7/26/2019 TS_6nn

1/45

Dinamiki sistemi

7/26/2019 TS_6nn

2/45

Podsetnikhttp://demonstrations.wolfram.com/IllustratingSineWithTheUnitCircle/

7/26/2019 TS_6nn

3/45

Uvod u prostor stanja

Diferencijalne jednaine se mogu reiti analitiki kada su linearne i kadasu nelinearnosti vrlo jednostavne.

U suprotnom, jednaine se mogu reiti samo numeriki.

Da bi se jednaine reile numeriki, diferencijalne jednaine se konvertujuu standardan format.

Standardni format je skup nelinearnih diferencijalnih jednaina I-og reda,koje se nazivaju jednaine stanja.

Jednaine se konvertuju u standardan format da bi se omoguila primenaodgovarajue numerike procedure koja je takoe standardizovana.

7/26/2019 TS_6nn

4/45

Uvod u prostor stanja

Za male uglove linearizacija

s = L

sin

... kinetika energija_ potencijalna energija

7/26/2019 TS_6nn

5/45

...

Jedan stepen slobode klatna povezan je sa konfiguracijom klatna. Iz tograzloga, linearizacija pomenuta u prethodnom objanjavanju fizikalnog

procesa vrena je u konfiguracionom prostoru a u ovom sluaju izvodi seodmah u prostoru stanja.

Stanje klatna sastoji se od ugla teta i njegove ugaone brzine .

Kada su ugao teta i njegov prvi izvod propisani kao poetni uslovi,budue stanje sistema moe se predvideti - zato se termin stanje i koristi.

Promenljive stanja klatna su:

( )t

.

( )t

7/26/2019 TS_6nn

6/45

...

Dve jednaine koje opisuju kretanje klatna preko promenljivih stanja su:

To su dve diferencijalne jednaine I-og reda. Prva jednaina definiex2(t) kao vremenski izvod x1(t) a druga je jednaina kretanja koja jeizvedena iz jednaine (**).

Dakle, jedna diferencijalna jednaina II-og reda konvertovana je udve diferencijalne jednaine I-og reda.

(**)

7/26/2019 TS_6nn

7/45

...

U praksi, lake je reavati obinu diferencijalnu jednainu kao sistemjednaina koji ukljuuje samo prve izvode.

Moe se proveriti da je ovaj sistem jednak originalnoj jednaini

Promenljive x i y mogu se tumaiti geometrijski. Zaista, ugao x= odgovara taki nakrugu, dok brzina y = odgovara taki na pravoj liniji. Dakle, skup svih stanja (x,y)moe se predstaviti cilindrom, proizvodom kruga i linije.

.

Svakoj taki (x,y) u faznom prostoru postojipridruen vektor

Ovo se geometrijski moe tumaiti kaovektorsko polje nad cilindrom

7/26/2019 TS_6nn

8/45

...

Vektorsko polje se takoe moe tumaiti kao vektor brzine polja. To znaida se taka X u faznom polju kree du putanje tako da je njen vektor

brzine u svakom trenutku jednak vektoru vektorskog polja pridruenoglokaciji X. Takva putanja, X(t), naziva se i orbita, je jednostavno (prosto)reenje diferencijalne jednaine

gde je Fvektorsko polje definisano sa

7/26/2019 TS_6nn

9/45

...

Meutim, pogodnije je trajektorije predstaviti u ravni nego na cilindru. Tose moe postii razvijanjem cilindrinog faznog prostora po periodici na

faznu ravan i tako se dobija tzv. fazni portret.

7/26/2019 TS_6nn

10/45

...

Model sistema u prostoru stanja opisuje neki sistem korienjemn diferencijalnih jednaina prvog reda umesto

matematikog modela odreenog diferencijalnom jednainom n-tog reda.

Vektorsko-matrini oblik modela u prostoru stanja linearnog sistema je

definisan na sledei nain:

- jednaina stanja

- jednaina izlaza

7/26/2019 TS_6nn

11/45

...

