Unidad 3 Aplicaciones de La Integral

Unidad 3

Aplicaciones de la integral

En esta unidad Aunque en la sección 3.2 se volverá al problema de encontrar áreas por inte-gración definida, en las secciones posteriores de esta unidad veremos que la integral definidatiene muchas otras interpretaciones, además del área.

La unidad empieza con una aplicación de la integral indefinida.

Competencias específicas

• Interpretar enunciados de problemas para construir la función que al ser integra-da da la solución.

• Resolver problemas de cálculo de áreas, centroides. longitud de curvas y volú-menes de sólidos de revolución.

• Reconocer el potencial del cálculo integral en la ingeniería.

103

104 UNIDAD 3 Aplicaciones de la integral

v(O) >05(0) = o

alFIGURA 3.1.1iniciales

,-f -,

\

I

I

I

II

.:U(O)<O5(0) = h

blCondiciones

Cuando se ignora la resistenciadel aire, la magnitud de la velo-cidad de impacto (rapidez) es lamisma que la velocidad inicialhacia arriba desde el nivel delsuelo. Vea el problema 32 enlos ejercicios 3.1. Esto no escierto cuando tomamos enconsideración la resistencia delaire.

3.1 Otro repaso al movimiento rectilíneoI Introducción Una de las aplicaciones clásicas de la derivada es el estudio del movimientorectilíneo. Si s = J(t) es la función de posición de un objeto que se mueve en línea recta, enton-ces sabemos que

velocidad = v(t) = ~ y aceleración = a(t) = ~~'

Como una consecuencia inmediata de la definición de la antiderivada, las cantidades s y v pue-den escribirse como integrales indefinidas

s(t) = J v(t) dt v(t) = J a(t) dt. (1)y

Si se conocen la posición inicial seO) y la velocidad inicial veO), es posible encontrar valoresespecíficos de las constantes de integración usadas en (1).

Recuerde que cuando el cuerpo se mueve horizontalmente sobre una recta, la dirección posi-tiva es hacia la derecha. Para movimiento en una recta vertical, tomamos la dirección positivahacia arriba. Como se muestra en la FIGURA 3.1.1, si una flecha se dispara hacia arriba desde el niveldel suelo, entonces las condiciones iniciales son seO) = O, veO) > O, mientras que si la flechase dispara hacia abajo desde una altura inicial, por ejemplo h metros del suelo, entonces las con-diciones iniciales son seO) = h, veO) < O. Sobre un cuerpo que se mueve en una recta verticalcerca de la superficie terrestre, como la flecha disparada hacia arriba, actúa la fuerza de grave-dad. Esta fuerza provoca la aceleración de los cuerpos. Cerca de la superficie de la Tierra sesupone que la aceleración debida a la gravedad, a(t) = -g, es una constante. La magnitud g deesta aceleración es aproximadamente

32 pies/s', 9.8 m/s2 o bien, 980 crn/s",

~ Movimiento de un proyectilUn proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad ini-cial de 49 mis. ¿Cuál es la velocidad en t = 2 s? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el pro-yectil? ¿Cuánto tiempo permanece en el aire el proyectil? ¿Cuál es la velocidad de impacto?

Solución Si se empieza con a(t) = -9.8, por integración indefinida obtenemos

v(t) = J (-9.8) dt = -9.8t + el' (2)

A partir de la condición inicial dada veO) = 49, vemos que (2) implica el = 49. Por tanto,

v(t) = -9.8t + 49,

y así v(2) = -9.8(2) + 49 = 29.4 mIs. Observe que v(2) > O implica que el proyectil se des-plaza hacia arriba.

Luego, la altitud del proyectil, medida a partir del nivel del suelo, es la integral indefinidade la función velocidad,

s(t) = J v(t) dt = J (-9.8t + 49) dt = -4.9t2 + 49t + e2· (3)

Puesto que el proyectil inicia su movimiento a partir del nivel del suelo, seO) = O y (3) propor-cionan e2 = O. Por tanto,

s(t) = -4.9t2 + 49t. (4)Cuando el proyectil alcanza su altura máxima, v(t) = O. Luego, al resolver -9.8t + 49 = O obte-nemos t = 5. Por (4) encontramos que la altura correspondiente es s(5) = 122.5 m.

Finalmente, para encontrar el instante en que el proyectil choca contra el suelo, resolvemoss(t) = O o -4.9t2 + 49t = O. Cuando la última ecuación se escribe como -4.9t(t - 10) = O,

• vemos que el proyectil permanece en el aire 10 s. La velocidad de impacto es v(1 O) =- 49 mis. •

3.1 Otro repaso al movimiento rectilíneo 105

l!Imi!iB Movimiento de un proyectil

Una pelota de tenis se lanza verticalmente hacia abajo desde una altura de 54 pies con una velo-cidad inicial de 8 pies/s. ¿Cuál es la velocidad de impacto si la pelota golpea en la cabeza a unapersona de 6 pies de estatura? Vea la FIGURA 3.1.2.

Solución En este caso a(t) = -32, seO) = 54 y, puesto que la pelota se lanza hacia abajo,veO) = -8. Luego,

v(t) = f (-32) dt = -32t + e,Al usar la velocidad inicial veO) = -8 encontramos el = -8. En consecuencia,

v(t) = -32t - 8.Al continuar encontramos

s(t) = f(-32t - 8)dt = -16t2 - 8r + e2·

Cuando t = O, sabemos que s = 54 y así la última ecuación implica e2 = 54. Entonces

s(t) = -16t2 - 8t + 54.

Para determinar el instante que corresponde a s = 6, resolvemos

-16r2 - 8t + 54 = 6.

Al simplificar obtenemos -8(2t - 3)(t + 2) = O Y t = ~. Entonces, la velocidad de la pelotacuando golpea a la persona es vG) = -56 pies/s. •

I Distancia La distancia total que un objeto recorre rectilíneamente en un intervalo de tiem-po [t 1, t2] está dada por la integral definida

ft,

distancia total = Iv(t)1 di,t,

En (5) se requiere el valor absoluto porque el objeto puede moverse a la izquierda, de modo quedurante algún tiempo tiene velocidad negativa.

lm!ilDI Distancia recorrida

La función de posición de un objeto que se mueve sobre una recta de coordenadas es s(t) = t2 - 6t,donde s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la distancia recorrida en el intervalode tiempo [O, 9].

Solución La función velocidad v(t) = dsf dt = 2t - 6 = 2(t - 3) muestra que el movimientoes como se indica en la FIGURA 3.1.3; a saber: v < O para O -s t < 3 (movimiento a la izquierda) yv 2: O para 3 ::; t ::; 9 (movimiento a la derecha). Entonces, por (5) la distancia recorrida es

fl2t - 61dt = fl2t - 61dt + f'2t - 61dt

= f -(2t - 6) dt + f(2t - 6) dt

= (-t2 + 6t) J: + (t2 - 6t) J: = 45 cm.

Por supuesto, el último resultado debe ser consistente con la cifra obtenida al simplemente con-tar las unidades en la figura 3.1.3 entre seO) y s(3), y entre s(3) y s(9). •

54

Suelo

FIGURA 3.1.2 Lanzamiento de lapelota en el ejemplo 2

(5)

• • • 1=91=3''--1=0

I I • s-10 O 10 20 30

FIGURA 3.1.3 Representacióndel movimiento del objeto enel ejemplo 3

DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-l.

=FundamentosEn los problemas 1-6, un cuerpo se mueve en línea recta convelocidad v(t). Encuentre la función posición s(t).

1. v(t) = 6; s = 5 cuando t = 2

2. v(t) = 2t + 1; s = O cuando t = 1

3. v(t) = t2 - 4t; s = 6 cuando t = 3

4. v(t) = v'4t+5; s = 2 cuando t = 1


5. v(t) = -10 cos(4t + 'TT/6); s = ~cuando t = O

6. v(t) = 2 sen 3t; s = Ocuando' = 'TT

En los problemas 7-12, un cuerpo se mueve en línea recta conaceleración a(t). Encuentre v(t) y s(t).

7. a(t) = -5; v = 4 Y s = 2 cuando t = 1

8. a(t) = 6t; v = OY s = - 5 cuando t = 2

9. a(t) = 3t2 - 4t + 5; v = -3 Y s = 10 cuando t = O

10. a(t) = (t - 1)2; v = 4 Y s = 6 cuando' = 1

11. a(t) = 7tl/3 - 1; v = 50 Y s = O cuando t = 8

12. a(t) = 100 cos 5t; v = -20 Y s = 15 cuando t = 'TT/2

En los problemas 13-18, un objeto se mueve en línea rectasegún la función posición dada. Si s se mide en centímetros,encuentre la distancia total recorrida por el objeto en el ins-tante de tiempo indicado.

13. s(t) = t2 - 2t; [O, 5]

14. s(t) = -t2 + 4t + 7; [0,6]15. s(t) = ,3 - 3,2 - 9t; [O, 4]

16. s(t) = t4 - 32t2; [1, 5]

17. s(t) = 6 sen 'TTt; [1,3]18. s(t) = (t - 3)2; [2, 7]

= Aplicaciones

19. El conductor de un automóvil que se desplaza en línearecta a velocidad constante de 60 miIh aparta por 2 s lavista de la carretera. ¿Cuántos pies recorre el automóvilen este instante?

20. Una pelota se deja caer (a partir del reposo) desde unaaltura de 144 pies. ¿En cuánto tiempo la pelota llega alsuelo? ¿A qué velocidad choca contra el suelo?

21. Un huevo se suelta desde la parte superior de un edificioy choca contra el suelo después de 4 s desde que fue sol-tado. ¿Cuál es la altura del edificio?

22. Una piedra se deja caer en un pozo y el choque de éstacon el agua se escucha 2 s después. Si la velocidad delsonido en el aire es 1 080 pies/s, encuentre la profundi-dad del pozo.

23. Una flecha se proyecta verticalmente hacia arriba desdeel nivel del suelo con una velocidad inicial de 24.5 mis.¿A qué altura llega?

24. ¿Cuán alto llegaría la flecha en el problema 23 en el pla-neta Marte, donde g = 3.6 mis?

25. Una pelota de golf se lanza verticalmente hacia arribadesde el borde del techo de un edificio de 384 pies dealtura con una velocidad inicial de 32 pies/s. ¿En qué ins-tante golpea la pelota el suelo?

26. En el problema 25, ¿cuál es la velocidad de la pelota degolf cuando pasa frente a un observador situado en unaventana situada a 256 pies del suelo?

27. Una persona arroja un malvavisco hacia abajo con unavelocidad inicial de 16 pies/s desde una ventana que está

a 102 pies del nivel del suelo. Si el malvavisco golpea lacabeza de una persona de 6 pies de estatura, ¿cuál esla velocidad de impacto?

28. La persona cuya cabeza fue golpeada en el problema 27sube hasta la parte superior de una escalera de 22 pies dealtura y arroja una roca verticalmente con una velocidadinicial de 96 pies/s. Si la roca choca contra el culpable enel piso a 102 pies, ¿cuál es la velocidad de impacto?

= Piense en ello

29. En marzo de 1979, la sonda espacial Voyager 1 fotogra-fió la erupción de un volcán activo en lo, una de las lunasde Júpiter, Encuentre la velocidad de lanzamiento de unaroca desde el volcán Loki si la roca alcanza una altitud de200 km por arriba de la cima del volcán. En lo, la acele-ración debida a la gravedad es g = 1.8 rn/s".

30. Como se muestra en la FIGURA3.1.4, desde un punto a30 pies de un poste de 25 pies de altura se arroja vertical-mente hacia abajo una pelota desde una altura de 25 piescon una velocidad inicial de 2 pies/s.

a) Encuentre la razón en que la sombra de la pelota semueve hacia la base del poste.

b) Encuentre la razón en que la sombra de la pelota semueve hacia la base del poste en t = 1.

foPelota en~ t=OIII

II

+25 pies

~30pies~ Sombra

FIGURA3.1.4 Poste en el problema 30

31. Si un cuerpo se mueve rectilíneamente con aceleraciónconstante a y v = va cuando s = O, demuestre que

2 _ 2 [ . . dv _ dv ds _ dv ]v - Vo + 2as. Sugerencia. dt - ds dt - ds v.

32. Demuestre que, cuando se ignora la resistencia del aire,un proyectil disparado verticalmente hacia arriba desde elnivel del suelo choca de nuevo contra el suelo con unavelocidad igual a la velocidad inicial va.

Suponga que la aceleración debida a la gravedad en unplaneta es igual a la mitad de la aceleración en la Tierra.Demuestre que una pelota lanzada verticalmente haciaarriba desde la superficie del planeta alcanza una alturamáxima que es igual al doble de la altura en la Tierracuando se aplica la misma velocidad inicial.

En el problema 33, suponga que la velocidad inicial de lapelota sobre el planeta es va y que la velocidad inicial dela pelota sobre la Tierra es 2vo. Compare las alturas máxi-mas alcanzadas. Determine la velocidad inicial de la pelo-ta sobre la Tierra (en términos de va) de modo que la máxi-ma altura alcanzada sea la misma que sobre el planeta.

33.

34.

3.2 Otro repaso al áreaI Introducción Si f es una función que asume valores tanto positivos como negativos sobre[a, b], entonces la integral definida f%f(x) dx no representa el área bajo la gráfica defsobre elintervalo. Como vio en la sección 1.2, el valor de f%f(x) dx puede interpretarse como el áreaneta con signo entre la gráfica defy el eje x sobre el intervalo [a, b]. En esta sección investiga-mos dos problemas de área:

o Encontrar el área total de una región acotada por la gráfica defy el eje x sobre unintervalo [a, b].

o Encontrar el área de la región acotada entre dos gráficas sobre un intervalo [a, b].

Veremos que el primer problema es justo un caso especial del segundo problema.

I Área total Suponga que la función y = f(x) es continua sobre el intervalo [a, b] Yque f(x) < Osobre [a, c) y que f(x) ;:::O sobre [c, b]. El área total es el área de la región acotada por la grá-fica def, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b. Para encontrar esta área se emplea el valorabsoluto de la función y = If(x) 1, que es no negativa para toda x en [a, b]. Recuerde que If(x) Iestá definida por partes. Para la funciónf que se muestra en la FIGURA 3.2.1al,f(x) < Osobre el inter-valo [a, c) y f(x) ;:::O sobre el intervalo [c, b]. Por tanto,

If(x) I = {-f(X),f(x),

para f(x) < Opara f(x) ;::: O.

3.2 Otro repaso al área 107

y

--r-~----~----~~X

a) La integral definida de fsobre [a, b] no es área

y

.1'= If(x)1

--r--a~--~cL-----b~X

(1)

b) La integral definidade Ifl sobre [a, b] es área

FIGURA 3.2.1 El área totalesA=A¡+A2

Como se muestra en la figura 3.2.lb), la gráfica de y = If(x) I sobre el intervalo [a, c) se obtieneal reflejar esa porción de la gráfica de y = f(x) en el eje x. Sobre el intervalo [c, b], donde f(x) ;:::O,las gráficas de y = f(x) y y = If(x) I son las mismas. Para encontrar el área total A = A I +A2 mos-tradas en la figura 3.2.1b) usamos la propiedad aditiva del intervalo de la integral definida junto" Vea el teorema \.2.5.con (1):

flf(X)I dx = r1f(x)I dx + flf(X)I dxa a e

= r(-f(x)) dx + ff(X) dxa e

= Al + A2·

Las ideas del análisis precedente se resumen en la siguiente definición.

Definición 3.2.1 Área total

Si Y = f(x) es continua sobre [a, b], entonces el área total A acotada por su gráfica y el eje xsobre el intervalo está dada por

A = flf(X)I dx.a

(2)

I!mmDI--'...:Á"-.:re:::a:....:t:.:::.ot~a:.:...I _Encuentre el área total acotada por la gráfica de y = x3 y el eje x sobre [-2, 1].

Solución Por (2) se tiene

En la FIGURA 3.2.2 comparamos la gráfica de y = x3 y la gráfica de y = IxlPuesto que x3 < Oparax < O, se tiene sobre [-2, 1],

{-x3

If(x) I = 3'x,-2:5 x < O

O:5x:51.

:ly=x

a)

)'

-2b)

FIGURA 3.2.2 Gráfica de lafunción y área en el ejemplo I


y

8y=x2 + 2t

6

4

2

x-2 2

a)

y

8Y = Ix2 + 2xl

6

4

2A

x-2 2

b)

FIGURA3.2.3 Gráfica y áreaen el ejemplo 2

Entonces, por (2) de la definición 3.2.1,el área que se busca es

A = f21x31 dx

f21x31 dx + r Ix31dx

fO(-X3)dx + fl

X3dx-2 °

_l.x4]O + l.x4] I

4 -2 4 °

=O-(_~6)+±-O= 1;. •~~~Á~r~e~a~to~t=a~I _Encuentre el área total acotada por la gráfica de y = x2 + 2x y el eje x sobre [- 2, 2].

Solución Las gráficas de y =f(x) y y = If(x) I se muestran en la FIGURA3.2.3. Luego, por la figu-ra 3.2.3a), vemos que sobre [-2,2],

If(x) I = {-(X2 + 2x), -2:5 x < Ox2 + 2x, O :5 X :5 2.

En consecuencia, el área total acotada por la gráfica de f sobre el intervalo [ - 2, 2] Yel eje x es

A = f21x2 + 2xl dx

fo IX2+ 2xl dx + f21X

2 + 2xl dx-2 °

= fO -(x2 + 2x) dx + f2(X2 + 2x) dx-2 °

= O - «- 4) +(~+ 4) - O = 8. •I Área acotada por dos gráficas El análisis anterior es un caso especial del problemamás general de encontrar el área de la región acotada entre la gráfica de dos funciones f y g ylas rectas verticales x = a y x = b. Vea la FIGURA3.2.48). El área bajo la gráfica de una función con-tinua no negativa y = f(x) sobre un intervalo [a, b] puede interpretarse como el área de la región

yy = f(x)

~ ,,,L--------r- y = g(x)

1 ,1 ,

y=f(x)y

f(xtl- g(xV

pr''''''""',....,......••••P'" ,

/" ¡,,,,~•.... """b>-, ' ,,""

_y=g(x)1

*'Xk '1,

~--~a------------~b~x a '-.r' b x~xk

b) Construcción de n rectángulosentre dos gráficas

a) f(x) 2: g(x) sobre la, b1

FIGURA3.2.4 Área A acotada entre dos gráficas

acotada por la gráfica defy la gráfica de la función y = O (el eje x) y las rectas verticales x = ay x=b.

I Construcción de una integral Suponga que y = f(x) y y = g(x) son continuas sobre [a, b] yque f(x) ~ g (x) para toda x en el intervalo. Sea P una partición del intervalo [a, b] en n subin-tervalos [Xk-" Xk]' Si escogemos un punto muestra xi en cada subintervalo, es posible construirn rectángulos correspondientes que tengan el área

Ak = [f(xk) - g(xk)] LlXk'

Vea la figura 3.2.4b). El área A de la región acotada por las dos gráficas sobre el intervalo [a, b]es aproximada por la suma de Riemann

11 "2: Ak = 2: [f(xk) - g(xk)] LlXbk= I k= I

lo cual a su vez sugiere que el área es11

A = lím 2: [f(xk) - g(xk)] LlXk'111'11-+0 k = I

Puesto que fy g son continuas, también lo esf - g. Entonces, el límite anterior existe y, por defi-nición, la integral definida

A = J: [f(x) - g(x)] dx.

También (3) es válida para las regiones en que una o ambas funcionesfy g tienen valores nega-tivos. Vea la FIGURA3.2.5. Sin embargo, (3) no es válida sobre un intervalo [a, b] donde las gráfi-cas de f y g se cruzan en el intervalo. Observe en la FIGURA3.2.6 que g es la gráfica superior sobrelos intervalos (a, CI) Y (C2> b), mientras quefes la gráfica superior sobre el intervalo (c., C2)' Enel caso más general, tenemos la siguiente definición.

la longitud del rectángulo esf(4) + (- g(4))= f(Xi) - gN) -. y

x*__+- ar- ~k----br-~xy

}

la longitud del rectángulo es- g(xtl - (- f(Xi))= fN) - g(xtl

~~~--- y

}la longitud es f(xnpuesto que f(xV > O

--r---~----~~--~~X

} la longitud es - g(xkl____ puesto que g(xkl < O

lbII

y=g(x)

a) f(x) >OYg(x) < O sobre [a, b] b) f(x) < O Yg(x) < O sobre [a, b]

FIGURA3.2.5 Las gráficas de f y g pueden estar por abajo del eje x

Definición 3.2.2 Área acotada por dos gráficas

Sify g son funciones continuas sobre un intervalo [a, b], entonces el área A de la región aco-tada por sus gráficas sobre el intervalo está dada por

A = flf(X) - g(x) I dx.a

(4)

Observe que (4) se reduce a (2) cuando g(x) = O para toda x en [a, b). Antes de usar las fór-mulas (3) o (4), se le pide trazar las gráficas necesarias. Si las curvas se cruzan sobre el interva-

3.2 Otro repasoal área 109

La hipótesis de que f(x) ~ g(x)sobre el intervalo significa quela gráficas de f y g puedentocarse pero no cruzarsemutuamente.

(3)

bFIGURA3.2.6 Las gráficas de f yg se cortan entre sí sobre [a, b]


~~~----~----~x

FIGURA3.2.7 Área en elejemplo 3

-+-+--+--'\-!-+-+-+-+- x-4 2

FIGURA3.2.8 Área en elejemplo 4

lo, entonces como hemos visto en la figura 3.2.6, la posición relativa de las curvas cambia. Encualquier caso, sobre cualquier subintervalo de [a, b], el integrando idóneo siempre es

(gráfica superior) - (gráfica inferior).

