Embed Size (px)
Citation preview
VIII анги
ДАВТЛАГА
Рациональ тоо
1. Үйлдлийг гүйцэтгэ1. а. 5
34
3
−4151
2
=15−82102
=−67102
;
б. 3 130
−5 790
=9130
3
−45790
1
=273−45790
=−18490
=−9245
=−2 245
;
в. 6 17
2
−10 314
1
=6 214
−10 314
=5 1614
−10 314
=−5 1314
;
2. а. 57 : (−1021 )=−57
∙ 2110
=−32
=−1 12;
б. −45 :(−1 115 )=45 : 1615=45 ∙ 1516=34;
в. 31 12 :2131
=632: 6331
=632
∙ 3163
=312
=15 12;
3. а. (−5 )3=(−5 ) ∙ (−5 ) ∙ (−5 )=−125;
б.(−13 )2= (−13 ) ∙ (−13 )=169 ;
в. (−0,5 )3=(−0.5 ) ∙ (−0.5 ) ∙ (−0.5 )=−0.125 ;
г. (−0.13 )2=(−0.13 ) ∙ (−0.13 )=0.169
4. а. ( 49 )2
=1681
; б. (−37 )3
=−33
73=−27343
;
в. (−1 15 )2
=(−65 )2
=(−65 ) ∙(−65 )=3625=1 1125 ;
г. (1 15 )3
=( 65 )3
=63
53=216125
=2 66125
;
2. Илэрхийллийг хялбарчил1. 3 :1 12+5:1
14=3: 3
2+5 : 5
4=3 ∙ 2
3+5 ∙ 4
5=2+5=7 ;
2. 10 23−5 13:3 13=10 2
3−183: 103
=10 23−183
∙ 310
=10 23
5
−95
3
=10 1015
−2715
=8 4015
−2715
=8 1315
;
3. (10 23−5 13 ):3 13=5 23 : 101 =173
∙ 110
=1730
;
1
VIII анги
4. 92 ∙89−163
∙ 332
=4−12=3 2
2−12=3 1
2;
5. (8 712−2 1736 ) ∙2.7−4 13 :0.65I) 8 7
12
3
−2 1736
1
=(8−2 ) 21−1736
=6 436
=6 19;
II) 6 19∙ 2710
=159
∙ 2710
=92=4 1
2;
III) 133
∙ 10065
=203
=6 23;
IV) 4 12−6 2
3=92
3
−203
2
=27−406
=−136
;
6. 14 : 215 + 112
∙8=14 ∙ 521
+ 112
∙8=103
+23=123
=4 ;
7. ( 3524 + 1336 ) ∙ 3625− 8
15∙ 916
;
1.44=144100
=3625
; 0,5625= 562510000
= 916
;
I ¿ 3524
3
+ 1336
2
=105+2672
=13172
;
II ¿ 13172
∙ 3625
=13150
; III) 815 ∙916
= 310
;
IV ¿ 13150
1
− 310
5
=131−1550
=11650
=2 1650
=2 825
;
8. 185 ∙ 109
−223
∙ 911
=4−6=−2 ;
9. ( 32+ 83−185 ) ∙ 185 ;
I) 32
15
+ 83
10
−185
6
= 45+80−10830
=1730
;
II) 1730
∙ 185
=5125
=2 125
;
10. ( 409 + 743
−24215 ) ∙ 12 ;
I ¿ 409
5
+743
15
−24215
3
=200+1110−72645
=58445
;
II ¿ 58445
∙ 12=29245
=6 2245
;
11. (15 326−13 3139 )∙(2 118−3 19+ 13 );I ¿15 3
26
3
−13 3139
2
=15 978
−13 6278
=14 8778
−13 6278
=1 2578
;
II ¿2 118
1
−3 19
2
+ 13
6
=1918
−5618
+ 618
=19−56+618
=−3118
; 2
VIII анги
III ¿1 2578
∙(−3118 )=−10378
∙ 3118
=−31931404
=−2 3851404
;
12. ( 4715−356
+ 1615 ) :( 7500−54 );
I ¿ 4715
2
−356
5
+1615
2
=94−105+3230
=2130
= 710
;
II ¿ 7500
1
−54
125
=7−62530
=−61830
=−20610
;
III ¿ 710
∙(−10206 )= −7206
;
13. 14−1218
∙ 12=14−121
16=224−121
16= 316
;
3. Хялбарчил1. −5
4∙(−14 ) ∙ 45−18 ∙ 4
3+(−332 ) ∙ 194 =1
4−24−627
8=2−192−627
8=−817
8=−102 1
8;
I)−54 ∙(−14 ) ∙ 45=14; II)18 ∙ 43=24 ; III ¿(−332 )∙ 194 =−627
8;
2. 4 23 :(−5 23 )−58 ∙3,2 ∙(−35 )+(−7 25 ) ∙ (−1,5 );
I ¿ 143: (−173 )=−14
3∙ 317
=−1417
;
II ¿ 58∙ 3210
=2 ;
III ¿2∙(−35 )=−65
;
IV ¿(−375 )∙(−1510 )=11110 ;
V ¿−1417
50
+ 65
170
+11110
85
=−700+1020+9435850
=9755850
=1951170
=11 81170
;
3. (−58 ) ∙(−485 )+(−335 ) ∙ 59−7 ∙(−421 )+(−34 )=612−1134
+ 43
4
−34
3
=72−44+16−912
=3512
;
I) (−58 ) ∙(−485 )=6 ; II ¿ (−335 ) ∙ 59=−113
;
III ¿7 ∙(−421 )=−43
;
4.143
∙(−317 )−58 ∙ 165 ∙(−35 )+(−375 ) ∙(−32 )=−1413
10
+ 65
26
+ 11110
13
=−140+156+1443130
=1459130
=11 29130
;
I) 143
∙(−317 )=−1417
;II ¿ 58∙ 165
∙(−35 )=−65
;
3
VIII анги
III ¿(−375 )∙(−32 )=11110 ;
5. (−32 ) ∙ 31−12−2435 ∙(−427 )− 512
∙(−185 )=−92
−12+ 365
+32=¿−45−5+72+15
10=3710
=3.7 ;
I) (−32 ) ∙ 31=−92
; II ¿ 2435
∙(−427 )=−365
;
III ¿ 512
∙(−185 )=−32
;
6. −1 45∙ 12: (−0.8 )+(−3 1115 ):(−1415 )+4 23−5.3 ;
I) −95
∙ 12=−910
;
II) −910
∙(−108 )=98=1 18 ;III) (−5615 ) ∙(−1514 )=4 ;IV) 1 1
8+4=5 1
8;
V) 5 18
3
+4 23
8
=9 3+1624
=9 1924
;
VI) 9 1924
5
−5 310
12
=4 95−36120
=4 59120
;
4. Илэрхийллийг хялбарчил1. 252 ∙ (−4 )2 ∙0,013=(25 ∙4 )2 ∙( 1100 )
3
=1002 ∙ 11003
= 1100
=0,01 ;
2. (−23 )3
∙(32 )2
=−( 23 )3
∙ (32 )2
=−23
