Turunan 21-03-16

8/19/2019 Turunan 21-03-16

1/16

8/19/2019 Turunan 21-03-16

2/16

). *ika diketahui dimana + dan n konstanta real, maka

Perhatikan contoh berikut &

2. *ika diketahui y#+ dan


. -ntuk y#f$"%g$"% maka


/. -ntuk y#f$"%.g$"% maka

atau dapat juga kita misalkan f$"%#u dan g$"%# sehingga rumus turunan u.#u0u0

contoh &

1.

8/19/2019 Turunan 21-03-16

3/16

. -ntuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini.

TURUNAN KEDUA

Turunan kedua dari y#f$"% terhadap " dinotasikan sebagai berikut

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama.


Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk &

8/19/2019 Turunan 21-03-16

4/16

a. !enentukan gradien garis singgung kura

*ika diketahui garis g menyinggung kura y#f$"% pada titik $a,f$a%% sehingga gradien untuk g adalah

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kura y#"3" dititik $),(/% 4

Penyelesaian &

Sehingga gradien garis singgung kura y#"3" dititik $),(/% adalah m#y$)%#2.)#1

b. !enentukan apakah interal tersebut naik atau turun

kura y #f$"% naik jika f 5 $"% 67 dan kura y#f$"% turun jika f 5 $"% 87. 9alu bagaimana cara

menentukan f 5 $"% 6 7 atau f 5 $"% 87 : kita gunakan garis bilangan dari f 5 $"%. Perhatikan contoh

berikut &

Tentukanlah interal naik dan interal turun dari fungsi y#""3(2/" 4

*awab &

y#f$"%#""3(2/"

8/19/2019 Turunan 21-03-16

5/16

y0#"3(=(2/

nilai ekstrim diperoleh dari y0#o maka

"3(=(2/ # 7

$"3(2=(>%#7

$"(/%$"2%#7

")#/ ; "2#(2

?erdasarkan garis bilangan diatas &

@ungsi maksimum pada "#(2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu &

f$(2%#$(2%($(2%3(2/$(2%(B

f$(2%#2)

@ungsi minimum pada "#/ sehingga nilai balik minimumnya yaitu &

f$/%#$/%($/%3(2/$/%(B

f$/%#(>B

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

?erikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri &


*awab &

8/19/2019 Turunan 21-03-16

6/16

http://rumus-matematika.com/rumus-turunan-lengkap-beserta-contoh/

Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan

a. Menghitung Limit Fungsi yang Mengarah ke KonsepTurunan

Jika diketahui fungsi f ( x ), maka turunan pertamanya didenisikan:

Contoh :

Tentukan turunan pertama dari

a. f ( x ) ! "

b. f ( x ) ! x # $

Penyelesaian :

a. f ( x ) ! "

http://rumus-matematika.com/rumus-turunan-lengkap-beserta-contoh/http://rumus-matematika.com/rumus-turunan-lengkap-beserta-contoh/

8/19/2019 Turunan 21-03-16

7/16

f%(&) ! ! ! ', adi turunan fungsi konstan

adalah nol.

b. f ( x ) ! x # $

f ( x h) ! x h # $

f%(&) !

!

! ! * ! *

b. Menghitung Turunan Fungsi yang Sederhana denganMenggunakan Defnisi Turunan

+umus-rumus turunan fungsi alabar :

y u ! v " maka y' u' ! v'

y k u" maka y' k u'

y u v " maka y' u'v + uv'

y " maka y'

y ! un" maka y' n. un # $ u'

• Turunan fungsi yang berbentuk y ! u v

Contoh :

arilah f%(&) ika f ( x ) ! x $ x

Penyelesaian :

8/19/2019 Turunan 21-03-16

8/16

f ( x ) ! x $ x

misal : u ! &$ 0 u% ! . $ . &$ # * ! 1&* ! 1&

2 ! & 0 2% ! . * . &* # * ! &' ! . * !

Jadi ika f ( x ) ! u v , maka f 3( x ) ! u' v' ! 1 x

• Turunan fungsi yang berbentuk y ! u . 2

Contoh :

arilah ika : y ! x (4 x )

Penyelesaian :

y ! x (4 x )

misal: u ! x 0 u' ! *

v ! 4 x 0 v' ! 4 ' ! 4

adi ika y ! u.2, maka y' ! u' v u v'

y' ! * (4 x ) x (4)

y' ! 4 x 4 x

y% ! *'& atau = *'& + 3

Turunan %ungsi trigonometri

a. Jika y ! sin x , maka y' ! cos x

b. Jika y ! cos x , maka y' ! #sin x

8/19/2019 Turunan 21-03-16

9/16

&ontoh :

Tentukan turunan pertama fungsi berikut

*. f ( x ) ! sin x

f'( x ) ! cos &

$. f ( x ) ! 4 sin ( & 1)

f'( x ) ! 4 . cos ( & 1)

! cos ( & 1)

http://pandaimatematika.com/**ipa/mod/page/2iew.php5id!4$

Turunan

Misal, diberikan fungsi 6!f(&), nilai turunan dari fungsi f dititik c di denisikan:

Jika nilai limit tersebut ada, maka dikatakan bahwa f diferensiabel (dapat di turunkan) di titik c.

