Vật lý đại cương - Tập 1: Cơ - Nhiệt - Điện Tác giả: Bộ môn Vật lý, Trường Đại Học Công Nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh, 2006

7/27/2019 Vật lý đại cương - Tập 1: Cơ - Nhiệt - Điện Tác giả: Bộ môn Vật lý, Trường Đại Học Công Nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh, 2006

http://slidepdf.com/reader/full/vat-ly-dai-cuong-tap-1-co-nhiet-dien-tac-gia-bo 1/348

LỜ I NÓI ĐẦU

Bộ sách Giáo trình V ật Lý Đại C ươ ng do Bộ môn Vật Lý biên soạn đã

đượ c Hội Đồng Khoa Học thẩm định và Hiệu Tr ưở ng phê duyệt làm GiáoTrình Chính Thứ c để giảng dạy cho sinh viên hệ Đại Học và Cao Đẳng

tr ườ ng Đại Học Công Nghiệ p Thành Phố Hồ Chí Minh.

Bộ sách gồm 2 tậ p:

Tậ p 1: Cơ – Nhiệt – ĐiệnTậ p 2: Quang – Vật lí nguyên tử và Hạt nhân

Giáo trình đượ c biên soạn trên quan điểm cho sinh viên t ự nghiên cứ u.

Khi lên lớ p, sinh viên sẽ đượ c giáo viên hệ thố ng l ại các kiế n thứ c cố t lõi, giảiđ áp các thắ c mắ c và khai thác thêm các bài t ậ p mẫ u. Do đó các kiến thức

không những đượ c sắ p xế p một cách logic, chặt chẽ, rõ ràng, mà còn có các ví

dụ minh họa, giúp sinh viên có thể tự đọc, l ĩ nh hội dễ dàng. Để đo sự chiếm

l ĩ nh tri thức, cuối mỗi chươ ng đều có các câu hỏi, bài tậ p. Hy vọng vớ i sự nỗ lực, trong thờ i gian ngắn các bạn có thể chiếm l ĩ nh đượ c nhiều các tri thức vật

lí đại cươ ng.

Giáo trình này là k ết quả của sự làm việc nhiệt tình, tâm huyết của quí

thầy, cô có năng lực, kinh nghiệm trong giảng dạy và nghiên cứu khoa học.

Mặc dù đã cố gắng, song không tránh khỏi những thiếu sót, r ất mong

đượ c sự góp ý của qúi bạn đọc để bộ sách ngày càng hoàn thiện. Thư góp ý xin

gửi về Bộ môn Vật lý khoa Khoa Học Cơ Bản tr ườ ng ĐHCN TPHCM.

Tháng 9 năm 2006

Ban biên soạn

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chươ ng 0: MỞ ĐẦU 3

Chươ ng 0: MỞ ĐẦU

Khi nghiên cứ u một môn học hay bấ t cứ một đố i t ượ ng nào đ ó, ta thườ ngđặt các câu hỏi như : môn học đ ó là gì? Nó nghiên cứ u về vấ n đề gì? Nghiên cứ u

như thế nào? … T ừ đ ó sẽ định hướ ng cho mình một cách đ úng đắ n để việc nghiêncứ u đạt k ế t qủa t ố t.

N ội dung của chươ ng này nhằ m giớ i thiệu cho bạn đọc bứ c tranh t ổ ngquan về Khoa H ọc V ật Lí, đồng thờ i chỉ ra nhiệm vụ của môn V ật Lí Đại C ươ ng.

Hi vọng nó sẽ hỗ tr ợ t ố t cho việc tìm hiể u tri thứ c vật lí ở nhữ ng chươ ng sau.

§0.1 – ĐỐI TƯỢ NG VÀ PHƯƠ NG PHÁP NGHIÊN CỨ U

CỦA VẬT LÝ HỌC1 – Đối tượ ng nghiên cứ u :

Vật Lý Học là một khoa học t ự nhiên, nghiên cứ u về các cấ u trúc, các tínhchấ t và các d ạng vận động t ổ ng quát của thế giớ i vật chấ t.

Tên khoa học là Physics, xuất phát từ gốc từ Hylạp: “phylosophia” cóngh ĩ a là yêu thích sự thông thái. Các tri thức vật lý đã có từ thờ i cổ và các nhà khoahọc cổ Hylạp tự gọi mình là phylosophos – ngườ i bạn của sự khôn ngoan và dạysự khôn ngoan, hiểu biết của mình cho ngườ i khác.

Trướ c đây, Vật Lý Học cùng các khoa học tự nhiên khác nằm chung trongmột khoa học duy nhất, gọi là “Triế t học t ự nhiên”. Đến thế kỷ XVIII mớ i bắt đầuphát triển riêng thành một khoa học độc lập (V ật lý cổ đ iể n).

Khi các Khoa học phân ngành, mỗi bộ môn sẽ đi sâu nghiên cứu vào mộtvài l ĩ nh vực. Vật Lý Học nghiên cứ u các đặc tr ư ng, các tính chấ t, các qui luật vậnđộng mang tính t ổ ng quát của các sự vật hiện t ượ ng xả y ra trong t ự nhiên nhằmhiểu rõ bản chất của sự vật hiện tượ ng ấy, từ đó vận dụng vào cuộc sống, phục vụ lợ i ích cho con ngườ i.

Trong các hiện tượ ng tự nhiên, có các hiện tượ ng vật lý. Nhiệm vụ của Vật

Lý Học là phải tìm ra qui luật của các hiện t ượ ng vật lý và giải thích vì sao nó lạixảy ra như thế.

2 – Phươ ng pháp nghiên cứ u:Các hiện tượ ng xảy ra trong tự nhiên là độc lập vớ i ý thức của con ngườ i.

Để khám phá ra qui luật của sự vật hiện tượ ng, Nhà Vật Lý trướ c hết phải biếtquan sát và ghi chép diễn biến của sự vật hiện tượ ng đó. Trong một số trườ ng hợ p,phải tiến hành các thí nghiệm để lặp lại, quan sát lại sự vật, hiện tượ ng, đồng thờ ithay đổi một vài thông số nhằm rút ra sự ảnh hưở ng của từng thông số vào hiệntượ ng đó.

Các số liệu thu đượ c từ quan sát, thí nghiệm chỉ là những dữ liệu rờ i rạc,qua quá trình xử lý (bằng các qui tắc toán học, biểu đồ, đồ thị, …), các dữ liệu đósẽ cho thông tin quan trọng về qui luật, bản chất của sự vật, hiện tượ ng mà tanghiên cứu – Đó chính là những định luật của vật lý.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M






Những tri thức vật lý đại cươ ng không chỉ là những cơ sở để sinh viên họcvà nghiên cứu các môn khoa học khác, mà còn góp phần rèn luyện phươ ng phápsuy luận khoa học, phươ ng pháp nghiên cứu thực nghiệm và xây dựng thế giớ iquan duy vật biện chứng.

§0.2 – CÁC ĐẠI LƯỢ NG VẬT LÝ VÀ HỆ ĐƠ N VỊ SI

1 – Các đại lượ ng vật lý:Mỗi một tính chất hay một thuộc tính của sự vật, hiện tượ ng, đượ c mô tả

bở i một thông số – gọi là đại lượ ng vật lý . Ví dụ: tính chất nhanh hay chậm củachuyển động, đượ c mô tả bở i đại lượ ng vận tốc; diễn tả cho sự tươ ng tác giữa cácvật là lự c; …

Các đại lượ ng vật lý có thể là vô hướ ng (như: khố i lượ ng, đ iện tích,…)

hoặc hữu hướ ng (như: lự c, vận t ố c, …). Đại lượ ng vô hướ ng đượ c biểu diễn bằnggiá trị số có thể dươ ng, âm hoặc bằng không. Do đó, xác định đại lượ ng vô hướ ngngh ĩ a là xác định số trị của nó. Đại lượ ng hữu hướ ng đượ c biểu diễn bằng mộtvectơ . Vậy, xác định một đại lượ ng hữu hướ ng là xác định phươ ng chiều, môdunvà điểm đặt của vectơ biểu diễn đại lượ ng đó.

Mỗi một đại lượ ng vật lý đượ c kí hiệu bở i một hay nhiều kí tự La Tinhhoặc kí tự Hi Lạp (xem bảng 0.1).

Bảng 0.1: Các mẫu tự HiLạp

Tên gọi Viếtthườ ng Viết in Tên gọi Viếtthườ ng Viết in

Alfa α A Nuy ν N

Bêta β B Kxi ξ Ξ

Gamma γ Γ Ômikrôn O O

Đelta δ ∆ Pi π Π

Epxilon ε E Rô ρ P

Zêta ζ Z Xichma σ Σ

Êta η H Tô τ T

Têta θ Θ Ipxilon υ Y

Iôta ι I Fi ϕ Φ

Kapa κ K Khi χ X

Lamđa λ Λ Pxi ψ Ψ

Muy µ M Ômêga ω Ω WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



6 Giáo Trình Vật Lý Đại Cươ ng – Tập 1: C ơ – Nhiệt – Điện

2 – Hệ đơ n vị – Hệ đơ n vị SI:Một đại lượ ng vật lý chỉ có ý ngh ĩ a thực sự khi ta định lượ ng đượ c nó,

ngh ĩ a là phải đo đượ c. Đo một đại lượ ng vật lý là so sánh đại lượ ng ấy vớ i một“chuẩ n” cùng loại chọn làm đơ n vị. Giá trị đo đượ c sẽ bằng tỉ số giữa đại lượ ng

cần đo vớ i chuẩn đơ n vị.Ví dụ: đo chiều dài của một khúc gỗ là so sánh chiều dài đó vớ i “chuẩn” –gọi là MÉT. Nếu chiều dài của khúc gỗ gấp x lần chiều dài của “chuẩn” thì ta nóikhúc gỗ dài x mét. Nếu lấy “chuẩn” là INCH thì tươ ng tự, chiều dài khúc gỗ sẽ là yinch.

Như vậy, một đại lượ ng vật lý có thể có nhiều đơ n vị đo, tùy theo “chuẩn”mà ta chọn làm đơ n vị. Vớ i mỗi đơ n vị đo, ta lại có một giá trị đo khác nhau, mặcdù cùng một đại lượ ng.

Một hệ đơ n vị luôn gồm một số các đơ n vị cơ bản và các đơ n vị d ẫ n xuấ t .

Các đơ n vị dẫn xuất đượ c định ngh ĩ a từ các đơ n vị cơ bản thông qua các phươ ngtrình vật lí. Qui luật biểu diễn sự phụ thuộc này gọi là thứ nguyên của đơ n vị dẫnxuất.

Có một số hệ đơ n vị, chúng khác biệt ở cách chọn những đại lượ ng đượ clấy làm các đại lượ ng cơ bản và đơ n vị của chúng đượ c thiết lập nên do những thỏathuận riêng. Ví dụ: Hệ CGS (hệ Gauss) chọn đơ n vị cơ bản là centimét, gam vàgiây.

Để thống nhất chung toàn thế giớ i, năm 1960, các nhà khoa học đã họp lạivà thống nhất một hệ đơ n vị chung gọi là hệ SI (système international). Trong hệ

này, có 7 đơ n vị cơ bản:* Độ dài mét (m)

* Khối lượ ng kilôgam (kg)

* Thờ i gian giây (s)

* Cườ ng độ dòng điện ampe (A)

* Nhiệt độ kelvin (K)

* Lượ ng chất mol (mol)

* Độ sáng candela (Cd)

Ngoài 7 đơ n vị cơ bản, còn có đơ n vị phụ: đơ n vị đ o góc phẳ ng là radian (rad); góckhố i là steradian (sterad). Các đơ n vị này không có thứ nguyên.

Mỗi đơ n vị dẫn xuất của một đại lượ ng vật lý đượ c biểu diễn thông qua cácđơ n vị cơ bản theo một quy luật nhất định. Ví dụ thứ nguyên của:

[vận tốc] = [độ dài] [thờ i gian] – 1 = ms – 1

[gia tốc] = [độ dài] [thờ i gian] – 2 = ms – 2

[lực] = [khối lượ ng] [độ dài] [thờ i gian] – 2 = kgms – 2

T ừ đ ó suy ra:

* Hai đại lượ ng cùng loại mớ i công đượ c.* Hai vế của một phươ ng trình vật lý phải cùng thứ nguyên.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ngoài các đơ n vị chuẩn, ngườ i ta còn dùng các tiếp đầu ngữ để chỉ ướ c vàbội của đơ n vị (xem bảng 0.2).

Để học tốt Vật Lý Đại Cươ ng, sinh viên phải có một số kiến thức về toán,nhất là kiến thức về vect ơ , vi phân và tích phân.

Bảng 0.2: Tiếp đầu ngử chỉ ướ c và bội của các đơ n vị

Tên gọi Kí hiệu Bội Tên gọi Kí hiệu Ướ c

đềca

hectô

kilô

mêga

giga

têrapêta

ecxa

da

h

k

M

G

TP

E

10

102

103

106

109

1012 1015

1018

đềxi

centi

mili

micrô

nanô

picôfemtô

attô

d

c

m

µ

n

pf

a

10 – 1

10 – 2

10 – 3

10 – 6

10 – 9

10 – 12 10 – 15

10 – 18

§0.3 – KHÁI QUÁT CÁC PHÉP TÍNH VỀ VECTƠ

1 – Khái niệm vectơ :

Đoạn thẳ ng có định hướ ng gọi là một vect ơ .Một vectơ có 4 yếu tố: phươ ng, chiều, modun và điểm đặt.

→

moâdunlaøgoïiABdaøiÑoä

vectôcuûagiaùlaøgoïiABthaúngÑöôøng

ngoïn:B

goác:A

AB

Qui tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B. C bất kỳ trong không gian, ta luôn có:→→→→→→

−=+= CACBABhayCBACAB (0.1)

2 – Tọa độ của vectơ :

Trong hệ tọa độ Descartes, gọi a1, a2, a3 lần lượ t là hình chiếu của vetơ →

a

lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz thì ta có thể mô tả vectơ →

a thông qua bộ ba số thực

(a1, a2, a3): )a,a,a(ka jaiaa 321321 =++=→→→→

(0.2)

Bộ số thực (a1, a2, a3) đượ c gọi là tọa độ của vectơ →a .

Khi đó môdun của vectơ →

a đượ c tính bở i công thức:

A

B

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




23

22

21 aaa|a|a ++==

→

(0.3)

3 – Cộng vectơ :

Tổng của haihay nhiều vectơ là mộtvectơ mớ i, đượ c xácđịnh theo qui tắc nố iđ uôi hay qui tắc hìnhbình hành (hình 0.1).

Nếu→

a = (a1, a2, a3) và→

b = (b1, b2, b3) thì vectơ tổng là:

)ba,ba,ba(bac 332211 +++=+=→→→

(0.4)

Độ lớ n của vectơ tổng: α++= cosab2bac 22 (0.5)

trong đó α là góc tạo bở i 2 vectơ ar

và br

.

- Nếu→→

⊥ ba (hình 0.2) thì :

2b+= 2ac (0.6)

- Nếu→→

↑↑ ba thì:

c = a + b (0.7)

- Nếu→→

↑↓ ba thì :

bac −= (0.8)

- Nếu a = b (hình 0.3) thì :

)2 / cos(a2c α= (0.9)

4 – Trừ vectơ :

Hiệu của vectơ →

a và→

b là tổng của vectơ →

a vớ i

vectơ đối của→

b :→→→→→

=−+=− d)b(aba (0.10)

Nếu dùng qui tắc hình bình hành thì vect ơ hiệu

→

d hướ ng t ừ ngọn của vect ơ tr ừ

→

b đế n ngọn của vect ơ bị tr ừ

→

a (hình 0.4).

→

a

→

b

→

c

→

a

→

b

→

c α

Hình 0.1: C ộng hai vect ơ .

→

a

→

b

→

c

) α

Hình 0.3: T ổ ng của 2 vect ơ cùng môdun.

→

b →

c →

a

Hình 0.2: T ổ ng của hai vect ơ vuông góc.

→

b →

d →

a

Hình 0.4: Hiệu của 2 vect ơ .

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Nếu→

a = (a1, a2, a3) và→

b = (b1, b2, b3) thì vectơ hiệu là:

)ba,ba,ba(bad 332211 −−−=−=→→→

(0.11)

5 – Nhân vectơ vớ i một số thự c:

Tích của một vectơ vớ i mộtsố thực k là một vectơ mớ i có modungấp k lần modun của vectơ đầu, vàcùng chiều vớ i vectơ đầu nếu k > 0 ;ngượ c chiều nếu k < 0 (hình 0.5). Nóicách khác, tọa độ của vectơ mớ i cũng

gấp k lần tọa độ của vectơ ban đầu.

)ka,ka,ka()a,a,a(kak)a,a,a(a 321321321 ==⇒= →→

(0.12)

6 – Tích vô hướ ng của 2 vectơ :

Tích vô hướ ng của hai vectơ →

a và→

b là một số thực bằng tích các môduncủa hai vectơ ấy vớ i cosin của góc hợ p bở i hai vectơ đó:

α==→→→→→→

cosab)b,acos(b.ab.a (0.13)

vớ i α là góc tạo bở i 2 vectơ →

a và→

b .

Từ (0.13), suy ra: hai vectơ :

vuông góc thì tích vô hướ ng triệt tiêu ;

tạo vớ i nhau góc nhọn thì tích vô hướ ng dươ ng ;

tạo vớ i nhau góc tù thì tích vô hướ ng âm.

Trong hệ toạ độ Descartes:

332211321321 bababab.a)b,b,b(b);a,a,a(a ++=⇒== →→→→

(0.14)

Do đó, góc giữa hai vectơ →→

b vaø a có thể tính bở i:

22

22

22

23

22

21

332211

bbb.aaa

bababa

ab

bacos

++++

++==α

→→

(0.15)

7 – Tích hữ u hướ ng của 2 vectơ :→→→→→→

==× c]b,cba a[ hay (0.16)

→

a2

→

− a5,1

→

a

Hình 0.5: Nhân vect ơ vớ i số thự c

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Tích hữu hướ ng cuả hai vectơ →

a và→

b là một vectơ →

c viết theo (0.16).

Vectơ tích

→

c có: Phươ ng: vuông góc vớ i 2 vectơ

thành phần.

Chiề u: xác định theo qui tắc đinhốc thuận: vặn cái đ inh ố c quay t ừ vect ơ thứ nhấ t đế n vect ơ thứ haitheo góc nhỏ nhấ t thì chiề u tiế ncủa đ inh ố c là chiề u vect ơ tích.

Môdun: bằng tích các môdun củahai vectơ thành phần vớ i sin củagóc xen giữa hai vectơ đó:

c = α==→→→→→

sinab)b,a(sinb.ac (0.17)

Từ (0.17) suy ra: hai vect ơ cùng phươ ng thì tích hữ u hướ ng triệt tiêu; hai vectơ vuông góc thì tích hữu hướ ng có môdun lớ n nhất.

Về ý ngh ĩ a hình học, modun của vect ơ tích có tr ị số bằ ng tr ị số diện tích hình

bình hành t ạo bở i hai vect ơ thành phần (xem hình 0.6).

Tích hữu hướ ng không có tính giao hoán:→→→→

−= axbbxa (0.18)

Tính hữu hướ ng có tính phân phối: )cxb()cxa(cx)ba(→→→→→→→

+=+ (0.18a)

Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ tích c a x b→ → →

= đượ c xác định bở i định thức:

)baba;baba;baba(bbbaaa

k ji

c 122131132332

321

321 −−−==

→→→

→

(0.19)

Ví dụ: →

a = (6; - 1; 2) ;→

b = (-2; 3; 1) thì→→→

= bxac = (-7; -10; 16) và diện tích

hình bình hành tạo bở i 2 vectơ →

a và→

b là:

1,2016)10()7(|c|S 222 =+−+−== →

(đơ n vị diện tích).

8 – Đạo hàm của một vectơ theo thờ i gian:Trong hệ toạ độ Descartes, ta có:

α

→

a

→

b

→

c

Hình 0.6: Tích hữ u hướ ng của 2 vect ơ .

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




→→→→

→→→→

++=⇒++= kdt

da j

dt

dai

dt

da

dt

adka jaiaa zyx

zyx (0.20)

Vậy đạo hàm của một vectơ theo thờ i gian là một vectơ mớ i có các thành phần là

đạo hàm các thành phần tươ ng ứng của vectơ ban đầu.

Ví dụ: →

a = (2sint; cost; 5t) ⇒ dt

adb

→→

= = (2cost; -sint; 5).

§0.4 – KHÁI QUÁT VỀ CÁC HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

Các bài toán vật lí thườ ng có tính đố i xứ ng không gian. Việc lự a chọn hệ qui chiế u để khảo sát chúng là r ấ t cần thiế t. Đôi khi một bài toán phứ c t ạ p trong

hệ t ọa độ này lại r ấ t đơ n giản trong hệ t ọa độ kia. C ần nhấ n mạnh r ằ ng, việcchuyể n đổ i t ọa độ chỉ làm cho các phép tính tr ở nên đơ n giản, còn bản chấ t vật lícủa sự vật hiện t ượ ng thì không thay đổ i. Phần này giớ i thiệu vài hệ t ọa độ thườ ngdùng trong các bài toán vật lí.

1 – Hệ trục toạ độ Descartes:Hệ trục toạ độ Descartes còn

gọi là hệ toạ độ vuông góc thuận, gồm3 trục toạ độ Ox, Oy, Oz đôi mộtvuông góc nhau, sao cho một đ inh ố c

thuận quay t ừ tr ục x sang tr ục y theogóc nhỏ thì đ inh ố c sẽ tiế n theo chiề utr ục z. Trên mỗi trục đó lần lượ c cócác vectơ đơ n vị (vectơ có môdun

bằng 1)→→→

k, j,i hướ ng dọc theo chiềutăng của trục (hình 0.7). Dễ thấy:

→→→

= jxik ;→→→

= kx ji ;→→→

= ixk j

Vị trí điểm M trong không gian đượ c xác định bở i vectơ tia →r :

)z,y,x(kz jyixOMr =++==→→→→→

(0.21)

Bộ ba số (x,y,z) gọi là toạ độ của điểm M,

cũng là toạ độ của vectơ tia→

r (còn gọi làvectơ vị trí hay vectơ bán kính). Do đókhoảng cách từ điểm M đến gốc toạ độ là:

222

zyxOMr ++== (0.22)Nếu xét điểm M’ rất gần vớ i M thì toạ độ

của M’ là (x+dx; y+dy; z+dz) vớ i dx, dy, dzlà gia số rất nhỏ (vi phân) của x, y, z. Các

→

k →

j →

i O

M(x, y, z)→

r

x

y

z

x

y

Hình 0.7: H ệ toạ độ Descartes

Ox

z

y

Hình 0.8: Ô cơ sở củahệ toạ d ộ Descartes

dy

dz

dxM

M’

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




mặt tọa độ của M và M’ tạo nên một hình hộp cơ sở của không gian Descartes. Ôcơ sở này có:

• Ba cạnh: dx; dy ; dz

• Thể tích: dV = dx.dy.dz (0.23)

• Diện tích ba mặt: dSx = dy.dz; dSy = dz.dx ; dSz = dx.dy (0.24)

• Đườ ng chéo: 222 )dz()dy()dx(dr'MM ++== (0.25)

• Độ dờ i vi phân:→→

= 'MMrd = (dx, dy, dz) (0.26)

Hệ tọa độ vuông góc trên còn gọi là hệ tọa độ tr ự c chuẩ n (các trục tọa độ trực giaovà chuẩn hóa).

2 – Hệ toạ độ trụ:

Điểm M có toạ độ (x,y,z)trong hệ toạ độ Descartes thì tronghệ toạ độ trụ có toạ độ (ρ,ϕ,z).Trong đó:

=

ϕρ=

ϕρ=

zz

siny

cosx

(0.27)

Ngượ c lại, ta có:

=

=ϕ

+=ρ

zz

)x

y(arctg

yx 22

(0.28)

Giả sử các toạ độ ρ, ϕ, z của điểmM gia tăng một lượ ng vi phần dρ,

dϕ, dz. Khi đó hai mặt trụ bán kínhρ và ρ + dρ, hai nửa mặt phẳng ϕ và ϕ + dϕ; và hai mặt phẳng nằmngang z và dz sẽ bao một thể tíchvi phân có dang nêm cụt. Thể tíchnày rất nhỏ, nên coi gần đúng làmột hình hộp chữ nhật vớ i:

Chiều dài các cạnh là:

dρ; ρdϕ và z + dz.

Diện tích các mặt:

dSρ = ρdϕdz;

dSϕ = dρdz;

O

M(ρ, ϕ, z)

→

r

x

y

z

x

y

Hình 0.9: H ệ toạ độ tr ụ.

ρ

ϕ

O

M(r, θ,ϕ)

x

y

z

x

y

Hình 0.10: H ệ toạ độ cầu.

ϕ

→r

θ

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




dSz = ρdρdϕ

Thể tích: dV = ρdρdϕdz

3 – Hệ toạ độ cầu:

Điểm M có toạ độ (x,y,z) trong hệ toạ độ Descartes thì trong hệ toạ độ cầu

có toạ độ (r,θ,ϕ), vớ i:

θ=

ϕθ=

ϕθ=

cosrz

sinsinry

cossinrx

(0.29)

Trong đó: r ∈ (0, ∞ ) ; θ ∈ (0, π); ϕ ∈ (0,2π).

Yếu tố thể tích trong hệ tọa độ cầu là: dV = r2sinθdrdθdϕ (0.30)

4 – Hệ toạ độ cự c:

Hình chiếu của hệ tọa độ trụ lên mặtphẳng (Oxy) cho ta hệ tọa độ cực. Trong hệ tọađộ cực, vị trí của điểm M đượ c xác định bở ibán kính cực ρ và góc cực ϕ. Ta có:

ϕρ=

ϕρ=

siny

cosx (0.31)

Nếu trong hệ tọa độ Oxy, yếu tố diện tích là

dS = dxdy thì trong hệ tọa độ cực, ta có:dS = rdrdϕ (0.32)

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠ NG 0

1. Chất phóng xạ biến đổi theo qui luật: to

to eHH;eNN λ−λ− == . Hãy xác

định thứ nguyên của số hạt N, hằng số phóng xạ λ và độ phóng xạ H.

2. Hai vật thể bất kỳ (coi như hai chất điểm) trong vũ trụ hấp dẫn nhau một lực:

221

r

mmGF = . Trong đó m1 và m2 là khối lượ ng của 2 vật; r là khoảng cách

giữa chúng. Hãy xác định thứ nguyên của hằng số hấp dẫn G.

3. Cho 2 vectơ có cùng modun là x. Tính góc tạo bở i 2 vectơ đó nếu:

a) Vectơ tổng cũng có modun bằng x.

b) Vectơ hiệu cũng có modun bằng x.

c) Vectơ tổng và vectơ hiệu có modun bằng nhau.

4. Cho hai vectơ →a và

→b có modun a = 6 cm và b = 8 cm. Tính modun của

vectơ tổng và vectơ hiệu trong các trườ ng hợ p sau: a)→→

⊥ ba b)→→

↑↑ ba

M

x

y

ρ

O

ϕ

Hình 0.11: H ệ t ọa độ cự c

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




c)→→

↑↓ ba d) Góc giữa chúng là 120o ; 60o

5. Cho hai vectơ →

a và→

b có modun a = 6 cm và b = 8 cm. Xác định tích hữuhướ ng và tích vô hướ ng của chúng trong các trườ ng hợ p sau:

a)→→

⊥ ba b)→→

↑↑ ba c)→→

↑↓ ba d) Góc giữa chúng là 120o ; 60o

6. Nêu vài ví dụ về hiện tượ ng vật lý và hiện tượ ng hóa học. Từ đó suy ra sự khácnhau cơ bản giữa 2 l ĩ nh vực này.

7. Các hiện tượ ng sau đây, hiện tượ ng nào là hiện tượ ng vật lý?

a) Nướ c sôi và hoá hơ i; Hòa tan đườ ng vào nướ c tạo dung dịch nướ c đườ ng.

b) Cây cối xanh tươ i nhờ có mưa.

c) Tấm kim loại để ngoài nắng sáng lấp lánh.

d) Gạo bỏ vào nồi nấu thành cơ m chín.e) Ngườ i già thì chết đi.

f) Bầu trờ i có màu xanh.

g) Phản ứng giữa các hạt nhân thườ ng toả năng lượ ng.

h) Đọc sách lâu, ta thấy mệt mỏi.

i) Từ ngoài nắng bướ c vào phòng, ta bị hoa mắt, không trông thấy gì cả.

8. Bạn hiểu như thế nào về các “khái niệm vật lý”, “định luật vật lý”, “thuyết vậtlý”?

9. Bạn tự nhận xét về vai trò của Khoa Học Vật Lý đối vớ i sự phát triển của kỹ thuật công nghệ nói chung và môn học Vật Lý Đại Cươ ng đối vớ i việc nắm bắtkiến thức nghề của bạn nói riêng.

10. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(6, -1, 2); B(-2, 3, -4) và C(-3,1,5)

a) Tìm→

AC +→

AB ;→

AC -→

AC ;→

AB .→

AC ; [→

AB ,→

AC ]

b) Tìm diện tích tam giác ABC, số đo góc A và pháp vectơ đơ n vị của mặtphẳng (ABC).

11. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho→

a = (2, -3, 1) và→

b = (-4, -2, 5). Xác định:

a) Các vectơ đơ n vị theo hướ ng của vectơ →

a ,→

b ; b) Vectơ [→

a ,→

b ]

12. Tính thể tích của phần khối cầu bán kính R, có phạm vi biến thiên của góc ϕ vàθ từ π /4 đến π /2.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM













































36 Giáo Trình V t Lý i C ng – T p 1: C – Nhi t – i n

b n trúng tàu c p thì:g

2sinv2o

Suy ra: sin2 = 0,8 = 26030’ ho c = 63030’.

V y nòng súng ph i nghiêng m t góc 260

30’ ho c 630

30’ thì b n trúng tàu c p.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM











Chöông 2: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC 41

Chươ ng 2

ĐỘNG LỰ C HỌC CHẤT ĐIỂM

Động Lự c H ọc nghiên cứ u mố i quan hệ giữ a sự biế n đổ i tr ạng thái chuyể nđộng của vật và nguyên nhân làm biế n đổ i tr ạng thái của chuyể n động đ ó. Chươ ngnày nghiên cứ u mố i quan hệ giữ a gia t ố c của chấ t đ iể m, hệ chấ t đ iể m vớ i các l ự c tácd ụng lên nó. Các phươ ng trình động l ự c học rút ra chỉ đượ c áp d ụng cho các vật cókích thướ c nhỏ – các chấ t đ iể m. Vì thế , khi nói “vật ” ta hiể u vật đ ó là chấ t đ i ể m.

§2.1 – CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTON

C ơ sở của Động Lự c H ọc là ba định luật của Newton. Isaac Newton – nhà V ật Lý ng ườ i Anh (1642 – 1727). Trong công trình “Các tiên đề toán học của triế t học t ự nhiên”, công bố năm 1687, ông đ ã phát biể u nhữ ng định luật cơ bản của cơ học cổ đ iể n, thiế t l ậ p đượ c định luật vạn vật hấ p d ẫ n, nghiên cứ u sự tán sắ c ánh sáng và khở ithảo nhữ ng cơ sở của các phép tính vi phân và tích phân.

1 – Định luật Newton thứ I:

M ột vật cô l ậ p, nghiã là hoàn toàn không chịu tác d ụng của các vật khác, sẽ

mãi mãi đứ ng yên (nế u nó đ ang đứ ng yên) hoặc chuyể n động thẳ ng đề u (nế u nó đ angchuyể n động). Nói các khác, một vật cô l ậ p sẽ bảo toàn tr ạng thái chuyể n động của nó

( ). Đây là một thuộc tính của vật chất, và đượ c gọi là quán tính của vật. Vìthế, định luật I Newton còn gọi là định luật quán tính.

→→

= constv

Trên thực tế, không có vật cô l ậ p tuyệt đối, mà chỉ có những vật chịu tác dụngcủa những lực cân bằng, khi đó định luật I Newton cũng nghiệm đúng.

2 – Định luật Newton thứ II:

a) Khái niệm về lự c: Trong cuộc sống, ta thấy rõ nhiều hiện tượ ng vật này tác d ụng vào vật kia. Chẳng hạn như: khi nâng một vật lên cao, tay ta đã tác dụng vào vật và vậtđã đè lên tay ta; khi nam châm để gần đinh sắt sẽ hút đinh sắt, … . Để đặc tr ưng chocác tác d ụng đó, ngườ i ta đưa ra khái niệm về lự c.

Lự c là đại l ượ ng vật lý đặc tr ư ng cho tác d ụng của vật này vào vật khác, là số đ o của tác động cơ học do các đố i t ượ ng khác tác d ụng vào vật. S ố đ o ấ y đặc tr ư ngcho hướ ng và độ l ớ n của tác d ụng.

Lực đượ c kí hiệu là F (Force). Trong hệ SI, lực có đơ n vị là newton (N). Lựclà một đại lượ ng vectơ ( ) và là một khái niệm cơ bản của Động Lực Học.

→

F

- Phươ ng của lực : cho biết phươ ng tác dụng.→

F

- Chiều của : cho biết chiều tác dụng.→

FWW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM



42 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

- Độ lớ n của : cho biết độ mạnh, yếu (cườ ng độ) tác dụng.→

F

- Điểm đặt của : cho biết vị trí (điểm) chịu tác dụng.→

F

Dướ i tác dụng của lực, vật có thể thu gia tốc hoặc bị biến dạng. Chươ ng này khôngnghiên cứu sự biến dạng của vật, chỉ nghiên cứu quan hệ giữa gia tốc của chất điểmvớ i các lực tác dụng vào nó.

Nếu tổng vectơ của hai lực đặt vào chất điểm bằng không thì sự có mặt củacác tác động đo bở i các lực đó không đượ c phản ánh trong chuyển động của chấtđiểm. Hai lực như vậy đượ c gọi là hai l ự c cân bằ ng .

Trong cơ học, ta phân biệt ba loại lực:

Các lực hút tươ ng hỗ giữa các vật – gọi là lực hấ p dẫn. Các lực xuất hiện khi các vật tiế p xúc tr ực tiế p tác dụng lên nhau. Các

lực này có chung bản chất là l ự c đ àn hồi.

Các lực là k ết quả của sự tươ ng tác giữa hai vật tiế p xúc nhau, chuyểnđộng tươ ng đối vớ i nhau. Các lực này gọi là l ự c ma sát .

Bản chất và đặc điểm của các lực này, đượ c trình bày rõ hơ n ở §2.2.

b) Khái niệm về khối lượ ng:

Mọi vật đều có xu hướ ng bảo toàn tr ạng thái chuyển động ban đầu của mình.Thuộc tính đó gọi là quán tính của vật. Mức quán tính của vật đượ c đặc tr ưng bở i mộtđại lượ ng vật lý đó là khố i l ượ ng . Ta nói: khối l ượ ng là số đ o mứ c quán tính của vật .

Quán tính của vật thể hiện ở gia tốc mà nó thu đượ c khi có ngoại lực tác dụngvà đượ c định lượ ng bở i định luật II Newton: F = ma. Ta thấy, vớ i cùng một lực tácdụng, tr ạng thái chuyển động biến đổi càng nhỏ (gia tốc càng nhỏ) khi khối lượ ng(quán tính) của vật càng lớ n và ngượ c lại.

Khối lượ ng còn là đại lượ ng đặc tr ưng cho mức hấ p dẫn giữa vật và các vậtkhác. Theo Newton, lực hấ p dẫn giữa Trái đất và vật là F = mg. Như vậy, đối vớ i cùngmột vật, ta có thể viết: amF i= và gmF g= . Tr ườ ng hợ p thứ nhất, khối lượ ng là số

đo quán tính của vật, nên gọi là khối lượ ng quán tính và đượ c kí hiệu là mi. Tr ườ nghợ p thứ hai, khối lượ ng là số đo tươ ng tác hấ p dẫn của vật vớ i Trái đất, nên gọi là khốilượ ng hấ p dẫn và đượ c kí hiệu là mg.

Tuy nhiên, trong sự r ơ i tự do, mọi vật đều có cùng gia tốc a = g như nhau nên

suy ra khối lượ ng quán tính và khối lượ ng hẫ p dẫn bằng nhau về tr ị số:

mmm gi == (2.1)

Hệ thức (2.1) là một trong những k ết luận vững chắc nhất của vật lý hiện đại.Trên cơ sở đó, ta đi đến khái niệm về khối lượ ng như sau: Khố i l ượ ng là số đ o mứ c

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




quán tính của vật và mứ c hấ p d ẫ n của vật đố i vớ i vật khác. Trong hệ SI, đơ n vị đokhối lượ ng là kilôgam (kg) và là một trong bảy đơ n vị cơ bản.

Khối lượ ng không phải là đại lượ ng bất biến. Thuyết tươ ng đối hẹ p của

Einstein đã chỉ ra r ằng, khối lượ ng m của vật tăng theo vận tốc v của nó (xem chươ ng5) theo công thức:

2

2

0

c

v1

mm

−

= (2.2)

Trong đó m0 là khối lượ ng của vật lúc đứng yên (khối lượ ng nghỉ), c = 3.108 m/s làvận tốc ánh sáng trong chân không. Tuy nhiên, trong phạm vi cơ học cổ điển, v << cnên , ta coi khối lượ ng là đại lượ ng bất biến.0mm ≈

c) Phát biểu định luật Newton thứ II:

Khi vật chịu tác d ụng của ngoại l ự c , nó sẽ thu một gia t ố c theo hướ ngcủa l ự c, t ỉ l ệ thuận vớ i l ự c và t ỉ l ệ nghịch vớ i khố i l ượ ng của vật:

→

F→

a

m

Fa

→→

= (2.3)

Nếu vật chịu tác dụng bở i nhiều lực thì chính là hợ p lực của các lực thành phần.

Khi đó (2.3) tr ở thành:

→

F

am

F...FF

m

F

m

F n21h

→→→→→→ +++

=== ∑

(2.4)

Định luật II Newton phát biểu ở dạng (2.3) và (2.4) là cơ sở của động lực họcchất điểm. Tuy nhiên, phạm vi áp dụng của nó chỉ đúng trong cơ học cổ điển (khốilượ ng đượ c coi là bất biến).

3 – Định luật Newton thứ III:

N ế u vật A tác d ụng vào vật B một l ự c thì vật B cũng tác d ụng ng ượ c tr ở l ại

vật A một l ự c . Hai l ự c này t ồn t ại đồng thờ i, cùng giá, bằ ng nhau về độ l ớ n như ng

ng ượ c chiề u:

→

F→

'F

'FF→→

−= (2.5)

→

F đượ c gọi là l ự c tác dụng vào vật thì F gọi là phản l ự c của vật. Lự c và phản l ự c làhai lực tr ực đối nhưng không cân bằng nhau, vì đặt vào hai vật khác nhau. Chúng có

cùng bản chất, cùng tồn tại và mất đi đồng thờ i.

→

'

Định luật III Newton khẳng định tácdụng giữa các vật bao giờ cũng là “t ươ ng tác”(có tính hai chiều). Điều này thể hiện mối liênhệ biện chứng giữa các vật.

BAF'F→→

= ABFF→→

= A B

Hình 2.1: Lự c và phản lự c.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




4 – Phươ ng trình cơ bản của động lự c học chất điểm:

Từ các định luật cơ học của Newton, ta khái quát nên một phươ ng trình diễntả mối quan hệ giữa lực tác dụng (nguyên nhân) và gia tốc của vật (k ết quả):

→→

=∑ amF (2.6)

Phươ ng trình (2.6) đượ c gọi là phươ ng trình cơ bản của Động Lực Học chất điểm. Từ (2.6) suy ra:

• Khi ngoại lực = 0 thì gia tốc = 0 và do đó : ta có chuyển độngthẳng đều. (2.6) thể hiện định luật Newton thứ nhất.

→

F→

a→→

= constv

• Khi ngoại lực thì từ (2.6) ta tìmlại (2.3): thể hiện định luật Newton thứ hai.

0F ≠→→

tF

M

→

nF

→

na

→

a

→

ta

Khi chất điểm chuyển động cong, vectơ giatốc đượ c phân tích làm hai thành phần:

→

F →→→

+= nt aaa hay→→→

+= nt amamam

Suy ra: , ngh ĩ a là lực tác dụng

lên vật cũng đượ c phân tích làm hai thành phần:

tF F F→ → →

= + n

Hình 2.2: Lự c tác d ụng lên vật đượ c phân tích thành hai thành phần: tiế p

tuyế n và pháp tuyế n. • Thành phần gọi là lực tiế p

tuyến (vì nằm trên tiế p tuyến qũi đạo),có tác dụng làm thay đổi độ lớ n của

vectơ vận tốc (gây ra gia tốc tiế p tuyến).

→→

= tt amF

• Thành phần gọi là lực pháp tuyến (vì nằm trên pháp tuyến qũi đạo),

có tác dụng làm thay đổi hướ ng của vectơ vận tốc (gây ra gia tốc pháp tuyến).

→→

= nn amF

Như vậy, vật chuyển động cong thì ngoại lực tác dụng phải có thành phần pháp tuyến:

R

mvmaF

2

nn == (2.7)

Từ phươ ng trình cơ bản (2.6) suy ra: nếu biết lực tác dụng vào vật (nghiã là biết đượ c nguyên nhân) thì sẽ tìm đượ c gia tốc của vật và từ đó biết đượ c tính chấtchuyển động của vật (k ết quả). Bài toán xác định tính chất chuyển động của vật khi biết các lực tác dụng vào vật đượ c gọi là bài toán thuận. Trong một số tr ườ ng hợ p đơ ngiản, nếu biết tr ướ c tính chất chuyển động của vật, ta có thể tìm đượ c nguyên nhângây nên tính chất của chuyển động ấy – bài toán ng ượ c.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




§2.2 – CÁC LỰ C CƠ HỌC

Để tìm đượ c tính chấ t chuyể n động của một vật, ta phải xác định các l ự c tácd ụng lên nó. Vì vậ y cần nghiên cứ u bản chấ t và đặc đ iể m của các l ự c trong cơ học.

Trong tự nhiên tồn tại 4 loại lực tươ ng tác: lực hấ p dẫn, lực điện từ, lực tươ ngtác mạnh (lực hạt nhân) và lực tươ ng tác yếu. Lực hạt nhân và lực tươ ng tác yếu có bán kính tác dụng vi mô nên không xuất hiện trong cơ học cổ điển – cơ học của cácvật v ĩ mô. Đối vớ i vật thể v ĩ mô, lực điện từ thể hiện dướ i hai dạng: lực đàn hồi và lựcma sát. Vì vậy trong cơ học cổ điển, xét về bản chất, có ba loại lực gọi là lực cơ học: l ự c hấ p d ẫ n, l ự c đ àn hồi và l ự c ma sát . Về mặt hình thức, ngườ i ta chia các lực cơ họclàm hai loại: các l ự c tr ự c tiế p tác d ụng vào vật (lực hấ p dẫn) và các l ự c liên k ế t vớ ichuyển động của vật (phản lực, lực ma sát, lực căng dây). Chúng ta sẽ lần lượ t nghiên

cứu đặc điểm của các lực này.

1 – Lự c hấp dẫn – Trọng lự c:

Các vật trong vũ tr ụ đều hút lẫn nhau bằng các lực có cùng bản chất – gọi làl ự c hấ p d ẫ n. Newton là ngườ i đầu tiên phát hiện ra r ằng, nguyên nhân làm cho quả táor ơ i xuống đất, Mặt Tr ăng quay quanh Trái Đất, hay nguyên nhân làm các hành tinhquay xung quanh Mặt Tr ờ i đó chính là l ự c hấ p d ẫ n. Ông đã thiết lậ p đượ c biểu thứcđịnh lượ ng của lực hấ p dẫn và phát biểu thành định luật vạn vật hấ p d ẫ n.

a) Đị nh luật vạn vật hấ p d ẫ n ( đị nh luật hấ p d ẫ n):

Hai chấ t đ iể m bấ t kì luôn hút nhau một l ự c g ọi là l ự c hấ p d ẫ n. Lự c này t ỉ l ệ thuận vớ i tích khố i l ượ ng của chúng và t ỉ l ệ nghịch vớ i bình phươ ng khoảng cách giữ achúng .

221

hdr

mmGF = hay

→→

−= r r

mmGF

321

hd (2.8)

G: gọi là hằng số hấ p dẫn, G = 6,68.10 – 11 (Nm2/kg2).

Để tính lực hấ p dẫn của một vật thể khối lượ ng m1 bất kì lên một chất điểmkhối lượ ng m2, ta chia nhỏ vật thể đó thành những phần tử khối lượ ng dm1 r ồi vậndụng (2.8), tích phân trên miền thể tích (V) của vật m1:

∫=)V(

21

2hd r

dmGmF (2.9)

K ết quả tính tích phân (2.9) cho phép rút ra một số k ết luận sau:

• Lự c hấ p d ẫ n của một quả cầu đồng nhấ t lên một chấ t đ iể m ở ngoài quả cầu t ự ahồ như toàn bộ khố i l ượ ng của quả cầu t ậ p trung t ại tâm của nó.

• Lự c hấ p d ẫ n của một quả cầu r ỗ ng đồng nhấ t lên một chấ t đ iể m ở trong quả cầuluôn bằ ng không. Nói cách khác, vỏ cầu đồng nhấ t không hấ p d ẫ n bấ t kì vật nàobên trong nó.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Từ k ết quả trên suy ra, lực

hấ p dẫn của Trái Đất tác dụng lênmột vật nhỏ ở ngoài Trái Đất là:

2hd)hR (

mMGF += (2.10) O

vớ i: M là khối lượ ng và R là bán kínhcủa Trái Đất, h là độ cao từ mặt đấtđến vật.

Fhd Nếu vật nằm trong lòng TráiĐất thì chỉ có phần nằm trong khốicầu bán kính r (r < R) là tác dụng lực

hấ p dẫn lên vật, do đó lực hấ p dẫntrong tr ườ ng hợ p này là:

2hdr

'mMGF = , vớ i M’ là khối lượ ng

phần Trái đất nằm trong hình cầu bánkính r. Coi mật độ khối lượ ng Tráiđất phân bố đều thì ta có:

r O RHình 2.3: Phân bố l ự c hấ p d ẫ n bên

trong và bên ngoài Trái Đấ t

3

3

R

r

MV

'V

M'MV

M

'V

'M

==⇒= ⇒ r ).R

Mm

G(F 3hd = (2.11)

Vậy: trong lòng Trái Đất, lực hấ p dẫn tỉ lệ thuận vớ i bán kính r; tại tâm Trái Đất, lựchấ p dẫn triệt tiêu; tại bề mặt Trái Đất, lực hấ p dẫn đạt cực đại; bên ngoài Trái Đất, lựchấ p dẫn tỉ lệ nghịch vớ i bình phươ ng khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vật. Hình (2.3) biểu diễn phân bố lực hấ p dẫn của Trái Đất lên một vật nhỏ theo khoảng cách từ tâmTrái Đất đến vật.

Trong tr ườ ng hợ p t ổ ng quát, tích phân (2.9) khá phứ c t ạ p, nên ta có thể tính

g ầ

nđ úng l

ự c h

ấ p d

ẫ n gi

ữ a các v

ật th

ể bằ

ng cách coi chúng là nhữ

ng chấ tđ

iể m

đặtt ại khố i tâm của chúng.

Bảng 2.1: Lự c hấp dẫn của các vật trong vũ trụ

Vật thể m1 (kg) m2 (kg) r (m) Fhd (N)

Mặt tr ờ i – Trái đất

Mặt tr ờ i – Sao Thủy

Mặt tr ờ i – Sao Diêm vươ ng

Trái đất – Mặt tr ăng

Trái đất – ngườ i

Ngườ i – ngườ i

2.1030

2.1030

2.1030

6.1024

6.1024

60

6.1024

3,3.1023

1,1.1024

7,4.1022

60

60

1,5.1011

5,8.1010

6.1012

3,8.108

6,37.106

1

3,6.1022

1,3.1022

4.1018

2.1020

600

2,4.10 – 7

Do tr ị số của G quá nhỏ nên lực hấ p dẫn chỉ đáng k ể đối vớ i vật có khối lượ ngr ất lớ n (các thiên thể). Chính vì thế, trong cuộc sống, ta không phát hiện ra lực hấ p dẫn

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




của các vật xung quanh. Bảng 2.1 cho ta một số giá tr ị của lực hấ p dẫn giữa các vậtthể khác nhau.

b) Tr ọng l ự c – gia t ố c r ơ i t ự do:

Trọng lự c của một vật, theo ngh ĩ a gần đúng là lực hấ p dẫn của Trái Đất tácdụng lên vật đó, có biểu thức:

P = Fhd = 2r

MmG = mg

đất

h

→

hg

(2.12)

Trong đó: M và m là khối lượ ng của Trái Đất vàvật; r khoảng cách từ tâm của Trái Đất đến vật và:

2hd

r MG

mFg == (2.13)

Hình 2.4: Gia t ố c r ơ i t ự do phụ thuộc độ cao. là gia tốc r ơ i tự do hay gia tốc tr ọng tr ườ ng.

Vì bán kính Trái Đất r ất lớ n (R = 6400km), nên ở gần mặt đất, gia tốc g coi như không đổi (tr ọng tr ườ ng đều):

2oR

MGg = 8,9≈ m/s2. (2.14)

Khi lên cao, lực hấ p dẫn giảm nên gia tốc g giảm theo qui luật:

2

2

o2h)hR (

R g

)hR (

MGg

+=

+= (2.15)

vớ i go là gia tốc tại mặt đất.

Ở độ sâu h so vớ i mặt đất, từ (2.11) suy ra gia tốc r ơ i tự do là:

)R

h1(gR

hR gr )R

GM(g 003 −=

−== (2.16)

Thực ra, vật luôn tham gia vào chuyển động tự quay của Trái Đất, nên ngoài

lực hấ p dẫn của Trái Đất, nó còn chịu tác dụng một lực - gọi là lực quán tính li tâm

(chúng ta sẽ nghiên cứu sau). Hợ p lực: (2.17)

→

Q→→→

+= QFP hd

là tr ọng lực theo ngh ĩ a chính xác.

Vậy, theo ngh ĩ a chính xác, tr ọng l ự c của một vật là l ự c mà Trái đấ t hút nó khi có k ể đế n sự t ự quay của Trái đấ t.

Vì lực quán tính li tâm phụ thuộc vào v ĩ độ, nên tr ọng lực cũng phụ

thuộc vào v ĩ độ, kéo theo tr ị số của g thay đổi theo v ĩ độ. Càng xa xích đạo, g càngtăng (ở xích đạo: g = 9,78 m/s

→

Q→

P

2; ở điạ cực: g = 9,83m/s2). Các k ết quả tính toán cho

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




thấy thành phần quán tính li tâm r ất nhỏ, chỉ làm g thay đổi tối đa 0,5%, nên để

đơ n giản, ta hiể u tr ọng l ự c theo nghĩ a g ần đ úng , và khi đó, gia tốc r ơ i tự do g đượ ctính theo các công thức (2.14), (2.15) và (2.16). Trong đa số các tr ườ ng hợ p, để đơ n

giản, ta thườ ng chọn g = 10 m/s

→

Q

2. Ngoài ra, gia tốc g còn phụ thuộc vào phân bố mật độ khối lượ ng của Trái

Đất, ngh ĩ a là phụ thuộc vào thành phần cấu trúc của lớ p vỏ Trái Đất. Tr ướ c đây, ngườ ita đã căn cứ vào sự thay đổi của g tại các nơ i khác nhau để thăm dò địa chất.

c) Tr ọng l ượ ng:

Tr ọng l ượ ng của một vật là l ự c mà vật ấ y tác d ụng lên giá đỡ hoặc dây treonó, do bị Trái Đấ t (hoặc r ộng hơ n là các thiên thể ) hút mà không đượ c t ự do chuyể n

động.Thuật ngữ “tr ọng l ượ ng ” và “tr ọng l ự c” thườ ng hay bị lầm lẫn, thực ra chúng

là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau. Tr ọng l ự c là l ự c hút của Trái đấ t tác d ụng lênvật, có đ iể m đặt t ại tr ọng tâm của vật; còn tr ọng l ượ ng là l ự c mà vật tác d ụng vào giáđỡ hoặc dây treo, có đ iể m đặt t ại giá đỡ hoặc dây treo. Ở điều kiện bình thườ ng, khivật đứng yên so vớ i mặt đất thì tr ọng lượ ng và tr ọng lực có cùng tr ị số. Nhưng khivật chuyển động có gia tốc, thì tr ị số của tr ọng lượ ng có thể lớ n hơ n hoặc nhỏ hơ n tr ị số của tr ọng lực P (hiện tượ ng tăng giảm tr ọng lượ ng – đọc thêm §6).

d) Đo khố i l ượ ng: Để đo khối lượ ng của một vật, ta dùng một dụng cụ gọi là cái cân. Sơ đồ

Nguyên lý hoạt động của cái cân đượ c mô tả ở hình (2.5).

Giả sử khối lượ ng vật cần cân là m, khối lượ ng chuẩn (quả cân) là mo. Vì ở cùng một nơ i, gia tốc r ơ i tự do là không đổi, nên:

oo

o o

PP Pg hay m

m m P= = = m BA O

o

oP→

→

P

Khi cân thăng bằng ta có tỉ lệ:

o

oP

P=

Do đó : m = mo

o (2.18)

Đo chiều dài các cánh tay đòn OA, OB và biết

khối lượ ng của quả cân mo ta sẽ tính đượ c khối lượ ng của vật.

Hình 2.5: S ơ đồ nguyênlý của cái cân.

Cái cân có sơ đồ nguyên lý ở hình (2.5) đượ c gọi là cân đ òn. Trong đó, cánhtay đòn OA là cố định, cánh tay đòn OB có các vạch chia sẵn tươ ng ứng vớ i khốilượ ng m của vật. Di chuyển quả cân (thay đổi chiều dài cánh tay đòn OB) đến vị trícân thăng bằng, ta sẽ có số chỉ của khối lượ ng m.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Nếu cố định chiều dài các cánh tay đòn bằng nhau thì phải thay đổi khối lượ ngchuẩn mo cho đến khi cân thăng bằng. Lúc đó khối lượ ng m sẽ bằng tổng khối lượ ngcác quả cân. Đó chính là nguyên lý hoạt động của cân đĩ a (cân Rôbécvan).

Đo kh

ối lượ

ng bằng ph

ươ ng pháp trên

đượ c g

ọi là

phép cân. M

ặc dù khi tacân vật ở các địa điểm khác nhau thì gia tốc g có khác nhau, nhưng (2.18) không phụ

thuộc vào gia tốc g nên phép cân không phụ thuộc vào địa điểm cân.

Một phươ ng pháp đo khối lượ ng khác là dựa vào lực k ế lò xo (cân lò xo). Ta biết độ giãn của lò xo tỉ lệ vớ i lực đàn hồi. Nếu ta móc vật vào lò xo thì khi vật đứngyên cân bằng (trong hệ qui chiếu gắn vớ i Trái Đất), độ lớ n của lực đàn hồi chính bằngtr ọng lượ ng mg của vật. Do đó khối lượ ng của vật tỉ lệ vớ i độ giãn của lò xo. Dựa vàođộ giãn của lò xo, ta có thể suy ra khối lượ ng của vật. Phươ ng pháp cân vật bằng cáccân lò xo khá tiện lợ i, nhưng k ết quả không thật chính xác vì phụ thuộc vào gia tốc g

(ngh ĩ a là phụ thuộc vào địa điểm cân). Tuy nhiên, sai số là không đáng k ể, nên trongđờ i sống hàng ngày, cân lò xo đượ c sử dụng khá r ộng rãi.

2 – Lự c đàn hồi:

Khi ngoại lực tác dụng làm biến dạng một vật thì bản thân vật sẽ xuất hiệnmột lực có xu hướ ng chống lại biến dạng đó. Lực ấy gọi là lực đàn hồi.

Xét biến dạng một chiều, lực đàn hồi tuân theo định luật Hooke: “Trong giớ ihạn đ àn hồi, l ự c đ àn hồi t ỉ l ệ vớ i độ biế n d ạng của vật ”.

dhF k → →

= − ∆ (2.19)

Trong đó k: là hệ số đàn hồi (hay độ cứng) của vật, đơ n vị đo là niutơ n trênmét (N/m); ∆ : là độ biến dạng của vật(m); dấu “ – “ chứng tỏ lực đàn hồingượ c vớ i chiều biến dạng.

Độ cứng của một vật phụ thuộc vào chiều

dài ban đầu , tiết diện ngang S và bảnchất của vật liệu làm ra nó:

SEk (2.20)

→

∆

ñh

→

F

Hình 2.6: Lự c đ àn hồi.

trong đó E là hệ số tỉ lệ đặc tr ưng cho vật liệu, gọi là suấ t Young . Từ (2.20) suy ra, vớ icùng một loại vật liệu và cùng tiết diện ngang, vật nào càng ngắn thì càng cứng. Bảng2.2 cho biết suất Young của một số vật liệu thông dụng.

Lực đàn hồi có bản chất là lực điện từ. Vì khi biến dạng, khoảng cách giữacác phân tử thay đổi nên xuất hiện các lực hút và lực đẩy t ĩ nh điện giữa các phân tử.

Lực đàn hồi thể hiện rõ nhất là ở các lò xo, các dây thun. Một số dạng kháccủa lực đàn hồi, đó là lực căng dây, phản lực vuông góc của bề mặt tiế p xúc. Chúng tasẽ lần lượ t tìm hiểu sâu hơ n.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Bảng 2.2: Suất Young của vài vật liệu thông dụng

Vật liệu Suất Young E (N/m2) Vật liệu Suất Young E (N/m2)

Đồng

Nhôm

Thép

Niken

(0,82 – 1,03).1011

(6,3 – 7).1010

(1,7 – 2,1).1011

2,4.1011

Cao su

Đá vôi

Gang

Bêtông

(1,5 – 8).106

3,5.1010

(1,1 – 1,5).1011

(1,5 – 4).1010

a) Lự c căng dây:

Trong nhiều máy móc, một số chi tiết đượ c nối vớ i nhau bằng dây curoa, cápmềm, thừng,…, ta gọi chung là dây. Dây là vật không chống lại lực nén mà chỉ chống

lại lực kéo. Khi bị kéo căng, dây bị giãn một ít và bản thân nó xuất hiện lực đàn hồichống lại sự kéo căng đó. Lực đàn hồi trongtr ườ ng hợ p này đượ c gọi là l ự c căng dây.

Để đơ n giản hoá các tính toán, ngườ i tathườ ng coi dây như không bị giãn và không cókhối lượ ng. Khi đó lực căng có độ lớ n bằng nhautại mọi điểm trên dây. Ta nói sợ i dây truyềnnguyên vẹn lực từ đầu này đến đầu kia.

Ví dụ: Xét vật m đượ c treo ở đầu sợ i dây,đầu kia của sợ i dây treo vào điểm cố định C (hình2.7). Trong quá trình chuyển động của vật, sợ idây luôn đượ c căng thẳng. Tại điểm A bất kì trêndây, nó chịu tác dụng của hợ p lực bằng không. Nếu cắt đứt sợ i dây tại A, muốn cho đoạn AC vẫn căng thẳng như tr ướ c, ta phải tác

dụng lên A một lực . Ngượ c lại, muốn cho vật m vẫn có chuyển động như cũ, ta

phải tác dụng lên A một lực . và cùng độ lớ n, cùng giá nhưng ngượ c chiềuvà đượ c gọi là lực căng dây.

→

'T→

T

→

T

→

'T

→

T

→

'T

A AA

m

Hình 2.7: Lự c căng dây.

b) Phản l ự c vuông góc của bề mặt ti ế p xúc:

→

Q

→

N

(2)

(1)

Xét hai vật (1) và (2) tiế p xúc nhau, do áp lực củavật (1) tác dụng vào vật (2) làm bề mặt của vật (2) bị biếndạng. Khi đó vật (2) xuất hiện lực đàn hồi chống lại sự biến dạng đó. Lực này tác dụng ngượ c tr ở lại vật (1) theohướ ng vuông góc vớ i bề mặt tiế p xúc nên đượ c gọi là phản

l ự c vuông góc hay phản l ự c pháp tuyế n (hoặc ngắn gọn là phản l ự c) của mặt tiế p xúc, và đượ c kí hiệu là .

→

N

Phản lực của bề mặt tiế p xúc có bản chất là lực

đàn hồi, có độ lớ n bằng vớ i áp lực vuông góc . Cặ p lực

→

N→

QHình 2.8: Phản l ự c

của mặt tiế p xúc.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




→

Q và luôn tồn tại và mất đi đồng thờ i, là cặ p lực của định luật III Newton.→

N

3 – Lự c ma sát:

Khi một vật tiế p xúc vớ i một vật khác và chúng có chuyển động tươ ng đối vớ inhau thì tại bề mặt tiế p xúc xuất hiện một lực có xu hướ ng chống lại chuyển động củavật. Lực đó gọi là l ự c ma sát .

Nếu vật r ắn chuyển động trong chất lỏng, khí thì xuất hiện lực ma sát nhớ t (ma sát ướ t). Nếu vật r ắn tiế p xúc vớ i vật r ắn khác thì ta có ma sát khô. Trong ma sátkhô, nếu vật này tr ượ t hoặc lăn trên mặt vật kia, thì ta có ma sát tr ượ t hoặc ma sát lăn;còn nếu vật có xu hướ ng tr ượ t (nhưng chưa tr ượ t) thì ta có ma sát nghỉ. Dướ i đây, takhảo sát đặt điểm của các ma sát.

a) Lự c ma sát tr ượ t:

Giả sử vật m tr ượ t trên mặt sàn nằm ngang.Trong quá trình chuyển động, vật m sẽ tác dụng vào

mặt sàn một lực . Theo định luật III Newton, mặtsàn sẽ tác dụng ngượ c tr ở lại vật m một phản lực liên

k ết

→

F

→

R . Do bề mặt tiế p xúc gồ ghề, nên phản lực→

R không vuông góc vớ i mặt tiế p xúc. Nó đượ c phân

tích thành 2 thành phần:→→→

+= f NR ms (2.21)

→

v

→

P

msf →

→

R

Hình 2.9: Lự c ma sát tr ượ t

→

N

Thành phần vuông góc vớ i mặt tiế p xúc, gọi là phản lực pháp tuyến (hay phản lực

vuông góc); thành phần luôn ngượ c chiều chuyển động và có xu hướ ng chống lạichuyển động của vật, gọi là lực ma sát tr ượ t.

→

N

msf →

Bảng 2.3: Hệ số ma sát trượ t của vài vật liệu thông dụng

Mặt tiế p xúc µ Mặt tiế p xúc µ

Thép – thép

Sắt – sắt

Thép – sắt

Ổ tr ượ t có bôi tr ơ n

0,18

0,34

0,2 – 0,4

0,02 – 0,08

Gỗ – gỗ

Cao su – đất cứng

Cao su – gang

Nướ c đá – nướ c đá

0,25 – 0,5

0,4 – 0,6

0,83

0,03

Đặc điểm của lự c ma sát trượ t:

• Xuất hiện tại bề mặt tiế p xúc khi hai vật tr ượ t tươ ng đối vớ i nhau.

• Có phươ ng tiế p tuyến vớ i bề mặt tiế p xúc và hướ ng ngượ c chiều chuyển động.

• Có độ lớ n tỉ lệ vớ i áp lực vuông góc vớ i bề mặt tiế p xúc, không phụ thuộc vàodiện tích mặt tiế p xúc: f ms = µQ = µ N (2.22)

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




vớ i µ: là hệ số tỉ lệ, đượ c gọi là hệ số ma sát tr ượ t. Giá tr ị của µ phụ thuộc vào bảnchất của hai vật tiế p xúc và tính chất của bề mặt tiế p xúc. Bảng 2.3 cho biết hệ số masát tr ượ t của vài vật liệu thông thườ ng.

b) Lự c ma sát l ăn:Khi vật có chuyển động lăn thì xuất hiện lực ma sát lăn cản tr ở chuyển động

của vật. Thực nghiệm chứng tỏ r ằng, lực ma sát lăn cũng tỉ lệ vớ i áp lực vuông gócvớ i mặt tiế p xúc và tỉ lệ nghịch vớ i bán kính R của vật lăn hình tr ụ hoặc hình cầu:

f ms lăn = µL N =R

N'Lµ (2.23)

vớ i µL là hệ số ma sát lăn. µL nhỏ hơ n µ r ất nhiều. Chính vì thế mà trong k ĩ thuật, để giảm ma sát, tại chỗ tiế p xúc ta thay bằng các ổ bi, bánh xe.

c) Lự c ma sát nghỉ :

Tr ườ ng hợ p ngoại lực tác dụng khôngđủ mạnh, ta thấy vật vẫn đứng yên. Điều nàycó mâu thuẫn vớ i định luật II Newton haykhông? Thực ra khi vật có xu hướ ng tr ượ t, tại bề mặt tiế p xúc sẽ xuất hiện lực ma sát nghỉ,

cân bằng vớ i thành phần tiế p tuyến của

ngoại lực, làm cho tổng các lực tác dụng lênvật vẫn triệt tiêu, k ết quả vật không tr ượ t. Nếu thành phần F

→

tF

t tăng lên thì lực ma sátnghỉ cũng tăng theo, cho đến khi f msn = µ N thì vật bắt đầu tr ượ t.

tF→

→

F

m

nF→

msnf →

Hình 2.10: Lự c ma sát nghỉ

Vậy ta có: f msn ≤ µ N (2.24)

Một cách chính xác thìlực ma sát nghỉ cực đại luôn lớ nhơ n lực ma sát tr ượ t. (Đẩy mộtvật nào đó thì ta phải nỗ lực

nhiều nhất lúc nó sắ p dịchchuyển. Khi nó bắt đầu dịchchuyển, ta thấy dễ đẩy hơ n). Đồ thị hình (2.11) biểu diễn sự biếnthiên của lực ma sát theo vậntốc tươ ng đối v. Khi vật bắt đầutr ượ t, lực ma sát nghỉ cực đạilớ n hơ n lực ma sát tr ượ t. Khivận tốc v tăng thì lực ma sát tăng chậm. Nếu bỏ qua các chi tiết nhỏ này, đồ thị (2.11a)

đượ c thay bằng đồ thị (2.11b). Khi đó, ta có công thức (2.24).

v

Fms Fms

v

a) b)

Hình 2.11: sự biế n thiên của l ự c ma sáttheo vận t ố c.

d) Vai trò của ma sát:

Ma sát sinh ra do các bề mặt tiế p xúc gồ ghề, cho dù có làm nhẵn, vẫn cónhững chỗ gồ ghề vi mô. Ma sát có thể làm cản tr ở chuyển động, mài mòn các chi tiếtmáy. Để giảm bớ t tác hại này, ngườ i ta thay ma sát tr ượ t bằng ma sát lăn, ngh ĩ a là cáctr ục máy đều gắn các vòng đỡ có ổ bi và phải đượ c bôi tr ơ n.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Tuy nhiên, trong một số tr ườ ng hợ p, ma sát lại r ất cần thiết. Không có ma sát,con ngườ i và tất cả xe cộ đều không thể chuyển động đượ c. Quan sát một chiếc ôtô đitrên đoạn đườ ng bùn lầy, ta thấy có lúc bánh xe quay r ất nhanh mà ôtô không tiến lênđượ c. Đó là vì ma sát của đườ ng không đủ lớ n để giữ cho bánh xe khỏi tr ượ t. Trong

tr ườ ng hợ p này, lực ma sát nghỉ đóng vai trò là ngoại l ự c phát động làm vật chuyểnđộng. Do đó các lố p xe phải có rãnh, gờ để tăng ma sát phát động.

Ma sát vừa có ích lại vừa có hại. Tùy theo mục đích sử dụng mà trong từngtr ườ ng hợ p cụ thể, ta có thể làm tăng hoặc giảm ma sát.

e) Lự c cản của môi tr ườ ng:

vXét một vật r ắn ở trong môitr ườ ng lỏng hoặc khí. Nếu nó đứng yên thìchỉ cần một lực r ất nhỏ cũng làm cho nóchuyển động (thí dụ một ngườ i không thể làm nhúc nhích chiếc tàu mắc cạn, nhưngnếu tàu đậu trên bến thì ngườ i ấy có thể đẩy nó chuyển động dễ dàng). Có thể nóir ằng, chất lỏng và chất khí không có masát nghỉ.

a)

b)

c)

Khi vật r ắn chuyển động trongmôi tr ườ ng chất lỏng, hay khí thì nó chịu

lực cản đáng k ể, ta gọi là l ự c cản của môitr ườ ng . Nguyên nhân của lực cản này, một phần nhỏ là do ma sát, phần lớ n là do sự chênh lệch về áp suất ở mặt tr ướ c và sauvật r ắn.

d)

Hình 2.12: Lự c cản phụ thuộchình d ạng vật r ắ n.

Đặc điểm của lực cản môi tr ườ ng:

• Tỉ lệ vớ i tiế t diện cản S – là tiết diện ngang lớ n nhất của vật vuông góc vớ i phươ ng chuyển động.

• Tỉ lệ vớ i bậc nhất của vận tốc v - nếu v nhỏ (vài m/s); và tỉ lệ vớ i bình phươ ngvận tốc – nếu v lớ n.

F = k 1vS (khi v nhỏ) (2.25)

F = k 2v2 S (khi v lớ n). (2.26)

Các hệ số k 1, k 2 phụ thuộc vào bản chất môi tr ườ ng, tính chất bề mặt của vật và nhất làhình dạng của vật. Hình (2.12) ghi lại k ết quả thực nghiệm về lực cản của những vậtcó cùng tiết diện cản S, chuyển động trong không khí vớ i cùng vận tốc v, nhưng có

hình dạng khác nhau. Nếu lực cản đối vớ i vật hình tr ụ là lớ n nhất bằng 1 thì lực cảncủa vật có dạng (d) là nhỏ nhất, chỉ bằng 1/25. Ta gọi dạng (d) là dạng khí động học.Thân các loài chim, cá đều có dạng này. Ngườ i ta cũng chế tạo thân máy bay, ô tô theodạng này để giảm tối đa lực cản môi tr ườ ng.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




§2.3 - PHƯƠ NG PHÁP ĐỘNG LỰ C HỌC

Trên cơ sở hiểu biết về bản chất và các đặc điểm của các lực cơ học, chúng tasẽ vận dụng các định luật Newton để khảo sát các bài toán cơ bản của động lực học.Phươ ng pháp vận dụng các định luật Newton để khảo sát các bài toán cơ học còn đượ cgọi là phươ ng pháp động l ự c học.

Bài toán thuận của cơ học là bài toán biế t các l ự c tác d ụng lên vật, tìm tínhchấ t chuyể n động của nó. Để giải tườ ng minh bài toán này, cần phải biết thêm cácđ iề u kiện ban đầu, tức là vị trí (toạ độ), vận tốc của vật ở một thờ i điểm nào đó đượ cqui ướ c làm gốc thờ i gian. Trình tự giải bài toán này là:

• Xác định các lực tác dụng lên chất điểm.• Vận dụng (2.6).

• Chiếu lên các tr ục toạ độ Ox, Oy, Oz cần thiết để tìm các thành phân ax,ay, az của vectơ gia tốc r ồi sử dụng các điều kiện ban đầu, tìm phươ ngtrình chuyển động của chất điểm.

Trong quá trình nghiên cứu, đôi khi ta gặ p bài toán ng ượ c của cơ học: biế ttính chấ t chuyể n động của vật, xác định các l ự c tác d ụng lên nó. Ví dụ nổi tiếng của

bài toán này là việc Newton tìm ra lực hấ p dẫn từ chuyển động của các hành tinh.Trong k ĩ thuật, ta cũng thườ ng hay gặ p bài toán ngượ c. Thí dụ: trong một ống phóngđiện tử (như đèn hình chẳng hạn), electron phải có qũi đạo và vận tốc xác định, ngườ ik ĩ sư phải tính các lực điện, lực từ tác dụng lên electron, để từ đó thiết k ế các mạchđiện hợ p lý. Trình tự giải bài toán này là:

• Từ chuyển động của vật suy ra gia tốc của nó.

• Vận dụng (2.6) suy ra lực tác dụng lên vật.

Trên thực tế, nhiều bài toán không thuần tuý là thuận hay ngượ c. Thí dụ trong bài toán thuận, thườ ng ta không biết đầy đủ về lực ma sát, lực liên k ết, để giải đượ c, phải có thêm các dữ kiện như hệ số ma sát hoặc biết một vài yếu tố của chuyển động.Dướ i đây là vài ví dụ điển hình.

Ví dụ 2.1: Vật có khối lượ ng m đượ c kéo tr ượ t trên mặt sàn ngang bở i một lựckhông đổi, tạo vớ i phươ ng ngang một góc α. Hệ số ma sát giữa vật và mặt sàn là µ.Tính gia tốc của vật. Xác định góc α để gia tốc lớ n nhất.

→

F

Giải

• Phân tích lự c: Lực tác dụng lên vật gồm:

- Tr ọng lực ;→

PWWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




- Phản lực của mặt sàn ;→

Ny

O

x

→

F

msF→

→

N

nF→

) α tF

→

- Lực kéo ;→

F

- Lực ma sát .msF→

• Áp dụng (2.6) ta có:→

P + + + = m (1)→

N→

F msF→ →

aChiếu (1) lên các tr ục Ox, Oy ta có:

→

POx: Ft – Fms = max

Hình 2.13: V ật bị kéo tr ượ t

trên mặt phẳ ng ngang.

hay: Fcosα – Fms = ma (2)

Oy: – P + N + Fn = may = 0

⇒ N = P – Fsinα ⇒ Fms = µ.N = µ(P - Fsinα) (3)

Thay (3) vào (2), rút ra gia tốc của vật là:

g)sin(cosm

F

m

mg)sin(cosFa µ−αµ+α=

µ−αµ+α= (2.27)

Từ (2.27) suy ra: khi lực kéo có độ lớ n không đổi, gia tốc của vật là lớ n nhất

khi (cosα + µ sinα)max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:(cosα + µ sinα)2 ≤ (12 + µ2 )(sin2α + cos2α)

⇒ cosα + µsinα 21 µ+≤ = const

⇒ (cosα + µsinα)max =21 µ+ khi µ cosα = sinα

⇒ tgα = µ (2.28)

Vậy để gia tốc nhất thì lực kéo phải hợ p vớ i mặt nghiêng một góc αo sao tgαo = µ.

Ví dụ 2.2: Vật có khối lượ ng m đượ c kéo tr ượ t lên một mặt phẳng nghiêng có góc

nghiêng α so vớ i mặt phẳng ngang bở i lực hợ p vớ i mặt nghiêng một góc β. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là µ.

→

F

a) Tìm gia tốc của vật. Từ đó suy ra lực kéo tối thiểu để vật có thể đi lên.

b) Giả sử lực kéo có độ lớ n không đổi, hãy tìm góc β để gia tốc lớ n nhất.

c) Trong tr ườ ng hợ p không có lực kéo, hãy tìm biểu thức tính gia tốc tr ượ t xuốngcủa vật. Từ đó suy ra góc α nhỏ nhất để vật bắt đầu tr ượ t xuống.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Giải

→

tF

msf →

→

P

→

nP

→

tP

→

nF

→

F

β

α

α

x

O

→

N

Hình 2.14: V ật bị kéo lên mặt phẳ ng nghiêng.

• Lực tác dụng lên vật gồm:

Tr ọng lực ; Phản lực pháp tuyến ; Lực kéo và Lực ma sát .

→

P

→

N

→

F

→

msf • Áp dụng (2.6) ta có: (1)

→→→→→

=+++ amf F NP ms

Chiếu (1) lên phươ ng Ox // mặt phẳng nghiêng, ta có:

– Pt + 0 + Ft – f ms = ma ⇒ – mgsinα + Fcosβ – µ N = ma (2)

Chiếu (1) lên phươ ng Oy vuông góc vớ i mặt nghiêng, ta có:

– Pn + N + Fn = 0 ⇒ – mg cosα + N +Fsinβ = 0

⇒ N = mgcosα – Fsinβ (3)

Thay (3) vào (2) ⇒ F(cosβ +µsinβ) –mg(sinα + µcosα) = ma.

Từ đó tính đượ c gia tốc của vật là:

)cos(sing)sin(cosm

Fa αµ+α−βµ+β= (2.29)

Suy ra, lực kéo nhỏ nhất (ứng vớ i a = 0) để vật bắt đầu tr ượ t lên dốc:

βµ+βαµ+α=

sincos)cos(sinmgFmin (2.30)

Nếu lực kéo có hướ ng song song mặt nghiêng (β = 0) thì:WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




)cos(singm

Fa αµ+α−= (2.31)

b) Từ (2.29) suy ra: khi lực kéo có độ lớ n không đổi, gia tốc của vật là lớ n nhất khi

(cosβ + µ sinβ)max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, tươ ng tự như ví dụ 1, ta có:tgβ = µ . Vậy để gia tốc nhất thì lực kéo phải hợ p vớ i mặt nghiêng một góc βo saocho tgβo = µ.

c) Nếu không có lực kéo, vật có thể sẽ tr ượ t xuống dốc. Khi đó lực ma sát hướ ngngượ c lên trên dốc. Làm tươ ng tự như câu a, ta sẽ thu đựợ c gia tốc của vật khi nó tr ượ txuống dốc: a = g(sinα – µ cosα) (2.32).

Vật thực sự tr ượ t xuống khi a ≥ 0. (2.32) ⇒ sinα µ cosα ⇒ tgα µ.≥ ≥

Vậy góc α nhỏ nhất để vật bắt đầu tr ượ t xuống dốc (khi không có lực kéo) là:αmin = arctgµ (2.33)

Ví dụ 2.3: Thang máy chuyển động vớ iđồ thị vận tốc như hình (2.15). Khốilượ ng của thang máy là 500 kg, lựccăng lớ n nhất của dây cáp cho phép sự an toàn của thang máy là Tmax = 12000 N. Tính tr ọng tải của thang máy.

10 132

5

v (m/s)

t (s)Giải

Gọi m và M là khối lượ ng thang máy vàtải tr ọng. Hình 2.15: Đồ thị vận t ố c của thang máy.

Lực tác dụng lên hệ (thang máy + tải)gồm:

→

P

→

T

m

M

- Tr ọng lực = (m + M) g ;P→ →

x

- Lực căng dây của dây cáp.v→

Áp dụng phươ ng trình (2.6):

(1)→→→

+=+ a)Mm(TP

O Chiếu (1) lên tr ục Ox thẳng đứng, chiều(+) hướ ng lên, ta có:

– P + T = (m + M)a⇒ T = P + (m +M)a = (m + M)(g + a) (2)

Hình 2.16 : Lự c tác d ụnglên hệ (thang máy +ng ườ i).trong đó gia tốc a có giá tr ị đại số, nó có

giá tr ị dươ ng hay âm tùy theo vectơ hướ ng lên hay hướ ng xuống.

→

a

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Khi thang máy chuyển động đi lên nhanh dần hoặc đi xuống chậm dần thì hướ nglên , suy ra a > 0, khi đó từ (2) ta có lực căng dây lớ n nhất :

→

a

T = Tmax = (m + M)(g + amax) và do đó: mag

T

M max

max

−+= (3)

Từ đồ thị vật tốc, suy ra: 5,22

5

t

va max ==

∆∆

= m/s2.

Vậy tr ọng tải của thang máy là:

kg4605005,210

12000m

ag

TM

max

max =−+

=−+

= .

Ví dụ 2.4: Hai vật có khối lượ ng m1, m2 buộcvào hai đầu sợ i dây, vắt qua ròng r ọc. Bỏ quakhối lượ ng dây và ròng r ọc. Coi dây không giãn.Chứng tỏ hai vật chuyển động ngượ c chiều vớ icùng độ lớ n gia tốc. Tính gia tốc của các vật vàlực căng dây.

→

2P→

1P

→

1T→

2Tm1

m2

0

Áp dụng số: m1 = 6kg; m2 = 4kg.Giải

x1

Ta có: (1)

→→→

=+ 1111 amTP x2→→→

=+ 2222 amTP (2)

Chọn tr ục Ox như hình vẽ. Chiếu (1) và (2) lên0x, ta có: P1 – T1 = m1a1 (3)

x P2 – T 2 = m2a2 (4)Gọi x1 và x2 là tọa độ của m1 và m2. Do dâykhông giãn nên chiều dài dây:

Hình 2.17: H ệ vật vắ tqua ròng r ọc

= x1 + x2 +C = const. (5)

vớ i C là hằng số biểu diễn phần dây vắt qua ròng r ọc.Lấy đạo hàm cấ p 2 của (5) ta đượ c: a1 + a2 = 0 ⇒ a1 = – a2 = a (6)Phươ ng trình (6) chứng tỏ hai vật luôn chuyển động ngượ c chiều vớ i cùng độ lớ n giatốc a.Mặt khác, dây r ất nhẹ nên T1 = T2 = T (7)Thay (6) và (7) vào (3) và (4) r ồi tr ừ vế vớ i vế, suy ra gia tốc:

21

21

mm

g)mm(a

+

−= (8)

Thay (8) vào (3) ta có lực căng dây: T = m1g – m1a1 Hay

21

21

mm

gmmT

+= (9)

Thay số: m1 = 6kg; m2 = 4kg; g = 10m/s2 vào (8) và (9) ta đượ c: a = 2m/s2; T = 24N.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§2.4 – ĐỘNG LƯỢ NG – XUNG LƯỢ NG

1 – Động lượ ng:

Động l ượ ng của chấ t đ iể m là đại l ượ ng vect ơ bằ ng tích khố i l ượ ng vớ i vậnt ố c của chấ t đ iể m: (2.34)

→→

= vm p

Từ định ngh ĩ a (2.34), ta thấy, vectơ động lượ ng luôn cùng hướ ng vớ i vectơ vận tốc

. Trong hệ SI, động lượ ng có đơ n vị là kgm/s.

→

p→

v

Đối vớ i hệ chất điểm, động lượ ng của một hệ bằng tổng động lượ ng của các

chất điểm trong hệ: (2.35)∑→→

= ih p p eä

2 – Các định lí về động lượ ng:

Gọi là tổng các lực tác dụng lên chất điểm, thì theo (2.6) ta có:→

F

d v d(m v) d pm a m F hay F

dt dt dt

→ →→ →

→→

= = = = (2.36)

Lấy đạo hàm (2.35) theo thờ i gian t và sử dụng hệ thức (2.36), ta có:

∑∑∑ ∑ →→→→

→→

+=+== iiii f F)f F( pd pd

dtdtiheä

trong đó và là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i.iF→

if →

Theo định luật III Newton, các vật trong hệ tươ ng tác nhau bằng những cặ p lực tr ực

đối, vì thế . Suy ra:0f i =∑→ →→

→

== ∑ FF pd

idt

heä

Định lí 1: Đạo hàm của vect ơ động l ượ ng của một chấ t đ iể m (hay hệ chấ t đ iể m) theothờ i gian bằ ng t ổ ng các ngoại l ự c tác d ụng lên chấ t đ iể m (hay hệ chấ t đ iể m) đ ó.

→→→

== ∑ FF pd

idt

heä (2.37)

Nếu viết (2.36) hoặc (2.37) dướ i dạng , r ồi lấy tích phân hai vế, ta

đượ c: (2.38)

dtF pd

→→

=2 2 2

1 11

p t t

2 1

t t p

d p Fdt hay p p p Fdt

→

→

→ → → → → →

= ∆ = − =∫ ∫ ∫WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Đại lượ ng gọi là xung lượ ng của ngoại lực trong thờ i gian từ t∫→2

1

t

t

dtF→

F 1 đến t2 ; còn

đại lượ ng chính là độ biến thiên động lượ ng của vật. Vậy ta có thể phát biểu (2.38) dướ i dạng định lý sau:

→→→

−=∆ 12 p p p

Đị nh lí 2: Độ biế n thiên động l ượ ng của một chấ t đ iể m (hay hệ chấ t đ iể m) trongkhoảng thờ i gian ∆t bằ ng xung l ượ ng của ngoại l ự c tác d ụng lên chấ t đ iể m (hay hệ chấ t đ iể m) ấ y trong khoảng thờ i gian đ ó.

3 – Ý ngh ĩ a của động lượ ng và xung lượ ng:

Ta biết r ằng, vận tốc là đại lượ ng đặc tr ưng cho chuyển động về mặt Động

Học. Nhưng khi khảo sát chuyển động của vật về mặt Động Lực Học, ta thấy vận tốccủa vật còn tùy thuộc vào cả khối lượ ng của nó. Động lượ ng là đại lượ ng bao hàm cả vận tốc lẫn khối lượ ng, nên nó đặc tr ư ng cho chuyể n động về mặt Động Lự c H ọc.Trong các va chạm, động lượ ng đặc tr ư ng cho khả năng truyề n chuyể n động.

Phươ ng trình (2.36) chỉ là một dạng khác của phươ ng trình cơ bản (2.6),nhưng nó tổng quát hơ n dạng (2.6). Vì thực ra, khối lượ ng của vật không phải là “bất biến”, nó phụ thộc vào vận tốc, nhất là khi vận tốc cỡ vận tốc áng sáng (300000 km/s).Tuy nhiên, trong khuôn khổ các hệ v ĩ mô, vận tốc của vật là không đáng k ể so vớ i vậntốc ánh sáng, nên khối lượ ng của vật coi như không đổi. Nói tóm lại, phươ ng trình(2.36) là phươ ng trình động lực học cho bất k ỳ vật nào, còn (2.6) chỉ là tr ườ ng hợ priêng của (2.36) khi vật có vận tốc nhỏ.

Từ (2.38) suy ra, vớ i một lực khá lớ n, nhưng tác dụng vào vật trong thờ i gianr ất ngắn thì chưa chắc đã làm thay đổi vận tốc của vật bằng một lực nhỏ nhưng thờ igian tác dụng lâu. Vậy xung l ượ ng của l ự c trong khoảng thờ i gian ∆t đặc tr ư ng chotác d ụng của l ự c vào vật trong khoảng thờ i gian ấ y.

4 – Định luật bảo toàn động lượ ng:

Nếu hệ mà ta khảo sát là hệ cô l ậ p (hay hệ kín = 0) thì từ (2.37) suy ra độnglượ ng của hệ không đổi. Ta có định luật bảo toàn động lượ ng: T ổ ng động l ượ ng củamột hệ cô l ậ p đượ c bảo toàn.

→

F

(2.39)∑ →→→

== const p p iheä

Trên thực tế không có hệ nào cô lậ p tuyệt đối cả! Tuy nhiên, định luật bảotoàn động lượ ng vẫn đượ c áp dụng trong các tr ườ ng hợ p sau:

• H ệ cô l ậ p theo một phươ ng Ox nào đ ó. Tr ườ ng hợ p này hệ có ngoại lực tácdụng, nhưng hình chiếu của ngoại lực lên phươ ng Ox luôn bằng không thìđộng lượ ng của hệ theo phươ ng Ox cũng đượ c bảo toàn.

• H ệ có ngoại l ự c, như ng t ổ ng các ngoại l ự c triệt tiêu.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




• H ệ có nội l ự c r ấ t l ớ n so vớ i ngoại l ự c. Trong các bài toán về va chạm, đạn nổ,thì trong thờ i gian va chạm là r ất ngắn, ngoại lực là r ất nhỏ so vớ i nội lực, nênhệ cũng đượ c coi là kín và động lượ ng của hệ đượ c bảo toàn.

Ví dụ 2.5: Một toa xe chở đầy cát đang chuyển động tự dovớ i vận tốc v = 9km/h trên đườ ng ray nằm ngang. Khốilượ ng cả toa xe là 1000kg. Một tảng đá khối lượ ng 10kg bay vớ i vận tốc u = 20m/s đến cắm vào xe cát theo hướ ngtạo vớ i phươ ng ngang một góc 30o (hình 2.18). Tính vậntốc của toa xe ngay sau đó.

→

v

α →

u

Giải

Hệ kín theo phươ ng ngang (Ox) nên động lượ ng

của hệ đượ c bảo toàn theo phươ ng này. Chọn chiều dươ nglà chiều chuyển động của toa xe, gọi u, v là vận tốc của tảng đá, toa xe lúc đầu; v’ làvận tốc lúc sau của toa xe; M, m là khối lượ ng của toa xe và tảng đá, ta có:

Hình 2.18

phệ/Ox lúc đầu = Phệ/Ox lúc sau ⇒ Mv – mucosα = (M + m)v’

⇒ 101000

30cos.20.105,2.1000

mM

cosmuMv'v

0

+−

=+

α−= = 2,3 m/s

5 – Một số ứ ng dụng của định luật bảo toàn động lượ ng:

a) Súng gi ật khi bắn:

Ta có thể giải thích hiện tượ ng súng giật khi bắn bằng cách vận dụng định luật

bảo toàn động lượ ng. Gọi M và m là khối lượ ng của súng và đạn; là vận tốccủa súng và đạn khi đạn r ờ i nòng. Hệ (súng + đạn) là hệ kín (vì tổng các ngoại lực triệttiêu) nên động lượ ng của hệ đượ c bảo toàn. Mà tr ướ c khi bắn, động lượ ng của hệ bằngkhông, nên sau khi bắn, ta cũng có:

→→

vvaøV

0 p p p h =+=

→→→

ñaïnsuùngeä

hay→→→→

−=⇒=+ vM

mV0vmVM (2.40)

Dấu tr ừ trong (2.40) chứng tỏ súng chuyển động ngượ c chiều vớ i đạn, ta nói súng bị “giật”. Súng giật càng yếu khi khối lượ ng của súng càng lớ n. Vì thế, khi bắn súngtr ườ ng hay súng AK, ngườ i ta phải tì chặt súng vào vai để ngườ i và súng tạo thànhmột hệ có khối lượ ng M lớ n. Nếu là súng cối hay pháo, thì phải có đế nặng để nó ít bị giật lùi.

Ví dụ 2.6: Một khẩu đại bác có thể chuyển động theo phươ ng ngang. Một viên đạnđượ c bắn khỏi nòng súng vớ i vận tốc vo = 200m/s, hợ p vớ i phươ ng ngang môt góc α =450. Tính vận tốc của súng ngay khi đạn r ờ i nòng súng, biết khối lượ ng của súng làM = 2 tấn, của đạn là m = 5kg.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Giải

Hệ kín theo phươ ng ngang nên động lượ ng của hệ đượ c bảo toàn theo phươ ng này. Từ (3.26) suy ra vận tốc của súng là:

s/m35,02000

45cos.200.5

M

cosmvV

00 ==

α=

Vậy, súng bị giật lùi vớ i vận tốc 0,35m/s.

b) Chuyể n động bằng phản l ự c:

Xét chuyển động của tên lửa: Giả sử ở thờ i điểm t, tên lửa có khối lượ ng m,

chuyển động vớ i vận tốc , thì động lượ ng của tên lửa là . Ở thờ i điểm

t + dt, vận tốc của tên lửa là . Lúc này khối lượ ng của tên lửa giảm một

lượ ng dm và khối lượ ng nhiên liệu phụt về phiá sau là – dm (dm < 0). Gọi là vậntốc nhiên liệu, ta có động lượ ng của hệ ở thờ i điểm t’ là:

→

V→→

= Vm p1

→→→

+= VdV'V→

v

→→→→→→

−++=−++= vmd)VdV)(mdm(v)md('V)mdm( p2

→→→→

−++≈vdmVdmVmdm

V

Suy ra: và2 1d p p p (V v)dm md V→ → → → → →

= − = − +d p (V v)dm md V

dt dt dt

→ → → →

−= +

Gọi là tổng ngoại lực tác dụng vào hệ thì theo (2.37)→

Fdt

pdF

→→

= , do đó ta có:

dtdm.uF

dtdm)Vv(F

dtVdm

→→→→

→→

+=−+= (2.41)

Trong đó: là vận tốc tươ ng đối của nhiên liệu phun ra so vớ i tên lửa.→→→

−= Vvu

(2.41) chính là phươ ng trình chuyển động của tên lửa. Vế phải chính là tổng các lựctác dụng lên tên lửa, trong đó số hạng thứ 2 có thứ nguyên của lực nên đượ c gọi là phản l ự c.

Nếu ngoại lực r ất nhỏ so vớ i phản lực thì ta có:

dt

dmu

dt

dm)Vv(

dt

Vdm

→→→→

=−= (2.42)

Chọn chiều dươ ng là chiều chuyển động của tên lửa, ta có:

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




mdV = – udm haydm dV

m u= − . (2.42a)

Giả sử vận tốc phụt khí của tên lửa không đổi (u = const), lấy tích phân hai vế (2.42a)

ta có: Vln m Cu

= − + (2.42b)

Ở thờ i điểm ban đầu (tr ướ c khi phóng), khối lượ ng của tên lửa là m = mo và vận tốcV = 0. Thay điều kiện này vào (2.42b) ta tìm đượ c hằng số tích phân C = ln mo. Từ đó

ta có vận tốc của tên lửa: V = ulnm

m0 (2.43)

Phươ ng trình (2.43) đượ c gọi là phươ ng trình Xiôncố pxki. Nó là một trong những

phươ ng trình cơ bản, đượ c sử dụng trong ngành khoa học không gian vũ tr ụ. Dựa vàođó, ta có thể điều khiển đượ c vận tốc của tên lửa.

Ví dụ 2.7: Tên lửa đượ c phóng lên thẳng đứng từ mặt đất. Vận tốc khí phụt ra so vớ itên lửa là 1000m/s. Tại thờ i điểm phóng, khối lượ ng tên lửa là 6000kg. Tính vận tốccủa tên lửa sau 5 giây. Biết r ằng, cứ mỗi giây khối lượ ng khí phụt ra là 200kg. Bỏ quasức cản không khí, có tính đến ảnh hưở ng của tr ọng lực.

Giải

Áp dụng (2.41) ta có:dtdmuP

dtVdm

→

→

→

+=

vớ i là tr ọng lực tác dụng lên tên lửa; là vận tốc khí phụt ra so vớ i tên lửa. Do tênlửa phóng theo phươ ng thẳng đứng, nên chiếu phươ ng trình vectơ lên phươ ng thẳngđứng, chiều dươ ng hướ ng lên, ta có:

→

P→

u

dt

dmumg

dt

dVm −−= hay dV = – gdt – u

m

dm

Tích phân hai vế và chú ý: từ thờ i điểm to = 0 đến thờ i điểm t thì khối lượ ng tên lửa biến thiên từ mo đến m và vận tốc tên lửa cũng biến thiên từ 0 đến V.

Ta có: ∫∫∫ −−=m

m

t

0

V

0 0m

dmugdtdV ⇒ V = – gt + u )

m

mln( 0 (*)

Vớ i t = 5s thì khối lượ ng còn lại của tên lửa là: m = 6000 – 200.5 = 5000kg

Thay vào (*) ta có vận tốc tên lửa là: V = – 10.5 +1000.ln(6/5) = 132m/s.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§2.5 – MÔMEN ĐỘNG LƯỢ NG – MÔMEN LỰ C

Phươ ng trình (2.36) là một trong nhữ ng phươ ng trình cơ bản của động l ự c

học. Trong nhiề u tr ườ ng hợ p, nhấ t là khi khảo sát các chuyể n động quay, chuyể nđộng d ướ i tác d ụng của tr ườ ng l ự c xuyên tâm, ng ườ i ta diễ n t ả phươ ng trình độngl ự c học (2.36) d ướ i d ạng khác: đ ó chính là định lí về mômen động l ượ ng.

1 – Mômen của một vectơ đối vớ i điểm O:

Cho một vectơ có gốc tại A và một điểm O cố định. Ta định ngh ĩ a

mômen của vectơ đối vớ i O là một vectơ , kí hiệu là , đượ c xác định bở i

tích hữu hướ ng: (2.44)

→→

= ABu→

u )u(M o/

→→

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡= →→→→→→

u,r u,OA)u(M o/

Vectơ có:)u(M o/

→→

A

→

u

B

→

r

H

Od

→

M- Gốc: tại O;- Phươ ng: vuông góc vớ i mặt phẳng chứa

(O, );→

u

- Chiều: tuân theo qui tắc đinh ốc;- Độ lớ n: M/O = ursinθ = ud (2.45)

vớ i d = OH là cánh tay đòn chính bằng

khoảng cách từ O đến giá của .→

u Hình 2.19: Mômen của một vect ơ

T ừ định nghĩ a trên, ta có các tính chấ t sau:

a) Nếu có phươ ng qua O thì = 0.→

u )u(M o/

→→

b) Nếu = λ thì = λ. , λ là số thực.→

u→

1u )u(M o/

→→

)u(M 1o/

→→

c) Nếu = + thì = +→

u→

1u→

2u )u(M o/

→→

)u(M 1o/

→→

)u(M 2o/

→→

2 – Mômen động lượ ng:

Mômen động lượ ng của chất điểm là vectơ đượ c xác định bở i:

→

L

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→→→→→

v,r m p,r L (2.46)WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




⇒ L = rpsinθ = mrvsinθ (2.47)

→

p

→

L

θ

→r

M

vớ i θ là góc giữa→

r và .→

p

Phươ ng, chiều, điểm đặt của vectơ mômen động lượ ng đượ c xác định như ở mục1. Trong hệ (SI), đơ n vị đo mômen động lượ nglà kilôgram mét bình phươ ng trên giây(kgm2/s). Hình 2.20: Mômen động l ượ ng.

Mômen động lượ ng của hệ chất điểm bằng tổng các mômen động lượ ng của từng chất điểm trong hệ:

(2.48)

∑∑ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡== →→→→

iii p,r LL

trong đó: là vectơ bán kính hướ ng từ gốc O đến chất điểm thứ i; là

động lượ ng của chất điểm thứ i.

→

ir →→

= iii vm p

3 – Mômen lự c:

Tươ ng tự, mômen của lực đối vớ i điểm O là: (2.49)→

F ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

→→→→→

F,r )F(MM O/

Suy ra độ lớ n của mômen lực: M/O( ) = r.F.sinθ = F.d (2.50)→

F

Vớ i d = Fsinθ là cánh tay đòn (khoảng cách từ O đến giá của lực ).→

F

Phươ ng, chiều, điểm đặt của vectơ mômen lực đượ c xác định như ở mục 1.Trong hệ (SI), đơ n vị đo mômen lực là niutơ n mét (Nm).

Trong các chuyển động quay tròn quanh tâm O, mômen lực còn đượ c gọi là

mômen quay. Lực luôn đượ c phân tích thành hai thành phần: . Do đó

mômen lực: . Vì thành phần pháp tuyến song

song vớ i bán kính qu ĩ đạo , nên [

→

F→→→

+= tn FFF

/ O tM (F) [R , F] [R ,F ] [R ,F ]→ → → → → → → →

= = + n

→

nF

R → →

R , ] = 0. Do đó mômen lực trong tr ườ ng hợ p

này và đượ c xác định bở i: (2.51)

→

nF

tO/tO/ RFM]F,R [)F(M =⇒= →→→→

Chỉ có thành phần tiế p tuyế n của l ự c mớ i t ạo ra mômen quay.

4 – Định lí về mômen động lượ ng:

Lấy đạo hàm (2.48) theo thờ i gian, ta có:

∑ ∑ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡==

→→→

→→→

→

dt

pd,r p,

dt

r d] p,r [

dt

d

dt

Ld iii

iii

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Vì: 0]v,v[m]vm,v[ p,dt

r diiiiiii

i ===⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ →→→→→→

; )F(M]F,r [dt

pd,r iO/iii

ii

→→→→→

→

==⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

nên O/iO/i M)F(Mdt

Ld →→→→

== ∑ (2.52)

Định lí 1: Đạo hàm vect ơ mômen động l ượ ng của một chấ t đ iể m (hay hệ chấ t đ iể m)theo thờ i gian bằ ng t ổ ng các mômen của ngoại l ự c tác d ụng lên chấ t đ iể m (hay hệ chấ t đ iể m) đ ó.

Nhân hai vế (2.52) vớ i dt r ồi tích phân hai vế, ta đượ c:

∫ →→→→ =−=∆2

1

t

t

12 dtMLLL (2.53)

Nếu mômen ngoại lực không đổi thì ta có:

t.MLLL 12 ∆=−=∆ →→→→

(2.54)

Định lí 2: Độ biế n thiên mômen động l ượ ng của hệ bằ ng xung l ượ ng của các mômenngoại l ự c tác d ụng lên hệ.

5 – Mômen động lượ ng trong chuyển động tròn:

Phươ ng trình (2.52) đượ c xem là phươ ng trình động lực học trong các chuyểnđộng cong. Xét tr ườ ng hợ p riêng, khi chấtđiểm chuyển động trên đườ ng tròn tâm O, bán kính R thì độ lớ n của mômen động lượ nglà: L = R.p.sinθ = Rmv = mR 2ω

O

→

R

→

L

→

ω

→

p Đặt: I = mR

2

(2.55)I đượ c gọi là mômen quán tính của chất điểmđối vớ i điểm O,

Hình 2.21: Mômen độngl ượ ng trong chuyể n động trònthì: L = Iω (2.56)

Dễ thấy và là hai vectơ cùng phươ ng

chiều, nên ta có: = I (2.57)

→

ω →

L→

L→

ω

Khi đó (2.52) tr ở thành: )F(Mdt

)I(dO/

→→→

=ω

(2.58)WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Đối vớ i một chất điểm chuyển động trên một đườ ng tròn xác định thì I không

đổi. Suy ra: )F(MIdt

)(dI O/

→→→→

=β=ω

(2.59)

(2.59) là phươ ng trình động l ự c học trong chuyể n động quay của chấ t đ iể m quanh tâmO. Nhân hai vế của (2.59) vớ i dt r ồi tích phân, ta đượ c:

(2.60)∫→→→

=ω−ω2

1

t

t

12 dtM)(I

Nếu mômen lực không đổi thì (2.60) tr ở thành:

t.M)(I.I 12 ∆=ω−ω=ω∆ (2.61)

Ví dụ 2.8: Một chất điểm đang chuyển động trên đườ ng tròn bán kính R = 20cm vớ ivận tốc góc ω = 4π (rad/s). Để hãm chất điểm dừng lại trong 5s thì mômen hãm trung bình là bao nhiêu? Biết khối lượ ng chất điểm là 100g.

Giải

Áp dụng (2.61): I(ω2 – ω1) = M∆t

Mà: I = mR 2; ω1 = ω = 4π (rad/s); khi dừng lại: ω2 = 0.

⇒ ) Nm(01,05

4.2,0.1,0t

mR t

IM22

−=π−=∆

ω−=∆ω−=

Vậy độ lớ n của mômen hãm là 0,01Nm (dấu “–“ cho biết đây là mômen cản).

6 – Định luật bảo toàn mômen động lượ ng:

Từ (2.52) suy ra: Đố i vớ i chấ t đ iể m (hay hệ chấ t đ iể m) cô l ậ p, hoặc chịu tácd ụng của ngoại l ự c, như ng t ổ ng mômen của ngoại l ự c triệt tiêu, thì mômen độngl ượ ng của chấ t đ iể m (hay hệ chấ t đ iể m đ ó) đượ c bảo toàn.

0)F(M O/ =→→

⇒ →→

→

=⇒= constL0dt

Ld (2.62)

Ví dụ: chất điểm chuyển động dướ i tác dụng của tr ườ ng lực xuyên tâm (phươ ng củalực tác dụng luôn đi qua tâm O) thì theo (2.49), mômen lực luôn bằng không, do đó:

→→

⇒= L0dt

Ld không thay đổi. Vì luôn vuông góc vớ i mặt phẳng (O, ) suy ra,

mặt phẳng (O, ) cố định.

→

L→

p

→ p

Vậy khi vật chuyể n động d ướ i tác d ụng của tr ườ ng l ự c xuyên tâm thì qũi đạo của vậtnằ m trong một mặt phẳ ng cố định.

Đối vớ i hệ chuyển động quay xung quanh một tr ục cố định, nếu tổng cácmômen ngoại lực triệt tiêu thì mômen động lượ ng của hệ đượ c bảo toàn: L = Iω =

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




const . Suy ra, nếu vì lí do nào đó mà mômen quán tính I tăng lên thì hệ sẽ quay chậmlại; ngượ c lại, nếu I giảm, hệ sẽ quay nhanh hơ n. Điều này đượ c áp dụng trong nghệ thuật múa Balê, vũ công thay đổi vị thế tay chân để thay đổi vận tốc quay của mình.

§2.6 NGUYÊN LÝ TƯƠ NG ĐỐI GALILÉE – LỰ C QUÁN TÍNH

1 – Không gian và thờ i gian trong cơ học cổ điển:

Xét hệ qui chiếu O’x’y’ chuyển động tươ ng đối vớ i vận tốc so vớ i hệ quichiếu Oxy. Theo quan điểm của cơ học cổ điển thì thờ i gian trôi đi trong các hệ quichiếu O’x’y’ và Oxy là như nhau. ⇒ t’ = t : “Thờ i gian có tính tuyệt đố i, không phụ thuộc vào hệ qui chiế u”. Từ quan điểm đó, Galilée đã thiết lậ p đượ c các công thức

biến đổi tọa độ khi chuyển từ hệ qui chiếu này sang hệ qui chiếu khác.

→

u

Xét một chất điểm M chuyển động trong không gian, theo qui tắc 3 điểm, ta

luôn có: hay (2.63)→→→

+= M'O'OOOM→→→

+= 'r 'OOr

→r →

'r

x’

y

M

z’

O’

z

Oy’

x

Hình 2.22: Toạ độ đ iể m M trong hai hệ qui chiế u.

Để đơ n giản, ta coi hệ O’ chuyển động vớ i vận tốc // Oy và lúc đầu O’ trùng vớ i O.

