Ứng dụng của cực và đối cực

7/26/2019 ng dng ca cc v i cc

1/16

KHM PH NG DNG CA CC V I CC

[1] Mt s bi ton dng cc v i cc - NeverStop (diendantoanhoc.net)

[2]Cc v i cc -Dng Bu Lc THPT chuyn Trn i Ngha[3]Bi tp nng cao v mt s chuyn hnh hc 10-Nguyn Minh H, Nguyn Xun Bnh -nxbGD[4]Cc php bin hnh trong mt phng-Nguyn Mng Hy -nxb GD[5]Projective Geometry-Milovoje Luki'c[6]Tp ch ton hc v tui tr -nxb GD[7]Tuyn chn cc bi ton t nhng cuc thi ti mt s nc ng u-Nguyn Vn Nho -nxb GD[8]Harmonic Division anh it's Applications -Cosmin Pohoata[9]Variations of the Steinbart Theorem-Darij Grinberg[10]http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=1838[11]Pole and polar -Kin Y.Li

[12]http://forum.mathscope.org/showthread.php?p=27220#post27220[13]Cc chuyn hnh hc bi dng hc sinh gii ton Trung hc c s -Trn Vn Tn[14]Bi tp nng cao v mt s chuyn hnh hc 11 - Trn Vn Tn.[15]Epispdes in nineteenth and twentieth century Euclidean geometry- Ross Honsberger[16]Hng im iu ha -Nt p quyn r trong hnh hc - Kim Lun (diendantoanhoc.net)********* ********************************** ******************************

Cc v i cc l mt cng c mnh v th v ca hnh hc.Vi cc v i cc ta c th a ra cchnhn kh nht qun vi mt s dng ton c trng (quan h vung gc,thng hng,ng quy,...).Cc v i cc m thng gp bc THPT l cc v i cc vi ng trn hoc cp ngthng.y l mt bi vit cp n ng dng ca cc v i cc i vi ng trn !!!!

A/ IU KIN CA BN C. c th hiu cn k bi vit ny mi bn c cn trang b cho mnh nhng kin thc c s v hnhhc phng v v php nghch o, hng im iu ha,chm iu ha, t gic iu ha,ng trntrc giao,nh l Pappus,nh l PascalB/ KIN THC C S V CC V I CC I VI MT NG TRNI/NH NGHAnh ngha: Trn mt phng cho ng trn (O,R) v mt im S khc O.Php nghch o cc O phng tch bin S thnh S'.Gi d l mt ng thng qua S' v vung gc vi OS. Khi y ta gi:d l ng i cc ca S i vi ng trn (O)

S l cc ca d i vi ng trn (O).


2/16

*Ghi ch:C th nhiu bn s thy nh ngha ny hnh nh khc vi cc nh ngha ph bin Vit Nam (chng hn xem [2] hoc [4]) tuy nhin tc githy rng nh ngha trn ngn gn hn mvn m bo tnh chnh xc ca vn nn chn n v cng rt vui v thy trong [5] cng dngn.

II/MT S NH L:Trong mc ny ,cc nh l s cha a ra chng minh ngay v l do ring.Mong bn c thngcm.Khi no c iu kin ti s gii thiu y chng minh ca chng.

nh l 1:Tp hp cc im P lin hp vi im S (cho trc) i vi ng trn (O) l ng icc ca S. (Ta ni hai im S v P lin hp vi nhau i vi ng trn (O) nu ng trn ngknh SP trc giao vi (O).)T y ta thu c :H qu 1:Vi hai im S,P trn mt phng m P nm trn ng i cc ca S i vi (O) v SPct (O) M,N th bn im S,P,M,N lp thnh 1 hng im iu ha.

H qu 2:(o ca h qu 1).Vi hai im S,P trn mt phng m SP ct (O) M,N tha mn bnim S,P,M,N lp thnh 1 hng im iu ha th P nm trn ng i cc ca S v S nm trnng i cc ca P.nh l 2:OS vung gc vi ng i cc ca S. (hin nhin!)nh l 3:Vi hai im S, Q.ng i cc ca S i qua Q khi v ch khi ng i cc ca Q s iqua S.(nh l La Hire)nh l 4: Ba im (khc tm ng trn xt cc v i cc) thng hng khi v ch khi ba ngi cc ca chng ng quy hoc song song.nh l 5: Bn im (khc tm ng trn xt cc v i cc) lp thnh 1 hng im iu ha khi vch cc ng i cc ca chng lp thnh 1 chm iu ha.

