TRANSPORTUL FLUIDELOR NENEWTONIENE PRINCONDUCTEA. TRANSPORTUL STAIONAR AL FLUIDELOR NENEWTONIENE PRIN CONDUCTEn general, fluidele nenewtoniene sunt acelea la care nu exist proporionalitate direct ntre eforturile unitare si vitezele de deformaie. Exist o mare varietate de astfel de fluide i ca urmare mai multe clasificri posibile.Toate fluidele care nu respect legea lui Newton, nu au o vscozitate constant, sunt numite nenewtoniene.n general, vscozitatea scade cu valoarea tensiunii sau a vitezei de deformaie: materialele se fluidizeaz, devin mai maleabile. Aceasta se explic prin alinierea, orientarea particulelor (asimetrice) in suspensie, desfurarea lanurilor de polimeri, astfel nct s opun o rezistena mai mic la curgere. Asemenea fluide, daca diagrama de scurgere trece prin origine, se numesc pseudo-plastice (fig. 1 si 2)Fig. 1 Fig. 2Mai rar se ntlnesc fluide a cror vscozitate crete cu viteza de deformare. Asemenea comportare se ntlnete n sistemele cu concentraie mare si dispersie grosier, aceste materiale numindu-se dilatante.Dintr-un punct de vedere general, apar dou grupe, i anume fluide dependente de timp si fluide independente de timp.La fluidele dependente de timp, vitezele de deformaie depind de mrimea si de durata eforturilor unitare, precum si de istoria solicitrilor. In cazul n care efectul timpului este reversibil, apar fie o comportare tixotropica, la care eforturile unitare tangeniale scad n timp, fie o comportare reopatic, la care eforturile tangeniale unitare cresc n timp.La fluidele independente de timp, vitezele de deformaie ntr-un punct depind doar de eforturile unitare n acel punct. O astfel de comportare caracterizeaz de altfel i fluidele newtoniene.Fluidele nenewtoniene independente de timp (fig. 1) pot fi clasificate in fluide cu prag de efort unitar si fluide fr prag de efort unitar.Primele mai sunt cunoscute si sub denumirea de fluide monoplastice, cel mai cunoscut fluid din aceast categorie este acela al lui Bingham. Fluidele fr prag de efort unitar au fie o comportare psudoplastic, fie o comportare dilatant (fig. 2). Cel mai simplu model de fluid pseudoplastic este acela denumit Ostwald de Waele. n sfrit, mai exist i fluide vscoelastice, care poseda simultan proprietile elastice i proprietile vscoase. Cel mai cunoscut model de lichid vscoelastic este acela al lui Maxwell.A.l. TRANSPORTUL STAIONAR AL FLUIDELOR MONOPLASTICE PRIN CONDUCTEUneori, petrolul brut are o comportare deosebit de aceea a unui fluid newtonian, adic proporionalitatea dintre viteza de deformaie i tensiunea care o produce. Apar situaii n care, chiar un fluid newtonian, cum ar fi apa, mpreun cu suspensii mecanice, (granule de argil, nisip) formeaz un fluid cu o comportare nenewtonian, Un model de fluid nenewtonian, des ntlnit n practic cu o comportare foarte apropiat de cea monoplastic, este acela de fluid plastic Bingham sau binghamian. Acest model conine dou constante reologice, i anume pragul de curgere p, care este efortul unitartangenial sub a crui valoare nu apar viteze de deformaie i vscozitatea plastic (structural) pPentru curgerea laminar printr-o conduct de seciune circular, relaia dintre efortul unitar tangenial i viteza de deformaie are pentru acest fluid expresia:pdvdr (1)Exist diverse clasificri ale fluidelor reale pe baza comportrii lor reologice, O clasificare posibil, dup Metzaner, este urmtoarea:1.fluide "pur" vscoase sau independente de timpnewtoniene: vscozitatea este independent de tensiunea de forfecarenenewtoniene: vscozitatea este o funcie de tensiunea de forfecare2.fluide dependente de timp3.fluide vscoelastice: viteza de deformare i vscozitatea depind de tensiuni ide mrimea deformaiilor4.fluide reologice complexe: posed caracteristici comune categoriilor anterioare.Cu observaia c0dvdr < legea de variaie a vitezei n seciunea transversalrezult din echilibrul dinamic al unui dop de fluid de raz r122 24 4 2pp pp p d dv r rl _ _ , ,(2)1 2p p p fiind cderea de presiune pe lungimea 1 a conductei de diametru exterior d.Viteza medie definit cu ajutorul relaiei : 2208amV vr drd (3)are expresia :232 6p pmp psV d dl (4)n interiorul tubului exist un cilindru de raz 2pdr < pe care viteza fluiduluidevine constanta, ceea ce nseamn c, n acest punct 0dvdr , de unde se deduce raza2pppr ls (5)Aceasta nseamn c formula (4) este valabil pentru2pdr r > > , dup cumfluidul se deplaseaz cu o vitez constant dat de relaia:24 2ppp pr rpsdv v rl _ ,(6)Se observ c aceast raz depinde de constanta pi pentru un fluid newtonian rp=0Debitul de fluid prin ntreaga seciune transversal a conductei are expresia:222pdp prQ vr dr r V + (7)Vpfiind viteza din interiorul tubului cilindric de raz rpdat de (6). Dup efectuarea calculelor n (7) rezult444 44 11128 3 3p p pp p pd s l lQl d s d s 1 _ 1 + 1 , ] (8)relaie care poart numele de formula lui Buckingham. Aceasta mai poate fi scris sub forma4300 04 1132 3 3p ppdQ 1 _ 1 + 1 , ](9)0 fiind efortul unitar tangenial la peretele conductei.Dac se introduce viteza medie Vm n seciunea transversal a conductei rezult400 08 4 113 3p pmpVd 1 _ 1 + 1 , ](10)mrimea8mVdfiind numit viteza medie de forfecare sau funcia de curgere.Dac se introduc parametrii adimensionaliRe ;mbpV d pm pdYV22pepdH (11)care sunt respectiv numrul modificat al lui Reynolds, factorul de forfecare i numrul lui Hedstrom, coeficientul de rezisten Bla micarea fluidului binghamian se poate scrie n dou moduri:( ) ( ) Re , ; Re ,B B b B B b eV H (12)Aceste dou funcii au forma:43 41 48Re 64 6 Re 3 ReBB B B BY Y + (13)respectiv43 41 48Re 64 6 Re 3 Ree BB B B BH Y + (14)Relaia (14) este mai simpl, dar are dezavantajul de a conine viteza medie att n factorul de forfecare, ct i n numrul modificat al lui Reynolds, n timp ce relaia (14) conine viteza doar n numrul modificat al lui Reynolds. Pentrufluidenewtoniene, 0eHi0 ambeleecuaii(13i14) se reduc la dreapta lui Stokes:64Re (15) Distribuia de viteze, tensiuni i viteze de deformare sunt prezentate n figura 1. n figura 2 este ilustrat efortul tensiunii critice de forfecare pasupra vitezelor de curgere pentru o tensiune de forfecare ia 0 dat.Fig. 1 Distributia de viteze , tensiuni de forfecare si a vitezelor de deformare la scurgerea laminara prin conducte circulare a fluidelor laminareFig. 2 Efectul tensiunii critice de forfecare asupra profiluluivitezelor la curgerea laminaraTranziia de la regimul laminar la cel turbulent se produce pentru membrana critic (ReB)Ca numrului lui Reynolds calculat din formula propus de Hanks.