Khi đó (2.48) đượ c viết dướ i dạng: (2.64)

→

u

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=

=

'zz

'yuty

'xx

Từ (2.64) suy ra, vớ i hai điểm A, B bất k ỳ, ta có:

(2.65)⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

−=−

−=−

'B

'ABA

'B

'ABA

'B

'ABA

zzzz

yyyy

xxxxWWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Mà khoảng cách AB trong hệ Oxyz đượ c tính bở i công thức:

(AB)O = 2BA

2BA

2BA )zz()yy()xx( −+−+− (2.66)

trong hệ O’x’y’z’ đượ c tính bở i công thức:

(AB)O’ =2

BA2

BA2

BA )'z'z()'y'y()'x'x( −+−+− (2.67)

Từ (2.65), (2.66), (2.67) suy ra: khoảng cách AB là như nhau trong hai hệ qui chiếuOxy và O’x’y’. Vậy, khoảng không gian cũng có tính tuyệt đố i (bấ t biế n) trong mọi hệ qui chiế u.

2 – Tổng hợ p vận tốc, gia tốc theo quan điểm cổ điển:

Ta có:

→→→→→→

+=+= 'r 'OOM'O'OOOM r hay

dt

'r d

dt

'OOd

dt

r d→→→

+=⇒ hay (2.68) cr a vvv→→→

+=

Trong đó: avdt

r d →→

= là vận tốc của chất điểm đối vớ i hệ qui chiếu O, hay vận tốc

tuyệt đối; r vdt

'r d →

→

= là vận tốc của chất điểm đối vớ i hệ qui chiếu O’, hay vận tốc

tươ ng đối; cvdt

'OOd →→

= là vận tốc tịnh tiến của hệ O’ đối vớ i hệ O, hay vận tốc kéo

theo.

Công thức (2.68) đượ c gọi là công thức cộng vận tốc theo quan điểm cổ điển.

Lấy đạo hàm (2.68) theo thờ i gian, ta có công thức cộng gia tốc:

(2.69)c

→→→

+= aaa r a

Trong đó: là gia tốc của chất điểm đối vớ i hệ O và O’, hay gia tốc tuyệt

đối và tươ ng đối; là gia tốc tịnh tiến của hệ O’ đối vớ i hệ O, hay gia tốc kéo theo.

r a aa→→

vaø

ca→

Để dễ nhớ , ta viết (2.68) và (2.69) dướ i dạng tươ ng tự như qui tắc 3 điểm:

; (2.70)O/'O'O/MO/M vvv →→→ += O/'O'O/MO/M aaa →→→ +=

Khi ta nói vận t ố c hay gia t ố c của một vật mà không nói rõ đố i vớ i hệ quichiế u nào thì hiể u là so vớ i hệ qui chiế u đứ ng yên đố i vớ i Trái Đấ t .WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Ví dụ 2.9: Một con đò ngang, xuất phát từ A và luônhướ ng mũi đò vuông góc vớ i bờ sông để sang bến B. Nhưng do nướ c chảy vớ i vận tốc u = 5 km/h nên đò cậ p bến tại C. Vận tốc của đò so vớ i dòng nướ c là v = 12km/h.

B C

→

V →v

→

u

A

a) Tính vận tốc của đò so vớ i bờ sông.

b) Tính quãng đườ ng mà đò đã đi và bề r ộng của consông nếu thờ i gian sang sông là 30 phút.

c) Để đò cậ p đúng bến B thì phải hướ ng mũi đò như thế nào? khi đó thờ i gian sang sông là bao nhiêu?

Hình 2.23: Đò ngangbị trôi theo dòng nướ c

và cậ p bế n t ại C.Giải

a) Theo công thức cộng vận tốc (2.70), ta có:

haynöôùc/bôøñoø/nöôùcñoø /bôø

→→→

+= vvv→→→

+= uvV

Vì nên vận tốc của đò so vớ i bờ sông là:v→→

⊥ u

h/km13512uv 2222 =+=+=V

B

A

α

→

u

→

v→

V

Hình 2.24: Để đ ò cậ p g bế n B, phải hướ

mũi đ ò về phía thượ ngnguồn một góc α .

đ ún ng

b) Quãng đườ ng mà đò đã đi:S = AC = V.t = 13.0,5 = 6,5 km.

Bề r ộng của con sông: AB = v.t = 12. 0,5 = 6 km.

c) Để đò cậ p đúng bến B thì phải hướ ng chếch mũi đòvề phiá thượ ng nguồn một góc α so vớ i AB (xem hình

2.24), sao cho: '302412

5

v

usin o=α⇒==α

Vận tốc của đò khi đó:

h/km11512u 222 ≈−=−= 2v V .

Thờ i gian sang sông: phuùt)iôø)V

AB t (32g(

11

6===

3 – Nguyên lý tươ ng đối Galilée:

Một hệ qui chiếu đứng yên tuyệt đối đượ c gọi là hệ qui chiếu quán tính. Các

hệ qui chiếu chuyển động thẳng đều đối vớ i hệ qui chiếu đứng yên cũng là hệ quichiếu quán tính. Tuy nhiên trong thực tế không có sự đứng yên tuyệt đối, vì thế, tađịnh ngh ĩ a hệ qui chiếu quán tính là hệ qui chiếu mà các phươ ng trình động lực họccủa Newton đượ c nghiệm đúng. Trong phạm vi nghiên cứu hẹ p, ta coi hệ qui chiếugắn vớ i trái đất là hệ qui chiếu quán tính.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Giả sử hệ qui chiếu tươ ng đối O’x’y’z’ chuyển động thẳng đều đối vớ i hệ qui

chiếu tuyệt đối Oxyz ( ) thì→→

= constv c 0dt

vda

cc ==

→→

Từ (2.69) ta có: (2.71)r ar a amamFaa→→→→→

==⇒=

Điều này chứng tỏ: các phươ ng trình của Động Lực Học bất biến trong mọi hệ quichiếu quán tính. Nói một cách khác “Các hiện t ượ ng cơ học đề u xả y ra như nhautrong mọi hệ qui chiế u quán tính”. Đó là nội dung của nguyên lý tuơ ng đối Galilée.Từ nguyên lý tuơ ng đối Galilée suy ra: mọi hệ qui chiếu quán tính là tươ ng đươ ngnhau. Ta không thể tiến hành một thí nghiệm cơ học nào để chứng tỏ đượ c r ằng hệ quichiếu quán tính đứng là yên hay chuyển động thẳng đều.

4 – Lự c quán tính:

Xét chuyển động của vật trong hệ qui chiếu tươ ng đối O’ chuyển động có giatốc (hệ qui chiếu không quán tính) đối vớ i hệ qui chiếu quán tính O. Từ (2.69) ta có

gia tốc tươ ng đối: ⇒ →→→

−= car aaa→→→

−= car amamam

Mà , nên (2.72) →→

= Fam a am qtr FF→→→

+=

vớ i (2.73)cqt amF →→ −=

gọi là lực quán tính.

Vậy: khi khảo sát vật trong hệ qui chiế u không quán tính, ngoài các l ự c thông thườ ng,vật còn chịu tác d ụng thêm l ự c quán tính. Lự c quán tính luôn cùng phươ ng và ng ượ cchiề u vớ i gia t ố c của hệ qui chiế u đ ó. Lự c quán tính khác vớ i các l ự c thông thườ ng lànó không có phản l ự c.

Dướ i đây sẽ khảo sát vài tr ườ ng hợ p chứng tỏ ảnh hưở ng của lực quán tính.

a) Hi ện t ượ ng t ăng gi ảm tr ọng l ượ ng:

Xét ngườ i đứng trong thang máy đang chuyển

động vớ i gia tốc (Ngh ĩ a là xét trong hệ qui chiếu không

quán tính). Ngoài tr ọng lực , phản lực của sàn thangmáy, ngườ i còn chịu tác dụng thêm lực quán tính:

.Vì đối vớ i thang máy, ngườ i đứng yên nên

a

→

ca→

P→

N

→→

−= cqt amF

r = 0. Ta có: →→→→

=++ 0F NP qt→

P

→

N M

Hình 2.25: Hiệnng t ăng tr ọng

l ượ ngt ượ

→

ca x

O

→→→→

=−+⇒ 0am NP c

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




)gPam N cc

→→→→→

−=−=⇒ am( (*)

i) Khi thang máy đi lên nhanh dần hoặc đi xuống chậm dần thì vectơ hướ ng lên.

Từ (*) suy ra tr ọng lượ ng của ngườ i là:

→

ca

Q = N = mac + P = m(ac + g) > mg.

Điều này chứng tỏ ngườ i sẽ đè lên sàn thang máy một lực lớ n hơ n tr ọng lượ ng bìnhthườ ng của ngườ i. Ta có hiện tượ ng tăng tr ọng lượ ng.

ii) Một cách tươ ng tự, khi thang máy đi lên chậm dần hoặc đi xuống nhanh dần thì

hướ ng xuống. Suy ra tr ọng lượ ng của ngườ i là: Q = N = m(g – a→

ca c ) < mg. Ta có

hiện tượ ng giảm tr ọng lượ ng.iii) Nếu gia tốc ac của thang máy bằng gia tốc r ơ i tự do g thì Q = 0: ngườ i hoàn toànkhông đè lên sàn thang máy. Ta gọi đó là tr ạng thái “ phi tr ọng l ượ ng ”. Và nếu ac > gthì ngườ i sẽ “bay bổ ng ” lên, đầu đụng vào tr ần thang máy!

b) Lự c quán tính ly tâm:

Xét một điã tròn nằm ngang,trên phươ ng bán kính OA, ta cắm các

cọc thẳng đứng và treo trên đầu mỗicọc một con lắc đơ n giống nhau. Chođĩ a quay đều vớ i vận tốc góc ω thì thấycác con lắc bị lệch khỏi phươ ng thẳngđứng. Con lắc nào càng xa tâm thì góclệch càng lớ n (hình 2.26).

Có thể giải thích hiện tượ ngtrên bằng cách xét con lắc trong hệ qui chiếu gắn vớ i đĩ a. Do điã chuyển động tròn đềunên mọi điểm trên nó đều có gia tốc hướ ng tâm an = ω2r. Vì thế, con lắc chịu tác dụng

thêm lực quán tính: Fqt = man = mω2r. Lực quán tính ngượ c chiều vớ i gia tốc hướ ngtâm của đĩ a, nghiã là hướ ng ra xa tâm O, nên đượ c gọi là l ự c quán tính li tâm. Chínhlực quán tính li tâm này làm lệch con lắc khỏi phươ ng thẳng đứng một góc α.

Hình 2.26: Con l ắ c ở xa tâm Othì góc l ệch càng l ớ n.

OA

α

→

τ

→

P

α qtltF→

Vì con lắc đứng yên đối vớ i điã nên gia tốc của nó đối vớ i điã bằng không, ta có:

⇒ tgα →→→→

=τ++ 0PFqt

→→→

τ−=+⇒ PFqtg

r

mg

r m

P

F 22qt ω

=ω

== (2.74)

Hệ thức (2.74) chứng tỏ con lắc nào càng ở xa tâm O (r càng lớ n) thì góc lệch α càng

lớ n.

Do chuyển động tự quay của Trái đất mà mọi vật trên mặt đất đều bị tác dụng bở i lực quán tính li tâm. Ở các v ĩ độ khác nhau, bán kính qũi đạo r khác nhau nên lựcquán tính li tâm cũng khác nhau và do đó tr ọng lực của vật cũng thay đổi theo v ĩ độ.

Hiệu ứng li tâm đượ c ứng dụng r ất nhiều trong đờ i sống. Các máy giặt, cácmáy đúc vật liệu, … đều có nguyên tắc hoạt động dựa trên hiệu ứng này.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




c) Lự c quán tính Coriolis:

Đối vớ i các vật chuyển động trong hệ qui chiếu quay, ngoài lực quán tính li tâm, còn

xuất hi

ện l

ực

quán tính Coriolis (g ọi t ắ t là l ự cCoriolis).

Để thấy rõ sự xuất hiện của lựcCoriolis, ta lấy một đĩ a nằm ngang có thể quay

quanh tr ục thẳng đứng vớ i vận tốc góc . Trênđĩ a, ta vẽ một đườ ng thẳng OA đi qua tâm (hình

2.27), cho một hòn bi lăn theo hướ ng OA vớ i vận tốc (so vớ i đĩ a). Nếu đĩ a khôngquay thì hòn bi sẽ chuyển động dọc theo đườ ng OA. Nhưng nếu đĩ a quay theo ngượ cchiều kim đồng hồ, hòn bi sẽ chuyển động theo đườ ng cong OB. Điều đó chứng tỏ nó

đã bị tác dụng bở i môt lực làm thay đổi hướ ng vận tốc của mình. Lực không

hướ ng xa tâm O nên không thể là lực quán tính li tâm. Nó đượ c gọi là l ự c quán tínhCoriolis.

→

ω

→

'v

→

cF→

cF

Các k ết quả nghiên cứu cho thấy, lực Coriolis có biểu thức tính:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ ω= →→→

,'vm2Fc (2.75)

→

ω

AHình 2.27: Lự c Coriolis

O→

cFB

(2.75) chứng tỏ lực luôn vuông góc vớ i mặt phẳng chứa tr ục quay và vận tốc

của vật; có chiều xác định theo qui tắc đinh ốc: xoay cái đinh ốc từ đến thì chiều

tiến của đinh ốc là chiều của lực . Đặc biệt, nế u vật đứ ng yên trong hệ qui chiế u

quay (v’ = 0) thì không xuấ t hiện l ự c quán tính Coriolis (nhưng vẫn tồn tại lực quántính li tâm).

→

cF→

'v→

'v→

ω→

cF

Các vật chuyển động trên bề mặt của trái đất đều chịu tác dụng của lựcCoriolis. Cụ thể:

• Nếu vật chuyển động dọc theo kinh tuyến ở phía Bắc bán cầu thì lực Coriolishướ ng sang bên phải, còn ở Nam bán cầu thì hướ ng sang trái. Do đó các dòngsông chảy theo hướ ng Bắc – Nam thì đều bị bào mòn về bên phải, nếu ở Bắc báncầu và bào mòn về bên trái nếu ở Nam bán cầu.

• Nếu vật chuyển động dọc theo v ĩ tuyến từ Đông sang Tây thì lực Coriolis luôn ép

vật xuống dướ i, làm tr ọng lượ ng của vật tăng lên; nếu vật chuyển động dọc theo v ĩ tuyến từ Tây sang Đông thì lực Coriolis luôn nâng vật lên , làm tr ọng lượ ng củavật giảm. Đó cũng chính là lí do vì sao các đườ ng băng của sân bay thườ ng cóhướ ng từ Đông – Tây và khi cất cánh hay hạ cánh, các máy bay thườ ng bay từ Tâysang Đông.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




• Đối vớ i các vật r ơ i tự do, lực Coriolis luôn làm vật lệch sang phía Đông; còn khi

ném đứng, vật lệch sang phía Tây.

• Cũng do lực quán tính Coriolis mà mặt phẳng dao động của các con lắc luôn thay

đổi. Và trong một ngày đêm, mặt phẳng dao động của con lắc quay đúng mộtvòng. Bằng việc quan sát sự quay mặt phẳng dao động này, Foucault là ngườ i đầutiên đưa ra bằng chứng thực nghiệm về sự tự quay của trái đất. Con lắc dùng vàoviệc chứng minh sự tự quay của trái đất đượ c gọi là con l ắ c Foucault .

BÀI TẬP CHƯƠ NG 2

2.1 Lực có phải là nguyên nhân gây ra chuyển động của vật không? Vì sao một vậtchuyển động tròn đều thì lực tác dụng lên nó luôn hướ ng vào tâm qũi đạo? Bạnhiểu thế nào là hai lực cân bằng? Hai lực tr ực đối? Hai lực cân bằng thì có tr ực đối

không? Hai lực tr ực đối thì có cân bằng không?2.2 Một vật đặt trên bàn nằm ngang. Hãy phân tích các lực tác dụng lên nó. Hãy tìm

các cặ p l ự c và phản l ự c của định luật III Newton đối vớ i các lực vừa phân tích.

2.3 Đặc điểm của lực đàn hồi, lực ma sát tr ượ t, lực ma sát nghỉ? Vì sao lực đàn hồi vàlực ma sát lại có bản chất chung là lực điện từ?

2.4 Theo định luật II Newton, nội lực không thể làm thay đổi tr ạng thái chuyển độngcủa hệ. Vậy mà ngườ i đi xe đạ p vẫn chuyển động đượ c? Hãy chỉ ra đâu là ngoạilực tác dụng lên hệ ngườ i – xe?

2.5 Một vật khối lượ ng m tr ượ t trên mặt ngang bở i một lực . Hệ số ma sát giữa vậtvà mặt đườ ng là µ. Hãy tìm biểu thức tính lực ma sát tác dụng lên vật và biểu thứctính gia tốc của vật khi:

→

F

a) // mặt đườ ng; b) chếch lên một góc α so vớ i mặt đườ ng;→

F→

F

c) chúi xuống một góc α so vớ i mặt đườ ng.→

F

2.6 Vật khối lượ ng m đượ c treo như hình 2.28. Tính lực căng của cácdây CA, CB.

Áp dụng số: β = 28o, α = 47o, m =15kg. Lấy g = 10 m/s2.

A B

2.7 Vật đặt trên mặt phẳng nghiênghợ p vớ i mặt phẳng ngang một góc

α . Hệ số ma sát giữa vật và mặtnghiêng là µ . Tính góc α để vật không tr ượ t. Nếugóc α không thỏa giớ i hạn đó thì vật tr ượ t vớ i giatốc bao nhiêu? Khi đó vật đi đượ c quãng đườ ng strong bao lâu?

m2

Hình 2.28

αβ

m

C

Hình 2.292.8 Một ngườ i nhảy dù theo phươ ng thẳng đứng dườ itác dụng của tr ọng tr ườ ng đều p = mg và lực cản

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




không khí Fc = kmv2, vớ i k là hệ số tỉ lệ. Xác định vận tốc của ngườ i ở thờ i điểm t.

2.9 Một ôtô đang chuyển động vớ i vận tốc vo thì hãm phanh. Lực hãm tỉ lệ vớ i vậntốc của xe: Fh = – kv. Tính vận tốc của xe ở thờ i điểm t và quãng đườ ng xe điđượ

c chođế

n khi dừ

ng.2.10 Cho cơ hệ như hình 2.29. Sợ i dây nối hai vật r ất nhẹ, không co giãn. Hệ số masát giữa m2 và mặt bàn là µ. Bỏ qua khối lượ ng ròng r ọc và ma sát ở ròng r ọc.Tính gia tốc của hệ. Từ đó suy ra giá tr ị nhỏ nhất của m2 để nó không tr ượ t.

m1

m2

B

A

2.11 Cho cơ hệ như hình 2.30. Bỏ qua khối lượ ngròng r ọc, dây và ma sát. Coi dây không giãn. Tínhgia tốc của mỗi vật và lực căng dây.

2.12 Một vật có khối lượ ng m chịu tác dụng bở i một

lực kéo và một lực đẩy như hình 2.31. Hệ số ma sátgiữa vật và mặt ngang là µ. Tính gia tốc của vật.

Ap dụng số: F1 = F2 = 700N; m = 100kg; α = β =60o; µ = 0,6.

2.13 Một hòn bi khối lượ ng m đượ c treo vào điểm I bằng sợ i dây nhẹ, không co giãn. Hòn bichuyển động tròn đều trong mặt phẳng ngangsao cho sợ i dây vạch ra một hình nón có góc ở

định là α. Tính Lực hướ ng tâm và lực căngdây tác dụng vào hòn bi.

1F→

H 2.302F

→

β ( ) α

2.14 Cho hệ như hình (2.32):m1 = 1,2kg; m2 = 0,6kg; m3 =0,2kg; α = 300. Bỏ qua ma sát,kích thướ c các vật, khối lượ ngdây và ròng r ọc; coi dâykhông giãn và không tr ượ t

trên rãnh ròng r ọc; lấy g =10m/s2. Đoạn dây nối m2 vàm3 dài 2m. Khi bắt đầuchuyển động, m3 cách mặt đất2m.

Hình 2.31

α

m3

m2m1

Hình 2.32a) Tính gia tốc của các vật;

các lực căng dây và thờ i gian chuyểnđộng của m3.

m2

α

m1

b)

Vật m2 có chạm đất không? Nếu có thìsau bao lâu k ể từ khi m3 chạm đất?

2.15 Cho hệ như hình vẽ (2.33). Biết khốilượ ng các vật là m1, m2; hệ số ma sát giữacác vật và mặt nghiêng là µ1, µ2 (µ1 > µ2).Tính:

Hình 2.33

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




a) Gia tốc và lực tươ ng tác giữa các vật khi chuyển động.

b) Giá tr ị nhỏ nhất của α để hai vật tr ượ t xuống.

2.16 Cho cơ hệ như hình (2.34). Khối lượ ng các vật A và B lần lượ t là m1 và m2; bỏ qua khối lượ ng dây và ròng r ọc, dây không dãn; hệ số ma sát giữa vật và mặtnghiêng là µ.

a) Hãy tìm điều kiện của m2 để vật Bđi lên. Tính gia tốc khi đó.

b) Hãy tìm điều kiện của m2 để vật Bđi xuống. Tính gia tốc khi đó.

c) Từ hai k ết quả trên suy ra điềukiện của m2 để B đứng yên.

Áp d ụng: Vớ i m1 = 8kg; m2 = 50kg;α = 30o ; µ =

5

3 thì vật B sẽ chuyển

động như thế nào?

α

B

A

H 2.34

2.17 Một ôtô khối lượ ng m đivớ i vận tốc không đổi lên mộtcái cầu vồng có dạng cung trònAB, bán kính r. Vị trí của xe

đượ c xác định bớ i góc MOC =α (H 2.35).

a) Tính áp lực của xe lên cầu.Lực này cực đại ở vị trínào?

b) Chứng minh r ằng, nếu vậntốc tăng quá một giớ i hạnthì lúc vào cầu, xe sẽ “bay”

một đoạn r ồi mớ i tiế p xúcvớ i cầu. Giả thiết đườ ng lên cầu là tiế p tuyến vớ i cầu tại A.

CM

O

α

BA

Hình 2.35

2.18 Đặt một tờ giấy lên bàn nhẵn, r ồi đặt một ly nướ c lên trên tờ giấy. Kéo nhẹ tờ giấy, ta thấy ly nướ c chuyển động cùng vớ i tờ giấy; nhưng nếu kéo thật nhanh tờ giấy, ta thấy tờ giấy tuột khỏi ly nướ c mà ly nướ c vẫn không hề chuyển động,thậm chí nướ c trong ly cũng không bị đổ ra ngoài. Hãy tự làm thí nghiệm và giảithích hiện tượ ng đó.

2.19 Một ngườ i tr ượ t tuyết trên đườ ng ngang, cứ sau 3s, lại đẩy xuống tuyết một

cái vớ i xung lượ ng 50kgm/s. Biết tổng khối lượ ng của ngườ i và bàn tr ượ t là 50kg,giả sử ma sát giữa bàn tr ượ t và tuyết là không đáng k ể, tính vận tốc của ngườ i saukhi bắt đầu chuyển động đượ c 15s.

2.20 Viên đạn khối lượ ng 10g bay vớ i vận tốc 200m/s xuyên sâu vào cát trong thờ igian 0,05s. Tính xung lượ ng của lực do cát tác dụng vào viên đạn và độ xuyên sâucủa viên đạn trong cát.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2.21 Một dây xích đồng chất đặt trên bàn nằm ngang. Ban đầu cho một mắt xích lọtra ngoài cạnh bàn, sau đó dây xích tuột xuống không vận tốc đầu. Bỏ qua mọi masát, hãy xác định vận tốc của dây xích khi nó r ờ i khỏi bàn. Giả thiết bàn đủ cao vàchiều dài một mắt xích không đáng k ể.

2.22 Một xe cát chịu tác dụng của lực không đổi theo phươ ng ngang. Do có mộtlỗ thủng dướ i sàn xe nên cát chảy ra ngoài vớ i lưu lượ ng µ(kg/s). Xác định vậntốc của xe cát theo t. Biết lúc t = 0, khối lượ ng xe cát là m

→F

0 và nó đang đứng yên.Bỏ qua ma sát.

2.23 Một tên lửa khối lượ ng m0 = 100 tấn, đang bay vớ i vận tốc v0 = 200m/s thìtăng tốc bằng cách khai hỏa cho nhiên liệu cháy phụt về phía sau vớ i lưu lượ ng µ = 500kg/s. Vận tốc khí phụt về phía sau là u = 500m/s so vớ i tên lửa. Tính vận tốc

của tên lửa sau đó 20s, bỏ qua sức cản không khí và tr ọng lực.2.24 Một vật khối lượ ng m, đượ c ném xiên tại điểm O vớ i vận tốc tạo vớ i

phươ ng ngang một góc α. Xác định vectơ mômen động lượ ng của vật đối vớ iđiểm O theo thờ i gian t và tính độ lớ n của mômen động lượ ng tại đỉnh qũi đạo. Apdụng số: v

→

0v

o = 100m/s, α = 450, m = 100g.

2.25 Bỏ qua ảnh hưở ng các lực hấ p dẫn khác, chỉ xét lực hấ p dẫn của Mặt tr ờ i tácdụng lên Trái đất. Chứng minh r ằng qũi đạo của Trái đất nằm trong một mặt phẳng cố định. Coi qu ĩ đạo đó là tròn, hãy tính mômen động lượ ng của Trái đất.Biết khối lượ ng Trái đất m = 6.1024 kg, bán kính qũi đạo là R = 1,5.10 11 m, chu kìquay 365 ngày.

2.26 Mômen động lượ ng của một của một hệ thay đổi theo thờ i gian t theo qui luật

, trong đó và là các vectơ không đổi và . Xác định

mômen của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Xác định thờ i điểm mà vectơ mômenđộng lượ ng tạo vớ i vectơ mômen ngoại lực một góc 45

2t. baL→→→

+= →

a→

b→→

⊥ ba

o. Khi đó mômen ngoại lực bằng bao nhiêu?

2.27 Trên một mặt phẳng ngang, nhẵn, có một vật nhỏ khối lượ ng m chuyển độngtròn nhờ một sợ i dây buộc vào vật mà đầu kia của sợ i dây chui qua lỗ O ở tâm qu ĩ đạo. Ban đầu, vận tốc góc của vật là ω0 và bán kính qu ĩ đạo là R 0. Nếu kéo đầu kiacủa sợ i dây vớ i vận tốc không đổi thì lực căng dây và vận tốc góc là bao nhiêu, khi bán kính qu ĩ đạo là r?

2.28 Một hệ hạt có động lượ ng tổng cộng và mômen động lượ ng đối vớ i

điểm O. Tìm mômen động lượ ng của hệ đối vớ i điểm O’, vớ i . Trongtr ườ ng hợ p nào thì mômen động lượ ng của hệ không phụ thuộc vào điểm O?

→

p→

L→→

= 0r 'OO

2.29 Chứng minh r ằng, mômen động lượ ng của một hệ đối vớ i điểm O (bất kì)

có thể tính bở i: , trong đó là mômen động lượ ng của hệ đối

→

L→→→→

+= pxr LL GG GL→

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM





vớ i khối tâm G của hệ đó; là vectơ bán kính của khối tâm G đối vớ i điểm O;

là tổng động lượ ng của hệ.

vớ i khối tâm G của hệ đó; là vectơ bán kính của khối tâm G đối vớ i điểm O;

là tổng động lượ ng của hệ.

Gr →

→

p

2.30 Vật khối lượ ng m1 đặt trêntấm gỗ khối lượ ng m2 trên sànngang. Hệ số ma sát giữa vật vàtấm gỗ là µ1; giữa tấm gỗ vớ i mặtsàn là µ2. Hỏi lực kéo tấm gỗ phảicó độ lớ n tối đa là bao nhiêu để vật không bị tr ượ t trên tấm gỗ? (hình 2.36). Ap dụng số:m1 = 1kg ; m2 = 2kg; µ1 = 0,1; µ2 = 0,2; g =

10m/s2

.

2.30 Vật khối lượ ng m

(α (α

mm

→oa

Hình 2.39Hình 2.39

2.31 Cho cơ hệ như hình 2.37, khối lượ ng cácvật là mo, m1, m2. Bỏ qua ma sát, khối lượ ngdây và ròng r ọc; dây không tr ượ t trên rãnhròng r ọc. Biện luận chiều chuyển động vàtính gia tốc của vật m1.

2.31 Cho cơ hệ như hình 2.37, khối lượ ng cácvật là m

2.32 Khối lăng tr ụ tam giác A, mang mộtvật B khối lượ ng m, nhận đượ c gia tốc

(hình 2.38). Xác định giá tr ị lớ n nhấtcủa a

→

0a0 để vật B vẫn còn nằm yên trên

khối lăng tr ụ. Hệ số ma sát giữa vật B vàkhối lăng tr ụ A là µ < cotgα.

2.32 Khối lăng tr ụ tam giác A, mang mộtvật B khối lượ ng m, nhận đượ c gia tốc

(hình 2.38). Xác định giá tr ị lớ n nhấtcủa a

2.33 Một sô nhỏ đựng nướ c, đượ c buộc vào sợ i dây nhẹ, dài , không co giãn.Quay tròn đều sô nướ c trong mặt phẳng thẳng đứng vớ i vận tốc góc ω. Xác địnhgiá tr ị ωmin để nướ c trong sô không chảy ra ngoài? Tính lực căng dây khi sô nướ c

ở vị trí cao nhất, thấ p nhất. Biết khối lượ ng sô nướ c là m.

2.33 Một sô nhỏ đựng nướ c, đượ c buộc vào sợ i dây nhẹ, dài , không co giãn.Quay tròn đều sô nướ c trong mặt phẳng thẳng đứng vớ i vận tốc góc ω. Xác địnhgiá tr ị ω

2.34 Trong một trò xiếc, một ngườ i đi mô tô theo một đườ ng tròn nằm ngang trênmặt trong của một tườ ng hình tr ụ thẳng đứng có bán kính đáy r = 3m. Hệ số masát giữa bánh xe và tườ ng là 0,3. Ngườ i ấy phải đi vớ i tốc độ nhỏ nhất là baonhiêu để bánh xe không bị tr ượ t theo phươ ng thẳng đứng?

2.34 Trong một trò xiếc, một ngườ i đi mô tô theo một đườ ng tròn nằm ngang trênmặt trong của một tườ ng hình tr ụ thẳng đứng có bán kính đáy r = 3m. Hệ số masát giữa bánh xe và tườ ng là 0,3. Ngườ i ấy phải đi vớ i tốc độ nhỏ nhất là baonhiêu để bánh xe không bị tr ượ t theo phươ ng thẳng đứng?

2.35 Vật nhỏ có khối lượ ng m đứng yên trên mặtnêm (hình 2.39). Hệ số ma sát giữa vật và nêmlà µ; chiều dài mặt nêm là . a) Nêm chuyển

động sang trái vớ i gia tốc ao< gcotgα, tính thờ igian vật tr ượ t hết nêm. b) Nêm chuyển độngsang phải vớ i gia tốc ao. Tính giá tr ị nhỏ nhấtcủa ao để vật tr ượ t lên đỉnh nêm?

2.35 Vật nhỏ có khối lượ ng m đứng yên trên mặtnêm (hình 2.39). Hệ số ma sát giữa vật và nêmlà µ; chiều dài mặt nêm là . a) Nêm chuyển

động sang trái vớ i gia tốc a

→

F


m0m


m1m

m2m

AA

BB→

0a

→oa

Gr →

→

p

→

0a

1 đặt trêntấm gỗ khối lượ ng m2 trên sànngang. Hệ số ma sát giữa vật vàtấm gỗ là µ1; giữa tấm gỗ vớ i mặtsàn là µ2. Hỏi lực kéo tấm gỗ phảicó độ lớ n tối đa là bao nhiêu để vật không bị tr ượ t trên tấm gỗ? (hình 2.36). Ap dụng số:m1 = 1kg ; m2 = 2kg; µ1 = 0,1; µ2 = 0,2; g =

10m/s2

.

o, m1, m2. Bỏ qua ma sát, khối lượ ngdây và ròng r ọc; dây không tr ượ t trên rãnhròng r ọc. Biện luận chiều chuyển động vàtính gia tốc của vật m1.

0 để vật B vẫn còn nằm yên trênkhối lăng tr ụ. Hệ số ma sát giữa vật B vàkhối lăng tr ụ A là µ < cotgα.

→

F

1

2

→

0a

α

0

Hình 2.38

min để nướ c trong sô không chảy ra ngoài? Tính lực căng dây khi sô nướ c

ở vị trí cao nhất, thấ p nhất. Biết khối lượ ng sô nướ c là m.

o< gcotgα, tính thờ igian vật tr ượ t hết nêm. b) Nêm chuyển độngsang phải vớ i gia tốc ao. Tính giá tr ị nhỏ nhấtcủa ao để vật tr ượ t lên đỉnh nêm?WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM



Chươ ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N 79

Chươ ng 3

ĐỘNG LỰ C HỌC VẬT R ẮN

Chươ ng này nghiên cứ u các phươ ng trình động l ự c học của vật r ắ n, đặc biệtlà chuyể n động quay của vật r ắ n quanh một tr ục cố định.

§3.1 – VẬT R ẮN

1 – Khái niệm về vật rắn:

H ệ chấ t đ iể m là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm.

Các chất điểm trong hệ có thể tươ ng tác lẫn nhau, các lực tươ ng tác đó gọi là nội l ự c;đồng thờ i có thể tươ ng tác vớ i các vật bên ngoài hệ, các lực tươ ng tác này gọi là ngoại

l ự c.

V ật r ắ n là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ v ĩ mô) trong mộtmiền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất k ỳ không thay đổi.

Như vậy, vật r ắn luôn có hình dạng, kích thướ c và thể tích nhất định. Trênthực tế, không có vật r ắn tuyệt đối. Bở i lẽ, dướ i ảnh hưở ng của các điều kiện bênngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần tử trong

vật có thay đổi đôi chút. Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó làkhông đáng k ể thì ta coi vật đó là vật r ắn.

2 – Tính khối lượ ng của một vật rắn:

Trong chươ ng 2, ta đã biết khối lượ ng là đại lượ ng đặc tr ưng cho mức quántính và mức hấ p dẫn của vật. Trong phạm vi giớ i hạn của Cơ học cổ điển, khối lượ nglà đại lượ ng bấ t biế n. Do đó khối lượ ng của một hệ cô lậ p luôn bảo toàn.

Khố i l ượ ng m của một hệ chấ t đ iể m bằ ng t ổ ng khố i l ượ ng các phần t ử t ạo nên

hệ: ∑= iimm (3.1)

Vật r ắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục trong miền Ω nên khối lượ ng của vật r ắn

đượ c tính bở i: (3.2)∫Ω

= dmm

vớ i dm là vi phân của khối lượ ng m (chính là khối lượ ng của phần tử nhỏ bé cấu tạonên vật r ắn).

Tr ườ ng hợ p vật r ắn phân bố liên tục trong thể tích V (hình 3.1), tại mỗi điểmkhảo sát M, ta lấy một yếu tố thể tích dV bao quanh M, gọi dm là khối lượ ng của vậtchất chứa trong yếu tố dV, ta định ngh ĩ a mật độ khố i l ượ ng khố i :

ρ(M) =dV

dm (3.3)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM



80 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

Khi đó, dm = ρ(M)dV và (3.4)∫∫∫ρ=V

dV)M(m

Nếu vật r ắn là đồng nhất (hay thuần nhất) thì ρ = const (lúc này ρ chính là khối lượ ng

riêng của chất liệu cấu tạo nên vật r ắn). Khi đó (3.4) tr ở thành:

m = ρV (3.5)

Tươ ng tự, nếu hệ phân bố liên tục trên bề mặt (S) (hình 3.2), thì ta định ngh ĩ a

mật độ khố i l ượ ng mặt :dS

dm)M( =σ (3.6)

vớ i dm là khối lượ ng vật chất chứa trên yếu tố diện tích dS. Khi đó ta có:

dm = σ(M)dS và (3.7)∫∫σ=S

dS)M(m

Nếu hệ phân bố liên tục trên chiều dài L (hình 3.3), ta định ngh ĩ a mật độ khố i

l ượ ng dài: λ =d

dm (3.8)

vớ i dm là khối lượ ng vật chất chứa trên yếu tố chiều dài d . Khi đó ta có:

dm = λd và (3.9)

L

m (M)d= λ

∫

Nếu hệ thuần nhấ t thì từ (3.7), (3.9) ta có: m = σS = λL (3.10)

dVM

b) Y ế u t ố diện tích

dS bao quanh M

dS

M

d M

c) Y ế u t ố chiề u dài

d bao quanh M

a) Y ế u t ố thể tích

dV bao quanh M

Hình 3.1

Một hệ phức tạ p có thể chia thành nhiều phần, khối lượ ng của mỗi phần thuộc

về một trong những dạng định ngh ĩ a trên. Và khối lượ ng của hệ là tổng khối lượ ng củacác phần đó.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




§3.2 KHỐI TÂM

Khi nghiên cứu chuyển động của một hệ chất điểm hay chuyển động của vậtr ắn, trong một số tr ườ ng hợ p có thể rút gọn về chuyển động của một điểm đặc tr ưngcho hệ đó. Điểm đặc biệt này chính là khố i tâm của hệ.

1 – Định ngh ĩ a khối tâm:M2 G M1

Khối tâm đượ c định ngh ĩ a xuất phát từ bài toán tìm tr ọng tâm (điểm đặt của tr ọng lực)của hệ 2 chất điểm. Xét hai chất điểm M1 và M2 có khối lượ ng m1 và m2. Tr ọng lực tác dụng lên

2 chất điểm đó là và . Hợ p lực của và

là có điểm đặt tại G sao cho:

1P

→

2P

→

1P

→

2P→ →

P→

P

→

2

P →

1P

1

2

1

2

2

1

m

m

P

P

GM

GM== Hình 3.2: Khố i tâm của hệ 2

chấ t đ iể m

⇒ m1.M1G – m2.M2G = 0 hay

(3.11)0GM.mGM.m2211

=+ →→

Điểm G thỏa mãn (3.11) đượ c gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M1 và M2.

Tr ườ ng hợ p tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượ ng lần lượ t là m1, m2, …,mn đặt tươ ng ứng tại các điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định ngh ĩ a khối tâm của hệ là một

điểm G thoả mãn: 0GMm...GMmGMm nn2211 =+++ →→→

hay: (3.12)0mn

i =∑=

→

1i

iGM

Vớ i vật r ắn, khối tâm là điểm G thỏa mãn:

(3.13)0dVMGdmMG =ρ= ∫∫ →→

Vaät raénVaät raén

trong đó M là điểm bất kì trên vật r ắn, dV là yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1)

Khối tâm G đượ c định ngh ĩ a theo (3.12) và (3.13) là một điểm đặc tr ưng chohệ, chỉ phụ thuộc vào vị trí tươ ng đối và phân bố khối lượ ng giữa các phần tử trong

hệ, không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài. Các k ết quả tính toán cho thấy, nếu hệ có một yếu tố đối xứng (tâm đối xứng, tr ục đối xứng, mặt đối xứng) thì khối tâm củamột hệ nằm trên yếu tố đối xứng đó. Như vậy, nếu hệ có nhiều yếu tố đối xứng thìkhối tâm G thuộc về giao của các yếu tố đối xứng đó.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Ví dụ, khối tâm của đĩ a tròn đồng chất, khối lượ ng phân bố đều chính là tâmcủa đĩ a (giao điểm của hai đườ ng kính); khối tâm của miếng sắt mỏng đồng chất, hìnhchữ nhật chính là giao điểm của 2 đườ ng chéo, …

Cần phân biệt hai thuật ngữ “khố i tâm” và “tr ọng tâm”! Tr ọng tâm G’ của hệ là điểm đặt của tr ọng lực tác dụng vào hệ, ngh ĩ a là vị trí của G’ không những phụ thuộc vào vị trí, khối lượ ng của các phần tử cấu tạo nên hệ mà còn phụ thuộc vào giatốc tr ọng tr ườ ng. Trong khi đó vị trí khối tâm G không phụ thuộc vào gia tốc tr ọngtr ườ ng.

Trên thực tế, hầu hết kích thướ c các hệ vật lí mà ta khảo sát là không lớ n, dođó gia tốc tr ọng tr ườ ng hầu như không đổi tại mọi điểm và G’ trùng vớ i G. Việc phân biệt vị trí của G’ và G là không cần thiết!

Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượ ng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giácABC. Xác định khối tâm của hệ.

Giải

Theo định ngh ĩ a, khối tâm G thỏa: 0CGmBGmAGm 221 =++ →→→

Vì m1 = m2 = m3 = m nên: 0CGBGAG =++ →→→

Điểm G thỏa phươ ng trình trên chính là tr ọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến) củatam giac ABC.

2 – Toạ độ của khối tâm:

Trong k ỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật r ắn là hết sức quantr ọng, nhất là đối vớ i các vật r ắn có chuyển động quay. Xác định khối tâm G theo địnhngh ĩ a (3.12) và (3.13) là r ất phức tạ p. Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cáchtìm giao điểm của các tr ục đối xứng. Phươ ng pháp này đặc biệt tiện lợ i đối vớ i các vật phẳng đồng nhất.

Trong lí thuyết, ta dùng phươ ng pháp tọa độ. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị trí của khối tâm G đượ c xác định bở i vectơ bán kính . Áp dụng “qui tắc 3

điểm” đối vớ i 3 điểm O, G và M

→→

= OGr G

i bất kì, ta có: .→→→

+= GMOMOG ii

Nhân hai vế phươ ng trình này vớ i mi r ồi lấy tổng theo i, ta có:

→→→

+= GMmOMmOGm iiiii

vàn n n

ii i ii 1 i 1 i 1

m OG m OM m M G→ →

= = =

= +∑ ∑ ∑ i→

i

→

Vì OG không phụ thuộc vào chỉ số chạy i nên ta đưa ra ngoài dấu tổng:→

n n n

ii i ii 1 i 1 i 1

OG m m r m M G→ →

= = =

= +∑ ∑ ∑WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Mà theo định ngh ĩ a (3.12), ta có: .0GM1i

i =∑=

→n

im

Vậy: rG

∑∑

=

=

→

→→

==n

1ii

n

1iii

m

r mOG (3.14)

Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ có tọa độ nên khối tâm G của hệ có

tọa độ:

→

ir )z,y,x( iii

G

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

1ii

n

1iii

n

1ii

n

1iii

n

1ii

n

1iii

m

zm;

m

ym;

m

xm (3.15)

Vớ i vật r ắn thì tọa độ của G là:

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

===∫∫∫m

zdm

z;m

ydm

y;m

xdm

x GGGvaät raénvaät raénvaät raén (3.16)

Trong đó (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượ ng dm; m là khối lượ ng của vật r ắn.

Ví dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượ ng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt tại ba đỉnh A, B,C của tam giác đều, cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Phải tăng hay giảm khốilượ ng của m3 đi bao nhiêu để khối tâm G trùng vớ i tr ọng tâm ∆ABC?

Giải

m3

Am1

x

C

G

O

Dễ thấy, hệ đối xứng qua đườ ng cao OC, nên Gnằm trên OC. Chọn tr ục Ox như hình vẽ. Theo

(3.15), ta có:321

332211G mmm

xmxmxmx

++

++=

Dễ thấy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0; Bm2x3 = xC = a 3 /2.

Hình 3.3Suy ra:

10

3a3

m10

2/3am600x

o

oG =

++=

Để G trùng vớ i tr ọng tâm ∆ABC thì :6

3a

3

xxxx CBA

G =++

= WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




6

3a

mm2m2

2/3am00

3oo

3 =++

++⇒ ⇒ m3 = 2mo ϕ= Rdd

x x

R

-α

αϕ

Vậy phải giảm khối lượ ng vật m3 một lượ ng ∆m = 4mo OVí dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cungtròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α.

Giải

Chọn tr ục Ox là đườ ng phân giác của góc ở tâm như hình (3.4). Dễ thấy Ox chính là tr ục đối xứng của hệ. Suy ra khối tâm G phải nằm trênOx.

Hình 3.4:

Xét một yếu tố dài chắn góc ở tâm dϕ. Hoành độ của yếu tố này là: x = Rcosϕ;khối lượ ng chứa trong là dm = λ = λRdϕ. Theo (3.16), ta có:

dd d

αα

=αλ

ϕλ

=

ϕλϕ

==∫∫∫α

α− sinR

2.R

cosR

m

Rd.cosR

m

xdm

x

2

LLG (3.17)

trong đó λ là mật độ khối lượ ng dài của cung tròn; m = λR.2α là khối lượ ng của cungtròn.

Vậy khối tâm của vật thể hình cung tròn đồngnhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cách tâmmột đoạn xG đượ c xác định bở i (3.17).

dS = r.dr.dϕ

r

R

dϕ

x

ϕ

drVí dụ 3.4: Xác định khối tâm của một vật thể hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α.

Giải

xOTươ ng tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm Gcủa hình quạt đồng nhất nằm trên tr ục đối xứngOx (đườ ng phân giác của góc ở tâm).

Xét một yếu tố diện tích dS. Trong hệ tọa độ cực,ta có dS = r.dr.dϕ. Khối lượ ng chứa trong dS làdm = σdS; hoành độ của dS là x = r.cosϕ. Hoànhđộ của khối tâm G là:

Hình 3.5

m

dS.cos.r

m

xdmx SS

G∫∫∫ σϕ

== m

d.dr .r ..cos.r S∫∫ ϕσϕ

= WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




αα

=ασ

ϕϕσ

=⇒∫∫α

α−

3

sinR 2

R .

dcos.dr r

x2

R

0

2

G (3.18)

Trong đó, m = σ.S = σ.αR 2 là khối lượ ng của hình quạt

Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉnh, cáchtâm một đoạn xG đượ c xác định bở i (3.18).

Ví dụ 3.5: Xác địnhkhối tâm của

một vật thể hình nónđồng nhất,đườ ng cao h.

Giải

Chia hìnhnón thànhnhững phần

nhỏ, có dạngđĩ a tròn bánkính r, bề dày dx (hình

3.6). Ta có:

∫

∫

∫

∫∫ρπ

ρπ

=ρ

ρ

==

vaät raén

vaät raén

vaät raén

vaät raénvaät raén

m dx.r

dx.r x

dV

dVxdm.x

x2

2

G

4

h

dx.)xh(

dx.)xh(x

dx.tg.)xh(

dx.tg.)xh(x

xh

0

2

h

0

2

22

22

G =

−

−

=α−

α−

=

∫

∫

∫

∫

vaät raén

vaät raén

Vậy, khối tâm của khối hình nón đồng nhất nằm trên tr ục hình nón, cách đáy một

khoảng: 4

h

x G = (3.19)

3 – Chuyển động của khối tâm:

Vận tốc của khối tâm:

dx

O

h

4

r

G

O

h – x

x

α

x

h

Hình 3.6: Khố i tâm của vật hình nón

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




1i

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

→

=

=

→

=

=

→→

→

====n

1ii

n

ii

n

1ii

n

1i

ii

n

1ii

n

1iii

GG

m

vm

m

dt

r dm

m

r mdt

d

dt

r dv (3.20)

Tươ ng tự, gia tốc của khối tâm: aG

∑

∑

=

=

→→

→

==n

1ii

n

1iii

G

m

am

dt

vd (3.21)

Gọi là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i;

m = là khối lượ ng của toàn hệ. Theo (2.6) ta có : .

→→

if aøvFi

∑ im→→→

=+ iiii amf F

Suy ra:m

f Fa ii

G∑ ∑

→→→ +

= .

Mà theo định luật III Newton, các vật trong hệ tươ ng tác nhau bằng các lực tr ực đối,

nên tổng các nội lực ∑ = 0.

→

if

Vậy: ∑∑ →→→

→

== iGi

G Famhaym

Fa (3.22)

(3.22) chính là phươ ng trình chuyển động của khối tâm. Từ đó ta thấy r ằng, khố i tâm

của hệ chuyể n động như một chấ t đ iể m có khố i l ượ ng bằ ng t ổ ng khố i l ượ ng các vật

trong hệ.

Ví dụ: Khi ta ném cái rìu lên tr ờ i thì nó vừa bay, vừa xoay. Tuy vận tốc và qũi đạo củamỗi điểm trên cái rìu là hoàn toàn khác nhau và r ất phức tạ p, nhưng qũi đạo của khốitâm chắc chắn phải là đườ ng Parabol như chuyển động ném xiên của một chất điểm(bỏ qua sức cản không khí).

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§ 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT R ẮN

Trong chươ ng 1, chúng ta đ ã nghiên cứ u tính chấ t các chuyể n động của chấ t

đ iể m. V ật r ắ n có nhữ ng chuyể n động riêng và trong mỗ i d ạng chuyể n động, có nhữ ngtính chấ t đặc tr ư ng riêng. Giáo trình này chỉ nghiên cứ u chuyể n động song phẳ ng của

vật r ắ n, nghĩ a là trong quá trình chuyể n động, mỗ i đ iể m trên vật r ắ n luôn có qũi đạo

nằ m trong một mặt phẳ ng song song vớ i một mặt phẳ ng cố định.

1 – Vật rắn tịnh tiến:

Chuyển động của vật r ắn đượ c gọi là t ịnh tiế n nếu một đoạn thẳng nối haiđiểm bất kì trên vật r ắn luôn song song vớ i chính nó (có phươ ng không đổi).

Xét điểm M bất k ỳ trên vật r ắn và khối tâmG của vật r ắn. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo quitắc 3 điểm ta có:

M

GG

M

→→→

+= GMOGOM

hay→→→

+= GMr r GM

Hình 3.7: Chuyể n động t ịnh

tiế n của vật r ắ n.Suy ra:dtGMd

dtr d

dtr d GM

→→→

+=

Vì vật r ắn tịnh tiến nên vectơ không đổi. Do đó→

GM 0=

→

dt

GMd.

Vậy: vv hay GM

→→→→

==dt

r d

dt

r d GM (3.23)

Khi vật r ắ n t ịnh tiế n thì mọi đ iể m trong vật r ắ n đề u vạch ra các qũi đạo giố ng

nhau vớ i cùng một vận t ố c bằ ng vớ i vận t ố c của khố i tâm. Do đó chuyển động của vậtr ắn trong tr ườ ng hợ p này đượ c qui về chuyển động của khối tâm. Nói cách khác, toàn bộ vật r ắn đượ c coi như một chất điểm có khối lượ ng bằng khối lượ ng toàn vật r ắn,đặt tại khối tâm G.

2 – Vật rắn quay quanh một trục cố định:

Khi vật r ắ n quay quanh tr ục cố định ( ∆ ) vớ i vận t ố c góc ω thì mọi đ iể m của

vật r ắ n sẽ vạch ra nhữ ng đườ ng tròn đồng tr ục ∆ , vớ i cùng một vận t ố c góc .→ω

Xét một điểm M bất kì trên vật r ắn, gọi→

R là vectơ bán kính qu ĩ đạo của M, ta có:

- Vận tốc dài: (3.24)→→→

ω= R xv

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




và độ lớ n: v = ωR (3.25)

- Gia tốc tiế p tuyến: (3.26) →→→

β= R xa t

và độ lớ n: at = βR (3.27)

- Gia tốc pháp tuyến: (3.28)R a 2n ω=

- Gia tốc toàn phần: (3.29)→→→

+= nt aaa

và độ lớ n: 2n

2t aaa += (3.30)

Ví dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vôlăng I và bánh xe II. Bán kính vôlăng là R 1 = 10cm; bánh xe là R 2 =50cm. Vôlăng đang quay vớ i vận tốc 720 vòng/phút thì bị ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ còn 180 vòng/phút. Tính vận tốc quay của bánh xe tr ướ c khingắt điện, số vòng quay của vôlăng và bánh xe trong khoảngtr ờ i gian trên. Sau bao lâu, k ể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góctrung bình của vôlăng và bánh xe trong khoảng thờ i gian từ lúc ngắt điện đến lúcdừng (dây cuaroa không bị tr ượ t trên vôlăng và bánh xe).

ω

M

→

ω →

R

Hình 3.8: Chuyể nđộng quay của

vật r ắ n quanh tr ục

cố định.

GiảiGọi ω1 và ω2 là vận tốc góc của vôlăngvà bánh xe; ω01 và ω02 là các vận tốcgóc ban đầu của chúng. Ta có: ω01 =720 vòng/phút = 24π rad/s.

t1 = 30s; ω1 = 180 vòng/phút = 6π rad/s.Vì dây cuaroa không bị tr ượ t trênvôlăng và bánh xe nên các điểm tiế pxúc giữa vôlăng – dây cuaroa, bánh xe – dây cuaroa luôn có cùng vận tốc dài. Suy ra: ω1R 1 = ω2R 2 ; ω01R 1 = ω02R 2

R2R1

Hình 3.9

Vậy vận tốc quay của bánh xe tr ướ c khi ngắt điện là:

144720.50

10

R

R 1o

2

12o ==ω=ω vòng/phút = 4,8π rad/s.

Gia tốc góc của vôlăng: π−=π−π

=ω−ω

=β 6,030

246

t1

1o1

1 rad/s2.

Góc mà vôlăng đã quay trong thờ i gian t1 = 30s:

π=π−π=β+ω=θ 45030.3,030.24t2

1t 22

1111o1 rad.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM



Chươ ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N 89 Vậy, vôlăng đã quay đượ c N1 = 225 vòng.

Số vòng quay của bánh xe trong thờ i gian t1 = 30s: N2 = 12

1 NR

R = 45 vòng.

Ta có: t11o1 β+ω=ω . Khi dừng: ω1 = 0. Suy ra s40t1

1o =β

ω−=

Vậy, hệ thống sẽ dừng lại sau 40s k ể từ lúc ngắt điện.

Góc mà vôlăng đã quay trong thờ i gian t = 40s:

π=π−π=β+ω=θ 91240.3,040.24t

2

1t 22

11o rad

Vận tốc góc trung bình của vôlăng: π=π

=θ

=ω 8,2240

912

ttb1 rad/s.

Vận tốc góc trung bình của bánh xe: π=ω=ω 56,4R

R tb1

2

1tb2 rad/s.

3 – Chuyển động phứ c tạp của vật rắn:

Khi vật r ắn có chuyển động phức tạ p bất k ỳ (nhưng vẫn là song phẳng), ta cóthể phân tích thành hai chuyển động đồng thờ i: tịnh tiến và quay. Để chứng minh điềunày, ta xét 2 điểm bất k ỳ M và N trên vật r ắn và chọn điểm O làm gốc tọa độ. Theo

qui tắc 3 điểm ta có: . Lấy đạo hàm hai vế

theo thờ i gian, ta có:

→→→→→→

+=+= NMr r hay NMONOM NM

dt

NMdvv NM

→→→

+=

Vectơ có độ lớ n không đổi, nhưng có phươ ng thay đổi, nên ta có thể tìm đượ ctr ục quay (∆) tức thờ i sao cho quay quanh N vớ i vectơ vận tốc góc thỏa mãn

phươ ng trình:

→

NM →

NM→

ω

→→→→→

=ω= NMR xdt

NMdR vôùi (3.31)

Do đó ta có thể viết: (3.32)→→→→

ω+= R xvv NM

Như vậy: Nếu chọn điểm N là điểm cơ bản thì chuyển động của điểm M (bất k ỳ trên

vật r ắn) bao gồm hai chuyển động:

- Tịnh tiến cùng vớ i điểm cơ bản N vớ i vận tốc ;→

Nv

- Quay quanh điểm cơ bản vớ i vận tốc góc .→

ωWW

D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Khi chọn điểm cơ bản khác nhau thì vận tốc tịnh tiến của điểm M cũng khác nhau

nhưng vận tốc góc không thay đổi. Trong các bài toán, ta thườ ng chọn điểm cơ bảnlà khối tâm của vật r ắn. Khi đó (3.32) tr ở thành:

→

ω

→→→→

ω+= R xvv GM vớ i (3.33)→→

= GMR

Tóm lại: Chuyể n động bấ t k ỳ của vật r ắ n luôn có thể phân tích thành hai chuyể n động

đồng thờ i: t ịnh tiế n của đ iể m cơ bản và quay quanh tr ục đ i qua đ iể m cơ bản đ ó.

Thông thườ ng, ta chọn đ iể m cơ bản là khố i tâm G của vật r ắ n.

Ví dụ 3.7: Bánh xe hình đĩ a tròn, lăn không tr ượ t trên đườ ng nằm ngang vớ i vận tốctịnh tiến vo. Xác định vectơ vận tốc, qũi đạo và quãng đườ ng đi (sau hai lần liên tiế p

tiế p xúc vớ i mặt đườ ng) của một điểm bất kì trên vành bánh xe.

Giải

Xét điểmM trênvành bánh xe.Chọn hệ tr ục toạ

độ Oxynhư hình3.10. Gốctoạ độ vàgốc thờ igian tại vị trí và thờ i điểm M tiế p xúc vớ i mặt đườ ng.

y

Đườ ngcong

cycloid

ov

→

O

M

A

D

→

Mv→→

ω R x

G

x

Hình 3.10: Qũi đạo, vận t ố c của đ iể m M trên vành bánh xe.

Do bánh xe lăn không tr ượ t nên vận tốc dài của điểm M có độ lớ n bằng vớ i vận tốc

tịnh tiến của bánh xe: vM = ωR = vG = vo.

Vận tốc của điểm M: = (*)→→→→

ω+= R xvv GM

→→→

ω+ R xv o

Chiếu (*) lên các tr ục tọa độ Ox, Oy ta có:

⎩⎨⎧

ω=ϕω+=

ω−=ω−=ϕω−=

tsinvsinR 0v

)tcos1(vtcosvvcosR vv

oy

oooox (3.34)

trong đó ϕ = = ωt : là góc mà điểm M đã quay đượ c trong thờ i gian t. MGA

Suy ra, độ lớ n vận tốc của điểm M:

|2

tsin|v)tcos1(2vvvv oo

2y

2xM

ω=ω−=+= (3.35)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Nếu ta chọn điểm cơ bản là điểm A thì . Suy ra .→→→

ω= AMxvM

→→

⊥ AMv M

Vậy: phươ ng của luôn đi qua đỉnh D của bánh xe.→

M

v

(3.34) suy ra phươ ng trình chuyển động của M:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ω−==

ω−=ωω

−==

∫

∫

)tcos1(R dtvy

tsinR tv)tsin1

t(vdtvx

t

0

y

oo

t

0

x

(3.36)

(3.36) biểu diễn đườ ng cong cycloid. Vậy qu ĩ đạo của M là đườ ng cong cycloid.Khoảng thờ i gian giữa hai lần liên tiế p điểm M tiế p xúc vớ i mặt đườ ng chính

là chu kì quay quanh khối tâm: T =ωπ2

. Trong khoảng thờ i gian này, điểm M đã đi

đượ c quãng đườ ng: ∫∫ ω

== → T

o

o

T

0

M dt|2

tsin|vdt|v|s = 8R. (3.37)

§ 3.4 PHƯƠ NG TRÌNH ĐỘNG LỰ C HỌC VẬT R ẮN

1 – Tổng quát:

Chuyển động phức tạ p của vật r ắn đượ c phân tích thành hai chuyển động đồngthờ i. Vì thế, mô tả chuyển động của vật r ắn về mặt động lực học, ta cũng có hai phươ ng trình:

• Phươ ng trình mô tả chuyển động tịnh tiến của khối tâm G:

→→

= Fdt

pd hay (3.38)

→→

= Fam

Vớ i: là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật r ắn;∑→→

= iFF

∑ →→→

== Gii vmvm p là động lượ ng của vật r ắn;

→

a là gia tốc tịnh tiến của vật r ắn (gia tốc của khối tâm).

• Phươ ng trình mô tả chuyển động quay quanh tr ục ∆ đi qua khối tâm G:

dt

Ld→

= (3.39)→

M

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Vớ i: là mô men động lượ ng của vật r ắn;∫ →→

=vaät raén

dL

= là tổng momen ngoại lực đối vớ i tr ục ∆.→

M ∑ →→

)Fxr ( ii

Hai phươ ng trình (3.38) và (3.39) mô tả chuyển động bất k ỳ của vật r ắn. Nếu xét tronghệ tr ục Oxyz ta có 6 phươ ng trình vi phân. Tuy nhiên, trong phạm vi giáo trình này, tachỉ khảo sát các chuyển động đặc biệt của vật r ắn, nên việc giải các phươ ng trình trênsẽ đơ n giản hơ n.

Tr ướ c hết, nếu chuyển động của vật r ắn chỉ là t ịnh tiế n thì từ (3.38) ta thấy,chuyển động ấy đượ c qui về chuyển động của khối tâm G và việc khảo sát giống như

chuyển động của chất điểm G có khối lượ ng m.Dướ i dây ta sẽ khảo sát chi tiết hơ n về chuyển động quay của vật r ắn quanh

tr ục cố định ∆.

2 – Phươ ng trình động lự c học của vật rắn quay quanh trục cố định:

Xét vật r ắn quay quanh tr ục cố định ∆ vớ i vận tốc góc ω. Theo (2.57) ta cómômen động lượ ng của vật r ắn là:

→

∆

→→→→

ω=ω=ω==

∫∫∫IdIdIdL

vaät raénvaät raénvaät raén

(3.40)

Vớ i: (3.41)∫∫ ==∆vaät raénvaät raén

dmr dII 2

là mômen quán tính của vật r ắn đối vớ i tr ục quay ∆.

Chiếu (3.40) lên tr ục ∆, ta có: L∆ = I∆ω (3.42)

Suy ra: β=ω

=ω

= ∆∆∆∆

Idt

dIdt

)I(d

dt

dL (3.43)

Chiếu (3.39) lên tr ục ∆ và k ết hợ p (3.43), ta có: ∆∆ =β MI (3.44)

(3.44) là phươ ng trình động lực học của vật r ắn quay quanh tr ục ∆ cố định. Trong đó:β là gia tốc góc; M∆ là tổng đại số các mômen ngoại lực đối vớ i tr ục quay ∆; I∆ làmômen quán tính của vật r ắn đối vớ i tr ục ∆. Về hình thức, (3.44) giống như phươ ngtrình cơ bản (2.6) của động lực học chất điểm, trong đó, mômen quán tính I đóng vaitrò giống như khối lượ ng m. Vì khối lượ ng đặc tr ưng cho mức quán tính nên mômen

quán tính cũng đặc tr ư ng cho mứ c quán tính trong chuyể n động quay. Do đó, ngườ i tacòn gọi mômen quán tính I là quán tính quay.

Để giải đượ c (3.44), ta cần tính đượ c mômen của các ngoại lực và mômenquán tính đối vớ i tr ục ∆.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM



Chươ ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N 93 3 – Tính mômen lự c đối vớ i trục :

Để tìm hiểu rõ tác dụng làm quay vật r ắn quanh tr ục ∆ của ngoại lực , ta

phân tích thành các thành phần (xem hình 3.11):

→

F→

F→→→

⊥

→→→

++=+= tn//// FFFFFF (3.45)

• Thành phần có phươ ng song song vớ i tr ục ∆, nên có tác dụng làm vật r ắn tr ượ t

theo tr ục ∆. Thành phần này sẽ đượ c cân bằng bở i phản lực của tr ục ∆.

→

//F

• Thành phần nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục quay, lại đượ c phân tích

thành hai thành phần: và .

⊥

→

F→

nF→

tF

• Thành phần nằm trên pháp tuyếnqũi đạo của điểm M, có tác dụng kéovật chuyển động vuông góc vớ i tr ục∆. Thành phần này cũng đượ c cân bằng bở i phản lực của tr ục quay ∆.

→

nF

→

ω

ω→

nF

tF→

→

⊥F

→

F

→

//F

M

• Thành phần hướ ng theo tiế p

tuyến qũi đạo của điểm M, chínhthành phần này mớ i thực sự làm vậtr ắn quay quanh tr ục ∆.

→

tF

Hình 3.11: Chỉ có thành phần

tiế p tuyế n của l ự c mớ i gây ra

tác d ụng làm quay vật.

Vậy, chỉ có thành phần tiế p tuyế n của

l ự c mớ i thự c sự gây ra tác d ụng làm

quay vật r ắ n.

Suy ra mômen của ngoại lực đối vớ itr ục quay ∆ (gọi tắt là mômen quay) là:

→

F

⇒ tFxR M→→

∆

→

= θ=== ⊥⊥∆ sinR .Fd.FR .FM t (3.46)

vớ i R là bán kính qu ĩ đạo của điểm M (điểm đặt của ngoại lực); d = Rsin θ là cánh tay

đòn; θ là góc giữa và thành phần (xem hình 3.12).→

R ⊥

→

F

Từ (3.46) suy ra, mômen quay sẽ lớ n nhất khi lực nằm vuông góc vớ i tr ục

quay và vuông góc vớ i vectơ bán kính .

→

F→

R WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Nếu có nhiều ngoại lực tác dụng vào vật r ắn thì tổng mômen của ngoại lực là:

∑ ⇒ (3.47)→→

∆

→

=i

tii )FxR (M ∑=∆i

iit R .FM

Ví dụ 3.8: Lực F = 10N tác dụng vào vật

r ắn có tr ục quay cố định. Biết nằmtrong mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục quay,có điểm đặt cách tr ục quay 20cm và tạovớ i bán kính R một góc 30

→

F

o. Tính mômenquay của lực.

θ

Hình 3.12

MR

d

H

OGiải

⊥

→

FMômen quay của lực là:M∆ = F.R.sinθ = 10.0,2.sin30o = 1(Nm) .

Ví dụ 3.9: Tính mômen của lực để mở cánh cửahình chữ nhật, biết lực tác dụng vào tay nắm(núm cử a) vuông góc vớ i mặt cánh cửa, có độ lớ n 5N và tay nắm ở cách bản lề 80cm. Nếuđiểm đặt của lực không phải ở núm cửa mà chỉ cách bản lề 50cm thì độ lớ n của lực phải là bao

nhiêu để có mômen trên?

→

F ’ →

F

MNOHình 3.13: Mômen làm

quay cánh cử aGiải

Mômen lực khi đặt tại núm cửa:

Mo = F.d = 5.0,8 = 4(Nm)

Nếu điểm đặt của lực chỉ cách bản lề 50cm thì độ lớ n của lực là:

F’ = Mo/d’ = 4/0,5 = 8 (N).

4 – Tính mômen quán tính đối vớ i trục :

a) Nhắc l ại các công thứ c đị nh nghĩ a về mômen quán tính:

Mômen quán tính đối vớ i tr ục quay ∆ của:

• Một chất điểm: I∆ = mr 2 (3.48)

vớ i r là khoảng cách từ chất điểm đến tr ục quay; m là khối lượ ng của chất điểm.

• Hệ chất điểm: (3.49)∑=∆ =

n

1i

2iir mI

vớ i mi là khối lượ ng của chất điểm thứ i; r i là khoảng cách từ chất điểm thứ i đếntr ục ∆.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




• Vật r ắn: (3.50)∫=∆vaät raén

dmr I 2

vớ i r là khoảng cách từ yếu tố khối lượ ng dm đến tr ục ∆. Tùy theo phân bố của vậtr ắn mà dm có thể tính theo (3.4), (3.7) hay (3.9).

b) Mômen quán tính của một số vật r ắn đồng chấ t, khố i l ượ ng phân bố đều đố i vớ itr ục quay đ i qua khố i tâm G:

Ví dụ 3.10: Tính mômen quán tính của hình tr ụ r ỗ ng, thành mỏng hay vành tròn đồng

chấ t, khố i l ượ ng phân bố đề u đố i vớ i tr ục của nó.

dϕ Giải

h

R

Hình 3.14

Chia bề mặt hình tr ụ làm nhiều phần, có dạng

hình chữ nhật, mỗi phần có chiều r ộng d = Rdϕ. Gọi σ làmật độ khối lượ ng phân bố trên mặt tr ụ, ta có:

dm = σ dS = σ h.d = σhRdϕ d

⇒ dI = dm. R 2 = σ hR 3 dϕ

Vì khối lượ ng phân bố đều nên σ = const

⇒ I =

∫∫∫

π

ϕσ=ϕσ=

2

0

33

dhR dhR dI truïmaëttruïmaët

⇒ I = 2πσ hR 3 = mR 2

vớ i m = 2πσhR là khối lượ ng hình tr ụ.

Làm tươ ng tự đối vớ i vành tròn (tr ục quay là tr ụccủa vành tròn), ta cũng có: I = mR 2. dr

h

drr

Vậy: Mômen quán tính đối vớ i tr ục của hình tr ụ r ỗng, hay

vành tròn đồng chất, khối lượ ng phân bố đều là:I = mR 2 (3.50)

vớ i m và R là khối lượ ng và bán kính hình tr ụ, hay vànhtròn.

Ví dụ 3.11: Tính mômen quán tính của khố i tr ụ đặc hay đ iãtròn đồng chấ t, khố i l ượ ng phân bố đề u đố i vớ i tr ục của nó.

Giải

Chia khối tr ụ đặc thành nhiều lớ p mỏng, có bề dàydr. Mỗi lớ p đượ c coi như môt hình tr ụ r ỗng, nên có mômenquán tính là: dI = dm.r 2 = ρdV.r 2

vớ i ρ là khối lượ ng riêng của khối tr ụ.Hình 3.15

Mà dV = dS.h = [π(r + dr)2 - πr 2 ].h ≈ 2πhrdr

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




⇒ dI = 2πρhr 3 dr

⇒ 24R

0

3 mR

2

1hR

2

1dr r h2dII =πρ=πρ== ∫∫

truïkhoáitoaøn

Tươ ng tự, đối vớ i đĩ a tròn ta cũng thu đượ c k ết quả trên.

Vậy: Mômen quán tính đối vớ i tr ục đối xứng của khối tr ụ đặc hay điã tròn đồng chất,

khối lượ ng phân bố đều là: 2mR 2

1I = (3.51)

vớ i m và R là khối lượ ng và bán kính của khối tr ụ hay đĩ a tròn.

Ví dụ 3.12: Tính mômen quán tính của

thanh đồng chấ t, khố i l ượ ng m phân bố đề utheo chiề u dài của thanh, đố i vớ i tr ục ∆

vuông góc vớ i thanh.

Giải

Chia chiều dài thanh thành các phầntử nhỏ có bề dày dx. Khối lượ ng của mỗi phần đó là dm = λ dx , vớ i λ là mật độ khốilượ ng phân bố theo chiều dài của thanh. Vì khối lượ ng phân bố đều nên λ = const. Tacó dI = dm.x2 = λ dx.x2 = λ x2 dx

2

Hình 3.16

O

2

− x

dx

⇒ I = ∫∫−

λ=2

2

2dxxdI

thanhtoaøn

= 23 m12

1

12

1 =λ (3.52)

vớ i m = λ là khối lượ ng của thanh; là chiều dài của thanh.

Ví dụ 3.13: Tính mômen quán tính của khố i cầu đặc, đồng chấ t, khố i l ượ ng phân bố đề u đố i vớ i tr ục quay chứ a đườ ng kính.

Giải

Mômen quán tính đối vớ i tr ục Oz (hình 3.17):

ry

Mz

z

y

xO

x

∫ ∫∫ +===caàuoá i caàukhoáicaàukhoái kh

222zz dm)yx(dmr dII

Tươ ng tự đối vớ i tr ục Ox, Oy ta cũng có:

;

.

∫ +=caàukhoá i

dm)zy(I 22x

∫ +=caàukhoái

dm)xz(I 22y

Hình 3.17

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Do tính đối xứng cầu nên Ix = Iy = Iz = I =3

III zyx ++

⇒ I ∫ ∫ ρ=++=caàukhoái caàukhoái

dVr 3

2dm)zyx(3

22222

Mà thể tích hình cầu là V =3

4πr 3 ⇒ dV = 4πr 2 dr

⇒ I = 5R

0

422 R 15

8dr r

3

8dr r 4r

3

2 πρ=πρ=πρ∫ ∫

caàukhoái

= 2mR 5

2 (3.53)

vớ i R, m = ρV =34 πR 3ρ là bán kính, khối lượ ng của khối cầu.

Ví dụ 3.14: Tính mômen quán tính của khố i cầu r ỗ ng, thành mỏng đồng chấ t, khố il ượ ng phân bố đề u đố i vớ i tr ục quay chứ a đườ ng kính.

Giải

Xét điểm M trên mặt cầu, ta có: x2 + y2 + z2 = R 2 = const . Làm tươ ng tự ví dụ 6, ta

cũng có: 22222 mR 32dmR

32dm)zyx(

32I ==++= ∫ ∫

caàumaët caàumaët

(3.54)

c) Đị nh lí Huygens – Steiner:

Các công thức (3.50) đến (3.54) chỉ cho phép tính mômen quán tính của vậtr ắn đối vớ i tr ục quay ∆G đi qua khối tâm G. Trong tr ườ ng hợ p, tr ục ∆ không đi qua Gnhưng song song vớ i ∆G, ta có thể vận dụng định lí Huygens – Steiner để tính:

I∆ = IG + md2 (3.55)

vớ i m là khối lượ ng của vật r ắn và d là khoảng cách giữa hai tr ục quay ∆ và ∆G.

Chứ ng minh:

Xét một yếu tố khối lượ ng dm, cáctr ục ∆G một đoạn x và cách tr ục ∆ mộtkhoảng (x + d) (xem hình minh họa 3.18).

∆G

O

∆

xdm

x

d

Mômen quán tính của vật r ắn đối vớ i tr ục ∆G

là: và đối vớ i tr ục ∆ là:∫= VR

2

G dmxI

∫∫ ++=+=VR

22

VR

2 dm)ddx2x(dm)dx(I Hình 3.18: Chứ ng minh định

lí Huygens - Steiner

⇒ (*)∫∫∫ ++=VR

2

VR VR

2 dmdxdmd2dmxIWW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Số hạng thứ nhất ở vế phải của (*) chính là mômen quán tính đối vớ i tr ục ∆G; số hạngthứ hai luôn triệt tiêu, vì hàm dướ i dấu tích phân là hàm lẻ theo x và miền tính tích phân đối xứng quanh tr ục ∆G của vật r ắn (nói cách khác nếu có yếu tố dm ở tọa độ xthì tồn tại yếu tố dm ở tọa độ (– x) nên tích phân thứ hai bằng không); Số hạng thứ bachính là md2. Vậy: I∆ = IG + md2 (đ pcm).

Ví dụ 3.15: Tính mômen quán tính của thanh đồng chất đối vớ i tr ục quay đi qua mộtđầu và vuông góc vớ i thanh.

Giải

Ap dụng định lí Huygen – steiner:

I∆ = IG + md2 = 222 m

3

1)

2

(mm

12

1

=+ (3.56)

§ 3.5 PHƯƠ NG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN

ĐỘNG LỰ C HỌC VẬT R ẮN

T ươ ng t ự như Động Lự c H ọc chấ t đ iể m, trong Động Lự c H ọc vật r ắ n cũng có

hai d ạng bài toán: thuận và nghịch. Bài toán cho biế t các l ự c, tìm gia t ố c – g ọi là bài

toán thuận; bài toán cho gi a t ố c tìm các l ự c, mômen l ự c – g ọi là bài toán nghịch.

Phươ ng pháp giải các d ạng bài toán này đề u tuân theo trình t ự sau:

1 – Các bướ c:

• Bướ c 1: Phân tích các lực tác dụng lên vật r ắn.

• Bướ c 2: Viết cc phươ ng trình động lực học: (1) cho chuyểnđộng tịnh tiến v phươ ng trình

→→

=∑ amF∑ β= ∆∆ .IM (2) cho chuyển động quay (nếu

có).

• Bướ c 3: Chiếu phươ ng trình (1) lên các tr ục toạ độ cần thiết.

• Bướ c 4: Giải hệ phươ ng trình và biện luận k ết quả.

Chú ý: - Khi chiếu một vectơ lên tr ục toạ độ, nếu vectơ đó đã xác định thì hình chiếu

của nó sẽ có dấu xác định tùy theo nó theo chiều dươ ng hay âm của tr ục toạ độ. Nếuvectơ đó chưa xác định (thườ ng là vectơ gia tốc và các lực liên k ết) thì hình chiếu củanó sẽ có giá tr ị đại số.

- Khi tính tổng các mômen lực, cần chọn một chiều quay dươ ng (thườ ng làchiều quay của vật, hoặc chiều kim đồng hồ). Nếu lực nào làm vật quay theo chiều đóthì mômen của nó sẽ dươ ng; trái lại là mômen âm.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chươ ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N 99 2 – Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 3.16: Một bánh xe (coi như hình tr ụ đặc đồng nhất), bán kính R bắt đầu lănkhông tr ượ t từ đỉnh một cái dốc có độ cao h, nghiêng một góc α so vớ i phươ ng ngang

xuống chân dốc. Bỏ qua ma sát cản lăn. Tính gia tốc và vận tốc của khối tâm bánh xeở chân dốc.

Giải

Bướ c 1: Lực tác dụng lên bánh xe gồm:

- Tr ọng lực (có giá qua khối tâm G);→

P

- Phản lực pháp tuyến (có giá qua khối tâm G);→

N

- Lực ma sát nghỉ (tiế p tuyến vớ i mặt tiế p xúc).msnf →

Chú ý: N ế u hoàn toàn không có ma sát, bánh xe sẽ tr ượ t mà không quay, vì và

đề u có giá qua G nên không t ạo mômen quay. Do đ ó phải có ma sát nghỉ t ạo mômen

quay. Lự c này đ óng vai trò là l ự c phát động, không phải l ự c cản (bỏ qua ma sát cản

l ăn). Để hiể u rõ thêm về l ự c ma sát trong chuyể n động l ăn, xin đọc § 3.6.

→

P→

N

Bướ c 2: Chuyển động của bánh xe bao gồm hai chuyển động đồng thờ i: Tịnh tiến củakhối tâm G và quay quanh tr ục đi qua G, nên ta có hai phươ ng trình:

Áp dụng (3.54), ta có: + + = m (1)→

N→

P msnf → →

a

Áp dụng (3.56), ta có: f msn.R = I.β (2)

Chú ý: chỉ có lực ma sát là tạo mômen quay, còn các lực khác đi qua khối tâm G nênkhông tạo mômen quay.

α

h

msnf →

→

P

→

v

→ N

Hình 3.19

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Bướ c 3: Chiếu (1) lên phươ ng mặt phẳng nghiêng, chiều dươ ng hướ ng xuống chândốc, ta có: Psinα - f msn = ma (3)

Do lăn không tr ượ t nên a = at = β.R ⇒ β = a/R (4)

Bướ c 4: Thay (4) vào (2) và k ết hợ p (3), ta có gia tốc của khối tâm bánh xe là:

α=+

α=

+

α= sing

3

2

m2

1m

sinmg

R

Im

sinmga

2

(3.57)

Tớ i chân dốc, khối tâm G của bánh xe còn cách mặt đườ ng một đọan R, nên quãngđườ ng mà khối tâm đã đi là: s = (h – R)/sinα. Vậy vận tốc của G ở chân dốc là:

3)R h(g4

sinR ha2as2v −=α

−== (3.58)

Ví dụ 3.17: Một động cơ điện khở i động nhanh dần đều trong thờ i gian 3 giây, và đạtvận tốc ổn định là 720 vòng/phút. Coi rotor có dạng hình tr ụ đặc đồng nhất, bán kínhR = 10cm, khối lượ ng m = 5 kg và coi lực từ có phươ ng tiế p xúc vớ i bề mặt rotor, hãytính mômen khở i động của lực từ và độ lớ n của lực từ. Bỏ qua mômen cản ở tr ụcrotor.

Giải→

F Lực tác dụng lên rotor gồm tr ọng lực ,

phản lực pháp tuyến của vòng đỡ , lực từ

(khi quấn động cơ , ngườ i ta tính toán sao cho có phươ ng tiế p tuyến để tạo mômen lớ n nhất). Dễ thấy

cân bằng vớ i tr ọng lực và chỉ có lực từ tạomômen làm quay động cơ .

→

P→

N→

F→

F

→

N→

P

Hình 3.20Mômen khở i động của lực từ:

M∆ = I.β =t

I oω−ω

Vớ i 2mR 2

1I = =

2

1.6.0,12 = 0,03kgm2 ; ωo = 0 rad/s; ω = 720 vòng/phút = 24π

rad/s thì mômen lực là: M∆ = 0,03.24π/3 = 0,72π ≈ 2,26 Nm.

Độ lớ n của lực từ: M∆ = F.R ⇒ N6,221,026,2

R MF === ∆ .

Ví dụ 3.18: Cho cơ hệ như hình 3.21. Khối lượ ng vật A, con lăn B và ròng r ọc C làm1, m2 và mo. Bán kính ròng r ọc là r, bán kính con lăn là R. Mômen cản ở tr ục ròngr ọc là Mc, hệ số ma sát lăn giữa con lăn và mặt bàn là µ’ (có thứ nguyên là mét). Bỏ

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM



Chươ ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N 101 qua mômen cản ở tr ục con lăn, coi dây không giãn và không tr ượ t trên ròng r ọc. Tínhgia tốc của vật A.

GiảiPhân tích lực:

H 3.21

CB

A

• Lực tác dụng lên vật A gồm: tr ọng lực

, lực căng dây→

1P→

1T• Lực tác dụng lên con lăn B gồm: tr ọng

lực , phản lực pháp tuyến , lực

căng dây , lực ma sát .

→

2P→

2 N→

2T msF→

• Lực tác dụng lên ròng r ọc C gồm: tr ọng lực , phản lực liên k ết của tr ục

quay

→

0P→

R , lực căng dây , . →

3T→

4T

Viết các phươ ng trình động lực học cho A, B, C:

A: (1)→→→

=+ 1111 amTP

B: (2)→→→→→

=+++ 22ms222 amFT NP

và: 22G/ IM β=∑ (3)

C: 00G/ IM β=∑ (4)

A

B

C

→

2P

→

2 N

msF→

→

0P

→

R

→

2T 3T→

4T→

1T→

y

x

O

H 3.22

→

1P

Chiếu (1) lên Ox ⇒ P1 – T1 = m1a1 (5)

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chiếu (2) lên Ox ⇒ T2 – Fms = m2a2 (6)

Chiếu (2) lên Oy ⇒ P2 – N2 = 0 (7)

Chọn chiều quay dươ ng là chiều kim đồng hồ.

• Đối vớ i con lăn B, các lực và không gây ra mômen quay, vì giá của

chúng đi qua tr ục quay; chỉ có lực ma sát và phản lực pháp tuyến là

gây ra mômen quay. Mômen của lực ma sát là mômen phát động làm con lănquay theo chiều kim đồng hồ: M

→

2P→

2T

msF→ →

2 N

ms = Fms.R ; còn mômen của phản lực pháptuyến là mômen cản lăn (xem § 3.6): M N = – µ’.N2. Do đó (3) tr ở thành:

Fms.R – µ’.N2 = I2.β (8)

• Tươ ng tự đối vớ i ròng r ọc C, (4) tr ở thành:

T4 .r – T3 .r – Mc = I0.β0 (9)

Ngoài ra ta có các điều kiện:

- Dây không giãn ⇒ a1 = a2 = a (10)

- Dây không khối lượ ng ⇒ T1 = T4 = T; T2 = T3 = T’ (11)

- Dây không tr ượ t trên ròng r ọc ⇒ a = at = β0. r = β2.R (12)Giải hệ phươ ng trình: thay (10), (11), (12) vào (5), (6), (7), (8), (9), ta có:

(5) ⇒ m1g – T = m1a (5’)

(6) ⇒ T’ – Fms = m2a (6’)

(8) ⇒ am2

1

R

aIgm

R

'F 2222ms ==

µ− (8’)

(9) ⇒ T – T’ am21r a.r Ir M 00c ==− (9’)

Cộng vế vớ i vế các phươ ng trình (5’), (6’), (8’) và (9’), ta thu đượ c gia tốc của vật:

o21

c21

m2

1m

2

3m

gr

Mm

R

'm

ga++

−µ

−= (3.59)

3 – Con lắc vật lý:

Con l ắ c vật lý là một vật r ắ n khố i l ượ ng m, có thể quay quanh tr ục cố định,

nằ m ngang .

Gọi G là khối tâm của con lắc, d là khoảng cách từ G đến tr ục quay O; θ làgóc lượ ng giác tạo bở i phươ ng thẳng đứng và đườ ng OG. Bỏ qua ma sát thì lực tác

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




dụng lên con lắc gồm tr ọng lực (có điểm đặt tại khối tâm) và phản lực→

P→

R của tr ụcquay (có điểm đặt tại tr ục quay). Suy ra, chỉ có tr ọng lực gây ra mômen quay, còn phản lực không tạo mômen quay (vì có giá đi qua tr ục quay).

Phươ ng trình chuyển động quay của con lắc quanh tr ục O là:

d.sinmgd.sinPMdt

dI

O/P2

2

θ−=θ−==θ

→ (3.60)

vớ i I là momen quán tính của con lắc đối vớ i tr ụcquay; d là khoảng cách từ khối tâm G đến tr ụcquay; chiều quay dươ ng là chiều ngượ c kim đồnghồ.

G

→

P

θXét tr ườ ng hợ p con lắc dao động vớ i biên độ gócθo nhỏ thì sinθ ≈ θ. (3.60) tr ở thành:

0.I

mgd

dt

d2

2

=θ+θ

hay: 0dt

d 2o2

2

=θω+θ

(3.61)

Vớ i 2o

mgd

Iω = . (3.61) là phươ ng trình vi phân

của con lắc vật lý. Nghiệm của phươ ng trình nàycó dạng: θ = θosin(ωot + ϕ). (3.62)Hình 3.23: Con l ắ c vật lý

Vậy, vớ i biên độ góc nhỏ (θo < 10o), dao động củacon lắc vật lý là dao động điều hoà tự do, có :

• Tần số góc riêng:I

mgdo =ω (3.63)

•

Chu kì riêng: mgd

I

2

2

T oo π=ω

π

= (3.64)

Tr ườ ng hợ p đặc biệt, vật r ắn là một chất điểm đặt tại G, khi đó I = md2 và ta có:

g2Thay

g

d2T oo

π=π= (3.65)

con lắc vật lý tr ở thành con lắc toán học (con lắc đơ n) có chiều dài = d.

Nếu m

ột con l

ắcđơ

n và mộ

t con lắc vật lý có cùng chu kì thì ta nói chúng là hai conlắc đồng bộ.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




§ 3.6 MA SÁT TRONG CHUYỂN ĐỘNG LĂN CỦA VẬT R ẮN

Trong sinh hoạt hàng ngày, ta thườ ng g ặ p chuyể n động l ăn của các vật hình

tr ụ trên mặt phẳ ng ngang. Ta cũng thấ y r ằ ng, có lúc bánh xe quay r ấ t nhanh mà

không tiế n lên đượ c (xe bị lún sình); hoặc bánh xe tr ượ t mà không l ăn; hoặc vừ a l ăn,

vừ a tr ượ t, …. Nguyên nhân của các hiện t ượ ng trên là do ma sát. Bài này cung cấ pthêm thông tin về đặc đ iể m của ma sát l ăn; vai trò của ma sát trong các chuyể n động

l ăn không tr ượ t của các vật r ắ n có d ạng hình tr ụ. Nói chung, ma sát trong chuyể nđộng l ăn r ấ t phứ c t ạ p. Có lúc ma sát đ óng vai trò là l ự c phát động, như ng cũng có

lúc l ại cản tr ở chuyể n động. Sau đ ây chúng ta khảo sát ảnh hưở ng của ma sát đố i vớ ichuyể n động l ăn của khố i tr ụ trong các tr ườ ng hợ p cụ thể .

1 – Trườ ng hợ p 1: ở thờ i điểm to = 0, khối trụ có chuyển động tịnh tiến vớ i vận

tốc :ov→

Nếu giữa mặt ngang và khối tr ụ hoàn toàn không có ma sát thì phản lực và

tr ọng lực triệt tiêu nhau (hình 3.24). Do đó khối tr ụ

tr ượ t theo quán tính vớ i vận tốc không đổi (điểm

tiế p xúc A cũng tr ượ t vớ i vận tốc , vì không có lựctạo mômen quay).

→

N→

P

ov→

ov→

→

P

→

N

A

O

ov→

Thực tế luôn có ma sát tác dụng lên khối tr ụ và lực ma sát có hai tác dụng (hình 3.25):

• Cản tr ở chuyển động tịnh tiến theo phươ ng trình:

msf

dt

dvm −= (3.66)

Hình 3.24• Tạo mômen làm quay vật r ắn theo phươ ng trình:

R .f dt

dI ms=

ω (3.67) →

N

O

A

R →

msf

→

trong đó: v là vận tốc tịnh tiến của khối tâm; ω là vậntốc góc và I là mômen quán tính đối vớ i tr ục quay quakhối tâm.

ov→

Lúc này, vận tốc tr ượ t của điểm tiế p xúc A là:vtr = v – ωR (3.68)

Vận tốc tịnh tiến v càng lúc càng giảm còn vận tốcgóc ω càng lúc càng tăng. Do đó, sau một khoảng thờ igian t1 thì vtr = 0. Lúc đó điểm tiế p xúc A không còntr ượ t nữa, ta nói khối tr ụ l ăn không tr ượ t trên mặt

→

P

Hình 3.25

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chươ ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N 105 phẳng ngang vớ i vận tốc góc ω1 và vận tốc tịnh tiến v1 đượ c xác định như sau:

∫−=⇒−=⇒−=1t

0

mso1ms

ms dtf m

1vvdt

m

f dvf

dt

dvm (*)

∫+ω=ω⇒=ω⇒=ω 1t

0

mso1msms dtf I

R dtf

I

R dR .f

dt

dI (**)

Khử tích phân trong (*) và (**) r ồi k ết hợ p vớ i điều kiện lăn không tr ượ t: v1 = ω1R, ta

có:

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=ω

2

o1

o1

mR

I1

vv

mR

IR

v

(3.69)

Trên lý thuyết, khối tr ụ lăn không tr ượ t vớ i vận tốc góc ω1, nhưng trên thực tế, k ể từ lúc t1 tr ở đi, khối tr ụ lại chuyển động chậm dần và dừng lại. Điều đó chứng tỏ giữakhối tr ụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mớ i (sẽ khảo sát trong mục 3).

2 – Trườ ng hợ p 2: ở thờ i điểm to

= 0, khối trụ có chuyển động quay vớ i vận tốcgóc o:

ω

A

O

msf →

Cho khối tr ụ quay quanh tr ục của nó vớ i vậntốc góc ωo r ồi đặt nhẹ xuống mặt phẳng ngang. Nếugiữa hình tr ụ và mặt phẳng ngang không có ma sát thìtổng mômen các ngoại lực bằng không (vì tr ọng lực và phản lực không tạo mômen quay) nên mômen độnglượ ng đượ c bảo toàn và vật tiế p tục quay tại chỗ vớ ivận tốc góc ωo không đổi.

Nếu giữa hình tr ụ và mặt phẳng ngang có ma

sát thì tại điểm tiế p xúc A xuất hiện lực ma sát có

khuynh hướ ng giữ chặt điểm A lại (hình 3.26). có hai tác dụng:

msf →

msf →

Hình 3.26

• Cản tr ở chuyển động quay theo phươ ng trình: R .f dt

dI ms−=

ω

• Kéo hình tr ụ chuyển động sang phải vớ i phươ ng trình: msf dtdvm =

Vận tốc tr ượ t của điểm tiế p xúc A: vtr = ωR – v.

Vận tốc tịnh tiến v càng lúc càng tăng còn vận tốc góc ω càng lúc càng giảm. Do đó,sau một khoảng thờ i gian t1 thì vtr = 0. Lúc đó điểm tiế p xúc A không còn tr ượ t nữa, ta

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




nói khối tr ụ l ăn không tr ượ t trên mặt phẳng ngang vớ i vận tốc góc ω1 và vận tốc tịnhtiến v1 đượ c xác định như sau:

∫=⇒=⇒=

1t

0ms1

ms

ms dtf m

1

vdtm

f

dvf dt

dv

m (*)

∫−ω=ω⇒−=ω⇒−=ω 1t

0

mso1msms dtf I

R dtf

I

R dR .f

dt

dI (**)

Khử tích phân trong (*) và (**) r ồi k ết hợ p vớ i điều kiện lăn không tr ượ t: v1 = ω1R, tacó:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

ω=

+

ω=ω

I

mR 1

R v

I

mR 1

2o

1

2o

1

(3.70)

Trên lý thuyết, khối tr ụ lăn không tr ượ t vớ i vận tốc góc ω1, nhưng trên thực tế, k ể từ lúc t1 tr ở đi, khối tr ụ lại chuyển động chậm dần và dừng lại. Điều đó chứng tỏ giữa

khối tr ụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mớ i (sẽ khảo sát trong mục 3).3 – Chuyển động lăn không trượ t của khối trụ – ma sát lăn:

Trong các mục 1 và 2, ta thấy, sau thờ i điểm t1, muốn duy trì chuyển động của

khối tr ụ thì phải tác dụng lực vào khối tr ụ. Điềuđó chứng tỏ giữa hình tr ụ và mặt phẳng ngang xuấthiện một lực cản mớ i. Nguyên nhân của lực cản nàylà do khối tr ụ tiế p xúc vớ i mặt phẳng ngang không phải tại một điểm A mà cả một mặt, một cung AB.

Khi khối tr ụ lăn sang phải, tr ọng lượ ng của nó hầunhư đặt tại B, ngh ĩ a là phản lực đặt tại B, lệch ra phía tr ướ c một khoảng nhỏ

→

F

→

N

L'µ so vớ i khối tâm

(hình 3.27). Tr ọng lực và phản lực pháp tuyếntạo thành một ngẫu lực, cản tr ở sự quay, do đó khốitr ụ sẽ lăn chậm dần. Muốn cho khối tr ụ tiế p tục lăn,

ta phải tác dụng vào khối tr ụ một lực sao cho

mômen của cặ p lực ( , ) phải lớ n hơ n mômen của cặ p lực ( , ):

⇒

→

P→

N

→

F→

F msf → →

P→

N

L' NFR µ≥ NR

'LµF ≥ (3.71)

ω

→

N

→

P

A

O

Bmsf →

→

F

Hình 3.27

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Vậy, giớ i hạn của lực F để khối tr ụ lăn đều là: NR

'F L

min

µ= (3.72)

Khi đó, lực ma sát lăn là: f ms = NR

'F

Lmin

µ= (3.73)

Trong đó: có thứ nguyên chiều dài, đượ c gọi là “hệ số ma sát lăn” (ở chươ ng 2, ta

đã kí hiệu hệ số này là µ’

L'µ

L). ĐặtR

'Lµ = µL là hư số (không thứ nguyên) thì ta có f mslăn

= µL N, giống như tr ườ ng hợ p ma sát tr ượ t: f mst = µ N. Vì thế, đôi khi ta cũng gọi µL làhệ số ma sát lăn.

Để thống nhất cách gọi, trong giáo trình này, ta qui ướ c hệ số ma sát l ăn là

µ ’ L (có thứ nguyên là mét).

4 – Phân biệt ma sát nghỉ và ma sát lăn:

Trong chuyển động lăn của khối tr ụ thì lực ma sát nghỉ luôn có xu hướ ng giữ chặt điểm tiế p xúc A, ngăn không cho nó tr ượ t về phía sau. Chính lực này đóng vai tròlực phát động làm cho điểm tiế p xúc A chuyển động đi tớ i.

Khi khối tr ụ lăn, thì xuất hiện lực ma sát lăn, cản tr ở chuyển động lăn của khốitr ụ. Lực này gây ra mômen cản tr ở chuyển động quay của khối tr ụ.

Để hình dung vai trò của ma sát nghỉ đối vớ i chuyển động lăn, ta xét chuyểnđộng của bánh xe sau của xe môtô (bánh phát động). Khi nổ máy và vào số, nhờ có hệ thống nhông, sên, đĩ a, nội lực làm cho bánh xe có khuynh hướ ng quay và điểm tiế pxúc A có khuynh hướ ng tr ượ t về phía sau. Khi đó xuất hiện lực ma sát nghỉ (chính làngoại lực) có khuynh hướ ng giữ chặt điểm tiế p xúc A. Lực ma sát nghỉ có độ lớ n tăngdần, cuối cùng kéo điểm tiế p xúc A đi tớ i, nhờ đó toàn bộ xe và ngườ i chuyển động.Khi bánh xe lăn, xuất hiện lực ma sát lăn cản tr ở chuyển động lăn. Nếu lực ma sátnghỉ cân bằng vớ i ma sát lăn thì xe chuyển động đều.

Như vậy, trong chuyển động của ôtô nói riêng và các vật r ắn khác nói chung,lực ma sát nghỉ đóng vai trò là ngoại lực phát động. Vì lực ma sát nghỉ có giá tr ị lớ nnhất là µ N (bằng ma sát tr ượ t), nên khi lực ma sát nghỉ đạt đến giá tr ị cực đại, dù côngsuất của động cơ đốt trong có tăng đến mấy cũng không thể làm cho xe chuyển độngnhanh hơ n đượ c!

Đối vớ i bánh xe tr ướ c, lúc t = 0, nó nhận đượ c vận tốc tịnh tiến vo và điểmtiế p xúc bị tr ượ t tớ i. Chính lực ma sát nghỉ đã làm cho nó có chuyển động quay.

Vậy, trong các lực ma sát thì ma sát nghỉ đóng vai trò tích cực, hữu ích trongmọi chuyển động lăn của vật.

5 – Ma sát của dây quấn vào khối trụ:

Một dây vắt lên khối tr ụ, bán kính R, phần tiế p xúc vớ i khối tr ụ là một cungtròn α. Hệ số ma sát giữa dây và khối tr ụ là µ. Đặt vào một đầu dây một lực có độ lớ n

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




P, ta chứng minh đượ c, dây sẽ cân bằng nếu đặt vào đầu kia một lực có độ lớ n Q thỏađiều kiện: Q = P.e - µα (3.74)

→

Q

→

P Hình 3.28

R

αĐể chứng minh (3.74), ta xét một mẩu dây chắn gócở tâm dα. Lực tác dụng lên mẩu dây này gồm: lực

căng dây và ’; lực ma sát ; phản lực pháp

tuyến của khối tr ụ.

→

T →

T msf →

→

N

Từ điều kiện cân bằng của mẩu dây, ta có:

+ ’+ + = 0 (*)→

T→

T msf → →

N

Chiếu (*) lên phươ ng tiế p tuyến vớ i mặt tr ụ: T – T’ – f ms = 0

Hay: dT = T’ – T = – f ms = – µ N (**)

Chiếu (*) lên phươ ng pháp tuyến củamặt tr ụ và lưu ý T’ ≈ T, ta có:

dα

→

T

'T→

→

N →

msf N = T.dα ⇒ dT = – µTdα

→

N

→

T

'T→⇒ αµ−= d

TdT ⇒ µα−=∫

Q

P TdT

⇒ µα−=)P

Qln(

Hình 3.29⇒ Q = Pe - µα (đ pcm).

Nếu dây quấn hơ n một vòng, Q << P.

Ví dụ 3.19: Một ngườ i kéo chiếc sàlan và quấn nó vào một tr ụ trên bờ cảng. Nếu lựcgiữ đầu dây lớ n nhất là 200N còn dòng nướ c chảy, đẩy sàlan làm căng đầu dây kiamột lực 20000N. Hỏi ngườ i đó phải quấn mấy vòng dây vào tr ụ để có thể giữ đượ csàlan? Biết hệ số ma sát giữa dây và cột tr ụ là µ = 0,5.

Giải

Theo (3.80), ta có Q =Pe - µα

⇒ =−=µ

−=α5,0

)20000/200ln()P/Qln(9,21rad ≈ 1,5 vòng.

Vậy ngườ i đó chỉ cần quấn một vòng r ưỡ i là có thể giữa đượ c sàlan.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM





3.1 Tính khối lượ ng của một tấm phẳng hình tròn, bán kính R, biết r ằng mật độ khối

lượ ng phân bố trên bề mặt giảm theo qui luật hàm mũ: , vớ i k, σr k oe−σ=σ o là

các hệ số dươ ng; r là khoảng cách từ tâm đĩ a đến điểm khảo sát. Á p d ụng số : σo =5kg/m2; k = 10g/cm; R = 50cm.

3.2 Khối bán cầu bán kính R, có mật độ khối lượ ng tăng tuyến tính theo chiều cao: ρ = ah + b, vớ i a, b là các hằng số; h là khoảng cách từ mặt đáy bán cầu đến điểmkhảo sát. Tính khối lượ ng của khối bán cầu. Áp dụng số: R = 50cm; a = 20000kg/m4 ; b = 0.

3.3 Một thùng đựng r ượ u thành mỏng, có dạng Elíp tròn xoay quanh tr ục lớ n 2a,

nhưng bị cắt bỏ ở hai đầu sao cho khoảng cách từ tâm đến hai mặt đáy bằng bántr ục nhỏ b của Elíp. Tính dung tích của thùng và khối lượ ng r ượ u mà thùng có thể chứa, biết khối lượ ng riêng của r ượ u là ρ. Áp dụng số: a = 0,8m; b = 0,5m; ρ =800kg/m3.

3.4 Quan sát chuyển động quay của các quạt tr ần hoặc quạt bàn, ta thấy có cái quayr ất “êm”, nhưng có cái lắc r ất mạnh. Hãy tìm ra nguyên nhân và đưa ra hướ ngkhắc phục.

3.5 Xác định khối tâm của hệ ba chất điểm có khối lượ ng lần lượ t là: m, 2m, 2m đặt

tại ba đỉnh A, B, C của tam giác đều, cạnh a. Cần phải tăng hay giảm khối lượ ngcủa chất điểm tại đỉnh A đi bao nhiêu để khối tâm của hệ trùng vớ i trung điểm củađườ ng cao AH?

b

c

a

3.6 Xác định khối tâm của hệ bốn chất điểmcó khối lượ ng lần lượ t là: m, 2m, 3m, 4mđặt tại bốn đỉnh O, A, B, C của hìnhvuông cạnh a. a

3.7 Xác định khối tâm của các vật phẳng đồng

nhất có dạng nửa hình tròn; ¼ hình tròn bán kính R.

3.8 Xác định khối tâm của vật phẳng đồng

nhất có dạng nửa elíp: 1 b

y

a

x2

2

2

2

=+ ; vớ i

a là bán tr ục lớ n, b là bán tr ục nhỏ. Xéthai tr ườ ng hợ p: a) nửa elíp có x ≥ 0; b)nửa elíp có y ≥ 0.

Hình 3.303.9 Xác định khối tâm của khối bán cầu đồngnhất, bán kính R.

3.10 Xác định khối tâm của vật phẳng đồng nhất có dạng hình tròn, bán kính R bị khoét một lỗ cũng có dạng hình tròn, bán kính r. Biết tâm của lỗ cách tâm hình

tròn lớ n một đoạn a. Suy ra tr ườ ng hợ p r = a =2

R .

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




3.11 Xác định khối tâm của khối cầu đồng nhất bán kính R, bị khoét một lỗ cũngcó dạng hình cầu bán kính r. Biết tâm của lỗ cách tâm khối cầu lớ n một đoạn a.

Suy ra tr ườ ng hợ p r = a =

2

R .

3.12 Một thướ c dẹt đồng nhất có dạng hình chữ T(hình 3.30) Hãy xác định khối tâm của thướ c. Xéttr ườ ng hợ p đặc biệt c = b.

h

3.13 Một vật thể đặc, đồng nhất gồm một phần hìnhtr ụ, chiều cao h và một bán cầu bán kính R (hình3.31). Xác định h theo R để khối tâm của vật nằm ở

phần bán cầu.

Hình 3.31

3.14 Một bánh xe bán kính R lăn không tr ượ t trên

đườ ng thẳng vớ i vận tốc (hình 3.32). Hãy xácđịnh:

ov→

a) Vận tốc tại các điểm A, B, C, D. Từ đó suy ra,muốn bánh sau xe đạ p không văng bùn đất lênngườ i thì cái chắn bùn (dè xe) phải phủ như thế nào?

b) Qu ĩ đạo, vận tốc, gia tốc của một điểm M bất kì trên vành bánhxe.

c) Quãng đườ ng mà điểm M đi đượ c giữa 5 lần liên tiế p tiế p xúc vớ imặt đườ ng.

3.15 Một dây cuaroa truyền động, vòng qua khối tr ụ I và bánh xe II.Bán kính khối tr ụ r 1 = 30cm, bánh xe r 2 = 75cm. Bánh xe bắt đầuquay vớ i gia tốc góc 0,4πrad/s2. Hỏi sau bao lâu, khối tr ụ I sẽ quay

vớ i vận tốc góc 300 vòng/phút? (dây cuaroa không tr ượ t trên khối tr ụ và bánh xe).

Oov

→

A

D

B

CHình 3.32

d

H 3.33

3.16 Một cái đĩ a chia thành n hình quạt đều nhau, quay chậm dần đều. Một kim chỉ thị gắn ở ngoài, gần mép đĩ a (giống như chiế c nón kì diệu). Hình quạt thứ nhất điqua kim trong thờ i gia t1 = 4s, hình quạt thứ hai trong thờ i gian t2 = 5s; sau đó đĩ aquay thêm đượ c góc ϕ = 0,75π thì dừng lại. Tính gia tốc của đĩ a.

3.17 Quả cầu bán kính R = 3cm, lăn đều, không tr ượ t trên hai thanh ray song songcách nhau d = 4cm. Sau 2s, nó đi đượ c 120cm. Xác định vận tốc của điểm cao

nhất, thấ p nhất của quả cầu (hình 3.33).3.18 Một hình tr ụ bán kính R, đặt giữa 2 tấm ván phẳng chuyển động song song

vớ i vận tốc và (H 3.34). Giả sử 2 tấm ván không tr ượ t đối vớ i hình tr ụ.Tính vận tốc góc của hình tr ụ và vận tốc tịnh tiến của tr ục hình tr ụ trong haitr ườ ng hợ p:

1v→

2v→WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




a) và cùng chiều.1v→

2v→

b) và ngượ c chiều.1v→

2v→

3.19 Trong thờ i gian đạ p một vòng bàn đạ pthì xe đạ p đi đượ c mấy mét? Biết số r ăngcủa đĩ a gấ p đôi số r ăng của líp và đườ ngkính lố p xe là 700mm. Suy ra muốn xe điđượ c 10km thì phải đạ p mấy vòng? Nếu vận tốc xe là v = 20km/h thì vận tốc đạ plà bao nhiêu vòng/phút?

