TURUNAN FUNGSITURUNAN FUNGSI(DIFERENSIAL FUNGSI)PENGERTIAN TURUNAN FUNGSIA. LAJU PERUBAHAN NILAI FUNGSIA.1 LAJU PERUBAHAN RATA-RATA tsVrata - rataPENGANTAR ILUSTRASISeorang murid mengendarai motor dari rumah ke sekolah yang jaraknya 15 km. Ia berangkat dari rumah pukul 06.00 dan jarak yang ditempuh dicatat setiap 5 menit dengan cara mengamati spidometer pada motornya.Catatan jarak yang ditempuh setiap 5 menit adalah sbb:06.00-06.05 2,506.05-06.10 1,2506.10-06.15 2,506.15-06.20 2,506.20-06.25 3,7506.25-06.30 2,5. adalah.... Sekolahke Rumahdari Motor i mengendara itusiswa rata - rata Kecepatan ? PertanyaanWaktuJarakKECEPATAN RATA-RATA DALAMINTERVAL WAKTU 2 1t t t KECEPATAN RATA-RATANYARUMUSNYA SBB :CONTOH1Gerak sebuah benda ditentukan dengan persamaan s=f(t)=4t-5 (s dalam meter dan t dalam detik). Tentukan besar kecepatan sesaat untuk waktu-waktu berikut ini :a).t=2 detikb).t=5 detikJawab am/detik 4 adalahdetik2 saat t pada sesaatKecepatan 4h4hLimit h3 4h 3Limit h5} - 8 { } 5 h) 4 {8Limit h5} - 4(2) { } 5 h) 4{(2Limit maka5 - 4t f(t) a Lintasanny ,hf(2) h) f(2Limit maka2 a jika ,hf(a) h) f(aLimit : sesaatKecepatan 0 h0 h0 h0 h0 h0 h + + + + +Jawab bm/detik 4 adalahdetik5 saat t pada sesaatKecepatan 4h4hLimit h15 4h 15Limit h5} - 20 { } 5 h) 4 {20Limit h5} - 4(5) { } 5 h) 4{(5Limit maka5 - 4t f(t) a Lintasanny ,hf(5) h) f(5Limit maka5 a jika ,hf(a) h) f(aLimit : sesaatKecepatan 0 h0 h0 h0 h0 h0 h + + + + +CONTOH2cm. 2 r ketika rjari - jari terhadapV volumebola perubahanlajuTentukan , r34f(r) V adalahitubola volumesehingga cm rjari - berjari bola Sebuah 3 Jawab 16 adalahcm 2 r saatpada bola Volume16 h)348 16 (Limit h348 16Limit h}332{ }348 16332{Limit h}332{ } ) )( 2 ( 3 ) 2 ( 3 8 {34Limit h} (2)34{ } h) {(234Limit makar34f(r) a Lintasanny ,hf(2) h) f(2Limit maka2 a jika ,hf(a) h) f(aLimit : sesaatKecepatan 20 h3 20 h3 20 h3 2 20 h3 30 h30 h0 h + ++ + + + + + + + + + +h h hh h hh h hh h hSOAL LATIHAN 1 x pada , 1 2x f(x)b).2 x pada 2x 3 f(x)a).: disebutkan yang titikpada ini berikut fungsi nilai sesaatperubahanlajuTentukan 3 + Definisi Turunan Fungsi,hf(a) h) f(aLimit (a) ' f0 h +CONTOH1.1 x pada2x, - 3 f(x) fungsi runanCarilah tuJAWAB-2 (1) ' f adalah1 x pada 2x, - 3 f(x) fungsi turunanJadi2 2 Limith2hLimit (1) ' fh2(1)} - {3 - h)} 2(1 - {3Limit (1) ' fhf(1) - h) f(1Limit (1) ' f(1) ' f adalah1 xpada 2x, - 3 f(x)0 h 0 h0 h0 h ++ CONTOH 2a nilai hitunglah 13, nilai mempunyai a, x pada, 2 3 4x f(x) Fungsi Turunan 2+ xJawab2 a nilai untuk13 nilaimempunyai a x pada 2 3 4x f(x) fungsi turunanJadi2 a16 8a 13 3 - 8a3 8 3 8 4 Limit} 3 8 4 h{Limit} 3 8 4 {Limit} 3 ) 4 8 {Limit} 2 3 4 { } 2 3 3 ) 4 8 {4aLimit } 2 3 4 { } 2 3 3 ) 2 {4(aLimit} 2 3 ) ( 4 { } 2 ) ( 3 ) ( 4 {Limithf(a) - h) f(aLimit (a) ' f adalah 2 xpada , 2 3 4x f(x) fungsi Turunan 20 h 0 h20 h20 h2 2 20 h2 2 20 h2 20 h0 h2 + + + + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + xa a hh a hhh ah hhh h ahha a h a h ahha a h a h ahha a h a h axSOAL LATIHANmungkin yang a nilai carilah19, (a) ' f Jikab.R a dengan(a) ' f Carilah a.} / { D asal daerah dengan , 7 231f(x) Diketahui2.2 x pada , x f(x)b.4 x pada 2x, - 5 f(x)a.disebutkan yang xnilai - nilai untuk berikut fungsi - fungsi dari runanCarilah tu1.f2 32 3 + R x xx x xxTEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI) (Terbukti0 0 Limithk - kLimit hf(x) - h) f(xLimit (x) ' f: BUKTI0dxdk atau 0. (x) ' f: maka konstan kdengan kf(x)JikaKONSTAN FUNGSI 1. TEOREMA0 h0 h0 h + CONTOH0 0 Limith5 5Limithf(x) h) f(xLimit (x) ' f: Jawab5 Limit Hitunglah0 h0 h0 h0 h FUNGSIIDENTITAS1 ) (dxdatau 1 (x) ' f maka x, f(x) JikaIDENTITAS FUNGSI2. TEOREMA x) (Terbukti1 1 Limit hhLimit hx - h xLimit hf(x) h) f(xLimit (x) ' f: BUKTI0 h0 h0 h0 h + +FUNGSI PANGKAT). Terbukti (nx x1n h ... h x2nx1nLimit hx hnn... h x2nh x1nx0nLimit hx h) (xLimithf(x) - h) f(xLimit (x) ' f: BUKTInx ) (xdxdatau nx (x) ' f maka rasional, bilangan n dan x f(x) JikaPANGKAT FUNGSI3. TEOREMA 1 - n 1 - n1 n -2 n 1 - n0 hn n 2 -2 n 1 - n n0 hn n0 h 0 h 1 - n n 1 - nn