7elanutnya untuk f(&), kita pandang & sebagai c, sehingga diperoleh fungsiturunan f(&) adalah

untuk menghitung nilai turunan f di titik c (menghitung m atau gradien garissinggung kur2a f di titik c), silakan klik di sini.

7elain notasi f%(&) diatas, turunan fungsi f(&) dapat ditulis dengan notasidf(&)/d& atau dy/d&. 8otasi ini disebut notasi 9eibni, karena dikemukakanpertama kali oleh seorang matematikawan Jerman bernama ;ottfried

8/19/2019 Turunan 21-03-16

10/16

Definisi/Pengertian IN!"#$%

Dalam pela&aran matematika telah di kenal arti in'ers. Misalna, pen&umlahan dan pengurangan,

perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar pangkat menun&ukkan perasi*

perasi ang saling in'ers.

+perasi in'ers dari deferensiasi(penurunan) adalah anti deferensiasi(anti

turunan/pengintegralan).

Jika (-)-01-213 maka 4(-)52-12-.

Misalkan fungsi turunanna adalah f(-)52-12-, maka dikatakan bahwa merupakan anti

turunan dari f. Jika "(-) -01-2153, maka " &uga merupakan anti turunan(integral) dari f.

Maka, setiap anti turunan dari f akan berbentuk (-)-01-21c, dengan c adalah sebarang

knstanta. Prses untuk menemukan anti turunan dari suatu fungsi di sebut anti deferensiasi atau

pengintegralan.

Ntasi integral.

6emua anti turuanan dari fungsi f di ntasikan sebagai7

(dibaca integral f(&) terhadap &). =f(&)d& disebut integral tak tentu f(&) dan f(&)disebut integran.

Jika suatu fungsi anti turunan dari f, maka =f(-)d-(-)1c, 4(-)f(-) dengan c disebut

knstanta pengintegralan.

>ntegral Tertentu

7imbol

disebut integral tertentu dari f dari -a hingga -b. ungsi f(-) di sebut integran , a dan bdisebut batas bawah dan batas atas integrasi(pengintegralan). Jika f(&) kontinyupada inter2al a?!&?!b, dan (-) adalah suatu integral dari f(-), maka integral tertentu ditentukan7

http://online-math.site@'.net/denisi-limit-turunan-integral.php

http://online-math.site90.net/definisi-limit-turunan-integral.phphttp://online-math.site90.net/definisi-limit-turunan-integral.php

8/19/2019 Turunan 21-03-16

11/16

Turunan

Crafik fungsi turunan.

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap

ariabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun

diferensiasi.

Secara matematis, turunan fungsi D$"% terhadap ariabel " adalah DE yang nilainya pada titik " adalah&

,

dengan syarat limit tersebut eksis. *ika DE eksis pada titik " tertentu, kita katakan bahwa D

terdiferensialkan $memiliki turunan% pada ", dan jika DE eksis di setiap titik pada domain D, kita sebut D

terdiferensialkan.

Fpabila z # x h, h # z ( x , dan h mendekati 7 jika dan hanya jika z mendekati x , maka definisi

turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai&

8/19/2019 Turunan 21-03-16

12/16

Caris singgung pada $ x , f $ x %%. Turunan f' $ x % sebuah kura pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang

menyinggung kura pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi pada definisi turunan di atas merupakan gradiendari garis sekan yang melewati titik $ x ,D$"%% dan $ x h,D$"%% pada kura D$"%. Fpabila kita mengambil

limit h mendekati 7, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung

kura D$"% pada titik ". Gal ini berarti pula garis singgung suatu kura merupakan limit dari garis

sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi D$"% merupakan gradien dari fungsi tersebut.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi pada titik $,H%&

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik

disebut kalkulus diferensial

Caris singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kura f $ x % di suatu titik adalah kemiringan dari garis

singgung yang menyinggung kura pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari

kemiringan garis sekan.

8/19/2019 Turunan 21-03-16

13/16

Notasi pendiferensialan

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan

turunan, meliputi notasi leibniJ, notasi 9agrange, notasi newton, dan notasi uler.

Notasi Leini! diperkenalkan oleh gotfried dan merupakan salah satu notasi yang paling awal

digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y # D$"% dipandang sebagai

hubungan fungsional antara ariabel bebas dengan ariabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut

terhadap " ditulis sebagai&

ataupun

Notasi Lagrange diperkenalkan oleh *oshep luis dan merupakan notasi yang paling sering

digunakan. 'alam notasi ini, turunan fungsi D$ x % ditulis sebagai DE$ x % ataupun hanya DE.

