Mecanica Fluidelor

1

MECANICA FLUIDELOR

(note de curs)

NOIUNI DE CALCUL I ANALIZ VECTORIAL

2

I. NOIUNI DE CALCUL I ANALIZ VECTORIAL

Prezentul capitol i propune o succint prezentare a principalelor noiuni de calcul i analiz vectorial, curent utilizate n descrierea micrii fluidelor. 1.1. Noiuni introductive

Marimi scalare sunt mrimile fizice care pot fi caracterizate printr-un numr real. Exemplu: timpul, temperatura, lungimea unui segment, masa, energia etc.

Vectorul este caracterizat prin direcie, sens i modul. Modulul vectorilor este reprezentat prin lungimea segmentului. Exemple: fora, viteza, translaia.

Vectorii se clasific astfel: - vectori echipoleni: doi vectori care au aceiai direcie, sens i

modul; - vector liber: vectorul care reprezint mulimea tuturor vectorilor

echipoleni; - vectori legai: vectori a cror origine nu poate fi schimbat fr a

nceta a mai reprezenta o aceiai mrime fizic. 1.2. Algebr vectorial

1.2.1.

- suma (rezultanta) a doi vectori: Adunarea si scderea vectorilor

baR

+= Suma este cumulativ i asociativ. Compunerea se face dup regula paralelogramului.

Fig.1.1. Adunarea a doi vectori.


3

- scderea este operaiunea invers a adunrii.

baD

= D

este vectorul care adunat cu b

d vectorul a

Fig.1.2. Scaderea a doi vectori

Daca ba

= , diferena este vectorul nul, notat 0

, al crui modul este zero i i direcie nedeterminat. 1.2.2.

Produsul unui vector nmulirea unui vector cu un scalar

a cu un scalar este tot un vector, care se noteaza a sau a avnd sensul lui a cnd > 0 i sensul opus lui a

cnd < 0.

1.2.3.

mprirea se reduce la nmulirea cu

mprirea unui vector cu un scalar

1 .

Daca vectorul a se imparte la modulul su se obine un vector cu

modulul egal cu unitatea, avnd direcia i sensul lui a . Acest vector aa se

numeste versorul lui a . 1.2.4.

Produsul dintre doi vectori poate fi definit n mai multe moduri, astfel:

Produsul vectorilor.

- produsul scalar a doi vectori a i b

se noteaza cu ba .

Rezultatul este un scalar. cosabba =

, unde este unghiul dintre cei doi vectori. Dac cei doi vectori sunt colineari, produsul lor scalar se reduce la

ab , dup cum cei doi vectori au acelai sens sau sensuri opuse.


4

Produsul scalar este comutativ i distributiv fa de adunare: cabacba

+=+ )( .

nmulirea cu un scalar se poate reduce la nmulirea unuia dintre vectori cu acel scalar:

)()()( bababa

== - produsul vectorial a doi vectori a i b

se noteaz ba

,

reprezentnd aria orientat a paralelogramului format de cei doi vectori (Fig. 1.3)

Fig.1.3. Produsul vectorial a doi vectori.

Produsul vectorial se reprezint printr-un vector cu urmatoarele nsuiri:

- este perpendicular pe planul determinat de a i b

; - este dirijat n sensul pozitiv fa de sensul indicat de a pentru

parcurgerea conturului paralelogramului determinat de a i b

; - modulul su. sinabba =

este aria paralelogramului

construit pe a i b

ca laturi. Produsul vectorial este anticomutativ: )( baab

= , deoarece a

i b

indic parcurgerea conturului n sensuri opuse. nmulirea unui produs vectorial cu un scalar se poate face astfel:

)()()( bababa

== Produsul vectorial este distributiv fa de adunare:

cabacba

+=+ )( Modulul produsului vectorial este mai mic sau cel mult egal cu

produsul modulelor: ababba = sin


5

Dac doi vectori sunt colineari, 0sin = iar produsul lor vectorial este nul.

Dac a i b

sunt perpendiculari, ab= ba

. Dac sunt i unitari,

produsul lor vectorial este un vector unitar. n cazul triedrului kji

,. , format din vectori unitari i ortogonali

vom avea: 1=== kkjjii

0=== ikkjji

kkjjii

== = 0 kji

= , ikj

= , jik

= Proprietatea de distributivitate permite ca produsul vectorial a dou

sume de vectori s se efectueze la fel ca produsul a dou polinoame, cu restricia de a pstra ordinea factorilor, deoarece produsul vectorial nu este comutativ.

Versorul normalei la planul determinat de a i b

poate fi reprezentat prin:

baban

=

Expresia cartezian a produsului vectorial se poate scrie ca un determinant simbolic:

321

321

bbbaaakji

ba = .

Produsul a trei vectori: cabcba )cos()( =

1.2.5.

Produsul mixt format din trei vectori Produsul mixt

cba ,, , n aceast ordine este

produsul )( cba i reprezint volumul paralelipipedului construit cu

cba ,, ca laturi luat cu semnul + sau -, dup cum a i cb

sunt de

aceiai parte a planului determinat de b

i c sau de pri opuse. Produsul mixt se noteaza:

cbacbacba )()( ==


6

Daca ntr-un produs mixt se permut doi termini ntre ei, produsul mixt i schimb semnul:

abcbcacabcba

=== Permutarea circular a celor trei vectori nu schimb produsul mixt:

bacacbcba

== Prin nmulirea unuia din vectori cu un scalar , produsul mixt se

nmulete cu acel scalar: )]([])[())(( cxbacxbacba

== )( cba

=

Din interpretarea geometric a produsului mixt rezult c trei vectori sunt coplanari numai atunci cnd produsul lor mixt este nul.

Expresia carteziana a produsului mixt se poate scrie sub forma de determinant:

321

321

321

cccbbbaaa

cba =

1.2.6.

Dublul produs vectorial Dublul produs vectorial.

)( cba este un vector perpendicular pe

cb , astfel:

cbabcacba )()()( = sau, analog

acbbcacba )()()( = .

1.3. Analiz vectorial

1.3.1.

Exemplu: vectorul viteza Diferentiala.

V

(x,y,z,t) are difereniala de forma:

dzzVdy

yVdx

xVdt

tVVd

+

+

+

=

.

Dac t este variabil independent, iar x, y, z funcii de t, derivata total a funciei V

are expresia:

tV

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xV

dtVd

+

+

+

=

1.3.2.

Fie o funcie scalar Gradientul

)(P cu dou suprafee de nivel i d+ i un sistem de axe cartezian (fig. 1.4).


7

Fig.1.4. Dou suprafete de nivel infinit apropiate

Din figur se constat:

rdndn = , rdnn

dnn

d

=

=

unde n este vectorul normal la suprafata .const= , r este vectorul de poziie, dzkdyjdxird

++=

Prin definiie:

zk

yj

xi

nngrad

+

+

=

=

Introducnd operatorul nabla:

zk

yj

xi

+

+

=

se poate scrie =grad

Reguli de calcul: gradgradgrad +=+ )( gradgradgrad +=)(

gradddFgradF =)(

1.3.3.

Fluxul total Divergena.

al cmpului vectorial V

printr-o suprafa nchis care mrginete un volum se numete productivitatea volumului .

Raportul reprezint productivitatea medie a unitii de volum, iar limita acestui raport cnd toate punctele suprafeei tind ctre un punct interior P, se numete divergena cmpului vectorial V

n punctul P.


8

zw

yv

xu

zVk

yVj

xViVdiv

+

+

=

+

+

=

unde wvu ,, sunt proieciile lui V

pe cele trei axe. 1.3.4.

Dac o curb nchis C care nconjoar punctul P, situat n planul curbei C, delimiteaz suprafaa S, limita raportului dintre circulaia pe curba C i suprafaa S cnd toate punctele curbei C tind ctre P, este proiecia unui vector pe direcia normalei la suprafaa S care se numete rotorul cmpului

Rotorul

V

n punctul P:

zVk

yVj

xViVrot

+

+

=

Rotorul vectorului V

mai poate fi scris sub forma unui determinant simbolic:

wvuzyx

kji

Vrot

=

,

unde wvu ,, sunt proieciile lui V

pe cele trei axe.

Fig.1.6. Volum elementar pentru calculul rotorului vectorului V

Utiliznd operatorul nabla: VVrot

=


9

Operaiile grad, div i rot au proprieti de asociativitate. Exista egalitile:

+= )( VVV

+= )(

VVV

+= )( 0)( = 0)( = V

abbaba )()()( =

babaababba )()()()()( +=

VVV

2)()( = abbaabbaba

)()()()()( +++= Se mai poate scrie:

== 2)( , VV

=)( unde este operatorul lui Laplace,

22

2

2

2

2

zyx

+

+

=

Dac r

este vectorul de poziie: VrV

=)( ,

3=r , 0= r ,

03 =

rr

Dac i V

nu depend de timp: = rdd ,

VrdVd )( = .

Dac i V

depind de timp se mai aduag derivatele pariale n funcie de timp ale lui i V

.

NOIUNI INTRODUCTIVE

10

II. NOIUNI INTRODUCTIVE

2.1 Generaliti

Mecanica teoretic definete dou categorii de corpuri: solide (rigide i deformabile) i fluide (lichide i gaze).

Mecanica fluidelor studiaz legile de echilibru i micarea acestora, precum i interaciunea lor cnd intr n contact cu corpurile solide.

Mecanica fluidelor se mparte n trei pri: - Statica fluidelor - studiaz legile i condiiile de echilibru ale

fluidelor i aciunea lor asupra solidelor cu care intr n contact; - Cinematica fluidelor - studiaz micarea acestora fr a ine cont de forele care ar putea interveni s modifice starea de micare; - Dinamica fluidelor - studiaz legile de micare ale fluidelor i interaciunea lor cu corpurile solide.

O particularitate distinctiv a fluidelor n raport cu corpurile solide este fluiditatea lor, cu alte cuvinte au o rezisten nesemnificativ la forfecare iar la cea mai mic deformaie, forele de rezisten ale fluidelor tind ctre zero. Deci sub aciunea unor fore exterioare relativ mici, pot cpta deformaii mari, lund forma recipientului solid n care se gsesc.

Lichidele sunt acele fluide care pot fi considerate, practic, incompresibile, cu alte cuvinte dependena dintre densitate i presiune poate fi neglijat. Nu acelai lucru se ntmpla cu gazele.

Fluidele sunt studiate n Mecanica fluidelor ca medii continue, omogene i izotrope. Un mediu este continuu i omogen, dac are aceiai densitate n orice punct i este izotrop dac prezint aceleai proprieti n toate direciile. Exist puncte, linii sau suprafee de discontinuitate n fluide, care prezint condiii specifice la limit. 2.2 Particula fluid

Mecanica fluidelor face abstracie de structura acestora, considernd fluidul un mediu continuu. Teoretic, acesta poate fi mprit n elemente orict de mici. Astfel se obine particula de fluid, de form oarecare i de dimensiuni arbitrar de mici, care pstreaz caracteristica de mediu continuu n raport cu care se studiaz repausul i micarea acestuia. Mrimile fizice (vitez, presiune, densitate, etc.) la un moment dat t sunt cele msurate n centrul de mas al particulei.

