Upload
buiphuc
View
276
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Trenutni pol brzine. Načini njegovog određivanja.
brzina jednaka nuli . Ta tačka nosi nazivtrenutni polbrzine. Kada se zna pravac brzine neke tačke tela, pravaprovučena kroz tu tačku a upravna na vektor brzine moraprolaziti kroz trenutni pol brzineP. Takve prave nazivaćemopotezima do trenutnog pola.Ako se na primeru sa slike znaju pravci brzina tačakaA i B, presekom odgovarajućih potega dolazi se do mesta trenutnogpolaP. Pošto ovi potezi moraju biti upravni na vektore brzina
0=PV
Svako kruto telo koje vrši ravno kretanje, u opštem slučaju, u svakom trenutku, na svom materijalnom ili nematerijalnom delu, ima samo jednu tačku P, čija je
za bilo koju drugu tačku tela, na pimer D (sa slike), pravac je definisan. ...,,,, DBA VDPVBPVAP
rrr⊥⊥⊥
Što se tiče smerova vektora brzina, oni su u skladu sa vektorom ugaone brzine.Ugaona brzina se može dobiti kao količnik intenziteta brzine ma koje tačke telai njenog rastojanja do trenutnog pola
...,====ωDP
V
BP
V
AP
V DBA
a samim tim za intenzitete brzina tačaka važe formule
...,,, ω⋅=ω⋅=ω⋅= DPVBPVAPV DBA
Kao dokaz da se trenutni pol nalazi na presekupotega izrazimo prvo preko :
PVr
AVr
,APAP VVVrrr
+=odakle se zaključuje da je , zbog , iliparalelno sa ili je . Zatim se izražavanjem preko :
PVr
APV AP ⊥r
AVr
0rr
=PV
PVr
DVr
,DPDP VVVrrr
+=dolazi do zaključka da je , zbog , iliparalelno sa ili je . Pošto je nemoguće
PVr
DPV DP ⊥r
DVr
0rr
=PVda istovremeno bude paralelno sa i mora biti Dokaz formula
PVr
AVr
DVr
.0rr
=PVvezanih za ugaonu brzinu tela i intenziteta brzina njegovih tačaka, kao i smerova istih, oslanja se načinjenicu da, zbog , važe vektorskejednakosti:
0rr
=PV...,,, P
DDP
BBP
AP
APA VVVVVVVVrrrrrrrr
===+=Neki specijalni slučajevi:
U prikazanom specijalnom slučaju kada se znaju intenzitetiparalelnih, jednako usmerenih brzina, zajedničkog potegado pola, mesto pola se određuje, kao na slici, povlačenjemprave koja spaja vrhove vektora brzina do preseka sapotegom, gde, na osnovu sličnosti trouglova, važi:
( )BA
BBBA
B
A
VVVAB
PBVABVVPBPB
ABPBVV
−⋅=⇒⋅=−⋅⇒
+=
U prikazanom specijalnom slučaju kada se znaju intenzi-teti paralelnih, suprotno usmerenih brzina, zajedničkog po-tega do pola, mesto pola se određuje, kao na slici, povla-čenjem prave koja spaja vrhove vektora brzina do presekasa potegom, gde, na osnovu sličnosti trouglova, važi:
( )BA
BBBA
B
A
VVVAB
PBVABVVPBPB
PBABVV
+⋅=⇒⋅=+⋅⇒
−=
ABVV
PBV BAB +==ω⇒ U dole prikazanom specijalnom slučaju kada su brzine
paralelne i samim tim potezi takođe paralelni (bezpoklapanja) trenutni pol je u beskonačnosti i važi da jeugaona brzina tela, u datom trenutku, jednaka nuli
.0lim ==ω∞→ AP
VA
AP
ABVV
PBV BAB −==ω⇒
To ima za posledicu da svaka tačka tela, na primer D, imakao vektor istu brzinu kao i tačkaA: ,A
ADAD VVVV
rrrr=+=
.0=ω⋅= ADV AD
jer je Dakle, u takvom specijalnom
slučaju važi: ...==== DCBA VVVVrrrr
Primer 2.15 ŠtapAB vrši ravno kretanje tako što tačka Aklizi po vertikalnom zidu a tačka B po horizontalnom podu. Poznate veličine suVA, l i α. Odreditiω i VB?