Notasi Ne"ton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan

turunan. Fpabila y # ƒ$t %, maka mewakili turunan y terhadap t . Aotasi ini hampir secara eksklusifdigunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Aotasi ini sering terlihat dalam

bidang f fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

Notasi Eu#er menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan

turunan pertamanya Df . Fpabila y # ƒ$ x % adalah ariabel terikat, maka sering kali x dilekatkan

pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan ariabel x . Aotasi uler kemudian ditulis sebagai&

atau .

Aotasi uler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier

Notasi Leini! Notasi Lagrange Notasi Ne"ton Notasi Eu#er

Turunan $% x & ter'adap x DE$ x %dengan y # ƒ$ x %

Integra#

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kura ƒ$ x %, antara dua titik adan b.

http://id.wikipedia.org/wiki/Fisikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Fisika

8/19/2019 Turunan 21-03-16

14/16

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah

ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai

pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu& integral tertentu dan integral tak

tentu. Aotasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang

memanjang $S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan%.

[ sunting ] Integral tertentu

'iberikan suatu fungsi ƒ berariabel real x dan interal antara La, bM pada garis real, integra# tertentu&

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang "y yang dibatasi oleh kura grafik ƒ,

sumbu(", dan garis ertikal x # a dan x # b.

Pada notasi integral di atas& a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan

domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan diealuasi terhadap x pada interal La,bM,dan dx adalah ariabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinteral dan semakin sempitnya lebar subinteral yang diambil, luas

keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kura.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya

digunakan adalah definisi integral Niemann. Integral Nieman didefinisikan sebagai limit

daripenjumlahan Niemann. !isalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh

fungsi ƒ pada interal tertutup La,bM. 'alam mencari luas daerah tersebut, interal La,bM dapat kita bagi

menjadi banyak subinteral yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n() titik

O x ), x 2, x ,..., x n ( ) antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan&

Gimpunan tersebut kita sebut sebagai partisiLa,bM, yang

membagi La,bM menjadi sejumlah n subinteral . 9ebar

subinteral pertama L x 7, x )M kita nyatakan sebagai Q x ), demikian pula lebar subinteral ke(i kita

nyatakan sebagai Q x i # x i ( x i ( ). Pada tiap(tiap subinteral inilah kita pilih suatu titik sembarang dan

pada subinteral ke(i tersebut kita memilih titik sembarang ti. !aka pada tiap(tiap subinteral akan

terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Q x dan tingginya berawal dari

sumbu x sampai menyentuh titik $t i, ƒ$t i%% pada kura. Fpabila kita menghitung luas tiap(tiap batangan

tersebut dengan mengalikan ƒ$t i%R Q x i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut,

kita akan dapatkan&

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus&action=edit&section=9http://id.wikipedia.org/wiki/Integral_Riemannhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integral_Riemannhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integral_Riemannhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Penjumlahan_Riemann&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus&action=edit&section=9http://id.wikipedia.org/wiki/Integral_Riemannhttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Penjumlahan_Riemann&action=edit&redlink=1

8/19/2019 Turunan 21-03-16

15/16

Penjumlahan S p disebut sebagai pen(u)#a'an Rie)ann untu* ƒ pada interva# +a,b-. Perhatikan

bahwa semakin kecil subinteral partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Niemann ini akan semakin

mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Fpabila kita mengambil limit dari norma partisimendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Niemann adalah&

'iberikan ƒ$ x % sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interal tertutup La,bM. Kita katakan bahwa

bilangan I adalahintegra# tertentu ƒ di sepanjang La,bM dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan

Niemann apabila kondisi berikut dipenuhi& -ntuk setiap bilangan 6 7 apapun terdapat

sebuah bilangan 6 7 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap

partisi di sepanjang La,bM dengan dan pilihan t i apapun pada L x k (

), t i M, kita dapatkan

Secara matematis dapat kita tuliskan&

Fpabila tiap(tiap partisi mempunyai sejumlah n subinteral yang sama, maka lebar Q x # $b(a%Un,

sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai&

9imit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinteral yang ada mendekati

tak terhingga banyaknya.

/onto'

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas

daerah A dibawah kura y # x pada interal L7,bM, b67, maka perhitungan integral tertentu

sebagai limit dari penjumlahan Niemannnya adalah

Pemilihan partisi ataupun titik t i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang

norma partisi tersebut mendekati nol. Fpabila kita memilih partisi P membagi(bagi interal L7,bM

menjadi n subinteral yang berlebar sama Q x # $b ( 7%Un # bUn dan titik t' i yang dipilih adalah titik akhir

kiri setiap subinteral, partisi yang kita dapatkan adalah&

8/19/2019 Turunan 21-03-16

16/16

dan , sehingga&

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 7, maka didapatkan&

'alam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut

jarang sekali digunakan karena tidak praktis.teorema dasar kalkulus Olihat saja bawahini memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

http://matematika-kuliner.blogspot.co.id/$'*$/'B/prinsip-prinsip-dasar.html
http://matematika-kuliner.blogspot.co.id/2012/04/prinsip-prinsip-dasar.htmlhttp://matematika-kuliner.blogspot.co.id/2012/04/prinsip-prinsip-dasar.html

Documents

Turunan 21-03-16