NOIUNI INTRODUCTIVE

11

Omogenitate i izotropia permit ca relaiile stabilite pentru particula de fluid s fie extinse la ntreaga mas a fluidului. 2.3 Modele de fluid

n Mecanica fluidelor sunt acceptate urmatoarele modele de fluid: - Fluid uor (fr greutate); - Fluid ideal (lipsit de vscozitate, modelul Euler) - Fluid vscos (modelul Newton); - Fluid incompresibil (fr variaii de volum la variaii de

presiune, modelul Pascal) 2.4 Proprietile fizice comune fluidelor

Proprietile fizice infleneaz n mod semnificativ comportarea

fluidelor n starea de repaus i n micare. Ele sunt influenate de forele masice i forele de contact (presiune i tensiune). Cele care influeneaz n mod semnificativ comportarea fluidelor sunt: 2.4.1

Densitatea ntr-un punct oarecare al fluidului se definete ca fiind masa unitii de volum:

Densitatea

Vdmd

Vm

V ..

.

.lim0

=

=

unde: m. este masa unitii de volum V. . n cazul unui fluid omogen, densitatea va fi:

Vm

=.

n Sistemul Internaional (SI) densitatea se msoar n [kg/m3]. 2.4.2

Greutatea specific este proprietatea fluidelor de care depinde mrimea forelor masice sau volumice i se definete ca greutate a unitii de volum:

Greutatea specific

VdGd

VG

V ..

.

.lim0

=

=

n cazul unui fluid omogen, greutatea specific este:

VG

=.

NOIUNI INTRODUCTIVE

12

n Sistemul Internaional (SI) greutatea specific se msoar n [N/m3], iar n sistemul MKfS in [kgf/m3].

Greutatea specific a apei distilate la 4C i la presiunea atmosferic este:

33 10009810 mkgf

mN

==.

Greutatea specific este legat de densitatea prin relaia: g. = .

Pentru lichide, densitatea i greutatea specific sunt practic constante la variaii de presiune i scad nesemnificativ la creterea temperaturii. Tab. 2.1 Greutatea specific a ctorva fluide (dup Cristea Mateescu, 1963)

Fluid Kgf/m3 t0C Fluid Kgf/m3 t0C Apa distilat 1000 4 Tiei 850-900 - Anilina 1022 20 Petrol lampant 90-820 15 Alcool 790 10 Mercur 1596 0 Benzina 640-740 15 Ulei de uns 890-920 - Glicerina pur 1260 0 Clorura de sodiu 1210 17 2.4.3

Compresibilitatea izotermic

Compresibilitatea izotermic este proprietatea fluidelor de a-i modifica volumul sub aciunea variaiei de presiune, la temperatur constant. Compresibilitatea se manifest sub aciunea forelor de suprafa (presiuni). Presiunea care determin modificarea de volum este normal la suprafaa care limiteaz volumul lichidului.

n cazul unei variaii de presiune p. aplicat unui fluid de volum V aflat la presiunea p se va produce o variaie de volum VV / proporional cu variaia de presiune, dup relaia:

pVV

= ..

sau dac variaiile sunt infinitezimale, dup relaia:

dpVdV =

,

unde este coeficientul sau modulul de compresibilitate [m2/N], iar semnul minus arat c la o cretere de presiune i corespunde o scdere de volum.

NOIUNI INTRODUCTIVE

13

Exist fenomene n Mecanica fluidelor care se studiaz innd cont de compresibilitatea lor. Este vorba despre lovitura de berbec sau sonicitatea fondat de Gogu Constantinescu n 1916.

Se mai poate defini i modulul de elasticitate care este inversul modulului de compresibilitate:

dVdpV==

1 ,

care are ca unitate de msur [N/m2]. Relaia poate fi exprimat i funcie de densitatea . Cunoscnd

faptul c masa fluidului este .. constVm == ,

rezult 0=dm . Deasemenea, se poate scrie:

0.. =+ dVdV , de unde rezult:

d

VdV

=.

n acest caz valorile modulelor de compresibilitate i de elasticitate se calculeaz cu relaiile:

dpd

1= ,

ddp

=.

Fluidul al crei variaie a densitii funcie de variaia de presiune este aproximativ egal cu zero este considerat fluid incompresibil.

tiind c viteza de propagare a sunetului, dup Newton, este dat de relaia:

=c ,

se poate deduce:

dpdd

dpc

1==

Analiznd expresia de mai sus, rezult c, dac 0=dpd , viteza sunetului tinde ctre infinit, adic avem de-a face cu o propagare instantanee a sunetului, ceea ce contrazice realitatea fizic. Iat de ce studiul

NOIUNI INTRODUCTIVE

14

fenomenelor de propagare a sunetului necesit luarea n considerare a compresibilitii fluidelor. 2.4.4

Dilataia termic

Odat cu creterea temperaturii unui fluid are loc i o cretere de volum, care poate fi exprimat cu relaia:

= 1VV

, unde 1 este coeficientul de dilataie termic i are dimensiunea invers temperaturi [-1] deci se msoar n [grd-1]. 2.4.5

Adeziunea la suprafee solide

Adeziunea la suprafeele solide cu care fluidul intr n contact este un fenomen asemntor cu coeziunea (atracia dintre particulele vecine). Fora de adeziune depinde de mai muli facori: natura suprafeei, natura fluidului, temperatur. Stratul de fluid aderent la corpurile solide este de ordinul unei sutimi de milimetru i acesta nu particip la micarea fluidului. 2.4.6

Vscozitatea

Vscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune deformrilor ce nu constituie reduceri ale volumului lor, prin dezvoltarea unor eforturi unitare, dintre care cele mai specifice sunt eforturile tangeniale ce se dezvolt ntre straturile de fluid aflate n micare. Putem spune c dac fluidul se afl n micare, n diferite straturi ale sale (plane de separare) apar fore tangeniale, care se opun variaiei formei volumului considerat, frneaz micarea i modific repartiia vitezelor.

Vscozitatea a fost pus n eviden, experimental, de ctre Newton.

Fig. 2.3 Experimentul lui Newton

y

x

h

U(y)

NOIUNI INTRODUCTIVE

15

ntre dou plci de suprafa S dintre care, placa inferioar este fix, iar placa superioar se deplaseaz cu viteza u , se afl lichid. Distana dintre cele dou plci este h.

Lichidul dintre cele dou plci se presupune c este alctuit din mai multe straturi. Stratul adeziv la plac superioar are aceiai vitez cu placa. Atracia dintre acest strat i urmtorul face ca i acesta s fie antrenat cu o vitez mai mic i aa mai departe, pn la stratul aderent la placa fix, care nu se mic.

Experimentul a artat o repartiie liniar a vitezei, care este proporional cu distana y de la placa inferioar

( ) uhyyu =

. Vscozitatea se manifest prin eforturi tangeniale care dau o

rezultant .F ,

SF

=.

Experimental s-a demonstrat c efortul tangenial este proporional cu u/h, rezultnd:

hu =

. Cum distana dintre dou straturi care alunec unul fa de altul cu

viteza relativ du este infinit mic dy, se poate scrie:

dydu

=

Aceast relaie este cunoscut sub numele de ipoteza lui Newton. Mrimea se numete vscozitate dinamic, depinde de natura

fluidului i caracterizeaz vscozitatea acestuia. In Sistemul Internaional se msoar n [kg/m.s = N.s/m2].

Raportul dintre vscozitatea dinamic i densitatea fluidului se noteaz cu i se numete vscozitate cinematic:

=

. Unitatea de msur, n Sistemul Internaional, pentru vscozitatea

cinematic este [m2/s], iar n sistemul CGS este stokes sau [cm2/s]. Vscozitatea cinematic, la lichide, scade cu creterea temperaturii,

n timp ce la gaze, crete cu temperatura.

NOIUNI INTRODUCTIVE

16

2.5 Proprietile fizice specifice fluidelor 2.5.1

Tensiunea superficial

ntre moleculele unui lichid se exercit fore de interacie numite fore de coeziune. Fiecare molecul a lichidului este supus forelor determinate de moleculele nconjurtoare. Pentru moleculele din interiorul lichidului rezultanta acestor fore va fi nul deoarece distribuia acestor fore este uniform n toate direciile. Pentru moleculele de la suprafaa lichidului rezultanta acestor fore nu va fi nul deoarece distribuia acestor fore nu mai este aceeai n toate direciile. Rezultanta acestor fore va fi perpendicular pe suprafaa lichidului i ndreptat spre interiorul acestuia. Stratul de lichid de la suprafa numit strat superficial va exercita deci o anumit presiune asupra lichidului. Grosimea acestui strat precum si presiunea pe care o exercit sunt foarte mici.Aceast presiune explic compresibilitatea redus a lichidelor.

Suprafaa liber este modelat printr-o membran perfect elastic, solicitat n mod uniform de un efort unitar cu intensitate constant, independent de punctul de aplicaie i de direcie.

Datorit interaciei dintre moleculele stratului superficial cu moleculele lichidului i cu moleculele mediului extern, stratul superficial va avea o energie potenial superficial proporional cu suprafaa liber a lichidului. La echilibru, aceast energie trebuie s fie minim, deci i suprafaa liber trebuie s fie minim. De aici rezult c suprafaa de separare lichid-mediu extern se curbeaz, tinznd s devin sferic, la echilibru. Dar o suprafa se menine curb dac asupra ei acioneaz n fiecare punct fore tangente la ea i perpendiculare pe conturul su. Acestea se numesc fore superficiale sau fore de tensiune superficial. Ele sunt deci:

- tangente la suprafaa liber a lichidului, - uniform distribuite pe lungimea conturului, - perpendiculare pe contur. Se poate afirma c fora de tensiune superficial este o for de

tensiune periferic, prin care un volum dat de fluid tinde s capete o ptur periferic minim. Ea exist att la lichide ct i la gaze.

Coeficientul de tensiunea superficial, , este prin definiie fora de tensiune superficial exercitat pe unitatea de lungime de pe suprafa, deci:

lF

=

unde l este lungimea unui contur din stratul superficial pe care se exercit fora F.

NOIUNI INTRODUCTIVE

17

Coeficientul de tensiune superficial se msoar, n Sistemul Internaional, n [N/m].

Coeficientul de tensiune superficial depinde de natura lichidului i scade cu creterea temperaturii. 2.5.2

Capilaritatea

Capilaritatea este o consecin a proprietilor de aderare la suprafeele solidelor cu care fluidele intr n contact precum i a tensiunii superficiale.

Fig.2.5 Denivelarea suprafetei libere n tuburi capilare

Denivelarea h care apare n tuburile capilare este dat, n prim

aproximaie de legea lui Jurin:

grh

...2

=

Pentru lichide neaderente (mercurul fa de sticl), meniscul este convex, iar n tubul capilar se formeaz o denivelare h < 0.

Studiul fenomenelor capilare prezint importan n studiul fenomenelor de infiltraii, n msurtori efectuate cu aparate ce cuprind tuburi capilare. 2.5.3

Absorbia gazelor

Fenomenul n care gazele ptrund prin difuzie n masa unui fluid definete absorbia. Acest lucru se produce n cazurile n care concentraia componentelor gazelor care acioneaz asupra fluidului este mai mare dect cea corespunzatoare gazelor aflate deja dizolvate n fluid. Absorbia crete odat cu creterea presiunii i este caracterizat, n timp, de perioada de semisaturaie i de coeficientul de solubilitate al gazului respectiv.

r

h

r

h

NOIUNI INTRODUCTIVE

18

Perioada de semisaturaie este timpul n care jumatate din cantitatea de gaz a fost absorbit de fluid, iar coeficientul de solubilitate reprezint raportul dintre volumul de gaz dizolvat i volumul de lichid care-l conine. 2.5.4

Degajarea gazelor. Cavitaia

Trecerea gazelor dizolvate n lichide n faz gazoas definete degajarea gazelor (desorbia), fenomenul invers absorbiei. Aceast degajare se produce cnd concentraia gazelor aflate n soluia lichid este mai mare dect concentraia gazelor din afara acesteia. Exist tendina de echilibrare a concentraiilor de gaze.