,_

1]1

+ +

,_

+

,_

,_

+ +

,_

+

,_

+

,_

++ CONTOH 250x x 50 . 5 nx (x) ' f maka 50, n , 5x f(x)c. 100x 100x nx (x) ' f maka 100, n , x f(x)b. 3x 3x nx (x) ' f maka 3 n , x f(x)a.: SOLUSINYA5x f(x)c.x f(x)b.x f(x)a.: berikut fungsi - fungsi dari fungsi Turunan Carilah49 1 - 50 1 - n 5099 1 100 1 - n 1002 1 3 1 - n 3501003 AKTIVITAS SISWApecahan dan negatif bulat bilangan n untukbenar3 Teorema Buktikan. 2x f(x)f. x f(x)c. x f(x)e. x f(x)b. x f(x)d. 4 f(x)a. : berikut fungsi - fungsi dari Turunan Tentukan1.413 --2 510 HASIL KALI KONSTANTA DENGAN FUNGSI[ ] [ ]) Terbukti ( (x) ' c.f hf(x) - h) f(xc. Limit hc.f(x) - h) c.f(xLimit hg(x) - h) g(xLimit (x) ' g : BUKTI(x) ' c.f f(x)dxdc. c.f(x)dxdatau (x) ' c.f (x) ' g: maka ada, (x) ' f dan c.f(x) g(x) oleh kan didefinisiyang fungsi g dan konstanta, suatu c fungsi, suatu fJikaFUNGSI DENGAN KONSTANTA KALI HASIL4. TEOREMA0 h0 h0 h1]1

