ÚJ KÉPPedagógusok és szülők folyóirata

2007 áprilismájus

ISSN 1450-5010

Kettős szám. Ára 200 dinár.

Pedagógusok és szülők folyóirataXI. évfolyam 4-5. szám, 2007. április–május

Szerkesztőbizottság/članovi uredništva: Bori Mária, dr. Gábrity Molnár Irén, Hajnal Jenő magiszter, dr. Hózsa Éva (irodalmi szerkesztő/književni urednik), dr. Illés Tibor (Eötvös Loránd Tudományegye-tem), dr. Péics Hajnalka, Soós Edit (felelős szerkesztő/odgo-vorni urednik), Szálas Tímea (szerkesztő/urednik), Szőke Anna, dr. Zsolnai Anikó (Szegedi Tudo-mányegyetem), Beszédes István (műszaki és művészeti szerkesztő/tehnički i umetnički urednik). A laptanács tagjai/Savet lista: Miskolczi József (elnök), dr. Bányai János, dr. Pintér János (alelnökök), Grgo Francišković, dr. Horváth Mátyás, Kucsera Géza, dr. Losoncz Alpár, Ninkov Irén, Pető István, Priboj Potrebić Vesna, dr. Szöllősy Vágó László, Varjú Potrebić Tatja-na, dr. Zolnai Albert .Lektor: Bálint Irén.Rezümé/Rezime: Tiberije Kopilović, Szálas Tímea.Szerkesztőség/Uredništvo: 24000 Subotica, Age Mamužića 13/II., tel./fax: (024) 554-184, e-mail: ujkep@tippnet.co.yu.Kiadó/Izdavač: Vajdasági Módszertani Központ Szabadka, Vojvođanski centar za metodiku Subotica.Elnök/Predsednik: Soós Mihály. Készült/Štampa: Grafoprodukt, Szabadka/Subotica. Az Új Kép az interneten: www.ujkep.netwww.ujkep.tippnet.co.yu

Tartalom

Tanulmányok, kutatásokSzőke Anna: Szent Erzsébet-emlékév 3

A Tanítóképző Kar hallgatóinak tollából„Nem minden kötelék kötél, de van olyan kötél, ami kötelék.” – Reflexiók Bányai Sándor élménypedagógus előadásáról 9

Természettudományi tanármelléklet (XXXI. szám)Dr. Karátson Dávid: Vulkánhírességek a Föld négy sarkából 14Dr. Izsák Éva: Térségi szintek és érdekek az ezredfordulón 20Dr. Szabó Gábor, Bozóki Zoltán PhD, Mohácsi Árpád, PhD, Szakáll Miklós, PhD, Hegedűs Veres Anikó, Filus Zoltán, Ajtai Tibor, Huszár Helga, Varga Attila: Szemtől szemben a lézerekkel 25Dr. Dirner Sándor: Egyes mértékegységek kialakulása 29Dr. Fried Katalin: Sorozatok elsőtől egyetemig 39Nemecskó István: Rácsgeometria a középiskolában 51Sípos Elvira: Apollóniosz problémái – tanítás, szerkeztés, vizualizáció 63

Hírkosár 74Contents and Summary 77

Számunk szerzői 78

Tanulmányok, kutatások 3

Szent Erzsébet emlékév800 éve született Árpád-házi Szent Erzsébet

Szőke Anna

Nehéz feladatra vállalkozik az, aki Szent Erzsébet alakját, kultuszát és a hozzá fűződő legendákat szeretné elfogadtatni a mai fiatalokkal. Évtizedek óta hiányzik társadalmi és családi életünkből az efajta befogadáshoz szükséges vallási identitásalap. A szent szó hallatán a legtöbben bigott aszkétizmusra gondolnak, amely önsanyargatást, a világtól való elzártságot jelenti. Nincs is ezen csodálkozni való, hiszen fél évszázad nem kis idő. Generációk nőttek fel anélkül, hogy megismerhették volna történel-münk egyházi vonatkozásait.

Egyházmegyénk (a Szabadkai Egyházmegye és a Nagybecskereki Egyházmegye) is csatlakoztak a Magyar Katolikus Püspöki Konferencia által meghirdetett emlékév-hez, amikor Szent Erzsébet születésének 800. évfordulóját ünnepeljük.

Árpád-házi Szent Erzsébet (német nyelvterületen Thüringiai Szent Erzsébet) II. ENDRE magyar király és GERTRÚD – a Bánk bán-féle esküvés áldozatául esett – merániai királyné házasságából született. Születésének helyéről többféle elmélet létezik (Sárospatak, Óbuda, Pozsony), a leginkább elfogadott azonban Sárospatak. Előkelő nemzetségből származott. Az öt gyermek közül Erzsébet volt a harmadik. Bátyja ké-sőbb IV. BÉLA néven lett király, SZENT MARGIT édesapja. Erzsébetet Budán keresztelték meg fényes pompával. Négy éves koráig apja pozsonyi várában nevelkedett.

KÖRÜLMÉNYEK, AMELYEK SZÜLETÉSÉT MEGELŐZTÉK

A további fejlemények megértése végett szólnunk kell édesapja, II. András családi viszonyairól.

Az Árpádok külpolitikáját mindig jelentősen befolyásolták a dinasztikus kap-csolatok. A párválasztás szempontjait a család rangja és érdekei diktálták. Első feleségét, Gertrúdot az isztriai (meráni) őrgrófok dél-német fejedelmi családjából választotta. Erzsébet nagyapja (III. BÉLA) után a jogos trónörökös idősebbik fia, IMRE. Így ANDRÁSnak meg kellett elégednie mindazzal a kinccsel, amelyet apja ráhagyott. András azonban hamarosan felemésztette az apai örökséget, s így már 1197-ben fegy-verrel támadt bátyja ellen, s a Dráván túli Szlavóniában sikerült is győzelmet aratnia Imre fölött. Később Magyarországnak az Adria melléki részén uralkodói felségjo-gokat gyakorolt. Azonban a két testvér ellentéte gyakran fegyveres összecsapásba torkollott.1 A türelmét vesztő Imre végül öccsét Keve (Kovin) várába záratta, és csak halála előtt bocsátotta szabadon.

András 2005 májusában lépett trónra. Vele együtt koronázták meg Gertrúdot. A „meráni királynénak” a források tanúsága szerint nagy befolyása volt férjére, környe-zetének tagjai fontos tiszteket töltöttek be az udvarban. Erőteljesen ösztönözte a né-metek betelepítését is. Ekkor hívták be a német lovagrendet, amely Brassó környékén kapott jelentős területeket.

1. Kristó Gyula-Makk Ferenc: Az Árpád-házi uralkodók. 1988. Budapest. 241.

Povodom 800 godina rođenja sv. Elizabete od Arpadovića autor članka posvećuje istorijsku retro-spektivu uključujući njenu ulogu i moralni lik. Njeno ime i lik slave i na nema-čkom jezičkom području s dodatkom – Tiringijska. Proslavom ovog jubileja podržala je i subotička i banatska biskupija, pošto su nam mnoge generacije stasale sa manjkavim znanjem religijske istorije svog naroda. Biografija ove svetice zanimljiva je, jer odvažava strogo uva-žavanje dvorske tradicije prema kojoj je sa četiri godine života premeštena u dvorac odabranog joj muža. Peripetije i okrutno-sti tog boravka oslikavaju vreme, njen emocionalni razvoj i tragičnu smrt. Bila je veoma karakterna i nije prihvatala nametnuta rešenja.

Szőke Anna4

ÁRPÁD-HÁZI SZENT ERZSÉBET

A kor szellemének megfelelően Erzsébetet már négyéves korában eljegyezték Thüringia leendő grófjával, MORÁVIAI HERMANnal. Kegyetlen szokása volt ez a kornak. Az eljegyzett gyermek-menyasszonyt elszakították családjától és jövendő férjének otthonába, Wartburg várába vitték. Német környezetben akarták nevelni, hogy jól elsajátíthassa új hazájának minden szokását. Az adakozásairól ismert magyar király lányával együtt mesés kincseket küldött Wartburg várába, ahol egyszeriben véget ért a szegénység. Új otthonában jövendő anyósa, az őrgróf felesége, ZSÓFIA hercegnő vette pártfogásba, aki nem annyira neki, mint pazar bőkezűséggel összeállított hozo-mányának és kelengyéjének örült.

Erzsébet nem érezte jól magát új otthonában. Jövendő férjének testvérei nem voltak jó szívvel iránta. ÁGNES húguk pedig egyenesen csúfot űzött belőle, amiért a német szavakat még nem tudta jól kiejteni. A tanulás és közös étkezések után egye-dül ődöngött a nagy várudvarban. Itt is, mint odahaza, a legszívesebben a vár kápol-nájában üldögélt. Ilyenkor visszaálmodta magát hazájába, a boldog emlékű pozsonyi várba és gondolatban együtt imádkozott szeretett fivérével, Bélával.

1213-ban édesanyja összeesküvés áldozata lett. Három évre rá, anyja tragikus halála után meghalt a vőlegénye, Moráviai Hermann. A kilenc éves özvegy menyasz-szony egyszeriben feleslegessé vált a thüringiai udvarban.

Leendő anyósa nemtetszéssel, kimondottan rossz szemmel figyelte Erzsébet szo-kásait. Túlzásnak minősítette vallásgyakorlását. Nem tudta megváltoztatni életfelfo-

Szent Erzsébet emlékév

gását, mely szerint egyenrangú társnak tekintett minden gyermeket, még a legegy-szerűbbet is. Megbocsáthatatlan bűnnek számított, hogy nem vette át az udvari élet kötelező formáit: nem volt hajlandó megtanulni a nők számára akkor előírt tipegő járást, s minden körtáncnál jobban szerette a vad lovaglást. Szüntelenül éreztették vele, hogy ő már csak egy megtűrt személy. Legszívesebben hazaküldték volna, vagy kolostorba, csakhogy hozományát már nem tudták visszaadni, mivel annak nagy részét már elköltötték.2

Magányában és szomorúságában a nálánál hét évvel idősebb LAJOS, az ország örököse vette védelmébe. A másodszülött Lajossal 1221-ben kelt egybe, aki jól vi-selte Erzsébet hosszú és szigorú böjtjeit, élénk temperamentumát, jótékonykodásait. 1227-ben meghalt Lajos az V. keresztes hadjáratban. Házasságukból három gyermek született: Hermann, Zsófia és Gertrúd. Anyai boldogságát is a szegények szolgá-latába állította. Rendszeresen látogatta a nyomorban szenvedő várandós anyákat. Mindennel ellátta őket, a szüléseiknél segítségükre volt. Mindez történt egy robba-násig feszült korban. A nép éhségtől szenvedett, az ország visszhangzott a jajgatás-tól. Az elhagyott, árván maradt gyermekeknek Thüringiában árvaházat építetett. E nehéz időkben a gazdagok féktelen uralkodási vágyaikban a szegényeket hatalmi törekvéseik szolgálatába állították, és a keresztes háborúk szüntelen hadjáratai egész Európa népét kifosztották. A keletről behurcolt lepra is egyre jobban terjedt. A há-borúk megcsonkított nyomorékjai elkeseredésükben bandákba tömörülve raboltak és gyújtogattak. Ebben a robbanásig feszült bizonytalanságban küldte el ASSISI SZENT FERENC a követeit Európa országaiba, hogy ott a szegénység rendjének alapjait lerak-ják. Erzsébet tárt karokkal fogadta a ferenceseket és a közeli Eisenach városkában azonnal templomot alapított számukra.

Férje halála után nem folytathatta addigi életét, nem segíthette a szegényeket, vallásosságában gátolták, ezért gyermekeivel együtt elhagyja a várat. Távozását különböző korokban különbözőképpen magyarázták. A hívők lelkéhez közelebb állt a kitaszított, szegénységbe jutott grófnő képe, mint azé az asszonyé, aki mind-ezt szabad megfontolással, önként tette. Özvegyi javaiból ispotályt rendezett be Marburgban. Úgy érezte, elérte az evangéliumi szegénységet, s igazán Assisi Szent Ferenc és SZENT KLÁRA nyomán járhat. Az ő lelkiségüket élte a ferences harmadrend tagjaként. Egyszerű szürke köntösben járt.

1231 novemberében megbetegedett. Elajándékozta a még meglévő holmiját, s vi-gasztalta a mellette lévő nővéreket. Halálos ágyán, életének utolsó óráiban a fal felé fordulva magyarul énekelt.

November 16-án halt meg. Halálának híre megindította az egész tartományt. Szegényes, ferences harmadrendi ruhájában ravatalozták föl az ispotály ferencesek kápolnájában. Marburgban temették el. Ünnepét 1670-ben vették föl a római kato-likus naptárba, november 19-re, temetése napjára. 1969-ben ünnepét visszatették november 17-re, halálának napjára.

Négy évvel halála után, 1235-ben IX. GERGELY pápa avatta szentté. Oltárra emelé-sének ünnepén egykorú feljegyzések szerint egymillió-kétszázezer ember vett részt. Európa királyainak küldöttei, több száz cseh és francia lovag. Szenté avatásán jelen voltak gyermekei, anyósa és sógorai. Jelen volt az édesapja is, a hatvan esztendős II.

5

2. Györffy Rózsa: Új magyar legendárium. Szent magyarok törté-netei. 1988. Budapest. 139.

András, valamint szeretett fivére, IV. Béla. Tiszteletüket tették a német választófeje-delmek és maga a császár. II. Frigyes császár levette fejéről a koronáját, és a Szent koporsójába tette e szavak kíséretében: „Ha nem tudtalak császárnővé koronázni ezen a földön, fogadd tiszteletem jeléül ezt a koronát, aki Isten országában immár királynő vagy.”3 Marburgi sírja fölé egy évvel később elkezdték építeni az Erzsébet-templomot, amely 1238-ra készült el. IV. Béla, Erzsébet testvére építette tiszteletére Magyarországon az első templomot, Kápolnán.

Ismerkedve Szent Erzsébet életével leszögezhetjük: egy olyan nő, aki szerelmes feleség, boldog édesanya, férje távollétében várúrnő volt, határtalan szeretettel for-dult a rászorulók felé, vagyonából megalapította az első európai kórházat, azóta is ő a világon a legismertebb szent. A szeretet és a jóság fegyverével harcolt a gonoszság ellen. A magyar köztudatból elveszett, nem tudunk róla, nem emlékszünk rá, nem vagyunk büszkék rá. Nemcsak hívők számára példa az alakja, hanem minden hu-mánusan gondolkodó ember számára is. Oda kellene figyelni, hogy a múltból mit is hagytak ránk őseink.

Árpád-házi Szent Erzsébet – angol nevén „St. Elizabeth of Hungary” – a legismer-tebb szentekhez tartozik Észak-Amerikában. Ábrázolásai megtalálhatók katolikus templomokban és kórházakban, intézmények és épületek viselik a nevét.

A Szent Erzsébet rendek és intézmények, alapítványok világszerte ismertek. Több óvoda és iskola viseli nevét.

LEGENDÁK, CSODÁK

Közismert a rózsákká változott kenyerek csodája. Abból az időből, amikor sógora, HENRIK kormányozta a grófságot, Erzsébet folytatta jótékonyságát a szegények között. Egyik napon váratlanul összetalálkozott a sógorával, aki megkérdezte, mit visz a kosa-rában. Erzsébet illedelmesen átadta neki a kosarat, amelyben Henrik rózsákat látott.

Kedves szentje SZENT JÁNOS apostol volt. Akkoriban Wartburgban az volt a szokás, hogy évenként mindenki sorshúzással választott magának egy szentet, akit külön is tisztelt és próbált követni. Amikor másodszor is, harmadszor is Szent János gyertyá-ját húzta ki, attól a naptól gyermeki szeretettel rajongott és tisztelte őt.

Örökségének negyed részét saját kezűleg osztotta szét a szegények között.Marburgban szállására fogadott több beteg gyermeket: vakot, bénát.A leprás koldus esete, akit férje ágyába fektetett. A hazatérő férj az ágyában a

megfeszített Krisztust találta. Ekkor értette meg felesége „esztelen” szeretetét.

A Szent Erzsébet ereklye

Rómától alig 60 km-re fekvő Viterboban, a Szent Ferenc bazilikában – minoriták temploma – őrzik Szent Erzsébet koponya-ereklyéjét. (Ugyanitt van IV. KELEMEN és V. ADRIÁN pápa sírja is). A XIII. században épült román-gótikus stílusú templom. A történelem viharaiban többször megsérült ereklyét a bazilikát ért 1944. évi bombá-zások miatt új ereklyetartóba kellett helyezni. A legújabb kori kutatások hitelesnek minősítették a csontmaradványokat.

Szőke Anna6

3. U.o. 154.

Megtalálták a Szent Erzsébet ispotályt

Egyes feltevések szerint Árpád-házi Szent Erzsébet 1226-ban alapított kórházának maradványait találták meg a régészek Wartburg vára alatt. Jelenleg az alapok láthatók 7x 10 méteres területen. 27 beteget befogadó, a thüringiai építészetre jellemző favázas épületről van szó. Miután Szent Erzsébetnek el kellett hagynia Wartburg várát, az ispotály nem működött tovább.

Szent Erzsébet rózsája díj

A Magyar Katolikus Püspöki Konferencia 1999-ben alapította a Szent Erzsébet Rózsája díjat. Az Árpád-házi szent legendájára utaló kitüntetés az irgalmasság és a szolgáló szeretet erényeinek és a díjazottak személyes példájának elismerésére szol-gál. Erzsébet ünnepnapján osztják ki.

100 műalkotás 21 országból – album

Áldozatos élete a századok során számos művészt megihletett: festmények, zeneművek, irodalmi alkotások tisztelegnek előtte. Az album, válogatás sok száz Szent Erzsébet-ábrázolásból, amely közel 800 év egyetemes tiszteletének bizonysága. Fényképek: GOLARITS ISTVÁN; szöveg: Dr. PROKOPP MÁRIA – művészettörténész kísérő tanulmányszövegével.

Árpád-házi Szent Erzsébet Történelmi Társaság

1996-ban alakult Sárospatakon. Célja a szent életének megismertetése, szellemi, lelki és kulturális örökségének ápolása és továbbadása.

A Magyar Katolikus Egyház Erzsébet napjához közel eső vasárnapon minden évben gyűjtést rendez a rászorulók javára.

Több helyütt Erzsébet napja alkalmából jótékonysági bálokat rendeznek.

Tiszteletére szentelt templomok szerte a nagyvilágban

Az egyik legismertebb székesegyház a kassai Szent Erzsébet dóm. Toronto: Szent Erzsébet Római Katolikus Magyar Templom Nagyvárad: Posticum – Szent Erzsébet kápolna Győr: Szent Erzsébet templom Világhírű a lőcsei Szent Erzsébet oltár. Az oltárszárnyakon lévő képeket valószínűleg

Lőcsei Miklós festette.

És még sok más települést említhetnénk.

Szent Erzsébet emlékév 7

Rózsák tere – Budapest

Valószínű, kevesen tudják, hogy a Rózsák tere a szent legendája nyomán és attri-bútumairól kapta a nevét. Itt található az Árpád-házi Szent Erzsébet-plébániatemp-lom vagy Erzsébetvárosi plébániatemplom és a Szerb Gimnázium is (VII. kerület).

SZENT ERZSÉBET A GYERMEKFOLKLÓRBAN

A feljegyzések és a kutatások időben nem nyúlnak olyan messzire, hogy határo-zottan, egyértelműen állíthatnánk a magyar pünkösdi szövegekben előforduló Szent Erzsébet személynév eredetét. „BÁLINT SÁNDOR szerint talán azért tudunk keveset Erzsébet népi kultuszáról, mert vagy »elhalványodott«, vagy a szakkutatás késett el földerítésével.” 4

Továbbkutatása, egyáltalán a Mi van ma, mi van ma című rítusjáték megismeré-se sem szerepelt a hivatalos (magyar) tantervben közel fél évszázadon át. A XVIII. század végétől kezdték lejegyezni az ünnepi szokásokhoz fűződő népi szövegeket. A legrégebben dokumentált ünnepi mondóka az aprószentek-napi korbácsolást kísérő „Aprószentek, Dávid, Dávid” kiáltás, melyet már a XV. századi forrás is említ.5

SEBESTYÉN GYULA nevét kell elsőként említenünk (1906), mint aki a leghatáro-zottabb összefüggést véli a pünkösdi változatokban előforduló személynév és a Sárospatakról elszármazott Szent Erzsébet között. UJVÁRY ZOLTÁN a magyarországi rózsakultusz és pünkösdi játék összefonódását a Szent Erzsébetről szóló legendával hozza összefüggésbe, és utalást tesz arra, miszerint bizonyos változatok a Szent Erzsébet-hagyományokban gyökereznek, s hogy a rózsacsodával kapcsolatos legen-dája miatt került a pünkösdi szövegbe.

Május a virágnyílás ideje. A rózsával kapcsolatos képzetek csaknem minden európai népnél felbukkannak, és a rózsa ünneppel való kapcsolatára a legtöbb pün-kösdölő gyermekdalunk utal. Szerepe a keleti kultúrában is kiemelt. Megjelenési for-máinak nyugati és keleti párhuzamairól DÖMÖTÖR TEKLA mélyrehatóan foglalkozott.6

Környezetünkben7 a Mimimama-járás agrármágiával kapcsolatos variánsa ismert. Varázscselekménnyel összekötött rítusszöveg.

Szent Erzsébet neve a lakodalmas gyermekjátékainkban is megőrződött. Dr. KISS ÁRON: Magyar gyermekjáték-gyűjtemény ismételt, teljes terjedelmű kiadása Kérősdi címszó alatt tizennégy Erzsébet asszonnyal jelzett lakodalmi játék variánsait közli.8 Hasonlóan gazdag a Szent Erzsébet játékcsoport, 13 különböző változatát ismerjük. Elképzelhető a szövegekben szereplő Erzsébet asszony és Szent Erzsébet azonossága. A várkerülés, a hidas játék, az idegen országba kerülés ezt látszik alátámasztani.

Megismerve a Szent Erzsébet nevéhez fűződő népi gyermekjátékainkat, a nagyszámú variánst, leszögezhetjük, hogy két témakörben jelenik meg. Az egyik a pünkösdi ünnepkör, ahová valószínűleg a rózsaszimbólum folytán került, s vált a népköltészet egyik legszebb hagyományává. A másik vonulat a lakodalmas gyermek-játékok, amelyek szintén szervesen illeszkednek mítosszá vált életéhez. De ne feled-jük: népköltésről van szó, s ezért jobb, ha óvatosan fogalmazunk: mintha Árpád-házi Szent Erzsébet alakja derengene át történelmünk ködén.9

Szőke Anna8

4. Tátrai Zsuzsanna: Szent Erzsébet legen-dája és a pünkös-dölés. In. Benedek Katalin-Csonka Takács Eszter (szerk.): Démonikus és szak-rális világok határán. Mentalitástörténeti tanulmányok Pócs Éva 60. születésnapjára. 1999. Budapest. 507-518.

5. Dömötör Tekla: Naptári ünnepek – népi színját-szás. 1983. Budapest. 211.

6. U.o.128-132. 7. Vajdaság magyar

nyelvterületeire gondo-lok.

8. Kiss Áron: Magyar gyermekjáték-gyűjte-mény. 2000. Budapest. 339-380. 218-226.

9. Móser Zoltán: Mély kútba tekinték. 1995. Székesfehérvár. 27.

A Tanítóképző Kar hallgatóinak tollából 9

Nem minden kötelék kötél, de van olyan kötél, ami kötelék*

JÁTSZOTTUNK, MERT JÁTSZANI JÓ!

Nagy kalandokat éltem át abban az álomvilágban, amelyet BÁNYAI SÁNDOR és kis csa-pata március 20-án este az MTTK nagytermébe varázsolt a hallgatóknak. Az élmény-pedagógia módszereivel bebizonyította, hogy tanulni nem csak tankönyvből lehet.

