partir de la tasa de interés instantánea.

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO POBLACIONAL

El crecimiento poblacional o crecimiento demográfico es el cambio en la población en un cierto plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población por unidad de tiempo para su medición. El término crecimiento demográfico puede

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referirse técnicamente a cualquier especie, pero refiere casi siempre a seres humanos, y es de uso frecuentemente informal para el término demográfico más específico tarifa del crecimiento poblacional, y es de uso frecuente referirse específicamente al crecimiento de la población del mundo.

Los modelos simples del crecimiento demográfico incluyen el modelo del crecimiento de Thomas Malthus y el modelo logístico. Las teorías que explican los cambios demográficos modernos son la teoría de la revolución reproductiva -apoyada en estudios longitudinales-, la teoría de la transición demográfica y la teoría de la segunda transición demográfica -apoyadas estas últimas en estudios transversales

Tasa de crecimiento demográfico

En demografía, geografía de la población y ecología, la tasa de crecimiento poblacional o tasa de crecimiento demográfico (PGR de las siglas en inglés: Populationgrowthrate) es la tasa que indica el crecimiento o decrecimiento de la población. Específicamente, la tasa de crecimiento demográfico se refiere ordinariamente al cambio en la población durante un período expresado a menudo como un porcentaje del número de individuos existentes en un país o lugar a fines de un año sobre la población inicial en el mismo año. También puede referirse a la diferencia entre la tasa de natalidad de un país menos la tasa de mortalidad, datos obtenidos anualmente en cada país a través de la información obtenida del número anual de nacimientos y de defunciones obtenida del Registro civil de cada país. Puede expresarse bajo la fórmula:

La manera más común de expresar el crecimiento demográfico es mostrarlo como una razón aritmética, y no como porcentaje. El cambio en la población durante un período de unidad se expresa como porcentaje de la población al principio del período. Eso es:

Una positiva razón aritmética o (tasa) del crecimiento indica que la población está aumentando, mientras que un cociente del crecimiento negativo indica la declinación de la población. Un cociente del crecimiento de cero indica que había el mismo número de gente en los dos tiempos - la diferencia neta entre los nacimientos, las muertes y la migración es cero. Sin embargo, una tasa de crecimiento puede ser cero incluso cuando hay cambios significativos en los índices de natalidad, los índices de mortalidad, las tasas de inmigración y la distribución de edad entre los dos tiempos. Equivalentemente, el porcentaje del índice de

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mortalidad = el número medio de muertes en un año para cada 100 personas en la población total.

Una medida relacionada es la tasa neta de reproducción. En la ausencia de migración, un índice de reproducción neta de más de uno indica que la población de mujeres está aumentando, mientras que una tasa neta de reproducción menor a uno (fertilidad del reemplazo secundario) indica que la población de mujeres está disminuyendo.

Solución utilizando la fórmula de Crecimiento Poblacional Compuesto

En 1998 una universidad pública tenía 65,000 estudiantes en sus diferentes facultades. La tasa de crecimiento que tiene la universidad es de 7% anual. Si se conserva esta tasa de crecimiento, calcule el número de alumnos que tendrá la universidad en el 2001.

Datos:P0 = 65,000r = 0.07t = 3 añosP3= ? se desea encontrar el número de alumnos después de tres años, que es en el año 2001.

Solución:Aplicando la fórmula de Crecimiento Poblacional Compuesto   Pt = P0 (1 + r )t   para tres años, se tiene la ecuación:P3 = P0 (1 + r )3         sustituyendo P0 y r por sus respectivos valores se tiene,P3 = 65,000 (1 + 0.07)3

P3 = 65,000 (1.07)3

P3 = 65,000 (1.225043)P3 = 79,627.795       que redondeado sería,P3 = 79,628El número de alumnos esperado para el año 2001 es de 79,628.

REGLA DE CONVERSIÓN DE EXPONENCIAL A LOGARITMOS NATURALES

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El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.

En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527. El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.

El logaritmo natural de un número x es entonces el exponentea al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.

Desde el punto de vista del análisis matemático, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.[2] Esta definición puede extenderse a los números complejos.

El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números reales positivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:

Gráfica de logaritmo natural

Convertir los exponentes es tan sencillo como convertir los logs regulares, pero debes tener un entendimiento de los logs antes de intentarlo.

Identificar la ecuación exponencial y sus componentes.

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Convierte la ecuación a un log. Convierte la ecuación a un log natural.