33∙ 32
32=−23
;
3. ( 23 )6
∙( 32 )5
=26
36∙ 3
5
25=23;
4.7 ∙( 23 )
5
−23∙( 49 )
2
+3 ∙( 827 )3
∙( 32 )4
=7 ∙( 23 )5
−23∙( 23 )
4
+3 ∙( 23 )9
∙( 32 )4
=( 23 )4
∙(7 ∙ 23−23 +3 ∙( 23 )5
∙(32 )4)=1681 ∙(143 −2
3+6)=1681 ∙10=16081 =1 79
81;
5. 68 ∙52
153 ∙24= (2∙3 )8 ∙52
(3∙5 )3 ∙24=2
8 ∙38∙52
33 ∙53 ∙24=2
4 ∙35
5=16 ∙243
5=3888
5=777 3
5;
6. 98 ∙54
153∙274= (32 )8 ∙54
(3 ∙5 )3 ∙ (33 )4= 316 ∙54
33∙53 ∙312=3
16 ∙54
315 ∙53=3 ∙51
=15 ;
7. 208 ∙52
252 ∙83=
(4 ∙5 )8 ∙52
54 ∙29=4
8 ∙5 ∙52
54 ∙29=2
16 ∙53
54 ∙29=2
7
5= 1285
=25 35;
4
VIII анги
8. 355 ∙62
272 ∙ 494=
(5∙7 )5 ∙ (2∙3 )2
36 ∙78=5
5 ∙75 ∙22 ∙32
36 ∙78=5
5 ∙22
34 ∙73=3125 ∙481 ∙343
=1250027783
;
9. 58+57 ∙2253 ∙14
=57 ∙ (5+2 )56 ∙14
=57 ∙756 ∙14
=52=2 12;
5. Илэрхийллийг хялбарчил1. 10a−a−b+7b=9a+6b ; 2. −15c−15a+8a+4 c=−7a−11c
3. 0.3 x+1.6 y−0.3 x−0.4 y=1.2 y ;
4. x+ y−x− y+4=4 ;
5. 1,2c+1−0,6 y−0,8−0,2c=c+0,6 y+0,2;
6. a−(a−(2a−4 ) )=a−(a−2a+4 )=a−a+2a−4=2a−4 ;
7. 7 x−( ( y−x )+3 y )=7 x−( y−x+3 y )=7 x− y+x−3 y=8 x−4 y ;
8. 4 y−(3 y−(2 y−( y+1 ) ) )=4 y−(3 y−(2 y− y−1 ) )=4 y− (3 y−2 y+ y+1 )=4 y−3 y+3 y+2 y− y−1=5 y−1;
6.Зэрэгт дэвшүүл
1. (−3 x3 y2 )3=(−3 )3 (x2)3 ( y2 )3=−27 x6 y6 ;
2. (0,2a2bc2 )2=0,22 (a2)2b2 (c2 )2=0,04a4b2c4 ;3. (−2a5b0 )3=−2a15 ∙b0=−2a15 ;
4. −25c5 ∙ (−0.3c3 )3=−25c5∙ (−0.3 )3 (c3 )3=25 ∙0.027c5c9=0.675 c5+9=0.675 c14;5. (−x3 )2 ∙ (−2x2 )3=x6 ∙ (−2 )3 ∙ (x2 )3=−8 x6 ∙ x6=−8 x6+6=−8 x12;
6. (−3a4b )2 ∙ 79a12b8=9 a8b2∙ 7
9a12b8=7a20b10;
7. −12
bc2∙( 23 b3 c5)3
=−12
bc2 ∙ 827
b9 c15=−427
b10 c17;
7. Илэрхийллийг хялбарчил1. 3 (3 x−2 )−5 (11 x+11)=9x−6−55 x−55=(9−55 ) x+(−6−55 )=−46 x−61 ;
2. 4 x ( x−1 )−2 (2 x2−1 )=4 x2−4 x−4 x2+2=−4 x+2 ;
5
VIII анги
3. 7a (a2−a )−3a (a2−5a )=7a3−7a2−3 a3+15a2=2a3+8a2;4. 11b (3 c−b )+c (c+3b )=33bc−11 b2+c2+3bc=−11b2+36bc+c2;5. 2a2 (a−5 )−(a2−a )8a¿2a3−10a2−8a3+8a2=−6a3−2a2;6. 7m2 (m+6n )−3n (8m2−n )=7m3+42m2n−24m2n+3n2=7m2+18m2n+3n2 ;7. (x2+x+1 ) (x2−x−1 )=x4−x3−x2+x3−x2−x+x2−x−1 ¿ x4−x2−2 x−1 ;8. (– a−b+c ) (a−b−c)=−a2+ab+ac−ab+b2+bc+ac−bc−c2=−a2+2ac+b2−c2;9. (x4+x2+1 ) (x4−x2−1 )=x8−x6−x4+x6− x4−x2+ x4−x2−1= x8−x4−2 x2−1 ;10. (a2−ab+b2 ) (a2−ab−b2 )=a4−a3b−a2b2−a3b+a2b2+ab3+a2b2−ab3−b4=a4−b4 ;
8. Тэгшитгэлийг бод1. 0 .6 (2 y−1 )−2 (0,4−0.3 y )+1=01,2 y−0,6−0,8+0,6 y=0 1,8 y−1,4=0 y=1,41,8
=1418
y=79;
2. 7 (3 x−1 )+12−3 (3−2x )=1521 x−7+12 x−9+6 x=15 39 x−16=15 39 x=31 x=3139
;
3. 22 x−7 x (13 x−9 )=−17−13x (7 x−1 )
22 x−91 x2+63 x=−17−91 x2+13 x 85 x−91 x2=−17−91 x2+13 x 85 x— 13 x=−17−91x2+91 x2 72 x=−17 x=−17
72;
4. 14 x+11 x (11 x−1)=−7+11 x (11 x−4)14 x+11 x ∙11 x−11 x ∙1=−7+11x ∙11 x−11 x ∙4 14 x+121 x2−11 x=−7+121 x2−44 x 14 x+121 x2−11 x−121 x2+44 x=−7 47 x=−7 x=−7
47;
5. 12 x−7 x (1−9x )=−3+9 x (7 x−1)
12 x−7 x+63 x2=−3+63x2−9x 6
VIII анги
5 x+63x2=−3+63 x2−9 x 5 x+9 x=−3+63 x2−63 x2 14 x=−3 x=−3
14;
6. 19 x−5 x (17 x−4 )=−17 x (5 x−1 )+13 x
19 x−85 x2+20 x=−85x2+17 x+13x 39 x−85 x2=−85 x2+30x 39 x−30 x=−85 x2+39x−85x2 9 x=0 x=0 ;
7. 24 x+7 x (11 x−1 )=−3+11 x (7 x−1 )24 x+7 x ∙11 x−7 x ∙1=−3+11 x ∙7 x−11 x ∙1 24 x+77 x2−7 x=−3+77 x2−11 x 24 x+77 x2−7 x−77 x2+11 x=−3 28 x=−3 x=−3
28;
8. 21 x−13 x (1−7 x )=−3+7 x(13x−1) 21 x−13 x+91x2=−3+91x2−7 x 21 x−13 x+7 x=−3 15 x=−3 x=−3
15=−15
; 9. 24 x+7 x (11 x−1)=−3+11 x (7 x−1)24 x+77 x2−7 x=−3+77 x2−11 x 17 x+77 x2=−3+77 x2−11 x 17 x+11 x=−3+77 x2−77 x2 28 x=−3 x=−3
28;
9.Өгүүлбэртэй бодлогууд1. x−хажуутал .Тэгвэл x+ x+x+2.9=16болно.
3 x=13.1 x=13.1:3=3110
∙ 13=3130
=1 130
(хажуутал) 1 130
+2 910
=1 130
+2 2730
=3 2830
=3 1415
(гурвалжинысуурь)
2. x−1−ркомпаныажилчдынтоо .
