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Ecuaciones Diferenciales Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica

Ingeniera en Telemtica

6 cuatrimestre

Programa de la asignatura:

Ecuaciones diferenciales

Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

Clave:

220920624 / 210920624

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico


Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 1

ndice

Unidad 1. Ecuaciones de primer orden ......................................................................... 2

Presentacin de la unidad ......................................................................................... 2

Propsitos ................................................................................................................. 2

Competencia especfica ............................................................................................ 2

1.1. Identificacin de una ecuacin diferencial .......................................................... 3

1.1.1. Clasificacin de ecuaciones generales (orden y grado) ............................... 3

1.1.2. Ecuaciones Diferenciales lineales y no lineales ........................................... 4

Actividad 1. Relacin de columnas ............................................................................ 5

1.1.3. Solucin de ecuaciones diferenciales (teorema de existencia y unicidad) .... 5

Actividad 2. Ecuaciones diferenciales con solucin nica ....................................... 10

1.1.4. Casos particulares (generalidades) ............................................................ 10

1.2. Clasificacin de ecuaciones diferenciales lineales ............................................ 11

1.2.1. Separacin de variables ............................................................................. 11

1.2.2. Exactas, no exactas, factor integrante ....................................................... 12

Actividad 3. Clasificacin de ecuaciones diferenciales ............................................ 16

1.3. Ecuacin de Bernoulli ....................................................................................... 17

1.3.1. Definicin ................................................................................................... 18

1.3.2. Ejemplos y su representacin grfica ......................................................... 18

Actividad 4. Representacin de un modelo matemtico .......................................... 20

Autoevaluacin ........................................................................................................ 21

Autorreflexin .......................................................................................................... 22

Para saber ms ....................................................................................................... 22

Cierre de la unidad .................................................................................................. 22

Fuentes de consulta ................................................................................................ 22



Unidad 1. Ecuaciones de primer orden

Presentacin de la unidad

Muchas de las leyes que rigen la naturaleza, ya sea fsicas, qumicas o astronmicas,

por ejemplo, pueden ser analizadas mediante modelos matemticos. Estos modelos

son, generalmente, funciones matemticas.

Recuerda que si y f x es una funcin, su derivada se puede interpretar como la razn de cambio de y con respecto a x . En cualquier proceso natural, las variables

involucradas y sus razones de cambio estn relacionadas entre s por medio de las

leyes que gobiernan dicho proceso. Por ello, al expresar tal conexin en el lenguaje

matemtico, el resultado con frecuencia es una ecuacin diferencial.

Propsitos

Al finalizar esta unidad, sers capaz de:

Identificar una ecuacin diferencial por medio de su orden, grado y linealidad.

Resolver una ecuacin diferencial por medio del teorema de existencia y unicidad.

Resolver ecuaciones diferenciales en campos de soluciones vectoriales y multivariables.

Resolver una ecuacin exacta, no exacta, factor integrante y separacin de variables.

Competencia especfica

Determinar el mtodo de solucin de una ecuacin diferencial a travs de su orden, grado y linealidad para establecer su resultado o conjunto de resultados.



1.1. Identificacin de una ecuacin diferencial

Una ecuacin es una igualdad con incgnitas, por ejemplo:

2 3 2 0xx

Es una ecuacin de 2 grado donde las soluciones 1 1x

,2 2x satisfacen la

ecuacin.

En cambio, la siguiente ecuacin tambin es una igualdad pero las incgnitas son

funciones:

2

20

d yy

dx

(1)

En este caso:

es una solucin de la ecuacin diferencial

2

20

d yy

dx

(2)

ya que al sustituir hace que se cumpla la igualdad:

2

2

( )0

d sen xsen x

dx

0sen x sen x

1.1.1. Clasificacin de ecuaciones generales (orden y grado)

Nuestro estudio se centrar en ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, aquellas

ecuaciones donde y es la variable dependiente y x la variable independiente; en

general, se acostumbra expresar una ecuacin diferencial de la siguiente manera:

