TURUNAN PARSIAL(I)

8/4/2019 TURUNAN PARSIAL(I)

1/24

TURUNAN PARSIAL


2/24

Materi yang akan dibahas

Definisi Deferensiasi Persoalan ekstrem fungsi variabel banyak

takterkendala dan yang terkendala


3/24

Pengertian Turunan Parsial

x

yxfyxxf

x

f

+

= ),(),(

xT = f(x,y)

y

Rata-rata perubahan suhupelat T per satuan panjangdalam arah sumbu x, sejauh

x, untuk koordinaty tetap ;

y

yxfyyxf

y

f

+=

),(),(

Rata-rata perubahan suhu pelatT per satuan panjang dalam

arah sumbu y, sejauh y, untukkoordinat x tetap ;


4/24


y

f

x

f

Lazimnya perhitungan perubahan suhu per satuan panjangdilakukan di setiap titik (x,y), x 0 dan y 0 , jikalimitnya ada, maka

dan Menyatakanperubahan suhu per satuan panjangdi setiaptitik dalam arah x , dan y

x

yxfyxxf

x

f

+

=

),(),(lim

y

yxfyyxf

y

f

+

= ),(),(

lim

x 0

y 0

(1a)

(1b)


5/24


xf adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x denganmemperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebut

turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x

adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan

memperlakukan y sebagai suatu tetapan, yang disebutturunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y

y

f

Lambang lain

y

f

x

f

= fx (x,y) = fy (x,y)


6/24


xxfx

f

x

f

x

2

2

yyfy

f

y

f

y

2

2 yxfyx

f

y

f

x

2

Turunan parsial (1a) dan (1b) umumnya juga merupakanfungsi dari x dan y, maka jika diturunkan lebih lanjut,disebutturunan parsial kedua.


7/24

Contoh 1

)cos(2 xyyyx

f

=)cos(2 xyxxyyf =

xyxxxyxxyyy

f

yy

fsin2))cos(2(

2

2

2

+=

=

=

( ) xyyxyyyxx

f

xx

fsin)cos(

22

2

2

=

=

=

( ) )cos(cos2)cos(2 xyxyxyyxyyyyx

f

y+=

=

( ) )cos(cos2)cos(2 xyxyxyyxyxxyxy

f

x+=

=

=

x

f

yy

f

x

Misalkan f(x,y)=xy2 sin (xy). Maka ..,


8/24

Contoh 2

Tinjau pers. Gas ideal PV = nRT, dengan P,V, dan T berturut-turut adalahtekanan, volume dan suhu gas ideal; sedangkan n adalah jumlah mol gas, dan

R suatu tetapan fisika, yaitu tetapan gas semesta (universal). Berikut kita akanmenganggap n tetap.

12

==

=

PV

nRT

P

nRT

nR

P

V

nR

P

V

V

T

T

P

Jika kita pecahkan bagi P, diperoleh:

V

nRT

P= VnR

T

P

=

2V

nRT

V

P

=

dan

Jika kita pecahkan bagi V, diperoleh:

P

nRTV =

P

nR

T

V =

2P

nRT

P

V=

dan

Sehingga


9/24

DIFERENSIAL TOTAL

Yang lalu : perubahan fungsi f(x,y) terhadap pertambahan salah satu

variabelnya, x atau y.

Permasalahan : bagaimanakah perubahan fungsi f(x,y) bila x dan y

keduanya bertambah secara bebas ??

Misalkan fungsi f(x,y) mempunyai turunan parsial di (x,y). Pertambahanfungsi f(x,y) jika x bertambah menjadi x + x, dan y menjadi y + y,adalah

f = f(x + x, y + y) f(x,y)

Jika ditambahkan dan dikurangkan f(x, y + y) di ruas kanan, diperoleh :

f = [ f(x + x, y+ y) f(x, y+ y)] + [f(x, y+ y) f(x,y)] (*)

Pertambahan x dalam fungsi f(x, y+ y) dengan

mempertahankan y+ y tetap


10/24

Teorema nilai rata-rata kalkulus

Jika f(x) memiliki turunan f(x) pada setiap titik dalam

selang [x - x, x+ x], maka

[f(x+ x)-f(x)]= f() x

Dengan = x + x ( 0 < < 1 ) sebuah titik dalam

selang[x - x, x+ x].

