Unidad 1. Arreglos Aleatorios

PROBABILIDAD II Unidad 1. Arreglos aleatorios

Educacin Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas

1

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

Licenciatura en matemticas

Probabilidad II

3er Semestre

Unidad 1. Arreglos aleatorios

Clave:

05142315/06142315



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Unidad 1. Arreglos Aleatorios

Presentacin de la unidad

Cuando se analizan situaciones aleatorias del entorno, generalmente no se interesa en

un espacio muestral (conjunto) sino en un evento (subconjunto), cuyos miembros tienen

una caracterstica comn, se debe analizar las probabilidades de ocurrencia y no

ocurrencia de tal evento. Para esto, es necesario que aprendas a hacer anlisis

cualitativo y cuantitativo de situaciones que se le presentan, para su interpretacin es

necesario emplear estrategias que surgen de la probabilidad.

De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad proporciona elementos tericos

sobre arreglos aleatorios, distribuciones e independencia para estimar las posibilidades de

ocurrencia y no ocurrencia de resultados, incluido en las lecturas y ejercicios, que

permitirn el logro del aprendizaje a travs de la prctica.

Propsitos

Al finalizar la unidad:

Clasificars elementos dentro de un conjunto para formar subconjuntos.

Determinars una funcin de densidad conjunta mediante la distribucin de dos

variables.

Utilizars variables aleatorias condicionadas para obtener una distribucin

condicional.

Competencia especfica

Generar un sentido terico y prctico para estimar las posibilidades de ocurrencia de

resultados en las diversas situaciones que as lo requieran en problemas de su profesin.

1.1. Definiciones bsicas

Dentro de la ciencia de las matemticas, la teora de la probabilidad

es responsable del estudio de los experimentos aleatorios. Un

experimento aleatorio es aquel que al repetirse bajo las mismas

condiciones iniciales, no produce el mismo resultado.



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Partiendo de esto, la teora de la probabilidad es responsable de modelar

matemticamente cualquier experimento aleatorio ubicando arreglos aleatorios. Un

arreglo aleatorio es un conjunto, agrupacin o zona de almacenamiento continuo, que

contiene una serie de elementos o variables del mismo tipo, asociados a un proceso, cuyo

resultado no es previsible ms que en razn de la intervencin del azar. El estudio de los

fenmenos aleatorios queda dentro del mbito de la teora de la probabilidad.

1.1.1 Sigmas lgebras

Sigma lgebra denotado por - algebra es una coleccin de subconjuntos del espacio

muestral que contiene el conjunto vaco y es cerrada bajo uniones contables y

complementacin de esos subconjuntos.

Observa que el conjunt potencia 2x siempre es un una - lgebra del conjunto X

Un espacio muestral puede tener ms de un -lgebra, y puede aplicar con las

operaciones de conjuntos ms comunes (unin, interseccin, complemento, diferencia,

etc.)

X F.

F es cerrado bajo complementos: si A F, entonces X \A F.

F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai F para todo i N y

B =iN Ai, entonces B F.

Espacio muestral. El conjunto es llamado espacio muestral o espacio muestra, y tiene

como objetivo agrupar a todos los posibles resultados del experimento aleatorio en

cuestin. No es imprescindible darle esta interpretacin al conjunto , y matemticamente

se le considera entonces como un conjunto arbitrario.

Notacin (conjunto de los subconjuntos). Sea X un conjunto.

Entonces denotemos por 2X al conjunto de todos los subconjuntos

de X, este conjunto se le llama conjunto potencia de X

Definicin de -algebra, espacio medible o evento. Una coleccin F de

subconjuntos de es una -lgebra si cumple las siguientes condiciones:



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Espacio de probabilidad. Un espacio de probabilidad es una terna (, F, P), en donde

es un conjunto arbitrario, F es una -algebra de subconjuntos de , y P es una medida de

probabilidad definida sobre F.

1.1.2. Ejemplos

Ejemplo 1.

Se tiene S= {1, 2, 3, 4}

Evaluar si S={, {1, 2, 3, 4}} es -lgebra

Para resolver este planteamiento, Tendramos que consultar las tres condiciones que nos

permiten verificar su pertenece a un -lgebra o no.

Solucin:

La condicin 1 se cumple, si A= {} entonces su complemento Ac = {{ 1, 2, 3, 4}}, y de

esta manera tambin se cumple la condicin 2.

Verificando la condicin 3 si A1 = , A2 = {1, 2, 3, 4} entones la condicin de ambos

conjuntos tambin pertenece al -lgebra An S

Ejemplo 2.

