Verslag van de vakontwikkelgroep wiskunde...Verslag van de vakontwikkelgroep wiskunde H. Boss B.J. Geels N. Liesker J. Steenbruggen mei 1999 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Zesde klas

Verslag van de vakontwikkelgroep wiskunde

H. Boss B.J. Geels N. Liesker J. Steenbruggen

mei 1999

Inhoudsopgave1 Inleiding 12 Zesde klas 12.1 Ontwikkelingsdoelen 12.2 Inhouden 23 Zevende klas 33.1 Ontwikkelingsdoelen 33.2 Inhouden 43.3 Afsluiting en aandachtspunten 53.4 Perioden en vaklessen 54 Achtste klas 54.1 Ontwikkelingsdoelen 54.2 Inhouden 64.3 Perioden en vaklessen 75 Negende klas 85.1 Ontwikkelingsdoelen 85.2 Inhouden 85.3 Afsluiting en aandachtspunten 105.4 Perioden en vaklessen 106 Tiende klas 106.1 Ontwikkelingsdoelen 106.2 Inhouden 116.3 Perioden en vaklessen 127 Elfde klas 127.1 Ontwikkelingsdoelen 127.2 Inhouden 137.3 Afsluiting en aandachtspunten 147.4 Perioden en vaklessen 148 Twaalfde klas 148.1 Ontwikkelingsdoelen 148.2 Inhouden 158.3 Perioden en vaklessen 159 Terugblik op het werkproces 159.1 Welke knelpunten zijn er nog 169.2 Wat is het gewenste vervolgtraject? 16

1

Project 2000 1

1 Inleiding

Dit verslag is een beschrijving van een leerplan wiskunde voor de Vrije Scholen inNederland met ingang van klas zeven in het schooljaar 2001/2002. Bij het samenstellenvan dit leerplan is van een aantal principes uitgegaan. In de eerste plaats hebben deauteurs gekeken naar de lesstof en zoals deze op dit moment de ontwikkeling van deleerlingen ondersteunt en begeleidt. Daarbij hebben we ons gebaseerd op de vele leerplanaanwijzingen en onze gezamenlijke jarenlange ervaring.

Ten tweede hebben we de leerstof zo ingedeeld dat het voor goede leerlingen mogelijk isom in klas 11 havo examen te doen en in klas 12 vwo examen. We zijn er van uitgegaandat er in klas 10 een IVO–mavo afsluiting gehouden kan worden zodat we ons in dezeklas niet aan een bepaalde stofomschrijving hoeven te houden.

Om in klas 9 aan de eindtermen van de basisvorming te voldoen hebben we in dieklas enige kleine, ondergeschikte onderwerpen genoemd die niet in het Vrije Schoolprogramma thuis horen. We zijn er van overtuigd dat de leerlingen aan het einde vanklas 9 zonodig een eindtoets basisvorming kunnen maken zelfs als die onderwerpen nietexpliciet behandeld zijn.

Ofschoon het niet eenvoudig was om de stof zodanig ‘in te dikken’ dat het respectievelijkin klas 11 en klas 12 afgerond kan worden, bleek het nieuwe wiskunde programma voor detweede fase enige ruimte te bieden. Het wiskunde programma is namelijk zo veranderddat enige onderwerpen die traditioneel op de Vrije School behandeld worden nu ookexamenstof zijn. Deze onderwerpen zijn:

• Rijen en reeksen• Puntverzamelingen• Combinatoriek• Bewijzen in de vlakke meetkunde

Verder moeten de leerlingen in het nieuwe programma zelfstandige en praktische op-drachten uitvoeren, deze kunnen we heel goed in de typische Vrije School onderwerpenlandmeten en projectieve meetkunde onderbrengen. De periode projectieve meetkundekon in het verleden niet meetellen voor het examen, maar in het nieuwe vwo–programmazijn er 40 slu’s vrij door de school in te vullen, daarin past uitstekend de periode pro-jectieve meetkunde.

Bij de verschillende klassen spreken we van een aantal perioden per jaar en een aantalvaklessen per week. Voor de duidelijkheid zij vermeld dat we daarbij denken aan vakles-sen van 50 minuten en perioden van drie weken, met periodeochtenden van 100 minuten.Het lijkt ons zeer onwenselijk om deze periodetijd te verkorten naar b.v. 90 minuten, weverwachten dat de kunstzinnige en esthetische verwerking van de stof dan nog meer inhet gedrang komt, deze periode tijd zou om deze reden eerder verlengd moeten worden.

2 Zesde klas

2.1 Ontwikkelingsdoelen

Voor leerlingen uit klas zes speelt het leggen van relaties een grote rol. Dat betreftrelaties tussen dingen, mensen of getallen, maar het gaat ook om het leggen van oorzaaken gevolg relaties. Een uitgewerkt voorbeeld in deze is het spel “van boom tot schrift”(Gersons 1991). In dit voorbeeld wordt duidelijk dat het willen kopen van een schrift deoorzaak is die een compleet systeem van economische activiteiten op gang brengt.

In de wiskunde kunnen we dit ondersteunen door het leggen van relaties tussen getallen.Bijvoorbeeld is het onderzoeken van de deelbaarheid, wanneer is een getal deelbaar doorzes?

2 Vakontwikkelgroep wiskunde

In klas zes wordt het denken in die zin verder ontwikkeld dat daar voor het eerst hetverstandelijke, intellectuele begrijpen om de hoek komt kijken [?]. Daar sluit de wiskun-de bij aan door de eerste formules te maken, en deze te laten invullen. De voorbeeldenworden gekozen uit de economische wereld (Gersons 1991), of uit de meetkunde, hetgebied van de oppervlakte en inhoud berekeningen. De formules worden niet als zodaniggegeven of theoretisch afgeleid, maar ze moeten voortkomen uit een behoefte om, naeen reeks van dezelfde opgaven, het werk te vereenvoudigen. Zo ontstaat de formule uiteen abstraheren van de oplossingsregel. Het werken met deze formules geeft een eersteintroductie op het letterrekenen, de algebra. In de zesde klas wordt dan een begin ge-maakt met het letterrekenen. Het abstraherend vermogen kan zo ver ontwikkeld wordendat de notie ontstaat dat je voor dezelfde getallen dezelfde letters kunt gebruiken. Hetblijft bij een voorbereiden op het gebruik van variabelen in de algebra.

De methode blijft in klas zes nog sterk berusten op de gevoelens van bewonderingen verwondering. De onderwerpen worden steeds vanuit de praktijk geıntroduceerd ende opgaven moeten steeds voorstelbaar blijven. Zo is de vraag naar de waarde vananderhalve rijksdaalder een te hanteren voorstelling bij de opgave 1 1

2 ×2 12 , maar bij een

opgave als 3 17 : 2 5

9 kan men zich eigenlijk geen voorstelling maken.