I x 7
VIII анги
II x+70 1274III x+70+84
x+x+70+ x+70+84=1279 3 x=1050 x=350 (I-р компаний ажилчдын тоо)350+70=420(II−ркомпаний ажилчдынтоо) 420+84=504(III−ркомпаний ажилчдынтоо)
3. II дахьтавиур дээрх номыг x−ээр тэмдэглэе.I x−8 x−8+x+x−5=158II x 3 x=171III x−5 x=57 (II−аартавиур)57−8=49(I−ртавиур)57−5=52(III−аартавиур)
4.9 ∙11=99х эсэг(Усан онгоцны ургсгал уруудан авах зайг тэмдэглэе)99 :9=11( урсгал уруудан явах хурд)99 :11=9( урсгал сө рөн явах хурд)
11 хэсэг−9 хэсэг=2хэсэг2 хэсэг :2=1 х эсэг ( урсгалын хурд )
1 хэсэг=2к мц
11 ∙ 2кмц
=22кмw
( урсгал уруудан явах хурд );
22к м /ц−2к м /ц=20к м /ц( урсгалс ө рөн явах хурд)
5. Машин тус бүрийн хурд ижил vбайсан гэе. Бодлогын нөхцөлөөс 2 (v+10 )=3(v−10) тэгшитгэл үүснэ.
2v+20=3v−30v=50км /ц
6. I) 2 x ;2 x−5II) x ; x−2 Бодлогын нөхцөлөөс 2 x−5=x−2+7
x=10(II компанийн ажилчдынтоо)
БҮЛЭГ 1. Алгебрийн рационал илэрхийлэл
1. Нэг ба олон гишүүнт1.1 үйлдлийг гүйцэтгэ.
8
VIII анги
a) a ∙a6 ∙ a3=a1+6+3=a10;b) (a−b )2 ∙ (a−b )3=(−b )5;
c) ( 45 t) ∙( 45 t) ∙( 45 t) ∙27 t 3= 64125
t 1+1+1+3= 64125
t 6 ;
d) xx+2
∙ xx+2
∙ xx+2
=( xx+2 )
3
;
e) ( x2 )∙( x2 ) ∙ (3 y ) ∙ (3 y ) ∙ (3 y )=( x2 )2
∙ (3 y )3= x2
22∙33 ∙ y3=27
4∙ x2 y3;
f) (5+b ) ∙ (5+b ) ∙ (5+b ) ∙ (5+b )=(5+b )4
g) a7:a6=a7−6=a1=a;h) (m+e )4 : (m+e )=(m+e )4−1=(m+e)3 ;i) (a−b )6 : (a−b )=(a−b )6−1= (a−b )5 ;
1.2 Зэрэг дүрстэй болго.1. c17 ∙ c6
c15= c23
c15=c23−21=c2
2. a10 ∙ a2
a6 ∙ a4=a12
a10=a12−10=a2;
3. (−x )7
x5 ∙ x2=−x7
x7=−1;
4.(−e )6 ∙ e4
(−e )7 ∙ e2=−e6+10
e7+2=−e16
e9=−e16−9=−e7 ;
5. x5∙ (x2 )3=x5 ∙ x6=x11 ;
6. ( y3 )0 ∙ y7= y0 ∙ y7= y7;
7. (x4 )3∙ (x7 )3=x12 ∙ x21=x33;8. (z5)2 ∙(z11)0=z10 ∙ z0=z10;
1.3 Илэрхийллийн утгыг ол.102=100 ;103=1000;104=10000 ;105=10000 ;
106=1000000;107=10000000; 1102
= 1100
; 1103
= 11000
; 1105
= 1100000
; …
1.4 330-ыг дараах суурьтай болгоорой.
330=(32 )15=915 ;330=(33 )10=2710;330=(35 )6 ;
9
VIII анги
1.5 12816=(25)16=280;12816=280=(24 )20;
1.6 Хялбарчил.1) 0,14 ∙105=0,14 ∙104 ∙10=(0.1 ∙10 )4 ∙10=14 ∙10=10 ;
25 ∙(−25 )2
∙ ( 1100 )3
=25 ∙( 425 ) ∙( 11000000 )= 4
1000000=0.000004 ;
(−0.125 )5 ∙82 ∙103=(−18 )5
∙82 ∙103=−185
∙82∙1000=−100083
=−1000512
=−12564
=−1 6165
;2) (0.3 )2 ∙0.3∙0.33=0.36 ;25∙102 ∙0.13=25∙100 ∙0.001=2.5 ;(−3,2 )4 : (−3,2 )4=(−3,2 )4−4= (−3,2 )0=1 ;
1.7 Бутархайн утгыг ол.1) 7
10 ∙76
715=7
16
715=7 ; 2
10 ∙56
56 ∙29=210−9 ∙56−6=21 ∙50=2∙1=2 ;
43 ∙57
25 ∙252=2
6 ∙57
25 ∙54=2 ∙53=2∙125=150;
(−2 )6∙494
−77 ∙82=26 ∙ (72 )4
−77 ∙ (23 )2= 26 ∙78
−77 ∙26=−7 ;
2) 310 ∙56
(3∙5 )5 ∙9= 310 ∙56
35 ∙55∙32=33 ∙5=27 ∙5=135 ;
274
92∙36=
(33 )4
(32 )2 ∙36= 312
34∙36= 3
12
310=32=9 ;
1013 ∙56
56 ∙1012=10 ; 2
6 ∙54
(2 ∙5 )3=2
6 ∙54
23 ∙53=23 ∙5=40;
1.8 Илэрхийллийн утгыг ол.1) x=2.5бол3 x2=3 ∙2.52=3 ∙6.25=18.75 ;2) a=−3 ;b=8бол10a2b0=10∙ (−3 )2 ∙80=10 ∙9 ∙1=90 ;
3) c=−1 23=−53
б ол−3.5:(−53 )=3510 ∙ 53=356 =5 56;
4) a=−23
;c=−13
бол27 ac3=27 ∙(−23 ) ∙(−13 )3
=27 ∙ 23∙ 127
=23;
1.9 Илэрхийллийн утгыг олоорой.1) 34 ∙54=(3 ∙5 )4=154=50625 ;
0.255 ∙45=(0.25 ∙4 )5=15=1 ;
10
VIII анги
0.410 ∙2.510=(0.4 ∙2.5 )10=110=1 ; 26 ∙0.26 ∙256=(2∙0.2 ∙25)6=106=1000000 ;
2¿43 ∙253=(4 ∙25 )3=1003=1000000;
( 49 )6
∙1.58=(( 23 )2)6
∙( 32 )8
=( 23 )12
∙( 32 )8
=212
312∙ 3
8
28=2
4
34=1681
;
5.70 ∙5.70=1 ∙1=1; 24 ∙54
104=10
4
104=1 ;
1.10 Хүснэгтийг нөх.N 1 2 3 4 5 6 7 8(−1)n∙ n -1 2 -3 4 -5 6 -7 8
1.11 n- ийн дурын утганд 10n+23
бутархайн утга натурал тоо байхыг батал.