Sa definisani su sledei vektori:( ), ( ), ( )x t u t y t

7/26/2019 TS_6nn

12/45

...

Promenljive stanja: podskup promenljivih sistema koje, ako su poznate upoetnom trenutku zajedno sa ulazima u sistem, mogu se odrediti za svaki

trenutak t > +t0. Generalno, promenljive stanja predstavljaju stanje energijeelemenata sistema koji uvaju (sadre) energiju.

Jednaine stanja: n linearno nezavisnih diferencijalnihjednaina I redakoje povezuju prve izvode promenljivih stanja s funkcijama promenljivihstanja i ulaza.

Izlazne promenljive: algebarskejednaine koje povezuju promenljivestanja sa izlazima iz sistema.

7/26/2019 TS_6nn

13/45

...

Model prostora stanja moe se nai koristei sledeu proceduru:

Odrediti elemente koji skladite energiju Odrediti energetske odnose u svakom elementu (matemat. formula) Izabrati promenljive stanja za energetske odnose

Nai trivijalne, poetne jednaine stanja Nai ostale jednaine iz fizikalnih odnosa i matemat. modela Definisati vektor stanja (promenljive stanja u vektoru)

Uzeti izvode vektora stanja i sloiti vektorsko-matrinu jednainu

7/26/2019 TS_6nn

14/45

...

A, B, C i D matrice definisane su kao:

A, dim A = nx n, matrica stanja

B, dim B = nx r , ulazna matrica

C, dim C = mx n, matrica izlaza i

D, dim D = m x r , izlazno-ulazna matrica.

7/26/2019 TS_6nn

15/45

...

Matrini proizvod kod modela prostora stanja

7/26/2019 TS_6nn

16/45

Dinamiki sistemi

Izuavajui ponaanje upravljanih sistema susreemo se spotrebom prouavanja njihovog kretanja-promene njihovogstanja. Ali, promena stanja nekog sistema nije mogua bezprocesa pretvaranja i prenosa energije i mase u njegovimsastavnim elementima.

Tako je, na primer, promena temperature tela povezana spromenom njegove unutranje energije, a za promenu nivoau rezervoaru potrebno je menjati koliinu tenosti koja se

nalazi u njemu.ivotinja, radi promene svog poloaja u prostoru, u tokukonanog vremena, mora da ostvari brzinu razliitu od nule,

to sa svoje strane iziskuje akumulaciju rezervi kinetikeenergije.

7/26/2019 TS_6nn

17/45

...

Ako bi promena stanja sistema mogla da nastane trenutno,to bi znailo da je zaliha energije ili materije u njemu zabeskonano malo vreme dobila konaan prirataj. Ali za to bibilo potrebno da jaina energetske struje ili toka materije imabeskonano veliku vrednost, to je nemogue.

U skladu s ovim, stanje realnog sistema ne moe da semenja trenutno, ve se njegova promena deava u toku

vremena kao rezultat odreenog procesa, nazvanogprelazni proces.

7/26/2019 TS_6nn

18/45

...

Sistemi, iji prelazi iz jednog stanja u drugo ne mogu dase izvre trenutno, venastaju kao rezultat prelaznogprocesa, nazivaju se dinamiki sistemi.

Iz izloenog je jasno da su, strogo govorei, svi realni sistemidinamiki sistemi. Ali, moe u sluajevima kada je trajanjeprelaznog procesa zanemarivo malo u odnosu na trajanjeispitivane pojave, a karakter odvijanja prelaznog procesa ne

utie bitno na ponaanje sistema, da se ne obraa panja nadinamike osobine prouavanog sistema i da se priblinosmatra da uzroci izazivaju trenutne promene njegovih stanja.

7/26/2019 TS_6nn

19/45

Reimi dinamikog sistema

Treba razlikovati tri karakteristina tipa ponaanja sistematri reima, u kojima moe da se nalazi dinamiki sistem:ravnoteni,

prelazni i

periodini.

Govoriemo da se sistem nalazi u ravnotenom reimu, ako

se njegovo stanje ne menja vremenom. Stanje u kome senalazi sistem kada se nijedna od njegovih koordinata nemenja, nazvaemo njegovim ravnotenim stanjem.