Verder speelt de humor steeds een belangrijke rol. Dat kan er toe bijdragen dat deleerlingen in het rekenen plezier houden. Staartdelingen worden ‘leuk’ als er iets grappigsgebeurt. (28083 : 23 of 298224 : 456), het geeft een stimulans om de volgende opgaveook te doen om te zien wat daar nu weer zal gebeuren.

Bij de meetkundige constructies wordt (net als bij de rekenopgaven op klas 1, 2, en 3)uit gegaan van het geheel van de cirkel, uitgaande van een esthetisch beleven van defiguren. Driehoeken, vierhoeken enz worden eerst op de cirkel geconstrueerd. Niet alleeneen beleven van de uiterlijke schoonheid van uitgewerkte constructies maar ook eenbeleven van de innerlijke schoonheid van de in elkaar grijpende en elkaar ondersteunendemeetkundige fenomenen.

2.2 Inhouden

rekenen en algebra

In deze klas komen door alle wiskundige onderwerpen heen de verhoudingen aan bod[?].

Het letterrekenen wordt aangezet bijvoorbeeld uitgaande van de renteformule

R =K × p× t

100Dez formule moet ook in zijn andere vormen (K = . . . etc.) uit het

hoofd geleerd worden.

Substitutie van getallen voor variabelen.Voorbeeldopgaven:a. Vul in a=7, b=5 en c=3 en bereken: 6× a + 4× b− 12× c = . . .b. Gebruik de formule Oppervlakte = lengte× breedte, afgekort: O =l × b om de oppervlakte van verschillende rechthoeken te berekenen

Het rekenen wordt uitgebreid met procentrekenen, afronden en schattend rekenen. Degetallenwereld wordt verder verkend. Begrippen zoals priemgetal, rijk getal en arm getalmoeten gaan leven. Het moet duidelijk worden wat een kwadraat is.De leerling kan zich met het rekenen geheel vrij bewegen door het gebied van de na-tuurlijke getallen. (IN+)

• priemgetal• delersom• rijk of arm getal• kwadraten

Project 2000 3

meetkunde

De meetkunde wordt aangezet vanuit het tekenen van cirkelfiguren en de bijzonderelijnen in een cirkel. Verder komen aan bod de regelmatige en onregelmatige driehoeken,vierhoeken en de constructies van regelmatige vijfhoeken en zeshoeken op een cirkel.Daarbij horen de begrippen hoeken en graden en oefeningen met de geodriehoek.

• Rechte hoek• scherpe hoek• stompe hoek• gestrekte hoek

De vijf basisconstructies met passer en lineaal worden geleerd, maar moeten ook metde geodriehoek uitgevoerd kunnen worden.

• een lijnstuk middendoor delen• een loodlijn neerlaten• een loodlijn oprichten• een hoek middendoor delen• een hoek overbrengen• een lijn tekenen, door een gegeven punt en evenwijdig aan een gegeven lijn

3 Zevende klas


In het leerplan in klas zeven staat het ontdekken van nieuwe werelden centraal. Dat be-treft niet alleen de geschiedenis, maar ook de wiskunde. Net als in de geschiedenis vande rekenkunde de negatieve getallen relatief laat in gebruik genomen zijn als volwaar-dige getallen, zo wordt ook pas in klas 7 met deze getallen begonnen. De wereld vande negatieve getallen is er een waarin je je net als in die van de natuurlijke getallen re-kenkundig kan bewegen, een wereld waar voor de regels ontdekt zullen worden en welkezich blijken aan te sluiten bij de regels van de reeds bekende getallenwereld. Belangrijkis dat er aandacht besteed wordt aan de kwaliteit van de bewerkingen. Zo heeft elkedirekte bewerking twee omkeerbewerkingen, afhankelijk van de vraag naar het actieveof het passieve element van de bewerking, zie [?]. Verder moet het verschil tussen hetbewerkings minteken en het minteken dat een negatief getal aanduidt goed duidelijkworden. Een hele periode negatieve getallen is te veel, dan zouden deze getallen te veelaandacht krijgen. In de eerste periode is ook ruimte voor wat algebra.

Voor zevende klassers zijn puzzel achtige mondelinge opgaven een stimulans om hethoofdrekenen verder te verbeteren. Voorbeelden “Het produkt van twee getallen is 6 enhun som is 5, welke zijn die twee getallen?” of “Ik neem een getal in mijn gedachten,vermenigvuldig dit met 6 en tel er 3 bij op. Dan krijg ik 18. welk getal was dat?”

In de algebra gaan we methodisch uit van evenwichten.[?] Net als de hefbomen enbalansen in de natuurkunde geven de vergelijkingen het vertrouwen in een nog onbekendewereld.

Bij de hierboven genoemde rekenopgaven gaat het om het doorlopen van de terugwegt.o.v. de genoemde heenweg. Dit draagt bij aan het evenwicht gevoel. Verder behoren debewerkingen pas echt tot de vaardigheden als ze in beide richtingen uitgevoerd kunnenworden. Hierbij sluit ook de algebra tot en met de eerstegraads vergelijkingen aan.Deze vergelijkingen blijven aanvankelijk volledig in het domein van de gehele getallenen worden dus steeds ontleend aan praktische situaties zoals de weegschaalproblemen.Pas op het laatst van de zevende klas komen er abstracte opgaven.


In de meetkunde worden de technieken verder uitgebreid en speelt voor het eerst hetbewijzen een rol, bijvoorbeeld bij het bewijzen van de stelling dat de som van de hoekenvan een driehoek 180◦ is.[?] Vooral het verschil tussen een voorbeeld situatie en eenalgemene uitspraak moet benadrukt worden.

3.2 Inhouden

rekenen en algebra

Rekenen en negatieve getallenOptellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met positieve en negatieve getallen.Daarnaast ook kunnen rekenen met breuken, in elk geval als er geen letters in voorkomen.Verder wordt het rekenen uitgebreid met:

• priemgetallen• GGD• KGV• deelbaarheid (regels uit het hoofd)• driehoeksgetallen en vierhoeksgetallen• machten van twee• worteltrekken uit kwadraten• hoofdrekenen met bijbehorende trucjes

Algebra tot en met de eerstegraadsvergelijkingen.Het letterrekenen uit klas 6 wordt hierbij doorgezet tot en met vormen als:3a(2a + 5b) = . . . en(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Dat betekent dat er begrip moet zijn voor:

• Hoe zijn de basisberekeningen, optellen aftrekken vermenigvuldigen en delen, wan-neer je letters gebruikt?

