Aplicaciones simples del cálculo integral.

Áreas de superficies planas.

Rectificación de curvas planas.CBTis 39 “Leona Vicario”

Aarón Martínez Lagunes.

Ángel de Jesús Martínez Valdepeña.

Francisco Antonio Juárez Torres.

David Delgado Martínez.

Aplicaciones simples del cálculo integral.• La integración es un concepto fundamental de

las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

• Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Aplicaciones simples del cálculo integral.El cálculo integral tiene muchas aplicaciones las cuales ayudan a muchas explicaciones de sucesos que pasan en la vida diaria, por ejemplo podemos determinar:

• Áreas entre curvas.• Volúmenes.• Longitud de un arco.• Área de una superficie de revolución.• Aplicaciones a la física y a la ingeniería.• Aplicaciones a la economía y a la biología.• Probabilidad

Otra de nuestras aplicaciones es el área de superficies planas

Área de superficies planas.• Se llama área de una superficie plana a la medida de la

superficie que ocupa, esta se puede calcular a través de una integral, esta se aplica dependiendo de las características de la que se quiera conocer el área.

• La mayoría de los casos en el calculo integral se conoce el área de bajo de una curva en un método mas simple, ya dependiendo del tema que estemos utilizando es para la aplicación que se le dará.

Área de superficies planas.

Ejemplo:• 1.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de

la función f (x) = −x2 + 4x, el eje de abscisas y las rectas x=1 y x=3. Sol: 22/3.

Área de superficies planas.• 2.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica

de la función f (x)= x2 − 4x, el eje de abscisas y las rectas x=1 y x=3. Sol: 22/3.

Área de superficies planas.

• 3.- Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f (x) = x3 + 3x2 y g(x) = x + 3 entre x=-2 y x=0. Sol: 7/2.

Rectificación de una curva.• En matemática, la longitud de arco, también

llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Rectificación de una curva.Longitud de curvas planas• La longitud de una curva plana se

puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Definición:• Si la primera derivada de una

función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Rectificación de una curva.Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Definición:• Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x)

desde a hasta b es:• La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre

las abscisas:

x = a y x = b viene dado por la integral definida:

Rectificación de una curva.Ejemplo:

1.- Hallar la longitud del arco de curva   en el intervalo

[0, 1].

Desarrollo:

Resultado:

Rectificación de una curva.

2.- Encuentre la longitud del arco del arco de la curva 9y2=4x3 del origen al punto (3,2√3)

Solución:

Si L es la longitud del arco de la curva de la ecuación 9y2=4x3desde el origen (0,0) al punto (3,2√3), L está dado por:• 2 (1)

• 9y2=4x3=2)=3)=18y=12x2= y,=== = (y,)2=

Pero 9y2=4x3 de tal manera que (y,)2== x (2)

Sustituyendo 1 en 2

Resultado:

Rectificación de una curva.

3.- Encuentra la longitud del arco de la curva y=(x2+2)3/2 del punto donde x=3

Solución:y= f(x) = (x2+2)3/2=f (x) =x(x2+2)1/2 (1)

a=0 y b=3 (2)

La longitud L de arco de la curva de y=(x) en el intervalo esta dada por:

L=2dx (3)

Sustituyendo 1 y 2 en 3 se obtiene:

L=2dx=

Resultado:L=3+3-

L= 30 ඥ1+ሾ𝑥(𝑥2 +2).1/2ሿ 2dx= 30 ඥ1+𝑥2ሺ𝑥2 +2ሻ𝑑𝑥