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Probabilidad II

Unidad 1

Arreglos aleatorios

Clave

50920415

Octubre de 2011

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II. Desarrollo de contenidos por unidad

Unidad 1. Arreglos Aleatorios

Presentacin de la unidad

Cuando se analizan situaciones aleatorias del entorno, generalmente no se interesa en

un espacio muestral (conjunto) sino en un evento (subconjunto), cuyos miembros tienen

una caracterstica comn, se debe analizar las probabilidades de ocurrencia y no

ocurrencia de tal evento. Para esto, es necesario que aprendas a hacer anlisis

cualitativo y cuantitativo de situaciones que se le presentan, para su interpretacin es

necesario emplear estrategias que surgen de la probabilidad.

De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad proporciona elementos tericos

sobre arreglos aleatorios, distribuciones e independencia para estimar las posibilidades de

ocurrencia y no ocurrencia de resultados, incluido en las lecturas y ejercicios, que

permitirn el logro del aprendizaje a travs de la prctica.

Propsitos

Al finalizar la unidad:

Clasificars elementos dentro de un conjunto para formar subconjuntos.

Determinars una funcin de densidad conjunta mediante la distribucin de dos

variables.

Utilizars variables aleatorias condicionadas para obtener una distribucin

condicional.

Competencia especfica

Generar un sentido terico y prctico para estimar las posibilidades de ocurrencia de

resultados en las diversas situaciones que as lo requieran en problemas de su profesin.

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1.1. Definiciones bsicas

Dentro de la ciencia de las matemticas, la teora de la probabilidad es responsable del

estudio de los experimentos aleatorios. Un experimento aleatorio es aquel que al repetirse

bajo las mismas condiciones iniciales, no produce el

mismo resultado.

Partiendo de esto, la teora de la probabilidad es

responsable de modelar matemticamente cualquier

experimento aleatorio ubicando arreglos aleatorios.

Un arreglo aleatorio es un conjunto, agrupacin o

zona de almacenamiento continuo, que contiene una

serie de elementos o variables del mismo tipo,

asociados a un proceso, cuyo resultado no es

previsible ms que en razn de la intervencin del

azar. El estudio de los fenmenos aleatorios queda

dentro del mbito de la teora de la probabilidad.

1.1.1 Sigmas lgebras

Sigma lgebra denotado por - algebra es una coleccin de subconjuntos del espacio

muestral que contiene el conjunto vaco y es cerrada bajo uniones contables y

complementacin de esos subconjuntos.

Observa que el conjunt potencia 2x siempre es un una - lgebra del conjunto X

Un espacio muestral puede tener ms de un -lgebra, y puede aplicar con las

operaciones de conjuntos ms comunes (unin, interseccin, complemento, diferencia,

etc.)

Notacin (conjunto de los subconjuntos). Sea X un conjunto.

Entonces denotemos por 2X al conjunto de todos los subconjuntos

de X, este conjunto se le llama conjunto potencia de X

Definicin de -algebra, espacio medible o evento. Una coleccin F de

subconjuntos de es una -lgebra si cumple las siguientes condiciones:

4

X F. F es cerrado bajo complementos: si A F, entonces X \A F. F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai F para todo i N y

B =iN Ai, entonces B F.

Espacio muestral. El conjunto es llamado espacio muestral o espacio muestra, y tiene

como objetivo agrupar a todos los posibles resultados del experimento aleatorio en

cuestin. No es imprescindible darle esta interpretacin al conjunto , y matemticamente

se le considera entonces como un conjunto arbitrario.

Espacio de probabilidad. Un espacio de probabilidad es una terna (, F, P), en donde

es un conjunto arbitrario, F es una -algebra de subconjuntos de , y P es una medida de

probabilidad definida sobre F.

1.1.2. Ejemplos

Ejemplo 1.

Se tiene S= {1, 2, 3, 4}

Evaluar si S={, {1, 2, 3, 4}} es -lgebra

Para resolver este planteamiento, Tendramos que consultar las tres condiciones que nos

permiten verificar su pertenece a un -lgebra o no.

Solucin:

La condicin 1 se cumple, si A= {} entonces su complemento Ac = {{ 1, 2, 3, 4}}, y de

esta manera tambin se cumple la condicin 2.