Cavitaia este fenomenul ce se produce la scderea presiunii pn la nivelul presiunii de vaporizare a lichidului. n aceste condiii, se formeaz caviti (bule) n interiorul lichidului aflat n curgere, care sunt umplute cu gaze continute anterior n lichid, caviti ce implodeaz (surp) cnd lichidul ajunge din nou n zone cu presiuni mai mari dect presiunea de vaporizare din interiorul bulelor.

Acest fenomen de implozie a cavitilor gazoase este nsoit de procese mecanice (presiuni foarte mari, microjeturi), chimice (se degaj oxigen activ), termice (temperaturi locale de mii de grade), electrice (fulgere n miniatur) ce au ca efect distrugerea pereilor solizi ce mrginesc lichidul n zona respectiv.

2.6 Aplicaii

STATICA FLUIDELOR

19

III. STATICA FLUIDELOR

3.1 Definiie i obiect

Statica fluidelor studiaz repausul acestora i aciunea lor asupra corpurilor solide cu care intr n contact.

Problemele ce se studiaz n acest capitol au o larg aplicativitate n practica inginereasc. Sunt foarte importante problemele legate de aciunea fluidului asupra corpurilor solide precum i problemele legate de determinarea presiunii n interiorul unui fluid. 3.2 Forele care acioneaz n interiorul fluidelor

Asupra oricrui sistem de mase izolat acioneaz dou sisteme de fore: fore interioare i fore exterioare. Pentru ca sistemul de mase s fie n echilibru trebuie ca suma acestor fore s fie egal cu zero. ntruct forele interioare sunt egale i de sens opus, nseamn c echilibrul este asigurat cnd suma forelor exterioare este zero.

n fluidele aflate n repaus nu apar fore de vscozitate (tangeniale), acestea fiind condiionate de micare. Prin urmare, relaiile din statica fluidelor sunt valabile att pentru fluidele ideale ct i pentru cele reale.

ntr-un fluid aflat n repaus acioneaz dou fore care l echilibreaz: - forele masice, - forele de presiune. Forele masice se datoreaz prezenei cmpurilor exterioare i sunt

analoage celor din mecanica clasic. Forele masice sunt forele de greutate datorate cmpului gravitaional exterior masei de fluid considerate.

Forele de suprafa au acelai rol ca forele de legtur din mecanica rigidului. Forele de suprafa sunt fore de presiune. Pentru a cunoate natura forelor, acestea se pot transforma n fore exterioare i putem demonstra acest lucru astfel: secionm masa unui fluid n dou pri ca n figura 3.1

Dac ndeprtm masa m2, pentru ca masa m1 s rmn n echilibru, masa trebuie nlocuit cu o for exterioar, care reprezint aciunea masei m2 asupra masei m1. Aceast for raportat la unitatea de suprafa reprezint tensiunea sau efortul interior care acioneaz perpendicular pe suprafa. Dac fora nu ar fi perpendicular pe suprafaa elementar ar admite i o component tangenial, ceea ce nseamn o scoatere din echilibru al masei m1.

n cazul fluidelor, eforturile interioare sunt presiuni, ele definind presiunea hidrostatic.

STATICA FLUIDELOR

20

Fig. 3.1 ntr-un punct oarecare al suprafeei de separare din interiorul unui

fluid n repaus se poate scrie relaia:

dSdF

SFp

S=

= 0

lim

Dac S tinde ctre zero (un punct al seciunii de separare), presiunea este funcie de coordonatele punctului, iar fora elementar de suprafa dF se numete for elementar de presiune.

ntr-un fluid n repaus presiunea este o mrime scalar, ceea ce nseamn c valoarea presiunii nu depinde de orientarea arbitrar a suprafeei S i pentru a demonstra acest lucru se detaeaz din masa de fluid n repaus un tetraedru elementar, ca n figura 3.2.

Fig. 3.2 Normala la suprafaa ABC de arie S este dirijat spre exteriorul

volumului de fluid i face cu axele de coordonate unghiurile ),( xn

),( yn i ),( zn . Forele de presiune pe suprafeele tetraedrului sunt reprezentate n fig.3.2.

Asupra tetraedrului vor aciona forele de presiune px, py, pz i pn precum i fora masic unitar de componente fx , fy i fz, care trebuie s se echilibreze.

Ecuaiile de echilibru pe direcia celor trei axe sunt:

STATICA FLUIDELOR

21

06

.),cos(2

=+dxdydzfxndSpdydzp xnX

0

6.),cos(

2=+

dxdydzfyndSpdxdzp ynY

06

.),cos(2

=+dxdydzfzndSpdxdyp znZ

Deoarece

2),cos( dydzxndS =

2),cos( dxdzyndS =

2),cos( dxdyzndS =

reprezentnd proieciile suprafeei ABC pe planurile oxy, oxz i oyz vom obine relaiile

3. dxfpp xnX =

3. dyfpp ynY =

3. dzfpp znZ =

Trecnd la limit, tetraedul tinznd ctre punctual O, rezult relaiile: px = py = pz =pn = p(O) = p(x,y.z) n concluzie, presiunea nu depinde de nclinarea suprafeei ABC,

deci presiunea ntr-un fluid n repaus formeaz un cmp scalar. 3.3 Ecuaiile fundamentale ale hidrostaticii

Ecuaiile fundamentale ale staticii fluidelor se obin din condiia echilibrrii forelor care acioneaz asupra unei mase oarecare de fluid aflat n repaus. Pentru a demonstra acest lucru, desprindem dintr-o mas de fluid o particul infinit mic de forma unui paralelogram a crui muchii sunt egale cu dx, dy, dz.

STATICA FLUIDELOR

22

ddydxyzOp p p p p p M Fig. 3.3 Particula se gsete n echilibru sub aciunea forelor superficiale de contact i a forelor masice. Considernd c n centrul volumului elementar avem presiunea p variaia ei pe feele paralele pe directia unei axe sunt cu 2xxp , 2yyp i respectiv 2zzp mai mici sau mai mari. Forele superficiale rezult din nmulirea presiunii cu elementul de suprafa. innd cont c asupra elementului de volum acioneaz i forele masice, a caror acceleraie o notm cu f , ecuaiile echilibrului hidrostatic, proiectate pe cele trei direcii sunt: 0.22 =+ + dxdydzfdydzdxxppdydzdxxpp x 0.

22=+

+

dxdydzfdxdzdyyppdxdzdy

ypp y

0.22

=+

+

dxdydzfdxdydzzppdxdydz

zpp z

Dup efectuarea calculelor rezult:

01 =

xpf x

01 =

ypf y

STATICA FLUIDELOR

23

01 =

zpf z

Acest sistem de ecuaii sunt cunoscute sub denumirea ecuaiile lui Euler din hidrostatic.

Forma vectorial a sistemului este:

0.1 = pgradfm

Relaia de mai sus este valabil pentru fluide incompresibile ( = const). n cazul n care densitatea fluidului depinde de presiune ( ( )p = ) ecuaia se scrie sub forma:

0. = dpgradfm

Rezult c n cazul fluidului aflat n repaus, cmpul forelor masice

se scrie sub forma unui gradient al unei funcii scalare, deci este un cmp

potenial sau irotaional ).0.( =mfrot Pentru ca ecuaia: 0.1 = pgradfm

s poat fi integrat este

suficient ca forele masice unitare s constituie un cmp potenial sau irotaional. Notnd cu U(x,y,z) potenialul forelor masice exterioare, vom avea:

Ugradfm .=

sau n coordonate carteziene:

xUfx

=

yUf y

=

zUfz

=

Ecuaia fundamental a hidrostaticii se poate scrie sub forma:

01 =+ gradUgradp

Dac relaia de mai sus se nmulete cu rd va rezulta forma diferenial a ecuaiei hidrostaticii:

01 =+ dUdp

Prin integrare se obine:

STATICA FLUIDELOR

24

.constUdp =+

Pentru fluide incompresibile ( = const) se obine:

.constUp =+

, ceea ce reprezint ecuaia fundamental a

hidrostaticii. 3.4 Expresia potenialului forelor masice

Aa cum s-a artat mai sus, condiia ca un cmp de fore masice s menin un fluid n repaus este ca acesta s fie cmp potenial, adic

Ugradfm .=

. nmulind expresia cu rd vom obine:

( )dzfdyfdxfrdfrgradUddU zyxm ++===

Integrnd rezult: ( ) ++= dzfdyfdxfU zyx .

unde cu fx ,fy i fz s-au notat componentele forelor cmpului potenial pe cele trei direcii. 3.5 Ecuaia fundamental a hidrostaticii n cmp gravitaional

Aciunea forelor masice n cmp gravitaional este un caz particular

al potenialului forelor masice. Considernd acceleraia gravitaional constant i dirijat pe vertical (paralel cu axa oz) componentele forelor masice sunt:

zUgf

ff

z

y

x

==

==

00

Potenialul forelor masice devine:

gdzdzzUdU =

= ,

de unde .constgzU += Ecuaia fundamental a hidrostaticii n cmp gravitaional devine:

.constgzpUp =+=+

n care termenii sunt poteniale de presiune i respectiv de poziie, iar dac se mparte ecuaia la acceleraia gravitaional (g) se obine:

STATICA FLUIDELOR

25

.constzpzgp

=+=+

n care termenii ecuaiei reprezinta nlimi (au dimensiuni de lungime).

n cmp gravitaional suprafeele de presiune constant sunt orizontale. Planele de presiune constant se mai numesc i plane de nivel. Pentru a afla constant din relaia de mai sus se consider un vas cu lichid aflat n repaus (fig.3.4) n care se consider dou puncte A i B, unul la suprafaa lichidului iar cellalt respectiv n interiorul fluidului.

A

BH

h

Plan dereferin

Fig.3.4 Distribuia presiunii ntr-un lichid aflat n repaus

Se scrie ecuaia hidrostaticii pentru cele dou puncte A i B din fluid

BB

AA zpzp +=+

tiind c aA pp = putem calcula presiunea n punctul B, astfel: ( ) hpzzppp aBAaB +=+==

n concluzie, presiunea ntr-un punct oarecare din lichid este egal cu presiunea de deasupra lichidului la care se adaug produsul h , unde h este adncimea la care se msoar presiunea. Pentru lichidele cu suprafa liber, asupra crora acioneaz presiunea atmosferic, mrimea presiunii din interior la o anumit adncime calculat cu relaia hpp a += reprezint presiunea absolut.

n cazul n care se calculeaz presiunea numai pn la nivelul suprafeei libere, cu relaia hp = , presiunea astfel msurat se numete presiune relativ.

n cazul n care ntr-un vas se gsesc mai multe lichide imiscibile (care nu se amestec), aflate n repaus, distribuia presiunilor este aratat n fig. 3.5.

STATICA FLUIDELOR

26

Fig. 3.5 Distribuia presiunilor n cazul a trei fluide imiscibile

3.6 Interpretarea ecuaiei fundamentale a hidrostaticii i consecinele ei

Relaia fundamental a hidrostaticii cu reprezentare geometric este data de ecuaia:

absHconstzp

==+ .

n care:

p reprezint nalimea piezometric,

corespunztoare presiunii absolute p; z este cota geometric (cota fa de un plan de

referin ales arbitrar); absH este sarcina hidrostatic corespunztoare

presiunii absolute. n fig. 3.6 s-a reprezentat un rezervor nchis ce conine un lichid a

crui suprafa liber este supus la o presiune p0 mai mare dect presiunea atmosferic pa.