n=1ү ед 101+23
=123
=4 ;
n=2ү ед 102+23
=1023
=34 ;…
Илэрхийллийн адилтгал хувиргалт
1. Дараах илэрхийллийг адилтгал тэнцүү илэрхийллээр соль.1) 6 ( x− y )=6 x−6 y ;
2) 11a+11 b=11(a+b);3) ab−ac=a (b−c );
2. Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэ1) 4 b+2a−(13b−4a )=4 b+2a−13b+4 a=8a−9b;
2) 2ab+3c−21ab+11c=−19ab+14b;
3) 2abc+3c2−21ab+22abc+3 c2+11ab+11d=24 abc−10ab+6 c2+11d ;4) 2a2b+5c3−7a2b+11c3=−5a2b+16c3;5) −7m2−7a2−6a2−3am+7m2=−13a2−3am ;
11
VIII анги
3. Илэрхийллийн утгыг ол
1¿a=−2ү ед 5a2−2a1−4a
=5 ∙ (−2 )2−2 ∙ (−2 )1−4 ∙ (−2 )
=20+41+9
=2410
=2.4 ;
2) b=5ү ед 6b−21−4 b
=30−21−20
= 28−19
=−1 919
;
3¿a=13ү ед 1−2a
a=1−2∙ 1
313
=13−2
3
1
13
=
1313
=1 ;
4) b=−10ү ед1−b−b2=1−10−102=1−10−100=−109 ;
5) a=−2 ;b=3ү ед a2−2b10b+3a
=(−2 )2−2∙310 ∙3+3 ∙ (−2 )
= 4−630−6
=−224
=−112
;
6) b=−5ү ед c=b+2ү ед 7b−24 c−3
=−35−2−12−3
=−37−15
=2 715
;
7) a=−13
;c=a+1;b=a−2=¿c=−13
+1=−13
+33=23;b=−1
3
1
−23=−1−63
=−73
;
c−2ab
=
23−2∙(−13 )
−73
=
23+ 23
−73
=
43
−73
=−47
;
4. Илэрхийллүүд тэнцүү болохыг батал1) 3 ∙ (a+4 )−12 ∙ (a+1 )=3 a+12−12a−12=−9a;
2) 3b (2b+1 )− (3b−1 )=3b2+3b−3b+1=3b2+1 ;3) 5 (2x+4 y−1 )=10x+20 y−5=10 ( x−0.5 )+20 y ;
4) 3 (a2+b2 )−(4−a2−b2 )=3a2+3b2−4+a2+b2=4a2+4b2−4=4 (a2+b2−1 ) ;5. Илэрхийллийн геометр утгыг тайлбарла.1) S=a ∙b тэгшөнц өгтийнталбай
2) P=2 (a+b )тэгшө нцөгтийн приметр
3) S= x2 квадратынталбай.4) P=4 x квадратынприметр.6. a2−4 b2ньнэмэхтэмдэг хэлбэртэйд ү рсийнталбайтай
тэнц үү ¿b2−жижиг квадратынталбай ¿ .
7. ab−b2нь ү лдсэн хэсгийнталбайгилэрхийлнэ. 9.Адилтгал тэнцүү хувиргалт хийсний дараа утгыг ол.
1. x=0.87 , y=0.1376.5 x+76.5 y=76.5 ( x+ y )=76.5 (0.87+0.13 )=76.5
12
VIII анги
2. a=−1.44 , b=−0.5668.8a+68.8b=68.8 (a+b )=68.8 (−1.44−0.56 )=68.8 ∙ (−2 )=−137.6 ;
3. a=−1.06 , b=11.061.78a+1.78b=1.78 (a+b )=1.78 (−1.06+11.06 )=1.78 ∙10=17.8 ;
1. 2 Нэг ба олон гишүүнт1. Нэг гишүүнтийг стандарт дүрсэд оруулж зэргийг тодорхойл.1) 2a2 ∙3ab=2 ∙3a2 ∙ a ∙ b=6 a3b ;(зэрэг нь4)2) 4 y ∙ x3 ∙ y2=4 x3 y3 ;(зэрэг нь6)3) 3 x ∙4 a2x=12a2x2; ( зэрэг нь 4 )
4) 3 x ∙3 x ∙3x=27 x3 ;(зэрэг нь3)5) −2b ∙ 1
2n=−bn ;( зэрэгнь2)
6) −6a2b2c2 ;(зэрэг нь6)2. Нэг гишүүнтийг ялгаж бич.
0.5 x y2 z ;
3. Олон гишүүнтийг стандарт дүрсэд оруул.1) x3+5x2+3 x5+x7=x7+3 x5+x3+x2 ;2) 3a3−0.6a2−3a;3) 5 y5−4 y3− y4+3 y=5 y5− y4−4 y3+3 y ;4) t 3−3 t2−t ; 4. Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэ.1) 40 a2−4a−12−3a2−15a−18=37a2−19 a−30 ;2) 6m2−6m−12+5m2−45m+100=11m2−51m+88;3) 4m2−8mn+4n2+4m2−4mn=8m2−12mn+4n2;4) 4 x2−14 x−30−3+6 x−3 x2=x2−8 x−33 ;5) 9m2−a2−6a2−am+m2=10m2−7a2−am;6) x2−4 xy+3xy−12 y2+x2−9 y2=2x2−xy−21 y2
7) 4,8m2−5,5mn+3,7n2−9m2+5,6n2+5,5mn=−4,2m2+9,3n2 ;
8) 83 u−4.25 r2+2.25 r2−8
3u−6 r2=−8 r2;
5. Дараах тоог олон гишүүнт дүрсээр бич.abc=100 a+10b+c ; mnh+2000=100m+10n+h+2000
13
VIII ангиabcd=1000 a=100b+10 c+d ; 10 xyz=10000+100 x+10 y+z
6. Олон гишүүнтийн утгыг ол.1)x=2 3
4=114
; y=−13
ү ед−3x y2+4 x+12 x y2=9 x y2+4 x=9∙ 114
∙(−13 )2
+4 ∙ 114
=9 ∙ 114
∙ 19+11=11
4+11=2 3
4+11=13 3
4;
2)x=0.2 , y=4ү ед−0.08 x+13 x2 y+17 x2 y=−0.08 x+30x2 y=−0.08 ∙0.2+30 ∙0.22 ∙4=−0.016+4.8=3.784 ;3) a=6 , b=3 , c=7ү ед100a+10b+c=100∙6+10 ∙3+7=637 ;
4)x=10ү ед8 x5+3 x4+5x3+7 x2+2x+5=8∙105+3 ∙104+5 ∙103+7 ∙102+2 ∙10+5=800000+30000+5000+700+20+5=835725 ;
7. ab+ba=10a+b+10b+a=11 a+11b=11(a+b);
8. ab−ba=10a+b−(10b+a )=10a+b−10b−a=9a−9b=9 (a−b ) ;
1.3 Олон гишүүнтийг нэмэх, хасах
1. Илэрхийллийг хялбарчил.1) (1+3a )+(a2−2a )=1+3a+a2−2a=a2+a+1 ;2) (2 x2+x )+(−x+4 )=2x2+x−x+4=2 x2+4 ;3) ( y2−5 y )+(5 y−2 y2)= y2−5 y+5 y−2 y2=− y2;4) (5 y2−9 )−(7 y2− y+5 )=5 y2−9−7 y2+ y−5=−2 y2+ y−14 ;5) (2a3−5a+5 )+(a3−4a−2 )=2a3−5a+5+a3−4a−2=3a3−9a+3 ;6) (2a3−5a+5 )−(a3−4 a−2 )=2a3−5a+5−a3+4 a+2=a3−a+7 ;7) (a3−4 a−2 )−(2a3−5a+5 )=a3−4 a−2−2a3+5a−5=−a3+a−7 ;8) (8n3−3n2 )−(7+8n3−2n2 )=8n3−3n2−7−8n3+2n2=−n2−7 ;9) (b2−b+7 )−(b2+b+8 )=b2−b+7−b2−b−8=−2b−1 ;10) (a2+5 a+4 )−(a2+5a−4 )=a2+5a+4−a2−5a+4=0 ;2. A=2x+x2+3 y ; B=3 x2+2x+5 y бол1) A+B=2x+x2+3 y+(3 x2+2x+5 y )=2x+x2+3 y+3 x2+2x+5 y=4 x2+4 x+8 y ;2) A−B=2 x+x2+3 y−(3 x2+2x+5 y )=2x+x2+3 y−3x2−2 x−5 y=−2x2−2 y ;3) 2B−A=2 (3 x2+2x+5 y )− (2x+x2+3 y )=6 x2+4 x+10 y−2 x−x2−3 y=5 x2+2x+7 y ;4) A+2 B=2 x+x2+3 y+2 (3 x2+2 x+5 y )=2 x+x2+3 y+6 x2+4 x+10 y=7 x2+6 x+13 y ;5)−3 A−B=−3 (2 x+x2+3 y )−(3 x2+2x+5 y )=−6 x−3 x2−9 y−3 x2−2 x−5 y=−6 x2−8 x−14 y ;6) 2B−3 A=2 (3 x2+2x+5 y )−3 (2 x+x2+3 y )=6 x2+4 x+10 y−6 x−3 x2−9 y=3 x2−2 x+x ;