7/26/2019 TS_6nn

20/45

U prostoru stanja sistema njegova ravnotena stanja bieprikazana nepokretnim takama.

Jasno je da se sistem ne moe u svim takama prostorastanja nalaziti u ravnotenom reimu, ve samo u nekim posebnimtakama, ili u posebnim skupovima taaka.

Razmotrimo kao primer kretanje broda oko svoje podunehorizontalne ose.

7/26/2019 TS_6nn

21/45

...

Dve koordinate odreuju stanje

posmatranog sistema:ugao , koji zaklapa vertikalna osaO'O' broda s pravcem prema centru

zemlje OO iugaona brzina vertikalne ose broda.

Kretanje broda oko podune ose

teite

7/26/2019 TS_6nn

22/45

...

Stanje ravnotee u posmatranom sistemumoe nastupiti samo pri takvom poloaju

broda, kada se njegovo teite R nalazina osi OO (poloaj Ro), a da je pritome ugaona brzina =0. Taka a0 , kojaprikazuje ravnoteno stanje sistema, u

ovom sluaju ima koordinate =0; ====0000.Ako se premesti deo tereta sa levogboka broda na desni, promenie seravnoteni poloaj broda i bie prikazan,

na primer, takom a1 s koordinatama =0,=0,=0,=0,====1111.

Ali za svaki raspored tereta sistem

ima samo jedno ravnotenostanje.

Fazna trajektorija priguenihoscilacija broda oko njegovepodune ose

7/26/2019 TS_6nn

23/45

...

Pod prelaznim reimom podrazumevaemo reim kretanjadinamikog sistema iz nekog poetnog stanja u bilo kojinjegov ustaljeni reim ravnoteni ili periodini.

Prelazni reim nastaje u sistemu pod uticajem

promene spoljnjeg dejstva ilipromene unutranjih svojstava sistema.

Na primer, u posmatranom sistemu prelazni proces se moejaviti pod uticajem vetra, koji menja nagib broda ili kao rezultatpromene poloaja teita R (usled premetanja tereta).

7/26/2019 TS_6nn

24/45

...

Ako se premetanje tereta, koje izaziva promenu ravnotenogstanja broda, izvri toliko brzo, da njegov nagib ne uspeva zato vreme bitno da se promeni, moe se smatrati da sekretanje odvija iz poetnog poloaja a0 pri nepromenjenompoloaju teita broda RR1.

Teina G, upravljena paralelno osi OO i priloena u teituR1, stvarae obrtni moment prinuujui brod da se rastuom

brzinom zaokree u pravcu novog poloaja ravnotee. Pritome, reprezentativna taka e se kretati po trajektoriji 12,dok se teite R1 ne nae na osi OO.

7/26/2019 TS_6nn

25/45

...

Mada stanje sistema prikazano takom 2 odgovararavnotenoj vrednosti nagiba (====1111) i, mada se obrtnimoment, stvoren delovanjem sile G, u toj taki anulira, brod

se u tom poloaju ne

e zaustaviti, poto ugaona brzina

nije jednaka nuli, ve e produiti da skree od ravnotenogpoloaja. Pri ovome se stvara obrtni moment koji deluje usuprotnom smeru od smera okretanja broda tako da

njegova brzina opada, a reprezentativna taka se kree potrajektoriji 23.

7/26/2019 TS_6nn

26/45

...

Na taj nain,

brod poinje da osciluje oko svog poloaja ravnotee 1111.

Usled koenja, koje izazivaju sile viskoznog trenja trupa brodao vodu, te oscilacije e se priguivati i

trajektorija reprezentativne take e imati vid spirale koja sezavija, kao to je pokazano na prethodnoj slici.

7/26/2019 TS_6nn

27/45

...