Cota H ereprezint sarcina hidrostatic corespunztoare presiunii relative p pa.

Dac p pa>0, ceea ce corespunde unei presiuni relative pozitive, aceasta se numete presiune manometric, iar sarcina hidrostatic poart numele de sarcin manometric.

Dac p pa < 0, presiunea relativ se numete presiune vacuumetric, iar sarcina hidrostatic se numete sarcin vacuumetric.

Dac aplicm ecuaia hidrostaticii pentru punctele 3 i 4 (fig.3.6), unde sunt plasate dou tuburi piezometrice deschise la partea superioar (tuburi manometrice) vom avea:

STATICA FLUIDELOR

27

Hzpp

zpp aa =+

=+

4

43

3

pzxH1p2pzzzzapp p H pp 1 2 3 4O Fig.3.6 Reprezentarea geometric i verificarea experimental a relaiei fundamentale a hidrostaticii Consecinele relaiei fundamentale a hidrostaticii - Dac n ecuaia .constUp =+ , n cazul fluidelor incompresibile la p = const, atrage dup sine i U=const, deci suprafeele de presiune constant sunt suprafee echipoteniale (suprafee care au potenialul forelor masice constant). -n repausul fluidelor suprafeele echipoteniale sunt i suprafee izobare. - Fora masic ce acioneaz asupra unei particule de fluid este normal la suprafaa echipotenial (izobar) ce trece prin punctul de aplicaie al forei i este ndreptat n sensul scderii potenialului (sensul creterii presiunii).

STATICA FLUIDELOR

28

- Suprafeele echipoteniale nu se intersecteaz deoarece presiunea fiind o mrime scalar este unic fiecrui punct din mediul fluid. Dac s-ar intersecta ar nsemna ca ntr-un punct din mediul fluid s avem presiuni diferite.

- Dac suprafaa este izobar (p = const) i echipotenial (U = const) rezult c i densitatea pe suprafaa respectiv este constant. n concluzie suprafaa izobar este echipotenial i izodens.

- Din ecuaia lui Clapeyron-Mendeleev a temperaturii RpT =

rezult c, dac p i sunt constante, temperatura este constant, cu alte cuvinte o suprafaa izobar este echipotenial, izodens i izoterm.

- Suprafaa de separare dintre dou lichide imiscibile ( )21 este echipotenial. Acelai lucru se poate spune i despre suprafaa de separare dintre un lichid i un gaz. Considernd c ntre dou puncte infinit vecine ale aceleiai suprafee avem relaia:

dUdUdp 21 == rezult:

( ) 021 = dU de unde dU =0, deci U = const.

- n stare de repaus, suprafaa de separaie dintre dou lichide imiscibile, cu densiti diferite, este o suprafa izobar (echipotenial), adic un plan orizontal.

- Dac forele masice sunt neglijabile n raport cu cele de presiune, presiunea n fluid este constant.

- Dac 0=mf

rezult U = const, de unde, conform relatiei

.constUp =+

, rezult p = const. Aceast consecin poart numele de

principiul lui Pascal (dac ntr-o zona a fluidului are loc o cretere de presiune, aceasta se transmite n toat masa fluidului cu aceeai intensitate). Pe acest principiu funcioneaz mainile hidraulice simple: presa hidraulic, acumulatorul hidraulic, cricul hidraulic, etc. 3.7 Aplicaii 3.7.1. Presa hidraulic

ntr-un fluid greu incompresibil (lichid), aflat n repaus, orice variaie de presiune dintr-un punct oarecare al fluidului, se transmite cu aceeai valoare n toate punctele sale.

STATICA FLUIDELOR

29

Se consider M(x,y,z) i M0(x0,y0,z0), dou puncte ale domeniului de fluid aflat n repaus, pentru care ecuaia repausului, n raport cu un sistem de referin inerial, avnd axa Oz n sensul verticalei ascendente, se scrie:

,)(,)(

000

=+=+

cgzpMcgzpM

sau

( ) 0zzgpp 00 =+ . Se presupune c, datorit unor cauze exterioare, presiunea n punctul

M, crete la valoarea pp + , iar n M0, la valoarea 00 pp + . n noua stare a fluidului se pot scrie relaiile:

,cgzpp)M(,cgzpp)M(

0000

=++

=++

sau:

( ) ( ) ( ) 0zzgpppp 000 =+++ . Comparnd relaiile de mai sus, rezult 0pp = adic orice variaie

a presiunii dintr-un punct al domeniului de fluid se transmite cu aceeai intensitate n oricare punct al lui.

Presa hidraulic ilustreaz, n mod practic, acest principiu (Figura 3.7).

pp

1F

2F h12h

dd

1

2

Figura 3.7 Principiul de funcionare a presei hidraulice

STATICA FLUIDELOR

30

Fora F1, care acioneaz asupra pistonului de diametru d1, realizeaz, n interiorul lichidului, presiunea:

21

1

1

1

dF4

AFp

== .

Aceast presiune, este transmis n toate punctele lichidului i acioneaz asupra pistonului de lucru, de diametru d2, cu fora:

4dpApF

22

22== .

Din relaiile anterioare rezult c raportul dintre forele F1 i F2, este egal cu raportul dintre ptratele diametrelor, adic:

21

22

1

2

dd

FF

= .

Cursele celor dou pistoane fiind h1 i respectiv h2, din conservarea volumului dezlocuit rezult:

2211 AhAh = . Rezult c ntre cursele pistoanelor exist un raport invers

proporional cu cel al ariilor lor, astfel:

22

21

2

1

1

2

dd

AA

hh

== .

3.7.2 Acumulatorul hidraulic

Acumulatorul hidraulic are rolul de a inmagazina energie hidraulic pentru a o restitui, sistemului hidraulic din care face parte, atunci cnd este nevoie, ceea ce confera o continuitate alimentrii echipamentelor i pentru amortizarea oscilaiilor de presiune n timpul funcionrii pompelor hidraulice. 3.7.3 Amplificatorul hidraulic

Amlificatorul hidraulic se utilizeaza n transmisiile i acionrile hidraulice pentru mrirea presiunii. Schema de principu este prezentat in fig.3.8.

STATICA FLUIDELOR

31

Fig.3.8 Amplificator hidraulic. Schema de principiu.

Fora care actioneaz asupra pistoanelor este

44

2

2

2

1dpDpF == ,

de unde rezult

1

2

2 pdDp

=

Rezult c presiunea se amplific cu ptratul raportului dintre

diametrele pistoanelor. 3.7.4. Principiul vaselor comunicante

ntr-un lichid aflat n stare de repaus, suprafeele izobare (echipoteniale) sunt plane orizontale i reciproc.

n figura 3.9, este reprezentat un vas cu dou brae, de seciuni diferite, n care se afl un lichid omogen.

h1

1p2p

2h

NN Figura 3.9

Pe suprafeele libere ale celor dou brae ale vasului, acineaz

presiunile p1, respectiv p2. Deoarece presiunea n planul orizontal N N, este aceeai, se poate

scrie: 11N ghpp += ,

STATICA FLUIDELOR

32

respectiv: 22N ghpp += .

Din relaiile anterioare rezult urmtoarea ecuaie de echilibru: ( )2112 hhgpp = .

n cazul cnd presiunile pe suprafeele libere sunt egale, atunci acestea se gsesc la acelai nivel.(h1 = h2).

O aplicaie practic a acestei consecine se ntlnete la determinarea gradului de umplere a unui rezervor cu ajutorul sticlei de nivel (Figura 3.10).

Figura 3.10 Rezervor cu sticl de nivel

3.7.5. Determinarea densitii cu ajutorul unui tub n form de U

Determinarea densitii unui lichid se poate face ntr-un tub transparent n form de U n care se introduc dou lichide de densiti diferite (Figura 3.11).

Lichidul de densitate mai mare (1), va intra n ambele brae, iar cellalt, de densitate mai mic ( 2), deasupra primului. n planul N N, este aceeai presiune, adic pentru cele dou brae se poate scrie:

22atN

11atN

ghppghpp

+=

+=

STATICA FLUIDELOR

33

Figura 3.11 Din egalitatea celor dou relaii, rezult o legtur simpl ntre

densitile lichidelor i nlimile la care se afl suprafeele libere.

1

2

2

1

hh

= .

n cazul n care una dintre densiti este cunoscut, se poate determina cealalt, prin msurarea celor dou nlimi ale coloanelor de lichid, fa de planul de separaie.

3.8 Presiunea relativ i absolut.

La baza instrumentelor pentru msurarea presiunilor st ecuaia presiunii din hidrostatic.

Diferena de presiune dintre aerul coninut intr-un rezervor i aerul atmosferic se masoar cu un tub n forma de U. (fig.3.9).

STATICA FLUIDELOR

34

Fig.3.9

Revenind la ecuaia fundamental a hidrostaticii scris sub forma:

H.constzg

p==+

i analiznd dimensiunile, se observ c fiecare din

termenii relaiei sunt nlimi. n acest caz, pentru determinarea presiunilor este suficient s se msoare nlimea coloanei de lichid care produce aceeai presiune.

n figura 3.9 s-a reprezentat un rezervor pneumohidraulic, n care se gsete un lichid avnd densitatea , iar la partea su p erio ar o p u ng cu gaz avnd presiunea 01 pp > ( 0p - presiunea atmosferic). Pentru determinarea presiunii n punctul M se utilizeaz dou tuburi: unul nchis i vidat i cellalt deschis la presiunea atmosferic. Dac punctul M ar fi mobil i odat cu el i partea inferioar a celor tuburi, nivelul lichidului n cele dou tuburi i-ar pstra poziia astfel:

n tubul vidat nivelul lichidului se va gsi n acelai plan, denumit plan barometric;

n tubul deschis la presiunea atmosferic nivelul lichidului se va gsi n acelai plan, denumit plan manometric.

Dac notm cu p presiunea n punctul M, se pot scrie urmtoarele relaii:

m0b1 ghpghghpp +==+= Rezult:

gphb

= - nlimea barometric

STATICA FLUIDELOR

35

gpphm

0= - nlimea manometric

zg

pHb += - sarcin barometric

zgppHm +

=

0 - sarcin manometric.

Atunci cnd 0

STATICA FLUIDELOR

36

piezoelectrice ce se bazeaz pe proprietatea unor materiale dielectrice cristaline, care supuse unor aciuni mecanice se ncarc cu sarcin electric.

3.10.1 Instrumente cu lichid

La acest tip de instrumente, presiunea se determin prin coloana de lichid. Acestea constau din tuburi de sticl cu diametre mai mari de 6-7 mm n care se gsete un lichid manometric. Pentru msurarea presiunii relative ntr-un punct se folosesc tuburi manometrice numite piezometre simple. Pentru msurarea diferenei de presiune dintre dou puncte se folosesc piezeometre difereniale.