( )44 1Re 18 5 4eB c cCcHx xx _ + ,(16)unde *c este membrana critic a lui x definit prin formula( )3168001c ecx Hx(17)Cu x este notat raportul dintre tensiunea tangenial rpi membrana tensiunii tangeniale la peretele tubului cilindric r0.Dependena dintreB, ReBi Y din fig.3, precum i variaia coeficientului de rezisten XB Bn funcie de numrul lui Reynolds modificat i numrul lui Hedstrom redat n fig.4 arat c tranziia de la micarea laminar la cea turbulent se produce pentru un fluid binghamiah la valori mai mari ale numrului lui Reynolds dect pentru un fluid newtonian.Dac analizm relaia (16) i neglijm termenul ce l conine pe xAc,nlocuind tensiunea tangenial la perete 0 n funcie de coeficientul de rezisten se obine6416p pBm p mdVd V _ + ,(18)Aceast formul este echivalent ce aceea pentru un fluid newtonian dac se introduce termenul c sub forma16pB pp mdV _ + ,(19)Dac se admite pentru un fluid newtonian valoarea critic a numrului lui Reynolds, cuprins n intervalul 2100..3000 rezult2100...300016mppp mVddV _ + ,(20)Pentru un tub cu diametrul interior relativ mare termenul6pp mdVeste multmai mare dect unitatea ceea ce face ca viteza media critic s aib aproximativ valoarea( ) ( ) 18.70..22.36pmCV (21)Aceast relaie, dei aproximativ, este important deoarece arat c dac peste mai mare dect4,478 NJm2, viteza critic depete viteza normal de transport.Aceasta nseamn c micarea turbulent a unui fluid binghamian, avnd o tensiune pmai mare dect 4,478 NJm2poate fi ntlnit numai rareori.Pentru conducte netede, n regim turbulent, coeficientul de rezisten se poate calcula cu formula lui Tonuta12.27 lg( ) 0.8 Re (22)de aceeai form cu cea valabil pentru fluidele newtoniene, sau cu formula lui Terrance12.27 lg( ) 1.83 Re (23)In ceea ce privete micarea turbulent a unui fluid bingham printr-o conduct rugoas, se recomand utilizarea formulei lui Mikuradze. A2) FLUIDE CU PRAG DE TENSIUNEUn model de fluid cu prag de tensiune este i acela anumit Wprschel-Bulkley. Pentru curgerea printr-o conduct de seciune circulara0dvdr _< ,, efortul tangential unitar este : npdvkdr _ + ,(24)Modelul are trei constante reologice, i anume TP , k i n. n afara dopului rigid cu razapr2pdr r _> > ,, viteza are expresia( )( ) ( )1 11 2 1 2121 224 2n nn np pp p d p p rnVl lk p p + + 11 ' ;11 ] ] (25)iar raza rpeste dat tot de formula (5). Viteza donului risid este111 21 2 2nn np pp p n dV rn kl+ _ _ + , ,(26)i se observ c dac nlocuimlregsim formulele (2) respectiv (8).( )( )( ) ( )2 2230 00 131 2283 1 2 1 1p p p ppnnlQn n nk p p 1 1 + + 1 + + + ](27)i pentru k p i n=1 se reduce la formula lui Buckingham (9).Dac definim numrul lui Reynolds prin forma2 11Re8n nmnV dk (28)Coeficientul de rezisten n regim turbulent, pentru conducte netede, rezult din formula lui Terrance( )21 2.27 2.27 0.34 0.02lg(1 ) lg Re (5 8) 0.79nx nn n n n 1 + + 1 ](29)unde 0px .Pentru conducte rugoase, tot Terrance a propus formula1 2.03 1.32lg 32dn k n _ + ,(30)Exemplu de calcul 1. Un fluid Bingham curge printr-o conduct cu diametrul interior d=0, 2mi lungimea l = lOOOm cu debitul Q=0, 02m3/ s. Densitatea fluidului este p=1200 kg/ s1, vscozitatea plastic p= 0,05Ms/ m2i pragul decurgere p= 20 M / m2. S se stabileasc dac micarea este laminar sau turbulent i s se calculeze apoi cderea de presiune. S se gseasc apoi raza dopului rigid.Rezolvare:Se calculeaz mai nti numrul lui Hedstrom din (11) 222 21200 20 0.2384000.05pepdH iar relaia (17) devine( )338400022.85716800 168001c ecx Hx Aceast ecuaie de gradul al treilea are dou rdcini complexe conjugate i o rdcin real.xc=0.688care este valoarea cutat a lui xc.Calculm acum din (16) membrana critica a numrului lui Reynolds care este( )4 44 1 384000 4 1Re 1 1 0.6888 0.6888 109168 5 4 8 0.6888 3 3eB c cCcHx xx _ _ + + , ,Pe de alt parte, din (11) se obine4 4 1200 0.2Re 30560.05 0.2mbp pV d Qd i deoarece Re < Rec regimul de micare din conduct este laminar. Coeficientul de rezisten se calculeaz, deci, din relaia (13) care devine4 44 7 7 4 41 Re 1 64 3056 384000 64 384000 20.9464 0.186347.7564 6 Re 3 Re 64 6 3056 6 3056e eH H + + + i conduce la ecuaia de gradul al patrulea4 30.4595 0.0039 0 + Aceast ecuaie are dou rdcini reale i dou complexe conjugate. Cele dou rdcini sunt10.2775 si 20.3973 i pentru a constata care este aceea valabil, se calculeaz cderile de presiune corespunztoare( )2 2 22 11 2 1 2 5 2 5 18 8 1200 0.02 0.22791000 337886 /2 2 0.2mV Q lp p l N md ( )2 2 22 21 2 2 2 5 2 58 8 1200 0.02 0.39732 1000 403059 /2 2 0.2mV Q lp p l N md i razele respective ale cuplului rigid ( )( )11 2121 22202 2 1000 0.118337886202 2 1000 0.083483059ppppr l mp pr l mp p Deoarece rp1>r0 , unde 00.12dr m este raza interioar a conductei, rezult csoluia valabil este5 21 2p 4.83 10 / p N m + ;0.083pr m Viteza cuplului rigid are, conform formulei (6), valoarea( )221 24830590.1 03083 0.698 /4 2 4 0.05 1000p ppp p dV r m sl _ ,Ca verificare, se calculeaz efortul unitar tangenial la puncte 3 1 204830590.2 24.153 /4 4 1000p pd N ml i se utilizeaz apoi formula (10) care d4 400 08 4 1 24.153 4 20 1 201 1 25.430 /3 3 0.05 3 24.153 3 24.153p pmpVl sd 1 _ 1 _ 1 + + 1 ,1 ] , ]Pe de alt parte, cu datele problemei rezult3 38 32 32 0.0224.465 /0.2mV Ql sd d i eroarea fa de aceast valoare exact este de 0,14% ceea ce arat c soluia aleas este valabil.A.3. TRANSPORTUL FLUIDELOR PSEUDOPLASTICE PRIN CONDUCTENumeroase fluide nenewtoniene ncadreaz n categoria fluidelor pseudoplastice, pentru acestea, relaia cea mai simpl, ntre efortul unitar tangenial i viteza de deformaie estendvkdr _ ,(31)i corespunde modelului de fluid Ostwald de Waele, care are dou constante reologice, k i n.Legea de variaie a vitezei n seciunea transversal, obinut prin integrarea ecuaiei de micare n coordonate cilindrice pentru anumite condiii limit [1], este11 11 21 2 2nnnn np p n dv rn kl++ 1 _ _ 1 1 + , , ](32)In figura 3 este ilustrat efortul exponentului n asupra profilului vitezei i al vitezei de deformare. Deprtarea lui n fa de unitate implic o aplatizare a distribuiei de viteze.Fig. 3 Efectul exponentului n asupra profilului vitezei i al vitezei de deformareDebitul volumic se calculeaz cu relaia1 3 121 2023 1 2 2dnn np p n dQ vr drn kl+ _ _ + , ,(33)Dac se definete numrul lui Reynolds prin formula2Re 81nn nmV d nn k _ + ,(34)coeficientul de rezisten n regim laminar are expresia64Re (35)Trecerea de la regimul laminar la cel de tranziie se produce la valoarea critic a numrului lui Reynolds( )2126464Re13 12c nnnnn++ _+ + ,(36)Dac se consider diagrama = Re trasat de Dodge i Metzner n fig. 4, Re definit prin (34), dup prelucrarea ei, se admite c laRe < 3470 -1370 curgerea este laminarRe [3470 -1370,4270 -1370] curgerea este tranzitorieRe > 4270 -1370 curgerea este turbulentFig. 4 Rezistenta hidraulica.. pentru fliudeOstwald- de Wade si Mitzner-ReedPentru calcularea coeficientului de rezisten n regim turbulent, n conducte netede, se poate utiliza formula (29) n care se introduce x=0 ; se va obine astfel formula lui Chapp:( )( )21 2.27 0.34 0.02lg Re 5 8 0.79nnn n n 1 + 1 ](37)Pentru conducte rugoase, formula (30) este aplicabil i n acest caz.In ceea ce privete fluidele vscoelastice, n cazul regimului laminar, gradientu de presiune nu este afectat de proprietile elastice. Ca urmare, pentru curgerea prin conducte a acestor fluide rmn valabile ecuaiile fluidelor pseudoplastice. n regim turbulent, vscozitatea are ca efect reducerea frecrii, respectiv a cderii de presiune.Exemplul de calcul 2. Printr-o conduct cu diametrul interior d = 0.15 m i lungime 1 = 1200 m, curge un fluid Ostwald de Waele cu densitatea = 1300 kg)m3i proprietile k= 0. 