Sea el conjunto S = {1, 2, 3, 4,}

2. Evaluar si el conjunto S es -lgebra: S = {, {1}, {2}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}

Como se puede apreciar que las dos primeras condiciones se cumplen fcilmente. Para

el caso de la segunda condicin A={2}, su complemento Ac est en el conjunto S y todo

esto se da para todo conjunto potencial A.

Actividad 1. Sigma lgebra

Al finalizar la actividad sers capaz de:

Identificar un sigma lgebra.

Clasificar elementos en conjuntos y subconjuntos.

Indicaciones

1. Espera las indicaciones de tu docente, sobre los lineamientos por el cual se

realizar la actividad.



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2. Realiza lo que te solicit el docente.

3. Ingresa al foro y redacta tus conclusiones.

4. Revisa las aportaciones de tres de tus compaeros, aceptando o rechazando su

respuesta.

Consulta la rbrica general de la participacin en foros, que se encuentra en la seccin

Material de apoyo.

1.2. Distribuciones

Por medio de las distribuciones podemos explicar y resolver algunos problemas de

probabilidad, en donde est implcito el azar y donde podemos tener diversas variables

para dar solucin o enfoque a los resultados solicitados.

Entre las principales distribuciones para Variables Aleatorias discretas tenemos:

Distribucin Uniforme

Distribucin de Bernoulli

Distribucin Binomial

Distribucin Poisson

Distribucin Hipergeomtrica

Distribucin Multinomial

Distribucin Gamma

Distribucin Exponencial 0xa1)x(Fae)x(f axax

b,axab

1)x(f

)b,a(x

ab

ax)x(F

)1,0(xP1)x(F)x1)(P1(Px)x(f

rnr )P1(Pr

n)rS(P)r(f

!ke)kX(P

k

kx x

k

x

1

k1

kk11 PPxx

!n)xX,,xX(P

0x,dueu)a(

1)x(Fex

)a(b

1)x(f

b/x

0

u1ab

x

1a

a

)!nN!*(n

!N

)!knN)!*(kn(

!N

)!kN!*(k

!N

n

N

kn

N

k

N

)xX(p 2

2

1

121



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Distribucin Beta

Distribucin de Weibull

Distribucin de Gumbel

Distribucin Logstica

Distribucin de Pareto

Distribucin de Laplace

Distribucin de Cauchy

Distribucin Geomtrica

Distribucin Erlang

f x x x x( ; , )

( )exp( / ),

1

01

)1,0(x)x1(x)b,a(

1)x(f 1b1a

0x0)X(F

0xe1)X(F

0x0)x(f

0xxea2)x(f

22

22

xa

xa2

xb

xaexpexp)X(F

xb

xaexp

b

xaexp

a

1)x(f

x

b

axexp1

1)x(F

x

b

axexp1b

b

axexp

)x(f

bx0)x(f

bxxab)x(f 1aa

b

xaexp

2

11)x(Fy

b

axexp

2

1)x(F

xb

axexp

b2

1)x(f

x

b

axarctan

1

2

1)x(F

b)ax(

b)x(f

22

r)P1(P)r(f



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1.2.1. Distribucin conjunta

Si X y Y son dos variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad comn (.A, P ).

Se les llama funcin de distribucin conjunta o simplemente distribucin conjunta de X y

Y, a la funcin.

F(x, y) = P (X x, Y y)

Para representarlos podemos utilizar dos formas FX,Y(x, y) o en su caso F(x,y). Estas dos

formas indican que es una distribucin conjunta de X e Y.

Para representarlo grficamente y poder darle una definicin, se pude mencionar que la

F(x,y) es la probabilidad de que el punto (x,y) se localice dentro del cuadrante que queda

abajo y a la izquierda del punto (x,y), incluyendo el borde.

Si analizamos las dos figuras podemos obtener de esta manera:

F(x,y) = P({w: X(w) x} {w: Y(w) y})

Si unimos la formula anterior con los elementos de la formula obtenemos.

P(a < X b, c



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= F (x, y)

= ;

Como la funcin F es creciente en ambas variables se referencia para cualquiera x, y,

0 F(x,y) 1

La funcin F(x, y) es continua por la derecha en cualquiera de sus variables.