Tubul piezometric Este un tub vertical nchis i vidat sau deschis la presiunea

atmosferic. Deoarece originea de msur a presiunii poate s fie vidul absolut sau o presiune de referin (ex. presiunea atmosferic) se utilizeaz dou moduri de msurare a presiunii.

mbM ghpghp +== 0

M

hh

Fig. 3.10 Tubul piezometric

Piezometrul cu mercur

STATICA FLUIDELOR

37

M

12hh

Fig.3.11 Piezometrul cu mercur

Pentru piezometrul cu mercur (fig.3.11) se pot scrie urmtoarele

relaii: 21 pp =

ghpp1 += 1Hg02 ghpp +=

ghghpp 1Hg0 += . n consecin, msurnd nlimile h i 1h i cunoscnd tipul

lichidului ( ) se poate calcula presiunea n punctul M. Densitatea mercurului este 3Hg m/Kg13560= . Piezoametrul diferential

Fig.3.12 Piezometrul diferential

STATICA FLUIDELOR

38

n fig. 3.12 s-au fcut urmtoarele notaii: 1robinet de egalizare; 2, 3 robinete ce nchid cele dou ramuri ale tubului cu mercur; 4, 5 robinete de purjare. Notnd cu E i F dou puncte de pe suprafaa de separaie situate n

cele dou ramuri ale tubului cu mercur putem scrie: gxpp EA += ( )hxgpp GB ++=

Cum: hgppp HgGFE +==

nlocuind n prima relaie i scznd membru cu membru primele dou relaii va rezulta:

( )= HgBA hgpp

Micromanometrul diferenial

Fig. 3.13 Micromanometru diferenial

n fig.3.13, notm cu densitatea lichidului din micromanometru, celelalte mrimi utilizate fiind figurate pe desen.

Pentru a calcula presiunea fluidului din recipientul A utilizm urmtorul algoritm:

+=+= singlphgpp r00

( ) 02

0r

2

4dsin

4D

=

Din a doua relaie rezult:

+=sinDd1 2

2

0r

STATICA FLUIDELOR

39

i nlocuind n prima relaie gsim:

++= 2

2

00 Ddsingpp .

n consecin, cunoscnd configuraia geometric a micromanometrului ( )sin,, Dd , tipul lichidului de msur ( ) i msurnd deplasarea acestuia n braul nclinat ( )0 se determin presiunea p a fluidului din recipientul A. 3.11 Repausul relativ al lichidelor n cmp gravitaional, n micare de translaie uniform

Considerm un rezervor prismatic care se deplaseaz uniform

accelerat, cu o acceleraie constant a ca n figura 3.14.pe un plan orizontal. Se constat o nclinare a suprafeei libere.

hagxOab Fig. 3.14 Repausul relativ al lichidului ntr-un rezervor prismatic care se deplaseaz, pe orizontal, uniform accelerat Se spune c un lichid ce se afl ntr-un rezervor este n repaus relativ, dac particulele din compunerea sa sunt n repaus n raport cu sistemul de referen mobil (O,x,y,z) ataat rezervorului. n raport cu un sistem de referin fix, o particula din fluid va avea o vitez absolut tra vvv += unde vr este viteza relativ a particulei fa de sistemul mobil, iar vt este viteza de transport. Acceleraia absolut a particulei va fi: ctra aaaa ++= nmulind relaia de mai sus cu masa fluidului, relaia echilibrului dinamic va fi:

STATICA FLUIDELOR

40

ctra amamamam .... ++= Deci acceleraia absolut va fie egal cu acceleraia relativ plus

acceleraia de transport i acceleraia Coriollis. Pentru ca fluidul s fie n repaus relativ, viteza relativ a particulelor fluidului trebuie s fie nul (

0=rv ) i deci 0=ra i 0=ca , deci vom avea egalitatea:

ta amam .. = 3.11.1 Ecuatiile generale ale repausului relativ n micarea de translaie

Aa cum s-a artat mai sus, condiia ca un fluid s fie n repaus relativ este:

ta amam .. = sau 0.. = ta amam sau 0=+ ia FF , unde aa amF .= este fora absolut format din rezultanta forelor masice i a celor de presiune

ti amF .= este fora de inerie. n aceste condiii ecuaia vectorial a repausului relativ se scrie sub

forma:

im ffpgrad +=.1

unde if este fora de inerie unitar cu 0. =ifrot , deci se poate introduce o funcie de potenial al forelor de inertie unitare ii Ugradf .= . n acest caz relaia fundamental a repausului relativ a lichidelor este :

constUp T =+ unde iT UUU += Consecinele ecuaiei fundamentale a repausului relativ sunt

analoage cu cele ale repausului absolut. Expresia potenialului total se determin din relaia:

Tiiim UgradUUgradUgradUgradff .)(.. =+==+

sau x

Uff TiXX

=+ ; y

Uff TiYY

=+ ; z

Uff TiZZ

=+

deci: ( ) ( ) ( )[ ] +++++= dzffdyffdxffU iZZiYYiXXT Revenim la figura 3.14 i scriem componentele forelor masice i de

inerie: 0=Xf ; 0=Yf ; gfZ =

afiX = ; 0=iYf ; 0=iZf n acest caz:

STATICA FLUIDELOR

41

( ) ++== CgzaxgdzadxUT Relatia fundamental a repausului relativ al fluidelor se poate scrie

sub forma: 1)( Cgzaxp =++

unde constanta C1 se determin scriind relaia ntre un punct oarecare din masa fluidului i punctul A a crui poziie este cunoscut A(b/2; h0) i n care presiunea este 0pp = .

).2/.()( 00 hgbapgzaxp ++=++ Relaia permite determinarea presiunii n orice punct al fluidului. Pe

vertical, repartiia presiunilor este identic cu cea de la repausul absolut. 3.12 Repausul relativ al unui fluid dintr-un rezervor n micare de rotaie uniform

Un alt exemplu de repaus relativ cazul unui rezervor cu lichid, care se rotete n jurul axei sale cu o vitez unghiular constant (fig.3.1 5). La nceputul micrii nivelul lichidului este h0, iar componentele forei unitare de mas sunt: 0=Xf ; 0=Yf ; gfZ =

Forele de inerie au componentele: 2.xfiX = ;

2.yfiY = ; 0=iZf

hgyOhHBAHH Fig.3.15 Repausul relativ i distribuia presiunilor ntr-un cilindru circular ce se afl n micare de rotaie uniform Relaia potenialului total va fi:

STATICA FLUIDELOR

42

[ ] ++=+= CyxzggdzdyydxxUT )(2...22

222

Suprafaa liber a fluidului este un paraboloid de rotaie. Ecuaia de mai sus poate fi scris sub forma:

1

2222

2

2.)(

2. Crzgyxzg ==+

sau 222

2C

grz += care reprezint ecuaia suprafeei libere a lichidului

Se scrie ecuaia de repaus ntre dou puncte cunoscute: A unde z=h, r = 0 i B unde z=H i r =R.

2

22

2C

gRHh ==

Cum volumul de fluid nu se schimb n interiorul recipientului putem spune c volumul iniial este egal cu cel dup ce fluidul n micarea de rotaie, s-a stabilizat:

( )hHRHRhR = 2202 21

sau 02hhH =+ Inlocuind datele de mai sus n relaia lui C2 se obine:

2

22

0 4C

gRhh == sau

gRhH

4

22

0

+=

n acest caz ecuaia suprafeei libere a lichidului, prin nlocuirea lui C2, va avea forma:

0

22

2

22hRr

gz +

=

Ecuaia fundamental a repausului relativ n micarea de rotaie devine:

Crzgp =

+

2.

22

Relaia este valabil pentru orice punct din masa de fluid. Repartiia presiunilor pe pereii recipientului este prezentat n fig.3.15, liniar pe pereii laterali i parabolic pe fundul acestuia. Repartiia pe vertical este aceiai ca n cazul repausului absolut. 3.13 Aciunea fluidelor n repaus pe pereii solizi

STATICA FLUIDELOR

43

Aciunea unui fluid n repaus pe un perete solid se calculeaz

nsumnd forele elementare de presiune.

ndA

Fd

r

0

p

A

Fig.3.16

Considerm o suprafa solid de arie A asupra creia se manifest

aciunea unui fluid aflat n repaus absolut. Pe elementul de suprafa de arie dA fluidul exercit for de presiune elementar:

dAnpFd = unde: n este versorul normalei orientat spre interiorul fluidului (fig. 3.16).

Fie r raza vectoare corespunztoare suprafeei elementare fa de originea O a axelor de coordonate. Momentul n raportul cu O al forei

elementare Fd este: ( )dAnpxrFdxrMd 0 ==

3.13.1

Actiunea fluidelor n repaus pe pereii plani

Dac suprafaa A este plan atunci .constn = i expresiile de mai sus devin:

== A A dAprxnMdApnF 0, Forele elementare de presiune pFd reprezint un sistem de vectori

paraleli care se reduc la o rezultant unic dat de prima relaie din grupul de relatii de mai sus, putndu-se aplica n continuare teorema lui Varignon.

Dac n punctul C, avnd vectorul de poziie Cr , se aplic fora de presiune F , atunci pentru determinarea lui Cr se scrie:

0C MFxr = deci:

( )+= n

dApdAprr

A

AC

STATICA FLUIDELOR

44

Se observ c determinarea punctului de aplicaie al forei de presiune nu este posibil, ceea ce nseamn c fora de presiune este un vector alunector.

Numim centru de presiune punctul din plan prin care trece suportul forei F . Aceasta nseamn

0= i =

A

AC

pdApdArr .

n concluzie, calculul aciunii hidrostatice pe suprafee plane se

reduce la calculul forei rezultante de presiune pF i al poziiei centrului de presiune Cr .

n cazul aciunii fluidelor uoare (p = const.) pe un perete plan avem: pAnF p =

GA

C rAdArr ==

deci fora de presiune este egal cu produsul dintre presiunea fluidului i aria suprafeei peretelui, iar centrul de presiune coincide cu centrul de greutate al acestei suprafee.

Fie o suprafata plana de arie A, ce face parte dintr-un perete plan, inclinat cu unghiul fa de nivelul lichidului (fig.3.17).

Sistem de axe coordinate carteziene xOy ce coincide cu planul suprafeei libere a lichidului, axa Ox fiind situat la intersecia acesteia cu planul nclinat n care se gsete suprafaa A. Un alt sistem cartezian figurat este Oxz1 cu axa z1 pozitiv n jos (fig. 3.17 a). Se presupune c att pe suprafaa liber ct i la exteriorul rezervorului acioneaz presiunea atmosferic p0.

y

x

1z

A

0y

0p0

1z

cz 1

Gz 1

x

'x

1z '1z

C G

dA

n

pF

0h h

pFd

)a )b Fig.3.17

STATICA FLUIDELOR

45

Pentru o suprafa elementar dA situat la adncimea h sub

suprafaa liber presiunea rezultant va fi: ( ) sin100 zghgphgpp ==+=

Rezultanta forei de presiune este: dAzgdF ...=

n cazul suprafeelor plane toate forele elementare sunt paralele ntre ele. Rezultanta lor este:

=S

dSzgF ...

Pentru suprafaa noastr, se transpun coordonatele n planul xoz1 unde sin1zz =

=S

dSzgF .sin.. 1

Integrala S

dSz .1 reprezint momentul static al suprafeei S fa de

axa Ox, egal cu Sz G1 Deci: SzgF G1.sin.. =

sau SzgF G..= unde Gz este distana de la centrul de greutate la suprafaa fluidului, pentru cazul cnd peretele este vertical.

Fora F este perpendicular pe suprafaa S i este dirijat dinspre lichid spre perete.

Pentru calculul coordonatelor punctului de aplicaie al acesteia C, numit centru de presiune, se egaleaz momentul rezultantei F, fa de axa Ox, cu suma momentelor forelor elementare (Teorema Varignon)

=S

C dFzFz 11

innd cont de relaiile anterioare, se poate scrie: =S

GC dSzgSzgz2111 sin...sin..