6Ns"/ m2, n= 0.7. Debitul fiind Q= 0.013/ m s s se calculeze cderea de presiune presupunnd conducta neted.Rezolvare:Pentru a stabili, n primul caz, care este regimul de curgere din conduct, se calculeaz din (36) valoarea critic a numrului lui Reynolds( ) ( )2 0.7 21 0.7 12 26464 6464 0.7Re 22801 13 1 3 0.7 12 0.7 2c nnnnn+ ++ + _ _+ + + + , ,din formula (34) rezult( )( )2 2 3 422 0.7 30.7 42 0.7Re 8 1281 4 6 21300 0.01 0.5 0.7128 4764 6 0.7 2 0.6nnn n n nm mnnV d Q d n nn k n k _ _ + + , , _ + ,i deoarece Re < Rec regimul este laminar.Coeficientul de rezisten are, deci, valoarea64 640.1345Re 476 dat de formula (35), iar cderea de presiune este2 2 221 2 2 5 2 58 8 1300 0.01 0.1345223965 /2 0.15mV l Q lp p N md d Viteza maxim, n axa conductei, se obine din formula (32) n care se introduce r=0, rezult astfel1 1 10.7 12 0.71 2 2max0.7 2239650.075 1.032 /1 2 2 0.7 1 2 0.6 1200nnp p n dV m sn kl++ _ _ _ + + , , ,In al doilea caz, proiectnd puin diferit, se calculeaz mai nti viteza medie 2 24 4 0.084.527 /0.15mQV m sd i apoi numrul lui Reynolds direct din formula (34)0.72 2 0.7 0.70.7 1300 4.527 0.15Re 8 8 71056 2 6 0.7 2 0.6nn nmV d nn k _ _ + + , ,i deoarece Re > Rec regimul este turbulent.Pentru a se calcula coeficientul de rezisten , se utilizeaz formula (37) care, cu datele problemei, devine( )313.242857 lg 7105 3.004286 1 1 ]i, prin ncercri, d 0.0264 Cderea de presiune este prin urmare2 221 2 2 5 2 58 8 1300 0.01 0.02641200 2813471 /0.15Qp p l N md gA.4. ECUAIA RABIMOWITSCH-MOONEY I GENERALIZAREA METZNER-REEDn principiu, dac ecuaia constitutiv a unui fluid oarecare este cunoscut, stabilirea relaiei debit-cdere de presiune este posibil prin integrarea ecuaiilor de micare. Reciproc, din datele debit-cdere de presiune obinute ntr-un vscozimetru capilar pot fi calculate constantele reologice, cu condiia cunoaterii modelului de curgere.Se ntmpl, relativ frecvent, s nu se poat descrie corect comportarea unui fluid nenewtonian real cu ajutorul unui model din categoriile menionate mai nainte. Apar astfel situaii n care constantele reologice ale fluidului i valorile n funcie de domeniul de viteze de deformaie n care se petrece curgerea.Metzner i Reed au propus o procedur general, valabil pentru orice tip de fluid, care permite calcularea cderii de presiune printr-o conduct, dac se dispune de date debit-presiune msurat ntr-o alt conduct sau cu un vscozimetru capilar.n prealabil, este necesar stabilirea unor relaii generale ntre debit i efortul unitar tangenial la perete.Se scrie astfel, n primul rnd, expresia debitului( )2 20 0 0220 0 02r rrQ vr dr vd r r dv (38)rezultat la care se ajunge prin integrarea prin pri, innd seama de faptul c la 02dr vitezaeste nul.Efortul unitar tangenial r la o raz oarecare r este legat de acela la perete prin relaia00rr (39)iar pentru fluide independente de timp se poate scrie( )dvdr(40)unde ( ) este vscozitatea aparent. Ca urmare, din (38) se obine( ) ( )20 0 3 32 030 0 0rrQ r dr d (41)sau( )0 330 08 4mVdd (42) respectiv( )3 4308 44dPmdVddP _ ,(43)unde, pentru simplificare, s-a introdus notaia1 2p pPl(44)pentru gradientul de presiune.Dac expresia vscozitaii aparente este cunoscut, integrarea (43) se poate calcula i se obine astfel o relaie ntre viteza medie de forfecare (sau debit) i cderea de presiune.Prin derivarea formulei (43) n raport cu4dPi utilizarea formulelor (40) i (42) se obine088 1 34 4 44md mdVdP V dv dP dr dd _ _ _ , + _ , , ,(45)0dvdr _ , fiind viteza de deformaie Ia perete. Acest rezultat este cunoscut sub numele de ecuaia Rabimowitsch-Mooney.Metzner i Reed au scris aceast ecuaie sub forma08ln8 3 14 4ln4mmdVdV dv dp dr dd 1 _ 1 _ , 1 + _ ,1 1 , ] (46) sau03 ' 14 'dv ndr n+ _ ,(47) unde8ln'ln4mdVddnpd _ , _ ,(48)Potrivit acestei relaii, neste panta curbei reprezentat n coordonatelogaritmice.84d mp Vfd _ ,Relaia (49) sugereaz posibilitatea scrierii ecuaiei'8'4nd mp Vkd _ ,(49)ceea ce n coordonate logaritmice constituie ecuaia tangentei la curba 84d mp Vfd _ , keste valoarea interseciei acestei drepte cu axa4dp la 81mVdPentru regimul laminar se pune64ReB (50)ReB fiind numrul lui Reynolds generalizat a crui expresie este2 ' '' 1Re8 'n nmB nV dk(51)Formula (50) este bine verificat experimental pentru numeroase fluide cu sau fr prag de efort unitar.Dac se consider curba 84d mp Vfd _ ,determinat experimental, n'este panta acesteicurbe reprezentat n coordonate logaritmice. Se observ c att V ct i n' nu sunt constante i depind de valoarea vitezei medie de forfecare.Practic, fluid orice fluid poate fi aproximat pe poriuni cu modelul Ostwald de Waele. Formula (49) devine n acest caz8 3 14 4n nd mp V nkn d+ _ _ , ,(52)iar Re# are expresia (34). Valorile constantelor reologice k i n determinate experimental, pentrudiferite domenii de variaie a mrimii8mVd

permit aproximarea curbei84d mp Vfd _ , peporiuni, cu ajutorul relaiei (52), i ofer o metod simpl de calculare a cderilor de presiune ntr-o conductn concluzie, generalizarea Metzner-Reed este util atunci cnd dispunem de msurtori debit-presiune n vscozimetre capilare sau n conducte industriale. Dar pentru cazurile simple ale fluidelor Bingham i Ostwaldt de Waele, relaiile stabilite anterior sunt mai eonvenbile, deoarece nu exist determinarea grefic a parametrilor n i k i n plus, permit o delimitare mai precis a micrii laminare de cea turbulent.Exemplul de calcul 3 La un vscozimetru rotativ tip Fann35 cu ase viteze, s-au citit urmtoarele unghiuri de deflecie: m= 102, 300 = 73, 200=62, 100=42, 6= 6.5 i3=4, indicii constituind turaiile cilindrului mobil. S se calculeze cderea de presiune dintr-o coloan de burlane cu diametrul interior d = 0.2 m i lungimea 1 = 2000 m, dac prin ea se pompeaz fluidul cercetat cu debitul Q=0.03 m3/s.Rezolvare:Se calculeaz tensiunile i vitezele de forfecare corespunztoare celor ase viteze curelaiile:210.511 ; 1.704n n cM dvnm dr s 11 11 ] ]din [2] pag. 212De exemplu, pentru n= 600ro//min26000.511 102 52.12 / M m 60011.704 600 1022.4dvdr s _ ,ntr-o diagram logaritmic, se observ c primele trei puncte se plaseaz pe o dreapt, iar ultimele pe a doua (fig 5).Fig. 5 Reograma fluidului din exemplul 3Calculm mrimea 13 38 32 32 0.0338.202mV Qsd d fig. 5 Reograma fluidului din exemplul 3.Presupunem c viteza de deformare la perete se afl n intervalul descris de prima treapt. Cu coordonatele a dou puncte oarecare de pe aceasta determinm parametrii:2 20.667215.30.71 /100nnk Ns mdvdr _ , ( )( )121 2lglg 15.3/ 3.3' 0.667lg 100 / 10lgn ndv dvdr dr 1 _ _ 1 , , ]Cu relaia (47), viteza de forfecate la peretele conductei133 0.667 138.2 434 0.667dvsdr + _ ,Din figura 5 remarcm valabilitatea presupunerii i