A sokszor semmilyen eszközt sem igénylő játékok kivétel nélkül mindenkit jó-kedvre derítettek. Az egymást alig ismerő résztvevők esetleges előítéletei, félelmei pillanatok alatt nyomtalanul eltűntek, és mindannyian képesek voltunk jó barátként nézni egymásra. Bámulatos dolog, hogy egy ugrálókötél segítségével megtanultunk együttgondolkodni, odafigyelni másokra, örülni a közös sikereknek. Ezen az estén egyenlőnek éreztük magunkat és egyformán fontosnak. Ehhez biztosan hozzájárult, hogy alig voltak szabályok, kötöttségek, nem volt mitől félni, nem volt verseny, nem volt tét, nem volt fontos, ki az első és ki az utolsó, és ami a legfontosabb: nem voltak rossz válaszok.

Az, hogy mindezt megtapasztalhattam, maradandó élményt jelentett számomra. Újra bebizonyosodott, hogy másképp is lehet.

Bús Natália, II. évf.

*

Játszottunk. Mi, huszonéves fiatalok önfeledten játszottunk. Nap mint nap elme-gyünk egymás mellett a piros szőnyeges folyosón, de nem vetünk egymásra egy pil-lantást sem. Ismeretlenek vagyunk egymásnak, választott hivatásunkon kívül semmi sem kapcsol össze minket. Kivéve a játék. Tapsoltunk, táncoltunk, nevettünk együtt,

* A Magyar Tannyelvű Tanítóképző Kar ven-dégelőadója március 20-án Bányai Sándor élménypedagógus volt. Az előadáson résztvevő hallgatók reflexióiból Csányi Tamara II. éves hallgató készített kol-lázst.

Zanimljive su refleksije nakon predavanja profe-sora Šandora Banjaija. U pitanju je pedagogija doži-vljenosti koja je u redovima slušalaca proizvela različite ali pozitivne efekte. Svi se slažu u tome da odstustvo nametnutosti, ne-takmičar-skog, daje posebnu draž i podseća na igru u kojoj se ljudi upoznaju, uvažavaju uz izloženost ugođajima. Za razliku od strogih, uštovljenih nastupa ovde se može pogrešiti bez san-kcija, odlično nastupiti bez vrednovanja i radovati se postignućima drugih. Dakle do plemenitih ciljeva ima i drugih puteva – izvan onih uobičajenih.

Huszka Márta10

mi, idegenek. Átléptük az iskolapad szabta korlátokat, átléptük önmagunkat. Nem érdekelt senkit, hogy a szomszédja szimpatikus-e neki, ismeri-e valahonnan, látta-e már az iskolában. Túlléptük a mindennapok harcát, a taposást a jobb lehetőségekért, a bizonyítási kényszert. Egyszerűen csak játszottunk, nem voltunk sem győztesek, sem vesztesek. Együtt voltunk, fogtuk egymás kezét a körben, ugrálókötélen bújtunk át. Vidámsággal telt meg a terem, mert nem „jól” éreztük magunkat, vagy „köszönöm, jól”, hanem „vidáman, szuperül és összezavarodottan” (talán azért, mert intenzív és ismeretlen volt az élmény). Megtanultuk, hogy kis lyukon is átférünk, hogy nem mindig gyűrődik fel a szoknyánk, ha helyes technikát használunk a lyukon való át-bújáshoz, és hogy apró és mindennapi kellékek elegendőek, hogy értékekre neveljük a gyerekeket, önmagunkat. Hangulatkeltéshez nem kellett más, csak egy kis rendet-lenség, néhány plüssállat és Bányai Sándor. Mit mondjak, érti a dolgát! Toleránsak, vidámak és figyelmesek lettünk két órára. Talán ha többször játszanánk, akkor hosz-szabb ideig mosolyognánk! Jégtörő és ismerkedő játékokkal kezdtünk, kezetfogtunk, táncoltunk egymással. Tapsoltunk és koncentráltunk, hogy el ne rontsuk a ritmust. Aztán hibáztunk és senkit sem büntettünk meg miatta. Alkalmazkodtunk, elfogad-tuk a „hibát”. A kompromisszum után már nem voltunk olyan iszonyúan görcsösek, mégis sikeresek voltunk. Megtudtunk néhány dolgot egymásról, hogy kinek van saját készítésű ékszere, ki simogatott már oroszlánt (még ha plüsst is), vagy ki tud lovaskocsit hajtani. Megtanultunk segíteni egymásnak, mosolyogni egymásra és együtt nevetni. Megtanultuk, hogy apró dolgok segítenek nekünk játékosan (játékok-ban) szocializálódni, figyelni egymásra, koncentrálni és mégis elengedni magunkat. Önismeret és önértékelés fontos a játékban. Ismered a saját képességeid, tudod mi-lyen ember vagy, és azt is tudod, hogy milyennek mutatod magad a külvilágnak. A játékban ez a maszk eltűnik. Vagy, aki vagy. Önző nem lehetsz, azt a játék és vidám-ság nem engedi. Barátkozol, kapcsolatot teremtesz másokkal, közös célért dolgozol. Természetes vagy.

Huszka Márta, III. évf.

*

Az élménypedagógiai előadás számomra nagyon érdekes volt. Örülök, hogy a különböző játékok folyamán olyan emberekkel ismerkedtem meg, akikkel eddig nem volt alkalmam. Megtanultam sok olyan játékot, amiről eddig azt sem tudtam, hogy lé-tezik, és rájöttem, hogy nem csak úgy lehet jól szórakozni, ha valakinek van pénze. A játékok, amiket játszottunk, egyszerűek voltak, volt olyan is, amihez nem kellett sem-milyen eszköz, csak a két kezünk. Fontosnak tartom, hogyha majd egyszer munkába állunk, akkor alkalmazzuk a megtanultakat, mert azok nem csak érdekes dolgok, hanem fejlesztik a memóriát, a kommunikációs képességet, így a gyerekek észre sem veszik és mégis fejlődnek. Valamint ezen program folyamán kialakul a csapatszellem. Bányai Sándor előadó szavaival: „Nincs első és nincs vesztes. Csak csapat van.”

Ezekben a játékokban olyan gyerekek is fontos szerephez juthatnak, akik esetleg a hétköznapi életben nincsenek abban a helyzetben, hogy vezető szerepet kapjanak.

Nem minden kötelék kötél... 11

A legjobban mégis az tetszett, hogy a csapatszellem kialakulása mellett fontos sze-rep jutott a segítségnyújtásnak is, amikor valakinek nem sikerült egyedül megoldani a feladat ráeső részét, a csapat a segítségére sietett.

Örülök, hogy alkalmam nyílt részt venni ezen az előadáson, mert olyan dolgokat tanultam meg, amiket a hagyományos iskolai előadásokon nem lehet, és mégis hasz-nát vehetem majd a jövőben.

Tóth Heléna, I. évf.

*

Nem gondoltam volna, hogy az élménypedagógia előadás ennyire elnyeri majd a tetszésem.

Szívesen jöttem-jöttünk el, de kevesebbet vártunk. Nagyon sokat tanultam az a pár óra alatt. Egy kicsit újra gyereknek éreztem magam, és úgy játszottam, hogy közben teljesen kikapcsolódtam.

Szeretném, ha sűrűbben lehetne ilyen foglalkozásokat szervezni. Szerintem ennek mindenki hasznát venné. Fontos, hogy mi is megtanuljunk egymásra figyelni, egymásnak segíteni.

Remélem, egyre többen belátják, hogy erre szükség van, és sokkal szívesebben jövünk ide, mint...

Atyimcsev Lívia, I. évf.

*

Már maga az élménypedagógia elnevezésre felfigyeltem. Gondoltam, nem lehet rossz dolog, és mertem remélni, hogy nem száraz és unalmas előadásnak nézünk elébe. Véleményem szerint, minél több előadáson, szervezett eseményen kell részt venni, mert csak így lehet szelektálni. Ha semmiben sem veszünk részt („mert biztos hülyeség”), nem fogunk fejlődni, és így nincs is jogunk semmiről véleményt nyilvá-nítani. Nem mellékes, hogy a Tanítóképző Kar hallgatóinak számos továbbképzési program ingyenes.

Az élménypedagógiai előadás, vagy inkább játék, minden pozitív előérzetemet fö-lülmúlta. Konkrétan nem emelnék ki semmit, mert ki kell próbálni, részt kell venni, át kell élni, másképpen nem lehet megérteni. Olyan ember-, gyermekközpontú mód-szerről van szó, amely megpróbálja a feszültséget, a különbségeket háttérbe szorítani, tiszteletben tartva a gyermekek egyéniségét. Játékos, mozgékony, figyelemfelkeltő, ugyanakkor kikapcsolódásra, pihenésre szolgáló módszer.

Bányai Sándor előadó játékossága, közvetlensége nagyon kellemes érzéseket kel-tett bennem, és szeretném, ha majd egyszer az én óráimon is így éreznék magukat a tanulóim. Természetesen, hogy ez megvalósulhasson nem elég egy előadás, hanem be kellene vezetni az oktatási programunkba, hogy szilárd alapokra építhessünk, és ne csak bizonytalan próbálkozásokról, kísérletezésekről legyen szó.

Kéri Mónika, II. évf.*

Magyar Aletta12

ÉLMÉNY. MEGINT.Aznap megint először vettem részt benne.Mert, ha egy ember új a bandában, új az egész banda, újak a szituációk, új ötletek,

új megvilágítások- új újdonságok.NEM ISMER(TE)LEK, DE... Sétáltam. Szinte tömeg volt. Összetalálkoztam vele, úgy odakeveredtünk egymás

elé. Nem ismertem. Nyújtotta a kezét, én is – bemutatkoztunk. Ettől persze csak annyi változott, hogy megtudtam a nevét. De egy lépésnek, talán épp az elsőnek, megteszi.

KOMMUNIKÁCIÓ.Attól, hogy nem szabad beszélned, még megérthetem, amit mondasz.

A TE+TE+TE.....+ÉN, AZ MÁR KICSIT MI.Nem minden kötelék kötél, de van olyan kötél, ami kötelék.

BIZALOM.A sót lehet, hogy törni szokták, de engem mégsem hagytál eltörni.

ÉLMÉNY. MÉG MINDIG.ÉLMÉNY. MINDIG.

Magyar Aletta, III. évf.

Cím 13

Természettudományi tanármelléklet

(XXXI. szám)

Vulkánhírességek a Föld négy sarkábólKarátson Dávid

Ebben a számunk-ban kísérletet tettünk arra, hogy

megszólaltassuk a ter-mészettudósokat és a középiskolai tanárokat, hiszen az Új Képben eddig meglehetősen kevés természettudományi tanul-mányt közöltünk. PÉICS HA JNALKA és ILLÉS TIBOR egyetemi oktatók segítsé-gével készült el legújabb Tanármellékletünk, amely részint az említett hiányt is pótolja. A jövőben még természetesen sok a ten-nivaló, és pedagógusaink szakmai felkészültségé-hez hozzájárulhat az Új Képben publikált magyar nyelvű szakirodalom.Köszönjük a szerzők és a szervezők közreműkö-dését.

Fuji. El kell ismerni, hogy ha egyetlen vulkánt kell kiválasztanunk, hogy tűz-okádó, pöfögő társait képviselje, akkor a japán Fujinál aligha találhatnánk méltóbbat. Pedig nekünk itt Európában sem kell szégyenkeznünk, hisz nálunk magasodik az Empedoklész által is meg-mászott Etna (egyben a vén kontinens legmagasabb, legnagyobb tűzhányója), vagy itt van az ifjabb Plinius levelei által a történetírásba is bevonult Vezúv, amely az ókorban a világ leghíresebb vulkán-kitörését produkálta (lásd később). A Fujinak – vagy Fuji-sannak – a történel-mi időkben nem voltak ennyire kataszt-rofális kitörései (korábban sem), de mint megannyi önállóan magasodó, impozáns társa, jelképpé, emellett zarándokhellyé vált Japánban. Évente sok ezren keresik fel annak ellenére, hogy az év során csak egyetlen hónap, az augusztus hómentes, és a zarándokoknak 3776 méterig kell felkapaszkodniuk. A Fuji önálló kúpja a környező síkság miatt talán a világ leg-messzebbről látszó vulkánja. Élő jelkép már csak azért is, mert szikrázóan fehér csúcsát, amely gyakorta felhők közül emelkedik ki, sokmillió japán láthatja Honshu szigetén minden nap.

A Fuji a vulkánok „óriásbébije”. Nemcsak magas, hanem mivel nem túl-ságosan meredek (csak felső részén), igen terebélyes hegy – lábazati átmérője mintegy 20 km, össztérfogata 400 km3. Ugyanakkor a 11 ezer esztendős kúp a vulkánfejlődésben még csak alig lé-pett túl az embrionális állapoton, azaz jelen esetben az egyszerű kúpformán, amelyet komolyabb hegycsuszamlások,

beszakadások nem csorbítottak. (Hozzá kell tenni ugyanakkor, hogy a mai kúp két idősebb, a mai Fuji által befedett, ke-vésbé ismert kúpra épült rá.) A mai Fuji főként sok lávát öntött, bár kisebb rob-banásos kitörései is voltak, amelyeknek termékeit a környező, sűrűn lakott síksá-gon több helyütt lehet tanulmányozni. A legnagyobb robbanásos kitörés éppen a legutolsó volt 1707-ben, amely sok falvat romba döntött és elnéptelenített, igaz, halálos áldozatot szerencsére nem köve-telt. Érdekesség, hogy ez a kitörés a Hoei-nek nevezett, ez alkalommal keletkezett oldalkráterből történt, miközben némely mai japán történelmi filmen a Fuji ezzel a fiatal oldalkráterével tűnik fel a film-vásznon…

A Fujinak alak szempontjából szöges ellenére a Kyushu sziget középső részén található Aso vulkán. Ez a vulkán nem „emelkedik”, csak „található”, mert a vul-kánnak még pereme is alig magasodik környezete fölé, a vulkánt megközelítő autóutak gyakorlatilag csak előre- és nem felfelé vezetnek. Ez azért van, mert az Aso úgynevezett kalderavulkán. Vagy 80 ezer évvel ezelőtt fejeződött be az a kitöréssorozata, amelynek következté-ben a korábbi vulkáni kúp – vagy kúpok – beszakadtak, és csaknem szabályos, jó 20 km átmérőjű, kör alakú mélyedés jött létre, belsejében kiterjedt lapállyal. Az ilyen formát kalderának nevezzük. A kalderaképződés után a vulkáni mű-ködés a belsejében éledt újjá, és kisebb – de mára már 1500 m magasságot meg-haladó – kúpokat kezdett felépíteni. A vulkán ma aktív része a Nakadake hegy,

Természettudományi tanármelléklet14

Vulkánhírességek a Föld négy sarkából 15

Kulcsszavak:■ a legmesszebbre látszó vulkán,■ kalderavulkán,■ ignimbrit-kitörések,■ magma,■ lávadóm-működés,■ óvintézkedés

vulkán a vulkánban. Ehhez fűződik Kr. u. 553-ban az első dokumentált kitörés is Japán-szerte. A Nakadake azóta is folya-matosan „pipál”.

Az Aso korábbi vulkánkúpjainak be-szakadása, a kaldera képződése irtózatos energiájú robbanásos kitörések közepet-te mehetett végbe. Több kitörés is volt, mert a szerteszéjjel szóródó, több irányba lezúduló izzó törmelékanyag egyértel-műen több forrásból, központból szár-mazott és más-más irányban terjedt el. Az ilyen energiájú kitörések (amelyek a magma magas szilíciumtartalmára, il-letve a benne oldott gázokra vezethetők vissza) felfújják, majd szétszakítják a kürtőben felfelé nyomuló magmát, ami-nek következtében fehér színű horzsa-kő- és hamutömeg jön létre. Ezt, ha a lejtőn lezúdul, majd leülepedik és kő-zetté cementálódik, ignimbritnek nevez-zük. Az Aso vulkánon legalább négyszer mentek végbe ilyen ignimbritkitörések szilíciumban gazdag riolitos magmából. Magyarországon elsősorban a Bükkalján

vannak hasonlóan keletkezett kőzetek, de ezekben még az Asón láthatóknál is nagyobb, akár labdányi horzsakövek vannak, koruk pedig nem 80 ezer, hanem 15-20 millió esztendő.

Megszilárdulása után az ignimbrit általában jól faragható, ugyanakkor állékony kőzet, ezt a Bükkalján vagy a hasonló eredetű, területileg jóval ki-terjedtebb, világhíres Kappadókiában barlanglakások, építmények, tufapincék tanúsítják, Száraz, de időnkénti esőzé-sekkel jellemzett éghajlaton, mint ami-lyen Kappadókiában van napjainkban, éppen állékonyságuk miatt a tufatakarók sajátosan pusztulnak: felszabdalódásuk elkülönülő tornyok képződéséhez vezet, amelyek akár sok méter vagy több tíz méter magasak is lehetnek. E tornyok tö-rökországi elnevezése „tündérkémény”; különösen látványosak a keményebb kő-zetsapka védte tornyok. Kappadókiában és a világ más hasonló, félig száraz éghaj-latú táján nagy számban láthatunk ilyen tornyokat, de a Bükkalján is előfordul

Znamenitosti vulkanskih dejstava izazovna je poja-va za ljude od struke ali i za one koje zanose priro-dne pojave. Prema autoru svaki vulkan je posebnost za posmatranje jer na svoj-stven način nastaje, deluje i opčinjava. U obradi pose-bno mesto dobio je vulkan Fudži – svetište japanaca. Ima izuzetne geofizičke karakteristike, privlačan je uprkos opasnostima koje u sebi krije. Opis drugih vulkana pleni a posebno i to da mnogi entuzijasti uz velike napore i rizik ove-kovečavaju te pojave – fil-movanjem čime na najbolji način popularišu vulkanske aktivnosti.

Karátson Dávid16

belőlük néhány tucat. Hazánkban ma egészen más az éghajlat, mint amely alatt annakidején a tufatakarók felszab-dalódhattak, viszont a sokmillió év alatt többször is megteremtődhettek a felté-telek a környezetükből visszamagasodó, meredek kőtornyok képződéséhez. (A bükkaljai tufatornyok sajátos helyi neve kaptárkő, mivel az Árpád-korban vagy előtte feltehetően méhkaptárokat tele-pítettek beléjük, noha egy részük egyéb kultikus célokat is szolgálhatott.)

Az ignimbrites vulkanizmusnál, amely még Japánban, a tűzhányók or-szágában is ritka, sokkal gyakoribbak az andezit vagy dácit anyagú lávadómok ki-törései. Japánban az elmúlt tizenöt évben a leghevesebb ilyen jellegű vulkánkitö-réseket az Unzen vulkán produkálta. Ez szintén Kyushu szigetén, annak nyugati peremén fekszik, Shimabara városka fö-lött. Az Unzen nem is egyetlen lávadóm, hanem lávadóm-csoport, amelyet dácitos magma táplál. Ez a magma kevesebb gázt tud magában oldani, mint a riolitos, ezért ritkábbak az igazán heves kitörései, viszont a meglehetősen viszkózus, sűrűn folyó anyagból képződő lávadómok gya-korta összeroskadnak a kürtőből felnyo-makodva, és ilyenkor szintén katasztrofá-lis folyamatra kerül sor. Ezt a folyamatot izzófelhőnek nevezik a Martinique szigeti Mont Pelé vulkán típuspéldája nyomán, amely 1902-ben 36 ezer ember életét kö-vetelte. Az izzófelhő – eredeti francia terminussal nuée ardente – a lávadóm összeomlása után a meredek kúp egyik lejtőjén lezúduló törmelék- és gázáram-lás, amely völgyekben koncentrálódik. Sebessége több száz m/s is lehet, azaz nincs előle menekvés. Az izzófelhő által sodort durva törmelék viszonylag hamar lerakódik, ám a gázfelhő messzebb juthat és önmagában is halálos.

Az Unzen aktív tűzhányó. 1990-ben ugyan már csaknem 200 év telt el a legutol-só kitörése óta, mégis a vulkanológusok tökéletesen tisztában voltak vele, hogy a hegy csak szunnyad. Az Unzen vulkán helyén az aktivitás közel félmillió évre tekint vissza; a korábbi vulkánokra épült mai Unzen 80 ezer éve kezdte meg műkö-dését, és öt lávadóm alkotta hegycsoport-tá nőtt. A legmagasabbra, 1359 m-re a ma is aktív Fugendake emelkedett. 1990-ben a régebbi vulkáni működés (gázki-törések, lávafolyások és hatalmas hegy-csuszamlás egy oldalsó központon) már elegendően régen történt ahhoz, hogy a szunnyadás ideje alatt a Fugendakét sűrű növényzet fedje be.

Az Unzenen nem előjelek nélkül, hanem a japán tudományos közvélemény „előtt” kezdődtek meg a kitörések 1990-ben. Először – még az év nyarán – föld-lökésekre, majd novemberben gőz- és gázkitörésekre került sor, és új kráte-rek nyíltak, porral, hamuval fedve be a hegy felső részét. A kitörések tavasszal is rendszeresen ismétlődtek, de a magma még mindig nem emelkedett a vulkán csúcsszintjébe. Ám hogy ez közeleg, arra május elején földrengések és törmelék-csuszamlások, törmelékfolyások figyel-meztettek: a japán hatóságok meg is kezdték több ezer ember kitelepítését.

1991. május 20-án a friss, dácitos magma is megjelent, és mint kis láva-dóm dugta ki a fejét a Fugendake egyik kráteréből. Ahogy nőtt-növekedett, meg-kezdődött széleinek összeroskadása, és kisebb-nagyobb izzófelhők zúdultak le a völgyekben. Egy ember halála miatt ez a veszély is tudatosult, és a hatósá-gok újabb több ezer embert evakuáltak. Sajnos, június elején mégis katasztró-fa történt. Egy, a korábbiaknál jóval nagyobb izzófelhő, amely a Mizunashi

Vulkánhírességek a Föld négy sarkából 17

folyó völgyében zúdult le, a korábbi til-tott zónánál messze nagyobb területet tarolt le, és e területen belül több mint 40 ember tartózkodott. Zömük hatósági személy vagy újságíró volt, de akadt kö-zöttük szakember is, mégpedig három híres vulkanológus: HARRY GLICKEN és a francia KRAFFT házaspár. Előbbi az ame-rikai Mt. St. Helens 1980-as kitörésének leírásában jeleskedett korábban, a két francia pedig a mindmáig talán leglát-ványosabb, legismertebb népszerű-tudo-mányos filmeket forgatta a Föld minden táján, elsősorban veszélyes vulkánok-ról. Különösen rájuk igaz, hogy szinte keresték az életveszélyt, és szántszán-dékkal közelítették meg a legalattomo-sabb, legkiszámíthatatlanabb helyeket a vulkánokon. A június 3-i izzófelhőben 33 személy – köztük a vulkanológusok – azonnal meghaltak, 10 további súlyo-san megsérült, megégett áldozat pedig a rákövetkező hetekben veszítette éle-tét. A hatóságok az újabb kilakoltatások mellett most már le is zárták Shimabara

város számos negyedét, és joggal, mert a következő napokban-hetekben újabb nagy izzófelhők zúdultak le, szerencsére immár áldozatok nélkül. Az izzófelhő-aktivitás további másfél évig folytató-dott, több más folyóvölgyet is érint-ve, és a vulkán működése csak évek múlva, 1995-ben csendesedett el végleg. Pontosabban, az Unzen ismét szunnyadó állapotba került.

Az Unzenen a lávadóm-működés kö-vetkeztében 1991-’95 között 13 (!) kisebb-nagyobb, lebenyszerű forma épült egy-másra. A ferdén kelet felé feltornyosuló dómok 1428 m abszolút magasságúra növelték a hegyet, a korábban a csúcsot jelző tábla tehát idejét múlta. A lávadó-mok teljesen megváltoztatták a csúcs morfológiai képét is, a kis kráterek eltűn-tek, a vulkán keleti oldala törmelékkel fedett, növényzettelen lejtővé változott.