Sz

dSzz

G

SiC

1

21

=

Relaia de mai sus se poate transforma exprimnd momentul de inerie de la numrtor Ix n funcie de momentul Ixo fa de axa principal de inerie (teorema lui Steiner):

SzII Gxox21+= de unde rezult:

SzIzz

G

xoiGiC

1

+=

n mod similar se obine cealalt coordonat a lui C:

STATICA FLUIDELOR

46

=S

C dFxFx .

Rezult: Sz

IxiG

xziC = sau Sz

Ixx

G

zoxGC

1

1+=

OBSERVAIE: Dac suprafaa S admite o ax de simetrie dup direcia Ox sau Oz, momentul centrifugal luat fa de axele centrale de simetrie este zero i GC xx = .

Se observ c dac 'x sau '1z sunt axe de simetrie, atunci: 0'

1' =zxI i GC xx = .

De asemenea, ntruct momentul de inerie axial 'xI este ntotdeauna

pozitiv GC zz 11 > i GC hh > prin urmare, centrul de presiune este n permanen situat sub centrul de greutate.

Dac suprafaa A este orizontal ( )OyOz = 1;90 , centrul de presiune coincide cu centrul de greutate.

n adevr, deoarece suprafaa A este paralel cu suprafaa liber a lichidului .1 constzz G ==

GA

C rAdArr ==

Considernd nlimea coloanei de lichid de deasupra suprafeei orizontale A egal cu h, modulul forei de presiune ce acioneaz din partea apei pe aceast suprafa este:

ghAF = Formula de mai sus arat c F nu depinde dect de aria suprafeei de

contact a lichidului cu peretele orizontal (A) i de nlimea coloanei de lichid (h), nedepinznd de masa lichidului limitat de suprafaa A.

n mod tradiional, acest rezultat poart numele de paradoxul hidrostatic.

Spre exemplu, dac suprafee orizontale A1, A2 i A3 din figura 3.18 au aceeai arie i nu sunt solidare cu pereii laterali ai vaselor, fiind meninute n repaus de forele 21, FF i 3F , atunci 321 FFF == .

STATICA FLUIDELOR

47

1A 2A 3A

1F 2F 3F Fig. 3.18

Dac la suprafaa liber a lichidului exist presiunea 'p , iar la exteriorul rezervorului presiunea atmosferic p0 ( )0' pp > , atunci ntr-un punct de pe perete situat la adncimea h presiunea de calcul este:

+=+=

gphgpghpp

*

0' unde: 0

'* ppp = .

Analiznd relaiile de mai sus rezult c aceast problem se reduce la cazul particular 0

' pp = studiat mai sus, considerndu-se o supranlare a suprafeei libere a lichidului cu valoarea g/p* .

Pentru un perete dreptunghiular se poate face un calcul grafo-analitic (fig.3.19).

Fig. 3.19 n cazul suprafeei dreptunghiulare fora elementar este:

1dzgzbdF = Rezultanta forelor elementare este:

STATICA FLUIDELOR

48

== 1. zdzgzdFF Sub semnul integral, expresia reprezint aria elementar dA. Suma

lor reprezint aria presiunilor A(AABB), deci: AghF ..=

Coordonata centrului de de presiune zC va fi:

A

dAzzC

= 1

Rezult c fora hidrostatic trece prin central ariei presiunilor. In particular, cnd suprafaa dreptunghiular S ncepe de la nivelul lichidului, aria presiunilor va fi un triunghi.

n acest caz

sin2

..2

1hghF = i 11 32 hz =

3.13.2

Aciunea fluidelor n repaus pe perei curbi deschii

n cazul unei suprafee curbe forele de presiune elementare au direcii diferite. Sistemul acestora va constitui un cmp spaial vectorial care se reduce n orice punct la un torsor format dintr-o rezultant i un moment. Acest torsor este echivalent cu un sistem de trei fore, n general neconcurente paralele cu axele sistemului de coordonate.

Fora de presiune dup o direcie se definete ca fiind rezultanta proieciilor tuturor forelor de presiune elementare pe acea direcie.

0''A

'A A

dv

zdFdF

xdFdA

'B B

xdA

h

x

''BzdA

Fig.3.20

STATICA FLUIDELOR

49

Cu referire la fig. 3.20, am considerat o suprafa generat de o dreapt perpendicular pe planul figurii care contureaz curba, avnd

capetele A i B. Fora elementar de presiune Fd are componentele pe cele dou direcii dFx i dFz care se calculeaz cu formulele:

zz

xxdAhgdAhgdFdAhgdAhgdF

====

sincos

unde dAx i dAz sunt proieciile suprafeei curbe elementare dA dup direciile axelor Ox i Oz.

Proieciile forei de presiune rezultante dup cele dou direcii se calculeaz cu relaiile:

= xA xx hdAgF

= zA zz hdAgF Se observ c hdAz este volumul elementar al coloanei de lichid ce

se sprijin pe suprafaa elementar dA. n consecin, zA zhdA reprezint volumul coloanei de lichid care se

sprijin pe conturul suprafeei curbe. Rezult: zF gV=

Punctul de aplicaie al forei Fx este centrul de presiune a proieciei acestei suprafee pe planul yoz.

Punctul de aplicaie al forei Fz se determin scriind c momentul rezultantei fa de Oy, respectiv Ox este egal cu suma momentelor forelor elementare:

= zCz dFxxF .. i = zCz dFyyF .. vom avea relaiile:

VdVxxC

=. i

VdVyyC

=.

de unde, rezult c fora Fz trece prin centrul de greutate al volumului V. Dac cele doua fore Fx i Fz sunt coplanare, rezultanta lor va fi:

22zx FFF +=

3.13.3

Actiunea fluidelor in repaus pe suprafete curbe deschise

n cazul suprafetelor curbe deschise, presiunea fluidului la nlimea z este p = z i notnd cu , i unghiurile facute de normala exterioar la suprafaa elementar dS cu sensul pozitiv al axelor Ox, Oy i Oz, forele de presiune pe proieciile suprafeelor pe cele trei planuri vor fi (fig.3.21):

cos.. dSgzdFx = cos.. dSgzdFy =

STATICA FLUIDELOR

50

cos.. dSgzdFz = Prin integrare se obine:

=== xGxxxx SzdSzgdFF ,..

=== yGyyyy SzdSzgdFF ,..

==== VgdVgdSzgdFF xzz ..... V fiind volumul delimitat de suprafaa S i suprafaa lichidului.

Fig. 3.21 Forele Fx i Fy se aplic n centrul de presiune al suprafeelor Sx i

Sy, iar fora Fz trece prin centrul de greutate al volumului V. Dac cele trei componente sunt concurente, se compun dup relaia:

222zyx FFFF ++=

n caz contrar ele se pot reduce la o for rezultant i un cuplu resultant.

3.13.4

Aciunea fluidelor n repaus pe suprafee curbe nchise

Fie o suprafa nchis aflat ntr-un lichid i un sistem de referin cu planul xOy situat pe suprafaa liber a acestuia (fig.3.22).

STATICA FLUIDELOR

51

yxzABDCFF Fig. 3.22 Proiecia suprafeelor DAC i DBC pe planul yOz sunt egale. Forele de presiune sunt i ele egale i de sens contrar, deci rezultanta forelor de presiune pe directia Ox este Fx = 0. Acelai lucru se ntmpl i cu proiecia pe planul xOz, deci i Fy = 0. Pentru determinarea lui Fz se proiecteaz suprafeele ABC i ADB pe planul suprafeei libere a lichidului, care coincide cu planul xOy. Notm cu V1 volumul de lichid format de cilindrul cuprins ntre suprafaa ADB i proiecia ei pe planul xOy i cu V2 volumul de lichid cuprins ntre suprafaa ABC i proiecia ei pe planul xOy. n acest caz pe suprafaa ADB va aciona fora F1 = gV1 , iar pe suprafaa ABC fora F2 = gV2 Fora rezultant va fi: F = gV2 gV1 = g(V2 V1) = gV unde V este volumul corpului scufundat. Relaia de mai sus exprim legea lui Arhimede: asupra unui corp scufundat ntr-un fluid se exercit o for ascensional egal cu greutatea volumului de fluid dislocuit. 3.14 Plutirea corpurilor

Asupra unui corp scufundat ntr-un lichid acioneaz dou fore: - greutatea proprie G = mV ,

unde m este greutatea specific medie, i - fora arhimedic FA = VC ,

unde VC este volumul dislocuit de corpul scufundat. Dac FA < G corpul se scufund.

STATICA FLUIDELOR

52

Dac FA = G corpul rmne n echilbru i avem de-a face cu o plutire cunoscut ca plutirea submarin.

Dac FA > G corpul plutete la suprafaa lichidului creindu-i un volum, numit volum de caren (VC). Astfel, condiia de plutire a unui corp este:

G = mV = VC = FA 3.14.1

Elementele hidraulice ale unui plutitor

Plutitorul este un corp solid, care lsat liber se scufund parial ntr-un lichid. Elementele hidraulice ale plutitorului sunt prezentate n figura 3.23.

SCGMRHTx Fig. 3.23 Un corp aflat n plutire are dou pri, o parte sub ap numit parte imers sau caren i o parte deasupra apei numit parte emers. Centrul de greutate al plutitorului se noteaz cu G. Volumul lichidului dislocuit de plutitor se numete volum de caren (VC) Centrul de greutate al volumului de lichid dislocuit de plutitor se numete centru de caren i se noteaz cu C. Adncimea maxim la care se afl carena se numete pescaj (T). Planul suprafeei libere a lichidului se numete planul plutirii. Intersecia dintre planul plutirii i corpul plutitorului definete linia de plutire. Aria suprafeei marginit de linia de plutire se numete aria de plutire. Oscilaiile plutitorului n plan transversal (n jurul axei Oy) se numesc ruliu, iar n plan longitudinal (n jurul axei Ox) se numesc tangaj. La diferite nclinri ale plutitorului, greutatea lui rmnnd aceiai, forma volumului de caren se modific, dar ca mrime este acelai (izocarene). Modificarea formei duce la o alt poziie a centrului de caren.

STATICA FLUIDELOR

53

La inclinrile plutitorului, centrul de caren se deplaseaz pe o suprafa numit suprafaa centrelor de carena (SC). n cazul n care nclinarea plutitorului are loc dupa o singur axa (Ox sau Oy), centrul de caren se deplaseaz pe o curb numit curba centrelor de caren.

Centrul instantaneu de rotaie a centrului de caren n cazul inclinrii dup o singur ax, descriind curba centrelor de caren se numete metacentru (M), iar distana de la centrul de caren (C ) la metacentrul (M) se noteaz cu R i se numete raz metacentric (CM )

Distana de la metacentrul M la centrul de greutate al plutitorului (MG ) se numete nlime metacentric i se noteaz cu H.