determinm tensiunea de forfecare la peretele conductei:208.8 / N m Cderea de presiune5 2 04 4 200 8.83.52 10 3.50.2lp Mm bard Putem folosi i relaia (52)0.6670.667 5 24 4 2000 3 0.667 10.71 38.2 3.84 10 3.54 0.2 4 0.667l Pdp Mm bard + _ ,B. TRANSPORTUL NESTAIONAR AL FLUIDELOR NENEWTONIENE DE TIP BINGHAM PRIN TUBURI DE SECIUNE CIRCULARDatorit faptului c multe fluide folosite n industria petrolier: fluide de foraj, petroluri brute, etc, se deprteaz de la legea de compoziie a unui fluid newtonian, n special la viteze mici, relaiile de calcul stabilite nu mai rmn n totalitate valabile. Problema micrii unui fluid binghamian cu care putem asemna o mare parte din fluidele ntlnite n industrie a fost studiat, ns problema nestaionar, de nceput de micare sau de schimbare a regimului, ncercm s o determinm printr-o abordare modern.B.l. MICAREA NESTAIONAR A UNUI FLUID BINGHAM PRINTR-UN TUB DE SECIUNE CIRCULAR CU GRADIENT DE PRESIUNE CONSTANTConsiderm un tub de seciune circular de raz r0 i unghiul acu orizontala. Alegnd axa tubului Ox (fig 6), ecuaia de micare este [3]221sinppdv dv dvgdt r dr r dt _ + + ,(53)unde vom nota cu t-timpul, r-coordonata radial, v-viteza, p-densitatea fluidului, g-acceleraia gravitaional, rp-pragul de tensiune, tp- vscozitatea plastic.Condiiile pe care viteza le satisface sunt:t=0, v=0 (54)ir= r0 , v=0 (55)Fig. 6Cu schimbarea de funcie( )0ppw v r r + (56)i notaia' sin p p pgx +(57)ecuaia (53) devine22' 1pdw dp dw dwdt dx dr r dt _ + + ,(58)avnd aceeai form i pentru fluidul newtonian. Condiiile iniiale (54), se prezint sub format=0, ( )0ppw r r

(59)iar condiia la limit (55) deviner = r0 , w=0 (60)Pentru uurarea calculelor, vom introduce variabile adimensionale_ _ _00 0, ,w x rt x rr r r (61) unde0 0ppw r(62)i de asemenea cantitile adimensionale_ _20 0', 'w pw pw pw (63)n acest mod, obinem ecuaia_ _ _ _2__ 2' 1 1pd w d p d w d wdt dx R dr drr _ + + , (64) unde vom nota0 0ppw rR (65)Este uor de observat c soluia ecuaiei (64) trebuie s satisfac condiiile1=0;_ _1 w r r = 1 ;_0 w Observm c parametrul adimensional R este exprimat prin202ppprR (67)Soluia ecuaiei (64) Drezentat n [3] este urmtoarea (68): ( ) ( )2 21_ ___00_ _2 00 2 21 11 11 '1 8 24n np pnnt tR Rp nn nn n n nJ r d rJ rd pw R r e J r edx J J _1 _ 1 , _ , 1 + ,1 1 ] n consecin, viteza adimensional_ _ _1 v w r _ , (69)dedus din (56) i (62), este exprimat astfel:( ) ( )2 21_ ___00_ _ _2 00 3 21 11 11 '1 8 1 24n np pnnt tR Rp nn nn n n nJ r d rJ rd pw R r e r J r edx J J _1 _ 1 , _ _ , 1 + , ,1 1 ] (70)Pentru t > oo , rezult( )( )_2 1 '1 14p d pv R r rdx (71)expresia cunoscut a vitezei pentru curgerea staionar a unui fluid binghamian.Prin egalarea ecuaiei__d vd r, obinem o ecuaie a crei soluie este raza adimensionalp d r r a cuplului rigid n funcie de timp. Viteza adimensional vpa acestui dop este dat de (72)( )( )( )( )( )( )2 210_02 00 3 21 11 11 '1 8 1 24n np pnt tpnR Rp pp p nn nn n n nJ r drJ rd pv R r e r J r edx J J 1 1 + 1 ] Dact obinem( )( )_2 1 '1 14p pp p d pv R r rdx (73)valoare ce corespunde curgerii staionare a fluidului binghamian. Putem defini debitul volumetric adimensional al curgerii:20 oQQrw (74)care n consecin presupune expresia:122pp prQ r v r pdr + (75)din care rezult relaia de mai jos( )( )( )( )( )( )( )( )222 20 24 331110202 2 2111 ' 11 16 18 32npnpp p tn nRp ppnn nntRp pn nnn nJ r J rd pQ R r e rdx JJ r drJ r J r eJ 1 1 + 1 1 ] 1+ 1 ] (76)( )22pnJ r si( )2 nJ sunt funciile lui Bessel de prima spe de ordinul doi. a jjgest caz, cnd t -> 90 obinem relaia (77):( ) ( )4 3 1 ' 11 18 3p pp d pQ R r rdv care este de fapt relaia Buckingham-Reiner. Efortul tangenial adimensional, exprimat sub forma01dvdr (78)Valabil pentru,1 , p r r 1 ] in timp ce pentru0, p r r 1 ], constant i are modulul egal cu unitatea. Din formula de mai sus i din (70) rezult:( )( )( )( )( )2 210001 2 21 11 11 '1 4 22n np pnt tnR Rp nn nn n n nJ r drJ rd pR e J r edx J J 1 1 1 ] (79)i pentru( )0 0, r r efortul tangenial este:( )( )22100021 111 '1 4 22nnpptn RtRpn nn n nJ r drd p eR edx J 1 1 1 1 ] (80)Dac P este puterea necesar pentru curgerea n tub, obinem' dP Qd p (81)pentru un element de lungime, sub form adimensional2 30 0'dPd P Qd prw (82)Deci, puterea raportat la lungime este:( )( )( )2 224 2 2311' 1 '1 168np tpn nRppnn nJ r J rd P d p d pQ R r edv J d x d x 1 _ 1 + 1 , ]( )( )( )( )( )2103 202 2 211' '1 23npntRp p pn nnn nJ r drd p d pr J r J r eJ d x d x 1+ + 1 ](83)iar cndt , gsim( ) ( )4 3 ' 1 ' 11 18 3p ppd p d p d pR r rd x d x d x 1 + 1 ](84)Dac / este lungimea tubului n form adimensional aceasta este:0llr (85)i puterea sub form adimensional este:32 2 40 0 0 3ppd p d pP rw l r ld x d x (86)B1.1.EXEMPLU NUMERICn acest subcapitol a fost efectuat un exemplu numeric pe baza relaiilor (70), (72) i (76), utiliznd urmtoarele valori numerice: r = 0. 1m, -1200 kg/ m3, p -0.03 NS/ m22 37.5 / , 250 / , 0pdpM m N mdx (conducta orizontal)Exemplul numeric se poate rezolva fie prin utilizarea funciilor Bessel i implicit a trunchierii la primii 40 de termeni, fie prin utilizarea metodei reelelor. n [2] sunt prezentate ambele metode, i datorit simplitii metodei reelelor prezentm rezultatele obinute n tabelele B1-B5 i figurile 7-11.Mrimile calculate n practica inginereasc, adic viteza de deplasare v, efortul la peretele conductei r0, debitul de fluid Q i puterea necesar transportului P sunt o generalizare a celor de la micrile staionare, obinute pentru cazul n care timpul ia valori mari.Din analiza distribuiei vitezei n raport cu raza pentru diferite vscoziti fi p i diferiteeforturi de forfecare rp, prezentate n figura 12 i 15 se observ c viteza de deplasare este putininfluenat de vscozitate, n timp ce efortul de forfecare influeneaz semnificativ viteza de deplasare.Parametrii respectivi influeneaz n acelai mod puterea i debitul, n sensul scderii acestora odat cu creterea lui r p i a vscozitii juppentru un gradient de presiune constant = -250 (fig. 13,14, 16,17)Valorile v (r) pentru t=300 sr v r v r v r v0.000 0.134287 0.250 0.134287 0.500 0.134287 0.750 0.1150650.008 0.134287 0.258 0.134287 0.508 0.134287 0.758 0.1130410.016 0.134287 0.266 0.134287 0.516 0.134287 0.766 0.1109160.023 0.134287 0.273 0.134287 0.523 0.134287 0.773 0.1086900.031 0.134287 0.281 0.134287 0.531 0.134287 0.781 0.1063620.039 0.134287 0.289 0.134287 0.539 0.134287 0.789 0.1039330.047 0.134287 0.297 0.134287 0.5417 0.134287 0.797 0.1014030.055 0.134287 0.305 0.134287 0.555 0.134287 0.805 0.0987710.063 0.134287 0.313 0.134287 0.563 0.134287 0.813 0.0960380.070 0.134287 0.320 0.134287 0.570 0.134287 0.820 0.0932040.078 0.134287 0.328 0.134287 0.578 0.134287 0.828 0.0902680.086 0.134287 0.336 0.134287 0.586 0.134287 0.836 0.0872310.094 0.134287 0.344 0.134287 0.594 0.134287 0.844 0.0840920.102 0.134287 0.352 0.134287 0.602 0.134287 0.852 0.0808520.109 0.134287 0.359 0.134287 0.609 0.134185 0.859 0.0775100.117 0.134287 0.367 0.134287 0.617 0.133982 0.867 0.0740670.125 0.134287 0.375 0.134287 0.635 0.133678 0.875 0.0705220.133 0.134287 0.383 0.134287 0.633 0.133273 0.883 0.0668760.141 0.134287 0.391 0.134287 0.611 0.132767 0.891 0.0631290.148 0.134287 0.398 0.134287 0.648 0.132160 0.898 0.0592790.156 0.134287 0.406 0.134287 0.656 0.131452 0.906 0.0553290.164 0.134287 0.414 0.134287 0.664 0.130643 0.914 0.0512770.172 0.134287 0.422 0.134287 0.672 0.129733 0.922 0.0471230.180 0.134287 0.430 0.134287 0.680 0.128722 0.930 0.0428680.188 0.134287 0.438 0.134287 0.688 0.127609 0.938 0.0385110.195 0.134287 0.445 0.134287 0.695 0.126395 0.945 0.0340530.203 0.134287 0.453 0.134287 0.703 0.125080 0.953 0.0294930.211 0.13428? 