1v→

2v→

H 3.34

3.20 Chiều dài đùi pêđan (giò d ĩ a) xe đạ p là 20cm; chân ngườ i tác dụng một lực F

= 100N hướ ng thẳng đứng xuống dướ i. Tính độ lớ n của mômen quay đối vớ i tr ụcgiò d ĩ a khi giò d ĩ a làm vớ i đườ ng thẳng đứng một góc 30o; 60o; 90o ; 180o ?

3.21 Tính mômen của các lực đối vớ iđiểm O trong hình 3.35, biết F

21 F;F→→

1 = 20N; F2 =15N; α = 150o; β = 120o; OA = 20cm; OB =10cm. Suy ra tổng mômen làm vật r ắn quayquanh O? Vật sẽ quay theo chiều nào?

A

1F→

2F→ Hình 3.35

β

α BO

3.22 Trong mặt phẳng Oxy, lực = (6;8)Nđặt tại điểm A(-20;50) cm. Hãy tính độ lớ n

mômen của lực đối vớ i gốc O.

→

F

→

F

3.23 Tính mômen quán tính của khối tr ụ r ỗng, đồng nhất đối vớ i tr ục của khối tr ụ.Biết khối tr ụ có khối lượ ng m, bán kính thành ngoài R 1 thành trong R 2

3.24 Tính mômen quán tính của khối hình nón đồng nhất đối vớ i tr ục quay là tr ụchình nón. Biết nó có khối lượ ng m, bán kính đáy là R. Tươ ng tự vớ i hình nón cụt,

bán kính R, r.3.25 Tính mômen quán tính của đĩ a đặc phẳng, hình tròn đồng nhất, khối lượ ng m,

bán kính R đối vớ i tr ục quay chứa đườ ng kính đĩ a và đối vớ i tr ục quay đi qua mépđĩ a, vuông góc mặt phẳng đĩ a.

3.26 Tính mômen quán tính của vành tròn, đồng nhất, khối lượ ng m, bán kính Rđối vớ i tr ục quay chứa đườ ng kính vành tròn.

3.27 Một đĩ a đặc, phẳng, hình tròn, đồng nhất, bán kính R bị khoét một phần cũngcó dạng hình tròn, bán kính r, tâm phần khoét cách tâm đĩ a một đoạn d. Khốilượ ng phần còn lại là m. Tính mômen quán tính của phần còn lại đối vớ i tr ục quay: a) đi qua hai tâm của hai hình tròn; b) đi qua tâm hình tròn lớ n và vuông góc vớ imặt đĩ a. Suy ra tr ườ ng hợ p r = d = R/2.

3.28 Tính mômen quán tính của khối cầu đặc, đồng nhất, khối lượ ng m, bán kính R bị khoét một phần cũng có dạng hình cầu, bán kính r, đối vớ i tr ục quay đi qua haitâm của hai hình cầu. Suy ra tr ườ ng hợ p đặc biệt r = R/2.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




3.29 Tính mômen quán tính của cánh cửa phẳng hình chữ nhật đồng nhất khốilượ ng m, chiều r ộng a, chiều dài b đối vớ i tr ục quay:

a) chứa bản lề; b) vuông góc vớ i mặt cánh cửa tại tâm hình chữ nhật.

3.30 Một tr ục khuỷu có dạng một thanh nhỏ đồng nhất, chiều dài , khối lượ ng mcó thể quay quanh tr ục vuộng góc vớ i thanh và đi qua một đầu của thanh. Tínhmômen quán tính của tr ục khuỷu đối vớ i tr ục quay này.

3.31 Có 4 viên bi nhỏ, khối lượ ng mỗi viên là m đượ c đặt tại 4 đỉnh của một hìnhthoi mà độ dài hai đườ ng chéo là 2a và 2b. Tìm khối tâm của hệ và tính mômenquán tính của hệ đối vớ i tr ục quay đi qua khối tâm và: a) vuông góc mặt phẳnghình thoi; b) chứa đườ ng chéo 2a; c) chứa đườ ng chéo 2b.

3.32 Có 4 viên bi nhỏ, khối lượ ng mỗi viên là mđượ c đặt tại 4 đỉnh của một hình vuông, cạnh a.Tính mômen quán tính của hệ đối vớ i tr ục quay:a) đi qua khối tâm và vuông góc mặt phẳng hìnhvuông; b) chứa đườ ng chéo; c) chứa một cạnh;d) đi qua một đỉnh và vuông góc vớ i mặt phẳnghình vuông.

→

F

R

rO α

3.33 Một cuộn dây điện (dây đồng r ất mảnh) có bán kính hình tr ụ ngoài là R và lõi có quấn dây điện, tạo thành hình tr ụ trong có

bán kính r. Cuộn dây sẽ chuyển động theo chiều nào, gia tốc của tr ục hình tr ụ là bao nhiêu, nếu kéo đầu dây bằng lực (H 3.36)?Cho biết khối lượ ng và mômen quán tính của cuộndây là m và I; bỏ qua ma sát cản lăn.

→

F

H 3.36

3.34 Tính gia tốc của vật và lực căng dây quấn vàoròng r ọc trong các cơ hệ hình 3.37; 3.38. Biết khốilượ ng vật và ròng r ọc là m và mo; dây nhẹ, khôngco giãn và không tr ượ t trên ròng r ọc; bỏ qua ma

sát ở tr ục ròng r ọc.3.35 Tính gia tốc của các vật và lực căng các dây

trong các cơ hệ hình 3.39; 3.40. Biết khối lượ ngcác vật và ròng r ọc là m1, m2 và mo; dây nhẹ, H 3.37 H 3.38

mo

m1

m2

α

mo

m2

m

H 3.40

H 3. 39

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




không co giãn và không tr ượ t trên ròng r ọc; bỏ qua ma sát ở tr ục ròng r ọc; hệ số ma sát giữa vật và mặt nghiêng là µ.

3.36 Một khối tr ụ đặc khối lượ ng m lăn không tr ượ t trên mặt phẳng ngang dướ i tác

dụng của lực kéo đặt tại tâm như hình 3.41. Tính gia tốc của khối tr ụ, bỏ qua masát lăn.

3.37 Một vô lăng đang quay vớ i vận tốc góc ωo thì bị hãm bở i một lực có mômen tỉ lệ vớ i căn bậc hai của vận tốc góc của vô lăng. Tính vận tốc góc trung bình của vôlăng trong suốt thờ i gian hãm.

3.38 Bánh mài của máy mài hình đĩ a, khối lượ ng 500g, bán kính R = 20cm đangquay vớ i vận tốc 480 vòng/phút thì bị hãm đều lại. Tính mômen hãm để:

a) bánh mài dừng lại sau 50 giây

b) bánh mài quay thêm 100 vòng thì dừng.3.39 Một thanh đồng chất, dài 1m, khối lượ ng 3 kg có thể quay quanh tr ục ∆ đi qua

khối tâm và vuông góc vớ i thanh. Tác dụng vào đầuthanh một lực F = 10N theo hướ ng hợ p vớ i thanh một

góc 60o ( nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i tr ụcquay), trong thờ i gian 2 giây. Tính vận tốc góc mà thanhđạt đượ c.

→

F

→

F

Hình 3.41

3.40 Một vô lăng hình đĩ a tròn có khối lượ ng m, bán kính R đang quay vớ i vận tốc

góc ωo thì bị hãm và dừng lại sau t giây. Tính mômen của lực hãm.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



114 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

Chươ ng 4

CÔNG VÀ NĂNG LƯỢ NG

§4.1 CÔNG

1 – Định ngh ĩ a: →

F Công của lực trên đoạn đườ ng vi cấ p ds là:→

F

α )dA = Fs ds = Fds.cosα = (4.1)→→

sdF

vớ i Fs là hình chiếu của lực xuống qũi đạo;là vi phân của vectơ đườ ng đi (cũng chính là vi phâncủa độ dờ i); α là góc tạo bở i hướ ng của lực vàhướ ng của đườ ng đi.

→

F

→

sdHìmh 4.1: Công của l ự c.

Suy ra, công của lực trên quãng đườ ng s bất kì là:→

F

A = (4.2)∫∫∫∫ α=== →→

ss

s

ss

cosFdsdsFsdFdA

Trong hệ toạ độ Descartes, , nên biểu thức

tính công là: A = (4.3)

)F,F,F(F);z,y,x(r dsd zyx=== →→→

∫∫∫ ++== →→→→

s

zyx

ss

dzFdyFdxFr dFsdF

Tích phân (4.3) đượ c gọi là tích phân đườ ng. Hệ thức đó chứng tỏ, trong tr ườ ng hợ ptổng quát, công phụ thuộc cả vào vị trí và đườ ng đi. Tuy nhiên, trong một số tr ườ nglực, công không phụ thuộc vào đườ ng đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểmcuối. Tr ườ ng lực có tính chất như vậy, đượ c gọi là tr ườ ng l ự c thế .

Tr ườ ng hợ p đặc biệt: Nếu các thành phần Fx, Fy, Fz chỉ phụ thộc vào toạ độ tươ ng ứng của nó, ngh ĩ a là Fx = f(x), Fy = g(y), Fz = h(z) thì tích phân đườ ng (4.3)

đượ c đưa về tổng các tích phân: A = (4.4)∫∫∫ ++2

1

2

1

2

1

z

z

z

y

y

y

x

x

x dzFdyFdxF

Công là đại l ượ ng vô hướ ng, có thể âm, d ươ ng hoặc bằ ng không. Trong hệ SI, công

có đơ n vị jun (J).

•

Nếu lực luôn vuông góc vớ i đườ ng đi thì từ (4.2) suy ra A = 0: lựckhông sinh công.

→

F

• Nếu tạo vớ i dườ ng đi một góc nhọn thì A > 0: công phát động.→

F

• Nếu tạo vớ i dườ ng đi một góc tù thì A < 0: công cản.→

F

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM



Chöông 4: NHAÄP MOÂN VAÄT LYÙ ÑAÏI CÖÔNG 115

Ví dụ 4.1: Tính công thực hiện bở i lực tác dụng vào một vật làm nó di

chuyển từ điểm M(2; 3) đến N(3; 0). Các đơ n vị đo trong hệ SI).

)y4;x5(F =→

Giải

Theo (4.4) ta có công cần tính là:

] ] =+=+= ∫∫0

323

22

0

3

3

2

y2x5,2ydy4xdx5A 12,5 – 18 = –5,5J

2 – Công của lự c ma sát:

Lực ma sát luôn tiế p xúc vớ i qũi đạo và hướ ng ngượ c chiều chuyển động, nên

cosα = – 1. Do đó, công của lực ma sát là:Ams = (4.5)∫∫ −=α

s

ms

s

ms dsFcosdsF

Nếu trên quãng đườ ng s, lực ma sát có độ lớ n không đổi thì ta có:

Ams = – Fms.s (4.6)

Biểu thức (4.6) chứng tỏ công của lực ma sát là công cản và phụ thuộc vào quãngđườ ng vật đã đi. Vậy lực ma sát không phải là l ự c thế .

Ví dụ 4.2: Vật khối lượ ng m = 10kg tr ượ t trên sàn ngang có hệ số ma sát µ = 0,2. Tínhcông của lực ma sát khi vật đi đượ c 10 mét.

Giải

Ta có lực ma sát tr ượ t: F = µ N = µmg = 0,2.10.10 = 20N = const.

Vậy công của lực ma sát là: Ams = – Fms.s = – 20.10 = – 200J.

3/ Công của lự c đàn hồi:

Xét biến dạng một chiều của lò xo. Lực đàn hồi của lò xo, có dạng:→→

−= xk F .

Thay vào (4.2), ta có công của lực đàn hồi là:

)xx(k 2

1xdxk xdxk sdFA 2

221

x

x

x

xs

2

1

2

1

−=−=−== ∫∫∫ →→→→

(4.7)

Trong đó x1 , x2 chính là độ biến dạng tươ ng ứngcủa lò xo tại vị trí đầu và cuối. Từ (4.7) suy ra,công của lực đàn hồi không phụ thuộc vào đườ ngđi mà chỉ phụ thưộc vào vào vị trí đầu và cuối. Tanói l ự c đ àn hồi là một l ự c thế .

ñh

→

F

Ví dụ 4.3: Một con lắc lò xo có độ cứngk = 10N/m, dao động điều hòa vớ i phươ ng trình:x = 10sin5πt (cm). Tính công của lực đàn hồithực hiện trong khoảng thờ i gian:

x2O x1

Hình 4.2: Công của l ự cđ àn hồi.

a) Từ lúc t = 0 đến lúc t = 5,5s.

b) Một chu kì.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Giải

a) Tại thờ i điểm t1 = 0s toạ độ của vật là: x1 = 0 cm = 0m;

Tại thờ i điểm t2 = 5,5s toạ độ của vật là: x2 = 10sin27,5π = – 10cm = – 0,1m

Vậy công của lực đàn hồi đã thực hiện là:

)1,00(100.2

1)xx(k

2

1A 22

221 −=−= = – 0,5J.

b) Trong một chu kì thì x2 = x1 . Vậy A = 0 (J).

4 – Công của lự c hấp dẫn:

Ta có lực hấ p dẫn:→→

−= r

r

mmGF

321

hd

Suy ra công của lực hấ p dẫn mang vật từ vị trí (1) đến vị trí (2) là:

∫∫→→

→→

−==)2(

)1(321

)2(

)1(

hd12 r

r dr mGmr dFA

mà xdx + ydy + zdz = ½ d(x=→→

r dr 2 + y2 + z2) = ½ d(r 2) = rdr

nên A12 = – Gm1m2 )r

1

r

1

(mGmr

dr

1221

r

r 2

2

1 −=∫ (4.8)

Tr ườ ng hợ p riêng, ta tính công củatr ọng lực khi vật di chuyển từ vị trí có độ caoh1 đến vị trí có độ cao h2 so vớ i mặt đất :

m

m

h2

h1

AP = GMm21

21

r r

r r − (4.9)

Vớ i các độ cao không lớ n lắm thì ta có:

r 1 . r 2 = (R +h1).(R + h2) ≈ R 2

r 1 – r 2 = h1 – h2 Hình 4.3: Công của tr ọng l ự c chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuố iVậy: AP = GMm

221

R

hh −= mg(h1 – h2) (4.10)

Từ (4.10) suy ra, khi vật đi xuống thì tr ọng lực sinh công dươ ng; khi vật đi lênthì tr ọng lực sinh công âm; nếu vật chuyển động theo phươ ng ngang thì tr ọng lựckhông sinh công. Hệ thức (4.8) và (4.10) chứng tỏ công của l ự c hấ p d ẫ n chỉ phụ thuộc

vị trí đ iể m đầu và đ iể m cuố i. V ậ y, tr ườ ng hấ p d ẫ n là một tr ườ ng l ự c thế .Trong tr ườ ng hợ p tổng quát, ta cũng chứng minh đượ c các tr ườ ng l ự c xuyên

tâm là các tr ườ ng l ự c thế .

5 – Công của lự c trong chuyển động quay:

Trong chuyển động quay, lực tác dụng đượ c phân tích thành ba thành phần

(xem hình 3.11): . Thành phần song song vớ i tr ục quay vàtn// FFFF→→→→

++= //F→

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




thành phần pháp tuyến luôn vuông góc vớ i đườ ng đi nên không tạo công, chỉ

có thành phấn tiế p tuyến là tạo công . Do đó, công vi cấ p:

nF→ →

sd

tF

→

ϕ=ϕ=== ∆

→→

dMRdFdsFsdFdA ttt (4.11)

vớ i dϕ là góc chắn cung ds; M∆ = FtR là mômen của lực đối vớ i tr ục quay ∆. Suy ra,

công của lực làm vật quay từ vị trí góc ϕ1 đến ϕ2 là : (4.12)∫ϕ

ϕ∆ ϕ=

2

1

dMA

Nếu mômen của lực không đổi thì: A = M∆.(ϕ2 – ϕ1) = M∆θ (4.13)

Trong đó: θ = ϕ2 – ϕ1 là góc mà vật đã quay đượ c.

Nếu trong (4.11), ta thay M∆ = Iβ =dt

dI

ω thì dA =

dt

dI

ω.dϕ = Iωdω

Suy ra: )(I2

1dIA 2

122

2

1

ω−ω=ωω= ∫ω

ω

(4.14)

(4.14) là công thức tổng quát tính tổng công của các ngoại lực trong chuyển động quaycủa vật r ắn quanh một tr ục ∆ cố định . Tr ườ ng hợ p muốn tính công của một lực (hayhệ lực) nào đó, ta dùng (4.12) hoặc (4.13), vớ i M∆ là mômen của lực (hay hệ lực) đóđối vớ i tr ục quay ∆.

Ví dụ 4.4: Một vô lăng hình tr ụ đồng nhất, bán kính R = 20cm, khối lượ ng m = 20kgđang quay vớ i vận tốc ω = 4πrad/s thì bị hãm và dừng lại. Tính công của lực hãmtrong quá trình đó.

Giải

Ta có ω1 = ω = 4πrad/s; ω2 = 0 (vì dừng lại); I = ½ mR 2

Áp dụng (4.14), ta có công của lực hãm là:A = ¼ mR 2(ω2

2 - ω12) = – ¼ .20. 0,22.(4π)2 = – 32 J

§ 4.2 CÔNG SUẤT

1 – Định ngh ĩ a:

Đại l ượ ng đ o bằ ng công sinh ra trong một đơ n vị thờ i gian g ọi là công suấ t .

Công suất trung bình: Ptb =

t

A (4.15)

Công suất tức thờ i: P =dt

dA (4.16)

Công suất của một máy nào đó đặc tr ưng cho khả năng sinh công của máy đó trongmột đơ n vị thờ i gian. Trong hệ SI, đơ n vị của công suất là oát (W).WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Tr ướ c đây ngườ i ta thườ ng so sánh khả năng sinh công của máy móc vớ i khả năng sinh công của con ngưạ. Vì thế, trong k ĩ thuật, ngườ i ta còn dùng đơ n vị côngsuất là mã lực, kí hiệu là CV hoặc HP. Ta có: 1 HP ≈ 736 W.

Từ biểu thức tính công suất trung bình (4.15), ta có thể ướ c lượ ng công sinh ratrong thờ i gian t là A = Pt. Vì thế ta còn đo công bằng đơ n vị kilô oát giờ (kWh):

1 kWh = 103 W . 3600 s = 3,6.106 (J).

Bảng 4.1: M ột vài giá tr ị công suấ t

Tên động cơ Công suất P Tên động cơ Công suất P

Ngườ i

Ngựa

ÔtôĐầu máy xe lửa

40 – 80W

Cỡ 700W

20 – 300kW1 – 3MW

Tên lửa

Mặt tr ờ i

Nhà máy thủyđiện Hòa Bình

20MW

3,7.1020 MW

5GW

2 – Liên hệ giữ a công suất, lự c và vận tốc:

Ta có : P =→→

→→

→→

=== vFdt

sdF

dt

sdF

dt

dA (4.17)

Vậy: Công suấ t bằ ng tích vô hướ ng của l ự c tác d ụng vớ i vận t ố c của vật .

Nếu lực tác dụng luôn cùng hướ ng vớ i vận tốc thì ta có: P = F.v (4.18) Công thức (4.18) là cơ sở để chế tạo ra hộ p số của xe máy và xe hơ i: Do công suất củađộng cơ đốt trong có một giá tr ị nhất định, nên khi xe lên dốc, ta cần lực phát độnglớ n, muốn vậy, phải giảm vận tốc của xe; ngượ c lại, khi xe chạy trên đườ ng ngang, takhông cần lực phát động lớ n, vì thế vận tốc của xe phải lớ n. Bộ hộ p số đượ c đượ c chế ra nhằm đáp ứng yêu cầu trên.

Trong chuyển động quay, ta có quan hệ giữa công suất, mômen lực và vận tốc

góc như sau: ω=

ϕ

== ∆

∆

Mdt

dM

dt

dA

P (4.19)

Hay (4.20)→

∆

→

ω= .MPVí dụ 4.5: Một động cơ có công suất cơ học 500W, rôto quay vớ i vận 300 vòng/phút.Tính mômen của lực từ đã tạo ra công suất trên.

Giải

Ta có: P = 500W; ω = 300 vòng/ phút = 10π rad/s

Từ (4.19) suy ra mômen của lực từ là: m/ N1610500PM =π=ω=∆ .WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§ 4.3 NĂNG LƯỢ NG

1 – Khái niệm năng lượ ng:Tất cả các dạng cụ thể của vật chất đều có năng lượ ng. Theo ngh ĩ a chung

nhất, năng l ượ ng là một thuộc tính cơ bản của vật chấ t, đặc tr ư ng cho mứ c độ vận

động của vật chấ t .

Mỗi hình thức vận động cụ thể của vật chất sẽ tươ ng ứng vớ i một dạng nănglượ ng cụ thể. Ví dụ: trong vận động cơ , ta có cơ năng; vận động nhiệt, ta có nhiệtnăng, nội năng; vận động điện từ, ta có năng lượ ng điện từ; …

Năng lượ ng thườ ng kí hiệu là E (Energy). Trong hệ SI, đơ n vi đo năng lượ ng

là jun (J). Theo Einstein, năng lượ ng và khối lượ ng của vật quan hệ vớ i nhau bở i:E = mc2 (4.21)

vớ i c = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không.

2 – Định luật bảo toàn năng lượ ng:

Vì vật chất vận động dướ i nhiều hình thức, nên năng lượ ng của một vật hay hệ vật cũng tồn tại dướ i nhiều dạng và trong quá trình vận động, năng lượ ng có thể chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác, nhưng năng l ượ ng t ổ ng cộng của một hệ cô

l ậ p luôn không đổ i. Đó là nội dung cơ bản của định luật bảo toàn năng lượ ng. Suy

r ộng ra trong toàn vũ tr ụ, ta có định luật bào toàn và chuyển hoá năng lượ ng: N ăng l ượ ng không t ự nhiên sinh ra và cũng không t ự nhiên mấ t đ i, mà nó chỉ

chuyể n hoá t ừ d ạng này sang d ạng khác hoặc truyề n t ừ vật này sang vật khác, còn

t ổ ng năng l ượ ng không thay đổ i.

3 – Ý ngh ĩ a của định luật bảo toàn năng lượ ng:

- Định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượ ng phản ánh một thuộc tính cơ bản của vật chất không thể tiêu diệt, đó là sự vận động .

- Từ định luật bảo toàn năng lượ ng suy ra: không thể có một hệ nào sinh công

mãi mãi mà không nhận thêm năng l ượ ng t ừ bên ngoài. Nói cách khác, không t ồn t ạiđộng cơ vĩ nh cử u – một loại máy mà con ngườ i đã có một thờ i tổn hao trí lực và tiềncủa để nghiên cứu chế tạo nhưng vô ích.

- Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượ ng là định luật có phạm vi ápdụng r ộng nhất. Nó đúng trong mọi l ĩ nh vực, mọi hình thức vận động của vật chất từ v ĩ mô đến vi mô.

4 – Quan hệ giữ a năng lượ ng và công:

Như trên đã giớ i thiệu, năng lượ ng có r ất nhiều dạng. Trong phạm vi Cơ học,

khi nói “năng lượ ng”, ta ngụ ý muốn nói đến “cơ năng”. Một hệ cơ học ở tr ạng tháixác định sẽ có năng lượ ng xác định. Khi hệ biến đổi từ tr ạng thái này sang tr ạng tháikhác thì năng lượ ng của hệ cũng biến đổi từ giá tr ị E1 sang E2 . Trong quá trình biếnđổi đó, hệ có thể nhận công hoặc sinh công A. Thực nghiệm chứng tỏ:

E2 – E1 = A (4.22)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Vậy: độ biế n thiên năng l ượ ng trong một quá trình nào đ ó bằ ng công mà hệ nhận

đượ c hoặc sinh ra trong quá trình đ ó. Nếu hệ nhận công từ bên ngoài (A > 0) thì nănglượ ng của hệ tăng; nếu hệ sinh công (A < 0) thì năng lượ ng của hệ giảm.

Như vậy, công đặc tr ưng cho độ biến thiên năng lượ ng của hệ trong một quátrình nhất định. Công bao giờ cũng tươ ng ứng vớ i một quá trình biến đổi cụ thể, ta nóicông là hàm của quá trình. Còn năng lượ ng có giá tr ị xác định khi hệ ở một tr ạng tháixác định, ta nói năng l ượ ng là một hàm của tr ạng thái. Khi hệ biến đổi nó sẽ trao đổinăng lượ ng vớ i bên ngoài bằng cách nhận công hoăc sinh công. Vậy công là số đ o phần năng l ượ ng đ ã chuyể n hoá t ừ hệ (cơ học) ra ngoài hoặc t ừ bên ngoài vào hệ.

5 – Hiệu suất của máy:

Máy là thiết bị biến đổi dạng năng lượ ng này thành dạng năng lượ ng khác dễ sử dụng hơ n. Năng lượ ng cung cấ p cho máy hoạt động (năng lượ ng đầu vào) đượ c gọilà năng lượ ng toàn phần E; năng lượ ng mà máy sinh ra (năng lượ ng đầu ra) đượ c gọilà năng lượ ng có ích Ei . Tỉ số giữa năng lượ ng có ích và năng lượ ng toàn phần đượ c

gọi là hiệu suất của máy:E

EH i= (4.23)

Năng lượ ng cung cấ p cho máy luôn lớ n hơ n năng lượ ng mà máy sinh ra, vìtrong quá trình hoạt động của máy, một phần năng lượ ng bị hao phí do ma sát hoặc dosự vận hành của máy tiêu tốn năng lượ ng. Do đó Ei < E , suy ra hiệu suất của máyluôn nhỏ hơ n 100%.

Ví dụ: Động cơ điện là thiết bị biến điện năng thành cơ năng. Khi động cơ điện họatđộng, một phần điện năng bị tiêu tốn do tỏa nhiệt trên các cuộn dây của động cơ và doma sát ở tr ục động cơ , … nên cơ năng sinh ra luôn nhỏ hơ n điện năng cung cấ p chođộng cơ . K ết quả hiệu suất nhỏ hơ n 100%. Tuy nhiên, động cơ điện là loại động cơ cóhiệu suất cao nhất trong các loại động cơ .

§ 4.4 ĐỘNG NĂNG

1 – Định ngh ĩ a động năng:

Xét một chất điểm khối lượ ng m chuyển dờ i từ vị trí (1) đến vị trí (2) dướ i tác

dụng của lực . Công của lực trong quá trình đó là:→

F→

F

∫∫∫ →

→→→→→

===)2(

)1(

)2(

)1(

)2(

)1(

sddt

vdmsdamsdFA ∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ===

→→→→

)2(

)1(

2)2(

)1(

)2(

)1( 2

mvdvdvmvd

dt

sdm

Suy ra: A =

2

mv

2

mv 21

22 − (4.24)

So sánh (4.22) vớ i (4.24) ta suy ra2

mvvaø

22

2

mv21 chính là năng lượ ng của vật tại vị

trí (1) và (2). Ta gọi năng lượ ng đó là động năng của vật tươ ng ứng vớ i các vị trí (1)và (2).

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Vậy: Động năng của một chấ t đ iể m là năng l ượ ng t ươ ng ứ ng vớ i sự chuyể n động của

chấ t đ iể m đ ó, có giá tr ị bằ ng nử a tích khố i l ượ ng vớ i bình phươ ng vận t ố c của chấ tđ iể m.

Eđ =2

mv2

(4.25)

Trong hệ SI, động năng có đơ n vị jun (J).

Đối vớ i hệ chất điểm, động năng của hệ bằng tổng động năng của các chất

điểm trong hệ: ∑=i

2ii vm

2

1E ñ (4.26)

Đối vớ i vật r ắn chỉ có chuyển động tịnh tiến, động năng là:

∑ ∑ ∑ ==== 2Gi

2G

2Gi

2iitt mv

2

1mv

2

1vm

2

1vm

2

1E (4.27)

vớ i m là khối lượ ng vật r ắn, vG là vận tốc tịnh tiến của khối tâm.

Trong chuyển động quay của vật r ắn quanh tr ục ∆ cố định, so sánh (4.14) và

(4.22) ta có động năng quay: 2q I

2

1E ω= ∆ (4.28)

Khi vật r ắn có chuyển động phức tạ p, ta có thể coi chuyển động đó gồm haichuyển động đồng thờ i: tịnh tiến của khối tâm G và quay quanh khối tâm G. Do đóđộng năng của vật r ắn trong tr ườ ng hợ p này bằng tổng động năng tịnh tiến và động

năng quay quanh khối tâm: 2G

2Gqtt I

2

1mv

2

1EEE ω+=+=ñ (4.29)

Ví dụ 4.6: Một quả cầu đặc đồng nhất, khối lượ ng m = 5kg đang lăn (không tr ượ t) vớ ivận tốc 2m/s. Tính động năng của quả cầu.

Giải

Chuyển động của quả cầu đượ c phân tích thành hai chuyển động đồng thờ i:tịnh tiến của khối tâm G vớ i vận tốc v = 2m/s và quay quanh khối tâm G vớ i vận tốcgóc ω = v/R (do lăn không tr ượ t nên vận tốc dài của điểm tiế p xúc bằng vớ i vận tốctịnh tiến của khối tâm).

Vậy động năng của quả cầu là: 2G

2Gqtt I

2

1mv

2

1EEE ω+=+=ñ

Mà IG = 2mR 5

2, nên 22222 mv

5

1mv

2

1mR

5

2.

2

1mv

2

1E +=ω+=ñ

⇒ Eđ =22 2.5.

107

mv107

= = 14J.

2 – Định lý về động năng: WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Từ (4.24) ta có định lý: “ Độ biế n thiên động năng của vật (hay hệ vật) sau

một quá trình nào đ ó bằ ng t ổ ng công của các ngoại l ự c tác d ụng vào vật (hay hệ vật)

trong quá trình đ ó”: ∆Eđ = E2 – E1 =

2

mv

2

mv 21

22 − = A12 (4.30)

Ví dụ 4.7: Một ô tô khối lượ ng 2 tấn đang chuyển độngtrên đườ ng ngang vớ i vận tốc 72km/h thì hãm phanh r ồidừng lại. Tính động năng ban đầu của ô tô và công của lựchãm sinh ra trong quá trình đó (coi ôtô như một chất điểm).

→

P

→

N →

hF

Giải

Ta có: m = 2 tấn = 2.103 kg; vo = 72km/h = 20m/s; v = 0(dừng)

Hình 4.4Động năng ban đầu:

Eđ1 = J10.420.10.2.2

1mv

2

1 52320 ==

Động năng lúc sau: Eđ2 = 0 (vì dừng lại)

Áp dụng định lí động năng: ∆Eđ = Angoại lực = A N + A p + Ah

Vì tr ọng lực và phản lực vuông góc vớ i đườ ng đi nên:

A p = A N = 0. Do đó, công của lực hãm là:

Ah = Eđ2 – Eđ1 = – 4.10 5

J.

§ 4.5 THẾ NĂNG

1 – Định ngh ĩ a thế năng:

Ta biết, công của tr ườ ng lực thế không phụ thuộc vào đườ ng đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của đườ ng đi. Để đặc tr ưng cho tính chất thế của tr ườ ng lực, ta dùng hàm vô hướ ng Et(x,y,z) mô tả vị trí các điểm trong tr ườ ng lực,

sao cho hiệu hai giá tr ị của hàm tại hai điểm M, N bất kì bằng công của lực thế thựchiện giữa hai điểm đó. Hàm Et(x,y,z) có tính chất như vậy đượ c gọi là hàm thế , hay thế năng của tr ườ ng lực thế đó.

Vậy, Thế năng của chấ t đ iể m trong tr ườ ng l ự c thế là hàm phụ thuộc vào vị trí

của chấ t đ iể m, sao cho hiệu các giá tr ị của hàm t ại hai đ iể m M, N chính bằ ng công

của l ự c thế đ ã thự c hiện trong quá trình chấ t đ iể m di chuyể n t ừ M đế n N.

)r (E→

Et (M) – Et (N) = AMN (4.31)

Trong hệ SI, thế năng có đơ n vị là jun (J).Vớ i khái niệm (4.31), ta thấy có r ất nhiều hàm thế, các hàm này sai khác nhau

một hằng số cộng C. Do đó, thế năng của vật không xác định đơ n giá mà sai khácnhau một hằng số cộng. Tuy nhiên, hiệu thế năng tại hai điểm luôn xác định đơ n giá.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng (Et( ∞ ) = 0) thì thế năng tại điểm M sẽ xác

định đơ n giá và có biểu thức tính: (4.32)→∞ →

∞ ∫== sdFA)M(E

)M(Mt

Tổng quát, thế năng tại điểm M(x,y,z) trong tr ườ ng lực thế có biểu thức tính:

(4.33)Cr dFsdF)M(E t +−=−= →→→→

∫∫

vớ i C hà hằng số, phụ thuộc vào điểm chọn gốc thế năng.

Ví dụ 4.8: Một tr ườ ng lực hút xuyên tâm mà độ lớ n của lực tỉ lệ nghịch vớ i bình phươ ng khoảng cách từ điểm khảo sát đến tâm tr ườ ng. Tìm thế năng của tr ườ ng lựcnày trong hai tr ườ ng hợ p: a) chọn gốc thế năng ở vô cùng; b) chọn gốc thế năng tạiđiểm Mo cách tâm tr ườ ng một khoảng r o.

Giải

Theo bài, ta có:r

r

r

k F

2

→→

−= , vớ i k là hệ số tỉ lệ, k > 0. Dấu “–“ biểu diễn lực hút.

a) Chọn gốc thế năng ở vô cùng, theo (4.31) thì thế năng tại điểm M cách tâm tr ườ ngmột khoảng r là:

∫ ∫∫∫∞ ∞→→

→∞ →→∞ →

−=−=−===r r

23r r

t r

k

r

dr k

r

r dr k r dFsdFE

b) Theo (4.32), ta có: Cr

k C

r

dr k Cr dF)M(E

2t +−=+=+−= ∫∫ →→

vì

00

0t

r

k C0C

r

k 0)M(E =⇔=+−⇔= . Vậy:

r

k

r

k )M(E

0

t −=

2 – Quan hệ giữ a thế năng và lự c thế:

So sánh (4.31) và (4.2) ta có mối quan hệ giữa thế năng và lực thế ở dạng tích

phân: (4.34)) N(E)M(EsdF tt

MN

−=∫ →→

Vế trái (4.34) đượ c gọi là lưu thông của vectơ lực từ điểm M đến N doc theo mộtđườ ng cong bất kì nào đó; còn vế phải là hiệu thế năng tại M, N.

Vậy: Lư u thông của l ự c thế d ọc theo một đườ ng cong bấ t kì t ừ đ iể m M đế n N bằ nghiệu thế năng giữ a hai đ iể m đ ó. Lư u thông của l ự c thế d ọc theo một đườ ng cong kín

bấ t kì thì bằ ng không: 0sdF)C(

=∫ →→

(4.35)

Các công thức (4.34) và (4.35) biểu diễn tính chất thế của tr ườ ng lực ở dạngtích phân. Ở dạng vi phân, ta có: A12 = Et1 – Et2 = - ∆Et hay dA = - dEt

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Mà: dA = = F→→→→

= r dFsdF xdx + Fydy + Fzdz;

Et = Et(x,y,z) và vi phân cùa hàm thế : t t tt

E E EdE .dx .dy .dz

x y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

Nên: Fxdx + Fydy + Fzdz = ( )dz.z

Edy.

y

Edx.

x

E ttt

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

Suy ra:z

EF;

y

EF;

x

EF t

zt

yt

x ∂

∂−=

∂

∂−=

∂

∂−= (4.36)

Trong giải tích vectơ , ngườ i ta xây dựng một vectơ grad dẫn xuất từ một hàm vô

hướ ng – gọi là gradien:→→→

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= k .

z

E j.

y

Ei.

x

E)E(grad ttt

t (4.37)

Do đó (4.36) đượ c viết là: (4.38))E(gradF t−=→

(4.36) và (4.38) là mối quan hệ giữa lực thế và thế năng E→

F t ở dạng vi phân. Vì

gradEt là vectơ luôn hướ ng theo chiều tăng của hàm thế nên l ự c thế luôn hướ ng

theo chiề u giảm của hàm thế .

→

F

Tr ườ ng hợ p riêng, thế năng chỉ là hàm một biến, ví dụ )x(EE tt = , thì ta có:

dx

)x(dEF t−= (4.38a)

Ví dụ 4.9: Thế năng của một hạt trong tr ườ ng lực thế có dạng:r

b

r

aE

2t −= , vớ i a, b

là những hằng số và r là khoảng cách từ hạt đến tâm tr ườ ng. Hãy xác định giá tr ị r o ứng vớ i vị trí cân bằng của hạt; vị trí cân bằng đó có bền không?

Giải

(4.38a) suy ra lực thế là:23

t

r

b

r

a2

dr

dEF −=−= .

Tại vị trí cân bằng: F = 0 ⇒ r o = b

a2r =

Ta có bảng biến thiên của thế năng (hình 4.5).

CT

– +0

∞0 ro

tE

t'E

r

Hình 4. 5

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Từ bảng biến thiên ta thấy, ứng vớ i giá tr ị r o thì thế năng đạt cực tiểu. Vậy vị trí cân bằng này là bề n.

3 – Thế năng của lự c đàn hồi:So sánh (4.31) và (4.7) suy ra, thế năng của lực đàn hồi là:

Et =2

1kx2 + C (4.39)

Trong đó x là độ biến dạng của lò xo, đơ n vị đo là mét (m) ; k là độ cứng (hay hệ số đàn hồi) của lò xo, đơ n vị đo là (N/m).

Nếu chọn gốc thế năng tại vị trí mà lò xo không biến dạng thì ta có:

Et = 21 kx2 (4.40)

4 – Thế năng của lự c hấp dẫn:

So sánh (4.31) và (4.8) suy ra, thế năng của lực hấ p dẫn là:

Cr

mmG)r (E 21

t +−= (4.41)

Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng thì:

r

mmG)r (E 21

t −= (4.42)

5 – Thế năng của trọng lự c:

Tươ ng tự, thế năng của tr ọng lực ở gần mặt đất là:

Et = mgh + C (4.43)

vớ i h là độ cao của vật so vớ i mặt đất.

Nếu chọn gốc thế năng tại mặt đất thì: Et = mgh (4.44)

§ 4.6 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNGTRONG TR ƯỜ NG LỰ C THẾ

1 – Cơ năng – định luật bảo toàn cơ năng:

Trong tr ườ ng lực thế, ta gọi cơ năng của vật là tổng động năng và thế năngcủa nó: E = Eđ + Et (4.45)

Từ các công thức (4.30) và (4.31), ta có: A12 = Eđ2 – Eđ1 ; A12 = Et1 – Et2

Suy ra : Eđ2 – Eđ1 = Et1 – Et2 hay Eđ2 + Et2 = Eđ1 + Et1 ngh ĩ a là E2 = E1

Vậy : E = Eđ + Et = const (4.46)Định luật bảo tòan cơ năng: “ Khi chấ t đ iể m chuyể n động chỉ d ướ i tác d ụng của l ự cthế thì cơ năng của nó đượ c bảo toàn”.

Tr ườ ng hợ p riêng, khi vật chuyển động chỉ dướ i tác dụng của tr ọng tr ườ ng

đều thì: constmghmv2

1E 2 =+= (4.47)

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hệ quả: Trong quá trình chuyển động, nếu động năng tăng thì thế năng giảm vàngượ c lại; Nếu động năng đạt cực đại thì thế năng đạt cực tiểu và ngượ c lại.

Ví dụ 4.10: Một vật nhỏ khối lượ ng 100g r ơ i từ độ cao h = 50cm xuống đầu một lò xonhẹ, thẳng đứng, có hệ số đàn hồi k = 80N/m (hình 4.6). Tính độ nén tối đa của lò xo.

Giải

Bỏ qua ma sát thì trong quá trình chuyển động của vật chỉ có tr ọng lực và lựcđàn hồi tác dụng. Hai lực này đều là lực thế, nên cơ năng của vật không đổi trong suốtquá trình chuyển động.

Gọi x là độ nén tối đa của lò xo, h là độ cao ban đầu của vật so vớ i đầu lò xolúc chưa biến dạng. Chọn gốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng, gốcthế năng tr ọng lực tại vị trí lò xo nén tối đa.

Cơ năng ban đầu của vật chính là thế năng của tr ọng lực: E = mg(h+x);

Cơ năng lúc sau (khi nén tối đa) chính là thế năng của lò xo: E’ = ½ kx2

Vì cơ năng bảo toàn nên: mg(h + x) = ½ kx2

k

m

Hình 4.6

h

x

Thay số ta có: 0,1.10 (0,5 + x) = ½ .80x2

Suy ra: 0,5 + x = 40x2 hay: x = 0,125m = 12,5cm

Vậy độ nén tối đa của lò xo là 12,5cm.

Chú ý: Nếu vật chuyển động trong tr ườ ng lực thế nhưng còn

chịu tác dụng của một lực không phải lực thế thì cơ năngkhông bảo toàn. Khi đó độ biến thiên cơ năng của vật bằng công

của lực đó.

→

F

→

F

2 – Sơ đồ thế năng:

Tổng quát, thế năng Et là hàm theo ba biến tọa độ (x,y,z). Trong tr ườ ng hợ p thế năng chỉ phụ thuộc một biến (ví dụ biến x), ta có thể vẽ đượ c đồ thị của hàm thế Et theo tọa độ x. Đồ thị đó gọi là sơ đồ thế năng (hình 4.7).Khảo sát sơ đồ thế năng, ta có thể rút ra một số k ết luận định tính về chuyển động của

vật trong tr ườ ng lực thế đó.Giả sử đườ ng cong thế năng và cơ năng của vật có dạng như hình (4.7) và

trong quá trình chuyển động cơ năngcủa vật luôn có giá tr ị E xác định thì ta

có: constE)x(E2

mvt

2

==+

O

E

xxxDx

D

CBA

x

Et(x)

Mà ≥

2

mv2

0 nên E)x(E t ≤ (4.48)

Bất đẳng thức (4.48) chứng tỏ vật chỉ cóthể chuyển động trong phạm vi x, saocho: hoặc .BA xxx ≤≤ Cxx ≥

• Nếu: thì vật chuyển

động qua lại trong phạm vi hữu hạn.BA xxx ≤≤

Hình 4.7: S ơ đồ thế năng

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Tại các vị trí A, B động năng của vật bằng không: vật đổi chiều chuyển động; tạivị tí D, thế năng cực tiểu nên động năng của vật lớ n nhất. D chính là vị trí cân bằng bền của vật.

• Nếu: thì vật có thể chuyển động ra xa vô cùng.Cxx ≥

§ 4.7 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠ NG PHÁP NĂNG LƯỢ NG

Dự a vào các phươ ng trình động l ự c học, ta sẽ giải đượ c các bài toán về chuyể n động của chấ t đ iể m, hệ chấ t đ iể m hay vật r ắ n – đ ó là phươ ng pháp động l ự chọc. M ột phươ ng pháp khác cũng có thể giải đượ c các bài toán trên đ ó là vận d ụng

định luật bảo toàn cơ năng, bảo toàn năng l ượ ng hay định lí động năng. Phươ ng phápnày đượ c g ọi là phươ ng pháp năng l ượ ng. M ỗ i phươ ng pháp có một ư u đ iể m riêng.

Tùy tr ườ ng hợ p, ta có thể vận d ụng linh họat để bài giải tr ở nên đơ n giản.

1 – Điều kiện áp dụng các định luật cho bài toán:

- Định lí động năng áp dụng trong mọi tr ườ ng hợ p.

- Định luật bảo toàn cơ năng chỉ đượ c áp dụng khi vật chuyển động trongtr ườ ng lực thế (tr ọng lực, lực đàn hồi) mà không có ngoại lực nào khác.

- Khi có ma sát hoặc các lực không thế, ta dùng định luật bảo toàn nănglượ ng: độ bế n thiên cơ năng bằ ng t ổ ng công của các l ự c không thế .

2 – Các ví dụ:

Ví dụ 4.11: Hai vật có khối lượ ng m1, m2 buộc vào hai đầu sợ i dây, vắt qua ròng r ọckhối lượ ng mo, bán kính R. Bỏ qua khối lượ ngdây và ròng r ọc. Coi dây không giãn. Bằng phươ ng pháp dùng định lí động năng, hãy tính

gia tốc của các vật. Biết mômen cản tr ở chuyển động quay ở tr ục ròng r ọc có độ lớ nlà Mc. Từ k ết quả đó, suy ra điều kiện của m1 để nó chuyển động đi xuống; đi lên.

m1

m2

h1 h2h’1

Áp dụng số: m1 = 6kg; m2 = 3kg; mo = 2kg;Mc = 0,2Nm; R = 10cm;

Giảih’2Động năng ban đầu của hệ bằng không vì lúc

đầu hệ đứng yên. Vì dây không bị tr ượ t nênlúc sau vật m1 và m2 có cùng vận tốc v = ωR bằng vận tốc dài ở mép ròng r ọc. Do đó độngnăng của hệ lúc sau chính là tổng động năngtịnh tiến của hai vật và động năng quay của

ròng r ọc: 2221 I

2

1v)mm(

2

1E ω++=ñ

Hình 4.8

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Vớ i mômen quán tính của ròng r ọc là: 2oR m

2

1I =

⇒ 2

o

2

21

)R (m4

1v)mm(

2

1E ω++=

ñ

2

o

2

21

vm4

1v)mm(

2

1++ =

⇒ 2o21 v)m

2

1mm(

2

1E ++=ñ

Khi ờ ng s t

vật m1 đi xuống một đọan đư hì vật m2 đi lên một đoạn s, ta có:

s = h1 – h1’ = – ( h2 – h2’)

2 – h2’) = (m1 – m2)gs.

uyển động quay của ròng r ọc, nên công củalực cản y. Do dây không tr ượ t trên

Trong quá trình đó, công của tr ọng lực là:

AP = m1g(h1 – h1’) + m2g(h

Mặt khác, lực cản tạo ra mômen cản tr ở chlà: Ac = – Mc.θ , vớ i θ là góc mà ròng r ọc đã qua

rãnh ròng r ọc, nên θ = s/R. Do đó: Ac = –R

s.M c

Theo định lí động năng: cP AAAE +==∆ löïcngoaïiñ

R

sMgs)mm(v)m

2mm(

2 o21 ++⇔ 11

c212 −−=

Gọi a là gia tốc của các vật thì v2 – v02 = 2as, v0 = 0

Suy ra: 1 2 o 1 22 2 c

1 1 s(m m m )2as (m m )gs M

R + + = − −

c1 2

1 2 o

M(m m )g

R a1

m m m2

− −⇔ =

+ + (*) Thay số ta có: a 2

0,2(6 3).10

0,1 2,8m/s1

6 3 .22

− −= =

+ +

Vật m1 đi xuống khi và chỉ khi . Từ (*) suy ra:a 0≥ c1 2

Mm mgR

≥ +

Vật m1 đi lên khi và chỉ khi m ống. Hoán vị m2 đi xu 1 và m2 trong công thức (*), ta

cũng có điều kiện: c2 1

Mm m≥ + hay

gR c

1 2

Mm m

gR

Ví dụ 4.12: Một qu h R = 10cmnghiêng xuống châ ban đầ

≤ −

ả cầu đặc, bán kín , lăn không tr ượ t từ đỉnh mặt phẳngn dốc. Độ cao u của khối tâm so vớ i chân mặt nghiêng là

9). Tính vận tốc của quả cầu ở cuối chân dốc, bỏ qua ma sát cản lăn.

ốc. Cơ năng ban đầu c ế năng của quả cầu Et = mgh. Cơ nănglúc sau gồm động năng tịnh tiến của khố mv2 , động năng quay quanh khối tâm

h = 1,85m (hình 4.Lấy g = 10m/s2.

Giải

Vì bỏ qua ma sát cản lăn nên cơ năng đượ c bảo toàn. Chọn gốc thế năng ở mặt phẳngngang qua chân d hỉ là th

i tâm ½

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




½ Iω2 và thế năng mgR của quả cầu (vì khối tâm vẫn cách chân mặt nghiêng mộtkhoảng R). Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có: mgh = ½ mv2 + ½ Iω2 + mgR

Vớ i

→

vR α

h

Hình 4.9

2222 v10

7)R (

5

2.

2

1v

2

1)R h(gmR

5

2I =ω+=−⇒=

Suy ra: s/m5)1,085,1(10.

7

10)R h(g

7

10v =−=−=

Vậy vận tốc của quả cầu ở chân dốc là 5m/s.

Ví dụ 4.13: Ngườ i ta kéo một vật khối

ng tại mặt ngang quachân dốc, giả s đi đượ c quãng

F + Ams

F.s – µmgcosα.s

h

α

Hình 4.10

→

Flượ ng m = 10kg bắt đầu tr ượ t lên mặto phẳng nghiêng, có góc nghiêng α = 30

bở i lực kéo F = 30N (hình 4.10). Hệ số ma sát giữa vật và mặt nghiêng là µ =0,2. Tính gia tốc của vật bằng cách vận

dụng định luật bảo toàn năng lượ ng.Lấy g = 10m/s2.

Giải

Chọn gốc thế năử vật

đườ ng s, ta có độ biến thiên cơ năng bằng tổng công của lực kéo và lực masát (các lực không phải lực thế): ∆Eđ = A

Hay: ½ mv = F.s – F2ms .s ⇒ ½ m.2as =

20 s/m26,130cos.10.2,010

cogm

a =−=αµ−=30F

s .Suy ra:WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§ 4.8 VA CHẠM

1 – Khái niệm về va chạm:Khi hai vật tiến lại gần nhau (không nhất thiết phải đụng vào nhau), tươ ng tácvớ i nhau bằng các lực r ất mạnh, trong khoảng thờ i gian r ất ngắn, r ồi tách xa nhau hoặcdính vào nhau cùng chuyển động, thì ta gọi đó là va chạm. Nếu xét vật nhỏ thì, mặc dùthờ i gian tươ ng tác r ất ngắn, nhưng lực tươ ng tác r ất lớ n nên xung lượ ng của lựctươ ng tác là đáng k ể, nên động lượ ng của vật đó thay đổi đáng k ể. Tuy nhiên, nếu xéthệ hai vật thì lực tươ ng tác giữa chúng khi va chạm chỉ là nội lực.

Vậy: va chạm giữ a hai vật là hiện t ượ ng hai vật t ươ ng tác vớ i nhau trong một khoảng

thờ i gian r ấ t ng ắ n như ng động l ượ ng và vận t ố c của ít nhấ t một vật biế n thiên đ áng

k ể . Trong cơ học, ta chỉ nghiên cứu sự va chạm có tiế p xúc giữa hai vật, nhưng

trong vật lí hạt nhân, ngườ i ta còn nghiên cứu cả sự va chạm không có tiế p xúc giữacác hạt mang điện cùng dấu.

2 – Phân loại va chạm:

Trong quá trình va chạm, các vật sẽ truyền năng lượ ng, động lượ ng cho nhauđể thay đổi vận tốc hoặc hình dạng. Nếu sau va chạm mà hình d ạng và tr ạng thái bên

trong của các vật không thay đổ i, thì ta g ọi đ ó là va chạm đ àn hồi. Trái l ại là va chạm

không đ àn hồi.Khi hai vật va chạm có tiế p xúc, tại thờ i điểm chúng tiế p xúc nhau, sẽ tồn tại

một mặt phẳng tiế p xúc vớ i cả hai vật. Mặt phẳng này đượ c gọi là mặt phẳ ng va chạm và pháp tuyến của mặt phẳng này tại điểm tiế p xúc đượ c gọi là pháp tuyế n va chạm.

Nếu khối tâm và vectơ vận tốc của hai vật tr ướ c va chạm đều nằm trên pháptuyến va chạm thì ta gọi đó là va chạm tr ự c diện hay chính diện hoặc xuyên tâm. Tráilại, ta có va chạm xiên. Các va chạm này cũng chỉ là đàn hồi hoặc không đàn hồi màthôi.

Nếu sau va chạm, hai vật dính vào nhau (ngh ĩ a là vận tốc tươ ng đối giữachúng triệt tiêu) thì ta gọi đó là va chạm mề m (hay hoàn toàn không đàn hồi).

Giữa va chạm mềm và va chạm đàn hồi có vô số các tr ườ ng hợ p trung gian.Trong các bài toán đơ n giản, ta chỉ khảo sát hai tr ườ ng hợ p giớ i hạn, gọi tắt là va chạmđàn hồi và va chạm mềm.

→

1v

→

'v1

m1

m2

3 – Các định luật bảo toàn trong va chạm:

Đối vớ i các va chạm, thờ i gian tươ ng tác làr ất ngắn, hơ n nữa, nội lực tươ ng tác là r ất mạnh, vì

thế hệ đượ c coi là kín, nên động l ượ ng của hệ đượ cbảo toàn.

Riêng đối vớ i va chạm đ àn hồi, sau vachạm, hình dạng và tr ạng thái bên trong của các vậtkhông thay đổi nên không có sự chuyển hoá cơ năng thành các dạng năng lượ ng khác, do đó cơ năng đượ c bảo toàn. Trong va chạm đàn hồi, thế

Hình 4.11: Quả bóng đậ pvào t ườ ng r ồi nả y ra.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




năng của các vật không đổi tr ướ c và sau va chạm, nên động năng của hệ đượ c bảotoàn (tr ườ ng hợ p này va chạm còn đượ c gọi là hoàn toàn đ àn hồi).

4 – Khảo sát va chạm đàn hồi:

Xét hai vật khối lượ ng m1 và m2 , chuyển động vớ i vận tốc đến va

chạm đàn hồi vớ i nhau. Gọi là vận tốc tươ ng ứng của chúng sau va chạm.

Áp dụng định luật bảo toàn động lượ ng và bảo toàn động năng, ta có:

→→

2vvaø1v

21'v→→

v'vaø

(4.49)22112211 'vm'vmvmvm→→→→

+=+

222211222211 'vm2

1'vm2

1vm2

1vm +=+2

1 (4.50)

a) Tr ườ ng hợ p m1 >> m2 và v1 = 0:

→

1v m2

→

2'v (4.49) ⇒ 0)'vv(

m

m'v 22

1

21 ≈−=

→→→

;

(4.50) ⇒ v’2 = v2 m1 Ngh ĩ a là sau va chạm vật m1 hầu như

không chuyển động, còn vật m2 chuyểnđộng vớ i độ lớ n vận tốc như cũ. Trênthực tế, đây chính là tr ườ ng hợ p qủa bóng đậ p vào tườ ng r ồi nẩy ra; hay hòn bi-da đậ p vào băng r ồi bắn ra vớ i vậntốc có độ lớ n như cũ.

→

1'v

Hình 4.12 : Sau va chạm, 2 vật chuyể nđộng theo 2 hướ ng vuông góc nhau.b) Tr ườ ng hợ p m1 = m2 và v1 = 0:

Từ (4.49) và (4.50), ta có:

2122

21

22

212 'v'v'v'vv'v'vv →→

→→→

⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫

+=+=

Vậy: sau va chạm, hai vật chuyển động theo hai hướ ng vuông góc nhau.

c) Tr ườ ng hợ p va chạm chính di ện:

Tr ướ c và sau va chạm, vectơ vận tốc của các vật đều nằm trên pháp tuyến vachạm. Vì thế (4.49) và (4.50) đượ c viết thành phươ ng trình đại số:

m1v1 + m2v2 = m1v’1 + m2v’2

m1v12 + m2v22 = m1v’12 + m2v’22m2

m1→

2v →

1v Giải 2 phươ ng trình trên, ta đượ c:

21

121221 mm

v)mm(vm2'v

+

−+= (4.51)

Hình 4.13: Va chạm tr ự c diện.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




21

212112 mm

v)mm(vm2'v

+

−+= (4.52)

trong đó v1, v2 , v’1 và v’2 là các hình chiếu của các vectơ vận tốc lên pháp tuyến va

chạm. Nó có giá tr ị dươ ng hay âm là tùy theo vectơ vận tốc tươ ng ứng cùng chiều hayngượ c chiều dươ ng mà ta chọn.

Đặc biệt:

• Nếu m1 = m2 thì v’1 = v2 và v’2 = v1 : các vật trao đổi vận tốc cho nhau. Suy ra,nếu ban đầu vật m1 đứng yên thì sau va chạm, vật m2 sẽ truyền hết vận tốc củamình cho m1 r ồi nó đứng yên.

• Nếu m1 >> m2 và v1 = 0 thì v’1 ≈ 0 và v’2 ≈ - v2: vật m2 bật ngượ c lại theo phươ ngcũ vớ i vận tốc như tr ướ c.

• Nếu m1 >> m2 và v2 = 0 thì v’1 ≈ v1 và v’2 = 2v1 : vật m1 hầu như không thay đổivận tốc, còn vật m2 thu đượ c vận tốc lớ n gấ p 2 lần vận tốc cũ của m1.

5 – Khảo sát va chạm mềm:

Xét tr ườ ng hợ p đặc biệt: vật m1 chuyển động vớ i vận tốc v1 đến va chạm vớ ivật m2 đang đứng yên. Sau va chạm, hai vật dính vào nhau, cùng chuyển động vớ i vậntốc v.

Theo định luật bảo toàn động lượ ng, ta có:

→→→→

+=⇒+= 121

2111 vmm

mvv)mm(vm (4.53)

Động năng lúc đầu của hệ: Eđ =2

1 m1v1

2

Động năng lúc sau của hệ:

E’đ =2

1 (m1 + m2 )v

2 = ññ EEmm

mv

mm

m

2

1

21

121

21

21 <

+=

+

Suy ra, phần cơ năng đã chuyển hoá thành dạng năng lượ ng khác là:

∆U = Eđ – E’đ = 2

1 2

mE

m m ñ+ (4.54)

Biểu thức (4.54) có ý ngh ĩ a thực tế:

• Khi đóng đinh, hay đóng cọc, ta cần động năng sau của đinh, cọc lớ n và đồng thờ iđinh, cọc không bị biến dạng (∆U nhỏ), muốn vậy, ta phải dùng búa có khối lượ ngm1 lớ n.

• Ngượ c lại, khi rèn một vật, hay tán đinh ốc, ta cần làm biến dạng vật, ngh ĩ a là cần∆U lớ n; muốn vậy, phải dùng búa nhẹ và kê vật cần tán, rèn lên đe nặng.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§ 4.9 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TR ƯỜ NG HẤP DẪN

1 – Chuyển động của vệ tinh quanh Trái Đất:

Nếu vệ tinh chuyển động trên qũi đạo tròn quanh Trái Đất thì lực hấ p dẫn củaTrái Đất đóng vai trò là lực hướ ng tâm. Gọi v là vận tốc dài của vệ tinh trên qũi đạo vàh là độ cao của vệ tinh so vớ i mặt đất, ta có: F = maht

hayhR

vm

)hR (

MmG

2

2 +=

+ Suy ra: v =

hR

MG

+ (4.55)

Ở qu ĩ đạo gần mặt đất, ta có: vI = s/km8gR R MG ≈= (4.56)

Vậy: Muốn phóng một vệ tinh nhân tạo quanh Trái Đất, ta phải cung cấ p cho nó mộtvận tốc đầu vI = 8 km/s. Giá tr ị đó đượ c gọi là vận tốc vũ tr ụ cấ p I. Vớ i vận tốc này, vệ tinh sẽ chuyển động trên qũi đạo tròn quanh Trái Đất (ở độ cao không lớ n lắm) vớ i

chu k ỳ: T = '301g

R 2

gR

R 2

v

)hR (2 h≈π=π

≈+π

(4.57)

Muốn cho vệ tinh chuyểnđộng trên qũi đạo xa hơ n, ta phải phóng nó vớ i vận tốcv > vI khi đó, qũi đạo của vệ tinh là elíp mà Trái Đất là mộttrong hai tiêu điểm. Elíp nàycàng dẹt khi vận tốc v cànglớ n. Nếu vận tốc v đủ lớ n, vậtcó khả năng thoát ra khỏi sức

hút của Trái Đất và đi đến MặtTr ăng hoặc các hành tinh kháctrong hệ Mặt Tr ờ i. Giá tr ị vnhỏ nhất để vật thoát khỏi sứchút của Trái Đất đượ c gọi làvận tốc vũ tr ụ cấ p II.

vI < vo < vII

TĐ

→

ov vII

vI

Hình 4.14: V ận t ố c của các vệ tinh trên qũi đạoĐể tính vII, ta áp dụng

định luật bảo toàn cơ năngtrong tr ườ ng hấ p dẫn của Trái Đất:

0mv21MmGmv

21

R MmGmv

21 222

o ≥=∞

−=− ∞∞

gR 2vgR 2R

MG2v o

2o ≥⇒=≥ (4.58)

Vậy, vận tốc vũ tr ụ cấ p II là: == gR 2v II 11 km/s. (4.59)

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Tươ ng tự, nếu vận tốc phóng tầu vũ tr ụ đủ lớ n, nó có thể đi khỏi hệ Mặt Tr ờ i.Vận tốc nhỏ nhất để nó thoát khỏi sức hút của Mặt Tr ờ i đượ c gọi là vận tốc vũ tr ụ cấ pIII. Các k ết qủa tính toán cho thấy: vIII = 17 km/s.

2 – Chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái đất – Hiện tượ ng thủy triều:Mặt Tr ăng ở cách Trái đất cỡ 3,8.105 km và quay quanh Trái Đất vớ i chu k ỳ

bằng một tháng âm lịch. Mà Trái Đất lại quay quanh Mặt Tr ờ i, nên khi Mặt Tr ờ i, TráiĐất và Mặt Tr ăng nằm thẳng hàng thì có hiện tượ ng nhật thực hoặc nguyệt thực. Ngoài ra, do ảnh hưở ng của lực hấ p dẫn từ Mặt Tr ăng nên trên Trái Đất có hiện tượ ngthủy triều. Vậy tại sao trong một ngày lại có 2 lần con nướ c lên, xuống? Để tr ả lờ i câuhỏi này, ta khảo sát như sau:

Do lực hấ p dẫn của Mặt Tr ăng nên phần đất và phần nướ c trên Trái Đất đều

thu gia tốc. Xét ở thờ i điểm t bất kì, gọi là gia tốc của phần đất, là gia tốc của

nướ c ở phần (1) và là gia tốc của nướ c ở phần (2) so vớ i Mặt Tr ăng (hình 4.15). Dễ

thấy, các vectơ gia tốc này đều hướ ng về phía Mặt Tr ăng và a

→a→

1a→

2a

1 > a > a2. Để biết đượ ccon nướ c lên xuống như thế nào, ta cần tính gia tốc tươ ng đối của nướ c ở vùng (1) và(2) so vớ i Trái Đất. Áp dụng công thức cộng gia tốc (2.69), ta có:

ñaátaêng/ traêngnöôùc/ öôùc/ñaát tr n aaa→→→

+= traêngñaá t/ traêngnöôùc/ a→→

−= a (4.60)

* Đối vớ i nướ c ở vùng (1), (4.60) có dạng ⇒ a→→→ −= aaa 1r r = a1 – a > 0

Điều này chứng tỏ hướ ng về phiáMặt Tr ăng. Suy ra nướ c ở vùng (1) bị dâng lên.

r a→

* Đối vớ i nướ c ở vùng (2), tươ ng tự, ta

cũng có: a r

→→→

−= aa 2

Định luật 2: Bán kính vect ơ vạch t ừ mặt tr ờ i đế n các hành tinh quét đượ c nhữ ng diện

tích bằ ng nhau trong nhữ ng khoảng thờ i gian bằ ng nhau bấ t kì.

(2) (1) TĐTr ăng

Hình 4.15: Nguyên nhân chính của Thủ ytriề u là do l ự c hấ p d ẫ n của M ặt Ttr ăng Suy ra: ar = a2 – a < 0 Ngh ĩ a là vectơ

hướ ng xa Mặt Tr ăng. Vậy nướ c ở vùng (2) cũng bị dâng lên.

r a→

Do Trái Đất tự quay quanh tr ục của nó vớ i chu k ỳ 24 giờ nên trong một ngàysẽ có 2 lần con nướ c lên xuống. Tuy nhiên, trên thực tế, thủy triều còn tùy thuộc r ấtnhiều vào điạ hình nên có nơ i thủy triều lên xuống ngày chỉ có một lần.

3/ Các định luật Kepler:

Trên cơ sở các số liệu suốt 30 năm quan sát của nhà thiên văn TychoBrahe,Kepler (1571 – 1630) đã rút ra các qui luật chuyển động của các hành tinh quanh mặttr ờ i. Các qui luật đó đượ c gọi là các định luật Kepler:

Định luật 1: Các hành tinh chuyể n động quanh mặt tr ờ i theo các qũi đạo là elip mà

mặt tr ờ i là một trong hai tiêu đ iể m.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Như vậy, khi ở gần mặt tr ờ i, hành tinh sẽ chuyển động nhanh hơ n khi ở xa.

Định luật 3: Bình phươ ng chu k ỳ quay (quanh mặt tr ờ i) của các hành tinh t ỉ l ệ vớ i l ậ p

phươ ng bán tr ục l ớ n qũi đạo: 32

2 4π r .GM

T = (4.61)

Các định luật Kepler ớ i các vệ tinh uyển độhành tinh.

cũng đúng đối v ch ng quanh các

h luật vạn vật hấ p dẫn và định luật II của ông mà thôi.

4.1 Để đưa một bao xim ườ i công nhân dùng3 cách sau: a) Đứn c cố định gắn trên cao

4.2

j4i (N).

lực trên đoạn đườ ng đó.

4.4 ực = (2x; 3) tác dụng lên một chất điểm làm nó dịchn N(–4; –3) (các đơ n vị đo trong hệ SI) .

n

4.6 1 tấn lên cao 10m trong thờ i

4.7 00m nướ c. Lợ i dụng

iện vớ i công suất bao nhiêu? Biết hiệu suất

Sau này Newton (1642 – 1720) đã chứng minh các định luật Kepler chỉ là hệ qủa của địn

CÂU HỎI VÀ BÀI TÂP CHƯƠ NG 4

ăng 50kg từ dướ i đất lên lầu cao 20m, ngg trên cao kéo tr ực tiế p; b) Dùng ròng r ọ

và đứng đướ i đất kéo; c) Dùng một ròng r ọc cố định và một ròng r ọc động vàđứng ở dướ i kéo. Trong cả 3 tr ườ ng hợ p đó, bao xi măng luôn chuyển động đều;giả sử bỏ qua ma sát, khối lượ ng dây và ròng r ọc. Hãy tính công mà ngườ i côngnhân thực hiện, rút ra nhận xét từ các k ết quả đó.

Một lực F = F0(x/x0 – 1) theo phươ ng Ox, tác dụng vào một vật làm nó di chuyểntừ vị trí x = 0 đến x = 2x0. Tính công của lực F.

4.3 Một hạt chuyển động từ vị trí (1) có vectơ bán kính→→→

+= j2ir (m) đến vị trí1

(2) có −= j3i2r 2 (m) dướ i tác dụng của lực = 3F Tính công của

Tìm công thực hiện bở i l→

chuyển từ điểm M(2; 3) đế

→→→ →→→

+

F

4.5 Vật khối lượ ng 10kg chuyể động

theo tr ục Ox dướ i tác dụng của lực biến đổi theo vị trí như đồ thị hình4.16. Tính công của lực khi vật dichuyển từ gốc tọa độ đến vị trí x =8m.

Một cần tr ục nâng đều một vật khốilượ nggian 30s. Tính công suất của độngcơ cần tr ục, biết hiệu suất của động

cơ là 60%.Thác nướ c cao 30m, mỗi phút đổ xuống 180 3

thác nướ c này, có thể xây tr ạm thủy đcủa tr ạm là 40%.

0 2 4 6 8

- 5

Tọa độ x (m)

c ( N )

10

0 L ự

Hình 4.16WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




4.8

ấ p 3 lần, mở ga tối đa cũng chỉ tăng công suất động cơ lên 1,5 lần. Tính

4.10ác định:

.

nhiêu?

4.1

g lại trong 15 giây cần tốn một

4.13ất tức thờ i tại thờ i điểm 2 giây sau khi r ơ i.

a4.15

20kg.

4.16nén, piston lấy năng lượ ng ở đâu để nén

4.17 hối lượ ng 500kg đang đứng yên quay tớ i vận tốc 120vòng/phút.

Động cơ ôtô đạt công suất 120kW, vận tốc ôtô là 60km/h. Tính lực phát động củađộng cơ .

4.9 Xe môtô chạy trên đườ ng ngang vớ i vận tốc 60km/h. Đến quãng đườ ng dốc, lựccản tăng gvận tốc tốc tối đa trên đoạn đườ ng dốc.

Một vật nhỏ khối lượ ng m nằm yên trên mặt phẳng ngang tại O. Ngướ i tatruyền cho nó một vận tốc đầu vo. Hãy x

a) Công suất trung bình của lực ma sát trong suốt quá trình chuyển động của vật, biết hệ số ma sát µ = 0,27; m = 1kg và vo = 1,5m/s

b) Nếu hệ số ma sát tăng tỉ lệ thuận theo quãng đườ ng vớ i hệ số tỉ lệ k thì côngsuất tức thờ i của lực ma sát có độ lớ n cực đại là bao

1 Một động cơ ôtô sản sinh đượ c công suất 74,6 kW khi quay vớ i tốc độ 1800vòng/phút. Tính mômen quay mà nó tạo ra.

4.12 Một bánh xe khối lượ ng 32kg, chủ yếu là một vòng tròn bán kính 1,2m, quayvớ i vận tốc 280vòng/phút. Để hãm bánh xe dừncông, công suất bao nhiêu?

Một vật 2kg r ơ i tự do từ tr ạng thái nghỉ. Tính công suất trung bình của tronglực sau khi r ơ i đượ c 2 giây và công su

4.14 Một bánh xe bán kính 50cm, khối lượ ng m = 25kg phân bố đều chủ yếu ở vành bánh xe, quay quanh tr ục vớ i vận tốc góc ω = 2 vòng/giây. Tính động năng

củ bánh xe. Để hãm bánh xe dừng lại sau 2 giây, cần công suất bao nhiêu?Một ô tô có khối lượ ng tổng cộng là 1 tấn. Đang chuyển động vớ i vận tốc 72

km/h. Ô tô có 6 bánh xe (coi như hình tr ụ đặc), khối lượ ng mỗi bánh làTính động năng quay của mỗi bánh xe và động năng toàn phần của ôtô (bỏ quađộng năng quay của các bộ phận khác).

Các động cơ đốt trong phải có một kì nén khí và kì nổ khí mớ i sinh công cungcấ p năng lượ ng ra bên ngoài. Vậy ở kìkhí?

Tính công cần thiết để làm cho một vô lăng có dạng vành tròn, đườ ng kính1m, k

4.18 Động năng là một dạng năng lượ ng do chuyển động, vậy thế năng thuộc dạngnăng lượ ng nào?

4.19 Thế năng của một hạt trong tr ườ ng lực xuyên tâm có dạng:r

b

r

aU −= , vớ i

2

ờ ng. Hãy chhạ suy ra giá tr

4.20 định: a) Tr ườ ng lực này có

uy

a, b là những hằng số dươ ng, r là khoảng cách từ hạt đến tâm tr ư ỉ ra ở p m vi nào, lực thế tác dụng lên hạt là lực hút; lực đẩy. Từ đó ị lớ n

nhất của lực hút. Hãy vẽ đồ thị của U(r) và F(r).Thế năng của một tr ườ ng lực trong mặt phẳng Oxy có dạng: U = ax2 + by2,

vớ i a, b là các hằng số dươ ng khác nhau. Hãy xácx ên tâm không? b) Dạng của các mặt đẳng thế và các mặt mà trên đó F = const.c) Hỏi tươ ng tự câu a, b vớ i hàm thế : U = ax2 + by2 + cz2.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




4.21

b là nhữvectơ đơ n vị trên tr ụ y. Xét xem

nh c

4.2

ậố g suất trung đó và độ tăng thế

g nửa đoạn đườ ng u tiên của quá .

4.23a hệ hai phân tử

định tính đồ thị biễu diễn lực tươ ng tác F(r) giữa hai phân tử này.

i các điểm A, B, C?

4.2

ỏ

4.25ại A thì đổ

ố

vận tốc khi ch ủa một vật thả ầu vớ i M.

4.26ng chân mặt nghiêng. Ban

u

4.27ị chảy ra

ngoài, biết bán kính qũi đạo là R.

Có hai tr ườ ng lực dừng (khôngthay đổi theo thờ i gian):

O

Et(r)

a)→

= iayF b)→→→

+= j byiaxF , vớ i→

a, ng à các

các tr ườ ng lực đó có tí hất thế không?

2 Một vật đượ c nâng từ mặt đất lên

hằng số.→→

j,i l

c x, r

A

CHình 4.17

E

B

cao bở i lực F phụ thuộc độ cao ytheo qui lu

→→

−= gm)1ky(2F ,

vớ i k là hằng s dươ ng. Tính công, cônnăng của vật tron đầ

Thế năng tươ ng tác E

→

t:

bình của lựctrình đi lên

t giữa hai phân tử khí đượ c biểu diễn trên hình 4.17, vớ i rlà khoảng cách giữa hai tâm của chúng. Năng lượ ng toàn phần củlà E.

a) Chỉ ra phạm vi r mà tại đó hai phân tử hút nhau; đẩy nhau.

b) Vẽ

c) Trong các hàm số Et(r) và F(r) thì hàm số nào bằng không tạ

4 Một vật nhỏ A tr ượ t từ đỉnh một mặtdốc, nhẵn độ cao H, tiế p sau đó bay rakh i bức tườ ng thẳng đứng có độ cao hvà r ơ i xuống đất ở vị trí cách chân tườ ngmột đọan s (hình 4.18). Tìm h để s lớ nnhất, tính giá tr ị lớ n nhất đó.

Một thanh mảnh AB, dài , đangđứng thẳng trên mặt ngang txu ng. Tính vận tốc của điểm B khi nóchạm đất. Xác định điểm M trên thanhmà vận tốc của nó khi chạm đất đúng bằngr ơ i tự do từ một điểm có cùng độ cao ban đ

Một quả cầu đặc, một khối tr ụ đặc và một cái vòng có cùng khối lượ ng m và bán kính R, lăn từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng có xuố

H

s h

Hình 4

A

.18

ạm đất c

đầ , khối tâm của chúng đều cách mặt đất một đọan h. Bỏ qua mọi mômen cảnlăn. Tính tỉ số giữa động năng tịnh tiến và động năng quay của mỗi vật; vận tốctịnh tiến của mỗi vật tại chân dốc, Vật nào tớ i chân mặt nghiêng tr ướ c?

Một ngườ i xách một sô nướ c và quay sô nướ c chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng. Tính vận tốc góc tối thiểu để nướ c trong sô không bWW

D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




4.28 Một ngườ i tr ượ t tuyết trên một đườ ng dốc nghiêng 12% (cứ đi đượ c 100m thìđộ cao giảm 12m). Hệ số ma sát giữa bản tr ượ t vớ i mặt đườ ng là 0,04. Tính vậntốc của ngườ i đó sau khi đi đượ c 150m, biết vận tốc ban đầu bằng 5m/s và trong

4.29

4.30 rong thờ i gian 20

4.31 ủa vật

g vật

4.32 ên tâm vớ i một2 quả cầu dính

ối lượ ng các qủa cầu.

4.34c có khối lượ ng m2 = 3g

ộn ạt sau va

4.35 Một vật khối lượ ng m1 chuyển động đến va chạm đàn hồi xuyên tâm vớ i vậtên. Tính kh

ền 36% động năng ban đầu của mình cho m2 .

ao H xuống mặt sàn r ồi nảyn

quá trình tr ượ t, anh ta không dùng gậy đẩy xuống mặt đườ ng.

Một tr ạm thủy điện họat động nhờ thác nướ c cao 20m , lưu lượ ng 200m3/s .Công suất điện phát ra là 8MW. Tính hiệu suất của tr ạm thủy điện này.

Cần tr ục nâng một vật có khối lượ ng 1 tấn lên cao 10m tgiây. Tính công suất trung bình của đông cơ cần tr ục, biết hiệu suất là 80%.

Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Độ cứng của lò xo là k, khối lượ ng clà m. Chọn tr ục Ox thẳng đứng, hướ ng lên, gốc O tại vị trí cân bằng của con lắc.Khi không treo vật, đầu dướ i của lò xo cách vị trí cân bằng một đoạn xo. Nânlên tớ i vị trí có hoành độ xm r ồi thả ra.

a) Tính cơ năng của hệ tại vị trí ban đầu và vị trí có hoành độ x. b) Tính vận tốc của vật tại vị trí có hoành độ x.

Một qủa cầu chuyển động vớ i vận tốc v1 = 4 m/s va chạm xuyqủa cầu khác cùng khối lượ ng, đang đứng yên. Biết sau va chạmvào nhau và phần cơ năng mất mát là 12J. Tính kh

4.33 Bao cát đượ c treo bằng một sợ i dây. Một viên đạn bay vớ i vận tốc v theo phươ ng ngang đến cắm vào bao cát. Biết khối lượ ng bao cát là M, viên đạn là m.Tính độ cao h mà bao cát đượ c nâng lên.

Một hạt có khối lượ ng m1 = 1g đang chuyển động vớ i vận tốc→→→

−= j2i3v1

(m/s) đến va chạm mềm vớ i một hạt khá đang chuyển

đ g vớ i vận tốc += j6i3v2 (m/s). Xác định vectơ vận tốc của 2 h

chạm.

m

→→→

2 = 1kg đang đứng y ối lượ ng m1, biết trong quá trình va chạm đó, nóđã truy

4.36 Ta gọi hệ số va chạm k là tỉ số giữa các môdun vận tốc tươ ng đối của hai vậtsau và tr ướ c va chạm. Chứng minh r ằng vớ i va chạm hoàn toàn đàn hồi thì k = 1;va chạm mềm thì k = 0. Một quả cầu r ơ i tự do từ độ clê đến độ cao h. Tính tỉ số va chạm k. Nếu khối lượ ng quả cầu là m và thờ i gianva chạm là ∆t thì lực va chạm là bao nhiêu?

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chöông 5: THUYEÁT TÖÔNG ÑOÁI HEÏP 139

Chươ ng 5

THUYẾT TƯƠ NG ĐỐI HẸP EINSTEIN

Thuyế t t ươ ng đố i hẹ p Einstein là một môn cơ học t ổ ng quát, áp d ụng cho các

vật chuyể n động vớ i vận t ố c t ừ r ấ t bé cho đế n cỡ vận t ố c ánh sáng và coi cơ học

Newton như một tr ườ ng hợ p giớ i hạn của mình. Chươ ng này nghiên cứ u các tiên đề của thuyế t t ươ ng đố i hẹ p Einstein, phép biế n đổ i Lorentz cùng các hệ quả của nó và

động l ự c học t ươ ng đố i tính của chấ t đ iể m chuyể n động.

§5.1 CÁC TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠ NG ĐỐI HẸP EINSTEIN

Cơ học Newton đã đạt đượ c nhiều thành tựu to lớ n trong suốt hai thế k ỷ đếnnỗi nhiều nhà vật lý trong thế k ỷ 19 đã cho r ằng việc giải thích một hiện tượ ng vật lý bất k ỳ đều có thể thực hiện đượ c bằng cách đưa nó về một quá trình cơ học tuân theocác định luật Newton. Tuy nhiên vớ i sự phát triển của khoa học ngườ i ta đã phát hiệnra các hiện tượ ng mớ i không nằm trong phạm vi của cơ học cổ điển. Chẳng hạn, ngườ ita đã gặ p những vật chuyển động nhanh vớ i vận tốc vào cỡ vận tốc ánh sáng trongchân không (c = 3.108 m/s). Khi đó xuất hiện sự mâu thuẫn vớ i các quan điểm của cơ học Newton, cụ thể là không gian, thờ i gian và vật chất phụ thuộc vào chuyển động,

chứ không phải độc lậ p vớ i chuyển động như Newton quan niệm. Ngườ i ta nhận xétr ằng cơ học Newton chỉ đúng đối vớ i các vật chuyển động vớ i vận tốc nhỏ hơ n vận tốcánh sáng trong chân không r ất nhiều. Để mô tả sự chuyển động vớ i vận tốc so sánhđượ c vớ i vận tốc ánh sáng, Einstein đã xây dựng môn cơ học tươ ng đối tính, gọi làthuyết tươ ng đối hẹ p, vào năm 1905.

Sự đúng đắn của thuyết tươ ng đối hẹ p Einstein cho đến nay không cần bàn cãigì nữa vì nó đã đượ c thử thách qua vô số thí nghiệm trong suốt thế k ỷ qua. Hiện naynó tr ở thành tiêu chuẩn để đánh giá sự đúng đắn của mọi thí nghiệm vật lý. Nếu một

thí nghiệm nào đó mà k ết quả mâu thuẫn vớ i thuyết tươ ng đối hẹ p thì các nhà vật lýkhông đặt vấn đề nghi ngờ thuyết tươ ng đối mà mặc nhiên khẳng định r ằng trong thínghiệm đặt ra có cái gì đó chưa ổn.

Thuyết tươ ng đối hẹ p Einstein xây dựng trên hai nguyên lý là nguyên lý t ươ ng

đố i Einstein và nguyên lý bấ t biế n của vận t ố c ánh sáng . Hai nguyên lý đó phát biểunhư sau:

1. Nguyên lý tươ ng đối Einstein: M ọi định luật vật lý đề u như nhau trong

các hệ quy chiế u quán tính.

2. Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: V ận t ố c ánh sáng trongchân không đề u bằ ng nhau theo mọi phươ ng và đố i vớ i mọi hệ qui chiế u quán tính. Nó

có giá tr ị c = 3.108 m/s và là giá tr ị vận t ố c cự c đại trong t ự nhiên.

Nguyên lý tươ ng đối Einstein là sự mở r ộng của nguyên lý tươ ng đối Galilée. Nguyên lý tươ ng đối Galilée áp dụng cho các hiện tượ ng cơ học, nói r ằng các định

luật cơ học là giố ng nhau trong các hệ quy chiế u quán tính. Còn nguyên lý Einstein

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




mở r ộng ra cho tất cả các định luật vật lý nói chung. Theo Einstein thì t ấ t cả các định

luật của t ự nhiên là như nhau trong t ấ t cả các hệ quy chiế u quán tính. Vậy nguyên lýtươ ng đối Einstein đã mở r ộng nguyên lý tươ ng đối Galilée t ừ các hiện t ượ ng cơ học

sang các hiện t ươ ng vật lý nói chung .

Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng phản ảnh rõ ràng sự khác nhauvề vận tốc tươ ng tác trong hai lý thuyết cổ điển và tươ ng đối. Trong lý thuyết tươ ngđối, vận tốc truyền tươ ng tác là hữu hạn và như nhau trong tất cả các hệ quy chiếuquán tính. Thực nghiệm chứng tỏ vận tốc không đổi này là cực đại và bằng vận tốcánh sáng trong chân không c = 3.108 m/s. Trong cơ học Newton, quan niệm sự tươ ngtác giữa các vật là tức thờ i, tức vận tốc tươ ng tác là vô cùng. Điều này giải thích đượ cdo vận tốc trong cơ học cổ điển có giá tr ị r ất bé, v << c. Vì vậy vận tốc ánh sáng có thể coi là lớ n vô cùng trong cơ học cổ điển. Như vậy về mặt hình thức có thể chuyển từ

thuyết tươ ng đối Einstein sang cơ học Newton bằng cách cho c → ∞ trong các côngthức của cơ học tươ ng đối tính.

§5.2. PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ

1 – Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galilée vớ i thuyết tươ ng đối Einstein

Trong cơ học cổ điển Newton, thờ i gian là tuyệt đối còn vận tốc tuân theo quyluật cộng vận tốc. Điều này mâu thuẫn vớ i thuyết tươ ng đối Einstein, trong đó thờ i

gian phụ thuộc chuyển động và công thức cộng vận tốc (2.68) không còn đúng nữa.Để chứng minh nhận xét này, ta hãy xét hệ quy chiếu quán tính Oxyz và hệ quy chiếuquán tính O’x’y’z’ chuyển động dọc theo tr ục Ox vớ i vận tốc V. Ta đặt một nguồnsáng tại điểm A trên tr ục O’x’ trong hệ O’ và hai điểm B và C đối xứng qua A như trên hình 5.1.

Hình 5.1: Chứ ng minh sự mâu thuẫ n của phép biế nđổ i Galilée vớ i thuyế t t ươ ng

đố i Einstein.

z

O

y

x

B A C

z’

x’

’

O’

Tr ướ c tiên ta xét công thức công vận tốc (2.68). Theo nguyên lý tươ ng đốiGalilée vận tốc ánh sáng trong hệ O theo chiều dươ ng của tr ục x sẽ bằng (c + V) còntheo chiều âm bằng (c – V). Điều đó mâu thuẩn vớ i nguyên lý vận tốc ánh sáng bất biến đối vớ i các hệ quy chiếu quán tính trong thuyết tươ ng đối.

Bây giờ xét đến mâu thuẫn về tính chất tươ ng đối và tuyệt đối của thờ i gian.Đối vớ i hệ O’ thì nguồn sáng A đứng yên vì nó cùng chuyển động vớ i hệ O’. Theothuyết tươ ng đối thì vận tốc tín hiệu ánh sáng truyền đi mọi phươ ng đều bằng c nên

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




trong hệ O’ các tín hiệu sẽ đến các điểm B và C cách đều A cùng một lúc. Nhưng cáctín hiệu sáng sẽ đến các điểm B và C không đồng thờ i trong hệ O. Trong hệ này vậntốc truyền ánh sáng vẫn bằng c nhưng vì điểm B chuyển động đến gặ p tín hiệu sánggửi từ A đến B còn điểm C chuyển động ra xa khỏi tín hiệu gửi từ A đến C, do đó

trong hệ O tín hiệu sáng sẽ gửi tớ i điểm B sớ m hơ n. Như vậy trong hệ O, theo thuyếttươ ng đối thì các điểm B và C nhận tín hiệu sáng không đồng thờ i, còn theo thuyết cơ học cổ điển, các tín hiệu sáng đến B và C đồng thờ i do quan niệm thờ i gian không phụ thuộc hệ tọa độ.

2 – Phép biến đổi Lorentz

Phép biến đổi Galilée dẫn tớ i quy luật cộng vận tốc (2.68), mà quy luật nàymâu thuẫn vớ i nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng. Như vậy phép biến đổi

Galilée không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tươ ng đối. Phép biến đổi các tọa độ không gian và thờ i gian khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác thỏamãn các yêu cầu của thuyết tươ ng đối là phép biến đổi Lorentz.

Xét hai hệ quán tính Oxyz và O’x’y’z’, hệ O’ chuyển động so vớ i hệ O vớ ivận tốc V theo phươ ng x (Hình 5.2). Giả sử lúc đầu hai gốc O và O’ của hai hệ trùngnhau. Gọi (x,y,z,t) và (x’,y’,z’,t’) là các tọa độ không gian và thờ i gian trong các hệ Ovà O’.

Gốc tọa độ O’ của hệ O’ có tọa độ x’ =

0 trong hệ O’ và x = Vt trong hệ O. Dođó biểu thức x - Vt phải triệt tiêu đồngthờ i vớ i tọa độ x’. Muốn thế phép biếnđổi tuyến tính phải có dạng:

z

O

xV

z’

x’

’

O’x’ = α(x – Vt) (5.1)

trong đó α là một hằng số nào đó.Tươ ng tự, gốc tọa độ O của hệ O cótọa độ x = 0 trong hệ O và x’ = -Vt’

trong hệ O’. Do đó ta cóx = β(x’ + Vt’) (5.2)

Theo nguyên lý tươ ng đốiEinstein, mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Như vậy các phươ ng trình (5.1) và (5.2) có thể suy ra lẫn nhau bằng cách thay V ⇔ -V, x ⇔ x’ và t ⇔ t’, do đó β = α.

Hình 5.2: Minh họa phép biế n đổ i Lorentz.

Theo nguyên lý bất biến của vận tốc ánh sáng, nếu trong hệ O ta có x = ct thìtrong hệ O’ ta có x’ = ct’. Thay các biểu thức này vào (5.1) và (5.2) ta đượ c: ct’ =α(ct – Vt) = αt(c – V) (5.3a)

ct = α(ct’ + Vt’) = αt’(c + V) (5.3b)

Nhân cả hai hệ thức vớ i nhau ta đi tớ i phươ ng trình: c2 = α2(c2 – V2)WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Từ đó ta có:

2

2

1

1

c

V−

=α (5.4)

Thay α vào (5.1) và β = α vào (5.2) ta đượ c:

2

2

1c

V

Vtx'x

−

−= ;

2

2

c

V1

Vt'x'x

−

+= (5.5)

Mặt khác sự phụ thuộc giữa t và t’ là:

2

2

2

1c

V

xc

Vt

't

−

−= ;

2

2

2

c

V1

x'c

Vt'

t

−

+= (5.6)

Do hệ O’ chuyển động dọc theo tr ục x nên y = y’ và z = z’. Vì vậy ta đượ c các công

thức biến đổi Lorentz như sau:

x’ =

2

2

1c

V

Vtx

−

− ; y’ = y; z’ = z; t’ =

2

2

2

1c

V

xc

Vt

−

− (5.7)

x =

2

2

c

V1

Vt'x'

−

+; y = y’; z = z’; t =

2

2

2

c

V1

x'c

Vt'

−

+ (5.8)

Từ các biểu thức (5.7) và (5.8) ta thấy r ằng khi c → ∞ hay khic

V→ 0 thì

chúng tr ở thành: x’ = x – Vt ; y’ = y ; z’ = z ; t’ = t (5.9)

x = x’ + Vt’ ; y = y’ ; z = z’ ; t = t’ (5.10)

ngh ĩ a là tr ở thành các công thức biến đổi Galiée trong cơ học cổ điển.

§5.3. TÍNH ĐỒNG THỜ I VÀ QUAN HỆ NHÂN QUẢ

1 – Tính đồng thờ i

Trong mục 5.2.1 ta đã xét các tín hiệu sáng từ điểm A đến các điểm B và C

nằm trên tr ục x’ của hệ O’. Các tín hiệu sáng đến B và C đồng thờ i trong hệ O’ nhưng

không đồng thờ i trong hệ O. Để khảo sát một cách tổng quát tính đồng thờ i trong các

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




hệ quy chiếu quán tính, ta giả sử r ằng trong hệ O có hai sự kiện A1(x1,y1,z1,t1) vàA2(x2,y2,z2,t2) vớ i x2 ≠ x1. Hệ O’ chuyển động vớ i vận tốc V so vớ i hệ O theo tr ục x.Khoảng thờ i gian trong hệ O là t2 – t1. Khi đó khoảng thờ i gian của hai sự kiện nàytrong hệ O’ là:

t’2 – t’1 =

2

2

12212

1c

V

)xx(c

Vtt

−

−−− (5.11)

Từ (5.11) thấy r ằng, nếu hai sự kiện A1 và A2 xảy ra đồng thờ i trong hệ O, ngh ĩ a là t2

= t1, hay t2 – t1 = 0, thì trong hệ O’ ta có t’2 ≠ t’1, tức là hai sự kiện A1 và A2 không xảy

ra đồng thờ i trong hệ O’, tr ừ tr ườ ng hợ p x2 = x1.Vậy khái niệm đồng thờ i là khái niệm tươ ng đối, hai sự kiện có thể xả y ra

đồng thờ i trong hệ quán tính này như ng không đồng thờ i trong hệ quán tính khác.

2 – Quan hệ nhân quả

Liên hệ nhân quả là một liên hệ giữa nguyên nhân và k ết quả. Nguyên nhân

bao giờ cũng xảy ra tr ướ c k ết quả, quyết định sự ra đờ i của k ết quả. Giả sử sự kiệnA1(x1, t1) là nguyên nhân và A2(x2, t2) là k ết quả thì t2 > t1. Để xét trong hệ O’, ta chú ý

r ằng trong hệ O thì x1 = vt1 và x2 = vt2, do đó

t’2 – t’1 =

2

2

12212

1c

V

)vtvt(c

Vtt

−

−−− =

2

2

212

1

1

c

V

c

Vv)tt(

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− (5.12)

Do v < c và V < c nên khi t2 > t1 ta có t’2 > t’1. Như vậy trong hệ O’, sự kiện A1 cũng

là nguyên nhân và sự kiện A2 cũng là k ết quả. Vậy thứ t ự nhân quả đượ c tôn tr ọng

trong các hệ quy chiế u quán tính.

§5.4 SỰ CO NGẮN LORENTZ

Ta hãy so sánh độ dài và

khoảng thờ i gian trong hai hệ quán

tính O và O’.

Hình 5.3: Minh họa sự co ng ắ n Lorentz.

z

O

x

z’

x’

’

O’

1 2

x

x’

x

x’

1 – Độ dài:

Giả sử có một thanh đứng

yên trong hệ O’ (Hình 5.3), đặt dọctheo tr ục O’x’, độ dài của nó trong

hệ O’ là: ∆x’ = x’2 – x’1

Độ dài của nó trong hệ O là:

∆x = x2 – x1.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Dùng các biểu thức:

2

2

22,

2

c

V1

Vtxx

−

−= ;

2

2

11,

1

c

V1

Vtxx

−

−=

ta xác định đượ c độ dài trong hệ O’:

∆x’ = x’2 – x’1 =

2

2

1212

c

V1

)tV(t)x(x

−

−−− (5.13)

Nếu độ dài ∆x đượ c đo trong hệ O tại cùng một thờ i điểm t2 = t

1, thì

2

2

12

12

c

V1

xxx'x'

−

−=− hay

2

2

c

V1∆x'∆x −= (5.14)

Vậy độ dài dọc theo phươ ng chuyển động của thanh trong hệ O nhỏ hơ n trong

hệ O’, ngh ĩ a là độ dài thanh trong hệ quy chiếu mà thanh chuyển động ngắn hơ n độ

dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên. Nói khác đi, khi vật chuyể n động, kích

thướ c của nó bị co ng ắ n theo phươ ng chuyể n động, g ọi là sự co ng ắ n Lorentz. Do đómột quả cầu đặt trên con tàu vũ tr ụ chuyển động r ất nhanh so vớ i Trái Đất thì phi hành

gia trên tàu vũ tr ụ nhìn thấy nó có dạng hình cầu còn ngườ i quan sát đứng trên Trái

Đất thấy nó có dạng hình bầu dục, co ngắn theo phươ ng chuyển động của tàu vũ tr ụ.

Như vậy độ dài có tính tươ ng đối, phụ thuộc vào chuyển động. Khi hệ O’ chuyển động

vớ i vận tốc V << c thì công thức (5.14) tr ở thành ∆x ≈ ∆x’, ngh ĩ a là độ dài không phụ

thuộc vào chuyển động như đã quan niệm trong cơ học cổ điển.

2 – Khoảng thờ i gian

Ta hãy xét hai sự kiện tại cùng một điểm (x’,y’,z’) trong hệ O’. Khoảng thờ igian giữa hai sự kiện này là ∆t’ = t’2 – t’1. Ta hãy xác định khoảng thờ i gian giữa hai

sự kiện này trong hệ O. Sử dụng (5.6):

2

2

22

2

1c

V

'xc

Vt

t

,

−

+= ;

2

2

21

1

1c

V

'xc

Vt

t

,

−

+=

Ta có:

2

2

,

1

,

2

12

c

V1

tttt∆t

−

−=−= hay ∆t’ = ∆t

2

2

c

V1− (5.15)WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Như vậy khoảng thờ i gian ∆t’ của một quá trình trong hệ O’ chuyển động bao giờ cũng nhỏ hơ n khoảng thờ i gian ∆t xảy ra của cùng quá trình đó trong hệ O đứng yên. Nếutrong hệ O’ gắn một đồng hồ và trong hệ O cũng gắn một đồng hồ thì khoảng thờ i gian củacùng một quá trình xảy ra đượ c ghi trên đồng hồ của hệ O’sẽ nhỏ hơ n khoảng thờ i gian ghi

trên đồng hồ của hệ O. Điều đó có ngh ĩ a là đồng hồ chuyể n động chạ y chậm hơ n đồng hồ đứ ng yên. Thờ i gian đượ c tính theo đồng hồ chuyển động cùng vớ i vật đượ c gọi là thờ i gian

riêng của vật đó. Vậy thờ i gian riêng luôn luôn bé hơ n thờ i gian đượ c tính theo đồng hồ chuyển độngđối vớ i vật. Như vậy khoảng thờ i gian có tính tươ ngđối và phụ thuộc vào chuyểnđộng. Khi vận tốc V của hệ O’ r ất nhỏ hơ n vận tốc ánh sáng c thì từ công thức (5.15) ta có ∆t’≈ ∆t, tức là khoảng thờ i gian không phụ thuộc vào chuyển động như đã quan niệm trong cơ học cổ điển,

3 – Khoảng không - thờ i gian

Sự bất biến của vận tốc ánh sáng dẫn đến k ết quả là không gian và thờ i gian liên quanvớ i nhau và chúng lậ p thành một không – thờ i gian duy nhất. Mối liên hệ đó có thể đượ c biểudiễn nhờ không – thờ i gian 4 chiều tưở ng tượ ng mà theo ba tr ục ngườ i ta đặt các tọa độ khônggian x, y, z còn tr ục thứ tư là tr ục thờ i gian t, hay chính xác hơ n, là tọa độ thờ i gian ct, có cùngthứ nguyên như tọa độ không gian. Một biến cố nào đó trong không – thờ i gian 4 chiều ứngvớ i các tọa độ x, y, z, ct. Ta gọi đó là đ iể m vũ tr ụ. Một đườ ng nào đó trong không gian 4 chiềugọi là đườ ng vũ tr ụ. Bình phươ ng khoảng cách ∆s2 giữa hai điểm vũ tr ụ đượ c gọi là bình

phươ ng khoảng không - thờ i gian, liên hệ qua bình phươ ng khoảng cách không gian ∆2 = ∆x2

+ ∆y2 + ∆z2 và bình phươ ng khoảng thờ i gian c2∆t2 như sau:

∆s2 = c2∆t2 - ∆2 = c2∆t2 - ∆x2 - ∆y2 - ∆z2 (5.16)

Khoảng không – thờ i gian trong không gian 4 chiều ∆s bất biến khi chuyển từ hệ quántính này sang hệ quán tính khác. Thật vậy, giả sử trong hệ Oxyzt khoảng này là ∆s, đượ c xácđịnh theo công thức (5.16). Khoảng không - thờ i gian trong hệ Ox’y’z’t’ chuyển động vớ i vậntốc V dọc theo tr ục Ox là ∆s’, đượ c xác định như sau:

∆s’2 = c2∆t’2 - ∆’2 = c2∆t’2 - ∆x’2 - ∆y’2 - ∆z’2 (5.17)

Sử dụng các công thức (5.11) và (5.13) ta có :

∆t’ =

2

2

2

c

V1

∆xc

V∆t

−

− và ∆x’ =

2

2

c

V1

V∆∆x

−

− t , mặt khác ∆y’ = ∆y ; ∆z’ = ∆z

Từ các công thức này có thể suy ra r ằng: ∆s’2 = ∆s2 (5.18)

ngh ĩ a là khoảng không - thờ i gian bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tínhkhác. Từ sự bất biến đó ta suy ra sự bất biến của khoảng thờ i gian riêng như sau:

Từ công thức : ∆t’ = ∆t2

2

c

V1− ,

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




ta có : ∆t’ =c

1 222 t)(V∆∆tc − =c

1 222 ∆∆tc − =c

1∆s (5.19)

Trong đó ∆ = V∆t. Công thức (5.19) cho thấy r ằng khoảng thờ i gian riêng tỉ lệ vớ i khoảng

không - thờ i gian giữa hai biến cố. Khoảng này bất biến nên khoảng thờ i gian riêng cũng bất biến, tức là không phụ thuộc vào sự chuyển động của vật đã cho đượ c quan sát trong hệ quychiếu nào.

Ví dụ 5.1: Vật chuyển động phải có vận tốc bao nhiêu để chiều dài của nógiảm đi 25%.

Giải

Chiều dài ∆x của vật chuyển động vớ i vận tốc v liên hệ vớ i chiều dài ∆x’ của

vật đó đứng yên như sau:2

2

cV1∆x'∆x −= = 2β1∆x' −

trong đó β = v/c.

Độ giảm tươ ng đối của chiều dài là: δ =∆x'

∆x∆x'−= 1 - 2β1−

Từ đó suy ra: β = 2δ)(11 −− . Thay số δ = 0,25 ta đượ c β = 0,6614.

Vậy vận tốc của vật: v = βc = 0,6614×3.108 ≈ 1,99.108 m/s.

Ví dụ 5.2: Có hai con tàu vũ tr ụ vớ iđộ dài bằng nhau và bằng ∆x’ = 230 m.Chúng đi ngượ c chiều nhau vớ i vận tốc tươ ngđối v (Xem hình vẽ). Một ngườ i ở vị trí A củacon tàu 1 đo đượ c khoảng thờ i gian nhìn thấytừ đầu B đến đầu C của con tàu thứ 2 là ∆t =3,57 µs. Hãy xác định vận tốc tươ ng đối v giữa hai con tàu.

Tàu 1 A

Tàu 2

v B C

Giải

Gọi AB là sự kiện điểm A trùng vớ i điểm B còn AC là sự kiện điểm A trùngvớ i điểm C. Khoảng thờ i gian giữa hai sự kiện AB và AC đo bở i ngườ i ở tàu 1 tại vị trí A là ∆t = 3,57 µs. Độ dài của tàu 2 do ngườ i nói trên đo đượ c là: ∆x = v∆t =βc∆tTrong đó β = v/c. Mặt khác, độ dài ∆x của tàu 2 do ngườ i ở tàu 1 đo đượ c liên hệ vớ i

độ dài riêng ∆x’ của tu 2 như sau: ∆x = ∆x’ 2β1−

Từ hai công thức trên ta đượ c: βc∆t = ∆x’ 2β1−

Nghiệm của phươ ng trình này là: β =22 ')(c∆

' xt

x∆+

∆

Thay số : c = 3.108 m/s; ∆t = 3,57 µs = 3,57.10-6 s; ∆x’ = 230 mta đượ c: β = 0,210. Do đó v = 0,210×3.108 m/s = 0,63.108 m/s.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Ví dụ 5.3: Trong hệ quán tính O một chớ p sáng xanh phát ra tại thờ i điểm tB và một chớ p sáng đỏ phát tiế p theo sauđó tại thờ i điểm tR , khoảng thờ i giangiữa hai chớ p sáng là ∆t = tR – tB = 5,35

µs. Nguồn sáng xanh nằm tại tọa độ xB còn nguồn sáng đỏ nằm tại tọa độ xR ,khoảng cách giữa hai nguồn sáng là ∆x= xR – xB = 2,45 km. Hệ quán tính O’chuyển động dọc theo tr ục x vớ i vận tốcv so vớ i hệ O và β = v/c = 0,855. Hãyxác định khoảng cách và khoảng thờ igian giữa hai nguồn sáng trong hệ O’.

y

z

x

×xB

tB

×xR

tR

y’

z’

x’

O’O

GiảiTheo (5.11) và (5.13) thì:

t’R – t’B =

2

2

BR 2BR

c

v1

)x(xc

vtt

−

−−− hay ∆t’ =

2β1

c

∆xβ∆t

−

−

x’R – x’B =

2

2

BR BR

cv1

)tv(t)x(x

−

−−− hay ∆x’ =

2

β1

βc∆t∆x

−

−,

trong đó β = v/c. Thay số: ∆t = tR – tB = 5,35 µs = 5,35.10-6 s;

∆x = xR – xB = 2,45 km = 2,45.103 m; β = 0,855 ; c = 3.108 m/s ,

ta đượ c: ∆x’ = 2078 m = 2,08 km và ∆t’= -3,147.10-6 s = -3,15 µs.

K ết quả trên cho thấy trong hệ O’, do ∆x’ > 0 nên tọa độ nguồn sáng đỏ x’R

> x’B như trong hệ O nhưng khoảng cách giữa hai nguồn bằng 2,08 km, nhỏ hơ nkhoảng cách giữa hai nguồn trong hệ O (2,45 km). Về mặt thờ i gian, do ∆t’ < 0 nên t’R < t’B, tức là nguồn sáng đỏ chớ p tr ướ c nguồn sáng xanh, điều này ngượ c lại thứ tự

trong hệ O, tại đó nguồn sáng xanh chớ p tr ướ c nguồn sáng đỏ.

§5.5. TỔNG HỢ P VậN TốC

Giả sử u là vận tốc của một chất điểm đối vớ i hệ O và u’ là vận tốc cũng của

chất điểm đó đối vớ i hệ O’. Ta hãy xác định công thức tổng hợ p vận tốc liên hệ giữa u

và u’. Từ (5.7) ta có:

2

2

1c

V

Vdtdx'dx

−

−= ;

2

2

2

1c

V

dxc

Vdt

'dt

−

−= WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Dođó:

x2

x

2

,

x

uc

V1

Vu

dxc

Vdt

Vdtdx

dt'

dx'u

−

−=

−

−== (5.20a)

hay:,

x2

,

x

uc

V1

Vuu

+

+= x (5.20b)

Trong đó: ux =dt

dx.

x2

2

2

y

2

2

2

,

y

uc

V1

c

V

1u

dxc

Vdt

c

V

1dy

dt'

dy'u

−

−=−

−== (5.21)

x

z,

z

u

c

V

c

Vu

dx

c

Vdt

c

Vdz

'dt

'dzu

2

2

2

2

2

2

1

11

−

−=

−

−== (5.22)

Các công thức (5.20) – (5.22) biểu diễn quy luật tổng hợ p vận tốc trong thuyếttươ ng đối.Từ các công thức này suy ra tính bất biến của vận tốc ánh sáng trong các hệ

quy chiếu quán tính.

