Nemegyensúlyi termomechanikaVán Péter

Wigner FK RMI, Elméleti Fizika Osztály

– Termodinamika és mechanika• Összefoglalás - tézisek

– Elvek: stabilitás, kovariancia, II. főtétel• Farkas lemma és Liu-eljárás

– Példák:• Ginzburg-Landau-egyenlet

• Korteweg-folyadékok

• Disszipatív relativisztikus folyadékok

Termodinamika és mechanika – kutatási célok

Statisztikus mechanika – termosztatikaKinetikus gázelmélet – nemegyensúlyi termodinamika,

lokális egyensúly + …

Termosztatika: univerzalitás (abszolút hőmérséklet, Einstein) meglepő mély kapcsolatok (Planck, Bekenstein, Verlinde)

Nemegyensúlyi termodinamika: univerzalitás?, általánosságalkalmazások (adott szintig: hőátadás, hővezetés)

kulcs: mechanika

Lokális egyensúly - lokálisan termosztatika.

Nemegyensúlyi termodinamika Onsager (1931) – homogén.

Eckart (1940) – térelmélet, entrópiaprodukcióPrigogine, Meixner, Casimir, de Groot (1941- )kiterjesztés: Onsager és Machlup

Racionális mechanika reológia: Maxwell, Kelvin, Poynting-Thomson,

Boltzmann (Volterra-elv).

általánosított kontinuumok: Cosserat (1900)Truesdell-Noll (1965), Coleman, Gurtin, … , Vilaggio, Ball A mechanika matematikai elmélet.

memória, elvek, II. főtétel, lokális?, egyensúly?

Nincs termosztatika, Onsagerizmus hülyeség.

Konstitutív elmélet

termodinamikai lezárás

Lokális egyensúly:

Folyadékok: Fourier-Navier-Stokes

Entrópiamérleg:

1

, vpdvTdsde

.

,0

,0

ijiji

i

ijij

i

ii

vPqe

Pv

v

)(C ),( j

ivC

– alapváltozók:

– konstitutív állapottér

– anyagfüggvények

),( iv

)(),( CPCq iji

),(),(),,( vesveTvep

0)((?)),( CJves ii

0)(11

.11

2

jiijij

ii

i

i

ii

ijiji

i

i

i

vpPTT

q

T

qv

T

pvPq

TT

qv

T

pe

T

Erők és áramok + izotrópia:

Fourier Navier-Stokes

Feltételek (problémák):erő-áram rendszerentrópiaárammérleg: kényszer, lendületmérleg nem?sebesség? belső és teljes energia: sebességfüggő termosztatika?

Prigogine-tétel (1945), Brenner-diffúzió (2000)magasabbfokú folyadékok, pl. Korteweg (1901):

ijjiijkk

kk

ijKor pP

pdvTdsdvvdede

vee

iiT

T

,2

2

0)(11

jiijij

ii vpP

TTq

.)(1

,1 ijk

kvs

jiijij

ii vvpP

TTq

),( jivC

Nemlokális nemegyensúly?II. főtételkovariancia (téridő)interdiszciplinaritás

homogénnemrelativisztikus kontinuum egységes elméletrelativisztikus kontinuum

Módszerek: függvénytani elemzés + anyagi objektivitás (spéci kovariancia)

deriváltak, Coleman-Noll-eljárás, Liu-eljárásmechanika leválasztása (zárójelek): GENERICmikroerő mérleg, virtuális teljesítmény (mechanika)extra, belső változók

1. Konstruktív módszert dolgoztam ki a klasszikus kontinuumfizika térben gyengén nemlokális elméleteiben az anyagi tulajdonságokat meghatározó konstitutív relációk meghatározására. A módszer a második főtétel alkalmazásán alapul, a racionális termodinamika Liu-eljárását terjeszti ki. Ezt a módszert alkalmaztam a következő esetekben:a) Klasszikus irreverzibilis termodinamikab) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális

kontinuumelmélet: Ginzburg-Landau-egyenlet.c) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális

kontinuumelmélet: általánosított kontínuummechanikad) Korteweg-folyadékoke) Merev, izotrop hővezetők