III/MT S CCH XC NH NG I CC THNG DNGy s l mt phn rt quan trng bn c th t duy nhanh theo li cc i cc!Trng hp 1: Khi cc S ngoi ng trn (O)Ta c 2 cch dng n gin sau y :Cch 1: T S k ti (O) hai tip tuyn SA,SB (A,B l tip im ) .Khi ng i cc ca S ivi (O) l ABGi chng minh:Da vo nh ngha.


3/16

_Cch 2:T S k ti (O) hai ct tuyn SAB,SCD. Gi s AD ct BC E, AC ct BD F.Khi ng i cc ca S i vi (O) l EF.Gi chng minh:Gi s FE ct AB,CD ln lt M,N.Hy dng nh l Menelaus hoc kin thcv t s kp chng minh: (SMAB)=(SNCB) =-1 ri dng h qu 2 l ra.

Trng hp 2:Khi cc S nm trong ng trn(O)

_Cch 1:Qua S dng ng vung gc vi OS, ng ny ct (O) A ,B. Tip tuyn ca(O) ti A,B ct nhau P .Khi ng i cc ca S i vi (O) l ng thng qua Pvung gc vi OS.


4/16

_Cch 2: Qua S dng hai dy cung AB v CD . Gi s AD ct BC E, AC ct BD F.Khi ng i cc ca S i vi (O) l EF.

Trng hp 3: S nm trn (O)Rt n gin: tip tuyn ca (O) ti S chnh l ng i cc ca S i vi (O)!!


5/16

IV/MT S CCH XC NH CC THNG DNG

iu ny dnh cho bn c t tm hiu da vo mc trn!C/ KHM PH NG DNG CA CC V I CC!

Nhng bi ton di y u l nhng bi ton hay v a phn chng c th gii bng phng phpkhc ,tuy nhin nhng li gii c chn tt nhin s th hin tng ca bi vit.Chc cc bn sc nhiu nim vui khi theo di n !

I/BI TON V QUAN H VUNG GC V SONG SONG GIA HAI NG THNG:

nh l 2 chnh l "ch tng" ca nhng tng gii quyt cc bi ton mc ny.!!Chng ta hy n vi bi ton sau:

Bi ton 1:Gi s ng trn(O) vi tm O v bn knh R.Qua M v hai dy cung CD vEF khng i qua tm O.Hai tip tuyn ti C,D ca (O) ct nhau ti A,hai tip tuyn tiE,F ca (O) ct nhau ti B.Chng minh rng OM v AB vung gc vi nhau.(T7/362 Tp ch ton hc v tui tr )

Gii:


6/16

Ta xt cc v i cc i vi (O).Ta thy ng i cc ca A l CD i qua M nn ng i cc ca M s i qua A (nh l 3)(1)Tng t c ng i cc ca M i qua B (2)

T (1) v (2) suy ra ng i cc ca M chnh l ABn y theo nh l 2 ta c iu phi chng minh!

Tip theo l mt nh l rt ni ting ca hnh hc phng cng cch chng minh vcng ngn gnda trn cc v i cc!!

Bi ton 2 (nh l Brokard):Cho t gic ABCD ni tip ng trn (O). Gi s AC ct BD M,AB ct CD N, AD ct BC P.Chng minh rng O l trc tm ca tam gic MNP.

Gii

Xt cc v i cc i vi (O).Ta thy PM l ng i cc ca N nn theo nh l 2 c ON vun gc vi PM (1)Tng t c : OM vung gc vi PN (2)T (1) v (2) suy ra iu cn chng minh!