14
VIII анги
3. Илэрхийллийг хялбарчил.1. 5.2a− (4.5a+4.8a2 )=5.2a−4.5a−4.8a2=−4.8a2+0.8a ;2. −0,8b2+7,4 b+(5,6−0,2b2 )=−0,8b2+7,4b+5,6−0,2b2=−b2+7,4b+5,6 ;3. 8 x2+ (4.5−x2)−(5.4 x2−1 )=8 x2+4.5−x2−5.4 x2+1=1.6 x2+5.54.(7,3 y− y2+4 )+0,5 y2−(8,7 y−2,4 y2)=7,3 y− y2+4+0,5 y2−8,7 y+2,4 y2=1,9 y2−8,7 y+11,3 ;5. ( x− y )+( y−z )+ (z−x )=x− y+ y−z+z−x=0 ;
6. (a2−5ab )−(7−3ab )+(2ab−a2)=a2−5ab−7+3ab+2ab−a2=−7 ;7.(a2−0,45a+1,2 )+(0,8a2−1,2a )−(1,6a2−2a )=a2−0,45 a+1,2+0,8a2−1,2a−1,6a2+2a=0,2a2+0,35a+1,2 ;8.2 (− y2−7 y−3,2 )−2 (4 y2+ y+4 )−(2 y2+ y+2 )=−2 y2−14 y−6,4−8 y2−2 y−8−2 y2− y−2=−12 y2−17 y−16,4 ;9. 6 xy−2 x2−(3 xy+4 y2+1 )−(−xy−2x2−1 )=6 xy−2 x2−3 xy−4 y2−1+xy+2x2+1=4 xy ;10.2 (− y2−7 y−3.2 )−2 (4 y2+ y+4 )−(2 y2+ y+2 )=−2 y2−14 y−6.4−8 y2−2 y−8−2 y2− y−2=−12 y2−17 y−16.4 ;
4. Дараах үйлдлийг гүйцэтгэ.1.8a2b−((5a2b+4b2 )−(a2b−5b2+2 ))=8 a2b−(5a2b+4b2−a2b+5b2−2 )=8a2b−(4a2b+9b2−2 )=8a2b−4 a2b−9b2+2=4 a2b+9b2−2;2.(xy+x2+ y2 )−( (x2+ y2−2xy )−xy )=xy+x2+ y2−(x2+ y2−2 xy−xy )=xy+x2+ y2− x2− y2+2 xy+xy=4 xy ;3.9 (4a2b−3ab+8b3 )−4 (9ab−3a2b+8b3 )=36 a2b−27ab+72b3−36ab+12a2b−36b3=48a2b−63ab+36b3;4.– (7x2 y−3 xy+4 y2 )+4 (5 xy−3x2 y+6 y3 )=−7 x2 y+3xy−4 y2+20 x y−12x2 y+24 y3=−19 x2 y+23 xy−4 y2+24 y3 ;
5. 5( 35 x2−0,4 xy−1,4 y2+1)−5( y2−25 xy+0,6 x2)=¿
¿3 x2−2xy−7 y2+5−5 y2+2xy−3 x2=−12 y2+5 ;6. 1.7−10b2−4 (1−3b2 )+(2.3+7b2)=1.7−10b2— 4+12b2+2.3+7b2=9b2 ;7. 1−(b2−(3b−2b2 )+(1+3b−b2 ))=1−(b2−3b+2b2+1+3b−b2 )=1−(2b2+1 )=1−2b2−1=−2b2;
8.5a2+6ab−b2+ (−4 a2+2ab+3b2 )+(9a2+4 ab )=5a2+6ab−b2−4 a2+2ab+3b2+9a2+4ab=10a2+12ab+2b2;9.11a2+6 ab−(b2−(a2+2ab−3b2 )−(7 a2+4 ab ))=11a2+6 ab−(b2−a2−2ab+3b2−7a2−4ab )=11 a2+6ab−(4 b2−8 a2−6ab )=6 an+4 b2+8a2+6ab=18a2+12ab+4b2;
5. Илэрхийллийг үнэн байлгах М олон гишүүнтийг ол15
VIII анги
1. M +(5 x2−2 xy )=6 x2+9 xy− y2
M=6 x2+9 xy− y2−(5x2−2 xy )=6 x2+9 xy− y2−5 x2+2 xy=x2+11 xy− y2 ; 2. M−(4ab−3b2 )=a2−7ab+8b2
M=a2−7ab+8b2+(4 ab−3b2 )=a2−7ab+8b2+4ab−3b2=a2−3ab+5b2; 3. (4c4−7c2+6 )−M=04 c4−7 c2+6=M M=4c4−7c2+6
4. 3b−2b2−M=4b+b2
M=3b−2b2−4b−b2=−3b2−b ; 5. 3 z−16 x2−M=10 z+9 x2
3 z−16 x2−10 z−9 x2=M M=3 z−16 x2−10 z−9 x2=−25 x2−7 z ;
6. 3b−2b2−2M=5b+2b2
2M=3b−2b2−5b−2b2=−4b2−2b ;
2M=−4 b2−2b=¿M=2b2−b
7. z−16 x2+3M=12 z+5 x2
3M=12 z+5 x2−z+16 x2=11 z+21x2; M=11 z+21x
2
3;
6. Дүрсийн оронд тохирох илэрхийллийг бич.1. (−8 x+∇ ):2 x=∇+3 x2
(−8 x+6 x3 ): 2x=−4+3 x2 ; 2. (∇+∇ ): (−5a )=11 a2+3a2b
(−55a3−15a3b ) : (−5a )=11a2+3a2b; 3. (−4 x+∇ ) ∙∇=16 x2+20 x3
(−4 x+5x2 ) ∙4 x=16 x2+20 x3
7. Хаалтан дотор ямар коэффициентүүд байхыг бичээд цааш бодож гаргана уу.
1.3a−22b+6c+(−a−b−4 c )−(2a+5b−6c )=3a−22b+6c−a−b−4 c−2a−5b+6c=0 ∙a−28b+8c ;2.– x−3 y+5 z− (−11x+23 y−5 z )− (7 x+5 y−3 z )=− x−3 y+5 z+11 x−23 y+5 z−7 x−5 y+3 z=3 x−31 y+13 z ;3.(a2+7 ab−b2 )+(−a2−ab−4b2 )−(−4 a2−15ab )=a2+7ab−b2−a2−ab−4b2+4a2+15ab=4 a2+21ab+10b2;
8. Одны оронд олон гишүүнтийн коэффициентийг олж нөхөж бич.16
VIII анги
1. a2−5ab+b2+ (¿a2−¿ ab−¿ b2 )=5a2−18ab−4b2
(¿a2−¿ab−¿b2 )=5a2−18ab−4b2−a2+5ab−b2=4a2−5b2−13ab ; 2. x2+3xy−2 y2+(¿a2−¿ xy−¿ y2 )=3 x2−xy−5 y2
(¿a2−¿ xy−¿ y2 )=3x2−xy−5 y2−x2−3 xy+2 y2=2x2−4 xy−3 y2 ; 3. −4a2−b2+(¿a2−¿ab−¿b2 )=4 a2−11ab+3b2
(¿a2−¿ab−¿b2 )=4 a2−11ab+3b2+4 a2+b2=8a2−11ab+4 b2 ;
9. Илэрхийлэл зохиож бодоорой1. 3 (m−n )=3mn
2. t=7 ∙2+4=18
3. 24=a ∙b+x
4. x ∙ y=3 ( x+ y )+2
5. Мужаан хоногт A10 төгрөг, түүний шавь хоногт B
10төгрөг
зарцуулна. Тэдний хоногт зарцуулах төгрөгний зардал . A10
− B12
тэдний T хоногт зарцуулах төгрөгний зардал T(. A10
− B12
¿ буюу T хоногт мужаан шавиасаа төгрөг илүү зарцуулна.