Así como en (1), el valor absoluto del integrando está dado por

If(x) - g(x) I = {-(f(X) - g(x»,f(x) - g(x),

paraf(x) - g(x) < Oparaf(x) - g(x) ~ O. (5)

Una manera más práctica de interpretar (5) consiste en trazar las gráficas de f y g con precisióny determinar visual mente que:

If(x) - g(x) I = {g(X) - f(x),f(x) - g(x),

siempre que g es la gráfica superiorsiempre que f es la gráfica superior

En la figura 3.2.6, el área A acotada por las gráficas de f y g sobre [a, b] es

A = flf(X) - g(x) I dxa

rlf(x) - g(x) I dx + f'lf(X) - g(x) I dx + flf(X) - g(x)1 d.xa ~ ~

r[g(X) - f(x)] d.x + f'[f(X) - g(x)] d.x + f[g(X) - f(x)] d.x.a t c, t c, t

g es la gráfica superior f es la gráfica superior g es la gráfica superior

~ Área acotada por dos gráficasEncuentre el área acotada por las gráficas de y = Vx y y = x2.

Solución Como se muestra en la FIGURA3.2.7, la región en cuestión se localiza en el primer cua-drante. Puesto que Oy 1 son las soluciones de la ecuación x2 = Vx, las gráficas se cortan en lospuntos (O, O) Y (1, 1). En otras palabras, la región se encuentra entre las rectas verticales x = OYx = 1. Puesto que y = Vx es la gráfica superior sobre el intervalo (O, 1), se concluye que

A = f(Vx - X2) d.x

= (~x3/2 - ±X3) I2 1 1=j-j-O=~ •

I!IB!DII Área acotada por dos gráficasEncuentre el área de la región acotada por las gráficas de y = x2 + 2x y y = -x +4 sobre el inter-valo [-4,2].

Solución Las funciones dadas se denotan por

y Y2 = -x + 4.

Como se muestra en la FIGURA3.2.8, las gráficas se cortan sobre el intervalo [-4, 2].Para encontrar los puntos de intersección resolvemos la ecuación x2 + 2x = -x + 4 o

x2 + 3x - 4 = O Yencontramos que x = -4 Yx = l. El área en cuestión es la suma de las áreasA = Al + A2:

Pero como Y2 = -x + 4 es la gráfica superior sobre el intervalo (-4, 1) Y YI = x2 + 2x es lagráfica superior sobre el intervalo (1, 2), es posible escribir

A = fl [(-x + 4) - (x2 + 2x)] dx + f2 [(x2 + 2x) - (-x + 4)] dx-4 I

f I (- x2 - 3x + 4) dx + f 2(x2 + 3x - 4) dx-4 I

= (_Ix3 - .lx2 + 4X)] I + (Ix3 + .lx2 _ 4x)]23 2 -4 3 2 I

= (-t -1+ 4) - (634 - 24 - 16) + «+ 6 - 8) - (t + 1- 4) = 731. •~ Área acotada por dos gráficasEncuentre el área de las cuatro regiones acotadas por las gráficas de y = sen x y y = cos x que semuestran en la FIGURA3.2.9.

Solución Hay una infinidad de regiones acotadas por las gráficas de y = sen x y y = cos x y elárea de cada región es la misma. En consecuencia, sólo es necesario encontrar el área de la regiónsobre el intervalo correspondiente a las dos primeras soluciones positivas de la ecuaciónsen x = cos x. Al dividir entre cos x, una forma más útil de la última ecuación es tan x = l. Laprimera solución positiva es x = tan " 1 = 7T/4. Luego, como tan x tiene periodo 7T, la siguien-te solución positiva es x = 7T + 7T/4 = 57T/4. Sobre el intervalo (7T/4, 57T/4), Y = sen x es lagráfica superior, de modo que el área de las cuatro regiones es

15"'/4

A = 4 (sen x - cos x) dx",/4

]

5",/4

= 4( -cos x - sen x)rr/4

= 4(2\12) = 8\12. •

Al encontrar el área acotada por dos gráficas, no siempre es conveniente integrar con res-pecto a la variable x.

_ Área acotada por dos gráficas

Encuentre el área acotada por las gráficas l = 1 - x y 2y = x + 2.

Solución Observamos que la ecuación l = 1 - x define de manera implícita dos funciones,Y2 = ~ y YI = - ~ para x ::5 l. Si definimos Y3 = ~x + 1, por la FIGURA3.2.10 vemosque la altura de un elemento de área sobre el intervalo (-8, O) es Y3 - YI> mientras la altura deun elemento sobre el intervalo (O, 1) es Y2 - YI' Por tanto, si se integra con respecto a x, el áreadeseada es la suma de

y

y

YI=-~

FIGURA3.2.10 En el ejemplo 6, Y3 es la gráfica superior sobre elintervalo (-8, O); Y2 es la gráfica superior sobre el intervalo (O, 1)

3.2 Otro repaso al área 111

\'=senx

y= cosxFIGURA3.2.9 Cada una de lascuatro regiones tiene la mismaárea en el ejemplo 5

rg(~X + 1+ vr-=x) dx + 211vr-=xdx

(1 2 )]0 4 ] I= -x2 + X - -(1 - xP/2 - -(1 - x)3/24 3 -g 3 o

= -~. 13/2 - (16 - 8 - ~. 93/2) - i. 0+ i. 13/2 = 323 3 3 3 3·


Por tanto, el área de la región es la suma de las áreas A = A I +A2; es decir,

•l!l:DIBiJII Solución alterna del ejemplo 6La necesidad de usar dos integrales en el ejemplo 6 para encontrar el área se evita al construirrectángulos horizontales y usar a y como variable independiente. Si definimos X2 = 1 - l yXI = 2y - 2, entonces, como se muestra en la FIGURA3.2.11, el área del elemento horizontal es

Ak = [gráfica derecha - gráfica izquierda] . ancho.

y

!1Yk=Yk-Yk-1

FIGURA 3.2.11 Uso de y como la variable de integración en el ejemplo 7

Es decir, Ak = [xi - -n dYk>

donde y

Al sumar los rectángulos en la dirección de y positiva obtenemosn

A = lím L [xi(y) - xi(y)] dYk>111'11---0 k = I

donde IIPII es la norma de una partición P del intervalo sobre el eje y definida por -3 S Y s 1.En otras palabras,

A = f I (X2 - XI) dy,-3

donde el límite inferior -3 y el límite superior 1 son las coordenadas y de los puntos de intersec-ción (-8, -3) Y (O, 1), respectivamente. Luego, al sustituir por X2 YXI obtenemos

A = f3[(1 - l) - (2y - 2)] dy

= fl (_y2 - 2y + 3)dy-3

= (-±l - l + 3Y) [3= (-± - 1 + 3) - (~7 - 9 - 9) = 332. •

NOTAS DESDE EL AULA

3.2 Otrorepasoalárea 113

Como se mencionó en la introducción, en esta unidad veremos diferentes interpretacionesde la integral definida. En cada sección veremos una variedad de la integral definida, den-tro del párrafo Construcción de una integral. Antes de memorizar estas fórmulas de inte-grales, usted debe estar al tanto de que el resultado obtenido en general no es aplicable atoda situación geométrica o física concebible. Por ejemplo, como vimos en el ejemplo 7,para encontrar el área de una región en el plano puede resultar más conveniente integrarcon respecto a y y así poder construir una integral totalmente diferente. En lugar de apli-car a ciegas una fórmula, usted debe tratar de comprender el proceso y la práctica de cons-truir integrales al analizar la geometría de cada problema.

DESARROLLE SU COMPETENCIA Lasrespuestas de los problemasimparescomienzanen la páginaRES-7.

= FundamentosEn los problemas 1-22, encuentre el área total acotada por lagráfica de la función dada y el eje x en el intervalo dado.

1. y = x2 - 1; [ - 1, 1] 2. Y = x2 - 1; [O, 2]

3. Y = x3; [-3,0] 4. Y = 1 - x3; [0,2]5. Y = x2 - 3x; [O, 3]6. Y = - (x + 1f; [- 1, O] 7. Y = r - 6x; [ - 1, 1]

8. Y = x3- 3x2 + 2; [0,2]

9. Y = (x - 1)(x - 2)(x - 3); [0,3]

10. Y = x(x + 1)(x - 1); [-1,1]x2 - 1

11. Y = --2 -; [1,3]x

13. y = Vx - 1; [O, 4 ]15. Y = -Vx; [ - 2, 3]

17. Y = senx; [-1T, 1T]

18. Y = 1 + cos x; [0,31T]19. Y = -1 + sen x; [-31T/2, 1T/2]20. Y = sec/ x; [O, 1T/3]

{

X -2:::s x < O21. Y = xi, O :::s x :::s i : [-2, 1]

22 = {x + 2, - 3 :::s x < O• Y 2-x2, 0:::Sx:::s2' [-3,2]

12.x2 - 1

Y = --2-;x

y = 2 - Vx;y = 2 - -Vx;

[0,9][-1,8]

[1,2]

14.16.

En los problemas 23-50, encuentre el área de la región acota-da por la gráfica de las funciones dadas.

23. y = x, y = - 2x, x = 3 24. Y = x, y = 4x, x = 225. Y = X2, y = 4 26. Y = X2, y = x27. y = x3, y = 8,x = -128. Y = x3, y = -Vx, primer cuadrante

29. y = 4(1 - X2), y = 1 - x2

30. y = 2( 1 - X2), y = x2 - 1

31. Y = x,y = l/x2,x = 332. Y = X2, y = l/x2, y = 9, primer cuadrante

33. y = -x2 + 6, Y = x2 + 4x 34. y = x2;y = -x2 + 3x35. y = X2/3, y = 4

36. Y = 1 - x2/3, y = x2/3 - 137. Y = x2 - 2x - 3, Y = 2x + 2, sobre [-1,6]

38. Y = - x2 + 4x, y = ~x39. y = x3

, y = X + 6, Y = -1x40. x = l,x = O, Y = 141. x = -y, x = 2 - y2

42. x = l,x = 6-l43. x = l + 2y + 2,x = =v'> 2y + 244. x = l - 6y + 1, x = -l + 2y + 1

45. Y = x3- x, Y = x + 4, x = - 1, x = 1

46. x = y3 - y, X = O

47. y = cos x, y = sen x, x = O,x = 1T/248. y = 2 sen x, y = -x, x = 1T/249. y = 4 sen x, y = 2, sobre [1T/6, 51T/6]50. y = 2 cos x, y = +cos x, sobre [-1T/2, 1T/2]

En los problemas 51 y 52, interprete la integral definida dadacomo el área de la región acotada por la gráfica de dos funciones.Trace las dos regiones que tienen el área dada por la integral.

51. i\Vx+ x)dx 52. r(~x2+3-X)dr

En los problemas 53 y 54, interprete la integral definida dadacomo el área de la región acotada por la gráfica de dos funcio-nes sobre un intervalo. Evalúe la integral dada y trace la región.

53. flx ~ 1 - - dx 54. [Iex- 2e-xldr

En los problemas 55-58, use el hecho de que el área de uncírculo de radio res 1Tr2 para evaluar la integral definida dada.Trace una región cuya área esté dada por la integral definida.

55. 13

~ dx 56. f5 V25 - x2 dxo -5

57. fy + ~)dx

58. [(2x + 3 - ~)dx


59. Establezca una integral definida que represente el área deuna elipse x2ja2 + ljb2 = 1, a > b > O. Use la ideaque se utilizó en los problemas 55-58 para evaluar la inte-gral definida.

60. Encuentre el área del triángulo con vértices en (l, 1),(2, 4) Y (3, 2).

61. Considere la región acotada por las gráficas de l =

-x - 2,y = 2,y = -2 YY = 2(x - 1). Calcule el áreade la región al integrar con respecto a x.

62. Calcule el área de la región dada en el problema 61 alintegrar con respecto ay.

63. Considere la región acotada por las gráficas de y =

2¿-1, y= ¿ y y = 2mostradas en la FIGURA3.2.12. Expreseel área de la región como integrales definidas primerousando integración con respecto a x y luego usando inte-gración con respecto a y. Escoja una de estas integralespara encontrar el área.

y y=2ex-I

1---!--7''--- y = 2

+------1-X1

FIGURA 3.2.12 Gráficas para el problema 63

= Problemas con calculadora/SAC64. Use una calculadora o un SAC para aproximar las coor-

denadas x de los puntos de intersección de las gráficasmostradas en la FIGURA 3.2.13. Encuentre un valor aproxi-mado del área de la región.

FIGURA 3.2.13 Gráficas para el problema 64

= Piense en ello65. El segmento de recta entre Q y R mostrado en la FIGURA

3.2.14 es tangente a la gráfica de y = l/x en el punto P.Demuestre que el área del triángulo QOR es independien-te de las coordenadas de P.

y

Q

-+-------~~xo R

FIGURA 3.2.14 Triángulo en el problema 65

66. Un trapezoide está acotado por las gráficas de f(x) =

Ax +B, x = a, x = b Y x = O. Muestre que el área del trape-. f(a) + f(b)

zoide es 2 (b - a).

Exprese el área de la región sombreada mostrada en laFIGURA 3.2.15 en términos del número a. Trate de ser unpoco perspicaz.

67.

-+------~~x

FIGURA 3.2.151

Gráficas para el problema 67

68. Suponga que los dos brochazos de pintura mostrados enla FIGURA 3.2.16 se hacen de una sola pasada usando unabrocha de ancho k, k> 0, sobre el intervalo [a, b]. En lafigura 3.2.l6b) se supone que la región pintada es parale-la al eje x. ¿Cuál brochazo tiene mayor área? Argu-mente su respuesta con una demostración matemáticasólida. ¿Puede plantear un principio general?

a) b)

FIGURA 3.2.16 Brochazos de pintura en el problema 68

= Proyectos69. El área más grande Los puntos A y B están sobre una

recta y los puntos C y D están sobre una recta paralela a laprimera recta. Los puntos en la FIGURA 3.2.17a) forman Unrec-tángulo ABCD. Los puntos C y D se mueven a la izquierdacomo se muestra en la figura 3.2.l7b) de modo queABC'D'forme un paralelogramo. Analice: ¿cuál tiene mayor área,el rectángulo ABCD o el paralelogramo ABC'D'?

D e D' C' D e

IT~A A 88

a) b)

FIGURA 3,2,17 Rectángulo y paralelogramo en el problema 69

70. Principio de Cavalieri Escriba un reporte breve acercadel principio de Cavalieri. Analice los problemas 68 y 69en su reporte.

3.3 Volúmenes de sólidos: método de las rebanadas 115

3.3 Volúmenes de sólidos: método de las rebanadasI Introducción La forma que indiscutiblemente viene a la mente al evocar las palabras cilin-dro recto es el cilindro circular recto; es decir, la conocida forma de una lata de aluminio. Sinembargo, un cilindro recto no necesita ser circular. Por geometría, un cilindro recto se definecomo un sólido acotado por dos regiones planas congruentes, en planos paralelos y una superfi-cie lateral que es generada por un segmento de recta perpendicular a ambos planos y cuyos extre-mos constituyen los límites de las regiones planas. Cuando las regiones son círculos, obtenemosel cilindro circular recto. Si las regiones son rectángulos, el cilindro es un paralelepípedo rectan-gular. Algo común a todos los cilindros, como los cinco mostrados en la FIGURA 3.3.1, es que suvolumen V está dado por la fórmula

V= B·h,

donde B denota el área de una base (es decir, el área de una de las regiones planas) y h denota laaltura del cilindro (es decir, la distancia perpendicular entre las regiones planas).

re::: B ~ h~-.L-I ------,-,1/ ~

1 Ih/ B )}hI V

~

B._',' r-- h

':::: ;

FIGURA 3.3.1 Cinco cilindros rectos diferentes

En esta sección se demostrará cómo es posible usar la integral definida para calcular volú-menes de ciertos tipos de sólidos, específicamente sólidos con sección transversal conocida. Lafórmula (1) es especialmente importante en el siguiente análisis.

I Método de rebanadas Suponga que Ves el volumen del sólido mostrado en la FIGURA 3.3.2acotado por planos que son perpendiculares al eje x en x = a y x = b. Además, suponga que cono-ce una función continua A(x) que proporciona el área de una región de sección transversal quese forma al rebanar el sólido por un plano perpendicular al eje x; en otras palabras, una rebana-da es la intersección del sólido y un plano. Por ejemplo, para a < XI < X2 < b las áreas de lassecciones transversales mostradas en la figura 3.3.2 son A(xl) y A(X2)' Con esto en mente, supon-ga que rebana al sólido en cortes delgados por planos paralelos (semejantes a rebanadas de pande caja comercial) de modo que el grosor o ancho de una rebanada es LlXk' Al usar cilindros rec-tos para aproximar los volúmenes de estas rebanadas es posible construir una integral definidaque proporcione el volumen V del sólido.

I Construcción de una integral Ahora considere rebanar el sólido en n rodajas. Si P es la par-tición

a = Xo < XI < X2 < ... < Xn = b

del intervalo [a, b] y Xk es un punto muestra en el k-ésimo subintervalo [Xk-" Xk], entonces unaaproximación al volumen del sólido sobre este subintervalo, o rebanada, es el volumen Vk del cilin-dro recto, que se muestra en la ampliación de la FIGURA 3.3.3. El área B de la base del cilindro rectoes el área A(xt) de la sección transversal y su altura h es LlXk de modo que por (1) su volumen es

Vk = área de la base' altura = A(Xt)(Xk - Xk-I) = A(Xk) LlXk'

Se concluye que la suma de Riemann de los volúmenes Vk = A(xt) LlXk de los n cilindros rectos,n n

L Vk = LA(xt) LlXhk= I k= I

es una aproximación al volumen V del sólido sobre [a, b]. Usamos la integral definida

lím ±A(xt) LlXk = ibA(X) dx~P\I->ok= I a

como definición del volumen V del sólido.

(1)

planos perpendiculares/alejex

FIGURA 3.3.2 Las regiones o lassecciones transversales tienenáreas conocidas

Una pieza de pan es una rodajaformada por dos rebanadas

(2)

• • • xXt-¡ x;x¡-l _bk 1-

FIGURA 3.3.3 El volumen de uncilindro recto es una aproximaciónal volumen de una rebanada

116 UNIDAD 3 Aplicacionesde la integral

al Un plano perpendicular al eje xcorta al sólido en un cuadrado

+--+-*-t+-x

b) Base circular del sólido

FIGURA 3.3.4 Sólido en elejemplo I

eje de revolucióna) Región

________--c...--L

b) SólidoFIGURA 3.3.5 Un sólido derevolución se forma al giraruna región plana R alrededorde un eje Ly

+-~----~~Xa b

FIGURA 3.3.6 Región a giraralrededor del eje x

Definición 3.3.1 Volumen por rebanadas

Sea V el volumen de un sólido acotado por planos perpendiculares al eje x en x = a y x = b.Si A(x) es una función continua que proporciona el área de una sección transversal del sólidoformado por un plano perpendicular al eje x en cualquier punto en el intervalo [a, b], entoncesel volumen del sólido es

V = fA (x) dx.a

(3)

Tenga presente que no hay nada especial sobre la variable x en (3); dependiendo de la geo-metría y el análisis del problema también es posible terminar con una integral f:A(y) dy.

~ Sólido con secciones transversales cuadradas

Para el sólido en la FIGURA 3.3.4a), las secciones transversales perpendiculares a un diámetro de unabase circular son cuadradas. Dado que el radio de la base es 4 pies, encuentre el volumen delsólido.

Solución Sean x y y ejes como se muestra en la figura 3.3.4a); a saber: el origen está en el cen-tro de la base circular del sólido. En esta figura, una sección transversal cuadrada se muestra per-pendicular al eje x. Puesto que la base del sólido es un círculo, tenemos x2 + l = 42• En la figu-ra 3.3.4b), la línea discontinua en Xk representa la sección transversal del sólido perpendicular aleje x en el subintervalo [Xk-h Xk] en una partición del intervalo [-4,4]. A partir de esto vemosque la longitud de un lado de la sección transversal cuadrada es 2Yk = 2Y16 - (Xt)2. Por tanto,el área de una sección transversal cuadrada es

A(xt) = (2Y16 - (Xt)2)2 = 64 - 4(Xkf

El volumen del cilindro recto que aproxima el volumen del sólido o rebanada en el subintervalo[Xk-h Xk] es

Vk = A(xt) ~Xk = (64 - 4(Xt)2) ~Xk'

Al formar la suma 2::~= IVk y tomar el límite cuando IIPII -+ O obtenemos la integral definida

V = f4(64 - 4x2)dx = 64x _ '±X3]4 = 512 _ (_512) = 1024.-4 3 -4 3 3 3 •

I Sólidos de revolución Si una región R en el plano .xy se hace girar alrededor de un eje L, segenera un sólido denominado sólido de revolución. Vea la FIGURA 3.3.5.