+++ CONTOH66x 55x .56

(x) ' .g56(x) ' f , x56f(x)c.9000x 100.90x (x) ' 100.g (x) ' f , 100x f(x)b.250x x56f(x)c.5.50x 100x f(x)b. (x) ' 5.g (x) ' f , 5x f(x)a.: SOLUSINYA5x f(x)a.: berikut f(x) fungsi Turunan Tentukan1.54545589899049 5549 9050 50 AKTIVITASSISWA88100xf(x)c.5x.x 50xf(x)e. 2x50f(x)b.110x55xf(x)d. x32f(x)a.: berikut f(x) fungsi Turunan Tentukan32 -310 50 -2035 -15 -3 JUMLAH DUA FUNGSIV' U' V) (Udxd atau(x) V' (x) U' (x) ' f 'ymakaV(x), U(x) f(x) y dan diturunkan dapat yangx dari fungsi - fungsi adalah V dan U JikaFUNGSI DUA JUMLAH 5. TEOREMA+ ++ + BUKTI[ ] [ ]) Terbukti ((x) v' (x) u'hv(x) - h) v(xLimithu(x) h) u(xLimithv(x) - h) v(xhu(x) h) u(xLimithv(x) u(x) h) v(x h) u(xLimithf(x) - h) f(xLimit (x) ' f0 h 0 h0 h0 h0 h+ ++ +1]1

++ ++ + + ++ SELISIHDUA FUNGSI v' - u' v) (udxd atau (x) V' - (x) U' (x) ' f ' y maka V(x), - U(x) f(x) y dan diturunkan dapat yang x dari fungsi - fungsi adalah V dan U JikaFUNGSI DUA SELISIH6. TEOREMA CONTOH17 - 12x 0 7.1 - 6.2x (2)dxd(x)dxd7 ) (xdxd6 (2)dxd) 7 (dxd) 6 (dxd(x) ' f 2 7 6x f(x): SOLUSINYA2 7 6x f(x) dari Turunan Tentukan22 22+ + + + + x x xxCONTOH2[ ] [ ]30 x41 1 . 30 2 .81

0 (x)dxd30 ) (xdxd81

180dxd30dxdx81dxd

180 30 x81dxd(x) C': berlaku sehingga 1 h dengan C(x) - h) C(x C Marginal Biaya: SOLUSINYAa. produksiny biaya dari marjinal biaya Tentukan rupiah. ribuan180 30 x81C(x) sebesarproduksi biaya dibutuhkan barangunit x i memproduks untukbahwa menaksirperusahaan Sebuah2222+ + + + + +1]1

1]1

+ + + + + xxxxAKTIVITASKELAS2222 3x22x f(x)c.2x) - (6 f(x)b.5 2 4x f(x)a.: BERIKUT FUNGSI - FUNGSI TURUNAN CARILAH+ + x xPERKALIAN DUA FUNGSI) U.(V' U'.(V) (U.V)dxd