0.461 0.134287 0.711 0.123664 0.961 0.0248310.319 0.134287 0.469 0.134287 0.719 0.122147 0.969 0.0200680.227 0.134287 0.477 0.134287 0.727 0.120528 0.977 0.0152040.234 0.134287 0.484 0.134287 0.734 0.118808 0.984 0.0102370.342 0.134287 0.492 0.134287 0.742 0.116987 0.992 0.005170Tabel BlFi g. 7Valorile rd(t)t , srdt, srdt, srdt, srd0.000 1.000000 74.988 0.632813 149.988 0.609375 224.988 0.6015632.332 0.812500 77.332 0.632813 152.332 0.609375 227.332 0.6015634.675 0.765625 79.675 0.632813 154.675 0.609375 229.675 0.6015637.019 0.734375 82.019 0.632813 157.019 0.609375 232.019 0.6015639.363 0.718750 84.363 0.632813 159.363 0.609375 234.363 0.60156311.707 0.703125 86.707 0.632813 161.707 0.609375 236.707 0.60156314.050 0.695313 89.050 0.625000 164.050 0.609375 239.050 0.60156316.394 0.687500 91.394 0.625000 166.394 0.609375 241.394 0.60156318.738 0.687500 93.738 0.625000 168.738 0.609375 243.738 0.60156321.082 0.679688 96.082 0.625000 171.082 0.609375 246.082 0.60156323.425 0.679688 98.425 0.625000 173.425 0.609375 248.425 0.60156325.769 0.671875 100.769 0.625000 175.769 0.601563 250.769 0.60156328. 113 0.671875 103.113 0.625000 178.113 0.601563 253.113 0.60156330.457 0.671875 105.457 0.625000 180.457 0.601563 255.457 0.60156332.800 0.664063 10.800 0.617188 182.800 0.601563 257.800 0.60156335.144 0.664063 110.144 0.617188 185.144 0.601563 260.144 0.60156337.488 0.664063 112.488 0.617188 187.488 0.601563 262.188 0.60156339.832 0.664063 114.832 0.617188 189.832 0.601563 264.832 0.60156342.175 0.656250 117.175 0.617188 192,175 0.601563 267.175 0.60156344.519 0.656250 119.519 0.617188 194.519 0.601563 269.519 0.60156346.863 0.656250 121.863 0.617188 196.863 0.601563 271.863 0.60156349.207 0.656250 124.207 0.617188 199.207 0.601563 274.707 0.60156351.550 0.648438 126.550 0.617188 201.550 0.601563 276.550 0.60156353.894 0.648438 128.894 0.617188 203.894 0.601563 278.894 0.60156356.238 0.648438 131.238 0.617188 206.238 0.601563 281.238 0.60156358.582 0.648438 133.582 0.609375 208.582 0.601563 283.582 0.60156360.925 0.640625 135.925 0.609375 210.925 0.601563 285.925 0.60156363.269 0.640625 138.269 0.60937- 213.269 0.601 S63 288.269 0.60156365.613 0.640625 140.613 0.609375 215.613 0.601563 290.613 0.60156367.957 0.640625 142.957 0.609375 217.957 0.601563 292.95? 0.60156370.300 0.640625 145.300 0.609375 220.300 0.601563 295.300 0.60156372.644 0.640625 147.644 0.609375 222.644 0.601563 297.644 0.593750Tabel B2Fig. 8Valorile vd (t )t,sv dt,sv dt,sv dt,sv d0.000 0.000000 74.988 0.109689 149.988 0.126452 224.988 0.1322952.332 0.011916 77.332 0.110535 152.332 0.126743 227.332 0.1323954.675 0.022278 79.675 0.111349 154.675 0:127024 229.675 0.1324927.019 0.031518 82.019 0.112132 157.019 0.127296 232.019 0.1325869.363 0.039758 84.363 0.112885 159.363 0.127559 234.363 0.13267611.707 0.04707 86.707 0.113610 161.707 0.127813 236.707 0.13276414.050 0.053528 89.050 0.114318 164.050 0.128059 239.050 0.13284816.394 0.059215 91.394 0.115005 166.394 0.128296 241.394 0.13293018.738 0.064232 93.738 0.115667 168.738 0.128525 243.738 0.13300921.082 0.068668 96.082 0116306 171.082 0.128747 246.082 0 13308623.425 0.072602 98.425 0.116923 173.425 0.128962 248.425 0.13316025.769 0.076105 100.769 0.117518 175.769 0.129173 250.769 0.3323128.113 0.079252 103.113 0.118093 178.113 0.129377 253.113 0.13330030.457 0.082076 105.457 0.11864? 180.457 0.129575 255.457 0.13336732.800 0.084634 107.800 0.119190 182.800 0.129766 257.800 0.13343135.144 0.086971 110.144 0 119718 185.144 0.129950 260.144 0.13349437.488 0.089104 112.488 0.120228 187.488 0.130129 262.488 0.13355439.832 0.091059 114.832 0.120721 1 89.832 0.13030 264.832 0.13361242.175 0.092880 117.175 0.121196 192.175 0.130468 267.175 0.13366944.519 0.094571 119.519 0.121656 194.519 0.130629 269.519 0.13372346.863 0.096144 121.863 0.122100 196.863 0.130785 271.863 0.13377649.207 0.097614 124.207 0.122530 199.207 0.130935 274.207 0.13382751.550 0.099007 126.550 0.122945 201.550 0.131081 276.550 0.13387653.894 0.100324 128.894 0.123346 203.894 0.131222 278.894 0.13392456.238 0.101568 131.238 0.123733 206.238 0.131358 281.238 0.13397058.582 0.102745 133.582 0.124113 208.582 0.131489 283.582 0.13401460.925 0.103865 135.925 0.124482 210.925 0:131616 285.925 0.13405763.269 0.104947 138.269 0.124839 213.269 0.131739 288269 0.13409965.613 0.105979 140.613 0.125184 215.613 0.131858 290.613 0.13413967.957 0.106964 142.957 0.125517 217.957 0.131973 292.957 0.13417770.300 0.107906 145.300 0.125839 220.300 0.132084 295.300 0.13421572.644 0.108808 147.644 0.126151 222.644 0.132191 297.644 0.134251Tabel B3Fig. 9Valorile Q(t)t, s Q, m3 / s t, s Q, m3 / s t, s Q, m3 / s t, s Q, m3 / s0.000 0.000000 74.988 0.067226 149.988 0.076020 224.988 0.0790202.332 0.008474 77.332 0.067678 152.332 0.076171 227.332 0.0790714.675 0.015325 79.675 0.068112 154.675 0.076316 229.675 0.0791217.019 0.021209 82.019 0.068529 157.019 0.076456 232.019 0.0791699.363 0.026333 84.363 0.068930 159.363 0.076592 234.363 0.07921511.707 0.030812 86.707 0.069316 161.707 0.076723 236.707 0.07926014.050 0.034729 89.050 0.069690 164.050 0.076849 239.050 0.07930316.394 0.038156 91.394 0.070052 166.394 0.076972 241.394 0.07934518.738 0.041164 93.738 0.070401 168.738 0.077090 243.738 0.07938521.082 0.043811 96.082 0.070737 171.082 0.077205 246.082 0.07942523.425 0.046148 98.425 0.071062 173.425 0.077315 248.425 0.07946225.769 0.048221 100.769 0.071375 175.769 0.077423 250.769 0.07949928.113 0.050071 103.113 0.071677 178.113 0.077528 253.113 0.07953430.457 0.051726 105.457 0.071968 180.457 0.077629 255.457 0.07956832.800 0.053216 107.800 0.072252 182.800 0.077726 257.800 0.07960135.144 0.054568 110.144 0.072527 185.144 0.077821 260.144 0.07963337.488 0.055797 112.488 0.072792 187.488 0.077912 262.488 007966439.832 0.056919 114.832 0.073049 189.832 0.078000 264.832 0.07969442.175 0.057954 117.175 0.073297 192.175 0.078086 267.175 0.07972344.519 0.05891 1 1 19.519 0.073536 194.519 0.078148 269.519 0.07975146.863 0.059798 121.863 0.073767 196.863 0.078245 271.863 0.07977849.207 0.060623 124.207 0.073991 199.207 0.078325 274.20? 