Reim, kada sistem u jednakim vremenskim razmacimadolazi u jedno isto stanje naziva se periodini reim. Samo udva sluaja u posmatranom sistemu moe da postojiperiodini reim:pod uticajem talasanja vode (prinudni periodini reim) i

u sluaju odsustva trenja o vodu (reim slobodnihnepriguenih oscilacija).Nepriguene slobodne oscilacije u ovakvom sistemu, razumese, treba shvatiti samo teorijski moguim pri priblinomispitivanju procesa. Fazne trajektorije moguih kretanjaposmatranog sistema u periodinom reimu pokazane su

na sledeoj slici.

7/26/2019 TS_6nn

28/45

...

Fazne trajektorije nepriguenih oscilacija broda oko njegovepodune ose

7/26/2019 TS_6nn

29/45

Fazni prostor

Efikasno prouavanje ponaanja dinamikog sistema nijemogue u bilo kom prostoru njegovih stanja.

Pri proizvoljnom izboru koordinata ukljuenih u prostorstanja

deava se da

nije mogue predvideti kretanje sistema.

7/26/2019 TS_6nn

30/45

...

U velikom broju primena dokazane su pogodnosti/prednosti prenosasnage preko hidraulikog sistema, u odnosu na ostale mogue

alternative. Prednosti su: mala masa, brz odgovor, u odnosu na komandni signal (brz odgovor, malavremenska konstanta), pouzdan rad, radi ili ne (crno belo), lak za odravanje, radi bez udara, buke i bez opasnosti od poara,

moe praktino da razvije neogranienu snagu ili obrtni moment.

Hidrauliki pokreta ima razvodnik i klip, koji se kreu u okviru svojih

cilindara, sa bliskim kontaktima zidova.

7/26/2019 TS_6nn

31/45

...

7/26/2019 TS_6nn

32/45

...

Neka, na primer, prouavamo ponaanje sistemahidraulinog pogona s pojaavaem, pokazanog na slici.

razvodnik

razvodnik

cilindar

cilindar

Ulaz - Poloaj

razvodnika

Izlaz poloaj klipa

7/26/2019 TS_6nn

33/45

...

On se sastoji iz razvodnika S1 i S2 i cilindara C1 i C2,sjedinjenih, kao to je pokazano na emi, tako da poloaj Y

razvodnika S1 odreuje brzinu pomeranja klipa u cilindru C1, apoloaj razvodnika S2, koga pomera klip cilindra C1, odreujebrzinu kretanja klipa u cilindru C2.

Posmatraemo kaoizlaznu veliinu poloaj X2 klipa cilindra C2, a kaoulaznu veliinu poloaj Y razvodnika S1.

7/26/2019 TS_6nn

34/45

*

Pretpostavimo da istraiva pokuava da objasni zakonitostikretanja tog sistema prouavajui trajektorije kretanja

reprezentativne take u ravni Y, X2(slika).

Prostor ulaznih i izlaznih promenljivih hidraulinih pogona

7/26/2019 TS_6nn

35/45

...

Tada se otkriva da u nizu sluajevajednom istom poloaju naulazu Y i na izlazu X2sistema, prikazanog takom a1,

odgovaraju razne trajektorije kretanja reprezentativne take.

Ponekad se iz tog poloaja klip kree udesno, ponekad ulevo, a ponekad klip poinje da se kree u jednom smeru, azatim se sam zaustavlja i poinje da se kree u suprotnomsmeru. Ista takva slika se opaa pri kretanju iz poetnog

stanja a2 i bilo kog drugog.Takva nepredvidljivost ponaanja sistema liava istraivaamogunosti da proui njegova svojstva i svedoi o postojanju

principijelne greke u prilazu prouavanoj pojavi.

7/26/2019 TS_6nn

36/45

...

U datom sluaju spor se objanjava time to istraiva nijeuveo u razmatranje koordinatu X1 koja karakterie poloaj

razvodnika S2.