1. Termodinamikai reológiaa) Térfogati reológiab) Objektív időderiváltak

1. Speciális relativisztikus disszipatív folyadékoka) Gibbs-relációb) Generikus stabilitás

Homogén termodinamika:kontinuum homogénközönséges differenciálegyenletek

Onsager, Fényes, Truesdell-Bharatha (kontinuumokból!)véges idejű termodinamika, entrópiatermelés minimalizálás, …

II. főtétel: egyensúly aszimptotikus stabilitása (Matolcsi Tamás)összentrópia: Ljapunov-függvényPl. exergia = összentrópia x állandó, elvi kérdések

Értelmes lokális viszonyok:Gibbs-reláció: entrópia értelmezés, gradiensfüggő is.a homogén egyensúly (nem?)lineáris stabilitása

relativisztikusan: generikus stabilitás

Gyakorlat (alkalmazások):

- Általánosított hővezetés (Guyer-Krumhansl)- ‘Gradiens’ anyagok a mechanikában (mikroszerkezet)

folyadékkristályok (Oseen-Frank)mikrorepedezésporózus anyagokhomok (Goodman-Cowin)nyírófelületek szerkezete

- Korteweg-folyadékok - Turbulencia- Struktúraképző egyenletek (fázismező)

Ginzburg-Landau, Cahn-Hilliard, etc… és ezeken túl….

Fla a Fla a

Ginzburg-Landau (variációs)

))('( aafla kk – II. főtétel?

– variációs, de miért?– k

dVaaafaF ii )

2)(()(

aafF k

ka )('

Ginzburg-Landau (termodinamikai, nem lokalizálható)

0 Fat

0 iSit js

),,( aaa iji

)iSJsF ,,(

Liu-eljárás (Farkas-lemma)

),( aas i )(),()( 0 CFsaajCj aiii

S

0

Fssa

ias i

ssLaa

iat i

konstitutív állapot

konstitutív függvények0 Fa iit

),,( aaaC xxx

),(

),(0

;;

33 aajfsJfJ

aass

ss

xaxx

xa

aa

x

xx

x

Liu-egyenletek

0)(

fa

s

a

s

xxs

0)()(

)()()(

2211

33321

fafJafJ

fJasasasa

xxxxx

xxxxtxxtxt

)()( 321

321321

afafafafa

aJaJaJasasas

xxxxxxtxt

xxxxxxxxxtxxtxt

))()(())()(()()( CfaCCfaCCJCs xtxtxxt

konstitutív állapottér

Történet:Farkas Gyula és I-Shih Liu (+I. Müller)lineáris algebra,

Új :

A kényszer deriváltja is kényszer.Az entrópiaáram konstitutív.

Müller-féle K vektor és a racionális termodinamika

A fejlődési egyenlet származtatása termodinamikailag.

Lokális egyensúly:

Folyadékok: Fourier-Navier-Stokes 2.

Entrópiamérleg:

1

, vpdvTdsde

.

,0

,0

ijiji

i

ijij

i

ii

vPqe

Pv

v

),,( j

ii vC

– alapváltozók:

– konstitutív állapottér

– anyagfüggvények

),( iv

)(),( CPCq iji

),(),(),,( vesveTvep

0)((?)),( CJves ii

0)(11

.11

2

jiijij

ii

i

i

ii

ijiji

i

i

i

vpPTT

q

T

qv

T

pvPq

TT

qv

T

pe

T

Liu-eljárás:

- Elsőrendűen gyengén nemlokális: FNS- Teljes energiával (+lendületmérleg) és belső energiával ugyanaz.- Parciális vagy szubsztanciális időderivált nem számít.

Folyadékok: Fourier-Navier-Stokes 2.

.

