OSNOVNE TRIGONOMETRIJSKE

FUNKCIJE

Marijana Milosevic

∗ verzija radena u Tex-u ∗

1

Trigonometrija (lat. trigonon - trougao, metron - mera)je deo matem-atike koji izucava zavisnost izmedu strana i uglova tougla (trigonometrija uuzem smislu), a takode i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu medu njima(goniometrija). Sam naziv trigonometrija asocira na operacije s trouglovima.U pocetku je za cilj imala izracunavanje vrednosti svih elemenata jednogtrougla (visine, tezisnih duzi, simetrala, poluprecnika, povrsine i uglova)pomocu podataka dovoljnih za odredivanje trougla. Njen prvobitni cilj jedanas prevaziden, pa je njena osnovna uloga izracunavanje trigonometrijskihfunkcija.

1 Poreklo

Prvi koreni trigonometrije su nadeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije.Tamo je nadena vavilonska kamena ploca (oko 1900-1600. p.n.e.) koja sadrziprobleme sa relacijama koje odgovaraju savremenom sec2. Egipatski pa-pirus Rind (oko 1650. p.n.e.) sadrzi probleme sa odnosima stranica trouglaprimenjenim na piramide. Niti Egipcani, niti Vavilonci nisu imali nase sh-vatanje mere ugla, a relacije tog tipa su smatrali osobinama trouglova, prenego samih uglova.

Prve primene trigonometrijskih funkcija bile su vezane za tetivu kruga iza poimanje da je njena duzina razapeta nad datim uglom x bila (u danasnjojterminologiji) 2 ∗ sin(x/2).

A

B

MO C

α

2

Vazan napredak napravljen je u Grckoj u vreme Hipokrata iz Kiosa(Elementi, oko 430. p.n.e.), koji je proucavao odnose izmedu centralnihuglova kruznice i tetiva. Hiparhus je 140. p.n.e. napravio tablicu tetiva(prvu pretecu savremenih sinusnih tablica). Menelaj iz Aleksandrije (Sfernageometrija, oko 100. nove ere) je prvi koristio sferne trouglove i sfernutrigonometriju. Ptolomej (Almagest, oko 100. n.e.) je napravio tablicutetiva uglova izmedu 0,5 stepeni i 180 stepeni sa intervalom od pola stepena.On je takode istrazivao trigonometrijske identitete.

Drugi skup trigonometrijskih funkcija, par tangensa i kotangensa, razviose iz proucavanja duzina senki koje bacaju objekti razlicitih visina. Talessa Mileta je oko 600. godine p.n.e. koristio duzine senki kako bi izracunaovisine piramida. Kako indijska tako i arapska matematika su obe razviletrigonometrijsku tradiciju zasnovanu na duzinama senki, koje su s drugestrane ostvarile uticaj na evropsku matematiku.

Grcku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematicari koji su ost-varili napredak razmestanjem tetiva preuzetih od Grka na polu tetive krugasa datim radijusom, tj. ekvivalentom nasoj sinusnoj funkciji. Prve takvetablice bile su u Sidhantasu (sistem za astronomiju) u IV i V veku ove ere.Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematicarapreko Arapskih matematicara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokomXII veka uveli su trigonometriju u Evropu.

Osoba odgovorna za ”modernu”trigonometriju bio je renesansni matematicarRegiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bila jednostavno alatza astronomska izracunavanja. Regiomontanus ( De triangulis omni modis,1464; publikovano 1533.) bio je prvi koji je trigonometriju tretirao kao sub-jekt po sebi. Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibusorbium coelestium (1543.) i njegov ucenik Retikus. U Opus palatinum detrianulis (kompletirao njegov ucenik 1596.), Retikus je ustanovio upotrebusest osnovnih trigonometrijskih funkcija, praveci tablice njihovih vrednosti,i drzeci se ideje da te funkcije predstavljaju odnose stranica u pravouglomtrouglu (rade nego tradicionalne polu-tetive krugova).

Moderna analiticka geometrija datira od vremena Fransoisa Vietea, kojije uradio tablice sest funkcija do najblize minute (1579). Viete je takodeizveo formulu za proizvod, tangensnu formulu i formule za vise uglova. Kra-jem XV veka je prvi put upotrebljen naziv ”trigonometrija”.