Ejemplo: Restaurant de comida rpida cuenta con ventanilla de atencin a clientes en

auto o caminando sea X=el tiempo de atencin a clientes en auto y Y= el tiempo que se

destina a los clientes que acceden caminando. De tal forma el conjunto de valores

posibles (X,Y) es el rectngulo D={(x,y): 0 x 1,0 y 1. Supongamos que la funcin

de densidad de probabilidad conjunta de (X,Y) est dada por

{

Para comprobar que sta es una funcin de densidad de probabilidad legitima, se observa

que

1.2.2. Distribuciones marginales

Las funciones de probabilidad marginal de X y de Y son representadas por y

Se denotan por

De tal forma que para poder obtener la funcin de probabilidad marginal de X

, con un valor por ejemplo de 100, la distribucin de

se suman a los valores posibles de y para de esta formar obtener la

funcin de probabilidad marginal de X, sin hacer ninguna referencia a Y. De esta manera

es posible calcular las probabilidades de eventos en los que interviene de manera

excluyen X o Y.



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Ejemplo:

En un experimento se obtuvieron los siguientes resultados que muestra la tabla de

frecuencias absolutas y que corresponde a 180 observaciones de una variable

bidimensional. Calcular las distribuciones marginales de X y de Y,

X \ Y 10 15 20 25 30 35

8 8 10 10 6 0 10

10 10 20 0 14 10 0

12 24 10 10 6 20 10

Respuesta:

La ltima fila contiene la distribucin marginal de la variable Y, y la ltima columna

contiene la distribucin marginal de la variable X.

X \ Y 10 15 20 25 30 35 nI

8 8 10 10 6 0 10 44

10 12 20 0 14 10 0 56

12 24 10 10 6 20 10 80

nj 44 40 20 26 30 20 180

Ejercicios

Sea (x, y) un vector aleatorio discreto con las siguientes distribuciones de probabilidad.

x/y 0 1 2 3

1 0 3/5 2/5 1/5

2 1/5 0 0 1/5

Calcular las distribuciones marginales de X e Y.

1.2.3. Vectores aleatorios discretos

Un vector aleatorio discreto es un modelo de probabilidad conjunta y se caracteriza por

una funcin de probabilidad conjunta, que es el resultado de cada uno de sus posibles

valores.

Entonces, un vector aleatorio (X, Y) es discreto cuando slo puede tomar un nmero finito

o numerable de valores, podemos apreciar lo anterior mediante una tabla de doble

entrada



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X\Y y1 y2 y yn

x1

x2

x P( X=xn,; Y=yn )

xn

1.2.4. Densidades y densidades marginales

Las funciones de densidad de probabilidad marginal de X y Y, denotadas por y

vienen dadas por

1.2.5. Distribuciones condicionales

Sean X,Y dos variables aleatorias continuas con funcin de densidad de probabilidad

conjunta y la funcin de densidad de probabilidad marginal , se tiene que

para cualquier valor de x de X para el que , la funcin de densidad de

probabilidad condicional de Y dado que X=x es

*Notese que la formula es muy proxima a la probabilidad condicional de que

Es decir la probabilidad de que ocurra B dado que ya ocurrio A

Ya sabemos que si P(A) > 0

Si X y Y son variables aleatorias discretas y tenemos los eventos (A:X =x), (B: Y = y),

entonces (a) se convierte en



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Donde f(x,y) = P(X=x, Y=y) es la funcin de probabilidad conjunta y f1 (x) es la funcin de

probabilidad marginal para X. Definimos

Y la llamamos funcin de probabilidad condicional de Y dado X. de igual manera, la

funcin de probabilidad condicional de X, dado Y, es

Definicin. (Funcin de distribucin condicional). Sea (X, Y) un vector aleatorio

absolutamente continuo con funcin de densidad f X,Y (x, y), y sea y tal que fY (y) 0. A

la funcin

Se le conoce como la funcin de distribucin condicional de X dado que Y toma el valor y.

Actividad 2. Identificacin de variables

Propsitos

Al finalizar la actividad sers capaz de resolver un ejercicio en el cual tienes que

identificar la funcin de distribucin de dos variables.

Indicaciones

1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindar el docente

a travs del foro planeacin didctica.

2. Resuelve cada uno de las solicitudes que en el documento se mencionan.

3. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu docente te brindar

durante la realizacin de la actividad.

4. El trabajo se deber entregar bajo la calendarizacin que el docente brindar y

debers entregarlo en un documento de texto o PDF s utilizas algn editor de

texto cientfico.



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6. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MPRO2 _U1_A2_XXYZ.

Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial

de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

7. Enva tu archivo a tu Docente el lnea (a) mediante la seccin de Tareas

Criterios de evaluacin:

Revisa la escala de evaluacin por el cual ser evaluado tu actividad, y podrs ver las

observaciones que hace el docente de acuerdo al o resuelto en la actividad.

Actividad 3. Funcin de densidad conjunta

Al finalizar la actividad sers capaz de determinar una funcin de densidad conjunta

mediante la distribucin de dos variables en diversas aplicaciones

Indicaciones

1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindar el docente

a travs del foro planeacin didctica.


3. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu docente te brindar

durante la realizacin de la actividad.

4. El trabajo se deber entregar bajo la calendarizacin que el docente brindar y

debers entregarlo en un documento de texto o PDF s utilizas algn editor de

texto cientfico.

5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MPRO2 _U1_A3_XXYZ.

Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial

de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.







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Actividad 4. Distribucin condicional

Propsitos

Al finalizar la actividad sers capaz de resolver un ejercicio el cual implica un el desglose

de distribucin condicional.

Indicaciones

1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindar el docente a travs del foro planeacin didctica.


3. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu docente te brindar durante la realizacin de la actividad.

4. El trabajo se deber entregar bajo la calendarizacin que el docente brindar y debers entregarlo en un documento de texto o PDF s utilizas algn editor de texto cientfico.

5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MPRO2 _U1_A4_XXYZ. Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.





1.3. Independencia

Dos eventos A y B son independientes si P (A|B)=P(A), de lo contrario son dependientes

o son independientes si y solo si la probabilidad de que ocurran ambos es el

producto de cada una de las probabilidades y lo podemos comprobar mediante



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Se puede mencionar que dos eventos son independientes cuando uno de ellos no afecta

el resultado del otro, para representar esta definicin podemos ejemplificarlo de la

siguiente manera:

Ejemplo 1: Eventos independientes.

Lanzamiento de moneda (Primer evento)

El resultado puede ser cara o cruz

Lanzamiento de moneda (2 evento)

El resultado puede ser cara o cruz y no

depende del resultado del primer evento

Estos dos eventos son independientes

Ejemplo 2: Eventos no independientes

Cul es la probabilidad de lanzar dos dados. La suma de los resultados sea 7?

Son eventos no independientes o dependientes

Ejemplo:

Un equipo de ventas tiene una probabilidad de ganar en un negocio de 0.6 una

probabilidad de no ganar, ni perder de 0.3 y una probabilidad de perder el dinero invertido

El resultado del tiro

del Primer dado

El resultado del tiro

del segundo dado



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de 0.1, si este equipo de ventas participa en dos negocios con las mismas caractersticas

determine la probabilidad de que:

a) Obtenga ganancias en el segundo negocio

b) Obtenga ganancias en ambos negocios

c) Obtenga ganancias en uno de los dos negocios

d) Obtenga ganancias en el primer negocio y pierda en el segundo negocio

Si representamos grficamente el problema tendramos lo siguientes:

Si identificamos el espacio muestral nos quedara de la siguiente forma:

(GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP)

Solucin:

a) p (Ganancias en el Segundo Negocio)

= p (GG, GE, GP)

= (0.6) (0.6) + (0.6) (0.3)+ (0.6) (0.1)

= 0.18+ 0.06 + 0.18+ 0.06

= 0.48

b) p (Gane en ambos negocios)

p (G, G)

= (0.6) (0.6)

= 0.18

0.6 gane

0.6

0.3

0.1

0.3 ni gane , ni pierda

0.6

0.3

0.1

0.1 pierda

0.6

0.3

0.1



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c) p (Gane en uno de los negocios)

= p (GE, GP, EG, PG)

= (0.6)(0.3)+(0.6)(0.1)+(0.3)(0.6)+(0.1)(0.6)

= 0.18 + 0.06 + 0.18 +0.06

=0.48

d) p (Gane en el primer negocio y ni gane, ni pierda en el segundo negocio)

= p (GE)

= (0.6)(0.3)

= 0.18

Ejercicio:

Resuelve el ejercicio siguiente para medir el avance de tu conocimiento.

En los juegos panamericanos del 2011, un boxeador mexicano gana 5 de 8 peleas en las

que compite, si este boxeador participara en tres peleas en categoras diferentes, en los

prximos 5 meses, determina la probabilidad de que:

a) Gane dos de las peleas

b) Si ganara dos peleas, Cul es la probabilidad sea que sea la primera y la tercera?

c) Qu gane la segunda pelea

1.3.1. Convolucin

La convolucin se puede mencionar que es un operador matemtico por el cual dos

funciones de transforman f y g en una tercera funcin, la cual se estudia, para ver la

magnitud en la que se superponen f y una versin trasladada e invertida de g.