• Daarnaast het machtverheffen, zowel zuiver met getallen als met letters. In elkgeval tot en met het vermenigvuldigen en delen van machten.

• De invloed van haakjes op je berekeningen.• De volgorde van je berekeningen.

vergelijkingen

Eerstegraadsvergelijkingen moeten opgelost kunnen worden, met haakjes uitwerken, ver-huizen en controle door substitutie.

Voorbeeld: wat is a als je weet dat: 5(7a + 2) = 2(3a + 35)?

vlakke meetkunde

In driehoeken worden de constructies van de bijzondere lijnen geoefend. Hierbij wordeningeschreven en omgeschreven cirkels getekend.

• bissectrice• hoogtelijn• zwaartelijn• middelloodlijn

De congruentie van driehoeken wordt behandeld, de leerlingen moeten deze kunnenvaststellen en uit voorschriften driehoeken kunnen construeren met behulp van de con-gruentiegevallen ZZZ, ZHZ, ZHH, HZH en ZZR. Eigenschappen van hoeken bij tweeevenwijdige lijnen gesneden door een derde lijn. Hierbij hoort het bewijs van de stelling:De som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan een gestrekte hoek (180◦)

Project 2000 5

Verder gaat het om translaties, spiegelingen, rotaties en vermenigvuldigen van figurent.o.v. een punt.Oppervlakte, omtrek en inhoud van figuren.

Stelling van Pythagoras voor de eenvoudigste driehoeken, met een oppervlakte bewijs.

En in de tekenlessen:Doordringingen van bijvoorbeeld een kegel en een balk uit de hand schetsen.

3.3 Afsluiting en aandachtspunten

Al met al lijken dit vrij veel onderwerpen voor de drie wiskunde perioden:

• negatieve getallen en algebra• algebra en vergelijkingen• meetkunde, congruente driehoeken

In de twee vaklessen per week moet vooral de rekenkundige en algebraısche vaardigheidgeoefend worden. Om een goede werkhouding te stimuleren moeten deze vaklessen zeergoed gestructureerd worden. Meestal zullen ze gegeven worden worden door iemanddie niet een wiskunde vakman is. Om deze docent in de vaklessen wiskunde te helpenzouden er gedetailleerde aanwijzingen en opgavenbundels gemaakt moeten worden.

3.4 Perioden en vaklessen

In klas zeven zien wij drie perioden hoofdonderwijs van elk drie weken waarin globaalgenomen de volgende onderwerpen aan bod komen:

periode 1 Voortzetting van het rekenen en introductie van het rekenen met negatievegetallen, beginselen van het letterrekenen.

periode 2 Algebra tot en met de eerstegraads vergelijkingen, tekstopgaven.periode 3 Meetkunde van driehoeken met bijzondere lijnen, congruente driehoeken,

transformaties en stelling van Pythagoras

In de 2 vaklessen per week wordt geoefend met de stof die in de periode is ontmoet.

4 Achtste klas


De achtste klasser zoekt helderheid en vertrouwen. Het is een steun voor de ontwikkelingvan de achtste klassers als de wereld zonder twijfel en twistpunten aan hen gepresenteerdwordt, dat geeft hen vertrouwen en helderheid. Het denken moet gaan over gewoneconcrete dingen, over tastbare zaken.

In z’n ontwikkeling is de achtste klasser in een bepaald opzicht op z’n diepst geıncarneerd.Hierbij sluit aan dat de lesstof uit het “aarde-element” gekozen wordt. Het gaat om devaste structuren, in de talen is dat de grammatika, in de biologie het skelet en in dewiskunde zijn dat de rekenregels, de regels van de algebra. Het gaat bijvoorbeeld omhet strikt en concreet toepassen van de merkwaardige produkten.

In de meetkunde wordt die structuur gezocht en gevonden in de puntverzamelingen.Het puntenveld is eigenlijk de atomistische opvatting van het platte vlak. De vraag naaralle punten die even ver liggen van een punt als van een lijn geeft heldere structuuraan het vlak. Ook het besef dat er precies vijf platonische lichamen zijn en meer niet,en dat ze precies op deze en geen andere manier gemaakt kunnen worden geeft veelsteun. Over de eigenschappen en de relaties tussen de platonische lichamen wordt paslater nagedacht. In de stelsels vergelijkingen wordt de oplossingsstructuur tot het skeletwaarmee de soms uitgebreide onoverzichtelijke opgaven helder en doorzichtig worden.


Tegelijkertijd wordt in het beeldende, in de meetkunde een aanzet gegeven tot hetbeweeglijke denken. Nog lang niet beweeglijk in overdrachtelijke zin, maar nog puurbeweging in concrete meetkundige situaties. Het vervormen van vlakke figuren bij eengelijkblijvend oppervlak geeft aan de ene kant de vastigheid van een vastblijvende groot-heid, de oppervlakte en aan de andere kant het idee van de vrijheid, in een beeld gegeven,om van de ene vorm in de andere over te gaan.

4.2 Inhouden

rekenen

De ervaring leert dat dit de laatste klas is waar je nog een keer kunt proberen iets aanhet breukrekenen te verbeteren. Daar kun je dan het letterrekenen weer bij halen. Dusbreukrekenen met letters waardoor je opnieuw naar het begripsmatige moet.

Opgaven als:

6a2 · 5b

2a4b :

2a

b3a +

2a

b

algebra

De algebra wordt voortgezet tot en met machten en breukrekenen met letters. Daar ko-men bij de merkwaardige producten en ontbinden in factoren, herhaling KGV en GGDIn elk geval zouden alle standaardvormen aan bod moeten zijn geweest.

Dus opgaven van de vorm:a(2a + 3b) = 2a2 + 3ab(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a + b)(a− b) = a2 − b2

(a + b)(a + c) = a2 + (b + c)a + bcZowel het uitwerken van de haakjes als het ontbinden in factoren moet veelvuldig be-oefend worden.

Aansluitend zou je als algebraısche rekenopgave het kwadraatafsplitsen kunnen beoefe-nen.

Dus een opgave alsSchrijf a2 + 6a + 15 in de vorm (a + 3)2 + 6.Dat dit zin heeft valt te beargumenteren met de vraag wat de kleinsteuitkomst is wanneer je in de letterformule a2 + 6a + 15 voor a allerleiverschillende getallen invult.

vergelijkingen

Stelsels vergelijkingen zijn ook standaard voor de achtste klas. Twee vergelijkingen(eerstegraads) met twee onbekenden in elk geval en voor de liefhebber ook meerderevergelijkingen met meerdere onbekenden.