Thật vậy nếu ux = c thì: u’x = c

cc

V

Vc=

−

−

21

Khi các giá tr ị vận tốc V, ux và ux’ r ất bé so vớ i vận tốc ánh sáng thì các công thức tổng hợ p vậntốc (5.20a) và (5.20b) tr ở thành: ux’ = ux – V và ux = ux’ + V

Đó chính là các công thức tổng hợ p vận tốc trong cơ học cổ điển Newton.

§5.6. ĐỘNG LƯỢ NG VÀ KHỐI LƯỢ NG CỦA CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG

Phươ ng trình cơ bản của chuyển động chất điểm trong tr ườ ng hợ p cổ điển là:

d vF m a m dt

→→ →

= = (5.23)

hay:d p

Fdt

→→

= (5.24)WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




trong đó là động lượ ng của chất điểm chuyển động vớ i vận tốc và có

khối lượ ng m không đổi. Trong cơ học tươ ng đối, phươ ng trình (5.23) không còn phùhợ p mà phải dùng phươ ng trình (5.24), trong đó khối lượ ng trong công thức của động

lượ ng

p m v→ →

= v→

p

không còn là một hằng số mà thay đổi theo vận tốc của chất điểm. Các côngthức đối vớ i động lượ ng và khối lượ ng có dạng như sau:

2

2

o

c

v1

vmvm p

−

==

(5.25)

2

2

o

c

v1

mm

−

= (5.26)

Trong các công thức (5.25) và (5.26), m là khố i l ượ ng động , ngh ĩ a là khối

lượ ng của chất điểm trong hệ mà nó chuyển động vớ i vận tốc v, còn m0 là khố i l ượ ng

t ĩ nh, tức là khối lượ ng của chất điểm trong hệ mà nó đứng yên. Như vậy khối lượ ng

trong các công thức (3.23) và (3.24) của cơ học cổ điển là khối lượ ng t ĩ nh vì khi vận

tốc v << c thì2

2

c

v1− ≈ 1 và m ≈ m0.

Bây giờ ta hãy nêu ra lặ p luận suy ra các công thức (5.25) và (5.26). Theođịnh ngh ĩ a trong cơ học cổ điển thì động lượ ng đượ c xác định theo công thức:

p = m0v = m0∆t

∆x (5.27)

Trong đó ∆x là khoảng đườ ng của hạt chuyển động đượ c đo bở i ngườ i quan sát còn ∆t

là thờ i gian cũng do ngườ i quan sát đo đượ c. Tuy nhiên trong cơ học tươ ng đối, động

lượ ng xác định theo phươ ng pháp đo như vậy không bảo toàn đối vớ i tất cả các hệ quán tính. Để khắc phục khó khăn đó, trong cơ học tươ ng đối, động lượ ng đượ c định

ngh ĩ a lại như sau:

p = m0't

x

∆∆

(5.28)

Trong đó ∆t’ là thờ i gian đo bở i ngườ i cùng chuyển động vớ i hạt mà không phải đo

bở i ngườ i quan sát hạt. Đối vớ i ngườ i chuyển động cùng vớ i hạt thì hạt đứng yên, do

đó ∆t’ là thờ i gian riêng của hạt chuyển động.

Theo (5.15) thì ∆t’ =2

2

c

v1∆t − hay

2

2

c

v1

1

∆t'

∆t

−

= (5.29)WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Từ (5.28) và (5.29) ta đượ c: p = m0t

x

∆∆

.∆t'

∆t= m0v

2

2

c

v1

1

−

(5.30)

Công thức này nếu viết dướ i dạng vector ta đượ c công thức (5.25), trong đókhối lượ ng tuân theo công thức (5.26). Theo công thức (5.26) khối lượ ng của vật tănglên khi nó chuyển động.

§5.7. NĂNG LƯỢ NG CỦA CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG

1 – Công thứ c W = mc2

Khi hạt chuyển động dướ i tác dụng của ngoại lực, năng lượ ng của nó thay đổi.Độ biến thiên năng lượ ng của chất điểm bằng công của ngoại lực tác dụng lên chấtđiểm đó: dW = dA (5.31)

Để đơ n giản ta xét tr ườ ng hợ p ngoại lực cùng hướ ng vớ i độ chuyển dờ i

. Khi đó: dW = dA = = F ds (5.32)

F→

sd

F→

d s→

Thay F =

dt

dp vào (5.32), trong đó p xác định theo (5.30), ta có:

dW = ds

c

v1

vm

dt

d

2

2

0

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

= dsdt

dv

c

v1c

vm

dt

dv

c

v1

m2/3

2

22

2

0

2

2

0

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

+

−

Mặt khác: vdvdt

dsdvdsdt

dv

==

Do đó: dW =2/3

2

2

0

2

22

2

2

2

0

c

v1

vdvm

c

v1c

v1

c

v1

vdvm

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

+

−

(5.33)

Từ công thức m =

2

2

0

c

v1

m

−

suy ra: dm = vdv

c

v1c

m2/3

2

22

0

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

(5.34)

K ết hợ p hai công thức (5.33) và (5.34) ta có: dW = c2 dm (5.35)

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Tích phân biểu thức (5.35) ta đượ c: W = mc2 + C (5.36)

Trong đó C là hằng số. Từ điều kiện W = 0 khi m = 0 ta có C = 0.

Vậy: W = mc2 (5.37)

Công thức này xác định mối liên hệ giữa khối lượ ng tươ ng đối tính và nănglượ ng toàn phần của vật, thườ ng gọi là công thứ c Einstein.

2 – Năng lượ ng t ĩ nh và động năng

Năng lượ ng toàn phần W của chất điểm bằng tổng số của năng lượ ng t ĩ nh W0 khi nó đứng yên và động năng Wd khi nó chuyển động:

W = W0 + Wd (5.38)

Năng lượ ng t ĩ nh của chất điểm đứng yên là: W0 = m0c2 (5.39)

Năng lượ ng t ĩ nh là nội năng của hạt, không liên quan đến sự chuyển động của nó. Đốivớ i một vật phức tạ p gồm nhiều hạt thành phần thì năng lượ ng t ĩ nh của vật gồm nănglượ ng t ĩ nh của các hạt thành phần, động năng chuyển động của các hạt thành phần đốivớ i khối tâm của vật và năng lượ ng tươ ng tác giữa chúng. Thế năng của vật trongtr ườ ng lực ngoài không tham gia vào năng lượ ng t ĩ nh cũng như năng toàn phần củavật. Cần lưu ý r ằng thuật ngữ “năng lượ ng toàn phần” trong cơ học tươ ng đối tính có ýngh ĩ a khác so vớ i trong cơ học cổ điển. Trong cơ học Newton, năng lượ ng toàn phầnlà tổng động năng và thế năng của hạt còn trong cơ học tươ ng đối, năng lượ ng toàn

phần là tổng năng lượ ng t ĩ nh và động năng của hạt.

Động năng: Wd = W – W0 = mc2 – moc2 = moc

2

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

1

c

v1

1

2

2 (5.40)

Trong tr ườ ng hợ p cổ điển, khi v << c, thì2

2

2

2

c

v

2

11

1

c

v1

1

−≈−.

Do đó: Wd = m0c2

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

1

c

v1

1

2

2

2

02

22

0 vm2

1

c

v

2

1cm =≈ (5.41)

Công thức này trùng vớ i động năng trong cơ học cổ điển.

3 – Liên hệ giữ a năng lượ ng và động lượ ng:

Viết lại công thức Einstein như sau:

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




W = mc2 =

2

2

20

c

v1

cm

−

hay 420

2

2

2

cmWc

v1 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⇒ W2 2

2242

0c

vWcm += ⇒ W2 = 2242

02

24242

0 c pcmc

vcmcm +=+ (5.42)

Trong đó đã thay mv = p.

Vậy: W = c 220

2 cm p + (5.43)

là công thức liên hệ giữa năng lượ ng và động lượ ng tươ ng đối.

Trong tr ườ ng hợ p phi tươ ng đối khi p << m0c, (5.43) có dạng:

W = m0c2

2

0cm

p1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + ≈ m0c

2 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

2

0cm

p

2

11 = m0c

2 +0

2

m2

p (5.44)

Như vậy, động năng trong cơ học cổ điển liên hệ vớ i động lượ ng như sau:

Wd =0

2

m2

p (5.45)

Công thức (5.45) có thể suy ra từ công thức (5.41) khi thay v =0m

p.

Ví dụ 5.4: Có thể gia tốc cho electron đến động năng nào nếu độ tăng tươ ngđối của khối lượ ng không đượ c quá 5%.

GiảiSử dụng công thức tính động năng Wd = (m – m0) c

2 thì độ tăng tươ ng đối của

khối lượ ng : δ =0

0

m mm − = 20

d

cmW , từ đó Wd = δ×m0c2

Thay số δ = 0,05; m0c2 = 0,511 MeV, ta đượ c Wd = 2,56.10-2 MeV.

Ví dụ 5.5: Xác định độ biến thiên năng lượ ng của electron ứng vớ i độ biếnthiên khối lượ ng bằng khối lượ ng của electron.

GiảiDo W = mc2 nên ∆W = ∆mc2 = m0c

2

Thay số m0c2 = 0,511 MeV, ta đượ c ∆W = 0,511 MeV.

Ví dụ 5.6: Một electron có động năng Wd = 2,53 MeV. Hãy xác định nănglượ ng toàn phần và động lượ ng của nó.

Giải Năng lượ ng toàn phần W = W0 + Wd, trong đó W0 = m0c

2 = 0,511 MeV cònWd = 2,53 MeV. Do đó W = 0,511 MeV + 2,53 MeV = 3,04 MeV.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Theo công thức (5.41) thì W2 = , do đó p =22420 c pcm + 22

02 )c(mW

c

1−

Thay số W = 3,04 MeV; m0c2 = 0,511 MeV ta đượ c p = 3,00 MeV/c.


5.1 Vật chuyển động phải có vận tốc bao nhiêu để kích thướ c của nó theo phươ ngchuyển động giảm đi hai lần.

5.2 Hạt mezon trong các tia vũ tr ụ chuyển động vớ i vận tốc bằng 0,95 lần vận tốc ánh sáng.Hỏi khoảng thờ i gian theo đồng hồ ngườ i quan sát đứng yên trên trái đất lớ n hơ n thờ igian sống của hạt mezon bao nhiêu lần?

5.3 Khối lượ ng hạt α tăng thêm bao nhiêu nếu tăng vận tốc của nó từ 0 đến 0,9 lần

vận tốc ánh sáng. Cho biết khối lượ ng t ĩ nh của hạt α là m0 = 6,6444.10

-27

kg.5.4 Khối lượ ng của electron chuyển động bằng hai lần khối lượ ng nghỉ của nó. Tìmđộng năng của electron trên. Cho biết khối lượ ng t ĩ nh của electron là m0 = 9,1.10-

31 kg.5.5 Tìm vận tốc của hạt mezon nếu năng lượ ng toàn phần của hạt mezon gấ p 10 lần

năng lượ ng nghỉ của nó.5.6 Một sự kiện xảy ra trong hệ quy chiếu O tại tọa độ x = 100 km và thờ i gian t =

200 µs. Hỏi sự kiện đó có tọa độ bao nhiêu trong hệ quy chiếu O’ chuyển độngdọc theo tr ục x của hệ O vớ i vận tốc V = 0,95 c, vớ i c = 3.108 m/s. Giả sử khi t =

t’ = 0 thì x = x’.5.7 Hệ quy chiếu O’ chuyển động vớ i vận tốc V = 0,6c so vớ i hệ quy chiếu O. Hai sự kiện đượ c ghi nhận. Trong hệ O sự kiện 1 xảy ra tại x = 0 và t = 0 còn sự kiện 2xảy ra tại x = 3 km và t = 4 µs. Hãy xác định thờ i gian của hai sự kiện này tronghệ O’.

5.8 Ngườ i quan sát trong hệ quy chiếu O nhìn thấy chớ p sáng màu đỏ ở vị trí cáchông ta 1200 m r ồi sau đó một chớ p sáng màu xanh cách 480 m theo cùng chiềuvớ i chớ p sáng đỏ. Ông ta đo đượ c khoảng thờ i gian giữa hai chớ p sáng là 5 µs.Hãy tính:

a. Vận tốc tươ ng đối của hệ quy chiếu O’ so vớ i hệ O, trong đó ngườ i quan sátthứ hai nhìn thấy hai chớ p sáng đỏ và xanh xảy ra ở tại cùng một vị trí. b. Thứ tự các chớ p sáng mà ngườ i quan sát trong hệ O’ nhìn thấy.c. Khoảng thờ i gian giữa hai chớ p sáng mà ngườ i quan sát trong hệ O’ đo đượ c.

5.9 Một hạt chuyển động dọc theo tr ục x’trong hệ quy chiếu O’ vớ i vận tốc u’ = 0,4c.Hệ O’ chuyển động vớ i vận tốc V = 0,6c so vớ i hệ quy chiếu O theo tr ục x. Hãytính vận tốc của hạt đó trong hệ quy chiếu O.

5.10 Một hạt vũ tr ụ bay về phía trái đất theo tr ục trái đất đến cực bắc vớ i vận tốc v1 =0,8c. Một hạt vũ tr ụ khác bay về phía trái đất theo tr ục trái đất ngượ c chiều vớ i

hạt thứ nhất đến cực nam vớ i vận tốc v2 = 0,6c. Hãy tính vận tốc tươ ng đối giữahạt thứ nhất và hạt thứ hai.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



154 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät - Ñieän

Chươ ng 6

CƠ HỌC CHẤT LƯ U§6.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐẠI LƯỢ NG CƠ BẢN

1 – Chất lư u:

Chất lưu là những chất có thể “chả y” đượ c, bao g ồm chấ t l ỏng và chấ t khí .

Chất lưu không có hình dạng nhất định. Khi chuyển động, chất lưu phân thànhtừng l ớ p, giữa các lớ p có lực tươ ng tác, gọi là lực nội ma sát hay l ự c nhớ t . Chính lựcnày làm cho vận tốc của các lớ p không bằng nhau.

Để đơ n giản, khi nghiên cứu về chất lưu, ta giả sử nó hoàn toàn không nénđượ c (có thể tích xác định) và không có lực nhớ t (không có nội ma sát). Chất lưu như thế đượ c gọi là chấ t l ư u lý t ưở ng ; trái lại là chấ t l ư u thự c. Nghiên cứu chất lưu thực r ấtkhó khăn, vì thế ta nghiên cứu về chất lưu lý tưở ng, r ồi suy r ộng ra cho chất lưu thực.Trong một phạm vi gần đúng cho phép, các qui luật rút ra đối vớ i chất lưu lý tưở ngcũng áp dụng đượ c cho chất lưu thực.

Trong phạm vi giáo trình này chỉ nghiên cứ u chấ t l ư u lí t ưở ng.

2 – Đườ ng dòng, ống dòng:

Để dễ dàng nghiên cứu và biểu diễn sự chuyển động của chất lưu một cáchtr ực quan, ngườ i ta đưa ra khái niệm về đườ ng dòng và ống dòng:

• Đườ ng dòng: là những đườ ng màtiế p tuyến vớ i nó tại mỗi điểm trùngvớ i vectơ vận tốc của phần tử chấtlưu tại điểm đó. Nói cách khác,đườ ng dòng chính là qũi đạo của các phần tử của chất lưu.

• Ống dòng: Tậ p hợ p các đườ ng dòngtựa trên một đườ ng cong kín bất kìtạo thành một ống dòng. Khi chất lưu chuyểnđộng trong một cái ống nào đó thì bản thânống đó là một ống dòng.

Nếu các đườ ng dòng không thay đổi theothờ i gian, thì ta nói dòng chảy của chất lưu làd ừ ng . Trái lại là dòng không dừng. Trong giáotrình này ta chỉ nghiên cứu các dòng dừng.

→

v

Hình 6.1: Đườ ng dòng

→

v

Hình 6.2: Ống dòng WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chöông 6: CÔ HOÏC CHAÁT LÖU 155

3 – Khối lượ ng riêng và áp suất:

Ta biết, vật r ắn thì có hình dạng, kích thướ c và khối lượ ng xác định, nên ta cóthể nói đến khối lượ ng và lực tác dụng lên vật r ắn đó (ví dụ: vật có khối lượ ng m = 2

kg, chịu tác d

ụng c

ủa m

ột lự

c F = 10N). Như

ng khi nghiên cứ

u về ch

ất lư

u – mộ

t môitr ườ ng liên tục, không có hình dạng nhất định – ta thườ ng quan tâm đến sự thay đổitính chất từ điểm này sang điểm khác trong chất lưu hơ n là nói đến tính chất của một“phần t ử ” riêng biệt nào đó. Vì thế, ta dùng các đại lượ ng: khố i l ượ ng riêng và áp suấ t để mô tả (hơ n là dùng các đại lượ ng: khối lượ ng và lực).

a) Khố i l ượ ng riêng: Khối lượ ng riêng tại điểm M trong chất lưu đượ c định nghiã là:

dV

dm=ρ (6.1)

trong đó: dV là yếu tố thể tích bao quanh điểm M; dm là khối lượ ng của chất lưu chứatrong yếu tố thể tích dV.

Khối lượ ng riêng theo định ngh ĩ a (6.1) còn đượ c gọi là mật độ khối lượ ng củachất lưu tại điểm M. Nếu chất lưu là đồng nhất và không nén đượ c thì ρ =const. Khi

đó ta có:V

m=ρ (6.2)

vớ i m và V là khối lượ ng và thể tích của một lượ ng chất lưu xác định.

Trong hệ SI, khối lượ ng riêng có đơ n vị là kg/m3. b) Áp suấ t: áp suất do chất lưu gây ra tại điểm M trong chất lưu đượ c định ngh ĩ a là:

dS

dF p = (6.3)

trong đó: dF là áp lực mà chất lưu tác dụng theo hướ ng vuông góc vào diện tích dS đặttại M. Nếu áp suất suất tại mọi điểm trên diện tích S đều như nhau thì:

S

F p = (6.4)

vớ i F là áp lực mà chất lưu tác dụng theo hướ ng vuông góc vào diện tích S

Bảng 6.1: Hệ số chuyển đổi đơ n vị áp suất

Đơ n vị đo Pa (N/m2) atatm

(760mmHg)torr

(mmHg) bar

Pa 1 1,02.10 – 5 9,87.10 – 6 7,5.10 – 3 10 - 5

at 9,81.10 4 1 0,968 736 0,981atm 1,013.10 5 1,033 1 760 1,013

torr 133,322 1,36.10 – 3 1,316.10 – 3 1 1,33.10 - 3

bar 10 5 1,02 0,987 750 1WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Áp suất theo định ngh ĩ a (6.3) và (6.4) là một đại lượ ng vô hướ ng, trong hệ SI,đơ n vị của áp suất là niut ơ n trên mét vuông (N/m2) hay paxcan (Pa). Ngoài ra ta còncó các đơ n vị đo áp suất khác như: atmotphe (at hoặc atm), milimet thủy ngân(mmHg), torr, … . Bảng 6.1 cho biết hệ số chuyển đổi giữa các đơ n vị đo áp suất.

§6.2 PHƯƠ NG TRÌNH LIÊN TỤC

Xét một chất lưu lý tưở ng, chuyển động trong một ống dòng bất k ỳ. Gọi v1 vàv2 là vận tốc chảy của chất lưu tạihai tiết diện S1 và S2 bất k ỳ củaống dòng.

→

2v

→

1v S2S1

Ta có lượ ng chất lưu đã chảy quatiết điện S1 , S2 trong thờ i gian dtlà:

dm1 = ρ dV1 = ρ S1 v1 dt

Hình 6.3: S ự chả y liên t ục của chấ t l ư u dm2 = ρ dV2 = ρ S2 v2 dt

Do tính không chịu nén và tínhliên tục nên trong thờ i gian dt, lượ ng chất lưu đã chuyển qua tiết diện S1 và S2 là như nhau. Suy ra dm

1 = dm

2

Vậy: S1 v1 = S2 v2 hay Sv = const (6.5)

Phươ ng trình (6.5) đượ c gọi là phươ ng trình liên tục của chất lưu. (6.5) chứng tỏ vậntốc chảy của chất lưu tỉ lệ nghịch vớ i tiết diện của ống dòng.

§6.3 PHƯƠ NG TRÌNH BERNOULLI

1 – Thiết lập pươ ng trình:

Xét một khối chất lưu bất k ỳ ABCD chứa trong một đoạn ống dòng giớ i hạn bở i các tiết diện S1 và S2. Gọi v1 và v2 là vận tốc chảy của chất lưu tại các tiết diện đó.Sau thờ i gian dt, khối chất lưu này chuyển tớ i vị trí mớ i A’B’C’D’. Ta có:

Độ biến thiên động năng của khối chất lưu sau thờ i gian dt là:

∆Wđ = W’đ – Wđ = (W’đ (2) + W’đ (3) ) – (Wđ (1) + Wđ (2) ) = W’đ (3) – Wđ (1)

Ngh ĩ a là độ biến thiên động năng của toàn khối bằng hiệu động năng của hai khối nhỏ (1) và (3). Mà từ phươ ng trình liên tục (6.5) ta suy ra: khối lượ ng m và thể tích V củahai khối (1) và (3) là bằng nhau và bằng m = ρ V

Suy ra ∆Wđ = 21

22 mv

21mv

21

− = )2v

2v(V

21

22 ρ

−ρ

(6.6)

Mặt khác, ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đó gồm có: tr ọng lực, áp lực tại hai tiếtdiện S1 , S2 và áp lực của các ống dòng xung quanh. Công của các ngoại lực này sinhra trong thờ i gian dt đượ c tính như sau:

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




+ Công của tr ọng lực: ta thấy toàn bộ khối chất lưu đang xét gồm có 2 phần, trong đó phần (2) không thay đổi về độ cao, vậy công của tr ọng lực chính là công làm dichuyển phần (1) xuống vị trí của khối (3) : A1 = mg(h1 – h2) = ρ Vg (h1 – h2)

+ Áp lực tại tiết điện S1 sinh công dươ ng đẩy khối chất lưu chuyển động; còn áp lực ở tiết diện S2 sinh công cản. Do đó công của áp lực tại hai tiết diện này là:

A2 = F1 s1 – F2 s2 = p1 S1 v1 dt – p2 S2 v2 dt = p1V – p2V = (p1 – p2)V

+ Áp lực của các ống dòng xung quanh luôn vuông góc vớ i mặt bên của ống dòngđang xét nên không sinh công.

h2

h1

AA’

BB’

C’C

D’

S1(1)

(2)

(3)S2

D

Hình 6.4: Thiế t l ậ p phươ ng trình Bernoulli

Do đó, tổng công của các ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đang xét là:

A = A1 + A2 = ρ gV(h1 – h2) + (p1 – p2)V (6.7)

* Theo định lý động năng, ta có: ∆Wđ = A . K ết hợ p (6.6) và (6.7), suy ra:

)2

v

2

v(V

21

22 ρ

−ρ

= ρ gV(h1 – h2) + (p1 – p2)V

Suy ra: p1 + ρ gh1 +2

v 21ρ

= p2 + ρ gh2 +2

v 22ρ

(6.8)

hay p + ρ gh +

2

v 2ρ = const (6.9)

Phươ ng trình (6.9) đượ c gọi là phươ ng trình Bernoulli. Trong đó cả ba số hạng ở vế trái đều có cùng thứ nguyên của áp suất. Số hạng p đượ c gọi là áp suất t ĩ nh; số hạng

gh đượ c gọi là áp suất tr ắc điạ, vì nó liên quan đến độ cao so vớ i mặt đất hoặc mặtρ WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




biển, hoặc một mặt phẳng nằm ngang nào đó làm mốc; số hạng2

v 2ρ gọi là áp suất

động vì nó liên quan đến vận tốc của chất lưu.

Vậy: t ổ ng áp suấ t t ĩ nh, áp suấ t tr ắ c địa và áp suấ t động không thay đổ i t ại mọi đ iể mtrong chấ t l ư u.

2 – Hệ quả:

a) Nếu xét những điểm trong chất lưu cùng nằm trên một mặt phẳng ngang (h = const)thì áp suất tr ắc địa không thay đổi. Từ (6.9) suy ra:

p +2

v 2ρ = const (6.10)

T ổ ng áp suấ t t ĩ nh và áp suấ t động không thay đổ i t ại mọi đ iể m thuộc cùng một mặt phẳ ng ngang trong chấ t l ư u. Do đó nơ i nào có dòng chảy mạnh thì nơ i đó áp suất t ĩ nhgiảm và ngượ c lại.

b) Nếu trong chất lưu không có dòng chảy (v = 0) thì từ (6.9) ta có:

p + ρgh = const (6.11)

(6.11) là phươ ng trình cơ bản của t ĩ nh học chất lưu. Ta sẽ bàn luận (6.11) sâu hơ n ở §6.4.

3 – Vài ứ ng dụng của phươ ng trình Bernoulli:

a) Tính vận t ố c chả y ở vòi – công thứ c Toricelli:

Xét một bình chứa chất lỏng có một vòi ở thành bình. Miệng vòi cách mặtthoáng của chất lỏng trong bình một đoạn h. Gọi S1 là diện tích mặt thoáng của chấtlỏng trong bình và S2 là tiết diện ngang ở miệng vòi. Ap dụng phươ ng trình Bernoulli,

ta có: p1 + ghρ 1 +

2

v 21ρ

= p2 + ρ gh2 +

2

v 22ρ

Vì p1 = p2 = po = áp suất khí quyển;

h1 – h2 = h, nên )vv(2

21

22 −

ρ= ρ gh.

h

Mà: S1 v1 = S2 v2; S1 >> S2 nên v1 << v2

Vậy: gh2vv2 == (6.12)

Công thức (6.12) đượ c gọi là công thứcToricelli. Từ đó ta thấy vận tốc chảy củachất lỏng (lý tưở ng) tại miệng vòi chỉ phụ thuộc vào độ cao của cột chất lỏngso vớ i miệng vòi, miệng vòi càng thấ pthì vận tốc phun ra càng mạnh.

Hình 6.5: V ận t ố c chả y t ại vòiWW

D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




b) Bơ m tia:

Xét một ống dẫn nhỏ nằm ngang. Khi đó độ cao h coi như không đổi tại mọi

điểm trong chất lưu. Ta có (6.10): p + 2v

2

1ρ = const. Từ (6.10) suy ra: nơ i nào có

vận tốc chảy lớ n thì ở đó áp suất t ĩ nh p nhỏ. Nói cách khác, chỗ có tiết diện ống càngnhỏ thì tại đó, áp suất t ĩ nh p càng nhỏ. Dựa vào nguyên tắc này, ngườ i ta chế tạo rathiết bị gọi là “bơ m tia” - dùng trong việc sơ n các dụng cụ, thiết bị khác - và bộ chế hòa khí (carburateur) của động cơ đốt trong.

Cấu tạo: gồm một ống dẫn khí nén, có cổ thắt ở gần lối ra. Tại nơ i cổ thắt có đườ ng

thông vớ i bình đựng sơ n (hay nhiên liệu – nếu là bộ chế hoà khí). Bình đựng sơ n cómột lỗ thông hơ i, để áp suất trên mặt thoáng của sơ n (nhiên liệu) luôn bằng áp suất khíquyển.

Khí nén

Hỗn hợ pnhiên liệuPhao xăng

Xăng từ bình lớ n xuống

Lỗ thông hơ i

Xăng

Hình 6.6: Sơ đồ nguyên lý hoạt động của bộ chế hòa khí

Hoạt động: Khi ta cho luồng khí nén đi qua ống, tại cổ thắt, vận tốc khí r ất lớ n nên ápsuất t ĩ nh ở đó nhỏ hớ n áp suất khí quyển, do đó sơ n (nhiên liệu) từ bình chứa dâng lênhoà vào luồng khí phun ra ngoài thành tia.

Ngoài các ứng dụng k ể trên, phươ ng trình Bernoulli còn là cơ sở để tạo ra cácthiết bị đo áp suất (áp k ế), thiết bị đo vận tốc của dòng chảy (lưu lượ ng k ế), haynghiên cứu về lực nâng máy bay, giải thích các hiện tượ ng: cửa sổ tự mở , tốc mái nhàkhi có gió lớ n, … .

§6.4 TĨNH HỌC CHẤT LƯ U

1 – Phươ ng trình cơ bản của t ĩ nh học chất lư u:

Trong tr ườ ng hợ p chất lưu không chuyển động, phươ ng trình Bernoulli tr ở thành : p + ρ gh = const (6.11)

Phươ ng trình (6.11) đượ c gọi là phươ ng trình cơ bản của t ĩ nh học chất lưu, đã đượ cPascal tìm ra vào năm 1652. (6.11) chứng tỏ r ằng: nhữ ng đ iể m nằ m trên cùng một mặt

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




phẳ ng ngang thì có cùng một áp suấ t t ĩ nh ; càng xuố ng sâu (h càng nhỏ ), áp suấ t t ĩ nhcàng l ớ n.

Nếu xét hai điểm ở độ cao khác nhau thì: p1 + ρgh1 = p2 + ρgh2

Suy ra ∆ p = p2 – p1 = ρg(h1 – h2) = ρg∆h (6.13) Độ chênh l ệch áp suấ t t ĩ nh giữ a hai đ iể m trong chấ t l ư u bằ ng độ chênh l ệch áp suấ ttr ắ c địa giữ a hai đ iể m đ ó. Do đó , nếu ta coi áp suất trên mặt thoáng của chất lưu là p0 thì áp suất t ĩ nh tại một điểm cách mặt thoáng của chất lưu một khoảng h là:

p = p0 + ρgh (6.14)

2 – Định luật Pascal:

h

M

mXét một chất lưu lý tưở ng, bị nhốt trong một

ống hình tr ụ. Khi đó, áp suất tại một điểm M bất kìtrong chất lưu đượ c tính theo (6.14). Nếu cố địnhđiểm quan sát M thì độ sâu h không đổi. Bây giờ tagiả sử có một ngoại lực tác dụng vào chất lưu làm ápsuất t ĩ nh tại mặt thoáng p0 tăng thêm ∆ p thì theo(6.14), áp suất t ĩ nh tại M cũng tăng thêm ∆ p. Ta nói:áp suấ t truyề n đ i nguyên vẹn.

* Định luật Pascal: Áp suấ t tác d ụng vào chấ t l ư u sẽ

đượ c chấ t l ư u truyề n đ i nguyên vẹn theo mọi hướ ngđế n t ấ t cả các phần t ử trong chấ t l ư u và đế n thànhbình.

Hình 6.12: S ơ đồ nguyênlý hoạt động của đ òn bẩ ythủ y t ĩ nh.

* Ứ ng dụng: Làm đòn bẩy thủy t ĩ nh (máy thủy lực).Sơ đồ nguyên lý đượ c mô tả ở hình (6.8).

Tác dụng một lực F1 vào piston nhỏ thì lực này sẽ gây ra áp suất ∆ p tác dụngvào chất lỏng. Áp suất này đượ c chất lỏng truyền nguyên vẹn đến piston lớ n, tạo ra lựcđẩy F2.

Ta có: ∆ p =2

2

1

1

SF

SF

= →

2F →

1F

S1 S2

Hay:1

212 S

SFF = (6.15)

Nếu S2 lớ n hơ n S1 bao nhiêu lần thì F2 cũng lớ nhơ n S1 bấy nhiêu lần.

Đòn bẩy thủy t ĩ nh đượ c ứng dụng r ộngrãi trong công nghiệ p, k ỹ thuật và đờ i sống.Kích xe hơ i, thắng d ĩ a xe máy, … đều hoạtđộng theo nguyên tắc này.

Hình 6.8: S ơ đồ nguyên lý hoạtđộng của đ òn bẩ y thủ y t ĩ nh

3 – Định luật Archimede:

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Giả sử ta nhúng chìm một vật (để dễ lý luận, ta thiết nó có dạng hình hộ p chữ nhật) vào một chất lưu. Áp suất của chất lưu sẽ tác dụng vào tất cả các điểm trên bề mặt vật, tạo ra các cặ p lực ngượ c chiều nhau.

+Đố

i vơ

í các mặt bên, do áp su

ất củ

a cácđiểm nằm trên cùng một mặt ngang là bằng nhaunên cặ p lực tác dụng lên các mặt bên đối diệnnhau sẽ đôi một triệt tiêu nhau.

→

AF →

1F

→

2F

+ Riêng đối vớ i hai mặt đáy, do khôngcùng độ cao nên áp suất tại đáy dướ i lớ n hơ n ápsuất tại đáy trên nên lực tác dụng lên đáy dướ i F2 lớ n hơ n lực tác dụng lên đáy trên F1. K ết qủa, vật bị đẩy lên một lực FA = F2 – F1 . Lực đẩy FA chính

là lực đẩy Archimède (do Archimède phát hiện ravào thế k ỉ thứ ba TCN).

Hình 6.9: Lự c đẩ y Archimede

Gọi S là diện tích mỗi đáy, ta có: F1 = p1S1 ; F2 = p2S2

Suy ra, lực đẩy Archimède là: FA = F2 – F1 = S(p2 – p1)

Từ (6.14) suy ra p2 – p1 = ρ g(h1 – h2) = ρ gh, vớ i h là chiều cao hình hộ p.

Vậy: FA = ρ ghS = ρ gV (6.16)

Trong đó là khối lượ ng riêng của chất lưu; V là thể tích phần chất lưu bị vật chiếmchỗ (chính là thể tích của vật, trong tr ườ ng hợ p vật bị nhúng chìm); g là gia tốc tr ọngtr ườ ng.

ρ

Biểu thức (6.16) cũng đúng trong tr ườ ng hợ p vật có hình dạng bất k ỳ.

Định luật Archimede đượ c phát biểu như sau: “ Bấ t k ỳ một vật nào nhúngtrong chấ t l ư u cũng bị chấ t l ư u đ ó đẩ y lên một l ự c bằ ng vớ i tr ọng l ượ ng của phầnchấ t l ư u bị vật chiế m chỗ ”.

Định luật này là cơ sở để nghiên cứu sự nổ i của các vật và là một trong nhữngnguyên lí của ngành đóng tầu thủy, tr ục vớ t các tầu đắm, hoạt động của tầu ngầm,kinh khí cầu, ....


6.1 Khi có gió lớ n, để tránh tốc mái nhà, ta nên mở r ộng các cửa sổ cho thông thoánghay đóng kín lại? Giải thích?

∆h

6.2 Tại sao tầu thủy nặng như vậy thì lại nổi, còn cáikim nhẹ lại chìm?

6.3 Giải thích tại sao có sự chênh lệch mực nướ c trongcác ống áp k ế ở hình 6.10? Dựa vào độ chênh lệch∆h của mực nướ c trong 2 ống áp k ế, hãy tính lưulượ ng của dòng nướ c chảy qua ống nếu tiết diện củaống tại nơ i cắm các ống áp k ế coi như đã biết. Ap

Hình 6.10

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




dụng số: ∆h = 5cm; SA = 40cm2; SB = 4cm2; g = 10m/s2. (coi chất lỏng không nénvà không có nội ma sát)

6.4 Đặt một ống Pitô vào dòng chất lưu như hình 6.11.

Ta thấy mực chất lỏng dâng lên trong ống cao20cm. Tính vận tốc chảy của chất lưu.h 6.5 Áp suất khí quyển ở điều kiện bình thườ ng là 1

atm. Nếu cho r ằng vớ i áp suất lớ n hơ n 1,5 atm lànguy hiểm đối vớ i con ngườ i, thì ngườ i thợ lặn chỉ đượ c phép lặn sâu bao nhiêu khi anh ta không cóđồ bảo hiểm? Hình 6.11

6.6 Phù k ế là một dụng cụ đo nồng độ r ượ u, nồng độ

dung dịch acid, nồng độ phù xa, …. Nguyên lý hoạt động của nó dựa trên địnhluật Archimède. Cấu tạo gồm một ống thủy tinh, hình tr ụ, tiết diện S, chiều dài , bên trong sát vớ i đáy, có đổ một lớ p kim loại (chì) để khi nhúng phù k ế vào chấtlỏng, nó luôn dựng đứng. Trên thành của phù k ế có các vạch chia độ, biểu thị nồng độ dung dịch cần đo. Giả sử khi nhúng phù k ế vào nướ c cất, nó chìm mộtnửa chiều dài. Lấy g = 10 m/s2 và khối lượ ng riêng của nướ c là ρ = 1 tấn/m3. BiếtS = 1cm2 ; =20cm. Tính:

a) Thể tích và khối lượ ng của phù k ế.

b)

Nếu nhúng phù k ế này vào nướ c muối, hoặc r ượ u thì nó nổi lên hay chìmxuống thêm?c) Nhúng phù k ế này vào một chất lỏng nguyên chất thấy nó ngậ p vừa hết 3/4

chiều dài phù k ế thì khối lượ ng riêng của chất lỏng đó là bao nhiêu?d) Đổ thêm nướ c vào chất lỏng này cho đến khi phù k ế nổi lên 1/3 chiếu dài của

nó. Tính tỉ số thể tích của lượ ng nướ c thêm vào vớ i thể tích chất lỏng ban đầu.

6.7 Một vòi nướ c (máy) chảy vào một bể vớ i lưu lượ ng 5 lít/ phút. Thờ i gian để nướ cđầy bể là 2 giờ .

a)

Tính dung tích của bể. b) Bên thành bể, ở sát đáy có một vòi chảy ra. Khi nướ c đầy bể, ngườ i ta

đóng vói chảy vào và mở vòi chảy ra thì thấy lưu lượ ng vòi chảy ra lúc đócũng bằng 5 lít/ phút. Vậy thờ i gian để nướ c chảy hết là 2 giờ hay lâuhơ n? Vì sao? (bỏ qua lực nhớ t).

6.8 Khi đoàn xe lửa đang chạy nhanh trên đườ ng ray, mọi vật đứng gần đó dườ ng như bị hút vào xe lửa. Giải thích vì sao?

6.9 Tại các vòng xoay của các thành phố văn minh, ngườ i ta thườ ng làm các vòi phun

nướ c. Giả sử nguồn nướ c ấy là từ các bồn chứa nướ c đặt ở trên cao. Hãy tínhxem, để tia nướ c phun cao 5m so vớ i mặt đất thì bồn nứớ c phải đặt cách mặt đất ítnhất bao nhiêu? (bỏ qua mọi ma sát). K ết qủa đó có phụ thuộc vào chiều cao củamiệng vòi hay không?WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




6.10 Một kích xe hơ i có sơ đồ nguyên lý hoạt động như hình 2.12. Để nâng đượ côtô nặng 2 tấn thì phải tác dụng một lực F1 vào pitông nhỏ là bao nhiêu? Cho S1 =5cm2; S2 = 200 cm2.

6.11 Mộ

t bình hình tr ụ

cao H = 70cm, diện tích

đáy S = 600cm

2

, chứ

ađầ

y nướ

c.Ở

đáy bình có một lỗ nhỏ có tiết diện So = 1cm2. Bỏ qua nội ma sát.

a) Khi nướ c chảy qua lỗ thì mực nướ ctrong bình chuyển động như thế nào?

b) Sau bao lâu nướ c trong bình chảy ramột nửa; chảy hết?

6.12 Hình 6.13 là sơ đồ nguyên lý hoạtđộng của máy phun (dùng trong côngnghiệ p sơ n; bộ chế hoà khí của động cơ đốt trong…). Ống nằm ngang, tiết diện tại phần A, B là SA, SB. Vận tốc và áp suấtt ĩ nh của luồng khí ở phần A là vA và pA.Khối lượ ng riêng của chất lỏng trong chậulà ’ và của luồng khí làρ ρ . Bỏ qua nội

ma sát và coi không không bị nén; áp suấtkhí quyển là po. Hãy tìm chiều cao h của ống C để máy có thể hoạt động đượ c.

→

2F

Hình 6.12

6.13 Một bình hình tr ụ đặt trên

bàn nằm ngang. Bình đượ c dùimột số lỗ nhỏ dọc theo mộtđườ ng sinh của nó. Giả sử bìnhr ất r ộng so vớ i tiết các lỗ nhỏ.Bình đựng nướ c, mực nướ c cóđộ cao H và các tia nướ c phụtra từ các lỗ nhỏ.

a) Chứng minh r ằng, vận

tốc của tất cả các tia nướ ckhi chạm mặt bàn đều có cùng độ lớ n.

b) Chứng minh r ằng, muốn cho hai tia nướ c chảy ra từ hai lỗ r ơ i xuống cùngmột điểm trên bàn thì khoảng cách từ một trong hai lỗ đến mặt nướ c phải bằngkhoảng cách từ lỗ kia đến mặt bàn.

c) Vị trí của lỗ ở đâu thì tia nướ c sẽ chạm bàn tại điểm xa nhất?

A

h

B

C

ρ’Hình 6.13

6.14 Một vật r ắn khối lượ ng 8kg, thể tích 2dm3 chìm trong hồ nướ c ở độ sâu 5m.Hỏi phải tốn một công bao nhiêu để có thể đưa vật lên cao 5m so vớ i mặt nướ c?

6.15 Một quả cầu đặc, bằng thép đượ c thả nổi trên bề mặt thủy ngân.

a) Hỏi phần thể tích quả cầu chìm trong thủy ngân chiếm bao nhiêu phần tr ămthể tích quả cầu?WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




b) Nếu đổ nướ c lên bề mặt thủy ngân cho đến khi vùa ngậ p quả cầu thì phần thể tích quả cầu chìm trong thủy ngân tăng lên hay giảm đi bao nhiêu phần tr ămthể tích quả cầu?

Cho khố

i lượ

ng riêng củ

a nướ

c là 1000kg/m

3

; thủy ngân là 13000kg/m

3

; thép là8000kg/m3.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



164 Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp I: Cô – Nhieät - Ñieän

Chươ ng 7

THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ

VÀ CHẤT KHÍ LÍ TƯỞ NG

§7.1 NỘI DUNG CỦA THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ

Thuyết Động Học Phân Tử là một trong những thuyết Vật Lý ra đờ i sớ m nhất.

Nó k ế thừa những quan điểm cổ đại về cấu tạo vật chất và những k ết qủa của cuộc đấutranh kéo dài nhiều thế k ỷ giữa các tư tưở ng đối lậ p nhau về bản chất của nhiệt

Nội dung cơ bản của Thuyết Động Học Phân Tử có thể tóm tắt bằng các quanđiểm sau:

- Vật chất đượ c cấu tạo gián đoạn từ những hạt r ất nhỏ, gọi là phân tử.

- Các phân tử chuyển động hỗn loạn không ngừng.

- Các phân tử tươ ng tác vớ i nhau bằng các lực hút và lực đẩy

- Chuyển động và tươ ng tác của các phân tử tuân theo các định luật cơ họccủa Newton

Thuyết Động Học Phân Tử không những giải thích đượ c các hiện t ượ ng nhiệt của các chất như: khuếch tán, truyền nhiệt, dẫn nhiệt, bay hơ i, ngưng tụ, … , mà còn làcơ sở để nghiên cứu về các quá trình biến đổi tr ạng thái của khí.

§7.2 PHƯƠ NG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ

1 – Mẫu khí lý tưở ng:

Để dễ dàng vận dụng thuyết Động Học Phân Tử vào việc khảo sát định lượ ngcác tính chất của chất khí, ta bỏ qua những yếu tố phụ không ảnh hưở ng đến nhữngtính chất cơ bản của khí. Từ đó, xây dựng nên mẫu khí lý tưở ng, bao gồm các đặc tínhsau:

- Một khối khí bất kì cũng gồm vô số các phân tử. Các phân tử có kích thướ c r ấtnhỏ so vớ i khoảng cách giữa chúng, và đượ c coi là những chất điểm.

- Các phân tử khí luôn chuyển động hỗn loạn không ngừng và chỉ tươ ng tác vớ inhau khi va chạm vào nhau.

- Va chạm giữa các phân tử khí vớ i nhau hay vớ i thành bình là hoàn toàn đàn hồi.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chöông 7: TÑHPT VAØ CHAÁT KHÍ LÍ TÖÔÛNG 165

Trên thực tế không có khí lý tưở ng. Tuy nhiên, trong phạm vi gần đúng, cáck ết qủa rút ra đối vớ i khí lý tưở ng cũng áp dụng đượ c cho khí thực. Trong giáo trìnhnày, ta chỉ nghiên cứu về khí lý tưở ng.

2 – Áp suất khí khí lí tưở ng:

Các phân tử khí chuyển động hỗn loạn không ngừng va vào thành bình hoặcvào bề mặt ∆S bất kì nằm trong khối khí, tạo nên áp suất. Chuyển động của các phântử càng nhanh, tức động năng càng lớ n, thì đậ p vào bình vớ i áp lực càng lớ n, gây ra ápsuất càng lớ n. Ngoài ra, mật độ các phân tử khí càng lớ n thì khả năng va chạm vớ ithành bình càng cao, suy ra áp suất càng lớ n.

Vậy: áp suất của khí có liên quan đến động năng của các phân tử khí và mật độ khí. H ệ thứ c liên hệ giữ a áp suấ t, mật độ và động năng của các phân t ử khí, g ọi là phươ ngtrình cơ bản của Thuyế t Động H ọc Phân T ử .

3 – Thiết lập phươ ng trình:

Xét một phân tử khí chuyển

động vớ i vận tốc đến va vào thành

bình. Do va chạm là đàn hồi, nên sauva chạm, vận tốc của nó là đối

xứng vớ i qua mặt tiế p xúc (thành

phần tiế p tuyến không đổi). Độ biếnthiên động lượ ng của phân tử khí đólà:

→

iv

→

'v i

ixixix

→

iv

m

→

ixv

→

ix'v

→

iv →

iyv

O

→

i'v

x

Hình 7.1: Va chạm của 1 phân t ử

khí vớ

i thành bình d p

→→→→→

−=−= i

'

ii

'

ii vmvm p pĐộ biến thiên động lượ ng theo phươ ng Ox: dp )v'v(m −= = 2m . Suy ra,

áp lực vuông góc mà phân tử khí này tác dụng lên thành bình là:ixv

dt

mv2

dt

dpf ixix

ix == .

Gọi ni là nồng độ (mật độ) các phân tử khí chuyển động theo phươ ng Ox vớ i vận tốc

vix thì nồng độ các phân tử đi theo chiều dườ ng là 2

ni . Suy ra, số hạt Ni chuyển động

vớ i vận tốc vix đến đậ p vuông góc vào thành bình trong thờ i gian dt phải nằm trong

hình tr ụ có đáy là ∆S, chiều cao là vix.dt. Ta có: dtv.S2

nV

2

n N ix

iii ∆== .WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




⇒ Áp lực do các phân tử này tác dụng vàothành bình là:

2ixiixiix v.Sn.mf NF ∆==

⇒ Áp lực của tất cả các phân tử khí chuyểnđộng vớ i các vận tốc vx khác nhau đến vavào thành bình trong thờ i gian dt là:

∑ ∑∆== 2ixiixx v.n.mSFF ∆S

Vix. dt

x

⇒ Áp suất khí gây ra theo hướ ng Ox là:

∑=∆

= 2ixi

xx v.n.m

S

F p

Tươ ng tự, ta cũng có áp suất theo các

hướ ng Oy, Oz: ∑∑ == 2iziz

2iyiy vn.m p;v.n.m p

Hình 7.2: Trong thờ i gian dt, cácân t ử có vận t ố c v ph hix nằ m trong hìn

tr ụ này sẽ va vào diện tích ∆S

Do tính hỗn loạn (không có hướ ng ưu tiên), nên px = py = pz = p

⇒ ∑∑ =++=++= 2ii

2iz

2iy

2ixizyx vn.m

3

1)vvv(n.m

3

1) p p p(

3

1 p

⇒ ∑ ∑== ñii

2

ii wn322

mvn32 p

Gọi ñw là động năng trung bình của các phân tử khí, ta có:

ñw = ññññ

wnwnn

wn

n

wnii

ii

i

ii=⇒= ∑

∑∑

∑

Vậy: ñwn3

2 p = (7.1)

Trong đó: n = là nộng độ (hay mật độ) phân tử khí – chính là số phân tử khí

trong một đơ n vị thể tích. Trong hệ SI, nồng độ khí có đơ n vị (m∑ in

– 3); ñw là độngnăng trung bình của các phân tử khí; p là áp suất của khí.

Phươ ng trình (7.1) là phươ ng trình cơ bản của Thuyết Động Học Phân Tử. Nócho thấy mối quan hệ giữa áp suất (đại lượ ng v ĩ mô) – đặc tr ưng cho tác dụng tậ p thể của các phân tử – vớ i mật độ và động năng trung bình của các phân tử khí (các đạilượ ng vi mô) – đặc tr ưng cho phân tử và chuyển động của phân tử.

Phươ ng trình (7.1) chỉ rõ cơ chế vi mô của áp suất chất khí tác dụng lên thành bình và phản ánh một cách tườ ng minh các quan điểm cơ bản của Thuyết Động HọcPhân Tử.

Phươ ng trình (7.1) có tính thống kê. Các đại lượ ng trong (7.1) là các đại lượ ngthống kê. Ta chỉ có thể nói tớ i áp suất và động năng trung bình của một tậ p hợ p r ất lớ ncác phân tử; không thể nói tớ i áp suất và động năng của một hoặc một số ít phân tử.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§7.3 NHIỆT ĐỘ – NHIỆT GIAI

Nhiệt độ của một vật cho ta cảm giác về mứ c độ nóng l ạnh của vật đ ó. Cụ thể

nếu nhiệt độ của vật A lớ n hơ n nhiệt độ của vật B thì ta nói vật A “nóng “ hơ n vật B,hay vật B “l ạnh” hơ n vật A . Tuy nhiên, điều đó chỉ mang tính tươ ng đối, vì cảm giácnóng, lạnh phụ thuộc vào từng ngườ i và từng tr ườ ng hợ p cụ thể (ngh ĩ a là mang tínhchủ quan). Tính chất nóng, lạnh mà ta cảm nhận đượ c ở vật liên quan đến năng lượ ngchuyển động nhiệt của các phân tử. Vì thế, nhiệt độ đượ c định ngh ĩ a một chách chínhxác như sau:

Nhiệt độ là đại l ượ ng vật lý, đặc tr ư ng cho tính chấ t vĩ mô của vật (hay hệ vật), thể hiện mứ c độ nhanh, chậm của chuyể n động hỗ n loạn của các phân t ử của vật(hay hệ vật) đ ó.

Nhiệt độ liên quan đến năng lượ ng chuyển động nhiệt (động năng) của các phân tử. Tuy nhiên, trên thực tế ta không thể dùng đơ n vị năng lượ ng để đo nhiệt độ vì: ta không thể đo tr ực tiế p năng lượ ng chuyển động nhiệt, hơ n nữa năng lượ ng ấy lạir ất nhỏ. Vì thế ta dùng đơ n vị của nhiệt độ là độ (o). Tùy theo cách chia độ mà ta cócác nhiệt giai khác nhau:

• Nhiệt giai Celsius (nhiệt giai bách phân): kí hiệu là oC. Trong nhiệt giai này,ngườ i ta chọn điểm tan của nướ c đá và điểm sôi của nướ c (ở áp suất 1 atm) là0oC và 100oC. Trong khoảng này, chia làm 100 phần đều nhau, mỗi phần gọilà 1oC.

• Nhiệt giai Fahrenheit: kí hiệu là oF. Trong nhiệt giai này, ngườ i ta chọn điểmtan của nướ c đá và điểm sôi của nướ c (ở áp suất 1 atm) là 32oF và 212oF.Trong khoảng này chia làm 180 phần đều nhau, mỗi phần là 1oF. Ta có hệ thức liên hệ giữa nhiệt giai Celsius và nhiệt giai Fahrenheit:

180

32Ft

100

Ct oo −= (7.2)

Suy ra: o o o o5 9t C (t F 32) hay t F (t C 32)

9 5= − = + (7.3)

• Nhiệt giai Kelvin (nhiệt giai Quốc tế): kí hiệu là K (thay vì oK) và đượ c định

ngh ĩ a từ biểu thức: nkT phayw3

2kT == ñ (7.4)

trong đó T là nhiệt độ của vật, đơ n vị đo là kelvin (K); k = 1,38.10 – 23 (J/K) làhằng số Boltzmann.

Ta có hệ thức liên lạc giữa nhiệt giai Kelvin và nhiệt giai bách phân là:

T = toC + 273,15 (7.5)

Vớ i định ngh ĩ a (7.4), khi T = 0 thì ñw = 0. Điều này chứng tỏ trên thực tế không bao giờ đạt đến không độ kelvin, vì muốn vậy, các phân tử khí phải đứng yên,

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




không còn chuyển động nhiệt hỗn loạn nữa - mâu thuẫn vớ i thuyết động học phân tử.Chính vì vậy 0 (K) đượ c gọi là độ không tuyệt đố i và nhiệt giai Kelvin còn gọi là nhiệtgiai tuyệt đối.

Phươ

ng trình p = nkT cũ

ng là dạng th

ứ hai c

ủa ph

ươ ng trình c

ơ bản c

ủa thuy

ếtđộng học phân tử.

§7.4 HỆ QỦA CỦA THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ

Thuyết động học phân tử cho biết bản chấ t của nhiệt chính là sự chuyể n độnghỗ n loạn của các phân t ử , đánh đổ hoàn toàn các quan điểm về chấ t nhiệt tr ướ c đó. Nó giải thích thoả đáng mọi hiện tượ ng và tính chất nhiệt của các chất. Từ phươ ngtrình cơ bản (7.1), ta tìm đượ c phươ ng trình tr ạng thái khí lý tưở ng, kiểm nghiệm lại

các định luật thực nghiệm về chất khí tr ướ c đó.1 – Phươ ng trình trạng thái khí lý tưở ng:

Tr ạng thái của một hệ vật lý đượ c mô tả bở i các thông số – gọi là thông số tr ạng thái. Thông số nào đặc tr ưng cho tính chất vi mô của hệ thì ta gọi đó là thông số vi mô; thông số nào đặc tr ưng cho tính chất v ĩ mô của hệ thì ta gọi đó là thông số v ĩ mô.

Tr ạng thái của một khối khí lý tưở ng có thể đượ c mô tả bở i các thông số v ĩ

mô: nhiệt độ T, áp suất p và thể tích V. Phươ ng trình diễn tả mối quan hệ giữa cácthông số đó, đượ c gọi là phươ ng trình tr ạng thái khí lý tưở ng. Ta có thể tìm đượ c mốiquan hệ này từ phươ ng trình cơ bản của thuyết động học phân tử (7.1).

Thật vậy: Nếu gọi n là nồng độ (mật độ) phân tử khí thì số phân tử khí chứa trong thể

tích V là: N = nV . Từ (7.4) suy ra : p.V = nkT.V = NkT = kT N N

NA

A

vớ i NA là số phân tử chưá trong một mol khí (NA = 6,02.1023 mol – 1 do nhà Bác học

Avôgađrô xác lậ p nên đượ c gọi là số Avôgađro); µ=m

N

N

A = số mol khí.

Vậy : pV = RTm

µ (7.6)

trong đó, R là hằng số khí lý tưở ng:

R = k.NA = 1,38.10 – 23 .6,02.10 – 23 = 8,31 (J.mol – 1.K – 1)

= 0,082 (atm.lít.mol – 1 .K – 1) = 0,084 (at.lít.mol – 1 .K – 1).

Phươ ng trình (7.6) đượ c gọi là phươ ng trình Mendeleev – Clapeyron. Đó chính là phươ ng trình tr ạng thái của một khối khí lí tưở ng bất k ỳ.

Đối vớ i một khối khí xác định (m = const), ta có:T

pV = const (7.7)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Vậy, vớ i một khối khí xác định, khi biến đổi từ tr ạng thái (1) sang tr ạng thái (2) thì:

2

22

1

11

T

V p

T

V p

= (7.8)

(7.7) và (7.8) là các phươ ng trình tr ạng thái của một khối khí lí tưở ng xác định.

2 – Các định luật thự c nghiệm về chất khí:

Từ (7.7) ta có thể tìm lại các định luật thực nghiệm về chất khí.

a) Đị nh luật Boyle – Mariotte:

Khi T = const, từ (7.7) suy ra: pV = const (7.9)

hay p1V1 = p2V2 (7.9a)

Vậy: Ở nhiệt độ nhấ t định, áp suấ t và thể tíchcủa một khố i khí xác định t ỉ l ệ nghịch vớ inhau.

p

(T2 > T1)

T1

T2

V

Đườ ng biểu diễn áp suất p biến thiêntheo thể tích V khi nhiệt độ không đổi đượ cgọi là đườ ng đẳng nhiệt. Đườ ng đẳng nhiệt là

một đườ ng cong Hyperbol. Vớ i các nhiệt độ khác nhau thì đườ ng đẳng nhiệt cũng khácnhau. Đườ ng nằm trên có nhiệt độ cao hơ nđườ ng nằm dướ i (T2 > T1) (hình (7.3).

O

Hình 7.3: Đườ ng đẳ ng nhiệt

b) Đị nh luật Gay Lussac:

Khi p = const, từ (6.7) suy ra:2

2

1

1

T

V

T

Vhayconst

T

V== (7.10)

Vậy: Ở áp suấ t nhấ t định, thể tích và nhiệtđộ tuyệt đố i của một khố i khí xác định t ỉ l ệ thuận vớ i nhau.

p1 < p2)

p2

T

V p1

Đườ ng biểu diễn thể tích V biếnthiên theo nhiệt độ T khi áp suất khôngđổi, đượ c gọi là đườ ng đẳng áp . Đườ ngđẳng áp là một đườ ng thẳng có phươ ng điqua gốc tọa độ (hình 7.4). Áp suất càng

thấ p đườ ng biểu diễn càng dốc.

O

c) Đị nh luật Charles:

Khi V = const, tươ ng tự, ta cũng có:2

2

1

1

T

p

T

phayconst

T

p== (7.11)

Hình 7.4: Đườ ng đẳ ng áp WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Vậy: Ở thể tích nhấ t định, áp suấ t và nhiệt độ tuyệt đố i của một khố i khí xác định t ỉ l ệ thuận vớ i nhiệt nhau.

Đườ ng biểu diễn áp suất p biến

thiên theo nhiệtđộ

T khi thể tích khôngđổi, đượ c gọi là đườ ng đẳng tích. Đườ ng

đẳng tích là một đườ ng thẳng có phươ ngqua gốc tọa độ và có độ dốc càng lớ nkhi thể tích càng nhỏ.

d) Đị nh luật Dalton:

Xét một bình kín chứa một hỗnhợ p gồm m chất khí khác nhau. Gọi n1,n

2, …, n

m là nồng độ tươ ng tứng của các

khí thành phần thì nồng độ của hỗn hợ pkhí đó là n = n1 + n2 + … + nm. Theo (7.4) ta có: p = nkT = (n1 + n2 + n3 + … +nm)kT

p

T

V1

V2

(V1 < V2)

O

Hình 7.5: Đườ ng đẳ ng tích

Hay: p = n1kT + n2k + n3kT + … +nmkT = p1 + p2 + … +pm (7.12)

Vậy: Áp suấ t của một hỗ n hợ p khí bằ ng t ổ ng các áp suấ t riêng phần của các khí thành phần t ạo nên.


7.1 Có 10g khí H2 ở áp suất 8,2 at đựng trong bình kín có nhiệt độ 390K.

a) Tính thể tích của khối khí

b) Hơ nóng khối khí đến 425K, tính áp suất khí khi đó.

7.2 Có 10 kg khí đựng trong bình kín ở áp suất 107 Pa. Ngườ i ta lấy ra một lượ ng khícho tớ i khi áp suất còn 2,5.106 Pa. Tính lượ ng khí đã lấy ra. Coi nhiệt độ khôngđổi.

7.3 Có hai bình cầu đựng cùng một chất khí, đượ c nối vớ i nhau bằng một ống cókhóa. Áp suất ở bình I là p1 , bình II là p2 . Mở khoá nhẹ nhàng để hai bình thôngnhau sao cho nhiệt độ không đổi.

a) Khi đã cân bằng, áp suất ở hai bình là po . Tìm thể tích của bình II, biết thể tích bình I là V1 .

Ap dụng số: p1 = 2.10 5 Pa; p2 = 10 6 Pa; po = 4.10 5 Pa; V1 = 15 lít.

b) Nếu cho tr ướ c thể tích các bình là V1, V2 thì áp suất khi ở hai bình sau khi mở khoá là bao nhiêu?

Ap dụng: p1 = 2.10 5 Pa; p2 = 10 6 Pa; V1 = 15 lít; V2 = 3 lít.

7.4 Tính nhiệt độ lớ n nhất của khí trong mỗi quá trình biến đổi sau:

a) p = po – aV2 ; b) p = poe – bV . Trong đó po, a, b là hằng số dươ ng; V

là thể tích và p là áp suất của một kmol khí.

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




7.5 Tìm áp suất nhỏ nhất trong quá trình biến đổi sau: T = To + aV2, vớ i To và a làhằng số dươ ng; V, T là thể tích và nhiệt độ của một kmol khí lý tưở ng. Vẽ giản đồ p theo V của quá trình này.

7.6 Tìm mật độ và động năng trung bình của các phân tử khí trong một bình chứa ở nhiệt độ 27oC và áp suất 8,23.103 N/m2

7.7 Một mol khí đang ở điều kiện chuẩn thì bị nén vào bình 5 lít. Nhiệt độ khí trong bình là 77oC. Tính áp suất khí. Nếu áp suất đượ c phép của bình là 10 atmốtphe thìcó an toàn không?

7.8 Một bình kín chứa chất khí lý tưở ng ở áp suất 2 atm. Lấy bớ t khí ra khỏi bình để áp suất giảm một lượ ng 0,78 atm, quá trình là đẳng nhiệt. Tính khối lượ ng riêng

của khí còn lại trong bình. Cho biết lúc đầu, khí trong bình có khối lượ ng riêng là3g/lít.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chươ ng 8

CÁC NGUYÊN LÝ NHIỆT ĐỘNG HỌCTrong cơ học ta đã biết, khi vật chuyển động có ma sát thì cơ năng của vật

giảm dần. Phần cơ năng mất mát ấy đã chuyển hoá đi đâu? Thực tế chứng tỏ r ằng, masát luôn làm vật nóng lên. Vậy giữa Cơ và Nhiệt có mối liên hệ mật thiết vớ i nhau, cơ năng có thể chuyển hoá thành nhiệt năng và ngượ c lại. Nhiệt Động H ọc nghiên cứ ucác mố i quan hệ và các đ iề u kiện biế n đổ i định l ượ ng của năng l ượ ng giữ a C ơ và Nhiệt . Cơ sở của Nhiệt Động Học dựa trên hai nguyên lý rút ra từ thực nghiệm.

§8.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐẠI LƯỢ NG CƠ BẢN

1 – Năng lượ ng chuyển động nhiệt:

Năng lượ ng chuyển động nhiệt là phần năng lượ ng do chuyển động hỗn loạncủa các phân tử tạo nên (chính là động năng của các phân tử). Năng lượ ng chuyểnđộng nhiệt đượ c kí hiệu là E.

Theo thuyết động học phân tử, khi nhiệt độ càng cao, các phân tử chuyểnđộng hỗn loạn càng mạnh, động năng của chúng càng lớ n. Vậy năng lượ ng chuyểnđộng nhiệt của một khối khí bất kì không những phụ thuộc vào số lượ ng phân tử khímà còn phụ thuộc vào nhiệt độ của khối khí đó.

Đối vớ i khí đơ n nguyên tử, từ (7.4) suy ra, động năng trung bình của các phân

tử khí là: kT2

3E =ñ (8.1)

Do đó, năng lượ ng chuyển động nhiệt của một khối khí bất kì là:

E =µ

==m

2

3kT

2

3. N

N

NE. N A

A

ñ RT (8.2)

Trong đó N là số phân tử khí, NA là số Avôgađrô, R là hằng số khí lí tưở ng, m là khốilượ ng khí và µ là khối lượ ng của một mol khí.

Nếu ta coi phân tử khí đơ n nguyên tử như một chất điểm thì vị trí của nó trongkhông gian đượ c xác định bở i 3 thông số x, y, z – gọi là 3 bậc tự do. Từ (8.1) ta có thể nói, động năng trung bình của phân tử khí đượ c phân bố đều theo các bậc tự do, mỗi

bậc là2

1 kT.

Tổng quát, Boltzmann đã thiết lậ p đượ c định luật phân bố đều của năng lượ ngchuyển động nhiệt theo các bậc tự do như sau: M ột khố i khí ở tr ạng thái cân bằ ng về nhiệt độ thì năng l ượ ng chuyể n động nhiệt của các phân t ử khí đượ c phân bố đề u theo

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chöông 8: CAÙC NGUYEÂN LÍ NHIEÄT ÑOÄNG HOÏC 173

bậc t ự do, mỗ i bậc là ½ kT . Nếu gọi i là số bậc tự do của phân tử khí, thì năng lượ ng

chuyển động nhiệt của một khối khí là: RTm

2

iE

µ= (8.3)

Phân tử khí có 1 , 2 , 3 nguyên tử thì i = 3 , 5 , 62 – Nội năng – nội năng của khí lý tưở ng:

Ta biết, năng lượ ng là thuộc tính của vật chất đặc tr ưng cho mức độ vận độngcủa vật chất. Nội năng U của một hệ là phần năng lượ ng ứng vớ i sự vận động ở bêntrong hệ, bao gồm năng lượ ng chuyển động nhiệt E, thế năng tươ ng tác giữa các phântử khí Et và phần năng lượ ng bên trong mỗi phân tử EP.

U = E + Et + EP (8.4)Đối vớ i khí lý tưở ng, ta bỏ qua thế năng tươ ng tác giữa các phân tử, nên:

U = E + EP (8.5)Vớ i các biến đổi tr ạng thái thông thườ ng, không làm thay đổi đến tr ạng thái bên trongcủa phân tử, nên E p = const.

Vậy: dU = dE =µ

m

2

iRdT (8.6)

Độ biế n thiên nội năng của một khố i khí lí t ưở ng bằ ng độ biế n thiên năng l ượ ngchuyể n động nhiệt của khố i khí đ ó.

3 – Nhiệt lượ ng và công:

Khi một hệ nhiệt động trao đổi năng lượ ng vớ i bên ngoài thì phần năng lượ ngtrao đổi đó đượ c thể hiện dướ i dạng công và nhiệt lượ ng.

Ví dụ: khí nóng trong xylanh đẩy piston chuyển động đi lên, ta nói khí đã sinhcông A. Ngoài ra nó còn làm nóng piston. Phần năng lượ ng khí truyền tr ực tiế p cho piston để làm piston nóng lên, đượ c gọi là nhiệt lượ ng Q.

Vậy: nhiệt l ượ ng (g ọi t ắ t là nhi ệt ) chính là phần năng l ượ ng chuyể n động

nhiệt trao đổ i tr ự c tiế p giữ a các phân t ử của hệ đ ang xét vớ i các phân t ử của môitr ườ ng bên ngoài.

Trong hệ SI, đơ n vị nhiệt lượ ng là jun (J). Tr ướ c đây, ngườ i ta dùng đơ n vị nhiệt lượ ng là calori (cal). Ta có: 1 cal = 4,18 J hay 1J = 0,24 cal

Qui ướ c về dấu:

+ Công A, nhiệt Q có giá tr ị dươ ng khi hệ nhận từ bên ngoài.

+ Công A, nhiệt Q có giá tr ị âm khi hệ cung cấ p ra bên ngoài.

Để tìm biểu thức tính công của khí, ta xét một khối khí bị nhốt trong xy lanhvà piston. Giả sử áp suất khí đẩy piston chuyển động đi lên. Khi piston dịch chuyểnmột đoạn dx thì khí sinh công: dA = F.dx = pS.dx = p.dV

vớ i dV là độ biến thiên thể tích của khí. Vì piston đi lên nên dV > 0. Mà theo qui ướ cvề dấu, khí sinh công thì A < O. Do đó ta có: dA = – pdV (8.7)WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Tr ườ ng hợ p khí bị nén (nhận công) thì dV < 0. Suy ra dA > 0 : phù hợ p vớ i qui ướ cvề dấu. Vậy (8.7) là biểu thức tính công vi cấ p của khí. Từ đó suy ra công của khí trêntoàn bộ quá trình biến đổi từ tr ạng thái (1) đến tr ạng thái (2) là:

A = (8.8)∫−)2(

)1(

pdV

dx

→

F

S

Hình 8.1: Khí nóng sinh côngvà truyề n nhiệt cho piston

Nếu quá tình biến đổi là đẳng áp thì:

A = (8.9))VV( pdV p 12

)2(

)1(

−−=− ∫

vớ i V1 và V2 là thể tích của khí ở tr ạng thái đầu

và cuối.Ý ngh ĩ a hình học của biểu thức tính

công (8.8): độ l ớ n của công bằ ng tr ị số diện tíchhình phẳ ng giớ i hạn bở i đồ thị biể u diễ n sự biế n đổ i của áp suấ t theo thể tích p = p(V)và tr ục hoành, ứ ng vớ i quá trình biế n đổ it ừ tr ạng thái (1) đế n tr ạng thái (2). Xemhình 8.2.

Công và nhiệt luôn g ắ n vớ i mộtquá trình biế n đổ i nhấ t định, ta nói côngvà nhiệt là hàm của quá trình; nội năng thìứ ng vớ i t ừ ng tr ạng thái, ta nói nội năng làhàm của tr ạng thái. Các nguyên lí của Nhiệt Động Học sẽ chỉ rõ điều kiện chuyểnhóa và mối quan hệ định lượ ng giữa côngA, nhiệt Q và nội năng U của một hệ nhiệt động.

(1)

P

A (2)

O V

Hình 8.2: Ý nghĩ a hình họccủa biể u thứ c tính công

§8.2 NGUYÊN LÝ I NHIỆT ĐỘNG HỌC

1 – Nội dung Nguyên lý I:

Nguyên lý I Nhiệt Động Học có thể phát biểu dướ i nhiều hình thức tươ ngđươ ng như cách phát biểu sau: Độ biế n thiên nội năng của hệ trong một qúa trình biế nđổ i bấ t kì luôn bằ ng t ổ ng công và nhiệt mà hệ đ ã trao đổ i vớ i bên ngoài trong quátrình biế n đổ i đ ó.

dU = δA + δQ hay ∆U = A + Q (8.10)Chú ý: δA , δQ và dU là các vi phân của công, nhiệt và nội năng. Nhưng U là mộthàm tr ạng thái, độ biến thiên của nó không phụ thuộc vào quá trình biến đổi mà chỉ phụ thuộc tr ạng thái đầu và cuối của quá trình, nên vi phân của nó là một vi phân toàn phần, ta viết dU. Công và nhiệt là các hàm của quá trình, sự biến thiên của chúng phụ thuộc vào từng quá trình cụ thể, nên vi phân của chúng là những vi phân không hoànchỉnh, ta viết δA, δQ (thay cho dA, dQ).

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2 – Hệ qủa của nguyên lý I:

a) Công và nhi ệt sau một chu trình:

Một quá trình biến đổi sao cho tr ạng thái đầu và cuối của hệ trùng nhau (các

thông số tr ạng thái cuối và đầu tươ ng ứng bằng nhau) thì đó là một quá trình kín haycòn gọi là chu trình.

Rõ ràng sau mỗi một chu trình, nội năng của hệ không thay đổi. Từ (8.10) suyra: A + Q = 0 hay A = – Q (8.11)

Vậy: sau một chu trình biế n đổ i, nế u hệ nhận bao nhiêu công thì cung cấ p bấ y nhiêunhiệt cho môi tr ườ ng ngoài và ng ượ c l ại, nế u hệ nhận bao nhiêu nhiệt thì sinh bấ ynhiêu công .

b) Đố i vớ i hệ cô l ậ p:

Hệ cô lậ p thì không trao đổi nhiệt và công vớ i bên ngoài. Ta có: A = Q = 0.Theo (8.10) suy ra: ∆U = 0 hay U = const. Vậy nội năng của hệ cô l ậ p đượ c bảo toàn.

Nếu hệ cô lậ p gồm hai vật chỉ trao đổi nhiệt vớ i nhau và giả sử Q1 , Q2 lànhiệt lượ ng mà hai vật đã trao đổi cho nhau thì: Q1 + Q2 = Q = 0 hay Q1 = – Q2

Nhiệt l ượ ng mà vật này t ỏa ra bằ ng nhiệt l ượ ng mà vật kia đ ã thu vào.

Ví dụ: cục nướ c đá bỏ vào ly nướ c nóng: nhiệt lượ ng mà cục nướ c đá đã thu vào để làm tan đá, đúng bằng nhiệt lượ ng của nướ c tỏa ra.

3 – Ứ ng dụng nguyên lí I khảo sát định lượ ng các quá trình biến đổi:

a) Nhiệt dung riêng của chấ t khí:

Nhiệt dung riêng của một chất là nhiệt lượ ng cần thiết để đưa nhiệt độ của mộtđơ n vị khối lượ ng chất đó tăng lên một độ. Nhiệt dung riêng kí hiệu là c (viết thườ ng):

dT

Q

m

1c

δ= hay cmdTQ =δ (8.12)

Nhiệt dung riêng phân t ử (nhiệt dung mol) của một chấ t khí là nhiệt l ượ ng cầnthiế t để đư a nhiệt độ của một mol chấ t khí đ ó t ăng lên một độ. Nhiệt dung riêng phântử kí hiệu là C (viết in): C = µc (8.13)

vớ i µ là khối lượ ng mol của chất khí.

Có hai cách đun nóng một chất khí từ nhiệt độ T lên T’ = T + dT: đun nóngđẳng tích và đun nóng đẳng áp. Đun nóng đẳng tích thì nhiệt lượ ng cần là dQV, đẳngáp là dQ p. Vớ i chất r ắn hoặc chất lỏng thì hai nhiệt lượ ng này bằng nhau, nhưng vớ i

chất khí, hai nhiệt lượ ng này khác nhau. Do đó nhiệt dung riêng của chất khí trong haitr ườ ng hợ p phải khác nhau. Vậy vớ i chất khí, cần phân biệt hai loại nhiệt dung riêng phân tử:

• Nhiệt dung riêng phân tử đẳng tích:dT

Q.

mC V

V

δµ= (8.14)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




• Nhiệt dung riêng phân tử đẳng áp:dT

Q.

mC p

p

δµ= (8.15)

Trong đó: µ là khối lượ ng của một mol khí; m là khối lượ ng của khí.

Trong hệ SI, đơ n vị đo nhiệt dung riêng là J/kgđộ; đo nhiệt dung riêng phân tử là J/molđộ.

b) H ệ thứ c Mayer:

Xét một chất khí biến đổi từ tr ạng thái (1) đến tr ạng thái (2) theo hai conđườ ng: đẳng tích và đẳng áp. Theo nguyên lí I nhiệt động học, ta có:

dU = δQ + δA = δQ – pdV . Mà dU =

µ

m

2

iRdT

Suy ra:µ

m

2

iRdT = δQ – pdV (8.16)

* Tr ườ ng hợ p biến đổi đẳng tích: dV = 0. Từ (8.16) suy ra: δQV =µ

m

2

iRdT

Vậy:

dT

Q.

m

C VV

δµ= = R

2

i (8.17)

* Tr ườ ng hợ p biến đổi đẳng áp: Từ phươ ng trình tr ạng thái khí lí tưở ng: RTm

pVµ

= ,

lấy vi phân hai vế, ta có: pdV + Vdp = RdTm

µ. Do quá trình là đẳng áp nên dp = 0.

Suy ra: pdV = RdTm

µ. Thay vào (8.16) ta đượ c:

µ

m

2

iRdT = δQ p – RdT

m

µ

Hay δQ p = RdTm

)12

i(

µ+ . Vậy:

dT

Q.

mC p

p

δµ= = R )1

2

i( + (8.18)

Từ (8.17) và (8.18) suy ra: R CC V p =− (8.19)

Hệ thức (8.19) đượ c gọi là hệ thức Mayer, diễn tả quan hệ giữa nhiệt dung riêng phântử đẳng áp và đẳng tích. (8.19) chứng tỏ C p > CV. Điều này có ngh ĩ a, nhiệt lượ ng cungcấ p cho cùng một khối khí để nhiệt độ của nó tăng lên một độ trong quá trình đẳng áp

bao giờ cũng lớ n hơ n trong quá trình đẳng tích.c) Khảo sát quá trình biế n đổ i đẳ ng tích: V= const ⇒ δA = – pdV = 0 ⇒ A = 0

Theo (8.10) suy ra: dU = δQV = dTCm

RdT2

imVµ

=µ

WW

D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Vậy: ∆U = QV = T.R 2

im∆

µ= T.C

mV ∆

µ (8.20)

d) Khảo sát quá trình biế n đổ i đẳ ng áp: p = const suy ra công trong quá trình đẳng

áp là: A = T.R m

)TT(R m

)VV( p pdV 12

)2(

)1(

12 ∆µ

−=−µ

−=−−=− ∫ (8.21)

Theo (8.10) và (8.6) suy ra, nhiệt lượ ng: Q p = ∆U – A =µ

m

2

iR ∆T + T.R

m∆

µ

Vậy: Q p = T.Cm

T.R )12

i(

m p ∆

µ=∆+

µ (8.21)

e) Khảo sát quá trình biế n đổ i đẳ ng nhiệt: T = const ⇒ dU =µ

m

2

iRdT = 0

(8.10) ⇒ δQ = – δA hay Q = – A . Mà pV = RTm

µ ⇒ p =

V

1.RT

m

µ

Do đó, công trong quá trình biến đổi đẳng nhiệt là:

A = )VVln(RTm

VdVRTm pdV

2

1

)2(

)1(

)2(

)1( µ=

µ−=− ∫∫

Vậy, quá trình đẳng nhiệt thì: A = Q)V

Vln(RT

m

2

1 −=µ

(8.22)

f) Khảo sát quá trình biế n đổ i đ oạn nhiệt: δQ = 0. (8.10) ⇒ dU = δA = – pdV

Mà: dU = dTC

m

RdT2

imVµ=µ ⇒ VV C

pdV

C

dU

dT

m

−==µ

Mặt khác: pV = RTm

µ ⇒ pdV + Vdp = RdT

m

µ= R(

VC

pdV− )

⇒ CV pdV + VdpCV + RpdV = 0 ⇒ p(CV + R)dV + CVVdp = 0

K ết hợ p (8.19) ta có: pC pdV + VCVdp = 0 (*)

Đặt: i 2iR )2/i( R )12/i(C

C

V

p +=+==γ (8.23)

γ : gọi là hệ số biến đổi đoạn nhiệt hay chỉ số đoạn nhiệt, hay hệ số Poisson.

Thay (8.23) vào (*), ta đượ c: p dV + Vdp = 0.γ

Chia hai vế cho tích (pV) r ồi tích phân hai vế, ta đượ c:

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




const) pVln(const plnVln0 p

dp

V

dV=⇒=+γ⇒=+γ γ

Vậy: (8.24)const pV =γ

Rút p từ phươ ng trình tr ạng thái khí lí tưở ng r ồi thay vào (8.24), ta có:

(8.25)constT.V 1 =−γ

Nếu rút V từ phươ ng trình tr ạng thái khí lí tưở ng r ồi thay vào (8.24), ta có:

(8.26)const pT 1 =−γγ

(8.24), (8.25), (8.26) đượ c gọi là các công thức Laplace.

Bây giờ , để tính công trong quá trình biến đổi đoạn nhiệt từ tr ạng thái (1) đếntr ạng thái (2), ta dựa vào (8.24): , suy ra:γγ = 11V p pV

γ

γ

=V

V p p 11

Do đó: A = )VV(1

V p

V

dVV p pdV 1

112

11)2(

)1(

11

)2(

)1(

γ−γ−γ

γγ −

−γ=−=− ∫∫

Hay: A = )V pVV p(

1

111

1211 −

−γ

γ−γ

Mà từ (8.24) ta có: . Suy ra: A =γγ = 2211 V pV p )V pV p(1

11122 −

−γ

Vậy, công trong quá trình biến đổi đoạn nhiệt là:

)TT(

1

R m

)V pV p(

1

1A 121122 −

−γ

µ=−

−γ

= (8.27)

§8.3 NGUYÊN LÝ II NHIỆT ĐỘNG HỌC

1 – Nhữ ng hạn chế của nguyên lý I:

Các hiện tượ ng xảy ra trong tự nhiên đều tuân theo nguyên lý I nhiệt độnghọc. Tuy nhiên, một số hiện tượ ng, về mặt lý thuyết, thỏa mãn nguyên lý I nhưng lại

không xảy ra trong thực tế. Để minh hoạ điều này, ta xét 2 thí dụ sau đây:* Thí dụ 1: Dựa vào nguyên lý I, ta chế tạo ra một động cơ nhiệt đặt trên tầu

thủy. Động cơ lấy nhiệt của nướ c biển để tạo công làm chạy tầu thủy. Ngườ i ta ướ ctính, chỉ cần hạ nhiệt độ của nướ c biển đi 1o C thì Đại dươ ng sẽ cung cấ p cho ta mộtnhiệt lượ ng đủ dùng cho tất cả các động cơ nhiệt trên trái đất chạy hàng ngàn năm. Nhưng thực tế , ta không thể chế tạo ra động cơ nhiệt loại này.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Thực tế chỉ có thể tạo đượ c động cơ nhiệt làm việc vớ i 2 nguồn nhiệt: nhậncủa nguồn nóng một nhiệt lượ ng Q1 và tr ả bớ t cho nguồn lạnh một nhiệt lượ ng Q2 đồng thờ i mớ i tạo công A.

Vậy: hệ muố n sinh công thì phải tiế p xúc vớ i 2 nguồn nhiệt; nhiệt không thể biế n hoàn toàn thành công đượ c. Hạn chế thứ nhất của nguyên lý I là không nói đếnđiều này – không nói đế n đ iề u kiện chuyể n hoá giữ a công và nhiệt.

* Thí dụ 2: Nguyên lý I khẳng định nhiệt có thể truyền từ vật này sang vậtkhác, nhưng không nói rõ từ vật nóng sang vật lạnh hay từ vật lạnh sang vật nóng.Trên thực tế, nhiệt có thể tự truyền từ vật nóng sang vật lạnh, nhưng không thể truyềntừ vật lạnh sang vật nóng một cách tự phát đượ c. Hạn chế thứ hai của nguyên lý I làkhông nói rõ chiề u diễ n biế n trong các quá trình. Nguyên lý II của Nhiệt Động Học sẽ bổ xung, khắc phục những hạn chế trên.

2 – Nội dung nguyên lý II:• Phát biểu của Clausius: Nhiệt không thể t ự động truyề n t ừ vật l ạnh sang vật

nóng.Nói cách khác, sự truyề n nhiệt t ừ vật l ạnh sang vật nóng không thể xả yra nế u không có sự bù tr ừ nào.

• Phát biểu của Thomson và Carnot: Không thể chế t ạo đượ c động cơ nhiệthoạt động tuần hoàn, liên t ục biế n nhi ệt thành công mà môi tr ườ ng xungquanh không chiụ sự biế n đổ i nào.

•

Phát biểu của Kelvin: M ột hệ nhiệt động học không thể t ạo công nế u chỉ tiế p xúc vớ i một nguồn nhiệt duy nhấ t.

3 – Quá trình thuận nghịch và qúa trình không thuận nghịch:

M ột quá trình biế n đổ i của hệ nhiệt động t ừ tr ạng thái (1) đế n tr ạng thái (2)đượ c g ọi là thuận ngh ị ch nế u nó có thể tiế n hành theo chiề u ng ượ c l ại và ở l ượ t về (quá trình ng ượ c), hệ đ i qua t ấ t cả các tr ạng thái trung gian như ở l ượ t đ i (qúa trìnhthuận). Trái l ại là quá trình bấ t thuận ngh ị ch.

Đối vớ i qúa trình thuận nghịch, nếu ở lượ t đi hệ nhận công A thì ở lượ t về, hệ

tr ả đúng công A cho môi tr ườ ng. Do đó, tổng công sau khi thực hiện quá trình thuậnvà quá trình ngượ c là A = 0. Mà sau khi thực hiện quá trình thuận và quá trình ngượ cthì hệ tr ở về tr ạng thái ban đầu nên nội năng của hệ không đổi ⇒ dU = 0 ⇒ Q = 0.Vậy, đối vớ i qúa trình thuận nghịch thì sau khi thực hiện quá trình thuận và quá trìnhngượ c môi tr ườ ng không bị thay đổi.

Quá trình thận nghịch là quá trình lý tưở ng (thực tế không xảy ra). Tuy nhiên,k ết qủa nghiên cứu đối vớ i quá trình thuận nghịch sẽ đượ c suy r ộng cho qúa trình bấtthuận nghịch.

4 – Hiệu suất động cơ nhiệt – Định lý Carnot:Động cơ nhiệt là một máy (thiết bị) biến nhiệt thành công.

Sơ đồ nguyên lý hoạt động đượ c mô tả ở hình 8.3: gồm có 2 nguồn nhiệt(nguồn nóng T1 và nguồng lạnh T2) và một môi tr ườ ng nhiệt động làm nhiệm vụ biếnnhiệt thành công – ta gọi môi tr ườ ng này là “tác nhân” hay “chất môi”.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Khi động cơ hoạt động, nguồn nóng T1 truyền cho chất môi một nhiệt lượ ngQ1. Chất môi sẽ giãn nở và sinh công A r ồi tr ả cho nguồn lạnh một nhiệt lượ ng Q2.

Như vậy, hiệu suất của động cơ nhiệt là:

H =1

2

1

2

1

21

1 QQ1

QQ1

QQQ

Q|A| +=−=−= (8.28)

Chú ý theo qui ướ c: A, Q2 < 0 vì là nhiệtlượ ng khí cung cấ p ra bên ngoài.

Tácnhân

Q2

Q1

Nguồn lạnh T2

Nguồn nóng T1Đa số các động cơ nhiệt hoạt động

tuần hoàn theo những chu trình. Chu trình cólợ i nhất (lí tưở ng) là chu trình Carnot (do

Sadi Carnot, k ỹ sư ngườ i Pháp, đưa ra năm1824). Đây là một chu trình thuận nghịch.

Chu trình Carnot: Gồm 4 quá trình liêntiế p: A

• Quá trình biến đổi đẳng nhiệt: Hệ nhận của nguồn nóng T1 một nhiệtlượ ng Q1 để giãn khí từ tr ạng thái (1)đến tr ạng thái (2), đồng thờ i cung cấ p

cho môi tr ườ ng ngoài một công A1.Hình 8.3: S ơ đồ nguyên lý hoạt

động của động cơ nhiệt• Quá trình giãn khí đoạn nhiệt:

Hệ tiế p tục biến đổi đoạn nhiệttừ nhiệt độ T1 sang T2 và cungcấ p cho môi tr ươ ng ngoài côngA2.

p

(4)

(3)

(2)

(1)

• Quá trình nén khí đẳng nhiệt:Hệ nhận công A3 , nén khí từ

tr ạng thái (3) về (4) và tr ả chonguồn lạnh T2 một nhiệt lượ ngQ2.

VO

• Quá trình nén khí đoạn nhiệt:Hệ tiế p tục nhận công A4 , nénkhí từ tr ạng thái (4) về tr ạng thái đầu (1).

Đối vớ i chu trình Carnot, k ết hợ p (8.24) và phươ ng trình tr ạng thái khí lí

tưở ng trong các giai đoạn đẳng nhiệt, ta chứng minh đượ c:4

3

1

2

V

V

V

V

= (8.29)

Hình 8.4: Chu trình Carnot (thuận)

(8.29) gọi là điều kiện khép kín của chu trình Carnot.

Định lý Carnot:WW

D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




- Hiệu suấ t của các động cơ nhiệt chạ y theo chu trình không thuận nghịch thìluôn nhỏ hơ n hiệu suấ t của động cơ nhiệt chạ y theo chu trình thuận nghịch.

- Hiệu suấ t của động cơ nhiệt chạ y theo chu trình Carnot không phụ thuộc vào

tác nhân, chỉ ph

ụ thu

ộc vào nhi

ệtđộ

của các ngu

ồn nhi

ệt theo bi

ể u th

ứ c:

1

2

T

T1H −= (8.30)

Thật vậy, công của khí sau một chu trình: A = A12 + A23 + A34 + A41.

Vớ i : A12 = )V

Vln(RT

m

2

11µ

; A34 = )V

Vln(RT

m

4

32µ

(xem 8.22)

23 2 1

m R A (T T )

1µ

= −γ −

; 41 1 2

m R A (T T )

1µ

= −γ −

(xem 8.27)

Do đó: A = )V

Vln(RT

m

2

11µ

+ )V

Vln(RT

m

4

32µ

Từ điều kiện khép kín (8.29) suy ra 3 1

4 2

V Vln( ) ln( )

V V= −

Suy ra: A = 11 2

2

VmR ln( )(T T )

V −

µ< 0

Điều này chứng tỏ sau một chu trình, khí cung cấ p ra bên ngoài một công:

|A| = 21 2

1

VmR ln( )(T T )

V −

µ

Mà nhiệt lượ ng khí nhận đượ c từ nguồn nóng ở giai đoạn giãn nở đẳng nhiệt là Q1.

Theo (8.22), ta có: 1 21 1 1 1

2 1

V Vm mQ A RT ln( ) RT ln( )

V V= − = − =

µ µ.

Vậy hiệu suất của động cơ nhiệt chạy theo chu trình Carnot là:

1 2 2

1 1

T T T| A |H

Q T 1

1T

−= = = − (điều phải chứng minh)

Từ định lý Carnot, ta rút ra nhận xét: trên thực tế, muốn tăng hiệu suất củađộng cơ nhiệt, ta phải tăng nhiệt độ của nguồn nóng và giảm nhiệt độ của nguồn lạnh;ngoài ra phải giảm bớ t các mất mát về nhiệt để nó chạy theo chu trình gần vớ i chutrình thuận nghịch.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




5 – Hệ số làm lạnh:

Q2

Tácnhân

Q1

Nguồn lạnh T2

Nguồn nóng T1Máy làm lạnh là thiết bị biến công

thành nhiệt. Máy làm lạnh và động cơ nhiệt

đượ c gọi chung là Máy Nhiệt . Sơ đồ nguyên lý hoạt động của máy

làm lạnh đượ c mô tả ở hình 8.5. Đầu tiên tácnhân nhận của môi tr ườ ng ngoài một côngA để lấy đi từ nguồn lạnh một nhiệt lượ ngQ2 ; sau đó tr ả cho nguồn nóng một nhiệtlượ ng Q1. Ta định ngh ĩ a hệ số làm lạnh là:

A

ε = A

Q 2

(8.31)Hình 8.5: S ơ đồ nguyên lý hoạt

động của máy làm l ạnh(đôi khi ngườ i ta cũng gọi 8.31 là hiệu suấtlàm lạnh).

Máy làm lạnh cũng làm việc tuần hoàn, tuân theo một chu trình nhất định.Chu trình có lợ i nhất là chu trình Carnot nghịch. Ở động cơ nhiệt, ta có chu trìnhCarnot thuận; bây giờ ta cho chu trình ấy chạy theo chiều ngượ c lại thì ta có chu trìnhCarnot nghịch. Đây chính là chu trình làm việc của máy lạnh. Nó cũng gồm 4 giaiđoạn:

• Hệ nhận công A1 để nén khí đoạn nhiệt từ tr ạng thái (1) sang tr ạng thái (2).• Hệ tiế p tục nhận công A2 để

nén khí đẳng nhiệt từ tr ạng thái(2) sang tr ạng thái (3), đồngthờ i tr ả cho nguồn nóng nhiệtlượ ng Q1.

• Giãn khí đoạn nhiệt từ tr ạngthái (3) sang tr ạng thái (4).

• Giãn khí đẳng nhiệt từ tr ạngthái (4) sang tr ạng thái (1),đồng thờ i nhận của nguồn lạnhnhiệt lượ ng Q2 k ết thúc một chutrình.

Đối vớ i máy làm lạnh chạy theo chu trình Carnot, tươ ng tự, ta cũng chứngminh đượ c hệ số làm lạnh của máy không phụ thuộc vào tác nhân, chỉ phụ thuộc vào

nhiệt độ của nguồn nóng và nguồn lạnh: ε =21

2

TT

T

− (8.32)

Vậy: máy nhiệt hoạt động theo chu trình Carnot là một máy thuận nghịch. Hiệu suấ t của các máy thuận nghịch chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của nguồn nóng vànguồn l ạnh.

(4) (1)

(2)

(3)

p

OV

Hình 8.6: Chu trình Carnot nghịch

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




6 – Biểu thứ c định lượ ng của nguyên lý II

Từ (8.28) và (8.30) ta có: H = 1 +1

2

1

2

T

T1

Q

Q−=

Suy ra: 0T

Q

T

Q

T

T

Q

Q

2

2

1

1

1

2

1

2 =+⇒−=

GọiT

Q là nhiệt lượ ng rút gọn, ta có: ∑ = 0

T

Q

i

i (8.33)

Vậy, một động cơ nhiệt chạ y theo chu trình Carnot thuận nghịch thì t ổ ng nhiệt l ượ ngrút g ọn trong một chu trình sẽ bằ ng không.

Đối vớ i động cơ bất thuận nghịch thì hiệu suất luôn nhỏ hơ n động cơ thuận

nghịch, ta có: H = 1 +1

2

1

2

T

T1

Q

Q−< ⇒ 0

T

Q

T

Q

T

T

Q

Q

2

2

1

1

1

2

1

2 <+⇒−<

Hay ∑ < 0T

Q

i

i (8.34)

Tổng quát đối vớ i một chu trình bất kì, ta có thể coi hệ tiế p xúc vớ i vô số nguồn nhiệt có nhiệt độ T biến thiên liên tục; mỗi qúa trình tiế p xúc vớ i một nguồnnhiệt là một quá trình vi phân, hệ nhận nhiệt Qδ . Khi đó các công thức (8.33) và

(8.34) tr ở thành tích phân kín: 0T

Q≤

δ∫ (8.35)

T ổ ng nhiệt l ượ ng rút g ọn trong một chu trình biế n đổ i bấ t kì của một hệ nhiệt độngkhông thể l ớ n hơ n không.

Biểu thức (8.35) đượ c gọi là bất đẳng thức Clausius – đó chính là biểu thức

định lượ ng của nguyên lý II. Trong đó, dấu “=” ứng vớ i chu trình thuận nghịch.7 – Entropy

A

B

(c)

b)

(a)a) Khái niệm Entropy:

Xét quá trình biến đổi thuận nghịch củamột hệ nhiệt động từ tr ạng thái đầu A sang tr ạngcuối B theo nhiều đườ ng khác nhau, giả sử đườ ngA-a-B và đườ ng A-b-B (hình 8.7).

Để áp dụng đượ c bất đẳng thức Clausius,ta tưở ng tưở ng có một đườ ng thứ ba đưa hệ từ tr ạng thái cuối B về tr ạng thái đầu A. Thế thì: + Đối vớ i chu trình (A-a-B-c-A), tacó:

Hình 8.7WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




0T

Q

T

Qhay0

T

Q A

B

cB

A

a =δ

+δ

=δ

∫∫∫ (*)

+ Đối vớ i chu trình (A-b-B-c-A), ta có:

0T

Q

T

Qhay0

T

Q A

B

cB

A

b =δ

+δ

=δ

∫∫∫ (**)

Vì các con đườ ng A – a – B , A – b – B là bất kì nên từ (*) và (**) suy ra:

∫∫ δ

=δ B

A

bB

A

a

T

Q

T

Q = const (8.36)

Hệ thức (8.36) chứng tỏ tổng nhiệt lượ ng rút gọn của hệ trong quá trình biếnđổi thuận nghịch từ tr ạng thái này sang tr ạng thái kia không phụ thuộc vào đườ ng biếnđổi hay quá trình biến đổi, mà chỉ phụ thuộc vào tr ạng thái đầu và tr ạng thái cuối. Đólà tính chất THẾ của các quá trình nhiệt động. Từ đó ta có thể tìm đượ c một hàm thế S, gọi là hàm tr ạng thái hay entropy, sao cho:

∫δB

A T

Q = S(B) – S(A) = ∆S hay dS =

T

Qδ (8.37)

b) Các tính chấ t của entropy:• Entropy là hàm đặc tr ưng cho tr ạng thái của hệ, không phụ thuộc vào quá

trình biến đổi của hệ từ tr ạng thái này sang tr ạng thái khác. Trong hệ SI,entropy có đơ n vị là jun trên kenvin (J/K).

• Entropy có tính cộng đượ c.

• Entropy không xác định đơ n giá mà sai kém một hằng số cộng:

S = So + ∫δ

T

Q (8.38)

trong đó So là giá tr ị entropy tại tr ạng thái gốc ; quiướ c So = 0 tại tr ạng thái T = 0 (K). Khi đó S sẽ đơ ntr ị.

Vớ i khái niệm entropy, ta có thể viết biểuthức định lượ ng của nguyên lý II dướ i dạng khác.Xét một chu trình bất thuận nghịch gồm hai quá

trình biến đổi (biểu diễn trên sơ đồ hình 8.8): quátrình A – a – B là quá trình bất thuận nghịch, quátrình B – b – A là quá trình thuận nghịch. Theo

(8.35) ta có: 0T

Q<

δ∫ . Chia tích phân kín này thành tổng hai tích phân theo hai

quá trình:

A

B

b)

a)

Hình 8.8WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




0T

Q

T

Q

)A bB()BaA(

<δ

+δ

∫∫−−−−

Vì quá trình (B – b – A) là quá trình thuận nghịch, nên khi tiến hành theo chiều ngượ c

lại, ta có: ∫∫−−−−

δ−=δ

)B bA()A bB( TQ

TQ

Do đó: ∫∫∫∫−−−−−−−−

δ<

δ⇒<

δ−

δ

)B bA()BaA()B bA()BaA( T

Q

T

Q0

T

Q

T

Q

Mà quá trình (A – b – B) là thuận nghịch, nên theo (8.37), ta có:

S)A(S)B(STQ)B bA(∆=−=δ∫−−

Vậy: ST

Q

)BaA(

∆<δ

∫−−

hay ở dạng vi phân: dST

Q<

δ (8.39)

T ổ ng nhiệt l ượ ng rút g ọn trong quá trình biế n đổ i bấ t thuận nghịch luôn nhỏ hơ n độ biế n thiên entropy.

K ết hợ p (8.39) và (8.37) suy ra, đối vớ i một quá trình biến đổi bất kì thì:

∫ δ

≥∆)B(

)A( T

QS hay ở dạng vi phân: dS

T

Qδ≥ (8.40)

(8.40) chính là dạng thứ hai của biểu thức định lượ ng của nguyên lí II, trong đó dấu“=” ứng vớ i quá trình thuận nghịch.

c) Nguyên lý t ăng entropy:

Trong một hệ cô lậ p (không trao đổi nhiệt vớ i môi tr ườ ng bên ngoài) ta có:= 0 ⇒ ∆S ≥ 0 (8.41)Qδ

Vớ i quá trình thuận nghịch: ∆S = 0 ⇒ Entropy của hệ không đổi.

Thực tế, các quá trình nhiệt động đều không thuận nghịch nên ∆S > 0. Vậy entropyluôn tăng. Ta có nguyên lý tăng entropy: “Trên thự c t ế , mọi quá trình nhiệt động xả yra trong một hệ cô l ậ p luôn theo chiề u hướ ng sao cho entropy của hệ t ăng lên”.

Từ nguyên lý tăng entropy suy ra:

• Một hệ cô lậ p không thể 2 lần cùng đi qua một tr ạng thái (vì nếu vậy, giá tr ị Ssẽ tr ở lại giá tr ị ban đầu).

• Khi hệ ở tr ạng thái cân bằng, sẽ k ết thúc mọi quá trình biến đổi. Khi đó giá tr ị S đạt cực đại. Vậy: một hệ cô l ậ p ở tr ạng thái cân bằ ng khi entropy của nócự c đại.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




d) Ý nghĩ a thố ng kê của entrôpi và nguyên lý II:

- Nguyên lý II cho thấy: nhiệt không thể tự động truyền từ vật lạnh sang vậtnóng và entropy của hệ cô lậ p không thể giảm. Nói cách khác, hệ luôn có xu

hướ

ng biếnđổ

i từ

tr ạng thái không cân b

ằng v

ề tr ạng thái cân b

ằng và khi v

ề đến tr ạng thái cân bằng r ồi, nó không thể tự động tr ở lại tr ạng thái không cân

bằng đượ c nữa.

- Entropy là thướ c đo mức độ hỗn loạn của các phân tử trong hệ. Khi entropygiảm (ví dụ đượ c làm lạnh) thì tính hỗn loạn của các phân tử cũng giảm, tínhtr ật tự tăng lên và ngượ c lại.

- Nguyên lý II chỉ áp dụng cho hệ v ĩ mô gồm một số r ất lớ n các phân tử (khi đóta có thể bỏ qua ảnh hưở ng của những thăng giáng).


8.1 Một mol khí Hyđro giãn nở đẳng áp ở p = 2atm, từ thể tích V1 = 15 lít đến V2 =20 lít. Tính công của khí sinh ra và nhiệt lượ ng mà khí đã trao đổi vớ i bên ngoàitrong quá trình đó.

8.2 Một mol khí Oxy giãn đẳng nhiệt ở T = 310K từ thể tích V1 = 12 lít đến V2 = 19lít. Tính công của khí sinh ra và nhiệt lượ ng mà khí đã trao đổi vớ i bên ngoài

trong quá trình đó.8.3 Một động cơ nhiệt nhận của nguồn nóng 52 kcal và tr ả cho nguồn lạnh 36 kcal

nhiệt lượ ng trong mỗi chu trình. Tính hiệu suất của động cơ .

8.4 Một động cơ đốt trong thực hiện 95 chu trình trong mỗi giây. Công suất cơ họccủa động cơ là 120hP. Hiệu suất của động cơ là 40%. Hãy tính xem trong mỗi chutrình thì công của khí sinh ra là bao nhiêu? (coi 1hP = 736W).

8.5 Một máy nhiệt lý tưở ng làm việc theo chu trình Carnot có nguồn nóng ở 117oC,nguồn lạnh ở 27oC. Máy nhận của nguồn nóng một nhiệt lượ ng 6300 J trong mỗi

giây. Tính công suất của máy.8.6 Một động cơ nhiệt lý tưở ng làm việc theo chu trình Carnot, nhả cho nguồn lạnh

80% nhiệt lượ ng mà nó thu đượ c từ nguồn nóng. Tính công mà động cơ sinh ratrong một chu trình, nếu nhiệt lượ ng thu vào từ nguồn nóng trong một chu trìnhlà 1,5 kcal (1cal = 0,24J).

8.7 Một động cơ đốt trong thực hiện 120 chu trình trong mỗi phút. Công suất củađộng cơ là 120W Hiệu suất của động cơ là 40%. Hãy tính xem trong mỗi chutrình thì nhiệt lượ ng nhận đượ c từ khí nóng là bao nhiêu? nhiệt lượ ng thải ra

ngoài là bao nhiêu?8.8 Một động cơ nhiệt Carnot làm việc vớ i hai nguồn nhiệtcó nhiệt độ 127oC và 27oC.

Trong mỗi chu trình, nguồn lạnh nhận đượ c từ tác nhân một nhiệt lượ ng 7,5 kcal.Thờ i gian thực hiện một chu trình là 2 giây. Biết r ằng cứ mỗi kg nhiên liệu bị đốtcháy hoàn toàn thì cung cấ p cho tác nhân một nhiệt lượ ng là 10 4 kcal. Tính lượ ngnhiên liệu tiêu thụ để chạy động cơ trong hai giờ và hiệu suất của động cơ .

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




8.9 Tìm động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các phân tử khí trong một bình chứa ở nhiệt độ 27oC.

8.10 Một lượ ng khí thực hiện chu trình

biếnđổ

i như

đồ

thị hình 8.9.

Ở đ

iềukiện chuẩn, khối khí có thể tích Vo

= 8,19 lít; t1 = 27oC; V1 = 5 lít; t3 =127oC; V3 = 6 lít.

V(3)

0

V1

V4

T3T1 T2

(2)

(4

(1)

T4

a) Tính công do khí thực hiện saumỗi chu trình biến đổi.

b) Tính áp suất khí ở tr ạng thái (1);

c) Tính nhiệt độ T2. T

Hình 8.9

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chöông 9: ĐIỆ N TR ƯỜ NG TĨ NH 189

Chươ ng 9

ĐIỆN TR ƯỜ NG TĨNH

§9.1 TƯƠ NG TÁC ĐIỆN – ĐỊNH LUẬT COULOMB

1 – Điện tích – định luật bảo toàn điện tích:

Từ xa xưa, con ngườ i đã biết hiện tượ ng một số vật sau khi cọ sát thì chúng cóthể hút hoặc đẩ y nhau và chúng hút đượ c các vật nhẹ. Ngườ i ta gọi chúng là các vật

nhiễ m đ iện và phân biệt thành hai loại nhiễm điện d ươ ng và âm. Đầu thế k ỉ XVII,

ngườ i ta mớ i nghiên cứu l ĩ nh vực này như một ngành khoa học.Các vật nhiễm điện có chứa đ iện tích. Trong tự nhiên, tồn tại hai loại điện

tích: d ươ ng và âm. Điện tích chứa trong một vật bất k ỳ luôn bằng số nguyên lần đ iệntích nguyên t ố – điện tích có giá tr ị nhỏ nhấ t trong tự nhiên. Đơ n vị đo điện tích làcoulomb, kí hiệu là C. Giá tr ị tuyệt đối của điện tích đượ c gọi là đ iện l ượ ng.

• Điện tích của hạt electron là điện tích nguyên tố âm: – e = – 1,6.10 – 19 C.

• Điện tích của hạt proton là điện tích nguyên tố dươ ng: +e = 1,6.10 – 19 C.