Verificando la condicin 3 si A1 = , A2 = {1, 2, 3, 4} entones la condicin de ambos

conjuntos tambin pertenece al -lgebra An S

Ejemplo 2.

Sea el conjunto S = {1, 2, 3, 4,}

2. Evaluar si el conjunto S es -lgebra: S = {, {1}, {2}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}

Como se puede apreciar que las dos primeras condiciones se cumplen fcilmente. Para

el caso de la segunda condicin A={2}, su complemento Ac est en el conjunto S y todo

esto se da para todo conjunto potencial A.

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Actividad 1. Sigma lgebra

Al finalizar la actividad sers capaz de:

Identificar un sigma lgebra.

Clasificar elementos en conjuntos y subconjuntos.

De acuerdo a lo descrito en el tema 1.1 Definiciones bsicas. Realiza lo siguiente:

1. Descarga el documento sigma lgebra. Ubicado en la pestaa de la unidad 1.

2. Observa la imagen y clasifica los elementos que pueden ser un conjunto y una

sigma lgebra.

3. Entra al foro sigma lgebra y presenta tu propuesta en el foro.

4. Entra al foro, lee con atencin las propuestas de tus compaeros y comenta una

de las propuestas de tus compaeros. No olvides que debes realizar tus

comentarios con claridad, precisin y respeto.

5. Concluye la actividad del foro mencionando un ejemplo de conjuntos con los

elementos que lo componen.

6. Consulta la Rbrica de participacin del foro en la seccin Material de apoyo.

1.2. Distribuciones

Por medio de las distribuciones podemos explicar y resolver algunos problemas de

probabilidad, en donde est implcito el azar y donde podemos tener diversas variables

para dar solucin o enfoque a los resultados solicitados.

Entre las principales distribuciones para Variables Aleatorias discretas tenemos:

Distribucin Uniforme

Distribucin de Bernoulli

b,axab

1)x(f

)b,a(x

ab

ax)x(F

)1,0(xP1)x(F)x1)(P1(Px)x(f

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Distribucin Binomial

Distribucin Poisson

Distribucin Hipergeomtrica

Distribucin Multinomial

Distribucin Gamma

Distribucin Exponencial 0xa1)x(Fae)x(f axax

Distribucin Beta

Distribucin de Weibull

Distribucin de Gumbel

Distribucin Logstica

Distribucin de Pareto

rnr )P1(Pr

n)rS(P)r(f

!ke)kX(P

k

kx x

k

x

1

k1

kk11 PPxx

!n)xX,,xX(P

0x,dueu)a(

1)x(Fex

)a(b

1)x(f

b/x

0

u1ab

x

1a

a

)1,0(x)x1(x)b,a(

1)x(f 1b1a

0x0)X(F

0xe1)X(F

0x0)x(f

0xxea2)x(f

22

22

xa

xa2

xb

xaexpexp)X(F

xb

xaexp

b

xaexp

a

1)x(f

x

b

axexp1

1)x(F

x

b

axexp1b

b

axexp

)x(f

bx0)x(f

bxxab)x(f 1aa

)!nN!*(n

!N

)!knN)!*(kn(

!N

)!kN!*(k

!N

n

N

kn

N

k

N

)xX(p 2

2

1

121

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Distribucin de Laplace

Distribucin de Cauchy

Distribucin Geomtrica

Distribucin Erlang

f x x x x( ; , )

( )exp( / ),

1

01

1.2.1. Distribucin conjunta

Si X y Y son dos variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad comn (.A, P ).

Se les llama funcin de distribucin conjunta o simplemente distribucin conjunta de X y

Y, a la funcin.

F(x, y) = P (X x, Y y)

Para representarlos podemos utilizar dos formas FX,Y(x, y) o en su caso F(x,y). Estas dos

formas indican que es una distribucin conjunta de X e Y.

Para representarlo grficamente y poder darle una definicin, se pude mencionar que la

F(x,y) es la probabilidad de que el punto (x,y) se localice dentro del cuadrante que queda

abajo y a la izquierda del punto (x,y), incluyendo el borde.