α⋅==ω
cosl
V
AP
V AA
α⋅α⋅=ω⋅=
cossin
lV
lBPV AB
horizontalnom podu. Poznate veličinesuVB, l i α. Odreditiω?
.tanα⋅=⇒ AB VV
Primer 2.16 ŠtapABvrši ravno kretanje takošto klizi po ivici C dok njegova tačkaB klizi po
,sin
sinα
=⇒=α hBC
BC
h
BPBC=αsin
,sinsin 2 α
=α
=⇒hBC
BP .sin2 α==ωh
V
BP
V BB
Trenutni pol brzine pri kotrljanju bez klizanja.
,r
VC=ω ,22 CC
B Vr
VrBPV =⋅=ω⋅= .
r
VDPDPV C
D ⋅=ω⋅=
Bilo da se disk (točak, obruč) kotrlja bez klizanja po pravolinijskoj ili krivolinijskoj nepokretnoj podlozi, zbog jednakosti brzina dodirnih tačaka, trenutni pol Pmora biti u tački kontakta gde važi:
Pri kotrljanju bez klizanja po pravolinijskoj podlozi, za po-znato aC i r, ugaono ubrzanje određuje formula .raC=ε
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r
a
r
tat
r
tVt
dt
d
r
tVt CCCC =ε⇒=ε⇒=ω⇒=ω
Pri kotrljanju bez klizanja po krivolinijskoj podlozi, za po-znato aCT i r, ugaono ubrzanje određuje formula .raCT=ε
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r
a
r
tat
r
tVt
dt
d
r
tVt CTCTCC =ε⇒=ε⇒=ω⇒=ω
Takođe znati daje u tom slučaju:
.2
rR
Va C
CN +=
Projektovanjem vektorske jednačine na izabranu x osu, dobija se:
Teorema o projekciji vektora brzina na zajedničku pravu.Za dve tačke koje pri-padaju telu što vrši ravno kretanje proje-kcije vektora brzina na zajedničku pravu mo-raju biti jednake:
Dokaz (donja slika):A
DAD VVVrrr
+=⇒+= 0: AxDx VVx .coscos α⋅=β⋅ AD VV
.coscos α⋅=β⋅ AD VV
Poznato je ubrzanje jedne tačke telau potpunosti (na primer, tačkeA, , zna mu se pravac, smer i inenzitet) a takođe i ugaona brzinaω i ugaonoubrzanjeε tela u datom trenutku. Treba odrediti mesto tačke telaQčije ubrzanje iznosi nula. Ta tačka Q je trenutni pol ubrzanja.
Aar
Položaj tačkeQ u odnosu na tačku Ai vektor određuju ugaoβ i rasto-janje . Tačnije, ako bi se vektor obrnuo oko tačke A u smeru ugaonog ubrzanja ε bio bi usmeren tačno pre-
Aar
AQ Aar
ma tački Q, koja je od tačke A na rastojanju .AQ
,QAT
QANQA aaaa
rrrr ++= ⇒ε⋅=ω⋅== AQaAQaa QAT
QANQ ,,0 2
rr
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ω+ε⋅=ω⋅+ε⋅=+= 42222222AQAQAQaaa Q
ANQATA
⇒ω+ε⋅= 42AQaA
Određivanje rastojanja :AQ
.42 ω+ε
= AaAQ
Trenutni pol ubrzanja.