I Método del disco Como acaba de analizarse, el volumen V de un sólido puede encontrarsepor medio de una integral definida siempre que se conoce una función A(x) que proporciona elárea de una sección transversal formada al hacer pasar un plano por el sólido de forma perpen-dicular a un eje. En el caso de encontrar el volumen de un sólido de revolución, siempre es posi-ble encontrar A(x); el eje en cuestión es el eje de revolución L. Vemos que al rebanar el sólidopor medio de dos planos paralelos perpendiculares al eje de revolución, el volumen de las reba-nadas resultantes del sólido pueden aproximarse por cilindros circulares rectos que son discos oarandelas. A continuación se ilustrará la construcción de una integral de volumen usando discos.

I Construcción de una integral Sea R la región acotada por la gráfica de una función continuano negativa y = f(x) , el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, como se muestra en la FIGURA3.3.6. Si esta región se hace girar alrededor del eje x, encontramos el volumen V del sólido derevolución resultante.

Sea P una partición de [a, b] y seaxk cualquier número en el k-ésimo subintervalo [Xk-I, Xk]como se muestra en la FIGURA 3.3.7a). A medida que el elemento rectangular de ancho ~ Xk Yaltu-raf(xt) gira alrededor del eje x, genera un disco sólido. Luego, la sección transversal del sólidodeterminada por un plano que corta la superficie en Xk es un CÍrculo de radio r = f(xt), y así el


área de la sección transversal es A(xk) = 7T [f(xk)] 2. El volumen del cilindro circular recto, odisco sólido, de radio r = f(xk) y altura h = t:Uk es 7Tr2h o

Vk = A (x k) 6.Xk = 7T [f(xk) f 6. Xk·

La suma de Riemannn 11 11

LVk = LA (x k) 6.Xk = L7T[f(xk)]2 6.Xkk= I k= I k= I

representa una aproximación al volumen del sólido mostrado en la figura 3.3.7d). Esto sugiereque el volumen V del sólido de revolución está dado por

11

V = lím L7T[f(xk)]2 6.XkIIPlI-->Ok = 1

o bien, V= f7T[f(X)]2dx.a

(4)

y y y

x x

-11-!:J.xk = Xk-Xk-I

a) Región b) Disco e) n discos d) Sólido de revolución

FIGURA 3.3.7 Cuando el elemento rectangular en a) gira alrededor del eje x se genera el disco circular en b)

Si una región R se hace girar alrededor de algún otro eje, entonces (4) puede simplementeno ser aplicable al problema de encontrar el volumen del sólido resultante. En lugar de aplicaruna fórmula a ciegas, usted debe establecer una integral con sumo cuidado por medio del análi-sis de la geometria de cada problema. Un caso así se analizará en el ejemplo 6.

~ Método del disco

Encuentre el volumen V del sólido formado al girar alrededor del eje x la región acotada por lasgráficas de y = Vi, y = O Yx = 4.

Solución En la FIGURA 3.3.88) se muestra la región en cuestión. Luego, el área de una rebanadade la sección transversal xi es

A(xk) = 7T[f(xk)]2 = 7T[(xk)I/2]2 = 7TXk,

y así el volumen del disco correspondiente mostrado en la figura 3.3.8b) es

Vk = A (xk) 6.Xk = 7Txi 6.Xk.

Por tanto, el volumen del sólido es

14 1]4V = 7T xdx = 7T-X2 = 87T.

o 2 o

y y y

f(xV y=..[;. (4,2)

- I-t

x x

a) Región b) Disco

FIGURA 3.3.8 Región y sólido de revolución en el ejemplo 2e) Sólido de revolución

•


t==:v=s r-:x:

b) Esfera

FIGURA3.3.9 Semicírculo y

esfera en el ejemplo 3

l!&!iB Volumen de una esferaDemuestre que el volumen V de una esfera de radio r es V = 17T?

Solución Una esfera de radio r puede generarse al girar un semicírculo f(x) = Vr2 - x2 alre-dedor del eje x. Por la FIGURA 3.3.9 vemos que el área de una región de la sección transversal delsólido perpendicular al eje x en xi: es

A (x'/:) = 7T [f(x'/:)] 2 = 7T( Vr2 - (X'/:)2)2 = 7T(r2 - (X'/:)2)

x

y por tanto, el volumen de un disco es

Vk = A(x'/:) t:.Xk = 7T(r2 - (X'/:)2) t:.Xk'

Al usar (4) observamos que el volumen de la esfera es

V = Lr7T(r2 - X2) dx = 7T(r2x - ~x3) tr = 7T~r3 - (-7T~r3) = ~7Tr3. •

I Método de la arandela Sea R la región acotada por las gráficas de las funciones continuasy = f(x), y = g(x) y las rectas x = a y x = b, como se muestra en la FIGURA3.3.10a), que se hace giraralrededor del eje x. Entonces una rebanada perpendicular al eje x del sólido de revolución en xi:es una circular o anillo anular. Cuando el elemento rectangular de ancho t:.Xk que se muestra enla figura 3.3.lOa) gira alrededor del eje x, genera una arandela. El área del anillo es

A (x'/:) = área del CÍrculo - área del orificio= 7T[f(X'/:)]2 - 7T[g(X'/:)]2 = 7T([f(X'/:)]2 - [g(X'/:)]2)

y el volumen Vk de la arandela representativa mostrada en la figura 3.3.10b) es

Vk = A (x'/:) t:.Xk = 7T( [f(x'/:) ] 2 - [g (x'/:) ] 2) t:.Xk'

En consecuencia, el volumen del sólido es

V = r7T([f(X)]2 - [g(X)]2) dx.a

(5)

Observe que la integral en (5) se reduce a (4) cuando g(x) = O.

y

x

y

x

a) Región b) Arandela e) Sólido de revolución

FIGURA 3.3.10 Cuando el elemento rectangular en a) gira alrededor del eje x se genera la aran-dela circular en b)

l!JD!iJIIMétodo de la arandelaEncuentre el volumen V del sólido formado al girar alrededor del eje x la región acotada por lasgráficas de y = x + 2, Y= x, x = O Yx = 3.

Solución En la FIGURA 3.3.11al se muestra la región en cuestión. Luego, el área de una seccióntransversal del sólido correspondiente al plano perpendicular al eje x en xi: es

A(x'/:) = 7T(Xi: + 2)2 - (X'/:)2 = 7T(4xi: + 4).


Como se ve en la figura 3.3.lla) y b), un elemento rectangular vertical de ancho LlXh cuando sehace girar alrededor del eje x, produce una arandela cuyo volumen es

Vk = A (xt) Llx~ = 17(4xk + 4) LlXk.

El proceso usual de sumas y límites acostumbrado lleva a la integral definida para el volumen Vdel sólido de revolución:

V = 17f(4X + 4) dx = 17(2x2 + 4x) J: = 3017.

xx

y

x


FIGURA 3.3.11 Región y sólido de revolución en el ejemplo 4 •

~ Integración con respecto a yEncuentre el volumen V del sólido formado por la región que gira alrededor del eje x acotada porlas gráficas de y = Vx y y = x.

Solución Cuando el elemento rectangular horizontal en la FIGURA 3.3.12al gira alrededor del ejey genera una arandela de ancho LlYk. El área A(yt) de la región anular en Yk es

A (yk) = área del CÍrculo - área del orificio - 1

El radio del CÍrculo y el radio del hueco se obtienen al despejar, a su vez, y = x y y = Vx parax en términos de y:

Así, el volumen de una arandela es

Vk = A (yk) LlYk = 17«yt)2 - (yt)4) LlYk.

Usualmente sumando los Vk y tomando el límite de la suma cuando 11 PII ---+ O llevan a la integraldefinida para el volumen del sólido:

V = 17 (IC/_/)dy = 17(l/ _lyS)JI = J:....17.Jo 3 5 o 15

y

x

a) Región b) Arandela y sólido de revolución

FIGURA 3.3.12 Región y sólido de revolución en el ejemplo 5 •


y

2

x=4FIGURA3.3.13 Sólido derevolución en el ejemplo 6

I Revolución alrededor de una recta El siguiente ejemplo muestra cómo encontrar el volumende un sólido de revolución cuando una región se hace girar alrededor de un eje que no es uneje de coordenadas.

y entonces su volumen es

Vk = 7T(4 - Xt)2 LlYk'

Para expresar x en términos de y se usa y = Vx para obtener xi = (yt)2. En consecuencia,

Vk = 7T(4 - (yt)2)2 LlYk'

Eso conduce a la integral

v = 7Tf (4 - i)2 dy

= 7T fCl6 - si + l) dy

_ ( S 3 1 5)]2 _ 256- 7T l6y - 3Y + Sy o - 157T· •

~ Eje de revolución que no es un eje de coordenadasEncuentre el volumen V del sólido que se forma al girar la región alrededor de la recta x = 4 quese muestra en el ejemplo 2.

Solución El sólido de revolución en forma de domo se muestra en la FIGURA3.3.13. Por inspec-ción de la figura vemos que un elemento rectangular horizontal de ancho LlYk que es perpen-

~-=--__ --+ ....:.::~x dicular a la recta vertical x = 4 genera un disco sólido cuando gira alrededor de ese eje. El radior de ese disco es

r = (valor x más a la derecha) - (valor x más a la izquierda) = 4 - Xk,

DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-7.

= FundamentosEn los problemas 1 y 2, use el método de las rebanadas paraencontrar el volumen del sólido si se proporcionan sus seccio-nes transversales perpendiculares a un diámetro de una basecircular. Suponga que el radio de la base es 4.

1.

FIGURA3.3.14 Las secciones trans-versales son triángulos equiláteros

xFIGURA 3.3.15 Las secciones

y transversales son semicírculos

3. La base de un sólido está acotada por las curvas x = iy x = 4 en el plano xy. Las secciones transversales per-pendiculares al eje x son rectángulos para los cuales la .altura es cuatro veces la base. Encuentre el volumen delsólido.

4. La base de un sólido está acotada por la curva y = 4 - ~y el eje x. Las secciones transversales perpendicu-lares al eje x son triángulos equiláteros. Encuentre el vo-lumen del sólido.

5. La base de un sólido es un triángulo isósceles cuya basey altura miden, respectivamente, 4 y 5 pies. Las seccio-nes transversales perpendiculares a la altura son semi-CÍrculos. Encuentre el volumen del sólido.

6. Por el centro de una esfera sólida de radio r = 2 pies seperfora un orificio de 1 pie de radio. Encuentre el volu-men del sólido restante. Vea la FIGURA3.3.16.

y

-Ir= Ir-IIIIIIIIIIIII _----_l: ::J------

FIGURA3.3.16 Orificio a travésde la esfera en el problema 6

7. La base de un sólido es un triángulo isósceles recto for-mado por los ejes de coordenadas y la recta x + y = 3. Lassecciones transversales perpendiculares al eje y son cua-drados. Encuentre el volumen del sólido.

8. Suponga que la pirámide que se muestra en la FIGURA 3.3.17tiene altura h y base cuadrada de área B. Demuestre queel volumen de la pirámide está dado por A = 1hB. [Suge-rencia: Sea b la longitud de un lado de la base cuadrada.]

FIGURA 3.3.17 Pirámide en el problema 8

En los problemas 9-14, consulte la FIGURA 3.3.18. Use el mé-todo del disco o arandela para encontrar el volumen del só-lido de revolución que se forma al girar la región dada alre-dedor de la recta indicada.

9. R I alrededor de oe11. R2 alrededor de OA

13. R I alrededor de AB

10. R I alrededor de OA12. R2 alrededor de oe14. R2 alrededor de AB

yC I---------,B (1, 1)

o A

FIGURA 3.3.18 Regionespara los problemas 9-14

En los problemas 15-40, use el método del disco o de la aran-dela para encontrar el volumen del sólido de revolución quese forma al girar la región acotada por las gráficas de las ecua-ciones dadas alrededor de la recta o eje que se indica.

15. y = 9 - x2, y = O; eje x

16. y = x2 + 1, x = 0, y = 5; eje y1 1

17. Y = ~,x = 1,y = 2; ejey

1 118. Y = ~,x = 2'x = 3,y = O; ejex

19. y = (x - 2)2, X = 0, y = O; eje x

20. y = (x + 1)2, X = 0, y = O; eje y21. Y = 4 - x2, y = 1 - ~X2; eje x

22. y = 1 - x2, y = x2 - 1, x = 0, primer cuadrante; eje y


23. Y = x, y = x + 1, x = 0, y = 2; eje y

24. x + y = 2, x = 0, y = 0, y = 1; eje x25. y = v.x=-T,x = 5,y = O; x = 5

26. x = y2, X = 1; x = 1

27. Y = x1/3, X = 0, y = 1; Y = 2

28. x = -l + 2y, x = O; x = 2

29. x2 -l = 16,x = 5; ejey30. y = x2 - 6x + 9, Y = 9 - !X2; eje x

31. x = l, y = x - 6; eje y

32. Y = x3 + 1, x = 0, y = 9; eje y

33. Y = x3 - x, y = O; eje x

34. y = x3 + 1, x = 1, Y = O; eje x35. y = e-X, x = 1,y = 1; Y = 2

36. Y = e', y = 1, x = 2; eje x

37. y = [cos x], y = 0, 0:5 x :5 27r; eje x

38. y = secx, x = -7r/4, x = 7r/4, Y = O; eje x

39. y = tan x, y = 0, x = 7r/4; eje x

40. y = sen x, y = cos x, x = 0, primer cuadrante; eje x

= Piense en ello41. Relea los problemas 68-70 acerca del principio de

Cavalieri, en los ejercicios 3.2. A continuación muestreque los cilindros circulares de la FIGURA 3.3.19 tienen elmismo volumen.

Th

1

-r~

Th

1FIGURA 3.3.19 Cilindros en el problema 41

42. Considere el cilindro circular recto de radio a que semuestra en la FIGURA 3.3.20. Un plano inclinado a un ángu-lo () con respecto a la base del cilindro pasa por un diá-metro de la base. Encuentre el volumen de la cuña resul-tante que se corta del cilindro cuandoa) () = 45° b) () = 60°.

---''------FIGURA 3.3.20 Cilindro y cuñaen el problema 42


= Proyectos43. Para las aves Un modelo matemático para la forma de

un huevo puede obtenerse al girar la región acotada porlas gráficas de y = O Y la función f(x) = P(x)Vl=X2,donde P(x) = ax3 + bx2 + ex + d es un polinomio cú-bico, alrededor del eje x. Por ejemplo, un huevo de araocomún corresponde a P(x) = --D.07x3

- 0.02x2 + 0.2x +0.56. En la FIGURA3.3.21se muestra la gráfica de f obtenidacon ayuda de un SAC.

a) Encuentre una fórmula general para el volumen V deun huevo con base en el modelo matemáticof(x) = P(x)Vl=X2, donde P(x) = ax3 + bx2 + ex + d.[Sugerencia: Este problema puede resolverse concálculos manuales, aunque es lento y "confuso". Useun SAC para realizar la integración.]

b) Use la fórmula obtenida en el inciso a) para estimar elvolumen de un huevo de arao común.

e) Un huevo de somorgujo petirrojo corresponde aP(x) = -0.06x3 + 0.04x2 + O.lx + 0.54. Use unSAC para obtener la gráfica de f

d) Use el inciso a) para estimar el volumen de un huevodel arao común.

Huevos de arao común

FIGURA3.3.21 Modelo de la forma delhuevo de arao común en el problema 43

44. Ese sentimiento de hundirse Una bola esférica demadera de radio r flota en un estanque de agua tranquila.

Sea h la profundidad a que se hundirá la bola. Vea la FIGU-

RA 3.3.22.

a) Demuestre que el volumen de la porción sumergida dela bola está dado por V = 7Tr2h - 17Th3.

b) Suponga que el peso específico de la bola se denotapor Pbola Y que el peso específico del agua es Pagua

(medida en lb/pies:'). Si r = 3 pulg y Pbola = 0.4 Pagua'

use el principio de Arquímedes --el peso de la bola esigual al peso del agua desplazada- para determinarla profundidad aproximada h que se hundirá la bola.Necesita una calculadora o un SAC para resolver unaecuación de un polinomio cúbico.

h

tFIGURA3.3.22 Bola de maderaflotante en el problema 44

45. Sólidos de Steinmetz El sólido formado por dos cilin-dros circulares de radio r cuyos ejes se cortan formandoun ángulo recto se denomina bicilindro y es un casoespecial de los sólidos de Steinmetz. Por razones de cla-ridad se muestra la octava parte del sólido en la FIGURA

3.3.23.

a) Encuentre el volumen total del bicilindro ilustrado enla figura.

b) Escriba un breve reporte sobre los sólidos de Stein-metz.

y x

FIGURA3.3.23 Cilindros circularesrectos que se cortan en el problema 45

3.4 Volúmenes de sólidos: método de los cascarones• Introducción En esta sección continuamos el análisis de cómo encontrar volúmenes de sóli-dos de revolución. Pero en lugar de usar planos perpendiculares al eje de revolución para reba-nar el sólido en rodajas cuyo volumen puede aproximarse por cilindros circulares rectos regula-res (discos o arandelas), desarrollamos un nuevo método para encontrar volúmenes de sólidos derevolución que utiliza cascarones cilíndricos circulares. Antes de construir una integral querepresente el método de los cascarones es necesario encontrar el volumen del cascarón cilíndri-co general que se muestra en la FIGURA3.4.1. Si, como se observa en la figura, rl Y rz denotan res-pectivamente los radios interior y exterior del cascarón, y h es su altura, entonces su volumenestá dado por la diferencia .

volumen del cilindro exterior - volumen del cilindro interior= 7Tdh - 7TrTh = 7T(d - rT)h = 7T(r2 + rl)(r2 - rl)h.

FIGURA3.4.1 Cascarón cilíndrico

(1)

3.4 Volúmenes de sólidos: método de los cascarones 123

I Construcción de una integral En la sección 3.3 vimos que un elemento rectangular de áreaque es perpendicular a un eje de revolución genera, al girar, ya sea un disco circular o una aran-dela circular. No obstante, si hacemos girar el elemento rectangular mostrado en la FIGURA 3.4.281alrededor del eje y, generamos un cascarón hueco como se muestra en la figura 3.4.2b). Paraencontrar el volumen que se observa en la figura 3.4.2c), sea P una partición arbitraria del inter-valo [a, b]:

a = Xo < X¡ < X2 < ... < XII_¡ < XII = b.

La partición P divide el intervalo en n subintervalos [Xk-¡' Xk], k = 1,2, ... , n, de anchoÓ.Xk = Xk - Xk-¡' Si identificamos el radio exterior como rz = Xk Y el radio interior comor¡ = X¡'_I Y definimos xi: = ~(Xk + Xk-I), entonces xi: es el punto medio del subintervalo[Xk-¡' Xk]' Con la identificación adicional h = f(xi:) por (1) se concluye que el volumen repre-sentativo del cascarón en la figura 3.4.2b) puede escribirse como

Vk = 7T(Xk + Xk-I)(Xk - Xk-I)h

o bien,

Xk + Xk-I= 27T 2 h(Xk - Xk-I)

Vk = 27TXkf(xf:) Ó.Xk·

Una aproximación al volumen del sólido está dada por la suma de Riemann11 11

LVk = L27TXkf(xi:) Ó.Xk·k= I k= I

(2)

Cuando la norma IIPII de la partición tiende a cero, el límite de (2) es una integral definida quese usa como la definición del volumen V del sólido:

V = 27T fXf(X) dx.a

(3)

yy y

---+------- Xx x

C;.Xk = Xk - Xk _ I


FIGURA 3.4.2 Cuando el elemento rectangular en a) gira alrededor del eje y se genera el cascarón en b)

Como se mencionó en las Notas desde el aula al final de la sección 3.2, no es posible obte-ner una integral, que en este caso representa el volumen de un sólido de revolución, que "fun-cione" en todos los casos posibles. De nuevo se apremia al lector a que no memorice una fórmu-la particular como (3). Intente comprender la interpretación geométrica de las componentes delintegrando. Por ejemplo,f(x), que representa la altura del rectángulo en la figura 3.4.2, puede serla diferencia f(x) - g(x) si el elemento rectangular está entre las gráficas de dos funcionesy = f(x) y y = g(x),f(x) 2: g(x). Para establecer una integral para un problema dado sin aden-trarse en un tedioso análisis, considere que un cascarón es una delgada lata de aluminio a la quese han quitado las partes superior e inferior. Para encontrar el volumen de la concha (es decir, elvolumen del metal en la analogía de la lata de aluminio), imagine que la lata se corta en formarecta a lo largo de su lado y que se aplana como se ilustra en la FIGURA 3.4.381 Yb). Como se mues-tra en la figura 3.4.3c), entonces el volumen de la concha es el volumen de este sólido regular:

volumen = (longitud) . (ancho) . (grosor)

= (circunferencia del cilindro)' (altura) . (grosor)

= 27T rht. (4)


Vuelva a leer el ejemplo 5 en lasección 3.3 antes de abordar esteejemplo.

~ 27Tr------o>...

'~ ~¡l ¡

e) El resultado es un sólido rectangulara) La arandela se corta por su lado b) Se aplanaFIGURA 3.4.3 Determinación del volumen de un cascarón

~ USOdel método de los cascaronesUse el método de los cascarones para encontrar el volumen V del sólido que se forma al giraralrededor del eje y la región acotada por las gráficas de y = \IX y y = x.