Điện tích dươ ng và điện tích âm có thể trung hoà lẫn nhau nhưng t ổ ng đại số các đ iện tích trong một hệ cô l ậ p là không đổ i – đó là nội dung của định luật bảo toànđiện tích.

2 – Định luật Coulomb:

Các điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, trái dấu thì hút nhau. Tươ ng tác giữa cácđiện tích đượ c gọi là tươ ng tác điện.

Năm 1785, bằng thực nghiệm, Coulomb (nhà Bác học ngườ i Pháp 1736 –1806) đã xác lậ p đượ c biểu thức định lượ ng của lực tươ ng tác giữa hai điện tích cókích thướ c r ất nhỏ so vớ i khoảng cách giữa chúng – gọi là đ iện tích đ iể m, đặt đứngyên trong chân không.

• Phát biểu định luật: Lự c t ươ ng tác giữ a hai đ iện tích đ iể m đứ ng yên

trong chân không có phươ ng nằ m trên đườ ng thẳ ng nố i hai đ iện tích đ ó,

có chiề u đẩ y nhau nế u chúng cùng d ấ u và hút nhau nế u chúng trái d ấ u,

có độ l ớ n t ỉ l ệ thuận vớ i tích độ l ớ n của hai đ iện tích và t ỉ l ệ nghịch vớ ibình phươ ng khoảng cách giữ a chúng .

• Biểu thứ c: 221

o2

21o

r q.q.

41

r q.qk F πε== (9.1)

Trong đó: k =o.4

1

επ= 9.10 9 (Nm2/C2) – là hệ số tỉ lệ;WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




εo = 910.36

1

π= 8,85.10 – 12 (F/m) – là hằng số điện.

Trong chất điện môi đồng nhất và đẳng hướ ng, lực tươ ng tác giữa các điện tích giảm

đi ε lần so vớ i lực tươ ng tác trong chân không:

1 2 1 2o2

o

q .q q .qF 1F k

r 4 r = = =

ε ε πεε 2 (9.2)

ε gọi là hệ số điện môi của môi tr ườ ng đó. ε là đại lượ ng không thứ nguyên, có giá tr ị tùy theo môi tr ườ ng, nhưng luôn lớ n hơ n 1. Bảng 9.1 cho biết hệ số điện môi của mộtsố chất thông dụng.

Bảng 9.1: Hệ số điện môi của một số chất

Vật liệu ε Vật liệu ε

Chân không

Không khí

Dầu hỏa (20oC)

Dầu biến thế

Nướ c (20oC)

Ebônít

1

1,0006

2,2

4,5

80

2,7 – 2,9

R ượ u êtilic (20oC)

Giấy

Sứ

Mica

Gốm titan

Thủy tinh

25

3,5

6,5

5,5

130

5 – 10

→

12r +

q2

+

q1 →

12F

→

21r +q2

+q1→

21F

Hình 9.1: Lự c t ươ ng tác giữ a 2 đ iện tích đ iể m

Nếu gọi là vectơ khoảng cách hướ ng từ q→

12r 1 đến q2 thì lực do q1 tác dụng

lên q2 đượ c viết là:r

r .

r 4

q.qF 12

2o

21

12

→→

πεε= (9.3)

Tươ ng tự, lực do q2 tác dụng lên q1 là:r

r .

r 4

q.qF 21

2o

2121

→→

πεε= (9.4)WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Tổng quát, lực do điện tích qi tác dụng lện điện tích q j là:i j ij

ij 2o

q q r F

4 r r

→→

=πεε

. (9.5)

trong đó là vectơ khoảng cách hướ ng từ qijr →

i đến q j.

3 – Nguyên lý tổng hợ p các lự c t ĩ nh điện:

Gọi lần lượ t là các lực do điện tích q→→→

n21 F...,,F,F 1, q2, …, qn tác dụng lên qo.

Khi đó lực tổng hợ p tác dụng lên qo sẽ là:

(9.6)∑=

→→→→→

=+++=n

1iin21 FF...FFF

Dựa vào nguyên lý này, ngườ i ta chứng minh đượ c lực tươ ng tác giữa hai quả cầu tích điện đều giống nhưng tươ ng tác giữa hai điện tích điểm đặt tại tâm của chúng.

§9.2 ĐIỆN TR ƯỜ NG

1 – Khái niệm điện trườ ng:

Định luật Coulomb thể hiện quan điểm t ươ ng tác xa, ngh ĩ a là tươ ng tác giữacác điện tích xảy ra tức thờ i, bất k ể khoảng cách giữa chúng là bao nhiêu. Nói cách

khác, vật tốc truyền tươ ng tác là vô hạn.Theo quan điểm t ươ ng tác g ần, sở d ĩ các điện tích tác dụng lực lên nhau đượ c

là nhờ một môi tr ườ ng vật chấ t đặc biệt bao quanh các điện tích – đó là đ iện tr ườ ng .Tính chất cơ bản của điện tr ườ ng là tác dụng lực lên các điện tích khác đặt trong nó.Chính nhờ vào tính chất cơ bản này mà tá biết đượ c sự ccó mặt của điện tr ườ ng. Như vậy, theo quan điểm tươ ng tác gần, hai điện tích q1 và q2 không tr ực tiế p tác dụng lênnhau mà điện tích thứ nhất gây ra xung quanh nó một điện tr ườ ng và chính điệntr ườ ng đó mớ i tác dụng lực lên điện tích kia. Lực này gọi là l ự c đ iện tr ườ ng .

Khoa học hiện đại đã xác nhận sự đúng đắn của thuyết tươ ng tác gần và sự tồntại của điện tr ườ ng. Điện tr ườ ng là môi tr ườ ng vật chấ t đặc biệt, t ồn t ại xung quanh

các đ iện tích và tác d ụng l ự c lên đ iện tích khác đặt trong nó.

2 – Vectơ cườ ng độ điện trườ ng:

Xét điểm M bất kì trong điện tr ườ ng, lần lượ t đặt tại M các điện tích điểm q1,

q2, …, qn (gọi là các điện tích thử), r ồi xác định các lực điện tr ườ ng , , … ,

tươ ng ứng. K ết quả thực nghiệm cho thấy: tỉ số giữa lực tác dụng lên mỗi điện tích và

tr ị số của điện tích đó là một đại lượ ng không phụ thuộc vào các điện tích thử mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm M trong điện tr ườ ng:

1F→

2F→

nF→

→→→→

==== constq

F...

q

F

q

F

n

n

2

2

1

1 WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hằng vectơ đó đặc tr ưng cho điện tr ườ ng tại điểm M cả về phươ ng chiều và độ lớ n,

đượ c gọi là vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng tại điểm M, kí hiệu là .→

E

Vậy:qFE

→

→ = (9.7)

Vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng t ại một đ iể m là đại l ượ ng đặc tr ư ng cho đ iện tr ườ ng t ại

đ iể m đ ó về phươ ng diện tác d ụng l ự c, có giá tr ị (phươ ng, chiề u và độ l ớ n) bằ ng l ự cđ iện tr ườ ng tác d ụng lên một đơ n vị đ iện tích d ươ ng đặt t ại đ iể m đ ó.

Đơ n vị đo cườ ng độ điện tr ườ ng là vôn/mét (V/m).

Nếu không đổi (cả về phươ ng chiềulẫn độ lớ n) tại mọi điểm trong điện tr ườ ng thì tacó đ iện tr ườ ng đề u.

→

E E

→

F→

F→

-+ Nếu biết vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng tạimột điểm, ta sẽ xác định đượ c lực điện tr ườ ngtác dụng lên điện tích q đặt tại điểm đó:

> 0 < 0

Hình 9.2: Lự c đ iện tr ườ ng tác

d ụng lên đ iện tích q (9.8)→→

= EqF

Nếu q > 0 thì ; Nếu q < 0 thì .→→

↑↑ EF→→

↑↓ EF

3 – Vectơ cườ ng độ điện trườ ng gây bở i một điện tích điểm:

Khi một điện tích điểm Q xuất hiện, nó sẽ gây ra xung quanh nó một điệntr ườ ng. Để xác định vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng do điện tích điểm Q gây ra tại điểmM cách nó một khoảng r, ta đặt tại M điện tích thử q. Khi đó điện tr ườ ng của Q sẽ tác

dụng lực lên q một lực xác định theo định luật Coulomb:F→

2

Qq r F k .

r r

→→

= . So sánh

vớ i (9.7), suy ra vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng tại M do điện tích điểm Q gây ra là:

2o

Q r Q r E k . .

r r 4 r r

→ →→

= =πε 2

(9.9)

Trong đó,→

r là vectơ bán kính hướ ng từ Q đến điểm M.

Nhận xét: Vectơ có:E

→

+

→

r M

Q

ME→

- Phươ ng : là đườ ng thẳng nối điện tíchQ vớ i điểm khảo sát M

ME→ →

r M-

Q

- Chi ều: hướ ng xa Q, nếu Q > 0 vàhướ ng gần Q, nếu Q < 0. Hình 9.3: C ườ ng độ đ iện

tr ườ ng gây bở i đ iện tích đ iể m

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




- Độ l ớ n:2

0

| Q | | Q |E k

r 4 r = =

2πε (9.10)

- Đi ể m đặt : tại điểm khảo sát M.

- Nếu bao quanh điện tích Q là môi tr ườ ng điện môi đồng nhất, đẳng hướ ng, có hệ số điện môi ε thì cườ ng độ điện tr ườ ng giảm đi ε lần so vớ i trong chân không:

ck

2o

E Q r QE k .

r r 4 r r

→ →→

= = =ε ε πεε 2

r .

→

(9.11)

4 – Nguyên lý chồng chất điện trườ ng:

Nếu các điện tích Q1, Q2, …, Qn cùng gây ra tại điểm M các vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng , thì vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng tổng hợ p tại M là:

→→→

n21 E,...,E,E

n

1 2 n ii 1

E E E ... E E→ → → → →

=

= + + + = ∑ (9.12)

Để tính cườ ng độ điện tr ườ ng do một hệ điện tích phân bố liên tục trên mộtvật nào đó gây ra tại điểm M, ta chia nhỏ vật đó thành nhiều phần tử, sao cho mỗi phần tử mang một điện tích dq coi như một điện tích điểm. Khi đó phần tử dq gây ra

tại điểm M vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng:

r

r .

r 4

dq

r

r .

r

dqk Ed

2o

2

→→→

πεε=

ε= (9.13)

và vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng do toàn vật mang điện gây ra tại M là:

(9.14)∫ →→

=

ñieänmangvaät

EdE

* Tr ườ ng hợ p điện tích của vật phân bố theo chiều dài L, ta gọid

dq=λ (9.15)

là mật độ đ iện tích dài (điện tích chứa trên một đơ n vị chiều dài). Suy ra, điện tíchchứa trên yếu tố chiều dài là dq =d d.λ và cườ ng độ điện tr ườ ng do vật gây ra là:

3o L

1 dE d E .

4 r L

→ →

r →λ

= =πεε∫ ∫

(9.16)

* Tr ườ ng hợ p điện tích của vật phân bố trên bề mặt S, ta gọidS

dq=σ (9.17)

là mật độ đ iện tích mặt (điện tích chứa trên một đơ n vị diện tích). Suy ra, điện tíchchứa trên yếu tố diện tích dS là dq = σdS và cườ ng độ điện tr ườ ng do vật gây ra là:WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




∫∫ →→→

εσ

πε==

)S(3

o

r .r

dS

4

1EdE

(S)

(9.18)

* Tr ườ ng hợ p điện tích của vật phân bố trong miền không gian có thể tích τ , ta gọi

τ=ρ

d

dq (9.19)

là mật độ đ iện tích khố i (điện tích chứa trong một đơ n vị thể tích). Suy ra, điện tíchchứa trong yếu tố thể tích dτ là dq = τρ d. và cườ ng độ điện tr ườ ng do vật gây ra là:

∫∫τ

→

τ

→→

ετρ

πε==

)(3

o)(

r .r

d

4

1EdE (9.20)

Từ nguyên lý chồng chất điện tr ườ ng, ta chứng minh đượ c vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng do một quả cầu tích điện đều gây ra tại những điểm bên ngoài quả cầucũng đượ c xác định bở i (9.9), song phải coi điện tích trên quả cầu như một điện tíchđiểm đặt tại tâm của nó.

5 – Một số ví dụ về xác định vectơ cườ ng độ điện trườ ng:

Ví dụ 9.1: Xác định vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng do hệ hai điện tích điểm Q1 = Q2 = Q,đặt cách nhau một đoạn 2a trong không khí gây ra tại điểm M trên trung tr ực của đoạn

thẳng nối Q1, Q2 , cách đoạn thẳng ấy một khoảng x. Tìm x để cườ ng độ điện tr ườ ngcó giá tr ị lớ n nhất.

Giải

Vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng tại M là 1E E E→ → →

2= + , vớ i , là các vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng do Q

1E→

2E→

1, Q2 gây ra tại M. Do Q1 = Q2 và M cách đều Q1, Q2 nên từ

(9.10) suy ra: E1 = E2 = 2 2

| Q | | Q |k k

r (x a=

ε ε + 2 ).

Do đó: E = 2E1cosα =2 2 2 2 3/ 22 2

k | Q | x k | Q | x.

(x a ) (x a )x a=

ε + ε ++ (9.21)

Từ qui tắc hình bình hành suy ra nằm trên trung tr ực của đoạn thẳng nối QE→

1, Q2 vàhướ ng ra xa đoạn thẳng đó nếu Q > 0 (hình 9.4), hướ ng lại gần nếu Q < 0.

Để tìm đượ c giá tr ị lớ n nhất của E, ta có thể lấy đạo hàm (9.21) theo x r ồi lậ p

bảng biến thiên của E(x), từ đó suy ra giá tr ị lớ n nhất. Hoặc có thể dùng bất đẳng thức

Cauchy như sau:4

2 2 2 2 2 231 1 a

x a x a a 3. x .2 2 4

+ = + + ≥ WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




3/ 24 22 2 3/ 2 2 a a

(x a ) 27x . 3 3 .x4 2

⎛ ⎞⇒ + ≥ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

Q1 aa

E→

M

x

r

1E→

2E→

α

+

Q2

2 2 3/ 2 2k | Q | x 2k | Q |E const(x a ) 3 3 a

⇒ = ≤ =ε + ε

Vậy: max 2

2 k | Q |E

3 3 a=

ε

khi 2 21x a x

2 2= ⇒ =

a (9.22)

Ví dụ 9.2: Xác định vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng domột vòng dây tròn, bán kính a, tích điện đều vớ i điệntích tổng cộng Q, gây ra tại điểm M nằm trên tr ục củavòng dây, cách tâm vòng dây một đoạn là x. Từ k ết quả đó hãy suy ra cườ ng độ điện tr ườ ng tại tâm vòng dây vàtìm x để cườ ng độ điện tr ườ ng là lớ n nhất.

Hình 9.4

→

tEd

→

Ed

dq a O

M

r x

→

nEd α

α

Giải

Ta chia nhỏ vòng dây thành những phần tử r ất

nhỏ sao cho điện tích dq của mỗi phần tử ấy đượ c coi làđiện tích điểm và nó gây ra tại M vectơ cườ ng độ điện

tr ườ ng có độ lớ n:2

k.dqdE

r =

ε. Vectơ đượ c phân

tích thành 2 thành phần: thành phần pháp tuyến

→

Ed

→

Ed

Ed

n song song vớ i tr ục vòng dây và thành phần tiế p tuyến

→

Ed t vuông góc vớ i tr ục vòng dây.

Hình 9.5

Cườ ng độ điện tr ườ ng tổng hợ p tại M là: ∫∫∫ →→→→

+==L

n

L

t

L

EdEdEdE

Vì ứng vớ i một phần tử dq, ta luôn tìm đượ c phần tử dq’ đối xứng vớ i dq qua tâm O

của vòng dây và do đó luôn tồn tại đối xứng vớ i qua tr ục của vòng dây.

Từng cặ p và ' này có các thành phần tiế p tuyến triệt tiêu nhau. Do

đó: và

→

'Ed→

Ed→

Ed→

t

L

d E 0→

=

∫n o n o o 2L L L L

kdq xE d E n . dE n . dE.cos n . .

r r

→ → → → →

= = = α =ε∫ ∫ ∫ ∫

⇒ o o o3 3 2L

kx kx kQxE n . dq n . .Q n .

r r (a x

→ → → →

= = =ε ε ε +∫ 2 3/ 2)

(9.23)WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Trong đó là pháp vectơ đơ n vị của mặt phẳng vòng dây - qui ướ c luôn hướ ng

xa tâm O.

→

on→

on

Vậy: luôn nằm trên tr ục vòng dây và hướ ng xa tâm O nếu Q > 0; hướ ng gần O nếu

Q < 0 và có độ lớ n: E =

→

E

2/322 )xa(

x.Qk

+ε (9.24)

Từ (9.24) suy ra, tại tâm O (x = 0) thì Eo = 0.

Để tìm giá tr ị lớ n nhất của E ta p dụng bất đẳng thức Cauchy như ví dụ 9.1 và thu

đượ c k ết quả:22 2 3/ 2 2

k Q .x k Q .x 2k QE

a(a x ) 3 3. a.3 3.x. 2

= ≤ =

ε + εε

Vậy:2max

a.33

Qk 2E

ε= khi x2 =

2

a 2

⇒ x =2

a (9.25)

Mở rộng: Nếu a << x , ngh ĩ a là điểm M ở r ất xa vòng dây, hoặc vòng dây r ất nhỏ, thì

từ (9.24) ⇒ E =2

x.

Qk

ε

: vòng dây coi như một điện tích điểm đặt tại tâm O.

Ví dụ 9.3 Xác định vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng do một đĩ a phẳng, tròn, bán kính a,tích điện đều vớ i mật độ điện tích mặt là σ, gây ra tại điểm M trên tr ục của đĩ a, cáchtâm đĩ a một đoạn x. Từ đó suy ra cườ ng độ điện tr ườ ng gây bở i mặt phẳng tích điệnr ộng vô hạn.

Giải

Ta chia đĩ a thành những hình vành khăn (coi như những vòng dây mảnh) có bề dày dr, bán kính r. Mỗi phần tử này gây ra tại M cườ ng độ điện tr ườ ng :

2/322o)xr (

dQ.kx.nEd

+ε=

→→

(xem ví dụ 9.2) →

Ed

rO

x

M

Hình 9.6

drtrong đó dQ là điện tích chứa trên vòng dây. Gọi dS làdiện tích của hình vành khăn thì dS = 2πrdr . Do đó dQ= σ.dS = σ.2πrdr. Suy ra cườ ng độ điện tr ườ ng do toànđĩ a tròn gây ra tại M là:

a

o 2 3/20

kx .2 r.dr E n . x )2

ñóa troøn

dE(r

→ → →

σ π= = ε +∫ ∫

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

ε

πσ=⇒

→→

22o

xa

1

x

1.

2.kx.nE o

2 2o

xn . . 1

2 a x

→ ⎛ ⎞σ= −⎜ ⎟

εε +⎝ ⎠ (9.26)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Vớ i là pháp vectơ đơ n vị của đĩ a tròn. Qui ướ c luôn hướ ng xa đĩ a.→

on→

on

Vậy: luôn nằm trên tr ục của đĩ a, có chiều hướ ng xa đĩ a nếu σ > 0 và hướ ng gần đĩ a

nếu σ < 0; có độ lớ n:

→

E

2 2o

xE . 1

2 a x

⎛ ⎞σ= −⎜ ⎟

εε +⎝ ⎠

(9.27)

Từ (9.27) suy ra:

• Khi a (đĩ a tr ở thành mặt phẳng r ộng vô hạn) thì E =∞→o2εε

σ (9.28)

Vậy đ iện tr ườ ng gây bở i mặt phẳ ng tích đ iện đề u, r ộng vô hạn là đ iện tr ườ ng đề u.

• Khi M r ất xa đĩ a, hoặc đĩ a r ất nhỏ (x >> a), ta có:

1/ 22 2

2 22 2

x a 11 1

x 2a x

−⎛ ⎞

= + ≈ −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

a

x ⇒

22

o

2

x

kQ

x4

aE

ε=

πεε

πσ= (9.29)

Toàn bộ đĩ a coi như điện tích điểm đặt tại tâm O của nó.

§9.3 ĐƯỜ NG SỨ C ĐIỆN TR ƯỜ NG – ĐIỆN THÔNG

1 – Đườ ng sứ c của điện trườ ng:

a) Đị nh nghĩ a: Đườ ng sứ c của đ iện tr ườ ng là

đườ ng mà tiế p tuyế n vớ i nó t ại mỗ i đ iể m trùng

vớ i phươ ng của vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng t ạiđ iể m đ ó, chiề u của đườ ng sứ c là chiề u của vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng .

ME→

M

NE

→

Hệ đườ ng sức là tậ p hợ p các đườ ng sức

mô tả không gian có điện tr ườ ng. Tậ p hợ p các

đườ ng sức điện tr ườ ng đượ c gọi là phổ đườ ng

sứ c đ iện tr ườ ng hay đ iện phổ . Điện phổ mô tả sự

phân bố điện tr ườ ng một cách tr ực quan.

N

Hình 9.7: Đườ ng

sứ c đ iện tr ườ ng

b) Tính chấ t :

• Qua bấ t k ỳ một đ iể m nào trong đ iện tr ườ ng cũng vẽ đượ c một đườ ng sứ c.

• Các đườ ng sứ c không cắ t nhau. Vì nếu chúng cắt nhau thì tại giao điểm sẽ có

2 vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng – điều này là vô lý.

• Đườ ng sứ c của đ iện tr ườ ng t ĩ nh không khép kín, đi ra từ điện tích dươ ng, đi

vào điện tích âm.

c) Qui ướ c vẽ : số đườ ng sứ c xuyên qua một đơ n vị diện tích dS đủ nhỏ, đặt vuông góc

vớ i đườ ng sức bằ ng độ l ớ n của vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng tại điểm M ∈ dS. Từ qui

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




ướ c đó suy ra: nơ i nào đ iện tr ườ ng mạnh thì đườ ng sứ c sẽ dày, nơ i nào đ iện tr ườ ng

yế u thì đườ ng sứ c sẽ thư a, đ iện tr ườ ng đề u thì các đườ ng sứ c song song và cách đề unhau. Hình 9.8 là một số dạng đườ ng sức của điện tr ườ ng. Từ đó ta thấy ở gần cácđiện tích, điện tr ườ ng r ất mạnh.

+

+ + _

a) b)c)

+

_

e)

d)Hình 9.8: M ột số d ạng đườ ng sứ c đ iện tr ườ ng:

a) Điện tích d ươ ng; b) Điện tích âm; c) Điện tr ườ ng đề ud) H ệ hai đ iện tích d ươ ng; e) H ệ đ iện tích d ươ ng và âm

→

n→

E 2 – Điện thông:α

dS

Trong không gian có điện tr ườ ng, xét một diện

tích vi cấ p dS đủ nhỏ sao cho sao cho diện tích dS đượ ccoi là phẳng và cườ ng độ điện tr ườ ng tại mọi điểm trêndS là không đổi. Ta định ngh ĩ a đại lượ ng vô hướ ng:

→→

=α==Φ Sd.Ecos.EdSdS.Ed nE (9.30)

Hình 9.9: Điện thông là thông l ượ ng đ iện tr ườ ng ( hay đ iện thông) gở i quadiện tích vi cấ p dS. Trong đó En là hình chiếu của vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng lên pháp tuyến của dS; α là góc

giữa và pháp vectơ đơ n vị của dS; vectơ diện tích d .→E →n →→ = n.dSS

Từ đó suy ra đ iện thông gở i qua một mặt (S) bất k ỳ là:

(9.31)∫∫∫ →→

=α=Φ=ΦSSS

EE SdEcosEdSd

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Qui ướ c chọn pháp vectơ như sau:→

n

• Nếu mặt (S) là kín thì hướ ng từ trong ra ngoài;→

n

• Nếu (S) hở thì chọn tuỳ ý.→

n

Như vậy, điện thông EΦ gở i qua mặt (S) là một số đại số có thể âm, dươ ng hoặc bằng

không. Tuy nhiên | EΦ | cho biết số đườ ng sức điện tr ườ ng xuyên qua mặt (S).

3 – Vectơ điện cảm – thông lượ ng điện cảm:

Thực nghiệm cho thấy, nếu điện tr ườ ng trong chânkhông có cườ ng độ Eo thì trong chất điện môi đồng nhất vàđẳng hướ ng, cườ ng độ điện tr ườ ng giảm ε lần.

ε = 1

ε = 2

ε= oE

E (9.32)

Hình 9.10: Đườ ng

sứ c bị gián đ oạn

t ại mặt phân cách Như vậy, khi đi từ môi tr ườ ng này sang môi tr ườ ng khác thìđườ ng sức điện tr ườ ng sẽ bị gián đoạn tại mặt phân cáchgiữa hai môi tr ườ ng. Điều này đôi khi bất lợ i cho các phép

tính về vi phân, tích phân.

Khắc phục điều này, ngườ i ta xây dựng vectơ đ iện cảm (còn gọi là vectơ

cảm ứng điện, vectơ điện dịch): (9.33)

→

D→→

εε= E.D o

Trong đó ε gọi là hệ số điện môi của môi tr ườ ng. Trong chân không ε = 1, trongkhông khí ε ≈ 1, các môi tr ườ ng khác thì ε > 1.

Thực ra công thức (9.33) chỉ đúng đối vớ i các chất điện môi đẳng hướ ng, còn

trong chất điện môi dị hướ ng, và có thể không cùng phươ ng. Trong chươ ng

này, chỉ đề cậ p đến các chất điện môi đẳng hướ ng, vì thế (đọc thêm

chươ ng 11 để hiểu rõ bản chất của ).

→

D→

E→

D ↑↑ →

E→

D

Như vậy, ngoài việc mô tả điện tr ườ ng bằng vectơ , ngườ i ta còn dùng

vectơ và tươ ng tự, ta cũng có các khái niệm:

→

E→

D

• Đườ ng cảm ứ ng đ iện: là đườ ng mà tiế p tuyến vớ i nó tại mỗi điểm trùng vớ i

phươ ng của . Các tính chất và qui ướ c vẽ các đườ ng cảm ứng điện tươ ng tự như đườ ng sức.

→

D

• Thông l ượ ng đ iện cảm (hay thông lươ ng cảm ứng điện, điện dịch thông) gở iqua yếu tố diện tích dS và gở i qua mặt (S) là:

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




(9.34)→→

=α==Φ SdDcosDdSdS.Dd nD

(9.35)

∫∫

→→

=Φ=ΦSS

DD SdDd

§9.4 ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY – GAUSS (O – G)

1 – Thiết lập định lý:

Xét điện tích điểm Q > 0. Bao quanh Q một mặt cầu (S), tâm là Q, bán kính r.

Thông lượ ng điện cảm gở i qua mặt cầu này là: D D

(S) (S)

d DdScoΦ = Φ = α∫ ∫ s . Do tính

đối xứng cầu nên D = const tại mọi điểm trên mặt cầu và α = 0 (vì pháp tuyến của mặt(S) luôn trùng vớ i đườ ng cảm ứng điện, xem hình 9.11). Do đó, thông lượ ng điện cảm

gở i qua mặt kín (S) là: D

(S) (S)

DdS D dS DSΦ = = =∫ ∫

Mà D = εεoE = εεo. 22o r 4

Q

r 4

Q

π=

πεε; S = 4πr 2

Suy ra: Φ (9.36)QD =

M

r

→

D →

n

+

S3

S2

S1

S

Nhận xét:

- Thông lượ ng điện cảm DΦ gở i qua

mặt cầu (S) không phụ thuộc vào bán kính r của mặt cầu. Suy ra đốivớ i bất kì mặt cầu nào đồng tâm vớ i(S), ví dụ (S1), ta cũng có (9.36). Như vậy, trong khoảng không gian

giữa hai mặt cầu (S) và (S1), nơ ikhông có điện tích, các đườ ng cảmứng điện là liên tục, không bị mấtđi và cũng không thêm ra. Do đó,nếu xét mặt kín (S2) bất kì baoquanh Q thì ta cũng có (9.36).

- Nếu có mặt kín (S3) không baoquanh Q thì có bao nhiêu đườ ng cảm ứng điện đi vào (S3) thì cũng có bấy nhiêu

đườ ng cảm ứng điện đi ra khỏi (S3), nên thông lượ ng điện cảm gở i qua (S3) bằngkhông.

Hình 9.11: Định lí O – G

Tóm lại, thông lượ ng điện cảm gở i qua một mặt kín không phụ thuộc vị trí điện tích bên trong nó. K ết quả (9.36) cũng đúng cho cả tr ườ ng hợ p bên trong mặt kín chứanhiều điện tích, phân bố bất kì, khi đó Q là tổng đại số các điện tích bên trong mặt kín.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




2 – Phát biểu định lí O – G:

Thông l ượ ng đ iện cảm g ở i qua một mặt kín bấ t k ỳ bằ ng t ổ ng đại số các đ iện

tích chứ a trong mặt kín đ ó.

(9.37)D

S

Q hay D d S Qtrong (S)

→ →Φ = =∑ ∑∫

Trong chân không thì = ε→

D o

→

E , nên ta có:o

(S)trong

ε= ∑

∫ →→ Q

Sd.ES

(9.38)

và định lý O – G còn đượ c phát biểu là: đ iện thông g ở i qua một mặt kín bấ t kì bằ ng

t ổ ng đại số các đ iện tích bên trong mặt kín đ ó chia cho hằ ng số đ iện ε o.

3 – Dạng vi phân của định lí O – G:

(9.37) đượ c gọi là dạng tích phân của định lí O – G. Trong tr ườ ng hợ p điệntích phân bố liên tục, ta có thể biểu diễn định lí O – G dướ i dạng vi phân.

Muốn vậy, ta áp dụng một định lí trong giải tích, cũng có tên là định lí O – G, biến một tích phân mặt thành tích phân theo thể tích. Theo đó, vế trái của (9.37) đượ c

viết là:S

D.d S div D.d→ → →

τ

= τ∫ ∫ (9.39)

Trong đó, là thể tích của không gian giớ i hạn bở i mặt kín (S) và dτ τ là yếu tố thể tích; div là một toán tử vi phân tác động lên một vectơ và tr ả về một vô hướ ng, trong

hệ tọa độ Descartes, ta có: yxDD D

divDx y z

→z

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ (9.40)

Vì điện tích phân bố liên tục nên vế phải của (9.37) tr ở thành:

trong(S)Q

τ

d= ρ τ∑ ∫ (9.41)

Thay (9.39) và (9.41) vào (9.37), ta đượ c: div D.d d→

τ τ

τ = ρ τ∫ ∫ .

Suy ra : (div D )d 0→

τ

− ρ τ =∫ (9.42)

Vì (9.37) đúng vớ i mặt kín (S) bất kì, nên (9.42) đúng vớ i thể tích τ bất kì. Điều này

chứng tỏ : div D 0→ − ρ = hay divD→ = ρ (9.43)

Trong môi tr ườ ng đẳng hướ ng, ta có:0

divE→ ρ

=εε

(9.44) WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




(9.43), (9.44) là dạng vi phân của định lí O – G. Nó diễn tả mối quan hệ giữa vectơ

điện cảm , vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng vớ i mật độ điện tích ρ ở từng điểm trongđiện tr ườ ng.

D→

E→

4 – Vận dụng định lý O – G để tính cườ ng độ điện trườ ng:

Định lý O – G thườ ng đượ c sử dụng để tính cườ ng độ điện tr ườ ng của một số hệ điện tích phân bố đố i xứ ng không gian, cụ thể là đối xứng cầu, đối xứng tr ụ và đốixứng phẳng. Các bướ c thực hiện:

• Bướ c 1: Chọn mặt kín S (g ọi là mặt Gauss) đ i qua đ iể m khảo sát, sao cho

việc tính thông l ượ ng đ iện cảm DΦ ( hoặc điện thông EΦ ) đượ c đơ n giản

nhấ t. Muốn vậy, phải căn cứ vào dạng đối xứng của hệ đườ ng sức để suy

ra qũi tích những điểm có cùng độ lớ n của vectơ điện cảm (hoặc vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng) vớ i điểm khảo sát.

• Bướ c 2: Tính thông l ượ ng đ iện cảm DΦ (hoặc điện thông EΦ ) g ở i qua

mặt Gauss và tính t ổ ng đ iện tích chứ a trong (S).

• Bướ c 3: Thay vào (9.37) hoặc (9.38) suy ra đại l ượ ng cần tính.

Ví dụ 9.4: Xác định cườ ng độ điện tr ườ ng gây bở i khối cầu tâm O, bán kính a, tíchđiện đều vớ i mật độ điện tích khối ρ > 0 tại những điểm bên trong và bên ngoài khối

cầu.Giải

Do tính đối xứng cầu nên hệ đườ ng sức là mhững đườ ng thẳng xuyên tâm và hướ ngxa tâm O, vì ρ > 0. Suy ra, các điểm có D = const nằm trên mặt cầu tâm O.

a) Xét điểm M nằm ngoài khối cầu:

Bướ c 1: Chọn mặt (S) là mặt cầu tâm O, đi qua M. Bướ c 2: Thông lượ ng điện cảm gở i qua mặt Gauss

(S): D G

→

E

auss

a

r

M

O

→

n

S S S

Dd S D.dS D dS DS→ →Φ = = = =∫ ∫ ∫

Vớ i D = εεoE ; SGauss =4πr 2 2D 0E.4 r ⇒ Φ = εε π

Tổng điện tích chứa trong mặt Gauss:

Q = 3a.3

4..d πρ=τρ=τρ∫Q =

τ(S)trong∑

Hình 9.12: C ĐĐT bên

ngoài khố i cầu

vớ i là thể tích khối cầuτ

Bướ c 3: Vì nên εε∑=Φ (S)trongQD o.E.4πr 2 = 3a3

4ρπ WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




⇒ 22

o

3

r

kQ

r 3

aE

ε=

εε

ρ= hay ở dạng vectơ :

r

r .

r

kQE

2

→→

ε= (9.45)

M ở r ộng: đối vớ i mặt cầu tích điện đều vớ i điện tích tổng cộng Q thì (9.45) vẫn đúng.Vậy, một khối cầu hoặc một mặt cầu tích điện đều vớ i điện tích Q thì điện tr ườ ng mànó gây ra xung quanh nó giống như điện tr ườ ng gây bở i điện tích điểm Q đặt tại tâmkhối cầu hoặc mặt cầu.

b) Xét điểm M bên trong khôi cầu:

Tươ ng tự ta cũng chọn mặt kín Gauss là mặt cầu, tâm O, bán kính r (r < a).

Điện thông gở i qua mặt Gauss là: 2oD r .E4πεε=Φ

Tổng điện tích chứa trong mặt Gauss là Q = 3r 34.. πρ=τρ ; vớ i τ là thể tích không

gian chứa trong mặt Gauss.

Suy ra:o3

r E

εερ

= hayo3

r E

εερ

=

→→

trong (9.46)

O

M

r

a

→

E

→

n

M ở r ộng: Nếu điện tích chỉ phân bố trên mặt cầu (ví dụ

vỏ cầu hoặc quả cầu kim loại) thì ρ = 0 nên trong lòngquả cầu E = 0, ngh ĩ a là không có điện tr ườ ng.

Nhận xét: Cườ ng độ điện tr ườ ng bên trong và bên ngoàikhối cầu biến thiên theo hai qui luật khác nhau:

• Bên trong khối cầu, cườ ng độ điện tr ườ ng tỉ lệ bậcnhất vớ i khoảng cách r.

• Bên ngoài khối cầu, cườ ng độ điện tr ườ ng tỉ lệ

nghịch vớ i r

2

.Hình 9.13: C ĐĐT bên

trong khố i cầu• Ngay tại mặt cầu, cườ ng độ điện tr ườ ng đạt giá tr ị

lớ n nhất:

o2max 3

a

a

kQE

εερ

=ε

= (9.47)

• Các k ết quả (9.45) và (9.46) vẫn đúng trong tr ườ ng hợ p quả cầu tích điện âm,khi đó vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng hướ ng vào tâm O.

Ví dụ 9.5: Xác định phân bố cườ ng độ điện tr ườ ng gây bở i mặt phẳng r ộng vô hạn,tích điện đều vớ i mật độ điện tích mặt σ > 0 .

GiảiWW

D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Do điện tích phân bố đều trên mặt phẳng σ nên các đườ ng sức vuông góc vớ imặt phẳng, hướ ng ra xa mặt phẳng σ. Qũi tích của những điểm có D = const là hai mặt phẳng đối xứng nhau qua mặt phẳng σ.

Bướ c 1: Chọn mặt Gauss (S) là mặt tr ụ có hai đáy song song, cách đều mặt phẳng σ và chứa điểm khảo sát M, có đườ ng sinh vuông góc vớ i mặt phẳng σ (hình 9.14).

Bướ c 2: Thông lượ ng điện cảm gở i qua mặt Gauss là:

→→→→→→→→

∫∫∫∫ ++==Φ Sd.DSd.DSd.DSd.D)S(

D

döôùiñaùytreânñaùyquanhxung

Vì ở mặt đáy, ta có D = const và D→ →

n↑↑ ; còn ở mặt xung quanh thì D n→ →

⊥ , nên ta

có: = 2εεD 0 DdS DdS 2D dS 2DSñaùy

Ñaùy treân Ñaùy döôùi ñaùyΦ = + + = =∫ ∫ ∫

oESđáy

Mặt khác, tổng điện tích chứa trong mặt Gauss chính là tổng điện tích nằn trên tiếtdiện S do mặt (σ) cắt khối tr ụ. Ta có Q = σ.S = σ.Sđáy

Bướ c 3: Vì = Q nênDΦo2

Eεεσ

=

n→

S

→

D

σ

→

n

Hay 0o

E .2

→ →σ= εε n (9.48)

Trong đó, là pháp vectơ đơ n vị của mặt

phẳng σ. Qui ướ c, hướ ng ra xa mặt phẳng

(σ).

0n→

0n→

Hình 9.14: C ĐĐT do mặt

phẳ ng tích đ iện, r ộng vô

hạn, gây ra.Nhận xét: không phụ thuộc vào vị trí điểmkhảo st, vậy điện tr ườ ng do mặt phẳng tíchđiện đều gây ra là điện tr ườ ng đều.

→

E

Tr ườ ng hợ p mặt phẳng tích điện âm (σ < 0) thì (9.48) vẫn đúng. Lúc đóhướ ng lại gần (σ). K ết quả (9.48) phù hợ p vớ i (9.28), tuy nhiên phươ ng phápvận dụng định lí O – G thì đơ n giản hơ n nhiều.

→

E

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§9.5 CÔNG CỦA LỰ C ĐIỆN TR ƯỜ NG – ĐIỆN THẾ, HIỆU ĐIỆN THẾ

1 – Công của lự c điện trườ ng:

+

→→

+ r dr

→

r

N

q

+ d→

r

→F

+

Giả sử điện tích điểm q di chuyển dọctheo đườ ng cong (L) bất k ỳ từ M đến N trongđiện tr ườ ng của điện tích điểm Q. Công của lựcđiện tr ườ ng trên quãng đườ ng này là (xem lạicách tính công ở §4.1): M

N

M

MN 3(L) (L) (L)

r

3 2(L) r

kQA F.d s qE.d s q r.d r

r

qQ rdr dr k

r r

→ → → → → →

= = =ε

= =ε

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Q

Hình 9.15: Tính công

của l ự c đ iện tr ườ ng ⇒ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε−

ε=

NMMN r

kQ

r

kQqA (9.49)

Ta thấy công AMN không phụ thuộc vào đườ ng đi. Trong tr ườ ng hợ p tổng quát, khiđiện tích q di chuyển trong điện tr ườ ng t ĩ nh bất kì, ta cũng chứng minh đượ c công của

l ự c đ iện tr ườ ng không phụ thuộc vào hình d ạng đườ ng đ i mà chỉ phụ thuộc vào vị tríđ iể m đầu và đ iể m cuố i. Nếu (L) là đườ ng cong kín thì AMN = 0. Vậy lực điện tr ườ ngt ĩ nh là lực thế .

2 – Lư u thông của vectơ cườ ng độ điện trườ ng:

Nếu kí hiệu ds là vi phân của đườ ng đi dọc theo đườ ng cong (L) thì công của

lực điện tr ườ ng đượ c viết là:(L )

AE d s

q

→ →

=∫ (9.50)

Ta gọi tích phân(L)

E d s→ →

∫ là lưu thông của vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng dọc theo

đườ ng cong (L). Nếu (L) là đườ ng cong kín thì:(L)

E d s 0→ →

=∫ (9.51)

Vậy: l ư u thông của vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng d ọc theo đườ ng cong (L) bằ ng công

của l ự c đ iện tr ườ ng làm di chuyể n một đơ n vị đ iện tích d ươ ng d ọc theo đườ ng cong

đ ó. Và l ư u thông của vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng d ọc theo đườ ng cong kín bấ t k ỳ thìbằ ng không. (9.49) và (9.50) thể hiện tính chất thế của điện tr ườ ng t ĩ nh.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




3 – Thế năng của điện tích trong điện trườ ng:

Ta đã biết r ằng, công của lực thế giữa hai điểm bất kì bằng độ giảm thế năng

của vật giữa hai điểm đó (xem §4.5): .tdA Fd s dW

→ →

= = −

Đối vớ i lực điện tr ườ ng nên: (9.52)F q E→ →

= tdW q E d s→ →

= −

Suy ra, trong chuyển dờ i từ M đến N thì:

(9.53)t t

MN

W (M) W (N) q E d s A→ →

− = =∫ MN

Nếu qui ướ c gốc thế năng ở vô cùng ( tW ( ) 0∞ = ) thì thế năng của đ iện tích q

t ại đ iể m M trong đ iện tr ườ ng là đại l ượ ng bằ ng công của l ự c đ iện tr ườ ng làm di

chuyể n đ iện tích q t ừ M ra xa vô cùng :

t M

M

W (M) A q E d s→ →

∞∞

= = ∫ (9.54)

Trong tr ườ ng hợ p tổng quát, thế năng sai khác nhau một hằng số cộng C. Giátr ị của C tùy thuộc vào điểm mà ta chọn làm gốc thế năng. Vậy thế năng của điện tíchq trong điện tr ườ ng có dạng tổng quát là:

tW (M) q E d s C→ →

= − ∫ + (9.55)

Đối vớ i điện tr ườ ng do điện tích Q gây ra thì thế năng của điện tích q là:

t 3

kQ kQqW (M) q E d s C q r d s C Cr r

→ → → →

= − + = − + = +ε ε∫ ∫ (9.56)

vớ i r là khoảng cách từ điện tích Q đến điểm M; k = 9.109 (Nm2/C2).

Đối vớ i điện tr ườ ng do hệ điện tích điểm Q1, Q2, …, Qn gây ra thì thế năng

của điện tích q là:n

it

i 1 iM

kqQW (M) C

r =

= +ε∑ (9.57)

trong đó r iM là khoảng cách từ điện tích Qi đến điểm M.

4 – Điện thế – hiệu điện thế:

a) Khái ni ệm:

Đối vớ i các tr ườ ng thế , ngườ i ta xây dựng các hàm thế . Trong Cơ học, hàmthế của tr ườ ng lực thế là thế năng. Nhưng trong Điện học, ngườ i ta chọn hàm thế của

đ iện tr ườ ng là đ iện thế .

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Từ các công thức (9.5), (9.55), (9.56) và (9.57) suy ra, tỉ số tW

q không phụ

thuộc vào điện tích thử q mà chỉ phụ thuộc vào các điện tích gây ra điện tr ườ ng và vào

vị trí của điểm khảo sát nên tỉ số đó đặc tr ưng cho điện tr ườ ng tại điểm khảo sát vàđượ c gọi là điện thế của điện tr ườ ng tại điểm khảo sát:

V = tW

q (9.58)

Cũng như thế năng, điện thế là đại lượ ng vô hướ ng có thể dươ ng, âm hoặc bằng không. Giá tr ị của điện thế tại một điểm phụ thuộc vào việc chọn điểm nào làmgốc điện thế. Trong lí thuyết, ngườ i ta chọn gốc điện thế ở vô cùng, khi đó điện thế tại

điểm M trong điện tr ườ ng có biểu thức: M

MV E d

→ →

∞= s∫ (9.59)

Trong tr ườ ng hợ p tổng quát, điện thế tại điểm M trong điện tr ườ ng có biểu thức:

V E d s→ →

C= − +∫ (9.60)

vớ i C là hằng số phụ thuộc vào điểm chọn gốc điện thế. Trong thực tế, ngườ i tathườ ng chọn gốc điện thế ở đất.

Hiệu hai giá tr ị của điện thế tại hai điểm M, N trong điện tr ườ ng gọi là hiệuđiện thế giữa hai điệm đó: UMN = VM – V N (9.61)

Từ (9.53), (9.58) và (9.61) suy ra mối quan hệ giữa công của lực điện tr ườ ngvà hiệu điện thế: AMN = q(VM – V N) = qUMN (9.62)

Vậy: Công của l ự c đ iện tr ườ ng trong sự d ịch chuyể n đ iện tích q t ừ đ iể m M đế n đ iể m N trong đ iện tr ườ ng bằ ng tích số của đ iện tích q vớ i hiệu đ iện thế giữ a hai đ iể m đ ó.

Từ (9.50) v (9.62) ta c ĩ :

N

MNMN M N

M

AU V V E dq

→ →

= − = = s∫ (9.62a)

Vậy: Lư u thông của vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng t ừ đ iể m M đế n đ iể m N bằ ng hiệuđ iện thế giữ a hai đ iể m đ ó.

b) Đi ện thế do các hệ đ i ện tích gây ra:

Từ các phân tích trên, ta có các công thức tính điện thế:

• Do một điện tích điểm gây ra:

kQ

V Cr = +ε (9.63)

vớ i r là khoảng cách từ điện tích Q đến điểm khảo sát.

• Do hệ điện tích điểm gây ra: ii

i

kQV V

r C= = +

ε∑ ∑ (9.64)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




vớ i r i là khoảng cách từ điện tích Qi đến điểm khảo sát.

• Để tính điện thế do hệ điện tích phân bố liên tục trong miền ( Ω ) gây ra,ta coi miền đó gồm vô số phần tử nhỏ, sao cho điện tích dq của các phần

tử đó là những điện tích điểm. Mỗi điện tích điểm dq gây ra tại điểm khảosát điện thế

kdqdV

r =

ε và điện thế do toàn hệ gây ra là:

kdqV dV C

r Ω Ω

= = +ε∫ ∫ (9.65)

Trong đó r là khoảng cách từ yếu tố điện tích dq đến điểm khảo sát. Tùy theo dạnghình học của miền ( ) mà dq đượ c tính từ (9.15), (9.17) hoặc (9.19). Nếu chọn gốc

điện thế ở vô cùng thì hằng số C trong (9.63), (9.64) và (9.65) sẽ bằng không.

Ω

c) Ý nghĩ a của đ i ện thế và hi ệu đ i ện thế :

Từ (9.62) suy ra Mặc dù giá tr ị điện thế phụ thuộc vào điểm chọn gốc điệnthế, nhưng hiệu điện thế giữa hai điểm M, N bất kì không phụ thuộc vào việc chọn gốcđiện thế. Mặt khác, khi UMN càng lớ n thì công của lực điện tr ườ ng càng lớ n.

Vậy: hiệu đ iện thế giữ a hai đ iể m M, N trong đ iện tr ườ ng đặc tr ư ng cho khả năng thự chiện công của l ự c đ iện tr ườ ng giữ a hai đ iể m đ ó.

Điện thế là đại lượ ng đặc tr ưng cho điện tr ườ ng về mặt năng lượ ng.Trong hệ SI, đơ n vị đo điện thế và hiệu điện thế là vôn (V).

Ví dụ 9.6: Một vòng dây tròn bán kính a, tích điệnđều vớ i điện tích tổng cộng là Q, đặt trong khôngkhí. Tính điện thế tại điểm M trên tr ục vòng dây,cách tâm vòng dây một đoạn x. Từ đó suy ra điện thế tại tâm vòng dây. Xét hai tr ườ ng hợ p: a) gốc điện thế tại vô cùng; b) gốc điện thế tại tâm O của vòng dây.

M

O

r x

a

α

Hình 9.16: Tính đ iện

thế do vòng dây tíchđ iện gây ra ra

Ap d ụng số : a = 5cm; x = 12 cm; Q = – 2,6.10 – 9 C. d

Giải

Xét một yếu tố chiều dài trên vòng dây.Gọi λ là mật độ điện tích dài thì điện tích chứa trong

là dq = λ .

d

d d

Theo (9.65), điện thế tại M là: M

L Lkdq k dV Cr r Cλ= + = +ε ε∫ ∫

Trong đó, tích phân lấy trên toàn bộ chu vi L của vòng dây.

Vì constxar 22 =+= nên:

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




M 2 2 2 2L

k k .2 a kQV d C C C

r a x a x

λ λ π= + = + = +

ε ε + ε +∫ (9.66)

a)

Chọn gốc điện thế ở vô cùng. Suy ra khi x ∞→ thì VM .0→

Từ (9.66) suy ra C = 0. Vậy: M 2 2

kQV

a x=

ε + (9.67)

Thay số: )V(180)10.12()10.5(.1

)10.6,2.(10.9

xa

kQV

2222

99

22M −=

+

−=

+ε=

−−

−

(9.67) suy ra, điện thế tại tâm O của vòng dây là thấ p nhất:

VO = Vmin = 2

99

10.5.1

)10.6,2.(10.9

a

kQ−

−−=

ε = – 468 (V)

Hiệu điện thế giữa hai điểm OM: UOM = VO – VM = – 288 (V)

b) Chọn gốc điện thế tâm O. Suy ra khi x = 0 thì VM = Vo = 0.

Từ (9.66) suy ra C = – a

kQ

ε . Vậy: M 2 2

kQ kQV aa x= − εε +

(9.68)

Thay số ta đượ c: VM = 288 (V) và UOM = Vo – VM = – 288 (V)

5 – Mặt đẳng thế:

T ậ p hợ p các đ iể m trong đ iện tr ườ ng có cùng đ iện thế t ạo thành một mặt đẳ ng

thế . Để tìm dạng của mặt đẳng thế, ta giải phươ ng trình:

= const = C (9.69))r (V →

(9.69) xác định một họ các mặt đẳng thế. Vớ i mỗi giá tr ị của C ta có một mặt đẳng thế trong họ.

Ví dụ: đối vớ i điện tr ườ ng do điện tích điểm Q gây ra thì phươ ng trình (9.69)

có dạng:kQ kQ

C r constr C

= ⇒ = =ε ε

(9.70)

Vậy, các mặt đẳng thế là các mặt cầu, tâm Q.

Hình (9.17) biểu diễn các mặt đẳng thế của vài hệ điện tích khác nhau (đườ ngnét đứt là giao của các mặt đẳng thế vớ i mặt phẳng hình vẽ).

Qui ướ c vẽ mặt đẳng thế: vẽ các mặt đẳng thế sao cho độ chênh l ệch ∆V giữ a hai

mặt đẳ ng thế bấ t k ỳ là như nhau. Suy ra: nơ i nào điện tr ườ ng mạnh các mặt đẳng thế

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




sẽ sít nhau; nơ i nào điện tr ườ ng yếu các mặt đẳng thế sẽ xa nhau; điện tr ườ ng đều, cácmặt đẳng thế là những mặt phẳng song song cách đều nhau.

Tính chất của mặt đẳng thế:

• Các mặt đẳ ng thế không cắ t nhau. Vì nếu chúng cắt nhau thì tại giao điểm sẽ cóhai giá tr ị khác nhau của điện thế (vô lý).

• Khi đ iện tích di chuyể n trên mặt đẳ ng thế thì l ự c đ iện tr ườ ng không thự c hiệncông . Thật vậy, nếu điện tích q di chuyển từ M đến N trên mặt đẳng thế thì côngcủa lực điện tr ườ ng là AMN = q(VM – V N). Mà VM = V N , vậy AMN = 0.

• Vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng t ại mọi đ iể m trên mặt đẳ ng thế luôn vuông góc

vớ i mặt đẳ ng thế đ ó. Thật vậy, giả sử điện tích q di chuyển trên mặt đẳng thế theo một đoạn bất k ỳ, ta luôn có dA = = q = 0 ⇒ .

Mà là vi phân đườ ng đi theo một hướ ng bất, nên phải vuông góc vớ i

mọi đườ ng trên mặt đẳng thế – ngh ĩ a là phải vuông góc vớ i mặt đẳngthế. Vậy, đườ ng sứ c đ iện tr ườ ng phải vuông góc vớ i mặt đẳ ng thế .

→

E

d s→ →

F d s→ →

E d s→

E d s→ →

⊥

d s→ →

E

d s→ →

E

_

a) b)c)

+ + +

+ _

e)

d)Hình 9.17: M ột số d ạng mặt đẳ ng thế (nét đứ t) gây bở i:a) Điện tích d ươ ng; b) Điện tích âm; c) Điện tr ườ ng đề ud) H ệ hai đ iện tích d ươ ng; e) H ệ đ iện tích d ươ ng và âmWW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




§9.6 LIÊN HỆ GIỮ A CƯỜ NG ĐỘ ĐIỆN TR ƯỜ NG VÀ ĐIỆN THẾ

Ta biết cườ ng độ điện tr ườ ng đặc tr ưngcho điện tr ườ ng về phươ ng diện tác dụng lực; còn

điện thế đặc tr ưng cho điện tr ườ ng về mặt nănglượ ng. Như vậy giữa cườ ng độ điện tr ườ ng và điệnthế phải có mối quan hệ vớ i nhau. Sau đây chúngta sẽ tìm mối quan hệ đó. dn

V

(II)(I)

N

V + dV

M

d s→α

Trong không gian có điện tr ườ ng, lấy haimặt đẳng thế sát nhau (I) và (II), mà điện thế có giátr ị lần lượ t là V và (V + dV). Giả sử điện tích q dichuyển từ điểm M ∈ (I) đến điểm N ∈(II) theo

cung ds bất k ỳ. Ta có công của lực điện tr ườ ng là:Hình 9.18: Quan hệ

giữ a C ĐĐT và đ iện thế .dA (*)q E d s→ →

=

Mặt khác:

dA = q(VM – V N) = q[V –(V + dV)] = – qdV (**)

So sánh (*) và (**) suy ra: E d s Eds cos dV→ →

= α = − (9.71)

vớ i α là góc hợ p bở i vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng và vectơ đườ ng đi d s .E→ →

Tr ườ ng hợ p 1: Nếu hướ ng về nơ i có điện thế cao, ngh ĩ a là dV > 0, thì từ (9.71)

suy ra, góc α > 90

d s→

0 , ngh ĩ a là hướ ng về nơ i có điện thế thấ p.E→

Tr ườ ng hợ p 2: Nếu hướ ng về nơ i có điện thế thấ p, ngh ĩ a là dV < 0, thì từ (9.71)

suy ra, góc α < 90

d s→

0 , ngh ĩ a là cũng hướ ng về nơ i có điện thế thấ p.E→

K ết luận 1: Vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng luôn hướ ng theo chiề u giảm của đ iện thế .

Gọi = Ecosα là hình chiếu của lên phươ ng của thì theo (9.71) ta

có: .ds = E.ds.cosα = – dV, hay:

sE E→

d s→

sE s

dVE

ds= − (9.72)

K ết luận 2: Hình chiế u của vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng lên một phươ ng nào đ ó bằ ng

độ giảm đ iện thế trên một đơ n vị chiề u dài theo phươ ng đ ó.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Nếu chiếu vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng lên ba tr ục Ox, Oy, Oz của hệ tọa

độ Descartes thì ta có:

E→

x y z

V VE ; E ; E

x y

V

z

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂ (9.73)

Trong đó,V V V

, ,x y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

là đạo hàm riêng phần của hàm thế V đối vớ i các biến x, y,

z. Trong giải tích vectơ , (9.73) đượ c viết dướ i dạng:

x y z

V V VE E . i E . j E .k ( . i . j .k)

x y z

→ → → → → → →∂ ∂ ∂= + + = − + +

∂ ∂ ∂ (9.74)

Hay: (9.75)E gradV→ →

= −

trong đó vectơ gọi là gradien của điện thế V.gradV→

K ết luận 3: Vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng t ại một đ iể m bấ t kì trong đ iện tr ườ ng bằ ng

và ng ượ c d ấ u vớ i gradien của đ iện thế t ại đ iể m đ ó.

Nếu xét theo phươ ng đườ ng sức của điện tr ườ ng (M và N nằm cùng một

đườ ng sức) thì = E và MN nằm trên pháp tuyến của các mặt đẳng thế. Do đó ta

viết ds = dn và ta có:

sE

dn

dVE −= (9.76)

Vì nên từ (9.72) và (9.76) suy ra:sE E≤dV dV

ds dn≤ (9.77)

K ết luận 4: lân cận một đ iể m trong đ iện tr ườ ng thì đ iện thế sẽ biế n thiên nhanh nhấ t

theo phươ ng pháp tuyế n của mặt đẳ ng thế (hay phươ ng của đườ ng sứ c đ iện tr ườ ng vẽ qua đ iể m đ ó).

Nếu gọi là vectơ đơ n vị hướ ng dọc theo chiều của đườ ng sức điện tr ườ ng

thì ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa cườ ng độ điện tr ườ ng và điện thế bằng công

thức:

→

on

on.dn

dVE

→→

−= (9.78)

Đối vớ i điện tr ườ ng đều, nhân hai vế của (9.76) vớ i dn, r ồi lấy tích phân tađượ c: V2 – V1 = d.EdnEdV

)2(

)1(

)2(

)1(

−=−= ∫∫

Hay U12 = V1 – V2 = E.d (9.79)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




trong đó d là khoảng cách giữa hai mặt đẳng thế đi qua điểm (1) và điểm (2) (haykhoảng cách giữa hai điểm đó tính dọc theo một đườ ng sức điện tr ườ ng).

Vận dụng mối quan hệ giữa cườ ng độ điện tr ườ ng và điện thế ta sẽ tính đượ c

cườ ng độ điện tr ườ ng nếu biết điện thế và ngượ c lại.

Ví dụ 9.7: Xác định điện thế gây bở i khối cầu tâm O, bán kính a, tích điện đều vớ imật độ điện tích khối ρ > 0 tại những điểm bên trong và bên ngoài khối cầu. Cho biết

hệ số điện môi bên trong và bên ngoài khối cầu đều bằng 1. Xét 2 tr ườ ng hợ p: a) Chọngốc điện thế ở vô cùng; b) chọn gốc điện thế tại tâm O.

Giải

Xét điểm M bên trong khối cầu. Cườ ng độ điện tr ườ ng tại M, theo (9.46) là:

o3

r E

ερ

=→→

trong . Thay vào (9.78), ta có o

0

r dV.n

3 dn

→ →ρ= −

ε (*)

Vì đườ ng sức hướ ng theo bán kính, nên và

cùng phươ ng vớ i phươ ng bán kính. Do đó:

r →

on→

→

E

AN

O

r

a

M

→

n

o3 r dndVdr dV ερ−== rdr 3dVoερ−=⇒

∫∫ ερ

−=⇒MM

O

r

0o

V

V

rdr 3

dV

Hình 9.19: S ự phân bố đ iện thế bên trong và bên

ngoài khố i cầu tích đ iện

o

2M

OM 6

r VV

ε

ρ−=−⇒ (9.80)

Tươ ng tự, xét điểm N ở bên ngoài khối cầu,

thay (9.45) vào (9.78) ta suy ra: ∫∫ −=⇒−=M N

A

r

a2

V

V2 r

dr kQdV

r

kQ

dr

dV

)a

1

r

1(kQVV

NA N −=−⇒ (9.81)

trong đó VA là điện thế tại điểm trên bề mặt khối cầu.

a) Tr ườ ng hợ p 1: chọn gốc điện thế tại vô cùng thì khi 0V;r N N →∞→

(9.81) ⇒ VA =a

kQ (9.82)

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Thay (9.82) vào (9.81) ta tính đượ c điện thế tại điểm N bên ngoài khối cầu:

N N

kQ kQV hay V

r r ngoaøi= = (9.83)

Từ (9.80) suy ra, khi M trùng vớ i A thì ta có:

VA – VO =a2

kQ

a2

1.

4

1..a

3

4

6

a

o

3

0

2

−=πε

ρπ−=ε

ρ−

K ết hợ p vớ i (9.82) suy ra: VO =a2

kQ3 (9.84)

Thay (9.84) vào (9.80) ta có điện thế bên trong khối cầu là:

Vtrong =o

2

6

r

a2

kQ3

ερ

− (9.85)

b) Tr ườ ng hợ p 2: chọn gốc điện thế tại tâm O thì VO = 0. Từ (9.80) suy ra:

Vtrong

=o

2

6

r

ε

ρ

− (9.86)

Do đó, điện thế tại mặt cầu là: VA =a2

kQ

6

a

o

2

−=ε

ρ− (9.87)

Thay (9.87) vào (9.81) ta có: Vngoài =a2

kQ3

r

kQ− (9.88)

Ví dụ 9.8: Xác định cườ ng độ điện tr ườ ng và điệnthế gây bở i hai mặt phẳng song song, r ộng vô hạn,cách nhau một khoảng d, tích điện đều vớ i mật độ điện tích mặt là +σ và – σ. Cho biết hệ số điện môicủa môi tr ườ ng bao quanh hai mặt phẳng là ε. Chọngốc điện thế ở mặt phẳng – σ.

Giải

Để xác định cườ ng độ điện tr ườ ng gây bở i

hai mặt phẳng này, ta có thể vận dụng tr ực tiế p địnhlý O – G. Tuy nhiên có thể lậ p luận đơ n giản dựa vàok ết quả của ví dụ 9.5 như sau: Cườ ng độ điện tr ườ ng tại điểm M bất k ỳ luôn là tổng

hợ p của hai điện tr ườ ng do từng mặt phẳng gây nên: . Trong đó là

vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng do mặt phẳng +σ gây ra, luôn hướ ng xa mặt phẳng này;

→→→

+= 21 EEE→

1E

+σ

–σ

Hình 9.20: Điện tr ườ ng gâ

bở i 2 mặt phẳ ng r ộng vô

hạn, tích đ iện đề u.

y

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2E→

là vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng do mặt phẳng – σ gây ra, luôn hướ ng gần mặt phẳng

này. Vì E1 = E2 =o2εε

σ nên:

• Đối vớ i những điểm nằm ngoài hai mặt phẳng (vùng (1) và (3)) thì E = 0.

• Đối vớ i những điểm nằm giữa hai mặt phẳng thì hướ ng từ +σ sang – σ và có

độ lớ n: E = E

→

E

1 + E2 =oεε

σ

(1)

(2) O

xM

→

E

x

+σVậy: Điện tr ườ ng trong khoảng giữ a hai mặt

phẳ ng là đ iện tr ườ ng đề u, có cườ ng độ:

E =oεε

σ (9.89) -σ

(3)

Để tính điện thế, ta chọn tr ục Ox như

hình (9.21). Ta có:→→→

=−= i.dx

dVn.

dn

dVE o ;

là vectơ đơ n vị hướ ng theo tr ục Ox ( )→

i→→

↑↓ oni

Hình 9.21

Suy ra : ExVVEdxdV O

x

0

V

VO

=−⇒= ∫∫

Vì chọn gốc điện thế ở mặt phẳng – σ nên VO = 0. Do đó:

V = Ex = o

x

εε

σ

(9.90)

Bên ngoài phía – σ, E = 0 ⇒ V = const = V-σ = 0;

Bên ngoài phía +σ, E = 0 ⇒ V = const = V+σ =o

d

εεσ

Hiệu điện thế giữa hai mặt phẳng là: U = V+σ – V-σ =o

d

εε

σ (9.91)

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§9.7 BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH ĐIỆN HỌC

Biết tr ướ c sự phân bố của điện tích, tìm sự phân bố của cườ ng độ điện tr ườ ngvà điện thế. Và ngượ c lại, biết tr ướ c sự phân bố của cườ ng độ điện tr ườ ng hoặc điệnthế, tìm sự phân bố của các điện tích. Đó là nội dung cơ bản của bài toán t ĩ nh điệnhọc. Để giải bài toán này, ta sử dụng định lí O – G và mối quan hệ giữa cườ ng độ điệntr ườ ng và điện thế.

Giả sử trong môi tr ườ ng đẳng hướ ng có hệ số điện môi ε, điện tích phân bố liên tục vớ i mật độ điện tích khối ρ thì theo định lí O – G ở dạng vi phân, ta có :

o

divE→ ρ

=εε

(*)

Mặt khác, theo mối quan hệ giữa cườ ng độ điện tr ườ ng và điện thế thì :

(**).E gradV→ →

= −

Thay (**) vào (*), ta có :0

diV(gradV)→ ρ

− =εε

Hay :0

V ρ

∆ = −εε

(9.92)

Nếu không có điện tích (ρ = 0) thì ta có : V 0∆ = (9.93)

(9.92) đượ c gọi là phươ ng trình Poisson, còn (9.93) đượ c gọi là phươ ng trình Laplace.Đó là hai phươ ng trình cơ bản của t ĩ nh điện học. Trong đó toán tử ∆ là toán tử vi phâncấ p hai, đượ c gọi là Laplacian hay toán tử Laplace. Trong hệ tọa độ Descartes, toán tử

∆ có dạng :2 2 2

2 2

V V VV

x y z

2

∂ ∂ ∂∆ = + +

∂ ∂ ∂

(9.94)

Trong hệ tọa độ cầu, toán tử ∆ có dạng :

22

2 2 2 2

1 V 1 V 1V r (sin . )

r r r r sin r sin

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∆ = + θ +⎜ ⎟∂ ∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂ϕ⎝ ⎠ 2

V (9.95)

Như vậy, giải bài toán cơ bản của t ĩ nh điện học, thực chất là giải phươ ng trìnhPoisson hoặc phươ ng trình Laplace. Để nghiệm của các phươ ng trình trên có ý ngh ĩ a

vật lý, ta phải có những điều kiện giớ i hạn, gọi là điều kiện biên. Khi đó phươ ng trìnhcơ bản của t ĩ nh điện học sẽ có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 9.9 : Trong chân không, điện thế phân bố theo qui luật2

4yzV

x 1=

+ (SI). Xác

định điện thế, vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng và mật độ điện tích tại điểm P(1, 2, 3).WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Giải

- Điện thế tại P : P 2

4.2.3V 1

1 1= =

+2V

- Vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng tại P :

x 2 2 2 2

V 8xyz 8.1.2.3E 1

x (x 1) (1 1)

∂= − = = =

∂ + +2V/m

y 2 2

V 4z 4.3E 6

y x 1 1 1

∂= − = − = − = −

∂ + +V / m

z 2 2

V 4y 4.2E 4

z x 1 1 1∂= − = − = − = −∂ + +

V / m

Vậy : E ( và12, 6, 4)→

= − − 2 2 2E 12 6 4 14V / m= + + =

- Mật độ điện tích tại P tinh từ (9.92): 0. Vρ = ε ∆

Mà :

2 2

2 2 2 2 3 2 3V 8xyz 8yz(3x 1) 8.2.3(3.1 1) 12x x (x 1) (x 1) (1 1)⎛ ⎞∂ ∂ − − −

2

= = = =⎜ ⎟∂ ∂ + + +⎝ ⎠

2

2 2

V 4z0

y y x 1

∂ ∂ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂ +⎝ ⎠ ;

2

2 2

V 4y0

z z x 1

∂ ∂ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂ +⎝ ⎠

Thay vào (9.94) ta có :2 2 2

2 2 2

V V VV 1

x y z

∂ ∂ ∂2∆ = + + =

∂ ∂ ∂

Vây : ρ = ε 12 9 30. V 8,85.10 .12 1,062.10 C / m− −∆ = =

§9.7 LƯỠ NG CỰ C ĐIỆN

1 – Định ngh ĩ a :

_

→

– q++q Lưỡ ng cực điện là một hệ gồm hai điện tích điểm bằng nhau về độ lớ n nhưng trái dấu, liên k ết vớ i nhau, đặtcách nhau một khoảng r ất nhỏ so vớ i những khoảng cáchtừ nó đến điểm ta xét (hình 9.22). Những vật thể vi môthườ ng có cấu trúc như những lưỡ ng cực điện. Ví dụ phântử muối ăn NaCl là một lưỡ ng cực điện, gồm ion Na

+ và Cl- .

Hình 9.22: Lưỡ ng

cự c đ iện

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Đặc tr ưng cho tính chất điện của lưỡ ng cực, ngườ i ta dùng đại lượ ng mômen

l ưỡ ng cự c đ iện hay mômen đ iện của lưỡ ng cực, đượ c định ngh ĩ a là :

–q+

M

–+q

r

r2

E→

Hình 9.23: Vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng

t ại đ iể m M trên mặt

phẳ ng trung tr ự c của

l ưỡ ng cự c đ iện

α1E

→

r

2E→

1

e p→

q→ →

= p (9.96)e

Trong đó là vectơ hướ ng từ điện tích –q đến +q, có môdun bằng khoảng cách giữa –q và +q. Đườ ng thẳng nối hai điện tích –q và +q gọi là tr ục của lưỡ ng cực điện.

→

2 – Vectơ cườ ng độ điện trườ ng gây bở i lưỡ ng cự c điện :

Xét điểm M nằm trên mặt phẳng trung tr ực của lưỡ ng cực điện.Vectơ cườ ng

độ điện tr ườ ng do lưỡ ng cực điện gây ra tại M là : 1 2E E E→ → →

= + . Trong đó ,và

là vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng do điện tích –q và +q gây ra tại M (hình 9.23).

1E→

2E→

Dễ thấy : 1 2 21

qE E k

r = =

ε

nên 1 21

qE 2E sin 2k sin

r = α =

ε α

Mà :1

sin2r

α =

, nênr 1r r

Do đó : e3 kpkqE

r r = =

ε ε

3 (9.97)

hay ở dạng vectơ : e3

k pE

r

→→

= −ε

(9.98)

vớ i k = 9.109 Nm2/C2.

Vậy : vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng do l ưỡ ng cự cđ iện gây ra t ại một đ iể m trên mặt phẳ ng trung tr ự c

của l ưỡ ng cự c đ iện luôn ng ượ c chiề u vớ i vect ơ mômen đ iện của l ưỡ ng cự c.

Tươ ng tự ta cũng xác định đượ cvectơ cườ ng độ điện tr ườ ng tại điểm Nnằm trên tr ục của lưỡ ng cưc điện, cáctâm O của lưỡ ng cực điện một khoảng r(hình 9,24) thì luôn cùng chiều vớ i vectơ mômen lưỡ ng cực điện:

e3

2k pEr

→→

=ε

(9.99)

–qe p

→

–

r

E→

O++q

N

Hình 9.24: Vect ơ cườ ng độ đ iện

tr ườ ng t ại đ iể m N trên tr ục củal ưỡ ng cự c đ iện WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




3 – Lưỡ ng cự c điện đặt trong điện trườ ng ngoài :

Giả sử đặt lưỡ ng cực điện vào điện tr ườ ng đều, sao cho vectơ mômen điện

của lưỡ ng cực tạo vớ i vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng một góc α. Khi đó điện tr ườ ng

tác dụng lên lưỡ ng cực điện hai lực ngượ c chiều: và (hình

9.25). Tổng của hai lực này bằng không nên lưỡ ng cực điện không tịnh tiến trong điện

tr ườ ng. Tuy nhiên, hai lực

e p→

0E→

0F q E→ →

+ = 0F q E→ →

− = −

F→

+ và F→

− tạo thành một ngẫu lực làm lưỡ ng cực điện quay

trong điện tr ườ ng. Mômen của ngẫu lực là :

0 e 0M F d qE sin p E sin+= = α =

α

0

(9.100)

Hay ở dạng vectơ : (9.101)eM p x E→ → →

=

Vectơ có phươ ng của vuông góc vớ i mặt phẳng chứa và , chiều xác định

theo qui tắc đinh ốc thuận (xem chươ ng 0).

M→

e p→

0E→

Dướ i tác dụng của mômen ngẫu lực, lưỡ ng

cực điện sẽ quay theo chiều sao cho vectơ tớ i trùng vớ i hướ ng của vectơ . Nếu

lưỡ ng cực là cứng ( không đổi), nó sẽ nằm cân bằng ở vị trí này. Nếu lưỡ ng cựclà đàn hồi, nó sẽ bị biến dạng hoặc phân linếu kém bền.

e p→

0E→

Trong tr ườ ng hợ p lưỡ ng cực điện

đặt trong điện tr ườ ng không đều, nó sẽ bị xoay đến vị trí sao cho vectơ tớ i trùng

vớ i hướ ng của vectơ , sau đó lực điện tr ườ ng sẽ kéo lưỡ ng cực điện tịnh tiến về

phía điện tr ườ ng mạnh.

e p→

0E→

–q

+

–

+q

d

0E→

e p→

F→

+

F→ α

−

Hình 9.25: Lưỡ ng cự c đ iện đặt trongđ iện tr ườ ng ngoài

Các k ết quả trên đây đượ c ứng dụng để giái thích hiện tượ ng phân cực điệnmôi, hiện tượ ng các vật nhẹ như mẩu giấy, bụi vải, ... bị hút vào các vật nhiễm điện vàlà nguyên lí hoạt động của lò nấu, nướ ng bằng sóng viba (xem C ơ sở vật lý tậ p 4 –David Halliday, dịch giả Đàm Trung Đồn). WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM






9.11 So sánh cườ ng độ điện tr ườ ng và điện thế tại hai điểm A, B, C trong điệntr ườ ng mô tả ở hình 9.26.

9.12 Một mặt phẳng

thẳng đứng, r ộng vôhạn, tích điện đềuvớ i mặt độ điện mặtσ = 8,85.10 – 6 C/m2.Một quả cầu nhỏ khối lượ ng m = 1g,tích điện q = 2.10 – 8 C, đượ c treo vàođiểm A ∈ mp(σ) bằng sợ i dây r ất mảnh, không

dẫn điện. Tính góc lệch của dây treo so vớ i phươ ng thẳng đứng. (lấy g = 10m/s2).

∗ ∗

∗ ∗A A

B B ∗∗

∗

B

A

C

c)b)a)

Hình 9.26

R

r

CBA D9.13 Một điện tích Q đặt tại tâm của hai đườ ng

tròn đồng tâm, bán kính r và R. Xét một đườ ngthẳng qua tâm O cắt cả hai đườ ng tròn tại cácđiểm A, B, C, D như hình (9.27).

a) Tính công của lực điện tr ườ ng đã thựchiện khi điện tích q di chuyển từ B đến C

và từ A đến D.

Hình 9.27

b) So sánh công của lực điện tr ườ ng khi điện tích q di chuyển từ A đến C vàtừ D đến C.

c) Các k ết quả trên có thay đổi không nếu q di chuyển giữa các điểm đónhưng theo các cung tròn?

9.14 Đặt điện tích âm (-Q) tại gốc tọa độ trong mặt phẳng (Oxy). So sánh cườ ng độ điện tr ườ ng và điện thế tại A(5,0) và B(0, - 5). Suy ra công của lực điện tr ườ ng khiđiện tích +q di chuyển từ A đến B mang dấu âm hay dươ ng ?

9.15 Sợ i dây mảnh tích điện đều vớ i mật độ điện dài λ đượ c uốn thành cung trònAB bán kính R, chắn góc ở tâm 2α . Xác định vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng và điệnthế tại tâm O của cung AB, chọn gốc điện thế ở vô cùng.

9.16 Hai sợ i dây mảnh, r ất dài, song song, cách nhau một khoảng 2a, tích điện tráidấu vớ i mật độ điện dài là +λ và – λ . Xác định vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng vàđiện thế V tại (Chọn gốc điện thế ở mặt phẳng trung tr ực của hai dây):

a) M nằm trên đoạn thẳng nối hai dây, vuông góc vớ i hai dây, cách dây tích

điện dươ ng một đoạn x b) N cách đều hai dây, cách mặt phẳng chứa hai dây một khoảng h.

9.17 Chỏm cầu có bán kính R, góc mở 2α, tích điện đều vớ i mật độ điện mặt +σ.Xác định vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng và điện thế tại tâm O của chỏm cầu. Chọngốc điện thế ở vô cùng.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




9.18 Hai vòng tròn tích điện đều, cùng bán kính R = 6cm , đồng tr ục, hai tâm O1 vàO2 cách nhau một khoảng a = 8cm. Vòng thứ nhất tích điện q1 = +4µC. Tính điệntích của vòng thứ hai, biết r ằng, khi điện tích thử q0 = – 1µC di chuyển từ O1 đếnO2 thì động năng của nó tăng 0,6J.

9.19 Đặt nhẹ nhàng một điện tích điểm q = +2nC vào điện tr ườ ng gây bở i sợ i dâymảnh dài, tích điện đều thì thấy điện tích này di chuyển vào gần dây. Khi nó quavị trí cách dây 4cm thì có động năng 0,015mJ. Xác định dấu và mật độ điện dàitrên dây.

9.20 Đặt một lưỡ ng cực điện có mômen lưỡ ng cực pe = 6,24.10 – 30 Cm vào điện

tr ườ ng đều có cườ ng độ E = 30kV/m sao cho và tạo vớ i nhau một góc 30e p→

E→

0.

Tính mômen làm quay lưỡ ng cực điện.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chöông 10: VAÄT DAÃN 223

Chươ ng 10

VẬT DẪN

§10.1 VẬT DẪN CÂN BẰNG TĨNH ĐIỆN

1 – Khái niệm về vật dẫn cân bằng t ĩ nh điện:

Vật dẫn là vật có các hạt mang điện tự do. Các hạt mang điện này có thể chuyển động khắ p mọi điểm trong toàn bộ vật dẫn.

Nguyên tử kim loại luôn có các electron ở lớ p ngoài cùng, liên k ết yếu vớ ihạt nhân nên dễ dàng thoát khỏi nguyên tử và tr ở thành electron t ự do. Các electrontự do này có thể chuyển động len lỏi khắ p nơ i trong mạng tinh thể kim loại. Do dókim loại là một vật dẫn điển hình. Trong phạm vi hẹ p, khi nói đế n vật d ẫ n, ta hiể umuố n nói đế n các vật bằ ng kim loại.

Khi tích điện cho vật dẫn hoặc đặt vật dẫn trong điện tr ườ ng t ĩ nh, các điệntích sẽ dịch chuyển trong vật dẫn và nhanh chóng đạt đến tr ạng thái ổ n định, không

chuyể n động có hướ ng nữ a – ta nói vật dẫn đang ở tr ạng thái cân bằ ng t ĩ nh đ iện.

2 – Tính chất của vật dẫn cân bằng t ĩ nh điện:

a) Trong lòng vật d ẫ n không có đ iện

tr ườ ng : . Thật vậy, khi đạt

tr ạng thái cân bằng t ĩ nh điện, các điệntích tự do trong vật dẫn không chuyểnđộng có hướ ng nữa, muốn vậy, lực điệntr ườ ng phải bằng không. Mà

, suy ra

0E trong =→

F q E 0→ →

= = E→

0= . Tính chất

này đượ c ứng dụng để làm màn chắ nt ĩ nh đ iện (hộ p hoặc lướ i kim loại) để bảo vệ thiết bị khỏi bị tác động của điệntr ườ ng ngoài.

E 0trong

→

=

E→

b) M ặt ngoài của vật d ẫ n, vect ơ cườ ng

độ đ iện tr ườ ng luôn vuông góc vớ i bề mặt vật d ẫ n. Thậy vậy, tại mọi điểm, ta

luôn có: . Nếu không

vuông góc vớ i mặt ngoài vật dẫn thì thành phần tiế p tuyến . Khi đó điện

tích tự do trên mặt vật dẫn sẽ chịu tác dụng của lực tiế p tuyến khiến nó

di chuyển có hướ ng trên mặt vật dẫn. Điều này là vô lý, vì vật dẫn đang ở tr ạng

→→→

+= nt EEE→

E

0E t ≠→

→→

= tt EqF

Hình 10.1: Vect ơ cườ ng độ đ iệntr ườ ng bên trong và trên bề mặt

ngoài vật d ẫ n cân bằ ng t ĩ nh đ iện

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




thái cân bằng t ĩ nh điện. Vậy thành phần tiế p tuyến triệt tiêu, suy ra vectơ phải vuông góc bề mặt vật dẫn.

tE→ →

E

c) Toàn vật d ẫ n là một khố i đẳ ng thế . Thật vậy, xét hai điểm bất k ỳ trong vật dẫn,

ta luôn có: V1 – V2 =(2) (2)

(1) (1)

E d 0.d 0→ → →

= =∫ ∫ . Vậy V1 = V2.

trong(S)q 0=∑

(S)

d) N ế u vật d ẫ n tích đ iện thì đ iện tích không phân

bố trong lòng mà phân bố ở mặt ngoài của vật

d ẫ n. Thật vậy, tưở ng tượ ng có một mặt (S) bấtk ỳ trong lòng vật dẫn, theo định lý O – G, ta có:

. Mà E = 0 nên D = 0. Do

đó . Điều này luôn đúng vớ i mọi

mặt kín (S) nằm trong lòng vật dẫn. Muốn vậy,trong lòng vật dẫn phải không tích điện.

trong(S)(S) Dd S q

→ →

= ∑∫trong(S)q =∑ 0

Hình 10.2: Trong lòng vật

d ẫ n không có đ iện tíchVậy: khi tích điện cho vật dẫn thì đ iện tích chỉ phân bố một l ớ p r ấ t mỏng trên mặt ngoài của

vật d ẫ n (bề dày cỡ vài nguyên t ử ).

q 0

E 0→

=

=

Từ các tính chất trên suy ra, một vật d ẫ nr ỗ ng ở tr ạng thái cân bằ ng t ĩ nh đ iện thì ở phần

r ỗ ng và thành trong của vật d ẫ n r ỗ ng cũng không

có đ iện tr ườ ng và đ iện tích. Nếu ta cho quả cầukim lọai đã tích điện chạm vào thành trong củamột vật dẫn r ỗng thì điện tích của quả cầu kimloại sẽ truyền hết ra mặt ngoài của vật dẫn r ỗng.K ết quả này đượ c dùng làm nguyên tắc tích điệncho một vật và do đó nâng điện thế của vật lên r ấtcao. Hình 10.3: Phần r ỗ ng và

thành trong không có đ iện

tích và đ iện tr ườ ng3 – Hiệu ứ ng mũi nhọn :

Lý thuyết và thực nghiệm đãchứng tỏ sự phân bố điện tích trên mặtvật dẫn chỉ phụ thuộc vào hình dạngcủa bề mặt vật dẫn. Trên nhữ ng vật

d ẫ n có d ạng mặt cầu, mặt tr ụ dài vô

hạn, mặt phẳ ng r ộng vô hạn thì đ iệntích phân bố đề u, vì lí do đối xứng.Đối vớ i những vật dẫn có hình dạng bất kì thì điện tích phân bố không đều,tậ p trung nhiều tại các chỗ lồi ra; tạicác chỗ lõm, mật độ điện tích hầu như bằng không; đặc biệt, tại các mũi

0E =

→

+

++

++++ +

++

+++

++

++

Hình 10.4: Điện tích t ậ p trung t ại các

mũi nhọn

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




nhọn, mật độ điện tích r ất lớ n. Vì thế, lân cận các mũi nhọn, điện tr ườ ng r ất mạnh.Dướ i tác dụng của điện tr ườ ng này, một số ion và electron có sẵn trong khí quyểnsẽ chuyển động và mau chóng thu đượ c động năng lớ n. Chúng va chạm vớ i các phân thử khí, gây ra hiên tượ ng ion hóa, sinh ra r ất nhiều hạt mang điện. Các hạt

mang điện trái dấu vớ i điện tích của mũi nhọn sẽ bị mũi nhọn hút vào, và do đóđiện tích của mũi nhọn giảm dần. Các hạt mang điện trái dấu vớ i điện tích của mũinhọn sẽ bị đẩy ra xa mũi nhọn và chúng kéo theo các phân tử khí chuyển động, tạothành luồng gió đ iện. Hiện tượ ng mũi nhọn bị mất dần điện tích và tạo thành gióđiện đượ c gọi là hiệu ứ ng mũi nhọn.

Các thiết bị điện làm việc ở điện thế cao cần hạn chế các chỗ lồi nhọn ra để tránh hiện tượ ng dò đ iện do hiệu ứng mũi nhọn. Ngượ c lại, trong nhiều tr ườ ng hợ p,hiệu ứng mũi nhọn dùng để phóng nhanh các điện tích ra ngoài khí quyển – cột thu

lôi là một ứng dụng điển hình.4 – Hiện tượ ng điện hưở ng:

– +

+

++

0E =→

–

– –

Khi đặt một vật dẫn (chưa tích điện)trong điện tr ườ ng ngoài, lực điện tr ườ ng sẽ tácdụng lên các điện tích tự do trong vật dẫn, làmchúng phân bố lại sao cho điện tr ườ ng trong lòngvật dẫn luôn triệt tiêu. K ết quả trên bề mặt vậtdẫn xuất hiện các điện tích trái dấu – gọi là cácđ

iện tích c

ảmứ

ng . Phía bề mặt vật dẫn đối diệnvớ i hướ ng đườ ng sức điện tr ườ ng ngoài sẽ xuấthiện các điện tích âm; còn phía kia xuất hiện cácđiện tích dươ ng.

Hiện t ượ ng xuấ t hiện các đ iện tích cảm

ứ ng trên vật d ẫ n khi đặt vật d ẫ n trong đ iệntr ườ ng ngoài đượ c g ọi là hiện t ượ ng đ iện hưở ng (hay hưở ng ứ ng đ iện).

Hình 10. 5: Hiện t ượ ng

đ iện hưở ng

Nếu ta thiết k ế sao cho vật dẫn B bao bọc

hoàn toàn vật vật mang điện A như hình 10.6 thìmọi đườ ng sức điện tr ườ ng của A đều đến B, khiđó ta có hiện tượ ng đ iện hưở ng toàn phần. Trái lạilà điện hưở ng một phần.

Trong hiện tượ ng điện hưở ng toàn phần,điện tích cảm ứng xuất hiện ở mặt trong của vậtdẫn B luôn bằng và trái dấu vớ i điện tích của vật Avà điện tích cảm ứng xuất hiện ở mặt ngoài của vậtdẫn B luôn bằng và cùng dấu vớ i điện tích của vật

A. Để chứng minh điều này ta chọn mặt kín (S)nằm trong phần đặc của vật B và bao kín phầnr ỗng, khi đó thông lượ ng điện cảm gở i qua (S) bằng không, vì trong phần đặc củaB không có điện tr ườ ng. Theo định lí O – G suy ra, tổng điện tích chứa trong (S)cũng bằng không. Gọi Q là điện tích của vật A, q là điện tích ở mặt trong và q’ làđiện tích ở mặt ngoài của B thì Q + q = 0 hay q = – Q. Do lúc đầu vật dẫn B khôngtích điện nên điện nên q + q’ = 0 hay q’ = – q = Q.

+

+

+

A B++

–

–

– –

–

– –

+

+ (S)

Hình 10.6: Điệnhưở ng toàn phần.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Vậy: trong hiện t ượ ng đ iện hưở ng toàn phần, độ l ớ n của đ iện tích cảm ứ ng

luôn bằ ng vớ i độ l ớ n của đ iện tích trên vật mang đ iện.

5 – Điện dung của vật dẫn cô lập:

Một vật dẫn đượ c gọi là cô lậ p về điện nếu gần nó không có vật nào kháccó thể gây ảnh hưở ng đến sự phân bố điện tích trên bề mặt của nó.

Lý thuyết và thực nghiệm đều chứng tỏ, khi điện tích Q của vật dẫn cô lậ ptăng lên thì điện thế V của nó cũng tăng theo (qui ướ c gốc điện thế ở vô cùng),

nhưng tỉ số Q/V là không đổi. Ta gọi đại lượ ng:V

QC = (10.1)

là điện dung của vật dẫn cô lậ p.

Điện dung của vật d ẫ n cô l ậ p là đại l ượ ng đặc tr ư ng cho khả năng tíchđ iện của vật d ẫ n, có giá tr ị bằ ng đ iện tích mà vật tích đượ c khi đ iện thế của nó là

một đơ n vị đ iện thế .

Điện dung của vật dẫn phụ thuộc vào kích thướ c, hình dạng và bản chấtcủa môi tr ườ ng cách điện bao quanh vật dẫn. Trong hệ SI, đơ n vị đo điện dung làfara (F).

Từ (9.82) và (10.1) suy ra điện dung của một quả cầu kim loại cô lậ p, bán

kính a là: C = k

a

V

Q

= (10.2)

(10.2) chứng tỏ điện dung 1F là r ất lớ n. Vì một quả cầu có điện dung 1(F) thì bánkính của nó phải là a = k = 9.10 9 (m), lớ n hơ n bán kính trái đất cả ngàn lần (!). Dođó trên thực tế ngườ i ta dùng các ướ c số của fara:

1 µF (micrô fara) = 10 – 6 F

1 nF (nanô fara) = 10 – 9 F

1pF (picô fara) = 10 – 12 F

§10.2 TỤ ĐIỆN

1 – Định ngh ĩ a:CTụ điện là hệ thống gồm hai vật dẫn đặt gần nhau,

sao cho giữa chúng luôn xảy ra hiện tượ ng điện hưở ngtoàn phần. Hai vật dẫn đó đượ c gọi là hai bản (hay hai cốt)của tụ điện.

Nếu ta nối hai bản của tụ điện vào hai cực của mộtnguồn điện thì điện tích trên hai bản tụ luôn có giá tr ị bằngnhau nhưng trái dấu. Ta gọi đ iện tích trên bản d ươ ng là đ iệ

tích điện dươ ng luôn có điện thế cao hơ n bản tích điện âm. Ta gọi U V Vn tích của t ụ đ iện. Bản

+ −= − là

hiệu điện th .ế của tụ điện

Hình 10.7: kí hiệut ụ đ iện WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2 – Điện dung của tụ điện:

Điện dung C của t ụ đ iện là đại l ượ ng đặc tr ư ng cho khả năng tích đ iện của

t ụ đ iện ở một hiệu đ iện thế nhấ t định, có giá tr ị bằ ng đ iện tích của t ụ khi hiệu đ iện

thế giữ a hai bản t ụ là 1V : UQC = (10.3)

trong đó U là hiệu điện thế giữa hai bản tụ, Q là điện tích của tụ.

Điện dung của tụ điện phụ thuộc vào hình dạng, kích thướ c, khoảng cáchgiữa hai bản tụ điện và bản chất của môi tr ườ ng giữa hai bản tụ điện.

Căn cứ vào hình dạng của các bản tụ điện, ngườ i ta chia làm ba loại tụ điện: tụ điện phẳng, tụ điện cầu và tụ điện tr ụ. Căn cứ vào bản chất môi tr ườ nggiữa hai bản tụ, ta có tụ điện không khí, tụ điện giấy, tụ điện sứ, tụ điện mica, ...

Dướ i đây sẽ tính điện dung của một số loại tụ điện thông dụng.

a) T ụ đ iện phẳ ng: Là tụ điện mà hai bảntụ là hai tấm kim loại phẳng có cùng diệntích S, đặt cách nhau một khoảng d r ấtnhỏ so vớ i kích thướ c của mỗi bản.

Nếu tích điện cho tụ điện thì điệntr ườ ng trong khoảng giữa hai bản tụ điện

là điện tr ườ ng đều, có cườ ng độ xác địnhtheo (9.89) và hiệu điện thế giữa hai bản

tụ điện có biểu thức (9.91): U = doεε

σ. Mà σ =

S

Q.

+ + + +

– – – –d

Hình 10.8: T ụ đ iện phẳ ng

Vậy : điện dung của tụ điện phẳng là: oSQC

U d

εε= = (10.4)

Trong đó ε0 là hằng số điện và ε là hệ số điện môi của chất điện môi lấ p đầy hai

bản tụ điện.Công thức (10.4) cho thấy điện dung của tụ điện phẳng càng lớ n khi hai

bản tụ càng lớ n và càng gần nhau. Trên thực tế, để giảm kích thướ c của tụ điện phẳng, ngườ i ta đặt giữa hai bản tụ một lớ p điện môi r ồi cuộn chặt hai bản lại thànhmột khối hình tr ụ.

-

–

+R

1

R 2

b) T ụ đ iện cầu: Là tụ điện mà hai bản tụ là hai mặt cầukim loại đồng tâm, bán kính R 1 và R 2 gần bằng nhau.

Nếu ta tích điện cho tụ điện thì điện tr ườ ng trongkhoảng giữa hai bản tụ chỉ do điện tích của bản bên tronggây ra (vì điện tích của bản ngoài không gây ra điệntr ườ ng trong lòng nó). Do đó điện thế tại một điểm trongkhoảng giữa hai mặt cầu có biểu thức tính tươ ng tự như

(9.83) :r

kQV

ε= . Suy ra, hiệu điện thế giữa hai bản tụ

Hình 10.9: T ụ

đ iện cầu

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




là: U = V1 – V2 =ε

kQ(

21 R

1

R

1− ) =

21o

12

R R 4

)R R (Q

πεε

−

Vậy : điện dung của tụ điện cầu là:12

21oR R

R R 4

U

QC −

πεε== (10.5)

Công thức (10.5) cho thấy điện dung của tụ điện cầu càng lớ n khi bán kínhcác mặt cầu càng lớ n và xấ p xỉ bằng nhau.

c) T ụ đ iện tr ụ: Là tụ điện mà hai bản tụ là hai mặttr ụ đồng tr ục, bán kính R 1 và R 2 gần bằng nhau,có chiều cao là .

R 2

R 1

Nếu ta tích điện cho tụ điện thì điệntr ườ ng trong khoảng giữa hai bản tụ chỉ có tínhđối xứng quanh tr ục của hình tr ụ. Chọn mặt kínGauss là mặt tr ụ đồng tr ục vớ i hai bản tụ, có bánkính r (R 1 ≤ r ≤ R 2), có hai đáy vuông góc vớ i tr ụccủa hai bản tụ và có chiều cao . Thông lượ ngđiện cảm gở i qua mặt kín Gauss là:

Hình 10.10: T ụ đ iện tr ụ

D G 0

xungquanh xungquanh

Dd S Dd S DdS 0 D.S E.2 r haiday

→ → → →

Φ = + = + = = εε π∫ ∫ ∫

Tổng điện tích chứa trong mặt Gauss chính là điện tích Q của bản trong. Theo địnhlý O – G ta suy ra cườ ng độ điện tr ườ ng trong khoảng giữa hai bản tụ điện tr ụ là:

0

QE

2 r =

πεε (10.6)

Mà0

dV dV Q dr E dV Edr

dn dr 2 r

= − = − ⇒ − = =

πεε

.

Suy ra hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện là (giả sử bản trong tích điện dươ ng):

U = V1 – V2 =2 2

1 1

V R

2

o oV R

R Q dr QdV ln

2 r 2− = =

πεε πεε∫ ∫ 1R

(10.7)

Vậy điện dung của tụ điện tr ụ là:)R /R ln(

2

U

QC

12

o πεε== (10.8)

Các công thức (10.4), (10.5) và (10.9) đều chứng tỏ đ iện dung của các loại

t ụ đ iện t ỉ l ệ thuận vớ i hệ số đ iện môi của môi tr ườ ng l ấ p đầ y khoảng không gian

giữ a hai bản t ụ và t ỉ l ệ nghịch vớ i khoảng cách giữ a hai bản t ụ. Tuy nhiên takhông thể tăng điện dung của tụ bằng cách giảm khoảng cách giữa hai bản tụ mãiđượ c. Vì khi đó điện tr ườ ng giữa hai bản tụ r ất mạnh sẽ làm chất điện môi tr ở nêndẫn điện và điện tích trên hai bản tụ sẽ phóng qua lớ p điện môi. Ta nói tụ đ iện đ ã

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




bị đ ánh thủng . Muốn tụ có điện dung lớ n mà kích thướ c lại nhỏ, cần chọn điện môicó ε lớ n và hiệu điện thế đánh thủng cao.

3 – Ghép tụ điện:

Việc chế tạo các tụ điện có điện dung lớ n, chịu đượ c hiệu điện thế cao làr ất khó, nên ngườ i ta tìm cách ghép các tụ vớ i nhau nhằm thỏa mãn nhu cầu sử dụng. Có hai cách ghép cơ bản : ghép nối tiế p và ghép song song.

a) Ghép nố i tiế p:

Sơ đồ ghép như hình (10.11). Khinối hệ thống vớ i nguồn điện có hiệu điện thế U thì các bản của mỗi tụ điện tích xuất hiệncác điện tích trái dấu do hiện tượ ng điện

hưở ng toàn phần. Ta thấy hai bản nối liềnnhau bất kì luôn tạo thành một hệ cô lậ p. Từ định luật bảo toàn điện tích suy ra, điện tíchtrên hai bản k ề nhau luôn bằng nhau về độ lớ n nhưng trái dấu.

C1 C2 C3 Cn

. . .

Hình 10.11: Ghép nố i tiế pcác t ụ đ iện

Vậy: khi ghép nố i tiế p thì đ iện tích của các t ụ là bằ ng nhau :

Q = Q1 = Q2 = Q3 = … = Qn (10.9)

Dễ thấy, hiệu điện thế hai đầu bộ tụ ghép nối tiế p, bằng tổng hiệu điện thế giữa hai bản của mỗi tụ: U = U

1 + U

2 +U

3 + … + U

n (10.10)

Nếu ta thay thế bộ tụ trên bằng một tụ có vai trò tươ ng đươ ng, thì điện dung của tụ

này là:n21

td U...UU

Q

U

QC

+++==

nn2211

n21

td C/Q

1...

C/Q

1

C/Q

1

Q

U...

Q

U

Q

U

C

1+++=+++=⇒

Hay ∑==+++=

n

1i in21td C1C1...C1C1C1 (10.11)

b)Ghép song song : C1

Sơ đồ ghép như hình (10.12). Dễ thấy, khighép song song thì điện tích của bộ tụ điện bằng tổngđiện tích của mỗi tụ và hiệu điện thế hai đầu bộ tụ bằnghiệu điện thế của mỗi tụ.

C2

Cn- - - -Q = Q1 + Q2 + … + Qn (10.12)

U = U1 = U2 = … = Un (10.13)

Nếu ta thay thế bộ tụ trên bằng một tụ có vai trò tươ ngđươ ng thì điện dung của tụ đó là:

Hình 10.12: Ghép //

các t ụ đ iện

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




n

n

2

2

1

1n21td U

Q...

U

Q

U

Q

U

Q...QQ

U

QC +++=

+++==

Hay Ctd = C1 + C2 + … + Cn (10.14)

Nhận xét:

• Khi ghép nối tiế p, điện dung giảm. Nếu n tụ giống nhau thì điện dung giảm nlần

• Khi ghép // điện dung tăng. Nến n tụ giống nhau thì điện dung tăng n lần.

§10.3 NĂNG LƯỢ NG TỤ ĐIỆN – NĂNG LƯỢ NG ĐIỆN TR ƯỜ NG

1 – Năng lượ ng của tụ điện:Giả sử ta dùng nguồn để nạ p điện tích vào hai bản của một tụ điện có điện

dung C. Nguồn điện sinh công để đưa các điện tích đến các bản tụ và công đóchuyển thành năng lượ ng của tụ điện. Để tính công này, ta giả sử ở thờ i điểm t,điện thế giữa hai bản tụ là u và điện tích của tụ là q. Trong thờ i gian dt tiế p theo,nguồn đưa thêm diện tích dq đến tụ. Vì dq r ất nhỏ nên u coi như không đổi và côngcủa nguồn là dA = udq = Cudu. Công toàn phần để nạ p điện cho tụ đến khi hiệu

điện thế bằng U là: A = 2U

0

U

0

CU2

1uduCdA ==

∫∫

Công này chuyển hoá thành năng lượ ng W của tụ. Vậy năng lượ ng của tụ điện là:

C2

QQU

2

1CU

2

1W

22 === (10.15)

2 – Năng lượ ng điện trườ ng:

Nếu ta xét tụ điện phẳng thì U = Ed; Q = σS = εεoES (vì E = oεε

σ

).

Do đó, năng lượ ng của tụ điện đượ c viết dướ i dạng:

τεε=εε=εε= .E2

1SdE

2

1)Ed).(ES(

2

1W 2

o2

oo (10.16)

trong đó = Sd là thể tích của vùng không gian giữa hai bản tụ – cũng chính làvùng không gian có điện tr ườ ng.

τ

Như vậy năng lượ ng của tụ điện định xứ trong vùng không gian có điệntr ườ ng. Nói cách khác, nơ i nào có đ iện tr ườ ng thì nơ i đ ó có năng l ượ ng . Điệntr ườ ng có mang năng lượ ng – đó là một bằng chứng chứng tỏ đ iện tr ườ ng là một

d ạng vật chấ t .

Ta có thể viết (10.16) dướ i dạng: W = ωE τ (10.17)WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Trong đó đại lượ ng: ωE = 2oE

2

1εε (10.18)

là mật độ năng lượ ng điện tr ườ ng.

Tổng quát, nếu điện tr ườ ng không đều thì năng lượ ng điện tr ườ ng trong thể

tích là:τ τεε

=τω= ∫∫ττ

d.2

EdW

2o

E (10.19)


10.1 Đặt viên bi nhỏ tích điện dươ ng vào tâm một vỏ cầu kim loại chưa nhiễmđiện. Sau đó đưa sợ i dây treo viên bi thứ hai mang điện dươ ng lại gần vỏ cầu. Hỏidây treo có bị lệch không? Tại sao? Nếu vỏ cầu đượ c nối đất thì hiện tượ c xảy ranhư thế nào? Giải thích.

10.2 Tụ điện phẳng, không khí, diện tích mỗi bản là S = 100cm2, khoảng cách hai bản là d = 10mm

a) Tính điện dung của tụ điện. b) Ngườ i ta đưa một tấm kim loại bề dày a = 8mm, đồng dạng vớ i hai bản

tụ, vào khoảng giữa hai bản tụ. Tính điện dung của tụ khi đó.

c) Nếu thay tấm kim loại trên bằng tấm điện môi có ε = 5 thì điện dungcủa tụ là bao nhiêu?

10.3 Một tụ điện phẳng, không khí, diện tích mỗi bản là S, khoảng cách hai bản làd, đượ c tích điện đến hiệu điện thế Uo r ồi ngắt khỏi nguồn. Sau đó ngườ i ta nhúnghai bản tụ vào một chất điện môi lỏng có hệ số điện môi ε, sao cho nó ngậ p đúngmột nửa. Coi mặt phân cách giữa điện môi và không khí là phẳng và bỏ qua độ cong của đườ ng sức tại mặt phân cách. Tính:

a) Điện dung, điện tích và hiệu điện thế giữa hai bản của tụ điện.

b) Cườ ng độ điện tr ườ ng trong phần không khí và điện môi.c) Điện tích trên phần chìm trong chất điện môi.d) Độ biến thiên năng lượ ng của tụ điện. Năng lượ ng mà tụ đã chuyển

hoá thành dạng năng lượ ng nào?

10.4 Có 4 tụ điện giống nhau: C1 = C2 = C3 =C4 = 6µF, đượ c mắc vào nguồn U = 22Vnhư hình 10.13.

C1 C2 C3 C4

B

-

A+

a) Tính điện dung của bộ tụ và

điện tích của mỗi tụ. b) Có bao nhiêu cách ghép các tụ

này vào nguồn trên? Tính điệndung tươ ng đươ ng và điện tích của mỗi tụ trong mỗi cách ghép?

Hình 10.13WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




10.5 Hai tụ điện C1 = 4µF và C2 = 6µF mắc nối tiế p vào nguồn U = 20V. Sau đóngườ i ta tháo bỏ nguồn và nối các bản cùng dấu vớ i nhau. Tính độ biến thiên nănglượ ng của bộ tụ.

10.6 Dùng nguồn U = 20V lần lượ t nạ p điện cho hai tụ C1 = 4µF và C2 = 6µF r ồingắt chúng khỏi nguồn. Tính điện tích và hiệu điện thế của mỗi tụ, khi:

a) Nối các bản cùng dấu của hai tụ vớ i nhau. b) Nối các bản khác dấu của hai tụ vớ i nhau.

10.7 Tụ điện C1 = 10µF đượ c tích điện ở hiệu điện thế U1 = 100V; tụ C2 đượ c tíchđiện ở hiệu điện thế U2 = 40V. Ngườ i ta nốicác bản cùng dấu của hai tụ này vớ i nhauthì hiệu điện thế giữa hai bản của tụ thứ hailà U = 80V. Tính C2.

C1 C2

10.8 Cho bộ tụ điện mắc vào nguồn U như hình 10.14 Tính điện dung tươ ng đươ ng vàđiện tích của mỗi tụ (theo C1, C2, C3, C4 vàU) khi K mở và khi K đóng. Từ đó tính số electron đã chuyển qua khoá K khi Kđóng. Tìm điều kiện để không có điện tích nào chuyển qua K khi K đóng.

C3 C4

B

-K A

+

Hình 10.14

10.9 Một tụ điện có điện dung Co = 20µF đượ c tích điện đến hiệu điện thế Uo =

400V. Nối tụ điện Co vớ i tụ thứ nhất C1 = C = 1µF. sau đó ngắt C1 khỏi Co r ồi lạinối tụ thứ hai C2 = C = 1µF vào Co. Ngắt C2 khỏi Co r ồi lại nối tụ thứ ba, thứ tư, v.v… , đều có điện dung bằng C = 1µF, cho đến khi điện tích trên Co bằng không.Tính tổng hiệu điện thế của tất cả các tụ C1, C2, …

10.10 Tìm hiệu điện thế giữa hai điểm A, B trong sơ đồ hình (10.15).

Áp dụng: C1 = 3µF; C2 = 2µF; U1 = 6V; U2 = 4V

10.11 Một tụ điện phẳng không khí, kích thướ c mỗi

bản là 20 cm x 30cm, đặt cách nhau một khoảng d =2mm. Tính điện tích lớ n nhất mà tụ tích đượ c nếu điệntr ườ ng đánh thủng đối vớ i không khí là E = 3.10 4

V/cm. Nếu lấ p đầy tụ điện chất điện môi có ε = 5 vàđiện tr ườ ng đánh thủng là E’ = 4.10 6 V/m thì điện tích lớ n nhất mà tụ tích đượ c là bao nhiêu?