Si analizamos las dos figuras podemos obtener de esta manera:

F(x,y) = P({w: X(w) x} {w: Y(w) y})

b

xaexp

2

11)x(Fy

b

axexp

2

1)x(F

xb

axexp

b2

1)x(f

x

b

axarctan

1

2

1)x(F

b)ax(

b)x(f

22

r)P1(P)r(f

y (x,y)

x

a

d (x,y)

b

b

c

a

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Si unimos la formula anterior con los elementos de la formula obtenemos.

P(a < X b, c

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1.2.2. Distribuciones marginales

Las funciones de probabilidad marginal de X y de Y son representadas por y

Se denotan por

De tal forma que para poder obtener la funcin de probabilidad marginal de X

, con un valor por ejemplo de 100, la distribucin de

se suman a los valores posibles de y para de esta formar obtener la

funcin de probabilidad marginal de X, sin hacer ninguna referencia a Y. De esta manera

es posible calcular las probabilidades de eventos en los que interviene de manera

excluyen X o Y.

Ejemplo:

En un experimento se obtuvieron los siguientes resultados que muestra la tabla de

frecuencias absolutas y que corresponde a 180 observaciones de una variable

bidimensional. Calcular las distribuciones marginales de X y de Y,

X \ Y 10 15 20 25 30 35

8 8 10 10 6 0 10

10 10 20 0 14 10 0

12 24 10 10 6 20 10

Respuesta:

La ltima fila contiene la distribucin marginal de la variable Y, y la ltima columna

contiene la distribucin marginal de la variable X.

X \ Y 10 15 20 25 30 35 nI

8 8 10 10 6 0 10 44

10 12 20 0 14 10 0 56

12 24 10 10 6 20 10 80

nj 44 40 20 26 30 20 180

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Ejercicios

Sea (x, y) un vector aleatorio discreto con las siguientes distribuciones de probabilidad.

x/y 0 1 2 3

1 0 3/5 2/5 1/5

2 1/5 0 0 1/5

Calcular las distribuciones marginales de X e Y.

1.2.3. Vectores aleatorios discretos

Un vector aleatorio discreto es un modelo de probabilidad conjunta y se caracteriza por

una funcin de probabilidad conjunta, que es el resultado de cada uno de sus posibles

valores.

Entonces, un vector aleatorio (X, Y) es discreto cuando slo puede tomar un nmero finito

o numerable de valores, podemos apreciar lo anterior mediante una tabla de doble

entrada

X\Y y1 y2 y yn

x1

x2

x P( X=xn,; Y=yn )

xn

1.2.4. Densidades y densidades marginales

Las funciones de densidad de probabilidad marginal de X y Y, denotadas por y

vienen dadas por

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1.2.5. Distribuciones condicionales

Sean X,Y dos variables aleatorias continuas con funcin de densidad de probabilidad

conjunta y la funcin de densidad de probabilidad marginal , se tiene que

para cualquier valor de x de X para el que , la funcin de densidad de

probabilidad condicional de Y dado que X=x es

*Notese que la formula es muy proxima a la probabilidad condicional de que

Es decir la probabilidad de que ocurra B dado que ya ocurrio A

Ya sabemos que si P(A) > 0

Si X y Y son variables aleatorias discretas y tenemos los eventos (A:X =x), (B: Y = y),

entonces (a) se convierte en

Donde f(x,y) = P(X=x, Y=y) es la funcin de probabilidad conjunta y f1 (x) es la funcin de

probabilidad marginal para X. Definimos

Y la llamamos funcin de probabilidad condicional de Y dado X. de igual manera, la

funcin de probabilidad condicional de X, dado Y, es

Definicin. (Funcin de distribucin condicional). Sea (X, Y) un vector aleatorio

absolutamente continuo con funcin de densidad f X,Y (x, y), y sea y tal que fY (y) 0. A

la funcin

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Se le conoce como la funcin de distribucin condicional de X dado que Y toma el valor y.

Actividad 2. Identificacin de variables

Propsitos

Al finalizar la actividad sers capaz de resolver un ejercicio en el cual tienes que

identificar la funcin de distribucin de dos variables.

1. Resuelve los siguientes ejercicios en un documento de Word.

Ejercicio. Revisa las siguientes variables y asigna la letra que corresponda:

( ) Variable

independiente

a)

( ) Variable continua b)

( ) Variable aleatoria

discreta

c)

( ) Variable aleatoria d)

2. Envatu documento con la nomenclatura:PRO2_U1_A2_XXYZ. Sustituye las XX

por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la

Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4

MB.