Az Unzenhez hasonló, bár több rész-letében különböző működés jellemezte kétezer esztendővel ezelőtt – Kr. u. 79 augusztusában – a „mi” öreg Vezúvunkat

Karátson Dávid18

is, amelynek kitörése Pompeit és Hercu-laneumot elpusztította. Hasonló volt ez a kitörés annyiból, hogy ez alkalommal is izzó gázok voltak a katasztrófa kiváltói. Ám a Vezúvon nem lávadóm felnyo-mulása és összeroskadása, hanem más folyamat, mégpedig a kráterből magasba emelkedő kitörési oszlop – hamu- és horzsakőfelhő – összeomlása okozta az oldalirányú gázáramlást. Ezt a lávatör-melék nélküli áramlást torlóárnak nevez-zük, amely egy viszonylag híg, örvénylő, több száz oC-os gázlöket.

Ha nem is az Unzenhez fogható rész-letességgel, de a Vezúvon történtekről is krónikási pontossággal tudunk, hi-szen, amint azt fentebb már említettük, ifjabb PLINIUS levelei hű dokumentum-ként őrizték meg az eseményeket. Ifjabb Plinius TACITUShoz írott leveleiben elő-ször – augusztus 24-én – egy lombos fe-nyőhöz hasonló kitörési oszlopról számol be, amely fent szerteágazott: „bizonyára azért, mert a kitörő gőz ereje felhajtotta, majd amikor az csökkent, s már nem emelte, vagy talán saját súlyánál fogva is, széltében elömlött”. Ebből kiderül, hogy Plinius nemcsak krónikásként, hanem vulkanológusként is megállná a helyét, hiszen a leírt jelenséget helyesen értel-mezte is: a felhajtóerő csökkenésével, illetve ahogyan a szétterjedő, híguló ki-törési oszlop anyaga az atmoszféra sű-rűségét eléri, az úgynevezett semleges sűrűségi szinten a hamufelhő szétterjed. Ez a szétterjedési magasság változó lehet (10-20, sőt akár 40 km), és részint éppen a felhajtóerő nagysága szabja meg. A magasra szökő, ott szétterjedő felhőből hamu és horzsakő hullik ki, szóródik szerte viszonylag nagy területen. A vul-kánhoz közel természetesen a nagyobb szemcsék esnek le, de a szemcsesűrűség és a gázkoncentráció igen alacsony, köz-

vetlen életveszélytől nem kell tartani. Pompei és Herculaneum lakói is, akik néhány kilométerre voltak a Vezúvtól, ekkor „párnákat tettek a fejükre, és kendőkkel lekötötték; így védekeztek a kőeső ellen”, írja Plinius.

Csakhogy a Vezúv működése a nap vége felé megváltozott. Elfogyóban volt a kitörés energiautánpótlása, így a fel-áramló kitörési felhőt már nem tudta fenntartani, táplálni. Miközben az anyag egy része még felfelé mozgott, az oszlop szélső részei fokozatosan, több lépcsőben összeomlottak, és kavargó, örvénylő gáz-hullámként, torlóárként alázúdultak a lejtőn. Erre a folyamatra először augusz-tus 25-én éjfél után került sor. Az izzó torlóár a Vezúv nyugati tövéhez közel épült Herculanumon is áthaladt, lakói fulladásos halált szenvedtek. Pompeji valamivel messzebb feküdt, az első gáz-hullám még nem érte el. Azonban újabb és újabb torlóárak következtek egymás után: Pompejit – 25-én hajnalban – va-lószínűleg a negyedik torlóár érhette el, és az addig életben maradt városka most szintén elpusztult, lakói a forró hamu hatására szörnyethaltak, a faépítmények leégtek. A torlóárak 15-20 km távolsá-gig jutottak és fokozatosan kihígultak, ennek következtében sokan másokkal együtt ifjabb Plinius is, aki „tisztes tá-volban”, Misenumban tartózkodott, túl-élte a katasztrófát, ám mondhatni csak paraszthajszállal, hiszen saját szemével látta és meg is örökítette az eseményt. „A másik oldalon a borzalmas fekete felhőt ide-oda cikázó tüzes és kacska-ringós villámok szaggatták meg, s mikor meghasadt, hosszú lángnyelvek csaptak föl benne. (…) Nem sokkal később az a felhő leereszkedett a földre, elborította a tengert, körülvette és elrejtette Caprae (Capri) szigetét. (…) Hátrapillantok: mö-

göttünk sűrű sötétség terjengett, elbo-rította a földet, rohanó áradat módjára hömpölygött utánunk. (…) Alig tekin-tünk körül, máris sötétség szakad ránk, nem olyan, mint a holdtalan vagy felhős éjszaka, hanem olyan, mint mikor zárt helyiségben eloltják a lámpát.” Bizony, nem sok hiányzott, hogy a gázfelhő Plinius lámpását is örökre kioltsa – ám az utókor és a tudomány szerencséjére nem ez történt.

Egy másik történelmi, bár sokkal ré-gebbi kitörés ugyancsak a kitörési osz-lop összeomlását okozta. Ez 5700 évvel Krisztus előtt történt, a mai Oregon állam területén, amelyet akkoriban a klamat indiánok laktak. Fölöttük az akkor még vagy 3500 m magas, Mazamának neve-zett jeges hegy emelkedett. A kitörés vá-ratlanul rázta meg a hegyet és környékét, legalábbis bizonyos, hogy évszázadokon át a vulkán alig működött. A hirtelen ki-törés során hatalmas kitörési felhő áram-lott felfelé, feltehetően több napon át, mert hatalmas térfogatú magma gyűlt fel a vulkán alatt. A kitörés anyagát 8 ame-rikai államban megtalálták! Az energia elfogytával a kitörési oszlop a Vezúvhoz hasonlóan összeomlott, csak itt nem torlóárak, hanem hatalmas tömegű, izzó, horzsakővel terhelt törmelékárak zúdul-tak le, épp olyanok, mint amilyenekkel a japán Aso vulkánon már találkozhat-tunk. A lerakódott vulkáni törmelék-anyag teljes térfogata mintegy 50 km3 volt, több mint tízszerese a Vezúvénak! A kitörés ereje viszont az Asóénál ki-sebb lehetett, mert bár a vulkáni hegy beszakadt és kaldera képződött, ennek mérete „csak” 8 km. Végeredményben a Mazama mint hegy eltűnt ugyan, de tetején gyűrűszerű katlan képződött: a nagyon szabályos kaldera pereme még ma is 2500 m-ig emelkedik, azaz a vul-

káni kúp csak lecsonkolódott. A vulkáni aktivitás – akár csak az Asón – itt sem maradt abba, a kaldera belsejében láva nyomult fel. A kaldera utóbb tiszta vizű tóval töltődött fel – ezt ma Crater Lake-nek hívják –, a kis lávakúpok egyike pedig ma szigetként (Wizard Island) ma-gasodik benne.

Előbbiekhez fogható méretű, ám egé-szen más jellegű kitörés játszódott le a chi-lei, 6300 m-nél is magasabb Parinacotán még a Crater Lake-kitörésnél is régebben, vagy 8 ezer évvel ezelőtt. Ennek érdekes-sége, hogy nem a kitörés által kilökött anyag a számottevő, hanem a kitörést követően végbement, irdatlan tömegű (6 km3) hegycsuszamlás. A hegyomlás a vulkánóriás nyugati részét csorbítot-ta, és eredményeképpen dimbes-dombos térszín alakult ki, bucka bucka hátán, amelyek a vulkán előtti lapályt 140 km2 területen elborítják. Az olykor dombnyi méretű buckák között tószemek csillog-nak. Az elmúlt 8 ezer évben a Parinacota nem szunnyadt vissza álmába, a mai hegyóriás szabályos kúpalakja már csep-pet sem tükrözi az egykori leszakadás nyomát. Ma a vulkánhoz közeledve nem mindenki gondolná, hogy a buckák a fölöttük magasodó fiatal vulkán egykori anyaga. Épp ezért érdemes megemlíte-ni, hogy a vulkanológusok mai felfogá-sát az USA-beli Mt. St. Helens terelte ebbe az irányba számos vulkánon, így a Parinacotán is: a St. Helensen 1980-ban a tudományos közvélemény szeme előtt játszódott le óriási hegycsuszamlás, ha-talmas robbanásos kitöréssel karöltve. A törmelékanyag lavinaként zúdult alá, fel-duzzasztva a folyókat, és a szabaddá vált kürtőből oldalirányú izzófelhő, valamint magasra csapó kitörési felhő szabadult fel, ez esetben is – az óvintézkedések ellenére – több ember halálát okozva.

Vulkánhírességek a Föld négy sarkából 19

Kulcsszavak:■ interdiszciplinaritás,

földrajzi tér,■ társadalmi-gazdasági

változások, térszer-kezet,

■ területi differenciálódás,■ környezet, gazdaság,■ társadalmi érdekek

Természettudományi tanármelléklet20

Térségi szintek és érdekek az ezredfordulón– Néhány gondolat az átalakulás társadalomföldrajzi

következményeiről –

Izsák Éva

„Ha van tudomány, amellyel a bölcselőnek egyáltalában még foglalkoznia kell, akkor a földrajz az, amelyet vizsgálódásunk tárgyáulválasztottunk.” (Strabon: Geógraphika)

A GEOGRÁFIA DICHOTÓMIÁJA

A geográfia tudománya születése óta interdiszciplináris. Magába foglalja mind a természet, mind a társadalom illetve gazdaság vizsgálatát. Egyszerre szemléli nemcsak a földfelszín alaktanát, de az azon élő ember, embercsoportok viselke-dését, élőhely-választását, épített környe-zetét. A geográfiai kettőségében rejlik multidiszciplinaritása is.

A földrajz kettőségét legszebben talán a települések vizsgálatával mutathatjuk be. A település maga az ember. Nincs ember lakhely nélkül, mint ahogyan város sincs ember nélkül. A település a társadalom térbeli megjelenésének a földrajzi helye, azaz a települések és a környezet (természet) szorosan összefo-nódó fogalmak. Így a települések, a te-lepülési környezet változásain keresztül tanulmányozhatjuk adott időszak fon-tosabb társadalmi, gazdasági és olykor politikai változásait is.

Az elmúlt másfél évtizedben bekövet-kezett társadalmi-gazdasági változások jelentősen módosították, megváltoztat-ták a magyarországi településrendszert. A folyamat kettős: egyfelől a települések voltak hatással az átalakulásra, hiszen

nem „passzív befogadóként” viselked-tek, hanem sokszor „alkalmazkodásra kényszerítették” a társadalmi-gazdasági folyamatokat is (ENYEDI, GY. 1996). Más tényezők – például az önkormányzati rendszer bevezetése a települések élet-pályáját változtatták meg. A közigazga-tási rendszer átalakítása olyan folyama-tokat indított el, melyek hosszú távon az ország társadalmi-gazdasági térszer-kezetének az átstrukturálódásához ve-zetnek. Megerősödött a helyi politika, s egyre gyengébbé vált, majd teljesen megszűnt a központi irányítás szerepe. Mindezek a jelenségek életre hívták a „települések versenyét” (Enyedi, Gy. 1996), amely előrevetítette a „sikeres” és „vesztes” települések megjelenését. Annak ellenére, hogy másfél évtized telt el a rendszerváltás óta, mégis már élesen körvonalazódnak azok a tenden-ciák, amelyek érvényesülése kettéoszt-hatja az ország településállományát. Az új gazdasági tér kialakításában a sikeres településeknek egyre növekszik a szere-pe, míg a vesztesek kimaradnak ebből, s egy idő után már lehetetlenné válik számukra az önállóság. A települések versenye egyben a térségek, régiók ver-senyét is jelenti.

Geografija interdiscipli-narno analizira brojne činioce koji mogu uticati na dešavanja u lokalu pod dejstvom snažnih globalnih tendencija i regionalnih promena. Uz dve hipoteze autor napisa analizira situ-aciju u Mađarskoj nakon ukidanja bipolarnosti koja je gravitaciju prema zapa-dnim granicama učinila perspektivnom za razliku u toj zoni kao i u glavnom gradu. Življa potrošačka aktivnost takođe je prime-tna u tim delovima zemlje. Refleksije na regiju i lokalne samouprave tako-đe su evidentne isto kao i ekološki faktori koji su s početka bili potcenjeni ali su ubrzo postali faktor izu-zetne pažnje. Lokalni nivo, prema autoru nije beznača-jan kako zbog međusobne konkurencije tako i zbog borbe za novčane resurse.

Az átmenet időszaka, a kilencvenes évtized a térszerkezetet átalakító fo-lyamatok szempontjából nem tekinthe-tő egységes periódusnak (NEMES NAGY 2001). Az évtized első felét (1993-94-ig) a korábbi rendszer struktúráinak lebom-lását kísérő krízisjelenségek uralták, s csak a kilencvenes évek közepétől érzé-kelhetőek a megújulás jelei. A változások dinamikája meghatározó volt abból a szempontból, hogy az egyes térszerke-zet-alkotó rendszerekben milyen reagá-lási sebességgel jelentkeztek a válaszok. Az átalakulás dinamikája érzékelhetően más a gazdasági, mint a társadalmi tér-ben. Az új, piacgazdasági térszerkezet a korábbiaknál jóval tagoltabb. A társa-dalmi struktúra egyes csoportjai közötti távolságok megnőttek. Egyes társadalmi rétegek létszáma jelentősen csökkent, míg másoké hihetetlen mértékben meg-nőtt. Megváltoztak a társadalmi rétegek közötti távolságok is.

A területi differenciálódás folyamata alapvetően átalakította nemcsak a társa-dalmi és gazdasági rendszereket, hanem ezzel együtt a településeket is. A meg-változott települési tér jól vizsgálható abból a szempontból, hogy a regionális és globális szinten bekövetkezett válto-zások miként hatnak lokális (települési) szinten. Éppen ezért fontos az, hogy az átmeneti időszakok változó tereit ne csak regionális szinten elemezzük, hanem megvizsgáljuk a települési térben bekö-vetkezett átalakulásokat is. .

A tanulmány induló hipotézisei a kö-vetkezők:

◉ A nagy rendszereket (társadalmi – gaz-dasági – környezeti) érintő változások kimutathatóak lokális, azaz települési szinten is. Ebből az következik, hogy minden olyan jelenség, amely átalakít-

ja ezeket a rendszereket, egyben meg-változtatja a településen belüli, lokális terek szerkezetét is.

◉ A globális és regionális szintű változá-sok lokális szinten úgy jelentkeznek, hogy a települések belső struktúrája megváltozik, átalakulnak a települési tér egyes funkciói (egyesek eltűnnek, máshol új, eddig nem létező funkciók jelennek meg).

Mindezekből az következik, hogy a makroszintű (globális) hatások nemcsak a regionális (nagytérségi) terekre hat-nak, hanem települési (lokális) szinten is érvényesülnek. Meg kell állapítanunk ugyanakkor azt is, hogy ezek a hatásme-chanizmusok nem egyirányúak, hanem jelentős visszafelé irányuló (feed back) befolyással bírnak a magasabb szintű folyamatokra

A fenti hatások kétirányúak lehet-nek. Az egyes térségi szintek közötti hatásmechanizmusok lehetnek egyrészt pozitívak, azaz dinamizálják a folyama-tokat. Serkentik a fejlődést, új átalakulási tendenciákat indíthatnak el a társadalmi, a gazdasági, valamint a települési térben. Lehetnek ugyanakkor ezek a hatások negatív irányúak is akkor, ha azok követ-keztében valamiféle konfliktus alakul ki, vagy éppen a fejlődés irányát változtatják meg úgy, hogy azok már nem előnyösen befolyásolják a tér szerkezetének átala-kulását.

AZ EGYES TÉRSÉGI SZINTEKEN BEKÖVETKEZETT VÁLTOZÁSOK

HATÁSA A TELEPÜLÉSI KÖRNYEZETRE

Az elmúlt másfél évtized változásai érintették nemcsak a közép- és kelet-európai térség országait, hanem meg-

Térségi szintek és érdekek az ezredfordulón 21

változtak azok a nemzetközi (globális) viszonyok is, amelyek hatással voltak a földrajzi tér építő-elemeire. Melyek vol-tak ezek az átalakulások a különböző térségi szinteken?

◉ A globális térben mindenekelőtt ki kell emelnünk azt a tényt, hogy megszűnt a bipoláris világrend, ami maga után vonta az egyes országok, térségek nemzetközi szerepkörének megváltozását. A nemzetközi kapcso-latok jellegét tekintve Magyarország – földrajzi helyzetéből adódóan – tranzit (és kedvező esetben megállító) szerepet tölt be, átmenő és közvetí-tő szerepet tölt be Kelet és Nyugat között. Ugyanakkor elosztó szerepe van a külkereskedelemben, amit a vásárlóerejét meghaladó import rea-lizációja is mutat. Az ország „hídfő” jellege a feldolgozóipar egyes ágaza-taiban, pontosabban a külföldi nagy-vállalatok (főként a multinacionális cégek), valamint a sikeresen megújuló magyar nagyvállalatok stratégiájában is szerepel. Ugyancsak jelentős – bár feltehetően csak átmeneti – vonzást gyakorolnak a bevásárló-turizmusra a Budapest környékén kiépült nagy külföldi áruházláncok, bevásárló-központok, hipermarketek. Ezek a gazdasági funkciók amellett, hogy világosan körvonalazzák a sikeres térségeket, jelentősen átalakítják a helyi szintű települési környezetet is. Érdemes megemlíteni pl. a Budapest és több más, nagy lélekszámú tele-pülés környékén épült kereskedelmi központokat (pl. Budaörs bevásárló-központjait), vagy például a városok belső területén egyre nagyobb terü-letet elfoglaló „plaza-k” és „shopping center-ek” tömegére. S végezetül

érdemes még egy olyan folyamatra felhívni a figyelmet, amely egészen új értelmet adott a földrajzi tér, a föld-rajzi közösség fogalmainak. Az infor-mációs és kommunikációs technika napjainkban bekövetkezett változásai újfajta értelmet ad a tér-idő viszony-nak (MÉSZÁROS, R. 2001). A számí-tógépes információs hálózatokon az egyén eljuthat a világ szinte vala-mennyi részébe, információkat sze-rezhet korábban nem, vagy alig ismert folyamatokról, s a kibertér segítségé-vel szinte tértől és időtől függetlenül bolyonghat a globális világban

◉ Országos és térségi szinten is olyan változások történtek, amelyek átalakí-tották a települési környezetet. Ezen folyamatok közül érdemes megemlíte-ni a határ menti területek megváltozott szerepét és helyét a magyar település-szerkezetben. A kétpólusú világ nem-csak az egyes országok nemzetközi szerepköreit befolyásolta, hanem a két pólus találkozásánál fekvő országok határ menti területeit is. Magyarország nyugati határai a nyolcvanas évek köze-pe előtt hátrányos, elmaradott területek voltak. Ezek a hatások – ma már joggal nevezhetjük történelmi hátrányoknak – a vasfüggöny lebontását követően pillanatok alatt gazdasági előnnyé vál-toztak. Ennek egyik „leglátványosabb” jele a külföldi működő tőke területi koncentrációja. A legkedvezőbb befek-tetési hely a főváros és környéke, amit jeleznek a már említett multinacionális beruházások is. A következő jól elha-tárolható befektetési övezet a korábban hátrányos földrajzi, geostratégiai hely-zetű Nyugat-Dunántúl térsége (Vas, Győr–Moson–Sopron megye), az M1 autópálya környéke és Fejér megye (RECHNITZER, 2001).

Izsák Éva22

Térségi szintek és érdekek az ezredfordulón 23

◉ Települési szinten a nagyobb lélek-számú városokban legalább olyan lát-ványos változások történtek, mint a nemzetközi és az országos térben. Az átalakulás érintette egyrészt a települé-sen belüli funkciók térváltását. A tele-pülési funkciók egy része megszűnt, más részük átalakult vagy egészen új funkciók jöttek létre. Átalakult az egyes társadalmi csoportok térbenisé-ge is. A funkcióváltás leglátványosabb jele a munkahelyi övezetek térváltása, a munkahelyi környezet átalakulása és jellegének megváltozása. A koráb-bi ipari munkahelyek nagyobb része megszűnt, vagy megváltozott termelé-si szerkezettel működik. Másik része azonban a mai napig is elhanyagolt, funkciót vesztett területei a települé-seknek (pl. a korábbi ipari övezetek nagyvárosainak telephelyei, Miskolc, Ózd, Tiszaújváros). Jelentősen átala-kult a lakóhelyi övezet is. A nagyváros-ok (főként Budapest) egyes részein erő-södött a nehéz szociális körülmények között élő, hátrányos helyzetű társadal-mi csoportok lakóhelyi szegregációja. Jól körülhatárolhatóak a városnak azok a részei, ahol ezek a csoportok élnek, s megpróbálnak maguknak valamiféle egzisztenciát teremteni (pl. Budapest, Józsefváros egyes részei, a VII. kerület „Chicago”-ja stb.). A nagyvárosok más területein viszont soha nem látott épít-kezések folynak. Lakóparkok, lakóhá-zak épülnek, ahol kutyás biztonsági őrök vigyázzák az ott élők nyugalmát. A gazdagság, az ún. gazdasági elit tér-hódítása a városok legszebb környe-zetű, zöldövezeti területein figyelhető meg a legjobban. Megjelentek a kül-földi pl. kínai, más ázsiai, volt szovjet köztársaságok lakói által lakott kisebb negyedek is. Budapest nemzetközivé

válása nemcsak a turisták, hanem az egyre növekvő számú külföldi lete-lepedők számának növekedésében is megfigyelhető.

A LOKÁLIS FOLYAMATOK SZEREPLŐI ÉS

ÉRDEKVISZONYAI

A földrajzi környezet állandóan át-alakuló elemei közül három olyan nagy rendszer van, amely alapvetően megha-tározza a földrajzi tér struktúráját. A kör-nyezet, a gazdaság és a társadalom olyan elemei a térnek, amelyek változása nem-csak az egyes térelemek dinamizmusát jelzik, hanem éppúgy átstrukturálhatják magát a települési környezetet is. Nem elhanyagolható szempont ugyanakkor az sem, hogy az egyes térelemeknek milye-nek az érdektípusai s milyen azok meg-változásának időbeni hatása.

A földrajzi környezet három nagy rendszere (környezet, gazdaság és tár-sadalom) érdekeit az alábbiakban foglal-hatjuk össze:

◉ Ökológiai, vagy környezeti érdek: Egyértelmű és talán a legkevésbé meg-kérdőjelezhető érdektípus. Mégis a legtöbb konfliktus forrása. A környe-zet „érdeke” az ökológiai egyensúly fenntartása, az egészséges környezet megőrzése. Nem „fejlődés-barát”, azaz a természeti javak kihasználása és fel-használása alapvető ökológiai érdeke-ket sért. A települések érdeke hosszú távon az, hogy vonzóak legyenek az odaköltözők számára, de emellett tele-pítő-tényezőként hatást gyakoroljanak a gazdasági átalakulás résztvevőire. Éppen ezért rövid és hosszú távon nem egyforma a környezet (gondolunk itt a természeti környezet adottsága-

Izsák Éva24

ira) érdekeinek figyelembevétele. A mai átalakuló világ, a XXI. sz. elején alárendeli a hosszú távú érdekeket a rövidtávú haszonnak. A társadalmi és gazdasági érdekeket rövid távon alá-rendelik az ökológiai érdekeknek.

◉ Gazdasági érdek: Rövid távon a gaz-daság érdeke elsődlegesen a magas profit, minél alacsonyabb tőkeigény és a nyereséges vállalkozás. Mindezek a legkevésbé veszik figyelembe a kör-nyezeti érdekeket. Hosszabb távon viszont a környezetvédelmi szabályok szigorodása, illetve a környezetvédel-mi költségek gyors emelkedése miatt versenyelőnyre tesznek szert azok a gazdasági vállalkozások, amelyek gyor-sabban tudnak alkalmazkodni az öko-lógiai érdekekhez.