0.07980451.550 0.061399 126.550 0.074207 201.550 0.078399 276.550 0.0782953.894 0.062129 128.894 0.074416 203.894 0.078471 278.894 0.07985356.238 0.062815 131.238 0.074617 206.238 0.078541 281.238 0.07987758.582 0.063463 133.582 0.074814 208.582 0.078608 283.582 0.07989960.925 0.064078 135.925 0.075004 210.925 0.078673 285.925 0.07992163.269 0.064666 138.269 0.075188 213.269 0.078736 288.269 0.07994365.613 0.065226 140.613 0.075366 215.613 0.078797 290.613 0.07996367.957 0.065759 142.957 0.075538 217.957 0.078855 292.957 0.07998370.300 0.066268 145.300 0.075704 220.300 0.078912 295.300 0.08000272.644 0.066755 147.644 0.075865 222.644 0.078967 297.644 0.080021Tabel B4Fig. 10Valorile P(t) t,s P, w/m t,s P, w/m M P, w/m t,s P, w/m0.000 0.000000 74.98 1.68065 i 149.988 L9005i2 224.988 1.9755002.332 0.211853 77.332 1.691957 152.332 1.904265 227.332 1.9767824.675 0.383127 79 675 !. 702808 154,675 1.907893 229,675 1,9780217.019 0.530316 82.019 1.713233 157.019 1.911400 232.019 1.9792199.363 0.658318 84.363 1.723256 159.363 1.914789 234.363 1.98037711.707 0.770291 86.707 1.732900 161.707 1.918066 236.707 1.98149714.050 0.868213 89.050 1.742252 164.050 1.921233 239.050 1.98257916.394 0.953908 91.394 1.751301 166.394 1.924295 241.394 1.98362518.738 1.029095 93.738 1.760023 168.738 1.927254 243.738 1.98463621.082 1.095278 96.082 1.768432 171.082 1.930115 246.082 1.98561423.425 1.153707 98.425 1.776542 173.425 1.932881 248.425 1.98655925.769 1.205520 100.769 1.784367 175.769 1.935583 250.769 1.98747328.113 1.251777 103.113 1.791918 178.113 1.938195 253.113 1.98835630.457 1.293142 105.457 1.799207 180.457 1.940720 255.457 1.98920932.800 1.330396 107.800 1.806298 182.800 1.943162 257.800 1.99003535.144 1.364205 110.144 1.813173 185.144 1.945521 260.144 1.99083237.488 1.394921 112.488 1.819812 187.488 1.947802 262.488 1.99160439.832 1.422967 114.832 1.82622- 189.832 1.950007 264.832 1.99234942.175 1.448859 117.175 1.832420 192.175 1.952139 267.175 1.99307044.519 1.472783 119.519 1.838405 194.519 1.954200 269.519 1.99376646.863 1.494949 121.863 1.844187 196.863 1.956192 271.863 1.99444049.207 1.515572 124.207 1.849771 199.207 1.958117 274.207 1.99509151.550 1.534972 126.550 1.855173 201.550 1.959978 276.550 1.99572053.894 1.553313 128.894 1.860390 203.894 1.961778 278.894 1.99632856.238 1.570377 131.238 1.865431 206.238 1.963517 281.238 1.99691658.582 1.586578 133.582 1870341 208.582 1.965198 283.582 1.99748560.925 1.601940 135.925 1.875106 210.925 1.966824 285.925 1.99803463.269 1.616648 138.269 1.879708 213.269 1.968395 288.269 1.99856565.613 1.630638 140.613 1.884157 215.613 1.969914 290.613 1.99907967.957 1.643971 142.957 1.888456 217.957 1.971382 292.957 1.99957570.300 1.656700 145.300 1.892612 220.300 1.972801 295.300 2.00005572.644 1.668872 147.644 1.896629 222.644 1.974173 297.644 2.000520Tabel B5Fig. 11Fig. 12 Variatia vitezei v in functie de raza r pentru diferite valori pFig. 13 Variatia Debitului Q in functie de timpul tpentru diferite valori pFig. 14 Variatia puterii P in functie de timpul tpentru diferite valori pFig. 15 Variatia vitezei v in functie de raza r pentru diferite valori pFig. 16 Variatia Debitului Q in functie de timpul tpentru diferite valori pFig. 17 Variatia puterii P in functie de timpul tpentru diferite valori pB.2. MICAREA NESTAIONAR A UNUI FLUID BINGHAMlAN PENTRU UN TUB DE SECIUNE CIRCULAR CU GRADIENT DE PRESIUNE VARIABIL N TIMPConsiderm o problem similar pentru acelai fluid, dar n cazul cnd gradientul de presiune este variabil n timp.Ecuaia de micare rmne tot ecuaia (53) cu aceleai condiii limit i aceeaidpmetodologie de adimensionalizare conduce n final la ecuaia (64) a crei soluie pentru * ctdxeste (87)( )( )( )( )( )22 21 100 00 0 2 21 11 1'2 2npn np ptRnt tR Rn nn nn n n nd pJ r dr e dd xw J r e J r eJ J Conform relaiei (69) viteza adimensional este (88): ( )( )( )( )( ) ( )22 21 100 00 0 2 21 11 1'2 2 1npn np ptRnt tR Rn nn nn n n nd pJ r dr e dd xv J r e J r e rJ J Dac egalm cu zero derivata dv/drobinem ecuaia (89):( )( )( )( )( )22 21 100 01 1 21 11 1'1 2 2 0npn np ptRnt tR Rn nn nn nd pJ r dr e dd xJ r e J r eJ J + a crei soluie se afl ntre 0 i 1 i este raza adimensional funcie de timp a dopului rigid. Viteza adimensional vpa dopului rezult din (89) substituind r cu r .Este uor de observat c rezultatele obinute coincid cu cele gsite n subcapitolul B l . dac dp*fdx =ct.Debitul de curgere adimensional este dat de (75) i este (90)( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )222102 02 2 2 2 210 0 112 3 02 2112'12 1 03npnpnpntRn p n pnn ntRtRn p n p pnn nJ r drQQ J r J r erw Jd pe dd xJ r J r e rJ 1 ] 1 ](90)Din (78), lund n considerare expresia (88), obinem( )( )( )( )( )22 21 100 01 1 21 11 1'2 2npn np ptRnt tR Rn nn nn n nd pJ r dr e dd xJ r e J r eJ J + (91)i pentru r = r0, t = r0 aceast formul d :( )( )2 210 1001 11 0'2 2n np pnt tR Rn nn nJ r drd pe e dJ d x + (92)Puterea raportat la unitatea de lungime a tubului este :' d P d PQd x d x (93)i depinde de timp prin debitul volumetric i prin gradientul de presiune. Astfel rezult( )( )( )2212 02 211'2npnptRtRpn p nnn nd pe dd x d PJ r J r eJ d x

1

]

( )( )( )( )( )210322 02 2 211' '13npntRp pn p nnn nJ r drd p d pJ r J r e rJ d x d x 111 1 + ]11](94)Cum am menionat n subcapitolul B. l .plecnd de la rezultatele precedente, putem gsi o alt exnresie nentni nnterea P si anume:340 3ppd PP r ld x (95)unde d Pd xare expresia dat de formula (94) i I lungimea tubului. B.2.1. AplicaieCa exemplu, considerm o variaie pulsatorie n timp a gradientului de presiune.0sinmd PA A utd x + (96) undesinmmdpA gdx _ + ,

00dpAdx _

,fiind valoarea medie a gradientului de presiune i 0,mdp dpdx dx _ _ , , amplitudinea sa, iar u este frecvena.Dac notm0mAqA putem scrie( )'1 sinmdpA q utdx +(97)si duD ce introducerea variabilelor adimensionale obinem( )'1 sinmdpA q wtdx + (98)unde020mmrA Agw , 00rw

(99)Prin nlocuire n (88), obinem viteza adimensional( )( )( )( )( )2 21 10 00 00 2 2 31 11 12 2 1n np pn nt tR Rmn pn nn n n nJ r dr J rv J r e AR eJ J _ , ( )( )( )( )220224 4112 sin cos 1np tnRnmpnpn n p nJ rA R ut t e rRR J _ + + , (100)Cu ajutorul relaiei (100), debitul adimensional de fluid (90) are expresia:( )( )( )( )( )( )( )2 2102 202 2 2 2 21 11 12 2 1n np pnt tp pn nR Rp pn n m pn nn n n nJ r drJ r J rQ J r J r e AR eJ J _ 1 ] , ( )( )( )( )( )223 2 2224 41112 sin cos 13np tp pn nRnm ppnpn n p nJ r J rA R ut t e rRR J _ + + , (101)Volumul de fluid care trece prin seciunea transversal ntr-un timp T este0TV Qdt (102)sau sub form adimensional0TV Qdt (103)unde00w TTrPlecnd de la (102) obinem (104) ( )( )( )( )( )( )( )2102 202 2 4 2 31 11 12 1 2npntp pn nRp pp n n m pn nn n n nJ r drJ r J rV R J r J r e ARJ J _ 1 ] , ( )( )( )( )22 223 24 4111 2np tp pn nR pmpnnn n p nJ r J rRT e A RR J 1 _ 1 1+ , ]( )22321 cos 1sin 1 13np tR pnpp nRTuT e r TR 1 _ 1 + 1 , ] n continuare, din (87) i (100) obinem (105)( )( )( )2 211201 211sin cos 2n np pnt tR Rnnnp n nJ r drut t e J r eR J _ + ,( )( )( )( )( )21112 02 24 41 1112 1 2npntpnRm mp pn nn nn n p nJ rJ rAR e A RJR J _ + + , 1 pentru0, 1 r r r efort"1 unitar tangenial adimensional este (106):( )2202 24 41 112 1 2np tRm mp pn nnn n peAR ARR _ + + , ( )( )2 2102011sin cos 2n np pnt tR Rnnp n nJ r drt ut e eR J _ + ,pentru c211 14nn