Solución Este problema se resolvió en el ejemplo 5 de la sección 3.3. En ese ejemplo vimosque usar un elemento rectangular horizontal perpendicular al eje y de ancho IlYk generaba unaarandela al girarlo alrededor del eje y. En contraste, cuando un elemento rectangular vertical deancho IlXk gira alrededor del eje y genera un cascarón. Con ayuda de la FIGURA 3.4.4al en (4) sehace la identificación r = Xk,

h = gráfica superior - gráfica inferior = V4 - Xk'

y t = IlXk. A partir del volumen del cascarón,

Vk = 27TXt( V4 - xi) IlXk = 27T( (xk)3/2 - (xk)2) IlXh

obtenemos la integral definida al determinar el volumen del sólido:

V = 27T i1

(X3/2

- x2) dx

= 27T(~X5/2 - .!.x3)]1

= 27T5 3 o 15·

y

(1,1)

+--~---~x

h=M-x't~~-;.'~: _', __ -,.-.,t .•._ ...

(....\ I '.--'•..•. ~ __ 1 __ '_'"

xa) Región IJ) Cascarón y sólido de revolución

FIGURA 3.4.4 Región y sólido de revolución en el ejemplo 1 •No siempre es conveniente o incluso posible usar los métodos del disco o de la arandela ana-

lizados en la última sección para encontrar el volumen de un sólido de revolución.

l!Imi!iB Uso del método de los cascaronesEncuentre el volumen V del sólido que se forma al girar alrededor del eje y la gráfica de y = sen X2

y y = O, O :s x :s V7T.Solución La gráfica de y = sen X2 sobre el intervalo indicado en la FIGURA 3.4.5 se obtuvo conayuda de un SAC.

Si elegimos usar un elemento rectangular horizontal para girarlo alrededor del eje y, se gene-raría una arandela. Para determinar los radios interior y exterior de la arandela sería necesariodespejar x en y = sen X2 en términos de y. Aunque esto simplemente lleva a X2 como un senoinverso, plantea un problema práctico: por ahora no es posible integrar una función trigonomé-

3.4 Volúmenes de sólidos: método de los cascarones 125

trica inversa. Por tanto, atendemos al elemento rectangular vertical mostrado en la figura 3.4.5a).Cuando este elemento gira alrededor del eje y, se genera un cascarón con radio r = Xk, alturah = sen(xt)2 y grosor t = LlXk' Por (4), el volumen del cascarón es

Vk = 27TXk sen (Xt)2 LlXk'

Así, por (3) se tiene

fV7T

V = 27T o x sen X2 dx.

Si u = x2, entonces du = 2x dx y x dx = ~duo Los límites de integración u se determinan a partirdel hecho de que cuando x = O, u = O Yx = Vii, u = 7T.En consecuencia, el volumen del sóli-do de revolución mostrado en la figura 3.4.5b) es

V = 7Ti1Tsen u du = -7T COS u J: = 7T(l + 1) = 27T.

y = senx2

y

r--_III

II

I

I

+-~------~~----------~x'x*r=xt--l k

a) Región b) Sólido de revoluciónFIGURA 3.4.5 Región y sólido de revolución en el ejemplo 2 •

En el siguiente ejemplo ilustramos el método de los cascarones cuando una región gira alre-dedor de una recta que no es un eje de coordenadas.

~ Eje de revolución que no es un eje de coordenadasEncuentre el volumen V del sólido que se forma al girar la región acotada por las gráficas dex = l - 2y Yx = 3 alrededor de la recta y = l.

Solución En este caso, un elemento rectangular de área perpendicular a una recta horizontal quegire alrededor de la recta y = 1 generaría un disco. Puesto que el radio del disco no se mide desdeel eje x sino desde la recta y = 1, sería necesario resolver x = l - 2y para y en términos de X.Este inconveniente puede evitarse si se usa un elemento horizontal de área, que entonces generaun cascarón como el que se muestra en la FIGURA 3.4.6b). Observe que cuando x = 3, la ecuación3 = l - 2y, o en forma equivalente (y + I)(y - 3) = O,tiene las soluciones -1 y 3. Por tanto,sólo es necesario partir el intervalo [1, 3] sobre el eje y. Después de hacer las identificacionesr = Yk - 1, h = 3 - Xk y t = LlYb por (4) se concluye que el volumen de un cascarón es

Vk = 27T(Yk - 1)(3 - Xk)LlYk

= 27T(Yk - 1)(3 - (yk)2 + 2yk)LlYk

= 27T(_(yk)3 + 3(Yk)2 + Yk - 3)LlYk'

y

(= Ó.Yk = Yk - Yk - I

...r-c--7'.~.rx x

-l f-h=.3-xk'

a) Región b) CascarónFIGURA 3.4.6 Región, cascarón y sólido de revolución en el ejemplo 3

e) Sólido de revolución


A partir de la última línea se observa que el volumen del sólido es la integral definida

V = 27T fC-y3 + 3y2 + Y - 3)dy

= 27T( _¡y4 + i + ~/ - 3Y) r= 27T[ (- ~l + 27 + ~ - 9) - (-¡ + l + ~ - 3)] = 87T. •


= FundamentosEn los problemas 1-6, consulte la FIGURA 3.4.7. Use el métodode los cascarones para encontrar el volumen del sólido derevolución que se forma al girar la región dada alrededor de larecta indicada.

1. RI alrededor de OC

3. R2 alrededor de BC

5. R I alrededor de AB

2. R I alrededor de OA4. R2 alrededor de OA6. R2 alrededor de AB

\'t 1--------=,.,8 (1, 1)

-+-------~xo A

FIGURA 3.4.7 Regionespara los problemas 1-6

En los problemas 7-30, use el método de los cascarones paraencontrar el volumen del sólido de revolución que se forma algirar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones da-das alrededor de la recta o eje que se indica.

7. y = x, x = 0, y = 5; eje x

8. y = l - x, x = 0, y = O; Y = -2

9. Y = x2, X = 0, y = 3, primer cuadrante; eje x

10. y = x2, X = 2, Y = O; eje y

11. Y = x2, X = 1, Y = O; x = 3

12. Y = x2, y = 9; eje x

13. y = x2 + 4, x = 0, x = 2, Y = 2; eje y

14. Y = x2- 5x + 4, Y = O; eje y

15. Y = Cx - 1)2, Y = 1; eje x

16. y = (x - 2)2, Y = 4; x = 4

17. Y = xl/3, X = 1, Y = O; Y = -1

18. Y = xl/3 + l,y = -x + l,x = 1; x = 1

19. Y = x~, y = x; eje y

20. Y = x2, y = x; x = 2

21. Y = - x3 + 3x2, y = 0, primer cuadrante; eje y

22. Y = x3 - x, y = 0, segundo cuadrante; eje y

23. Y = x2- 2, Y = -x2 + 2, x = 0, segundo y tercer cua-

drantes; eje y

24. Y = x2- 4x, y = - x2 + 4x; x = - I

25. x = / - 5y, x = O; eje x

26. x = l + 2, Y = x - 4, Y = 1; eje x27. y = x3, y = X + 6, x = O; eje y28. Y = Vx,y = VI="X,y = O; ejex

29. y=senx2,x=0,y= 1; ejey30. y = eX',y = O,X = O,x = 1; ejey

En los problemas 31-36, la región en el inciso a) gira alrede-dor del eje indicado, generando el sólido que vemos en elinciso b). Escoja entre los métodos del disco, de la arandela ode los cascarones para encontrar el volumen del sólido derevolución.

31. y

--1''-----'-~x

a)

FIGURA 3.4.8

b) ConoRegión y sólido para el problema 3 l

32. h,(r2' O)

a) b) Tronco

FIGURA 3.4.9 Región y sólido para el problema 32

33. y

8----~ --------

-t--~x

a)

FIGURA 3.4.10

b) EsferaRegión y sólido para el problema 33

= Aplicaciones37. Un cubo cilíndrico de radio r que contiene un líquido gira

alrededor del eje y con velocidad angular constante w. Esposible mostrar que la sección transversal del líquido estádada por y = w2x2j(2g), = r :5 x :5 r, donde g es la ace-leración debida a la gravedad. Use el método de los cas-carones para encontrar el volumen V del líquido en ellíquido giratorio dado que la altura del cubo es h. Vea laFIGURA 3.4.14.

38. En el problema 37, determine la velocidad angular w parala cual el fluido entra en contacto con el fondo del cubo.¿Cuál es el volumen V correspondiente del líquido?

34. y

-+--'--'-'--+--' x

a)

FIGURA 3.4.11b) Sector esférico

Región y sólido para el problema 34

35. y 2 2 2 2x la + y lb = 1,Y2:0

I \I \I I\ I\ I

-<---t---'-t+-x

a) b) Esferoide alargado

FIGURA 3.4.12 Región y sólido para el problema 35

36. y

3.5 Longitud de arco 127

y

rh

l/------líquido

x21a2 + ilb2 = 1,X2:0

r>:~

---1f----+~ x

a) b) Esferoide achatadoFIGURA 3.4.13 Región y sólido para el problema 36

FIGURA 3.4.14 Cubo en los problemas 37 y 38

3.5 Longitud de arcoI Introducción Si una función y = f(x) tiene una primera derivada continua sobre un intervalo[a, b], entonces se dice que la gráfica es suave y fse denomina función suave. Como el nombrelo implica, una gráfica suave carece de picos. En el análisis que sigue se establece una fórmulaformal de la longitud L, o longitud de arco, de una gráfica suave sobre un intervalo [a, b]. Veala FIGURA 3.5.1.

I Construcción de una integral Sean f que tiene una gráfica suave sobre [a, b] Y P una parti-ción arbitraria del intervalo:

a = Xo < XI < X2 < ... < x,,_ ¡ < x" = b.

Como de costumbre, sean !::..Xkel ancho del k-ésimo subintervalo y IIPII el ancho del subinterva-lo más grande. Como se muestra en la FIGURA 3.5.281, es posible aproximar la longitud de la gráfi-ca sobre cada subintervalo [Xk- lo xd al encontrar la longitud Lk de la cuerda entre los puntos(Xk-¡,f(Xk-¡)) y (Xk,f(Xk)) para k = 1, 2, ... , n. Por la figura 3.5.2b), la longitud Lk se obtiene apartir del teorema de Pitágoras:

Lk = V(!::..Xk)2 + (!::..Yk)2 = V(Xk - Xk_¡)2 + (f(Xk) - f(Xk-I))2. (1)

Por el teorema del valor medio sabemos que en cada subintervalo abierto xi existe un número(Xk-¡, Xk) tal que

o bien,

Al usar la última ecuación.j'(x.) - f(Xk-¡) sustituimos en (1) y simplificamos:

Lk = V(Xk - Xk_¡)2 + [f'(xk)]2(Xk - Xk_¡)2

V(Xk - xk-I)2(1 + [f'(xk)]2)

VI + [f'(xk)]'2(Xk - Xk-¡)

VI + [f'(xk)]2 !::..Xk'

x

yy = f(x)

L

-t-~------~xa b

FIGURA 3.5.1 Determinación dela longitud L de la gráfica de fsobre [a, b]

II

I II II II I

a) 11 cuerdas

-t-l'v-+-----t+-xxi : I Xk

b) Acercamiento a la cuerdasobre el k-ésimo subintervalo

FIGURA 3.5.2 Aproximación dela longitud de una gráfica alsumar las longitudes de cuerdas


y

4

3

2

~--+-+-xl

FIGURA 3.5.3 Gráfica dela [unción en el ejemplo I

La suma de Riemann

n "2: t; = 2: VI + [f'(xk)]2 LlXkk= 1 k= 1

representa la longitud de la curva poligonal que une (a,f(a)) y (b,f(a)), y proporciona una apro-ximación a la longitud total de la gráfica de [a, b]. Cuando IIPII -+ O, obtenemos

lím ±VI + [f'(xk)]2 LlXk = fb VI + [f'(X)]2 dx.IIP11--.0 k = 1 a

El análisis anterior sugiere usar (2) como la definición de la longitud de la gráfica sobre el inter-valo.

(2)

Definición 3.5.1 Longitud de arco

Seafuna función para la cual!, es continua sobre un intervalo [a, b]. Entonces la longitud Lde la gráfica de y = f(x) sobre el intervalo está dada por

L = rVI + [f'(X)]2 dx. (3)

La fórmula para la longitud de arco (3) también se escribe como

L = r~l+ (ixY dx.a

(4)

Se dice que una gráfica que tiene longitud de arco es rectificable.

~ Longitud de una curvaEncuentre la longitud de la gráfica y = 4X3/2 del origen (O, O) al punto (1, 4).

Solución La gráfica de la función sobre el intervalo [O, 1] se muestra en la FIGURA 3.5.3. Luego,

dy = 6XI/2dx

es continua sobre el intervalo. En consecuencia, por (4) se concluye que

L = f VI + [6XI/2f dx

= f(l + 36x)I/2dx

= .l..JI(l + 36x)I/2(36dx)36 o

= 5~ (l + 36x)3/2]~ = 5~[373/2 - 1] = 4.1493. •I Diferencial de longitud de arco Si e es una curva suave definida por y = f(x), entonces lalongitud de arco entre un punto inicial (a,f(a)) y un punto variable (x,f(x)), donde a ::; x ::; b,está dada por

s(x) = rVI + [f'(t)]2 dt,

donde t representa una variable de integración ficticia. Resulta evidente que el valor de la inte-gral en (5) depende de x, por lo que se denomina función de longitud de arco. Luego, por (IO)de la sección 1.5, dsf dx = Vl + [f'(X)]2 y, en consecuencia,

ds = VI + [f'(X)]2 dx. (6)

(5)

3.5 Longitud de arco 129

La última función se denomina diferencial de la longitud de arco y puede usarse para aproxi-mar longitudes de curvas. Con dy = I'(x) dx, (6) puede escribirse como

o bien, (7)En la FIGURA 3.5.4 se muestra que la diferencial ds puede interpretarse como la hipotenusa de untriángulo rectángulo con catetos dx y dy.

Si (3) se escribe L = Jds para abreviar y la curva e se define por x = g(y), e :s:::y :s:::d,entonces la última expresión en (7) puede usarse para resolver dsldy: ~--~--~----+x

o

x X+LlxFIGURA 3.5.4 Interpretacióngeométrica de la diferencial de lalongitud de arco

Por tanto, la integración con respecto a y análoga de (4) es

Vea los problemas 17 y 18 en los ejercicios 3.5.

NOTAS DESDE EL AULA

(8)

A menudo, la integral en (3) lleva a problemas en los cuales se requieren técnicas espe-ciales de integración. Vea la unidad 2. Pero aun con estos procedimientos ulteriores, 110

siempre es posible evaluar la integral indefinida JVI + [f'(x) F dx en términos de lasconocidas funciones elementales, incluso para algunas de las funciones más simplescomo y = x2. Vea el problema 45 en los ejercicios 2.7.

DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-l.

=FundamentosEn los problemas 1-12, encuentre la longitud de la gráficade la función dada sobre el intervalo indicado. Use una calcu-ladora o un SAC para obtener la gráfica.

1. y = x; [ -1, 1] 2. Y = 2x + 1; [O, 3]

3. Y = X3/2 + 4; [O, 1] 4. Y = 3X2/3; [1,8]

2S. y=3(x2+ 1)3/2; [1,4]

6. (y + 1)2 = 4(x + 1)3; [-1, O]

[1, 4] 1 18. y = (¡x3 + 2x; [2,4]

1 5 110. y = SX + 12x3; [1, 2][2, 3]

[1, 8]2:S:::x<33 :s::: x < 10; [2,15]10 :s::: x :s::: 15

En los problemas 13-16 establezca, pero no evalúe, una inte-gral para la longitud de la función dada sobre el intervalo indi-cado.

13. Y = X2;

15. y = sen x;

14.y=2VX+T; [-1,3]

16. Y = tan x; [-7T/4,7T/4]

[-1,3]

[O, 7T]

En los problemas 17 y 18, use (8) para encontrar la longitudde la gráfica de la ecuación dada sobre el intervalo indicado.17. x = 4 - //3; [0,8]

18. 5x = l/2 + 5y-I/2; [4,9]

19. Considere la longitud de la gráfica de x2/3 + //3 = 1 enel primer cuadrante.

a) Muestre que el uso de (3) conduce a un integrandodiscontinuo.

b) Suponga que el teorema fundamental del cálculopuede usarse para evaluar la integral obtenida en elinciso a) y encuentre la longitud total de la gráfica.

20. Establezca, pero no intente evaluar, una integral que pro-porcione la longitud total de la elipse x2/a2 + //b2 = 1,a> b > O.

21. Dado que la circunferencia de un CÍrculo de radio r es27Tr, encuentre el valor de la integral

fl 1o~dx.

22. Use la diferencial de la longitud de arco (6) para aproxi-mar la longitud de la gráfica de y = !X4 desde (2, 4) hasta(2.1, 4.862025).


FIGURA 3.6.2 Tronco de un cono

3.6 Área de una superficie de revoluciónI Introducción Como se ha visto en las secciones 3.3 y 3.4, cuando una gráfica de una funcióncontinua y = f(x) sobre un intervalo [a, b] gira alrededor del eje x, genera un sólido de revolu-ción. En esta sección tenemos interés en encontrar el área S de la superficie correspondiente; esdecir, una superficie de revolución sobre [a, b] como se muestra en la FIGURA3.6.1bl.

y Yt (b.f(b»

(a.f(a»

\

x H--- xa al

I

b) Superficiea) Gráfica

FIGURA 3.6.1 Superficie de revolución

I Construcción de una integral Antes de construir una integral definida para la definición delárea de una superficie de revolución, se requiere una fórmula para el área lateral (excluyendo las par-tes superior e inferior) de un tronco de un cono circular recto. Vea la FIGURA 3.6.2. Si rl Y r2 son losradios de las partes superior e inferior y L es la altura oblicua, entonces el área lateral está dada por

(1)

Vea el problema 17 en los ejercicios 3.6. Ahora suponga que y =f(x) es una función suave y quef(x) 2:: O sobre el intervalo [a, b]. Sea P una partición del intervalo:

a = Xo < XI < X2 < ... < Xn-I < Xn = b.

Luego, si unimos con una cuerda los puntos (Xk-I,f(Xk-I)) y (Xk,f(Xk)) mostrados en la FIGURA3.6.3al, formamos un trapezoide. Cuando el trapezoide gira alrededor del eje X, genera un tronco deun cono con radiosf(xk_l) y f(Xk)' Vea la figura 3.6.3b). Como se muestra en la sección transver-sal en la figura 3.6.3c), la altura oblicua puede obtenerse a partir del teorema de Pitágoras:

V(Xk - XH)2 + (f(Xk) - f(Xk_I))2.

yy = f(x)

a) Trapezoide b) Tronco e) Vista lateral del troncoFIGURA 3.6.3 Aproximación del área de la superficie de revolución al sumar áreas de troncos

3.6 Área de una superficie de revolución 131

donde LlXk = x, - Xk-I' Esta última cantidad es una aproximación al área verdadera de la super-ficie de revolución sobre el subintervalo [Xk- J, xd.

Luego, así como en el análisis de la longitud de arco, se invoca el teorema del valor mediopara derivadas a fin de afirmar que en el intervalo abierto xi hay un (Xk-I, Xk) tal que

La suma de Riemann11 n

Ls, = 1TL [f(Xk) + f(xk-I)] \11 + [f'(xk)]2 LlXkk;1 k;1

es una aproximación al área S sobre [a, b]. Esto sugiere que el área superficial S está dada porel límite de la suma de Riemann:

1/

S = lím 1TL [f(Xk) + f(xk-I)] \h + [f'(xk)]2 LlXk'11111->0 k; 1

Puesto que también se espera que f(Xk-l) y f(Xk) tiendan al límite comúnf(x) cuando IIPII ~ 0,tenemos j'(r.) + f(Xk-l) ~ 2f(x).

El análisis anterior sugiere usar (2) como la definición del área de la superficie de revolu-ción sobre el intervalo.

Definición 3.6.1 Área de una superficie de revolución

Sean f una función para la cual f' es continua y f(x) 2:: ° para toda x en el intervalo [a, b]. Elárea S de la superficie que se obtiene al girar la gráfica de f sobre el intervalo alrededor del ejex está dada por

S = 21T ff(x)\h + [f'(x)]2 dx. (3)a

_ Área de una superficie

Encuentre el área S de la superficie que se forma al girar la gráfica de y = VX sobre el interva-lo [1,4] alrededor del eje x.

Solución Se tiene f(x) = XI/2,f'(X) = !X-I/2 T 1/(2VX), y por (3)

S = 21Trvx) 1 + (2~Y dx

= 21T rVX~1 + 4~dx

= 21TJ4VX~4X + 1 dx1 4x

= 1TrV4X+T dx

1 J4 1= -1T (4x + 1)1/2(4 dx) = -1T(4x +416

= i1T [l73/2 - 53/2] = 30.85.

Vea la FIGURA 3.6.4.

(2)

•

y

x

FIGURA 3.6.4 Superficie derevolución alrededor del eje xen el ejemplo I


I Revolución alrededor del eje y Es posible mostrar que si la gráfica de una función continuay = ¡(x) sobre [a, b], O:::; a < b, gira alrededor del eje y, entonces el área S de la superficie derevolución resultante está dada por

S = 27T'fX\/¡ + [f'(x)]2 dx.a

(4)

Así como en (3), en (4) se supone quef'(x) es continua sobre el intervalo [a, b].

~ Área de una superficieEncuentre el área S de la superficie que se forma cuando la gráfica de y = xl

/3 sobre el interva-lo [0, 8] gira alrededor del eje y.

Solución Se tienef'(x) = 1X-2/3, de modo que por (4) se concluye que

S = 27T'fx) I + iX-4/3 dx

_ 189X

4/3 + 1 dx- 27T' X 4/3

o 9x2 (8

= 37T'Jo

XI/3V9x4

/3 + 1 dx.