: atau (x) U(x).V' (x).V(x) U' (x) ' f maka U(x).V(x), f(x) dan diturunkan dapat yangx dari fungsi - fungsi V dan U JikaFUNGSI. DUA PERKALIAN7. TEOREMA+ + BUKTI[ ] [ ]) Terbukti ((x) V(x).U' (x) U(x).V'hu(x) - h) u(xLimit v(x). Limithv(x) - h) v(xLimit h). u(x Limithu(x) - h) u(x v(x).Limit .hv(x) - h) v(x h) u(xLimithu(x).v(x) - h).v(x) u(x h).v(x) u(x - h) h).v(x u(xLimithu(x).v(x) - h) h).v(x u(xLimithf(x) - h) f(xLimit (x) ' f0 h 0 h 0 h 0 h0 h 0 h0 h0 h0 h+ ++++ + + ++ + + + ++ ++ CONTOH2 9x 8x 18x6x 6x 2 3x 8x 12xx) x )( 6 ( ) 1 2).(4x (3x(x).V(x) U' (x) U(x).V' (x) ' f: didapat 7 teorema dalam ke Masukan1 4x (x) V' dan 6x (x) U' x x V(x) dan 2 3x U(x) Misalkan: SOLUSINYAx) 2)(x (3x f(x) pertama turunan mencari untuk7 Teorema Gunakan2 3 52 5 2 3 54 3 234 24 2 + + + + + + + + + + + xPEMBAGIAN DUA FUNGSI[ ]2 2VUV' V U'VUdxd atauV(x)(x) U(x).V' - (x).V(x) U'(x) ' fmaka 0, V(x) ,V(x)U(x)f(x) dan, diturunkan dapat yang x dari fungsi - fungsi V dan U JikaFUNGSI. DUA PEMBAGIAN 8. TEOREMA1]1

CONTOH[ ]9) (x90 54x 40x 3x -

9) (x30x 9x 90 54x 10x 6x

9) (x) 10x)(3x (3x 9) 10).(x (6x 9) (x ) 10).(3x (3x - 9) (6x)(xV(x)(x) U(x).V' - (x).V(x) U'(x) ' f: didapat 8 Teorema n Berdasarka3x (x) V'9 x V(x) 6x (x) U' 10 3x U(x) Misalkan: SOLUSINYA9 x10 3xf(x) turunan mencari untuk8 Teorema Gunakan33 433 4 3 432 2 332 2 322 3232++ + +++ + + +++ + +++ + + + ++AKTIVITASSISWA

1 2x - x3 - 4x 3xf(x)d. 5 xx1- 3f(x)b.1 - 10x x3x 4xf(x)c. 2 51 2 3xf(x)a.: berikut fungsi - Fungsi Turunan Hitunglah2232 2+++++++ +xxTURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRITanx Y3.danCosx Y2.Sinx Y. 11.TURUNAN Y=SIN X) Terbukti (Cosx h) Cos(x Limith).1 Cos(x Limithh SinLimit h). Cos(x Limithh h)Sin Cos(xLimithh21h)Sin (2x212CosLimitSin - SinRms) (GunakanhSinx h) Sin(xLimithf(x) - h) f(xLimit (x) ' f: BUKTIx Cos (x) Y' maka x, Sin Y JikaX SIN F(X)210 h210 h21210 h210 h2121210 h21210 h0 h 0 h + + + ++ ++ x2. TURUNAN Y=COS X) Terbukti (Sinx h) Sin(x - Limith).1 Sin(x - Limithh SinLimit h). Sin(x - Limithh h)Sin Sin(x -Limit xhh21h)Sin (2x212Sin -LimitCos - CosRms) (GunakanhCosx h) Cos(xLimithf(x) - h) f(xLimit (x) ' f: BUKTIx Sin - (x) Y' maka x, Cos Y JikaX COS F(X)210 h210 h21210 h210 h2121210 h21210 h0 h 0 h + + + ++ ++ 3. TURUNAN Y=TAN X[ ]) Terbukti ( x Secx Cos1