(107)n final avem (108): ( )( )( )21020211sin cos 1 sinnpntRnmnp n nJ r drt ut e A tR J _ + + ,( )( )( )( )( )( )22 2 2 22 23 4 2 21 112 1np tp p p pn n n nRm mp pn nn n n n pJ r J r J r J rd PAR e ARJ d x R _

+ + , ( )( )( ) ( )2322 21 1 sin3np tRp m pn p nJ r J r e A r t 1 1 1 + + ]1]B.2.2. Rezolvarea numericRezultatele execuiei programului utiliznd metoda reelelor pentru un set de valori iniiale (86) sunt prezentate n tabelele B6-B10 i figurile 18-28.In situaia unui gradient de presiune variabil n timp calculele analitice au condus la obinerea parametrilor hidrodinamici ai micrii (viteza fluidului n raport cu raza, raza dopului rigid, debitul de fluid transportat, efortul de forfecare i puterea necesar) n mod asemntor ca n cazul gradientului constant de presiune.Ca o aplicaie a acestora am considerat o variaie sinusoidal a gradientului de presiune, variaie foarte apropiat de fenomenul nregistrat n practica transportului, unde sunt utilizate pompele cu piston ce dau o asemenea distribuie a presiunii i a gradientului de presiune de timp.Soluiile analitice permit obinerea tuturor parametrilor hidrodinamici, iar rezultatele numerice obinute prin metoda reelelor cu valori ale caracteristicilor reologice ale fluidelor frecvent ntlnite n practica de antier, arat c parametrii hidrodinamici capt n timp anumite pulsaii generate de caracterul de asemenea pulsatoriu al gradientului de presiune.n ceea ce privete dependena parametrilor hidrodinamici fa de caracteristicile reologice ale fluidului, se observ c se pstreaz aceeai variaie ca n cadrul gradientului de presiune constant.Valorile v (r) pentru t=300 sr v r v r v r v0.000 0.134129 0.250 0.134129 0.500 0.134129 0.750 0.1149050.008 0.134129 0.258 0.134129 0.508 0.134129 0.758 0.1128820.016 0.134129 0.266 0.134129 0.516 0.134129 0.766 0.1107570.023 0.134129 0.273 0.134129 0.523 0.134129 0.773 0.1085300.031 0.134129 0.281 0.134129 0.531 0.134129 0.781 0.1062030.039. 0.134129 0.289 0.134129 0.539 0.134129 0.789 0.1037730.047 0.134129 0.297 0.134129 0.547 0.134129 0.797 0.1012430.055 0.134129 0.305 0.134129 0.555 0.134129 0.805 0.0986110.063 0.134129 0.313 0.134129 0.563 0.134129 0.813 0.0958780.070 0.134129 0.320 0.134129 0.570 0.134129 0.820 0.0930440.078 0.134129 0.328 0.134129 0.578 0.134129 0.828 0.0901080.086 0.134129 0.336 0.134129 0.586 0.134129 0.836 0.0870710.094 0.134129 0.344 0.134129 0.594 0.134129 0.844 0.0839330.102 0.134129 0.352 0.134129 0.602 0.134128 0.852 0.0806930.109 0.134129 0.359 0.134129 0.609 0.134026 0.859 0.0773520.117 0.134129 0.367 0.134129 0.617 0.133823 0.867 0.0739090.125 0.134129 0.375 0.134129 0.625 0.133520 0.875 0.0703640.133 0.134129 0.383 0.134129 0.633 0.133115 0.883 0.0667170.141 0.134129 0.391 0.134129 0.641 0.132609 0.891 0.0629690.148 0.134129 0.398 0.134129 0.648 0.132002 0.898 0.0591180.156 0.134129 0.406 0.134129 0.656 0.131294 0.906 0.0551640.164- 0.134129 0.414 0.134129 0.664 0.130484 0.914 0.0511070.172 0.134129 0.422 0.134129 0.672 0.124574 0.922 0.0469470.180 0.134129 0.430 0.134129 0.680 0.128563 0.930 0.0426850.188 0.134129 0.438 0.134129 0.688 0.127450 0.938 0.0383190.195 0.134129 0.445 0.134129 0.695 0.126236 0.945 0.0338530.203 0.134129 0.453 0.134129 0.703 0.124921 0.953 0.0292870.211 0.134129 0.461 0.134129 0.711 0.123505 0.961 0.0246230.219 0.134129 0.469 0.134129 0.719 0.121988 0.969 0.0198660.227 0.134129 0.477 0.134129 0.727 0.120369 0.977 0.0150200.234 0.134129 0.484 0.134129 0.734 0.118649 0.984 0.0100900.242 0.134129 0.492 0.134129 0.742 0.116828 0.992 0.005082Tabel B6Fi g. 18Valorile rd(t)t , srdt, srdt, srdt, srd0.000 1.000000 74.988 0.632813 149.988 0.609375 224.988 0.6015632.332 0.812500 77.332 0.632813 152.332 0.609375 227.332 0.6015634.675 0.765625 79.675 0.632813 154.675 0.609375 229.675 0.6015637.019 0.734375 82.019 0.632813 157.019 0.609375 232.019 0.6015639.363 0.718750 84.363 0.632813 159.363 0.609375 234.363 0.60156311.707 0.703125 86.707 0.632813 161.707 0.609375 236.707 0.60156314.050 0.695313 89.050 0.625000 164.050 0.609375 239.050 0.60156316.394 0.687500 91.394 0.625000 166.394 0.609375 241.394 0.601563" 18.738 0.687500 93.738 0.625000 168.738 0.609375 243.738 0.60156321.082 0.679688 96.082 0.625000 171.082 0.609375 246.082 0.60156323.425 0.679688 98.425 0.625000 173.425 0.601563 248.425 0.60156325.769 0.671875 100.769 0.625000 175.769 0.601563 250.769 0.60156328.113 0.671875 103.113 0.625000 178.113 0.601563 253.113 0.60156330.457 0.671875 105.457 0.625000 180.457 0.601563 255.457 0.60156332.800 0.664063 107.800 0.617188 182.800 0.601563 257.800 0.60156335.144 0.664063 110.144 0.617188 185.144 0.601563 260.144 0.60156337.488 0.664063 112.488 0.617188 187.488 0.601563 262.488 0.60156339.832 0.664063 114.832 0.617188 189.832 0.601563 264.832 0.60156342.175 0.656250 117.175 0.617188 192.175 0.601563 267.175 0.60156344.519 0.656250 119.519 0.617188 194.519 0.601563 269.519 0.60156346.863 0.656250 121.863 0.617188 196.863 0.601563 271.863 0.601563-49.207 0.656250 124.207 0.617188 199.207 0.601563 274.207 0.60156351.550 0.648438 126.550 0.617188 201.550 0.601563 276.550 0.60156353.894 0.648438 128.894 0.617188 203.894 0.601563 278.894 0.60156356.238 0.648438 131.238 0.617188 206.238 0.601563 281.238 0.601563'58.582 0.648438 133.582 0.609375 208.582 0.601563 283.582 0.60156360.925 0.640625 135.925 0.609375 210.925 0.601563 285.925 0.60156363.269 0.640625 138.269 0.609375 213.269 0.601563 288.269 0.60156365.613 0.640625 140.613 0.609375 215.613 0.601563 290.613 0.60156367.957 0.640625 142.957 0.609375 217.957 0.601563 292.957 0.60156370.300 0.640625 145.300 0.609375 220.300 0.601563 295.300 0.60156372.644 0.632813 147.644 0.609375 222.644 0.601563 297.644 0.593750Tabel B7Fig. 19Valorile vd (t )t,sv dt,sv dt,sv dt,sv d0.000 0.000000 74.988 0.109505 149.988 0.126247 224.988 0.1321102.332 0.012294 77.332 0.110685 152.332 0.126785 227.332 0.1323584.675 0.022620 79.675 0.111585 154.675 0.127260 229.675 0.1327447.019 0.031472 82.019 0.111933 157.019 0.127069 232.019 0.1323729.363 0.040137 84.363 0.113070 159.363 0.127644 234.363 0.13268411.707 0.047338 86.707 0.113801 161.707 0.128016 236.707 0.13299314.050 0.053460 89.050 0.114113 164.050 0.127818 239.050 0.13261216.394 0.059598 91.394 0.115224 166.394 0.128423 241.394 0.13298318.738 0.064423 93.738 0.115811 168.738 0.128690 243.738 0.13320921.082 0.068593 96.082 0.116103 171.082 0.128501 246.082 0.13283423.425 0.072985 98.425 0.117171 173.425 0.129128 248.425 0.13325725.769 0.076232 100.769 0.117612 175.769 0.129295 250.769 0.13339628.113 0.079181 103.113 0.117899 178.113 0.129134 253.113 