C1 C2

U + B

A

-+

-U

Hình 10.15

10.12 Giữa hai mặt phẳng vô hạn, song song, tích điện đều, mật độ bằng nhaunhưng trái dấu, cách nhau một khoảng d = 1cm, đặt nằm ngang, có một hạt (M)

khối lượ ng m = 5.10 – 14

kg, mang điện tích q. Khi không có lực điện tr ườ ng, do sứccản không khí, hạt (M) r ơ i đều vớ i vận tốc v1. Khi điện tr ườ ng giữa hai mặt phẳngcó hiệu điện thế U = 600V thì hạt (M) r ơ i chậm đi vớ i vận tốc v2 = v1/2. Tính điệntích q của hạt (M).

10.13 Một electron đượ c bắn vào khoảng không gian giữa hai bản của một tụ điện phẳng không khí vớ i động năng ban đầu Wo = 200 eV, theo hướ ng hợ p vớ i bản

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




dươ ng một góc α = 15o. Chiều dài mỗi bản tụ là = 5cm, khoảng cách hai bản là d= 1cm. Xác định qũi đạo của electron khi bay vào tụ điện và hiệu điện thế giữa hai bản tụ để electron r ờ i tụ theo phươ ng song song vớ i hai bản.

10.14 Đèn hình TV là một ống phóng điện tử, có sơ đồ cấu tạo như hình (10.16).Electron đượ c phát xạ nhiệt từ cathode K, đượ c tăng tốc trong điện tr ườ ng đều giữaanode A và K r ồi đi vào tụ phẳngtheo phươ ng song song vớ i hai bản. Thiết lậ p biểu thức tính vị tríx mà electron đậ p vào màn huỳnhquang theo các thông số: Uo là hiệuđiện thế giữa A và ; U là hiệu điệnthế giữa hai bản tụ; s là chiều dài

bản tụ; d là khoảng cách giữa hai bản tụ và là khoảng cách từ tụ đến màn huỳnh quang.

+

+A+K-

-

s

x

Hình 10.16Ap dụng: s = 6 cm, d = 1,8 cm, U= 50V, Uo = 728V, = 15cm

10.15 Sau khi đượ c tăng tốc bở i hiệu điện thế Uo = 100V, một electron bay vàochính giữa hai bản tụ điện phẳng theo phươ ng song song vớ i hai bản. Hai bản cóchiều dài = 10 cm, khoảng cách d = 1 cm. Tìm hiệu điện thế giữa hai bản tụ để

electron không ra khỏi tụ điện.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chươ ng 11

ĐIỆN MÔI

Điện môi là nhữ ng chấ t không d ẫ n đ iện, nghĩ a là không có các hạt đ iện

tích t ự do. Tuy nhiên khi đặt đ iện môi trong đ iện tr ườ ng ngoài thì nó có nhữ ng biế nđổ i đ áng k ể . Chươ ng này nghiên cứ u các tính chấ t của đ iện môi và nhữ ng biế n đổ icủa nó trong đ iện tr ườ ng.

§11.1 SỰ PHÂN CỰ C CỦA ĐIỆN MÔI

1 – Hiện tượ ng phân cự c điện môi:

0E→

--

-E'→ +

++

Thực nghiệm chứng tỏ r ằng, khi đặt một

thanh điện môi trong điện tr ườ ng ngoài thì trên các

mặt giớ i hạn của thanh điện môi sẽ xuất hiện các điện

tích trái dấu. Mặt đối diện vớ i hướ ng đườ ng sức điện

tr ườ ng ngoài sẽ xuất hiện các điện tích âm, mặt bên

kia sẽ xuất hiện các điện tích dươ ng (hình 11.1). Nếu

thanh điện môi không đồng chất và đẳng hướ ng thì

ngay cả trong lòng thanh điện môi cũng xuất hiện các

điện tích.

Hình 11.1: Hiện t ượ ng

phân cự c đ iện môi.

Hiện tượ ng xuất hiện các điện tích trên thanh điện môi khi nó đặt trong

điện tr ườ ng ngoài đượ c gọi là hiện t ượ ng phân cự c đ iện môi. Khác vớ i hiện tượ ng

điện hưở ng ở vật dẫn kim loại, các điện tích xuất hiện ở chỗ nào trên bề mặt thanh

điện môi sẽ định xứ ở đó, không di chuyển đượ c. Ta gọi đó là các đ iện tích liên k ế t .

Các điện tích liên k ết sẽ gây ra trong lòng thanh điện môi một điện tr ườ ng

phụ làm cho điện tr ườ ng ban đầu trong thanh điện môi thay đổi. Điện

tr ườ ng tổng hợ p trong điện môi khi điện môi bị phân cực là:

E'→

0E→

0E E E '→ → →

= + (11.1)

2 – Giải thích hiện tượ ng phân cự c điện môi:

Ta biết, trong mỗi nguyên tử, các electron luôn chuyển động quanh hạt

nhân vớ i vận tốc r ất lớ n. Tuy nhiên khi xét tươ ng tác giữa các electron của nguyên,

phân tử vớ i điện tích hay điện tr ườ ng bên ngoài ở những khoảng cách khá lớ n so

vớ i kích thướ c phân tử, một cách gần đúng, ta có thể coi tác dụng của các electron

tươ ng đươ ng vớ i tác dụng của một điện tích tổng cộng –q đứng yên tại một vị trítrung bình nào đó trong phân tử, gọi là tâm của các đ iện tích âm. Một cách tươ ng

tự, ta coi tác dụng của hạt nhân tươ ng đươ ng vớ i điện tích dươ ng +q đặt tại tâm của

các đ iện tích d ươ ng .

Tùy theo phân bố các electron quanh hạt nhân mà tâm của các điện tích

âm và tâm của các điện tích dươ ng có thể lệch nhau hoặc trùng nhau. Tr ườ ng hợ pthứ nhất, mỗi phân tử chất điện môi đã là một lưỡ ng cực điện. Tr ườ ng hợ p thứ hai,

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




phân tử chất điện môi không tự phân thành lưỡ ng cực điện, nhưng khi đặt phân tử

trong điện tr ườ ng ngoài thì tác dụng của điện tr ườ ng ngoài luôn làm tâm của các

điện tích dươ ng và tâm của cách điện tích âm lệch xa nhau và bản thân phân tử tr ở

thành lưỡ ng cực điện có mômen điện khác không.e p

→

Dướ i tác dụng của điện tr ườ ng ngoài, các mômen điện của các phân tử

chất điện môi sẽ xoay và định hướ ng theo đườ ng sức điện tr ườ ng ngoài một cách

tr ật tự (hình 11.2). K ết quả trong lòng khối điện môi các điện tích trái dấu của các

lưỡ ng cực phân tử vẫn trung hòa nhau, còn ở hai mặt giớ i hạn xuất hiện các điện tích trái

dấu. Các điện tích này chính là tậ p hợ p các

điện tích của các lưỡ ng cực phân tử trên các

bề mặt giớ i hạn, chúng không phải là cácđiện tích tự do mà là các điện tích liên k ế t .

e p→

0E→

--

--

+++

+

Điện tr ườ ng ngoài càng mạnh, sự

phân cực điện môi càng rõ r ệt. Khi không có

điện tr ườ ng ngoài, các mômen điện của các

lưỡ ng cực phân tử sắ p xế p một cách hỗn loạn

hoặc triệt tiêu (đối vớ i loại có tâm của các

điện tích dươ ng và âm trùng nhau). K ết quả

cácđ

iện tích liên k

ết bi

ến m

ất, kh

ốiđ

iện môikhông bị phân cực.

Hình 11.2: S ự phân cự ccủa đ iện môi

3 – Vectơ phân cự c điện môi:

Để đặc tr ưng cho mức độ phân cực của điện môi, ngườ i ta dùng đại lượ ng

vật lý là vect ơ phân cự c đ iện môi , đượ c định ngh ĩ a như sau: Vect ơ phân cự cđ iện môi là một đại l ượ ng đ o bằ ng t ổ ng các mômen đ iện của các phân t ử có trong

một đơ n vị thể tích của khố i đ iện môi.

eP→

n

ei

i 1e

p

PV

→==∆

∑

(11.2)

Vớ i định ngh ĩ a trên, vectơ phân cực điện môi là một đại lượ ng v ĩ mô, đượ c coi như

một mômen lưỡ ng cực điện ứng vớ i một đơ n vị thể tích của chất điện môi. Đơ n vị đo của vectơ phân cực điện môi là C/m2 (trùng vớ i đơ n vị đo mật độ điện tích mặt).

Nếu mọi phân tử đều bị phân cực và mômen điện của các phân tử đều bằng

nhau và định hướ ng song song thì vectơ phân cực: (11.3)e 0 eP n p→ →

=

Trong đó n0 là mật độ phân tử.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




4 – Liên hệ giữ a vectơ phân cự c điện môi eP

và mật độ điện tích liên k ết ’:

Xét khối chất điện môi đồng chất, đẳng hướ ng, có dạng một tấm phẳng và

đượ c đặt trong điện tr ườ ng đều 0E

(hình 11.3). Gọi mặt độ điện tích liên k ết trên

hai mặt của tâm điện môi là σ’. Xét một hình tr ụ đủ nhỏ, có đườ ng sinh song

song vớ i vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng ngoài, có hai đáy ∆S nằm trên hai mặt của

tấm điện môi. Khi đó, hình tr ụ này có thể coi như một lưỡ ng cực điện có mômen

điện , trong đó q = σ’∆S là điện tích mặt xuất hiện trên diện tích

đáy ∆S của hình tr ụ và

N

ei

i 1

p p q=

= =∑

là vectơ vẽ từ đáy

hình tr ụ có điện tích âm đến đáy có điện tích

dươ ng. Gọi là thể tích củahình tr ụ thì ta có vectơ phân cực của khối

điện môi nằm trong hình tr ụ là:

V S. .cos= ∆ α

n

ei

i 1e

p p ' S

PV V S cos

→

= σ ∆= = =

∆ α

∑

Suy ra: e

'| P |

cos

σ=

α

enα =Hay: σ = (11.4)e

' P cos P

Vậy, mật độ đ iện tích liên k ế t σ ’ xuấ t hiện trên mặt giớ i hạn của khố i đ iện môi có

giá tr ị bằ ng hình chiế u của vect ơ phân cự c lên pháp tuyế n của mặt giớ i hạn đ ó.

§11.2 ĐIỆN TR ƯỜ NG TRONG ĐIỆN MÔI

1 – Điện trườ ng vi mô và điện trườ ng v ĩ mô :

Mỗi phân tử cấu thành một vật thể có thể coi như một hệ điện tích đặt

trong chân không. Điện tr ườ ng do hệ điện tích đó gây ra gọi là điện tr ườ ng vi mô.

Điện tr ườ ng vi mô biến thiên r ất lớ n trong khoảng không gian r ất nhỏ bao quanh

phân tử. Vì một lượ ng vật chất nhỏ bé cũng có vô số các phân tử nên ta chỉ có thể

cảm nhận đượ c điện tr ườ ng trung bình của của r ất nhiều các phân tử gây nên. Bở ivì khi khảo sát điện tr ườ ng, ta phải dùng các điện tích thử. Một điện tích thử dù

kích thướ c nhỏ đến đâu cũng là r ất lớ n so vớ i kích thướ c nguyên tử. Vì vậy một

điện tích thử đượ c đặt trong lòng điện môi sẽ chiếm một vị trí không gian đủ lớ n vàta chỉ đo đượ c điện tr ườ ng trung bình của điện tr ườ ng vi mô trong miền không gian

đó. Do đó khi nói đến điện tr ườ ng trong lòng vật chất, ta hiểu điện tr ườ ng đó là

điện tr ườ ng v ĩ mô tại một điểm trong lòng vật chất.

+

+

+

++

- 0E

α

eP

-

-

n

-

-

-

Hình 11.3: Thiế t l ậ p hệ thứ c

giữ a σ ’ và eP

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2 – Điện trườ ng trong chất điện môi:

Xét điện tr ườ ng đều gây bở i hai mặt phẳng song song vô hạn tích điện

đều, trái dấu vớ i mặt độ điện mặt

0E→

±σ. Lấ p đầy khoảng không gian giữa hai mặt

phẳng một chất điện môi thì khối điện môi sẽ bị phân cực. Gọi mặt độ điện tích

liên k ết trên các mặt giớ i hạn là – σ’ và + σ’. Các điện tích liên k ết này sẽ gây ra

trong lòng khối điện môi một điện tr ườ ng phụ cùng phươ ng, ngượ c chiều vớ i

. Khi đó, theo nguyên lí chồng chất, điện tr ườ ng trong lòng điện môi là :

E'→

0E→

0E E E

→ → →

'= +

Hay về độ lớ n : E = E0 – E’ (11.5)

Trong đó : en

0 0

P ''E '

σ= =

ε ε (11.6)

Mặt khác, nếu điện môi là đồng chất và đẳng hướ ng thì

ta có thể giả thiết r ằng vectơ phân cực điện môi tại mỗi

điểm tỉ lệ vớ i cườ ng độ điện tr ườ ng tại điểm đó :

e e 0P

→ →

E= χ ε (11.7)

Ở đó, là đại lượ ng không âm và không có thứ

nguyên, đượ c gọi là hệ số cảm đ iện của đ iện môi.

eχ

Trong tr ườ ng hợ p đang khảo sát, ta có Pen = Pe = eχ ε0E , do đó (11.5) tr ở thành :

E = E0 – eχ E

Suy ra : 0

e

E EE 1= = 0

+ χ ε (11.8)

Vớ i ε = 1 + là một hệ số, phụ thuộc vào tính chất của môi tr ườ ng, gọi là hệ số

đ iện môi của môi tr ườ ng. Do

eχ

e0χ ≥ nên 1ε ≥ . Bảng 11.1 cho biết giá tr ị của hệ

số điện môi của một số điện môi thông dụng.

(11.8) chứng tỏ cườ ng độ đ iện tr ườ ng trong lòng chấ t đ iện môi giảm đ i ε l ần so vớ icườ ng độ đ iện tr ườ ng trong chân không .

Bảng 11.1 : Hệ số điện môi của một số chất điện môi thông dụng

Chất điện môi Chất điện môi

Chân không 1 Parafin 2,2 – 2,3

Không khí 1,0006 Cao su mềm 2,6 – 3

Hình 11.4: Điện tr ườ ngtrong đ iện môi

-

--

-

--

-

+

+

0E

E

E '

-

-

- +

+

++

+

+

+

+

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Dầu hỏa 2,1 Mica 4 – 5,5

Nhựa thông 3,5 Thủy tinh 4 – 10

Ebônit 2,7 – 3 Sứ 6,3 – 7,5

3 – Liên hệ giữ a vectơ cảm ứ ng điện và vectơ phân cự c điện môi:

Ta có vec tơ cảm ứng điện : 0D→ →

E= εε (11.9)

Mà : ε = 1 + , nêneχ e 0 0 e 0D (1 ) E E E→ → → →

= + χ ε = ε + χ ε .

Nhưng theo (11.7) thì ee 0E P→ →

χ ε = . Do đó : e0D E P→ → →

= ε + (11.10)

Đối vớ i chất điện môi dị hướ ng, không tỉ lệ vớ i nên không tỉ lệ vớ i E .

Nói cách khác, trong môi tr ườ ng đồng chất và đẳng hướ ng, ta dùng (11.9) ; còn

môi tr ườ ng dị hướ ng hoặc không đồng chất, ta dùng (11.10).

eP→

E→

D→ →

§11.3 ĐIỀU KIỆN QUA MẶT GIỚ I HẠN HAI ĐIỆN MÔI CỦA CÁC

VECTƠ ,E→ →

D

Xét hai lớ p điện môi đồng chất, đẳng hướ ng, mỗi lớ p giớ i hạn bở i hai mặt

phẳng song song, có hằng số điện môi ε1, ε2 , đượ c đặt tiế p xúc nhau bở i một mặt

phẳng giớ i hạn. Hệ thống đượ c đặt trong điện tr ườ ng đều 0E

. Khi đó trên các bề

mặt của mỗi lớ p điện môi sẽ xuất hiện các điện tích liện k ết. Các điện tích liên k ết

gây ra trong lòng mỗi chất điện môi điện tr ườ ng phụ '

1E

và'

2E

hướ ng vuông góc

vớ i mặt phân cách. Điện tr ườ ng tổng hợ p rong lòng mỗi chất điện môi là :

(11.11)'

1 0 1E E E→ →

= +

0E

E1t

E2n

E1n

2E

'

1E

'

2E

E2t

1E

Và (11.12)'

2 0 2E E E→ →

= +

Chiếu các hệ thức (11.11) và (11.12) lần

lượ t lên phươ ng pháp tuyến và tiế p tuyến

của mặt phân cách, ta có :

(11.13)1n 0n 1n

E E E '= +

Hình 11.5: Các thành phần tiế ptuyế n và pháp tuyế n của vect ơ

cườ ng độ đ iện tr ườ ng t ại mặt phân

cách của hai l ớ p đ iện môi

(11.14)2n 0n 2nE E E '= +

(11.15)1t 0t 1tE E E '= +WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




(11.16)2t 0t 2tE E E '= +

Vì , nên từ (11.15) và (11.16) suy ra :1t 2t

E ' E ' 0= = 1t 2tE E= (11.17)

Vậy, thành phần tiế p tuyế n của vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng biế n thiên liên t ục khiqua mặt phân cách của hai l ớ p đ iện môi.

Mặt khác : en1n 1n

0 0

P ''E ' Ee1

σ= = = χ

ε ε.

Thay vào (11.13), ta có : 1n 0n 1nE E Ee1= + χ

Hay : 0n 0n1n

1

E EE

1 e1

= =

+ χ ε

(11.18)

Tươ ng tự, ta cũng có : 0n 0n2n

2

E EE

1 e2

= =+ χ ε

(11.19)

Suy ra :1 1n 2 2nE Eε = ε (11.20)

Vậy, thành phần pháp tuyế n của vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng bí ế n thiên không liên

t ục khi qua mặt phân cách của hai l ớ p đ iện môi.

Đối vớ i vectơ cảm ứng điện, ta có : (11.21)1 1 0D→ →

= ε ε 1E

2EVà (11.22)2 2 0D→ →

= ε ε

Chiếu (11.21) và (11.22) lên phươ ng tiế p tuyến của mặt phân cách, ta đượ c :

D1t = ε1ε0 E1t ; D2t = ε2ε0 E2t. Nhưng E1t = E2t nên 1t 1

2t 2

D

D

ε=

ε (11.23)

Vậy, thành phần tiế p tuyế n của vect ơ cảm ứ ng đ iện bí ế n thiên không liên t ục khi

qua mặt phân cách của hai l ớ p đ iện môi.

Tươ ng tự, chiếu (11.21) và (11.22) lên phươ ng pháp tuyến của mặt phân cách, ta

cũng chứng minh đượ c : D1n = D2n (11.24)

Vậy, thành phần pháp tuyế n của vect ơ cảm ứ ng đ iện biế n thiên liên t ục khi qua

mặt phân cách của hai l ớ p đ iện môi.

Các tính chất trên cũng đúng trong tr ườ ng hợ p chất điện môi không đồng nhất.

§11.3 ĐIỆN MÔI ĐẶC BIỆT

Trên đây, khi nói đến sự phân cực của điện môi, chủ yếu là nói tớ i điện

môi đẳng hướ ng. Ở đó các tính chất vật lý là như nhau theo mọi hướ ng. Các điện

môi loại này thườ ng là chất khí, lỏng hoặc chất r ắn vô định hình hay chất r ắn đa

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




tinh thể. Đối vớ i điện môi chất r ắn đơ n tinh thể, có tính dị hướ ng, ngh ĩ a là các tính

chất vật lí như sự giãn nở , độ phân cực, tính đàn hồi, ... theo các hướ ng khác nhau

thì khác nhau. Trong số các điện môi dị hướ ng, có hai loại có những tính chất đặc

biệt và có vai trò quan tr ọng trong k ĩ thuật. Đó là các chất sécnhét điện và các chất

áp điện.

1 – Điện môi sécnhét :

Muối sécnhét có công thức NaK(C2H2O3)2.4H2O và một số các điện môi

khác có tính chất tươ ng tự. Đặc tính của điện môi sécnhét :

a) Trong khoảng nhiệt độ nào đấy, hệ số điện môi của sécnhét r ất lớ n, có thể

đạt tớ i 10000.

b) Hệ số điện môi ε và do đó hệ số cảm điện eχ phụ thuộc vào cườ ng độ điện

tr ườ ng E trong lòng điện môi. Vì thế vectơ phân cực không tỉ lệ bậc

nhất vớ i cườ ng độ điện tr ườ ng .

eP→

E→

c) Giá tr ị của Pe không những phụ thuộc cườ ng độ điện tr ườ ng E mà còn phụ

thuộc cả vào tr ạng thái phân cực tr ướ c đó của điện môi tr ướ c. Khi tăng E

đến giá tr ị E b thì Pe đạt giá tr ị bão hòa. Nếu sau đó giảm E xuống tớ i giá tr ị E = 0 thì Pe không giảm tớ i không mà vẫn còn bằng một giá tr ị Ped nào đó

(hình 11.6). Hiện tượ ng đó gọi là hiện tượ ng điện tr ễ. Chỉ khi đổi chiều

điện tr ườ ng và đưa nó đến giá tr ị Ek thì sự phân cực mớ i hoàn toàn mất đi.

Giá tr ị Ek đượ c gọi là điện tr ườ ng khử điện. Nếu tiế p tục cho cườ ng độ

điện tr ườ ng biến thiên tớ i giá tr ị –E b r ồi từ –E b về không, sau đó lại đổi

chiều điện tr ườ ng và

tiế p tục tăng giá tr ị cườ ng độ điện

tr ườ ng từ không đến

E b, ta sẽ đượ c môt

đườ ng cong khép

kín gọi là chu trình

đ iện tr ễ .

EK

- EK

O

- E b

E b

Ed

E

Ed) Khi tăng nhiệt độ tớ iquá một nhiệt độ TC

nào đó, điện môi

sécnhét mất hết các

tính chất đăc biệt

trên và tr ở thành

một điện môi bìnhthườ ng. Nhiệt độ TC

đượ c gọi là nhiệt độ

Curi.

Hình 11.6: Chu trình đ iện tr ễ

Những đặc tính của điện môi sécnhét đượ c giải thích bằng thuyết miền

phân cực tự nhiên (hay tự phát). Khối tinh thể điện môi sécnhét gồm nhiều miền

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




phân cực tự nhiên ; trong phạm vi mỗi miền, sự tươ ng các giữa các hạt làm cho các

mômen điện của các phân tử song song vớ i nhau ; tuy nhiên, trong các miền khác

nhau, các vectơ mômen điện lại sắ p xế p hỗn độn sao cho toàn bộ khối điện môi

không phân cực. Dướ i tác dụng của điện tr ườ ng ngoài, vectơ mômen điện của các

miện đều định hướ ng theo phươ ng của điện tr ườ ng ngoài, k ết quả khối điện môi bị phân cực.

Điện môi sécnhét có nhiều ứng dụng trong k ĩ thuật điện và vô tuyến điện

hiện đại. Vớ i hệ số điện môi lớ n, điện môi sécnhét đượ c dùng để chế tạo những tụ

điện có điện dung lớ n, nhưng kích thứớ c nhỏ.

2 – Hiệu ứ ng áp điện :

a) Hi ệu ứ ng áp đ i ện thuận : Năm 1880 nhà vật lí Pie Curi và Giắc Curi đã pháthiện ra hiện tượ ng : khi kéo dãn hoặc nén tinh thể điện môi theo các phươ ng đặc

biệt trong tinh thể thì trên

các mặt giớ i hạn của tinh

thể có xuất hiện các điện

tích trái dấu, tươ ng tự như

những điện tích xuất hiện

trong hiện tượ ng phân cực

điện môi (hình 11.7). Hiện

tượ ng đó đượ c gọi là hiệuứ ng áp đ iện thuận.

-

-

-

--

-

-

+

+

+

+

+

+

+

F

F

Hiệu ứng áp điện

thuận xảy ra đối vớ i các

tinh thể như ; thạch anh,

tuamalin, muối sécnhet,

đườ ng, titanat bari, v.v ...

+

+

+

+

-

-

-

-- +

-

-

+

+

F

F

Hình 11.7: Hiệu ứ ng áp đ iện

Hiệu ứng áp điện thuận đượ c ứng dụng rong k ĩ thuật để biến các dao động

cơ thành những dao động điện.

b) Hi ệu ứ ng áp đ i ện ngh ị ch : Trong các tinh thể nêu trên, nếu ta áp lên hai mặt

tinh thể một hiệu điện thế thì nó sẽ bị dãn hoặc nén. Nếu hiệu điện thế áp lên tinh

thể là hiệu điện thế xoay chiều thì bản tinh thể sẽ bị dãn – nén liên tục và dao động

theo đúng tần số của hiệu điện thế xoay chiều. Tính chất này đượ c ứng dụng để chế

tạo các nguồn phát sóng siêu âm.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chươ ng 12

DÒNG ĐIỆN KHÔNG ĐỔI

§12.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 – Dòng điện:

Trong môi tr ườ ng dẫn, khi không có điện tr ườ ng ngoài, các hạt mang điệntự do luôn luôn chuyển động nhiệt hỗn loạn. Khi có điện tr ườ ng ngoài đặt vào,

dướ i tác dụng của lực điện tr ườ ng , các điện tích dươ ng sẽ chuyển động

theo chiều vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng

, còn các điện tích âm chuyển độngngượ c chiều vớ i vectơ tạo nên dòng điện.

F q E→ →

=

E

→

E→

Vậy: dòng đ iện là dòng chuyể n d ờ i có hướ ng của các hạt mang đ iện. Chiề u của

dòng đ iện đượ c qui ướ c là chiề u chuyể n động của các hạt mang đ iện d ươ ng.

Trong các môi tr ườ ng dẫn khácnhau thì bản chất của dòng điện cũng khácnhau. Ví dụ bản chất của dòng điện trongkim loại là dòng chuyển dờ i có hướ ng của

các electron tự do; trong chất điện phân làdòng chuyển dờ i có hướ ng của các iondươ ng và ion âm; trong chất khí là dòngchuyển dờ i có hướ ng của các electron, cácion dươ ng và âm (khi chất khí bị ion hóa);trong chất bán dẫn là dòng chuyển dờ i có hướ ng của các electron và các lỗ tr ống.

I

-

-

+

+

+

Hình 6.1: Dòng đ iện

Tuy có bản chất khác nhau song dòng điện bao giờ cũng có các tác dụngđặc tr ưng cơ bản giống nhau, đó là tác dụng nhiệt, tác dụng từ, tác dụng hóa học vàtác dụng sinh lí.

Đặc tr ưng cho độ mạnh, yếu và phươ ng chiều của dòng điện, ngườ i ta đưara khái niệm cườ ng độ và mật độ dòng đ iện.

2 – Cườ ng độ dòng điện :

Xét một vật dẫn có tiết diện ngang S, ta định ngh ĩ a: cườ ng độ dòng đ iệnqua tiế t diện S là đại l ượ ng vô hướ ng, có tr ị số bằ ng đ iện l ượ ng chuyể n qua tiế tdiện ấ y trong một đơ n vị thờ i gian.

Nếu trong thờ i gian dt có điện lượ ng dq chuyển qua diện tích S thì cườ ng độ dòng

điện là:dq

I dt= (12.1)

Trong môi tr ườ ng có cả điện tích (+) và điện tích (–) thì qua S là:

dq dqI

dt dt+ −= + (12.2)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM



Chươ ng 12: DÒNG ĐIỆ N KHÔNG ĐỔI 243

Trong đó dq và+ dq− là điện lượ ng của các điện tích dươ ng và âm.

Trong hệ SI, đơ n vị đo cườ ng độ dòng điện là ampe (A).

Để tính điện lượ ng ∆q chuyển qua tiết diện ngang S trong thờ i gian

∆t = t2 – t1, ta nhân (12.1) vớ i dt r ồi tích phân hai vế: 2

1

t

t

q Id∆ = t∫ (12.3)

Nếu chiều và cườ ng độ dòng điện không đổi theo thờ i gian thì ta có dòng đ iện

không đổ i. Khi đó (12.1) đượ c viết là:q

I hayq

It

= (12.4)t

∆=

∆3 – Mật độ dòng điện :

Cườ ng độ dòng điện đặc tr ưng cho độ mạnh, yếu của dòng điện trên toàntiết diện S, mà không diễn tả đượ c độ mạnh, yếu của dòng điện tại từng điểm trêntiết diện S. Để đặc tr ưng cho dòng điệntại từng điểm trên tiết diện S, ngườ i tađịnh ngh ĩ a vectơ mật độ dòng điện:

dSnn→

α

SnS

→

j+

+

+

M ật độ dòng đ iện t ại một đ iể m

M là một vet ơ có g ố c t ại M, có

hướ ng chuyể n động của đ iện tích (+) đ iqua đ iể m đ ó, có tr ị số bằ ng cườ ng độ

dòng đ iện qua một đơ n vị diện tích đặt

vuông góc vớ i hướ ng ấ y.

j→

Hình 6.2: vect ơ mật độ dòng đ iện

n

dI j

dS= (12.5)

Suy ra cườ ng độ dòng điện qua diện tích S bất k ỳ là:

n

S S S S

I dI j.dS j.dScos j .d→ →

= = = α = S∫ ∫ ∫ ∫ (12.6)

vớ i α là góc giữa và pháp tuyến của dS; dS j→

n→

n là hình chiếu của dS lên phươ ng

vuông góc vớ i hướ ng chuyển động của các điện tích. Qui ướ c: dS dS.n=

Nếu mật độ dòng điện đều như nhau tại mọi điểm trên tiết diện Sn thì:

I = jSn hayn

I j

S= (12.7)

Đơ n vị đo mật độ dòng điện là ampe trên mét vuông (A/m

2

).Mật độ dòng điện là đại lượ ng vi mô, phụ thuộc vào mật độ hạt điện tích

n0, điện tích q của mỗi hạt và vận tốc của chuyển động có hướ ng của các điệntích. Thật vậy, xét đoạn dây dẫn tiết diện thẳng S, giớ i hạn bở i hai mặt S

v→

1 và S2, chiều dài bằng quãng đườ ng các điện tích dịch chuyển đượ c trong một giây,ngh ĩ a là bằng độ lớ n vận tốc v (hình 12.3). Khi dòng điện không đổi chạy dọc theo

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




dây dẫn thì trong một giây, số hạt N đi qua S2 bằng số hạt nằm trong thể tích V củahình tr ụ có đáy S, đườ ng cao : 0 0 0 N n V n S n Sv= = =

Suy ra cườ ng độ dòng điện qua tiết diện S là: 0

q

I | q | N | q | nt Sv

∆

= = =∆

Vậy, mật độ dòng điện là: 0

I j n | q |

S= = v (12.8)

Nếu vật dẫn chỉ có các điện tích tự do (+) hoặc (–) thì vectơ mật độ dòng:

(12.9)o j qn v→ →

=S2

S1

v→

n0

+

(12.9) chứng tỏ vectơ mật độ dòng hườ ng

cùng chiều vectơ vận tốc của điện tích dươ ng và

ngượ c chiều vectơ vận tốc của điện tích âm.

j→

Tổng quát, trong môi tr ườ ng dẫn có cả điện tích

(+) và (–) thì vectơ mật độ dòng điện là:

(12.10)ok k k k

j n q v→ →

= ∑

Hình 12.3: S ố hạt mang

đ iện nằ m trong hình tr ụ này

sẽ chuyể n qua tiế t diện S 2

trong một đơ n vị thờ i gian

và độ lớ n của mật độ dòng điện: (12.11)ok k k k

| j | n | q | . | v |→ →

= ∑

trong đó nok là mật độ hạt có điện tích qk chuyển động có hướ ng vớ i vận tốc . k v→

§12.2 ĐỊNH LUẬT OHM CHO ĐOẠN MẠCH ĐỒNG CHẤT

1 - Dạng tích phân của định luật Ohm:

Định luật Ohm là một trong những định luật thực nghiệm về dòng địện

đượ c tìm ra sớ m nhất. Nội dung định luật đượ c phát biểu như sau: C ườ ng độ dòng

đ iện chạ y qua một đ oạn mạch đồng chấ t t ỷ l ệ thuận vớ i hiệu đ iện thế giữ a hai đầu

đ oạn mạch đ ó.

Biểu thức:U

I kUR

= = (12.12)WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ở đó, hệ số tỉ lệ k đượ c viết dướ i dạng1

R . Đại lượ ng R đặc tr ưng cho mức độ cản

tr ở dòng điện qua mạch nên gọi là điện tr ở của đoạn mạch. Trong hệ SI, đơ n vị đo

điện tr ở là ôm (Ω).Thực nghiệm cho biết, vớ i một dây kim loại đồng chất, tiết diện đều S,chiều dài thì điện tr ở của dây dẫn đượ c tính theo công thức:

R S

= ρ

(12.13)

Trong đó ρ là điện tr ở suất của chất làm dây dẫn. Khi nhiệt độ tăng, điện tr ở suấttăng theo qui luật: ρ = ρo(1 + αt) (12.14)

Do đó điện tr ở cũng tăng theo qui luật: R = R o(1 + αt) (12.15)

Vớ i ρo, R o và ρ, R lần lượ t là điện tr ở suất, điện tr ở ở 0oC và toC. α là hệ số nhiệtđiện tr ở .

(12.14) chứng tỏ điện tr ở suất tăng và giảm tuyến tính theo nhiệt độ. Tuynhiên, ở nhiệt độ r ất thấ p, điện tr ở suất của một số chất giảm đột biến, kéo theođiện tr ở giảm nhanh về số không, ta gọi đó là hiện tượ ng siêu dẫn.

2 – Dạng vi phân của định luật Ohm:

Muốn áp dụng định luật Ohm cho mỗiđiểm trên vật dẫn, ta phải biểu diễn (12.12) ở dạng vi phân. Muốn vậy, ta hãy xét hai diện tíchnhỏ dSn vuông góc vớ i các đườ ng dòng, tức làvuông góc vớ i quỹ đạo chuyển động định hướ ngcủa các điện tích tạo thành dòng điện, cách nhaumột đoạn đủ ngắn. Gọi V và (V + dV) là điệnthế tại hai diện tích ấy và dI là cườ ng độ dòngđiện chạy qua chúng. Theo (12.12) ta có :

d

E

BA

dSnd

j

n

n

U V (V dV) 1 dVdI ( ).dSdR d

dS

− += = = −ρρ

Suy ra mật độ dòng điện là:n

dI 1 dV j

dS d⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ρ ⎝ ⎠

Hình 12.4: Dạng vi phân

của định luật Ohm

Đại lượ ngdV

(d

−

) chính là độ giảm thế trên một đơ n vị chiều dài dọc theo đườ ng

sức điện tr ườ ng ngoài. Theo mối liên hệ giữa ườ ng độ điện tr ườ ng và điện thế, ta

có:dV

Ed

− =

. Do đó:1

j = Eρ

(12.16)

Gọi :1

σ =ρ

(12.17)

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




thì1

j E= = σρ

E E hay j = σ

(12.18)

Vậy: t ại mỗ i đ iể m trong môi tr ườ ng có dòng đ iện chạ y qua, vect ơ mật độ dòng

đ iện t ỷ l ệ thuận vớ i vect ơ cườ ng độ đ iện tr ườ ng t ại đ iể m đ ó. (12.18) đượ c gọi làdạng vi phân của định luật Ohm.

§12.3 ĐỊNH LUẬT OHM CHO MẠCH KÍN

1 – Nguồn điện – suất điện động:

Xét vật dẫn A mang điện dươ ng và vậtdẫn B mang điện âm. Ta có điện thế của A cao

hơ n điện thế của B và giữa A, B hình thànhmột điện tr ườ ng hướ ng theo chiều từ A đếnB. Nếu nối A, B bằng một vật dẫn M thì cácđiện tích dươ ng sẽ chuyển động từ A sang Bvà các điện tích âm sẽ chuyển động từ B sangA. K ết quả có dòng điện trong vật dẫn M vàđiện thế của A giảm xuống, điện thế của Btăng lên. Khi điện thế của A, B bằng nhau,dòng điện sẽ ngừng lại.

E→

+

+

E→

A

E*→

B

Hình 12.5: Nguồn điện

Muốn duy trì dòng điện, ta phải đưa các điện tích dươ ng từ B tr ở về A vàcác điện tích âm từ A tr ở về B. Để thực hiện điều này, ta phải tạo ra một loại lực có bản chất khác vớ i lực t ĩ nh điện, ngượ c chiều và lớ n hơ n lực t ĩ nh điện – gọi là l ự cl ạ. Nguồn tạo ra lực lạ ấy gọi là nguồn đ iện. Bản chất của lực lạ tùy theo loạinguồn điện. Ví dụ: các nguồn điện hóa học như pin, ắcqui có bản chất lực lạ là lựctươ ng tác phân tử; các máy phát điện kiểu cảm ứng thì bản chất của lực lạ chính làlực điện từ.

Đặc tr ưng cho độ mạnh của nguồn điện, ngườ i ta định ngh ĩ a suấ t đ iệnđộng : Suấ t đ iện động của nguồn đ iện là đại l ượ ng có giá tr ị bằ ng công của l ự c l ạ

làm d ịch chuyể n một đơ n vị diện tích d ươ ng đ imột vòng quanh mạch kín của nguồn đ ó.

*A

qξ = (12.19)

+E, r

– a

+ –E, r

Gọi là cườ ng độ tr ườ ng lực lạ thì công của

lực lạ là:

*→

E

* * *

(C) (C)A q E d s q E d s

→ →→ →

= =∫ ∫

b

Hình 12.6: a) Kí hiệunguồn đ iện nói chung;

b) máy phát đ iện một

chiề uDo đó: (2.20)*

(C)

E d s→ →

ξ = ∫

Nếu tr ườ ng lực lạ chỉ tồn tại trên một đoạn đườ ng s của nguồn điện thì:

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




(12.21)*

s

E d s→ →

ξ = ∫

Mỗi nguồn điện, ngoài đại lượ ng suất điện động ξ đặc tr ưng cho khả năng

sinh công của tr ườ ng lực lạ, bản thân nó cũng có điện tr ở nội r. Trên sơ đồ mạchđiện, nguồn điện đượ c kí hiệu như hình 12.6.

2 – Định luật Ohm cho mạch kín (toàn mạch):

E, rMột mạch điện kín bao gồm ba phần tử cơ bản:nguồn điện, vật tiêu thụ điện và các dây nối. Trong mộtmạch điện kín, chỉ có một dòng điện chạy theo mộtchiều duy nhất. Hình 12.7 là sơ đồ một mạch điện kín

đơ n giản nhất.Dòng điện trong mạch kín đượ c duy trì, chứng

tỏ trong mạch kín tồn tại cả tr ườ ng lực điện và

tr ườ ng lực lạ . Tại một điểm bất kì nào trong mạch

kín, ta cũng có biểu thức (12.18):

eE→

)+

*E→

I R

*e j E (E E= σ = σ

. Nhân hai vế phươ ng

trình này vớ i độ dờ i r ồi tích phân vòng quanh mạch kín theo chiều dòng điện,

ta có:

d s→

Hình 12.7: S ơ đồ

mạch kín đơ n giản

*e

(C) (C) (C)

j d s E d s E d s→→ → → → →

= σ + σ∫ ∫ ∫

Hay *e

(C) (C) (C)

jds E d s E d s→→ → →⎡ ⎤

= σ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ (12.22)

Giả sử tiết diện S của mạch r ất nhỏ so vớ i chiều dài của nó. Khi đó mật độ dòng códạng

I j

S= . Số hạng thứ nhất ở vế phải của (12.22) là lưu thông của vectơ cườ ng

độ điện tr ườ ng t ĩ nh dọc theo một đườ ng cong kín, nên nó bằng không; Số hạng thứ hai là suất điện động của nguồn điện trong mạch. Thay σ = 1/ρ, ta có:

(C) (C)

I 1 dsds I

S S= ξ ⇒ ρ = ξ

ρ∫ ∫

Thay độ dờ i ds bằng kí hiệu thì theo (12.13) tích phând tm

(C )

d R S

ρ =∫ là điện

tr ở của toàn mạch kín.

Vậy công thức của định luật Ohm cho mạch điện kín (hay toàn mạch) có dạng:

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




tm

IR

ξ= (12.23)

Nếu R là điện tr ở của mạch ngoài và r là điện tr ở nội (điện tr ở trong) của nguồn thì:

IR r

ξ=

+ (12.24)

Tr ườ ng hợ p mạch kín có nhiều nguồn mắc nối tiế p thì:i

iIR r

ξ=

+

∑ (12.25)

Chú ý: trong (12.25), nếu có một nguồn nào mắc ngượ c cực thì suất điện động củanguồn đó có dấu âm.

§12.4 ĐỊNH LUẬT OHM TỔNG QUÁT

1 – Thiết lập công thứ c của định luật Ohm tổng quát:

Xét một đoạn mạch bất kì códòng điện chạy qua theo một chiều xácđịnh, bao gồm các điện tr ở và các nguồnđiện, ví dụ như hình 12.8. Ở đó, nguồncó thể phát điện (hình b, d) hoặc thu điện(hình a, c).

+ –ξ, r

I RA

Ba)

+ –ξ, r

I RA b) BTại mỗi điểm trên đoạn mạch,

ta luôn có *e

1 j E (E E= σ = +

ρ

) hân

i tí

. N

hai vế vớ i độ dờ i d s→

r ồ ch phân theo

chiều từ A đến B, ta có:

+ –ξ, r

I RAc) B

+ –ξ, r

I RB B B*

e

A A A

1 j d s E d s E d s

→→ → → → →⎡= +⎢

ρ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

⎤⎥ A Bd)

Số hạng chính là lưu thông của

vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng t ĩ nh từ A

đến B. Theo (9.62a), ta có: = U

B

e

A

E d s→ →

∫

B

e

A

E d s→ →

∫ AB.

Hình 12.8: Đoạn mạch chứ anguồn. a, c: nguồn đ ang thu đ iện;

b, c: nguồn đ ang phát đ iện.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Số hạngB

*AB

A

E d s→ →

= ±ξ∫ chính là giá tr ị đại số của suất điện động trên đoạn AB.

Nếu chiều từ A đến B cùng chiều vớ i vectơ cườ ng độ tr ườ ng lực lạ thì ta lấydấu dươ ng (hình b, c); trái lại lấy dấu âm (hình a, d).

*

E

→

Số hạngB B B

AB

A A A

I ds j d s ds I IR

S S

→ →

ρ = ± ρ = ± ρ = ±∫ ∫ ∫ . Ta lấy dấu dươ ng khi chiều

từa A đến B cùng chiều dòng điện (hình a, b); trái lại lấy dấu âm (hình c, d).

Vậy biểu thức của định luật Ohm tổng quát, áp dụng cho một đoạn mạch bất kì là:

AB AB ABIR U± = ± ξ

Để thuận tiện, ta viết dướ i dạng: AB i i ii i

U I= ξ + R ∑ ∑ (12.26)

vớ i qui ướ c như sau: Nếu viết UAB thì chiều đi là từ A đến B. Trên đườ ng đi đó,nếu gặ p cực dươ ng của nguồn nào tr ướ c thì suất điện động của nguồn đó lấy dấudươ ng, trái lại lấy dấu âm; nếu đi cùng chiều dòng điện của nhánh nào thì cườ ng độ dòng điện của nhanh đó lấy dấu dươ ng, trái lại lấy dâu âm.

Ví dụ: Vớ i hình 12.8a, ta có : UAB = ξ + I(R + r) hoặc UBA = – ξ – I(R + r)

Vớ i hình 12.8b, ta có : UAB = – ξ + I(R + r) hoặc UBA = ξ – I(R + r)

Dễ dàng nghiệm ra r ằng, trong tr ườ ng hợ p đoạn mạch AB không có nguồnđiện (ξi = 0) thì (12.26) thể hiện định luật Ohm cho một đoạn mạch thuần tr ở ; Nếumạch kín, A trùng vớ i B và UAB = 0 thì (12.26) thể hiện định luật Ohm cho mạchkín. Tóm lại (12.26) đượ c áp dụng cho một đoạn mạch bất kì . Chính vì vậy (12.26)đượ c gọi là định luật Ohm tổng quát.

2 – Áp dụng định luật Ohm:

Ví dụ 12.1: Cho mạch điện như hình 12.9: ξ1 = 10 V; r 1 = 1Ω; ξ2 = 20V; r 2 = 2Ω;ξ3 = 30V; r 3 = 3Ω; R 1 = 4Ω, R 2 = 3Ω, R 3 = 7Ω.

Tính hiệu điện thế giữa hai điểm A, B và M, N. Nguồn nào phát, thu?

Giải

ξ3, r 3

R 1ξ1, r 1

ξ2, r 2 R 2

R 3

I1

M

A N B

Giả sử dòng điện trong các nhánh có chiềunhư hình vẽ. Áp dụng định luật Ohm tổng quát cho

các nhánh, ta có:

AB 1 1 1 1 1U I (r R ) 10 5I= ξ + + = + (1)

I3AB 2 2 2 2 2U I (r R ) 20 5I= ξ + + = + (2)

Hình 12.9AB 3 3 3 3 3U I (r R ) 30 5I= ξ + + = − (3)

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Mặt khác, tại điểm A, ta có: I3 = I1 + I2 (4)

Rút I1, I2, I3 từ các phươ ng trình (1), (2), (3) r ồi thay vào (4), giải ra ta có:

UAB = 20 V; I1 = 2A; I2 = 0A; I3 = 2A

UMN = UMB + UBN = I1R 1 – I2R 2 = 2.4 – 0 = 8V

Do I1, I2 > 0 nên dòng điện trong các nhánh R 1, R 2 có chiều đúng như đãchọn trên hình vẽ. Vậy nguồn 3 đang phát điện, nguồn 1 đang thu điện và nguồn 2không làm việc (I2 = 0).

Ví dụ 12.2: Cho hai nguồn điện suất điện động ξ1, ξ2 , điện tr ở trong r 1, r 2 mắc nốitiế p, cấ p điện ra mạch ngoài là một điện tr ở R (hình 12.10). Tính cườ ng độ dòngđiện qua R và tìm một nguồn thay thế tươ ng đươ ng vớ i hai nguồn đó. Mở r ộng

trong tr ườ ng hợ p có n nguồn mắc nối tiế p.Giải

Áp dụng định luật Ohm cho mạch kín, ta có cườ ng

độ dòng điện qua điện tr ở R là: 1 2

1 2

IR r r

ξ + ξ=

+ +

ξ1, r 1 ξ2, r 2

RI

Nếu ta thay hai nguồn trên bằng một nguồn có suấtđiện động ξ, điện tr ở trong r thì cườ ng độ dòng điện qua R

là: I 'R r

ξ=+

. Nguồn ξ đượ c gọi là tươ ng đươ ng vớ i hai

nguồn ξ1 và ξ2 khi và chỉ khi I’ = I vớ i mọi giá tr ị của R.

Hình 12.10

Suy ra: ξ = ξ1 + ξ2 và r = r 1 + r 2 (12.27)

M ở r ộng: nếu có n nguồn mắc nối tiế p thì suất điện động và điện tr ở trong tươ ng

đươ ng của bộ nguồn đó là:n n

ii 1 i 1

; r r = =

ξ = ξ = i∑ ∑ (12.28)

Chú ý: trong (12.27), nếu có một nguồn nào mắc ngượ c cực thì suất điện động củanguồn đó có dấu âm.

H ệ quả: nếu có n nguồn giống nhau, mỗi nguồn có suất điện động ξ0 và điện tr ở trong r 0 thì khi ghép nối tiế p, bộ nguồn này tươ ng đươ ng vớ i một nguồn có suấtđiện động và điện tr ở trong là: 0n ; r nr 0ξ = ξ = (12.29)

Ví dụ 12.3: Cho hai nguồn điện suất điện động ξ1, ξ2 , điện tr ở trong r 1, r 2 mắc

song song, cấ p điện ra mạch ngoài là một điện tr ở R (hình 12.11). Tính cườ ng độ dòng điện qua R và tìm một nguồn thay thế tươ ng đươ ng vớ i hai nguồn đó. Mở r ộng trong tr ườ ng hợ p có n nguồn mắc song song.

Giải

Áp dụng địng luật Ohm tổng quát cho đoạn mạch AB:WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




UAB = ξ1 – I1r 1 (1)

UAB = ξ2 – I2r 2 (2)ξ1, r 1

I

ξ2, r 2A B

I1

I2

R

UAB = IR (3)

Mặt khác: I1 + I2 = I (4)

Rút I1, I2, I từ (1), (2), (3) r ồi thay vào (4), ta đượ c:

1 AB 2 AB AB

1 2

1 2AB

1 2 1 2

U U U

r r R

1 1 1U

R r r r r

ξ − ξ −+ =

⎛ ⎞ ξ ξ⇒ + + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Hình 12.11

Vậy cườ ng độ dòng điện qua R là:

1 2

AB 1 2

1 2

U r r I

R 1 11 R

r r

ξ ξ+

= =⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

(12.30)

Nếu ta thay hai nguồn trên bằng một nguồn có suất điện động ξ, điện tr ở

trong r thì cườ ng độ dòng điện qua R là: r I '1R r 1 R.r

ξ

ξ= =+ +

.

Nguồn ξ đượ c gọi là tươ ng đươ ng vớ i hai nguồn ξ1 và ξ2 khi và chỉ khi I’ = I vớ i

mọi giá tr ị của R. Suy ra:

1 2

1 2

1 2

r r r

1 1 1

r r r

ξ ξξ⎧ = +⎪⎪⎨

⎪ = +⎪⎩

(12.31)

M ở r ộng: nếu có n nguồn mắc song song thì suất điện động ξ và điện tr ở trong r

tươ ng đươ ng của bộ nguồn đượ c xác định bở i:

ni

i 1 i

n

i 1 i

r r

1 1

r r

=

=

ξξ⎧=⎪

⎪⎨⎪ =⎪⎩

∑

∑ (12.32)

H ệ quả: nếu có n nguồn giống nhau, mỗi nguồn có suất điện động ξ0 và điện tr ở trong r 0 thì khi ghép song song, bộ nguồn này tươ ng đươ ng vớ i một nguồn có suất

điện động và điện tr ở trong là:0

0r r n

ξ = ξ⎧⎪⎨

=⎪⎩

(12.33)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Từ (12.29) và (12.32) suy r ộng ra, trong tr ườ ng hợ p các nguồn giống nhau,ghép thành n dãy song song, trong mỗi dãy có m nguồn nối tiế p (ghép hỗn hợ p đốixứng) thì suất điện động và điện tr ở trong tươ ng đươ ng của bộ nguồn là:

0

0

mmr

r n

ξ = ξ⎧⎪⎨

=⎪⎩

(12.34)

§12.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐIỆN TÍCH – PHƯƠ NG TRÌNHLIÊN TỤC

Xét một mặt kín (S) trong môi tr ườ ng có mật độ dòng điện (hình 12.12).

Điện lượ ng di chuyển qua mặt kín (S) trong một đơ n vị thờ i gian là:

j→

(S)

j d S→ →

∫ . Gọi

q là điện tích chứa trong mặt kín (S) thìtheo định luật bảo toàn điện tích, ta có:

(S)

dq j d S

dt

→ →

=∫ (12.35)

Theo qui ướ c, pháp tuyến củamặt kín (S) luôn hướ ng ra ngoài. Do đó:

và j d

S 0→ →

1 j dS 0→ →

> 2 < .

S→ →

Mặt khác, theo

hình vẽ, tại dS1 dòng điện đi ra khỏi mặtkín (S) và tại dS2, dòng điện đi vào mặt

kín (S). Vì vậy, căn cứ vào dấu của j d(S)

∫ ta c

→ →

ó thể biết đượ c chiều biến thiên

của điện tích q trong mặt kín (S). Cụ thể: nếu j d S(S)∫ > 0 thì điện lượ ng đi ra khỏi

mặt (S) lớ n hơ n điện lượ ng đi vào, q giảm,dq

0dt

< ; ngượ nếu j d Sc lại,→ →

(S)∫ < 0

thìdq

0 . Vậy ) tr ở thành:dt

< (12.35

(S)

dq j d S→ →

n→

j→

n→

(S)dS2

dS1

j→

Hình 12.12

∫ dt= − (12.36)

Gọi ρ là mặt độ điện tích thì q =V

dVρ∫ vàV V

dq ddV dV

dt dt t

⎛ ⎞ ∂ρ= ρ =⎜ ⎟

∂⎝ ⎠∫ ∫ WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Mặt khác, áp dụng định lí O – G trong toán học, biến tích phân mặt về tích phân

khối, ta có: . Do đó (12.36) tr ở thành:(S) (V)

j d S div jdV→ → →

=∫ ∫

V V

div jdV dVt

→ ∂ρ= −∂∫ ∫ . Biểu thức này đúng vớ i mọi thể tích V. Vì thế ta có:

div j hay div j 0t t

→ →∂ρ ∂ρ= − +

∂ ∂ = (12.37)

(12.37) diễn tả định luật bảo toàn điện tích ở dạng vi phân, nó còn đượ c gọi là phươ ng trình liên tục của dòng điện.

Trong tr ườ ng hợ p dòng điện không đổi (dòng dừng) thì .

Suy ra: div j 0→

= (12.38)

Phươ ng trình (12.38) cho biết, vớ i bất kì mặt kín (S) nào trong môi tr ườ ng có dòngdừng thì trong cùng một khoảng thờ i gian, điện lượ ng đi vào (S) luôn bằng điệnlượ ng đi ra khỏi (S).

§12.6 QUI TẮC KIRCHHOFF

Để tìm đượ c cườ ng độ dòng điện trong các nhánh của một mạch điện phứctạ p, ta có thể vận dụng các định luật có tính chất tổng quát về dòng điện – đó làđịnh luật Ohm và định luật Kirchhoff. Các định luật Kirchhoff thực chất chỉ là hệ quả của định luật Ohm tổng quát và định luật bảo toàn điện tích, nên gọi chính xácđó là những qui t ắc Kirchhoff .

1 – Các khái niệm :

a) Mạch phân nhánh : là mạch điện gồm nhiều nhánh, mỗi nhánh có mộthay nhiều phần tử (nguồn, điện tr ở , máy thu, …) mắc nối tiế p. Trong mỗi nhánh,dòng điện chạy theo một chiều vớ i cườ ng độ xác định. Nói chung, dòng điện trongcác nhánh khác nhau thì khác nhau.

b) Nút (nút mạng) : là chỗ nối của các đầu nhánh – giao điểm của banhánh tr ở lên.

c) Vòng kín (mắt mạng) : là tậ p hợ p các nhánh liên tiế p tạo thành đườ ngkhép kín trong mạch điện.

2 – Các qui tắc Kirchhoff :

a) Qui t ắc thứ nhấ t (về nút mạng): Tổng dòng điện đi tớ i một nút mạng

bất k ỳ bằng tổng dòng điện đi ra khỏi nút mạng đó: ∑ ∑= raII tôùi (12.39)

Qui tắc này đượ c suy ra từ định luật bảo toàn điện tích.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




b) Qui t ắc thứ hai (về mắt mạng): Trong một mắt mạng bất kì, tổng đại số các suất điện động và các độ giảm thế trên các điện tr ở luôn bằng không:

i i iI R 0ξ + =∑ ∑ (12.40)

Trong (12.40), ta qui ướ c về dấu như sau: Chọn một chiều đi tùy ý. Theo chiều điđó, nếu gặ p cực dươ ng của nguồn nào tr ướ c thì suất điện động của nguồn đó mangdấu dươ ng; nếu đi cùng chiều dòng điện của nhánh nào thì cườ ng độ dòng điện củanhánh đó mang dấu dươ ng. Trái lại chúng mang dấu âm. (12.40) chính là hệ quả của định luật Ohm tổng quát.

3 – Vận dụng qui tắc Kirchhoff để phân giải mạch điện:

Để vận dụng qui tắc Kirchhoff, ta tiến hành tuần tự các bướ c sau :

1.

Giả định chiề u cho các dòng điện trong mỗi nhánh, giả thiết cách mắ ccự c của các nguồn chưa biết. Từ đó xác định số ẩn số phải tìm. Nếu có N ẩn số, phải thiết lậ p N phươ ng trình độc lậ p.

2. Thành lậ p hệ phươ ng trình Kirchhoff:

- Viết các phươ ng trình cho nút mạng: Nếu có m nút, ta viết (m – 1) phươ ng trình (vì nếu viết m phươ ng trình thì phươ ng trình cuốicùng sẽ là hệ quả của các phươ ng trình tr ướ c).

- Viết các phươ ng trình cho mắt mạng: Còn lại [N – (m – 1)]

phươ ng trình cho các mắt mạng. Để các phươ ng trình độc lậ p nhauthì mỗi mắt mạng sau phải chứa ít nhất một nhánh mớ i. Thườ ng taviết cho các mắt mạng đơ n giản nhất.

3. Giải hệ N phươ ng trình và biện luận k ết quả: Nếu nghiệm I hoặc suấtđiện động ξ mang dấu dươ ng thì chiều hoặc cách mắc của nó trùng

vớ i giả định ban đầu; trái lại thì ngượ c vớ i chiều giả định ban đầu.

Ví dụ 12.4: Cho mạch điện như hình 12.13: trong đó các nguồn có suất điện độngξ

ξ1 = 8V, ξ 3 = 5V, điện tr ở trong không đáng k ể ; R 1 = 2Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 3Ω ; bỏ

qua điện tr ở của các dây nối. Phải mắc nguồn 2 bằng bao nhiêu và mắc như thế

nào vào hai điểm a, b để ampek ế chỉ 1A và dòng điện quaampe k ế có chiều từ M đến N ?

ξ

Giải :

- Giả sử cực dươ ng củanguồn ξ 2 mắc vào điểm a

và dòng điện trong cácnhánh có chiều như hình vẽ.Bài toán có 3 ẩn số là I1, I2 và ξ 2, vậy ta cần lậ p 3

phươ ng trình.

- Có 2 nút mạng M và N, nênta viết đượ c 1 phươ ng trình:

R 2

R 3

Mξ 2

ξ 3

a(+) b(-)

A

II

I

I3

I2

I1

R 11

N

Hình 12.13 WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




I1 + I2 = I3 hay I1 + 1 = I3 (1)

- Chọn chiều đi ngượ c chiều kim đồng hồ, ta viết đượ c hai phươ ng trình cho haimắt (I) và (II) :

– ξ 1 + ξ 2 – I1R 1 + I2R 2 = 0 hay – 8 + ξ 2 – 2I1 + 4 = 0 (2) – ξ 2 + ξ 3 – I2R 2 – I3R 3 = 0 hay – ξ 2 + 5 – 4 – 3I3 = 0 (3)

Giải (1), (2), (3) ta có : ξ 2 = + 1,6V ; I1 = – 1,2A ; I3 = – 0,2A

Vậy: nguồn ξ 2 = 1,6V, mắc như giả thiết ban đầu: cực (+) nối vào a, cực âm nối

vào b; dòng I1 = 1,2A, I3 = 0,2A và có chiều ngượ c vớ i chiều trên hình vẽ.

§12.7 ĐỊNH LUẬT JOULE – LENZ

CÔNG VÀ CÔNG SUẤT CỦA DÒNG ĐIỆN

1 – Định luật Joule – Lenz:

Dòng điện chạy qua vật dẫn làm vật dẫn nóng lên. Đó là tác dụngnhiệt của dòng điện. Nhiệt lượ ng tỏa ra đượ c xác định bở i đinh luật Joule –Lenz: Nhiệt l ượ ng t ỏa ra trên một đ oạn mạch t ỉ l ệ thuận vớ i bình phươ ng

cườ ng độ dòng đ iện, vớ i đ iện tr ở của đ oạn mạch và thờ i gian dòng đ iệnchạ y qua: Q = I2Rt (12.41)

Chú ý: nếu điện năng trong đoạn mạch chuyển hóa hoàn toàn thànhnhiệt thì đoạn mạch đượ c gọi là thuần tr ở .

2 – Công và công suất của dòng điện:

Dòng điện chạy qua một đoạn mạch nào đó sẽ sinh ra công. Công của dòngđiện sinh ra trên đoạn mạch M, N bằng vớ i công của lực điện tr ườ ng làm di chuyểnđiện tích q giữa hai điểm đó: AMN = qUMN. Mà q = It , nên :

AMN = UMNIt (12.21)Suy ra công suất của dòng điện trên đoạn mạch

MN là : MNMN MN

AP U

t= = I (12.43)

+

M N-

r ,ξ

Trong hệ SI, đơ n vị đo công là jun (J), công suấtlà oát (W). Trong thực tế, ngườ i ta còn dùng đơ nvị kilôoat – giờ để đo điện năng hay công củadòng điện: 1kWh = 103 w x 3600s = 3,6.106 (J)

Hình 12.14: đ oạn mạch

chỉ chứ a máy thu

* N ế u đ oạn mạch MN thuần tr ở thì:

PMN = UMNI = I2R MN =2MN

MN

U

R (12.44)

* N ế u đ oạn mạch MN chỉ chứ a máy thu (hình 12.14) thì: từ định luật Ohm tổngquát suy ra UMN = ξ + Ir và công suất tiêu thụ của máy thu là :

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




P = ξ I + I2r (12.45)

Số hạng I chính là công suất chuyển hoá điện năng thàng dạng năng lượ ng khác

(ví dụ hoá năng); còn số hạng I

ξ2r chính là công suất toả nhiệt trên máy thu. Trong

tr ườ ng hợ p này, đượ c gọi là suấ t phản đ iện.ξ* Đố i vớ i mạch kín: dòng điện cung cấ p năng lượ ng cho mạch ngoài, đồng thờ i toả nhiệt trên nguồn. Do đó công suất của dòng điện sinh ra trong toàn mạch kín là :

P = UI + I2r = I2(R + r) (12.46)

3 – Công suất và hiệu suất của nguồn điện:

Xét mạch kín của một nguồn điện (xem hình 12.7), ta thấy tr ườ ng lực lạ sinh công để duy trì dòng điện. Công của nguồn điện chính là công của lực lạ vàcông này chuyển hoá thành công của dòng điện. Vì năng lượ ng bảo toàn nên từ (12.46) và (12.24) suy ra công suất của nguồn điện là:

Pn = ξI (12.47)

Khi nguồn phát điện, một phần năng lượ ng của nguồn cung cấ p cho mạchngoài hoạt động – năng lượ ng này là có ích; một phần năng lượ ng chuyển thànhnhiệt làm nóng nguồn (do nguồn có điện tr ở nội) – năng lượ ng này là vô ích.

V ậ y, hiệu suấ t của nguồn đ iện là:

r R

R

I

r II

P

P 2

tp

hi

+

=

ξ

−ξ==η (12.48)

Từ (12.48) suy ra, hiệu suất của nguồn điện càng cao khi điện tr ở mạch ngoài cànglớ n hơ n điện tr ở nội của nguồn.

2 – Công suất lớ n nhất mà một nguồn điện có thể phát ra:

Xét một nguồn điện có suất điện động ξ, điện tr ở trong r, cấ p điện ra mạchngoài có điện tr ở R. Công suất mà nguồn phát ra chính là công suất tiêu thụ ở mạch

ngoài là: P = I2R =2

2

2

2

)R r R (

R .)r R ( +

ξ=

+

ξ

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:r

R 2R

+ ≥ r . Dấu “=” khi R = r.

Do đó:r 4

P2ξ

≤ (12.49)

Vậy: một nguồn điện có suất điện động ξ , điện tr ở trong r thì nó có khả năng phátra mạch ngoài một công suất lớ n nhất là:

r 4P

2

max

ξ= (12.50)WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Nếu xét một mạch điện kín như hình(12.7) thì công suất tiêu thụ của mạch ngoài biến thiên theo giá tr ị điện tr ở R của mạchngoài. Qui luật biến thiên đó đượ c thể hiện

trên đồ thị hình 12.15. Ta thấy khi R tăng từ 0đến r thì công suất tăng từ 0 đến giá tr ị cực đại,r ồi giảm dần đến 0 khi R r ất lớ n. Luôn có haigiá tr ị điện tr ở R 1, R 2 của mạch ngoài cùng tiêuthụ cùng một công suất P < Pmax. 0 r R 2R 1

P

2

maxP4r

ξ=

P

R

Công thức (12.50) cho phép ta ướ ctính số nguồn ít nhất để có thể cung cấ p chomột mạch hoạt động bình thườ ng.

Ví d ụ: Có thể dùng hai pin loại (6V – 1Ω) để có thể thắ p sáng bình thườ ng bóng đèn (6V – 24W) đượ c không? Để tr ả lờ i câu hỏinày, tr ướ c tiên ta tính công suất lớ n nhất mà mỗi pin có thể cung cấ p là

2 2

max

6P 9

4r 4.1

ξ= = = W . Mà đèn sáng bình thườ ng thì nó phải tiêu thụ công suất

24W. Vậy số nguồn không thể nhỏ hơ n 3.

Hình 12.15: Công suấ t tiêu

thụ của mạch ngoài biế nthiên theo giá tr ị R

§12.8 MỘT SỐ PHƯƠ NG PHÁP PHÂN GIẢI MẠCH ĐIỆN1 – Phươ ng pháp biến đổi điện trở :

a) N ội dung chính:

- Thay thế các nhóm điện tr ở bằng các điện tr ở tr ươ ng đươ ng của chúng

- Biến đổi sơ đồ phức tạ p thành sơ đồ tươ ng đươ ng đơ n giản.

Chú ý: các điểm trên sơ đồ có cùng điện thế thì có thể chậ p lại vớ i nhau; nhánh nàokhông có dòng điện đi qua thì có thể bỏ đi.

b) M ạch nố i ti ế p:R 1 R 2

A B

I R nPhần tử X đượ c gọi làghép nối tiế p vớ i phần tử Ynếu đầu ra của X đượ c nốitr ực tiế p ngay vào Y (giữachúng không có nhánh r ẽ). Từ phươ ng trình liên tục (12.38)suy ra cườ ng độ dòng điệnqua các phần tử mắc nối tiế pthì bằng nhau.

A B

I R tđ

Hình 12.16: Đoạn mạch nố i tiế p

Giả sử giữa hai điểm A, B có n điện tr ở R 1, R 2, …, R n ghép nối tiế p. Ta cóthể thay thế n điện tr ở này bằng một điện tr ở duy nhất có vai trò tươ ng đươ ng,

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




ngh ĩ a là cườ ng độ dòng điện trong hai sơ đồ ở hình 12.16 luôn bằng nhau vớ i mọigiá tr ị của hiệu điện thế UAB. Mà: AB 1 2 nU U U ... U= + + + .

Suy ra: td 1 2 nIR IR IR ... IR = + + +

Vậy: n

td 1 2 n k k 1

R R R ... R R =

= + + + = ∑ (12.51)

H ệ quả: nếu các điện tr ở R 1 = R 2 = … = R n = R 0 thì td 0R nR = (12.52)

c) M ạch song song:

Hai phần tử X và Y đượ c gọi làghép song song vớ i nhau nếu chúng cóchung điểm đầu và chung điểm cuối. Như vậy, các phần tử mắc song song có cùnghiệu điện thế.

R 1

In BA R nI I

I R td

BA

I1

Giả sử giữa hai điểm A, B có nđiện tr ở R 1, R 2, …, R n ghép song song. Tacó thể thay thế n điện tr ở này bằng mộtđiện tr ở duy nhất có vai trò tươ ng đươ ng,ngh ĩ a là cườ ng độ dòng điện mạch chính

trong hai sơ đồ ở hình 12.17 luôn bằngnhau vớ i mọi giá tr ị của hiệu điện thế UAB.

Hình 12.17: Đoạn mạch song song

Mà tại nút A, ta có I = I1 + I2 + . . . + In . Suy ra:td 1 2 n

U U U U...

R R R R = + + +

Vậy:n

k 1td 1 2 n k

1 1 1 1 1...

R R R R R =

= + + + = ∑ (12.53)

H ệ quả: nếu các điện tr ở R 1 = R 2 = … = R n = R 0

thì 0td

R R

n= (12.54)

BA

R 1

R 2

R 3

R 4

ξ, r

M

N

A

I

IA

I3

I1

Nếu chỉ có hai điện tr ở R 1 mắc song song vớ i R 2

thì 1 2td

1 2

R R R

R R =

+ (12.55)

Ví dụ 12.5: Cho mạch điện như hình 12.18, trongđó nguồn có suất điện động ξ = 8,2V, điện tr ở trong r = 0,5Ω; R 1 = R 2 = R 3 = 3Ω, R 4 = 6Ω; điệntr ở của ampe k ế và dây nối không đáng k ể.

a) Tính số chỉ của ampe k ế. Nói rõ chiềudòng điện qua ampe k ế.

Hình 12.18

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




b) Thay ampe k ế bằng vôn k ế có điện tr ở r ất lớ n thì vôn k ế chỉ bao nhiêu? Núm (+) của vôn k ế nối vào điểm M hay N?

Giải

a) Giả sử chiều dỏng điện trong các nhánh như hình vẽ. Vì điện tr ở của ampe k ế bằng không nên UMN = IA.R A = 0. Suy ra M và N có cùng điện thế. Ta chậ p M và Nlại, vẽ lại mạch tươ ng đươ ng như hình 12.19.

Ta có: 1 212

1 2

R R R 1

R R = =

+,5Ω

I, r

R 1 R 3

M

NA

I1 I3

R 4R 2

3 434

3 4

R R R 2

R R = =

+ Ω

R AB = R 12 + R 34 = 1,5 + 2 = 3,5Ω

B

AB

8,2I 2,05A

R r 3,5 0,5

ξ= = =

+ +

Hình 12.19

UAM = I.R 12 = 2,05.1,5 = 3,075V

AM1

1

U 3,075I 1,025A

R 3⇒ = = =

UMB = I.R 34 = 2,05.2 = 4,1V MB3

3

U 4,1I 1,367A

R 3⇒ = = =

Tại nút M suy ra: IA = I1 – I3 = 1,025 – 1,367 = – 0,342 A

Vậy ampe k ế chỉ 0,342A và dòng điện qua ampe k ế có chiều từ N đến M (ngượ cvớ i chiều trên hình vẽ).

b) Thay ampe k ế bằng vôn k ế có điện tr ở vô cùng

lớ n thì dòng điện không đi qua vôn k ế. Ta gỡ bỏ vôn k ế. Lúc đó (R 1 nối tiế p R 3) // (R 2 nối tiế p R 4).

Ta có R 13 = R 1 + R 3 = 6Ω; R 24 = R 2 + R 4 = 9Ω

13 24AB

13 24

R .R 6.9R 3

R R 6 9= = =

+ +,6Ω

AB

8,2I 2

R r 3,6 0,5

ξ= = =

+ +

A

BV

R 1

R 2

R 3

R 4

, r

M

N

A

I

I2

I1

Hình 12.20UAB = IR AB = 2.3,6 = 7,2V

AB1

13

U 7, 2I 1, 2A

R 6= = = ; AB

224

U 7, 2I 0,8A

R 9= = = WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




MN MB BN 1 3 2 4U U U I R I R 1, 2.3 0,8.6 1, 2V⇒ = + = − = − = −

Vậy vôn k ế chỉ 1,2V và núm (+) của vôn k ế phải nối vào điểm N.

d) M ạch tam giác – sao:

Một mạch điệncó dạng hình 12.21agọi là mạch tam giác(∆), hình 12.21b làmạch sao (Y). Trongmột số tr ươ ng hợ p ta phải chuyển đổi qua lạigiữa hai mạch này.Muốn vậy chúng phảitươ ng đươ ng nhau,ngh ĩ a là điện tr ở củahai nút bất kì trong haisơ đồ phải bằng nhau:

A A

R C R B

R A

Ba)

C

r Cr B

r A

O

B b) C

Hình 12.21: a) mạch tam giác; b) mạch sao

C A BA B

A B CAB/ AB/ Y

B A CAC/ AC/ Y A C

A B CBC / BC / Y

A B CB C

A B C

R (R R )r r

R R R R R

R (R R )R R r R R R

R R R (R R )

r r R R R

∆

∆

∆

⎧

r

= +⎪ + +⎪=⎧⎪ +⎪ = ⇔ = +⎨ ⎨

+ +⎪ ⎪=⎩ ⎪ += +⎪

+ +⎩

+

(12.56)

(12.56) diễn tả quan hệ giữa các điện tr ở của mạch tam giác và mạch sao tươ ngđươ ng. Nếu cho tr ướ c ba điện tr ở của mạch này, ta sẽ tìm đượ c ba điện tr ở củamạch kia.

Giả sử ba điện tr ở của mạch (∆) đã biết, để tìm ba điện tr ở của mạch (Y)tươ ng đươ ng, ta giải hệ phươ ng trình (12.56), ta có:

B CA

A B

C AB

A B C

A BC

A B C

R R r

R R R

R R r

R R R

R R r R R R

⎧=⎪ + +⎪

⎪=⎨

+ +⎪

⎪ =⎪+ +⎩

C

(12.57)

Tr ườ ng hợ p đặc biệt nếu R A = R B = R C = R 0 thì r A = r B = r C = 0R

3 (12.58)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




e) M ạch cầu:

Nếu đoạn mạch AB códạng như hình 12.22 thì ta gọiđó là mạch cầu. Ta có thể vậndụng định luật Ohm hoặc các quitắc Kirchhoff để tìm cườ ng độ dòng điện trong các nhánh củamạch cầu. Tuy nhiên, trong mộtsố tr ườ ng hợ p, bài toán đượ cgiải quyết nhanh, gọn bằng phươ ng pháp biến đổi điện tr ở .

B

I1

I2A

R 1

R 2

R 3

R 4R 5

M

N

I3

I4

I

Hình 12.22: M ạch cầu

TH1: Nếu điện thế VM = V N thì ta nói: mạch cầu cân bằ ng . Khi đó dòng điệnkhông qua R 5 và I1 = I3 ; I2 = I4 .

Ta có: – I1R 1 + I2R 2 = I3R 3 – I4R 4 = UMN = 0. Hay: 31 2

2 1 4

R R I I;R I R I

4

3

= =

Suy ra: 31

2 4

R R

R R = (12.59)

Ngượ c lại, nếu có điều kiện (12.59) thì ta sẽ chứng minh đượ c VM = V N . Vì thế (12.59) đượ c gọi là điều kiện cân bằng của mạch cầu.

Vậy: khi mạch cầu cân bằ ng, ta có thể bỏ R5 đ i (đoạn mạch AB sẽ có hai nhánhsong song, mỗi nhánh có hai điện tr ở nối tiế p) hoặc chậ p M vớ i N (đoạn mạch ABsẽ có hai cụm nối tiế p, mỗi cụm có hai điện tr ở song song).

TH2: Nếu5

4

2

1

R

R

R

R ≠ thì cầu

không cân bằng. Khi đó để tíchđượ c điện tr ở của đoạn mạch, tacó thể chuyển mạch từ dạng mắctam giác ở ba nút A, M, N sangmắc hình sao như hình 12.23.Trong đó r A, r M, r N liên hệ vớ iR 1, R 2, R 5 bở i (12.57).

B

N

M

r N R 4

r AO

A

r M R 3

Hình 12.23: M ạch t ươ ng đươ ng mạch cầu

Ví dụ 12.6: Cho mạch cầu như sơ đồ hình 12.22. Trong đó R 1 = 10Ω, R 2 = 20Ω, R 3 = 4Ω, R 4 = 60Ω, R 5 = 10Ω, UAB = 12V. Tính điện tr ở tr ươ ng đươ ng của đoạn mạchAB và cườ ng độ dòng điện qua mỗi điện tr ở .

GiảiDễ thấy mạch cầu không cân bằng. Ta chuyển mạch về sơ đồ hình 12.23.

Ta có: 1 2A

1 2 5

R R 10.20r 5

R R R 10 20 10= =

+ + + + = Ω WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




1 5M

1 2 5

R R 10.10r 2

R R R 10 20 10= = =

+ + + +,5Ω

5 2 N

1 2 5

R R 10.20r 5R R R 10 20 10= =+ + + + = Ω

Vớ i sơ đồ hình (12.23) ta có:

M 3 N 4OB

M 3 N 4

(r R )(r R ) (2,5 4)(5 60)R 5

r R r R 2,5 4 5 60

+ +,91

+ += =

+ + + + + + ≈ Ω

R AB = r A + R OB = 5 + 5,91 = 10,91Ω.

Cườ ng độ dòng điện qua r A: AB

ABU 12I 1R 10,91= = ≈ ,1A

V

Hiệu điện thế giữa hai điểm O, B: OB OBU IR 1,1.5,91 6,5= = =

Cườ ng độ dòng điện qua R 3:OB

3M 3

U 6,5I 1

r R 2,5 4= = =

+ +A

Cườ ng độ dòng điện qua R 4:

OB

4 N 4

U 6,5

I 0r R 5 60= = =+ + ,1A

Hiệu điện thế giữa hai điểm A, M: UAM = Ir A + I3r M = 1,1.5 + 1.2,5 = 8V

Cườ ng độ dòng điện qua R 1:AM

11

U 8I 0

R 10= = = ,8A

Hiệu điện thế giữa hai điểm A, N: UAN = Ir A + I4r N = 1,1.5 + 0,1.5 = 6V

Cườ ng độ dòng điện qua R 2:AN

22

U 6I 0R 20= = = ,3A

Hiệu điện thế giữa hai điểm N, M: U NM = U NA + UAM = UAM – UAN = 8 – 6 = 2V

Cườ ng độ dòng điện qua R 5: NM

55

U 2I 0

R 10= = = , 2A

2 – Phươ ng pháp dòng điện nhánh:

Thực chất của phươ ng pháp này chính là vận dụng các qui tắc Kirchhoff để viết các phươ ng trình cho nút mạng và mắt mạng.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Ví dụ 12.7: Cho sơ đồ mạch điện như hình 12.24. Biết ξ1 = 25V, ξ2 = 16V, r 1 = r 2 = 2Ω; R 1 = R 2 = 10Ω, R 3 = R 4 = 5Ω, R 5 = 8Ω. Tính cườ ng độ dòng điện qua mỗinhánh.

M

R 3 R 4

R 5

ξ2, r 2

Nξ1, r 1

I3

I4

I6

(3)

(2)(1)

R 2R 1

Giải I1Giả sử dòng điện trong các nhánh cóchiều như hình vẽ. Ta có 6 ẩn số là I1,I2, ..., I6 nên phải thiết lậ p 6 phươ ngtrình độc lậ p.

I2

A B

Viết các phươ ng trình cho nút A, B, M:I5

I6 = I1 + I5 hay I1 + I5 – I6 = 0 (1)

I2 + I5 = I4 hay I2 + I5 – I4 = 0 (2) Hình 12.26I1 = I2 + I3 hay I1 – I2 – I3 = 0 (3)

Chọn chiều đi là chiều kim đồng hồ,viết các phươ ng trình cho mắt (1), (2), (3):

– ξ2 + I1R 1 + I3R 3 + I6r 2 = 0 hay – 16 + 10I1 + 5I3 +2I6 = 0 (4)

I2R 2 + I4R 4 – I3R 3 = 0 hay 10I2 + 5I4 – 5I3 = 0 (5)

ξ1 + ξ2 – I5(R 5 + r 1) – I6r 2 – I4R 4 = 0 hay 41 – 10I5 – 2I6 – 5I4 = 0 (6)

Từ (1), (2), (3), (4), (5), (6) ta có hệ 6 phươ ng trình. Để giải hệ này ta có thể dùng phươ ng pháp thế, hoặc thiết lậ p một ma tr ận 6 dòng 7 cột, r ồi dùng các phép biếnđổi sơ cấ p đưa về dạng ma tr ận bậc thang . Từ đó tìm đượ c nghiệm của hệ phươ ngtrình: I1 = 0,5A; I2 = – 0,5A (dòng điện trong nhánh này ngượ c vớ i chiều đã chọn);I3 = 1A; I4 = 2A; I5 = 2,5A; I6 = 3A.

Trên đây giớ i thiệu hai phươ ng pháp phân giải mạch điện cơ bản nhất. Ngoài ra còn có các phươ ng pháp khác như: phươ ng pháp điện thế nút, phươ ng pháp chồng chất, phươ ng pháp máy phát tươ ng đươ ng, ... .

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM





12.1 Một dây đồng chất, điện tr ở suất là ρ , tiết diện

đều S, đượ c uốn thành mạch điện hình chữ nhậtcạnh a, b, đườ ng chéo BC như hình 12.27. Tính điệntr ở của mạch điện khi: b

D

B

C

A a

a. Dòng điện vào C, ra B.

b. Dòng điện vào C ra D.

c. Dòng điện vào A, ra D. Hình 12.27d. Xét lại các tr ườ ng hợ p trên khi a = b.

12.2 Cho mạch điện như hình 12.28: ξ1 = ξ2 = 1,5V; r 1 = 0,2Ω; r 2 = 0,3Ω; C1 =0,3µF; C2 = 0,6µF; R = 0,5Ω. Tính cườ ng độ dòng điện qua R, điện tích và hiệuđiện thế của mỗi tụ khi K đóng và khi K mở .

R 12.3 Cho mạch điện nhu hình 12.29: ξ1 = 1,3V;ξ2 =1,5V; ξ3 = 2V; r 1 = r 2 = r 3 = 0,2Ω; R =0,55Ω. Xác định cườ ng độ dòng điện qua mỗinguồn và hiệu điện thế giữa hai cực của mỗinguồn.

K ξ2, r 2ξ1, r 1

C C A B

12.4 Một chuỗi đèn trang trí trong nhà mắc nối

tiế p sao cho mỗi bóng chỉ chịu hiệu điện thế 3V. Khi một bóng bị hỏng, ta tháo bóng ra vànếu chạm tay vào hai đầu dây thì bị giật khámạnh. Vì sao?

Hình 12.28

R12.5 Có thể chạm tay vào dây điện mà không sợ bị giật không? Làm thế nào? Giải thích?

E2, r 2

E1, r 1

E3, r 3

12.6 Cho hai mạch điện (a) và (b) như hình 12.30.Trong mỗi sơ đồ, hiệu điện thế U luôn không đổi điện

tr ở của ampe k ế và dây nối không đáng k ể, r = 5 3 Ω.Tính R để khi K 1 đóng K 2 mở ; hoặc khi K 1 mở K 2 đóng thì số chỉ của ampe k ế trong mỗi sơ đồ khôngthay đổi. Hình 12.29

12.7 Cho mạch điệnnhư hình 12.31: ξ1 =2V, ξ2 = 1,5V; r 1 , r 2 khác không. Vôn k ế có điện tr ở vô cùnglớ n và có vạch số 0nằm chính giữa bảngsố. Khi K mở , vônk ế lệch sang phải;khi K đóng vôn k ế cũng lệch sang phải

K 1 K 1

(b)

Rrr

rr r

K 2

r RA

AU

U

(a)Hình 12.30

K 2WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




và chỉ 1V. Hỏi, nếu đảo ngượ c cực của nguồn ξ2 thì vôn k ế lệch về phía nào, chỉ bao nhiêu khi K đóng và khi K mở ?

12.8 Để chiếu sáng một hộitr ườ ng, ngườ i ta dùng các đènloại (220V - 500W). R

ξ1, r 1

ξ2, r 2

K

V

ξ1, r 1

R

ξ2, r 2a) Dùng cầu chì 15A để bảo vệ mạng điện. Hỏi có thể mắc đượ cmấy bóng?

b) nếu mắc 10 bóng thì phải dùngcầu chì bao nhiêu ampe để bảovệ các đèn? Hình 12.3212.9 Cho sơ đồ mạch điện như

hình 12.32. Biết ξ1 = 2V, ξ2 = 1,5V; r 1 = r 2 = 0,5Ω.

Hình 12.31

a) Xác định cườ ng độ dòng điện qua R và mỗi nguồn khi: R = 2Ω.

b) Nếu thay thế hai nguồn trên bằng một nguồn tươ ng đươ ng thì suất điện độngvà điện tr ở trong của nguồn đó là bao nhiêu?

E3, r 3 R

R E2, r 2

E1, r 1 R c) Vớ i giá tr ị nào của R thì cườ ng độ dòng điện qua cácnguồn là bằng nhau?

d) Tìm điều kiện của R để nguồn ξ2 không làm việc.

e)

Nếu nối tắt bộ nguồn thì cườ ng độ dòng điện qua mỗinguồn là bao nhiêu?

12.10 Cho mạch điện như hình 12.33: ξ1 = 10 V; r 1 = 1Ω;ξ2 = 20V; r 2 = 2Ω; ξ3 30V; r 3 = 3Ω; R 1 = 4Ω, R 2 = 3Ω, R 3 = 7Ω.

Hình 12.33

ξ1, r 1

V

ξ2, r 2 R 4

R 3

R 2

R 1

a) Tìm cườ ng độ dòng điện qua mỗi nguồn. Nguồn nào phát, thu?

b) Tính độ giảm thế trên mỗi điện tr ở .

c)

Tính công suất và hiệu suất của mỗi nguồn.d) Đảo cực nguồn E3, tìm lại các câu a, b.

12.11 Hai nguồn ξ1 = ξ2 = 22V, r 1 = r 2 = 0, đượ c mắc vàomạnh như hình 12.34. Biết R 1 = 100Ω, R 2 = 200Ω, R 3 =300Ω, R 4 = 400Ω. Hỏi vôn k ế chỉ bao nhiêu nếu:

Hình 12.34

a) Điện tr ở vôn k ế r ất lớ n? ξ1

R

R

R

ξ2

R R

R b) Điện tr ở vôn k ế là R V = 300Ω?

c) Đảo cực của nguồn ξ2, xét lại hai tr ườ ng hợ p trên.

d) Thay vôn k ế bằng ampe k ế có điện tr ở không đángk ể thì ampe k ế chỉ bao nhiêu? (xét tr ướ c lúc đảo cực và saukhi đảo cực nguồn ξ2).

12.12 Cho mach điện như hình 12.35: ξ1 = 6,5V; ξ2 = 3,9V;r 1 = r 2 = 0Ω; R = 10Ω. Xác định dòng điện qua mỗi nhánh.

Hình 12.35

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




12.13 Cho mạch như hình 12.36: C1 = 2µF; C2 = 3µF; C3 = 1µF; R 1 = 30Ω; R 2 =10Ω; ξ = 2V; r = 0Ω. Xác định điện tích trên mỗi tụ.

12.14 Cho mạch như hình 12.37: Biến tr ở MN có điện tr ở toàn phần là R = 24Ω; R

1 = 16Ω, R

A = 0Ω, R

V r ất lớ n. Khi

con chạy C ở M thì ampe k ế chỉ 2,5A ; khi con chạy ở Nthì vôn k ế chỉ 30V. Hỏi khi con chạy C ở chính giữa MNthì số chỉ của ampe k ế và vôn k ế là bao nhiêu? Số chỉ đósẽ thay đổi như thế nào khi con chạy dịch chuyển từ M đến N?

C2C1

C3 R 2R 1

ξ, r 12.15 Hãy xác định công của dòng điện và nhiệt lượ ng toả ra trên một đoạn mạch trong thờ i gian 30s trong các tr ườ nghợ p sau: Hình 12.36

a) Dòng điện có cườ ng độ 1A chạy qua dây dẫn mà hiệuđiện thế ở hai đầu đoạn dây dẫn là 2V.

b) Dòng điện có cườ ng độ 1A nạ p cho một acqui có suất điện động 1,3V, hiệu điệnthế ở 2 cực của acqui là 2V.

R M N

CE

R A

V

12.16 Một động cơ điện có điện tr ở trong 2Ω, làm việc ở hiệu điện thế 220V. Cườ ng độ dòng điện qua động cơ khilàm việc là 10A. Tính công suất cơ học của động cơ .

12.17 Một bộ nguồn gồm 60 pin giống nhau, mỗi pin có

suất điện động e = 1,5V và điện tr ở trong r o = 0,6Ω, ghéphỗn hợ p đối xứng, cấ p điện ra mạch ngoài là một điện tr ở R = 1Ω. Hỏi các nguồn đó phải mắc như thế nào để: Hình 12.37a) công suất mạch ngoài là lớ n nhất? Tính giá tr ị lớ n nhấtđó.

b) công suất mạch ngoài không nhỏ hơ n 36W?

c) Tính hiệu suất của bộ nguồn trong mỗi tr ườ ng hợ p trên.

12.18 Có một số đèn 3V – 3W và một số nguồn e = 4V, r = 1Ω.

a) Nếu có 8 đèn thì cần ít nhất bao nhiêu nguồn và cách mắc đèn, nguồn như thế nào để đèn sáng bình thườ ng?

b) Nếu có 15 nguồn thì có thể thắ p sáng bình thườ ng tối ta bao nhiêu đèn? Nêucách mắc nguồn, đèn.

12.19 Nếu lần lượ t mắc điện tr ở R 1 = 2Ω và R 2 = 8Ω vào một nguồn điện có suấtđiện động ξ, điện tr ở trong r thì công suất toả nhiệt trên các điện tr ở là như nhau.

A

ξ, r R 4R 3R 1 R 2

a) Tính r.

b) Mắc song song R 1 và R 2 r ồi mắc chúng nốitiế p vớ i điện tr ở R x để tạo thành mạch ngoài củanguồn điện trên. Hỏi R x bằng bao nhiêu để: côngsuất toả nhiệt ở mạch ngoài là lớ n nhất? Côngsuất toả nhiệt trên R x là lớ n nhất? Tính hiệu suấtcủa nguồn ứng vớ i 2 tr ườ ng hợ p đó.

Hình 12.38WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




c) Bây giờ mắc nguồn trên và R 1, R 2 vào mạch như hình 12.38. Trong đó R 3 =58,4Ω, R 4 = 60Ω, R A = 0Ω. Tính số chỉ của ampe k ế, biết ξ = 68V.

12.20 Có 3 điện tr ở giống nhau, mỗi điện tr ở có giá tr ị r. Hỏi có mấy cách ghép cácđiện tr ở này? Tính điện tr ở tr ươ ng đươ ng của mỗi cách ghép. Biện luận số cáchghép, nếu các điện tr ở là khác nhau.12.21 Có hai loại điện tr ở loại R 1 = 3Ω và loại R 2 = 5Ω. Hỏi phải cần mỗi loại mấycái để khi ghép nối tiế p, chúng có điện tr ở tươ ng đươ ng là 55Ω?

12.22 Một đoạn dây dẫn đồng chất, tiết diên đều, điện tr ở 100Ω. Ngườ i ta cắt ra

thành 100 đoạn nhỏ để làm ba loại điện tr ở : loại 5Ω, loại 3Ω và loại3

1Ω. Hỏi có

mỗi loại có mấy cái?

12.23 Có một số điện tr ở giống nhau, mỗi điện tr ở có giá tr ị 12Ω. Cần ít nhất baonhiêu cái và mắc chúng như thể nào để có điện tr ở tươ ng đươ ng là 7,5Ω? 5Ω?

12.24 Để đo điện tr ở R, ta có thể dùng ampe k ế và vôn k ế. Hãy vẽ các sơ đồ mạchđiện và đánh giá sai số của phép đo trong mỗi sơ đồ theo R A và R V. từ đó rút ra cáck ết luận cần thiết.

.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Chươ ng 13

TỪ TR ƯỜ NG TĨNH§ 13.1 TƯƠ NG TÁC TỪ - ĐỊNH LUẬT AMPÈRE

1 – Tươ ng tác từ :

Các hiện tượ ng về điện, từ đã đượ c con ngườ i biết đến từ lâu, nhưng không

biết chúng có liên quan vớ i nhau. Mãi đến năm 1820, Oersted, nhà vật lý ngườ iĐan Mạch phát hiện ra hiện tượ ng dòng điện đặt gần kim la bàn làm kim la bànkhông chỉ theo hướ ng Bắc – Nam nữa mà bị lệch đi thì ngườ i ta mớ i biết r ằng điện

và từ có liên quan vớ i nhau. Sau đó Ampère, nhà vật lý ngườ i Pháp, phát hiện r ằng,

các dòng điện cũng tươ ng tác vớ i nhau.

Như vậy, về phươ ng diện từ thì một dòng điện cũng có thể coi như một

nam châm. Nói cách khác tươ ng tác giữa nam châm vớ i nam châm, nam châm vớ idòng điện, dòng điện vớ i dòng điện cùng chung một bản chất. Ta gọi đó là t ươ ng

tác t ừ .

2 – Định luật Ampère về tươ ng tác giữ a hai phần tử dòng điện:

Phần t ử dòng đ iện (hay còn gọi là yế u t ố dòng đ iện) là một đoạn dòng điện chạy trong

dây dẫn hình tr ụ có chiều dài d và tiết diện

ngang dS r ất nhỏ. Phần tử dòng điện đượ c đặc

tr ưng bở i tích , trong đó I là cườ ng độ

dòng điện qua tiết diện dS và d là vectơ có

độ lớ n bằng và có chiều là chiều của dòng

điện (xem hình 13.1).

Id→

→

d

M

Q

P2 2

I d→

1 1I d

→

r →

I2

N

I1

Xét hai phần tử dòng điện và

của hai dòng điện I

1

→

1I d

22I d→

1 và I2 đặt trong chân không. Gọi là vectơ khoảng

cách hướ ng từ đến . Vẽ mặt phẳng (P) chứa và . Qui ướ c

pháp vectơ đơ n vị của mặt phẳng (P) có chiều sao cho khi xoay cái đinh ốc từ

vectơ đến vectơ theo góc nhỏ nhất thì chiều tiến của cái đinh ốc là chiều

của vectơ (xem hình 13.2). Định luật Ampère đượ c phát biểu như sau:

r →

11I d

→

22I d

→

11I d

→

r

→

n→

11I d→

r →

n→

Hình 13.1: Phần t ử dòng

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chươ ng 13: TỪ TR ƯỜ NG TĨ NH 269

Lực từ do phần tử dòng điện tác dụng lên phần tử dòng điện là

một vectơ có:

11I d→

22I d→

d F→

r

1 1I d

2 2I d

θ2

n

Fd

θ1

O

Hình 13.2: Lự c t ừ d do

phần t ử dòng đ iện tác

d ụng lên phần t ử I d

F

1 1I d

2 2

- Phươ ng: vuông góc vớ i mặt phẳng

chứa yếu tố dòng và

vectơ

2

n→

2I d→

n→

- Chiều: xác định theo qui tắc cái

đinh ốc: xoay cái đinh ốc từ

vectơ đến vectơ

theo góc nhỏ nhất thì chiều

tiến của cái đinh ốc là chiều

của vectơ .

22I d→

d F→

- Độ lớ n: 0 1 2 1 2 1 2

2

I I d d sin sindF

4 r

µ θ θ=

π

(13.1)

- Điểm đặt: tại yếu tố dòng . 22I d→

Trong (13.1), µ0 là hằng số từ, có giá tr ị: .7

0 4 .10 (H / m)−µ = π

Có thể biểu diễn định luật Ampère bằng biểu thức vectơ :

31122o

r

)rdI(dI

4Fd

××π

µ= (13.2)

Thực nghiệm chứng tỏ r ằng, nếu hai dòng điện và I2 đặt trong môi tr ườ ng

đồng chất đẳng hướ ng thì lực t thay đổi µ lần so vớ i khi chúng đặt trong chân

không:

ừo 2 2 1 1

3

I d (I d r)dF

4 r

µ µ × ×=

π

(13.3)

Trong đó µ đượ c gọi là hệ số từ thẩm của môi tr ườ ng. Đối vớ i chân không: µ = 1;

các chất sắt từ: µ >> 1; đối vớ i các chất thuận từ hoặc nghịch từ (đọc thêm chươ ng

14) thì giá tr ị µ dao động hơ n kém xung quanh đơ n vị một lượ ng nhỏ (µ 1). Vì

thế, trong đa số các tr ườ ng hợ p, ta bỏ qua hệ số µ.

≈

Về hình thức, điện và từ giống như hai bàn tay của một cơ thể ngườ i. Mỗiđại lượ ng đặc tr ưng cho điện đều tươ ng ứng vớ i một đại lượ ng đặc tr ưng cho từ. Ví

dụ: hằng số điện ε0 tươ ng ứng vớ i hằng số từ µ0; hệ số điện môi ε tươ ng ứng vớ i hệ

số từ thẩm µ; định luật Ampère có vai trò như định luật Coulomb; các yếu tố dòng

điện có vai trò như những điện tích điểm; … Nắm đượ c tính chất này, bạn đọc có

thể nghiên cứu từ tr ườ ng một cách hiệu quả hơ n.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




§ 13.2 TỪ TR ƯỜ NG

1 – Khái niệm từ trườ ng:

Tươ ng tác giữa hai phần tử dòng điện đượ c hiểu theo quan điểm tươ ng tác

gần. Ngh ĩ a là sự có mặt của dòng điện I1 đã làm biến đổi môi tr ườ ng xung quanh

nó, ta nói dòng điện I1 gây ra xung quanh nó một từ tr ườ ng và chính từ tr ườ ng này

mớ i tác dụng lực từ lên yếu tố dòng .22I d→

Vậy t ừ tr ườ ng là môi tr ườ ng vật chất đặc biệt tồn tại xung quanh các dòngđiện (hay xung quanh các điện tích chuyển động) và tác dụng lực từ lên các dòng

điện khác đặt trong nó.2 – Vectơ cảm ứ ng từ :

Tươ ng tự như cườ ng độ điện tr ườ ng, để đặc tr ưng cho từ tr ườ ng tại mỗi

điểm, ngườ i ta định ngh ĩ a vectơ cảm ứng từ B

. Từ công thức (13.3), ta thấy đại

lượ ng:1o 1

3

I d r d B .

4 r

→ →→ µ µ ×

=π

(13.4)

chỉ phụ thuộc vào phần tử sinh ra từ tr ườ ng và phụ thuộc vào vị trí của điểm

M, nơ i đặt yếu tố dòng mà không phụ thộc vào phần tử chịu tác

dụng của từ tr ườ ng đang xét. Nên đượ c gọi là vectơ cảm ứng từ do phần tử

dòng điện gây ra tại điểm M.

11I d

→

22I d→

22I d→

d B→

11I d→

Tổng quát, vectơ cảm ứng từ do yếu tố òng Id gây ra tại điểm M cách

nó một khoảng là:

d→

r →

o

3

Id r dB .

4 r

µ µ ×=π

(13.5)

Biểu thức (13.5) đã đượ c Biot, Savart và Laplace rút ra từ thực nghiệm, nên còn

đượ c gọi là định luật Biot – Savart – Laplace.

Vậy: vectơ d B có:→

-

Phươ ng: vuông góc vớ i mặt phẳng chứa (Id và

→

→

r ).

- Chiều: tuân theo qui tắc cái đinh ốc: xoay cái đ inh ố c quay t ừ yế u t ố dòng

đế nId

→

r theo góc nhỏ nhấ t thì chiề u tiế n của cái đ inh ố c là chiề u của

vect ơ .BdWWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




- Độ lớ n: o

2

Id sindB .

4 r

µ µ θ=

π

(13.6)

- Điểm đặt: tại điểm khảo sát.

Trong (13.6) thì θ là góc giữa và→

Id

→

r .

Từ tr ườ ng cũng tân theo nguyên lý chồng chất. Do đó, để tính cảm ứng từ

do một dòng điện bất kì gây ra, ta lấy tích phân(13.5) trên cả dòng điện:

(13.7)

ca dong dien

B→ →

= ∫ d B

i

Nếu có nhiều dòng điện thì cảm ứng từ tổng hợ p là:

1 2 nB B B ... B B→ → → → →

= + + + = ∑ (13.8)

Trong đó là cảm ứng từ do dòng điện IiB→

i gây ra.

3 – Vectơ cườ ng độ từ trườ ng:

Vectơ cảm ứng từ phụ thuộc vào bản chất của môi tr ườ ng khảo sát. Dođó khi đi từ môi tr ườ ng này sang môi tr ườ ng khác vectơ sẽ biến đổi đột ngột tại

mặt phân cách. Do đó, ngườ i ta còn định ngh ĩ a vectơ cườ ng độ từ tr ườ ng :

B

→

B→

H→

0

BH

→→

=µµ

(13.9)

Vectơ cườ ng độ từ tr ườ ng có vai trò tươ ng tự như vectơ điện dịch

trong điện tr ườ ng và vectơ cảm ứng từ có vai trò tươ ng tự như vectơ cườ ng độ

điện tr ườ ng . (Do đó nếu gọi chính xác thì phải là vectơ cảm ứng từ, còn

là vectơ cườ ng độ từ tr ườ ng. Nhưng do yếu tố lịch sử, ngườ i ta vẫn giữ nguyên

cách gọi sai này).

H

→

D

→

B→

E→

H→

B→

Trong hệ SI, đơ n vị đo cảm ứng từ là tesla (T); cườ ng độ từ tr ườ ng là ampe

trên mét (A/m).

3 – Các ví dụ về xác định vectơ cảm ứ ng từ :

Ví dụ 13.1: Xác định vectơ cảm ứng từ do dòng điện có cườ ng độ I chạy trong

đoạn dây dẫn thẳng AB gây ra tại điểm M cách dây AB một khoảng h.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Giải:

Xét một yếu tố dòng Id bất kì trên đoạn AB. Vectơ cảm ứng từ do yếu tố

gây ra tại M là:Id

o

3

Id r

dB .4 r

µ µ ×

= π

.

Theo nguyên lí chồng chất, vectơ cảm ứng từ do đoạn

AB gây ra tại M là:

B

A

B d→ →

= B∫

Dùng qui tắc cái đ inh ố c, suy ra Bd

luôn hướ ng

vuông góc vớ i mặt phẳng hình vẽ (13.3) và đi vào

phía trong. Vậy cảm ứng từ tổng hợ p cũng có

phươ ng chiều như vậy và có độ lớ n là:B→

B B

o

2

A A

µ Id .sin θB dB

4π r

µ= =∫ ∫

đ

(13.10)

Để tính đực tích phân (13.10), ta đổi về biến số θ. Gọi

O là chân đườ ng vuông góc hạ từ M xuống oạn AB,

là khoảng cách từ O đến yếu tố dòng Id và θ là

góc hợ p bở i hướ ng của dòng điện vớ i đoạn r nối điểm M vớ i yếu tố Id . Ta có:

hcotg= θ2

hdd

sin

θ⇒ =

d B→

Hình 13.3: cảm ứ ng

t ừ gây bở i đ oạn

dòng đ iện thẳ ng

A

I

O M

θ2

θ1

θ

h

r

Id→

B

θ (Lưu ý: là độ dài của đườ ng đi nên trong biểu

thức vi phân ta đã bỏ qua dấu tr ừ, chỉ lấy độ lớ n). Mà

d

hr

sin=

θ. Do đó (13.10) tr ở

thành:

2

1

B2

o o

2A

hdI .sin θ

µ µ IsinB s

h4π 4πh( )sin

θ

θ

in d

θµ µθ= =

θ∫ ∫ θ θ

Suy ra: o1

µ IB (cos cos

4πh

µ= θ − 2 )θ (13.11)

Ở dạng vectơ , ta có: o1 2

µ IB (cos cos

4πh

→ →

).nµ

= θ − θ (13.12)

Trong đó : là pháp vectơ đơ n vị của mặt phẳng tạo bở i đoạn AB vớ i điểm khảo

sát M, chiều của tuân theo qui tắc cái đinh ốc: ” Xoay cái đ inh ố c sao cho nó tiế n

theo chiề u dòng đ iện thì chiề u quay của cái đ inh ố c là chiề u của , cũng chính là

chiề u của ”.

n→

n→

n→

B→

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Hệ quả: Các tr ườ ng hợ p đặc biệt của cảm ứng từ (xem hình 13.4)

a) Nếu dây AB r ất dài, hoặc điểm khảo sát r ất gần đoạn AB thì cosθ1 = 1 và

cosθ2 = – 1. Khi đó ta có:

oµ IB .

2πh

→ →µ= n (13.13)

a)

oM

µ IB .

2πh

→ →

nµ

= M

h b) Nếu AB r ất dài và điểm

khảo sát M nằm trên

đườ ng vuông góc vớ iAB tại một đầu mút thì :

I

oM

µ IB .

4πh

→ →

nµ

= M

h

oµ IB

4πh

→ →µ= .n (13.14)

b)c) Nếu điểm khảo sát M

nằm trên đườ ng thẳng

AB thì vectơ Id luôn

cùng phươ ng vớ i vectơ

, do đó vectơ d luôn

bằng không và vectơ

cảm ứng từ tổng hợ p tạiM cũng bằng không.

r →

B→

IA

Mc)

IAMB 0

→

= B

Ví dụ 13.2: Hãy xác định vectơ cảm ứng từ do dòng điện cườ ng độ I chạy trong vòng dây dẫn tròn tâm O, bán kính

R gây ra tại điểm M nằm trên tr ục của vòng dây, cách tâm O một khoảng h.