◉ Társadalmi érdek: A legnehezebben definiálható érdektípus, amely nem választható el a gazdasági érdektől. Magában foglalja az egyéni érdekszin-tet is. Az ökológiai érdek képviselete több társadalmi korlátba ütközik. Ma Magyarországon nem tisztázott a ter-mészet és társadalom viszonyrendsze-re. A „beágyazott” és rögzült minták szerint a társadalom a természet felett áll. Másrészt a társadalmi érdekeket nagymértékben befolyásolják azok a társadalmi érdekek, amelyek főként a gyors fejlesztéshez és fejlődéshez, az egyre magasabb igényekhez alkalmaz-kodnak.

A fentiekből következik, hogy a földrajzi tér egyes elemeinek nemcsak az érdekei különböznek, hanem azok időbenisége is. Az egyes szereplőknek más a hosszú és más a rövidtávú érde-

ke. Különösen érzékelhető ez a tér ki-sebb, lokális szintjein, ahol a változások, érdekek és az egyes szereplők térbeli megjelenése érzékletes és jól nyomon követhető. Az eddig elmondottakból is értelemszerűen következik, hogy pusz-tán a különböző szemléletmódokból is igen lényeges érdekellentétek adódhat-nak (IZSÁK, É. 2001).

◉ Egyéni érdekszint: elsősorban a mikrokörnyezethez (beépített terü-let minősége, komfortosság, infrast-rukturális adottság stb.) és az egyén életszínvonalát befolyásoló gazdasági, környezetvédelmi költségekhez kap-csolódnak (árak, adók, közvetett elvo-nások stb.).

◉ Lokális (települési) szint: ellent-mondásos a helyi szint érdeke. Rövid távon a települések az általános gaz-dasági helyzetük javításában érdekel-tek. Az önkormányzatok kénytelenek minél több lehetőséget kihasználni a stabil helyi gazdálkodás érdekében, másrészt viszont a települések egy-mással is versenyeznek a bevétele-kért. Hosszú távon viszont a legfőbb érdek a stabil helyi társadalom, az egészséges és vonzó környezet.

◉ Országos, regionális szint: a tele-pülések érdeke általában az ún. nagy vagy regionális szinthez való alkalmazkodás, amely azonban már a regionális identitás meglétét is fel-tételezi. Ez ma Magyarországon még nem kialakult. Éppen ezért a telepü-léseknek sokszor magukra hagyatva kell eldönteniük és kiválasztaniuk azt a fejlődési pályát, amely várhatóan számukra a legkedvezőbb lesz.

FELHASZNÁLT IRODALOM:

Enyedi, Gy. (1996) Regionális folyamatok Magyarországon az átmenet időszakában. „Ember–Település–Régió” sorozat. Hilschler Rezső Szociálpolitikai Alapítvány, Budapest.

Izsák, É. (2002): A magyar települési környezet átala-kulása a kilencvenes évek-ben. Magyar tudomány. 2002/11. pp.:1498-1504

Izsák, É. (2003): A városfej-lődés természeti és társa-dalmi tényezői. Napvilág kiadó, Budapest

Mészáros, R. A kibertér társadalomföldrajzi megközelítése. Magyar Tudomány 2001/7. pp.76-9-779

Nemes Nagy, J. (2001): Az ezredvég regionális folya-matai Magyarországon: átfogó átalakulás – egyedi fejlődési pályák. Regionális tudományi tanulmányok 5.sz. p.23

Rechnitzer, J. (2001): Szerkezeti változások a regionális gazdaságban.

Habilitációs előadások. Pécsi Tudományegyetem p. 12, 14

Szemtől szemben a lézerekkel – Fotoakusztikus gázdetektáló rendszerek alkalmazásorientált

fejlesztése*Szabó Gábor, Bozóki Zoltán, Mohácsi Árpád, Szakáll Miklós,

Hegedűs Veres Anikó, Filus Zoltán, Ajtai Tibor, Huszár Helga, Varga Attila

Természettudományi tanármelléklet 25

Kulcsszavak: ■ fotoakusztikus mérés,

gázdetektálás

A gázok fotoakusztikus elven történő detektálásának alapja az a jelenség, ami-kor egy periodikusan modulált fénysu-gár elnyelődése során hang keletkezik, amely hang amplitúdója arányos a fény-elnyelő gázkomponens koncentrációjá-val. Ha olyan keskeny spektrumú fény-forrást – célszerűen lézert – használunk, amelynek fényét csak az általunk mérni kívánt gázkomponens képes elnyelni, a módszer nagy szelektivitást biztosít. Bár az így keletkező hang rendkívül gyenge (jóval az emberi fül által hallható szint alatt van), megfelelő méréstechnikával nagy érzékenységű mérések végzésére van lehetőség.

Az SZTE Optikai és Kvantumelektro-nikai Tanszékén, illetve a tanszéken mű-ködő MTA Lézerfizikai Kutatócsoportban a fotoakusztikus elvű gázdetektálásra vonatkozó kutatómunkának több mint egy évtizedes múltja van. E kutatómunka során célunk mindvégig olyan beren-dezések fejlesztése volt, melyek alkal-masak ipari, illetve terepi körülmények között megbízható mérések végzésére. Műszereink gyakorlati kivitelezésében döntő szerepe volt a Videoton Holding Rt. szakembereivel folytatott többéves, igen gyümölcsöző együttműködésnek. Az utóbbi évtizedben számos, gyakor-lati körülmények között alkalmazható fotoakusztikus rendszert sikerült kifej-

leszteni. A földgáz vízgőz- és kénhid-rogén-tartalmát mérő berendezésünk a MOL Rt. algyői, illetve üllési gázüze-mében végez évek óta folyamatos, meg-szakítás nélküli méréseket, miközben a rendszer eleget tesz a robbanásveszé-lyes területen történő működés legszi-gorúbb (hatósági) feltételeinek. Olyan rendszert is kifejlesztettük, amely képes folyadékok szennyező komponenseinek (például víz vagy szerves oldószerek) nagyérzékenységű és szelektív mérésére. Ez a rendszer az ún. diffúziós mintavéte-lezésen alapul, azaz a mérendő folyadék-ba benyúló mintavételi cső egy szakasza egy olyan membránt tartalmaz, melyen keresztül a mérendő komponens a folya-dékból a gáztérbe jut. E módszerrel sike-rül megtartani a gázfotoakusztika nagy szelektivitását. Fotoakusztikus mérések ugyanis folyadékfázisban is végezhetők, csak ekkor az elnyelési vonalak kiszé-lesednek, ami a vonalak átfedéséhez és ezáltal a szelektivitás csökkenéséhez vezet.

A fotoakusztikus rendszerek fejlesz-tése komplex akusztikus terek numeri-kus modellezésétől kezdve, a lézerfej-lesztésen át, elméleti spektroszkópiai kérdésekig számos érdekes tudományos problémát vet fel, amelyeket külön-külön is csak igen vázlatosan lehetne tárgyal-ni a rendelkezésre álló terjedelemben.

* A tanulmány teljes szövege a Magyar Tudományos Akadémia honlapján olvasható, a http://www.matud.iif.hu/05dec/05.html címen.

Aktuelna dešavanja u svetu tehničkog prosperi-teta pretpostavljaju veli-ke napore u istraživanji-ma. Ekipa koja je radila na problemu fotoakusti-čnih merenja i detektaciji gasa obavila je važan inovatorski posao koji se ovde prezentira. Napor nije bio uzaludan jer izum funkcioniše u praksi i to uspešno. Kako navode autori ova laser-ska tehnika podesna je ne samo za alarmiranje opasnosti kod testiranja gasa već se može prime-niti i kod strukture vode i njene čistoće. S obzirom na složenost sistema nije moguće sve detaljizirati pa se rad ograničava na neka segmentarna područja fotoakustične metode, njene prednosti i mogućnosti.Fotoakustična merenja moguća su pri merenju amonije emitovane iz biosfere. Ovo ima

Az alábbiakban ezért inkább különböző területről vett példán keresztül próbál-juk meg demonstrálni a fotoakusztikus módszer előnyeit és a benne rejlő lehe-tőségeket.

A BIOSZFÉRA ÁLTAL KIBOCSÁTOTT AMMÓNIA

FOTOAKUSZTIKUS MÉRÉSE

A környezetvédelem fontossága ha-zánk európai uniós csatlakozásával to-vább növekedett, hiszen ezen a téren vagyunk talán a leginkább elmaradva az EU régebbi tagállamaitól. A környe-zetvédelem egyik kulcskérdése a gázok megbízható monitorozására alkalmas rendszerek kifejlesztése. Az ammónia fontos légszennyező mind a regionális léptékű troposzferikus vegyi folyama-tokban játszott szerepénél, mind lerakó-dásakor az ökológiai rendszerekre gya-korolt hatásainál fogva. Ezért szükség van in situ mérésére is, melyet a jelen-legi módszerekkel vagy egyáltalán nem, vagy csak igen magas költségek árán lehet megvalósítani. Az in situ mérések egyik legnagyobb előnye a folyamatos és valós idejű adatszolgáltatás, amelynek eredményeképpen hirtelen nagyarányú

változások is mérhetőek és követhetőek, és így a szükséges beavatkozások időben megtehetők. A folyamatos monitoring nyilvánvaló előnyei ellenére sem terjedt még el hazánkban. Kutatócsoportunk egy korszerű, folyamatosan üzemelő, rövid válaszidejű és szelektív mérőesz-köz kifejlesztésén dolgozik, amelynek üzemeltetéséhez nem szükséges speciá-lis ismeret, és lehetőleg kevés karbantar-tást igényel.

Műszerünkben fényforrásként egy 1532 nm hullámhosszon működő DFB di-ódalézert, a rendszerben pedig egy spe-ciális, polimerből készült fotoakusztikus kamrát alkalmazunk. Erre azért van szükség, hogy a kamra falán fellépő abszorpciót/deszorpciót és ezzel a minta-vételezési műtermékeket a minimálisra csökkentsük. Ez a berendezésünk a leve-gőben található ammónia mérésére alkal-mas akár terepi körülmények között is. Jelenleg a rendszerrel kimutatható legki-sebb ammóniakoncentráció 10 ppb. Ez az érték ismereteink szerint több mint egy nagyságrenddel jobb, mint a jelenleg az irodalomból ismert rendszereké. Az esz-közt 2005 nyarán két héten át teszteltük terepi mérések során Braunschweigben, az ottani mezőgazdasági kutatóintézet

Szabó Gábor et al.26

NH

3-kon

cent

ráci

ó (p

pm)

esőidő (óra)

Egész napos ammó-niadetektálás foto-akusztikus rendsze-rünkkel terepi körül-mények között.

ogroman ekološki značaj zbog zagađivanja, pa naša zemlja tu ima bezbroj oba-veza. Isto tako detektacija ozona putem ove metode ima veliki značaj pošto otkrivenim postupkom i primenom lasera dolazimo do pouzdanih rezultata merenja.Istraživanja ove grupe podesna su i za merenja propusne moći folija, naro-čito u oblasti ambalaže što je od uticaja na trajnost i upotrebljivost namirnica.

kísérleti búzamezőjén. A cél a búzamező műtrágyázása és locsolása után meg-emelkedett ammóniakibocsátás mérése volt. A napi mérésekből jól látszik, mikor indul el a növények fotoszintézise, és az is, hogy amikor esik az eső, az ammónia-koncentráció lecsökken, mivel az esővíz-ben elnyelődik az ammónia (1. ábra).

FOTOAKUSZTIKUS ÓZONMÉRŐ RENDSZER

Környezetvédelem szempontjából lég-körünk egyik igen fontos összetevője az ózon. Amíg jelenléte a felső légkörben nélkülözhetetlen, addig a földfelszín kö-zelében – ahol például gépjárművekben az üzemanyag elégése során keletkezhet – többféle módon is káros hatást fejt ki. Az ózon keletkezése és emiatt térbeli eloszlása is meglehetősen egyenetlen. Az ózonkoncentráció térbeli és időbeli vál-tozásainak nyomon követéséhez szüksé-gessé vált a pillanatnyilag létező ózonmé-rők mellett egy hordozható, viszonylag kis méretű, nagy érzékenységű, rövid válaszidejű, automatikusan vezérelhető ózondetektor kifejlesztése.

Az ózon abszorpciós maximuma 254 nm-en található. Erre a hullámhossz-ra természetesen már nem léteznek az eddig ismertetett berendezéseinkben alkalmazott telekommunikációs dióda-lézerek. Szerencsére azonban a techni-kailag ugyancsak igen kiforrottnak te-kinthető Nd-YAG lézer frekvencianégy-szerezett hullámhosszán (266 nm) az ózon abszorpciója a maximumnál csak alig kisebb. Ezért rendszerünkben nagy ismétlési frekvenciájú, Q-kapcsolt Nd-YAG lézert használunk, amely fényét két nemlineáris kristály segítségével konver-táljuk (frekvencianégyszerezéssel) 266 nm-re. A frekvenciakonverzió során a

lézer 1064 nm-en leadott 1500 mW-nyi teljesítményéből 5 mW teljesítményű UV fényt kapunk. A teljes rendszer elfér egy 40x60 cm alapterületű optikai asztalon. A hozzá tartozó elektronika és gázke-zelés együttesen egy 70x65x53 cm-es dobozba integrálható.

Az ózonmérő rendszerünket meg-felelő tesztmérések elvégzése után egy ózonkalibrátor segítségével hitelesítettük és meghatároztuk érzékenységét, amely 2 ppb-nek adódott. Ezt követően a rend-szert egy környezetállapot-monitorozó rendszerbe integráltuk, ahol a levegő ózontartalmát mérte egy kereskedelmi forgalomban kapható ózonelemzővel pár-huzamosan. A két rendszer által mért ér-tékek kiválóan egyeztek. Megjegyzendő: a fotoakusztikus rendszer időfelbontása lényegesen jobb, mint a hagyományos ózonelemzőé.

A FÓLIÁK GÁZÁTERESZTŐ KÉPESSÉGÉT MÉRŐ

FOTOAKUSZTIKUS RENDSZER

Csomagolóanyagok, fóliák gázáteresz-tő képessége alapvetően meghatározza a csomagolt élelmiszer vagy a gyógy-szer eltarthatóságának idejét. A fóliák áteresztőképességét legtöbbször vízgőz-re, oxigénre és szén-dioxidra vizsgálják. További fontos kérdés, hogy a fólia milyen mértékben engedi át a csomagolás során alkalmazott, az áru romlását késleltető, speciális összetételű védőgázokat.

A mérés elve, hogy a mérendő fóli-át egy ún. diffúziós cellába helyezzük, melynek alsó térrészébe nagy koncent-rációban a vizsgálandó gázkomponenst juttatjuk, míg a felső térrész eredetileg semleges gázzal van feltöltve. A mérés során a membránon átdiffundáló mole-kulák megjelennek a diffúziós cella felső

Szemtől szemben a lézerekkel – fotoakusztikus gázdetektáló rendszerek... 27

térrészében, ami egy membránpumpán keresztül zárt (áramlási) kört alkot a fotoakusztikus kamrával. Ily módon az átdiffundált gáz mennyisége a rendszer megbontása nélkül folyamatosan mérhe-tő. A mért görbére, azaz a koncentráció időfüggésére a diffúziós egyenlet alapján felírt modell numerikusan illeszthető, és az illesztés eredményeként megkapjuk a mintára és a vizsgált gázkomponensre jellemző diffúziós paramétereket. Mivel a fotoakusztikus módszer igen kedve-ző jel/zaj viszony mellett folyamatos méréseket tesz lehetővé, a numerikus illesztést elegendő a mérések kezdeti szakaszára elvégezni. Ezzel a módszerrel

a korábban, alacsony gázáteresztő képes-ségű minták esetén akár több napot is igénybe vevő mérési időt, néhány órára lehet rövidíteni.

Az általunk kifejlesztett áteresztő-képesség-mérési módszerrel sikeresen meghatároztuk különböző műanyagok metán, szén-dioxid stb. áteresztőképes-ségét. Jelenleg egy olyan rendszer ki-fejlesztésén dolgozunk, amely lehetővé teszi az áteresztőképesség mérését 1000 bar nyomásig. A fotoakusztikus mód-szer alkalmazása gázáteresztő képesség mérésére legjobb tudomásunk szerint világviszonylatban is újdonságnak szá-mít. (2. ábra)

Dirner Sándor28

IRODALOM

Veres A. H.–Sarlós F.–Varga A.–Szabó G.–Bozóki Z.–Motika G.–Gyapjas J. (2005): Spectroscopy Letters. 38, 377-388.

Szakáll M.–Bozóki Z.–Mohácsi Á.–Varga A. –Szabó G. (2004): Applied Spectroscopy. 58, 792-798.

Fotoakusztikus gázáteresztőképesség-mérő berendezés sematikus rajza.

Természettudományi tanármelléklet 29

Egyes mértékegységek kialakulásaDirner Sándor

Kulcsszavak:■ hosszúság,■ terület,■ térfogategység,■ súlyegység,■ időegység1. BEVEZETÉS

Napjainkban a fizika és más jelenségek számszerű jellemzése ill. mérése rend-kívül fontos. A mérésre szolgáló készü-lékek és a mérések módszere igen vál-tozatos. A ma használt mértékegységek többé-kevésbé mindenütt azonosak, s az esetleges átszámítást is fölöslegessé teszi. Így bárhol a világon tudják, mi a kilo-gramm, a méter, a kilowatt stb.

Ez azonban nem volt mindig így: az ókorban, középkorban sőt még az újkor-ban is a mértékegységek sokaságával áll-tunk szemben. Az átszámítás időigényes is volt, meg félreértésre is adhatott okot. Hasznosnak tűnik, hogy a teljességre való törekvés nélkül, áttekintést adjunk a történelem folyamán kialakult, s alkal-

mazott, majd pedig gyakran elfelejtett mértékegységekről, melyeket újabbak váltottak fel.

2. MÉRTÉKEGYSÉGEK AZ ŐSIDŐKTŐL BABILÓNIÁIG

A mérés igénye bizonyára akkor je-lentkezett, amikor a kereskedés fejlődés-nek indult. Miután leginkább a mennyi-ségen volt a hangsúly, az erre vonatko-zó egységek alakulhattak ki legelőször. A forgalomba hozott áru minőségének meghatározása már sokkal nehezebb fel-adat volt. Itt a leggyakoribb mértékegysé-gekre koncentrálunk:

→ Hosszegység → Terület-egység

Mere i merenja neodvojiva su od ljudske istorije, jer je razmenski fenomen star kao i čovečanstvo. Stvari je trebalo upoređivati, utvrđivati stvarno stanje po težini, veličini, vredno-stima. Veoma je poučan prezentovani napis, pošto omogućava razumevanje navoda u starim zapisima, pa ako hoćemo i u Bibliji. Geneza razvoja sistema, mera i njihova adaptacija u praksi govori i o stepenu razvoja pojedinih navoda i svekolike civilizacije.

→ Térfogategység → Súlyegység → Időegység

A hosszegység kiválasztásánál a cél-szerűség azt követelte, hogy a megvá-lasztás a „kéznél levő” tárgyak alapján történjék. Ennek a nyoma ma is látha-tó: pl. az angolszász országokban még mindig használatos a „hüvelyk” vagy a „láb”. Az idő mérésére a Nap állása volt a legalkalmasabb. A súly mérésére egyes gyümölcsök, ill. ezek magjai adták egy-ségüket. Történelmi adatok bizonyítják, hogy pl. a pálmalevelek ill. a búzaszemek súlya is mértékegységként szolgált.

A kisiparos tevékenység valamint az ehhez fűződő kereskedelem már az ókorban szükségessé tette az egységek rendszerezését. Törvényerejű előírások születtek a mértékegységek meghatáro-zására és ellenőrzésére.

Ismerjük a kutatómunkát végző K. BÖCK tanulmányaiból, hogy a mérték-egységek egy része Babilonból szárma-zik (Metrologische Untersuchungen über Gewichte, Münzfüsse und Maase des Alterturms, Berlin 1838). A Káldeusok, Mezopotámia őslakói már felosztották a nap világos részét 12 órára, s az „éj-szakát” ugyanennyire. Az idő mérésé-re leginkább vizet használtak, amely egy meghatározott alakú agyagedény alján folyt ki. A mérés elején az edényt meghatározott magasságig töltötték fel. A mérés elején a vízoszlop magassága nagyobb, s így egy időegység alatt több víz folyik ki, mint amikor a vízszint már közel van az edény aljához. Így hát az edény oldalán levő beosztások sem lehettek az edény felső ill. alsó széle közelében egyenlőek.

A babiloniai talentum annak a víz-mennyiségnek felel meg, amely egy óra

leforgása alatt folyt ki az edényből. Ez a súlyegység sokáig volt érvényben. Az edény felső része négyzet alakú volt, amelynek élhossza volt a hivatalos hosszegység, a rif. A pénz mennyiségét a talentum súlya határozta meg. A babi-lóniai rif hossza kb. 995-996 mm volt, az egyiptomi pedig 527 mm volt. Érdekes megjegyezni, hogy a babilóniai szám-rendszer a hatosra alapult, az egyiptomi pedig 12-re. A zsidók mértékrendszere a kettőt kombinálta: a hosszegység az egyiptomi rif volt, a térfogat egységet log-nak nevezték, és kb. 30 liter víz tér-fogatának felelt meg. Az előázsiai népek mértékegységei főleg Babilóniából valók. A súlyegység a babilóniai talentum volt, melyet felosztottak 60 minára, azaz 3600 sekelre. Egy sekel súlya kb. 16 gramm tömeg súlyának felel meg. Idővel a sekel is, meg a talentum is változtatta a nagyságát, ami a kereskedelemben sok bonyodalmat okozhatott. A régi görö-gök a mértékegységeik nagyobb részét eleinte Babilóniából vették át a zsidók közvetítésével. Ennek a nyomait Mózes I könyvében több helyen is megtalál-juk, pl. Mózes I könyv 13/2 így mondja: „Mózes pedig jöve Úr-Kasdimból azaz Kaldeiából sok marhával, arannyal és ezüsttel.”

A főníciaiak kiváló kereskedők és ten-gerészek is voltak. Ők alapították többek között a mai Tunézia partjainál az egyik „új várost”, amit a saját nyelvükön Kart Hadestnek neveztek. Ez nem más, mint a ma is romjaiban még látható Cathago, az ország fővárosának közelében. Ezek a városok később annyira megerősöd-tek, hogy Karthago egyik hadvezére – Hannibal – Rómát is veszélyeztette, s végül a rómaiak elfoglalták a várost és a földdel tették egyenlővé. Erről a karhagói hatásról szól Ezekiel próféta 27/23 köny-

Dirner Sándor30

Egyes mértékegységek kialakulása 31

ve, és utal Főnícia és Babilon kereskedel-mi kapcsolataira.

3. A RÓMAIAK MÉRTÉKEGYSÉGEI

a) Hosszúság mértékegységei

1 pes (láb) = 0,29 m 5 pes = 1 passus = 1,48 m 625 pes = 125 passus = 1 stadium = 184,84m 5000 pes = 1 római mérföld (miliare) 1 pes = 4 palmus (Palmus a tenyér széles-

sége)1 palmus = 4 digitus (az ujj szélessége ill.

vastagsága) 1 digitus = 18,5 mm

Az átszámításnál némi lekerekítést is figyelembe kell venni.

b) Terület mértékegységei

1 iugerum = 0,252 hektár2 iugerum = 1 haeredium100 haeredium = 1 centuria = 50,377 hektár100 négyzetláb = 1 scripulum = 1 clima =

314,86 m²144 scripulum = 1 actus = ½ iugerium

c) A térfogat mértékegységei

A kenyérgabona mérése

1 modus = 8,75 liter6 modus = 1 mediumnusA folyadékokra, főleg a borra és az olajra1 culeus = 525,27 liter = 20 amphora1 amphora = 26,26 liter = 2 urna1 urna = 4 congius = 24 sextarius1 sextarius = 2 hemina = 4 quartarius1 quartarius = 2 acetabulun = 3 cyantus1 cyantus = 4 lingula = 0,0456 liter.

d) A tömeg mértékegysége

Eredetileg az as egy egységet jelentett bármely pénzből, súlyból, vagy tömegből. Így pl. a teljes hagyaték örököse „heres ex asse” volt. 1 as = 327,45 gramm tömegének a súlya, ami 12 unciának felel meg. Az AS többszörösei: dopundius, tripondius, quatrussus, hogy csak egy párat említ-sünk. Az AS kisebb részei voltak:

Decunx = 11/12, dextranx 5/6, dodrans 3/4 része az AS-nak.

