Trigonometria Exercicios Resolvidos

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est presente em diversas situaes cotidianas, sendo considerada um dos mais antigos estudos da humanidade. A relao das medidas de comprimento com os valores dos ngulos surgiu da necessidade de calcular distncias inacessveis, sendo os estudos relacionados Astronomia, Agrimensura e Navegao os primeiros a usarem as relaes trigonomtricas. A Trigonometria (trigono: tringulo e metria: medidas) o estudo da Matemtica responsvel pela relao existente entre os lados e os ngulos de um tringulo. Nos tringulos retngulos (possuem um ngulo de 90), as relaes constituem os chamados ngulos notveis, 30, 45 e 60 que possuem valores constantes representados pelas relaes seno, cosseno e tangente. Nos tringulos que no possuem ngulo reto, as condies so adaptadas na busca pela relao entre os ngulos e os lados. Os estudos iniciais esto relacionados aos povos babilnicos e egpcios, sendo desenvolvidos pelos gregos e indianos. Atravs da prtica, conseguiram criar situaes de medio de distncias inacessveis. Hiparco de Niceia (190 a.C 125 a.C) foi um astrnomo grego que introduziu a Trigonometria como cincia, por meio de estudos ele implantou as relaes existentes entre os elementos do tringulo. O Teorema de Pitgoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos trigonomtricos, pois atravs dele que desenvolvemos frmulas tericas comumente usadas nos clculos relacionados a situaes prticas cotidianas. Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaborao dos estudos das funes trigonomtricas, relacionadas aos ngulos e aos fenmenos peridicos. A partir do sculo XV, a modernidade dos clculos criou novas situaes tericas e prticas relacionadas aos estudos dos ngulos e das medidas. Com a criao do Clculo Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ganhou moldes definitivos no cenrio da Matemtica, sendo constantemente empregada em outras cincias, como Medicina, Engenharia, Fsica (ondulatria, ptica), Qumica, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegao entre outras. As turmas de 9 ano do Ensino Fundamental possuem nas grades curriculares os estudos introdutrios envolvendo a Trigonometria no Tringulo Retngulo. O professor deve atender essa necessidade, no intuito de preparar o aluno para os contedos segmentares do Ensino Mdio. Devero ser trabalhadas as posies relativas entre cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa dos ngulos agudos do tringulo retngulo. Na sequncia, as relaes seno, cosseno e tangente sero definidas da seguinte forma: Seno do ngulo indicado: razo entre cateto oposto e hipotenusa. Cosseno do ngulo indicado: razo entre cateto adjacente e hipotenusa. Tangente do ngulo indicado: razo entre cateto oposto e adjacente.

A Trigonometria

senC = a/c cosC = b/c tgC = a/b senA = b/c cosA = a/c tgA = b/a

de extrema importncia discutir com os alunos a presena dos ngulos notveis, esse tipo de ngulo possui valores fixos e so determinantes em casos de aplicaes cotidianas. Os ngulos de 30, 45 e 60 devem ser citados pelo professor e fixados pelos alunos. Os valores das relaes envolvendo esses ngulos so representados por uma tabela de razes trigonomtricas.

Exemplo 1 Um avio, ao decolar, sobe formando com a pista um ngulo de 30. Aps percorrer 700 metros, qual a altura em que ele se encontra do solo? Observe o desenho do esquema:

Ser usada a relao do seno em razo da altura corresponder ao cateto oposto em relao ao ngulo de 30 e a hipotenusa corresponder ao espao percorrido pelo avio.

Exemplo 2 Ao decolar, um avio sobe formando um ngulo de 30 com a pista (horizontal). Na direo do percurso existe uma torre de transmisso de energia eltrica situada a 3km do aeroporto e com altura igual a 150 metros. Verifique se, mantendo o trajeto, o avio pode colidir com a torre. Esquema da situao:

Usaremos a relao da tangente

O avio no ir colidir com a torre, pois essa possui 150 metros enquanto o avio estar a uma altura de 1700 metros. Exemplo 3 Do ponto A, uma pessoa observa o topo de uma torre sob um ngulo de 60. Determine a altura da torre, sabendo que a pessoa est a 20 metros dela.

A torre tem 34 metros de altura.

Exemplo 4 Uma inclinao tem 40 metros de comprimento e forma com o plano horizontal um ngulo de 30. A que altura est situado o ponto mais alto da inclinao?

O ponto mais alto da inclinao est situado a 20 metros do solo.

Exemplo 5 Um navegador devia viajar durante duas horas, rumo nordeste, para chegar a certa ilha. Enganou-se,e navegou duas horas rumo a norte. Tomando, a partir da, o rumo correto, em quanto tempo, aproximadamente, chegar ilha? Entre Norte e Nordeste existe um ngulo de 45 Desenhe um tringulo isceles com dois lados de comprimento 2 e ngulo de 45 entre eles

O lado desconhecido x pode ser obtido atravs da Lei dos Cossenos: x = 2 + 2 - 2*2*2*cos45 -----> x = 8 - 8*(V2/2) -----> x = 8 - 4*V2 ------> x ~= 2,4 ----> x ~= V2,4 -----> x ~= 1,5 h ---> x ~= 1 h 30 min Resp: 1h 30 min

Outra soluo: Alguns valores, como so os casos de Raiz[2] ou Raiz[3], Pi, e (nmero de Euler), so, em geral, supostos como conhecidos. Raiz[2]~1,41 e Raiz[3]~1,73. Ficaramos com o problema de resolver Raiz[2,4]