La convolucion de f y g se denota como f * g, se determina como la integral del

producto de ambas funciones despus de desplazar una de ellas una distancia , es

decir:

( f * g ) ( t ) =

El intervalo de integracin depender del dominio sobre el que estn definidas las

funciones, en el caso de un rango de integracin finito, f y g se consideran a menudo

como extendidas.



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Tomemos el siguiente ejemplo, sean dos funciones:

f ( t ) = e t y g ( t ) = Sen ( t )

Encontremos la convolucion de f y g, para esto emplearemos de la integracin por

partes:

e t * Sen (t) =

=

Cabe mencionar que las leyes conmutativa, asociativa y distributiva se pueden aplicar,

como se aprecia a continuacin:

Ley Conmutativa: f * g = g * f

Ley Asociativa ( f * g ) * h = f * ( g * h )

Ley Distributiva f * ( g + h ) = f * g + f * h

La convolucion la podemos encontrar en muchas aplicaciones de ingeniera y

matemticas, como veremos a continuacin.

1.3.2. Aplicaciones de la Convolucin

Algunas de las aplicaciones de convolucin, las enlistamos a continuacin:

Cuando se manejan la suma de dos variables independientes se puede

mencionar que es la convolucin de cada una de sus distribuciones de

probabilidad

En estadstica, un promedio mvil ponderado es una convolucin.

En ptica muchos tipos de manchas se describen con convoluciones. Por ejemplo

la sombra que proyecta un cuerpo entre una fuente de luz y un fondo es la

convolucin de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del cuerpo que

se est proyectando



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En el campo de la acstica se representa una convolucin cuando el sonido

original estn en funcin con los objetos que la reflejan.

Este es un ejemplo de convolucin en un dispositivo ptico

Evidencia de aprendizaje. Caso de estudio distribucin condicional

Al finalizar la actividad sers capaz de resolver ejercicios que implican el desglose de

distribucin condicional.

Indicaciones

1. Descarga el documento correspondiente a la actividad que te brindar el docente a travs del foro planeacin didctica.


3. Puedes apoyarte en el contenido y los recursos que tu docente te brindar durante la realizacin de la actividad.

4. El trabajo se deber entregar bajo la calendarizacin que el docente brindar y debers entregarlo en un documento de texto o PDF s utilizas algn editor de texto cientfico.

5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MPRO2_U1_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

PSF

Objeto

Imagen



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6. Enva tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentacin de tu Docente en lnea, atiende sus comentarios y reenva la nueva versin de tu evidencia.




Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexin para realizar el ejercicio

correspondiente y enviarlo a travs de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que

tambin se toman en cuenta para la calificacin final.

Cierre de la unidad

Durante esta unidad, revisamos los arreglos aleatorios, partiendo desde una sigma

lgebra, donde tomamos un subconjunto del espacio muestral, a la vez determinamos

como evaluar un subconjunto de datos mediante un sigma lgebra.

En la segunda unidad podremos generar momentos para esos arreglos aleatorios

mediante tcnicas de probabilidad. Te recomiendo que sigas estudiando los temas que se

presentaron durante esta unidad, ya que sern parte fundamental para la adquisicin del

conocimiento de la segunda unidad.

Para saber ms

Puedes revisar la siguiente pgina:

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Distribuciones%20de%

20Probabilidad.htm

La informacin mencionada en la pgina del Instituto tecnolgico de Chihuahua donde te

permitir obtener un panorama ms amplio de distribucin de probabilidad, variable

aleatoria y valor esperado. Podrs obtener un ejemplo especfico y determinar procesos

de mejora para resolver los ejercicios planteados en el programa desarrollado.

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Distribuciones%20de%20Probabilidad.htmhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Distribuciones%20de%20Probabilidad.htm



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Fuentes de consulta

Milton J y Arnold J. (2004). Probabilidad y estadstica con aplicaciones para ingeniera y

ciencias computacionales. Mxico: Mc Graw Hill.

Rincon L. (2007). Curso intermedio de probabilidad. Mxico: Departamento de

matemticas, Facultad de Ciencias, UNAM.

Spiegel M. (2006). Probabilidad y estadstica. Madrid: Mc Graw Hill.

Documents

Unidad 1. Arreglos Aleatorios