6. v6−¿ эхний хоолойгоор усан санд цагт орох усны хэмжээ, W8 −¿
хоёр дахь хоолойгоор усан санд цагт орох усны хэмжээ. v6+W8
нь х
оёр хоолойгоор 11 цагт орох усны хэмжээ. 11 ∙(V
6−W8
)- нь хоёр хоолойгоор 11 цагт орох усны хэмжээ.
1.4 Нэг гишүүнтийг нэг гишүүнтээр үржүүлэх8. Нэг гишүүнтийг үржүүл.1) −6c2b ∙3c b3=−18c3b4;2¿3ab2 ∙4ac=12a2b2c ;
3¿7 x y2 z ∙3x2 y2 z=21 x3 y4 z2 ;4¿2 x3 y4 z ∙7 x2 y3 z2=14 x5 y7 z3;5¿3u2 v6 ∙2u3v ∙ 13uv7=2u6 v14;
6¿0.001a2 x ∙10ax ∙100ax 4=a4 x6 ;
7) 12 a ∙13a2 ∙ 14a3 ∙ 15a4= 1
120a10 ;
8) 12 x3 y4 z ∙ 2
3x2 y3 z2 ∙ 3
4x4 yz=1
4x9 y8 z4;
9. Үйлдлийг гүйцэтгэ.1¿ (−2x2 y )¿3=−8 x6 y3;2¿ (0.1abc2 )2=0.01a2b2 c4 ;
3¿ (−2a3b )3=−8a9b3; 4 ¿−60c6 ∙ (0.5c2 )3=−60 c6 ∙0.125c6=−7.5c12; 17
VIII анги
5) (−0.6 x3 )2 ∙ (−5x4 )=0.36 x6 ∙ (−5 x4 )=−1.8 x10;
6) (−3a4b )2 ∙ 79a12b8=9 a8b2∙ 7
9a12b8=7a20b10;
7) −12
b2 c4 ∙( 23 bc5)2
=−12
b2 c4 ∙ 49b2c10=−2
9b4 c14;
8) −12
bc2∙( 23 b3 c5)3
=−12
bc2 ∙ 827
b9c15=−427
b10 c17;
9) (2ab )2 ∙ (−3ab )3=4a2b2 ∙ (−27a3b3 )=−108a5b5 ;10) (−0.2 xy )3 ∙ (−5 xy )2=−0.008 x3 y3 ∙25x2 y2=−0.2 x5 y5 ;11) – (3 xy )2 ∙ (−3 x )3=−9x2 y2 ∙−27x3=243x5 y2;
12) – (−0.5ac2 )2 ∙ (−2a2c )2=−0.25a2 c4 ∙4 a4 c2=−a6 c6;
13) ( 23 a2b2)2
∙ (−3ab )4=49a4b4 ∙81a4b4=36a8b8 ;
14) (−23 x2 y )3
∙(−34 x y2)2
=−827
x6 y3 ∙ 916
x2 y4=16x8 y7;
15) (– x2 y2 )4 ∙ (−xy )2=x8 y8 ∙ x2 y2=x10 y10;16) 8 p15 ∙ (− p )4=8 p19;
17) −( 13 x y3)2
∙ (−3 x )3=−19
x2 y6 ∙ (−27 x3 )=3x5 y6;
18) (3b5 )2 ∙ 29b3=9b10 ∙ 2
9b3=2b13;
19) (−5a3b )2 ∙( 15 ab3)3
=25a6b2 ∙ 1125
a3b9=15a9b11 ;
20) (−27 ab)2
∙(−72 a3b)2
= 449
a2b2∙ 494
a6b2=a8b4 ;
21) ( xy )3 ∙ (−x4 y2 )=x3 y3 ∙ (x4 y2 )=x7 y5;22) (– c2 )3∙ (−x4 y2 )=−c6 ∙0.15 c4=−0.15c10 ;
23) (−10c2 )4 ∙0.0001 c11=10000 c8 ∙0.0001 c11=c19 ;
24) (−x2 y )3 ∙ (−x4 y2 )=−x6 y3∙ (−x4 y2 )= x10 y5;
10. A=3x3баB=−2 x3байх нэг гиш үү нтүү дийн хувьд
доорхиилэрхийллийг бод.
1) A ∙B=3 x3 ∙ (−2x3 )=−6 x6; 2) ( A+B ) ∙2 A=(3 x3−2x3 ) ∙6 x3=x36 x3=6 x6;3) A2+B2=(3 x3 )2+(−2 x3 )2=9 x6+4 x6=13 x6 ;4) 3B ( A−B )=−6 x3 (3 x3+2 x3 )=−6 x3 ∙5 x3=−30 x6;5) ( A+B )3=(3x3−2x3 )3=(x3 )3=x9;6) A4 ∙ B3=(3 x3 )4 ∙ (−2x3 )3=81x12 ∙ (−8 x9 )=−648 x21;
18
VIII анги
11. Дараах хүснэгтийг өмнөх хоёр нүдэнд байгаа нэг гишүүнтүүдийн үржвэрийг дараагийн нүдэнд нь бөглөх замаар гүйцээнэ үү.1.
-2y y -2y2 -2y3 4y5 -8y8
2.-3z2 -2y3 6z2 y3 -12z2y6 -72z4y9 864z6y15
12. Тэнцэл биелэх n ба m –ийн утгыг ол.1. O .2a2bn ∙ (−5amb )2=5a8b7
0.2a2bn ∙25 a2mb2=5a8b7 5a2+2mbn+2=5 a8b7 2+2m=8 ;n+2=7 m=3 ;n=5
2. 3 x2 yn ∙ (−5xm y3 )2=75 x12 y13
3 x2 yn ∙ (25 x2m x6 )=75 x12 y13; 75 x2+2m yn+6=75 x12 y13 2+2m=12 ;n+6=13 m=5 ;n=7 ;
3. a2mbn ∙ (−2amb )3=−8a10 b9 ;
a2mbn ∙ (−8a3mb3 )=−8a10b9; -8a5mbn+3=−8a10 b9 ;5m=10 ;n+3=9 m=2 ;n=6 ;
13. Тэгшитгэлийг бод.1¿ x ∙3ab=12a2b32¿x ∙0.1ac=a3 c4
x=12a2b3
3 abx= a3 c4
0.1ac
x=4ab2 x=10a2 c3;
3¿ y ∙37a2b3=111a7b34 ¿ x ∙12c2=36c7b
y=111a7b3
37 a2b3=3a5 x=36 c
7b12c2
=3c5b;
19
VIII анги
14. Квадратуудын талыг a гэвэл талбай нь s=a2болно.S1=(2a )2=4 a2; S2=(3a )2=9a2; S3=(4 a )2=16a2;
15. Кубын талыг а гэвэл эзэлхүүн нь V=a3 ; байна. V 1=(2a )3=8a3 ;V 2=(3a )3=27a3 ;V 3=(4a )3=64a3 ;
16. Өргөн 2a, урт нь a2 үед тэгш өнцөгтийн талбай S=2a3байна .S1=2( 32 )
2
=2∙ 94=92; S2=2 ( y3 )2=2 y6 ;
S3=2 (3 x2 )2=18 x4 ;17. a ∙b=64
b=64a
=¿b1=642
=32 ;b2=648
=8 ; b3=
6416
=4 ;b4=6420
=3.2 ; 18. Өргөн нь x , урт нь 2x19. V 1=a3=93c m3=729 cm3 ,V 2=b3=1c m3;
V 1:V 2=729 c m3
1c m3 =729ширхэг .