U prostoru Y, X1, X2 svakoj odreenoj vrednosti ulaza Y=Yjodgovara skup trajektorija koje se ne seku i kojejednoznanoodreuju kretanje sistema iz bilo kognjegovog poetnog stanja, kao to je pokazano na sledeoj

slici

7/26/2019 TS_6nn

37/45

Fazni prostor hidraulinog pogona s pojaavaem

7/26/2019 TS_6nn

38/45

Prostor u kome se kretanje sistema prikazujetrajektorijama koje se ne seku, tako da pri nepromenjenom

spoljnjem dejstvu svakom po

etnom stanju sistemajednoznano odgovara njegovo dalje ponaanje, nazivase fazni prostor, a koordinate tog prostora faznekoordinate.

Skup faznih trajektorija, koje opisuju kretanje sistema, nazivase fazni portret.

7/26/2019 TS_6nn

39/45

...

Treba imati u vidu, da je fazni prostor bilo kog dinamikogsistema potpuno ispunjen faznim trajektorijama, tj. kroz svaku

taku tog prostora prolazi trajektorija, mada se radipreglednosti pokazuju samo neke od njih kao to je, naprimer, uinjeno na skupu faznih portreta datih na prethodnoj

slici.

Ova slika pokazuje takoe, da, menjajui spoljnja dejstva

na sistem, moemo bitno promeniti njegov fazni portret.

7/26/2019 TS_6nn

40/45

...

Broj dimenzija faznog prostora naziva se red sistema.

Kretanje sistema pokazanih na slikama (brod i hidraulinipogon) jednoznano se prikazuje u dvo-dimenzionalnomfaznom prostoru, to dozvoljava da ih svrstamo u sistemedrugog reda.

Sloeniji sistemi e pripadati sistemima vieg reda, a njihovifazni prostori e biti viedimenzionalni. Tako na primer, ako

se u hidraulini pogon pokazan ranije ukljue dopunskakaskadna pojaanja, red sistema e se povisiti do vrednosti n,

jednake broju cilindara u postrojenju.

7/26/2019 TS_6nn

41/45

...

Fazne trajektorije dinamikih sistema mogu se konstruisati naosnovu eksperimentalnih podataka. Radi toga mogu semeriti vrednosti faznih koordinata u toku procesa kretanjasistema pri stalnim vrednostima ulaznih dejstava.

Poloaj reprezentalivne take se odreuje, pri tome,vrednostima koordinata u odreenim momentima vremena.

Ispitujui ove procese pri razliitim stanjima sistema,moe se nai skup faznih trajektorija i konstruisati, na tajnain, fazni portret sistema.

7/26/2019 TS_6nn

42/45

...

Za dinamike sisteme, ije se ponaanje moe opisatiodgovarajuim jednainama, fazni portreti se moguodrediti analitiki. Na primer, za hidraulini pogon, koji jeprethodno opisan, mogue je konstruisati skup faznih likova,na sledei nain.

Oznaimo sa k koeficijent proporcionalnosti kojim supovezane brzina kretanja klipa i poloaj upravljakograzvodnika. Tada e se, pri stalnom poloaju razvodnika

S1, poloaj poluge njegovog klipa (koordinata X1) menjati pozakonu

X1 (t)=X1p+k (4.1)

Y

Yt

7/26/2019 TS_6nn

43/45

...

gde je X1p,= X1(0) poetna vrednost koordinate X1.Analogno ovome, za koordinatu X

2

imamo

X2(t)=X2p+kX1t (4.2)

Eliminiui vreme t iz (4.1) i (4.2) dobijamo

Izraz odreuje funkcionalnu vezu izmeu koordinata X1 i X2.

1 2

2 2 1 11p

pXX X X X

Y Y= +

7/26/2019 TS_6nn

44/45

...

U datom sluaju ta funkcija ima oblik parabole.

Kao to se vidi iz izraza, oblik fazne trajektorije zavisi od

koordinata take, koja prikazuje poetno stanje sistema (X1p iX2P), i

od vrednosti ulaznog dejstva .Y

7/26/2019 TS_6nn

45/45

?

?

* Materijal pripremljen za korienje u nekomercijalne obrazovne svrhe u skladu sa

lanom 44. Zakona o autorskim i srodnim pravima - ("Sl. glasnik RS", br. 104/2009 i 99/2011)