Traccia delle lezioni su

Il Rumore nei circuiti elettrici

Esperimentazioni di fisica 3AA 2010 – 2011M. De Vincenzi

02/01/11

Rumore elettrico• Nei circuiti elettrici , oltre ai segnali per i quali il circuito e’

stato progettato, sono presenti altri segnali che sovrapponendosi al segnale voluto ne degradano le caratteristiche limitando le prestazioni del circuito.Questi ``altri segnali'' prendono il nome di rumore elettrico.

In altre parole diremo rumore elettrico l'insieme di tutti quei segnali presenti in un circuito diversi da quelli voluti.

• Un esempio di rumore elettrico si può facilmente osservare visualizzando un generico segnale con un oscilloscopio. Aumentando sufficientemente la sensibilità verticale dello strumento, si nota che la dimensione della traccia aumenta ed anche la forma del segnale perde la sua definizione diventando frastagliata ed incerta. Queste sono alcune delle manifestazioni della presenza del rumore elettrico ovvero di un segnale di tipo aleatorio che si sovrappone, sommandosi, al segnale per il quale il circuito era stato progettato.

= +

Tipi di rumore - Interferenza

• Il rumore elettrico può essere di origine endogena, quando viene generato all’interno del circuito, oppure esogena quando un segnale, esterno al circuito, interagisce con il circuito generando variazioni di tensione e corrente quasi sempre imprevedibili.

I rumori di tipo esogeno sono spesso indicati come interferenze.

• L’eliminazione o, piu’ correttamente, l’attenuazione degli effetti delle interferenze e’ un importante capitolo della progettazione elettronica che non verrà affrontato qui.

Il rumore è costituito da segnali aleatori e va quindi trattato con metodi probabilistici e statistici

Processi aleatori (Random)

Diversamente dai segnali deterministici, quelli aleatori non possono essere descritti da una semplice funzione matematica che assegna ad ogni istante temporale un ben determinato valore .

Le previsioni sui segnali aleatori possono essere fatte soltanto a livello statistico e probabilistico.

La massima conoscenza di un processo aleatorio si ha dalla conoscenza della funzione di distribuzione di probabilità (pdf) della sua ampiezza.

Per molti aspetti della teoria dei processi aleatori ci si può limitare ai primi momenti della pdf.

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Proprietà delle variabili aleatorie temporali

Indipendenza: Due variabili aleatorie temporali sono indipendenti se la media temporale del loro prodotto è uguale al prodotto delle loro medie temporali:

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X Y X Y

Stazionarietà: Un processo aleatorio è stazionario se le sue proprietà statistiche non dipendono dal tempo. Stazionarietà al primo ordine valori medi

Stazionarietà al secondo ordine varianze

Ergodicità: Un processo aleatorio è ergodico se la media sul tempo e sulle sue realizzazioni (media di ensamble) sono identiche.

Valore Medio e Varianza

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Stima del Valore Medio su N realizzazioni di un processo aleatorio.

Stima della Varianza su N realizzazioni di un processo aleatorio.

22

1

22 )(1

rrrrN

N

iir

Per processi a media nulla si ha:

22 rr

N

iirN

r1

1

La somma z di due o più processi aleatori (r,s,..) indipendenti ha varianza:

222srz

RUMORI ELETTRICI

I rumori elettrici di origine endogena (interna) sono classificabili in funzione del processo fisico che li deterimina:

• Rumore Termico o Johnson, messo in evidenza da Jhonson nel 1924 [Johnson], è dovuto all’agitazione termica dei portatori di carica. È un rumore bianco

• Rumore Shot, messo in evidenza da Schottky [Schottky], è dovuto alla quantizzazione della carica elettrica. È un rumore bianco

• Rumore 1/f o fliker noise, è dovuto a molte cause ancora non completamente spiegate. È un rumore rosa.

•Rumore RTS (Random Telegraph Signals) oppure RTN (Noise)

Rumore Termico o Johnson

2

1

2

10 2 T km Bex x

In un qualsiasi conduttore a temperatura T gli elettroni (in generale i portatori di carica) sono animati di un moto browniano

Il moto delle casuale delle cariche avviene in tutte le direzioni e quindi la velocità media è nulla. La velocità quadratica media non è nulla e genera una d.d.p vn ai capi del conduttore.

x

Ogni conduttore di resistenza R può essere considerato come una resistenza ideale con in serie un generatore di tensione di rumore:

~R

2nv

Resistore rumoroso.

Rumore Termico o JohnsonInterpretazione di Nyquist

4

2

R

VPN

:2

u

Ldfnumero di modi

Supponiamo di connettere due resistenze R uguali tramite una linea di trasmissione di impedenza caratteristica R.

L

R R

Potenza trasferita alla linea dalle resistenze

Per ogni modo di oscillazione kT di energia (½ campo Elettrico e ½ campo Magnetico

TdfRkdfV

dfu

L

R

VdftPdffdf

u

LkT

B

N

4

2

4)(

2

2

2

Rumore Termico Formula di Nyquist

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TdfRkdfV B42

Esempio: Resistore da 100kOhm @ T=300K

HzVn

/1007.43001038.11042 2235 v

Si noti che dalle misure di rumore termico si può calcolare la costante k di Boltzmann

Il valore ottenuto va moltiplicato per la radice quadrata della Banda Passante del circuito.