Određivanje ugla ββββ:
22tanωε=
ω⋅ε⋅==β
AQ
AQ
a
aQAN
QAT
.arctan 2ωε=β⇒
Na osnovu trouglova sa slike imamo da je:
Određivanje ubrzanja ma koje tačke tela kada mu se zna položaj tačke Q, ωωωω i εεεε (samim tim i ββββ):
Pravac i smer vektora ubrzanja neke tačke tela dobijaju se okretanjem za ugao β vektora koji spaja tu tačku sa tačkom Q oko te tačke. Intenzitete vektora ubrzanja tačaka određuju izrazi:
,..., 4242 ω+ε⋅=ω+ε⋅= CQaBQa CB
Centroide. Primer.Telo koje se u ravni kotrlja bez klizanja po nepokretnojliniji vrši opšte ravno kretanje. Svaka tačka omotačatog tela u trenutku kontakta sa nepokretnomlinijom imaće brzinu jednaku nuli i biće tre-nutni pol brzine. Omotačtog telačini skup trenutnihpolova brzine koji, u odnosu na pokretnikoordinatni sistemηAξ, obrazuje pokretnucentroiduCp. Nepokretnu centroiduCn, koja jezapravo pomenuta nepokretna linija, čini skuptrenutnih polova brzine u odnosu na nepokretnikoordinatni sistem yOx.
Svako ravno kretanje može biti predstavljenokao kotrljanje bez klizanja pokretne centroide
parametarskih jednačina tačkeP u nepokretnom i pokretnom koordinatnom si-stemu eliminacijom parametra iz tih jednačina.
po nepokretnoj. Jednačine tih centroida i( ) 0, =PP yxf( ) 0, =ηξ PPg dobijaju se na osnovu odgovarajućih
U parametarskim jednačinama oblikaparametar je ϕ.
( ) ( ) ( ),,, ϕξ=ξϕ=ϕ= PPPPPP yyxx( ),ϕη=η PP
Ukoliko bismo kruto telo koje vrši ravno kretanje kruto spojili sa pokretnomcentroidom, kotrljanjem bez klizanja pokretne centroidepo nepokretnoj telo bi prolazilo kroz potpuno iste položaje kao i kod njegovog originalnog kretanja.
Primer 2.17Za primer ravnog kretanja, gdetačkaA štapaAB, dužinel, klizi po vertikalnomzidu a njegova tačkaB, klizi po horizontalnompodu, odrediti nepokretnu i pokretnu centroidu?
Pokretna centroida:
Nepokretna centroida:
( ) ( ) .cos,sin ϕ⋅=ϕϕ⋅=ϕ lylx PP
( )⇒ϕ+ϕ⋅=+ 22222 cossinlyx PP .222 lyx PP =+
Parametarske jednačine nepokretne centriode:
Eliminacija parametra ϕ:
Korišćena jednakost: .1cossin 22 =ϕ+ϕParametarske jednačine pokretne centriode:
( ) ( ) ( ) ( ) .cossincos,sinsin 2 ϕ⋅ϕ⋅=ϕ⋅ϕ=ϕηϕ⋅=ϕ⋅ϕ=ϕξ lxlx PPPP
Eliminacija parametra ϕ:
Korišćene jednakosti:
( ) ( ) ( ) ⇒ϕ=ϕηϕ−=ϕξ 2sin2
,2cos12
llPP
⇒ϕ=ηϕ−=−ξ 2sin2
,2cos22
lllPP
( ) ⇒ϕ+ϕ⋅
=η+
−ξ 2sin2cos22
222
22
llPP
.22
22
2
=η+
−ξ llPP
( ) ,2sin21
cossin,2cos121
sin2 ϕ=ϕ⋅ϕϕ−=ϕ .12sin2cos 22 =ϕ+ϕ
Izvođenje izraza za i preko , koje je poželjno znati:ϕ2cos ϕ2cosϕ2sin
,1sincos)1 22 =ϕ+ϕ .2cossincos)2 22 ϕ=ϕ−ϕSabiranjem jednačina 1) i 2), dobija se:
( ).2cos121
cos2 ϕ+=ϕ
( ).2cos121
sin2 ϕ−=ϕ⇒ϕ−=ϕ 2cos1sin2 2
⇒ϕ+=ϕ 2cos1cos2 2
Oduzimanjem jednačina 1) i 2), dobija se:
Složeno kretanje tačke. Prenosno kretanje. Relativno i apsolutnokretanje tačke koja vrši složeno kretanje.Ima smisla govriti o složenom kretanju tačke onda, kada postoji kretanje tela, a takođe postoji, kretanje tačke u odnosu na to telo. To pokretno telo u odnosu na koje se kreće tačka zvaćemo prenosni element, a njegovo kretanje zvaćemo prenosno kretanje. U problemima kakve proučavamo u ovom kursu, prenosno kretanje je najčešće ili obrtanje oko nepomične ose ili translatorno ili opšte ravno, zbog čega se dobro mora znati kinematika ovakvih vrsta kretanja tela.