V c mt v d ngha na m cc bn nn suy ngh trc khi c li gii:

Bi ton 3:Cho tam gic ABC cn ti A.Hai ng thng d1,d2 bt k qua A. Cc ng thng quaB,C tng ng vung gc vi d1,d2 ct nhau ti D. ng thng qua B vung gc vi AB ct d1 tiE.ng thng qua C vung gc vi AC ct d2 ti F. Chng minh rng AD vung gc vi EF (Bi

tp5.12 trong [3])

Gii

Bn c thy xut hin ng trn no ton khng? R rng l khng nh?ng l bi ton khng c ng trn trong nhng xut hin mt "yu t trn" ngquan tm l AB=AC , t "ng trn c ch "xut hin: ng trn tm A bn knhAB.(gi tt l (A) ).


7/16

Xt cc v i cc i vi (A)

Ta thm mt s k hiu:d3 l ng thng qua B v vung gc vi d1d4 l ng thng qua C v vung gc vi d2D nhn thy BE,CF l cc tip tuyn ca (A).Nhn thy : ng i cc ca E s i qua B v vung gc vi AE , hay chnh l d3Tng t ng i cc ca F s l d4Ch n nh l 3 ta s c cc ca EF chnh l D, do vy theo nh l 2 th bi ton c giiquyt.!

Tip n l 3 bi ton c mc cao hn mt cht:

Bi ton 4:Cho tam gic ABC vi cc ng cao BB',CC'.Gi E,F ln lt l trung im caAC,AB. EF ct B'C' K. Chng minh rng AK vung gc vi ng thng Eulerca tam gic ABCGii


8/16

Ta s xt cc v i cc i vi ng trn Euler ca tam gic ABC ( k hiu l (S) vi S l tm)Gi I l giao im ca FB' v EC',G l giao im ca CF v BE,H l giao im ca BB' v CC'S dng nh l Pappus cho hai b 3 im (F,C',B) v (E,B',C) ta suy ra H,G,I thng hng, do SIchnh l ng thng Euler ca tam gic ABC.(1)

Mt khc ,ch E,F,B',C' cng nm trn (S) th suy ra AK chnh l ng i cc ca I,n ydng nh l 2 ta c SI vung gc vi AK.(2)T (1) v (2) suy ra iu cn chng minh.

Bnh lun:Nh cc bn bit H v O l hai im ng gic v nh vy bi ton sau xut hin:

Bi ton 4.1Gi hai im P,Q l hai im ng gic i vi tam gic ABC.K PH,PK ln lt vunggc vi AB,AC ;k QM,QN ln lt vung gc vi AB,AC.Gi s HK ct MN S.Khi AS cvung gc vi PQ hay khng?

Tht tuyt vi l chng vn vung gc vi nhau!!! Tuy nhin bn cng s d dng cm nhn c

nu lm hon ton tng t trong bi 4 th khng "trm" c bi ny,ni r rng hn l nh lPappus b ri vo th yu,chng ta vn dng c tng ca cc v i cc nhng cn mtcng c khc hu ch hn khi chng minh tnh thng hng.Cc bn th suy ngh xem v vn sc gii quyt trong mt bi vit ti ca tc gi................

Bi ton 5: Cho tam gic ABC ni tip ng trn (O,R).Cc phn gic trong BE,CF ct li (O) lnlt M,N .ng thng qua M vung gc vi BM ct ng thng qua N vung gc vi CN ti S.Chng minh rng SO vung gc vi EF.

Gii:


9/16

Xt cc v i cc vi (O)Ta s xc nh ng i cc ca S , ri chng minh n song song vi EFSN,SM ct li (O) ln lt L,GCh rng ta c C,O,G thng hng;B,O,L thng hng.

Tip tuyn ca (O) ti G,N ct nhau QTip tuyn ca (O) L,M ct nhau POP ct LM H , OQ ct NG K.Ta thyng i cc ca Q l GN i qua S nn ng i cc ca S i qua Q.(nh l 3) Tng t c ng i cc ca S cng i qua PDo ng i cc ca S l PQ.By gi ta cn chng minh PQ //EFCh rng IE//OP,IF//OQ th nn c PQ//EF ta ch cn chng

minhMt khc nhn thy :

T suy ra Q,K,H,P ng vin nn

Suy ra ta cn c (*)K ID ,IV ln lt vung gc vi AC,AB ch rng :