3. Espera la retroalimentacin de tu facilitador(a).

Actividad 3. Agencia automotriz

Al finalizar la actividad sers capaz de determinar una funcin de densidad conjunta

mediante la distribucin de dos variables, aplicado en actividades que pueden realizar

robots en una agencia automotriz.

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1. Descarga el documento Agencia automotriz. ubicada en la pestaa de la unidad

1

2. Lee y resuelve el problema que ah se plantea.

3. Enva tu documento con la nomenclatura PRO2_U1_A3_XXYZ. Sustituye las XX

por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la

Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4

MB.

4. Espera la retroalimentacin de tu facilitador(a).

Actividad 4. Distribucin condicional

Propsitos

Al finalizar la actividad sers capaz de resolver un ejercicio el cual implica un el desglose

de distribucin condicional.

1. Descarga y resuelve el siguiente problema: Distribucin condicional, ubicada

en la pestaa de la unidad 1.

2. Enva tu documento con la nomenclatura: PRO2_U1_A4_XXYZ. Sustituye las XX

por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la

Z por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4

MB.

3. Espera la retroalimentacin de tu facilitador(a).

1.3. Independencia

Dos eventos A y B son independientes si P (A|B)=P(A), de lo contrario son dependientes

o son independientes si y solo si la probabilidad de que ocurran ambos es el

producto de cada una de las probabilidades y lo podemos comprobar mediante

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Se puede mencionar que dos eventos son independientes cuando uno de ellos no afecta

el resultado del otro, para representar esta definicin podemos ejemplificarlo de la

siguiente manera:

Ejemplo 1: Eventos independientes.

Lanzamiento de moneda (Primer evento)

El resultado puede ser cara o cruz

Lanzamiento de moneda (2 evento)

El resultado puede ser cara o cruz y no

depende del resultado del primer evento

Estos dos eventos son independientes

Ejemplo 2: Eventos no independientes

Cul es la probabilidad de lanzar dos dados. La suma de los resultados sea 7?

Son eventos no independientes o dependientes

Ejemplo:

Un equipo de ventas tiene una probabilidad de ganar en un negocio de 0.6 una

probabilidad de no ganar, ni perder de 0.3 y una probabilidad de perder el dinero invertido

El resultado del tiro

del Primer dado

El resultado del tiro

del segundo dado

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de 0.1, si este equipo de ventas participa en dos negocios con las mismas caractersticas

determine la probabilidad de que:

a) Obtenga ganancias en el segundo negocio

b) Obtenga ganancias en ambos negocios

c) Obtenga ganancias en uno de los dos negocios

d) Obtenga ganancias en el primer negocio y pierda en el segundo negocio

Si representamos grficamente el problema tendramos lo siguientes:

Si identificamos el espacio muestral nos quedara de la siguiente forma:

(GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP)

Solucin:

a) p (Ganancias en el Segundo Negocio)

= p (GG, GE, GP)

= (0.6) (0.6) + (0.6) (0.3)+ (0.6) (0.1)

= 0.18+ 0.06 + 0.18+ 0.06

= 0.48

b) p (Gane en ambos negocios)

p (G, G)

= (0.6) (0.6)

= 0.18

0.6 gane

0.6

0.3

0.1

0.3 ni gane , ni pierda

0.6

0.3

0.1

0.1 pierda

0.6

0.3

0.1

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c) p (Gane en uno de los negocios)

= p (GE, GP, EG, PG)

= (0.6)(0.3)+(0.6)(0.1)+(0.3)(0.6)+(0.1)(0.6)

= 0.18 + 0.06 + 0.18 +0.06

=0.48

d) p (Gane en el primer negocio y ni gane, ni pierda en el segundo negocio)

= p (GE)

= (0.6)(0.3)

= 0.18

Ejercicio:

Resuelve el ejercicio siguiente para medir el avance de tu conocimiento.

En los juegos panamericanos del 2011, un boxeador mexicano gana 5 de 8 peleas en las

que compite, si este boxeador participara en tres peleas en categoras diferentes, en los

prximos 5 meses, determina la probabilidad de que:

a) Gane dos de las peleas

b) Si ganara dos peleas, Cul es la probabilidad sea que sea la primera y la tercera?

c) Qu gane la segunda pelea

1.3.1. Convolucin

La convolucin se puede mencionar que es un operador matemtico por el cual dos

funciones de transforman f y g en una tercera funcin, la cual se estudia, para ver la

magnitud en la que se superponen f y una versin trasladada e invertida de g.