3

2 Podela:

Trigonometrija se deli na sledece tri oblasti:

1)Ravninska trigonometrija, trigonometrija u uzem smislu; proucava

o Trigonometrijske funkcije, posebno: sinus, kosinus, tangens, kotangens,sekans i kosekans;

o Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. ciklometrijske, ili arkus-funkcije;

2) Sferna trigonometrija, na povrsi sfere;

3)Hiperbolicka trigonometrija, trigonometrija Lobacevskog;

Osnovna linija razvoja trigonometrija bila je primena u geometrijskimistrazivanjima. Razvoj prve i druge od nabrojanih trigonometrija isao jeuz Euklidsku ravan, tj. elementarna geometrija i povrsinu sfere, a treca odtrigonometrija je bar u pocetku (XIX vek) bila vezana za otkrica neeuklid-skih geometrija, (geometrija Lobacevskog, zatim Rimanova geometrija).

Ravninska trigonometrija

Ravninska trigonometrija, ili jednostavno trigonometrija, je granamatematike koja se bavi resavanjem trouglova Euklidske planimetrije, tj. el-ementarne geometrije jedne ravni. Ona je od ogromnog prakticnog znacajau razlicitim oblastima kao sto su inzenjerstvo, arhitektura, geodezija, navi-gacija i astronomija. Trigonometrijske funkcije imaju posebno vaznu uloguu analizi i koriste se za predstavljanje talasa i drugih periodicnih pojava.

4

3 Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije su funkcije ugla:sinus, kosinus, tangens,kotangens, sekans, kosekans. Ponekad ih nazivamo trigonometrijskim odnosima.Za tangens cemo ovde koristiti uobicajenu anglosaksonsku oznaku tan, madase kod nas se cesce koristi tg ; za kotangens, umesto cot mi obicno pisemo ctg ;kosekans, koji inace retko koristimo, zajedno sa anglosaksonskim csc pisemoi cosec. Ostale navedene trigonometrijske funkcije imaju jednake skracenicekod nas i u vecem delu sveta. Danas se veoma retko srecu jos dva nazivatrigonometrijskih funkcija: sinus versus i kosinus versus.

3.1 Pravougli trougao

Na slici je figura: pravougli trougao Na slici 1. je figura: pravougli trougaoABC, sa istoimenim stranicama (mala slova abecede) nasuprot temena (ve-lika slova) i uglom alfa (malo grcko slovo α ) u temenu A. Dakle, naspramnakateta temenu A je a, nalegla kateta je b, hipotenuza je c. Definisemo os-novne cetiri trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens i kotangens,istog ugla alfa. ABC, sa istoimenim stranicama (mala slova abecede) na-suprot temena (velika slova) i uglom alfa (malo grcko slovo α) u temenu A.Dakle, naspramna kateta temenu A je a, nalegla kateta je b, hipotenuza je c.Definisemo osnovne cetiri trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangensi kotangens, istog ugla alfa.

A C

B

α

a ”naspramna”

b

”nalegla”

c”hipotenuza”

Na slici prikazan je pravougli trougao ABC i oznacene su hipotenuza kaoi ”naspramna”i ”nalegla”u odnosu na oznaceni ugao α.

Kod svakog pravouglog trougla, mozemo uociti sest razlicitih odnosa nje-govih stranica: odnos naspramne i hipotenuze, nalegle i hipotenuze, naspramne

5

i nalegle i tako dalje. Svaki od tih odnosa predstavlja po jednu trigonometri-jsku funkciju i ima svoje istorijsko ime i skracenicu, koja ucenicima omogucavajednostavniji zapis.

Odnos naspramne stranice i hipotenuze nazivamo sinusnom funkcijomili sinus i skraceno zapisujemo sin. Odnos nalegle i hipotenuze nazivamokosinusnom funkcijom ili kosinus i skracenica je cos. Odnos naspramne inalegle se naziva tangens i skracenica je tg.