A rómaiak hódításaik során Európában is elterjesztették ezeket a mértékegy-

1. ábra

Dirner Sándor32

ségeket, amelyek jó része, esetleg más néven, fennmaradt Európában az egész ókor alatt. A rómaiak kitűnő úthálózata, melynek nyomai még ma is sok helyen fellelhetők, lehetővé tette az erőteljes kereskedelem kibontakozását. A mérésre megfelelő eszközök is kellettek; így a rómaiaktól származik a még ma is hasz-nálatos ún. „római mérleg”, mely az 1. ábrán látható.

4. A KÖZÉPKOR MÉRTÉKEGYSÉGEI

A középkor kezdetét a Nyugat-Római Birodalom bukásától számítjuk, vagyis a 476-ik évtől. A középkor vége s az újkor kezdete Konstantinápoly buká-sának évére, tehát 1453-ra tehető. Van azonban olyan vélemény is, hogy itt a mérföldkő Amerika felfedezésének az éve, tehát 1492.

A középkorban megmaradt az as használata, főleg az arany az ezüst mé-résére. Így pl. 5,120 holland as egyenlő volt 1 holland Troy-Márkával. A nevét Troyes városról kapta, amely Észkkelet-Franciaországban van. Ez a város az antik időkben Augustobona Tricassium néven volt ismert. A Champagne tartomány fővárosaként egyre fontosabb kereske-delmi és forgalmi központtá vált, már az 1000-ik év táján. Az egykori gazdag kereskedők városa sok szép templommal és egyéb épülettel is büszkélkedik, ami az egykori gazdag múltra utal.

Az egész középkorban az as volt a legismertebb és legelterjedtebb súlyegy-ség. Tudni kell azonban, hogy a korra jellemző instabilitás a mértékegységek esetében is kimutatható. Az egyes ural-kodók önkénye, a földesurak kapzsisága és az útszéli banditák is gyakran megke-serítették a kereskedők életét. Ismeretes, hogy volt olyan szokásjog, mely szerint

az az áru, amely pl. a szekér felborulása következtében a földre esett, a földbirto-kost illette. Az egész középkorban nem csak az útszéli haramiák dézsmálták a kereskedő portékáját, hanem ott voltak az ún. rablólovagok is (Raubritter). Ezek pl. Németországban a Neckar folyó völ-gyében is működtek, s volt belőlük sok Olaszországban és Franciaországban, va-lamint a két országot összekötő hágók táján is. Ugyanilyen állapotok uralkod-tak Angliában is. Szavahihető adatok bizonyítják, hogyha valaki pl. Skóciából Londonba igyekezett, nem is ok nélkül írta meg a végrendeletét, s elbúcsúzott a családtól, rokonoktól, barátoktól. A pos-takocsik kocsisai fegyverrel voltak ellát-va, s emiatt a jobb kezüknek szabadnak kellett lennie, ezért a gyeplőt a bal ke-zükben tartották. Egyes vélemények sze-rint a kocsisnak célszerűbb volt az út bal oldalán hajtani, s a ma is érvényes balol-dali hajtás Angliában innen ered. Ennek a véleménynek ellentmond az a tény, hogy a kontinensen is voltak utonállók, s itt mégis túlsúlyban volt a jobbrahajtás. A folyókon való szállítást a folyó szabá-lyozatlansága is akadályozta. A Rajnán pl. voltak olyan helyek, ahol egy erős lánccal gátolták a hajók közlekedését, s a lánc csak akkor lazult meg, amikor a kereskedő fizetett. Érdekes megemlíteni, hogy a Karib-tengeren is fosztogattak a kalózok, s ezek a zsiványok – láss csodát – még egy „becsületkódexet” is hoztak, mely megszabta az eljárások módját.

A kereskedők tehát sok bizonytalan-sággal néztek szembe, és így a középkori mértékegységek különböző, vagyis eltérő nagysága lehetőséget adott arra, hogy a vásárlóval fizettessék meg a vásárolt porté-kát, de az elszenvedett veszteségek árát is.

Voltak azonban többek részéről olyan törekvések, hogy végre egységesítsék a

Egyes mértékegységek kialakulása 33

mértékeket, de ezek a szándékok csak térben és időben szűken behatároltan éreztették hatásukat. Így Angliában a RÖF helyett I. HENRIK király hosszegység-ként a saját karjának a hosszát tette meg. Más országokban is hasonló helyzet volt. Franciaországban PAUCTON és a híres csil-lagász BAILLY is sikertelenül próbálkoztak az egységesítést létrehozni. A középkor sok mértékegysége közül csak néhány fontosat említünk meg.

a) Hosszegységek

Már említettük, hogy a Középkorban a RÖF nagyon elterjedt mértékegység volt.

1 röf = ½ láb. Ezt a méretet később kis rőfnek nevezték el, mert volt még

1 nagy rőf = 25 láb is.Ha azonban egy kis összehason-

lítást végzünk, teljes a káosz. A nagy rőf más volt Poroszországban, ismét más Bajorországban, Würtenbergben, Ausztriában, Svájcban, Hollandiában, Brabantban…s, hogy ne soroljuk tovább. A textilkereskedelemben nagyon elterjedt a brabanti RÖF, mely 68 és 69 cm között va-riált. Ugyanakkor 5 brabanti rőf megfelelt 6 Köln városában használatos RÖF-nek.

b) A terület mértékegységei

Még a római időkből megmaradt a salutus, centuria, haeredium, iugerium és actus. Egy iugerium akkora terület volt, amelyet az akkori kezdetleges ekével két bika fel tudott szántani egy nap alatt. (Vessük ezt össze a még ma is a Szabadka környékén használatos „mértékegység-gel” az „egy kapával”). Voltak azonban olyan esetek is, amikor a föld területét a minősége szabta meg ill. az az idő, amely adott mennyiségű kenyérgabona hozamának az elvetésére kellett. Így pl. Szászországban a föld mérésére szolgáló

egység akkora terület volt, amelynek évi hozama 24 drezdai mérő volt.

c) A térfogat mértékegységei

Sok mértékegység eredete nem tisz-tázott. Így pl. Svájcban a saum ill. Olasz-országban a solma, akkora kiterjedésű tömeg volt, amekkorát egy megrakott ló el tudott húzni a hegyi szorosokon. Feltételezzük, hogy a búza mértékegy-sége akkora tömeg volt, amekkorát egy ember el tudott cipelni.

Nem is említjük azt a sok, gyorsan elfogadott és még gyorsabban elfelejtett mértéket, mely részben római, részben talán még görög eredetű.

Meg kell említeni, hogy a Frank Birodalomban NAGY KÁROLY (768–814) egységesíteni akarta a mértékegységeket. A búza mérésére elrendelte a modius = 52,2 liter használatát. Ennek az alapját a görög medimnos képezte. Tudni kell, hogy a görögök hatása nem meglepő, hiszen pl. a mai Marseille a görög ke-reskedők Massilia nevű kereskedelmi támaszpontjából alakult.

A modius használata előtt már léte-zett egy hasonló egység a frankoknál. Ennek az alapja a görög metretes = 39,4 liter volt. A bor mérésére a frankok az ohmot használták, mely 136 és 157 liter között variált.

d) A súlymérés egységei

Ezen a téren sokáig a Kölni font volt használatban, ami ma kb. 350 gramm tömeg súlyának felel meg. 1 font = 16 uncia. Használták az 1 kölni márkát = 0,5 Uncia is. A kölni márka már 954-ben az arany és ezüst mérésére szolgált. Ez a Dunamelléki államokban 500 gramm, Oroszországban, Lengyelországban és Sziléziában kb. 400–

Dirner Sándor34

407 gramm tömegű súlynak felel meg. A kölni mértékegységeket idővel felváltották a már említett Troyes város egységei. A francia és az angol troyes-font azonban nem volt azonos.

Nem fárasztjuk tovább az olvasót e kaotikus, szövevényes mértékrendsze-rek további részletezésével, de gondoljuk csak el, micsoda káoszban kellett élniük és dolgozniuk az akkori kereskedőknek. Nem meglepő hát, hogy egy bizonyos rend megteremtése nagyon is időszerű volt. Vannak adatok arra nézve, hogy Egyiptomban még a fáraók korában is voltak arra törekvések, hogy egy, a ter-mészetben meglevő nagyság legyen az összes mérték alapja.

Ismét, mint oly sokszor, Anglia kez-deményezett. A hüvelyk (inch ill. coll) különböző értékeket vett fel, s emiatt előírták „szabványosan”, hogy 1 inch = „3 szem lencse egymás mellé sorakoztatva” (2. ábra). Ez az előírás 1324-ben lépett életbe. Érthető, hogy ez nem volt egyér-telmű és kielégítő meghatározás. Ezért később, a 16. században, „legfőbb ren-

delettel” egy vasárnapon a templomból kijövő 16 polgárt „libasorba” állították és lemérték a távolságot a legelső lábhegyé-től a legutolsó sarkáig (3. ábra). A lemért hossz neve perch, s ez lett a hossz hiva-talos mértékegysége. Ennek 1/16 része a foot (láb), amelynek az 1/12 része a hüvelyk, vagyis a coll, angolul „inch”, melynek mai értéke 25,4 mm.

Ismeretesek derűt ébresztő példák ill. javaslatok is. Így pl. Wiedler javaslata 1727-ból, aki hosszegységként a felnőtt ember szempillái közötti távolságot ajánlja figyelembe. Voltak azonban értelmesebb javaslatok is. Andreas Böhm javaslata sze-rint a hosszegység az a távolság legyen, melyet egy test megtesz a szabadesés fo-lyamán az első másodpercben. Herschel, az ismert csillagász, erre a célra a föld fő poláris tengelyének a tízmilliomod részét javasolta, CHRISTIAN HYGENS (1629-1695) pedig a másodperc-inga hosszát. Hasonló javaslatot tett BOUGNER és COMMANDIE is. Ez utóbbi Dél-Amerikában, Peruban felállí-tott egy emléktáblát a következő szöveg-gel: „Mensurae naturalis exemlar utinam et

2. ábra

Egyes mértékegységek kialakulása 35

universalis”. (A természetes mérték mintá-ja, bárha egyetemes lenne). Commandie munkája nem volt hiábavaló: az angolok 1824-ben hosszegységül a másodperc-inga hosszát fogadták el, London földrajzi szélességén és 13,3 Réamur-fok esetén, ami kb. 10,64 ºC-nak felel meg. Ennek a hosszegységnek imperial yard volt a neve, ami 3x12=36 inchet tartalmazott. Hogy a helyzet még “egyszerűbb” legyen, létezett a standard yard is, amelyben nem 36, hanem 39,13734 inch volt. Nemde, milyen egyszerű?

5. AZ ANGLIÁBAN HASZNÁLT MÉRTÉKEGYSÉGEK AZ ÚJKOR ELEJÉN

Az imperial yard etalonja (mintája) 1834-ben a Londont sújtó nagy tűzvész al-kalmával eltűnt. A bányászatban már ré-gebben használatos volt a fonál – fathom, amely hat lábnyi hosszúságot tesz ki. Az angol mérföld 5000 láb ill. 1524 méter. A tengeri mérföld 1/60 része az egyenlítőn mért kör egy fokának. Ennek az értéke

kb. 1853,2 méter. A tengeri mérföld na-gyobb, mint a szárazföldi.

A terület mérésének leggyakrabban használt egysége az acre, mely 4840 négyszög-yard, vagyis kb. 4847 m².

A térfogat gyakran használt egysége 1 imperialgallon = 4,546 liter. Továbbá

1 bushel = 8 gallon = 32 quart = 32 pint.

A búza mérésére leginkább a quarter = 290,79 liter használatos, vagy a win-chester bushel = 35,25 liter. A bor méré-sére szolgált a régi gallon, mely 3,8 liter.

A súlyegységek is számosak és bo-nyolultak voltak.

1 font (pound) = 16 uncia (ounces) = 0,4563 kg tömeg súlya.

1 grain = 7000 troy grain = 453,59 gramm tömeg súlya.

1 quartel = 28 pound1 hunderdweight = 4 quartel = 112

pound = 50,8 kg tömeg súlya.1 ton = 20 hunderdweight = 1016,05

kg tömeg súlya.A nemesfémeket ún. Troy-mértékek-

kel mérték.

3. ábra

Dirner Sándor36

1 troy–pound = 12 uncia (ounces)1 ounce = 20 pennyweight = 480 grain

Az angol bank csak az unciát használ-ja, amelyet 10 részre oszt fel.

Az ezüst mérésénél a pontosságot soha nem adják meg 0,5 unciánál pon-tosabban. A gyógyszerek mérése esetén 1 Troy-font = 12 uncia. Minden uncia 8 DRAMS-t tartalmaz, ill. 3x8 = 24 scrupulest.

Továbbá 1 scrupules = 20 grains.A nemesfémötvözetet szabvány alap-

ján határozzák meg. Így az arany szab-ványa 22 karát, ami 11/12 rész aranyat jelent az ötvözetben, vagyis 91,667 % aranyat. Az ezüst szabványa 37/40 rész ezüst az ötvözetben, azaz 92,5 %. Ha az ötvözet finomabb, akkor egy M betűt nyomnak a fémre, az angol more = több, vagy egy B betűt a better = jobb szó alapján. Ha az ötvözetben a nemesfém tartalma kevesebb volt a szabványos ér-téktől, egy W betű került oda a worse = rosszabb szóból.

Néhány ma is használatos angolszász mértékegységre vonatkozó összefüggés.

1 YD = 3 FT = 36" = 0,9144 méter.1 Ft = 12" = 0,3040 méter.1 szárazföldi mérföld 1 MI = 1760 YD

= 1609,344 m.1 tengeri mérföld 1 NM = 1852 m.A hajó sebességét ún. csomóban

mérik.1 csomó = 1 NM/1óra = 0,51444 m/s

= 1,852 km/h

A teljesség kedvéért megismételjük, hogy 1 hüvelyk (1 coll) = 1 inch értéke 25,4 mm. A kevésbé járatosak kedvéért pl. ha a hossz 20 hüvelyk, ezt így jelöljük: 20", milliméterben 20 x 25,4 = 508 mm.

6. A MÉTERRENDSZER

A fent említett mértékegységek soka-ságát még elolvasni is fáradságos – hát még alkalmazni őket! Ezért nem megle-pő, hogy többen és többször javasoltak kiutat e bonyodalomból. Az újabb idők első ilyen javaslata MOUTONtól ered, aki az egyenlítő egy fokra eső ívhosszát java-solta hosszegységül, s ennek a milliard nevet adta. Egy újabb kezdeményezés Franciaországból jött, TALLEYRAND politi-kus – és államférfitól. E javaslat ismét a másodperc-inga hosszára utal. Bizottságot alakítottak kiváló tudósokból: BORDA, LAPLACE, MONGE és CONDORCET, amely nem fogadta el Talleyrand javaslatát, hanem egységként a föld kerülete negye-dének tízmilliomod részét javasolta. Az egység neve meter lett. A későbbi, pon-tosabb mérések megállapították, hogy a méter valamivel kisebb, mint a föld kerületének negyvenmilliomod része. Ma a méter etalonját (hiteles mértékét) a Párizs melletti Sevres-ben őrzik. Ez az etalon platina és iridium ötvözetéből készült, a keresztmetszete egy H betűre emlékeztet (4. ábra). A leolvasás az A–A vonalon történik. A métert

Olaszország 1803-ban Hollandia és Belgium 1821-ben Görögország 1836-ban Spanyolország 1859-ben Németország 1872-ben Szerbia 1873-ban Ausztria–Magyarország 1876-ban

fogadta el.

A métert mértékegységként elfoga-dó országok 1875-ben Párizsban meg-alkották az ún. Méter-konvenciót. Az érdekelt és jelenlevő országok képviselői megegyeztek a méter-rendszer fenntar-

Egyes mértékegységek kialakulása 37

tásának és az esetleg felmerülő problé-mák megoldásának szükségességében. Megállapodtak, hogy közös költségen Párizsban egy hivatalt létesítenek, amely-nek a feladata a méter és kilogramm ősméretének megőrzésére, és az egyes országok mintáinak összehasonlítására szolgál. A kilogramm ma már nem súly, hanem a tömeg mértékegysége, mivel ugyanaz a tömeg más-más súlynak felel meg, a föld gyorsulásának függvényé-ben, Isaac Newton törvénye alapján, mely szerint

erő = tömeg x gyorsulásmatematikailag

F = m · a

E képletben F az erő (adott esetben súlyerő is) m a tömeg (massza) a pedig a gyorsulás (acceleratio).

A ma elfogadott ún. SI–rendszer, kissé módosította az eredeti egységeket és a közöttük levő viszonyokat, ami nem e tanulmányban nyer ismertetést.

Hasznosnak tűnik aznoban rámutat-ni legalább néhány tényre.

Legelőször is az erő ma nem alap-egység. Az erő egysége 1N (Newton).

Ez akkora erő, amely 1 kg tömegre hat, ha a gyorsulás a = 1 m/s². Jó közelítéssel mondható, hogy 10 N = 1 daN (olv. dekanyútn) nagyjából 1 liter víz súly-erejével azonos. De csak itt a földön, a világűrben gyorsulás híján nincs erő, s a testeknek nincs súlyuk!

A következő fogalom a munka, amely a konstans erő és a a megtett út szorzata

A = F · s

Ha az erőt N-ban, az utat méterben fejezzük ki, akkor a megkapott számér-ték a munkát Newton-méterben adja, s ennek a munkaegységnek a jele 1 J (olv. „dzsúl”), az elnevezés az angol JAMES PRESCOT JOULE-től származik, aki a 19. század kimagasló angol fizikusa volt.

Be kellett vezetni a teljesítmény fo-galmát is, mely annál nagyobb, minél na-gyobb munkát végzünk el, minél kisebb idő alatt.

Ha az erőt Newtonban fejezzük ki, a megtett utat méterben, az időt másodperc-ben (secundum), akkor a teljesítmény

P = N · m / s = J/s = W (Watt)

4. ábra

IRODALOM

1. G. Böck Metrologusche Untersuchungen über Gewichte, Münzfüsse und Maase des Altertums, Berlin 1838

2. Szovjet társszerzők (fordítás) A technika története. Kossuth-kiadó, Budapest 1964

3. Faltin H. Messverfahren und Messgeräte der Kraft – und Wärmewirtschaft Halle. Knapp, 1950

4. Több szerző Archiv für technisches Messen und industrielle Messtechnik H. Oldenburg, München

5. Störi H. J. Kleine Weltgeschichte der Wissenschaft, Stuttgart 1954

6. Chulde V. G. The dawn of Europena Civilisation, 4. kiadás, London

7. Folyóirat Standardizacija br. 5 Beograd 1953

8. Klimpert Lexikon der Münzen, Maase und Gewichte, Berlin 1855

9. Weinstein Handbuch der physikalischen Maasbestimmungen, Berlin 1866

10. Lejeune Monnaies, poids et messures des principaux pays du monde, Paris 1894

11. Bopp Die internationale Maas – Gewichts – und Münz – Eignigung durch das metrische System, Stuttgart, 1869

Tehát egy Watt teljesítményről akkor beszélünk, ha 1 Joule munkát (munka-végző képesség = energia) fejtünk ki 1 másodperc alatt. A watt elég kis teljesít-ményegység, ezért ennek az 1000-szere-sét használjuk

1 KW = 1000 W = 1000 Joule/ 1 sekundum

Ezzel kapcsolatban meg kell említeni, hogy a korszerű gőzgép megalkotója, JAMES WATT (1736–1819) már szükségét látta a teljesítményegységnek. Erre a célra lovakat használt. A „lóerőt” voltaképpen „lóteljesítmény”-nek kellene nevezni, hi-szen nem erőt, hanem teljesítményt mér, s a kettő semmiképpen nem azonos.

Ma már a lóerő (rövidítve: magyarul LE, szerbül KS, németül PS, angolul HP) többé nem hivatalos egység, s a haszná-latát mellőzni kell. A LE kisebb teljesít-mény a KW-nál.

Az összefüggés a következő

1 KW = 1,36 LE1 LE = 0,736 KW

Ugyanaz a teljesítmény tehát LE-ben kifejezve több, mint KW-ban. Az au-tókereskedők a kötelező KW-ot ugyan feltüntetik, de ott van a LE is, ami szám-

szerűleg több, és esetleg elszédíti a „ked-ves vevőt”.

Említsük meg azt is, hogy a hőener-giát előbb ún. „kilokalóriában” (Kcal) fejezték ki. Ma már itt is J (Joule) ill kJ a kötelező.

A kettő közti összefüggés:

1 kcal = 4,1868 (kilodzsúl)1 kJ = 0,23885 kcal

Hasznos tudni azt is, hogy pl. 1 KW teljesítményű villamos-melegítő 1 óra alatt 860 kilokalóriát termel, vagyis

1 KWh = 860 kcal.

Befejezésül állapítsuk meg, hogy az egykor oly bonyolult mértékrendszer, melyet csak részben mutattunk be, ma már egy sokkal egyszerűbb rendszer-nek adott helyet, ahol a méter mint hosszegység, a másodperc mint időegy-ség és a kilogramm mint tömeg (nem erő!) egység játszik szerepet. Nehéz volna s nem is hálás, ha meg akarnánk jósolni, hogy ez most már állandóan, változatlanul így marad-e. Talán nem felesleges a régi hellének közmondás-ára emlékeztetni: Minden változó, csak a változás állandó.

12. Jegyzzőkönyv Proces – verbaux des sciences de 1884 du comité international des poids et messures, Paris 1896

13. Stamp Measures, London 1855

14. Donisthorpe Measures, London 1855

15. Wirminghaus Maas – und Gewichtswesen, Wörterbuch der Volkswirtschaft, Jena 1898

16. Duff Cooper Talleyrand. Singer és Wolfner kiadó, Budapest

17. Dr. Stjepan Srkulj Povijest starog vijeka za V razred srednjih učilišta, Zagreb 1919

18. A szent Biblia – Ótestamentum könyvei

19. Számos adat újságok-ból, folyóiratokból, kiállítások és múzeu-mok anyaga.

Dirner Sándor38

Természettudományi tanármelléklet 39

Sorozatok elsőtől egyetemigFried Katalin

BEVEZETÉS

A matematika igen érdekes tudomány. Szorosan épülnek egymásra a területei, sok-szor összefonódnak. Olyannyira, hogy amikor matematikát tanítunk, nem is feltétle-nül látjuk át, hogy az, amit éppen tanítunk hol fog ismét felbukkanni, a megszerzett ismeretet tanulóink hol fogják tudni hasznosítani.

Jó is ez, hiszen az is benne rejlik, hogy a gyerekek nem csak tőlünk tanulják a matematikai ismereteket, a matematikai gondolkodást.

De lehetnek árnyoldalai is. Mert amikor például óraszámcsökkenés vagy más okok miatt elmaradnak órák, nem tudjuk, hogy mit hagyjunk ki. Legfeljebb annyit látunk, hogy nekünk milyen anyagrészekre van, illetve lesz még szükségünk. Ennek a kérdésnek a vizsgálata is fontos lenne, de mi most nem erre keresünk választ. Hanem éppen az ellenkezőjére.

Egészen pontosan szeretnénk bemutatni egy témakört, amely (néha esetleg észre-vétlenül) átszövi tanulmányainkat, olykor akár mindennapjainkat is.