Dengan demikian,

[ f(x + x, y+ y) f(x, y+ y)] = fx( x + 1x, y +y) x

dengan 0 < 1 < 1

Dengan cara yang sama, untuk suku kedua pers.(*),

menghasilkan

[f(x, y+ y) f(x,y)] = fy(x, y+2y) y

dengan 0 < 2< 1


11/24

Jika turunan parsial fx(x,y) dan fy(x,y) kontinu di (x,y), maka

fx(x + 1x, y + y) = fx(x,y) + 1

fy(x, y+2y) = fy(x,y) + 2

dengan lim 1= 0 dan lim 2= 0 , bila x dan y menuju nol.

Pers.(*) teralihkan menjadi :

f = fx(x,y)x + fy(x,y)y + 1x + 2y

Dengan mengambil limit x0 dan y0, diperoleh turunan total fungsi

f(x,y) :

dyy

fdx

x

fdf

+

=

...+

+

+

= dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

Untuk f(x,y,z,... ) , turunan totalnya


12/24

Contoh 3

Hitunglah diferensial total fungsi pada contoh 1

f(x,y)=xy2 sin (xy).

Jawab.

fx= y2 y cos (xy) dan fy= 2xy - x cos (xy)

Sehingga turunan totalnya :

df = (y2 y cos (xy) )dx + (2xy - x cos (xy)dy


13/24

Contoh 4

Percepatan gravitasi g dapat ditentukan dari panjang l danperiode T bandul matematis ; rumusnya adalah g = 42l/T2.Tentukanlah kesalahan relatif terbesar dalam perhitungan g jikakesalahan relatif dalam pengukuran l adalah 5 % dan T, 2 %.

Solusi :Kesalahan relatif dalam pengukuran l adalah kesalahan sebenarnyadalam pengukuran l dibagi dengan panjang terukur l. Karena kitadapat mengukur l lebih besar atau kecil daripada l sesungguhnya,

maka kesalahan relatif terbesar dl/l mungkin -0,05 atau 0,05.Begitupula dT/T terbesar adalah 0,02. Bagaimana dengan dg/g

???


14/24

g = 42l/T2

ln g = ln(42) + ln l ln T2

atau

T

dT

l

dl

g

dg2+

T

dT

l

dl

g

dg2=

Menurut ketidaksamaan segitiga :

maka, kesalahan relatif terbesar dg/g adalahdg/g= 0,05 + 2 (0,02) = 0,09


15/24

Aturan Berantai

dsds

dzdz

dsds

dydy

dsds

dxdx

=

=

=

,

,

z = f (x,y ) : persamaan permukaan S dalam ruang. Jika variabelx dan y berubah sepanjang kurva C sebarang, dengan persamaanparameternya :

x = x (s), dan y = y(s) s sebagai parameter

maka z = f(x(s), y(s)) = z (s)

Sehingga sepanjang kurva C

dsdy

yf

dsdx

xf

dsdz

+=


16/24

Kasus khusus :

z = f(x, y) ; y = f(x) ; x bebas

ds

dy

y

f

x

f

ds

dz

+

=

...+

+

+

= dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

Secara umum untuk n > 2 variabel, f = f(x, y, z, . . . )dengan x = x ( u, v, w, . . . )

y = y ( u, v, w, . . . )

z = z ( u, v, w, . . . )


17/24

...+++=dw

wxdv

vxdu

uxdx

...+

+

+

= dww

ydv

v

ydu

u

ydy

...+

+

+

= dww

zdv

v

zdu

u

zdz

......... +

+

+

+

+

+

+

+

= dv

v

z

z

f

v

y

y

f

v

x

x

fdu

u

z

z

f

u

y

y

f

u

x

x

fdf

Karena masing-masing variabel x, y, z, . . . adalah juga fungsidari u, v, w, . . . , maka ;

Sehingga, turunan total fungsi f(x,y,z,...) adalah


18/24

Contoh 5.