Kretanje tačke, koja vrši složeno kretanje, u odnosu na prenosni element naziva se relativnim kretanjem. Shodno tome, koristićemo se pojmovima: relativna putanja, relativna brzina i relativno ubrznje, koji suštinski predstavljaju: putanju, brzinu i ubrzanje, te tačke koja vrši složeno kretanje, u odnosu na prenosni element (to jest, odnosu na pokretni koordinatni sistem, koji je vezan za prenosni element).
Kretanje tačke, koja vrši složeno kretanje, u odnosu na okolinu koja, uslovnorečeno, miruje naziva se apsolutnim kretanjem. Shodno tome, koristićemo se pojmovima: apsolutna putanja, apsolutna brzina i apsolutno ubrznje, koji sušti-nski znače: putanju, brzinu i ubrzanje te tačke, koja vrši složeno kretanje, u odnosu na okolinu (to jest, odnosu na nepokretni koordinatni sistem, vezan za okolinu).
Na slici je prikazan prenosni element (ploča) koji vrši obrtanje oko nepomične ose, koja je upravna na ravan crteža i prolazi kroz tačku B. Sa prenosnim elementom se zajedno kreće i pokretni koordinatni sistem ηAξ, vezan za njega. Takođe je prikazan i nepokretni koordinatni sistem yOx, fiksiran za nepokretnu okolinu, kao i dve tačke koje vrše složeno kretanje, to su tačke M i N.
Relativno kretanje tačke M je pravolinijsko, s obzirom da se ona kreće po pravolinijskom žljebu urezanom u prenosni element. Relativno kretanje tačke Nje kružno, s obzirom da se ta tačka kreće po kružnom žljebu urezanom u prenosni element. U problemima će biti jako važno primetiti da li je relativna putanja pravolinijska ili krivolinijska, jer od toga zavise važni podaci koji se tiču vektora relativne brzine i relativnog ubrzanja.
Vektori relativne, prenosne i apsolutne brzine i jednakost koja ih povezuje.
Prema teoriji, vektor apsolutne brzine tačke(označavaćemo ga sa , bez indeksa), koja vrši složeno kretanje, jednakje zbiru vektora njene prenosnebrzine (označavaćemo je sa ) i relativne brzine ( ), dakle
Vr
pVr
rVr
rp VVVrrr
+=
Prenosna brzina je brzina one tačkeprenosnog elementa na kojoj se (odnosno, nad kojom se), u posmatranom trenutkuvremena, nalazi tačka koja vrši složeno
pVr
kretanje.
Ako saM’ označimo tu tačku prenosnog elementa nad kojom se u posmatranomtrenutku vremena nalazi tačkaM, koja vrši složeno kretanje, onda je jasno da je vektor prenosne brzine jednak vektoru brzine tačkeM’ , dakle .Mp VV ′=
rr
Pošto prenosni elementi na ovim slikama vrše obrtanja oko nepomičnih osa, pravci prenosnih brzina su upravni na duži , dok su im smerovi u skladu sa smerovima ugaonih brzina ω prenosnih elemenata.