Az is igaz, hogy ilyen témakör sem csak egy van, de most konkrétan egyet sze-retnék bemutatni. Ez pedig a sorozatok.

EGY MINDENNAPOS KÉRDÉS

Egy televíziós vetélkedőben adták fel a közönségnek a következő kérdést: Melyik szám nem illik a sorba?

1, 2, 4, 6, 8, 10

Szeretném, ha a kedves Olvasó is elgondolkodna. Mégpedig úgy, hogy tudja, hogy nagy a tét: bejut-e vagy sem a vetélkedőre. Vagyis szeretném, ha először a szerkesztők fejével válaszolna erre a kérdésre. Megvan?

Akkor most válaszoljon úgy, mintha tudná, hogy csavar van a feladatban. Megvan? És ugyanazt válaszolta?

Én annak idején ezt válaszoltam: Az 1 nem illik oda, mert az az egyetlen páratlan szám. A 2 nem illik oda, mert az

az egyetlen prímszám. A 4 nem illik oda, mert az az egyetlen összetett négyzetszám. A 6 nem illik oda, mert az az egyetlen 3-mal osztható szám. A 8 nem illik oda, mert az az egyetlen páros köbszám. A 10 nem illik oda, mert az az egyetlen kétszámjegyű szám.

A mai napig nem vagyok benne biztos, hogy a szerkesztők valóban a 10-esre gondoltak.

Kulcsszavak:→ sorozatok,→ matematikaoktatás

Autor napisa ozbiljno upozorava na veliku odgovornost nastavnika u matematičkoj edukaciji. Ovo ne čini bez razloga jer se matematika predaje od prvog razreda do fakulteta. U konkretnom slučaju foku-sirani su nizovi koji su česti problemski zadaci počev u osnovnoj školi pa nadalje. Moguća višeznačnost u njihovom rešavanju i oče-kivanja onih koji su defini-sali problem često stvaraju nesporazume, pa se dešava da se odbaci odgovor koji u osnovi valja, ali po nekom drugom kriteriju. Autor upozorava na maksimalnu ozbiljnost u obradi mate-matičkih problema.

Fried Katalin40

FELVÉTELI KÉRDÉS ÁLTALÁNOS ISKOLA 1. OSZTÁLYÁBA

Melyik kacsa áll fordítva? Elbizakodottan azt hihetnénk, hogy nincs ember (gyerek), aki ezt eltéveszti. Igen

ám, de mit!? Teljesen értelmes gondolat lenne az, hogy az első jobbra néz, a második balra, a

harmadik megint jobbra, akkor nézzen a negyedik is ismét balra. Vagyis a negyedik áll fordítva. Mi ezen a kivetnivaló?

De a feladat kitűzői, az iskola tanárai nem erre a megoldásra gondoltak. Pontosabban erre a megoldásra nem gondoltak.

Vagy akár azt is mondhattuk volna, hogy a balra levő két kacsának balra, a jobbra levő két kacsának jobbra kellene néznie, vagyis az első áll fordítva.

Persze a hivatalos megoldás az volt, hogy minden kacsának jobbra kell néznie. Tehát a második áll fordítva.

És vajon az a lehetőség nem indokolható, hogy a harmadik áll fordítva? Erre a kérdésre még visszatérünk.

SOROZATOK AZ ÁLTALÁNOS ISKOLÁBAN

Ez a szokásos kérdés az általános iskola akármelyik osztályában felvetődhet: Folytasd a sorozatot!Kezdődjék így a sorozat: 1, 2, 3, Hogyan lehet folytatni? Lehet 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, ... Vagyis az 1, 2, 3 számok ismétlődnek. Lehet 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, ... Oda-vissza számlálunk. Lehet 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ... Valamettől kezdve konstans 3 sorozat. Lehet 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... A természetes számok sorban. Lehet 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... A Fibonacci-sorozat. Lehet 1, 2, 3, 6, 12, 24, ... A harmadiktól kezdve minden szám az őt megelőzők

összege. Lehet 1, 2, 3, 7, 22, 155, ... harmadiktól kezdve minden elem az őt megelőző

kettő szorzatánál 1-gyel több. És még mi minden lehet!

SOROZATOK KÉSŐBBI ÉVFOLYAMOKON

Hogyan folytatható ez a sorozat: 1, 2, 3? Lehet-e a negyedik elem a 8? A ,,szép" szabály a lineáris: . Az 1, 2, 3, 8 sorozat nem ilyen.

Esetleg a négyzetes: ?

Sorozatok elsőtől egyetemig 41

Ha ez ilyen, akkor

(1) (2) (3) (4)

(3)-ból kivonjuk (2)-t, (2)-ből (1)-et:

, tehát . Ebből . (1) szerint . De (4) szerint , márpedig . Esetleg köbös? ? Akkor (1) a+b+c+d=1,

(2) (3) (4) Vonjuk ki (4)-ből (3)-at, (3)-ból (2)-t, (2)-ből (1)-et:

Vonjuk ki -ből -t, -ből -t:

Ebből , , akkor , , .

A megoldás: , , , . Ellenőrizzük!

Fried Katalin42

ÁLTALÁBAN, MAGASABB FOKON

Amikor az első egyenletrendszerben kivonogattuk egymásból az egyenleteket, nem tettünk mást, mint hogy a sorozat egymást követő elemeinek különbségeit képeztük.

Ekkorra már minden együttható kiesett, az utolsó egyenlet alakú volt. ( )

A -t a különbségek segítségével egyszerűen kiszámíthatjuk. De hogy jön ki az ? A sorozatok szabályát polinom alakjában kerestük.

vagy másképp .

vagy másképp .

vagy másképp .

Satöbbi. Ha egy sorozat szabálya -adfokú polinom alakú, akkor hányadfokú a sorozat

különbségsorozata? Legyen a polinom Vizsgáljuk a különbségsorozatot! Polinom-e egyáltalán? Ha igen, hányadfokú?

Sorozatok elsőtől egyetemig 43

Két egymást követő tagja a sorozatnak az

és az

Két polinom különbsége biztosan polinom. A legmagasabb fokú tagot keressük ( polinomját polinomjává a binomiális

tétel segítségével írjuk át):

Ebből kiesik a -adfokú tag, a -edfokú tag együtthatója pedig

.

Ebből kiesik a -edfokú tag.

A különbség tehát polinom, -edfokú, a főegyüttható (a legmagasabb fokú tag együtthatója) pedig

.

Figyeljük meg: helyett a legmagasabb fokú tag.

Két, számunkra fontos dolgot figyelhetünk meg: 1. A fokszám 1-gyel csökken; 2. A főegyüttható a korábbi fokszámmal szorzódik. A téma szempontjából igen fontos összefüggés (bár mi most itt nem foglalkozunk

vele) az is, hogy a különbség legmagasabb fokú tagja hogyan kapható az eredeti poli-nom legmagasabb fokú tagjából:

.

Mi történik? Ismerős-e ez a hozzárendelés? A különbségsorozat legmagasabb fokú tagja a sorozat legmagasabb fokú tagjának

deriváltja.

Hogyan kapható meg az (utolsó különbség) egyenletben az ? Képezzük a különbségsorozatokat, ahányszor csak lehet.

-adfokú polinomnál különbségsorozat képzésével 1-re csökken a fokszám. (A -adik különbségsorozat már 0.)

A főegyüttható, , mindig az aktuális kitevővel szorzódik.

Fried Katalin44

Foglaljuk össze a tapasztaltakat:Ha a sorozat képzési szabálya -adfokú polinom, akkor – a különbségsorozat fokszáma 1-gyel kevesebb lesz; – ebből következik, hogy a -edik különbségsorozat konstans; – a -edik különbségsorozat konstansa . – a -adik különbségsorozat konstans 0. A gondolatmenet megfordítva is igaz: ha egy sorozat -adik különbségsorozata 0, -edik különbségsorozata

konstans, akkor a sorozat megadható egy -adfokú polinommal, amelynek főegyütthatója .

Általánosan: Ha egy sorozatnak az első tagja adott, akkor található olyan legfeljebb -

edfokú polinom, amely rendre ezeket az értékeket veszi fel. Azért mondjuk, hogy „legfeljebb”, mert lehet, hogy már hamarabb konstans kü-

lönbségsorozatot kapunk, és azért , mert tagból legfeljebb különbség-sorozat képezhető.

Nézzünk egy példát! Folytassuk a sorozatot! (,,Illesszünk” rá polinomot!) 1, 2, 3, 1 A polinom legfeljebb 3-adfokú lesz.

A polinom 3-adfokú, . Hogyan tovább? Vonjunk ki a sorozatból -t:

Egy lehetséges folytatás: Vonjuk ki az eredeti sorozat minden tagjából az tagot:

Sorozatok elsőtől egyetemig 45

Innen folytassuk a korábbi eljárást; másodfokú polinomot keresünk, ezt illesztjük a sorozatra.

A megmaradó másodfokú polinomban .

Most vonjuk ki az tagot!

A megmaradó polinom elsőfokú, .

Vonjuk ki ezt a tagot is! Akkor megkapjuk -t.

, tehát a polinom: .

Megjegyzés: nem ez a legegyszerűbb módszer, de mindig használható.

Fried Katalin46

Egy másik példa:

Folytassuk a sorozatot! Illesszünk rá polinomot! 1, 2, 3, 4

1 2 3 41 1 1

A polinom elsőfokú,

Kivonva az tagokat, az új sorozat: , , , tehát .

A polinom . Térjünk vissza a kacsákhoz! Jelölje a jobbra úszó kacsát 1, a balra úszót !

Feladatok: Illesszünk polinomot a következő (szépen úszó) kacsákra:

– 1 ; – 1 ; 1 ; 1

1 ; 1 ; 1 ; 1

1 ; – 1 ; 1 ; – 1

A ,,csúnya” esetet:

1 ; – 1 ; – 1 ; 1

most megoldjuk.

Sorozatok elsőtől egyetemig 47

1 –1 –1 1–2 0 2

2 2

A sorozat – meglepő módon(?) – másodfokú. .

Vonjuk ki az eredeti sorozatból az tagot!

, , , ; ; ;

Erről a sorozatról látszik, hogy .

Vagyis ezek a kacsák az polinomra illeszkednek.

értékhez akkor is tudunk legfeljebb -edfokú polinomot illeszteni, ha ezeket az értékeket nem rendre 1, 2, …, -hoz rendeljük hozzá. (Ezzel a kérdéskörrel Newton igen részletesen foglalkozott.) Eszerint tetszőlegesen adott különböző , , …, helyhez rendelt , , …, értékek esetén megadható olyan legfeljebb -edfokú polinom, amely az adott helyeken a hozzájuk tartozó értékeket veszi fel.

Térjünk vissza a „Folytasd a sorozatot!” feladatokhoz. Annak idején a legmagasabb fokú tag együtthatóját határoztuk meg, majd ki-

vontuk a legmagasabb fokú tagot a sorozatból, és így folytattuk tovább a polinom keresését.

Próbáljunk meg egyszerűsíteni a módszeren! Ha ismernénk a polinom 0-ban felvett értékét, azzal megkapnánk -t, hiszen

a 0-ban -t veszi fel.

Az 1, 2, 3, 8 sorozatban az utolsó különbségsorozattól induljunk el visszafelé is: 0.

Fried Katalin48

Két együtthatót is megkaptunk: , valamint .

Akkor vonjuk ki -t a sorozatból! Megkapjuk az -et. Ha ezt elosztjuk -nel, akkor -et kapunk.

A maradék sorozat tagjai:

, osztva 1-gyel: .

, osztva 2-vel: .

, osztva 3-mal: .

Ez a polinom.

A sorozat első 4 tagja a polinomra illeszkedik.

Láttuk tehát, hogy ha adott egy sorozat első tagja, akkor illeszthető rá egy legfeljebb -edfokú polinom. Akkor is igaz az állítás, hogyha nem sorozatról van szó, hanem valamely függvényről, amelynek (különböző) helyen felvett értéke ismert. Vagyis ha adottak a különböző , , …, és a hozzájuk tartozó , , …,

értékek, akkor megadható egy legfeljebb -edfokú polinom, amely az adott helyeken az adott értékeket veszi fel. Most egy ilyen esetet fogunk tanulmányozni.

Legyen adott egy polinom elsőfokú polinomok szorzataként alakban. Állapítsuk meg, hogy milyen értékeket vesz fel az , a , a helyeken!

Ha , akkor az első tényező 0, tehát a szorzat is 0. Ha , akkor a második tényező 0, tehát a szorzat is 0. Ha , akkor a behelyettesítéssel -t kapunk.

Készítsünk belőle olyan polinomot, amely -ban tetszőleges értéket vesz fel, -ben és -ben továbbra is !

A polinomot tetszőleges számmal megszorozva az továbbra is 0 -ben és 2-ben. 0-ban viszont .

Ha azt akarjuk, hogy ez legyen, akkor -vel kell szorozni.

Készítsünk polinomot, amely a különböző x2, x3, ..., xk helyeken 0.

A polinom ilyen.

Készítsünk polinomot, amely az x2, x3, ..., xk helyeken 0, a korábbi xi-ktől eltérő x1-ben pedig y1.

Az iménti polinom az x1 helyen az

A polinom -szerese továbbra is 0 azokon a helyeken, ahol addig 0 volt, -ben

pedig valóban

Hányadfokú polinomot kaptunk? elsőfokú tényezőt szoroztunk össze, a szorzat -edfokú.

Ha ezt a polinomot nemcsak -re, hanem minden -re elkészítjük, akkor csupa olyan polinomot kapunk, amely az adott helyek közül egyet kivéve mindenütt 0, ott viszont éppen a neki megfelelő értéket veszi fel.

Ezen polinomok összege – továbbra is legfelejebb -edfokú, – továbbra is értéket vesz fel helyen. (Hiszen minden -hez mindössze egy olyan polinom lesz, amely nem 0 -ben,

az viszont éppen -t vesz fel.) Ez a módszer Lagrange francia matematikus nevéhez fűződik, és bár konstrukciós

bizonyítást ad a már korábban ismertetett tételre, mégis inkább elvi jelentőségű: az algoritmust elvégezni igen nehézkes.

Készítsük el az 1, 2, 3, 8 sorozatkezdemény Lagrange-polinomját!

Sorozatok elsőtől egyetemig 49

VÉGSZÓ

Láthatjuk, hogy milyen kiterjedt problémakör alapját képezheti egy fejtörő, egy kisiskolás feladat.

Nem ez az egyetlen olyan témakör, ami végigvonul iskolai tanulmányainkon. Ha csak arra gondolunk, hogy az összeadás kommutativitása már az első osztályban is felmerül, de később, a mélyebb algebrai tanulmányok során is szükséges ismeret.

Ne feledjük tehát, nagyon fontos, hogy mit és hogyan tanítunk. Felelősséggel tartozunk, felelősséggel kell döntenünk.

Fried Katalin50

Természettudományi tanármelléklet 51

Rácsgeometria a középiskolábanNemecskó István

BEVEZETÉS

A középiskolában a rácsgeometria jól felhasználható szakköri feldolgozásra, verseny-előkészítésre. A feladatok megoldása a középiskolai ismereteknél nem igényel többet. A feladatok megoldásához az elemi geometria mellett szükség van a vektorok, az ana-litikus geometria, az algebra, a kombinatorika és a számelmélet ismeretére. Emiatt a sokoldalúság miatt szívesen adnak rácsgeometria feladatot a legkülönbözőbb korosztályok tanulmányi versenyein. A feladatok megoldásához az iskolában tanult ismereteket kell felhasználni, de szokatlan környezetben.

A matematikatanítás során fontos az olyan „témaegységek” alkalmazása, amelyek nem kötődnek szorosan egy tananyaghoz. Ezzel elkerülhetjük, hogy a tanulók csak akkor tudjanak egyes anyagrészeket, amikor tanulják azokat. Van, ahol a fejezet önállóan is alkalmas az adott témakör érdekesebbé tételére, egyben a tanított tan-agyag egy alkalmazásaként is bemutatható.

Diákjaink érdeklődéssel fogadták az új ismereteket matematikatáborban és tanórán is. A matematikatáborban kilencedikes és tizedikesek diákoknak, a gimná-ziumban tizedikes matematikatagozatosoknak tartottam ebben a témában foglalko-zásokat.

ALAPFOGALMAK

Legyen , és a sík három pontja, melyek nincsenek egy egyenesen. Jelöljük -vel és -val az -ból -be, illetve -ba mutató vektorokat. Azoknak a pontoknak a halmazát, amelyeknek helyvektorai alakúak – ahol és

egész számok – paralelogrammarácsnak nevezzük, magukat a pontokat pedig rácspontoknak. Az pont, továbbá a ; ; helyvektorú pontok egy úgyne-vezett elemi rácsparalelogramma csúcsai. A rácssokszög csúcsai rácspontok.

Kulcsszavak: – rácsgeometria, – matematikatanítás

Mrežna geometrija u sre-dnjoj školi prema autoru teksta pruža široku pri-menu u rešavanju brojnih matematičkih problema. To se naročito primenjuje u sekcijskom radu i u pri-premama za takmičenje. U radu su neophodna znanja iz geometrije, vektorskog računa, analitičke geo-metrije, kombinatorike i teorije brojeva. Akcenat je na sticanju veština primena znanja u različitim situaci-jama što se vidi po tome da su u takmičarskim zadaci-ma zastupljeni problemi iz ove oblasti.

Nemecskó István52

1.1. Két rácspontot összekötő szakasz a rácsszakasz. A rácsszakaszok felezőpont-ja általában nem rácspont, de egy rácspontnak tetszőleges rácsszakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe szintén rácspont.

Legyen a rácsszakasz két végpontja és . Ennek a szakasznak a felezőpontja

.

Az rácspont tükörképe , ami szintén rács-pont.

F1.1. Bizonyítsuk be, hogy bárhogyan adunk meg 5 rácspontot a síkon, mindig ki tudunk közülük választani kettőt, melyeknek felezőpontja is rácspont.

Megoldás: Az 5 rácspont között biztosan van kettő olyan, melynek mindkét koordinátája azonos paritású – a skatulya-elv miatt – és ezek felezőpontja egész ko-ordinátájú, tehát rácspont.

SZABÁLYOS RÁCSSOKSZÖGEK

Négyzetrácsos papíron dolgozva nyilvánvalóan felmerül a szabályos sokszögek kérdése. A rácspontokra rajzolt szabályosnak „tűnő” alakzatok – háromszög, ötszög, hatszög – valóban szabályosak-e? A konkrét esetekben általában elemi geometriai úton könnyen igazolhatjuk, hogy a rajzolt alakzatok nem szabályosak, de felmerül, hogy talán nem is lehetséges ilyeneket rajzolni.

2.1.Vizsgáljuk meg, hogy milyen szabályos rácssokszögek fordulhatnak elő a para-lelogrammarácsban. Az 1.1.-es állítást felhasználva, ha egy szabályos rácssokszögben minden csúcsot tükrözünk a vele szomszédos két csúcs közötti szakasz felezőpontjá-ra, akkor újra rácspontot kapunk.

Rácsgeometria a középiskolában 53

Háromszög esetén ezek a tükörképek egy olyan szabályos háromszög csúcsai lesznek, melynek az eredeti háromszög csúcsai az oldalfelező pontjai. Négyzet ese-tén minden csúcs a szemköztibe megy át; hatszögnél mindegyik csúcs tükörképe a hatszög középpontja lesz. Más oldalszám esetén a tükörképek a sokszög belsejében egy ugyanolyan oldalszámú szabályos rácssokszög csúcsai lesznek. Ez azonban nem lehetséges, mert akkor az eljárást újra és újra megismételve végtelen sok rácspontot kapnánk az eredeti sokszög belsejében. (A rácsnak egy korlátos alakzaton belül csak véges sok pontja lehet, hiszen a rácspontok koordinátái is az egész számok egy korlátos, tehát véges halmazából valók.) Tehát egy paralelogrammarácsban csak rácsnégyzet, szabályos rácsháromszög, vagy szabályos rácshatszög lehet. Általában szabályos rácsháromszög és szabályos rácshatszög egyidejűleg lép fel egy rácsban. Szabályos rácshatszög minden második csúcsa ugyanis szabályos rácsháromszöget alkot. Ha pedig szabályos rácsháromszög, akkor , , továbbá nek -ra és az AC szakasz felezőpontjára való tükörképe, és nek -ra és az AB szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe rácspont, és ezek egy szabályos rácshatszög csúcsait alkotják.

Ha és egymásra merőleges egységvektorok, akkor az általuk létrehozott rács a négyzetrács (négyzetháló). Az előző állításból következik, hogy négyzetrácsban – melyben nyilvánvalóan van négyzet – nem létezik szabályos rácsháromszög. A továbbiakban rácson négyzetrácsot fogok érteni.

EGYENLŐ OLDALÚ RÁCSSOKSZÖGEK

A diákok motivációjának felkeltése miatt érdemes olyan feladatokat kitűzni, mely számukra érdekes, melyet fontosnak tartanak. Még a középiskolás diákok is szívesen játszanak, oldanak meg logikai feladatokat, fejtörőket. A sakktábla különböző bábuk-kal való bejárása figyelemfelkeltő problémák megfogalmazására nyújt lehetőséget. Ezekből kiindulva eljuthatunk általános érvényű állításokhoz.

Nemecskó István54

F3.1. Vizsgáljuk meg, hogy ha a sakktábla bármely pontjából kiindulva huszárral visszatérünk a kiindulási mezőre, akkor hány lépést tettünk!

F3.2. Oldjuk meg az előző feladatot ha L alakban először 3-at és utána az előző lépésekre merőlegesen egyet lépünk!

A kísérletek elvégzésekor kiderül, hogy minden esetben páros sok lépésre volt szükség. Az F3.1-es feladat esetében az indoklás is nagyon egyszerű, mivel a huszár minden lépésében ellentétes színű mezőre lép, így nyilván ha visszatért, akkor páros sok lépést kellett megtennie. Az F3.2-es feladatban szereplő lépésre ez már nem mondható el. Fordítsuk le az állítást a rácsgeometria nyelvére.

3.1. Az egyenlőoldalú rácssokszög oldalszáma páros.Az előbbi állításnál általánosabb tételt bizonyítunk: az egyenlő oldalú zárt

töröttvonal oldalszáma páros. Legyenek az -oldalú zárt töröttvonal valamilyen körüljárás szerint irányított oldalvektorai rendre , ahol koordinátái

egészek. és .

Ezekből:

(1.) , ,

(2.) .

Az egész. A négyzetszámok vagy alakúak, ahol egész , ezért két négyzetszám összege , vagy . Az csak akkor alakú, ha

és közül az egyik páros, a másik páratlan, az (1.) miatt az -k és -k között is páros számú páratlannak kell lennie, különben nem lenne összegük páros, ezért -k és -k között is összesen páros számú a páratlan. A (2.)-ben minden négyzetösz-szegben pontosan egy páratlan van, tehát a négyzetösszegek száma, azaz páros. Ha az a2 alakú, akkor a (2.)-es négyzetösszegekben két páratlan szám szerepel, ezért valamennyi páratlan, tehát összegük csak úgy lehet páros, ha páros. Ha a2 alakú, akkor a (2.)-ben a négyzetösszeget mindenütt két páros szám állítja elő, vagyis az összes , páros. Válasszuk ki az összes , közül azt, amelyik a 2-nek legalacsonyabb hatványával osztható, és osszuk le a koordinátákat evvel a kettő hatvánnyal. Így lekicsinyítettük a zárt rácstöröttvonalat, melynek továbbra is minden csúcsa rácspont, de ezek között már van páratlan, ezért az előző két eset egyikét al-kalmazhatjuk rá, vagyis ebben az esetben is páros az oldalszám.

A tétel bizonyításánál a vektorok koordinátáival végzett alapműveleteken kívül a négyzetszámok néggyel való osztási maradékainak jellemzőit használtuk fel. Így ez a fejezet önállóan a számelméleti ismeretek tanítása közben színesítheti a tanórát. Egy kis játékkal gyorsan eljuthatunk a számelméletből tanultak alkalmazásához.

