5.- FLEXION Y CARGA AXIAL Esfuerzos por flexin

Ocurre flexin cuando un elemento de seccin constante y simtrica respecto al plano donde ocurre dicha flexin, se somete a momentos flectores, M, (o a cargas transversales); la figura 2.10 muestra un elemento, denominado viga, de seccin rectangular sometido a flexin. Cuando la viga est sometida a momentos flectores, sin cargas transversales, como en el caso de la figura 2.10, ocurre flexin pura.

Plano donde actan

las cargas y donde

ocurre la flexin

MM

Seccin transversalElemento

inicialmente recto

Figura 2.10Elemento de seccin rectangular sometido a flexin

El elemento sometido a flexin se curva, de tal manera que algunos puntos se alargan (puntos superiores de la viga de la figura 2.10), quedando sometidos a esfuerzos de traccin. Algunos se acortan (puntos inferiores), quedando a compresin, y otros no se deforman ni soportan esfuerzo. La figura 2.11.a muestra una viga con una seccin de corte; se muestra el plano neutro que es aquel que contiene los puntos de la viga que no sufren deformacin ni esfuerzo. El plano neutro es perpendicular al plano donde ocurre la flexin, paralelo a la direccin axial de la viga, y pasa por el centroide de la seccin. Para el sentido mostrado de M, los puntos por encima del plano neutro estn a traccin (alargamiento) y los puntos por debajo estn a compresin (acortamiento). Los estados de esfuerzo de los puntos ms alejados del eje neutro son iguales a los producidos en carga axial (vase la figura 2.5).

Seccin de cortePuntos a traccin

T

Plano

MC

neutro

Puntos a compresin

(a) Plano neutro. Algunas veces se utiliza el trmino eje neutro como se muestra en la parte (b)

Como se dijo, en flexin se producen esfuerzos normales, de traccin y de compresin, distribuidos linealmente, tal como se muestra en la figura 2.11.b. Los puntos en el plano neutro no soportan esfuerzo, y el esfuerzo en un punto cualquiera es directamente proporcional a la distancia de dicho punto al plano neutro. De acuerdo con esto, los esfuerzos mximos, de traccin y de compresin, ocurren en los puntos ms alejados del plano (o eje) neutro, y estn dados por:

SM ct, ySM cc,(2.9)

tc

II

donde St y Sc son los esfuerzos mximos de traccin y de compresin, respectivamente, ct y cc son las distancias desde el plano neutro hasta los puntos extremos a traccin y compresin respectivamente (figura 2.11.b), M es el momento flector en la seccin a analizar, e I es el momento rectangular de inercia de la seccin (vase el apndice 2, donde se encuentra informacin sobre los momentos de inercia de secciones comunes).

La ecuacin 2.9 es vlida si la seccin es simtrica respecto al plano donde ocurre la flexin (plano de aplicacin de las cargas transversales, si las hay); tal es el caso de todas las secciones de la figura 2.12. Si adems la seccin es simtrica respecto al eje neutro, es decir, la seccin es doblemente simtrica (vanse las figuras 2.12.a, b y c), el esfuerzo se puede expresar como:

(2.10)

donde S es el esfuerzo en el punto extremo superior o inferior. El signo + indica que el esfuerzo es de traccin y el signo indica que es de compresin, c es la distancia desde el plano neutro hasta los puntos extremos y Z = I/c es el mdulo de la seccin.

E.N.E.N.E.N.E.N.

E.N.

(a) Circular(b) Rectangular(c) I(d) T (invertida)(e) U o canal

Figura 2.12 Algunas secciones transversales tpicas de vigas. Las secciones (a), (b) y (c) son doblemente simtricas. Las secciones (d) y (e) son simtricas slo respecto al plano vertical (donde ocurre la flexin)

Si existen cargas transversales sobre la viga, aparecen tambin esfuerzos cortantes, los cuales son ms pequeos que los esfuerzos normales si la viga es larga (esbelta). Una viga se considera larga si su longitud es 10 ms veces la mayor dimensin de la seccin. Es importante tener claro que en los puntos de mayores esfuerzos normales (puntos extremos) el esfuerzo cortante es igual a cero; por lo tanto, los puntos de anlisis estn sometidos slo a esfuerzo normal; es decir, no se desprecia el esfuerzo cortante en la viga, simplemente se omite el anlisis de puntos diferentes a los puntos de mayores esfuerzos normales. Si la viga es corta o es de madera (la resistencia de la madera al esfuerzo cortante puede ser pequea en la direccin de las fibras), es necesario revisar la viga a los esfuerzos cortantes. El tema de esfuerzos cortantes en vigas se estudiar en la seccin 2.7.

Las ecuaciones para flexin son vlidas bajo las siguientes condiciones:

1. La viga es recta en direccin longitudinal (cuando no est cargada).

2. El punto a analizar no est situado en la proximidad del punto de aplicacin de una fuerza, o de una discontinuidad de la seccin.

3. El esfuerzo calculado en la superficie es vlido si sta es lisa.

4. La seccin de la viga es simtrica con respecto al plano de aplicacin de las cargas.

5. Las alas, si las hay (vanse las figuras 2.12.c, d y e), no estn pandeadas.

6. La carga es esttica. 7. El material es homogneo.

8. La viga no est retorcida.

9. El material no tiene tensiones residuales.

10. El esfuerzo cortante (vertical) es despreciable comparado con el esfuerzo de flexin (esto slo es vlido para vigas largas, por lo tanto, se deber hacer la comprobacin de la combinacin de esfuerzos cortante y normal de flexin en algn punto interior de la viga para vigas cortas y de madera).