La última integral se evaluará al revisar el método de sustitución u. Si hacemos u = 9x4/3 + 1,

entonces du = 12xl/3 dx, dx = 12x-'/3 du, x = ° implica u = 1, Yx = 8 proporciona u = 145. Enconsecuencia,

(8.2)

-------+--------~XFIGURA 3.6.5 Superficie derevolución alrededor del eje yen el ejemplo 2

1 JI45 1 ]145 1S = --7T' UI/2 du = --7T'U3/2 = --7T'(1453/2 -18 I 27 I 27

Vea la FIGURA 3.6.5.

13/2) = 203.04.

•


= FundamentosEn los problemas 1-10, encuentre el área de la superficie quese forma al girar cada gráfica sobre el intervalo dado alrede-dor del eje indicado.

1. y = 2vX, [0, 8]; eje x

2. y = v'X+T, [1, 5]; eje x

3. y = x3, [0, 1]; eje x4. y = XI/3, [1, 8]; eje y

5. y = x2 + 1, [0,3]; ejey

6. y = 4 - x2, [0,2]; eje y

7. y = 2x + 1, [2,7]; ejex

8. y = V16- x2, [O, 0]; eje y

1 4 19. y = -4x + -2' [1,2]; eje y8x

_ 1 3 I .10. y - 3x + 4x' [1,2], ejex

11. a) La forma de una antena de disco es una parábola quegira alrededor de un eje de simetría, denominada pa-

raboloide de revolución. Encuentre el área superfi-cial de una antena de radio r y profundidad h queobtenemos al girar la gráfica de ¡(x) = rVl - x/halrededor del eje x. Vea la FIGURA 3.6.6.

b) La profundidad de una antena de disco varía de 10 a20% de su radio. Si la profundidad h de la antena delinciso a) es 10% del radio, muestre que el área super-ficial de la antena es aproximadamente la misma queel área de un CÍrculo de radio r. ¿Cuál es el error por-centual en este caso?

y

r

-+---t,h""--X,

II,,

Las antenas de disco son paraboloides derevolución

FIGURA 3.6.6 Gráficade f en el problema I I

12. La superficie formada por dos planos paralelos que cor-tan una esfera de radio r se denomina zona esférica.Encuentre el área de la zona esférica que se muestra en laFIGURA 3.6.7.

FIGURA 3.6.7 Zona esférica en el problema 12

13. La gráfica de y = Ix + 21sobre [-4,2], mostrada en laFIGURA 3.6.8, gira alrededor del eje x. Encuentre el área S dela superficie de revolución.

y

y = Ix+21

2-4FIGURA 3.6.8 Gráfica de la función en el problema 13

14. Encuentre el área de superficie que se forma al girarx2/3 + //3 = a2/3, [-a, a], alrededor del eje x.

= Piense en ello

15. Demuestre que el área superficial lateral de un cono circu-lar recto de radio r y altura oblicua L es 1TrL. [Sugeren-cia: Cuando un cono se corta por el lado y se aplanaforma un sector circular con área 1L20.]

16. Use el problema 15 para mostrar que el área superficiallateral de un cono circular recto de radio r y altura h estádada por 1TrVr2 + h2. Obtenga el mismo resultado usan-do (3) o (4).

17. Use el problema 15 para obtener la fórmula (1). [Suge-rencia: Considere un cono completo de radio r2 Y alturaoblicua ~. Corte la parte cónica superior. Puede ser deayuda considerar triángulos semejantes.]

18. Muestre que el área superficial del tronco de un cono circu-lar recto de radios r, Y r2 Y altura h está dada por1T(r, + r2)Vh2 + (r2 - r,)2.

3.7 Valor promedio de una función

3.7 Valor promedio de una función 133

19. Sea y = f(x) una función no negativa continua sobre [a, b]cuya primera derivada es continua sobre el intervalo.Demuestre que si la gráfica de f gira alrededor de unarecta horizontal y = L, entonces el área S de la superficiede revolución resultante está dada por

S = 21T rIf(x) - LIVI + [f'(x) f dx.

20. Use el resultado del problema 19 para encontrar una inte-gral definida que proporcione el área de la superficie quese forma al girar y = X2/3, [1, 8], alrededor de la rectay = 4. No evalúe.

= Proyectos21. Una vista desde el espacio

a) Desde una nave espacial en órbita alrededor de laTierra a una distancia h de la superficie terrestre, unastronauta puede observar sólo una porción As delárea total del área superficial de la Tierra, Ae. Vea laFIGURA 3.6.981. Encuentre una fórmula para la expresiónfraccionaria As! Ae como una función de h. En la figu-ra 3.6.9b) se muestra la Tierra en sección transversalcomo un círculo con centro e y radio R. Sean los ejesx y y como se muestra y sean YB y YE = R las coorde-nadas y de los puntos B y E, respectivamente.

b) ¿Qué porcentaje de la superficie de la Tierra ve unastronauta desde una altura de 2000 km? Considereque el radio terrestre es R = 6 380 km.

e) ¿A qué altura h el astronauta ve un cuarto de la super-ficie de la Tierra?

d) ¿Cuál es el límite de As! Ae cuando la altura h crece sincota (h ~ oo)? ¿Por qué la respuesta tiene sentidointuitivo?

e) ¿Qué porcentaje de la superficie terrestre ve un astro-nauta desde la Luna si h = 3.76 X 105 km?

yS

h

a)FIGURA 3.6.9

b)Porción de la superficie terrestre en el problema 21

I Introducción Todos los estudiantes saben qué es un promedio. Si un estudiante presenta cua-tro exámenes en un semestre y sus calificaciones porcentuales son 80, 75, 85 y 92%, entoncessu promedio puntaje es

80 + 75 + 85 + 924


yf(3) = 9

f(3) = O +"'--I----+--+-+_ X3

FIGURA 3.7.1 Determinación delpromedio de todos los númerosindicado sobre el eje y

o bien, 83%. En general, dados n número al, a2, ... , a.; se dice que u media aritmética o pro-medio, e

al + a2 + ". + all _ 1~- L.. ak'

n nk= I(1)

En esta sección se extiende el concepto de un promedio discreto como (1) al promedio de todoslos valores de una función continua definida sobre un intervalo [a, b] .

I Promedio de valores funcionales Ahora suponga que tenemos una función continuaf defi-nida sobre un intervalo [a, b]. Para los números x.; i = 1,2, ... , n escogidos de manera arbitra-ria de modo que a < XI < X2 < ... < x" < b, entonces por (1) el promedio del conjunto devalores funcionales es

f'-(x----'I_)_+..::...f_(X..::...2)_+_·._. _+...:...f_(x~lI)_ 1~- L..f(Xk)·n n k=\

(2)

Si ahora se considera el conjunto de valores funcionales f(x) que corresponde a todos los núme-ros X en un intervalo, debe resultar evidente que no es posible usar una suma discreta como en(1), puesto que este conjunto de valores funcionales suele ser un conjunto no numerable. Porejemplo, paraf(x) = x2 sobre [0,3], los valores de la función varían desde un mínimo de feO) = Ohasta un máximo de f(3) = 9. Como se indica en la FIGURA 3.7.1, de manera intuitiva es de esperarque exista un valor entero promedio fpro tal que feO) '5, fpro '5, f(3).

I Construcción de una integral Volviendo al caso general de una función continua definidasobre un intervalo cerrado [a, b], sea P una partición regular del intervalo en n subintervalos deancho Llx = (b - a)/n. Si xi es un número escogido en cada subintervalo, entonces el promedio

f(xt) + f(xt) + ... + f(x~)11

puede escribir e como

f(xt) + f(xi) + ... + f(x~)b-a

Llx

puesto que n = (b - a)/ Llx. Al volver a escribir (3) como

(3)

l 11

b - a ~f(xt) Llx

y tomar el límite de esa expresión como IIPII = Llx ---* O, obtenemos la integral definida

l (bb - a J f(x) d.x.

a

(4)

Debido a que se ha supuesto quefes continua sobre [a, b], su mínimo absoluto y su máxi-mo absoluto sobre el intervalo se denotarán por m y M, respectivamente. Si la desigualdad

m '5,f(xt) '5, M

se multiplica por Llx > O Y se suma, obtenemos

11 " 11L m Llx '5, Lf(xt) Llx '5, L M Llx.k= \ k= \ k= \

Debido a que 2:;= \ Llx = b - a, la desigualdad precedente equivale a11

(b - a)m '5, Lf(xt) Llx '5, (b - a)M.k=\

y a Í cuando Llx ---* O, se concluye que

(b - a)m '5, ff(X) d.x '5, (b - a)M.{/

3.7 Valor promedio de una función 135

A partir de la última desigualdad concluimos que el número obtenido a partir de (4) satisface

1 Jbm :5 b _ a f(x):5 M.a

Por el teorema del valor intermedio, f asume todos los valores entre m y M. Por tanto, el núme-ro obtenido a partir de (4) en realidad corresponde a un valor de la función sobre el intervalo.Esto sugiere plantear la siguiente definición.

Definición 3.7.1 Valor promedio de una función

Sea y = f(x) continua sobre [a, b]. El valor promedio de f sobre el intervalo es el número

1 Jbfpro = b _ a f(x) dx.a

(5)

Aunque principalmente se tiene interés en funciones continuas, la definición 3.7.1 es válidapara cualquier función integrable sobre el intervalo.

~ Determinación de un valor promedioEncuentre el valor promedio de f(x) = x2 sobre [O, 3].

Solución Por (5) de la definición 3.7.1, obtenemos

fpro = 3 ~ Ofx2dx = ~GX3)]: = 3.

Algunas veces es posible determinar el valor de x en el intervalo que corresponde al valorpromedio de una función.

~ Determinación de x correspondiente a fproEncuentre el valor de x en el intervalo [O, 3] que corresponde al valor promedio fpro de la fun-ciónf(x) = x2•

Solución Puesto que la funciónf(x) = x2 es continua sobre el intervalo cerrado [O, 3], por elteorema del valor intermedio sabemos que entre O y 3 existe un número e tal que

f(e) = e2 = fpro" Y

Pero, por el ejemplo 1, sabemos quefpro = 3. Por tanto, la ecuación e2 = 3 tiene las solucionese = ± v'3. Como se muestra en la FIGURA 3.7.2, la única solución de esta ecuación en [O, 3]es e = v'3. •

I Teorema del valor medio para integrales definidas A continuación se presenta una conse-cuencia inmediata del análisis anterior. El resultado se denomina teorema del valor medio paraintegrales.

Teorema 3.7.1 Teorema del valor medio para integrales

Sea y = f(x) continua sobre [a, b]. Entonces en el intervalo abierto (a, b) existe un número etal que

f(e)(b - a) = ff(X) dx.a

(6)

En el caso en quef(x) ~ Opara toda x en [a, b], el teorema 3.7.1 se interpreta fácilmente entérminos de área. El resultado en (6) simplemente establece que en (a, b) existe un número e parael cual el área A de un rectángulo de alturaf(e) y ancho b - a mostrado en la FIGURA 3.7.3a) es lamisma que el área A bajo la gráfica indicada en la figura 3.7.3b).

y

•fpro= 3 ----

+,,--+---'-f---+-'- xe =..J3 3

FIGURA 3.7.2 fpco es el valorfuncional fC\l3) en el ejemplo 1

-+--------~------~+xa e bf--b-a--j

a)

y

A

-+--~------------~.-xa b

b)

FIGURA 3.7.3 El área A del rec-tángulo es la misma que el áreabajo la gráfica sobre [a, b1


~ Determinación de x correspondiente a fpro

Encuentre la alturaf(e) de un rectángulo de modo que el área A bajo la gráfica de y = x2 +sobre [-2,2] sealamismaquef(e)[2 - (-2)] = 4f(e).

Solución Básicamente, éste es el mismo tipo de problema ilustrado en el ejemplo 2. Así, elárea bajo la gráfica mostrada en la FIGURA3.7.4al es

J2 (1 )]2 28A = (x2 + 1) dx = -.J + x = -.-2 3 -2 3

También, 4f(e) = 4(e2 + 1), de modo que 4(e2 + 1) = ~ implica e2 = 1. Las dos solucionese, = 2/V3 Y e2 = -2/V3 están en el intervalo (-2, 2). Para cualquier número, observamos quela altura del rectángulo esf(e,) = f(e2) = (±2/V3)2 + 1 = ~.El área del rectángulo mostradoen la figura 3.7.4b) esf(e)[2 - (-2)] = ~. 4 =~.

y y=x2+1

--, -1 7, , fCe) =-: i/ 3: :

-2 2 2 2e=-.J3 e=.J3

a) Área bajo la gráfica b) Área del rectánguloFIGURA 3.7.4 El área en a) es la misma que el área en b) en el ejemplo 3 •

DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-B.

= FundamentosEn los problemas 1-20, encuentre el valor promedio fpro de lafunción dada sobre el intervalo indicado.

1. f(x) = 4x; [ - 3, 1]

3. f(x) = x2 + 10; [O, 2]

4. f(x) = 2.J - 3x2 + 4x - 1; [ - 1, 1]

5. f(x) = 3x2 - 4x; [-1,3] 6.f(x) = (x + 1)2; [0,2]

7. f(x) = Xl; [-2,2] 8. f(x) = x(3x - 1)2; [0,1]

9. f(x) = \IX; [O, 9] 10. f(x) = v'5X+l; [O, 3]

( 1)'/31[O, 3] 12. f(x) = 1 + ~ x2; [t 1]

14. f(x) = x2/3 - x-2/3; [1,4]

2.f(x) = 2x + 3; [-2,5]

11. f(x) = xYx2 + 16;

1 ["]13. f(x) = i 4' 2

215. f(x) = 2; [3,5]

(x + 1)

17.f(x) = senx; [-7T,7T] 18.f(x)=cos2x; [O,7T/4]

19. f(x) = csc2 x; [7T/6, 7T/2] 20. f(x) = se~ 7TX; [-1,1]cos 7TX

('\IX - 1)316. f(x) = Vx ; [4,9]

En los problemas 21 y 22, encuentre un valor e en el interva-lo dado para el cual f(e) = fpro'21. ftx) = x2 + 2x; (-1, 1) 22. f(x) = Vx+3; [1,6]

23. El valor promedio de una función no negativa continuay = f(x) sobre el intervalo [1, 5] es fpro = 3. ¿Cuál es elárea bajo la gráfica sobre el intervalo?

24. Para f(x) = l - Vx, encuentre un valor de b tal quefpro = O sobre [O, b]. Interprete geométricamente.

= Aplicaciones25. La función T(t) = 100 + 3t - 1(2 aproxima la tempera-

tura a las t horas después de mediodía en un día típico deagosto en Las Vegas. Encuentre la temperatura mediaentre el mediodía y las 6 p.m.

26. Una empresa determina que las ganancias obtenidas des-pués de la venta de x unidades de un producto están dadaspor R(x) = 50 + 4x + 3x2• Encuentre el promedio delas ganancias para ventas de x = 1 a x = 5. Compare elresultado con el promedio ~L¡=, R(k).

27. Sea s(t) la posición de una partícula sobre un eje horizon-tal como una función del tiempo t. La velocidad media tidurante el intervalo de tiempo [t" t2] es ti = [S(t2) -s(t,)]/(t2 - ti)' Use (5) para demostrar que Vpro = ti.[Sugerencia: Recuerde que dsldt = v.]

. 28. Cuando no hay amortiguamiento, la posición de unamasa m sobre un resorte que vibra libremente está dadapor la función x(t) = A cos(wt + 4», donde A, w y 4> son

constantes. El periodo de oscilación es 2'TT/ w. La energíapotencial del sistema es U(x) = ~kx2, donde k es la cons-tante del resorte. La energía cinética del sistema esK = ~mv2, donde v = dxf dt. Si w2 = k/m, muestre que laenergía potencial media y la energía cinética media sobreun periodo son las mismas y que cada una es igual a ~kA2.

29. En física, el teorema impulso-cantidad de movimientoestablece que el cambio del impulso de un cuerpo sob~un intervalo de tiempo (to, ti] es mv¡ - mvo = (t¡ - to)F,donde mvo es la cantidad de impulso inicial, mv¡ es lacantidad de impulso final y F es la fuerza media queactúa sobre el cuerpo durante el intervalo. Encuentre elcambio en el impulso de un martinete que se deja caersobre un apilamiento entre los instantes t = O Y t = t¡ si

F(t) = k[ 1 - (;¡t - 1Yldonde k es una constante.

30. En una arteria pequeña, la velocidad del torrente sanguí-neo (en cm/s) está dada por ver) = (P/4vl))(R2

- r2),O :5 r :5 R, donde P es la presión sanguínea, v es la vis-cosidad de la sangre, 1 es la longitud de la arteria y R esel radio de la arteria. Encuentre el promedio de ver)sobre el intervalo [O, R].

= Piense en ello31. Si Y =f(x) es una función impar continua, entonces, ¿cuál

es fpro sobre cualquier intervalo [- a, a] ?

32. Para una función lineal f(x) = ax + b, a > O, b > O, elvalor promedio de la función sobre [XI, X2] es fpro =

aX + b, donde X es algún número en el intervalo.Conjeture el valor de X. Demuestre su afirmación.

33. Si Y = f(x) es una función diferenciable, encuentre elvalor promedio de t' sobre el intervalo [x, x + h], dondeh>O.

34. Dado que n es un entero positivo ya> 1, muestre que elvalor promedio de f(x) = (n + l)x" sobre el intervalo[1, a] es fpro = a" + an-1 + . . . + a + l.

35. Suponga que y = f(x) es una función continua y quefpro es su valor promedio sobre [a, b]. Explique: f:[f(x) - fpro] dx = O.

36. Sea f(x) = lx J la función entero mayor o función piso.Sin integración, ¿cuál es el promedio de f sobre [O, l]?

3.8 Trabajo

3.8 Trabajo 137

¿y sobre [O, 2]? ¿Y sobre [O, 3]7 ¿Y sobre [O, 4]?Conjeture el valor promedio defsobre el intervalo [O, n],donde n es un entero positivo. Demuestre su afirmación.

37. Como se muestra en la FIGURA3.7.5, una cuerda se trazaaleatoriamente entre dos puntos del círculo de radior = l. Analice: ¿cuál es la longitud media de las cuerdas?

cuerda

FIGURA3.7.5 Círculo en el problema 37

= Proyectos38. Miembros humanos La siguiente fórmula se usa a

menudo para aproximar el área superficial S de un miem-bro humano:

S = circunferencia media X longitud del miembro.

a) Como se muestra en la FIGURA3.7.6, un miembro puedeconsiderarse como un sólido de revolución. Para mu-chos miernbros.Y'(x) es pequeña. Si If'(x) I :5 e paraa :5 x :5 b, muestre quer2'TTf(x) dx :5 S :5 ~ r2'TTf(x) dx.

a a

b) Muestre que eL :5 S :5 ~ CL, donde C es lacircunferencia media del miembro sobre el intervalo[a, b]. Así, la fórmula de aproximación planteada antessiempre subestima a S pero funciona bien cuando e espequeño (como para el antebrazo a la muñeca).

f(x)

l. L ,1FIGURA3.7.6 Modelo de un miembroen el problema 38

I Introducción En física, cuando una fuerza constante F mueve un objeto a una distancia d enla misma dirección de la fuerza, el trabajo realizado se define como el producto

w= Fd. (1)

Por ejemplo, si una fuerza de 10 lb mueve un objeto 7 pies en la misma dirección de la fuerza,entonces el trabajo realizado es 70 pies-lb. En esta sección veremos cómo encontrar el trabajorealizado por una fuerza variable.

Antes de examinar el trabajo como integral definida, revisaremos algunas unidades impor-tantes.


Fuerza F(x) = la1----+-Estirado xunidades

Longitudnatural

IIII¡•

o x'---,,----'

Elongación

FIGURA 3.8.1 Para estirar unresorte x unidades se requiere unafuerza F(x) = la

I Unidades En la tabla siguiente se enumeran unidades de uso común de fuerza, distancia ytrabajo.

Cantidad

newton (N)metro (m)newton-metro (joule)

dinacentímetro (cm)dina-centímetro (ergio)

Sistema ingenieril SI cgs

FuerzaDistanciaTrabajo

libra (lb)pie (pie)pie-libra (pie-lb)

Por tanto, si una fuerza de 300 N mueve 15 m un objeto, el trabajo realizado es W = 300 . 15 =4 500 N-m o 4 500 joules. Para efectos de comparación y conversión de una unidad a otra, seobserva que

1 N = 105 dinas = 0.2247 lb1 pie-lb = 1.356 joules = 1.356 X 107 ergios.

De modo que, por ejemplo, 70 pies-lb equivalen a 70 X 1.356 = 94.92 joules, y 4500 joulesequivalen a 4 500/1.356 = 3318.584 pies-lb.

I Construcción de una integral Ahora, si F(x) representa una fuerza variable continua queactúa sobre un intervalo [a, b], entonces el trabajo no es simplemente un producto como en (1).Suponga que P es la partición

a = Xo < XI < X2 < . . . < Xn = b

Y D..Xkes el ancho del k-ésimo subintervalo [Xk-I, Xk] . Sea Xk el punto muestra escogido de mane-ra arbitraria en cada subintervalo. Si el ancho de cada [Xk-I, Xk] es muy pequeño, entonces, pues-to que F es continua, los valores funcionales F(x) no pueden variar mucho en el subintervalo.Por tanto, puede considerarse en forma razonable que la fuerza actúa sobre [Xk-I> xd como laconstante F(xt) y que el trabajo realizado desde Xk-I hasta Xk está dado por la aproximación

Wk = F(xt) D..Xk'

Entonces, una aproximación al trabajo total realizado desde a hasta b está dada por la suma deRiemann

" 11LWk = F(xj) D..XI + F(xi) D..X2+ ... + F(x~) D..xn = LF(Xk) D..hk= I k= I

Resulta natural suponer que el trabajo realizado por F sobre el intervalo esn

W = lím LF(xt) D..Xk·~PII->ok= I

El análisis anterior se resume en la siguiente definición.