Érdemes felhívni a diákok figyelmét, hogy a bizonyított állítás egyszerű követ-kezménye, hogy nincs páratlan oldalszámú szabályos rácssokszög a négyzetrácsban, vagyis nincs szabályos rácsháromszög sem. Az állításból nyilvánvalóan adódik, hogy egy rácspontból kiindulva, mindig ugyanakkora távolságú rácspontra lépve, csak

Rácsgeometria a középiskolában 55

páros számú lépés után érkezhetünk vissza a kiindulási pontba. (Ez az oka, hogy a sakktáblán a huszár csak páros számú lépéssel tud visszajutni a kiindulási mezőre.)

A RÁCSSOKSZÖGEK TERÜLETE

A fejezet első feladatai általános iskolásokkal is megoldhatók. A feladatokból levont tapasztalatok értékelésével eljuthatunk a területre vonatkozó tétel kimondásá-hoz illetve bizonyításához is.

F4.1. Határozzuk meg az ábrákon látható síkidomok területét!

Egy rácsháromszöget üresnek nevezünk, ha a csúcsokon kívül sem a határán, sem a belsejében nem tartalmaz rácspontot.

F4.2. Bontsuk fel a következő alakzatokat többféleképpen üres rácsháromszögek-re!

4.1. Minden rácssokszög felbontható üres rácsháromszögekre. Minden sokszög felbontható átlókkal háromszögekre, melyek rácssokszög esetén rácsháromszögek, ezért elég ha azt bebizonyítjuk, hogy minden rácsháromszög felbontható üres rácshá-romszögekre. Ha van a rácsháromszögnek belső rácspontja, akkor azt kössük össze a csúcsokkal, ezáltal 3 olyan rácsháromszöget kapunk, amelyekben a belső rácspontok száma kisebb az eredetinél. Folytatva ezt az eljárást, véges sok lépés után elfogynak a belső rácspontok. Most már elég azt belátnunk, hogy ha egy háromszögnek csak a határán van rácspont, akkor az felbontható üres rácsháromszögekre. Kössük össze az egyik oldalon lévő belső rácspontokat a szemközti csúccsal. Az így kapott három-

Nemecskó István56

szögek közül legfeljebb a két szélső tartalmazhat legfeljebb az egyik oldalán belső rácspontokat, ezekre az előző módszert alkalmazva már a teljes háromszög üres rácsháromszögekre bomlik.

4.2. Az üres rácsháromszögekre bontás, mint láttuk, általában többféle módon is lehetséges, de megvizsgálva az üres rácsháromszögek számát a következőt állapíthat-juk meg: egy rácssokszög üres rácsháromszögekre való felbontásánál a háromszögek száma független a felbontás módjától. Legyen ugyanis az -oldalú rácssokszögben a belső pontok száma , a határán lévők száma a csúcsokkal együtt pedig . Tegyük fel, hogy a rácssokszöget üres rácsháromszögre bontottuk fel. Az összes rácshá-romszög belső szögeinek összege . A sokszögnél, ha -os szöget is meg-engedünk, akkor sokszögünk oldalú és belső szögeinek összege . A részháromszögek szögei részben a sokszög belső szögeit töltik ki, részben pedig a belső rácspontok körüli -os szögeket, ezért: . Ebből rendezés után adódik, hogy: , s ez független a felbontás mód-jától.

Ennek az eredménynek a felhasználásával lehetőségünk nyílik arra, hogy megha-tározzuk a rácssokszögek területét.

F4.3. Rajzoljunk üres rácsháromszögeket! Határozzuk meg a területüket!4.3. Bizonyítsuk be, hogy az üres rácsháromszög területe .Foglaljuk ugyanis a tetszőleges üres rácsháromszöget egy főegyenesekkel határolt

téglalapba úgy, hogy a háromszögnek legalább két csúcsa a téglalap határán legyen.A téglalap oldalai legyenek és . Ha a téglalapból levágunk néhány olyan derékszögű háromszöget, melynek befogói főegyenesen vannak, tehát egész a hosszuk, maradé-kul az üres rácsháromszöget kapjuk. Mivel a téglalap területe egész, az említett de-rékszögű háromszögeké is egész vagy egész szám fele.Ebből következik, hogy az üres rácsháromszög területe legalább . A 4.2-es állítást felhasználva a téglalap 2ab számú üres rácsháromszögre bontható fel, melyek között szerepel a vizsgált háromszög is. A téglalap területe ab, tehát az üres rácsháromszögek területének átlaga . Ha lenne a 2ab háromszög között -nél nagyobb területű, akkor kellene lennie -nél kisebb területűnek is, ami az előbbi eredményünk miatt nem lehetséges.

Rácsgeometria a középiskolában 57

4.4. Ebből már következik, hogy számú határponttal és számú belső ponttal rendelkező rácssokszög területe:

. Ezt az összefüggést Pick-tételnek nevezik.

F4.4. Rajzoljunk olyan rácsháromszögeket, melyeknek oldalain a csúcsokon kívül nincs rácspont, a belsejében pedig egy van. Mit tudunk mondani a belső pontról?

Bizonyítsuk be, hogy ha egy rácsháromszög oldalain a csúcsokon kívül nincs rács-pont, a belsejében pedig egy van, akkor az a háromszög súlypontja.

Bizonyítás: A szóban forgó rácsháromszög területe . Legyen a háromszög belső pontja , ekkor az , , háromszögek üres rácsháromszögek, terüle-tük , ami harmada az háromszög területének. Tehát az háromszög AB oldalhoz tartozó magassága harmada a háromszög magasságának, tehát az ponton az AB-vel húzott párhuzamos átmegy az háromszög súlypontján. A többi oldal esetében is hasonlóan járhatunk el, tehát az pont a háromszög súlypontja.

F4.5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex négyszög nem tartalmaz a belsejében és a határán (a csúcsokon kívül) rácspontot, akkor ez a négyszög paralelogramma.

Megoldás: Legyen a négyszög , az átlóinak metszéspontja AC BD=0. Mivel a négyszög belsejében nincs rácspont, ezért az , háromszögek üres rácsháromszögek, területük . Ebből következik, hogy az háromszög AC oldalához tartozó magassága megegyezik az háromszög AC oldalához tartozó magasságával, melyek egyenlőségéből nyilvánvaló, hogy BO=DO. Hasonlóan bizo-nyítható, hogy AO=OC, tehát az négyszög paralelogramma.

F4.6. Létezik-e olyan konvex rácsötszög, mely nem tartalmaz belsejében rács-pontot?

Megoldás: Nem létezik. Elég csak azokra az ötszögekre bizonyítani, melyek határán a csúcspontokon kívül nincs több rácspont. Legyenek az ötszög csúcsai

. Ha kiválasztunk a csúcsok közül négyet, egy négyszöget kapunk, melynek belsejében nincs rácspont, tehát az előző feladat állítása miatt paralelogramma. Ha az

Nemecskó István58

négyszög paralelogramma és a négyszög is paralelogramma, akkor , tehát az ötszög nem létezik.

Az utolsó két feladat fontos következménye, hogy konvex, üres rácssokszög csak háromszög vagy paralelogramma lehet.

F4.7. A -as sakktáblát bejárjuk a királlyal úgy, hogy minden mezőt pon-tosan egyszer érintünk, visszatérünk a kiindulási mezőre és soha nem metszük a már megtett útvonalat. Tekintsük a mezők középpontjait rácspontoknak. A bejárást megrajzolva egy rácssokszöget kapunk. Határozzuk meg a sokszög területének és kerületének maximumát.

Megoldás: Mivel a király pontosan egyszer érint minden mezőt, így a sokszög határán 64 rácspont van, a belsejében 0. A Pick-tétel miatt az összes sokszög területe

négyzetegység. Tehát a maximum is 31 négyzetegység. A 64 lépés közül maximum 36 átlós ugrás lehet, melynek hossza , mert ahol az átlón haladunk ott az érintett -es négyzet egyik fele a sokszögön kívülre fog esni. Mivel a teljes terület egy -es négyzet területe, a sokszög területe mint láttuk minden esetben 31, így a sokszögön kívüli terület 49 – 31=18 egységnyi, amit 36 fél négyzettel érhetünk el maximum. Tehát a maximális kerület

.

A második ábrán a maximális kerület egy lehetséges megvalósítása látható.

RÁCSPONTOK RÁCSSOKSZÖGEK BELSEJÉBEN ÉS HATÁRÁN

F5.1. Legfeljebb hány csúcsa lehet annak a konvex sokszögnek, melynek belsejé-ben csak egy rácspont van?

Rácsgeometria a középiskolában 59

Megoldás: Hatszög létezik, és bebizonyítjuk, hogy ez a legnagyobb elérhető csúcsszám.

Tegyük fel, hogy létezik olyan sokszög, melynek hét vagy annál több csúcsa van és a belsejében csak egy rácspont található. Húzzunk a belső ponton keresztül egy olyan egyenest, mely nem csúcspontokban metszi a sokszöget. Ekkor a levágott részek közül az egyik biztosan tartalmaz legalább 4 csúcsot, jelöljük ezeket , , , -vel. Ha ezeket a pontokat összekötjük az ponttal, akkor egy konvex ötszöget kapunk, melynek a belsejében nincs rácspont, de ilyen ötszög nem létezik, ahogy az F4.6-os feladatban láttuk.

Nézzünk néhány a témához kapcsolódó további feladatot megoldások nélkül.F5.2. Bizonyítsuk be, hogy ha egy rácsparalelogrammának a csúcsain kívül nincs

több határpontja és a belsejében csak egy pontot tartalmaz, akkor az a paralelogram-ma szimmetriaközéppontja.

F5.3. Bizonyítsuk be, hogy ha egy rácsparalelogramma páratlan számú rácspontot tartalmaz, akkor a középpontja rácspont.

F5.4. Bizonyítsuk be, hogy ha egy rácsparalelogramma a csúcsain kívül legfeljebb 3 rácspontot tartalmaz, akkor azok az egyik átlón vannak.

F5.5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy rácsháromszög oldalain a csúcsokon kívül nincs rácspont, a belsejében pedig kettő van, akkor az a háromszög egyik súlyvonala.

KÖR A NÉGYZETRÁCSON

Ez a fejezet a középiskolák felsőbb évfolyamainak tananyagára támaszkodik. A feladatokban koordinátageometriai megfontolások mellett nehéz számelméleti utalá-sok is vannak.

F6.1. Határozzuk meg hány rácspontot tartalmaz az középpontú és egység sugarú kör a határán, illetve a belsejében. (Kalmár László versenyfeladat)

Megoldás: határon: 12; belsejében 17 + 13 • 4 = 69 pontot tartalmaz.F6.2. A koordinátarendszer origója körül írjunk egy sugarú kört. Hány

rácspont van e kör belsejében és kerületén? Megoldás: A körbe írjunk négyzetet, melynek az oldalai párhuzamosak a tengelyek-

kel. A négyzet oldalai az , egyenesek, ezeken nincs rácspont, mert

Nemecskó István60

az 500 nem négyzetszám. Mivel , ezek szerint a négyzet belsejében van-nak mindazok a rácspontok, amelyek mindkét koordinátájának abszolútértéke nem nagyobb 22-nél, számuk . A négyzet által levágott körszeleteket a tengelyek 8 egybevágó részre bontják. Határozzuk meg a körszeleteket kettévágó szakaszok rácspontjainak számát. Ehhez elég az tengely pozitív felén lévő AB sza-kaszt vizsgálni. Az előzőek miatt a szakaszon lévő pontok közül a 23 abszcisszájú van a legközelebb az origóhoz és a 31 (mivel 32) abszcisszájú a legtávolabb. Ez a szakaszon 9, a 4 szakaszon összesen 36 rácspontot jelent. Az fél körcikkek belsejében és a BC íven szereplő pontok vannak hátra, mivel a többi részhez 90 -os forgatásokkal és a tengelyekre való tükrözésekkel eljuthatunk.

Az idom rácspontjait a rajtuk átmenő, az tengellyel párhuzamos x = 23, 24, …31 egyenesek szerint csoportosítva számoljuk meg.

Használjuk a következő táblázatot :

Így az összes rácspont, mely az adott kör belsejében, illetve határán van: 2025 + 36 + 8 • 136.

Megjegyzés: Kézenfekvő sejtés, hogy a koordinátarendszerbe egy elég nagy konvex alakzatot helyezve a rácspontok száma és az alakzat területének mértéke közelítőleg megegyezik. Erre támaszkodva, eredményünkből a -re kapunk közelítő értéket.

F6.3. Bizonyítsuk be, hogy a sík pontja körül írt bármely körön legfeljebb egy rácspont van!

TETSZŐLEGES SÍKBELI TARTOMÁNYOK A NÉGYZETRÁCSON

F7.1. Határozzuk meg azoknak a rácspontoknak a számát, amelyek az pa-rabola és az ( ) egyenes által határolt síkrész belsejébe esnek!

Megoldás: A parabolát az egyenes a , pontokban met-szi. Tekintsük azt a téglalapot melynek csúcsai a ; továbbá a ,

Rácsgeometria a középiskolában 61

pontok. Ennek a téglalapnak a belsejében rácspont van. Ebből ki kell vonni a parabolaíven levő, illetve a parabolaív alatti rácspontokat. Ezek száma:

.

Összesen a tartomány belsejében:

darab rácspont van.

Megjegyzés: A tartomány területének mértéke .

Ha a rácspontok számára kapott összefüggésbe -at helyettesítünk, akkor a területtől való eltérés -os. növelésével egyre pontosabb értéket kapunk. Ehhez hasonló következtetésre jutottunk a F6.2. feladatban a kör területére vonatko-zólag.

A négyzetrácsot felhasználhatjuk tetszőleges tartomány területének mérésére is, ha nincs szükség túl nagy pontosságra. Ez a következő állítás miatt lehetséges.

7.1. Bizonyítsuk be, hogy ha egy síkbeli tartomány területe nagyobb, mint pozitív egész, akkor eltolható úgy, hogy rácspontot a belsejében tartalmazzon. (Blichfeldt tétele)

Bizonyítás: Az összes olyan elemi rácsnégyzetet, amelyben van pontja -nek, a benne levő tartományrészekkel együtt toljuk el az origót és az pontot tar-talmazó elemi rácsnégyzetbe. Mivel a területe -nél nagyobb, lesz olyan belső pont ebben az elemi rácsnégyzetben, amelyet legalább összetolt tartományrész tartalmaz. Legyen ennek a pontnak a helyvektora . Az elemi rácsnégyzeteket ,

, ..., vektorokkal toljuk vissza eredeti helyükre. A pont megfelelőinek visszatoltjai a , , ..., helyvektorú pontokba kerülnek, ezek a pontok mind belső pontjai -nek. Toljuk most el a vektorral, az előbbi belső pontok eltoltjainak helyvektorai , , ..., , tehát rácspontok. Így beláttuk, hogy ebben a helyzetében tartalmaz legalább rácspontot.

Az állítást a következő módon is igazolhatjuk: vágjuk fel a vizsgált tartományt a rácsegyenesek mentén. Így az ábra négyzetekre esik szét. Helyezzük a négyzeteket elfordítás nélkül egymásra, akkor lesz olyan pont, amelyen keresztül egy tűt leszúr-va, legalább -szer döftük át a tartománynak egy-egy pontját. Ha ugyanis csak

pontját döfné át, akkor a tartomány darabjai csak -szeresen fednék le a legalsó négyzetet, vagyis a tartomány területe legfeljebb lenne. A mondott tulajdonságú pont megtalálása után helyezzük vissza a négyzeteket eredeti helyzetükbe. Ekkor legalább tűszúrás lesz a tartományon belül. Toljuk most el a tartományt úgy, hogy az egyik lyuk egyike a rácspontba essék, ekkor a többi lyuk is rácspontba kerül. Így szemléletesen beláttuk az állítást.

Érdekes lehet olyan tartományok területének a meghatározása, melyek területére pontos összefüggést nem ismerünk. Például helyezzünk egy falevélre, tenyérle-

Nemecskó István62

nyomatra egy átlátszó négyzetrács fóliát. Számoljuk meg a letakart rácspontokat; az alakzat területét megkapjuk, ha az egység négyzet területével megszorozzuk a letakart rácspontok számát. Gondolkodjunk el azon, hogyan lehet növelni a pontos-ságot. („Sűrűbb” négyzetráccsal, háromszögráccsal.) Alsóbb évfolyamokon ennek a fejezetnek a tanítása gyakorlati, megélt tapasztalatokon nem léphet túl. A 7.1. állítás második bizonyítása viszont elmondható.

F7.2. Ha egy F alakzat területe kisebb, mint 1, akkor az F alakzat elmozgatható úgy, hogy a belsejében nem lesz rácspont.

7.2. Ha egy origóra szimmetrikus konvex tartomány területe nagyobb 4-nél, akkor tartalmaz a belsejében az origón kívül is rácspontot. (Minkowski-tétel)

FELHASZNÁLT IRODALOM:

1. Reiman István: Fejezetek az elemi geometriá-ból Tankönyvkiadó, Budapest, 1987

2. Reiman István: A geo-metria és határterületei Gondolat, Budapest, 1986

3. J.J.Gik: Sakk és matemati-ka Gondolat, Budapest, 1989

4. Laczkovich Miklós: Osztók és rácspontok KöMal, 1983. március

5. Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok CD archívuma

Természettudományi tanármelléklet 63

Apollóniosz problémái – tanítás, szerkesztés, vizualizáció

Sípos Elvira

A matematikai gimnázium elsős geometria tananyagában az alapismeretek után fog-lalkozunk az egybevágósági transzformációkkal – izometria, a hasonlósági transz-formációkkal – homotécia, nyújtás (jele , ahol O a homotécia középpontja, és k az együttható), és végül a körre vonatkozó szimmetriával – inverzió (jele ψi(O,r), ahol i az inverzió köre, amelynek a középpontja O és sugara r).

Az inverzió alkalmazásaként egy tananyagrész foglalkozik APOLLÓNIOSZ problémá-inak megszerkesztésével, feldolgozásával. Aki már szerkesztett inverziót körzővel és vonalzóval A4-es sima lapon, vagy krétával a „klasszikus” zöld iskolai táblán, tudja, mekkora pontosságra van szükség, hogy „sikerüljön”. A 15 éves diákoknak nem csak azt kell megmutatnunk, hogy létezik a feladat megoldása, hanem igazolnunk kell nekik azt is, hogy az az ábra a keresett megoldás. Ebben a vizualizációban segít a geometriai szerkesztő program-DGS [Dynamic Geometry Systems] (pédául Euklides, Cinderella, Cabry, Geonext vagy Geogebra – ezeket alkalmaztam a tanításban, a szerkesztésekben, mindegyikük megfelelő, könnyen használható). Megszerkesztjük a partikuláris megoldásokat, majd a bázispontok mozgatásával a megoldhatóságot és a feladat diszkusszióját is megmutatjuk.

Pergai Apollóniosz (i.e. 262–190) ókori görög matematikus és csillagász volt, a „leg-nagyobb görög geométer”. Matematikai tanulmányait Egyiptomban, Alexandriában végezte, dolgozott még Pergamonban és Efeszoszban. A jól ismert kúpszeletekről írt Konika ( ) című tanulmánya mellett más geometriai tárgyú művet is írt Tangencis – Érintők ( ) címmel, amely eltűnt, csak PAPPOSZ (i. sz. a harmadik században Alexandriában élt matematikus) írásaiból tudunk róla. Ebből ismerjük Apollóniosz tíz problémáját a körök érintéséről: „Szerkessz k kört, amely adott három alakzatot érint illetve tartalmaz, ezek mindegyike kör, egyenes vagy pont.” [3]

Apollóniosz tíz problémája1. három ponton áthaladó kör, ( A, B, C );

Megoldás: Ha összekötjük az A, B és C adott három pontot, akkor az ABC há-romszög körülírt körét kell meghatározni, EUKLIDÉSZ IV. könyvének 5. tétele szerint a

Kulcsszavak:▶ Apollóniosz problémái,▶ euklideszi szerkesztés,▶ matematikatanítás

Užestručna matematička tema – Apolonijevi proble-mi prema napisu autora čine uzbudljiv deo nastave geometrije. Problem je utoliko zanimljiviji pošto zahteva primerenu eduka-ciju, konstrukciju i vizuali-zaciju. Autor navodi deset Apolonijevih problema sa ilustracijama i rešenjima od kojih se ilustriraju i rešenja samih đaka. Navodi autora da učenici teže ovladavaju ovim zadacima ako se kori-sti klasični pribor – lenjir i šestar dok primenom raču-nara kojim se dostiže viso-ka preciznost i očiglednost situacija je mnogo bolja.

Sípos Elvira64

középpontja az oldalszimmetrálisok (felezőmerőlegesek) metszéspontja. Euklidész a tételében [Következmény] felsorolja: „...ha a kör középpontja a háromszög belsejébe esik, akkor a BAC szög félkörnél nagyobb szeletben lévén kisebb egy derékszögnél; és ha a BC szakaszra esik a középpont, akkor a BAC szög félkörben lévén derékszög; ha pedig a kör középpontja a háromszögön kívülre esik, akkor a BAC szög félkörnél kisebb szeletben lévén nagyobb egy derékszögnél...”[1]

Diszkusszió: A feladatnak mindig van egy megoldása, ha az adott pontok nem kollineárisak.

2. két ponton áthaladó adott egyenest érintő kör, ( A, B, p);

Megoldás: Legyen az adott egyenes és a keresett kör érintési pontja T, valamint az AB egyenes és a p egyenes metszéspontja S pont. Ekkor az S pont körre vonatkozó hatványa egyenlő az érintőszakasz ST négyzetével: SA • SB = ST2, ami megszer-keszthető segédábrán a derékszögű háromszög hasonlóságának felhasználásával. Szerkesztéskor először a T pontot határozzuk meg a p egyenesen, majd a T ponton keresztül p egyenesre merőleges egyenes és az AB szakasz felezőmerőlegesének met-széspontja a keresett kör középpontja.

Diszkusszió: Legyen rendre a h illetve H az adott A és B pont p egyenestől való távolsága, . A feladatnak akkor van egy megoldása a leírt módon, ha

.

I) számtalan kettős pont II) H átmérőjű kör III) nincs megoldás

Apollóniosz problémái – tanítás, szerkesztés, vizualizáció 65

IV) egy megoldás V) H átmérőjű kör VI) két megoldás [2]

3. két ponton áthaladó adott kört érintő kör, ( A, B, l );

3. ábra

Megoldás: A Ψi(A,r) inverziót alkalmazzuk az adott A középpontú körrel, és az l’ képkör érintői a B’ képpontból határozzák meg a keresett kör inverz képét.

Diszkusszió:I) Ha az A és B pontok különbözőek és az adott körön kívül helyezkednek el,

létezik két megoldás.II) Ha az egyik A pont az adott l körvonalon van, a másik B pont a körön kívül,

akkor egy k megoldás létezik.III) Ha az egyik A pont az l körvonalon van, a másik B pont pedig az adott l

körön belül, akkor egy k megoldás létezik. IV) Ha mindkét pont az l-en belül van, akkor van két megoldás: k1,k2.

I) eset

Sípos Elvira66

II) eset III) eset IV) eset

4. adott ponton áthaladó és két adott egyenest érintő kör, (A, p, q );

4. ábra

Megoldás: Bármely kör középpontja, amely érinti az adott egyeneseket, a két egyenes által bezárt szög szimmetrálisán helyezkedik el. Egyik ilyen kört választva homotécia ( nyújtás) alkalmazható a két adott egyenes S metszéspontjából. Ekkor

, és

a két lehetséges megoldás homotéciával, ahol az együtthatók

Diszkusszió: I) Ha a két adott egyenes metszi egymást vagy párhuzamos és A pont egyikükhöz sem illeszkedik, létezik két megoldás.