1 2

( , , , ,... ) 0n

F x y y y y

(3)

El orden de una ecuacin diferencial es igual al de la derivada de orden ms alto. Por

ejemplo:

2

20

d yy

dx

(4)

es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden:

y sen x



2

20

d yy

dx

(5)

El grado de una ecuacin diferencial es igual al exponente positivo mayor al que se

eleva la derivada de mayor orden en la ecuacin. Por ejemplo:

32

20

d yy

dx

(6)

es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden de tercer grado

1.1.2. Ecuaciones Diferenciales lineales y no lineales

Una ecuacin diferencial ordinaria de orden nes lineal si se puede escribir de la forma:

1 11 01 .....n n

n nx y x y x xa a a y a y g x

(7)

donde los coeficientes k xa para 1,2,3,..k n son funciones reales, con

0n xa . Una ecuacin diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.

Se dice una ecuacin diferencial (7) es lineal con coeficientes constantes si las

funciones k xa son constantes para cualquier valor de k ; en caso contrario,

decimos que la ecuacin diferencial es de coeficientes variables.

Por otro lado, si la funcin g x es cero, decimos que la ecuacin diferencial

es homognea, y en caso contrario la ecuacin ser no homognea.

Por ejemplo:

2

25 2 0d y

ydx

es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, homognea de

coeficientes constantes. En cambio:



2

25 2 9d y

y xdx

es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, no homognea de

coeficientes constantes.

Actividad 1. Relacin de columnas

A travs de este ejercicio podrs analizar una serie de ecuaciones, definir su orden, grado y linealidad y clasificarlas.

1. Lee y analiza la informacin que te har llegar tu Facilitador(a).

2. Observa la tabla que se te presenta.

3. Relaciona cada una de las ecuaciones con su clasificacin, anotando la letra correcta dentro del parntesis.

4. Enva tu documento con la nomenclatura KEDI_U1_A1_XXYZ. Espera la retroalimentacin de tu Facilitador (a).

1.1.3. Solucin de ecuaciones diferenciales (teorema de existencia y

unicidad)

En la mayora de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales estamos interesados

no solamente en la solucin general de una Ecuacin Diferencial, sino en una solucin

particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de

valor inicial o de frontera.

Ejemplo 1:

Un mvil se desplaza a lo largo del eje x de manera tal que su aceleracin en

cualquier tiempo 0t est dada por la ecuacin 21 2a t t t . Encuentra la

ecuacin que determine la posicin x t de la partcula en cualquier tiempo, t

suponiendo que inicialmente la partcula est localizada en 1x y est viajando a una

velocidad de 3v

Por el clculo elemental, sabemos que la primera derivada nos da la velocidad y la

segunda derivada la aceleracin. De donde los datos del problema de valor inicial

seran:

21 2a t t t

22

21 2

d xt t

dt

(1)



0 1x

' 0 3x Integrando la Ecuacin (1) con respecto a x obtenemos la velocidad:

32

13

dx tv t t c

dt

Y usando la condicin ' 0 3x podemos hallar que 1 3c , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo t sera:

32 3

3

dx tv t t

dt

Integrando de nuevo, obtenemos el desplazamiento:

2 3 4 21 1 1

32 3 12

x t t t t t c

y usando la condicin

0 1x podemos determinar que 2 1c y obtener la posicin de la partcula en cualquier tiempo t :

2 3 41 1 1

3 12 3 12

x t t t t t

En la figura1 se muestra la grfica del movimiento:

Figura 1. Grfica de la posicin de la partcula versus tiempo. (Grafica obtenida con Derive)

Al considerar un problema de valor inicial es natural hacer las siguientes preguntas:

1. Existencia: Existir una solucin que satisfaga al problema?

2. Unicidad: La solucin, ser nica?

3. Determinacin: En caso de que exista solucin, cmo la determinamos?

Para poder contestar estas preguntas, analizaremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2:

Dado el problema de valor inicial 1

22dy

xydx

(2)