Ove tri funkcije nazivamo elementarnim trigonometrijskim funkcijama iprikazane su na sledecim slikama:

sin α = naspramna

hipotenuza, cos α = nalegla

hipotenuza

tanα = naspramna

nalegla, cot α = nalegla

naspramna

Pravougli trougao

sin α = ac, cos α = b

c

tanα = ab, cot α = b

a

Mozda cete se pitati zasto ove odnose ne nazivamo trigonometrijskimodnosima vec trigonometrijskim funkcijama. Ako pogledamo funkciju y =sinx, ”ugao”x, moze biti bilo koji broj. Prema tome, y = sinx je odnosizmedu brojeva x i y , i to nije neophodno dovoditiu vezu sa geometrijom.

Preostala tri od sest odnosa stranica pravouglog trougla su: odnos hipotenuzei naspramne, odnos hipotenuze i nalegle i odnos nalegle i naspramne.

Odnos hipotenuze i naspramne stranice nazivamo kosekans i skraceno za-pisujemo csc. Odnos hipotenuze i nalegle nazivamo sekans i skracenica jesec. Odnos nalegle i naspramne se naziva kotangens i skracenica je ctg.

Pogledajmo prikaz formula opisanih funkcija na sledecim slikama:

csc α = hipotenuza

naspramana, sec α = hipotenuza

nalegla

Primetimo, da su ove funkcije, csc, sec, cot jednake reciprocnoj vrednostiredom funkcija sin, cos, tan.

csc α = ca, sec α = c

b

6

Kosekans se kod nas cesce pise cosec α. Kao sto je definisano, tri od ovihfunkcija su reciprocne ostalim tri:

cotα = 1

tan α, csc α = 1

sin α, sec α = 1

cos α

Iz istih definicija izvodimo:

tan = sinαcos α

, cot α = csc αsec α

, tanα · cot α = 1

Sledece osnovne relacije, koje se nazivaju osnovni trigonometrijski iden-titeti, ili Pitagorini identiteti, zasnovane su na Pitagorinoj teoremi:

sin2 α + cos2 α = 1, 1 + tan2 α = sec2, 1 + cot2 α = csc2 α.

3.2 Osnovni uglovi

Vrednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove se mogu dobiti jednos-tavno iz jednakostranicnog trougla i kvadrata, koji imaju uglove 600, 350, 450.

A B

C

D

a/2

a ah

Na slici imamo figuru jednakostranicnog trougla ABC stranica duzinea. Njegovi unutrasnji uglovi su po 600, a ugao u temenu C izmedu visine istranice je 300. Visina CD ima duzinu h = a

√3

2, sto se lako dobija primenom

Pitagorine teoreme na pravougli trougao ADC. Iz istog pravouglog trouglanalazimo vrednosti:

7

sin 600 =√

3

2, cos 600 = 1

2,tan 600 =

√3, sin 600 =

√3

3,

sin 300 = 1

2, cos 300 =

√3

2,tan 300 = 1

2,cot 300 =

√3

Na sledecoj slici kvadrat je stranice a. Temena AC spojena su dijago-nalom d = a

√2,sto se lako dobije primenom Pitagorine teoreme na pravougli

trougao ABC.

A B

CD

d

a

a

π/4

U istom pravouglom trouglu nalazimo da je:sin 450 =

√2

2, cos 450 =

√2

2, tan 450 = 1, cot 450 = 1.

3.3 Trigonometrijska kruznica

Trigonometrijske funkcije ugla α se mogu definisati i pomocu trigonometri-jske kruznice. Trigonometrijska kruznica je poluprecnika 1sa centrom uishodistu koordinatnih osa. Na slici poluprecnici OA, OC i OE su jedinicneduzine. Tacka O je ishodiste koordinatnog sistema, ovde Dekartovog pravou-glog. Ugao α je AOC, gde je krak OA nepokretan. Apscisa i ordinata(horizontalna i vertikalna osa brojeva) su kosinusna i sinusna osa. Tangen-sna i kotangensna osa se definisu kao tangente na trigonometrijsku kruznicuu krajnjoj tacki desno, odnosno gore. Ishodiste tangensne ose na slici bibila tacka A, a kotangensne E. Uporedivanjem kruznice, OA = OC = 1, ipravouglog trougla, nalazimo:

8

O A

E F

DC

Bα

III

III IV

sin α=BC=ac, sinus ugla α

cos α=OB= bc, kosinus ugla α

tanα=AD=ab,tanges ugla α

cotα=EF= ba,kotanges ugla α

sec α=OD= cb,sekans ugla α

csc α=OF= ca,kosekans ugla α

Medutim, na trigonometrijskoj kruznici mozemo dosledno definisati vred-nosti trigonometrijskih funkcije za uglove 00, 900, pa i za ostale. Projekcijatacke C na kosinusnu osu (tacka B) je kosinus ugla α, sinus je projekcijatacke S na sinusnu (obicno Y ) osu, produzetak pokretnog kraka OC datogugla preseca tangensnu i kotangensnu osu u vrednostima tangensa i kotan-gensa tog ugla.