Definición 3.8.1 Trabaio

Sea F continua sobre el intervalo [a, b] y sea F(x) la fuerza en un número x en el intervalo.Entonces el trabajo W realizado por la fuerza para mover un objeto de a a b es

W = fF(X) dx. (2)

Nota: Si F es constante, F(x) = k para toda x en el intervalo, entonces (2) se vuelveW = Jh k dx = kx]~ = k(b - a), lo cual es consistente con (1).a

I Problemas de resortes La ley de Hooke establece que cuando un resorte se estira (o compri-me) más allá de su longitud natural, la fuerza de reconstitución ejercida por el resorte es direc-tamente proporcional a la cantidad de elongación (o compresión) x. Así, para estirar un resorte xunidades más allá de su longitud natural es necesario aplicar la fuerza

F(x) = kx, (3)

donde k es una constante de proporcionalidad denominada constante del resorte. Vea la FIGURA 3.8.1.

~ Alargamiento de un resortePara estirar un resorte de 50 cm se requiere una fuerza de 130 N. Encuentre el trabajo realizadopara estirar el resorte 20 cm más allá de su longitud natural (sin estirar).

Soluci6n Cuando una fuerza se mide en newtons, las distancias suelen expresarse en metros.Puesto que x = 50 cm = ~m cuando F = 130 N, (3) se vuelve 130 = km, lo que implica quela constante del resorte es k = 260 N/m. Por tanto, F = 260x. Luego, 20 cm = k m, de modoque el trabajo realizado para estirar el resorte por esta cantidad es

11/5 .]1/5 26W = o 260x dx = 130x2 o = 5= 5.2 joules.

Nota: Suponga que la longitud natural del resorte en el ejemplo 1 es de 40 cm. Una forma equi-valente de plantear el problema es: encuentre el trabajo realizado para estirar el resorte hasta unalongitud de 60 cm. Puesto que la elongación es 60 - 40 = 20 cm = k m, se integra F = 260xsobre el intervalo [O, k). No obstante, si el problema fuese encontrar el trabajo realizado para esti-rar el mismo resorte de 50 cm a 60 cm, entonces se integraría sobre el intervalo [10, kl En estecaso se inicia desde una posición en que el resorte ya está estirado 10 cm (10 m).

I Trabajo realizado contra la gravedad A partir de la ley de gravitación universal, la fuerzaentre un planeta (o satélite) de masa mI Y un cuerpo de masa m2 está dada por

donde k es una constante denominada constante gravitacional, y r es la distancia desde el cen-tro del planeta de masa m2' Vea la FIGURA 3.8.2. Para elevar la masa m2 desde la superficie de unplaneta de radio R hasta una altura h, el trabajo puede realizarse al usar (4) en (2):

fR+hkmlm2 ( 1)]R+h (1 1)W = R -r-2-dr = km.m, --;. R = km.m, R - R + h .

En unidades SI, k = 6.67 X 10-11 N . m2/ kg". En la tabla de la derecha se proporcionan algu-nas masas y valores de R.

Trabaio realizado ara subir una car a útilEl trabajo realizado para subir una carga útil de 5 000 kg desde la superficie de la Tierra hastauna altura de 30000 m (0.03 X 106 m) se concluye por (5) y la tabla precedente:

W = (6.67 X 10-11)(6.0 X 1024)(5000)( 1 _ 1 )6.4 X 106 6.43 X 106

= 1.46 X 109 joules.

I Problemas de bombeo Cuando un líquido que pesa p lb/pie" se bombea desde un tanque, eltrabajo realizado para mover un volumen fijo o una capa de líquido d pies en una dirección ver-tical es

W = fuerza distancia = (peso por unidad de volumen) . (volumen) . (distancia)

o bien, W = p : (volumen) . d.~

fuerza

En física, la cantidad p se denomina peso específico del fluido. Para agua, p = 62.4 lb/pie.', o9800 N/m3

.

En los varios ejemplos siguientes se usará (6) para construir la integral idónea a fin deencontrar el trabajo realizado al bombear agua desde un tanque.

3.8 Trabajo 139

•

r

(4)

FIGURA 3.8.2 Levantamiento deuna masa m2 hasta una altura h

(5)Planetas mI (en kg) R (en m)

Venus 4.9 X 1024 6.2 X 106

Tierra 6.0 X 1024 6.4 X 106

Luna(satélite) 7.3 X 1022 1.7 X 106

Marte 6.4 X 1023 3.3 X 106

•

(6)


l!lDIil!iJII Trabajo realizado para bombear aguaUn tanque hemisférico de radio de 20 pies está lleno de agua hasta una profundidad de 15 pies.Encuentre el trabajo realizado para bombear toda el agua hasta la parte superior del tanque.

Solución Como se muestra en la FIGURA3.8.3, hacemos que el eje x positivo esté dirigido ha-cia abajo y el origen se fija en el punto medio de la parte superior del tanque. Puesto que lasección transversal del tanque es un semicírculo, x y y están relacionadas por x2 + l =(20)2, O :S x :S 20. Ahora suponga que el intervalo [5, 20], que corresponde al agua sobre el ejex, se parte en n subintervalos [Xk-J, xd de ancho D.Xk. Sea xt cualquier punto muestra en elk-ésimo subintervalo y sea Wk una aproximación al trabajo realizado por la bomba al hacer subiruna capa circular de agua de grosor D.Xk hasta la parte superior del tanque. Por (6) se concluyeque

Wk = [62.4 7T(yt)2 D.Xk] . xt," ./ ~

f ••~l._ distancia

donde (yt)2 = 400 - (Xt)2. Por tanto, el trabajo realizado por la bomba es aproximado por lasuma de Riemann

1J 112: Wk = 2: 62.47T[400 - (xtf] xt D.Xk·k= I k= I

El trabajo realizado para bombear toda el agua hasta la parte superior del tanque es el limite deesta última expresión cuando 11pll -+ O; es decir,

I20 (1 )]20W = 5 62.47T(400 - x2)x dx = 62.47T 200x2 - ¡x4 5 = 6 891 869 pies-lb.

xFIGURA3.8.3 Tanque hemisférico en el ejemplo 3 •

Merece la pena continuar el análisis del ejemplo 3 para el caso en que el eje x positivo se tomeen la dirección hacia arriba y el origen esté en el punto medio de la parte inferior del tanque.

~ Solución alterna del ejemplo 3Con los ejes como se muestra en la FIGURA3.8.4, vemos que una capa circular de agua debe subir-se una distancia de 20 - xt pies. Puesto que el centro del semicírculo está en (20, O), ahora x yy están relacionadas por (x - 20)2 + l = 400. Entonces,

Wk = (62.47T(yt)2 D.Xk) . (20 - xt)~~

fuerza distancia

= 62.47T[400 - (x - 20)2 ](20 - xt) D.Xk

x

FIGURA3.8.4 Tanque hemisférico en el ejemplo 4

y así

W = 62.47T fS [400 - (x - 20)2](20 - x) dx

= 62.47TfS(X3 - 60x2 + 800x) dx.

Observe los nuevos límites de integración; esto se debe a que el agua mostrada en la figura 3.8.4corresponde al intervalo [O, 15] sobre el eje vertical. Usted debe comprobar que el valor de Weneste caso es el mismo que en el ejemplo 3. •

~ Otro repaso al ejemplo 3En el ejemplo 3, encuentre el trabajo realizado para bombear toda el agua hasta un punto 10 piespor arriba del tanque hemisférico.

Solución Como en la figura 3.8.3, el eje x positivo se ubica hacia abajo. Luego, por la FIGURA

3.8.5 vemosWk = (62.47T(ytf ~Xk) . (lO + xt)

= 62.47T[400 - (Xt}2] (10 + xt) ~Xk'

Por tanto,

(20W = 62.47T J

s(400 - x2)(lO + x) dx

f20

= 62.47T S (-x3 - lOx2 + 400x + 4000) dx

(1 10 )]20= 62.47T -¡- x4

- 3x3 + 200x2 + 4000x s

= 13508063 pies-lb.

I Problemas con cables El siguiente ejemplo ilustra el hecho de que cuando se calcula el tra-bajo realizado para subir un objeto por medio de un cable (cuerda pesada o cadena), el peso delcable debe tomarse en cuenta.

~ Subida de un elevadorUn cable que pesa 6 lb/pie está conectado a un elevador de construcción que pesa 1 500 lb.Encuentre el trabajo realizado para subir el elevador hasta una altura de 500 pies.

Solución Puesto que el peso del elevador es una fuerza constante, por (1) se concluye que eltrabajo realizado para subir el elevador hasta una altura de 500 pies es simplemente

WE = (1 500) . (500) = 750000 pies-lb.

El peso del cable es la fuerza variable. Sea Wc el trabajo realizado para subir el cable. Como semuestra en la FIGURA 3.8.6, suponga que el eje x positivo está dirigido hacia arriba y que el inter-valo [O, 500] se parte en n subintervalos con longitudes ~Xk' A una altura de xt pies del suelo,un segmento de cable correspondiente al subintervalo [Xk-h xd pesa 6~Xk y es necesario jalar-lo 500 - xt pies adicionales. Por tanto, es posible escribir

(Wdk = (6 ~Xk) . (500 - xt) = (3000 - 6xt) ~Xk'---.,.--/f '---v----"d"

uerza Istanciay así

Wc = rOO(3000 - 6x) dx = (3000x - 3x2) ]:00 = 750000 pies-lb.

Por tanto, el trabajo total realizado para subir el elevador es

W = WE + Wc = 1500000 pies-lb.

3.8 Trabajo 141

¡10.-----'--+----,-+y

Ó.Xk

FIGURA 3.8.5 Tanque hemisféricoen el ejemplo S

oFIGURA 3.8.6 Cable en elejemplo 6

•

•

x

SOO


T500-x

l::!I&!iJII Solución alterna del ejemplo 6Éste es un análisis ligeramente más rápido del ejemplo 6. Como se muestra en la FIGURA 3.8.7,cuando el elevador está a una altura de x pies, es necesario jalarlo 500 - x pies adicionales. Lafuerza necesaria para subirlo a esa altura es

x

1 500 + 6(500 - x) = 4500 - 6x.'---v--/ ~peso del pesoelevador del cable

x

Así, por (2) el trabajo realizado es

15°O

W = o (4500 - 6x) dx = 1500000 pies-lb.

FIGURA3.8.7 Elevador en losejemplos 6 y 7

•


=Fundamentos1. Encuentre el trabajo realizado cuando una fuerza de 55 lb

mueve un objeto 20 yd en la misma dirección de la fuerza.

2. Una fuerza de 100 N se aplica a un objeto a 30° medidos conrespecto a la horizontal. Si el objeto se mueve 8 cm horizon-talmente, encuentre el trabajo realizado por la fuerza.

3. Una masa que pesa 10 lb estira 1pie un resorte. ¿Cuántoestira una masa que pesa 8 lb el mismo resorte?

4. La longitud natural de un resorte es 0.5 m. Una fuerza de50 N estira el resorte una longitud de 0.6 m.

a) ¿Qué fuerza se requiere para estirar el resorte x m?b) ¿Qué fuerza se requiere para estirar el resorte una lon-

gitud de 1 m?e) ¿Cuánto mide de largo el resorte cuando lo estira una

fuerza de 200 N?

5. En el problema 4:

a) Encuentre el trabajo realizado al estirar 0.2 m el resorte.b) Encuentre el trabajo realizado para estirar el resorte

desde una longitud de 1 m hasta una longitud de 1.1 m.

6. Se requiere una fuerza de F = ~x lb para estirar x pulgadicionales un resorte de 10 pulg.

a) Encuentre el trabajo realizado al estirar el resortehasta una longitud de 16 pulg.

b) Encuentre el trabajo realizado para estirar el resorte16 pulg.

7. Una masa que pesa 10 lb está suspendida de un resorte de2 pies. El resorte es estirado 8 pulg y luego se retira la masa.

a) Encuentre el trabajo realizado al estirar el resortehasta una longitud de 3 pies.

b) Encuentre el trabajo realizado para estirar el resorte des-de una longitud de 4 pies hasta una longitud de 5 pies.

8. Una fuerza de 50 lb comprime por 3 pulg un resorte de15 pulg de largo. Encuentre el trabajo realizado al com-primir el resorte hasta una longitud final de 5 pulg.

9. Encuentre el trabajo realizado para subir una masa de.10 000 kg desde la superficie terrestre hasta una alturade 500 km.

10. Encuentre el trabajo realizado para subir una masa de50 000 kg en la superficie de la Luna hasta una alturade 200 km.

11. Un tanque en forma de cilindro circular recto se llena conagua. Las dimensiones del tanque (en pies) se muestranen la FIGURA3.8.8. Encuentre el trabajo realizado para bom-bear toda el agua a la parte superior del tanque.

~

T12

1--- .•.••.

FIGURA 3.8.8 Tanquecilíndrico en el problema II

12. En un tanque en forma de cono circular recto, con el vérti-ce hacia abajo, se vierte agua hasta una profundidad igual ala mitad de su altura. Las dimensiones del tanque (en pies)se muestran en la FIGURA3.8.9. Encuentre el trabajo realizadopara bombear toda el agua a la parte superior del tanque.[Sugerencia: Suponga que el origen es el vértice del cono.]

T1

FIGURA 3.8.9 Tanque cónico en el problema 12

13. Para el tanque cónico en el problema 12, encuentre el tra-bajo realizado para bombear toda el agua hasta un puntosituado a 5 pies por arriba del tanque.

14. Suponga que el tanque cilíndrico en el problema 11 es hori-zontal. Encuentre el trabajo realizado para bombear toda elagua hasta un punto situado a 2 pies por arriba del tanque.[Sugerencia: Vea los problemas 55-58 en los ejercicios 3.2.]

15. Un tanque tiene secciones transversales en forma de trián-gulos isósceles con el vértice hacia abajo. Las dimensionesdel tanque (en pies) se muestran en la FIGURA 3.8.10. En-cuentre el trabajo realizado para llenar el tanque al intro-ducirle agua a través de un orificio en el fondo por mediode una bomba situada a 5 pies por abajo del vértice.

j-6-j

T4-.l

FIGURA 3.8.10 Tanque consecciones transversalestriangulares en el problema 15

16. Una tina horizontal con sección transversal semicircularcontiene aceite cuya densidad es 80 lb/pie.'. Las dimen-siones del tanque (en pies) se muestran en la FIGURA 3.8.1!.Si la profundidad del aceite es de 3 pies, encuentre el tra-bajo realizado para bombear todo el aceite hasta la partesuperior del tanque.

~FIGURA 3.8.11 Tina semicircular en el problema 16

17. La cadena de 100 pies de un ancla, que pesa 20 lb/pie,cuelga verticalmente del lado de un barco. ¿Cuánto traba-jo se realiza al jalar 40 pies de la cadena?

18. Un barco está anclado en 200 pies de agua. En el agua, elancla del barco pesa 3 000 lb Y la cadena del ancla pesa40 lb/pie. Si la cadena cuelga verticalmente, ¿cuánto tra-bajo se realiza al jalar 100 pies de la cadena?

19. Un cubo de arena que pesa 80 lb se levanta verticalmen-te por medio de una cuerda y una polea hasta una alturade 65 pies. Encuentre el trabajo realizado si

a) el peso de la cuerda es despreciable yb) la cuerda pesa ~ lb/pie.

20. Un cubo, que originalmente contiene 20 pies" de agua, selevanta verticalmente a partir del nivel del suelo. Si en elcubo hay una fuga de agua a razón de ~ pie.' por pie ver-tical, encuentre el trabajo realizado para subir el cubohasta una altura en que esté vacío.

21. La fuerza de atracción entre un electrón y el núcleo de unátomo es inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia que los separa. Si la distancia inicial entre unnúcleo y un protón es 1 unidad, encuentre el trabajo rea-lizado por una fuerza externa que mueve el electrón unadistancia igual a cuatro veces la distancia de separaciónoriginal.

22. En su lanzamiento, un cohete que pesa 2 500 000 lb llevaun transbordador espacial de 200 000 lb. Suponga que enlas etapas iniciales del lanzamiento el cohete consumecombustible a razón de 100 lb/pie.

3.8 Trabajo 143

a) Exprese el peso total del sistema en términos de su alti-tud por arriba de la superficie terrestre. Vea la FIGURA3.8.12.

b) Encuentre el trabajo realizado para que el sistema lleguea una altitud de 1 000 pies.

x

FIGURA 3.8.12 Cohete en el problema 22

23. En termodinámica, si un gas confinado en un cilindro seexpande contra un pistón de modo que el volumen delgas cambia de VI a V2, entonces el trabajo realizado sobreel pistón está dado por W = J"'pdv, donde p es la pre-sión (fuerza por unidad de áre~'). Vea la FIGURA 3.8.13. Enuna expansión adiabática de un gas ideal, la presión y elvolumen están relacionados por pv" = k, donde y y k sonconstantes. Muestre que si y *' 1, entonces

W = :.....P.=..2V-'2'-----'P_I'-V_1

1 - Y

gas

FIGURA 3.8.13 Pistón en el problema 23

24. Muestre que cuando un cuerpo de peso rng se eleva ver-ticalmente desde un punto YI hasta un punto Y2, Y2 > YI>el trabajo realizado es el cambio en energía potencialW = rngY2 - mgy..

= Piense en ello25. Cuando una persona empuja sobre una pared inmóvil con

una fuerza horizontal de 75 lb, ¿cuánto trabajo realiza?

26. En la FIGURA 3.8.14 se muestra la gráfica de una fuerzavariable F. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza almover una partícula desde x = O hasta x = 6.

FIGURA 3.8.14

l/l. x(en m)

Gráfica de la fuerza en el problema 26


27. Un poco de historia: Una gran verdadera historiaEn 1977, George Willig, conocido como la "Mosca huma-na" o el "Hombre araña", escaló la parte exterior de la torresur del edificio del World Trade Center en Nueva York hastauna altura de 1 350 pies en 3.5 h a razón de 6.4 pies/minoEn esa época Willig pesaba 165 lb. ¿Cuánto trabajo realizóGeorge? (Por su esfuerzo, fue multado con $1.10; 1 centa-vo por cada uno de los 110 pisos del edificio.)

28. Un cubo que contiene agua pesa 200 lb. Cuando el cuboes levantado por una cuerda, en su parte inferior hay unafuga a razón constante, de modo que cuando el cubo llegaa una altura de 10 pies pesa 180 lb. Suponga que el pesode la cuerda es despreciable. Analice: explique por qué200 ; 180 . 10 = 1 900 pies/lb es una aproximación razo-nable al trabajo realizado. Sin integración, muestre que la"aproximación" anterior es también el valor exacto deltrabajo realizado.

29. Como se muestra en la FIGURA 3.8.15, un cuerpo de masa mes movido por una fuerza horizontal F sobre una superfi-cie sin fricción desde una posición XI hasta una posiciónX2. En esos puntos respectivos, el cuerpo se mueve a velo-cidades VI y V2, donde V2 > VI. Muestre que el trabajo

FIGURA 3.8.15 Masa en el problema 29

realizado por la fuerza es el incremento en energía ciné-tica W = 1mv~-1mvT. [Sugerencia: Use la segunda leyde Newton, F = ma, y exprese la aceleración a en térmi-nos de la velocidad v. Integre con respecto al tiempo t yhaga una sustitución.]

30. Como se muestra en la FIGURA3.8.16, un cubo que contieneconcreto y está suspendido por un cable se empuja horizon-talmente desde la vertical por un obrero de la construcción.La longitud del cable es de 30 m y la masa combinada mdel cubo y el concreto es de 550 kg. Por principios de físi-ca es posible mostrar que la fuerza requerida para mover elcubo X m está dada por F = mg tan e, donde g es la acele-ración de la gravedad. Encuentre el trabajo realizado por elobrero de la construcción al empujar el cubo una distanciahorizontal de 3 m. [Sugerencia: Use (2) y una sustitución.]

FIGURA 3.8.16 Cubo en el problema 30

3.9 Presión y fuerza de un fluidoI Introducción Todo el mundo ha experimentado que se le "tapan los oídos" e incluso doloren los oídos cuando desciende en avión (o en un elevador), o cuando bucea hacia el fondo de unapiscina. Estas sensaciones molestas en los oídos se deben a un incremento en la presión ejerci-da por el aire o el agua sobre mecanismos en el oído medio. El aire y el agua son ejemplos defluidos. En esta sección se mostrará la forma en que la integral definida puede usarse para encon-trar la fuerza ejercida por un fluido.

Los fluidos incluyen líquidos(como agua y aceite) y gases(como el nitrógeno).