(v ID=IV) (theo nh l hm sin) (1)(V OKl ng trung bnh ca tam gic GNC, OH l ng trung bnh ca tam gic LBM)

Li c IE//OH,IF//OK nnT (1) v (2) suy ra tam gic IEF ng dng vi tam gic OKH .Do (*) ng nn c iu cn

chng minh


10/16

Bnh lun :Cc bn hy suy ngh v bi ton sau:

Bi ton 5.1:Gi s AD,BE,CF l cc ng cao v H l trc tm ca tam gic nhn

ABC.Gi M,N ln lt l giao im ca cc cp ng thng (DE,CF) v (DF,BE).Chng minh rng ng thng qua A vung gc vi ng thng MN i qua tm ng trn ngoi tip tam gic BHC.(Tp ch ton hc v tui tr)

Bi ton 5 mnh ngh ra c lp vi bi 5.1 nhng c 1 iu kh th v l hai bi trn gn nh tngng!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Bi ton 6:Cho t gic ABCD ngoi tip (I) v ni tip (O).Tip im ca (I) trn AB,BC,CD,DAln lt l M,N,P,Q.Chng minh rng MP vung gc vi NQ.

Gii

Trng hp tgic ABCD c t nht 1 cp cnh i song song th n gin, ta s gii bi ton trongtrng hp cn li.Xt cc v i cc i vi (I)AB ct CD E

AD ct BC FTa thy cc ca MP l E ,cc ca NQ l F. gii bi ton ta cn chng minh IE v IF vung gcvi nhau.Tht vy

Ch IE,IF ln lt l phn gic caNn gi giao im ca IF vi AB v CD ln lt l S,V th ta cn chng minh tam gic ESV cn tiETa thysuy ra tam gic ESV cn E.Suy ra iu cn chng minh.


11/16

Bi ton 7:Cho tam gic ABC c ng trong ni tip l (I).Tip im ca (I) trnBC,CA,AB ln lt l D,E,F. AD ct li (I) M.ng thng qua M vung gc vi ADct EF N.Chng minh rng AN//BC.Gii

Xt cc v i cc i vi (I)Gi P l giao im th hai ca MN vi (I),d thy D,P,I thng hngEF ct IP,IA ln lt J,G.Ta thy suy ra M,G,I,D ng vin.Do :

Suy ra MGJP ni tipT c : Ch rng G l trung im ca FE nn suy ra (NJEF)=-1 (Theo Maclaurine)Hay N thuc ng i cc ca J (theo h qu 2) (1)Mt khc ng i cc ca A l EF i qua J nn ng i cc ca J i qua A (nh l 3) (2)

T (1) v (2) suy ra ng i cc ca J l AN ,theo nh l (2) ta c : IJ vung gc vi ANM IJ vung gc vi BC nn suy ra iu phi chng minh.

Bnh lun:+) C th khi qut tng dng cc v i cc chng minh tnh song song nh sau: Gi s chai ng thng d,d' v ng trn (O). chng minh d//d' ta cn chng minh tm O nm trnng ni hai cc ca d v d' i vi (O)(Trng hp c mt trong 2 ng i quan tm ng trnxt cc v i cc th n gin hn ).V tt nhin chng minh tnh thng hng lin quan ti tmng trn ta c th lm ngc li,iu s c bn chi tit hn phn sau.__________________II/CHNG MINH TNH THNG HNG V NG QUY ;

y l dng ng dng ph bin v c l c nhiu bn quen dng nht.V phnny , cc bi ton v d s c mc khng cao lm nhng th hin cch thc

s dng,nhng bi ton kh hn s c t phn bi tp. Chng ta s bt u


12/16

bng bi ton sau:

Bi ton 8: Cho tam gic ABC vi (I) l ng trn ni tip .Tip im ca (I) trn BC,CA,AB ln

lt l D,E,F.Gi M,N,P ln lt l im chung ca cc cp ng thng (EF,BC) ,(DF,CA),(DE,AB).Chng minh rng M,N,P thng hng