Als uitbreiding van de eerstegraadsvergelijkingen uit de zevende klas nu het begin vande tweedegraadsvergelijkingen. In aansluiting op het ontbinden kun je de eenvoudigevergelijkingen behandelen. En dan als vervolg op het kwadraatafsplitsen de wat inge-wikkelder vormen. Het is niet zo heel moeilijk om er voor te zorgen dat er nog geenwortelvormen voorkomen. Wanneer het oplossen met behulp van kwadraatafsplitsenin deze klas voldoende geoefend kan worden is de stap in negen naar de algemene op-lossing van een tweedegraadsvergelijking niet zo groot meer. De behandeling van dezevergelijkingsvormen sluit goed aan bij het standaardprogramma van de achtste klas: demerkwaardige producten. Voor de duidelijkheid: de abc-formule blijft in de negende klas.

Project 2000 7

Het begrip van de evenredigheid, en het werken met evenredigheden is van groot belangbij het rekenen met behulp van gelijkvormige driehoeken.

Samenvattend:

• basisbewerkingen in de algebra• distributieve eigenschap (haakjes uitwerken)• merkwaardige producten• ontbinden in factoren• kwadraatafsplitsen• stelsels vergelijkingen• tweedegraads vergelijkingen (zonder wortelvormen, zonder abc-formule)• evenredigheden

meetkunde

Gelijkvormigheid van driehoeken kunnen vaststellen. Berekenen van lengtes in gelijkvor-mige driehoeken. Rekenen met verhoudingen en schalen. Zwaartelijnen en zwaartelij-nenstelling.

Vormveranderende figuren bij gelijkblijvend oppervlakte: De notie zou moeten ontstaandat elke vlakke vorm, begrensd door rechte lijnen, bij gelijkblijvend oppervlak omge-vormd kan worden tot een vierkant. (i.t.t. een cirkel)

Vierhoeken op en binnen de cirkel:vierkant, rechthoek, gelijkbenig trapezium, koordenvierhoek.Vierhoeken aan en buiten de cirkel:vierkant ruit, vlieger, raaklijnenvierhoek.parallellogram, trapezium, willekeurige vierhoek.

Puntverzamelingen:bissectrice, middelloodlijn, cirkel, ellips, hyperbool, parabool en zo mogelijk de krommenvan Cassini en de cirkels van Apolonius.Platonische en archimedische lichamen boetseren en uitslagen construeren. Stelling vanEuler. Het is hier nog niet de bedoeling dat nu reeds al uitgebreide beschouwingen overpolaire lichamen gehouden of berekeningen aan de ruimtelijke vormen gemaakt worden.

Perspectief schetsen. (in tekenlessen)

Samenvattend:

• gelijkvormigheid• verhoudingen en schalen• oppervlaktegetrouwe transformaties• vierhoeken• puntverzamelingen• platonische en archimedische lichamen• perspectief


In klas acht zijn er ook drie perioden hoofdonderwijs van elk drie weken. In deze periodekan een combinatie gemaakt worden tussen een meetkunde deel en een algebra deel.Op de volgende manier:

periode 1 Driehoeken, vierhoeken en vormveranderingen.Merkwaardige producten, haakjes uitwerken, ontbinden in factoren en kwadraat-afsplitsen.


periode 2 Puntverzamelingen. Tweedegraads vergelijkingen.periode 3 Platonische en archimedische lichamen. Stelsels vergelijkingen, tekstopga-

ven.

In de 2 vaklessen per week wordt geoefend met de stof die in de periode is ontmoet,vooral met de algebra.

5 Negende klas


In de negende klas, maar vaak al eerder, breekt de puberteit in alle hevigheid los. Deeigen voorkeuren en de eigen afkeuringen treden duidelijk op, veel leerlingen wordeneigenwijs en eigenzinnig, kortom iets eigens van de persoonlijkheid komt te voorschijn.Er is echter nog heel veel onzekerheid om die nieuwe eigenschappen in balans te houden.Er gaat nog veel invloed of macht uit van de “groep”, oordelen van de naaste omgevingspelen nog en belangrijke rol.De mogelijkheid om echt de eigen positie en de eigen oordelen te gaan bepalen en zoinnerlijke veiligheid te verkrijgen is echter aanwezig. Ook hier speelt het denken eenbelangrijke rol. Het is nu minder sterk aan de waarneming gebonden, het vermogen omwerkelijk te abstraheren ontwaakt. Een getal hoeft niet langer 3 of 11 te zijn, het kandoor x voorgesteld worden en pas later een inhoud krijgen. Vanuit het concrete kan menabstracte redenering gaan opbouwen. Dit abstractere denken geeft de mogelijkheid om(nieuwe) verbanden te gaan ontdekken en zo — langzaamaan — voor de verschillendegebieden van het leven tot eigen oordelen te komen. Het gaat om vraagstukken enbegrippen die in het concrete verankerd zijn en toch een abstracte denkkracht vragen,deze kunnen de ontwikkeling van het denken van de negende klasser ondersteunen.Het abstracte denken wordt aangesproken in de periode permutaties, combinaties envariaties, waar uitgaande van (gedachten–)experimenten formules gemaakt worden voorsituaties die niet meer uitvoerbaar zijn (b.v. alle verwisselingen van 25 elementen =25!) of voor algemenere situaties (b.v. binomium van Newton (a + b)n = . . .). Omdezelfde reden wordt in klas 9 de abc–formule geıntroduceerd en kan er zinvol vanuit hetverband tussen de rekenkundige en meetkundige rijen een begin gemaakt worden met deoneigenlijke machten. Ook het bewijzen in de meetkunde oefent dit abstractievermogen.

In klas negen moet vooral ten behoeve van het behandelen van goniometrie de (gewone)rekenmachine geıntroduceerd worden.

5.2 Inhouden

algebra

Een hoofdonderwerp voor klas negen blijven de irrationele getallen (π en g) en detweedegraadswortels en hogere machtswortels. Rekenregels met wortelvormen en wortelsvereenvoudigen. Oppervlakte en omtrek van een cirkel. Gulden snedegetal g en hetverband met de wortelvormen.

De tweedegraadsvergelijkingen worden herhaald en nu uitgebreid met de abc-formule ende discriminant. Nu gaat het er om de algemene oplossing van een willekeurige verge-lijking van de tweede graad te kunnen vinden. Dat is ook bevredigend voor de negendeklasser. Je hebt een methode waarmee je alles te lijf kunt. Dat het in voorkomende ge-vallen handiger kan is eigenlijk pas weer van later zorg. Voor de snellen kan er gevarieerdworden met vergelijkingen van een hogere graad die via ontbinden terug te brengen zijntot vergelijkingen van eerste en tweede graad. (algebraısche staartdelingen?)