1. 5 Олон гишүүнтийг нэг гишүүнтээр үржүүлэх1. Олон гишүүнт болго.
1) 2 x (x2−7 x−3 )=2 x3−14 x2−6 x ; 2) −4b2 (5b2−3b−2 )=−20b4+12b3+8b2; 3) (3a3−a2+a ) (−5a3 )=15a6+5a5−5a4 ; 4) ( y2−2.4 y+6 ) ∙1.5 y=1.5 y2−3.6 y2+8 y ;
5) −0.5 x2 (−2x2−3 x+4 )=x4+1.5 x3−2 x2; 6) (−3 y2+0.6 y ) ∙ (−1.5 y3 )=4.5 y5−0.9 y4 7) 3ab (a2−2ab+b2 )=3a3b−6a2b2 ;8) – x2 y (x2 y2−x2− y2 )=−x4 y3+x4 y+x2 y3 ;9) 5a2 (4 a2−2ab+0.2b2 )=20a4−10 a3b+a2b2 ;10) (1+2a−a2 ) ∙5 a=5a+10 a2−5a3 ;11) (−2a x2+3ax−a2) ∙ (−a2x2 )=2a3 x4−3 a3 x3+a4 x2 ;12) (6.3 x3 y−3 y2−0.7 x )∙10 x2 y2=60.3 x5 y3−30 x2 y4−7x3 y2;13) 1.4 p2q6 (5 p3q−1.5 pq2−2q3 )=7 p5q7−2.1 p3q8−2.8 p2q9;14) −3a4 x (a2−2ax+x3−1 )=−3a6 x2+6a5 x2−3a4 x4+3a4 x;15) (x2 y−xy+x y2+ y3 ) ∙3 x y2=3 x3 y3−3 x2 y3+3 x2 y4+3x y5;
2. Орхигдсон гишүүнийг нөхөж бичээрэй.1) 4 x+8 y=4 (x+2 y ) ,
20
VIII анги
2) 2¿6 x2 y−21 x y2=3xy (2 x+7 y) 3) 3) −12 x3−24 z2=−12 (x3+2 z2 ) ,4) 4 ¿4 x2 y−4 x y2=4 xy (x+ y ) ,5) 5¿28 x5 z2−24 x3 z=−4 x3 z (−7 x2 z+6 ) ,6) 6¿36 y z2−24 y3 z=−12 yz (−3 z+2 y2 ) ,7) 11 y3 z2−1331 y4 z2=11 y2 z ( yz−121 y2 z ) ;
3. Үржвэрийг ол.1) 27 x (75 x2−72 y )=25 x3−xy ;
2) 12 ab (23 a2− 34 ab+ 45 b2)=13 a3b−38 a2b2+ 25 ab3 ;3) −1
3c2( 65 d2−6c)=−2
5c2d2+2c3;
4) −18
b3−b(1−2b−18 b2)=−18
b3−b+2b2+ 18b3=2b2−b ;
5) 23 x2 y (15 x− 9
10y+6)=10 x3 y−35 x2 y2+4 x2 y ;
6) −37
a4( 2110 b2− 710
a+35)=−910
a4b2+ 310
a5−15a4 ;
7) −25
a2 y5(5a y2−12a2 y−5
6a3)=−2a3 y7+ 1
5a4 y6+ 1
3a5 y5;
4. Стандарт дүрстэй олон гишүүнт болго.1) 3 (2x−1 )+5 (3−x )=6 x−3+15−5 x=x+12;
2) – (2−3 c )+16 (5c−1 )=−2+3 c+80c−16=83 c−18;
3) 4 y−2 (10 y−1 )+(8 y−2 )=4 y−20 y+2+8 y−16=−8 y−14 ;
4) 4 x ( x−14 )−2 (2 x2−1 )=4 x2−28 x−4 x2+2=−28x+2 ;5) 14b+1−6 (2−11 b )=14 b+1−12+66b=80b−11;
6) 7b (4 c−b )+4 c (c−7b )=28bc−7b2+4c2−28bc=−7b2+4 c2;7) 25a−4 (3 a−1 )+7 (5−2a )=25a−12a+4+35−14a=−a+39 ;
8) 14 (7 x−1 )−7 (14 x+1 )=98 x−14−98 x−7=−21 ;
9) 12 (2−3 p )+35 p−9 ( p+1 )=24−36 p+35 p−9 p−9=−10 p+15 ;
10) a2 (3a−5 )−4a (a2−a )=3a3−5a2−4a3+4a2=−a3−a2 ;11) 5a (a2−3a )−3a (a2−5a )=5a3−15a2−3a3+15a2=2a3; 12) 3m2 (m+5n )−2n (8m2−n )=3m3+15m2n−16m2n+2n2=3m3−m2n+2n2 ;13) 2 y (x3−2 y )−(x3 y+4 y2 )=2 x3 y−4 y2−x3 y−4 y2=x3 y−8 y2;14) ax (2x−3a )−x (ax+5a2 )=2ax2−3ax−a x2−5a2 x=−5a x2+ax2−3 ax;15) −4m2 (n2−m2 )+3n2 (m2−n2 )=−4m2n2+4m4+3n2m2−3n4=4m4−m2n2+3n4 ;16) −2 x (x2−x+3 )+x (2x2+x−5 )=−2 x3+2 x2−6 x+2x3+x2−5 x=3 x2−11 x ;
21
VIII анги
17) x (2 x+1 )−x2 ( x+2 )+(x3−x+3 )=2x2+x−x3−2 x2+x3−x+3=3 ;18)y (3 y2− y+5 )−(2 y3+3 y−16 )− y ( y2− y+2 )=3 y3− y2+5 y−2 y3−3 y+16− y3+ y2−2 y=2 y+16 ;19) a (b−c )+b (c−a )+c (a−b )=ab−ac+bc−ab+ac−bc=0 ;
20) a (b+c−bc )−b (c+a−ac )+c (b−a )=ab=ac−abc−bc−ab+abc+bc−ac=0;
5. Тэгшитгэлийг бод.1. 5 x+3 ( x−1 )−6 x=115 x+3x−3−6 x=11 2 x=14 x=7 ;
2. 3 x−5 (2−x )=543 x−10+5 x=54 8 x=64 x=8
3. 8 ( y−7 )−3 (2 y+9 )=158 y−56−6 y−27=15 ; 2 y+83=15 2 y=−68 y=−34
4. 0.6−0.5 ( y−1 )− y=0.50.6−0.5 y+0.5− y=0.5 −1.5 y+1.1=0.5 −1.5 y=−0.6 y=0.4
5. 0.5 (2 y−1 )− (0.5−0.2 y )+1=0y−0.5−0.5+0.2 y=0 1.2 y−1=0 1.2 y=1 y=1012
=56
6. 3 (3 x−1 )+2−5 (1−2 x )=19 x−3+2−5+10 x=1 19 x−6=1 19 x=7
22
VIII анги
x= 719
; 7. 24 x−6 x (13x−9 )=−13−13 x (6 x−1 )
24 x−78 x2+63 x=−13−78 x2+13x 87 x−78 x2=−13−78x2+13 x 78 x−13 x=−13 65 x=−13 x=−13
65=−15
; 8. 24 x+13 x (11 x−1 )=−3+11 x (13 x−1 )
24 x+143 x2−13x=−3+143 x2−11 x 11 x+143 x2=−3+143 x2−11 x 22 x=−3 ; x=−3
22;
9. 21 x−13 x (1−7 x )=−3+7 x(13x−1)
21 x−13 x+91x2=−3+91x2−7 x 8 x+91x2=−3+91 x2−7 x 15 x=−3 x=−3
15=−15
; 6. Тэгшитгэлийг бод.