0 0y

podemos obtener fcilmente la solucin mediante separacin de variables: 1

22dy

xydx

(3)

1

2

2dy

xdx

y

Integrando ambos lados de la ecuacin obtenemos que:

1

2

2dy

xdx

y

(4)

La solucin general ser: 1

222y x c (5)

Si usamos la condicin inicial:

0 0y

0c

Por lo tanto, una solucin particular de la ecuacin ser: 1

222y x

Elevamos al cuadrado para despejar y: 4

4

xy

(6)

Al observar la ecuacin (4) vemos que no est definida para y=0 (no se puede dividir

entre cero); sin embargo, y=0 tambin es una solucin de la ecuacin diferencial, esta

solucin recibe el nombre de solucin singular porque no se obtiene a partir de la

solucin general (5).

Al sustituir las condiciones iniciales obtenemos distintos valores para la constante,

cada solucin representa una solucin particular. En la figura 2 se muestran algunas

de las soluciones.



Figura 2. Familia de curvas que representan algunas de las soluciones particulares de la

Ecuacin (5) (Grfica generada con DERIVE)

Ejemplo 3:

La familia de rectas: 22y c cx

representa la solucin general de la ecuacin diferencial:

2

2dy dy

x ydx dx

Sin embargo, la parbola: 2 8x y

representa la solucin singular porque no se obtuvo a partir de la solucin general.

Observa la figura 3:

Figura 3. En la imagen se muestran las soluciones particulares representadas por la familia de



rectas del ejemplo (3) y la solucin singular representada por la parbola.(Grfica generada

con Derive).

Teorema de existencia y unicidad

Este teorema nos permite saber si existe solucin nica sin necesidad de resolver la

ecuacin diferencial ya que solamente se toman en cuenta las condiciones dadas,

aunque el teorema no garantiza que exista solucin. En caso de no existir solucin, la

nica opcin que tenemos es por aproximaciones (mtodo de Euler):

Sea 2, ,R a b c d R tal que 0 0,x y R . Si ,f x y y f

v

son continuas en

R, entonces existe un intervalo abierto I , que contiene0x en su interior y una funcin

y x definida en I , que satisface el problema de valor inicial:

0 0

,dy

f x ydx

y x y

Ejemplo 4:

Si tenemos la siguiente ecuacin con condiciones iniciales:

1

22dy

xydx

1 4y

al aplicar el teorema tenemos que:

1

2, 2f x y xy

Al determinar la parcial tenemos que:

1

2

f x

vy

Observamos que las funciones ,f x y yf

v

son continuas en 1 4y (porque

1

2 0y ) por lo tanto no necesitamos resolver la ecuacin para concluir que

existe solucin nica. Mientras que para los valores de condiciones iniciales



0 0y el teorema no garantiza nada, porque las funciones ,f x y y

f

v

no son

continuas en 0 0y . (Porque no se puede dividir entre cero1

2 0y ).

En estos casos puede haber solucin nica, varias soluciones o que la ecuacin no

tenga solucin.

Actividad 2. Ecuaciones diferenciales con solucin nica

Mediante este ejercicio podrs identificar una ecuacin diferencial, analizar su estructura para conocer su categora y, de esta manera, diferenciar entre una ecuacin de una solucin o ms.

1. De la informacin que te har llegar tu Facilitador(a).

2. Observa detenidamente las ecuaciones diferenciales que se te presentan.

3. Determina si se trata de una ecuacin diferencial con solucin nica o no.

4. Selecciona la respuesta correcta anotando dentro del cuadro una .

5. Enva tu documento con la nomenclatura KED1_U1_A2_XXYZ. El peso del

archivo no debe exceder los 4 MB.

1.1.4. Casos particulares (generalidades)

Ecuaciones diferenciales lineales

Ahora analizaremos como obtener la solucin general de una ecuacin diferencial

lineal de primer orden dy

p x y g xdx

.