Distana de la centrul de greutate al plutitorului la centrul de caren (

CG ) se numete excentricitate i se noteaz cu . 3.14.2

Teoremele plutirii

Teorema a I-a a plutirii (teorema lui Lacroix): Axa de nclinare trece prin centrul de greutate al ariei plutirii

A

A

B

B

E

C

C

D

D

E

x

yz

O Fig. 3.24 Pentru a demonstra aceast teorem s-a prezentat n fig.3.24 un plutitor de form paralelipipedic, care are aria plutirii n planul xOy. Planul plutirii este marcat de dreptunghiul ABCD. Dac se nclin plutitorul cu unghiul , noua arie a plutirii va fi ABCD. Intersecia celor dou plane de plutire se face dupa axa Oy. Deoarece carenele au volume egale nseamn c i volumele EECCDD, pe care-l notm cu V1 i ABEEEAB, pe care-l notm cu V2 sunt egale. n acest caz putem scrie relaiile: = CDEE dStgxV '1 )...(

STATICA FLUIDELOR

54

=ABEE

dStgxV'

2 )...( ,

deoarece pe suprafaa corespunzatoare volumului V2 , x < 0. Din egalitatea celor dou volume rezult:

=+CDEE ABEE

dSxtgdSxtg' '

0...

sau ==ABCD

G SxxdS 0

de unde rezult 0=Gx ceea ce nseamn c axa Oy trece prin centrul de greutate al ariei plutirii.

Teorema a II-a a plutirii (teorema lui Dupin): Planul tangent ntr-un punct C la suprafaa carenelor este paralel cu planul de plutire corespunztor

G2

A

B

A

B

O

TC

C

G1

G2

D Fig. 3.25

Pentru a demonstra acest lucru n figura 3.25 s-a prezentat o seciune

transversal ntr-un plutitor, avnd plutirea iniial AA i centrul de caren n punctul C. Dup nclinarea cu un anumit unghi, noua plutire este BB i noul centru de caren C.

Volumele VAOB i VAOB sunt egale i le notm cu V2. Centrele de greutate ale acestor volume sunt notate cu G2 i respectiv G2. Se mai noteaz:

VBDAO = V1 Deci vom avea V1 + V2 = VC . Fora .V1 se aplic n G1, fora .V2 se aplic n G2, iar fora

STATICA FLUIDELOR

55

VC = (V1 + V2) n 21' GGC (pentru plutirea AOA) astfel nct:

2

1

2

1

1

2

VV

VV

CGCG

==

n mod analog pentru plutirea BOB se obine:

2

1

1

'2

''

VV

GCGC

=

Comparnd cele dou rezultate se poate deduce:

1

'2

1

2

''GCGC

CGCG

=

Rezult faptul c 'CC este paralel cu '22GG . Cnd plutirea BB tinde ctre plutirea AA i G2G2 tinde ctre AA

i CC secant la planul centrelor de caren tinde spre tangenta CT, deci tangenta n punctul care marcheaz centrul de caren este paralel cu linia de plutire.

Teorema a III-a a plutirii (teorema metacentrului): n cazul nclinrilor plutitorului raza metacentric are expresia

C

y

VI

MCR == 000

unde: Iy este momentul de inerie al ariei plutirii n raport cu axa de

nclinare Oy, VC este volumul carenei, R0 este raza metacentric iniial, la plutirea dreapt.

G2A

B

A

B

O

C0

G1

C

M0

Mx0

F1

F2

F y xx dx l(x)O ABdV Fig. 3.26 a) Fig. 3.26 b)

STATICA FLUIDELOR

56

Pentru a demonstra a III-a teorem a plutirii s-a prezentat n figura 3.26 a) un plutitor avnd plutirea iniial AA, centrul de caren n C0 i metacentrul iniial n M0. Dup nclinarea cu ungiul , noua linie de plutire este BB avnd centrul de caren n punctul C i metacentrul n punctul M. Volumul de caren a sczut cu volumul VAOB i a crescut cu volumul VAOB . n centrele de greutate ale celor dou volume acionez forele F1 i F2 egale i de sens contrar. Fora arhmedic acioneaz n centrul de caren. Cuplul de fore F1 i F2 este echivalent cu momentul produs de deplasarea forei arhimedice din punctul C n C.

'.2. 02 CCFxF = Dar, innd cont c:

CVF .=

AOBOBA VVFF .. ''12 ===

sin' CMCC = rezult

sin.2 0C

AOB

VxVCM =

unde: VAOB.x0 este momentul static al volumului AOB n raport cu axa Oy.

Conform figurii 3.26 b) acest moment se poate exprima cu ajutorul unei integrale:

[ ] ====''

' ''2

'' 21).()().(.

OBA

A

O

A

OyOBA IdxxlxdxxlxxdVxV

unde: 'yI este momentul de inerie al ariei plutirii n raport cu axa Oy. n acest caz vom avea:

C

y

VI

CM'

sin

=

Cnd tinde ctre zero, raportul /sin tinde ctre 1, CM tinde ctre C0M0 i obinem teorema metacentrului:

C

y

VI

MCR == 000

3.14.3

Stabilitatea plutirii. Momentul stabilitii

Considerm nclinrile izocarene ale unul plutitor (o nav) n limita unghiurilor mici.

STATICA FLUIDELOR

57

Din punct de vedere al stabilitii transversale o nav se poate gsi n una din situaiile prezentate mai jos:

a) Centrul de greutate se gsete sub centrul de caren. Cnd nava se nclin transversal, centrul de caren se deplaseaz n

poziia C (Fig. 3.27). Momentul cuplului format de fora de greutate, notat cu i fora de mpingere (arhimedic) .V C tinde s aduc nava n poziia iniial, fiind un moment de stabilitate. Nava se afl n acest caz ntr-o situaie de stabilitate transversal excesiv ntlnit la navele unde se iau msuri speciale privind stabilitatea cum sunt navele de sport i agrement.

CC

MG Fig. 3.27 O nav cu stabilitate excesiv execut oscilaii dure pe o mare dezvoltat; adic oscilaii cu perioad mic i frecven mare. n timpul acestor micri apar fore de inerie mari; care pe de-o parte ncarc structural nava, iar pe de alt parte acioneaz asupra mecanismelor, instalaiilor i aparatelor de conducere ale navei, putnd duce la funcionarea defectuoas a acestora. b) n poziia iniial centrul de greutate este situat deasupra centrului de caren. n poziie nclinat transversal, centrul de caren se gsete n C (Fig. 3.28). Momentul cuplului format de fora de greutate i fora arhimedic .VC tinde s aduc nava n poziia iniial fiind un moment de stabilitate.

STATICA FLUIDELOR

58

CC

MG Fig. 3.28 Aceast poziie relativ a celor trei centre, metacentrul transversal M, centrul de greutate G i centrul de caren C, indic o situaie de stabilitate pozitiv i este ntlnit la marea majoritate a navelor. c) n poziia iniial centrul de greutate este situat deasupra centrului de caren. Cnd nava este nclinat transversal, centrul de caren se deplaseaz din C n C astfel nct metacentrul transversal M este poziionat sub centrul de greutate (Fig. 3.29). CCMG CC M G

CV

Fig. 3.29 Fig. 3.30

Momentul cuplului format de fora de greutate i fora arhimedic

.VC este orientat n sensul nclinrii deci este un moment de instabilitate, nava gsindu-se ntr-o situaie de stabilitate negativ.

d) n poziia iniial centrul de greutate se afl deasupra centrului de caren

Pentru o nclinare transversal centrul de caren se deplaseaz din C n C, poziie pentru care metacentrul transversal M coincide cu centrul de

STATICA FLUIDELOR

59

greutate G (Fig. 3.30). n acest caz momentul este nul i nava rmne n poziie nclinat, situaia fiind de asemenea de instabilitate.

Ca o concluzie, innd cont de notaiile elementelor hidraulice ale plutitorului putem scrie c nlimea metacentric H = GM se poate determina n funcie de raza metacentric R = CM i excentricitatea = CG cu relaia:

==C

y

VI

RH

Funcie de mrimea acestei valori se poate stabili dac plutirea este stabil (H > 0), indiferent (H = 0) sau instabil (H < 0). 3.15 Aplicaii

CINEMATICA FLUIDELOR

60

IV. CINEMATICA FLUIDELOR

4.1 Definiie i obiect

Cinematica fluidelor studiaz micarea acestora fr a lua n considerare forele care determin micarea. Se ine cont numai de proprietile geometrice ale micrii. Acest studiu este valabil, att pentru fluidele ideale ct i pentru cele reale.

Studiul cinematicii fluidelor se bazeaz pe ipoteza continuitii acestuia. 4.2 Metode de studiu n micarea fluidelor

Studiul cinematic const n determinarea traiectoriilor, vitezelor si acceleraiilor particulelor de fluid. tiind c masa de fluid este format dintr-un numr foarte mare de particule, studiul poate fi fcut pe o particul, similar cu punctul material din mecanica clasic, i extins la ntreaga mas de fluid. Se disting dou metode de studiu: metoda Lagrange i metoda Euler.

4.2.1 Metoda Lagrange

n metoda Lagrange fiecare particul de fluid este urmrit n micarea sa, ncepnd de la un moment iniial 0t .

y Fig. 4.1 Determinarea micrii prin metoda Lagrange


61

Prin aceast metod se studiaz micarea fiecrei particule de fluid, n raport cu un sistem de referin Oxyz. Poziia particulei depinde de coordonatele iniiale:

),( 0 trrr = sau

),,,( 000 tzyxxx = ),,,( 000 tzyxyy = ),,,( 000 tzyxzz =

Componentele vitezei vor fi:

txu

=

tyv

=

tzw

=

unde s-au notat cu u, v i w proieciile vitezei pe cele trei axe Ox, Oy respectiv Oz.

Componentele acceleraiei vor fi:

2

2

tx

tuax

=

=

2

2

ty

tvay

=

=

2

2

tz

twaz

=

=

Metoda Lagrange este rar utilizat i se folosete numai n cazul micrii unei particule de fluid individualizate. 4.2.2

Metoda Euler.

Aceast metod determin elementele micrii tuturor particulelor care trec printr-un punct din spaiu, funcie de timp. Deci, metoda studiaz cmpul vitezelor n punctele din spaiul fluid n micare i variaia acestora n timp.

Cmpul vitezelor este dat de relaiile: ),,,( tzyxuu = ),,,( tzyxvv =

),,,( tzyxww =


62

sau ),( trVV = , unde x, y, z reprezint coordonatele punctului din spaiu (coordonatele particlulei de fluid).

Componentele vitezei vor fi:

dtdxu =

dtdyv =

dtdzw =

Traiectoria particulei se obine prin integrarea sistemului de mai sus,

rezultnd: ),,,( 000 tzyxxx = ),,,( 000 tzyxyy = ),,,( 000 tzyxzz =

unde 000 ,, zyx sunt constante de integrare ce reprezint coordonatele particulei la momentul iniial t0.

Pentru determinarea acceleraiilor, se deriveaz u, v i w, care sunt funcii de x, y, z i t utiliznd regula de difereniere total.

dzzudy

yudx

xudt

tudu

+

+

+

=

Prin mparire la dt se obin componentele acceleraiei:

zuw

yuv

xuu

tu

dtduax

+

+

+

==

zvw

yvv

xvu

tv

dtdvay

+

+

+

==

zww

ywv

xwu

tw

dtdwaz

+

+

+

==

nmulind relaiile de mai sus cu versorii axelor de coordonate kji ,, i adunnd obinem forma vectorial a acceleraiei:

( )VVtV

zVw

yVv

xVu

tV

dtVda +

=

+

+

+

== .

Acceleraia reprezint derivata total a vitezei i este format din:

- acceleraia local tV i


63

- acceleraia de antrenare (convectiv) zVw

yVv

xVu

+

+ .

Acceleraia local reprezint variaia vitezei n puncte fixe din spaiu.

Pentru a pune n eviden i miscarea de rotaie a particulei de fluid, adunm i scdem la expresiile componentelor acceleraiei urmatorii termini, astfel:

pentru ax termenii: vxv

i wxw

,

pentru ay termenii: uyu i w

yw

pentru az termenii: uzu

i vzv

.