I Fuerza y presión Suponga que una placa horizontal plana se sumerge en un fluido comoagua. La fuerza ejercida por el fluido exactamente arriba de la placa, denominada fuerza F delfluido, se define como

F = (fuerza por unidad de área) . (área de la superficie)'-- ../

= PA.

presión del fluido P (1)

Si p denota el peso específico del fluido (peso por unidad de volumen) y A es el área de la placahorizontal sumergida hasta una profundidad h, mostrado en la FIGURA 3.9.1 al, entonces la presiónP del fluido sobre la placa puede expresarse en términos de p:

P = (peso por unidad de volumen) . (profundidad) = ph.

En consecuencia, la fuerza (1) del fluido es la misma que

F = (presión del fluido) . (área de la superficie) = phA.

(2)

(3)

No obstante, cuando se sumerge una placa vertical, la presión del fluido y la fuerza del fluidosobre un lado de la placa varían con la profundidad. Vea la figura 3.9.1 b). Por ejemplo, la pre-sión del fluido sobre una presa vertical es menor en la parte superior que en su base.

3.9 Presión y fuerza de un fluido 145

Antes de empezar, considere un ejemplo simple de presión y fuerza de una placa sumergi-da horizontalmente.

sobre una placa verticalla presión varía de laparte superior al fondo

I I II I I I I

JLUi)__;;

IJ.-- _;;

F=pAha) Placa horizontal b) Placa vertical

FIGURA 3.9.1 La presión y la fuerza del fluido son constantes sobre una placa sumergida horizontalmente,pero la presión y la fuerza del fluido varían con la profundidad en una placa sumergida verticalmente

l!IDIBiIII Presión y fuerzaUna placa rectangular plana de 5 pies X 6 pies se sumerge horizontalmente en agua a una profun-didad de 10 pies. Determine la presión y la fuerza ejercidas sobre la placa por el agua arriba de ésta.

Solución Recuerde que el peso específico del agua es 62.4 lb/pie.', Así, por (2) la presión delfluido es

P = ph = (62.41b/pie3) . (10 pies) = 624Ib/pie2.

Puesto que el área superficial de la placa es A = 30 pies", por (3) se concluye que la fuerza delfluido sobre la placa es

F = PA = (ph)A = (624 lb/pie ') . (30 pies') = 18720 lb.

Para determinar la fuerza total F ejercida por un fluido sobre un lado de una superficie planasumergida verticalmente, se emplea una forma del principio de Pasea):

• La presión ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones.

Entonces, si en un gran contenedor con fondo plano y paredes verticales se vierte agua hasta unaprofundidad de 10 pies, la presión de 624 lb/pie ' en el fondo se ejerce de la misma forma sobrelas paredes. Vea la FIGURA 3.9.2.

I Construcción de una integral Considere que el eje x positivo está dirigido hacia abajo con elorigen en la superficie del fluido. Suponga que una placa plana vertical, limitada por las rectashorizontales x = a y x = b, se sumerge en el fluido como se muestra en la FIGURA 3.9.3a). Sea w(x)una función que denota el ancho de la placa en cualquier número x en [a, b] Y sea P cualquierpartición del intervalo. Si Xk es un punto muestra en el k-ésimo subintervalo [Xk-l, xd, entoncespor (3) con las identificaciones h = Xk y A = w(xk) LlXh la fuerza F¿ ejercida por el fluido sobreel elemento rectangular correspondiente es aproximada por

Fk = P 'Xk' w(xk) LlXb

donde, como antes, p denota el peso específico del fluido. Así, una aproximación a la fuerza delfluido sobre un lado de la placa está dada por la suma de Riemann

11 112: r, = 2: PXk w (xk) LlXk'k= 1 k= 1

Esto sugiere que la fuerza total del fluido sobre la placa es/J

F = lím 2: PXkW(xk) LlXk'P ...•Ok= I

Definición 3.9.1 Fuerza eiercida por un fluido

Sea p el peso específico de un fluido y sea w(x) una función continua sobre [a, b] que descri-be el ancho de una placa plana sumergida verticalmente a una profundidad x. La fuerza F ejer-cida por el fluido sobre un lado de la placa sumergida es

ib .

F = pxw(x) dx.a

(4)

• T10 pies

1FIGUHA 3.9.2 Una presión de640 Ib/pie2 se aplica en todasdirecciones

Superficie

::::ax

a)

-r-1----------------~ySuperticie

xb)

FIGURA 3.9.3 Placa verticalsumergida con ancho variablew(x) sobre [a, bl


l!I!Iil!iJfJ Fuerza de un fluidoUna placa en forma de triángulo isósceles de 3 pies de altura y 4 pies de ancho se sumerge ver-ticalmente en agua, con la base hacia abajo, hasta que la base queda a 5 pies por debajo de lasuperficie. Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa.

Solución Por conveniencia, el eje x positivo se coloca a lo largo del eje de simetría de la placar-----+----.-----~y triangular con el origen en la superficie del agua. Como se indica en la FIGURA 3.9.4, el intervalo

[2, 5] se parte en n subintervalos [Xk- ¡, xd, y en cada subintervalo se escoge un punto xi. Puestoque la ecuación de la línea recta que contiene a los puntos (2, O) Y (5, 2) es y = ~x - ~,por sime-tría se concluye que el ancho del elemento rectangular, mostrado en la figura 3.9.4, es

superficie

x

FIGURA 3.9.4 Placa triangularen el ejemplo 2

agua

a) Vista lateral de la presa y el agua

x

presa

aguaL- ~~y

I ~ • Ib) Agua contra la cara de la presa

FIGURA 3.9.5 Presa en elejemplo 3

2 * - 2(2 * 4)Yk - 3Xk - 3 .

Luego, p = 62.4 lb/pie", de modo que la fuerza del fluido sobre esa porción de la placa quecorresponde al k-ésimo subintervalo es aproximada por

F¡ = (62.4) . xi:- 2(~xt - ~) LlXk.

Al formar la suma LZ~ 1 F¡ Y tomar el límite cuando IIPII --+ O obtenemos

F = r(62.4)2X(~X - ~)dx4f5

= (62.4)3 2 (x2- 2x) dx

= 83.2(tx3- x2

)]:

= (83.2) . 18 = 1 497.6 lb. •En problemas como el ejemplo 2, los ejes x y y se colocan donde convenga. Si el eje y se

coloca perpendicular al eje x en la parte superior de la placa en el punto (2, O), entonces los cua-tro puntos (2, O), (5, -2), (5, O) y (5, 2) en la figura 3.9.4 se vuelven (O, O), (3, -2), (3, O) y(3, 2), respectivamente. La ecuación de la línea recta que contiene a los puntos (O, O) y (3, 2) esy = ~x. Usted debe comprobar que la fuerza F ejercida por el agua contra la placa está dada porla integral definida

4 (3F = (62.4)3 J

ox(x + 2) dx.

~ Fuerza del agua contra una presaUna presa tiene una cara rectangular vertical. Encuentre la fuerza ejercida por el agua contra lacara vertical de la presa si la profundidad del agua es h pies y su ancho mide 1 pies. Vea la FIGU-RA 3.9.5al.

Solución Para variar, el eje x positivo apunta hacia arriba desde el fondo de la cara rectangu-lar de la presa, como se muestra en la figura 3.9.5b). Luego, el intervalo [O, h] se divide en nsubintervalos. Al eliminar uno de los subíndices, la fuerza F¿ del fluido contra esa porción rec-tangular de la placa que corresponde al k-ésimo subintervalo, mostrado en la figura 3.9.5b), esaproximada por

Fk = (62.4) . (h - x) . (l Llx).

Aquí la profundidad es h - x y el área del elemento rectangular es 1Llx. Al sumar estas aproxi-maciones y tomar el límite cuando IIPII --+ O se llega a

(h 1F = J

o62.4I(h - x) dx = 2(62.4)lh2.

Si en el ejemplo 3 la profundidad del agua es 100 pies y su ancho mide 300 pies, entoncesla fuerza del fluido sobre la cara de la presa es 93 600 000 lb.

•

3.9 Presión y fuerza de un fluido 147


= Fundamentos1. Considere los tanques con fondos circulares que se mues-

tran en la FIGURA 3.9.6. Cada tanque está lleno de agua cuyopeso específico es 62.4 lb/pie". Encuentre la presión y lafuerza ejercidas por el agua sobre el fondo de cada tanque.

TI---- .•..

~ p;es f.- --1 f.-2 pies

al b)

FIGURA 3.9.6 Tanques en el problema I

2. El buque tanque mostrado en la FIGURA 3.9.7 tiene fondoplano y está lleno de petróleo cuyo peso específico es55 lb/pie.'. El buque mide 350 pies de largo.

a) ¿Cuál es la presión que ejerce el petróleo sobre elfondo del buque?

b) ¿Cuál es la presión que ejerce el agua sobre el fondodel buque?

e) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el petróleo sobre elfondo del buque?

d) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el agua sobre el fondodel buque?

-1 10 pies f.-el

nl ••••• r

--.-I

96 pies

~ ~Agua ~ 125 pies -1

Petróleot

85 pies

FIGURA 3.9.7 Buque tanque en el problema 2

3. Las dimensiones de una piscina rectangular en forma deparalelepípedo rectangular son 30 pies X 15 pies X 9 pies.

a) Si la piscina está llena de agua hasta una profundidadde 8 pies, encuentre la presión y la fuerza ejercidassobre el fondo plano de la piscina. Vea la FIGURA 3.9.8.

b) Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre una delas paredes verticales de la piscina, así como sobre unlado vertical.

prej 8 1t...-__ --1""---1--15 pies--J

FIGURA 3.9.8 Piscina en el problema 3

4. Una placa en forma de triángulo equilátero de V3 pie porlado se sumerge verticalmente, con la base hacia abajo,

con el vértice a l pie por abajo de la superficie del agua.Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado dela placa.

5. Encuentre la fuerza sobre un lado de la placa en el pro-blema 4 si la placa está suspendida con la base hacia arri-ba a I pie por abajo de la superficie del agua.

6. Una placa triangular se sumerge verticalmente en aguacomo se muestra en la FIGURA 3.9.9. Encuentre la fuerzaejercida por el agua sobre un lado de la placa.

superficie---''-----,---1----+-)'

(4. O)

x

FIGURA 3.9.9 Placa triangular en el problema 6

7. Suponga que el eje x positivo es hacia abajo y que una placaacotada por la parábola x = / y la recta x = 4 se sumergeverticalmente en aceite cuyo peso específico es 50 lb/pie".Si el vértice de la parábola está en la superficie, encuentrela fuerza ejercida por el aceite sobre un lado de la placa.

S. Suponga que el eje x positivo es hacia abajo, y que unaplaca acotada por la parábola x = / y la recta y = -x + 2se sumerge verticalmente en agua. Si el vértice de laparábola está en la superficie, encuentre la fuerza ejerci-da por el aceite sobre un lado de la placa.

9. Un canalón lleno de agua tiene extremos verticales enforma de trapezoide como se muestra en la FIGURA 3.9.10.Encuentre la fuerza ejercida por el agua sobre un lado delcanalón.

rlOPies---j

IJ\ Ilj2 Pies!-- 6 Pies~ pie

FIGURA 3.9.10 Canalón de agua en el problema 9

10. Un canalón lleno de agua tiene extremos en la forma quese muestra en la FIGURA 3.9.11. Encuentre la fuerza ejercidapor el agua sobre un lado del canalón.

FIGURA 3.9.11 Canalón de agua en el problema 10


11. Un extremo vertical de una piscina tiene la forma que semuestra en la FIGURA 3.9.12. Encuentre la fuerza ejercidapor el agua sobre este lado de la piscina.

r-- 12 Pies----j

r ~s8p.ies ~

LFIGURA 3.9.12 Extremo de la piscina en el problema II

12. Un tanque en forma de cilindro circular recto de la piesde diámetro reposa sobre su costado. El tanque contienepetróleo hasta la mitad de su capacidad, y el peso especí-fico del petróleo es de 60 lb/pie", Encuentre la fuerza queejerce el petróleo sobre uno de los extremos del tanque.

13. Una placa circular de 4 pies de radio se sumerge vertical-mente de modo que el centro de la placa está a la piespor debajo de la superficie del agua. Encuentre la fuerzaque el agua ejerce sobre un lado de la placa. [Sugerencia:Para facilitar las cosas, considere que el origen está en elcentro de la placa, con el eje x positivo hacia abajo. Tam-bién vea los problemas 55-58 en los ejercicios 3.2.]

14. Un tanque cuyos extremos tienen forma elíptica x2/4+ l/9 = 1 se sumerge en un líquido cuyo peso específi-co es p, de modo que las placas extremas son verticales.Encuentre la fuerza que el líquido ejerce sobre un extre-mo si su centro está a 10 pies por debajo de la superficiedel líquido. [Sugerencia: Proceda como en el problema13 y use el hecho de que el área de una elipse x2/a2

+ l/b2 = 1 es 7Tab.]15. Un bloque sólido en forma de cubo de 2 pies de arista se

sumerge en un gran tanque de agua. La parte superior delbloque es horizontal y se ubica a 3 pies por abajo de lasuperficie del agua. Encuentre la fuerza total sobre el blo-que (seis lados) provocada por la presión del líquido. Veala FIGURA 3.9.13.

p~sIL.Y)~2pies__ -·2 ples-- __

FIGURA 3.9.13 Bloque sumergido en el problema 15

16. En el problema 15, ¿cuál es la diferencia entre la fuerzasobre el fondo del bloque y la fuerza sobre la parte supe-rior del bloque? La diferencia es la fuerza de empuje delagua y, por el principio de Arquímedes, es igual al peso

del agua desplazada. ¿Cuál es el peso del agua desplaza-da? ¿Cuál es el peso del agua desplazada por el bloque?

= Piense en ello17. Considere la piscina rectangular que se muestra en la

FIGURA 3.9.14a) cuyos extremos son trapezoides. La piscinaestá llena de agua. Tome el eje x positivo como se mues-tra en la figura 3.9.14b) y encuentre la fuerza que el aguaejerce sobre el fondo de la piscina. [Sugerencia: Expresela profundidad d en términos de x.]

15 pies

t 20 pies ---19 pies ~K--_---._

!a)

1-1'--20 pies---l'1 ~

T 4 pies

9 pies Tb)

FIGURA 3.9.14 Piscina en el problema 17

18. Se construye una presa de barro cuyas dimensiones semuestran en la FIGURA 3.9.15a). Tome el eje x positivo comose muestra en la figura 3.9.15b) y encuentre la fuerza queel agua ejerce sobre la pared inclinada de la presa.

20 pies

l40Is J

! .&-L. &)~'

~60 Pies~\\j

a) b)FIGURA 3.9.15 Presa en el problema 18

agua

x

19. Analice el problema 18 con el eje x positivo que se mues-tra en la FIGURA 3.9.16.

aguaT40r'es '---t-_-l-_~45'

FIGURA 3.9.16xOrientación del eje x en el problema 19

3.10 Centros de masa y centroidesI Introducción En esta sección consideramos otra aplicación de la física. Usamos la integraldefinida para encontrar el centro de masa de barras y regiones planas. Empezamos con una revi-sión de la forma de encontrar el centro de masa de sistemas bidimensionales y tridimensionalesde n masas discretas o puntuales.

I Sistemas unidimensionales Si x denota la distancia dirigida del origen O a una masa m, sedice que el producto mx es el momento de masa respecto al origen. En la tabla siguiente se resu-men algunas unidades.

Cantidad Sistema ingenieril SI cgs

Masa slug kilogramo (kg) gramo (g)

Momento de masa slug-pie kilogramo-metro gramo-centímetro

Luego, para n masas puntuales m" m2, ... , m¿ a distancias dirigidas x" X2>... , Xm respectivamen-te, a partir de O, como en la FIGURA 3.10.1, decimos que

"m = mi + m2 + ... + m" = Lm;

k=!

es la masa total del sistema, y que

"Mo = m!xl + m2x2 + ... + m.x; = Lmix;

k=1

es el momento del sistema respecto al origen. Si L~=! mix¡ = O, se dice que el sistema estáen equilibrio. Vea la FIGURA 3.10.2. Si el sistema de masas de la figura 3.10.1 no está en equilibrio,hay un punto P con coordenada x tal que

"Lmixk - x) = Ok=!

o bien," f1Lmix¿ - x Lmk = O.

k=1 k=1

XI =-2mi = 50kg

I

II

X2 = 2.51112 = 40kg

XI =-211I1= 50kg

X2 = 211I2 = ,40kg

,

a) El sube y baja está en equilibrio b) El sube y baja no está en equilibriopuesto que IIIlxl + 11I2x2 = O puesto que mlx¡ + m2x2 * O

FIGURA 3.10.2 a) Sube y baja en equilibrio; b) no está en equilibrio

Al despejar x obtenemos

El punto con coordenada x se llama centro de masa o centro de gravedad del sistema.Puesto que (1) implica X(L;= I mk) = L~= Imkkb se concluye que x es la distancia dirigida

desde el origen hasta un punto en que puede considerarse que está concentrada la masa total delsistema.

3.10 Centros de masa y centroides 149

l' •• •• xm) m4 O m, m2mS' .ffln

FIGURA 3.10.1 n masas sobre losejes X

(1)

En un sistema en que la acelera-ción de la gravedad varía de unamasa a otra, el centro de grave-dad no es el mismo que el cen-tro de masa.

/


r

1111111.Jlllltx

11I, = 4kg o 11I2 = 6kg '"3 = 10kg

FIGURA 3.10.3 Centro de masade tres masas puntuales

y

.--.--.--.--. x

f+----L -1FIGURA3.10.4 Barra de longitudL que coincide con el eje x

resorte

centro de masaFIGURA3.10.5 Barra suspendidaen equilibrio

~ Centro de masa de tres objetosTres cuerpos de masas 4, 6 Y 10 kilogramos se colocan en XI = -2, X2 = 4 YX3 = 9, respectiva-mente. Las distancias se miden en metros. Encuentre el centro de masa.

Solución Por (1),

_ 4· (-2) + 6·4 + 10·9 106X = 4 + 6 + 10 = 20 = 5.3.

La FIGURA 3.10.3 muestra que el centro de masa x está 5.3 m a la derecha del origen. •I Construcción de una integral Ahora se considerará el problema de encontrar el centro de masade una barra de longitud L que tiene una densidad lineal variable p (la masallongitud unitaria semide en slugs/pie, kg/m o g/cm). Se supone que la barra coincide con el eje X sobre el intervalo[O, L], como se muestra en la FIGURA 3.10.4, Yla densidad es una función continua p(x). Después deformar una partición P del intervalo, se escoge un punto Xk en [Xk-h Xk]' El número

m¿ = p(xk) D.Xk

es una aproximación a la masa de esa porción de la barra sobre el subintervalo. También, elmomento de este elemento de masa respecto al origen es aproximado por

(MO)k = XkP(xk) D.Xk·

Así, se concluye que

•

m = lím ± p(xk) D.Xk = f Lp(x) dx11 ->0 k= 1 o

y Mo = lím ±XkP(xk) D.Xk = f\p(X) dxIIPII->Ok= 1 o

son la masa de la barra y su momento respecto al origen, respectivamente. Luego, porx = Mo/m se concluye que el centro de masa de la barra está dado por

fXP(X) dx

x= mfp(x) dx

Como se muestra en la FIGURA 3.10.5, una barra suspendida por un resorte sujeta a su centro demasa podría colgar en perfecto equilibrio.

~ Centro de masa de una barraUna barra de 16 cm de largo tiene densidad lineal, medida en g/cm, dada por p(x) = '\IX,O :::;x :::;16. Encuentre su centro de masa.

Solución En gramos, la masa de la barra es

f 16 2] 16 128m = XI/2dx = _~/2 =-.o 3 o 3

El momento respecto al origen (en g-cm) es

fl6 2 ]16 2048Mo = x . X1/2 dx = _X5/2 = -_oo 5 o 5

Por (2) encontramos2048/5

x = 128/3 = 9.6.

Es decir, el centro de masa x de la barra está a 9.6 cm del extremo izquierdo de la barra que coin-cide con el origen. •

I Sistemas bidimensionales Para n masas puntuales situadas en el plano xy, como se indicaen la FIGURA 3.10.6, el centro de masa del sistema se define como el punto (x, y), donde

n

~mkYk_ M.. k=lY = -m- = ~n~--= ----------------------~----~~-s-,

k-l

momento del

I Lámina Ahora se analizará el problema de encontrar el centro de masa, o punto de equilibrio,de un frotis de materia, o lámina delgada bidimensional, que tiene densidad constante p (masa porunidad de área). Vea la FIGURA 3.10.7. Cuando p es constante, se dice que la lámina es homogénea.