Podemos obtener la solucin general la mediante la siguiente frmula:

1 p x dx

p x dxy x e g x dx C

e

Ejemplo 5:

Hallar la solucin general de la siguiente ecuacin:

2dy

xy xdx



En este caso, vemos que:

2p x x

g x x

Sustituyendo obtenemos:

22p x dx xdx xe e e

Sustituyendo en la frmula:

2

2

1 xx

y x e xdx Ce

2

2

1 1

2

x

xy x e C

e

21

2 xC

y xe

Finalmente obtenemos:

21

2

xy x Ce

1.2. Clasificacin de ecuaciones diferenciales lineales

A continuacin estudiaremos los distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias

y el mtodo mas adecuado para su solucin.

1.2.1. Separacin de variables

Son ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser expresadas de la

siguiente forma:

g xdy

dx h y

Reacomodando obtenemos que:

h y dy g x dx

Separadas las variables procederemos a integrar ambos miembros. La solucin, por lo

general, es una funcin implcita es decir la variable y no est despejada.

Ejemplo 6:



Resuelve la siguiente ecuacin:

2

3

2

3

dy x

dx y

Solucin:

Separando variables:

3 23 2y dy x dx

Integrando ambos miembros de la igualdad:

3 23 2y dy x dx

4 33 2

4 3y x c

4 33 2

4 3y x c

Ejemplo 7:


1dy y

dx x

Solucin:

Separando variables:

1

dy dx

y x

Integrando ambos miembros de la igualdad:

1

dy dx

y x

ln( 1) lny x c

1.2.2. Exactas, no exactas, factor integrante

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden que se expresa de la forma:

, , 0M x y dx N x y

Se dice que es exacta si se cumple que:



M N

y x

Ejemplo 8:

Determina si la siguiente ecuacin es exacta:

2

dy y

dx x y x

2( ) 0ydx x y x dy

1M

y

2 1N

xyx

M N

y x

La ecuacin no es exacta, pero si multiplicamos por el trmino2

1:

x

2

2 2

( )0

ydx x y xdy

x x

2

1M

y x

2

1N

x x

M N

y x



La ecuacin es ahora exacta y el trmino2

1

x recibe el nombre de factor integrante.

El problema radica en poder encontrar una funcin ,x y tal que:

, , , 0x y M x y dx N x y

M N

y x

Si

M N

y x

N

Es continua y depende solamente de x, entonces:

exp

M N

y xx dx

N

Es un factor integrante de la Ecuacin.

Si

N M

x y

M

Es continua y depende solamente de y entonces:

exp

N M

x yy dy

M

Es un factor integrante de la Ecuacin.

Ejemplo 9:


2 3

21

dy xy y

dx xy

2 3 2(1 ) 0xy y dx xy dy



Obtenemos M N

yy x

22 3M

xy yy

2N yx

Determinamos un factor integrante que dependa nicamente de x o de y ; en este

caso probaremos con uno que depende de y .

2 2 2

2 3 2 2 2

2 22 3 2 2 2

N M

y y x y x yy xy y y xyx yy

M xy y y x y y x y y x y y

Con lo cual el factor integrante esta dado por:

2 2

1ln2

2ln ln1 2ln ln1 ln 2

2

1exp

dy

y y yy y

N M

x yy dy e e e e e y

M y

Recordemos que ln 1 0 ln ln lna

y a bb

y al multiplicar la ecuacin diferencial por este factor integrante:

2 2 3 2(1 ) 0y xy y dx xy dy

obtenemos la ecuacin que ahora es exacta:

2( ) 0x y dx y x dy

Por ahora daremos los pasos para resolver una ecuacin exacta:

Paso 1: Se busca una funcin ,f x y c tal que:

2f fx y y y xx y

Paso 2: integramos la primer parcial con respecto a x tomando a y como constante:



2

2

xf x y dx yx g y

21

,2

f x y x yx g y

Paso 3: Obtenemos la parcial con respecto a y de la segunda expresin y luego se

iguala con ,N x y :

,

'x y

x g xy

2'x g x y x

Paso 4: Despejando 'g x :

2'g x y

Integrando obtenemos que:

2 1g x y dy y

Como 21

,2

f x y x yx g y

Sustituyendo:

2 11

,2

f x y x yx y

Obtenemos finalmente:

2 11

2x yx y c

Actividad 3. Clasificacin de ecuaciones diferenciales

Cmo se pueden clasificar las ecuaciones lineales para poder separar una ecuacin



diferencial exacta de una no exacta?