Hình 13.4: Các tr ườ ng hợ p đặc biệt:

a) Dây AB r ấ t dài;b) N ử a đườ ng thẳ ng;

c) Điể m M nằ m trên đườ ng thẳ ng AB

Giải:

Xét một yếu tố dòng Id bất kì trên vòng dây. Nó gây ra cảm ứng từ tại M

là: o

3

Id r dB

4 r

µµ ×=π

, có độ lớ n 0

2

IddB

4 r

µµ=π

(do Id

luôn vuông góc vớ i ).r

→

Vectơ đượ c phân tích thành hai thành phần: hướ ng theo pháp tuyến của

mặt phẳng vòng dây và d B hướ ng song song vớ i mặt phẳng vòng dây (hình

13.5). Suy ra cảm ứng từ do toàn vòng dây gây ra tại M là:

d B→

nd B→

t

→

t

BM n t n

(C) (C) (C) (C)

B dB (dB dB ) dB d= = + = +

∫ ∫ ∫

∫

Các tích phân lấy trên toàn bộ vòng dây.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Vì lý do đối xứng tr ục, nên ta luôn tồn tại yếu tố dòng Id đối xứng vớ i qua

tâm O và nó gây ra tại M cảm ứng từ đối xứng vớ i qua tr ục OM. và

có các thành phần tiế p tuyến triệt tiêu nhau nên

'→

Id→

d B'→

d B→

d B→

d B'→

t

(C )

d B→

∫ = 0. Suy ra:

0M n n 2

(C) (C) (C) (C)

IdB d B n dB n dB.cos n .cos

4 r

→ → → → → µµ= = = β =

π∫ ∫ ∫ ∫

β (13.15)

vớ i là pháp vectơ đơ n vị của mặt phẳng vòng dây, có chiều tuân theo qui tắc cái

đinh ốc: “ Xoay cái đ inh ố c theo chiề u dòng đ iện trong vòng dây thì chiề u tiế n của

cái đ inh ố c là chiề u của vect ơ ”.

n→

n→

Vì:r

Rβcos = , 22 += hRr không đổi nên thay vào (13.15) r ồi lấy tích phân, ta

có: o oM 3 2 2 2 2

(C)

IR µ I.R B n d n 2πR

4 r 4π(R h ) R h

→ → →µµ µ= =

π + +∫

Vậy: oM 2 2 3/ 2

ISB .

2 (R h )

→ →µµ=

π +

n

n

S

(13.16)

O

Id '

Rh

Mβ

rId

t'Bd

td B

→

nB→

βnd B'

→

d

d B

→

d B'→

Hình 13.5: Cảm ứ ng t ừ gây bở i dòng đ iện tròn

Vớ i S = πR 2 là diện tích giớ i hạn bở i vòng

dây.

Gọi : là vectơ diện tích giớ i hạn

bở i vòng dây

2S R → →

= π

Và: (13.17)mP I→ →

=

là mômen từ của dòng điện trong vòng dây,

thì ta có:

o oM

2 2 3/ 2 2 2 3/ 2

µ IS µ PB

2π(R h ) 2π(R h )

→→ µ µ

= =+ +

m

(13.18)

Hệ quả: Khi h = 0, ta có vectơ cảm ứng từ tại tâm O của vòng dây:

o o oO

3

µ I µ IS µ PB .n

2R 2πR 2πR

→

→ →µ µ µ= = = m

3

(13.19)

Ví dụ 13.3: Xác định cảm ứng từ tại điểm M trên tr ục của ống dây (hình 13.6).

GiảiWW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Xét một đoạn r ất nhỏ. Gọi n là mật độ vòng dây quấn trên ống dây thì n d là

số vòng dây quấn trên đoạn . Khi đó cảm ứng từ tại M do dòng điện chạy trong

các vòng dây của đoạn gây ra đượ c suy ra từ (13.18):

d

d

d

2

o

2 2 3/ 2

µ IR dB .nd

2(R )

µ=

+

Từ đó tinh đượ c cảm ứng từ do toàn ống dây gây ra tại M:

(2) (2)2

0

2 2 3/ 2

(1) (1)

nIR dB dB

2 (R )

µµ= =

+∫ ∫

(13.20)

Theo hình 13.6, ta có:2

RdRtg d

cos

θ= θ ⇒ =

θ .

Thay vào (13.20) và chú ý r ằng2

2

11 tg

cos+ θ =

θ, ta đượ c:

2

1

0 02 1

nI nIB cos d (sin si

2 2

θ

θ

µµ µµ= θ θ = θ −∫ n )θ

ủ

(13.21)

Trong công thức (13.21), θ1 và θ2

là các góc định hướ ng.

Nếu ống dây r ất dài hoặc

đườ ng kính ống dây r ất nhỏ so

vớ i chiều dài của ống dây thì góc

θ1 = – 900 và θ2 = 900. Khi đó ta

có: B = µµ0nI (13.22)

R

M

θ2 θ1

θ

d

Hình 13.6: Ống dây dài (solenoid)

Ngườ i ta chứng minh đượ c,

vectơ cảm ứng từ trong lòng ống dây dài không thay đổi tại mọi điểm. Từ tr ườ ng

có tính chất đó gọi là từ tr ườ ng đều.

§ 13.3 CÁC ĐỊNH LÝ QUAN TR ỌNG VỀ TỪ TR ƯỜ NG

1 – Đườ ng cảm ứ ng từ :

Cũng giống như đườ ng sức điện tr ườ ng, để mô tả từ tr ườ ng một cách tr ực

quan, ngườ i ta dùng các đườ ng cảm ứng từ. Đườ ng cảm ứ ng t ừ (hay đườ ng sứ c của

t ừ tr ườ ng) là đườ ng vẽ trong t ừ tr ườ ng sao cho tiế p tuyế n vớ i nó t ại mỗ i đ iể mtrùng vớ i phươ ng c a vectô cảm ứ ng t ừ t ại đ iể m đ ó, chiề u của đườ ng cảm ứ ng t ừ

là chiề u của vect ơ B .

Tính chất của đườ ng cảm ứng từ:

- Qua bất kì một điểm nào trong từ tr ườ ng cũng vẽ đượ c một

đườ ng cảm ứng từ.

- Các đườ ng cảm ứng từ không cắt nhau.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Qui ướ c: vẽ số đườ ng cảm ứng từ xuyên qua một đơ n vị diện tích đặt

vuông góc vớ i các đườ ng cảm ứng từ bằng độ lớ n của vectơ cảm ứng từ tại diện

tích đó. Như vậy, nơ i nào từ tr ườ ng mạnh, các đườ ng sức từ sẽ sít nhau; nơ i nào từ

tr ườ ng yếu, các đườ ng sức từ sẽ thưa và đối vớ i từ tr ườ ng đều thì các đườ ng sức từ

sẽ song song và cách đều nhau.

Tậ p hợ p các đườ ng cảm ứng từ gọi là phổ của t ừ tr ườ ng hay t ừ phổ . Hình

13.7 cho ta biết vài dạng từ phổ của dòng điện.

B→

h

II

a) Từ phổ của dòng

điện thẳng

b) Từ phổ của dòng điện trong

vòng dây tròn

Hình 13.7: Vài dạng từ

phổ

c) Từ phổ của dòng điện trong ống

dây dài (solenoid)

→

n B→

2 – Từ thông (hay thông lượ ng từ trườ ng):

dS

αTươ ng tự như khái niệm điện thông, từ

thông gửi qua diện tích vi cấ p dS là đại lượ ng:

dΦm= =BdSBd S

→ →

n=BdScosα (13.23)

Và từ thông gửi qua một mặt (S) bất kì là:

m m n

S S S

d BdS BdScosαΦ = Φ = =∫ ∫ ∫ (13.24)

Hình 13.8: T ừ thoâng WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Trong đó α là góc tạo bở i vectơ cảm ứng từ vớ i pháp vectơ đơ n vị của mặt (S)

tại điểm khảo sát. Qui ướ c chọn chiều của pháp vectơ đơ n vị như sau: nếu mặt

(S) là kín thì vectơ hướ ng từ trong ra ngoài; nếu (S) là mặt hở thì chọn tùy ý.

B→

n→

n

→

n

→

Tr ườ ng hợ p đặc biệt, mặt (S) là phẳng, đặt trong từ tr ườ ng đều thì từ thông

gờ i qua (S) là: m BScosΦ = α (13.25)

Từ thông là đại lượ ng vô hướ ng, có thể dươ ng, âm hoặc bằng không. Giá

tr ị tuyệt đối của từ thông cho biết số lượ ng đườ ng sức từ gở i qua mặt (S). Trong hệ

SI, đơ n vị đo từ thông là vêbe (Wb).

3 – Định lý O – G đối vớ i từ trườ ng:Ta đã biết r ằng, đối vớ i điện tr ườ ng, định lí O – G đượ c phát biểu “Điện

thông gở i qua mặt kín bất kì thì bằng tổng các điện tích chứa trong mặt kín đó chia

cho hằng số điện ε0”. Bằng cách suy luận tươ ng tự, đối vớ i từ tr ườ ng ta cũng có thể

phát biểu định lí O – G như sau: Từ thông gở i qua mặt kín bất kì thì bằng tổng các

từ tích chứa trong mặt kín đó chia cho hằng số từ µ0. Tuy nhiên, sự khác nhau căn

bản giữa điện tr ườ ng và từ tr ườ ng ở chỗ điện tr ườ ng (t ĩ nh) đượ c gây bở i các điện

tích đứng yên, cò từ tr ườ ng đượ c gây ra bở i các điện tích chuyển động. cho tớ i

ngày nay, ngườ i ta chưa hề tìm thấy các từ tích trong tự nhiên.Vì lí do đó định lí O – G đối vớ i từ tr ườ ng đượ c phát biểu như sau: “ T ừ

thông g ử i qua bấ t k ỳ mặt kín nào cũng bằ ng không”.

Biểu thức:

(S)

Bd S 0→ →

=∫ (13.26)

Hay ở dạng vi phân: div B 0→

= (13.27)

Các công thức (13.26) và (13.27) chứng tỏ đườ ng sức của từ tr ườ ng phải làđườ ng khép kín. Ta nói từ tr ườ ng là một tr ườ ng xoáy.

4 – Định lý Ampère về lư u thông của vectơ cườ ng độ từ trườ ng:

Xét một đườ ng cong kín (C) bất kì nằm trong từ tr ườ ng. Trên (C), ta lấy

một đoạn cung d MN= đủ nhỏ, tích phân đượ c gọi là lưu thông của

vectơ cườ ng độ từ tr ườ ng dọc theo đườ ng cong kín (C).

(C )

H d→ →

∫

Trong tr ườ ng hợ p đơ n giản, (C) bao quanh dòng điện I chạy trong dây dẫn

thẳng dài và giả sử (C) nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i dây dẫn (xem hình

(13.9). Ta có: H d Hd cos→

= α , vớ i α là góc giữa vàH

→

d→

Vì d MN= r ất nhỏ nên r = r’ ; cosα = HM’ = r’sin(dϕ) = rdϕ.d

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Mặt khác:0

B IH

2 r = =

µµ π

H→

r '

d

I

M

dϕ

M’

→

r

H

α

αSuy ra:

I I

H d .rd2 r 2

→ dϕ= ϕ =π π

Từ đó tính đượ c lưu thông của vectơ dọc

theo đườ ng cong (C) :

H→

2

(C) 0

IH d d I

2

π→

= ϕπ∫ ∫

=

H→

(13.28)

K ết quả (13.28) là ta đã lấy tích phân

theo chiều thuận vớ i chiều của vectơ . Trong

tr ườ ng hợ p tính tích phân theo chiều ngượ c lại thì góc α > 900 và

(C)

H d I→

= −∫

.

Hình 13.9: Lư u thông của

vect ơ cườ ng độ t ừ tr ườ ng

Nếu đườ ng cong kín (C) không bao quanh dòng điện I

(C )

H d 0→

=∫

.

Trong tr ườ ng hợ p đườ ng cong kín (C) bao quanh nhiều dòng điện thì từ

nguyên lí chồng chất suy ra, lưu thông của vectơ sẽ bằng tổng đại số các dòng

điện đó.

H→

Từ những điều phân tích ở trên, ta đi đến một định lí tổng quát về lưu

thông của vectơ cườ ng độ từ tr ườ ng – còn gọi là định lí Ampère hay định lí dòng

toàn phần. Nội dung định lí đượ c phát biểu như sau:

“Lư u thông của vect ơ cườ ng độ t ừ tr ườ ng d ọc theo một đườ ng cong kín(C) bấ t k ỳ bằ ng t ổ ng đại số các cườ ng độ của các dòng đ iện xuyên qua đ iện tích

giớ i hạn bở i đườ ng cong kín đ ó”.

H

→

n

k

k 1(C )

H d I→ →

=

=∑∫ (13.29)

Trong (13.29) ta qui ướ c như sau: Chiều lấy tích phân là chiều thuận đối vớ i dòng

điện Ik nếu xoay cái đinh ốc theo chiều này thì chiều tiến của cái đinh ốc là chiều

của dòng điện Ik . Khi đó dòng I

k sẽ mang dấu dươ ng. Trái lại nó mang dấu âm.

Ví dụ 13.4 : Ứ ng dụng định lí dòng toàn phần để tính cảm ứng trong lòng ống dây

hình xuyến (toroid).

Xét một ống dây hình xuyến, bán kính trong R 1, bán kính ngoài R 2, trên đó

quấn N vòng dây có dòng điện I chạy qua (xem hình 13.10). Để tính cảm ứng từ

trong lòng ống dây, ta xét một đườ ng cong kín (C) là đườ ng tròn tâm O, bán kính r

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




nằm trong ống dây (R 1 < r <R 2). Vì lý do đối xứng quanh tâm O của hình xuyến

nên cườ ng độ từ tr ườ ng tại mọi điểm trên đườ ng cong kín (C) đều có độ lớ n bằng

nhau và có phươ ng tiế p tuyến vớ i (C).

Do đó lưu thông của vectơ H

dọc theo đườ ng congkín (C), lấy theo chiều thuận của các dòng điện là:

R2

R1

O

(C)r

(C) (C) (C)

H d Hd H d H.2 r → →

= = =∫ ∫ ∫ π

I

Mặt khác, tổng dòng điện xuyên qua diện tích giớ i

hạn bở i đườ ng cong kín (C) là: N

k

k 1

I N=

=∑Hình 13.9: Ống dy

toroidMà theo định lý O – G :

N

k

k 1(C )

H d I→ →

=

= ∑∫

Nên ta có: H.2πr = NI

Vậy cườ ng độ từ tr ườ ng trong ống dây là : NI

H2 r

nI= =π

(13.30)

và cảm ứng từ trong ống dây là : B = µµ0H = µµ0nI (13.31)

Trong đó : N

n2 r

=π

chính là số vòng dây trên một đơ n vị chiều dài hay mật độ

vòng dây quấn trên ống dây.

Bằng cách chọn đườ ng cong kín (C) ở bên ngoài ống dây (r < R 1 hoặc r >

R 2) ta sẽ chứng minh đượ c H = 0.

K ết luận : bên ngoài ống dây toroid không có từ tr ườ ng. Nói cách khác, từ tr ườ ng

của dòng điện quấn trên ống dây hình xuyến bị « nhốt » ở bên trong lòng ống dây.

§ 13.4 TÁC DỤNG CỦA TỪ TR ƯỜ NG LÊN DÒNG ĐIỆN

1 – Lự c từ tác dụng lên dòng điện – công thúc Ampère:

Khi có dòng điện I đặt trong từ tr ườ ng thì lực do từ tr ườ ng tác dụng lên

một phần tử dòng điện đượ c xác định bở i biểu thức:Id→

d F Id B→ → →

= × (13.32)

Vectơ có:d F→

- Phươ ng: vuông góc vớ i mặt phẳng chứa hai vectơ và .Id→

B→

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




- Chiều: tuân theo qui tắc cái đinh ốc:

“Xoay cái đnh ốc quay từ vectơ đến

vectơ theo góc nhỏ nhất thì chiều tiến

của cái đinh ốc là choiều của vectơ d F .

Id→

B→

→ →

B

d F→

Id θ

Hình 13.10: Lự c t ừ tác d ụng lên yế u t ố

dòng

Id

- Độ lớ n: dF Id Bsin= θ (13.33)

vớ i θ là góc tạo bở i hai vectơ vàId→

B→

- Điểm đặt: Tại trung điểm của đoạn d .

Tích phân (13.32) trên toàn bộ dòng điện, ta

có lực từ tác dụng lên cả dòng điện I:

toan dd

F d→ →

= F∫ (13.33)

Dướ i đây khảo sát vài tr ườ ng hợ p đặc biệt của lực từ.

2 – Tác dụng của từ trườ ng đều lên một đoạn dòng điện thẳng:

Xét một đoạn dây dẫn thẳng, có chiều dài đặt trong từ tr ườ ng đều có

vectơ cảm ứng từ . Khi đó lực từ tác dụng lên đoạn dây có biểu thức :

B

→

(13.34)

doan day doan day

F d F (Id x B) I→ → → → → →

= = =∫ ∫ x B

Dễ dàng suy ra lực từ có phươ ng: vuông góc vớ i mặt phẳng ; có chiều:

theo qui tắc cái đinh ốc hoặc qui tắc bàn tay trái: “Đặt bàn tay trái sao cho các

đườ ng cảm ứng từ đâm xuyên vào lòng bàn tay, chiều từ cổ tay đến các ngón tay

chỉ chiều của dòng điện, ngón cái choãi ra 90

(I ,B)→ →

0

sẽ chỉ chiều của lực từ”; có điểm đặttại trung điểm của đọan dây ; và có độ lớ n đượ c tính bở i công thức:

F = BI sinθ (13.35)

Trong đó, θ là góc tạo bở i chiều của dòng điện và vectơ .B→

Tr ườ ng hợ p đặc biệt : nếu đoạn dây đặt vuông góc vớ i đườ ng sức từ

tr ườ ng thì lực từ tác dụng lên đoạn dây đạt giá tr ị lớ n nhất: F = BI (13.36)

Và nếu đoạn dây đặt song song vớ i các đườ ng cảm ứng từ thì lực từ bằng không.

3 – Tác dụng của từ trườ ng đều lên khung dây có dòng điện:

Xét dòng điện I chạy trong khung dây cứng, hình chữ nhật ABCD có độ

dài các cạnh là a và b đặt trong từ tr ườ ng đều có các đườ ng sức từ vuông gócB→

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




vớ i tr ục quay ∆ của khung dây. Gọi góc hợ p

bở i vectơ pháp tuyến của khung dây và

vectơ cảm ứng từ là α (hình 13.11). Ta

có:

n→

B→

I

α

A

C

B

D

∆

B→

m p→

a

b

2F→

1F→

Hì gnh 13.11: Lự c t ừ tác d ụn

lên khung dây

+

CD

B→

α

2F→

α

d

* Lực từ tác dụng lên mỗi cạnh AD và

BC có phươ ng song song vớ i tr ục quay ∆,

nhưng ngượ c chiều. Cặ p lực này sẽ tự cân

bằng lẫn nhau mà không tạo mômen làm

quay khung dây.

* Cặ p lực từ tác dụng lên cạnh AB và

CD ngượ c chiều nhau, có cùng độ lớ n:F = Biasin900 = BIa

sẽ tạo thành ngẫu lực làm quay khung dây.

Mômen của ngẫu lực là:

M = F.d = F.bsinα = BIabsinα

Mà Iab = IS = pm

Nên : M = pmBsinα. (13.37)

Trong đó S = ab là diện tích khung dây và

pm = IS là mômen từ của dòng điện trong

khung dây. Chiều của vectơ mômen lực

hướ ng vuông góc vớ i mặt phẳng chứa

vectơ và . Do đó ta có biểu thức

vectơ mômen lực từ :

B→

m p→

AB

m p→

1F→

(13.38)mM p x B

→ → →

= Ngẫu lực sẽ làm quay khung về vị trí sao

cho vectơ mômen ngẫu lực bằng không,

khi đó định hướ ng song song vớ i , tức là góc α = 0 hoặc α = 180m p

→

B→

o. Khi α =

0 thì khung dây ở vị trí cân bằng bền; α = 180o thì khung dây ở vị trí cân bằng

không bền. Muốn cho khung dây quay liên tục, ta phải đổi chiều của dòng điện

hoặc đổi chiều của mỗi khi mômen quay triệt tiêu. Đó chính là nguyên tắc để

chế tạo ra các động cơ điện.

B→

Hình 13.12: Mômen lự c t ừ

4 – Tác dụng tươ ng hỗ của hai dòng điện thẳng song song dài vô hạn:

Xét hai dây dẫn thẳng song song dài vô hạn, đặt cách nhau một khoảng d,

có hai dòng điện cườ ng độ I1 và I2 cùng chiều chạy qua. Dòng điện I1 gây ra xung

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




quanh nó từ tr ườ ng và dòng điện I1B→

2 đặt

trong từ tr ườ ng nên chịu tác dụng của lực

từ . Tươ ng tự, dòng điện I

1B→

12F→

2 cũng gây ra

xung quanh nó từ tr ườ ng và dòng điện I2B→

1

đặt trong từ tr ườ ng nên chịu tác dụng của

lực từ . Hình 13.13 cho thấy hai lực

và ngượ c hướ ng. K ết quả hai dòng điện

I

2B→

21F→

12F→

21F→

1, I2 hút nhau.

21F→

12F→

I2I1

+ 1B→

2B→

Hình 13.13: Hai dòng

đ iện song song cùng

chiề u thì hút nhauLậ p luận tươ ng tự ta cũng rút ra k ết

luận: hai dòng điện song song ngượ c chiều thì

đẩy nhau (hình 13.14).

Độ lớ n của lực tươ ng tác trên một đoạn có

chiều dài là:

0 1 212 1 2 21

I IF F B I F

2 d

µµ= = = =

π

(13.39)

Vậy lực tươ ng tác trên mỗi đơ n vị chiều dài là:

0 1 2I IFf

2 d

µµ= =

π (13.40)

I1

++

12F→

1B

→2B→

21F→

I2

Hình 13.14: Hai dòng

đ iện song song ng ượ cchiề u thì đẩ y nhau

5 – Công của lự c từ :

Xét mạch điện có cườ ng độ I không đổi,

đặt trong từ tr ườ ng đều có các đườ ng sức từ vuông góc vớ i mặt phẳng mạch điện như hình

(13.15). Đoạn thẳng MN = có thể tr ượ t tịnh tiến

trên hai thanh ray cố định. Lực từ tác dụng lên

đoạn MN có độ lớ n là F = BI và có chiều như

hình vẽ. Công của lực từ sinh ra trong quá trình

đoạn MN dịch chuyển một quãng nhỏ dx là:

B

→

F

Q

PN

M dx

B

I

(1) (2)

Hình 13.15: Công của

l ự a t ừ dA = F.dx = BI .dx = BI.dS = I.dΦm (13.41)

Nếu MN dịch chuyển từ vị trí (1) đến vị trí (2) thìcông của lực từ là:

(13.42)∫ ∫ ∆Φ=Φ==2

1

2

1

12 mm IddAAWW

D YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Trong đó ∆Φm là độ biến thiên của từ thông qua mạch, chính là từ thông gửi qua

diện tích quét bở i đoạn MN trong quá trình dịch chuyển.

Công thức (13.42) đúng trong cả tr ườ ng hợ p một mạch kín bất k ỳ chuyển

động trong từ tr ườ ng không đều.Vậy công của l ự c t ừ trong sự d ịch chuyể n một mạch đ iện bấ t kì trong t ừ

tr ườ ng bằ ng tích số giữ a cườ ng độ dòng đ iện trong mạch vớ i độ biế n thiên của t ừ thông qua diện tích của mạch kín đ ó.

Hệ quả: Một mạch kín tịnh tiến trong từ tr ườ ng đều thì công của lực từ bằng

không.

§ 13.5 CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG TỪ TR ƯỜ NG

1 – Tác dụng của từ trườ ng lên điện tích chuyển động - lự c Lorentz:

Giả sử hạt mang điện tích q chuyển động trong từ tr ườ ng vớ i vận tốc

. Trong thờ i gian dt, nó dịch chuyển đượ c một đoạn d v . Nhân hai vế của

phươ ng trình này vớ i q r ồi chia cho dt, ta có:

B→

v→

d→ →

= t

qd q

dt

→ →

= v

x B→

]

. Mà q/dt chính là

cườ ng độ dòng điện I.

Vậy : (13.43)Id q v→ →

=

Nói các khác, một hạt điện tích

chuyển động thì tươ ng đươ ng

vớ i một phần tử dòng điện.

Ta đã biết r ằng, phần

tử dòng điện đặt trong từ

tr ườ ng sẽ bị từ tr ườ ng tác

dụng lực là .

Vậy điện tích q chuyển động

trong từ tr ườ ng cũng bị lực từ

tác dụng một lực là: (13.44)

Id

→

B→

d F Id→ →

=

LF q v x B q[v, B→ → → → →

= =

q+

a)

B→

LF→

v→

q –

B→

LF→

θ θ v→

b)

Hình 13.16: Lự c Lorentz tác d ụng lên:

a) đ iện tích d ươ ng

b) đ iện tích âm

Lực từ trong tr ườ ng hợ p này đượ c gọi là lực Lorentz. Lực Lorentz có:

- Phươ ng: vuông góc vớ i và ;v→

B→

- Chiều: sao cho ba vectơ q , và theo thứ tự đó lậ p thành một tam

diện thuận (xem hình 13.16). Trong thực hành, ngườ i ta thườ ng dùng qui

tắc bàn tay trái để xác định chiều của lực Lorentz tác dụng lên điện tích

v→

B→

LF→WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




dươ ng và qui tắc bàn tay phải đối vớ i điện tích âm: “ Đặt bàn tay trái (hoặc

phải) sao cho các đườ ng cảm ứ ng t ừ xuyên qua lòng bàn tay, chiề u đ i t ừ

cổ tay đế n bố n ngón tay là chiề u , thì ngón cái choãi ra 90v→

o sẽ chỉ chiề u

của l ự c Lorentz”.

- Độ lớ n: FL = |q|Bvsinθ (13.45)

vớ i θ là góc giữa và . v→

B→

- Điểm đặt: tại điện tích q.

Từ (13.45) suy ra, khi hạt mang điện chuyển động vuông góc vớ i các đườ ng

sức từ thì lực Lorentz có giá tr ị lớ n nhất: FL = |q|Bv (13.46)

Và khi hạt mang điện chuyển động song song vớ i các đườ ng sức từ thì lựcLorentz bằng không.

Lực Lorentz luôn vuông góc vớ i vectơ vận tốc của hạt điện tích, ngh ĩ a là

vuông góc vớ i đườ ng đi nên không sinh công. Vì thế động năng của hạt không

đổi. Như vậy, tác dụng của lượ c Lorentz chỉ làm cho vectơ vận tốc của hạt điện

tích thay đổi về phươ ng mà không thay đổi về độ lớ n.

2 – Chuyển động của hạt điện tích trong từ trườ ng đều:

a) Tr ườ ng hợ p 1: Vectơ vận tốc ban đầu của hạt điện tích vuông góc vớ i đườ ngsức từ tr ườ ng.

Lực Lorentz trong tr ườ ng hợ p này là FL = |q|Bv = const. Vì thế qu ĩ đạo

của hạt phải là đườ ng tròn và đóng vai trò là lực hướ ng tâm. Ta có:LF→

FL = ma n

2v m| q | Bv m r

r | q⇔ = ⇒ =

v

| B (13.47)

Vậy hạt điện tích sẽ chuyển động tròn đều trong từ tr ườ ng vớ i vận tốc bằng vận tốc ban đầu khi đượ c bắn

vào từ tr ườ ng. Bán kính qu ĩ đạo tròn đượ c xác định bở i(13.47). Chu kì quay của hạt là:

2 r 2 mT

v | q | B

π π= = (13.48)

B

q +

r2

r

2v1v

Ta thấy r ằng, chu k ỳ T không phụ thuộc vào vận tốc

chuyển động của hạt. Suy ra, nếu bắn cùng một loại hạt

điện tích (q và m như nhau) vớ i các vận tốc khác nhauvào từ tr ườ ng đều theo phươ ng vuông góc vớ i đườ ng

cảm ứng từ thì chúng chuyển động đều theo hai quỹ đạo

tròn có bán kính tỷ lệ vớ i vận tốc của chúng vớ i cùng chu

k ỳ (hình 13.18).

Hình 13.18: Bán kính quĩ đạo

t ỉ l ệ vớ i vận t ố ccủa hạt WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




b) Tr ườ ng hợ p 2: Vectơ vận tốc ban đầu của hạt điện tích không vuông góc vớ iđườ ng sức từ tr ườ ng.

r

B→

//v

v

⊥v

h

Ta phân tích vectơ thành hai

thành phần: thành phần song song vớ i đườ ngsức từ tr ườ ng và thành phần vuông góc vớ i

đườ ng sức từ tr ườ ng:

→

v

//v v v→ → →

⊥= +

Ta có: v⊥ = vsinθ và v// = vcosθ.

Thành phần // v

không bị ảnh hưở ng bở i lực

Lorentz (vì v //

song song B

) nên v// = const.

Còn thành phần chịu tác dụng của lực

Lorentz làm nó chuyền động tròn đều.

→⊥v

Hình 13.19: Điện tích chuyể nđộng theo đườ ng xoắ n lò xo

trong t ừ tr ườ ng đề u

K ết quả: quỹ đạo của hạt là một đườ ng xoắ n lò xo nằ m trên mặt tr ụ có tr ục song

song vớ i . Bán kính vòng xoắn:B→ mv mvsin

r | q | B | q | B

⊥ θ= = (13.49)

Bướ c xoắn: //

2 mv cosh v .T

| q | B

π θ= = (13.50)

3 – Chuyển động của hạt điện tích trong từ trườ ng không đều – bẫy từ :

Giả sử hạt điện tích chuyển động trong từ tr ườ ng không đều, có các đườ ng

sức từ mô tả như hình 13.20. Giả sử hạt r ơ i vào từ tr ườ ng tại điểm O có cảm ứng từ

B0 vớ i vận tốc ban đầu . Tại mỗi điểm trên qu ĩ đạo của hạt, ta luôn phân tích0v→

0v→

⊥

0//v→

0v→

y

zO h

Hình 13.20: Hạt điện tích chuyển động trong bẫy từ

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




vectơ vận tốc của hạt thành hai thành phần: . Thành phần//v v v→ → →

⊥= + v→

⊥ vuông

góc vớ i đườ ng sức từ tr ườ ng, thành phần song song vớ i đườ ng sức từ tr ườ ng.

Tươ ng tự như k ết quả trên, qũi đạo của hạt sẽ là đườ ng xoắn ốc (cycloid). Bán kính

vòng xoắn tại thờ i điểm t là:

//v→

c

mvr

|q |B(z)

⊥=

Mặt khác, theo định luật bảo toàn mômen động lượ ng, ta có: cmv r const⊥ =

Hay

22 2 2 2

0

0

vm v v vconst const

| q | B(z) B(z) B(z) B

⊥⊥ ⊥ ⊥= ⇒ = ⇒ =

Suy ra:

1/ 2

0

0

B(z)v v

B⊥ ⊥

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (13.51)

Vì lực Lorentz không làm thay đổi độ lớ n của vectơ vận tốc, nên ta có:

2 2 2

// 0v v v v⊥2= + = (13.52)

Gọi θ và θ0 là góc tạo bở i các vectơ vận tốc và vớ i vectơ cảm ứng từ thì:v→

0v→

(13.53)// 0 // 0 0 0 0 0

v vcos ; v vsin ; v v cos ; v v sin⊥ ⊥= θ = θ = θ = θ

K ết hợ p (13.51), (13.52) và (13.53) ta có:

1/ 2

2

// 0 0

0

B(z)v v 1 sin

B

⎛ ⎞= − θ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (13.54)

Từ (13.54) suy ra r ằng, hạt điện tích không thể xuyên qua miền có B(z) lớ n tùy ý,

nếu hướ ng chuyển động của nó không hoàn toàn song song vớ i đườ ng sức từ. Nó

sẽ bị phản xạ ngượ c tr ở lại tại điểm giớ i hạn có tọa độ z h có cảm ứng từ B(z) = Bh

thỏa điều kiện: 0h 2

0

BB

sin=

θ (13.55)

Như vậy, nếu từ tr ườ ng không đều, có dạng đối xứng qua mặt phẳng z = 0

như hình (13.20) thì bất kì hạt điện tích nào r ơ i vào từ tr ườ ng này đều có thể bị bắt

bẫy, nó chuyện động xoắn ốc qua lại giữa hai mặt phẳng z = h và z = – h. Ta nói

hạt điện tích bị r ơ i vào bẫ y t ừ . Từ (13.55) suy ra, hạt nào chuyển động theo hướ ng

có góc θ0 lớ n thì càng dễ mắc bẫy.

Các electron, proton, ion sinh ra trong khí quyển cũng bị từ tr ườ ng của TráiĐất bắt bẫy như thế. K ết quả chúng chuyển động qua lại giữa địa cực Bắc và Nam

trong vài giây, làm ion hóa chất khí, kèm theo sự phát sáng. Do đó tên bầu tr ờ i Cực

Bắc và Cực Nam của Trái Đất thườ ng có các vòng cực quang r ất sáng vào ban

đêm. WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




4 – Hiệu ứ ng Hall:

Cho dòng điện có dòng điện mật độ j

chạy qua một vật dẫn kim loại có

dạng hình hộ p chữ nhật, bề dày d. Khi chưa có từ tr ườ ng ngoài (hình 13.21a), thìcác mặt trên và dướ i có cùng điện thế. Khi khối vật dẫn trên đặt trong từ tr ườ ng

ngoài có vectơ cảm ứng từ hướ ng nằm ngang và vuông góc vớ i vectơ mật độ

dòng thì giữa hai mặt trên và dướ i của vật dẫn xuất hiện một hiệu điện thế U

B→

j→

H.

Hiện tượ ng này đượ c E.H.Hall, nhà vật lý ngườ i Mỹ phát hiện năm 1879 nên đượ cgọi là hiệu ứng Hall; giá tr ị hiệu điện thế UH gọi là hiệu đ iện thế Hall .

Thực nghiệm chứng tỏ UH tỉ lệ vớ i mật độ dòng điện j, vớ i cảm ứng từ B

và khoảng cách d giữa hai mặt trên – dướ i: UH = RdjB, trong đó R là hệ số tỉ lệ.

Nguyên nhân gây ra hiệu ứng Hall là do lực Lorentz FL = qvB tác dụng lên

các electron đang chuyển động có hướ ng tạo thành dòng điện, làm cho các electron

này có chuyển động phụ đi lên (hình 13.21b). K ết quả mặt trên dư electron nên tích

điện âm, mặt dướ i thiếu electron nên tích điện dươ ng và giữa hai mặt hình thành

hiệu điện thế UH.

Khi xuất hiện các điện tích trái

dấu ở hai mặt trên và dướ i thì đồng thờ i

hình thành điện tr ườ ng hướ ng từ mặt

(+) sang mặt (-). Điện tr ườ ng này tạo ra

lực điện tr ườ ng

E→

dF q E→ →

= − cản tr ở

chuyển động phụ của các electron,

ngh ĩ a là lực điện tr ườ ng ngượ c chiều

vớ i lực Loretz. Khi tr ạng thái cân bằng

đượ c thiết lậ p thì qE = qvB.

v

d j

-a)

+ + + ++ + + +

→

vd E

j

____ _ _LF

_

–

_b)

B→Do đó hiệu điện thế Hall có giá tr ị là:

UH = Ed = vdB. Mà: j = noqv

Vậy: H

o

djBU R

n q= = djB (13.56)

Hình 13.21: Hiệu ứ ng Hall

a) Chư a có t ừ tr ườ ng

b) Có t ừ tr ườ ngVớ i:o

1R

n q= (13.57)

là hằng số Hall, phụ thuộc vào mật độ hạt mang điện tự do no trong vật dẫn.

Hiệu ứng Hall không chỉ xảy ra đối vớ i kim loại mà còn đối vớ i cả chất

bán dẫn. Nó đượ c ứng dụng phổ biến trong các l ĩ nh vực vật lý chấ t r ắ n, vật lý bán

d ẫ n và vật liệu đ iện.WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠ NG 13

13.1 Bốn dòng điện thẳng, dài, song song, cườ ng độ bằng nhau I = 20A, đặt tại 4

đỉnh của hình vuông ABCD, cạnh a = 20cm, và vuông góc vớ i mặt phẳng (ABCD).

Xác định cảm ứng từ tại tâm hình vuông trong tr ườ ng hợ p:

a. Cả 4 dòng điện cùng chiều.

b. Một dòng điện có chiều ngượ c vớ i 3 dòng kia.

13.2 Hai dòng điện thẳng, dài, song song, cách nhau

một khoảng d, cườ ng độ I1=2I2. Trên đườ ng thẳng nối

chúng, vuông góc vớ i chúng, từ tr ườ ng triệt tiêu tại

đâu? Xét khi chúng cùng chiều và ngượ c chiều nhau.

13.3 Đoạn dây thẳng AB có dòng điện I = 20A chạyqua. Xác định cườ ng độ từ tr ườ ng tại điểm M nằm

trên đườ ng trung tr ực của AB, cách dòng điện 5cm và

nhìn AB dướ i góc 60o.

13.4 Hai vòng dây dẫn tròn, bằng nhau, bán kính

10cm đặt song song, tr ục trùng nhau, khoảng cách hai

tâm là 20cm, có dòng điện cùng cườ ng độ 3A chạy

qua. Hãy xác định cảm ứng từ tại tâm của mỗi vòng dây và tại trung điểm đườ ng

nối tâm, biết:

I

θ2

R OM

hθ1

N

I

Hình 13.22

a. Hai dòng điện cùng chiều nhau.

b. Hai dòng điện ngượ c chiều nhau.

13.5 Dòng điện gồm 3/4 cung tròn bán kính R =

10cm và một đoạn thẳng MN, có dòng điện I = 10A

chạy qua như hình 13.22. Xác định cảm ứng từ tại

tâm O.

13.6 Dòng điện cườ ng độ I = 10A chạy dọc theo

thành của một ống thẳng, mỏng, hình tr ụ tròn bánkính R 2 = 5cm, sau đó chạy ngượ c lại dọc theo dây

dẫn đặc, hình tr ụ tròn, bán kính R 1 = 1mm đặt trùng

vớ i tr ục của ống (hình 13.23). Coi ống dài vô hạn và bỏ qua từ tr ườ ng trong lòng

kim loại. Xác định cườ ng độ từ tr ườ ng tại:

N

B

Ingoài

Itrong

M

Hình 13.23

a. điểm N cách tr ục O một khoảng r N = 6cm.

B

I

L

O

y b. điểm M cách tr ục O một khoảng r M = 2cm.

13.7 Ba vectơ trong biểu thức )Bv(qFL

×= thì cặ p vectơ nào luôn vuông góc vớ i nhau,

cặ p nào có thể lậ p vớ i nhau một góc tùy ý?

x13.8 Ngườ i ta đặt trong từ tr ườ ng đều có B =

0,1T một đoạn dây dẫn thẳng, dài L = 70cm,

có dòng điện I = 70A chạy qua sao cho dâyHình 13.24

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




hợ p vớ i đườ ng cảm ứng từ góc α = 30o. Hãy xác định lực từ tác dụng lên đoạn

dòng điện đó.

13.9 Trong mặt phẳng vuông góc vớ i các đườ ng cảm ứng từ của tr ườ ng đều B =

0,1T có đặt một sợ i dây dẫn dài L = 63cm có dạng nửa vòng tròn, dòng điện I =20A chạy qua (hình 13.24). Xác định lực từ tác dụng lên dây, coi dây cứng và

không biến dạng.

13.10 Cạnh dòng điện Io thẳng, r ất dài, có khung dây ABCD phẳng, vuông, dòngđiện I << Io. Khung có thể quay quanh tr ục song

song vớ i Io. Khi khung dây cân bằng thì nó nằm

cùng một mặt phẳng vớ i Io. Khoảng cách từ cạnh

khung dây đến dòng Io là a và 2a (hình 13.25).2a

x

D C

A B

a

Hình 13.25

Io

a. Phải cho dòng điện I chạy trong khung cóchiều thế nào để khung cân bằng bền?

b. Tính từ thông do từ tr ườ ng của Io gửi qua

khung.

c. Tính lực do từ tr ườ ng của Io tác dụng lên

khung dây.

13.11 Quỹ đạo của chùm electron chuyển động trong từ tr ườ ng đều H =

5,56.103A/m là một đườ ng tròn bán kính R = 3cm. Hãy xác định các yếu tố sau đây

đối vớ i mỗi electron: Vận tốc dài v; Động năng Wđ; Chu k ỳ quay T; Mômen xunglượ ng L.

13.12 Một electron chuyển động trong từ tr ườ ng đều B = 2.10-3T theo đườ ng xoắn

ốc hình tr ụ tròn bán kính R = 2cm và bướ c ốc h = 5cm. hãy xác định phươ ng chiều

độ lớ n của vận tốc ban đầu vo của electron đó (khi nó bắt đầu bay vào từ tr ườ ng)?

13.13 Không gian có từ tr ườ ng đều B = 5.10-4T vuông góc vớ i điện tr ườ ng đều E =

103V/m. Bắn một chùm electron bay vào đó vớ i vận tốc v

theo phươ ng vuông góc

vớ i mặt phẳng chứa B

và E

.

a. Vẽ hình mô tả điện-từ tr ườ ng đó và phươ ng vectơ v

.

b. Phải bắn vớ i vận tốc v

theo chiều nào, độ lớ n bao nhiêu để cho chùm electron đi

thẳng (quỹ đạo không lệch)?

c. Tính bán kính R khi tắt điện tr ườ ng (chỉ còn từ tr ườ ng).

13.14 Vòng dây tròn bán kính r = 2cm có dòng điện I = 2A đượ c treo trong từ

tr ườ ng đều B = 0,2T sao cho mặt phẳng vòng

dây vuông góc vớ i các đườ ng sức từ tr ườ ng.

Hãy tính:

dB

a. Từ thông gửi qua vòng dây. →

j a b. Công cần thiết để xoay vòng dây đi một

góc 90o quanh tr ục đi qua một đườ ng kính.Hình 13.26

13.15 Lá kim loại mỏng, bề dày a = 10µm,

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




r ộng d = 1,0cm, đặt trong từ tr ườ ng đều B = 1,5T vuông góc vớ i mặt phẳng của nó.

Khi cho dòng điện I = 3,0A chạy theo chiều dài của lá kim loại thì đo đượ c hiệu

điện thế Hall là U = 10µV (hình 13.26).

a.

Phân tích quá trình hình thành và ổn định U. b. Tính vận tốc chuyển động định hướ ng và mật độ electron tự do của kim

loại đó.

13.16 Có một thanh nam châm và một thanh thép giống hệt nhau, sơ n đen k ịt, đặt

trên bàn. Làm thế nào phân biệt chúng? Điều kiện: không đượ c sử dụng bất k ỳ vật

nào khác.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chươ ng 14: CẢM Ứ NG ĐIỆ N TỪ 291

Chươ ng 14

CẢM Ứ NG ĐIỆN TỪ

§ 14.1 CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN VỀ CẢM Ứ NG ĐIỆN TỪ

1 – Hiện tượ ng cảm ứ ng điện từ :

Ta đã biết dòng đ iện sinh ra t ừ tr ườ ng . Ngượ c lại, t ừ tr ườ ng có sinh ra

dòng đ iện không ? Bằng các thí nghiệm của mình, Nhà Bác học Faraday đã phát

hiện ra r ằng: mỗ i khi t ừ thông qua mạch kín biế n thiên thì trong mạch xuấ t hiện

dòng đ iện. Dòng điện đó đượ c gọi là dòng đ iện cảm ứ ng và hiện tượ ng phát sinh ra

dòng điện cảm ứng gọi là hiện t ượ ng cảm ứ ng đ iện – t ừ .

2 – Định luật Lenz:

Dòng đ iện cảm ứ ng có chiề u sao cho t ừ tr ườ ng mà nó sinh ra chố ng l ại sự biế n thiên của t ừ thông sinh ra nó.

Định luật Lenz cho phép xác định chiều của

dòng điện cảm ứng xuất hiện trong mạch kín bất kì khitừ thông qua mạch đó biến thiên.

Ví dụ để xác định chiều của dòng điện cảm

ứng xuất hiện trong vòng dây ở hình 14.1, ta phân tích

như sau: Do nam châm đi xuống nên từ thông qua

vòng dây tăng lên, làm xuất hiện dòng điện cảm ứng

IC. Từ tr ườ ng do dòng ICB→

C gây ra phải chống lại sự

tăng của từ thông. Muốn vậy phải ngượ c chiều vớ i . Suy ra hướ ng lên.Dùng qui tắc cái đinh ốc suy ra dòng I

→

CB

→

B

→

CBC ngượ c chiều kim đồng hồ.

N

S→

v

→

B

CB→

IC

Hình 14.1: chiề u của

dòng đ iện cảm ứ ng

Nếu nam châm chuyển động ra xa vòng dây thì từ thông giảm, khi đó cùng

chiều , k ết quả dòng I

→

CB

→

B C cùng chiều kim đồng hồ.

Vậy: Nếu tăng thì ; NếumΦ →→

↑↓ BBC mΦ giảm thì→→

↑↑ BBC

3 – Định luật Faraday về suất điện động cảm ứ ng:

Sự xuất hiện dòng điện cảm ứng trong mạch kín, chứng tỏ trong mạch phải

tồn tại một suất điện động ξC gọi là suấ t đ iện động cảm ứ ng . Bằng cách phân tích

các k ết quả thực nghiệm của mình, Faraday đã tìm đượ c biểu thức của suất điện

động cảm ứng:

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




dt

d mC

Φ−=ξ (14.1)

Suấ t đ iện động cảm ứ ng bằ ng về tr ị số và trái d ấ u vớ i t ố c độ biế n thiên của t ừ

thông qua mạch. Nếu mạch kín, dòng điện cảm ứng trong mạch sẽ có cườ ng độ:

CC

tm

IR

ξ= (14.2)

vớ i R tm là điện tr ở của toàn mạch.

Nếu mạch hở , thì không có dòng IC nhưng hai đầu mạch có hiệu điện thế U = .Cξ

Ta biết r ằng, từ thôngm

d BdScosΦ = α . K ết hợ p vớ i (14.1) và (14.2) suy

ra, để xuất hiện dòng điện cảm ứng trong một mạch điện kín thì hoặc mạch kín đó

đứng yên trong từ tr ườ ng biến thiên; hoặc mạch kín chuyển động trong từ tr ườ ng.

Dướ i đây ta khảo sát vài tr ườ ng hợ p đặc biệt về suất điện động cảm ứng:

a) Tr ườ ng hợ p khung dây quay đều trong t ừ tr ườ ng:

Quay đều khung dây vớ i vận tốc góc ω trong từ tr ườ ng đều có cảm ứng từ

vuông góc vớ i tr ục quay xx’ của khung dây. Từ thông qua khung dây là:→

B

Φ = NBScosα = NBScos(ωt + ϕ) (14.3)x’

x

→

n

α

ωVớ i N là số vòng dây, S là diện tích khung

dây và ϕ là góc giữa và pháp tuyến của

khung dây ở thờ i điểm t = 0. Theo (14.1), suất

điện động cảm ứng xuất hiện trong khung dây

là:

→

B→

n

d NBS sin( t )

dt

Φξ = − = ω ω + ϕ

→

B

Hay: ξ = ξosin(ωt + ϕ) (14.4)

trong đó: ξo = NBSω (14.5)

là suất điện động cực đại. Biểu thức (14.4)

chứng tỏ suất điện động trong khung biến

thiên điều hòa. Dựa vào nguyên tắc này, ngườ i ta chế tạo ra các máy phát điện

xoay chiều.

Hình 14.2: S đđ cảm ứ ng xuấ thiện trong khung dây

b) Tr ườ ng hợ p đ oạn dây chuyể n động trong t ừ tr ườ ng đều:

Xétđ

oạn dây MN =

chuy

ểnđộ

ngđề

u vớ

i vận t

ốc trong t

ừ tr ườ

ngđề

unhư hình 14.3. Trong thờ i gian dt, diện tích mạch do MN quét đượ c là

dS = vdt và do đó, độ biến thiên của từ thông qua mạch là:

→

v→

B

dΦ = BdScosα = Bv sinθdt

vớ i α là góc giữa pháp tuyến của dS vớ i ; còn θ là góc giữa và .→

B→

v→

B

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Suy ra suất điện động xuất hiện trong mạch có độ lớ n là:

θ=Φ

=ξ sinBvdt

d mC (14.6)

+

-→

v

N

M) α

α

→

B→

n Nếu mạch hở thì hai đầu đoạn MN có hiệuđiện thế: U = Bv sinθ (14.7)

Dùng qui tắc bàn tay trái, ta xác định đượ ccác điện tích (+) bị lực Lorentz kéo về đầu

M.

Vậy, một đọan dây dẫn thẳng chuyển động

cắt các đườ ng sức từ thì tươ ng đươ ng như

một nguồn điện có suất điện động tính theo

(14.6). Nếu đoạn dây chuyển động vuônggóc vớ i đườ ng cảm ứng từ thì :

Hình 14.3: Đoạn dây

chuyể nđộ

ng trong t ừ

tr ườ

ng

Cξ = Bv (14.8)

4 – Dòng điện Foucault:

Khi đặt một khối vật dẫn trong từ tr ườ ng biến thiên thì trong lòng vật dẫn

xuất hiện các dòng điện cảm ứng khép kín gọi là dòng điện xoáy hay dòng điện

Foucault (hình 14.4). Vì khối vật dẫn có điện tr ở nhỏ nên cườ ng độ của các dòng

Foucault CFI

R ξ= là r ất lớ n, nhất là khi từ tr ườ ng biến thiên nhanh.

Dòng Foucault có thể làm vật dẫn nóng lên r ất nhanh. Trong công nghiệ pluyện kim, ngườ i ta ứng dụng hiện tượ ng này để nấu chảy kim loại.

~

Hình 14.5: Cách làm giảm

dòng điện Foucault

B→

IF

B→

~

Hình 14.4: Dòng điện FoucaultWW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




Ngượ c lại, muốn hạn chế dòng Foucault, cần làm cho điện tr ở vật dẫn tăng

lên. Vì thế các lõi thép của máy biến thế, động cơ điện, … phải đượ c làm bằng các

lá thép mỏng ghép cách điện vớ i nhau (hình 14.5).

Khi vật dẫn chuyển động trong từ tr ườ ng cũng xuất hiện dòng Foucault.

Dòng Foucault vừa sinh ra lậ p tực bị lực từ tác dụng, làm cản tr ở chuyển động củavật. Hiện tượ ng này đượ c ứng dụng để hãm các dao động trong các dụng cụ đo

điện.

§ 14.2 HIỆN TƯỢ NG TỰ CẢM VÀ HỖ CẢM

1 – Hiện tượ ng tự cảm:

Ta biết r ằng xung quanh dòng điện có từ tr ườ ng. Vậy khi dòng điện chạy

trong một mạch kín thì có từ thông do chính dòng điện này gở i qua mạch kín đó. Nếu cườ ng độ dòng điện trong mạch biến thiên thì từ thông qua mạch cũng biến

thiên và trong mạch sẽ xuất hiện suất điện động cảm ứng. Ta gọi đó là hiện tượ ng

tự cảm.

Vậy hiện t ượ ng t ự cảm là hiện t ượ ng xuấ t hiện suấ t đ iện động cảm ứ ng

trong một mạch đ iện kín khi dòng đ iện trong mạch biế n thiên.

Suất điện động cảm ứng trong tr ườ ng hợ p này đượ c gọi là suấ t đ iện động

t ự cảm. Hiện tượ ng tự cảm chính là một tr ườ ng hợ p riêng của hiện tượ ng cảm ứng

điện từ, do đó nó tuân theo các định luật tổng quát về cảm ứng điện từ.Vì mạch kín nên trong mạch xuất hiện dòng điện cảm ứng, gọi là dòng

điện tự cảm. Chiều của dòng điện tự cảm tuân theo định luật Lentz, ngh ĩ a là nó

luôn có xu hướ ng làm cho dòng điện trong mạch đạt tr ạng thái ổn định.

Suất điện động tự cảm đượ c tính bở i công thức (14.1): mtc

d

dt

Φξ = −

Mà từ thông tỉ lệ vớ i cảm ứng từ B; cảm ứng từ B lại tỉ lệ vớ i cườ ng độ dòng

điện trong mạch (nếu mạch điện đặt trong môi tr ườ ng không sắt từ). Do đó ta có:

mdΦ

m

LIΦ = (14.9)

Trong đó hệ số tỉ lệ L đượ c gọi là hệ số t ự cảm hay độ t ự cảm của mạch điện.

Từ đó ta có suất điện động tự cảm: tc

dIL

dtξ = − (14.10)

Công thức (14.10) chỉ đúng trong tr ườ ng hợ p mạch điện đặt trong môi tr ườ ng

không có tính sắt từ (trong môi tr ườ ng sắt từ, L là hàm số theo I).

Công thức (14.9) cho phép ta tính độ tự cảm của một mạch điện bất kì khi

mạch đó đặt trong môi tr ườ ng không sắt từ. Từ (14.10) suy ra, nếu L càng lớ n thì

càng lớ n và mạch có khả năng chống lại sự biến thiên của dòng điện trong

mạch càng nhiều, hay nói cách khác, “quán tính” của mạch càng lớ n.

tcξ

Vậy: Độ t ự cảm của một mạch đ iện là đại l ượ ng đặc tr ư ng cho mứ c quán tính của

mạch đố i vớ i sự biế n đổ i của dòng đ iện, có tr ị số bằ ng t ừ thông do chính dòng đ iện

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




trong mạch g ở i qua diện tích của mạch khi dòng đ iện trong mạch có cườ ng độ

bằ ng một đơ n vị. Trong hệ SI, đơ n vị đo độ tự ảm là henry (H). Ta có 1H = 1Wb/A.

Hệ số tự cảm của một mạch điện phụ thuộc vào hình dạng, kích thướ c của

bản thân mạch điện đó và phụ thuộc vào môi tr ườ ng đặt mạch điện. Đối vớ i ống

dây thẳng dài, từ tr ườ ng trong ống dây là đều và có cảm ứng từ o

B nI= µµ . Nếu

gọi S là diện tích một vòng dây thì từ thông gở i qua cả ống dây là :

2

m o o o

N N NBS N nIS N IS ISΦ = = µµ = µµ = µµ

.

Vậy độ tự cảm của ống dây là:

S N

IL

2

om µµ=

Φ= (14.11)

trong đó là chiều dài ốngdây, N là số vòng quấn trên

ống dây và µ là hệ số từ thẩm

của môi tr ườ ng trong lòng

ống dây (µ = const).

I

Itc

(C)

S

S

(C)B→

B→

Itc

I

2 – Hiệu ứ ng bề mặt:

Hiện tượ ng tự cảm

không những xảy ra trong

một mạch điện mà còn xảy ra

ngay trong lòng một dây dẫn

có dòng điện biến đổi chạyqua. K ết quả, đối vớ i dòng

điện cao tần chạy trong dây

dẫn thì mật độ dòng điện ở bề

mặt ngoài dây dẫn là r ất lớ n,

còn trong lõi dây dẫn mật độ

dòng là r ất nhỏ. Hiệu ứng này

đượ c gọi là hiệu ứng bề mặt.

a b

j

c)

tT/4

T/2

j khi không

có hiệu ứng

bề mặt

j trong lõi

j mặt ngoài

Để chứng tỏ điều này,

ta xét dòng điện cao tần I

chạy trong một dây dẫn hình

tr ụ. Giả sử dòng điện đang có

chiều từ dướ i lên trên như

hình (14.6). Dòng điện này

sinh ra trong lòng dây dẫn

một từ tr ườ ng mà các đườ ng

cảm ứng từ có chiều như

hình vẽ. Xét một diện tích S

bất kì chứa tr ục đối xứng của

dây dẫn thì từ thông gở i qua

diện tích này luôn biến thiên.

B→

0

Hình 14.6: Hiệu ứng bề mặt

a) Cườ ng độ dòng cao tần đang tăng;

b) Cườ ng độ dòng cao tần đang giảm;

c) Đồ thị biểu diễn mật độ dòng ở lớ p vỏ

ngoài và trong lõi dây dẫn

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




K ết quả trong diện tích S xuất hiện các dòng điện tự cảm Itc khép kín như dòng

(C).

Trong ¼ chu kì đầu, cườ ng độ dòng điện I đang tăng dần, từ thông qua S

cũng tăng dần. Theo định luật Lentz, dòng điện tự cảm phải có chiều như mô tả

trên hình 14.6a. K ết quả ở phía bề mặt ngoài của dây dẫn, dòng Itc cùng chiều vớ idòng I nên làm mật độ dòng điện ở bề mặt dây dẫn tăng lên; còn ở phía tr ục dây

dẫn, dòng Itc ngượ c chiều dòng I nên làm giảm mật độ dòng điện ở lõi dây dẫn.

Trong ¼ chu kì tiế p theo, cườ ng độ dòng điện I đang giảm dần, từ thông

qua S cũng giảm dần, dòng điện tự cảm phải có chiều như mô tả trên hình 14.6b.

K ết quả ở phía bề mặt ngoài của dây dẫn, dòng Itc ngượ c chiều vớ i dòng I nên làm

mật độ dòng điện ở bề mặt dây dẫn giảm nhanh; còn ở phía tr ục dây dẫn, dòng Itc

cùng chiều dòng I nên giảm mật độ dòng điện ở lõi dây dẫn giảm chậm.

Lậ p luận tươ ng tự đối vớ i nửa chu kì còn lại, khi chiều của dòng điện từ trên xuống dướ i, ta cũng có k ết quả tươ ng tr ự trên. Từ đó ta có đồ thị hình (14.6).

Vậy, do hiện tượ ng tự cảm mà dòng điện cao tần chỉ tậ p trung ở vỏ ngoài

dây dẫn, còn ở phần lõi mật độ dòng điện càng giảm khi tần số của dòng điện càng

cao. Lí thuyết và thực nghiệm đã chứng tỏ r ằng, vớ i tần số dòng điện là 1000Hz thì

dòng điện chỉ chạy ở một lớ p bề mặt dày 2mm; còn đối vớ i dóng điện 100000Hz

thì dòng điện chỉ chạy ở một lớ p bề mặt dày 0,2mm. Chính vì vậy, ngườ i ta thườ ng

dùng các dây dẫn r ỗng để tải các dòng điện cao tần, nhằm tiết kiệm vật liệu.

Một ứng dụng của hiệu ứng bề mặt là để tôi kim loại ở l ớ p bề mặt . Trong

nhiều các chi tiết máy đòi hỏi lớ p bề mặt phải cứng để giảm độ mài mòn, nhưng

bên trong phải có độ dẻo thích hợ p để không bị gãy, nứt. Muốn vậy, ngườ i ta cho

dòng điện cao tần chạy qua cuộn dây bên trong có chi tiết cần tôi. Khi đó, trong chi

tiết máy sinh ra những dòng điện cảm ứng có tần số biến đổi cao. Do hiệu ứng bề

mặt, những dòng điện cảm ứng này chỉ phân bố ở lớ p mặt ngoài của chi tiết cần tôi,

làm lớ p này nóng đỏ lên đến mức cần thiết. Khi đó ngườ i ta nhúng chi tiết đó vào

nướ c tôi và như vậy ta đượ c một lớ p bề mặt ngoài cứng, còn bên trong thì vẫn dẻo.

3 – Hiện tượ ng hỗ cảm:

Giả sử có hai mạch điện kín đặt

gần nhau, có các dòng điện I1, I2 chạy qua

như hình 14.7. Như vậy, mỗi dòng điện

này đều sinh ra từ thông gở i qua diện tích

giớ i hạn bở i dòng điện kia. Do đó, nếu

một trong hai dòng điện thay đổi thì từ

thông gở i qua cả hai mạch đều thay đổi,

k ết quả là trong cả hai mạch đều xuất hiện

các dòng điện cảm ứng. Hiện tượ ng nàyđượ c gọi là hiện t ượ ng hỗ cảm và các

dòng điện cảm ứng xuất hiện trong các mạch đượ c gọi là dòng đ iện hỗ cảm.

I2

(2)

2B→(1)

I1

1B→

Hình 14.7: Hiện t ượ ng hỗ cảm

Hiện tượ ng hỗ cảm cũng là một tr ườ ng hợ p riêng của hiện tượ ng cảm ứng

điện từ. Do đó suất điện động hỗ cảm cũng đượ c tính theo (14.1). Lậ p luận tươ ng

tự như trong phần hiện tượ ng tự cảm, ngườ i ta cũng chứng minh đượ c r ằng, nếu

các mạch điện đặt trong môi tr ườ ng không sắt từ thì suất điện động hỗ cảm xuất

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




hiện trong mạch này sẽ tỉ lệ vớ i tóc độ biến thiên của cườ ng độ dòng điện ở mạch

kia: m1 2hc1

d dM

dt dt

IΦξ = − = − (14.12a)

m2 1hc2

d Mdt dt

dIΦξ = − = − (14.12b)

Trong đó ξ vàhc1 hc1ξ là suất điện độ hỗ cảm trong mạch (1) và mạch (2);

là từ thông do dòng Im1Φ 2 gở i qua mạch (1) ;

là từ thông do dòng Im2Φ 1 gở i qua mạch (2);

M là hệ số hỗ cảm giữa hai mạch (1) và (2), có đơ n vị đo là henry (H).

§ 14.3 NĂNG LƯỢ NG TỪ TR ƯỜ NG

1 – Năng lượ ng từ trườ ng trong ống dây:

Xét một mạch điện như hình 14.8. Lúc đầu

khóa K chưa tiế p xúc vớ i tiế p điểm nào. Trong

mạch không có dòng điện.

A

L, R

ξ, r

K

(2)(1) X

Cho khóa K tiế p xúc vớ i tiế p điểm (1), có

dòngđ

iện ch

ạy qua cu

ộn dây và s

ố ch

ỉ củ

a ampe k ế cho biết dòng điện trong mạch tăng dần từ giá tr ị

không đến giá tr ị ổn định I. Nguyên nhân của hiện

tượ ng đó là do trong mạch có suất điện động tự

cảm làm cho dòng điện không tăng độ ngột. Hình 14.8: Tính năng

l ượ ng t ừ tr ườ ng Bây giờ ta hãy tính năng lượ ng mà nguồn

điện đã cung cấ p cho mạch k ể từ lúc đóng khóa K

đến khi dòng điện trong mạch đạt giá tr ị ổn định I

Gọi R là điện tr ở của cuộn dây, r là điện tr ở nội của nguồn và ξtc là suất

điện động tự cảm sinh ra trong mạch (bỏ qua điện tr ở các dây nối và điện tr ở củaampe k ế). Tại thờ i điểm t bất kì, cườ ng độ dòng điện trong mạch là i. Theo định

luật Ohm mạch kín, ta có: ξ + ξtc = i(R + r) (14.13)

Nhân hai vế (14.13) vớ i idt và thaytc

diL

dtξ = , r ồi chuyển số hạng này sang vế

phải, ta có: ξidt = i

−

2(R + r)dt + Lidi (14.14)

Vế trái của (14.14) chính là năng lượ ng mà nguồn điện đã cung cấ p cho mạch trong

thờ i gian dt, ta kí hiệu đại lượ ng này là dA. Số hạng thứ nhất ở vế phải của (14.14)

là năng lượ ng nhiệt tỏa ra trong thờ i gian dt, ta kí hiệu số hạng này là dQ. Ta có:

dA = dQ + Lidi (14.15)

Lấy tích phân trong khoảng thờ i gian từ lúc ban đầu đến khi dòng điện trong mạch

đạt giá tr ị ổn định I, ta đượ c:21

A Q LI2

= + (14.16)

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




(14.16) cho biết, năng lượ ng mà nguồn điện cung cấ p một phần chuyển hóa thành

nhiệt và một phần chuyển hóa thành dạng năng lượ ng khác xác định bở i biểu thức

21LI

2. Năng lượ ng đó chắc chắn không phải là các dạng năng lượ ng quen thuộc

như cơ năng, hóa năng, .... Vậy nó là năng lượ ng gì? Phân tích các đại lượ ng liên

qua đến mạch điện ta thấy, khi có dòng điện xuất hiện trong mạch thì có từ tr ườ ng

do dòng điện trong mạch tạo ra. Vì thế buộc ta phải thừa nhận r ằng biểu thức

21LI

2 chính là năng lượ ng của từ tr ườ ng.

Vớ i mạch điện trên, từ tr ườ ng định xứ trong ống dây là chủ yếu. Vậy biểu

thức tính năng lượ ng từ tr ườ ng của ống dây là:2

m

1W L

2

= I (14.17)

Cần nói thêm r ằng, năng lượ ng từ tr ườ ng trong ống dây chỉ đượ c tạo ra

trong khoảng thờ i gian dòng điện trong mạch tăng từ không đến giá tr ị ổn định I.

Vì k ể từ sau thờ i điểm đó, dòng điện trong mạch không còn biến thiên nữa, từ

tr ườ ng cũng đạt trang thái ổn định và di = 0 nên (14.15) tr ở thành: dA = dQ, ngh ĩ alà năng lượ ng nguồn điện cung cấ p chuyển hóa hoàn toàn thành nhiệt.

Để chứng tỏ sự tồn tại của năng lượ ng từ tr ườ ng trong ống dây, ta chuyển

khóa K sang chốt (2) thì thấy đèn lóe sáng một lúc r ồi tắt. Khi khóa K chuyển sang

tiế p điểm (2) thì mạch điện đã cô lậ p vớ i nguồn điện. Vậy năng lượ ng ở đâu cung

cấ p làm đèn lóe sáng? Chỉ có thể giải thích đượ c đó là do năng lượ ng từ tr ườ ngtrong ống dây đã chuyển hóa thành điện năng làm lóe sáng đèn.

2 – Năng lượ ng và mật độ năng lượ ng từ trườ ng:

Cũng như điện tr ườ ng, năng lượ ng từ tr ườ ng định xứ ở vùng không gian có

từ tr ườ ng. Để tìm biểu thức tính năng lượ ng tổng quát của từ tr ườ ng, ta biến đổi

biểu thức (14.17) bằng cách thay:

2 22o o

02

N S NL S

µµ µµ= = = µµ

n V , vớ i n là

mật độ vòng dây và V = là thể tích của ống dây, cũng là thể tích không gian có

từ tr ườ ng, ta có:

S

2 2

m 0

1W n

2= µµ I V . Mà : B = µµ0nI , suy ra :

2

m

0

1 BW V

2=

µµ

Đặt :

2

m

0

B B

2 2ω = =

µµ

H (14.18)

gọi là mật độ năng lượ ng từ tr ườ ng thì biểu thức tính năng lượ ng từ tr ườ ng trong

ống dây là: Wm = mVω (14.19)Trong tr ườ ng hợ p tổng quát, nếu từ tr ườ ng không đều thì năng lượ ng từ tr ườ ng

đượ c tính bở i công thức: m m

V V

1W dV BH

2= ω =∫ ∫ dV (14.20)

vớ i V là thể tích không gian có từ tr ườ ng.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM





14.1 Thanh kim loại dài 1m quay vớ i vận tốc góc không đổi ω = 20rad/s trong từ

tr ườ ng đều B = 5.10 – 2

(T). Tr ục quay vuông góc vớ i thanh và song song vớ i các

đườ ng cảm ứng từ. Tính hiệu điện thế xuất hiện giữa hai đầu thanh trong cáctr ườ ng hợ p:

a) Tr ục quay đi qua một đầu thanh.

Tr ục quay đi qua điểm O cách một đầu thanh là x = 25cm.

14.2 Khung dây kim loại hình chữ nhật, kích thướ c 10cm x 20cm, quay đều trong

từ tr ườ ng đều B = 1T vớ i vận tốc 10 vòng/s, quanh tr ục vuông góc vớ i các đườ ng

cảm ứng từ và đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện. Lấy π2 = 10. Tính:

a) Giá tr ị cực đại của suất điện động trong khung dây.

b) Từ thông gở i qua khung dây ở thở điểm bất kì, biết lúc đầu mặt phẳng của

khung dây vuông góc vớ i các đườ ng cảm ứng từ.

14.3 Máy bay có sải cánh 12m dang bay trên bầu tr ờ i gần Bắc cực, theo phươ ng

song song vớ i mặt đất vớ i vận tốc không đổi v = 1500km/h. Từ tr ườ ng của Trái

Đất trong vùng đó là B = 0,5.10 – 4

T và có đườ ng cảm ứng từ vuông góc vớ i mặt

đất. Tính hiệu điện thế giữa hai đầu cánh của máy bay? Đầu cánh nào có điện thế

cao hơ n?

14.4 Một ống dây có 1000 vòng, đặt trong từ tr ườ ng đều, tr ục ống dây song song

vớ i các đườ ng cảm ứng từ. Tiết diện ngang của ống là S = 40cm2

. Từ tr ườ ng biếnthiên đều vớ i tốc độ 10

– 3 T/s.

a) Hai đầu ống dây đượ c nối vớ i nhau tạo thành mạch kín có điện tr ở là R = 160Ω.

Tính công suất toả nhiệt trong ống dây

b) Nếu hai đầu ống dây đượ c nối vớ i tụ điện có điện dung C = 10µF thì điện tích

của tụ là bao nhiêu?

14.5 Một khung dây có diện tích S = 100cm2, có 1000 vòng. Hai đầu khung dây

nối vớ i mạch ngoài là điện tr ở R = 20Ω. Khung dây quay đều trong từ tr ườ ng đều

B = 0,1T, vớ i tốc độ 8 vòng/s. Tính giá tr ị cực đại của dòng điện trong mach, biếtđiện tr ở của khung dây là r = 12Ω.

14.6 Một đoạn dây dẫn thẳng dài 40cm chuyển động vớ i vận tốc 5m/s theo phươ ng

vuông góc vớ i các đườ ng cảm ứng từ của từ tr ườ ng đều. Hiệu điện thế giữa hai đầu

đoạn dây là U = 0,6V. Tính cảm ứng từ B.

14.7 Hai thanh kim loại Ax và By r ất dài, đặt song song, cách nhau một khoảng a =

20cm. Hai đầu A, B của hai thanh đượ c nối vào hai cực của môt nguồn điện có suất

điện động E = 0,5V Hai thanh kim loại này đượ c đặt trong từ tr ườ ng đều B = 1,5T

và vuông góc vớ i mặt phẳng chứa hai thanh. Một đoạn dây dẫn MN tr ượ t trên hai

tranh kim loại này dướ i tác dụng của lực từ. Biết điện tr ở của đạn dây MN là R =

0,02Ω. Bỏ qua điện tr ở của hai thanh kim loại và điện tr ở trong của nguồn điện.

Hãy xác định:

a) Suất điện động cảm ứng trong mạch.

b) Lực từ tác dụng lên đoạn dây dẫn.

c) Cườ ng độ dòng điện trong mạch.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




d) Công suất P1 làm đoạn dây dẫn chuyển động.

e) Công suất P2 làm nóng đoạn dây dẫn.

f) Công suất của nguồn điện.

14.8 Một vòng dây dẫn tròn có đườ ng kính D đượ c đặt trong từ tr ườ ng đều có cảmứng từ B, tr ục của vòng dây trùng vớ i phươ ng của đườ ng cảm ứng từ. Hai thanh

kim loại xuất phát từ tâm của vòng tròn còn đầu kia nằm trên vòng tròn (do đó

chúng tiế p xúc điện vớ i nhau và tiế p xúc vớ i vòng tròn). Một thanh cố định, còn

thanh kia quay đều quanh tâm vòng dây vớ i vận tốc góc ω. Hãy xác định cườ ng độ

dòng điện qua hai thanh kim loại và qua vòng dây dẫn, biết điện tr ở của mỗi đơ n vị dài của thanh kim loại và vòng dây đều bằng r.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chươ ng 15: VẬT LIỆU TỪ 301

Chươ ng 15

VẬT LIỆU TỪ

§15.1 KHÁI NIỆM VỀ TỪ TÍNH CỦA VẬT LIỆU

Từ tính là một thuộc tính của vật liệu. Tất cả các vật liệu, ở mọi trạngthái, dù ít hay nhiều đều biểu hiện tính chất từ. Các vật liệu từ có những ứngdụng rất quan trọng, không thể thiếu đượ c trong khoa học kỹ thuật và cuộcsống. Việc nghiên cứu tính chất từ của vật liệu giúp chúng ta khám phá thêmnhững bí ẩn của thiênnhiên, nắm vững kiến thứckhoa học kỹ thuật để ứngdụng chúng ngày càng cóhiệu quả hơ n, phục vụ lợ iích con ngườ i, đặc biệt làtrong l ĩ nh vực từ học.

1 – Hiện tượ ng từ hóa:Các vật liệu khi

đượ c đặt trong từ trườ ngngoài H

r (do một dòng

điện hoặc một nam châmv ĩ nh cửu sinh ra) thì bị nhiễ m t ừ . Tức là chúng cóthể hút các mạt sắt hoặc bị hút vào các nam châmv ĩ nh cửu. Khi đó ta nói vậtbị t ừ hóa hay vật đã bị

phân cự c t ừ .Có thể hình

dung một thỏi vật liệuđã đượ c từ hóa như hình ảnh một thanhnam châm hút các mạtsắt mô tả ở hình 15.1.Hai đầu thanh bị phânthành hai cực mà ta

quen gọi là cực bắc vàcực nam. Sự sắp xếpcủa mạt sắt ở hai đầu

Hình 15.1: Thanh nam châm là một lưỡ ngcự c t ừ . Các mạt sắ t cho thấ y hình d ạng của

các đườ ng sứ c t ừ .

Hình 15.2: Khi bẻ gẫ y thanh nam châm thành

nhiề u mảnh thì mỗ i mảnh lại tr ở thành một namchâm riêng biệt vớ i các cự c nam (S) và bắ c (N).

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



302 Giáo Trình Vật Lý Đại Cươ ng – Tập I: C ơ – Nhiệt - Điện

và xung quanh thanh tươ ng tự hình ảnh các đườ ng sức từ đi vào và đi ra ở hailưỡ ng cực điện. Tuy nhiên ở các lưỡ ng cực từ thì không thể tách rờ i hai cực từ riêng biệt ra như từng điện tích một đượ c. Nếu bẻ gẫy một thanh nam châm thìta lại đượ c những thanh nam châm mớ i, nhỏ hơ n, mỗi thanh đều có cực bắc vàcực nam, ngay cả khi thỏi nam châm chỉ còn bằng một nguyên tử thì ta cũngkhông thể tìm đượ c đơ n cực từ hay là cực từ cô lập (hình 15.2). Như vậy, phầntử nhỏ bé nhất có từ tính trong thiên nhiên là lưỡ ng cực từ.

2 – Các đại lượ ng đặc trư ng cho từ tính của vật liệu:

Nếu có một thanh vật liệu từ dài l (đo bằng mét [m], theo hệ SI) và cócườ ng độ cực từ là m (đo bằng Weber [Wb]) thì tích ml gọi là mômen từ , đặctrưng cho khả năng chịu tác dụng bở i từ trườ ng ngoài của thanh, ký hiệu là Pm

và là một đại lượ ng véctơ : M ml=uur r

[Wb.m] (15.1)

Đơ n vị của Pm là Weber.metre [Wb.m].Tổng các mômen từ trong một đơ n vị thể tích vật liệu gọi là từ độ hayđộ từ hóa, đặc trưng cho từ tính của vật liệu, ký hiệu là J, cũng là một véctơ :

MJ

V

→

=

uur

[Wb/m2] (15.2)

Đơ n vị của J→

là Wb/m2 hay Tesla [T].

Khoảng không gian xung quanh các cực từ có một từ trườ ng Hr

, đặc

trưng cho tác dụng từ tính của một cực từ này lên một cực từ khác. Véctơ cườ ngđộ từ trườ ng đều H

r có thể đượ c xác định tươ ng ứng vớ i từ trườ ng đượ c tạo ra

bở i một cuộn dây thẳng, dài (cuộn solenoid) có dòng điện chạy qua:

Hr

= n.I [A/m] (15.3)

Ở đây n là số vòng dây trên 1m chiều dài cuộn dây, I là cườ ng độ dòng điệntrong cuộn dây. Đơ n vị của cườ ng độ từ trườ ng là Amper/met [A/m].

Mối quan hệ giữa từ độ Jr

và từ trườ ng Hrđượ c xác định qua biểu thức:

oJ H= χµ

r r

(15.4)Đại lượ ng không thứ nguyên χχχχ gọi là độ cả m từ hay hệ số từ hóa, đặc trưng

mức độ hấp thụ từ tính trong một đơ n vị thể tích vật liệu, còn µo là độ từ thẩ m củ a chân không , có giá trị: µo = 4 π .10-7 [H/m].

Ngườ i ta cũng dùng đại lượ ng cả m ứ ng từ hay mậ t độ từ thông Br

(đobằng Tesla [T]), đặc trưng cho mức độ hấp thu từ tính của vật liệu:

0B J H= + µrr r

[T] (15.5)

Thay Jr

từ (15.4) vào (15.5) ta đượ c: ( ) HH1B oo

rrr

µµ=µ+χ= (15.6)vớ i ( )1+χ=µ là độ từ thẩm của vật liệu, là đại lượ ng không thứ nguyên.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




3 – Phân loại vật liệu từ :Các vật liệu từ có từ tính mạnh yếu khác nhau, đượ c phân loại theo cấu

trúc và tính chất từ như sau:

a- Chấ t ngh ị ch từ : làchất có độ cảm từ χ có giá trị âm và rấtnhỏ hơ n 1, chỉ vàokhoảng 10-5. Nguồngốc tính nghịch từ làchuyển động của điệntử trên quỹ đạo quanhhạt nhân, tạo ra từ

trườ ng có chiều ngượ cvớ i từ trườ ng ngoài(hình 15.3).

b- Chấ t thuậ n từ : có độ từ hóa χ > 0 nhưng cũng rất nhỏ, cỡ 10 – 4 và tỷ lệ vớ i1/T. Khi chưa có từ trườ ng ngoài các mômen từ của các nguyên tử hoặc ionthuận từ định hướ ng hỗn loạn còn khi có từ trườ ng ngoài chúng sắp xếp cùnghướ ng vớ i từ trườ ng (hình 15.4).

c- Chấ t sắ t từ : độ cảm từ χ có giá trị rất lớ n, cỡ 106. Ở T < TC (nhiệt độ Curie)từ độ J giảm dần, không tuyến tính khi nhiệt độ tăng lên. Tại T = TC từ độ biếnmất. Ở vùng nhiệt độ T > TC giá trị 1/ χ phụ thuộc tuyến tính vào nhiệt độ. Sắttừ là vật liệu từ mạnh, trong chúng luôn tồn tại các mômen từ tự phát, sắp xếpmột cách có trật tự ngay cả khi không có từ trườ ng ngoài (hình 15.5). Sắt từ còncó nhiề u tính chấ t độc đ áo và nhữ ng ứ ng d ụng quan tr ọng.

H→

H

J

mp→

0

a) b)

Hình 15.3: a) Mômen t ừ của nguyên t ử nghịch t ừ

trong t ừ tr ườ ng ngoài; b) Đườ ng cong t ừ hóa củavật liệu nghịch t ừ .

H

J

0

a) b)

Hình 15.4: a) S ự sắ p xế p các mômen t ừ của nguyên t ử chấ t thuận t ừ khi

không có t ừ tr ườ ng ngoài; b) Đườ ng cong t ừ hóa của vật liệu thuận t ừ ;c) S ự phhụ thuộc của1/ χ vào nhiệt độ.

T

1

χ

0

c)

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




d- Chấ t phả n sắ t từ : là chất từ yếu, χ ~ 10 – 4, nhưng sự phụ thuộc của 1/ χ vào

nhiệt độ không hoàn toàn tuyến tính như chất thuận từ và có một hõm tại nhiệtđộ TN (gọi là nhiệt độ Nell). Khi T < TN trong phản sắt từ cũng tồn tại cácmomen từ tự phát như sắttừ nhưngchúng sắpxếp đối songsong từng dôimột. Khi T >

TN sự sắp xếpcủa cácmômen từ spin trở nênhỗn loạn vàχ lại tăngtuyến tínhtheo t như chất thuận từ (hình 15.6).

e- Chấ t feri từ : độ cảm từ có giá trị khá lớ n, gần bằng của sắt từ ( χ ~ !04) và

cũng tồn tại các mômen từ tự phát. Tuy nhiên cấu trúc tinh thể của chúng gồmhai phân mạng mà ở đó các momen từ spin (do sự tự quay của điện tử tạo ra) cógiá trị khác nhau và sắp xếp phản song song vớ i nhau, do đó từ độ tổng cộngkhác không ngay cả khi không có từ trườ ng ngoài tác dụng, trong vùng nhiệt độ T < TC. Vì vậy feri từ còn đượ c gọi là phản sắt từ không bù trừ. Khi T > TC trậttự từ bị phá vỡ , vật liệu trở thành thuận từ (hình 15.7).

Ngoài ra ngườ i ta cũng còn phân biệt các loại vật liệu từ theo tính năngứng dụng hoặc thành phần kết cấu của chúng như vật liệu từ cứng (nam châmv ĩ nh cửu), vật liệu từ mềm, vật liệu từ kim loại, vật liệu từ ôxit, vật liệu từ dẻo

(cao su, nhựa) …Ở các phần sau sẽ trình bầy cụ thể hơ n về tính chất của cácloại vật liệu từ này.

T

JS

0a) b)

Hình 15.4: a) S ự sắ p xế p các mômen t ừ của nguyên t ử vậtliệu sắ t t ừ khi nhiệt độ T < T C ; b) S ự phụ thuộc nhiệt độ của

t ừ độ bão hòa và 1/ χ ở chấ t sắ t t ừ .

1

χ

TC

T0a) b)

Hình 15.6: a) S ự sắ p xế p các mômen t ừ của nguyên t ử vậtliệu phản sắ t t ừ khi nhiệt độ T < T N ; b) S ự phụ thuộc nhiệt

độ của 1/ χ ở chấ t phản sắ t t ừ .

1

χ

TN

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




1.4. Bản chất từ tính của vật liệu: Ngay từ năm 1820 Amper ( A.P. Amper 1775-1843, nhà V ật lý Pháp) đã

giả thiết rằng từ tính của vật liệu liên quan đến sự tồn tại các dòng điện trònkhông tắt dần trong nó. Quan niệm của Amper về nam châm “như là một tậphợ p những dòng điện khép kín đặt trên những mặt phẳng vuông góc vớ i đườ ngnối liền hai cực của nam châm”, theo đó có thể quy mọi hiện tượ ng từ về cáctươ ng tác giữa các dòng điện phân tử. Tớ i đầu thế kỷ 20 Rơ depho (E. Ruther

ford 1871-1937, nhà V ật lý Anh) xây dựng mô hình nguyên tử có các điện tử quay xung quanh một hạt nhân nặng, mang điện dươ ng. Theo quan niệm này thì

các dòng điện tròn của Amper sinh ra do các điện tử quay trên các quỹ đạoquanh hạt nhân. Sau này Planck ( Max Planck 1858-1947, nhà V ật lý Đứ c), Bohr( Niels Bohr 1885-1962, nhà V ật lý Đanmạch), Broglie ( Louis de Broglie 1892-1987, nhà V ật lý Pháp), Schrödinger (Erwin Schrödinger 1887-1961 nhà V ật lý

Áo) và nhiều ngườ i khác đã đưa ra thuyết lượ ng tử hoàn thiện thêm về cấu tạovật chất, trên cơ sở đó làm sáng tỏ hơ n bản chất từ tính của vật liệu.

Nếu coi nguyên tử là phần tử nhỏ bé nhất cấu tạo nên các vật thể thì sự hình thành từ tính của nguyên tử chính là nguồn gốc tính chất từ của vật liệu.Vậy chúng ta hãy khảo sát từ tính của nguyên tử, xuất phát từ tính chất từ củađiện tử, hạt nhân.

a. Mômen từ củ a electron:

Để đơ n giản ta coi quỹ đạo chuyển động của electron quanh hạt nhân làmột đườ ng tròn có bán kính r, khi đó mômen từ qu ỹ đạ o của electron này xácđịnh theo biểu thức sau:

2 2m

e e ep i.S r .n r

T 2 2m= = π = − ω = −

r r ur rrl (15.7)

Ở đây e = 1,6.10 – 19 C: điện lượ ng của electron; m = 9,1.10 – 31kg: khối lượ ngelectron; T và ω : chu kì và vận tốc góc quay của electron quanh hạt nhân;

2mr= ωr url : mômen động lượ ng qu ĩ đạo của electron; S = πr2: diện tích hìnhtròn quỹ đạo; i = e/T: cườ ng độ dòng điện do chuyển động của điện tử trên quỹ

T0a) b)

Hình 15.7: a) S ự sắ p xế p các mômen t ừ của nguyên t ử trong feri t ừ khi nhiệt độ T < T C ; b) S ự phụ thuộc nhiệt độ

của t ừ độ bão hòa J S và 1/ χ của vật liệu feri t ừ .

1

χ

TC

JS

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




đạo; nr

là pháp vectơ đơ n vị của mặt phẳng qu ĩ đạo, xác định theo qui tắc “cáiđinh ốc”: xoay cái đinh ốc theo chiều dòng điện thì chiều tiến của cái đinh ốc là

chiều của nr

. Do electron mang điện âm nên chiều dòng điện luôn ngượ c vớ i

chiều quay của electron, nên nr

ngượ c chiều vớ i ωur

vàrl .

Từ (15.7) suy ra, quan hệ giữa mômen từ qu ĩ đạo và mômen độnglượ ng của electron đượ c xác định bở i t ỷ số từ cơ hay t ỷ số hồi chuyể n:

mp e

2mγ = = −

r

rl

(15.8)

Véctơ mômen từ và véctơ mômen động lượ ng của điện tử hướ ng ngượ cchiều nhau vì mômen từ xác định theo chiều dòng điện còn mômen động lượ ngxác định theo chiều chuyển động của điện tử. Trong cơ học lượ ng tử mối quanhệ của hai véctơ này đượ c biểu thị dướ i dạng toán tử:

m

ep

2m

∧ ∧

= −r r

l (15.9)

Trị số về môdun: ( )m

e ep | | 1

2 m 2 m= = +

r r hl l l (15.10)

Hình chiếu của mpr

lên trục Oz: mz

ep m

2m=

l

h (15.11)

vớ i l là số lượ ng tử quỹ đạo ( l = 0, 1, 2, 3…) và mllà số lượ ng tử hình chiếu

mômen động lượ ng trên trục z hay là số lượ ng tử từ quỹ đạo ( ml= 0, ± 1, ± 2,

…, ± l ); π= 2 / hh và h = 6,6238.10 – 34 Js là hằ ng số Plank.

Mặt khác electron cũng tự quay xung quanh mình nó (chuyển động nộitại) nên có mômen từ spin (spin có ngh ĩ a là tự quay) có giá trị lớ n gấp 2 lần

mômen từ quỹ đạo: s

ep s

m= −

r r (15.12)

hay: ( )s

ep s s 1

m= +

r h (15.13)

ở đây s là số l ượ ng tử spin, đặc trưng trạng thái của electron. Chiếu lên phươ ng

z có: sz S

ep m

m=

h = ± B

e

2m = ± µ

h (15.14)

Ở đây mS = ±½ là số lượ ng tử từ spin và 23 2B

e0,927.10 Am

2m−µ = =

h(hay

J/T) gọi là magneton Bohr, là đơ n vị đo từ độ của nguyên tử.

Vớ i các nguyên tử phức tạp lớ p vỏ điện tử gồm nhiều electron, mômentừ quỹ đạo tổng cộng và cả mômen từ spin, bằng tổng các momen từ của cácelectron riêng lẻ. Các nguyên tử có lớ p vỏ electron lấp đầy có mômen từ bằng

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




không. Ở các hợ p chất mỗi electron có thể thuộc về nhiều nguyên tử hay toànmạng (mô hình electron tự do). Trong trườ ng hợ p này ngườ i ta giải thích từ tínhcủa electron theo thuyết vùng năng lượ ng mà ở đây không xét đến.

b. Mômen từ củ a hạ t nhân:

Hạt nhân nguyên tử mang điện tích dươ ng, có thể coi nó như một điệntích bé nhỏ, dịch chuyển tại chỗ (do dao động nhiệt) có spin và tươ ng tác vớ inhau bằng các mômen từ. Về độ lớ n, spin hạt nhân bằng spin electron (do điệntích bằng nhau), nhưng khối lượ ng hạt nhân thườ ng lớ n gấp 103 lần khối lượ ngcủa electron, do đó theo biểu thức (15.14) mômen từ hạt nhân phải nhỏ hơ nmômen từ electron tớ i 3 bậc, vì vậy nó ảnh hưở ng rất ít đến tính chất từ của vậtliệu, có thể bỏ qua. Tuy nhiên trong một số trườ ng hợ p, ví dụ như hiện tượ ngcộng hưở ng từ hạt nhân…, vai trò của mômen từ hạt nhân là rất quan trọng.

c. Mômen từ tổ ng hợ p củ a nguyên tử :

Như đã trình bầy ở trên, mômen từ hạt nhân rất nhỏ bé, có thể bỏ qua,vì vậy mômen từ của nguyên tử là tổng các mômen từ của các electron. Mà tổng

các mômen từ qu ĩ đạo của các electron: L mii

P p→ →

= ∑ (15.15a)

Theo cơ học lượ ng tử ta có:

( )L mii

eP p L L 1

2m= = +∑

h (15.15b)

Vớ i L = i

i

∑ l là mômen độ ng l ượ ng tổ ng cộ ng của electron.

Mômen từ spin củ a nguyên tử : S sii

P p→ →

= ∑ (15.16a

Và độ lớ n của mômen từ spin ( )S sii

eP p S S 1

m= = +∑

h (1.16b)

Ở đây S = ∑i

is là tổ ng số l ượ ng tử trạ ng thái.

Mômen từ tổng cộng của nguyên tử : J L SP P P→ → →

= + (15.17a)

Và : PJ = PL + PS = ( )e

L 2S2m

+ (15.17b)

Gọi J là số lượ ng tử mômen động lượ ng tòan phần của electron, J có thể nhậncác giá trị: J = L + S , L + S -1, L + S – 2,…, L – S nếu L > Shoặc J = S + L, S + L -1, S + L – 2,…, S – L nếu S > L

Khi đó có: ( )J B| P | g J J 1= µ + (15.18)

Và hình chiếu của JP→

lên trục z: PJz = JB mg µ (15.19)

Vớ i g là thừ a số Landé:( ) ( ) ( )

( )1JJ2

1LL1SS1JJ1g

++−+++

+= (15.20)

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




hay thừ a số tách mứ c từ , mJ là số l ượ ng tử hình chiế u mômen độ ng l ượ ng

toàn phầ n, có thể nhận (2J + 1) giá trị: mJ = 0, ±1, ±2, …, ±J

Ở trạng thái cơ bản, các số lượ ng tử S, L, J đượ c xác định bằng quy tắ c Hund , áp dụng cho các electron trong một lớ p cho trướ c của nguyên tử như sau:

- Spin toàn phần S có giá trị cực đại thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli -mỗ i tr ạng thái ứ ng vớ i 4 số lượ ng t ử n, l , m

l ,ms chỉ có một electron chiế m chỗ .

- Mômen quỹ đạo L (mômen động lượ ng) có giá trị cực đại phù hợ p vớ igiá trị đó của S.

- Mômen động lượ ng tòan phần J = L – S khi lớ p đượ c lấp đầy chưađến ½ và J = L + S khi lớ p đượ c lấp đầy trên ½ (nếu lớ p đượ c lấp đầy đúng ½thì theo quy tắc đầu L = 0 và J = S).

Các quy tắc Hund có nguồn gốc là ở trạng thái cơ bản năng lượ ng của

các lớ p electron phải thấp nhất. Khi L = 0, ngh ĩ a là chỉ có số từ spin thì g = 2;Khi S = 0, ngh ĩ a là chỉ có số từ quỹ đạo, g = 1. Thườ ng ngườ i ta không quantâm đến biểu thức (15.18) mà chỉ lưu ý đến biểu thức (15.19) đối vớ i mômen từ nguyên tử.

Ở tất cả các nguyên tử và ion có lớ p vỏ lấp đầy S = 0, L = 0 và J = 0,mômen từ của chúng bằng 0. Vì vậy tính từ hóa gắn liền vớ i sự có mặt trongnguyên tử có lớ p vỏ không lấp đầy electron. Theo nguyên lí Pauli ở mỗi trạngthái lượ ng tử không có quá 2 electron có spin đối song song, như vậy mômenspin tổng cộng của các electron này bằng 0. Các electron này gọi là “electron

cặp đôi”. Nếu một nguyên tử hoặc ion bao gồm một số lẻ các electron thì 1trong chúng sẽ không cặp đôi đượ c và nhìn chung nguyên tử này có khả năngxuất hiện mômen từ. Đối vớ i các nguyên tử có số chẵn electron có thể xẩy ra 2trườ ng hợ p: tất cả các electron đều cặp đôi và mômen spin hợ p thành bằng 0,hay là 2 hoặc 1 vài electron không cặp đôi và nguyên tử sẽ có mômen từ. Ví dụ H, K, Na, Ag có số lẻ các electron và một trong chúng không cặp đôi; Be, C,He, Mg có số chẵn electron và tất cả chúng đều cặp đôi; Oxy có số chẵnelectron nhưng 2 trong chúng không cặp đôi.

Khi tính tổng các mômen từ quỹ đạo và mômen từ spin có thể xẩy ratrườ ng hợ p chúng bù trừ nhau và mômen tổng hợ p của nguyên tử bằng 0, cònnếu không có bù trừ thì nguyên tử sẽ có mômen từ, tức là chúng có từ tính. Cóthể dựa vào đây để phân loại vật liệu từ.

Những vật liệu mà nguyên tử của nó không có khả năng tạo mômen từ thì gọi là những vật liệu nghịch từ (hình 15.3), những vật liệu mà nguyên tử củanó có khả năng có mômen từ thì có thể là thuận từ, sắt từ, phản sắt từ hay feritừ. Các vật liệu có tổng các mômen từ bằng 0 hoặc rất nhỏ thì là thuận từ (hình15.4). Ở các vật liệu mà các mômen từ định hướ ng song song vớ i nhau, tức làmômen từ tổng cộng rất lớ n, thì là sắt từ (hình 15.5). Các vật liệu phản sắt từ cócá mômen từ đối song song vớ i nhau (hình 15.6). Vật liệu feri từ như đã biết, có

các mômen từ đối song song nhưng độ lớ n của chúng không bằng nhau (hình15.7).

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§15.2 CHẤT NGHỊCH TỪ

Ở điều kiện bình thườ ng các chất nghịch từ không biểu hiện từ tính vìchúng không có các mômen từ tự phát (không bị phân cực từ), nhưng khi đặt

nghịch từ vào trong từ trườ ng ngoài thì ở chúng xuất hiện một từ trườ ng phụ cógiá trị rất nhỏ và hướ ng ngượ c vớ i từ trườ ng ngoài. Để khảo sát tính ngh ị ch từ củ a vậ t liệu ta có thể áp dụng đị nh luậ t Larmor.

Khi đặt nguyên tử vào trong từ trườ ng Hr

, dọc theo trục Oz, chuyểnđộng của electron quanh hạt nhân gồm hai chuyển động thành phần là chuyểnđộng của nó giống như không có từ trườ ng ngoài và chuyển động quay quanh

phươ ng từ trườ ng vớ i vận tốc góc Larmor:0

L

e B

2mω =

urr

(15.21)

tạo ra mômen động lượ ng mớ i : LI= ω

r r

l (15.22)

vớ i I là mômen quán tính của electron đối vớ i trục quay: I = m 2a (15.23)

trong này 2a là trung bình của bình phươ ng khoảng cách từ electron tớ i trục

quay (Oz). Do đó:2

0ea

B2

=r url (15.24)

Tươ ng ứng ta có mômen từ phụ của electron thứ i:2 2

0m

e e ap B

2m 4m

∆ = − = −r r ur

l

Mômen từ phụ toàn phần của nguyên tử có Z electron:2 Z

0 2m imi

i i 1

e BP p a

4m =

∆ = ∆ = −∑ ∑ur

ur r (15.25)

Gọi ri là khoảng cách từ điện tử thứ i đến hạt nhân nguyên tử, ta có:

2 2 2 2i

1x y z r

3= = = . Suy ra: 2 2 2 2

i i

2a x y r

3= + =

Do đó:2 2 2Z0 2

m 0ii 1

e B 2 e ZrP r B4m 3 6m=

∆ = − = −∑ur

ur ur (15.26)

Vớ i 2r là trung bình bình phươ ng khoảng cách từ electron đến hạt nhân.

Theo định ngh ĩ a ta có độ từ hóa của nguyên tử:

2 20

m 00

n e ZrJ n P B

6m= ∆ = −

r ur ur (15.27)

Ở đây n0 là số nguyên tử trong một đơ n vị thể tích vật liệu. Khi đó có độ từ cảm

bằng:2 2

0 0n e Zr

6m

µχ = − (15.28)

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Như vậy χ có giá trị âm, chính là độ cảm nghịch từ, nó thườ ng có giá trị rấtnhỏ, χ ~ 10 – 6 . Từ (15.28) cho thấy χ không phụ thuộc nhiệt độ.

Những khái niệm trên đây không hạn chế cho electron ở lớ p nào vàtrong nguyên tử của chất nào, vì vậy có thể xem như mọi chất đều có tính

nghịch từ. Các chất nghịch từ hay gặp bao gồm các khí trơ He, Ne, Ar, Kr, Xe;nhóm halogen Cl, F, Br…, một số kim loại kiềm, đất hiếm và muối của chúng,đa số các hợ p chất hữu cơ , thủy tinh... Bảng 15.1 dướ i đây cho giá trị độ từ cảmcủa một số chất nghịch từ:

Bảng 15.1: Giá tr ị độ t ừ cảm của một số chấ t nghịch t ừ

Vật liệu - χ .10 – 6 Vật liệu - χ .10 – 6 Vật liệu - χ .10 – 6

Ag

Au

B

BeBi

Cd

Cu

Ge

2,4

1,9

7,8

13,0

16,0

23,9

1,08

1,5

Ar

C

H

He

N

Hg

Pb

Zn

6,1

6,2

25,0

5,9

5,4

2,2

1,4

1,9

Si

Sb

Al2O3

CaCO3

CO2

Cu2O

H2O

H2SO4

1,2

10,6

3,5

4,4

6,0

2,4

9,05

5,0

Các chất siêu dẫn có B = 0 và χ = -1 đượ c xem là các chất nghịch từ lýtưở ng. Tính chất từ của nghịch từ rất nhỏ bé nên trong thực tế ngườ i ta khôngquan tâm đến việc ứng dụng các vật liệu này về phươ ng diện từ tính.

§15.3 CHẤT THUẬN TỪ

Khác vớ i chất nghịch từ, các chất thuận từ khi chưa bị từ hóa đã cómômen từ ngưyên tử, nhưng do chuyển động nhiệt, các mômen này sắp xếp hỗnloạn và mômen từ tổng cộng của toàn khối bằng không. Khi đặt chất thuận từ vào từ trườ ng ngoài thì các mômen từ trong chúng định hướ ng song song, cùng

chiều vớ i từ trườ ng ngoài, và như vậy chúng sẽ có độ từ hóa dươ ng, tuy rất nhỏ (xem bảng 15.2). Ở các chất thuận từ, nguyên tử có một số lẻ electron (như Natự do, NO, C(C6H5)3…) hoặc chúng thuộc nhóm các nguyên tố chuyển tiếp vớ imột lớ p electron bên trong chưa đượ c lấp đầy hoàn toàn (nhóm kim loại 3d -nhóm sắt - như Fe, Co, Ni, Cu, Ti…và nhóm kim loại 4f – nhóm Lantan, đấthiếm – như La, Ce, Pr, Nd, Sm, Tb…

1 – Nghiên cứ u tính chất từ của chất thuận từ bằng thuyết Langevin:Theo thuyế t Langevin, ở phần lớ n các chất thuận từ, độ từ hóa phụ

thuộc nhiệt độ theo định luật Curie: T

C=χ (15.29)WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




vớ i C là hằng số Curie. Khi nhiệt độ càng cao, độ từ hóa giảm đi một cách mạnhmẽ. Ở đây các mômen từ nguyên tử đượ c coi như những vectơ có thể địnhhướ ng theo bất kỳ hướ ng nào và chúng không tươ ng tác lẫn nhau. Áp dụngphân bố thống kê Boltzman có thể tính đượ c mômen từ của chất thuận từ:

M= n0PmL(x) (15.30)trong đó L(x) = cthx – 1/x vớ i x = m

B

P H

k T là hàm Langevin, n0 là số

nguyên tử trong một đơ n vị thể tích, pm là mômen từ nguyên tử. Khi từ trườ ngnhỏ, x << 1, có thể khai triển L(x) ≈ x/3, do đó:

20 m

0 mB

n PxM n P H H

3 3k T= = = χ

r r r (15.31)

Từ đây có:

2

0 m

Bn P C3k T Tχ = = (15.32)

vớ i : C =2

0 m

B

n P

3k là hằng số Curie. (15.33)

Như vậy theo thuyết Langevin cổ điển độ cảm thuận từ tỷ lệ nghịch vớ inhiệt độ tuyệt đối. Điều này phù hợ p vớ i định luật thực nghiệm Curie (15.29)(công bố năm 1895, trướ c khi có lí thuyết Langevin).

Bảng 15.2: Độ cảm t ừ của một số chấ t thuận t ừ

Vật liệu χ .10 – 6 Vật liệu χ .10 – 6 Vật liệu χ .10 – 6

Al

Ba

Ca

Cr

K

Li

7,7

1,9

13,8

38,7

6,9

44,0

Mg

Mn

Na

Pt

Ta

U

10,0

121,0

8,6

12,0

1,1

33,0

Wo

CoO

Cr2O3

CuO

HCl

Fe3C

3,5

750

380

38

950

37 ở 1000oC

2 – Ứ ng dụng chất thuận từ để tạo nhiệt độ thấp:Một trong những ứng dụng quan trọng của chất thuận từ là tạ o nhiệ t độ

thấ p bằ ng phươ ng pháp khử từ đ oạ n nhiệ t các muố i thuậ n từ . Khi nghiên cứuvề nhiệt động học các hiện tượ ng từ ta có mối liên hệ:

dQ = TdS = PdV – HdM + dU

vớ i Q là nhiệt lượ ng, S là entropy nhiệt, P là áp suất và V là thể tích vật thể, Ulà nội năng. Khi xẩy ra quá trình đoạn nhiệt thì dQ = 0 và S = const. Do đó:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




dU = - PdV + HdM

Theo đây có thể làm giảm nhiệt độ của mẫu bằng hai cách là:

- Hoặc cho dV > 0, dãn nở hệ

để thực hiện một công ra ngoài làmgiảm nội năng dU và giảm nhiệt độ,thườ ng tiến hành trên các khí, có thể hạ nhiệt độ đến 3-4K.

- Hoăc cho dM < 0, khử từ đoạn nhiệt hệ để làm giảm nhiệt độ,thườ ng thực hiện ở các muối thuận từ (chẳng hạn NH4Fe(SO4)2.12H2O hayKCr(SO4)2.12H2O…), có thể hạ nhiệt

độ tớ i ~ 4.10-3

K. Nguyên lý củaphươ ng pháp này như sau: dướ i tácdụng của từ trườ ng ngoài, các mômentừ của tinh thể thuận từ định hướ ngkhông hoàn toàn hỗn loạn mà ưu tiêntheo hướ ng của trườ ng ngoài, tức làmức độ trật tự của hệ tăng lên, do đóentropy của hệ giảm đi. Nếu đột ngộtngắt từ trườ ng ngoài (khử từ đoạnnhiệt) thì mức độ sắp xếp trật tự của

các mômen từ lại giảm xuống, nhưngentropy không thay đổi (S = const),bở i vậy để giữ ở trạng thái cân bằng,nhiệt độ của hệ phải giảm xuống,ngh ĩ a là năng lượ ng của chuyển độngnhiệt (các phonon) đượ c cung cấpcho các ion thuận từ để chúng trở về tình trạng định hướ ng hỗn loạn banđầu.

Quá trình làm lạnh bằng khử từ đoạn nhiệt đượ c biểu thị bằngđườ ng AB trên hình 15.8, mô tả sự phụ thuộc của entropy S vào nhiệtđộ. Điểm A ứng vớ i trạng thái có từ trườ ng H3 tác dụng và nhiệt độ là T,điểm B ứng vớ i H = 0 và nhiệt độ To< T. Vì quá trình là đoạn nhiệt nên AB nằm ngang.

Sơ đồ thiết bị để thực hiện quá trình trên đượ c mô tả ở hình 15.9. Muối

thuận từ (2) đượ c treo cách nhiệt bằng các sợ i dây dẫn nhiệt kém (3) đặt tronghệ thống hai bình thủy tinh kín, chứa N2 và Heli lỏng , nằm giữa hai cực mộtnam châm điện (có thể tạo từ trườ ng 106A/m). Hút chân không các bình chứa

Hình 15.8: S ự phụ thuộc củaentropy S vào nhiệt độ và t ừ tr ườ ng ngoài H ở chấ t thuận t ừ . Đoạn AB úng vớ i quá trình khử t ừ đ o n nhi t.

Hình 15.9: S ơ đồ thiế t bị làm lạnhbằ ng khử t ừ đ oạn nhiệt muố i thuậnt ừ : 1. bình đự ng mẫ u; 2. M ẫ u; 3.

Dây treo; 4. Ống d ẫ n khí Heli.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




khí. Heli sẽ sôi mạnh và làm nhiệt độ của hệ hạ xuống khoảng 1K. Khi nhiệt độ của mẫu đã ổn định, đóng điện cho nam châm đồng thờ i hút hết khí Heli rangòai để cách nhiệt hoàn toàn mẫu thuận từ. Sau đó ngắt điện đột ngột namchâm để thực hiện quá trình đoạn nhiệt và nhiệt độ của mẫu thuận từ sẽ giảmxuống rất thấp, có thể đạt tớ i ~ 4.103K.