Znak trigonometrijske funkcije:

Kvadrant Velicina ugla sin cos tan cot sec cscI od 00 do 900 + + + + + +II od 900 do 1800 + − − − − +III od 1800 do 2700 − − + + − −IV od 2700 do 3600 − + − − + −

9

3.4 Merenje ugla

Uglove merimo u stepenima - uobicajenim u praksi, u radijanima - uobicajenimu teoriji, i retko u gradima (Gradus - korak, stepen, stupanj):

- Stepen je 90-ti deo pravog ugla, ugao od jednog stepena oznacava se 10.Prema tome, pun ugao je 3600, ispruzen ugao je 1800.

- Radijan je centralni ugao nad lukom trigonometrijske kruznice cijaje duzina jednaka radijusu. Kako pun ugao odgovara duzini cele kruznice(obimu)2πr,, jedan radijan ima 360

2π= 57017′44′′s tacnoscu od 1”. Obratno,

1 radijan = 57, 30.

- Grad je stoti deo pravog ugla, pise se p. Jedan grad se deli na sto de-lova koji se nazivaju metricke minute (1′) i ciji se stoti deo naziva metrickasekunda (1”). Grad kao jedinica mere bio je uveden zajedno sa metarskimsistemom mera krajem XVIII veka. Medutim, grad nije postigao siroku pri-menu u praksi.

Vrednost trigonometrijskih funkcija:

Stepen Radijan sin cos tan cot sec csc00 0 0 1 0 ∞ 1 ∞300 π/2 1/2

√3/2

√3/3

√3 2

√3/3 2

450 π/4√

2/2√

2/2 1 1√

2√

2

600 π/3√

3/2 1/2√

3√

3/3 2 2√

3/3900 π/2 1 0 ∞ 0 ∞ 1

10

4 Osnovne trigonometrijske formule

4.1 Funkcije jednog ugla

sin2 α + cos2 α = 1, sin αcos α

= tan α, sinα · csc α = 1

sec2 α − tan2 α = 1, cos α · sec α = 1

csc2 α − cot2 α = 1, cos αsinα

= cotα, tanα · cotα = 1

4.2 Medusobno izrazavanje funkcija

sin α =√

1 − cos2 α = tan α1+tan2 α

cos α =√

1 − sin2 α = 1

1+tan2 αtan =

= sin α√1−sin2 α

= 1

cot αcot =

√1−sin2 α

sinα= 1

tan α

4.3 Funkcije zbira i razlike

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tan(α ± β) = tan α±tan β

1∓tan α tan β

cot(α ± β) = cot α cot β∓1

cot β±cot α

4.4 Funkcije visekratnog ugla

sin 2α = 2 sinα cos α, sin 3α = 3 sin α − sin3 α,

cos 2α = cos2 α − sin2 α, cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α,

tan 2α = 2 tan α1−tan2 α

, tan 3α = 3 tan α−tan3 α1−3 tan2 α

,

cot 2α = cot2 α−1

2 cot α, cot 4α = cot4 α−6 cot2 α+1

4 cot3 α−4 cot α,

tan 4α = 4 tan α−4 tan3 α1−6 tan2 α+tan4 α

, cot 4α = cot4 α−6 cot2 α+1

4 cot3 α−4 cot α.