Samenvattend:

Project 2000 9

• wortelvormen

• rekenen met wortels

• wortels vereenvoudigen

• cirkels en π

• gulden snede

• abc-formule

• discriminant

combinatoriek

Dit blijft standaard voor de negende klas.

• rangschikken met en zonder herhaling

• routes in een rooster

• driehoek van Pascal

• Boom– en wegendiagram

• Verzamelingen (Venn, ∩ en ∪)

• Talstelsels, binair, octaal en hexadecimaal

• Boolse algebra (i.s.m. computerkunde)

• Binomium van Newton zie ook:[?].

Rijen en reeksen

Een onderwerp wat tot nu toe in de tiende klas behandeld werd. Het is wellicht mogelijkom in aansluiting op de combinatoriek de rekenkundige rijen en de meetkundige rijente behandelen. Daarbij horen dan de somformules en de verschillende gemiddelden,interpolatie en extrapolatie.

Opgaven als:De bevolking van Nederland groeit met 1% per jaar. We zijn nu met15 miljoen. Hoeveel zijn er in 2010? Of: Als elke twee uur een bacte-riehoeveelheid verdubbelt en op dit moment zijn er 1000, hoeveel zijner dan morgen om dezelfde tijd?

Misschien moeten de oneindig voortlopende rijen en hun som pas in klas 10 behandeldworden. Aansluitend komen de volgende onderwerpen worden aan bod.

• verhoudingen en schaal

• tabellen, diagrammen, woordformules

• veranderingen

• grafieken en diagrammen aflezen

• centrummaten

• stijging, daling en periodieke verandering

goniometrie

In de vaklessen wordt een begin gemaakt met de goniometrische berekeningen in recht-hoekige driehoeken tot en met de exacte waarden van sin, cos en tan.

In aansluiting op de meetkunde uit de achtste klas waar de gelijkvormigheid behandeldis kan een begin gemaakt worden met goniometrie. Wellicht blijft het bij heel eenvou-dige opgaven binnen de rechthoekige driehoeken, maar zijn de begrippen wel daarmeegeıntroduceerd. Het behandelen van de exacte waarden voor hoeken van 0, 30, 45, 60en 90 graden kan goed in aansluiting op de irrationele getallen.


cirkelmeetkunde

• omgeschreven cirkel van scherpe, stompe en rechthoekige driehoek, herhaling vanklas 7

• stelling van Thales• constructie van raaklijnen aan de cirkel• raaklijnen aan twee cirkels• koordenstelling• stelling van Pythagoras

– meetkundig bewijs– algebraısch bewijs– verband met de goniometrie (sin2 α + cos2 α = 1)

• meetkundig worteltrekken• in-, om- en aangeschreven cirkels van een driehoek, herhaling uit klas 7• bissectrice stelling• negenpuntscirkel (verrijkingsstof)• pool en poollijn (in verband gebracht met de rijen)• machtlijn en macht van een punt t.o.v. een cirkel (verrijkingsstof)• omtrek en oppervlakte van een cirkel (zie ook de periode irrationale getallen)

beschrijvende meetkunde

• vooraanzicht, zijaanzicht, bovenaanzicht van eenvoudige ruimtelijke figuren (voort-zetting van de periode platonische lichamen van klas 8)

• eenvoudige doorsnijdingen van piramides (eventueel: kegels), exact geconstrueerd.


Het programma voor de negende klassen dreigt overbeladen te worden. Waarschijnlijkmoet er in klas negen in de vaklessen met nivogroepen gewerkt worden. Dat moet zekerin de tiende klas.


In de negende klas is er zeker genoeg stof voor drie periodes, maar daar is waarschijnlijkgeen ruimte voor. In twee periodes van elk drie weken zou dat als volgt ingedeeld kunnenworden:

periode 1 Irrationele getallen, combinatoriek en talstelsels.periode 2 Cirkelmeetkunde en rijen en reeksen

Voor de 2 vaklessen per week blijft dan nog vrij veel staan. De belangrijkste onderwerpenzijn: Tweedegraads vergelijkingen verder oefenen en introductie van de abc–formule.Goniometrie (eerste deel) en beschrijvende meetkunde.

6 Tiende klas


In de tiende klas gaat het om het leggen van verbanden. Grote lijnen kunnen nu ontdekten begrepen worden. Met de oneigenlijke machten en de logaritme wordt de algebra af-gesloten en wordt de deur naar de analyse geopend. De eigen plaatsbepaling ten opzichtevan de omgeving, het voegen in het geheel, vindt zijn beeld in het landmeten. De be-nodigde goniometrie hiervoor wordt dan ook afgerond. Vanuit hetzelfde gezichtspunt:het leggen van verbanden, het zoeken vanuit grote lijnen, kan ook het functiebegrip

Project 2000 11

aangelopen worden. Een nieuw element van waaruit verder gewerkt kan worden is hetgevoel. Dat wil zeggen dat het gevoel instrumenteel begint te worden en dat het gevoelvoor harmonie en ritme het denken verder kan onderbouwen. Het duidelijkst wordt ditals op een gevoel voor symmetrie en ritme de rij 16 = 24 8 = 23 4 = 22 2 = 21

voortgezet wordt tot in de oneigenlijke machten 1 = 20 12 = 2−1 etc.

6.2 Inhouden

goniometrie

In de vaklessen wordt de goniometrie verder ontwikkeld tot en met de goniometri-sche vergelijkingen. Daarna komt het uitbouwen van de goniometrie, eerst binnen demeetkunde tot en met de sinus en cosinusformule. Daarna een overstap naar alge-braıscher vormen. Het invoeren van radialen. Vergelijkingen van het type sin α = sinβ,cosα = cos β en tan α = tan β moeten opgelost kunnen worden.Samenvattend:

• sinus, cosinus en tangens van hoeken groter dan 90◦ en negatieve hoeken• sinus, cosinus en tangens in de eenheidscirkel• terugrekenen naar het eerste kwadrant• de sinusoıde• radialen• goniometrische vergelijkingen

algebra

Oneigenlijke machten, en logaritmen tot en met logaritmische en exponentiele vergelij-kingen.

Opgave:Een bank geeft per jaar 6% rente en schrijft die rente maandelijks bij.a Tot hoeveel is een bedrag van 1000 gulden in 7 jaar en 4 maandenaangegroeid?b Wat moet ik nu op de bank zetten om over 5 jaar en 8 maanden2500 gulden te hebben als ik tussentijds niets meer extra bij zet.c Hoe lang moet een bedrag van 700 gulden op de bank staan totdathet is aangeroeid tot 1000 gulden?d Wat is het rentepercentage dat de bank per maand rekent?