Energia e spettro di potenza dei segnali

tdtsE

tdtsSdSts

s

tjtj

)(

e)()(e)(2

1)(

2

dWdSdSS

SdStstddS

tdtsdSE

s

tj

tjs

)(2

1|)(|

2

1)()(

2

1

)()(2

1e)()(

2

1

)(e)(2

1

2*

Formula di Rayleigh: L’energia di un qualsiasi segnale può essere rappresentata come la somma dei contributi del suo spettro di potenza nel dominio della frequenza.Ogni (piccolo) intervallo dà un contributo Eall’energia del segnale pari a:

W()=|S(|2 è detto spettro di potenza del segnale s(t)

0

)(1

)(2

1

dWdWE sss

)(1

ss WE

Formalismo dei processi aleatori:funzione di autocorrelazione

dddSS

ddSdStK

dStsdtsstK

tjj

tjtj

tj

ee)()(4

1

e)(2

1e)(

2

1)(

e)(2

1)()()()(

)(*2

)(*

*

xzjzdx e2

1)(

Teorema di Wiener-Khintchine: La funzione di autocorrelazione K(t) e lo spettro di potenza W() di un processo stazionario sono una coppia di trasformate di Fourier.

definizione della funzione x

dW(ωdS

ddSStK

tjtj

tj

e)2

1e)(

2

1

)(e)()(2

1)(

2

*

Rumore Shot o Granulare

Il rumore shot è una fluttuazione della corrente elettrica che si genera quando i portatori di carica attraversano, in modo indipendente l’uno dall’altro, una barriera di potenziale..

Processo Poissoniano

P(N |) N

N!exp( )

N 2

Distribuzione di probabilità

Valore medio

Varianza

•Tubi a vuoto•Giunzioni semiconduttore

Tempo di passaggio dei portatori

(No shot noise on metallic wires!)

ttk

Rumore Shot o Granulare-2

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2222

22

]2[

)(

0

IIII

IIIVAR

IIII

La corrente può essere espressa sommando il numero N di cariche che attraversano la superficie del conduttore in un intervallo di tempo ∆t .

Per eventi indipendenti N è aleatorio e poissoniano e quindi anche la variabile I (singola determinazione della corrente) è aleatoria con pdf poissoniana. Introducendo la variabile I, differenza tra la singola determinazione e il valore medio della corrente, si ha:

)(

mediomedio NNt

eIN

t

eI

t

I< I >

Rumore Shot o Granulare -3

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22)()( efFfW k

La corrente elettrica, nel dominio del tempo, può essere espressa con buona approssimazione come:

ktfjtfjkk ettedtfF 22 ee )()(

La densità spettrale di energia S( f ) e’:

Passiamo al dominio delle frequenze tramite la Trasformata di Fourier:

)()( k

kttetI

L’energia E contenuta in una banda di frequenza f è

fefWdfEf

f

22)(22

1

Se <N> sono i portatori nell’intervallo di tempo t :

fIeft

NeI

t

NE 22 22 fIeI 22

Equazione di Schottky per il rumore shot.

Rumore 1/f (flicker noise)

Il rumore 1/f messo in evidenza per la prima volta da Johnson nel 1925 è un rumore il cui spettro di frequenza ha un andamento 1/f con vicino ad 1. Per la forma dello spettro questo rumore 1/f viene detto“colorato” o alle volta “rosa”.La gaussianità di questo tipo di rumore, per quanto teoricamente preferita, è controversa.

Il rumore 1/f è presente in un vasto insieme di fenomeni:•Ampiezze delle maree•Ampiezza del segnale sonoro delle trasmissioni radio•…..

Il rumore 1/f in amplificatori operazionali, è stato misurato, fino a frequenze di 10-6.3Hz [Caloyannides 74] senza nessun cambiamento di pendenza! E’ presente in un vasto insieme di fenomeni:•Ampiezze delle maree•Ampiezza del segnale sonoro delle trasmissioni radio•…..

Rumore 1/f – relazione fenomenologica

Al di sotto di qualche centinaia di Hertz in tutti i componenti attivi e in qualche componente passivo (resistori a carbone) si osserva un rumore il cui spettro è proporzionale a 1/f.

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L’origine di questo rumore è ancora oggetto di indagine. Un’ipotesi sulla sua origine è che sia causato dalla coincidenza di numerosi eventi di rumore telegrafico.La descrizione di questo fenomeno è fatta tramite un modello fenomenologico che fornisce la seguente espressione della densità spettrale:

fK

1

Distribuzione d’ampiezza del Rumore

Il rumore ha una distribuzione d’ampiezza che per il rumore Johnson e per il rumore shot è gaussiana.

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22 2/

2e

2

1)( vv

vv -p

pdf di tensione di rumore

SNRRapporto Segnale Rumore

• Ai segnali fisici, di qualunque natura, si somma sempre un certo livello di rumore che tende a nascondere il segnale. L’entità di questo effetto è misurata dal parametro SNR (Signal to Noise Ratio), definito come:

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)(Log10 10

2

2

SNRSNR

RumoreAmpiezza

SegnaleAmpiezza

RumorePotenza

SegnalePotenzaSNR

dB

Bibliografia• [Caloyannides 74] M.A.Caloyannides, J. App. Phys 45(1974)307

• [Johnson 25] J.B. Johnson, Phys. Rev 26(1925)71

• [Johnson 28] J.B. Johnson, Phys. Rev 32(1928)

• [Nyquist 28] H. Nyquist, Phys. Rev 32(1928)110

• [Schottky] W.Schottky, Phys. Rev 28(1926)74

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