Gii

Xt cc v i cc i vi (I).ng i cc ca A l EF i qua M,nn ng i cc ca M i qua A.(nh l 3)Mt khc d thy ng i cc ca M i qua D nn suy ra ng i cc ca M l AD.Hon ton tng t ta c:ng i cc ca N l BE v ng i cc ca P l CFMt khc dng nh l Ceva ta s c AD,BE,CF ng quy nn theo nh l 4 ta c M,N,P thnghng!Bnh lun:Bi ton trn c th m rng nh sau:

Bi ton 8.1:Cho tam gic ABC v 3 im D,E,F theo th t thuc BC,CA,AB sao choAD,BE,CF ng quy v D,E,F khc trung im on thng.Gi M,N,P ln lt l im chung cacc cp ng thng (EF,BC) ,(DF,CA) ,(DE,AB).Chng minh rng M,N,P hng hng

Bn c th gii bi ton 8.1 bng nh l Menelaus nhng thm ch bi ton m rng nycng ch l trng hp c bit ca nh l Desargues m thi!!!!

Trong bi ton 8 c s dng kt qu AD,BE,CF ng quy v ngay sau y ti s trnh by mt ktqu m rng hn ca n:

Bi ton 9: (nh l Brianchon)Chng minh rng ba ng cho ca mt lc gic ngoi tip ngquy .

Gii


13/16

Ta k hiu ABCDEF l lc gic ngoi tip (O).Tip im ca (O) trn

AB,BC,CD,DE,EF,FA ln lt l M,N,P,Q,R,S.Xt cc v i cc i vi (O)Gi I,J,K ln lt l giao im ca cc cp ng thng (SM,PQ) ,(MN,QR),(NP,RS)Dng nh l Pascal cho lc gic ni tip MNPQRS ta c I,J,K thng hng.Theo nh l 4 th cc ng i cc ca I,J,K ng quy.M d thy cc ng i cc ca I,J,K ln lt l AD,BE,CF nn ta c AD,BE,CF ng quy .Nh vy ta c iu cn chng minh!

Bi ton sau l mt s pht trin t bi ton 8 v c nhiu im th v.

Bi ton 10:Cho tam gic ABC, ng trn ni tip tip xc vi BC, CA, AB ln lt ti D, E, F.

ng trn ni tip tam gic DEF tip xc vi EF, FD, DE ln lt ti M,P , N. Chng minh rngAM, BP, CN ng quy.Gii:

Gi I ,O ln lt l tm ng trn ni tip tam gic DEF v ABCGi H,K,L ln lt l giao im ca cc cp ng thng (MP,EF),(MN,FD),(MP,DE)

Theo bi ton 8 ta c H,K,L thng hng.(*)


14/16

Ch rng DM,FN,EP ng quy nn (HMFE)=-1Do M thuc ng i cc ca H i vi (O) (theo h qu 2)Mt khc d thy A thuc ng i cc ca H i vi (O) nn ta c AM l ng i cc ca H i vi (O). (1)

Tng t cBPl ng i cc ca K i vi (O) (2).CN l ng i cc ca L i vi (O). (3)

T (1),(2),(3), (*) v nh l 4 ta c iu cn chng minh.

Bnh lun:Bi ton ny c th m rng nh sau:

Bi ton 10.1:Cho tam gic ABC. D, E, F thuc BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF ng quy. M, P,N thuc EF, FD, DE sao cho DM, EP, FN ng quy. Chng minh rng AM, BP, CN ng quy. Chng minh ca bi 10.1 bn c th tm trong [1].

Qua 3 bi ton trn hn cc bn thy r hiu lc ca nh l 4 cho nhng bi ton phn ny.Tuynhin c nhng trng hp m nh l 4 li lm phc tp vn v c th lm bi ton kh ln rtnhiu bi v vic dng cc hoc ng i cc l phc tp. Trong nhng trng hp y ta cn linhhot v tinh hn, khng th c p dng my mc c.Mt v d hay m tng gii lphngphp tp hp imc cp ngay sau y:

Bi ton 11: Cho t gic ABCD ni tip (O).M,N ln lt l trung im ca AB,CD. (ABN) ct liAB P.(CDM) ct li CD Q .Chng minh rng AC,PQ,BD ng quy.