La convolucion de f y g se denota como f * g, se determina como la integral del

producto de ambas funciones despus de desplazar una de ellas una distancia , es

decir:

( f * g ) ( t ) =

El intervalo de integracin depender del dominio sobre el que estn definidas las

funciones, en el caso de un rango de integracin finito, f y g se consideran a menudo

como extendidas.

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Tomemos el siguiente ejemplo, sean dos funciones:

f ( t ) = e t y g ( t ) = Sen ( t )

Encontremos la convolucion de f y g, para esto emplearemos de la integracin por

partes:

e t * Sen (t) =

=

Cabe mencionar que las leyes conmutativa, asociativa y distributiva se pueden aplicar,

como se aprecia a continuacin:

Ley Conmutativa: f * g = g * f

Ley Asociativa ( f * g ) * h = f * ( g * h )

Ley Distributiva f * ( g + h ) = f * g + f * h

La convolucion la podemos encontrar en muchas aplicaciones de ingeniera y

matemticas, como veremos a continuacin.

1.3.2. Aplicaciones de la Convolucin

Algunas de las aplicaciones de convolucin, las enlistamos a continuacin:

Cuando se manejan la suma de dos variables independientes se puede

mencionar que es la convolucin de cada una de sus distribuciones de

probabilidad

En estadstica, un promedio mvil ponderado es una convolucin.

En ptica muchos tipos de manchas se describen con convoluciones. Por ejemplo

la sombra que proyecta un cuerpo entre una fuente de luz y un fondo es la

convolucin de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del cuerpo que

se est proyectando

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En el campo de la acstica se representa una convolucin cuando el sonido

original estn en funcin con los objetos que la reflejan.

Este es un ejemplo de convolucin en un dispositivo ptico

Autoevaluacin

Felicidades, haz llegado al final de la Unidad.

Para finalizar la unidad resuelve el siguiente crucigrama, al contenido visto en la unidad.

Analiza cada pregunta y de acuerdo a eso anota la respuesta en el nmero del cuadro

que corresponda.

HORIZONTALES

1. -algebra es un evento o espacio?

2. Es un tipo de variable al cual no se le puede medir exactamente

VERTICALES

3. son los elementos de un conjunto

4. Es el tipo de distribucin donde X es simplemente la Ley de probabilidad de X

haciendo caso omiso de la informacin de Y.

5.

esta es una funcin de probabilidad

PSF

Objeto

Imagen

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Evidencia de aprendizaje. Caso de estudio distribucin condicional

Al finalizar la actividad sers capaz de resolver ejercicios que implican el desglose de

distribucin condicional.

1. Descarga el documento llamado Estudio distribucin condicional.ubicada en la

pestaa de la unidad 1.

2. Resuelve el problema que en el documento se plantea.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura PRO2_U1_EA_XXYZ.

4. Recuerda sustituir las XX por las dos primeras de tu primer nombre, la Y por la

inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Enva el documento a tu facilitador (a) mediante la herramienta de Portafolio de

Evidencias.

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Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexin para realizar el ejercicio

correspondiente y enviarlo a travs de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que

tambin se toman en cuenta para la calificacin final.

Para saber ms

Puedes revisar la siguiente pgina:

http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/45/probabeco.htm

La informacin mencionada en la pgina de Gestiopolis.com te permitir obtener un

panorama ms amplio de distribucin de probabilidad, variable aleatoria y valor esperado.

Podrs obtener un ejemplo especfico y determinar procesos de mejora para resolver los

ejercicios planteados en el programa desarrollado.

Otra pgina que te recomendamos consultar es:

http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4-5.html

Fuentes de consulta

Milton J y Arnold J. (2004). Probabilidad y estadstica con aplicaciones para ingeniera y

ciencias computacionales. Mxico: Mc Graw Hill.

Rincon L. (2007). Curso intermedio de probabilidad. Mxico: Departamento de

matemticas, Facultad de Ciencias, UNAM.

Spiegel M. (2006). Probabilidad y estadstica. Madrid: Mc Graw Hill.