Samenvattend:

• oneigenlijke machten• logaritmen & rekenregels• logaritmische schalen• logaritmische verbanden in de fysiologie en in de natuurkunde• logaritmen met grondtallen 10 en e• logaritmische vergelijkingen• exponentiele vergelijkingen

Functieleer

Het assenkruis moet geıntroduceerd worden. Daarbij komen de functies en grafieken vaneerste– en tweedegraads functies. Gebroken, exponentiele en logaritmische functiesenvan periodieke functies. Hierbij is de hoofdopdracht om ze te tekenen en te ontdekkenhoe ze eruit zien. Verder valt er te denken aan:

• formules met twee of meer variabelen• lineaire verbanden• exponentionele verbanden


Landmeten

In een werkweek landmeten kunnen exacte kaarten van kleine gebieden gemaakt worden.Ook hoogteprofielen en hoogtekaarten kunnen onder dit gebied vallen. De leerlingen zijnpraktisch met wiskunde bezig met:

• meetband• schietlood• waterpasinstrument• theodoliet• pentagonprisma• jalon/jalonrichter

Het geheel kan (in klas 11) meetellen als praktische wiskundeopdracht.

ruimtemeetkunde

De stereometrie wordt in klas 10 uitgebreid met de volgende onderwerpen:

• doorsnijdingsvlak, bepaald door drie punten, met kubus of balk• snijlijn bepalen van twee doorsnijdingsvlakken in kubus of balk• schaduwconstructies• fragmenttekenen van ruimtelijke figuren• oppervlakte en inhoud van een prisma• piramide, cylinder, kegel, bol

Analytische meetkunde

N.B. deze onderwerpen zijn geen examenstof meer en dienen opgevat te worden alsverrijkingsstof.

• vergelijking van lijn, cirkel, ellips, hyperbool en parabool• snijpuntbepaling van twee lijnen, twee cirkels en een lijn en een cirkel• samenstelling van twee harmonische trillingen, ellips, lemniscaat


In klas tien zijn drie perioden hoofdonderwijs van elk drie weken noodzakelijk. Hierinkomen de volgende onderwerpen aan bod:

periode 1 Oneigenlijke machten en logaritmen. Een stuk goniometrie.periode 2 Functies en grafieken.periode 3 Stereometrie en landmeten.

In de 2 vaklessen per week moet veel geoefend worden met het tekenen van grafieken,een stuk analytische meetkunde en het oplossen van allerlei vergelijkingen. Aan hetbegin of in de loop van klas 10 wordt de grafische rekenmachine geıntroduceerd.

7 Elfde klas


In de elfde klas is een van de thematieken de standpuntbepaling. Hoe stel ik me op tegen-over de ander. Het gaat om het onderzoeken van verschillende standpunten, hetzelfdevanuit verschillende kanten bekijken. Als duidelijkste is dit te vinden in de kartografie:de aarde wordt op verschillende wijzen afgebeeld, waardoor steeds een totaal ander zichtontstaat. Een begrip als parabool, of de ellips, zou je zo vanuit verschillende gezichts-punten kunnen behandelen. In de analytische meetkunde als meetkundige plaats, in de

Project 2000 13

functieleer als grafiek van een tweedegraads functie, in de ruimtemeetkunde als kegel-snede en in de projectieve meetkunde als punten lijnconstructie. In de natuurkundekomen we in deze klas bij de (bewuste) introductie van het modeldenken. In de elfdeklas is de twijfel een ontwikkelingsinstrument. Je kan het op deze manier zien, maarook op een andere, wat is nu de waarheid, een vraag die pas in klas 11 op zijn plaatsis. Zo is er in de kansrekening wel een zonder twijfel een antwoord te geven over dekans op een gebeurtenis, maar niet over de uitkomst van een individueel toevalsproces.In klas 11 is het ook mogelijk om te discussieren over de misbruik van de kansrekeningbij uitspraken als ‘de kans dat deze dijk doorbreekt is 1 op 100.000’.

De wiskunde als toegepast vak, als vak dat in andere disciplines gebruikt kan worden isdan terug te vinden in de kansrekening en de statistiek. Hoewel nieuw in een leerplanvoor de Vrije School blijkt het dat de statistiek en kansrekening zo prominent aanwezigis in de maatschappij (krant, t.v.-journaal) en in zo veel profielen voorkomt dat hetgerechtvaardigd is om er een periode voor te reserveren. Wat aan bod kan komen zijnkansrekening tot en met verwachtingswaarde. Hypothese-toetsing, verschillende statis-tische verwerkingen van onderzoeksgegevens.

7.2 Inhouden

Periode kansrekening en statistiek

• empirische en theoretische kansen, histogrammen, boom- en wegendiagrammen,roosters

• populatie en steekproef• ordenen, verwerken, samenvatten van statistische gegevens• normale verdeling• rekenen met kansen (somregel, productregel, complementregel)• binomiale verdeling• speciale discrete verdeling

Functieleer tot en met differentieren

Dat betekent dus uitbreiding van de periode uit klas tien en het differentieren vanallerlei functies. Dus ook hogeremachtsfuncties en het bepalen van maxima en minima,opstellen van vergelijkingen van raaklijnen.

• exponentiele functies• gebroken lineaire functies• machtsfuncties• logaritmische functies• vergelijkingen en ongeljkheden• afgeleide functie van machtsfuncties en de interpretatie hiervan• periodieke functies f(x) = a sin b(x + c) + d• stijging en daling, toenemende/afnemende stijging/daling• toename diagrammen• aflezen minimum en maximum• differentie quotient berekenen• veranderingen beschrijven met differentie quotient

Vervolg ruimtemeetkunde

• onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken• afstanden en hoeken• omwentelingslichamen, niet op analytische maar op stereometrische manier.


Projectieve meetkunde

• polariteit van kubus en octaeder

• duale grondeigenschappen in de ruimte, in het vlak en in het punt

• punten lijnenvelden in het vlak

• oneindige (oneigenlijke) elementen

• stelling van Desargues

• stelling van Pappos

• omstulpingen (door lineaire collineaties) van driehoeken, vierkanten en cirkels doorhet oneindige

• projectieve voortbrenging van kegelsneden

• pool en poollijn

• inversie


In klas 11 is het waarschijnlijk nodig dat de klassen nu ook in de perioden in nivogroepengesplitst worden. Zelfs in de nieuwe periode ‘kansrekening’. De hoeveelheid stof vraagtongetwijfeld om drie perioden:

• kansrekening en statistiek

• voortgezette functieleer

• projectieve meetkunde & omwentelingslichamen


In de elfde klas stonden tot nu toe op de meeste scholen twee perioden, dat zullen erechter drie van elk drie weken moeten worden. De statistiek en kansrekenening gaat eenvolle periode in klas 11 worden:

periode 1 Functies en grafieken, tweede deel, tot en met het differentieren.

periode 2 Statistiek en kansrekening.

periode 3 Projectieve meetkunde.