Jika f = x2 + 2xy y ln z, dengan x = u + v2, y = u v2, dan z = 2u,

tentukanlah vf

danu

f

,

v

z

z

f

v

y

y

f

v

x

x

f

v

f

+

+

=

Solusi :

u

z

z

f

u

y

y

f

u

x

x

f

u

f

+

+

=

=(2x + 2y)(1) + (2x ln z)(1) + (-y/z)(2)

= 4x + 2y ln z 2y/z

= (2x + 2y)(2v) + (2x ln z)(-2v) + (-y/z)(0)

= 4vy + 2v ln z


19/24

FUNGSI IMPLISIT

Bentuk eksplisit , y = f(x)

Bentuk implisit , (x, y) = 0, dy/dx = ???

dyy

dxx

d

+

=

)/(

)/(

y

x

dx

dy

=

0

x

0y

Secara geometris, fungsi implisit (x, y) = 0 menyatakansebuah kurva pada bidang xy, dan dy/dx menyatakankemiringan garis singgungnya di titik dimana

asalkan


20/24

Contoh 6

Tentukanlah kemiringan garis singgung pada kurva

x2 + 2y2 4xy + 7x =3 di titik (1, -1)

)742( +=

yxx

)44( xyy =

13=x

8=y

8/13

)44(

)742(

)/(

)/(

)1,1(

=

+=

=

xy

yx

y

x

dx

dy

Solusi :

(x, y) = ( x2 + 2y2 4xy + 7x -3 ) = 0

Turunan parsial (x, y) terhadap x dan y :

di titik (1, -1) :

di titik (1, -1) :

Kemiringan kurva di titik (1 , -1 ) adalah :


21/24

Untuk fungsi implisit dalam tiga atau lebih variabel x, y, z, ...,yaitu (x, y, z, . . . ) = 0,

0... =++

+

= dz

zdy

ydx

xd

0z

)//(... zdyy

dxx

dz

+

+

=

)/(

)/(

z

x

x

z

=

)/(

)/(

z

y

y

z

=

Jika , pemecahan bagi dz :


22/24

Contoh 7

Tentukan dan dari persamaan x2 + y2 + z2 - 1 =0xz / yz /

Solusi :

(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 1 =0

xx 2=

yy 2=

zz 2=

zx

xz = z

y

y

z

=

Dengan demikian :Jika z = 0, sepanjang

lingkaran x2

+ y2

= 1,kedua turunan parsial initakterdifinisikan.


23/24

PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA

Hukum Pertama Termodinamika

Jika pada sebuah sistem yang berinteraksi secara termal dengan lingkunganmelakukan usaha terhadap lingkungan sebesarW, maka sistem tersebut akanmengalami pertambahan energi dalam dU, dan menerima atau melepas kalorsebanyakQ, menurut hubungan

Q = dU + W

Q dan W untuk membedakan bahwa pertambahan kalor, dan usahabergantung padajenis proses,sedangkan dU menyatakan diferensial totalenergi dalam sistem.

Untuk sistem gas, keadaan sistem ditentukan P,V, dan T melaluipers. keadaanF(P, V, T) = 0

Gas ideal : PV = nRT dan umumnya U (T, V), sedangkan W = P dV


24/24

Hukum Termodinamika Kedua

Bagi proses irreversibel (terbalikkan ), kalor Q = TdS, dengan S adalahentropi

Hukum pertama termodinamika :T dS = dU + P dV, atau dU = - TdS + P dV

Tampak bahwa U = U(S, V)

dV

V

UdS

S

UdU

+

=

PV

U

TS

U

=

=

V

T

S

U

V

=

S

P

V

U

S

=

=

V

U

SS

U

V

;T

P

V

S

=

T

V

P

S

=

S

V

P

T

=

S

P

V

T

=

Relasi Maxwell besaran-besaran termodinamika

Dengan cara yang sama, tunjukkan relasi Maxwell berikut:

Documents

TURUNAN PARSIAL(I)