11

4.5 Zbir i razlika funkcija

sin α + sin β = 2 sin α+β

2cos α−β

2

sin α − sin β = 2 cos α+β

2sin α−β

2

cos α + cos β = 2 cos α+β

2cos α−β

2

cos α − cos β = −2 sin α+β

2sin α−β

2

tanα ± tanβ = sin α±β

cos α cos β, cot α ± cot β = sin α±β

sinα sin β,

tanα + cot β = cos α−β

cos α sinβ, cotα − tanβ = cos α+β

cos β sin α,

4.6 Proizvod funkcija

sin α sin β = 1

2[cos(α − β) − cos(α − β)],

cos α cos β = 1

2[cos(α − β) + cos(α − β)],

sin α sin β = 1

2[cos(α − β) + cos(α + β)].

4.7 Funkcije polovine ugla

sin α2

=√

1−cos α

2,

cos α2

=√

1+cos α

2,

tan α2

=√

1−cos α1+cos α

,

cot α2

=√

1+cos α1−cos α

,

4.8 Stepenovanje funkcija

sin2 α = 1

2(1 − cos 2α),cos2 α = 1

2(1 + cos 2α),

sin3 α = 1

4(3 sinα − sin 3α),cos3α = 1

4(3 cos α + cos 3α),

sin4 α = 1

8(cos 4α − 4 cos 2α + 3),cos4 α = 1

8(cos 4α + 4 cos 2α + 3).

12

5 Grafici i tok trigonometrijskih funkcija

5.1 Kosinusna funkcija

Kosinusna funkcija je definisna za svaki ugao x. Njen tok u intrvalu0 ≤ x ≤ 2π, moze se ispitati tako sto se pusti da krajnja tacka M ugla xobide potpun trigonometrijski krug i prati kretanje njene projekcije na xosi.Dobija se sledeca tablica:

x 0 π/2 π 3π/2 2πcos(x) 1 ց 0 ց -1 ր 0 ր 1

U ovom intervalu grafik mozemo konstruisati tacku po tacku. Kako jeova funkcija periodicna, s periodom 2π, njen grafik za sve vrednosti x dobicese translacijom prethodnog grafika za 2π paralelno x osi.

Kosinusna funkcija je parna - dvema suprotnim vrednostima argume-nata xodgovaraju dve jednake vrednosti funkcije y. Kriva y = cosx imabeskonacno mnogo osa simetrije koje su paralelne y osi i prolaze kroz tackex = kπ,y = 0.

x

y

−2π −π−3π2

0−π2

ππ2

2π3π2

1

−1

13

5.2 Sinusna funkcija

Sinusna funkcija je definisna za svaki ugao x. Njen tok u intrvalu 0 ≤ x ≤2π moze se ispitati tako sto se pusti da krajnja tacka M ugla x obide potpuntrigonometrijski krug i prati kretanje njene projekcije na x osi. Dobija sesledeca tablica:

x 0 π/2 π 3π/2 2πsin(x) 0 ր 1 ց 0 ց -1 ր 0

U ovom intervalu grafik mozemo konstruisati tacku po tacku. Kako jeova funkcija periodicna, s periodom 2π, njen grafik za sve vrednosti x dobicese translacijom prethodnog grafika za 2π paralelno x osi.

Sinusna funkcija je neparna - ze dve suprotne vrednosti argumenta x ifunkcija y dobija dve suprotne vrenosti.

Kriva y = sinx ima beskonacno mnogo osa simetrije koje su paralelne yosi i prolaze kroz tacke x = π

2+ kπ, y = 0.

x

y

−2π −π−3π2

0−π2

ππ2

2π3π2

1

−1

14

5.3 Tangensna funkcija

Tangensna funkcija je definisana za sve realne vrednosti x, izuzev zavrenosti oblika x = π

2+ kπ. Njen period je π . Ispitacemo je u intervalu

duzine π u kome je ona svugde definisana −π2≤ x ≤ π

2.

Tok tangensne funkcije mozemo ispitati prateci pomeranje tacke T natangesnoj osi i odgovarajucu krivu nacrtati tacku po tacku. Funkcija je ucelom posmatranom intervalu rastuca . Asimtote ove krive su −π

2i π

2.

Grafik funkcije y = tgx sastoji se od niza krivih koje se dobijaju trans-latornim pomeranjem krive paralelno x osi za duzinu . Asimptote kojih imabeskonacno su oblika x = π

2= kπ.