In de perioden zouden de jaarklassen op niveau gesplitst moeten worden. De projectievemeetkunde is voor de vwo leerlingen het keuze onderwerp en voor de havisten eenperiode waarin onderzoeksopdrachten uitgevoerd worden. Drie vaklessen per week isminimaal nodig, voor de N-profielen zelfs vier uur per week.

8 Twaalfde klas


In de twaalfde klas gaat het om de oefening en de voorbereiding op het verwezenlijkenvan je idealen. Een orientering op de toekomst, vanuit overzicht op wat is geweest. Datvraagt tegenwoordigheid van geest, aanwezigheid in het moment. Dit momentsbelevendrukt zich in de wiskunde uit in de differentiaal- en integraalrekening, hoewel het diffe-rentieren al aangelopen moet zijn in de elfde klas (via helling functies bijvoorbeeld). Ookvoor leerlingen die deze onderwerpen niet in hun examenprofiel hebben is een principielekennismaking van belang.

Gezien de examendruk lijkt het waarschijnlijk dat de aandacht voor de ontwikkelings-doelen in klas 12 gering zal zijn.

Project 2000 15

8.2 Inhouden

Differentiaal– en integraalrekening, voortgezette functieleer

• afgeleide functies (som-, product-, kettingregel, optimaliseren)• periodieke functies• exponenten en logaritmen (e , ex en afgeleide, log x en afgeleide)• afgeleide waarde en raaklijnen opstellen• extreme waarden• integreren

We pleiten ervoor om zo veel mogelijk de basisbegrippen van het differentieren enintegreren in de twaalfde klas te behandelen. In de vaklessen (meer dan 2!) kan debenodigde vaardigheid op de verschillende niveaus beoefend worden.

Verder staan er voor klas twaalf de onderwerpen:vwo A

• lineair programmeren• grafen• matrices• populatie en steekproef• ordenen, verwerken en samenvatten van statistische gegevens• kansverdelingen

vwo B

• continue dynamische modellen– modelleren– oplossen van differentiaalvergelijkingen

• normale verdeling en toetsen van hypothesen– standaardafwijking– normale verdeling– toetsen van hypothesen

• voortgezette meetkunde– bewijzen in de vlakke meetkunde– afstanden en grenzen– meetkundige plaatsen en kegelsneden

• voortgezette analyse– rijen– convergentie van rijen


In de twaalfde klas is er niet veel periodetijd meer en een periode die wat laat in hetjaar ligt kan je niet gebruiken om nieuwe stof te introduceren. Er is dan in de tot nutoe gebruikelijke zin nog maar een periode wiskunde, aan het begin van het jaar.

periode 1 Differentiaal- en integraalrekening, vervolg.

In de vaklessen moet dan nog erg veel gebeuren. Wij hebben nu nog te weinig kijk op demanier waarop deze lessen ingericht zouden moeten worden om daar nu al iets zinnigsover te kunnen zeggen.

9 Terugblik op het werkproces

De werkgroep heeft over de inhoud van dit verslag correspondentie gevoerd, is in to-taal acht keer bijeen gekomen en heeft vier bijeenkomsten van wiskunde leerkrachtengeorganiseerd. Deze bijeenkomsten waren druk bezocht en de leden van de werkgroep


hebben duidelijk de indruk dat het leerplan, zoals dat er nu ligt, breed door de wiskundeleraren gedragen wordt.

Dit verslag is in meerdere conceptvormen ruim onder de wiskunde leraren verspreid enveelvuldig becommentarieerd en aangepast.

9.1 Welke knelpunten zijn er nog

Het is mogelijk dat er op bepaalde scholen niet drie maar twee perioden wiskunde inklas 7 en 8 gegeven zullen worden. In dat geval adviseren we om in klas 7 de eerste tweeperioden ‘negatieve getallen & letterrekenen’ en ‘algebra tot en met eerstegraads verge-lijkingen’ samen te nemen. In klas 8 adviseren we dan de perioden ‘puntverzamelingen& tweedegraads vergelijkingen’ samen te nemen met de periode ‘platonische lichamen& stelsels vergelijkingen’.

De hoeveelheid stof in klas 9 is, zoals reeds vermeld, erg groot. Daar is enige ruimte teverkrijgen als de gelijkvormigheid in klas 7 al stevig wordt aangezet. Om dezelfde redenkan men een stuk verzamelingenleer (venndiagrammen) in klas 8 behandelen en latenaansluiten bij de puntverzamelingen.

In klas 8 staat in de periode het maken van platonische en archimedische lichamen. Debedoeling is dat er in die klas praktisch, ervarend aan deze vormen gewerkt wordt. Dus:‘maak een uitslag en plak de vorm’. er wordt nog niet over nagedacht in de zin van‘hoeveel verschillende uitslagen van een kubus zijn er mogelijk’ en de stelling van Euler,deze onderwerpen kunnen heel goed in klas 9 hun plaats krijgen.

De goniometrie in rechthoekige driehoeken van klas 9 (trigonometrie) kan uitstekenduit de cirkelmeetkunde ontwikkeld worden. Daarbij kan men aansluiten bij de historischeontwikkeling van de goniometrie.

Bij de periode projectieve meetkunde is het uitdrukkelijk de bedoeling dat ook hetruimtelijk inzicht aangsproken en ontwikkeld wordt en dat het niet blijft bij de meetkundein het vlak, maar dat de ruimtelijke verhoudingen en de meetkunde in een punt ruimeaandacht krijgt.

De periode functies, grafieken & differentieren in klas 11 moet hoogst waarschijnlijk innivogroepen gegeven worden, sterk afhankelijk van de leerlingen populatie. Hetzelfdegeldt waarschijnlijk voor de periode kansrekening & statistiek. Daartegenover staat deperiode projectieve meetkunde & omwentelingslichamen die toelaat dat de leerlingen inklasseverband deze periode volgen.

De stof is in dit leerplan zodanig beschreven dat het in principe mogelijk is om in klas11 examen havo en in klas 12 examen vwo te doen. De hoeveelheid stof en het nivo isechter voor de NT–profielen dermate groot en hoog dat het niet waarschijnlijk is datdat ook werkelijk in klas 11 en 12 al rond kan zijn. Voor deze profielen zijn er naast deperioden in klas 11 en 12 zeker 4 vaklessen per week nodig.