x Cosx Sin x Cosx Cos) Sinx(-sinx - Cosx.Cosx(x) Y'maka -Sinx (x) V' Cosx V(x) dan Cosx (x) U' Sinx U(x) dimanaV(x)(x) U(x).V' - (x).V(x) U'(x) Y'dapat di fungsi) dua bagi Hasil Rms. (Gunakan V(x)U(x)x Cosx Sinx Tan Y: BUKTIX SEC (X) Y' X TAN Y Jika2222 2222 + CONTOHTentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:1. f(x) = 4sinx 2cosx2. f(x) = 2sinxcosxSOLUSINYA1. f(x)= 4sinx 2cosx f (x) = 4. dsinx-2.dcosx =4cosx+2sinx2.f(x)= 2sinxcosx = sin 2xf (x) = d2x.dsin2x =2cos2xBuktikanTurunan dari 1. y= cosecx2. Y=secx3. Y=cotxAKTIVITASSISWA 4 - x 4cos yj. 4cos2x 2sinx ye.x sin x cos y i. b) (ax tan y d.1 2sin - yh. ax tan yc.sin - 1 yg. b) cos(ax yb. 4cos2x 3sin2x yf.b) (ax sin ya.: berikut fungsi - Fungsi Turunan Tentukan22 222 + + + + + + + xxTURUNAN FUNGSI KOMPOSISIDENGAN ATURAN RANTAIdxdu.dudydxdy atau (x) (g(x)).g' f' (f(g(x))dxd(x)y': makaditurunkan dapat yang x dari fungsi merupakan f(g(x)) y sertaditurunkan dapat yang x dari fungsi merupakan g(x) u danditurunkan dapat yang u dari fungsi merupakan f(u) yJikaRANTAI DALIL 9. TEOREMA CONTOH5 25 25 2 56 26 23) 5x )(4x 30 - 48x (5 8x . 3) 5x 6(4xdxdu.dudydxdy5 8xdxdu3) 5x 6(4x 6UdudyUy maka 3 5 4x U: SOLUSINYA) 3 5 (4x y: dari Turunan Tentukan+ + + + + xxCONTOH 243) 2)(x (x y : ini berikut fungsi dari Turunan Carilah+ + AKTIVITAS SISWA( )231 3 x f(x)b. 5 2x - 7x f(x)a.: berikut fungsi Turunan Tentukan . 22 x u dan 4u y b.1 - 2x u dan 3u y a.ini berikut soal padadxdyTentukan1.222 3 -15+ + + xxPERSAMAAN GARIS SINGGUNG DISUATU TITIK PADA KURVAP(X,f(X))f(x+h)-f(x)hQ(x+h,f(x+h))x x+hlghf(x) h) f(xLimit (x) ' f adalahP titikdi kurva singgung Garis Gradien0 h +RINGKASANMATERI2 12 11 11 10 hm m maka sejajargarisnya Jika . 41 m . m maka lurus tegaksaling garis Jika 3.) x m(x y - y : adalah m gradiennya dengan ) y , P(x titikdi singgung Garis Persamaan2.mhf(x) - h) f(xLimit (x) ' f adalah y) P(x, titikdi Singgung Garis Gradien1. +CONTOHSOAL19 - 6x y 9 18 - 6x y 3) - 6(x9 - y) x - x m( y - y: adalah (3,9) di singgung garis persamaanm 6 2.3 (3) y maka (3,9), titikpada 2xy' x y: SOLUSINYAx y kurva pada (3,9) titikdi singgung garis persamaan Tentukan1 1' 22+ CONTOHSOAL2) 1 ( 221221y ) ( 221221- y) x m(x y - yadalah ) 221,4( di singgung garis Persamaan221cos ) (y' cosx y' sinx y: SOLUSINYAsinx y kurva pada ) 221,4( titikdi singgung garis persamaan Tentukan4 41 14 4 + x xmAKTIVITASSISWA0 10 x 8y garis lurus tegak3 2x y d. 0 3 y - 2x garis sejajar3x x y c. di(2,4) , 4 2x - x y b. (1,-42) 40,.di - 3x - x y a. : berikut kurva pada singgung garis persamaan Carilah 2. 4 dan ,21-1,1,0, xdi tersebut kurva singgung garis gambarlah kemudian5 x 5 - interval pada 1 2 x f(x) grafikGambarlah1.222 322 + + + + + + + xFUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUNSifat-sifat suatu fungsi dapat diselidiki dengan menggunakan turunan.1. Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu Fungsi dikatakan naik jika seiring pertambahan nilai x ke kanan,maka nilai f(x) bertambah.atau f (x)>02. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan,maka nilai f(x) berkurang.atau f (x) < > x0 1++++++---1 x 0interval pada Turundan 1 x dan 0 x interval pada naikx23- x f(x) Jadi2 3< < AKTIVITAS SISWAnaik?. fungsi merupakan a marjinalny biaya Kapankah . 2x x 4x C(x) dengan dinyatakan barang unit x dari produksi biaya Misalkan. 2) x (1x - 1f(x)d).1 x x f(x)b). 4 xxf(x)c). 3x x f(x)a). turun atau naikberikut fungsi - fungsi agarinterval Tentukan1.2 32 222222 3 + + + + Jawaban >> > (3) f'(1) f'(-1) f'3 x dan 1 x -1, x di (x) f' nilai selidika2 x atau 0 x 0 2) - 3x(x0 6x 3x0 (x) f' naikfungsi Syarat6x 3x (x) f' 3x x f(x)22 2 3SKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNANSKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN PERTAMAStasioner. Titik 5.turun atau naikfungsi Interval4.fungsi definisi Interval3.koordinat sumbu - sumbu dengan potong Titik 2.kuadrat) atau (LinearDasarBentuk 1.: SyaratnyaCONTOH dan(1,-10) (-5,98) adalah ya stasionern titik- titik i Jad-10 y2 - 15.(1) - 6.(1) (1) y maka 1 x a Jik98y2 - 15.(-5) - 6.(-5) (-5) y maka -5 x a Jik1 x atau 5 x 0 1) - 5)(x (x 0 1) - 5)(x 3(x 0 . 15 12 3x 0 y' stasionertitikSyarat . 15 12 3x y'2 15x 6x x y a.: JAWABgrafiknya. sketsa Buatlahc.a dari diperoleh yang stasionertitiktitikdari Jenis Tentukanb.2 15x 6x x y fungsi untukstasionertitikCarilaha.2 32 3222 32 3+ + + + + + + + xxb. LANJUTANTABEL TURUNANX -6 -5 0 1 2YKemiringan+/0--\0-+/minimum. baliktitikadalah (1,-10) danmaksimum baliktitikadalah (-5,98) demikian Denganc. LANJUTAN(-7,873,0) dan , (-0,127,0) (2,0), adalah x, sumbu dengan potong titiki Jad7,873 - x atau -0,127, x atau 2, x ABC) rumus (Pakai 15 -4 x atau 2 x 0 1 8x x atau 2 x 0 1) 8x 2)(x - (x 0 2 - 15x - 6x x 0 y maka x sumbu dengan potong Titik 1.lagi titikbeberapa dibutuhkan2 - 15x - 6x x y fungsi grafikmengsketsa Untuk 222 32 3 t + + + + ++ CLANJUTANTitik potong dengan sumbu y maka x=0Y=-2Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,-2)Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa:Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turunPada interval selang (-5,1)LANJUTAN SKETSA GRAFIK(-5,98)(1,-10)(0,-2)(-0,127,0)(-7,873,0)(2,0)YX2 - 15x - 6x x y2 3+ AKTIVITAS SISWAlain. titikbeberapa bantuan dengan grafiknya Gambar d.turunan. tabel n menggunaka dengan beloktitikatau minimum, maksimum, sebagai stasionernilai jenis ikan Klasifikasc.n. bersesuaia yangy nilai dan 0 (x) y' memenuhi yang x nilai Tentukanb.dapat. di yang kuadrat bentukfaktorkan dan y' Tentukana.4 x - x - x y Misalkan2 3+ Kerjakan KumpulSKETSA GRAFIK DENGAN UJI TURUNAN KEDUACONTOH :a dari informasi an memanfaatkdengan x x grafik y sketsa Buatlahb.x x grafik y pada stasionertitik semua ikan klasifikas dan Tentukana.3 43 4+ +