Mp VV ′=rr
BM
Za relativnu brzinu je veoma važno primetiti da li je relativna putanja pravolinijska ili krivolinijska. Ako je pravolinijska, pravac vektora relativne brzine mora biti isti kao i pravac pravolinijske relativne putanje (Sl.1). Ako je relativna putanja krivolinijska, pravac vektora relativne brzine mora se poklopiti sa pravcem tangente na relativnu putanju (Sl.2).
rVr
rVr
Ako je zadata jednačina pravolinijskog relativnog kretanja (Sl.1) intenzitet relativne brzine dobija se prvim izvodom relativne pravolinijske koordinate po vremenu, dakle . Vektor je istog smera kao i porast koordinate s, ako je u tom trenutku , dok je vektor suprotnog smera u odnosu na smer porasta koordinate s, ako je u tom trenutku .
( )ts
sVr &= rVr
0>s& rVr
0<s&
Isto tako, ako je zadata jednačina krivolinijskog relativnog kretanja (Sl.2), imamo da je , gde smer vektora , kao i kod relativne pravolinijske koordinate, zavisi od toga da li je, u tom trenutku, pozitivno ili negativno.
sVr &=( )ts
rVr
s&
Ako se za kružno relativno kretanje ne zada koordinata već odgovarajuća relativna ugaona koordinata , kao na slici 2 (prethodni slajd), gde spredstavlja dužinu kružnog luka nad uglom ψ, onda je pogodno iskoristiti formulu kako bi znali .( )ts
( )ts( )tψ
( ) ( )tRts ψ⋅=Vektori relativnog, prenosnog, Koriolisovog i apsolutnog ubrzanja tačkekoja vrši složeno kretanje i jednakost koja ih povezuje.Prema teoriji, vektor apsolutnog ubrzanja tačke (označavaćemo ga sa , bezindeksa), koja vrši složeno kretanje, jednak je zbiru vektora njenog prenosnog(označavaćemo ga sa ), relativnog ( ) i Koriolisovog ( ) ubrzanja, dakle:
ar
par
rar
corar
.corrp aaaarrrr ++=
Prenosno ubrzanje je ubrzanjeone tačke prenosnog elementa nakojoj se (odnosno, nad kojom se), u posmatranom trenutku vremena, nalazi tačka koja vrši složenokretanje.
par
Ako saM’ označimo tu tačku prenosnog elementa nad kojom se u posmatranomtrenutku vremena nalazi tačkaM, koja vrši složeno kretanje, onda je jasno da je vektor prenosnog ubrzanja jednak vektoru ubrzanja tačkeM’ , dakle .Mp aa ′= rr
Ako prenosni element vrši obrtanje oko nepomične ose, vektor ubrzanja tačke M’ , nad kojom se nalazi tačka M, koja vrši složeno kretanje, mora biti razložen na normalnu i tangencijalnu komponentu. S obzirom da bi u takvom slučaju imali da je , samim tim bi pisali:TMNMM aaa ′′′ += rrr
pTpNp aaarrr += gde je ,NMpN aa ′= rr
.TMpT aa ′= rr
Za relativno ubrzanje je veoma važno primetiti da li je relativna putanja pravolinijska ili krivolinijska. Ako je pravolinijska, pravac vektora relativnog ubrzanja mora biti isti kao i pravac pravolinijske relativne putanje (Sl.1-prethodni slajd). Ako je relativna putanja krivolinijska, pravac tangencijalne komponente vektora relativnog ubrzanja mora se poklopiti sa pravcem tangente na relativnu putanju (Sl.2- prethodni slajd). Ali, osim tangencijalne komponente vektor ima i svoju normalnu komponentu , koja je usme-rena ka centru krivine relativne putanje i čiji je intenzitet određen formulom
rar
rTar
rar
rNar
,2
k
rrN R
Va = gde je poluprečnik krivine relativne putanje. kR
U velikom broju primera relativna krivolinijska putanja je kružna pa je u takvom slučaju jednako poluprečniku kruga R relativne kružne putanje. U takvom slučaju vektor je usmeren ka centru tog kruga.
kRrNar
Ako je zadata jednačina pravolinijskog relativnog kretanja (Sl.1), intenzitet relativnog ubrzanja dobija se drugim izvodom relativne pravolinijske koordinate po vremenu, dakle Vektor je istog smera kao i porast koordinate s, ako je u tom trenutku , dok je vektor suprotnog smera u odnosu na smer porasta koordinate s, ako je u tom trenutku .