Mediante este ejercicio podrs responder la pregunta que se te ha planteado, rara ello:

Compartir con los compaeros la forma en que se categorizan las ecuaciones diferenciales.

Comentar la diferencia encontrada entre una ecuacin diferencial exacta y una no exacta.

Comparar los conocimientos de los compaeros con los propios para reforzar el aprendizaje obtenido. 1. Entra en la seccin del Foro llamado Clasificacin de ecuaciones diferenciales.

2. Lee la pregunta que ah se plantea.

3. Redacta tus conclusiones y sbelas al Foro.

4. Comenta la respuesta de tres de tus compaeros.

Consulta la rbrica general de la participacin en foros, que se encuentra en la seccin Material de apoyo.

1.3. Ecuacin de Bernoulli

Existen algunas ecuaciones diferenciales que no son lineales pero que empleando

artificios matemticos podemos transformarlas en ecuaciones lineales. Un caso muy

importante y que aqu desarrollamos, lo tenemos mediante las Ecuaciones de

Bernoulli, pero tambin, podemos resolver una ecuacin diferencial no lineal a travs

de las ecuaciones de Riccati.

Riccati



Bernoulli

1.3.1. Definicin

Se dice que una ecuacin es de Bernoulli si se puede expresar de la forma:

ndy

p x y g x ydx

Donde 0,1n

Para encontrar la solucin de este tipo de ecuaciones se siguen los pasos siguientes:

Paso 1: Dividimos la Ecuacin entre ny

Paso 2: Efectuamos un cambio de variable 1 nv y y hallamos dv

dx

Paso 3: Resolvemos la Ecuacin Lineal resultante para obtener el valor de v

Paso 4. Obtenemos el valor de y x despejando del cambio de variable 1 nv y

1.3.2. Ejemplos y su representacin grfica

A continuacin se resolver una Ecuacin de Bernoulli paso por paso.

Ejemplo 10:


2 32dy

x xy ydx

Primero veremos si se puede expresar como una Ecuacin de Bernoulli, para esto



dividiremos toda la ecuacin entre 2x :

23

2 2 2

2 1x dy xyy

x dx x x

Simplificando nos queda una Ecuacin de Bernoulli:

ndy

p x y g x ydx

3

2

2 1dy yy

dx x x donde 12p x x y

2g x x

Paso 1: Dividimos entre 3y :

3

3 3 2 3

1 2 1dy y y

y dx xy x y

Simplificando tenemos que:

2

3 2

1 2 1dy y

y dx x x

Paso 2: Efectuamos el cambio de variable, en este caso 1 3 2v y y

Si derivamos con respecto a x :

32dv dy

ydx dx

Despejando dy

dxobtenemos que:

3

2

dy y dv

dx dx

Sustituyendo dy

dxy 2v y en la ecuacin

2

3 2

1 2 1dy y

y dx x x

tenemos que:

3

3 2

1 2 1

2

y dv v

y dx x x

Simplificando obtenemos:

2

1 2 1

2

dv v

dx x x

Multiplicando por 2 :

24 2dv v

xdx x

Paso 3: Obtenemos el valor de v utilizando el proceso para resolver una ecuacin



lineal mediante la frmula para ecuaciones lineales dv

p x y g xdx

vista

anteriormente:

1 p x dx

p x dxv x e g x dx C

e

En este caso 24

2p x y g x xx

44

4ln ln 4dx

x xxe e e x

Sustituyendo nos queda:

4 241

2v x x x dx Cx

641

2v x x dx Cx

42

5v x Cx

x

Por ltimo, usamos nuevamente el cambio de variable 2v y :

2 42

5y Cx

x

Actividad 4. Representacin de un modelo matemtico

Al finalizar esta actividad podrs:

Analizar un problema de aplicacin de ecuaciones diferenciales.