Apollóniosz problémái – tanítás, szerkesztés, vizualizáció 67

II) Ha az egyenesek metszik egymást és az A pont illeszkedik egyikükhöz, akkor két megoldás van.

III) Ha az egyenesek párhuzamosak és az A pont rajta van az egyik egyenesen, akkor egy megoldása van a feladatnak.

5. adott ponton áthaladó adott egyenest és adott kört érintő kör, ( A, p, l );

Sípos Elvira68

5. ábra

Megoldás: Az A középpontú ψi(A, r) inverzióban leképeztük a p egyenest és az l kört, képeik p’, l’ körök közös érintőegyenesei adják meg a keresett kör inverz képét.

Diszkusszió: Ha az A pont nem illeszkedik sem a p egyeneshez, sem az l körhöz, létezik négy megoldás, p’ (ebben az inverzióban kör lesz a p egyenes képe, mert nem tartalmazza az inverzió középpontját, az A pontot) és l’ körök két külső érintője k1’ és k2’, és a két belső érintője k3’ és k4’, ezekre alkalmazzuk a ψi(A,r ) inverziót, és megszerkesztjük a keresett négy érintőkört.

Ezen probléma lehetséges megoldásainál hatalmas segítséget ad egy DGS alkal-mazása, a bázispontok (illetve az egyenes és a kör jellemzői) mozgatásával tudjuk megfigyelni, mikor, hol és mennyi kör szerkeszthető meg. Dinamikus geometriai szoftver nélkül csak több, nagyon pontosan elkészített szerkesztést vizsgálhatnánk, ami a ceruza-vonalzó-körző szerkesztések pontatlansága miatt nehezen lenne érté-kelhető. Viszont szükség van az elméleti megoldásokra is.

Apollóniosz problémái – tanítás, szerkesztés, vizualizáció 69

6. adott ponton áthaladó és két adott kört érintő kör, ( A, l, m );

6. ábra

Megoldás: az A középpontú ψi(A,r ) inverzióban leképeztük az m és l kört, képeik m’, l’ körök közös érintőegyenesei adják meg a keresett kör inverz képét.

Diszkusszió: Ha az adott A pont nem illeszkedik egyik adott körhöz sem, akkor hasonlóan az előző probléma megoldásához, itt is létezik négy érintőkör, az m’, l’ körök két külső érintője k1’ és k2’, és a két belső érintője k3’ és k4’, ezekre alkalmaz-zuk a ψi(A,r ) inverziót, és megszerkesztjük a keresett négy megoldást.

7. három adott egyenest érintő kör, ( p, q, r );

7. ábra

Sípos Elvira70

Megoldás: a háromszög beírt köre, középpontja az egyenesek által bezárt szögek szimmmetrálisainak közös pontja.

Diszkusszió: (i) Ha az egyenesek egy síkban vannak és páronként metszik egymást, akkor

létezik egy belső és három külső kör megoldásként.

(ii) Ha két egyenes párhuzamos és a harmadik metszi mindkettőt, két megoldás létezik.

(iii) Ha mindhárom egyenes párhuzamos, nincs megoldás.

Apollóniosz problémái – tanítás, szerkesztés, vizualizáció 71

8. két adott egyenest és adott kört érintő kör, (p, q, l);

8. ábra

Megoldás: Az adott l(O, r ) kört egy O pontra redukáljuk, sugarát csökkentjük nullára, majd a 4. problémára vezetve kapjuk a keresett kör középpontját, amit azu-tán megnövelünk r sugárral.

Diszkusszió: Hasonlóan a 4. Problémához, itt is létezik két megoldás.

9. adott egyenest és két adott kört érintő kör, ( p, l, m );

9. ábra

Megoldás: A kisebbik m(O1, r1) kört egy pontra zsugorítjuk, a nagyobb l(O2, r2) kör sugarát csökkentjük r1-gyel, majd visszavezetve az 5. problémára, megszerkeszt-jük a keresett kör középpontját, azután növeljük a sugarát r1-gyel.

Sípos Elvira72

Diszkusszió: Hat lehetséges megoldása van a feladatnak, ha az egyenesnek és a köröknek nincs közös pontjuk.

10. három adott kört érintő kör, ( l, m, n ).

10. ábra

Megoldás: a legkisebb m(O1, r1) kört egy pontra zsugorítjuk, az l(O2, r2) és n(O3, r3) körök sugarait csökkentjük r1-gyel, majd visszavezetve a 6. problémára, megszer-kesztjük a keresett kör középpontját, növeljük a sugarát r1-gyel.

Diszkusszió: A nyolc lehetséges megoldás (az adott körök feketék, a keresett körök fehérek)

[5]

Apollóniosz problémái – tanítás, szerkesztés, vizualizáció 73

A tanulóim egy év alatt megtanulnak jól bánni a körzővel és vonalzóval, mégis ezen szerkesztések sok esetben nagyon nehéznek bizonyulnak, és a diszkusszióról csak elméletben beszélhetnénk. Viszont, ha a feladatokat DGS-ben is megszerkeszt-jük, csodálatos észrevételeket tapasztalhatunk. A DGS-ben könnyedén és nagyfokú pontossággal megszerkeszthetőek ezek a problémák, amíg a klasszikus módszerrel (papír-ceruza-vonalzó-körző) segítségével nehezen elemezhető, alig pontos rajzot kapunk. A különbség tisztán látható, kiszínezhető, a bázispontok mozgatásával elemezzük a megkapott megoldások számát. Ezt az alábbi ábrák mutatják, az ötödik probléma feldolgozása számítógépes szerkesztéssel, és a síma papíron, mind a négy lehetséges megoldással ( két belső és két külső érintőkör, amit az adott A pontú inver-zióban az adott egyenes és az adott kör képeinek közös érintőegyenesei határoznak meg [4]):

DGS alkalmazása, az 5. probléma négy megoldással

Tanulóim szerkesztése az 5. problémáraEzért érdemes az új technikákat, problémamegoldó stratégiákat és a DGS alkal-

mazásával a vizualizációt bevezetni mindennapi tanítási munkánkba. Viszont fontos az elméleti geometriai gondolkodási szemlélet kialakítása, a matematikai-logikai problémamegoldás fejlesztése, ezért a heti 4 geometria órából egy órán használjuk a számítógépes grafikákat, a többi órán a sok-sok gondolatébresztő „érdekes” geomet-riai feladatot klasszikus módon oldjuk meg.

FELHASZNÁLT IRODALOM

[1] Euklidész: Elemek, Gondolat kiadó, 1983, A mű eredeti címe: Στοιχεϊα, fordította Mayer Gyula

[2] Anton Bilimović: Apolonijevi problemi, www.matf.bg.ac.yu (2007-03-21)

[3] Hajós György: Bevezetés a geometri-ába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984

[4] Milan Mitrović, Srđan Ognjanović, Mihailo Veljković, Ljubinka Petković, Nenad Lazarević: Geometrija za prvi razred Matematičke gimnazije, Krug, Beograd 2003.

[5] MathWorld, Wolfram Research, http://www.mathworld.wolfram.com/(2007-03-21)

Hírkosár74

NEMZETI TÁBOR DÉLVIDÉKEN

Idén másodszor rendezi meg nem-zeti táborát az Egyesült Magyar Ifjúság (EMI) Délvidéken. Az ösz-szejövetelnek ezúttal a Tisza-parti Ada ad otthont.

A három napos rendezvényre június 29. és július 1. között kerül sor. A tavalyi évhez hasonlóan ez-úttal is sokszínű program várja az érdeklődőket. Az előadások során szó lesz az 1944-45-ös magyarirtás áldozatainak rehabilitációjáról, a Magyar Királyi Honvédség délvidé-ki tevékenységéről, s a régió etnikai viszonyainak XVI. és XVIII. század közti átrendeződéséről VINCZE GÁBOR történész előadásában. SZENTESI ZÖLDI LÁSZLÓ újságíró a híres alföl-di betyár, Rózsa Sándor történetét mutatja be, s lesz liberálispukkasz-tó sajtókerekasztal BORBÉLY ZSOLT ATTILA, UNGVÁRY ZSOLT, POZSONYI ÁDÁM

és ÁGOSTON BALÁZS közreműködésé-vel. Dr. GAUDI-NAGY TAMÁS ügyvéd, a Nemzeti Jogvédő Alapítvány kura-tóriumi ügyvivője és NOVÁK ELŐD, a Jobbik Magyarországért Mozgalom aktivistája a budapesti magyarve-résekről számol be, s a koncepci-ós perben elítélt és bebörtönzött temerini magyar fiatalok ügye is terítékre kerül. Előadást hallhat-nak a résztvevők Koszovó jövőjéről s ennek a délvidéki magyarságra gyakorolt hatásáról olyan avatott szakértőktől, mint HÓDI SÁNDOR és RÁCZ-SZABÓ LÁSZLÓ délvidéki poli-tikusok, GULYÁS LÁSZLÓ történész és ZSEBŐK CSABA újságíró. Szó esik majd Horthy Miklós országépítő életútjáról, az országcsonkítás és a vörösterror utáni talpra állásról, s lesz hadibemutató is a nándor-fehérvári diadal emlékére. Ezen

kívül jurtaállítás, íjászat, kézműves foglalkozások, felvidéki, erdélyi, délvidéki és csonka-magyarorszá-gi borokat bemutató kóstoló várja az érdeklődőket, s lesz táncház is két délvidéki zenekar, a Juhász és a Szökős közreműködésével. Esténként természetesen koncer-tek is lesznek, fellép VESZTERGÁM MIKLÓS tárogatóművész, valamint a Stratégia, a Romantikus Erőszak, a Magozott Cseresznye, a Szkítia és a Beatrice. Az Egyesült Magyar Ifjúság buszokat indít Budapestről Adára.

Az érdeklődők további infor-mációkat a www.emitabor.hu honlapon, az emi@freedom.hu e-mailcímen, illetve a 06-20-520-8803-as magyarországi, valamint a 063594638-as délvidéki telefonszá-mon kaphatnak.

Hírkosár 75

I.A Dr. Đorđe Natošević Elismerés

(a továbbiakban: Elismerés) oda-ítélésére kiírt pályázaton Vajdaság autonóm tartományi székhelyű iskoláskor előtti intézmények, ál-talános és középiskolák, továbbá nevelőik, tanáraik, pedagógusaik és pszichológusaik vehetnek részt.

A pályázatra az iskoláskor előtti intézmények, általános és középis-kolák, illetve nevelőik, pedagógusa-ik és pszichológusaik önállóan is je-lentkezhetnek, vagy diákok, szülők, más jogi és természetes személyek is javasolhatják őket az Elismerésre.

A pályázó, illetve a javasoló kö-teles bizonyítani a pályázati feltéte-lek kielégítését.

II.Az Elismerést az előző és a

folyó évben az iskoláskor előtti oktatás és nevelés; a tanítás; az óvodás korú tehetséges gyerme-kekkel és a tanulókkal való foglal-kozás; valamint az oktató-nevelő munka és a tananyag tartalmának elsajátításában lemaradó tanulók-kal való foglalkozás; az iskolás-kor előtti és iskolás korú gyerme-kekkel való szabadfoglalkozás; a nevelők, tanárok és munkatársak szakmai továbbképzése; a pálya-választási tanácsadás; a szülőkkel való együttműködés; a művelődési

és közéleti tevékenység, illetve a közvetlen vagy tágabb társadalmi közösséggel való együttműködés; az intézmény irányítása és színvo-nalas működésének szervezése és biztosítása; a tolerancia fejlesztése és a különbözőség elfogadása, vala-mint az intézmény alaptevékenysé-gét képező más területeken a kor-szerű oktatási-nevelési és tanítási módszerek alkalmazása révén elért kiváló eredményekért ítélik oda.

III.Az Elismerés odaítélésekor fi-

gyelembe vehető tevékenységi területek és az elért eredmények értékelésére alkalmazott mércék, to-vábbá a pályázati jelentkezési űrlap letölthetők a Tartományi Oktatási és Művelődési Titkárság www.psok.org.yu című honlapjáról, de a helyi önkormányzatok illetékes szervei is megkapják őket, és kötelesek továb-bítani a területükön levő valameny-nyi iskoláskor előtti intézménynek, általános és középiskolának.

IV.Az Elismerés odaítélésére

vonatkozó beadványnak adatokat kell tartalmaznia a javasolt vagy jelentkezett jelöltről (iskoláskor előt-ti intézmény, iskola, nevelő, tanár, pedagógus vagy pszichológus); az előterjesztőről; a 2005/2006-os és

2006/2007-es tanévre vonatkozóan mellékleteket és adatokat az oktató és nevelő tevékenység valamennyi értékelésre kerülő területéről, to-vábbá indoklást minden feltüntetett területre vonatkozóan, és (ha lehet-séges) az elért eredmények mennyi-ségi mutatóit is fel kell tüntetni.

V.A pályázat lezárulását követő

további legfeljebb 30 napon belül az előterjesztő kiegészítheti a pá-lyázati jelentkezési űrlapot, illetve a javaslatot azokkal a mellékletek-kel és adatokkal, amelyeket nem tudott kellő időben biztosítani (pl. a folyó évi vetélkedők eredményei, a tanulók elért eredményei stb.).

VI.A pályázat 2007. február 1-jétől

május 31-éig tart.A késve érkező beadványokat

nem veszik figyelembe.Az Elismerés odaítélésére való

jelentkezéseket és javaslatokat a Tartományi Oktatási és Művelődési Titkársághoz személyesen a Vajda-ság Autonóm Tartomány Végrehajtó Tanácsának iktatójában, vagy aján-lott postai küldeményben kell be-nyújtani.

Cím: Tartományi Oktatási és Művelődési Titkárság Mihajlo Pupin sugárút 16. 21108 Újvidék (A Dr. Đorđe Natošević Elismerés odaítélésére kiírt pályázatra), (Pokrajinski sekretarijat za obra-zovanje i kulturu, Bulevar Mihajla Pupina 16, 21108 Novi Sad [za Konkurs za dodelu priznanja „Dr. Đorđe Natošević“]). Bővebb infor-máció a 021/487-4712-es telefon-számon kapható.

A Dr. Đorđe Natošević Elismerés odaítéléséről szóló határozat (Vajdaság AT Hivatalos Lapja, 8/01. szám) 6. és 9. szakasza alapján a Tartományi Oktatási és Művelődési Titkárság

PÁLYÁZATOT ÍR KIa Dr. Đorđe Natošević Elismerésnek a 2006/2007-es tanévben való

odaítélésére

Hírkosár76

Cím: Kosztolányi Dezső Irodalmi Tábor (Irodalom – Tábor – Önis-

meret)Kiíró: Középiskolások Diákott-

hona, SzabadkaHatáridő: 2007. június 30.Tárgymutató: Irodalmi táborPályázhatnak: 14-22 év közötti

fiatalok

A pályázat célja, hogy elősegít-se a művészetekben, elsősorban az irodalomban rejlő szellemi ér-tékek beépítését az ifjúság erkölcsi tudatába, hozzájáruljon a tanulók irodalmi műveltségének bővítésé-hez, erősítse a nemzeti öntudatot, valamint lehetővé tegye a tapasz-talatgyűjtést a kutató- és elemző munka folyamatában és módsze-reiben, az önálló művek készíté-sében.

A Kosztolányi Dezső Irodalmi Tábor 2007. július 29 – augusztus 4-ig tart.

A tábor munkájában magyar-országi és hazai előadók valamint pedagógusok vesznek részt.

Helyszín: Szabadka, Középisko-lások Diákotthona.

A résztvevők korosztálytól füg-gően három csoportban vesznek részt a munkában.

A jelentkezők létszáma korlá-tozva van.

Az Irodalmi Táborban a munka magyar nyelven folyik.

A következő három csoport egyikébe jelentkezhetnek a pályá-zók:

általános iskola 7-8. osztályos tanulói,

középiskolások és egyetemisták és más érdeklődők

A jelentkezők önéletrajzzal

pályáznak. (A személyi adatokon kívül a telefonszámot is tüntessék fel!) Kérjük, a művészeti tantár-gyakból és irodalmi versenyeken elért eredményeket fénymásolat-ban mellékeljék. Örömmel vesz-szük, ha önálló verset ill. novellát is csatolnak az önéletrajz mellé (nem kötelező).

A pályamunkákat kérjük két példányban elküldeni.

A pályázatok beérkezésének határideje: 2007. június 30.

Cím: Dom učenika srednjih ško-la Subotica

(Kosztolányi Dezső Irodalmi Tábor)

Harambašićeva 2224000 Subotica

A táborban való részvétel költ-sége 1000,- dinár. Ezt a helyszínen kell befizetni.

Bővebb felvilágosítást hétfőtől-csütrtökig 18-20 óráig, pénteken a délelőtti órákban kérhetnek a 024/555-510-es telefonszámon Bartusz Karolinától.

Az irodalmi tábor tervezett programja:

Délelőtt: a résztvevők két elő-adáson vesznek részt neves hazai ill. magyarországi előadók előadá-sában.

Délután: csoportfoglalkozás, workshopmunka.

Este: könyv- és irodalmi fo-lyóiratok bemutatója, író-olvasó találkozó, filmvetítés, vetélkedő, koncert stb.

Az egyhetes tábor ideje alatt egy egynapos kirándulást is előre-láttunk.

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS

Illusztrációk

Római kori lelet (Budakeszi) 1Elisabeth von Thuringen http://www.heiligenlexikon.de/Fotos/Elisabeth_

von_Thueringen.jpg 4Ismeretlen német mester:Szent Erzsébet ruhát ad a szegé-

nyeknek ésbeteget ápol 5-6Józsa Judit alkotása 7

Nürnbergi Erzsébet-szobor 10Japán miniatúra-részletek 20Térképdíszek 21-23Pestalozzi Newton-szobra 29, 41-42Michael Alfano alkotása 43Kathrine Procter kerámiái 45-61Auguste Rodin 62Liam Ball 65Yiannis Tolias 67Jud Turner 69Jesus Salinas 71

Hírkosár 77

CONTENTS AND SUMMARY

Szőke, Anna PhD: The Saint Elisabeth Memorial Year (p. 3)

On the occasion of the 800th birth-day anniversary of Saint Elisabeth of the Árpáds Dinasty the author writes about her life, which was extremely interesting. Due to her marriage to the would-be count of Thüringia, Herman of Moravia at the early age of 4, she was separated from her family. Because of her inability to conform to the strict rules of the court, she spent most of her time sitting and praying in the chapel, which was regarded as an extreme behaviour. The miser-ies of her stay depict her time, her emotional development and finally her tragic death. The author believes that it is important to familiarize the younger generation with the ecclesi-astic features of our history, that has been neglected for a long time.

Reflections on a Lecture in Experi-ence-driven Pedagogy by Sándor Bányai (p. 9)

The students of the Teacher Training Faculty write about their thoughts and feelings regarding the lecture that was given by Sándor Bányai, a Hungarian expert in expe-rience-driven pedagogy. All of them agree in several things: the useful-ness of the method in teaching, its potential to develop tolerance and respect of differences, to enhance interest in getting to know others, its effectiveness in learning through games.

Teacher’s Supplement in Natural Sciences (p. 13)

The Supplement aims at devel-oping the professional knowledge of teachers of natural sciences by

presenting articles and studies from various scientific fields: mathemat-ics, geography, physics, engineering. The Supplement was compiled by Hajnalka Péics, PhD and Tibor Illés, PhD.

Karátson, Dávid PhD: Famous Volcanoes from All Corners of the World (p. 14)

Each volcano is a unique phe-nomenon for study and observation as their formation and activity are different. The study focuses mainly on the Japanese Fuji. By inspecting other volcanoes, the author stresses the difficulties and dangers of explor-ing volcanoes..

Izsák, Éva PhD: Regional Levels and Interests at the Turn of the Century (p. 20)

With two hypotheses the author investigates the relationship of global tendencies and regional changes in Hungary at the turn of the century.

Szabó, Gábor PhD – Bozóki, Zoltán PhD – Mohácsi, Árpád PhD – Szakáll, Miklós PhD – Hegedűs Veres, Anikó – Filus, Zoltán – Ajtai, Tibor – Huszár, Helga – Varga, Attila: Face to Face with Lasers (p. 25)

The study presents one of the modern developments of technical prosperity: photoacoustic measuring and gas detection. The group that has been working on this laser technique has proved that the method is not only suitable to signalling dangers when testing gases but can also be applied to the structure of water and its purity.

Dirner, Sándor PhD: The Formation of Some Measurement Units (p. 29)

Measuring and measurement

units are as old as humanity. The study clarifies the reason and the way some of the units emerged in the past and enables us to under-stand units mentioned in some of the old documents, even the Bible.

Fried, Katalin PhD: Series from the 1st Grade to University (p. 39)

The author draws attention to the responsibility of mathematic teach-ers as mathematics is taught and learnt from the elementary school to university. She focuses on vari-ous mathematic series that are often used in various exercises. Their mul-tiple interpretation possibilities and the expectation of those who define the task may cause various kinds of misunderstanding.

Nemecskó, István: Grid Geometry (p. 51)

Grid geometry in secondary schools can be used to solve various mathematical problems. It is usually applied in extracurricular classes and at competitions. By using grid geometry, students are expected to use their knowledge of analytical ge-ometry, vectors, combinatorics and the theory of numbers, with which they acquire the ability to use their knowledge in various situations.

R. Sípos, Elvira: Problems of Apollonios – Teaching, Constructing, Visualisation (p. 63)

The author lists ten problems of Apollonios with illustrations and so-lution possibilities including student solutions too. Usually it is rather difficult for students to grasp the essence of these problems with the use of traditional means, i.e. bows and rulers, but the use of computers offers a higher accuracy and appar-ency.

Az Új Kép megjelenését a 2007.

évben támogatja:

TARTOMÁNYI OKTATÁSI ÉS MŰVELŐDÉSI TITKÁRSÁG

és aVAJDASÁGI

PEDAGÓGIAI INTÉZET

SZÜLŐFÖLD ALAP

MAGYAR NEMZETI TANÁCS

78

CIP-Katalogizacija u publikacijiBiblioteka Matice Srpske, Novi Sad

37 (05)

Új Kép : pedagógusok és szülők folyóirata / felelős szerkesztő Soós Edit. – 1. évf., 1.sz. (1997) – . – Szabadka : Vajdasági Módszertani Központ, 1997-. – Ilustr. ; 23 cm

Deset puta godišnje. – Rezimei na srpskom jeziku.ISSN 1450-5010

SZÁMUNK SZERZŐI

Ajtai Tibor, Szegedi Tudományegyetem Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék, Szeged

Bozóki Zoltán, PhD, Szegedi Tudományegyetem Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék, Szeged

Dr. Dirner Sándor, Műszaki Főiskola, nyugalmazott tanár, Szabadka

Filus Zoltán, Szegedi Tudományegyetem Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék, Szeged

Dr. Fried Katalin, ELTE TTK, Matematikai Intézet, Budapest

Hegedűs Veres Anikó, Szegedi Tudományegyetem Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék, Szeged

Huszár Helga, Szegedi Tudományegyetem PhD-hallgatója, Szeged

Dr. Izsák Éva, ELTE Földrajzi- és Földtudományi Intézet, Budapest

Dr. Karátson Dávid, Eötvös Loránd Tudományegyetem, egyetemi docens, Budapest

Mohácsi Árpád, PhD, MTA Lézerfizikai Tanszéki Kutatócsoport, Szeged

Nemecskó István, Berzsenyi Dániel Gimnázium, Budapest

R. Sípos Elvira, Bolyai Matematikai Gimnázium, Zenta

Dr. Szabó Gábor, Szegedi Tudományegyetem Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék, Szeged

Szakáll Miklós, PhD, Szegedi Tudományegyetem Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék, Szeged

Dr. Szőke Anna, Vajdasági Magyar Óvodapedagógusok Egyesületének elnöke,

óvodapedagógus és néprajzkutató, Kishegyes

Varga Attila, Szegedi Tudományegyetem PhD-hallgatója, Szeged