9.2 Wat is het gewenste vervolgtraject?

Over vervolgtrajecten spreken is in de toekomst kijken, daar is nog veel duister. Degroep van wiskunde leraren is in ieder geval van plan zijn reeks van bijeenkomsten voortte zetten, daar ervaringen in de tweede fase structuur uit te wisselen en inhoudelijk teblijven werken. Een lastig probleem is het gebruik van boeken in klas 11 en 12, laterwellicht ook in klas 10. Omdat onze scholen klein zijn moet er steeds in elke lesgroepuit twee of drie verschillende schoolboeken tegelijk gewerkt worden. Het maken vaneen goede, afgewogen studiewijzer is dan heel belangrijk. Bovendien sluiten de huidigeschoolboeken in het geheel niet of op zijn minst slecht aan op onze lespraktijk. In de

Project 2000 17

perioden worden al veel onderwerpen goed uitgediept, maar de schoolboeken behandelendeze onderwerpen alsof ze nieuw zijn. Er is al een aantal keer genoemd dat we voor dezeklassen misschien eigen boeken moeten gaan schrijven. De groep van wiskunde lerarenis zeker van plan om opdrachten voor zelfstandig werken aan elkaar uit te wisselen,zodat niet iedereen alles zelf hoeft te doen.


Bijlagen

I examenprogramma’s vwo

Hieronder zijn de domeinen en subdomeinen weergegeven. De volledige beschrijvingenvan de vaardigheden vragen te veel ruimte. De domeinen A ‘vaardigheden’ zijn steedsweggelaten.

bron: examenprogramma’s profielen vwo/havo wiskunde, min OCenW, ISBN 90 346 3577 5

vwo wiskunde Avwo A1 = Bg + Cg + Eg + Ea + Favwo A12 = vwo A1 + D(g) + Ba + Ca+ Da + GaBg functies en grafieken• standaardfuncties• functies, grafieken vergelijkingen

en ongelijkhedenCg discrete analyse• verandering• rijenD(g) meetkunde• ruimtelijke objecten• lineair programmerenEg combinatoriek en kansrekening• combinatoriek• kansen• rekenen met kansen• speciale discrete verdelingenBa differentiaalrekening met toepassin-gen• afgeleide functies• optimaliserenDa lineair programmerenEa grafen en matrices• grafen• matricesFa statistiek en kansrekening• populatie en steekproef• ordenen, verwerken en samenvat-

ten van statistische gegevens• kansverdelingenGa keuze onderwerpen

vwo wiskunde Bvwo B1 = Bg + Cg + D(g) + Eg +Bb + Cb + Db + Eb + Fbvwo B12 = vwo B1 + Gb + HbBg functies en grafieken• standaardfuncties• functies, grafieken vergelijkingen

en ongelijkhedenCg discrete analyse• verandering• rijenD(g) meetkunde• ruimtelijke objecten• berekeningenEg combinatoriek en kansrekening• combinatoriek• rekenen met kansen• speciale discrete verdelingenBb differentiaal- en integraalrekening• afgeleide functies• algebraısche technieken• integraalrekeningCb continue dynamische modellen• modelleren• oplossen van differentiaalvergelij-

kingenDb goniometrische functiesEb normale verdeling en toetsen vanhypothesen• standaardafwijking• normale verdeling• toetsen van hypothesenFb keuze onderwerpenGb voortgezette meetkunde• bewijzen in de vlakke meetkunde• afstanden en grenzen• meetkundige plaatsen en kegel-

snedenHb voortgezette analyse• rijen• convergentie van rijen

Project 2000 19

II examenprogramma’s havo

havo wiskunde Ahavo A1 = B + C + D + Ehavo A12 = havo A1 + F + GB veranderingen• tabellen• grafieken• veranderingenC tellen en kansenD statistiek• populatie en steekproef• ordenen verwerken en samenvat-

ten van statistische gegevens• normale verdelingE verbanden• formules met twee of meer varia-

belen• lineaire verbanden• exponentiele verbandenF toegepaste analyse• exponentiele functies• gebroken lineaire functies en

machtsfuncties• bundels van grafieken en 3-

dimensionale grafieken• differentieren• toepassingen bij differentierenG binomiale verdeling• telproblemen• rekenen met kansen• binomiale verdeling

havo wiskunde Bhavo B1 = B + C + E + Fhavo B12= havo B1 + D + G + HB veranderingen• veranderingenC tellen en kansen• telproblemen• kansenD ruimtemeetkunde 1• fragmentekeningen van ruimtelij-

ke objecten• oppervlakte en inhoudE toegepaste analyse 1• functies en grafieken• vergelijkingen en ongelijkheden• afgeleide functies 1• periodieke functies 1F kansrekening en statistiek• rekenen met kansen• binomiale verdeling• normale verdelingG ruimtemeetkunde 2• onderlinge ligging van punten lij-

nen vlakken in concrete situaties• afstanden en hoeken in concrete

situatiesH toegepaste analyse 2• afgeleide functies 2• periodieke functies 2• exponenten en logaritmen


III periodenoverzicht

In de hieronder genoemde perioden wordt in de betreffende klassen stof uit de genoemdedomeinen zo niet geheel behandeld dan toch gegrondvest. Elk van die perioden zou 3weken HO moeten zijn.

De projectieve meetkunde kan goed de vwo domeinen “keuze onderwerpen” dekken,vanuit dat oogpunt zou deze periode ook goed een twaalfde klas periode kunnen zijn.Een nadeel van zo’n indeling is dan natuurlijk dat waarschijnlijk niet alle leerlingen dezeperiode nog meemaken.

VA VB HA HB9 irrationale getallen (π, e, g)

PCV (cirkel)meetkunde Eg Eg C Crijen, machten logaritmen Cg Cg H

10 ruimtemeetkunde D(g) D(g) D,Ggoniometrie Db Efunctieleer en analytische meetkunde Bg Bg B,E,F B,E

11 functies vergelijkingen differentieren Cg,Ba Cg,Bb F E,Hkansrekening en statistiek Eg Eg,Eb C,D,G C,Fprojectieve meetkunde Ga Fb

12 fie’s, vgl, integreren, diff. vgl. Bb,Cb

(Bestandsnaam: leerplan-p2000.tex)

Documents

Verslag van de vakontwikkelgroep wiskunde...Verslag van de vakontwikkelgroep wiskunde H. Boss B.J. Geels N. Liesker J. Steenbruggen mei 1999 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Zesde klas