Trigonometria Exerccios Resolvidos

Calcular x e y a partir dos dados da figura. Obs.: "a" e "2a" so os ngulos. R: x = 40 m e y = 90 m Tringulo NBA ----> tg(2a) = y/120 Tringulo MAB ----> tga = x/120 tg(2a) = 2*tga/(1 - tgA) -----> y/120 = 2*(x/120)/[1 - (x/120)] ----> 240*(x/120) = y*(1 - x/14 400) ----> 2x = y*(14400 - x)/14 400 ----> 28 800x = y*(14 400 - x) ----> Equao I

MC = x + 60 NC = y + 60 MN = MC + NC ----> MN = x = 60 + y + 60 -----> MN = x + y + 7 200 MN = (NB - MA) + AB ----> MN = (y - x) + 120 ----> MN = x + y - 2xy + 14 400 Igualando ----> -2xy + 14 400 = 7200 ----> xy = 3600 ----> y = 3600/x ----> Equao II II em I ----> 28 800*x = (3600/x)*(14 400 - x) ----> 28 800x = 3 600*14 400 - 3600x ----> 32 400x = 3 600*14 400 x = 1600 ----> x = 40 ----> y = 90

O Papagaio: O vento conserva o fio esticado e fazendo 60 com a horizontal. Quando se desenrolaram 70 m de fio a que altura estava o papagaio? NOTA: As mos do rapaz esto a 1,80 metros do cho, aproximadamente.

rea da Pirmide. A pirmide regular e a base tem cm de lado. 20

Exprime a rea total da pirmide em funo de .

RESOLUO: =20 20=400 Seja h a altura das faces laterais:

= tg

Portanto

10= h tg

h=

rea de uma face lateral :

A=

= 10h

Logo, rea das 4 Faces=4

e

rea total=400+001. A corda comum de dois crculos que se interceptam vista de seus centros sob ngulos de 90 e 60, respectivamente. Sabendo-se que a distncia entre seus centros igual a 3^1/2 + 1 (raiz quadrada de 3) + 1, determine os raios dos crculos.

Para que serve a trigonometria? Por exemplo, a trigonometria serve para resolver o seguinte problema: O teodolito, um instrumento capaz de medir ngulos, muito usado por agrimensores, engenheiros e topgrafos no clculo de distncias inacessveis. Este instrumento tico mede ngulos horizontais e verticais com suas duas escalas circulares graduadas em graus. Para calcular a altura de um prdio, o topgrafo colocou seu teodolito na praa em frente. Ele mediu a distncia do prdio ao teodolito com uma trena e encontrou 27 m. Mirando o alto do prdio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ngulo formado por essa linha visual com a horizontal de 58 graus. Se a luneta do teodolito est a 1,55 m do cho, qual a altura do prdio? (Considere os valores aproximados: sen 58o = 0,85 e cos 58o = 0,53) Soluo: A trigonometria (trigono=tringulo + metria=medida) o ramo da matemtica que trata das relaes entre os lados e ngulos de tringulos. Na figura a seguir, AB = CD = 1,55 a altura do instrumento e CE = x + 1,55 a altura do prdio.

No tringulo retngulo BDE formado, BE a hipotenusa , DE = x o cateto oposto ao ngulo de 58 graus, BD = 27 o cateto adjacente ao ngulo de 58 graus. Trabalhando com as razes trigonomtricas seno, coseno (ou cosseno) e tangente, temos: sen 58o = DE / BE ; cos 58o = BD / BE ; tg 58o = DE / BD = x / 27. Como, tg 58o = sen 58o / cos 58o = 0,85 / 0,53 = 85 / 53 = 1,6 aproximadamente, podemos ter a proporo: x / 27 = 0,85 / 0,53 = 1,6. Da, vem que: x = 27 1,6 = 43,2. Logo a altura do prdio : 43,2 + 1,55 = 44,75 m..

Uma torre vertical, construda sobre um plano horizontal tem 25 metros de altura. Um cabo de ao, esticado, liga o topo da torre at o plano, formando com o mesmo, um angulo de 60. Qual o comprimento do cabo? Soluo: Temos um tringulo retngulo de hipotenusa x e cateto de medida 25m oposto ao ngulo de 60. Como o sen 60 = = 25 / x , segue que o comprimento (em metros) do cabo : x = 50/3 = 50(3)/3 . Se considerarmos 3 = 1,7 , ento x = 28,4m.

(UERJ) Um barco navega na direo AB, prximo a um farol P, conforme a figura abaixo.

(Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo et alli. Matemtica e Vida. So Paulo, editora tica, 1990).

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcao ao farol, forma um ngulo de 30 o com a direo AB. Aps a embarcao percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcao ao farol, forma um ngulo de 60 o com a mesma direo AB. Seguindo sempre a direo AB, a menor distncia entre a embarcao e o farol ser equivalente, em metros, a: (A) 500 (B) 5003 (C) 1.000 (D) 1.0003

Soluo: A menor distncia do barco ao farol o segmento de reta perpendicular a direo AB que forma os tringulos retngulos de hipotenusa BP e AP. Seja y a distncia do barco ao farol e seja x a distncia do barco ao ponto B. A razo trigonomtrica y / x a tangente do ngulo de 60 o. De modo anlogo, a razo y / (1000 + x) a tangente de 30 o.

Como a tg60 o = 3 e tg30 o = (3) / 3 , vem que, y = x3 . Ento, (3) / 3 = y / (1000 + x) = (x3) / (1000 + x). "Multiplicando em