Gii

Khi AB//CD th bi ton n gin,ta s xt trng hp cn li:Gi S l giao im ca AB v CD.Gi d l ng i cc ca S i vi (O)Gi I l giao im ca AC v BD th d thy I thuc d (1)Ta thy : Ch M l trung im ca AB nn ta c (SQAB)=-1Theo h qu 2 s c Q thuc d (2)Tng t c P thuc d (3)T (1),(2) v (3) suy ra iu cn chng minh


15/16

C nhng trng hp m c ng thng tham gia ng quy khng c cc hoc im tham giathng hng khng c ng i cc vi ng trn.Ta s xt bi ton sau:

Bi ton 12:Trong tam gic ABC k cc ng cao AA',BB',CC' v gi H l trc tm ca tam gic.Gi J l mt giao im ca AA' vi ng trn (I) ng knh BC.Chng minh rng BC,B'C' v tiptuyn ti J ca (I) ng quy.Gii:

Gi giao im ca AH vi (I) l nh hnh v , th th J s l hoc . Ta s chngminhBC,B'C' v tip tuyn ti ca (I) ng quy. (vi th tng t)Xt cc v i cc i vi (I).Ta thy BC khng h c cc,nn nh l 4 hon ton bt lc!!Ta s s dng mt phng thc khc:Gi giao im ca BC v B'C' l STa thyAH l ng i cc ca S , m AH i qua nn ng i cc ca s i qua S (nh l 3) haytip tuyn tii qua S. Vy ta c iu cn chng minh.

Bnh lun:+) y l mt bi tptrong cun :"Bi tp hnh hc 10 nng cao" i km SGK.+) Bi ton tht n gin khi ta thay i cch nhn .+) Ta thy SH l ng i cc ca A nn AI vung gc vi SH ( Ni dung mt bi trong [3])+) B'C' i qua cc ca nn cc ca B'C' nm trn ,lp bi ton o v thay i i chtta c th i n bi ton sau:

Bi ton 12.1:Cho tam gic nhn ABC.Gi M l trung im ca BC v BE,CF l ccng cao ca tam gic .Ly D (khc M) l mt im nm trn ng trn ngoi tip catam gic EFM tha mn DE=DF. Chng minh rng AD vung gc vi BC.(Mathlinks Contest)

+) Trong bi 12.1 nhn nh tam gic vung l trc tm ca tam gic y th ta c th m rng nh

sau:


16/16

Bi ton 12.2:Cho t gic ABCD ni tip (O). AC v BD ct nhau I. Gi H,K ln ltl trc tm ca cc tam gic AID v BIC. HK ct (O) M v N. Gi J l giao im catip tuyn ti M,N ca (O).S l giao im ca AD v Bc. Chng minh rng S,I,J thng hng.

Tip n ta xt bi ton sau:

Bi ton 13:Gi O l tm ng trn ni tip t gic ABCD. Qua A,B,C,D ln lt v cc ngthng dA, dB ,dC v dD tng ng vung gc vi OA,OB,OC,OD.Cc cp ng thng dA v dB,dB v dC ,dC v dD ,dD v dA tng ng ct nhau K,L,M,N.Chng minh rng KM v LN ctnhau ti O.(Trch cuc thi ton ma ng ti Bulgaria ,1996 )

Gii:

Xt cc v i cc i vi (O)Ta thy O khng c ng i cc ,nh l 4 li v dng .Rt th v rng y nh l 2 li cho thysc mnh ca mnh!!!!!!Gi I,J,P,Q ln lt l tip im ca (O) trn AB,BC,CD,DA.Gi E,F,G,H ln lt l giao im ca cc cp ng thng:(OA,IQ),(OB,IJ),(OC,JP),(OD,PQ).Ta s chng minh K,O,M thng hng, cn li tng t.Theo gi thit bi ton ta s c:dA l ng i cc ca EdB l ng i cc ca F

T d c EF l ng i cc ca K (1)Tng t th GH l ng i cc ca M. (2)Mt khc d thy EF//GH (3)T (1),(2),(3) ,nh l 2 v tin Euclid ta d c iu cn chng minh.

Documents

Ứng dụng của cực và đối cực