§15.4 CHẤT SẮT TỪ

1 – Tính chất từ của sắt từ :Các chất sắt từ bao gồm những nguyên tố nhóm chuyể n tiế p như Fe,

Co, Ni, Gd và một số hợ p kim của chúng, có từ tính mạ nh. Độ từ hóa của sắt từ lớ n hơ n hàng triệu lần ở nghịch từ và thuận từ. Ngay cả khi không có từ trườ ngngoài, ở dướ i một nhiệt độ TC nào đó (nhiệt độ tớ i hạn Curie) trong sắt từ vẫntồn tại các mômen từ tự phát. Bảng 15.3 dướ i đây cho ta một vài thông số về từ

tính của một số chất sắt từ.Bảng 15.3: Giá tr ị độ t ừ hóa bão hòa, t ừ độ nguyên t ử và nhiệt độ Curie của

tinh thể sắ t t ừ

Độ từ hóa (Gauss)Chất

Tphòng (K) 0KµB (0K)/(đơ nvị công thức)

Nhiệt độ Curie (K)

FeCoNi

MnAsCrO2 FeOFe2O3 Y3Fe5O12

17171400485

670515480130

17401446510

870--

200

2,221,720,606

3,42,034,15,0

10431388627

318386858560

Nhiệt độ Curie TC là điểm mà ở dướ i nó (T < TC) thì vật liệu là sắt từ còn khi nhiệt độ cao hơ n nó (T > TC) thì sắt từ trở thành thuận từ. Khi nhiệt độ tăng lên thì chẳng hạn từ độ của vật liệu giảm đi. Chính tại T = TC, từ độ sẽ bằng 0. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ ở sắt từ cũng tuân theo định luật

Curie-Weiss như ở chất thuận từ:θ−=χ T

C (15.34)

vớ i( )( )

2

0 B

B

n g J J 1C

3k

µ += (15.35)

và Cwλ=θ (15.36)

trong này wλ là hệ số Weiss.

Hình 15.10 mô tả sự phụ thuộc của từ độ bão hòa kỹ thuật JS và tỷ số 1/ χ vào

nhiệt độ.Ở tất cả các chất sắt từ đều biểu hiện tính từ dư. Tức là sau khi đượ c từ

hóa, nếu ngắt từ trườ ng ngoài (H = 0) thì sắt từ vẫn còn giữ đượ c từ tính (độ từ WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




dư) và chúng chỉ biến mất khi bị từ hóa theo chiều ngượ c lại vớ i một từ trườ ngđủ mạnh (gọi là cườ ng độ trườ ng khử từ HC). Để đặc trưng cho tính từ dư củavật liệu ngườ i ta dùng một đườ ng cong từ trễ trên hình 15.11, qua đó cho thấycảm ứng từ, từ độ và cả độ cảm từ phụ thuộc phi tuyến vào từ trườ ng từ hóa.

Thực nghiệm cũng chỉ ra rằng để từ hóa bão hòa (giá trị BS) phần lớ n

các vật liệu sắt từ chỉ cần một từ trườ ng không lớ n lắm (khoảng 105 A/m, trongkhi ở thuận từ là 109 A/m). Ví dụ vớ i Supermalloy FeMn H~ 1A/m ; Hợ p kimAlNiCo H~ 5.104 A/m .

Hình 15.10: S ự phụ thuộc nhiệt độ của độ t ừ hóa bão hòa I S và t ỷ số

1/ χ Hình 15.11: Đườ ng cong t ừ tr ễ củasắ t t ừ

Hiển nhiên là vớ i từ độ và độ cảm từ lớ n thì sắt từ cũng có độ từ thẩmχ+=µ 1 lớ n và cảm ứng từ B = µµoH cao, đồng thờ i có cườ ng độ trườ ng khử

từ HC cao. Chẳng hạn sắt tinh khiết sau khi luyện trong hydro có µ = 280000,hợ p kim FeCoMoSiB có µ = 400000-600000, hợ p kim permaloi (78%Ni,22%Fe) có µ = 80000; Thép FeWC có cảm ứng từ bão hòa BS = 1,15-0,95 T,

hợ p kim FeCo có BS = 2,35 T; Hợ p kim Sm-Co có cảm ứng từ dư Br = 1-1,15 Tvà lực kháng từ HC = 750-850 kA/m, hợ p kim NdFeB cho Br = 1,1-1,25 T vàHC = 800-1000 kA/m…

Ngoài ra sắt từ còn nhiều tính chất độc đáo khác như tính từ giảo (khi bị từ hóa vật sắt từ thay đổi kích thướ c hoặc ngượ c lại ở sắt từ có tính từ giảo khilàm biến dạng cơ học thì cũng làm cho vật bị từ hóa), tính dị hướ ng từ (độ từ hóa theo các phươ ng khác nhau của tinh thể sắt từ thì khác nhau), hiện tượ ngcộng hưở ng sắt từ (khi đặt sắt từ vào trong từ trườ ng không đổi H cũng có thể hấp thụ cộng hưở ng sóng điện từ có tần số thích hợ p), hiệu ứng quang từ (khichiếu chùm ánh sáng -sóng điện từ- qua vật sắt từ thì mặt phẳng phân cực củachùm tia sáng khi đi qua vật hoặc phản xạ trên mặt vật bị quay đi một góc nàođó)…

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Tất cả những tính chất nêu trên liên quan đến bản chất từ tính của sắt từ.

2 – Bản chất từ tính của sắt từ :Dướ i đây chúng ta sẽ xét một số công trình lý thuyết nhằm giải thích

hiện tượ ng sắt từ,

a. Lý thuyế t Weiss (thuyế t miề n từ hóa tự nhiên):

Lý thuyết Weiss (1907) đượ c xem như thuyết cổ điển về sắt từ. Weissgiả thiết rằng chất sắt từ đượ c từ hóa do trong đó có tồn tại một trườ ng nội tạiphân tử, đồng thờ i cũng giả thiết rằng ngay cả khi không có từ trườ ng ngoàichất sắt từ cũng đượ c từ hóa đến bão hòa. Trong trạng thái khử từ (H = 0)mômen từ tổng cộng của sắt từ cũng bằng không là do vật chia thành nhữngvùng vi mô riêng lẻ, gọi là các đômen (hay vùng từ hóa tự nhiên), bên trong mỗivùng mômen từ của các nguyên tử hướ ng song song vớ i nhau nhưng mômen từ của các vùng khác nhau hướ ng khác nhau nên tổng các mômen từ của cả vật

bằng không. Trong quá trình từ hóa vật, từ trườ ng ngoài chỉ có tác dụng địnhhướ ng mômen từ của các đômen. Điều này giải thích vì sao chỉ cần một từ trườ ng nhỏ cũng có thể từ hóa bão hòa sắt từ.

Như vậy có thể coi sắt từ là vật liệu có trật tự từ, tươ ng tự như phản sắttừ và feri từ, sẽ đượ c trình bầy ở phần sau (hình 15.12).

Hình 15.12: S ự sắ p xế p định hướ ng tr ật t ự của các mômen t ừ nguyên t ử trong một số vật liệu sắ t t ừ , phản sắ t t ừ và feri t ừ .

Kích thướ c của các đômen tùythuộc vào loại sắt từ, có thể có đườ ngkính từ 0,5-1,5 µm (nếu xem chúng códạng hình cầu). Giữa các đômen có cácvách ngăn (hình 15.13), thườ ng gặpnhất là loại vách ngăn Block (hay vách180o- ngh ĩ a là 2 đômen liền kề váchngăn này có các mômen từ định hướ ngđối song song vớ i nhau, khi đi qua váchngăn này các mômen từ tự động quay180o để trùng hướ ng vớ i mômen từ kế bên – Xem hình 15.14). Thực nghiệmđã xác minh sự tồn tại của các đômen

từ bằng việc quan sát sự sắp xếp theomột trật tự xác định của chất lỏng từ trải trên bề mặt vật sắt từ (phươ ng phápBitter, xem hình 15.15).

Hính 15.13: S ơ đồ cấ u trúcđ ômen trong sắ t t ừ , giữ a các vùnglà nhữ ng vách ngăn. Các véct ơ mômen t ừ (mũi tên) định hướ ngđố i song song t ừ ng cặ p d ẫ n đế n t ừ độ của toàn vật bằ ng không. WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Khi từ hóa các chất sắt từ, ban dầusẽ là quá trình dịch chuyển của các váchngăn. Các vùng có mômen từ hướ ng gầntrùng vớ i từ trườ ng ngoài H lớ n dần lên còncác vùng mà mômen từ của chúng khôngtrùng vớ i phươ ng từ hóa thì thu hẹp dần vàbiến mất, khi từ trườ ng từ hóa tăng dần lên.Khi từ trườ ng từ hóa H đủ lớ n, sẽ chỉ còncác vùng có mômen từ gần trùng vớ i phươ ngcủa H. Nếu tiếp tục tăng H thì các mômen từ này sẽ thực hiện quá trình quay để địnhhướ ng hoàn toàn song song và cùng chiềuvớ i từ trườ ng từ hóa, lúc nàytừ độ của mẫu đạt tớ i giá trị

bão hòa (hình 1.16). Vì quátrình dịch chuyển vách vàquay của các mômen từ khi từ trườ ng H lớ n là có tính chấtbất thuận nghich nên khi ngắttừ trườ ng ngoài thì mômen từ của các đômen vẫn giữ lại mộtsự định hướ ng nhất định,không trở lại trạng thái hỗnloạn ban đầu. Đó chính lànguyên nhân tính từ dư trongsắt từ. Muốn khử từ mẫu (làmtriệt tiêu cảm ứng từ dư) thìhoặc phải từ hóa vật theochiều ngượ c lại để phá vỡ sự định hướ ng cótrật tự của các mômen từ (khử từ bằng từ trườ ng), hoặc phải nung nóng vật lên để phávỡ cấu trúc đômen của chúng (khử từ bằngnhiệt). Nhiệt độ Curie TC là giớ i hạn tồn tại

các đômen sắt từ, quá giớ i hạn này (T > TC)sắt từ trở thành thuận từ.

Dướ i đây xác lập các biểu thức tínhcác đại lượ ng đặc trưng từ tính của sắt từ theo quan điểm của Weiss:

Trườ ng phân tử mà Weiss giả thiết tỷ lệ vớ i

độ từ hóa: i wH J= λ rr

(15.37)

vớ i wλ là hệ số Weiss. Khi có từ trườ ng

ngoài H, mẫu vật chịu tác dụng của trườ ng toàn phần HT lên mỗi mômen từ nguyên tử: iT HHH

rrr+= (15.38)

Hình 15.16: Quá trình t ừ hóa vật liệu sắ t t ừ .

Hình 15.15: Mô hình cấ u trúc đ ômen của

sắ t t ừ . a. Dạng mê cung (quan sát sự sắ p xế p của chấ t lỏng t ừ tr ải trên bề mặt vật).b. M ẫ u đ ômen thự c nhận đượ c sau khi

bóc tách lớ p bề mặt d ầ y 28 µ m của vật.

Hình 15.14: S ự xoay hướ ngcủa véct ơ mômen t ừ trongvách Bloch iữ a hai đ ômen.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Tươ ng tự thuận từ, ta có từ độ: J = n0gµBBJ(y) (15.39)

Nhưng ở đây:( ) ( )

Tk

MHJg

Tk

HHJgy

B

wB

B

iB λ+µ=

+µ= (15.40)

Khi T > TC và từ trườ ng ngoài nhỏ thì y << 1, lúc đó: BJ (y) ( )J31J +≈ y (15.41)

Do đó: M( )

( )B0 B w

B

J J 1 Jgn g . H M

3J k T

+ µ= µ + λ (15.42)

Giải phươ ng trình này dễ dàng tìm đượ c: M = Hχ (15.43)

vớ iθ−

=χT

C (15.44)

ở đây( )( )

2

0 B

B

n g J J 1C

3k

µ += (15.45)

và Cwλ=θ (15.46).

Biểu thức (15.44) chính là định luật Curie – Weiss cho thuận từ. Như vậy ở vùng nhiệt độ T > TC chất sắt từ trở thành thuận từ.

Trong trườ ng hợ p không có từ trườ ng ngoài (H = 0), T < TC và θ ~ TC ,

bằng phươ ng pháp đồ thị cũng có thể xác định đượ c:( )2 2

0 BC w

B

n g J J 1T

3k

µ += λ (15.47)

Phươ ng trình này cho giá trị TC = θ như (15.46). Giải phươ ng trình này vớ i cácgiá trị T<TC có thể dựng đượ c đườ ng cong từ độ phụ thuộc nhiệt độ mô tả ở hình 15.10 trên đây.

Tuy nhiên Weiss cũng không giải thích chính xác nguồn gốc trườ ngphân tử trong sắt từ và thực nghiệm cũng chỉ ra rằng trườ ng nội tại này (nếu có)

thì rất lớ n nhưng không đóng vai trò quyết định đến sự định hướ ng song songcủa các mômen từ nguyên tử sắt từ. Vậy bản chất trườ ng Weiss là gì và yếu tố nào quyết định trật tự từ của sắt từ ? Câu hỏi này sẽ đượ c giải đáp khi nghiêncứu sắt từ bằng thuyết lượ ng tử.

b. Thuyế t l ượ ng tử về tính sắ t từ :Heisenberg và Frenkel là những ngườ i đầu tiên đã đưa ra giả thiết rằng

bản chất của trườ ng Weiss là tươ ng tác trao đổi giữa các điện tử thuộc nguyêntử cấu thành chất rắn. Tươ ng tác trao đổi là tươ ng tác đặc thù của cơ học lượ ngtử biểu thị ảnh hưở ng của sự định hướ ng spin lên năng lượ ng của hệ, có nguồn

gốc là tươ ng tác t ĩ nh điện.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Theo mô hình Heisenberg có thể xác định đượ c năng lượ ng tươ ng táctrao đổi giữa điện tử thứ i và các điện tử j còn lại của nguyên tử dọc theo trục z

của tinh thể bằng biểu thức sau: ∑−= j

jziziji SSJ2W (15.48)

ở đây Jij là tích phân trao đổi, Siz và S jz là spin của các điện tử i và j chiếu lêntrục tinh thể z.

Nếu thay Sij bằng trung bình thống kê ijS (theo lý thuyết trườ ng phân tử của

Weiss) và áp dụng hệ thức giữa mômen từ và mômen động lượ ng pmij = gµBSij

ta có thể viết lại (15.62) dướ i dạng:( )

iz j

2B

iziji

g

J2W µ

µ

µ−= ∑ (15.49)

Gọi Hw là cườ ng độ trườ ng nội tại (trườ ng Weiss), có hướ ng dọc theo trục z, tacó : Wi = - Hwµiz (15.50)

So ánh (15.49) và (15.50) rút ra:( )

∑µ

µ=

j2

B

jzijw

g

J2H (15.51)

Mặt khác theo định ngh ĩ a độ từ hóa: ijNM µ= hayN

Mij =µ

Thế (15.51) vào (15.50) ta có:( )

MgN

J2H

j2

B

ijw

µ= ∑ (15.52)

Đối chiếu vớ i (15.37) suy ra hệ số Weiss:( )∑ µ=λ

j2

B

ijwgN

J2 (15.53)

Từ đây tính đượ c nhiệt độ Curie:( )

wB

2B

2

C k3

1SSNgT λ

+µ= (15.54)

Như vậy bản chất trườ ng phân tử Weiss chính là tươ ng tác trao đổi.Tươ ng tác này càng mạnh thì nhiệt độ chuyển pha sắt từ - thuận từ càng cao. Từ thực nghiệm ngườ i ta xác định đượ c nhiệt độ Curie và từ đó tính đượ c tích phântrao đổi để tính ngượ c lại giá trị Hw. Mô hình Heisenberg giải thích đượ c cơ chế

hình thành độ từ hóa tự phát của sắt từ ở nhiệt độ T < TC và thể hiện tính thuậntừ ở T > TC. Tuy nhiên mô hình này chỉ áp dụng đượ c cho các sắt từ cách điệnvà các kim loại đất hiếm có lớ p điện tử f chưa lấp đầy hoặc các kim loại sắt từ mà điện tử của chúng nằm rất gần nhau, những trườ ng hợ p khác (các kim loạisắt từ và hợ p kim sắt từ mà trong chúng các điện tử dẫn đóng góp chính vào độ từ hóa) thì phải vận dụng thêm mô hình dải năng lượ ng (khi đó các điện tử bị tập thể hóa, tạo thành các dải năng lượ ng) và tươ ng tác trao đổi gián tiếp thôngqua một điện tử khác (ion) mớ i có thể giải thích đượ c. Mặt khác lý thuyết Weissvề trườ ng phân tử cũng chỉ thích hợ p cho trườ ng hợ p nhiệt độ thườ ng hoặc caogần bằng nhiệt độ Curie, còn ở nhiệt độ thấp hoặc rất thấp(gần 0K) thì phải nhờ

tớ i phươ ng pháp sóng spin (magnon) để giải thích.Cũng cần nói thêm rằng ở các nguyên tử mà các lớ p điện tử đượ c lấp

đầy và tích phân trao đổi có giá trị dươ ng dẫn tớ i sự định hướ ng song song củaWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




các spin là điều kiện cần và đủ để xuất hiện tính sắt từ. Chúng ta sẽ còn trở lạivấn đề này ở phần sau.

§15.5 CHẤT PHẢN SẮT TỪ VÀ FERI TỪ

Tươ ng tự như sắt từ, phản sắt từ và feri từ (ferit) là các chất đượ c cấutạo từ những đômen từ, có trật tự từ và từ tính rất mạnh. Nhưng ở phản sắt từ các mômen từ nguyên tử có giá trị bằng nhau nhưng định hướ ng đối song songvớ i nhau từng đôi một nên mômen từ tổng cộng của vật luôn luôn bằng khôngkhi không có từ trườ ng ngoài. Còn ở ferit các mômen từ cũng đối song songnhưng giá trị của chúng lại không bằng nhau nên mômen từ nguyên tử tổn cộngkhông bù trừ lẫn nhau do đó độ từ hóa toàn phần trong vật luôn khác không. Tasẽ tìm lờ i giải đáp cho những hiện tượ ng này.

1 – Chất phản sắt từ : Ở phần trên, trình bầy về chất sắt từ, đã đưa ra tích phân trao đổi Jij, đặc

trưng cho năng lượ ng tươ ng tác trao đổi hay xác suất trao đổi giữa các điện tử ivà j của hai nguyên tử a và b trong vật thể. Đại lượ ng này có thể đượ c xác địnhbằng biểu thức sau:

( ) ( ) ( ) ( ) jiba*b

*aij dqdq jiV jiJ ψ ψ ψ ψ = ∫ (15.55)

Ở đây ψ và *ψ là các hàm sóng và ánh xạ của nó, V là toán tử năng lượ ngtươ ng tác giữa hai nguyên tử, q là điện tích của điện tử. Giá trị của Jij có thể

dươ ng hoặc âm. Khi Jij > 0 các spin định hướ ng song song vớ i nhau ( ji SS rr ↑↑ ),

vật liệu là sắt từ. Khi Jij < 0, các spin đối song song ( ji SS rr

↑↓ ), vật liệu là phản

sắt từ.Tính chất phản sắt từ có ở nhiều vật liệu như các hợ p chất MnO, MnS,

MnTe, FeF2, FeO, CoO…, các kim loại đất hiếm như Ce, Nd, Sm, Tu…, một số kim loại nhóm chuyển tiếp (nhóm sắt) như Mn, Cr.

Thực nghiệm đã chỉ ra rằng ở các nguyên tố lớ p chuyển tiếp có lớ p vỏ điện tử d không lấp đầy, tích phân trao đổi phụ thuộc trực tiếp vào tỷ số a/d,

trong đó a là khoảng cách giữa các nguyên tử (hay hằng số mạng tinh thể) còn dlà bán kính quỹ đạo lớ p trong không lấp đầy.

Trên hình 15.17 mô tả mối quan hệ giữa tích phân trao đổi J và tỷ số a/dcủa các nguyên tố nhóm chuyển tiếp, ta thấy khi a/d > 1,5 tích phân J có giá trị dươ ng, tươ ng ứng vớ i nó có các chất sắt từ Fe, Co và Ni, vớ i a/d < 1,5 có J < 0,khi đó Mn, Cr… là phản sắt từ. Bằng cách nào đó làm tăng hằng số mạng củaMn để a/d > 1,5 thì Mn có thể trở thành sắt từ. Thực nghiệm chứng tỏ điều này:khi pha vào Mn một lượ ng nhỏ nitơ sẽ làm tăng hằng số mạng của Mn và nónhận đượ c tính sắt từ. nhiều hợ p chất khác của Mn như MnCuAl, MnSb,

MnBi…cũng biểu thị đặc tính này.Trong thực tế ngườ i ta có thể sử dụng phổ nhiễu xạ neutron để xác địnhsự sắp xếp của các mômen từ phản sắt từ. Hình 15.18 mô tả cấu trúc từ của

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




MnO đượ c xác định bằng phươ ng pháp phổ nhiễu xạ neutron. Sự phân bố trật tự của mômen từ như vậy chỉ có ở vùng nhiệt độ thấp hơ n một nhiệt độ TN, đượ cgọi là nhiệt độ Néel.

Như vậy có thể nói vật liệu phản sắt từ tạo thành từ hai phân mạng bị từ hóa ngượ c chiều nhau:MA = - MB (15.56)

Các ion từ ở trong các phân mạng nàykhông tươ ng tác trao đổi trực tiếp vớ inhau mà thông qua một ion thứ 3,chẳmg hạn ở MnO các ion từ Mn2+ tách rờ i nhau bở i ion không từ O2-.Một cách tổng quát có thể coi tinh thể phản sắt từ gồm hai phân mạng sắt từ

lồng vào nhau, sao cho tất cả các ionlân cận gần nhất của phân mạng thứ nhất là những ion của phân mạng thứ hai và ngượ c lại. Trong mỗi phânmạng các spin cùng chiều vớ i nhau. Gọi phân mạng 1 có mômen từ spin hướ nglên trên, phân mạng 2 có mômen từ spin hướ ng xuống dướ i, tươ ng ứng vớ ichúng có các tích phân trao đổi trong mỗi phân mạng J11, J22 và giữa các phânmạng vớ i nhau là J12, J21. Ta coi J11>0; J22>0; J12<0; J21<0. Vì hai phân mạngtươ ng đươ ng nên J11 = J22 và J12 = J21; đồng thờ i do hai nút mạng cạnh nhauthuộc hai phân mạng khác nhau nằm gần nhau hơ n so vớ i hai nút cạnh nhau

thuộc cùng một phân mạng nên giả thiết 1112 JJ > .

Hình 15.18: C ấ u trúc t ừ của tinhthể MnO

Hình 15.19: Mô hình liên k ế t siêutrao đổ i của hợ p chấ t phản sắ t t ừ :hai ion kim loại ở các phân mạng M 1 và M 2 t ươ ng tác trao đổ i giántiế p qua ion Oxy, các spin đố i song

song.

Theo lý thuyết trườ ng phân tử Weiss ta có:( )

2121111w MMH

rrrλ+λ= hay ( )

2121111w MMH

rrrλ−λ= (15.57)

và ( )222121

2w MMH rrr λ+λ= hay ( )

2221212

w MMH rrr λ+λ−= (15.58)

Khi có từ trườ ng ngoài H, mỗi phân mạng đượ c từ hóa riêng và có độ từ hóa là:

Hình 15.17: S ự phụ thuộc của tích

phân trao đổ i J vào t ỷ số giữ a hằ ngsố mạng a và bán kính d qu ỹ đạokhông lấ p đầ y a/d.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




( )( )1w

11 HH

T

CM

rrr+= (15.59)

( )( )2w

22 HH

T

CM

rrr+= (15.60)

ở đây C1, C2 là hệ số Curie cho từng phân mạng. Véctơ độ từ hóa cho toàn phần

của vật sẽ là: ( )[ ]MH2T2

CMMM 121121 λ−λ+=+=

rrr (15.61)

trong này: C = 2C1 = 2C2 =( )

B

2B

2

k3

1SSNg +µ (15.62)

Từ (15.61) dễ dàng rút ra biểu thức cho độ cảm từ:θ+

=χT

C (15.63)

vớ i ( )11122C λ−λ=θ . Biểu thức (15.63) đượ c coi như định luật Curie-Weiss

cho chất sắt từ ở miền thuận từ (T > TN). Ở nhiệt độ bất kỳ, M1 và M2 thỏa mãn

các phươ ng trình: ( )( )( )

+µ=

Tk

HHSgB0MM

B

1wB

S11

M1 ( ) ( )

λ−λ+µ=

Tk

MMHSgB0M

B

212111BS1 (15.64)

( )( )( )

+µ=Tk

HHSgB0MMB

2wBS22

( ) ( )

λ−λ+µ=

Tk

MMHSgB0M

B

121222BS2 (15.65)

trong đó M1(0), M2(0) là độ từ hóa cực đại của mỗi phân mạng ở 0K. Giải hệ các phươ ng trình này có thể xác định đượ c độ từ hóa toàn phần và độ cảm từ như là hàm của nhiệt độ đối vớ i phản sắt từ. Kết quả tính toán cho thấy dáng

điệu ( )Tχ ở T < TN phụ thuộc vào phươ ng của từ trườ ng ngoài đối vớ i phươ ngtừ hóa của hai phân mạng (hình 15.20).Có thể xác định nhiệt độ Néel từ biểu thức sau:

( )1112

12111211N 2

CT

λ−λ

λ+λθ=λ+λ= (15.66)

2 - Chất feri từ (ferit): a. Nguồ n gố c từ tính củ a ferit:

Ferit là các vật liệu từ ôxit. Thành phần của chúng gồm ôxit sắt hóa trị 3kết hợ p vớ i một hoặc nhiều ôxit kim loại hóa trị 2 khác. Như đã đề cập tớ i trong§15.1, ferit đượ c xem như là chất phản sắt từ mà các mômen từ không bù trừ nhau. Điều này có ngh ĩ a là ferit cũng có cấu trúc từ gồm hai phân mạng nhưng

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




hai phân mạng này không tươ ng đươ ng nhau, mômen từ của mỗi phân mạngkhác nhau nên độ từ hóa toàn phần khác không (xem hình 15.7). Có hai khả năng cơ bản dẫn đến sự bất bù trừ của các mômen từ của ferit:

- Thứ nhấtlà các ion từ củamột phân mạng cómômen từ khácvớ i mômen từ củamột phân mạngkia hay mômen từ của các ion từ trong cùng mộtphân mạng có giátrị khác nhau, do

ảnh hưở ng củatươ ng tác trao đổitrực tiếp.

- Thứ haitươ ng tác trao đổigián tiếp (tươ ng tácsiêu trao đổi) giữa haiion trong cùng mộtphân mạng hoặc khácphân mạng đượ c thựchiện qua ion ôxy màkhoảng cách từ các ionnày đến ion ôxy và góctạo bở i đườ ng nối tâmcủa các ion từ vớ i tâmcủa ion ôxy là khácnhau (hình 15.21).

Ở ferit tồn tạicả hai khả năng này,

nhưng mức độ biểu hiện khác nhau nên các ferit có từ tính khác nhau. Tuynhiên tươ ng tác trao đổi gaín tiếp có lợ i hơ n về mặt năng lượ ng và đóng vai tròquyết định. Dướ i đây ta xác lập các biểu thức cho các đại lượ ng từ tính của ferittheo lý thuyết trườ ng phân tử và lý thuyết Neel. Giả sử mạng tinh thể ferit gồmphân mạng thứ nhất có các spin S1quay lên, phân mạng thứ hai có các spin S2 quay xuống và S2 < S1, định luật Curie cho từng phân mạng có dạng:

( )( ) ( )21211111

w1

1 MMHT

CHH

T

CM

rrrrrrλ−λ+=+= (15.67)

( )

( ) ( )12122222

w2

2 MMHT

C

HHT

C

M

rrrrrr

λ−λ+=+= (15.68)

Hình 15.20: S ự phụ thuộc của t ừ độ vào phươ ng của t ừ tr ườ ng t ừ hóa bên ngoài và ảnh hưở ng của t ừ tr ườ ng

đế n tính phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm t ừ của phản sắ tt ừ . χ là độ cảm t ừ toàn phần, // ,χχ⊥ là độ cảm t ừ của

tinh thể khi t ừ tr ườ ng đặt vuông góc hay song song vớ itr ục phản sắ t t ừ .

Hình 15.21: M ột vài d ạng cấ u hình sắ p xế p của cácion trong t ươ ng tác siêu trao đổ i ở ferit. N ăng lượ ng

t ươ ng tác trao đổ i sẽ lớ n nhấ t nế u khoảng cách t ừ iont ừ đế n ion ôxy nhỏ nhấ t và góc φ gần t ớ i 180O.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ở đây 21 CC ≠ và 2211 λ≠λ vì hai phân mạng không tươ ng đươ ng nhau. Từ độ toàn phần:

( ) ( )

( )( )

H

CCCTCT

2CCTCCMMMMM

2

1221222111

12221121212121

λ−λ−λ−

λ−λ+λ−+=−=+=

rr

(15.69)Từ đây thu đượ c biểu thức nghịch đảo của độ cảm từ:

θ−

δ−

χ+=

χ T

1

C

T1

o

(15.70)

trong đó: 21 CCC += ; ( ) 222112112212

o

CCCC2C

11λ−λ−λ=

χ ;

( ) ( )[ ]2

2

122222211121

C

CCCC λ+λ−λ+λ

=δ ; ( )122211

21

2C

CC

λ+λ+λ=θ Từ (15.70) ta thấy 1/ χ của ferit phụ thuộc nhiệt độ theo quy luật

hyperbol (hình 15.7), trong khi ở sắt từ và phản sắt từ tỷ số này thay đổi tuyếntính theo nhiệt độ.

Từ hệ phươ ng trình (15.67), (15.68) vớ i H = 0 có thể tính đượ c nhiệt độ Curie:

( ) ( )[ ] 2 / 121221

2222111222111C CC4CCCC

2

1T λ+λ−λ+λ+λ= (15.71)

Biếtđượ c M1(0) vàM2(0) sẽ xácđịnh đượ c độ từ hóa toànphần của ferit.Do M1(0) vàM2(0) phụ thuộc rất khácnhau vào nhiệt

độ, trong feritcũng tồn tạinhiều dạng thay đổi độ từ hóatoàn phần theo nhiệt độ (hình15.22). M(T) có thể có cựcđại ở nhiệt độ T ≠ 0 hoặc bằng0 ở nhiệt độ Tk, gọi là nhiệt độ triệt tiêu.

b. M ộ t số ferit thông d ụ ng:

Ferit có rất nhiều loại,đượ c sử dụng hết sức phổ biến và hiệu quả.Một vài loại

Hình 15.22: S ự phụ thuộc nhiệt độ của t ừ độ bão hòa của ferit hai phân mạng: a/ Loại thườ ng; b/ loại d ị thườ ng có

cự c đại; c/ có nhiệt độ bù tr ừ .

Hình 15.23: Ô cơ bản cấ u trúc lậ p phươ ng

spinel của ferit. Các ion t ừ (hình tròn nhỏ)nằ m t ại các vị trí t ứ diện và bát diện, bao bọcbở i các ion ôxy (hình tròn lớ n).

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




hay gặp như:- Ferit có cấ u trúc tinh thể l ậ p phươ ng spinel: loại này có công thức

hóa học tổng quát là MeO.Fe2O3, vớ i Me là ion kim loại như Mn2+, Zn2+, Mg2+,Co2+, Ni2+… Tinh thể của chúng có cấu trúc dạng lập phươ ng spinel (hình15.23). Các ferit thông dụng nhất thuộc loại này là freit Mangan-KẽmMnO.ZnO.Fe2O3 và Nickel-Kem NiO.ZnO.Fe2O3.Chúng có từ độ lớ n, cảm ứng từ dư lớ n, độ từ thẩmban đầu lớ n (có thể đạt tớ i 80.000 đơ n vị), lực khángtừ nhỏ (khoảng vài chục Oe), điện trở suất rất lớ n (cỡ 106 Ωcm), thườ ng đượ c sử dụng làm lõi các cuộncảm cao tần…- Ferit l ụ c giác:

Phổ biến nhất trong số này là các ferit có cấutrúc tinh thể lục giác loại khoáng chất

Magnetoplumbite Bao.6Fe2O3 và SrO.6Fe2O3 ,thườ ng gọi là ferit từ cứng (hình 15.24). Ô cơ bảncủa chúng gồm các khối Spinel xen kẽ vớ i các khốilục giác. Các ion Ba(hay Sr, Pb…) thay thế cho một ion ôxy và nằmđối xứng qua trục lụcgiác. Các ion từ Fe3+ chiếm các vị trí tứ điện,bát diện và chóp kép.

Các ferit lục giácMagnetoplumbite có độ từ dư lớ n (4-5 kG), lựckháng từ lớ n (3-4 kOe),tích số năng lượ ng cựcđại lớ n ((BH)max= 4-5MG.Oe), điện trở suấtlớ n (~ 106Ωcm) và cótính dị hướ từ lớ n…,

đượ c dùng làm namchâm v ĩ nh cửu, sử dụngphổ biến làm loa, môtơ DC công suất nhỏ, dụngcụ đo điện…

§16.6 VẬT LIỆU TỪ CỨ NG VÀ TỪ MỀM

Trong l ĩ nh vực ứng dụng thực tế ngườ i ta phân biệt vật liệu từ ra thànhvật liệu từ cứng và vật liệu từ mềm. Đó chủ yếu là các chất sắt từ và ferit màchúng khác biệt nhau ở khả năng tồn giữ từ tính sau khi đượ c từ hóa. Để đặc

Hình 15.25: Đườ ng cong t ừ tr ễ của vật liệu t ừ mề m (đườ ng hẹ p) và t ừ cứ ng (đườ ng r ộng)

H

B

HK

- HK

O

Sắt từ cứng

Sắt từ mềm

Bd

H1

- H1

Hình 15.24: S ơ đồ cấ utrúc tinh thể của ferit

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




trưng tính chất của hai loại vật liệu này ngừơ i ta thườ ng dùng đườ ng cong từ trễ (hình 15.25).Vật liệu từ cứng có độ từ dư Bd khá cao và hầu như còn nguyên vẹn sau khingắt từ trườ ng từ hóa, muốn làm triệt tiêu nó ngườ i ta phải từ hóa vật theo chiềungượ c lại vớ i một từ trườ ng khử H

kkhá lớ n, thậm chí rất lớ n (tớ i hàng trăm

kA/m). Do đó còn gọi vật liệu này là nam châm v ĩ nh cửu. Đồng thờ i vật liệu từ cứng còn đượ c đặc trưng bằng tích số năng lượ ng cực đại (BH)max cao (biểu thị năng lực làm việc của nam châm), dị hướ ng từ lớ n... Trái lại để từ hóa vật liệutừ mềm chỉ cần một từ trườ ng ngoài nhỏ và sau khi ngằt từ trườ ng từ hóa thì độ từ dư của chúng hầu như biến mất hoặc chỉ còn rất nhỏ, rất dễ dàng khử mất nó bằng một trườ ng khử từ rất bé (cỡ vài trămA/m). Bù lại vật liệu từ mềm có độ từ thẩm ban đầu rất cao (có thể tớ i vài trămnghìn đơ n vị) nên chúng đượ c sử dụng phổ biến làm lõi các cuộn dây cảm ứng.Ngoài ra hai loại vật liệu này còn những tính chất riêng biệt khác. Dướ i đây

điểm qua một số vật liệu từ cứng, từ mềm thông dụng nhất cùng vớ i đặc tính vàphạm vi ứng dụng chúng.

1 - Vật liệu từ cứ ng (nam châm v ĩ nh cử u):Bảng 15.4 nêu lên những tính chất từ chủ yếu của một số loại nam châm

v ĩ nh cửu phổ biến.

Bảng 15.4: T ừ tính của vài loại nam châm vĩ nh cử u quan tr ọng nhấ t.Vật liệu Hk

[kA/m]Br [T]

(BH)max [kJ/m3]

TC (OC)

Ferit Ba, Sr dị hướ ngThép martensitAlNiCo dị hướ ngSmCo5 dị hướ ngSm2Co17 dị hướ ngNdFeB thiêu kếtNdFeB nung sơ bộ Nam châm dẻo feritN/C dẻo NdFeB

300 - 40010 - 2050 - 130

1000 - 2400650 - 2100800 - 3300

1040 - 1800180 - 210

1000 - 1600

0,38 - 0,420,75 - 1,0

0,8 - 1,350,85 - 1,010,98 - 1,081,05 - 1,421,15 - 1,30,08 - 1,150,85 - 1,05

24 - 343,3 - 8,229 - 43

140 - 200170 - 240170 - 390240 - 300

8 - 15130 - 180

450770850720800360360450360

Ngoài ra còn nhiều loại nam châm vớ i các tính chất khác nhau nữa. Tùytheo nhu cầu sử dụng mà ngườ i ta chế tạo các loại nam châm khác nhau. Nhữngl ĩ nh vực ứng dụng chủ yếu của các nam châm là làm loa điện, môtơ điện, cácthiết bị đo điện, ….

Trong vài năm gần đây phạm vi ứng dụng nam châm v ĩ nh cửu mở rộngrất nhiều, đặc biệt trong các ngành điện, điện tử, giao thông vận tải, y sinh học.Các máy phát điện chạy bằng sức gió, sức nướ c dùng động cơ nam châm v ĩ nhcửu, góp phần bổ sung nguồn năng lượ ng thiếu hụt và ngày càng đắt đỏ trên tráiđất, các môtơ một chiều cho xe đạp, xe máy, ôtô chạy điện giảm ô nhiễm môi

trườ ng. Các viên từ chữa đau đầu, đau khớ p, huyết áp cao…đượ c sử dụng ngàymột phổ biến. Đặc biệt các hạt bột từ cỡ nano mét trong chất lỏng từ để tảithuốc tớ i chữa trị các khối u đang đượ c quan tâm nghiên cứu. Chính vì nhữngWW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




ứng dụng hết sức phong phú, đa dạng mà sản lượ ng nam châm cũng khôngngừng đượ c phát triển.

2 - Vật liệu từ mềm:Đặc tính chủ yếu của loại vật liệu này là có cườ ng độ trườ ng khử từ rất

nhỏ, cảm ứng từ dư lớ n, độ từ thẩm ban đầu rất cao, có thể lên tớ i hàng trămđơ n vị, độ tổn hao từ trễ thấp, thích hợ p để làm lõi các cuộn dây cảm ứng, lõibiến thế, lõi nam châm điện…Các vật liệu ferit có điện trở suất lớ n (tớ i106Ωcm) đượ c sử dụng rất hiệu quả throng l ĩ nh vực cao tần. Nhiều loại vật liệucó tính từ giảo đượ c sử dụng làm thiết bị siêu âm. Các sản phẩm đầu từ, băngtừ, đĩ a từ dùng trong l ĩ nh vực nghe nhìn, ghi âm ghi hình, tin học…chiếm sảnlượ ng khổng lồ vật liệu từ. Các bộ linh kiện ghi nhớ áp dụng hiệu ứng từ trở cógiá trị lên đến 40 tỷ USD vào những năm cuối thế kỷ 20. Gần đây ngườ i ta tìmra vật liệu có từ trở khổng lồ hứa hẹn những ứng dụng rất hiệu quả trong các

linh kiện tổng hợ p đa lớ p, các bộ cảm biến…Các vật liệu từ mềm chủ yếu là sắt tinh khiết, sắt kỹ thuật điện, thép ít

carbon, hợ p kim FeSi, FeNi, FeAl, FeCo, FeNiMo, FeBSi…, các loại feritMnZn, NiZn, MnMg…Các tính chất cơ bản của một vài trong số các vật liệunày đượ c nêu ở bảng 15.5.

Bảng 15.5: Tính chấ t t ừ cơ bản của vài loại vật liệu t ừ mề m.

Vật liệu Cảm ứngtừ bão

hòaBS(T)

Lựckhử từ

JH

C

(A/cm)

Độ từ thẩm

µmax ở 50 Hz

Tổnhao P ở 20 kHz(W/kg)

Từ giảo6

s 10. −λ

Nhiệtđộ

CurieTC (OC)

Điệntrở

suấtρ

(Ωcm)

FeNi(VĐH)

FeAl

FeSiAl

FeNi (lá)

FeCoMoMnFerit MnZn

FeritNiZnCo

24-29

1,6

1,2

0,8

0,8-0,95

0,420,32

0,02

0,2

0,03

0,04

0,01

0,11,2-12

~300000

7000-8000

~30000

~350000

~300000~20000

~800

~30

-

-

-

~5

~0,25-

30

45-60

-

1

0,3

--

420

600

500

400

350

150250

-

110

90

-

-

104-106

103-104

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§15.7 VẬT LIỆU SIÊU DẪN

1 - Hiện tượ ng siêu dẫn-Tính chất của vật liệu siêu dẫn:Các vật liệu mà ở trong vùng nhiệt độ T < TC (nhiệt độ tớ i hạn Curie)

nào đó, có điện trở gần như bằng 0 gọi là vật liệu siêu dẫn. Ngườ i ta cũng xácđịnh đượ c rằng vật liệu siêu dẫn có độ cảm từ 1−=χ nên siêu dẫn còn đượ cxếp vào vật liệu nghịch từ lý tưở ng.

Hiện tượ ng siêu dẫn đượ c Heike kamerlingh Onnes, nhà Vật lý ngườ iHà lan phát hiện lần đầu tiên vào năm 1911 khi ông đặt một thanh thủy ngân Hgvào trong heli lỏng ở khoảng 4,2K thì thấy điện trở của Hg dột ngột giảm tớ i 0.Onnes gọi đó là hiện tượ ng siêu dẫn và nhiệt độ mà dướ i nó xẩy ra hiện tượ ng

siêu dẫn là nhiệt độ tớ i hạn Curie. Khi T > TC thì vật trở lại dẫn điện bìnhthườ ng. Những năm tiếp theo Onnes cùng nhiều nhà khoa học ở nhiều nướ ckhác còn nhận thấy cả Pb, Sn, Tl, In, Ga, Nb…cũng có tính siêu dẫn. Trạng tháisiêu dẫn điện trở của vật bằng 0 đã đượ c thực nghiệm xác nhận khi ngườ i ta chodòng điện chậy trong một vòng xuyến siêu dẫn (chẳng hạn Nb0,75Zr0,25) suốt mộtnăm mà nó không bị suy giảm. Ở vật liệu siêu dẫn còn hai đặc tính quan trọngvà thú vị nữa là:

1. Ở trạng thái siêu dẫn, từ trườ ng bị đẩy ra khỏi chất siêu dẫn (cảm ứngtừ trong lòng chất siêu dẫn B = 0). Hiện tượ ng này gọi là hiệu ứng Meissner (don Meissner và Ochsenfeld phát hiện ra năm 1933, hình 15.26).

Hình 15.26: S ơ đồ minh họa hiệu ứ ng Meissner. a/ Ở tr ạng thái siêud ẫ n các đườ ng sứ c t ừ bị đẩ y ra khỏi vật siêu d ẫ n (hình tròn). b/ Ở tr ạng tháid ẫ n đ iện bình thườ ng.

Ngườ i ta cũng thấy rằng có một số chất siêu dẫn khi có từ trườ ng H <HC (từ trườ ng giớ i hạn) thì nó là siêu dẫn, còn khi H > HC thì nó trở về trạngthái dẫn điện bình thườ ng, gọi là siêu dẫn loại 1. Ở một số chất siêu dẫn khác có

hai từ trườ ng giớ i han HC1 và HC2 mà khi H < HC1 thì chúng là siêu dẫn, khi H C1 < H < HC2 đườ ng sức từ trườ ng xuyên dần vào mẫu chất siêu dẫn dướ i dạng các

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




đườ ng xoáy (hiệu ứng Meissner một phần), chỉ khi H > HC2 vật mớ i dẫn điệnbình thườ ng, gọi là các chất siêu dẫn loại 2 (hình 15.27).

Hình 15.27: T ừ tính của siêu d ẫ n loại 1(a, chỉ có một giá tr ị giớ i hạn H C ) vàsiêu d ẫ n loại 2 (b, có hai gái tr ị giớ i hạn H C1 và H C2 , giữ a chúng có siêu d ẫ n

một phần).

2. Trạng thái siêu dẫn sẽ biến mấtnếu đưa vào nó dòng điện có mật độ JC đủ lớ n, tức là khi J > JC thì tínhsiêu dẫn của vật không còn tồn tại,

cho dù có T < TC. Như vậy giớ i hạngiữa trạng thái siêu dẫn và dẫn điệnbình thườ ng của một chất phải tuântheo cả ba điều kiện tớ i hạn về nhiệtđộ TC, từ trườ ng HC và mật độ dòngJC (hình 15.28).

Gần một thế kỷ đãtrôi qua kể từ khi phát hiện ra hiệntượ ng siêu dẫn, ngườ i ta đã hết sức

quan tâm tìm kiếm các vật liệu siêudẫn mớ i và tìm cách nâng cao nhiệtđộ tớ i hạn của chúng để có thể ứngdụng một cách hiệu quả loại vật liệunày vào thực tế vì tính năng kỹ thuật đặc biệt của chúng. Đến nay đã có nhiềuloại vật liệu siêu dẫn đượ c chế tạo và ngườ i ta cũng đạt đượ c nhiệt độ TC khoảng 160K. Bảng 15.6 liệt kê các chất siêu dẫn có kỷ lục về nhiệt độ TC cùngvớ i năm phát hiện ra chúng.

Các chất siêu dẫn có TC > 30K gọi là siêu dẫn nhiệt độ cao. Từ bảng15.6 có thể thấy siêu dẫn nhiệt độ cao đều là vật liệu gốm và trong thành phầnđều có các ôxit BaO và CuO. Như vậy vớ i vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao có thể áp dụng công nghệ gốm để chế chúng và tạo trạng thái siêu dẫn bằng cách đưacác vật liệu này vào trong môi trườ ng làm lạnh bằng He hoặc N lỏng.

Hình 15.28: Giản đồ T C -H C -J C phân

chia các tr ạng thái siêu d ẫ n và d ẫ nđ iện bình thườ ng.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Phần lớ n các kim loại đơ n chất là siêu dẫn loại 1, có từ trườ ng giớ i hạnHC rất nhỏ, chỉ cỡ 0,1-0,2 T và giá trị JC cũng nhỏ ~10A/cm2. Các siêu dẫn làhợ p chất của Nb, Mg và các gốm là những cấht siêu dẫn loại 2, chúng có HC2 rấtlớ n, từ 1 tớ i vài trăm Tesla và JC cỡ 104-107 A/cm2.

Bảng 15.6: Các chấ t siêu d ẫ n vớ i nhiệt độ t ớ i hạn T C và năm phát hiện.Vật liệu TC

(K)Năm Vật liệu TC

(K)Năm

Hg

Pb

Nb

NbN

Nb3Sn

Nb3(Ai0,5Ge0,5)

Nb3Ga

Nb3Ge

BaxLa5-xCu5Oy

4,1

7,2

9,2

15,2

18,1

20,0

20,3

23,2

30-35

1911

1913

1930

1950

1954

1966

1971

1973

1986

(La0,9Ba0,1)Cu4-x

YBa2Cu3O7-x

Bi2Sr2Ca2Cu3O10

Tl2Ba2Ca2Cu3O10

(CuO2)3Ca2Ba2O2Tl2O2

HgBa2Ca2Cu3O8+x

HgBa2Ca2Cu3O8+5

Hg0,8Pb0,2Ba2Ca2Cu3Ox

HgBa2Ca2Cu3O8+x

52

95

110

125

131

133

155

133

164

1986

1987

1988

1988

1993

1993

199

1994

1994

Ngoài các đặc điểm trên siêu dẫn còn những tính chất khác như:

- Không có kim loại đơ n hóa trị nào (trừ Cs ở áp suất cao) có tính siêudẫn,

-

Không có kim loại sắt từ nào có tính siêu dẫn,- Không có kim loại đất hiếm nào (trừ La) có tính siêu dẫn,

- Nhiệt dung của siêu dẫn có phần đóng góp của điện tử dướ i dạng hàm e

mũ vớ i số mũ tỷ lệ vớ i – 1/T: T

T39,1

C

C

e46,7T

C −=

γ (15.72)

- Nhiệt độ tớ i hạn của các chất siêu dẫn biến đổi theo khối lượ ng đồng vị.Chẳng hạn TC của Hg biến đổi từ 4,185-4,146K khi khối lượ ng nguyêntử trung bình M của Hg biến đổi từ 199,5-203,4 đơ n vị nguyên tử (hiệu

ứng đồng vị). Kết quả thực nghiệm cho thấy:constT.M C =α (15.73)

- Dòng điện siêu dẫn có khả năng truyền qua một lớ p chất cách điện mỏng(“hiệu ứng đườ ng hầm” B.Josephson).

2 - Lý thuyết siêu dẫn:Một trong những trở ngại lớ n hạn chế sự phát triển của chất siêu dẫn là

cho đến nay ngườ i vẫn chưa tìm ra đượ c cơ chế chính xác để giải thích hiệntượ ng siêu dẫn, chiếc chìa khóa để chế tạo vật liệu siêu dẫn, đặc biệt là siêu dẫn

nhiệt độ cao.Tuy nhiên đã có nhiều công trình nghiên cứu lý thuyết về cơ chế hiện

tượ ng siêu dẫn khả d ĩ có thể chấp nhận đượ c, sẽ trình bầy dướ i đây.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




2.1 Giải thích về siêu d ẫ n nhiệ t độ thấ p:

a. Lý thuyết cặp Cooper (BCS):Ba nhà Vật lý ngườ i Mỹ là J.Bardeen, J.Schrieffer và L.Cooper lần đầu

tiên vào năm 1957 đã nêu ra lý thuyết cặ p đ iệ n tử ( cặ p Cooper) cho phép hiểu

đượ c bản chất vi mô của hiện tượ ng siêu dẫn. Lý thuyết này dựa trên quan niệmvề sự hút nhau giữa các điện tử nhờ tươ ng tác vớ i các phonon (dao động mạngtinh thể). Giữa các điện tử luôn tồn tại lực đẩy Couloumb, mặc dù khoảng cáchlớ n, tươ ng tác này bị suy yếu một cách đáng kể do hiệu ứng chắn bở i các điệntử khác. Trong vật dẫn, các điện tử tự do chuyển động trong toàn mạng tinh thể,tươ ng tác vớ i các ion dươ ng ở các nút mạng, “kéo” các ion này lệch khỏi nútmạng, tạo ra các “điện tích dươ ng dư”trong vết chuyển động của nó. Các “điệntích dươ ng dư’ này đến lượ t mình có thể hút các điện tử khác gần bên nó (hình15.29) và như vậy lúc này trong vật dẫn có các cặp điện tử tươ ng tác nhau thôngqua dao động mạng (vừa hút vừa đẩy nhau do bức xạ và hấp thụ phonon), cùngchuyển động dướ i tác dụng của từ trườ ng ngoài, tham gia vào việc dẫn điện(hình 15.30).

Hình 15.29: Các đ iện t ử chuyể nđộng,hút theo các ion d ươ ng ở cácnút mạng, t ạo ra ”đ iện t ử d ươ ng d ư ”

Hình 15.30: C ặ p đ iện t ử Coopert ươ ng tác thông qua phonon (tán xạ ion d ươ ng), cùng chuyể n động trongvật d ẫ n.

Theo thuyết lượ ng tử có thể diễn đạt hiện tượ ng siêu dẫn như sau: Khinhiệt độ hạ thấp T<TC trong vật liệu siêu dẫn tồn tại tươ ng tác electron-

phonon-electron trong đó phonon là lượ ng tử phát xạ do dao động mạng tinhthể, tạo thành cặp electron có spin ngượ c chiều nhau. Ở nhiệt độ T>TC cặp ghépđôi bị tách ra. Như vậy ở điều kiện thích hợ p xem như trong siêu dẫn tồn tạimột loại hạt mớ i có khối lượ ng và điện tích gấp đôi, spin bằng 0. Chuyển độngcủa hạt mớ i này hầu như không bị tán xạ bở i dao động nhiệt của mạng tinh thể và các nguyên tử tạp chất, do vậy điện trở của vật liệu gần bằng 0.

Dựa vào thuyết BCS có thể xác định đượ c nă ng l ượ ng tươ ng tác gían

tiế p “electron-phonon-electron”, đặc trưng cho sự tạo cặp Cooper và chuyển dờ icủa điện tử:WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




( )

( ) ( )[ ] ( )qqkk

qM2W

222

2

q

q rh

rrr

rhr

r

ω−−ε−ε

ω= (15.74)

trong đó qMr

biểu thị cườ ng độ tươ ng tác electron-phonon, k

r

ε là năng lượ ngcủa điện tử ở trạng thái k; ( )q

rhω là năng lượ ng của phonon. Năng lượ ng tươ ng

tác cặp như vậy có thể thay đổi đáng kể sự phân bố năng lượ ng của điện tử ở nhiệt độ thấp. Trạng thái kích thích đầu tiên của các điện tử trong hệ cách trạngthái thấp nhất bở i một khe nă ng l ượ ng E g phụ thuộc nhiệt độ và từ trườ ng.Khoảng cách của khe năng lượ ng có thể thay đổi và đượ c đặc trưng bở i độ dài

kế t hợ p: cm10E

v2 4

g

F −≈π

=ξ h

(15.75)

Nếu λ>>ξ vật liệu là siêu dẫn loại 1, vớ i λ là độ xuyên sâu.Nếu λ<<ξ vật liệu là siêu dẫn loại 2 (xem hình 15.31).

Hình 15.31: S ự biế n đổ i của t ừ tr ườ ng B và thông số khe năng lượ ng ∆(x) ở mặt phân cách của vùng siêu d ẫ n và vùng bình thườ ng đố i vớ i siêu d ẫ n loại 1(hình bên trái) và siêu d ẫ n loại 2 (hình bên phải)

Đồng thờ i lý thuyết BCS cũng cho biết mối quan hệ giữa mật độ trạngthái của điện tử ở mức Fermi N(EF) và nhiệt độ Debye TD vớ i nhiệt độ chuyển

pha siêu dẫn:( )

−=

FDC EWN

1expTT (15.76)

ở đây W là năng lượ ng tươ ng tác điện tử-mạng; WN(EF) << 1.

Lý thuyết BCS đã đượ c thực nghiệm xác nhận.

b. Các phươ ng trình London:

Hai anh em các nhà vật lý ngườ i Đức J.London và B.London cũng xâydựng một lý thuyết để giải thích tính siêu dẫn, đó là các phươ ng trình London,dựa trên mô hình hai chất lỏng do Gorter và Casimir đề xướ ng. Theo đây trongWW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




chất siêu dẫn có các điện tử thông thườ ng (bị tán xạ khi chuyển động gây rađiện trở ), tạo thành chất lỏng thông thườ ng và các điện tử siêu dẫn (không bị tánxạ), tạo ra chất lỏng siêu dẫn. Ở 0K mọi điện tử tham gia vào chất lỏng siêu dẫnvà chỉ có điện tử siêu dẫn chuyển tải điện tích. Khi nhiệt độ tăng dần lên, mộtphần điện tử “bay hơ i” khỏi chất lỏng siêu dẫn, tạo thành chất lỏng bình thườ ng.Hai chất lỏng cùng chẩy trong vật dẫn, thẩm thấu lẫn nhau. Khi T>TC tất cả điệntử siêu dẫn chuyển qua chất lỏng bình thườ ng, vật dẫn hết tính siêu dẫn.

Phươ ng trình thứ nhất mô tả tính dẫn điện không có điện trở của siêu dẫn:

dt

jd

en

mE S

2S

rr

= (15.77)

Phươ ng trình thứ hai mô tả tính nghịch từ: S2S

jroten

mcH

rr= (15.78)

Các phươ ng trình London chỉ ra rằng từ trườ ng ngoài chỉ có thể xuyênvào một lớ p mặt ngoài mỏng của một chất siêu dẫn loại 1, độ xuyên thấu cỡ vài

trămo

A , đượ c cho bở i biểu thức:

2 / 1

2

2

ne4

mc

π=λ (15.79)

Khi pha tạp vào kim loại có thể làm tăng độ xuyên sâu.

Sử dụng các phươ ng trình London còn thu đượ c một kết quả quan trọnglà sự lượ ng tử hóa của từ thông gửi qua một chất siêu dẫn. Từ thông qua một

vòng xuyến làm bằng siêu dẫn đặt trong từ trườ ng vuông góc vớ i mặt phẳng củavòng không phải thay đổi liên tục mà là bội nguyên của lượ ng:

Wb10.14,4e

h 15o

−==Φ (15.80)

( ),...3,2,1,0ne

hnn =

=Φ (15.81)

c. Lý thuyết nhiệt động học về chuyển pha siêu dẫn:

N ă ng l ượ ng ổ n đị nh của trạng thái siêu dẫn đối vớ i trạng thái thườ ngchính là hiệu năng lượ ng của hai trạng thài này, có thể xác định bằng phươ ngpháp đo nhiệt dung hoặc đo từ. Xét trườ ng hợ p xác định năng lượ ng ổn địnhbằng phươ ng pháp đo từ thông qua hiệu ứng Meissner. Trong trạng thái siêudẫn từ trườ ng nội tại bằng 0, do đó ta có:

Ha + 4 0M =βπ hayπ

−=4

HM a (15.82)

Khi dịch chuyển một chất siêu dẫn từ xa vô cùng về gần một vị trí trong

từ trườ ng của một nam châm v ĩ nh cửu, siêu dẫn có thể bị chuyển sang trạng tháithườ ng (hình 15.32).WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Bằng thực nghiệm xác định năng lượ ng của vật ở trạng thái siêu dẫnUS(0) và trạng thái thườ ng UN(0) sẽ tính đượ c năng lượ ng ổn định ở 0K (xem

hình 15.33): ( ) ( ) 2acSN H

8

10U0UU

π=−=∆ (15.83)

Khi nhiệt độ T>0K phải xét năng lượ ng tự do F = U – TS cho hai trạngthái.

Các lý thuyết nêutrên cho phép làmsáng tỏ cơ chế hiệntượ ng siêu dẫnnhiệt độ thấp. Tuynhiên vớ i các chấtsiêu dẫn nhiệt độ

cao, chủ yếu là cáchợ p kim và hợ pchất ôxit gốm màhiệu ứng đồng vị không có giá trị thìcác lý thuyết nàychưa có sức thuyếtphục. Dẫu vậytrong thực tề siêu

dẫn nhiệt độ caovẫn đang đượ ctriển khai mạnh mẽ và cũng có nhiều ý tưở ngkhám phá cơ chế lý thuyếtcủa chúng.

2.2 Giải thích tính siêu d ẫ n nhiệ t độ cao:

- Về mặt cấu trúc,

các tinh thể siêu d ẫ n nhiệtđộ cao đượ c xem như các khố i perowskite ghép lại (ítnhất ba khối).

- Năm 1964 nhà vậtlý ngườ i Mỹ W.Little giả định rằng sợ i polime hữ u cơ có thể đạt đượ c nhiệt độ TC cao hơ n ở kim loại. Ông giảithích rằng trong sợ i polimecác điện tử dẫn chuyển độngdọc theo sợ i còn điện tử trung gian phân bố ở các mạch bên và chúng cũng tạothành cặp như trong siêu dẫn kim loại, khi đó TC sẽ tỷ lệ nghịch vớ i căn bậc hai

Hình 15.32: Ả nh hưở ng của t ừ tr ườ ng lên chuyể n phasiêu d ẫ n: a/ Chấ t siêu d ẫ n ở xa, H a<H C , hiệu ứ ng

Meissner hoàn toàn. b/ Chấ t siêu d ẫ n lại gần, H a=H c t ồn t ại hai tr ạng thái.

Hình 15.33: S ự phụ thuộc của mật độ nănglượ ng t ự do của vật liệu ở tr ạng thái thườ ng

và tr ạng thái siêu d ẫ n vào t ừ tr ườ ng ngoài (để

xác định năng lượ ng ổ n định của hệ) WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




của khối lượ ng điện tử, vì vậy có thể đạt giá trị rất cao, thậm chí tớ i 300K. Tuynhiên thực tế chưa có minh chứng nào về các sợ i hoặc bó sợ i polime siêu dẫnnhiệt độ cao.

- Nhà vật lý ngườ i Nga Ginzburg đề nghị cơ chế siêu d ẫ n exiton vớ i

mẫu là một miếng kim loại mỏng kẹp chặt giữa hai lớ p điện môi, nhưng chưathực hiện đượ c.

- Một ý tưở ng nữa là chế tạo hydro kim loại và các hợ p kim của nó, cónhiệt độ Debye TD~3000K, tươ ng ứng có TC~100-300K. Nhưng điều kiện chế tạo và bảo lưu hydro kim loại là vô cùng khó (phải nén dướ i áp lực cực kỳ lớ n).

- Từ 1986 ngườ i ta đưa ra cơ chế dao độ ng phi đ iều hòa, tức là cơ chế dao động vớ i biên độ lớ n của các ion mạng tinh thể đối vớ i siêu dẫn nhiệt độ cao. Thực tế cũng ghi nhận có sự giao động phi điều hòa mãnh liệt ở các liênkết có CuO chẳng hạn như La(Ba,Sr)CuO4, YBa2Cu3O7... Nhưng để giải thích

cơ chế siêu dẫn vẫn sử dụng tươ ng tác điện tử - phonon mà ngườ i ta cho làkhông thích hợ p vì ở đây không có hiệu ứng đồng vị.

- Ngoài ra ngườ i ta cũng phát hiện thấy rằng trong các chất siêu dẫn cófermion nặng như một số muối và hợ p chất có chứa PF6, ClO4…không phải làsự kết đôi mà là sự kế t thành bộ ba của các điện tử dẫn. Điều này không thể giải thích đượ c bằng lý thuyết BCS.

Cho tớ i nay siêu dẫn vẫn cón nhiều điều bí ẩn, mớ i mẻ đối vớ i con ngườ i.

3 -Ứ ng dụng của siêu dẫn:- Trướ c hết là làm các nam châm siêu dẫn có từ trườ ng cực mạnh nhưng

lại có kích thướ c, khối lượ ng nhỏ, nhẹ, tránh đượ c hiệu ứng nhiệt Joule, đượ c sử dụng trong các máy gia tốc Tokamak, tạo môi trườ ng Plasma để khống chế cácphản ứng nhiệt hạch, tích tụ đượ c năng lượ ng từ trườ ng tớ i 600 triệu J nhờ đótạo ra nhiệt độ plasma đến 200 triệu độ. Nam châm siêu dẫn cũng đượ c dùng để chế tạo các động cơ điện, máy phát điện công suất cực cao, có thể đạt đến hàngtrăm megawatt. Nhà máy điện siêu dẫn sử dụng các nam châm siêu dẫn có từ trườ ng cực mạnh, có thể có công suất tớ i 20 tỷ watt (nhà máy thườ ng chỉ đạt 1tỷ watt).

- Các cuộn dây siêu dẫn lắp trên các con tàu siêu tốc chậy trên đệm từ

không khí, tác dụng nâng các con tầu nặng hàng trăm tấn lên khỏi đườ ng ray vàkéo nó chậy vớ i vận tốc cực nhanh, tớ i 400-500 km/h (gọi là các "tầu hỏa bay").

- Vận dụng hiệu ứng B.Josephson để chế tạo các thiết bị, dụng cụ giaothoa lượ ng tử siêu dẫn (SQUID) có độ chính xác, độ nhậy rất cao, có thể pháthiện những từ trườ ng cực nhỏ phát ra từ tim, não ngườ i…Đồng thờ i cũng có thể sử dụng hiệu ứng này ở siêu dẫn để chế các bộ nhớ và bộ vi sử lý trong các thiếtbị điện toán số.

- Sử dụng gốm siêu dẫn nhiệt độ cao làm các thiết bị trung gian và cácbộ cảm biến lớ p mỏng dùng cho quân sự, y hoc và nghiên cứu vũ trụ.

- Rất nhiều các dự án khác đang đượ c triển khai thực hiện như:+ Dùng dòng siêu dẫn không tắt để dự trữ nguồn năng lượ ng điện

khổng lồ không sợ bị tổn hao.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




+ Truyền tải điện bằng dây cáp siêu dẫn dướ i mặt đất, tăng hiệu suất tớ i99,8%, đang đượ c thử nghiệm ở Mỹ, Nhật, Nga.

+ Sử dụng các dây truyền dẫn siêu dẫn trong máy tính, thiết bị thông tinliên lạc tăng tốc độ cực nhanh, chính xác và trung thực…

Tiềm năng ứng dụng của siêu dẫn là vô cùng rộng lớ n và quan trọng, sẽ đưa đến những thay đổi lớ n lao và hiệu quả trong khoa học kỹ thuật, kinh tế vàđờ i sống xã hội. Nhất là một khi tìm ra siêu dẫn sử dụng ở nhiệt độ phòng thìkhông thể lườ ng hết đượ c vai trò của siêu dẫn to lớ n đến mức nào.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



336 Giáo Trình Vật Lý Đại Cươ ng – Tậ p 1: C ơ – Nhiệt – Điện

Chươ ng 16

ĐIỆN TỪ TR ƯỜ NGĐiện tườ ng và từ tr ườ ng không tồn tại độc lậ p mà có mối liên hệ chặt chẽ

vớ i nhau. Từ tr ườ ng biến thiên sẽ làm xuất hiện điện tr ườ ng xoáy và ngượ c lại,điện tr ườ ng biên thiên sẽ làm xuất hiện từ tr ườ ng. Như vậy, điện tr ườ ng và từ tr ườ ng có thể chuyển hoá qua lại, chúng là hai mặt của một tr ườ ng thống nhất –trườ ng điện từ . Nhà Bác học v ĩ đại ngườ i Anh, Maxwell đã khám phá ra mối liênhệ này và xây dựng nên lý thuyết tổng quát về điện – từ tr ườ ng.

§ 16.1 THUYẾT MAXWELL VỀ ĐIỆN TỪ TR ƯỜ NG

1 – Luận điểm Maxwell thứ nhất – điện trườ ng xoáy:

Xét một mạch kín đứng yên trong từ tr ườ ng biến thiên. Từ thông qua mạchkín đó thay đổi làm trong mạch xuất hiện dòng điện cảm ứng. Sự xuất hiện dòngđiện cảm ứng, chứng tỏ trong mạch phải tồn tại một tr ườ ng lực lạ. Phân tích các k ếtquả thực nghiệm của Faraday, Maxwell cho r ằng, tr ườ ng lực lạ ở đây chính là đ iện

tr ườ ng . Nhưng điện tr ườ ng này không phải là điện tr ườ ng t ĩ nh, vì như ta đã biết,điện tr ườ ng t ĩ nh không thể làm di chuyển điện tích theo mạch kín đượ c. Maxwellcho r ằng điện tr ườ ng đó phải là đ iện tr ườ ng xoáy.

Theo Maxwell, mạch điện kín không phải là nguyên nhân gây ra điệntr ườ ng xoáy, mà nó chỉ là phươ ng tiện giúp ta nhận biết sự tồn tại của điện tr ườ ngxoáy. Nguyên nhân gây ra điện tr ườ ng xoáy chính là sự biến thiên của từ tr ườ ng.Từ đó Ông đưa ra luận điểm thứ nhất: “ M ọi t ừ tr ườ ng biên thiên theo thờ i gian

đề u làm xuấ t hiện một đ iện tr ườ ng xoáy”.

Khác vớ i điện tr ườ ng t ĩ nh, điệntr ườ ng xoáy có các đườ ng sức khép kín vàlưu thông của vectơ cườ ng độ điện tr ườ ngxoáy dọc theo một đượ c cong bất k ỳ khôngnhững phụ thuộc vào vị trí điểm đầu vàđiểm cuối, mà còn phụ thuộc vào hình dạngđườ ng cong mà ta tính lưu thông. Vì thế lưuthông của vectơ cườ ng độ điện tr ườ ng xoáydọc theo một đượ c cong kín bất k ỳ là kháckhông. Chính vì vậy, điện tr ườ ng xoáy đóngvai trò là tr ườ ng lực lạ, tạo ra suất điện độnglàm di chuyển điện tích trong mạch, tạothành dòng điện khép kín.

Dựa vào định luật Faraday về hiệntượ ng cảm ứng điện từ, Maxwell đã xâydựng một phươ ng trình diễn tả định lượ ng luận điểm thứ nhất của mình:

→E

Hình 16.1: T ừ tr ườ ng biế nthiên sinh ra đ iện tr ườ ng xoáy

→B

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



Chươ ng 16: ĐIỆ N TỪ TR ƯỜ NG 337

∫∫ →

→→→

∂

∂−=

)S()L(

Sdt

BdE (16.1)

Phươ ng trình (16.1) đượ c gọi là phươ ng trình Maxwell – Faraday ở dạng tích phân. Nó diễn tả đặc tính xoáy của điện tr ườ ng. Trong đó, vế phải thể hiện tốc độ biếnthiên của từ thông qua diện tích S; vế trái là lưu thông của vectơ cườ ng độ điệntr ườ ng xoáy dọc theo chu tuyến L bao quanh S.

Ở dạng vi phân, phươ ng trình Maxwell – Faraday có dạng:

t

BErot

∂∂

−=

→→

(16.2)

trong đó, toán tử vi phân là một vec tơ có các thành phần đượ c xác định bở i

định thức:

→

Erot

zyx EEE

zyx

k ji

Erot∂∂

∂∂

∂∂

=

→→→

→

(16.3)

-

+

X

~ t

D

∂

∂→

Do đó (16.2) tươ ng đươ ng vớ i hệ ba phươ ng trình

đại số:H

t

B

y

E

x

Et

B

x

E

z

E

t

B

z

E

y

E

zxy

yzx

xyz

∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂

(16.4)

Hình 16.2: Dòng đ iện

d ịch sinh ra t ừ tr ườ ng

2 – Luận điểm Maxwell thứ hai – dòng điện dịch:

Ở luận điểm thứ nhất, Maxwell cho r ằng mọi từ tr ườ ng biến thiên đều sinhra điện tr ườ ng (xoáy). Phân tích các hiện tượ ng điện từ khác Maxwell khẳng định phải có điều ngượ c lại: “M ọi đ iện tr ườ ng biế n thiên theo thờ i gian đề u làm xuấ thiện t ừ tr ườ ng” – luận điểm thứ hai của Maxwell.

Vì từ tr ườ ng là dấu hiệu cơ bản nhất và tất yếu của mọi dòng điện, nên, nếusự biến thiên của điện tr ườ ng tạo ra từ tr ườ ng thì sự biến thiên của điện tr ườ ng đó

có tác dụng như một dòng điện. Maxwell gọi đó là dòng đ iện d ịch, để phân biệt vớ idòng điện dẫn – là dòng chuyển dờ i có hướ ng của các điện tích.

Dòng điện dịch có tính chất cơ bản giống dòng điện dẫn ở chỗ nó gây ra từ tr ườ ng. Nhưng nó không giống dòng điện dẫn về bản chất: dòng điện dẫn là do sự chuyển dờ i có hướ ng của các điện tích trong một môi tr ườ ng dẫn nào đó; còn dòngđiện dịch là do sự biến thiên của điện tr ườ ng sinh ra. Vì thế, khác vớ i dòng điệnWW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




dẫn, dòng điện dịch có thể tồn tại ngay cả trong điện môi hoặc trong chân không;dòng điện dịch không có tác dụng nhiệt Joule – Lenz như dòng điện dẫn.

Để hình dung về dòng điện dịch, ta xét một mạch điện xoay chiều gồm tụ

điện C mắc nối tiế p vớ i một bóng đèn. Đèn sáng bình thườ ng, điều này có phảidòng điện đã chạy qua tụ điện không? Không phải! Do tụ điện liên tục phóng điệnvà nạ p điện nên trong dây dẫn và đèn luôn tồn tại dòng điện dẫn xoay chiều. Còngiữa hai bản tụ điện, mạch hở nên không có dòng điện dẫn. Nhưng hiệu điện thế giữa hai bản tụ luôn biến thiên làm điện tr ườ ng trong lòng tụ biến thiên, sinh radòng điện dịch. Như vậy dòng điện dẫn trong dây dẫn của mạch điện đã đượ c đóngkín bằng dòng điện dịch trong lòng tụ điện.

Vớ i giả thuyết về dòng điện dịch, bằng cách vận dụng định lý Ampère về lưu thông của vectơ cườ ng độ từ tr ườ ng, Maxwell đã thiết lậ p đượ c biểu thức định

lượ ng cho luận điểm thứ hai của mình:→

→→→→

∫∫ ∂

∂+= Sd)

t

D j(dH

)S()L(

(16.5)

Phươ ng trình (16.5) đượ c gọi là phươ ng trình Maxwell – Ampère ở dạng tích phân.

Trong đó là mật độ dòng điện dẫn,→

jt

D

∂∂

→

là mật độ dòng điện dịch; vế phải biểu

diễn cườ ng độ dòng điện toàn phần (gồm dòng điện dẫn và dòng điện dịch) chảyqua tiết diện S; vế trái là lưu thông của vectơ cườ ng độ từ tr ườ ng dọc theo chutuyến L bao quanh S.

Ở dạng vi phân, phươ ng trình Maxwell – Ampère có dạng:

t

D jHrot

∂

∂+=

→→→

(16.6)

Phươ ng trình (16.6) tươ ng đươ ng vớ i hệ ba phươ ng trình đại số:

t

D j

y

H

x

Ht

D j

x

H

z

H

tD j

zH

yH

zz

xy

yy

zx

xx

yz

∂

∂+=

∂

∂−

∂

∂∂

∂+=

∂

∂−

∂

∂

∂∂+=

∂∂−

∂∂

(16.7)

3 – Hệ phươ ng trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwel, từ tr ườ ng biến thiên sinh ra điện tr ườ ng

xoáy và ngượ c lại, mà sự biến thiên của từ tr ườ ng là bất k ỳ, nên đạo hàmt

H

∂

∂→

cũng biến thiên theo thờ i gian, do đó điện tr ườ ng xoáy xuất hiện cũng biến thiêntheo thờ i gian và nó lại gây ra một từ tr ườ ng biến thiên, … Như vậy, điện tr ườ ng

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




và từ tr ườ ng liên hệ chặt chẽ vớ i nhau và chuyển hoá lẫn nhau. Chúng tồn tại đồngthờ i trong không gian tạo thành tr ườ ng thống nhất – tr ườ ng đ iện t ừ .

Khái niệm về tr ườ ng đ iện t ừ đượ c Maxwell nêu lên đầu tiên và để diễn tả định lượ ng, ông đã thiết lậ p các phươ ng trình – g ọi là hệ phươ ng trình Maxwell:

- Dạng vi phân:

t

BErot

∂∂

−=

→→

(16.8a)

t

D jHrot

∂∂

+=

→→→

(16.9a)

ρ=

→

Ddiv (16.10a)

0Bdiv =→

(16.11a)

- Dạng tích phân:

∫∫ ∂

∂−=

→→→

)S()L( t

BdE (16.8b)

→

→

→→→ ∫∫ ∂∂+= Sd)

tD j(dH

)S()L(

(16.9b)

∑∫ =→→

qSdD)S(

(16.10b)

0SdB)S(

=∫ →→

(16.11b)

Phươ ng trình (16.8a) và (16.8b) là phươ ng trình Maxwell – Faraday ở dạng vi phânvà tích phân, diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ tr ườ ng biến thiên và điện tr ườ ng xoáy. Phươ ng trình (16.9a) và (16.9b) là phươ ng trìnhMaxwell – Ampère ở dạng vi phân và tích phân, diễn tả luận điểm thứ hai củaMaxwell về mối liên hệ giữa điện tr ườ ng biến thiên và từ tr ườ ng. Các phươ ng trình(16.10a), (16.10b) và (16.11a), (16.11b) diễn tả định lý Ostrogradsky – Gauss ở dạng vi phân, tích phân đối vớ i điện tr ườ ng và từ tr ườ ng.

Ngoài các phươ ng trình cơ bản trên, còn có các phươ ng trình diễn tả mối

quan hệ giữa các đại lượ ng đặc tr ưng cho tr ườ ng ( ) vớ i các đại lượ ngđặc tr ưng cho tính chất của môi tr ườ ng (µ,

→→→→

H,B,D,Eσε, ):

+ Môi tr ườ ng điện môi: (16.12)→→

εε= ED o

+ Môi tr ườ ng điện dẫn: (16.13)→→

σ= E j

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




+ Môi tr ườ ng từ hoá: (16.14)→→

µµ= HB o

Trong các phươ ng trình Maxwell, các đại lượ ng đặc tr ưng cho tr ườ ng đềulà các đại lượ ng biến thiên theo toạ độ và thờ i gian. Nói cách khác, chúng là hàmcủa x, y, z, t.

Hệ phươ ng trình Maxwell bao hàm tất cả các định luật cơ bản về điện vàtừ. Tr ườ ng t ĩ nh điện, tr ườ ng t ĩ nh từ và sóng điện từ chỉ là những tr ườ ng hợ p riêngcủa điện từ tr ườ ng mà thôi.

4 – Ý ngh ĩ a của thuyết Maxwell

Lý thuyế t tr ườ ng đ iện t ừ của Maxwell thố ng nhấ t giữ a đ iện tr ườ ng và t ừ tr ườ ng (công bố vào nhữ ng năm đầu thậ p niên 60 của thế k ỉ XIX), là một bướ c phát triể n hoàn thiện nhữ ng hiể u biế t của con ng ườ i về đ iện, t ừ . Tr ướ c đó, những

hiểu biết của con ngườ i về điện, từ còn r ờ i r ạc; ngườ i ta quan niệm r ằng đ iện và t ừ là hai l ĩ nh vực không liên quan nhau. Maxwell đã phát triển các ý tưở ng củaFaraday về điện, từ một cách sâu sắc và đã xây dựng lý thuyết thống nhất giữa điệnvà từ - lý thuyết tr ườ ng đ iện t ừ - một cách hoàn hảo.

Thuyế t Maxwell không nhữ ng giải thích triệt để các hiện t ượ ng đ iện t ừ đ ãbiế t mà nó còn cho phép tiên đ oán sự t ồn t ại của sóng đ iện t ừ (mà gần 30 năm sauthực nghiệm mớ i xác lậ p đượ c). Nghiên cứu bằng lý thuyết về các tính chất củasóng điện từ, Maxwell đã khẳng định ánh sáng cũng là sóng đ iện t ừ .

Vớ i những đóng góp to lớ n của mình, Maxwell đượ c đánh giá là một trongnhững nhà vật lý đi tiên phong, mở ra bướ c ngoặt trong lịch sử nhận thức của nhânloại.

§ 16.2 SÓNG ĐIỆN TỪ TỰ DO

1 – Hệ phươ ng trình Maxwell mô tả sóng điện từ tự do:

Điện t ừ tr ườ ng lan truyề n trong không gian theo thờ i gian t ạo thành sóngđ iện t ừ . Nếu ta xét sự lan truyền của sóng điện từ trong môi tr ườ ng không dẫn và

không có các điện tích thì = 0 và→

j ρ = 0, khi đó ta có sóng đ iện t ừ t ự do và hệ

phươ ng trình Maxwell mô tả sóng điện từ tự do là:

t

BErot

∂

∂−=

→→

;t

DHrot

∂

∂=

→→

(16.15)

0Ddiv =

→

; (16.16)0Bdiv =

→

→→

εε= ED o ; (16.17)→→

µµ= HB oWWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




2 – Tính chất tổng quát của sóng điện từ :

Giải hệ phươ ng trình (16.15), (16.16) và (16.17) ta xác định đượ c vectơ

và đặc tr ưng cho điện từ tr ườ ng tại một điểm trong không gian. Chúng là nhữnghàm tuần hoàn của thờ i gian t. Từ đó, rút ra đượ c những tính chất tổng quát củasóng điện từ. Những tính chất này đã đượ c thực nghiệm kiểm chứng.

→

E→

H

Tính chất 1: Sóng đ iện t ừ là sóng ngang : tại mỗi điểm trong không gian có sóng

điện từ, các vectơ và luôn dao động theo hai phươ ng vuông góc nhau vàvuông góc vớ i phươ ng truyền sóng.

→

E→

H

Tính chất 2: Khác vớ i sóng cơ học, sóng đ iện t ừ truyề n đượ c cả trong môi tr ườ ng

vật chấ t và trong chân không .

Tính chất 3: V ận t ố c lan truyề n sóng đ iện t ừ trong chân không là c = ooµε =

3.10 8 m/s; và trong môi tr ườ ng vật chấ t đồng nhấ t và đẳ ng hướ ng là v =n

c, vớ i

n = εµ là chiết suất tuyết đối của môi tr ườ ng; ε và µ là hệ số điện môi và từ

môi của môi tr ườ ng đó. Vì ε , µ > 1 nên n > 1 và v < c.

Tính chất 4: Sóng đ iện t ừ có mang năng l ượ ng . Năng lượ ng sóng điện từ chính là

năng lượ ng của điện từ tr ườ ng. Mật độ năng lượ ng sóng điện từ là:2

o2

o H2

1E

2

1w µµ+εε= (16.18)

3 – Thang sóng điện từ :

10 - 12 10 - 10 10 - 8 10 - 6 10 - 4 10 - 2 10 2 10 41

3.10 83.10 14

T i a t ử

n g o ạ i

A / s k h ả

k i ế n

T i a h ồ n g

n g o ạ i

Tia γ Tia X

3.10 4 3

λ

(cm)

f

(MHz)

Sóng vô tuyến

S H F

L W

V H F

U H F

M W

S W

3.10 10

Hình 16.3: Thang sóng điện từ.

Sóng điện từ đơ n sắc là sóng điện từ phát ra từ một nguồn có tần số xácđịnh. Khi truyền trong môi tr ườ ng nhất định, sóng điện từ đơ n sắc có một bướ c

sóng xác định:nn

T.cT.v oλ===λ (16.19)

trong đó λo = c.T là bướ c sóng của sóng điện từ trong chân không.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




Ngườ i ta phân loại sóng đ iện t ừ đơ n sắ c theo t ần số hay bướ c sóng (trong

g môi tr ườ ng vật không khílẫn chân

h, …) đượ c mã hoá thành các tín hiệu điệnvà đượ c

g trong thông tin liên

lạc vô t

ng dài LW – Long Wave (từ 30kHz đến 300kHz): dùng truyền

• B Hz đến 3MHz): dùng

• B e (từ 3MHz đến 30MHz): bị phản xạ

• B Hz đến

• B tần số UHF – Ultra High Frequency (từ 300MHz đến

•

B gh Frequency (lớ n hơ n 3GHz):

N ngày nay, vớ i sự pháttriển m

chân không). Bảng phân loại sóng điện từ đượ c gọi là thang sóng đ iện t ừ .

4 - Ứ ng dụng sóng điện từ trong thông tin liên lạc:

Vì sóng điện từ có thể lan truyền đượ c cả tron không vớ i vận tốc r ất lớ n (v ≈ 300 000 km/s), nên sóng điện từ đượ c ứng

dụng trong thông tin liên lạc vô tuyến.

Thông tin (âm thanh, hình hản tr ộn lẫn vớ i sóng điện từ cao tần (còn gọi là biến điệu, hay điều chế sóng

điện từ – modulation), r ồi phát đi trong không gian. Máy thu sẽ thu đượ c sóng điệntừ cao tần này, sau đó tách sóng, tái tạo lại thông tin ban đầu.

Miền sóng điện từ có tần số nhỏ hơ n 30GHz đượ c dùn

uyến nên gọi là miền sóng vô tuyến. Trong miền này, ngườ i ta chia làmnhiều băng tần:

• Băng sóthanh trong các thành phố nhỏ (đài địa phươ ng).

ăng sóng trung MW – Medium Wave (từ 300k truyền thanh trong khu vực lớ n.

ăng sóng ngắn SW – Short Wavmạnh ở tầng điện li, nên sóng điện từ ở dải tần này có thể truyền đi vòng

quanh thế giớ i. Tuy nhiên, nó bị ảnh hưở ng nhiều bở i thờ i tiết.ăng sóng siêu tần số VHF – Very High Frequency (từ 30M300MHz): dùng trong vô tuyến truyền hình, FM. Sóng điện từ ở dải tầnnày có tính chất truyền thẳng nên không truyền đi xa đượ c (do bề congcủa trái đất).

ăng sóng cực3000MHz): dùng trong vô tuyến truyền hình. Sóng điện từ ở dải tần nàycó tính chất truyền thẳng và ít bị nhiễu.

ăng sóng siêu cao tần SHF – Super Hidùng liên lạc giữa các con tàu vũ tr ụ vớ i mặt đất.

goài ứng dụng thông tin liên lạc bằng vô tuyến,ạnh của laser và sợ i quang học, miền sóng khả kiến còn đượ c ứng dụng

thông tin liên lạc hữu tuyến r ất hiệu quả.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM



343 Giaùo Trình Vaät Lí Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Ñieän

ĐÁP SỐ CÁC BÀI TẬP

Chươ ng 1:

1.1: b, d, f. 1.2: PTQĐ; không. 1.3: a) y =2

x2

; b)x20y = ; c) y = 2x2 – 1;

d) z = – 2x +1; e) 1100

y

25

x 22

=+ ; f) (x – 5)2 + (y – 4)2 = 400. 1.4: 39,4km/h.

1.5: 43,6km/h. 1.6: 62,3 km/h. 1.7: k

vv

3

2s 0

0= ; 0tb v3

2v = . 1.8: ;

2

t b)a

2

2

x b

v) b tb = . 1.9: . 1.10: ts/m5,11v;s/m10v);6,8,0(v tb ===

→

1 = 1s; t2 = 2s;

t3 = 3s; s = 0,77m/s. 1.11: a) 1,6cm; – 3m ; b) 2s; 2,4cm; 565m. 1.12: a) y= –2x2 + x;

b) ; c))16,0(a);2,2(v −=−= →→

2

nt s/m28aa == ; R = 70,7cm; d) t = 0,25s;

e) 0,57m. 1.13:

2

3

23

c

bS41ca;

bS2

cR ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +== . 1.14: )A1(

B2

av 2

o += .

1.15: k

v

3

v2s

oo

= ; 3

v

v0

tb = . 1.16: a) 4

xy

2

−= ; b) 450

. 1.17: a) 2

xxy

2

−= ; c) t

= 1s d) at = 3,98m/s2; an = 0,44 m/s

2; R = 745m; e) 42m. 1.18: b) t = 1/α;

α=

2

r s 0

.

1.19: θβ=ω sin2 0 . 1.20:3

0

tb

ω=ω . 1.21: s = 85m. 1.22: t1 = 0,894s; t10 =

0,145s. 1.23: s = Aωt. 1.24: a) ω = 3,14 rad/s; b) v = 1,02 m/s; at = 1,02 m/s2; an = 3,2

m/s

2

; a = 3,36 m/s

2

; c) s = 0,51m. 1.25: 15

π

−=β rad/s

2

; 240 vòng. 1.26: 22m.

1.27: b)70,7s c) 2500m; d) at = 7m/s2, an = 7,14m/s

2, R = 35000m. 1.29:

2

2

2

1

2211

vv

vvt

+

+=

;

2

2

2

1

1221min

vv

|vv|d

+

−=

.

1.30: m802/ad) b;s25vu

aut)a

22 ===

−=

Chươ ng 2:

2.5:a) f ms = µmg; a=m

F – µg; b)f ms= µ(mg – Fsinα); g

m

)sin(cosFa µ−

αµ+α=

c) Fms = µ(mg + Fsinα); gm

)sin(cosFa µ−

αµ−α= .

WW D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM



ÑAÙP SOÁ CAÙC BAØI TAÄP 344

2.6: ) N(106)sin(

cosPTAC =

β+αα

= ; ) N(137)sin(

cosPTBC =

β+αβ

= .

2.8: 1e

1e

.k

g

v t.gk 2

t.gk 2

−

+

= AB

AB

mm

mm

ga +

−

= . 2.9: k

v

s;evv

0kt

0 ==

−

.

2.10: 21

21

mm

mmga

+

µ−= ; m2 không bị tr ượ t khi m2 ≥

µ1m

. 2.11:21

12

m4m

mm2ga

+

−=

2.12: gm

)sin(cosF)sin(cosFa 21 µ−

βµ−β+αµ+α= . 2.13: Fht = mg.tgα; Fcd =

αcos

mg. 2.14:a) a = 1m/s

2; T12 = 7,2N; T23 = 1,8N; t = 2s; b) có, sau 1s.

2.15: a) )cosmm

mm(singa

21

2211 α+

µ+µ−α= ;

21

2121

mm

cosg)(mmQ

+

αµ−µ= ;

b)21

2211min

mm

mmtg

+

µ+µ=α .

2.16: a)αµ+α

≤cossin

mm 1

2 ;21

21

mm

)cos(sinmmga

+

αµ+α−= ;

b)sinα > µcosα vàαµ−α

≥cossin

mm 12 ;

21

12

mmm)cos(sinmga

+−αµ−α= ;

c)αµ+α

≥cossin

mm 1

2 , nếu sinα ≤ µcosα

hoặc ≤≤αµ+α 2

1 mcossin

m

αµ−α cossin

m1 , nếu sinα > µcosα.

2.17: a) )R

v

cosg(mQ

2

−α= , tại đỉnh cầu. 2.19: 6m/s; 2.20: 2kgm/s; 5m.

2.21: gv = . 2.22: tm

Ftv

0 µ−= . 2.23: )

tm

mln(uvv

0

00 µ−

+= .

2.24: L = Lz = - ½ mvogt2cosα; L = - ½ mv03cosα.sin2α. 2.25: 2,7.1040 kgm2/s

2.26: ;t b2M→→

= b/at = ; M = 2 ab . 2.27: 3

4

0

2

0

r

R mT

ω= ;

2

0

0r

R ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ω=ω .

2.28: . 2.30: →→→→

−= pxr L'L 0 g)mm)((F 2121max +µ+µ= .

2.31:

1m

m4

m

m

1m

m4

m

m

ga

2

1

2

1

0

1

2

1

1

++

−+

= ; m1 đi xuống khi20

201

m4m

mmm

+≥ ;WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




2.32: αµ−ααµ+α

=sincos

cossinga max0 . 2.33:

gmin =ω ; .)g(mT 2

∓ω=

2.34: s/m10

gR

vmin =µ= .

3.35: a))cos(sing)sin(cosa

2t

0 αµ−α+αµ+α=

;

Chươ ng 3: 3.1: 2,83kg. 3.2: 982kg. 3.3: 546kg. 3.5: tăng m = 3m. 3.6: chọn tr ục Ox, Oy trùng

vớ

i OA, OC thì )10

a7

,2

a

(G . 3.7: π= 3

R 4

x G ; 23

R 4

x G π= . 3.8: a) π= 3

a4

x G ; b)

π=

3

b4x G . 3.9:

8

R 3zG = . 3.10:

22

2

r R

ar OG

−= ;

6

R OG = .

3.11: 33

3

r R

ar OG

−= ;

14

R OG = . 3.12:

)c b(2

ac bc2 bx

2

G +++

= ;4

a b3x G

+= .

3.13: 2

R h ≤ . 3.14: xem ví dụ 2. 3.15: 4,5s. 3.16: 0,02rad/s2. 3.17: 140cm/s; 20cm/s.

3.18: a)R 2

|vv|;

2

vvv 2121

G

−=ω

+= ; b)

R 2

vv;

2

|vv|v 2121

G

+=ω

−= .

3.19: 4,4m; 2270 vòng; 76 vòng/phút. 3.20: 10Nm; 17,3Nm; 20Nm; 0Nm; 2Nm;

1,3Nm; kim đồng hồ. 3.22: 4,6Nm. 3.23: )R R (m2

1 2

2

2

1 + . 3.24: 2mR 10

3;

33

55

r R

r R m

10

3

−−

. 3.25: 2mR 4

1;

2mR 2

3. 3.26: 2mR

2

1. 3.27: a) )r R (m

4

1 22 + ;

2mR 16

5; b)

22

2222

r R

dmr )r R (m

2

1

−−+ ;

2mR 24

13. 3.28:

33

55

r R

r R m

5

2

−− .

3.29: 2ma3

1; ) ba(m

12

1 22 + . 3.30: 2m3

1 . 3.31: a) 2m(a2 + b2); b) 2mb2; c) 2ma2.

3.32: a) 2ma2; b) ma2; c) 2ma2; d) 4ma2.

3.33: R

r cos;

R /Im

)cos(cosFa 02

0

G =α+

α−α= ; α < α0: sang phải; α > α0 : sang trái; α

= α0 : quay tại chỗ. 3.34: ;mm2

m2gao+=

o

o

mm2gmmT

+= ;

o

oo

o

o

m3m2

gm)mm(T;

m3m2

)mm(2ga

+

+=

+

+= .WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




3.35:

o21

21

m2

1mm

mmga

++

−= ;

o21

21

m2

1mm

)cos(sinmmga

++

αµ+α−= . 3.36:

m3

F2a = .

3.37: 3

0

tbω=ω . 3.38: 0,05Nm; 0,1Nm; 3.39: 34,6rad/s; 3.40:

t2mR 0

2

ω

Chươ ng 4:

4.1: 10(kJ) 4.2: 0(J). 4.3: – 17J. 4.4: – 6J. 4.5: 25J 4.6: 16,7kW. 4.7: 36MW.

4.8:7200N. 4.9: 30km/h. 4.10: a) – 2W; b)2

kgmvP

2

0

max = . 4.11: 396Nm.

4.12: 19,8kJ; 1320W. 4.13: 200W; 400W. 4.14: 500J; 250W. 4.15: 2kJ; 212kJ.

4.16: bánh đà. 17: 10kJ. 4.18: Năng lượ ng tươ ng tác. 4.19: b

a2r < : đẩy;

b

a2r > :

hút;2

2

maxa27

bF = 4.20: a) Không; b) Các elíp; c) không, các elípxôit . 4.21: a) không

; b) có. 4.22:k 4

mg3;

k 2

gmg3

π;

k 2

mg. 4.23: r > r C: hút; r < r C: đẩy. 4.24: H/2; H.

4.25: 32;g3 . 4.26: 2,5; 2; 1; )R h(g

710 − ; )R h(g

34 − ; )R h(g − ; quả

cầu – khối tr ụ – cái vòng. 4.27: R

g. 4.28: 15,5m/s. 4.29: 20%. 4.30: 6,25kW.

4.31: 2

mkx2

1; )xx(

m

k 22

m − . 4.32: 3kg. 4.33: g2.)mM(

vm2

22

+. 4.34: .

4.35: 9kg; 1/9kg. 4.37:

→→→

+= j4i3v

H

hk = ;

t

)gh2gH2(mF ∆

+=

Chươ ng 5:

5.1: 2,6.108 m/s. 5.2: 3,2. 5.3: ∆m = 8,6.10-27

kg. 5.4: 8,19.10-14

J. 5.5: 2,985m/s. 5.6: x’ = 137,7 km; t’ = - 374,7 µs. 5.7: t1’ = 0; t2’ = - 2,5 µs.

5.8: a) V =r b

r b

tt

xx

−

−= - 1,44.108 m/s; b) t b’ - tr ’ = 4,39.10-6s = 4,39 µs; c)

4,39µs. 5.9: u = 0,806 c. 5.10: u = 0,946 c.

Chươ ng 6:

6.3: 2

B

2

A

BASS

hg2.S.SL

−∆

= . 6.4: gh2v = . 6.5: 5m. 6.6: a) 20cm3; 10g; b) nổi

lên, chìm xuống; c) 666 kg/m3 ; d) k ≈ 1/3. 6.7: a) 600 lít; b) lâu hơ n, vì vận tốc chảy

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




giảm dần. 6.9: 5m; không. 6.10: 500N. 6.11: 2

2

2

2

1

2

1 t.S

Sg

2

1t.gH2

S

SHh +−= ;

g

H)12(

S

St

1

2

1 −= ;g

H2

S

St

1

22 = . 6.12:

g'.

1S

S

v2

1

PPh

2

B

2

A2

AAo

ρ

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−ρ+−≤ .

6.13: c) H/2. 6.14: 700J. 6.15: a) 61,5%; b))(

)D(V

211

12

ρ−ρρ

ρ−ρ=∆

Chươ ng 7:

7.1: 29,5 lít; 8,9 at. 7.2: 7,5 kg. 7.3: a) 1

2o

o1

2 V p p

p pV −

−= ; b)

21

2211o

VV

V pV p p +

+= .

7.4: a)a3

p

R 3

p2T oo

max = ; b)aR .e

pT o

max = . 7.5: omin aTR 2 p = . 7.6: 2.10 18 phân

tử/cm3. 7.7: 5,74 atm; an toàn. 7.8: 1,83g/lít.

Chươ ng 8:8.1: sinh công A =1000J; nhận nhiệt Q = 2500J . 8.2: sinh công A = 1184J; nhận

nhiệt Q = 1184J. 8.3: 30,8%. 8.4: 2324J. 8.5: 1454W. 8.6: 72J. 8.7: 150J; 90J. 8.8: 2,7kg; 25%. 8.9: 6,21.10 – 21

J.

Chươ ng 9:9.1: b) Fd = 2,3.1039Fhd. 9.2 ω = 4.10 16 rad/s; v = 2,2.10 6 m/s. 9.3: thiếu 1,25.10 13

electron. 9.4: 1

21

2

212 F

qq4

)qq(F

+= . 9.5: 7mgtg

q sin 1,1.10 Ck

−α= α = .

9.6: a) 1,35.10 5 V/m; b) 3,1.10 4 V/m; c) 1,92.10 4V/m; d) 1,5.10 4V/m; e) AN = 20cm,

BN = 40cm. 9.7: τ

−

−ρπε

= ∫ →→

→→→→→

d

'r r

)'r r )('r (

4

1)r (E

)(

3

o Ω, τ

−

ρπε

= ∫ →→

→→

d

'r r

)'r (

4

1)r (V

)(o Ω

9.8: a) Ex = -2ax; Ey = -2ay; Ez = -2bz; b) những elipsoid tròn xoay. 9.9: r

r .

2E

o

o

→→

ε

ρ= ;

V =0

0r C2

ρ

− +ε . 9.10: 22

o hah2

a

E +πεε

λ

= ;

2 2a a h

V 2k ln h

⎛ ⎞+ +

= λ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠.

9.11: a)EA > EB ; VA > VB ; b) EA > EB ; VA < VB ; EA = EB = EC ; VA = VC > VB.

9.12 : 450. 9.13 : a)ABC = AAD = 0; b) AAC = ADC; c) không thay đổi.

9.14: EA = EB; VA = VB; AAB = 0. 9.15 : 2k sin

ER

λ α= ; V = 2k λα.

WWW D

YKEMQ

UYNHON U

COZ COM




9.16 : a)1 1

E 2k | |x 2a x

⎛ ⎞= λ +⎜ ⎟−⎝ ⎠ ;

2a xV 2k | | ln

x

−⎛ ⎞= λ ⎜ ⎟⎝ ⎠

b)2 2

4ka | |E

a h

λ=

+ ; V = 0

Chươ ng 10 :

10.2 : a) 8,85pF; b)a)ad(

SC o

+−ε

εε= ; c)

ad

SC o

−

ε= . 10.3 : a) Q = Qo = CoUo;

C = oC2

1+ε; U = oU

1

2

+ε; b) E =

d)1(

U2 o

+ε; c) Qchìm = oQ

1+εε

;

d) 0C)1(2

Q)1(Wo

2

o <ε+ε−= . 10.4: a) C = 8µF; Q1 = Q2 = Q3 = 44µC; Q4 = 132µC; b) 8

cách. 10.5: - 19,2µJ. 10.6: a) Q1 = 48µC, U1 = 12V; Q2 = 72µC, U2 = 12V b) Q1 =

16µC, Q2 = 24µC; U1 = U2 = 4V. 10.7: C2 = 5µF.

10.8: a) K mở :43

43

21

21

CC

CC

CC

CCC

++

+= , Q1 = Q2 = U

CC

CC

21

21

+ , Q3 = Q4 =

U

CC

CC

43

43

+

; b) K đóng:4321

4231

CCCC

)CC)(CC(C

+++

++= ,

4321

4211

CCCC

U)CC(CQ

+++

+= ,

4321

312

2CCCC

U)CC(CQ

+++

+= ,

4321

423

3CCCC

U)CC(CQ

+++

+= ,

4321

314

4CCCC

U)CC(CQ

+++

+= ;

e

U.

CCCC

CCCCn

4321

3241

e +++

−= ;

4

2

3

1e

C

C

C

C0n =⇔= .

10.9: o

o UC

CU = = 8000V. 10.10: UBA = 2V. 10.11: Q = 1,59µC; Q’ = 10,6µC.

10.12: U2

mgdq = . 10.13: U = 20V. 10.14: cm1,2)2s(

U4

Usx

o

=+= .

10.15: 2

2

odU2U

≥ .

Chươ ng 12 :

12.1 : a)) ba2 ba(S

ba) ba(

R 22

22

+++

++ρ

= ;

b)S

a.

) ba2 ba)( ba(

) ba ba( b ba) ba(R

22

2222 ρ

++++

++++++= ;WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM




c)S

. ba2 ba(

ba) ba(ab2R

22

22 ρ

+++

+++= .

12.2 : I = 3A, UAB = 1,5V; a) K mở : Q1 = Q2 = 0,3µC, U1 = 1V, U2 = 0,5V; b) K đóng:

U1 = 0,9V, Q1 = 0,27µC, U2 = 0,6V, Q2 = 0,36µC. 12.3: I1 = 1,5A, I2 = 2,5A, I3 = 4A; U1 = 1,1V, U2 = 1V, U3 = 1,2V.

12.6: sơ đồ a: R = 15Ω; sơ đồ b: R = 5Ω. 12.7: K mở : U = 2V, lệch sang phải; K

đómg: U = 1,86V, lệch sang phải. 12.8: a) 6 bóng; b) 23A. 12.9: a)7 8 1

A; A; A9 9 9

;

b) 1 2 2 1

1 2

E r E r E 1,7

r r

+= =

+5V và 1 2

1 2

r r r 0, 25

r r = = Ω

+; c) 2 1 1 2

1 2

E r E r R 1

2(E E ),75

+= = Ω

−;

d) 2

1 2

E r R 1,E E= = Ω−

5 ; e) 11

1

EI 4r = = A , 2

2

2

EI 3Ar = =

12.10: a) I1 = 1,2A (nguồn thu), I2 = 0,4A (nguồn phát), I3 = 0,8A (nguồn phát); b) U1

= 4,8V, U2 = 1,2V, U3 = 5,6V; c) Công suất tiêu thụ của nguồn 1: P1 = 13,44W, hiệusuất nạ p điện: H1 = 89,3%; P2 = 8W, H2 = 96%; P3 = 24W, H3 = 92%; d) Đoảo cực

nguồn E3 thì cả 3 nguồn đều phát: I1 = 0,8A, I2 = 2A, I3 = 2,8A; U1 = 3,2V, U2 = 6V,

U3 = 19,6V; P1 = 8W, P2 = 40W, P3 = 84W; H1 = 92%, H2 = 80%, H3 = 72%.

12.11: a) U = 22V; b) U = 12,2V; c) U = 9,6V, U = 2,44V; d) 92mA, 18mA.

12.12 : I1 = 3,01A; I2 = 2,78A; I3 = 1,93A; I4 = 1,08A; I5 = 0,23A; I6 =0,85A.

12.13: Q1 = 2,5µC; Q2 = 2,25µC; Q3 = 0,25µC. 6.14: U = 50,8V; I tăng, U giảm.12.15: a) A = Q = 60J; b) A = 60J, Q = 21J. 12.16: 2kW. 12.17: a) 6 dãy //, mỗi dãy

10 nguồn; Pmax = 65,25W; b) có 6 cách mắc: 3, 4, 5, 6, 10, 12 dãy //.

12.18: a) Cần ít nhất 6 nguồn mắc theo 2 cách sau: C1: mắc nguồn thành 1 dãy 6

nguồn nối tiế p và mắc đèn thành 2 dãy //, mỗi dãy 4 đèn; C2: mắc nguồn thành 2 dãy

//, mỗi dãy 3 nguồn và mắc đèn thành 4 dãy //, mỗi dãy 2 đèn; b) 20 đèn, mắc theo 2

cách: C1: mắc nguồn thành 1 dãy 15 nguồn nối tiế p và mắc đèn thành 2 dãy, mỗi dãy

10 đèn; hoặc mắc nguồn thành 5 dãy, mỗi dãy 3 nguồn và mắc đèn thành 10 dãy, mỗi

dãy 2 đèn. 12.19: a) 4Ω; b) 2,4Ω; 50%; 5,6Ω, 64,3%; c) 1,2A. 12.20: 4 cách; 8 cách.

12.21: Loại 3Ω: 5, 10, 15 cái và tươ ng ứng loại 5Ω: 8, 5, 2 cái. 12.22: loại (5Ω, 3Ω,

1/3Ω) có (4, 18, 78) hoặc (8, 11, 81) hoặc (12, 4, 84) cái. 12.23: 5 cái; 6 cái.

Chươ ng 13:

13.1: a) B = 0; b) B = 5,7.10 – 5T. 13.2: M thuộc đoạn I1I2, cách I2 là d/3; M nằm ngoài

đoạn I1I2 cách I1 và I2 lần lượ t là 2d và d. 13.3: H = 31,8A/m. 13.4: a) BO1 = BO2 =

2,1.10 - 5T; BM = 1,4.10 – 5T ; b) BO1 = BO2 = 1,7.10 – 5T; BM = 0. 13.5: B = 6,8.10 – 5T.

13.6: a)h = 0; b) H = 79,6A/m. 13.8: F = 2,45N. 13.9: F = 0,8N. 13.10: a) theo chiều

K ĐH; b)π

µ=2

2lnaIoo

m ; c) Khung dây bị kéo căng và tiến về gần Io bở i lực kéo

π

µ=

4

IIF oo

. 13.11: v = 36,3.10 6m/s; Wđ = 6,2.10

– 6J; T = 5.10

– 9s; L = 9,9.10

6 kgm

2/s.WW

W D YK

EMQUYN

HON UCOZ

COM

Documents

Vật lý đại cương - Tập 1: Cơ - Nhiệt - Điện Tác giả: Bộ môn Vật lý, Trường Đại Học Công Nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh, 2006