REGLA PARA CALCULAR EXPONENTES

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Hemos aprendido la regla de que el exponente sólo se relaciona con el número directamente a su izquierda a menos que se use un paréntesis — cuando un exponente se encuentra fuera el paréntesis, todo se eleva a esa potencia. Considera el siguiente ejemplo:

(5+ 3)2

De acuerdo con el orden de operaciones, debemos primero simplificar lo que está entre paréntesis antes de hacer cualquier otra operación. Entonces sumamos 5 y 3 y luego elevamos la suma, 8, al cuadrado para obtener 64. Otra forma de proceder es reescribir (5 + 3)2 como (5 + 3)(5 + 3), y luego multiplicarlo para obtener una vez más 64.

(5+ 3)2 = (8)2 = 8 • 8 = 64 

(5+ 3)2= (5 + 3)(5 + 3) = 5(5 + 3) + 3(5 +3) = 25 + 15 + 15 + 9 = 64

Los paréntesis pueden ser usados de otras formas con la notación exponencial. Por ejemplo, podemos usarlos para describir un término exponencial a una potencia. Por ejemplo, tomemos 52 y lo elevamos a la 4ta potencia. Escribimos eso como (52)4. Cuando un número escrito con la notación exponencial es elevado a una potencia, se llama "la potencia de una potencia."

En esta expresión, la base es 52 y el exponente es 4: 52 se usará como factor 4 veces. Podemos reescribir este problema como 52 •52 •52 •52 o (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5).  Nota que resulta 5 multiplicado 8 veces. ¿De qué otra forma podemos escribir eso? 58.

Esto nos lleva a otra regla. Compara 58 con el término original de (52)4. Nota que el nuevo exponente es igual al producto de los exponentes originales: 2 •4 = 8.Un atajo para simplificar la potencia de una potencia es multiplicar los exponentes y usar la misma base.  

Hay también una regla para combinar dos números en forma exponencial que tienen la misma base. Considera la siguienteexpresión:

(23)(24)

Esto puede reescribirse como (2 • 2 • 2) (2 • 2 • 2 • 2) o 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2. En forma exponencial, escribirías el producto como 27. Nota que 7 es la suma de los dos exponentes originales, 3 y 4. Para multiplicar términos exponenciales con la misma base, simplemente sumas los exponentes.

Reglas de los Exponentes

Un exponente sólo aplica al valor que esta inmediatamente a su izquierda

Cuando una cantidad entre paréntesis es elevada a una potencia, el exponente aplica a todo lo que está dentro del paréntesis.

Para multiplicar dos términos que tienen la misma base, sumar sus exponentes. (nx)(ny)=nx+y

Para elevar la potencia a una potencia, multiplicar los exponentes. (nx)y= nxy

GRAFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

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La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia axse llama función exponencial de base a y exponente x.

Ejemplos

x y = 2x

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

x y = (½)x

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

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PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo

5. Cambio de base:

Ejemplo

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CONCLUSIÓN

En conclusión pienso que es un gran tema, muy interesante a pesar de ser un poco extenso, si le prestas atención lo podrás comprender con facilidad.

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BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo http://es.wikipedia.org/wiki/Inter%C3%A9s_compuesto http://www.cca.org.mx/cca/cursos/matematicas/cerrada/cpcomp/

introcaso4.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/

COURSE_TEXT_RESOURCE/U07_L1_T1_text_container_es.html http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html http://www.vitutor.com/al/log/ecu5_Contenidos.html

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Instrumento: Escala Estimativa

Objeto de Evaluación: Diagrama esquemático

Tipo de evaluación: Heteroevaluación Calificación___________________

Puntaje Total: 150 puntos

CRITERIOS NIVELES DE LOGROS

INICIAL(2 puntos)

BÁSICO(3 puntos)

AVANZADO(5 puntos)

Puntualidad

Orden y Aseo

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Autenticidad

Ortografía

Introducción

índice

Conclusión

Bibliografía

Anexos

Ilustraciones(1-5)

Contenido30 puntos 40 puntos 50 puntos

Presentación del tema

30 puntos 40 puntos 50 puntos

Anexar esta hoja al final del trabajo Dos fecha para entregar y exponer este trabajo al profesor Virtualmente miércoles 11 de junio de 2014.(para revisión previa) Escrito enrolado y con la presentación (power point) miércoles 18 de junio Hora 5:30 pm.

(pedir para esta fecha el equipo de data show ) Trabajo en grupo de 3 estudiante/Todos deben participar en la presentación