,0

,0

ijiji

i

ijij

i

ii

vPqe

Pv

v

),,,,,,( TiTj

ii

iji eevvC

– alapváltozók:

– konstitutív állapottér

– anyagfüggvények

),,( evi

)(),(),(),( CJCsCPCq iS

iji

0)()()()(

)()()()(0

CqeCCPvC

vCvCCJCsiTiT

jij

ii

iii

iii

ii

Liu eljárás eredménye:

iij

jj

ijj

iiS Jvsvs

TPvqJ

ji 0

2

2

1

)2/,,( 2vess Tie

022

11 22

jij

ijk

iji

ijj

i vsT

sT

pPTT

Pvqik

sssT

Pik j

ijk

ijrev

22

2

Ideális folyadék:

Schrödinger-Madelung folyadék

2

22),,(

iSchM

SchM eses

2

8

1 2rSchM IP

(Fisher entrópia forma)

sssT

Pik j

ijk

ijrev

22

2

UT

P iij

revj ssU

ii )(

Potenciál tulajdonság, Lagrange sűrűség:

Potenciálként : Qr U P

Bernoulli egyenlet

)()( eeQ ssU Euler-Lagrange

Schrödinger egyenlet

v ie

Variációs eredet

.2

,j

iijk

kij

ii

vv

Tq

Isotropic linear constitutive relations,<> is symmetric, traceless part

Equilibrium:

.),(.,),(.,),( consttxvconsttxconsttxn ii

ii

Linearization, …, Routh-Hurwitz criteria:

00)(

,0

,0,0,0

TT

TTpnpp

T

nnn

,0

,0

,0

iijj

jj

ii

jiiji

ii

i

ii

Pvkk

vPqv

vnn

Hydrodynamic stability )( 22 sDetT

Thermodynamic stability(concave entropy)

Fourier-Navier-Stokes

0)(11

jiijij

ii vnTsP

TTq

p

.2

,j

iijk

kij

ii

vv

Tq

Isotropic linear constitutive relations,<> is symmetric, traceless part

Equilibrium:

.),(.,),(.,),( consttxvconsttxconsttxn ii

ii

Linearization, …, Routh-Hurwitz criteria:

00)(

,0

,0,0,0

TT

TTpnpp

T

nnn

,0

,0

,0

iijj

jj

ii

jiiji

ii

i

ii

Pvkk

vPqv

vnn

Hydrodynamic stability )( 22 sDetT

Thermodynamic stability(concave entropy)

Fourier-Navier-Stokes

0)(11

jiijij

ii vnTsP

TTq

p

Termodinamikai elmélet

)a(fa Dinamikai törvény:

,...),c,v(a

1 Sztatika (egyensúlyi tulajdonságok)

S

aa

S,,

T

1

e

S

2 Dinamika

0)a(f)a(DSa)a(DS)a(S

1 + 2 + elszigetelt rendszer

S Ljapunov függvénye a dinamikai törvény egyensúlyának

Irreverzibilitás közelítés az egyensúlyhoz

Stabilitási szerkezet Dinamikai szerkezet

1. példa (diszkrét)

)a(fa

0)( aSa dinamikai egyenlet minden megoldása esetén

)a(f)a(DS)a(S0 )a(DS)a(l)a(f

?)a(f

relaxációs dinamika

aa ja mérlegek ,...),( va

– állapottér:– konstitutív tér:– anyagfüggvények:

a

)C(aj,...),,(C aaa

gyengén nemlokálisMásodik főtétel:

0)C()C(s ss j

Anyagelmélet

Módszer: Liu eljárás - Farkas lemma - Lagrange szorzókDe: konstruktívan

(más is lehet)

2. példa (kontinuum)

3. példa (Ginzburg-Landau)

gt

0js st

),,( 2

)j,s,g( s

Liu eljárás

),(s (.)gs),(j(.)j 0s

0g)ss(s

)ss(.)(lgt

állapottér

állapot függvények

0 TTc t

Hővezetés

0 qut

0 st s j0 Gtq

T q

qq tT

)( cTu

Fourier

Maxwell-Cattaneo

0 TTc t

0 TTcTc ttt 0 TTcTc ttt

?