0.13304130.457 0.082460 105.457 0.118918 180.457 0.129775 255.457 0.13350532.800 0.084698 107.800 0.119234 182.800 0.129842 257.800 0.13355635.144 0.086917 110.144 0.119543 185.144 0.129717 260.144 0.13323537.488 0.089485 112.488 0.120516 187.488 0.130358 262.488 0.13373039.832 0.091065 114.832 0.120714 189.832 0.130330 264.832 0.13369442.175 0.092850 117.175 0.121046 192.175 0.130253 267.175 0.13341944.519 0.094944 119.519 0.121954 194.519 0.130880 269.519 0.13393146.863 0.096099 121.863 0.122045 196.863 0.130766 271.863 0.13381249.207 0.097612 124.207 0.122410 199.207 0.130745 274.207 0.13359451.550 0.099367 126.550 Q. 123245 201.550 0.131348 276.550 0.13411053.894 0.100234 128.894 0.123245 203.894 0.131157 278.894 0.13391356.238 4.101602 131.238 0.123649 206.238 0.131199 281.238 0.13376058.582 0.103081 133.582 0.124409 208.582 0.131764 283.582 0.13426760.925 0.103737 135.925 0.124341 210.925 0.131507 285.925 0.13400063.269 0.105020 138269 0.124795 213.269 0.131617 288.269 0.13391965.613 0.106288 140.613 0.125467 215.613 0.132133 290.613 0.13440367.957 0.106803 142.957 0.125341 217.957 0.131824 292.957 0.13407770.300 0.108016 145.300 0.125838 220.300 0.132003 295.300 0.13407172.644 0.109082 147.64 0.126414 222.644 0.132458 297.644 0.134520Tabel B8Fig. 20Valorile Q(t)t, s Q, m3 / s t, s Q, m3 / s t, s Q, m3 / s t, s Q, m3 / s0.000 0.000000 74.988 0.067068 149.988 0.075855 224.988 0.0788732.332 0.008746 77.332 0.067782 152.332 0.076203 227.332 0.0790464.675 0.015552 79.675 0.068272 154.675 0.076486 229.675 0.0793097.019 0.021142 82.019 0.068362 157.019 0.076275 232.019 0.0790009.363 0.026594 84.363 0.069062 159.363 0.076657 234.363 0.07922511.707 0.030976 86.707 0.069442 161.707 0.076868 236.707 0.07943014.050 0.034645 89.050 0.069520 164.050 0.076659 239.050 0.07911816.394 0.038419 91.394 0.070210 166.394 0.077069 241.394 0.07939018.738 0.041273 93.738 0.070492 168.738 0.077206 243.738 0.07953221.082 0.043725 96.082 0.070570 171.082 0.077012 246.082 0.07922923.425 0.046414 98.425 0.071242 173.425 0.077442 248.425 0.07954025.769 0.048282 100.769 0.071428 175.769 0.077506 250.769 0.07961928.113 0.049992 103.113 0.071520 178.113 0.077338 253.113 0.07933530.457 0.051994 105.457 0.072167 180.457 0.077782 255.457 0.07967832.800 0.053232 107.800 0.072268 182.800 0.077775 257.800 0.07969035.144 0.054505 110.144 0.072385 185.144 0.077641 260.144 0.07943537.488 0.056064 112.488 0.073004 187.488 0.078087 262.488 0.07980139.832 0.056893 114.832 0.073028 189.832 0.078013 264.832 0.07974942.175 0.057912 117.175 0.073176 192.175 0.077921 267.175 0.07953344.519 0.059173 119.519 0.073756 194.519 0.078359 69.519 0.07991246.863 0.059736 121.863 0.073711 196.863 0.078224 271.863 0.07979849.207 0.060606 124.207 0.073895 199.207 0.078180 274.207 0.07962751.550 0.061650 126.550 0.074428 201.550 0.078602 276.550 0.08000953.894 0.062034 128.894 0.074325 203.894 0.078413 278.894 0.07983856.238 0.062827 131.238 0.474550 206.238 0.078421 281.238 0.07971958.582 0.063698 133.582 0.075031 208.582 0.078816 283.582 0.08009460.925 0.063956 135.925 0.074884 210.925 0.078582 285.925 0.07987263.269 0.064708 138.269 0.075153 213.269 0.078645 288.269 0.07980965.613 0.065440 140.613 0.075573 215.613 0.079004 290.613 0.08016567.957 0.065616 142.957 0.075393 217.957 0.078734 292.957 0.07990070.300 0.066341 145.300 0.075703 220.300 0.078853 295.300 0.07989772.644 0.066944 147.644 0.076057 222.644 0.079167 297.644 0.080225Tabel B9Fig. 21Valorile P(t) t , s Q, m3 / s t , s Q, m3 / s t . s Q, m3 / s t , s Q, m3 / s0.000 0.000000 74.988 0.067068 149.988 0.075855 224.988 0.0788732.332 0.008746 77.332 0.067782 152.332 0.076203 227.332 0.0790464.675 0.015552 79.675 0.068272 154.675 0.076486 229.675 0.0793097.019 0.021142 82.019 0.068362 157.019 0.076275 232.019 0.0790009.363 0.026594 84.363 0.069062 159.363 0.076657 234.363 0.07922511.707 0.030976 86.707 0.069442 161.707 0.076868 236.707 0.07943014.050 0.034645 89.050 0.069520 164.050 0.076659 239.050 0.07911816.394 0.038419 91.394 0.070210 166.394 0.077069 241.394 0.07939018.738 0.041273 93.738 0.070492 168.738 0.077206 243.738 0.07953221.082 0.043725 96.082 0.070570 171.082 0.077012 246.082 0.07922923.425 0.046414 98.425 0.071242 173.425 0.077442 248.425 0.07954025.769 0.048282 100.769 0.071428 175.769 0.077506 250.769 0.07961928.113 0.049992 103.113 0.071520 178.113 0.077338 253.113 0.07933530.457 0.051994 105.457 0.072167 180.457 0.077782 255.457 0.07967832.800 0.053232 107.800 0.072268 182.800 0.077775 257.800 0.07969035.144 0.054505 110.144 0.072385 185.144 0.077641 260.144 0.07943537.488 0.056064 112.488 0.073004 187.488 0.078087 262.488 0.07980139.832 0.056893 114.832 0.073028 189.832 0.078013 264.832 0.07974942.175 0.057912 117.175 0.073176 192.175 0.077921 267.175 0.07953344.519 0.059173 119.519 0.073756 194.519 0.078359 69.519 0.07991246.863 0.059736 121.863 0.073711 196.863 0.078224 271.863 0.07979849.207 0.060606 124.207 0.073895 199.207 0.078180 274.207 0.07962751.550 0.061650 126.550 0.074428 201.550 0.078602 276.550 0.08000953.894 0.062034 128.894 0.074325 203.894 0.078413 278.894 0.07983856.238 0.062827 131.238 0.474550 206.238 0.078421 281.238 0.07971958.582 0.063698 133.582 0.075031 208.582 0.078816 283.582 0.08009460.925 0.063956 135.925 0.074884 210.925 0.078582 285.925 0.07987263.269 0.064708 138.269 0.075153 213.269 0.078645 288.269 0.07980965.613 0.065440 140.613 0.075573 215.613 0.079004 290.613 0.08016567.957 0.065616 142.957 0.075393 217.957 0.078734 292.957 0.07990070.300 0.066341 145.300 0.075703 220.300 0.078853 295.300 0.07989772.644 0.066944 147.644 0.076057 222.644 0.079167 297.644 0.080225Tabel B10Fig. 22 Graficul P(t)Fig. 23 Variatia vitezei v in functie de raza r pentru diferite valori pFig. 24 Variatia Debitului Q in functie de timpul tpentru diferite valori pFig. 25 Variatia puterii P in functie de timpul tpentru diferite valori pFig. 26 Variatia vitezei v in functie de raza r pentru diferite valori pFig. 27 Variatia Debitului Q in functie de timpul tpentru diferite valori pFig. 28 Variatia puterii P in functie de timpul tpentru diferite valori pBIBLIOGRAFIE1. R. Byron Bird, W. Stewart, E. Light-Foot - Transport phenomena, John Wiley and Sons, New York, London, 1960, p91,102-192T. Oroveanu, Al. Stan, V.Talie - Transportul petrolului, Ed. Tehnic, Bucureti 1985, pl35-150M. Macovei - Hidraulica forajului, Ed. Tehnic, Bucureti, 1982, p90-182A.M.P. Skelland - Non-newtonian flow and heat transfer, John Wiley and Sons, New York, 1967M. Albulescu - Contribuii la studiul micrii nestaionare a fluidelor nenewtoniene, Tez de doctorat, UPG Ploieti, 1996T. Oroveanu, Mecanica fluidelor vscoase, cap. 1, Ed. Academiei, Bucureti, 1967W.L. Wilkinson - Non-newtonian fluids, Pergamon Press Inc., New York, 1960I. Creu, M.D. Stan - Transportul fluidelor prin conducte. Aplicaii i probleme, Ed. Tehnic, Bucureti, 1984, Bucureti, 1984