Funkcija y = tgx je neparna - za dve suprotne vrednosti argumenta x ifunkcija y dobija dve suprotne vrednosti

x

y

− 3π

2

−π −π

2O π

2

π 3π

2

15

5.4 Kotangensna funkcija

Kotangensna funkcija je definisana za sve realne vrednosti x, izuzev zavrenosti oblika x = kπ.Njen period je π.Ispitacemo je u intervalu duzine π ukome je ona svugde definisana 0 ≤ x ≤ π.

Tok kotangensne funkcije mozemo ispitati prateci pomeranje tacke L nakotangesnoj osi i odgovarajucu krivu nacrtati tacku po tacku. Funkcija jeu celom posmatranom intervalu opadajuca. Asimptote ove krive su x = 0 ix = π.

Grafik funkcije y = ctgx sastoji se od niza krivih koje se dobijaju transla-tornim pomeranjem krive paralelno x osi za duzinu π. Asimptote kojih imabeskonacno su oblika x = kπ.

Funkcija y = ctgx je neparna - za dve suprotne vrednosti argumenta x ifunkcija y dobija dve suprotne vrednosti.

x

y

− 3π

2

−π

−π

2

O

π

2

π

3π

2

−2π 2π

16

6 Ciklometrijske funkcije (arkus)

Arkus-funkcijama od x(inverznim trigonometrijskim) nazivamo veliciney merene u radijanima, odredene jednacinama:

y = arcsinx (arkus-sinus), ako je x = siny

y = arccosx (arkus-kosinus), ako je x = cosy

y = arctanx (arkus-tangens), ako je x = tany

y = arccotx (arkus-kotangens), ako je x = coty

Glavne vrednosti arkus funkcije su viseznacne; njihove glavne vrednostisu ogradene. Oznacavamo ih sa arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx, (posled-nje dve, mi cesto oznacavamo arctgx, arcctgx).

−π2≤ arcsin x ≤ π

2, 0 ≤ arcsin x ≤ π,

−π2≤ arctanx ≤ π

2, 0 ≤ arccotx ≤ π.

6.1 Izrazavanje jednih arkus-funkcija s drugima

Sledece formule tacne su samo za glavne vrednosti arkus-funkcija, a for-mule u uglastim zagradama samo za pozitivne vrednosti x (jer su graniceglavnih vrednosti razlicito odredene za razne funkcije).

arcsin x = − arcsin(−x) = π2−arccos x = arccos

√1 − x2 = arctan x√

1−x2=

arctan√

1−x2

x,

arccos x = π−arccos(−x) = π2−arcsin x = [arcsin

√1 − x2] = [arctan

√1−x2

x] =

arctan x√1−x2

,

arctanx = − arctan(−x) = π2− arctan x = arcsin x√

1+x2= arccos 1√

1+x2=

arccot 1

x,

arccotx = π−arccot(−x) = π2−arctan x = arcsin 1√

1+x2= arccos 1√

1+x2=

arctan 1

x.

17

7 Literatura

:

1. Matematika - Opsta enciklopedija Larousse,

Vuk Karadzic, 1974.god.

2. Matematika za maturante - Vladimir Stojanovic,

Matematiskop, Beograd, 2000.god.

3. Matematika za drugi razred srednje skole- Gradimir Vojvodic-Vojislav Petrovic- Radivoje Despotovic- Branimir Seselj,

Zavod za udzbenike i nastavna sredstava, Beograd, 2001.god.

4. Analiza 1 - Zoran Kadelburg, Dusan Adnadevic,

Matematicki fakultet, Beograd, 2003.god

5. http://sr.wikipedia.org

18

Sadrzaj

1 Poreklo 2

2 Podela: 4

3 Trigonometrijske funkcije 53.1 Pravougli trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Osnovni uglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Trigonometrijska kruznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Merenje ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Osnovne trigonometrijske formule 114.1 Funkcije jednog ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Medusobno izrazavanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Funkcije zbira i razlike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Funkcije visekratnog ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.5 Zbir i razlika funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.6 Proizvod funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.7 Funkcije polovine ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.8 Stepenovanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Grafici i tok trigonometrijskih funkcija 135.1 Kosinusna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Sinusna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Tangensna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 Kotangensna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Ciklometrijske funkcije (arkus) 176.1 Izrazavanje jednih arkus-funkcija s drugima . . . . . . . . . . 17

7 Literatura 18

19