Gyengén nemlokális kiterjesztett termodinamika

),,,,( 2qqq uu

)js,,( sG

Liu eljárás:

),( qus

),,( qqj us

0 sGsuss qqj

konstitutív tér

anyagfüggvények

0 qut

0 st s j0 Gtq

megoldás?

Lokális állapot:

qqmqq ),(2

1)(),( 0 uusus

qqqBqqj ),,(),,( uus

kiterjesztett entrópia

entrópia áram (Nyíri)

0)(:)( qmBqIB

Gsus

qqmB 2221 LLG qqIB 1211 LLsu

qqIqqqm 222111211 )( LLsLLt Guyer-Krumhansl + qq Tt

Két komponensű gyengén nemlokális keverék

2211szilárd komponens sűrűségetérfogateloszlási függvény

),,( v

),,,,,( vv C

konstitutív függvények

)C(),C(),C(s s Pj

alapállapot

konstitutív állapot

00 v

0Pv )C(

0)C()C(s s j

Kényszerek: )3(),2(),2(),1(),1(

.)(

,)(

,)(

,s

,s

,s

,s

,s

,s

s54s

s5s

s5s

5

4

3

2

1

0PIj

0Pj

0Pj

0

vv

v

v

.s

,s

,s

,s

0

0

0

0

izotróp, másodrendű

Liu-egyenletek

Megoldás:

2

)()(

2),(),(),,,,(

22

vv mss e

).,,()(),()( 1 vjPvj CmCs

Egyszerűsítés:

0:)s(:)m( vIPv

.,),,(,121

p

sm e 0vj

0:)( vIP p

Pr

Coulomb-Mohr

Entrópia produkció:

Goodman-Cowin:

2)2)(p( 2r IP

h Konfigurációs erők mérlege

2)( s

2)( pt

spt

)(ln

2

11

N

S

t

s

instabil

stabil

Coulomb-Mohr:

nPnN r: NPS r:

222 )( stNS

Entrópia a (információ elméleti, prediktív, bayesi) statisztikus fizikában

(Jaynes, 1957):

Az információ mértéke egyértelmű általános fizikai feltételek mellett.

(Shannon, 1948; Rényi, 1963)

– Extenzivitás (átlag, sűrűség)– Additivitás

)()()( 2121 fsfsffs

fkfs ln)( (egyértelmű megoldás)

Entrópia a “gyengén nemlokális” (?) statisztikus fizikában (Fisher, Frieden, Plastino, …):

– Izotrópia))(,(),( 2DffsDffs

– Extenzivitás

– Additivitás

),(~),(~))(,( 22112121 DffsDffsffDffs

2

2

12 )(

ln))(,(f

DfkfkDffs

Fisher

Boltzmann-Gibbs-Shannon

(egyértelmű megoldás)

- Maxent : véges tartó, hatványfarok- Magasabb deriváltakat nem érdemes

-2 -1 1 2x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

R

18

,12

),5,2,5.1,3.1,2.1,1.1,1(4 111

mkk

k

k

k

Összefoglalás

– Második főtétel – mozgásegyenletek konstrukciója és korrekciója

– Anyag - jellemzők

– Prediktív

– Univerzális:

Termodinamika

Statisztikus fizika

Mikro leírás

12

ln)(

.

2

2

2

1

fdxEdxm

pf

dpfkf

Dfkfextr

4 MaxEnt calculations – the interaction of the two terms(1D ideal gas)

fR :

048

ln2

''1

2

11

Rk

kRp

mkRR

k

kR

boundarys RRJ |'

048

ln2

''1

2

11

Rk

kRp

mkRR

k

kR

CR

R

)0(

0)0('

There is no analitic solution in general

There is no partition function formalism

symmetry

Numerical normalization

One free parameter: Js

)()()( 2121 fsfsffs

)(')(')(

)(')(')(

2211212

1212211

fsffsfffsf

fsffsfffsf

1

2

2

121

)(')(')('

f

fs

f

fsffs

.)(' constfsf

Cfdff

fs ln)(

ffs ln)(