Resolver las ecuaciones necesarias para obtener un resultado.

Graficar el resultado obtenido.

1. Lee el planteamiento que te har llegar tu Facilitador(a).

2. Resuelve la ecuacin que se te presenta para obtener el valor de la poblacin en funcin del tiempo.

3. Grafica la solucin correspondiente con un software (puede ser en lnea como el Wolfram Alpha).

*Para ejecutar este software en lnea visita: http://www.wolframalpha.com/. En Material de apoyo de la unidad puedes consultar el archivo Tutorial Wolfram que pretende ser una gua bsica para su uso.

4. Anexa las capturas de pantalla al documento, en caso de requerir grficos o alguna otra especificacin de tu Facilitador(a).



5. Enva tu documento con la nomenclatura KEDI_U1_A4_XXYZ. Espera la retroalimentacin de tu Facilitador (a).

Autoevaluacin

Muy bien! Haz llegado al final de la unidad.

Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, debers ingresar a la autoevaluacin y responder las preguntas que ah se te plantean. La calificacin obtenida quedar registrada en el portafolio de evidencias.

Para ingresar a la autoevaluacin: Verifica el enlistado de las actividades y da clic en Autoevaluacin.

Evidencia de aprendizaje. Sistemas algebraicos de computacin (SAC)

Al finalizar sers capaz de:

Identificar algunos tipos de software como herramientas en la solucin de ecuaciones diferenciales.

Manejar el software elegido para la solucin de ecuaciones diferenciales.

Solucionar ecuaciones diferenciales por medio de aplicaciones informticas. Para realizar la actividad:

1. Utiliza el programa recomendado u otro que conozcas. 2. Consulta las instrucciones con que te de tu Facilitador(a). 3. Utiliza el programa elegido para encontrar la solucin al problema propuesto. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura KEDI_U1_EA_XXYZ. 5. Enva tu reporte al portafolio de evidencias, espera la retroalimentacin de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenva la nueva versin de tu evidencia. 6. Consulta la Escala de Evaluacin para conocer los criterios con que ser evaluado tu trabajo.



Autorreflexin

Con el propsito de ayudarte a poner en contexto lo que has aprendido en esta unidad, es conveniente que respondas realices las siguientes actividades: 1. Investiga acerca de las ecuaciones de Ricatti y Bernoulli. 2. Responde las siguientes preguntas:

Es posible convertir una ecuacin de Riccati a una ecuacin de Bernoulli?

Cul es el cambio de variable necesario para realizar dicho cambio?

Para saber ms

Consulta en cualquier texto de los sugeridos en la bibliografa bsica o especfica el

tema Familia de soluciones. Clasificacin de las ecuaciones diferenciales

Familia de soluciones

Cierre de la unidad

En esta unidad se inici el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden. De

acuerdo al tipo de ecuacin, se implementaron los mtodos ms adecuados para su

solucin; adems, se sentaron las bases necesarias para el estudio de ecuaciones

diferenciales de orden superior. De esta manera, has adquirido los conocimientos

mnimos necesarios para la solucin de problemas en distintas areas, por lo que se te

invita a continuar con tus estudios sin olvidar que la prctica constante te dar el

dominio de un tema tan fascinante como lo son las ecuaciones diferenciales.

Fuentes de consulta

Bosch, C., (2006), Clculo diferencial e integra, Mxico: Publicaciones Cultural.

Larson, R., (2009), Matemticas II Clculo integra,. Mxico: Mc Graw Hill.

Picn, P., (2006), Anlisis conjunto, Mxico: Porra.

Zill, D., (2008), Ecuaciones diferenciales, Mxico: Mc Graw Hill.

Documents

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