Pe direcia Ox vom obine expresia:

wxww

xwu

yuu

yuw

zuv

yuu

xu

tuax

+

+

+

+

+

=

Fcnd calculele pentru ax i analog pentru celelalte componente, vom obine:

+

++

+

=yu

xvv

xw

yuwwvu

xtuax 2

222

,

+

++

+

=zv

yww

yu

xvuwvu

ytvay 2

222

,

+

++

+

=xw

zuu

zv

ywvwvu

ztwaz 2

222

. Forma vectorial a relaiilor de mai sus este:

VxVrotVgradtVa ++

=2

2

Expresia de mai sus pune n eviden partea potenial, 2

2Vgrad i

partea rotaional VxVrot a acceleraiei convective. 4.3 Clasificarea micrilor 4.3.1 Clasificarea micrii din punct de vedere al variaiei n timp a cmpului de viteze


64

Dac pentru o particul se cunoate n fiecare moment poziia ei, viteza, presiunea i masa specific, se spune c micarea ei este cunoscut. Dac o particul din masa de fluid este definit de coordonatele x, y i z, de vitez, presiune i masa specific, care variaza n timp, se spune c micarea particulei este micare nepermanent sau variat. n acest caz proieciile acceleraiei pe cele trei axe se exprim prin relaiile:

zuw

yuv

xuu

tu

dtduax

+

+

+

==

zvw

yvv

xvu

tv

dtdvay

+

+

+

==

zww

ywv

xwu

tw

dtdwaz

+

+

+

==

Dac mrimile caracteristice particulei de fluid nu variaz n timp, se spune c micarea este o micare permanent sau staionar. n acest caz vom avea:

),,( zyxuu = ),,( zyxvv = ),,( zyxww =

iar viteza local 0=

tV ,

rezult: 0=

=

=

tw

tv

tu

Derivata total a acestor mrimi este diferit de zero deoarece viteza, presiunea i masa specific pot varia la trecerea dintr-un punct n altul, n masa de fluid.

Micarea permanent i uniform este un caz particular al micrii permanente i este caracterizat de faptul c viteza, presiunea i masa specific a unui fluid sunt constante n ntreg domeniul.

n acest caz vom avea:

0===dtdw

dtdv

dtdu

precum i 0=dtdp

; 0=dtd

4.3.2

Clasificarea micrii n funcie de desfurarea n spaiu

Micare monodimensional - viteza poate fi descris cu o singur variabil, exemplu pe direcia Ox, restul fiind nule.

Micarea bidimensional: - viteza poate fi descris cu dou variabile (micarea plan).


65

Micarea tridimensional: - cazul general de micare, ce se dezvolt pe toate cele trei direcii. 4.4 Noiuni specifice micrii fluidelor

Fig. 4.2. Linia de curent

Traiectoria unei particule este drumul parcurs de aceasta. Curentul de fluid este masa de fluid n micare. Linia de curent este linia curb ce urmrete direcia de curgere.

Este tangent la vectorii vitez ai particulei de fluid. In general, linia de curent nu coincide cu traiectoria particulei.

n micarea nepermanent linia de curent i modific forma n timp. n micarea permanent, vectorii vitez au poziii fixe, n fiecare

punct din spaiu i n acest caz liniile de curent coincid cu traiectoriile, rmnnd aceleai n orice moment.

Liniile de curent nu se intersecteaz. Dac s-ar intersecta, ar fi ca i cum o particula s aibe dou viteze diferite n punctul de intersecie.

Ecuatiile difereniale ale liniilor de curent se obtin din condiia ca

vectorul rd s fie paralel cu vectorul vitez, adic

0.. =rdxv sau wdz

vdy

udx

==

Tubul de curent. Liniile de curent ce se sprijin pe un contur nchis formeaz tubul de curent. Prin pereii tubului de curent nu se face schimb de mas. n micarea permanent, tubul de curent i pstreaz forma i dimensiunile, n timp.


66

Fig.4.3 Tubul de curent

Firul de curent este fluidul din interiorul unui tub de curent

elementar, care materializeaz o linie de curent. Vna fluid este alcatuit dintr-o infinitate de fire de fluid. n

general, ntr-o seciunea dreapt a vnei de fluid, distribuia vitezelor este neuniform,

Seciunea transversal (seciunea vie) a unui tub de curent este suprafaa normal pe toate liniile de curent ce strbat tubul.

Raza hidraulic este raportul dintre aria seciunii transversale (A) i perimetrul udat (P), dat de relaia:

PAR =

n cazul micrii fluidului printr-o conduct cu diametrul D, raza

hidraulic este:

41

4

2 DD

DR ==

n cazul canalului dreptunghiular din figura 4.4 raza hidraulic se determin cu relaia:

hbbhR

2+=

h

b

Fig. 4.4 Canal dreptunghiular

Debitul unui curent de fluid printr-o suprafa S este fluxul

vectorului vitez V

, prin suprafaa respectiv.


67

Fig. 4.5 Suprafaa fa de care se calculeaz debitul

Debitul reprezint limita raportului dintre volumul care trece

printr-o suprafa S ntr-un interval de timp t , cnd aceasta tinde ctre zero, adic:

==

=

Sn

St

dSVdSnVt

Q ..lim0

Deci debitul este volumul de fluid ce trece printr-o suprafa n unitatea de timp. Acesta reprezinta debitul volumic.

n afara acestui debit se mai definesc: - debitul masic, calculat cu relaia:

QQm .= - debitul gravimetric, calculat cu relaia:

mg QgQQ .. == Circulatia vitezei de-alungul unei curbe oarecare este:

==AB

tAB

AB dSVdSV .

n cazul n care curba de-alungul creia se face integrala este curba nchis C, circulaia vitezei poate fi exprimat printr-o integral de suprafa. Dac S este suprafaa pe care se sprijin curba C rezultatul este cunoscut sub numele de teorema lui Stokes.

==C S

dSnVrotdSV ....

Vrtejul unei particule de fluid este vectorul definit de relaia:

wvuzyx

kji

Vrot

==21.

21

Vrtejul reprezint viteza unghiular de rotaie a particulei n jurul unei axe ce trece prin central ei de greutate. Componentele sale sunt:

=zv

yw

x 21

=xw

zu

y 21

=yu

xv

z 21


68

Linia de vrtej este curba tangent la vectorii vrtej al particulelor care la un moment dat se gsesc n punctele de pe aceast curb. Ecuaia diferenial a liniilor de vrtej are forma:

0.. =drx sau zyx

dzdydx

==

4.5 Micarea unei particule fluide (Teorema lui Cauchy-Helmholtz)

Micarea unui fluid este mai complicat dect micarea solidului.

Dac micarea solidului se compune dintr-o micare de translaie i una de rotaie, la fluide micarea sufer n plus i o schimbare de form (deformaie).

Pentru a demonstra acest lucru considerm o particul de fluid (Fig. 4.6) care, la un moment dat t cuprinde dou puncte: M(x,y,z), unde viteza V are componentele u, v i w i un punct nvecinat M(x+dx; y+dy; z+dz) unde viteza V cu componentele:

dzzudy

yudx

xuuu

+

+

+='

dzzvdy

yvdx

xvvv

+

+

+='

dzzwdy

ywdx

xwww

+

+

+='

Fig. 4.6 Deplasarea unei particule de fluid

Dac adunm i scdem, la prima ecuaie termenii dyxv

21

i

dzxw

21

putem scrie:


69

dyyu

xvdz

xw

zu

dzxw

zudy

xv

yudx

xuuu

+

+

+

+

+

+

+=

21

21

21

21'

n mod analog se obin i relaiile pentru componentele v i w tiind c:

wvuzyx

kji

Vrot

==21.

21 de unde:

=zv

yw

x 21

=xw

zu

y 21

=yu

xv

z 21

i dac notm:

+

=xv

yuaxy 2

1

+

=xw

zuaxz 2

1

xuaxx

=

acestea reprezint: axy, axz - vitezele specific de deformare unghiular, axx - viteza specific de deformare liniar. Astfel vom obine:

( ) dzadyadxadydzuu xzxyxxzy ++++= ' Componentele v i w se determin n mod analog. Astfel, viteza n punctul M este rezultanta a trei vectori vitez:

- o vitez a crei proiecii pe cele trei axe sunt u, v i w, care corespunde translaiei particulei cu viteza V,

- o vitez de rotaie cu viteza unghiular (x; y; z), - o vitez care corespunde unei deformaii ale particulei

notat Vdef Vectorial, relaia noastr are forma:

defVMMxVV ++= '..' Pentru determinarea semnificaiei lui axx se consider un element de

fluid liniar AA, paralel cu axa Ox, de lungime dx (Fig. 4.7).


70

Fig. 4.7 Deformarea liniar a unei particole de fluid Diferena deplasrilor relative ale captului liniar n intervalul de

timp dt reprezint dilatarea sau contractarea acestuia, astfel:

dxdtxudtudtdx

xuu

=

+ .

Rezult c viteza specific de deformaie liniar este:

dxdtxu

dxdtxuaxx

=

=1

Pentru interpretarea termenilor ayz = azy se examineaz micarea

unei particule de form paralelipipedic a crei seciune n planul yOz este dreptunghiul ABCD (fig 4.8)

Fig.4.8 Deformarea unghiular a unei particule de fluid

ntr-un interval de timp dt, particula se deplaseaz ocupnd poziia

ABCD. Dac anulm translaia i rotaia i aducem particula n poziia ABCD, deplasarea relativ DD se datoreaz diferenei dintre vitezele punctelor A i D, adic

dzzvvv AD

=


71

i are mrimea dzdtzvDD

="

Analog i pentru BB

dydtywBB

="

n ipoteza unei deplasri mici, deformaia medie a unghiului drept BAD este:

dtyw

zv

ABBB

ADDD

+

=

+=+

21""

21)(

21

deci viteza de deformaie unghiular este:

zyayw

zv

dt=

+

=

+

21

21

Rezult c axx , ayy ,azz reprezint vitezele de deformaie liniar iar axy ,axz , ayz sunt vitezele de deformaie unghiular.

Dac revenim la expresiile lui u, v i w, nmulind cu kji ,., putem determina vectorul viteza 'V .

Dac considerm funcia scalar:

( )dydzadxdzadxdyadzadyadxa yzxzxyzzyyxx 22221 222 +++++=

vom

avea: ...' gradrdxVV ++=

Funcia se numete funcie de deformaie, iar cuadrica corespunztoare ei este un elipsoid de deformaie. Se poate formula urmtoarea teorem: Dac se cunoate micarea unei particule fluide )(rM , micarea unei

particule vecine )( rdrM + se compune dintr-o micare de translaie definit de viteza V a punctului M, dintr-o micare de rotaie definit de

viteza unghiular Vrot.21

= n jurul unei axe ce trece prin M i dintr-o

micare de deformaie a cuadricei const= cu centrul n M i care trece prin M, micare compus dintr-o deformaie liniar definit de mrimile axx, ayy, azz i deformaie unghiular definit de mrimile axy ,axz ,ayz Aceasta poart numele de teorema lui Cauchy-Helmholtz.


72

4.6 Ecuaia continuitii (Legea conservrii masei fluidului)

Ecuaia continuitii este expresia matematica a principiului conservrii masei de fluid n micare. 4.6.1

Considerm un fluid compresibil cu Ecuatia contuitii n cazul general

),,,( tzyx = n micare nepermanent cu viteza ),,,( tzyxV . Alegem un volum de form paralelipipedic cu muchiile

Documents

Mecanica Fluidelor