( )ts
( )ts .sar &&= rar
0>s&& rar
0<s&&Isto tako, ako je zadata jednačina krivolinijskog relativnog kretanja (Sl.2), intenzitet tangencijalne komponente relativnog ubrzanja takođe se dobija drugim izvodom relativne krivolinijske koordinate po vremenu, dakle
( )ts
( )ts.sarT &&=
Vektor je istog smera kao i porast koordinate s, ako je u tom trenutku dok je vektor suprotnog smera u odnosu na smer porasta koordinate s, ako je u tom trenutku .
rTar
,0>s&&
rTar
0<s&&
gde je vektor ugaone brzine prenosnog elementa .
Prema teoriji Koriolisovo ubrzanje određuje formula ,2 rcor Varrr ×ω=
( )pω=ω rrωr
Pravac i smer vektora ugaone brzine određuje pravilo desne ruke (Sl.1)
ωr
U cilju određivanja pravca i smera Korioli-sovog ubrzanja treba uočiti ravan π koju obrazuju prvi i drugi u vektorskom proizvodu (Sl.2 i Sl.3). Zatim se pravilom desne ruke odrede pravac i smer Korioli-sovog ubrzanja (Prste desne ruke postaviti u ravni π tako da su prsti usmereni od prvog vektora u vektorskom proizvodu ka drugom najkraćim putem. Palac desne ruke pokazaće pravac i smer Koriolisovog ubrzanja).
Intenzitet Koriolisovog ubrzanja:
θ⋅⋅ω⋅= sin2 rcor Va
U takvom slučaju (Sl.4-prthodni slajd), pravac i smer Koriolisovog ubrzanja mogu se dobiti, okretanjem vektora u smeru ω za .
U slučaju kakvi se često sreću u praksi, kada je u pitanju ravanski mehanizam, gde je vektor upravan na ravan crteža, a u samoj ravni crteža leži vektor ugao θ je i samim tim, intenzitet Koriolisovog ubrzanja je
ωr
090
090 .2 rcor Va ⋅ω⋅=
corar
rVr
POTVRDA JEDNAKOSTI corrprp aaaaVVVrrrrrrr
++=+= I
KADA PRENOSNI ELEMENT VRŠI OPŠTE RAVNO KRETANJEZA SLUČAJ
,rVr
Relativna brzina i relativno ubrzanje: ,21 eeAMrrr η+ξ=ρ=
2121 , eeaeeV rr
r&&
r&&rr&
r&r
η+ξ=η+ξ=Koriolisovo ubrzanje:
⇒ϕ=ω×ω= 3,2 eVa prpcor
r&
rrrr
0
002321
ηξϕ=
&&
&
rrr
reee
acor ηξϕ−=
&&
rr
&212
ee
( ) ⇒ξ−ηϕ−= 212 eeacor
r&r&&
r
21 22 eeacor
r&&r
&&r ξϕ+ηϕ−=
Prenosna brzina i prenosno ubrzanje:B
MA
BApA
BABB
MBMp VVVVVVVVVVV ''' ,rrrrrrrrrrr
++=⇒+=+==
⇒ϕη−=ϕξ= 1'2, eVeV BM
AB
r&
rr&
r
12 eeVV Ap
r&
r&
rrϕη−ϕξ+=