I Construcción de una integral Como se muestra en la FIGURA 3.10.881, suponga que la láminacoincide con una región R en el plano xy acotada por la gráfica de una función no negativa con-tinua y = f(x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b. Si P es una partición del intervalo[a, b], entonces la masa del elemento rectangular que se muestra en la figura 3.8.l0b) es

m; = P ~Ak = pf(xt) ~Xh

donde, en este caso, tomamos Xk como el punto medio del subintervalo [Xk-" Xk] YP es la den-sidad constante. El momento de este elemento con respecto al eje y es

(My)k = Xk Sm, = Xk(P ~Ak) = pxkf(xt) ~Xk'

y y

.~

I II R II II II I

(xk.~f(xk»I

~--~a~-------------b~x ~---L--~~--------~xx*k

~ ~FIGURA 3.10.8 Encontrar el centro de masa de la región R

Puesto que la densidad es constante, el centro de masa del elemento necesariamente está en sucentro geométrico (Xk, ~f(xt)). Por tanto, el momento del elemento respecto al eje x es

(Mx)k = ~f(xt)(P~Ak) = ~p[f(Xt)]2 ~Xk'

Concluimos que

y

n fbm = lím ~ pf(xt) Sx, = pf(x) d.x,IPi-->Ok = 1 a

n fbM; = lím 2: pxt.f(xt) ~Xk = pxf(x) d.x,IIPlI-->Ok = 1 a

n fbMx = lím -212: p [f(xk)] 2~Xk = -21 P [f(x) f d.x.-->0 k= 1 a

Por tanto, las coordenadas del centro de masa de la lámina se definen como

u,x=-=m

fPxf(X) d.x

fPf(X) dxa

~fbp[f(X)]2 d.x_ Mx a

y = -;; = ---'f'--b-p-f-(X-)-d.x-

a


ym4•

ni)mk •• m5

I mi •Yk I •I

• xem6 Xk 1»2

FIGURA 3.10.6 n masas en elplano .xy

• Centrode masa

Lámina

FIGURA 3.10.7 Centro de masade una lámina

(3)


y y = ¡(x)

Xk-1 xtFIGURA3.10.9 Región en elejemplo 3

y (~f(Ytl.Yt)Yk +----+--------~~Y:~~~~~~~====~-r--+-~r__+--~--+-x

+--------------=- (5. -2)

FIGURA3.10.10 Región en elejemplo 4

I Centroide Observamos que la densidad constante p se cancela en las ecuaciones (3) para xy y, y que el denominador de f:f(x) d.x es el área A de la región R. En otras palabras, el centrode masa sólo depende de la forma de R:

(bxf(X) dxMy Jax = -- = ~------A ff(X) dx

a

~ (b [f(x) ] 2 d.x_ Mx Jay = A = ----''--r-f-(X-)-dx- (4)

Para recalcar la diferencia, aunque menor, entre el objeto físico, que es la lámina homogénea, yel objeto geométrico, que es la región plana R, se dice que las ecuaciones en (4) definen las coor-denadas del centroide de la región.

Nota: Es importante que comprenda el resultado en (4), pero no intente memorizar las integra-les porque para abreviar el análisis se ha supuesto que R está acotada por la grafica de una fun-ciónfy el eje x. R también podría ser la región acotada entre las gráficas de dos funcionesfy g.Vea el ejemplo 5.

~ Centroide de una regiónEncuentre el centroide de la región en el primer cuadrante acotada por la gráfica de y = 9 - X2,el eje x y el eje y.

Solución La región se muestra en la FIGURA3.10.9. Luego, sif(x) = 9 - X2, entonces

Ak = f(xi) ,1Xk

(My)k = xf(xk) ,1Xk

(Mx)k = ~f(xi)(f(xk) ,1Xk) = ~ [f(xk)] 2 ,1Xk'y

Por tanto,

Por (4) se concluye que las coordenadas del centroide son

M; 81/4 9 _ M, 324/5 54x = A = 18 = 8' y = A = 18 = 15' •

l!I!IDiJII Integración con respecto a yEncuentre el centroide de la región acotada por las gráficas de x =l + 1, x = O,Y = 2 YY = -2.

Solución La región se muestra en la FIGURA3.10.10. El análisis de la figura sugiere el uso de ele-mentos rectangulares horizontales. Sif(y) = y2 + 1, entonces

Ak = f(yk) ,1Yk

(Mx)k = ykf(yk) ,1Yk

(My)k = ~f(yk)(f(yk) ,1Yk) =

y así f2 (1 )]2 28A = (l + 1) dy= -l + y = -,-2 3 -2 3

Mx = f2 y(/ + 1) dy= (.!./ + .!./)]2 = O,-2 4 2 -2

1 f2 1 f2My = "2 _}/ + lf dy = "2 }/ + 2/ + 1)dy

= .!.(.!.i + ~y3 + y)]2 = 206.2 5 3 -2 15

Por tanto, se tiene

_ M, 206/15 103 _ M, Ox = A = 28/3 = 70' Y = A = 28/3 = O.

Como es de esperar, puesto que la lámina es simétrica respecto al eje x, el centroide está en eleje de simetría. También se observa que el centroide está fuera de la región. •

l:!tDm!iII Región entre dos gráficasEncuentre el centroide de la región acotada por las gráficas de y = - x2 + 3 YY = x2

- 2x - l.

Solución En la FIGURA3.10.11 se muestra la región en cuestión. Se observa que los puntos deintersección de las gráficas son (-1, 2) Y (2, -1). Luego, si f(x) = -x2 + 3 Y g(x) =x2 - 2x - 1, entonces el área de la región es

A = f [f(x) - g(x)] dx

= f(-2x2 + 2x + 4) dx

= (_~x3 + x2 + 4X)]~1= 9.

Puesto que las coordenadas del punto medio del elemento indicado son (Xk, ~ [f(xt) + g(xt)]),se concluye que

M; = fX[f(X) - g(x)] dx

= f1C-2x3 + 2X2 + 4x) dx

(1 2 )]2 9= --x4 + -x3 + 2x2 = -,2 3 -1 2

y 1 f2M, = "2 -1 [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] dx

1 f2= "2 _IC[f(X)]2 - [g(x)]2) dx

= .!.f2 [(-x2 + 3)2 - (x2 - 2x - 1)2] dx2 -1

1 f2="2 (4x3 - 8x2 - 4x + 8) dx-1

1 (4 8 3 2 )]2 9= - x - -x - 2x + 8x = -.2 3 -1 2

Por tanto, las coordenadas del centroide son

My 9/2 1x=-=-=-,

A 9 2_ M, 9/2 1y=-=-=-'

A 9 2


FIGURA3.10.11 Región en elejemplo 5

•


3.10 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-B.

= FundamentosEn los problemas 1-4, encuentre el centro de masa del siste-ma de masas dado. La masa mk está situada sobre el eje x enun punto cuya distancia dirigida desde el origen es Xk. Supon-ga que la masa se mide en gramos y que la distancia se mideen centímetros.

1. mI = 2, m2 = 5; XI = 4, X2 = -2

2. mI = 6,m2 = 1,m3 = 3;xl = -~,X2 = -3,X3 = 8

3. mI = 10,m2 = 5,m3 = 8,m4 = T;x, = -5,X2 = 2,X3 = 6,X4 = -3

4. mI = 2, m2 = ~,m3 = ~,m4 = ~;XI = 9, X2 = -4,X3 = -6,X4 = -10

S. Dos masas están colocadas en los extremos de una tablauniforme de masa despreciable, como se muestra en laFIGURA 3.10.12. ¿Dónde debe colocarse el fulero de modoque el sistema esté en equilibrio? [Sugerencia: Aunque elorigen puede situarse en cualquier parte, se supondrá quese establece en el punto medio entre las masas.]

10kg~~ ~ __ ~~

FIGURA 3.10.12 Masas en el problema 5

6. Encuentre el centro de masa de las tres masas mI> m2 Ym3 que están en los vértices del triángulo equilátero mos-trado en la FIGURA 3.10.13. [Sugerencia: Primero encuentreel centro de masa de mI Y m2']

klgO

/ln3\, ,, ,, ,I ,

I ,I ,11I~1 ~2. k2g

1-4m----jFIGURA 3.10.13 Masas en el problema 6

2kg

En los problemas 7-14, una barra de densidad linealp(x) kg/m coincide con el eje X en el intervalo indicado.Encuentre su centro de masa.

7. p(x) = 2x + 1; [0,5]8. p(x) = -x2 + 2x; [0,2]9. p (x) = XI/3; [O, 1]

10. p(x) = -x2 + 1; [O, 1]

11. p(x) = Ix - 31; [0,4]

12. p(x) = 1+ Ix - 11; [0,3]

13. p(x) = {x2,2 - x,

O:s:x<l1 :S:x:s:2' [0,2]

14. p(x) = {~' [0,3]

15. La densidad de una barra de 10 pies varía con el cuadra-do de la distancia al extremo izquierdo. Encuentre sucentro de masa si la densidad en su centro es 12.5slug/pie.

16. La densidad lineal de una barra de 3 m varía con la dis-tancia al extremo derecho. Encuentre la densidad linealen el centro de la barra si su masa total es de 6 kg.

En los problemas 17-20, encuentre el centro de masa del sis-tema de masas dado. La masa mk está en el punto Pi. Supongaque la masa se mide en gramos y que la distancia se mide encentímetros.

17. mI = 3,m2 = 4;PI = (-2, 3),P2 = (1,2)

18. mI = 1, m2 = 3, m3 = 2; PI = (-4, 1), P2 = (2,2),P3 = (5, -2)

19. mI = 4, m2 = 8, m3 = 10; PI = (1, 1), P2 = (-5,2),P3 = (7, -6)

20. mI = 1, m2 = ~,m3 = 4, m4 = ~;PI = (9,3),P2 = (-4, -6),P3 = (~,-1),P4 = (-2,10)

En los problemas 21-38, encuentre el centroide de la regiónacotada por las gráficas de las ecuaciones dadas.

21. y = 2x + 4, Y = O, X = O, X = 2

22. Y = x + 1, Y = O, x = 3

23. Y = X2, y = O, x = 1

24. Y = x2 + 2, Y = O,x = -1, x = 2

25. Y = x3, y = O, x = 3

26. Y = x3, y = 8, x = O

27. Y = \IX, y = O, x = 1, x = 4

28. x = y2, X = 1

29. Y = x2, y - X = 2

30. Y = X2, y = \IX

31. Y = x3, y = xl/3, primer cuadrante

32. y = 4 - X2, y = O,x = O, segundo cuadrante

33. y = 1/x3,y = O,x = 1,x = 3

34. Y = x2- 2x + 1, Y = -4x + 9

35. x = / - 1,Y = -1, Y = 2,x = -2

36. Y = x2- 4x + 6, Y = O, x = O, x = 4

37. Y = 4 - 4x2, y = 1 - x2

38. i + x = 1, Y + x = - 1

En los problemas 39 y 40, use simetría para localizar :x e inte-gración para encontrar y de la región acotada por las gráficasde las funciones dadas.39. y = 1 + cos x, y = 1, -7T/2 ::; x ::; 7T/240. Y = 4 sen x, y = - sen x, O ::; x ::; 7T

= Piense en ello41. Un teorema atribuido a Pappus de Alejandría (c. 350

d.C.) afirma lo siguiente:

Sean L un eje en un plano y R una región en el mismoplano que no corta a L. Cuando R gira alre-dedor de L, el volumen V del sólido de revoluciónresultante es igual al área A de R multiplicada porla longitud de la ruta recorrida por el centroide de R.

a) Como se muestra en la FIGURA 3.10.14, sea R la regiónacotada por las gráficas de y =f(x) y y = g(x). Muestreque si R gira alrededor del eje x, entonces V =(27Ty)A, donde A es el área de la región.

b) ¿Qué considera que proporciona V cuando la región Rgira alrededor del eje y?

y

a

y = g(x)

-+--~~----------~+-x

FIGURA 3.10.14 Región en el problema 41

42. Compruebe el teorema de Pappus en el problema 41cuando la región acotada por y = x2 + 1, Y = 1, x = 2gira alrededor del eje x.

Competencia final de la unidad 3Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-B.

Competencia final de la unidad 3 155

43. Use el teorema de Pappus en el problema 41 para encon-trar el volumen del toroide que se muestra en la FIGURA

3.10.15.L

FIGURA 3.10.15 Toroide en el problema 43

44. Una barra de densidad lineal p(x) kg/m coincide con eleje x sobre el intervalo [O, 6]. Si p(x) = x(6 - x) + 1,¿dónde se espera de manera intuitiva que esté el centro demasa? Demuestre su respuesta.

45. Considere la región triangular R en la FIGURA 3.10.16.

¿Dónde cree que está el centroide del triángulo? Piensegeométricamente.

R

FIGURA 3.10.16 Región triangular en el problema 45

46. Sin integración, determine el centroide de la región Rmostrada en la FIGURA3.10.17.

y

21-----------,

R

2

Región en el problema 46FIGURA 3.10.17

A. Falso/verdadero _

En los problemas 1-12, indique si la afirmación dada es falsa (F) o verdadera (V).1. Cuando r f(x) dx > O, la integral proporciona el área bajo la gráfica de y = f(x) sobre el

aintervalo [a, b]. __

2. f~(x - 1) dx es el área bajo la gráfica y = x - 1 sobre [O, 3]. __

3. La integral r [f(x) - g(x)] dx proporciona el área entre las gráficas de las funciones con-tinuasfy g sfempre quef(x) 2:: g(x) para toda x en [a, b]. __

4. Los métodos del disco y la arandela para encontrar volúmenes de sólidos de revolución soncasos especiales del método de rebanar. __

5. El valor promedio fpro de una función continua sobre un intervalo [a, b] necesariamente esun número que satisface m ::;fpro ::; M, donde m y M son los valores mínimo y máximo def sobre el intervalo, respectivamente. __

6. Sify g son continuas sobre [a, b], entonces el valor medio de f + g es (j + g)pro= fpro+ gpro'


7. El centro de masa de un lápiz con densidad lineal constante p está en su centro geométrico.

8. El centro de masa de una lámina que coincide con una región plana R es un punto en Rdonde la lámina colgaría en equilibrio. __

9. La presión sobre el fondo plano de una piscina es la misma que la presión horizontal sobrela pared vertical a la misma profundidad. __

lO. Considere una delgada lata de aluminio con radio de 6 pulg y un depósito circular con radiode 50 pies. Si cada uno tiene fondo plano y contiene agua hasta una profundidad de 1 pie,entonces la presión del líquido sobre el fondo del depósito es mayor que la presión sobre elfondo de la lata de aluminio.

11. Si s(t) es la función de posición de un cuerpo que se mueve en línea recta, entonces F'v(t) dt1,

es la distancia que el cuerpo se mueve en el intervalo [tb t2]. __

12. Cuando no hay resistencia del aire y desde la misma altura se sueltan al mismo tiempo unabala de cañón y un dulce, la bala de cañón llega primero al suelo. __

B. Llene los espacios en blanco _En los problemas 1-8, llene los espacios en blanco.1. La unidad de trabajo en el sistema SI es _

2. Para calentarse, un corredor de 200 lb empuja contra un árbol durante 5 minutos con fuer-za constante de 60 lb y luego corre 2 mi en 10 minutos. El trabajo total realizado es

3. El trabajo realizado por una fuerza constante de 100 lb aplicada a un ángulo de 60° con res-pecto a la horizontal durante una distancia de 50 pies es _

4. A un resorte que mide inicialmente 1 m de longitud se le aplica una fuerza de 80 N, Y selogra una longitud de 1.5 m. El resorte medirá m de longitud cuando se apli-que una fuerza de 100 N.

5. Las coordenadas del centroide de una región R son (2, 5) y el momento de la región con res-pecto al eje x es 30. Por tanto, el área de R es unidades cuadradas.

6. El peso específico del agua es lb/pie.'.

7. Se dice que la gráfica de una función con primera derivada continua es _

8. Una pelota soltada desde una gran altura choca contra el suelo en T segundos con una velo-cidad Vimpacto' Si la función velocidad es v(t) = -gt, entonces la velocidad media vpro de lapelota para O :S t :S T en términos de Vimpacto es _

C. Ejercicios _En los problemas 1-8, establezca la(s) integral(es) definida(s) para encontrar el área de la regiónsombreada en cada figura.1 . y 2. y

~--~~--------~x

-L----+---~-----r--~d~x

FIGURA 3.R.2 Gráfica para el problema 2

FIGURA 3.R.l Gráfica para el problema I

3. y = f(x) 4.y

FIGURA 3.R.3 Gráfica para el problema 3 FIGURA 3.R.4 Gráfica para el problema 4


5. y y = f(x)

xe

y = - f(x)

FIGURA 3.R.5 Gráfica para el problema S

7. x = f(y)y (a, d)

6. y

~aL----+-----b~----~~x

Gráfica para el problema 6FIGURA 3.R.6

8.y y = f(x)

(a, e)

v = g(x)

(a, b)--ó~I--~--+b------~C----d~x


-f--------f---.- x


En los problemas 9 y 10, use la integral definida para encontrar el área de la región sombreadaen términos de a y b.

9.y=b

10. Ya:>";""a b x

FIGURA 3.R.l0 Gráfica para el problema 10

Y

a~--~~--------~x


En los problemas 11-16, considere la región R en la FIGURA 3.R.l1. Establezca la(s) integral(es)definida(s) para la cantidad indicada.

yy = g(x)

R (2,1)

y = ¡(x)-+------~x

FIGURA 3.R.ll Regiónpara los problemas 11-16

11. El centroide de la región

12. El volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje x

13. El volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y

14. El volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor de la recta y = -1

15. El volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor de la recta x = 2

16. El volumen del sólido con R como su base de modo que las secciones transversales del sóli-do paralelas al eje y son cuadradas

17. Encuentre el área acotada por las gráficas de y = sen x y y = sen 2x sobre el intervalo [0, 7T] .

18. Considere la región acotada por las gráficas de y = e", y = e-x y x = In 2.

a) Encuentre el área de la región.b) Encuentre el volumen del sólido de revolución si la región gira alrededor del eje x.


19. Considere la región R acotada por las gráficas de x = / y x = V2. Use el método de reba-nadas para encontrar el volumen del sólido si la región R es su base ya) las secciones transversales del sólido perpendiculares al eje x son cuadrados,b) las secciones transversales del sólido perpendiculares al eje x son círculos.

20. Encuentre el volumen del sólido de revolución que se forma cuando la región R acotada porlas gráficas de x = 2y - y2 Yx = Ogira alrededor de la recta y = 3.

21. La nariz de un cohete espacial es un cono circular recto de 8 pies de altura y 10 pies de radio.La superficie lateral debe cubrirse con tela excepto por una sección de 1 pie de altura en elápice del cono de la nariz. Encuentre el área de la tela necesaria.

22. El área bajo la gráfica de una función no negativa continua y =f(x) sobre el intervalo [- 3, 4 ]es 21 unidades cuadradas. ¿Cuál es el valor medio de la función sobre el intervalo?

23. Encuentre el valor promedio def(x) = X3/2 + XI/2 sobre [1, 4].24. Encuentre un valor x en el intervalo [O, 3] que corresponda al valor promedio de la función

f(x) = 2x - 1.25. Un resorte de longitud de ~ m sin estirar se alarga hasta una longitud de 1 m por medio de

una fuerza de 50 N. Encuentre el trabajo realizado para estirar el resorte desde una longitudde 1 m hasta una longitud de 1.5 m.

26. El trabajo realizado para estirar un resorte 6 pulg más allá de su longitud natural es 10 pies-lb.Encuentre la constante del resorte.

27. Un tanque de agua, en forma de cubo de 10 pies de lado, se llena con agua. Encuentre eltrabajo realizado para bombear toda el agua hasta un punto situado a 5 pies por arriba deltanque.

28. Un cubo que pesa 2 lb contiene 30 lb de líquido. A medida que el cubo se levanta vertical-mente a razón de 1 pie/s, el líquido se fuga a razón de ~ lb/s. Encuentre el trabajo realizadopara levantar el cubo una distancia de 5 pies.

29. En el problema 28, encuentre el trabajo realizado para levantar el cubo hasta un punto enque esté vacío.

30. En el problema 28, encuentre el trabajo realizado para levantar el cubo con fuga hasta unadistancia de 5 pies si la cuerda que sujeta al cubo pesa k lb/pie.

31. Un tanque en la parte superior de una torre de 15 pies de altura consta de un tronco de uncono sobrepuesto por un cilindro circular recto. Las dimensiones (en pies) se muestran enla FIGURA 3.R.12. Encuentre el trabajo realizado para llenar el tanque con agua desde el niveldel suelo.

2 pies

T6 pies

FIGURA 3.R.12 Tanque en el problema 31

32. Una roca se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Luna con una veloci-dad inicial de 44 pies/s.

a) Si la aceleración de la gravedad en la Luna es 5.5 pies/s", encuentre la altura máxima quese alcanza. Compare con la Tierra.

b) En su descenso, la roca choca contra la cabeza de un astronauta de 6 pies de estatura.¿Cuál es la velocidad de impacto de la roca?

33. Encuentre la longitud de la gráfica de y = (x - 1)3/2 desde (1, O) hasta (5, 8).


34. La densidad lineal de una barra de 6 m de longitud es una función lineal de la distancia a suextremo izquierdo. La densidad en la parte media de la barra es 11 kg/m y en el extremoderecho es 17 kg/m. Encuentre el centro de masa de la barra.

35. Una placa plana, en forma de cuarto de círculo, se sumerge verticalmente en aceite como semuestra en la FIGURA 3.R.13. Si el peso específico del aceite es 800 kg/rrr', encuentre la fuerzaque ejerce el aceite sobre un lado de la placa.

superficie ¡-.4 m -ly

x

FIGURA 3.R.13 Placa verticalsumergida en el problema 35

36. Una barra metálica uniforme de masa 4 kg Ylongitud 2 m soporta dos masas, como se mues-tra en la FIGURA3.R.14. ¿Dónde debe atarse el cable a la barra de modo que el sistema cuelgueen equilibrio?

3 8kg kg

FIGURA 3.R.14 Masas en el problema 36

37. Tres masas están suspendidas de barras uniformes de masa despreciable como se muestraen la FIGURA 3.R.15. Determine dónde deben colocarse los cables indicados de modo que todoel sistema cuelgue en equilibrio.

cables

3kg

~~-------2m--------1

6kg

FIGURA 3.R.15 Masas en el problema 37

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Unidad 3 Aplicaciones de La Integral