11. No hay componente longitudinal de las fuerzas sobre la viga.

12. El esfuerzo permanece proporcional a la deformacin (Ley de Hooke), es decir, el esfuerzo no sobrepasa el valor del lmite de proporcionalidad.

Esfuerzos en carga axial

Cuando un elemento recto de seccin constante, como el de la figura 2.4, se somete a un par de fuerzas axiales, F, aplicadas en el centroide de la seccin transversal, se producen esfuerzos normales en todo el elemento. Bajo algunas condiciones adicionales (dadas ms adelante), se dice que este elemento est sometido a carga axial, soportando un esfuerzo uniforme dado por:

(2.5)

donde A es el rea de la seccin transversal (el apndice 2 presenta las frmulas para el clculo de las reas y otras propiedades seccionales de algunas secciones comunes). El signo es positivo si el esfuerzo es de traccin, es decir, cuando la carga es de traccin (figura 2.4.a). Se toma el signo negativo para esfuerzos de compresin, producidos al aplicar una carga de compresin como la de la figura 2.4.b.

FFFF

(a) Traccin(b) Compresin

Figura 2.4 Elementos sometidos a carga axial

Al hacer un corte en una seccin cualquiera del elemento de la figura 2.4, se obtiene una distribucin uniforme de esfuerzos en dicha seccin, tal como se muestra en la figura 2.5.a, para traccin, y 2.5.b, para compresin. El estado de esfuerzo en cualquier punto de la seccin es uniaxial (slo hay esfuerzo en una direccin), como se muestra en la misma figura 2.5.

FSSSFSSS

(a) Esfuerzos de traccin(b) Esfuerzos de compresin

Figura 2.5Carga axial. Distribucin uniforme de esfuerzos.El estado de esfuerzo de cualquier punto es uniaxial

Como se dijo, la ecuacin 2.5 se cumple bajo ciertas condiciones ideales, las cuales slo se cumplen aproximadamente en la prctica:

1. El elemento es completamente recto. 2. Las secciones a lo largo del material son uniformes.

3. La superficie es completamente lisa. 4. La seccin a analizar est alejada de sitios de aplicacin de cargas puntuales. 5. La carga F est aplicada exactamente en el centroide de la seccin del elemento y en direccin axial.

6. La carga es esttica. 7. El material es completamente homogneo.

8. El material no tiene tensiones residuales. 9. Si el elemento est en compresin, su longitud es tal que no existe posibilidad de pandeo5.

Cuando las cargas son puntuales, como en las figuras 2.5 y 2.6, el esfuerzo calculado como S = F/A es slo el esfuerzo promedio, ya que el

esfuerzo no se distribuye uniformemente. La figura 2.6 muestra las distribuciones de esfuerzo en una seccin alejada del punto de aplicacin de una carga puntual, y en una cercana a dicho punto.

FSF

S (promedio)

(a) Seccin alejada de la carga (distribucin uniforme)(b) Seccin cercana a la carga (dist. no uniforme)

Figura 2.6 Distribuciones de esfuerzo normal bajo cargas axiales puntuales

En muchas aplicaciones prcticas la carga es distribuida. Algunas aplicaciones con cargas puntuales se manejan con la teora de esfuerzos de contacto (captulo 10).

Eje Neutro (E.N.)St

ct

Mcc

Sc

(b) Distribucin de esfuerzos

Figura 2.11 Plano neutro y distribucin de esfuerzos en una viga sometida a flexin

5.1 Carga excntrica y Ncleo centralCarga excntrica en una barra corta

La flecha debida a la flexin producida por la carga excntrica ser despreciable comparada con la excentricidad e.

W 1 b h2 1 A h 6 6

N

A

MN e6 N e

W1 A hA h

6

N6 e

1

h

A

Ncleo de una seccin

Es la regin alrededor del c.d.g.de la seccin dentro de la cual si se aplica una carga de compresin P producir compresin en toda la seccin

A (m,n) es el punto de aplicacin de la carga P

Los momentos de P respecto a los ejes OY y OZ sern Pn y Pm.

Aplicando el principio de superposicin , la tensin en cualquier punto de la seccin transversal definido por las coordenadas (x, y), ser:

P P m y P n z A Iz Iy

Igualando a cero el segundo miembro se obtiene la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos de tensin nula en la seccin transversal:

P P m y P n z 0AIzIy

Pm y An z A

1 0

AII

zy

Introduciendo las notaciones para los radios de giro rz y ry:

rzIzryIy

A

A

1m yn z 0 RECTA

rz2ry2

Fibras longitudinales de la zona no rayada de la seccin transversal COMPRESION

Fibras longitudinales de la zona rayada de la seccin transve rsal TRACCION

Las intersecciones u y v de las rectas con los ejes se determinan como sigue:

Con OZ:y = 0Obtenemos v

1n z 0n z1

ry2ry2

r 2 z v yn

Con OY:z = 0Obtenemos u

1m y 0m y1

r 2r 2

zz

r 2 y u zm

Ncleo de una seccin rectangular

Ncleo de una seccin circular

Ncleo de una seccin en I

5.2 Ecuacin de esfuerzos por carga normal axial y flexin unixial