BTM
BNM
ABT
ABNAp
ABT
ABNAB
BTM
BNMBMp aaaaaaaaaaaaaaa ''''' ,
rrrrrrrrrrrrrrr ++++=⇒++=++==
⇒ϕη−=ϕη−=ϕξ=ϕξ−= 1'22
'212 ,,, eaeaeaea B
TMB
NMABT
ABN
r&&
rr&
rr&&
rr&
r
122
212 eeeeaa Ap
r&&
r&
r&&
r&
rr ϕη−ϕη−ϕξ+ϕξ−=
Na Sl.2 prikazani su pravci i smerovi vektora ,, '
BM
AB VV
rr
,i,, ''B
TMB
NMABT
ABN aaaa
rrrr
čiji intenziteti su:
,, ' ϕη=ϕξ= &r
&r
BM
AB VV
., '2
' ϕη=ϕη= &&&B
TMB
NM aa
,,2 ϕξ=ϕξ= &&&ABT
ABN aa
'Mp VVrr
='Mp aa
rr =
Apsolutna brzina i apsolutno ubrzanje:
⇒η+ξ+η+ξ+=
⇒η+ξ+=
η+ξ+=⇒η+ξ=ρϕ−=ϕ=ρ+==
2121
21
2121
1221 ,,,
eeeeVV
eerrdt
d
eerree
eeeerrr
A
A
A
AM
r&
r&&r
&rrr
rrrr
rrrrrrr
r&&
rr&&
rrrrr
( ) ( )
( ) ( ) 211222
112
2
21211122
2112
eeeeeeeeaa
eeeeeedt
dee
dt
daa
eeeeVVdt
d
A
A
A
r&&
r&&r&&
r&&
r&
r&&&&
r&
r&&&&
rr
r&&
r&&&r
&&r&&
r&
r&&
r&
r&
rr
r&
r&r&
r&
rr
η+ξ+ϕη−ϕξ+ϕη−ϕη+ϕη−ϕξ−ϕξ+ϕξ+=
⇒η+ξ+η+ξ+ϕη−ϕη−ϕξ+ϕξ+=⇒
η+ξ+ϕη−ϕξ+=
=⇒ ar
Aar
2er
&&ϕξ+ 12
2 eer
&r&& ϕξ−ϕξ+ 1e
r&&ϕη−
22
1 eer
&r&& ϕη−ϕη− 12 ee
r&&
r&& ϕη−ϕξ+ 21 ee
r&&
r&& η+ξ+
=⇒ ar
122
212 eeeeaA
r&&
r&
r&&
r&
r ϕη−ϕη−ϕξ+ϕξ− 21 eer&&
r&& η+ξ+ ( )21 22 eer&&
r&& ξϕ+ηϕ−+
=⇒ ar
par
rar+ cora
r+
=Vr
12 eeVA
r&
r&
rϕη−ϕξ+ 21 ee
r&
r& η+ξ+
=⇒ Vr
pVr
rVr
+
Slaganje ugaonih brzina pri složenomkretanju krutog tela.Ovde se ograđujemo na takvo složeno kretanje tela gde je i prenosno i relativno kretanje, u najtežoj varijanti, opšte ravno, kao na slici. Ovde je jedini cilj da se za poznatu ugaonu brzinu prenosnog tela ωp i poznatu relativnu ugaonu brzinu ωr (tj. ugaonu brzinu nošenog tela, koje vrši složeno kretanje, u odnosu na prenosno telo) odredi apsolutna ugaona brzina nošenog tela ω (tj. njegovu ugaonu brzinu u odnosu na okolinu koja miruje).
Formula koja povezuje ove ugaone brzine je:
.rp ω±ω=ωOvde se smer ugaone brzine ω poklapa sa smerom ωp, dok je predznak ispred ωr „+“ ako se smerovi od ωr i ωp poklapaju, a „-“ ako su suprotni.
Za slučaj sa slike, gde je , smera suprotnog od kazaljke na satu, a istog smera kao i ωp, apsolutna ugaona brzina nošenog tela je
ϕ=ω &p ,ψ=ω &r
takođe smera suprotnog od kazaljke na satu.
,ψ+ϕ=ω+ω=ω &&rp