1) 2 x− x−22
− x3=6
12x−3 x+6−2x6
=366
7 x+6=36 7 x=30 x=30
7=4 2
7;
2) 1+ x+13
−x+ 3x+18
=0
24+8 x+8−24 x+9 x+324
=0 −7 x=−35 x=5
3) 1− y7
+ y− y2=3
2−2 y+14 y−7 y=42 5 y+16=42 5 y=26
23
VIII анги
y=265
y=5.2 4) 0.69 ∙ (2− y )−5−2 y
8∙13.8=0
1.38−0.69 y−5−2 y8
∙ 6950
=0 1.38−0.69 y−345−138 y
400=0
552−276 y−345+138 y400
=0 −138 y+207=0 138 y=207 y=207138
=32=1.5 ;
7. Илэрхийллийн утгыг ол.1)x=−8 , y=105 x (2 y−6 )−2.5 y (4 x−2 )=10 xy−30 x−10 xy+5 y=−30 x+5 y=−30 ∙ (−8 )+5 ∙10=240+50=290 ;2)a=−0.6 , b=0.55a (a−4b )−4b (b−5a )=5a2−20ab−4 b2+20ab=5a2−4b2=5 ∙ (−0.6 )2−4 ∙ (0.5 )2=5 ∙0.36−4 ∙0.25=1.8−1=0.8 ;3)a=10 , b=−52ab (3 a2−b2)−3ab (2a2−b2 )=2a3b−2ab3−3a3b+3ab3=−3a3b+ab3=−3 ∙ (10 )3 ∙ (−5 )+10 ∙ (−5 )3=15000−1250=13750 ;4)x=−2 , z=−34 x2 (5 x−3 z )−5 z2 (4 x+z )=20 x3−12 x2 z−20 x z2−5 z3=20 ∙ (−2 )3−12 ∙ (−2 )2 ∙ (−3 )−20 ∙ (−2 ) ∙ (−3 )2−5 ∙ (−3 )3=−160+144+360+135=479 ;
8. Үржвэр болгоорой.1) 21 x2 y+14 x y2+35 x y3=7 xy (3 x+2 y+5 y2 ) ;2) a2bc+ab2c+abc2=abc (a+b+c ) ;3) 5ab+15 ab2 c+20a3bc=5 ab (1+3bc+4a2c ) ;4) 35a3bc+14ab3 c+7ab c2=7 abc (5a2+2b2+c) ;
9. Илэрхийлэл ямагт эерэг гэдгийг батал
1)a (a+2 )−2a+4=a2+2a−2a+4=a2+4 ;
2) 4 a (a−2 )+8a+9=4a2−8a+8a+9=4a2+9 ;
3) a (a+23 )−23a+4=a2+23 a−23a+4=a2+4 ;
4) a (a+2 )−2a+4=a2+2a−2a+4=a2+4 ;
10. Илэрхийллийн утга хувьсагчасс үл хамаарахыг харуулна уу.
24
VIII анги
1)(4n2−6 n+9 p2 )2n−9n(2 p2−23 )−4 (2n3+5 )=8n3−12n2+18n p2−18n p2+6n−8n3−20=−12n2+6n−20;
2)(3 x2+7x+4 )2 x−6 x (x2+ 73 x+1)−2 ( x−16 )=8 x3+14 x2+8 x−6 x3−14 x2−6 x−2x+32=2 x3+2x+32 ;
3)(−2+11 y+4 y2 )2 y2−2 y3 (11+2 y )+4 y2 ( y+1 )=−4 y2+22 y3+8 y 4−22 y3−4 y4+4 y3+4 y2=4 y 4−18 y3 ;
11. Доохи ирлэрхийллүүд х-ийн ямар утганд сөрөг байх вэ?1) (3 x+6 )6 x−2x (9 x+7 )=18 x2+36x−18x2−14 x=22x ;2) (−5 x+6 )6 x+5 x (6 x+7 )=−30 x2+36x+30 x2+35x=71x ;
1.1.6 ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гаргах
12. ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гарга.1)7m−14 n=7 (m−2n ) ;2¿9mn−9n=9n (n−1 ) ;
3¿9 x+6 x2=3x (3+2 x ) ;4 ¿44b−11ab=11b (4−a ) ;
5¿9 x−6 y+3=3 (3 x−2 y+1 ) ;6¿1.5a2−ab=a (1.5a−b );
7¿acn+abc=ac (n+b ) ;8 ¿−15a−25b=−5 (3a+5b );
9¿32c−8c2=8 c (4−c) ;10¿4 ab−6 ac=2a (2b+3 c ); 11¿2 x2−8xy=2x ( x−4 y );12¿ y3−6 y2= y2 ( y−6 ); 14m2n+21mn2=7mn (2m+3n );14¿12 x2 y3−21 x4 y2=3 x2 y2 (4 y−7 x2 ) ;
13.ерөнхий үржигдэхүүн хаалтнаас гарга.1) 5abc2−3ab2c+4a2bc=abc (5c−3b+4a );2) 12a2 z y3−18az y5=6az y3 (2a−3 y2 ) ;3) −35am3n4−20am4n6=−5am3n4 (7+4mn2 ) ;4) −28b4 c5 y+16b5 c6 y8=−4b4 c5 y (7−4bc y3 );5) a4+2a2=a2 (a2+2 ) ;6) 35a2bc+14ab2 c=7 abc (5a+2b ) ;7) a4−3a3=a3 (a−3 ) ;8) 9 y6+12 y5−3 y3=3 y3 (3 y3+2 y2−1 ) ;9) a4b2+ab3=ab2 (a3+b ) ;10) 4 a2b2+36a2b3+6 ab4=2ab2(2a+18ab+3b2)❑
11) x2 y3−x3 y2=x2 y2 ( y−x ) ;12) 4 x2 y4−2 x4 y2+6 x3 y3=2x2 y2 (2 y2−x2+3xy ) ;
25
VIII анги
14. Хялбарчил1) 13 ∙672+13 ∙328=13 (672+328 )=13∙1000=13000 ;
2) 125 ∙375+275∙375=375 (125+275 )=375 ∙400=15000 ;
3) 890 ∙35−886 ∙35=35 (890−886 )=35 ∙4=140;
4) 32 ∙ 95−27 ∙95=95
(32−7 )=92∙25=225
2=112 1
2;
5) 26 ∙336+13 ∙328=26 ∙336+26 ∙164=26 (336+164 )=26 ∙100=2600;
6) 25 ∙625+5∙125=25∙625+625=625 (25+1 )=625 ∙26=16250;
7) 114 ∙35−886 ∙35=57 ∙70−443 ∙70=70 (57−443 )=70 ∙ (−386 )=27020 ;
8) 42 ∙ 145 −37 ∙ 145
=145
(42−37 )=145
∙5=14 ;
9) 25∙ 425+426
7 ∙250=425 (25+4 )7 ∙250
=250 ∙207 ∙250
=207
=2 67;
10) 5∙922−21 ∙921
345=9
21 (4 ∙9−21 )345
=342 ∙4345
= 433
= 427
;
11) 35∙ x20−35 ∙ x21
x20=35 ∙ x20 (1−x )
x20=35 (1−x );
12) 3∙ z13+9∙ z13
3 z13= z13(3+9)
3 z13=123
=4 ;
15. Илэрхийллийг хялбарчилж түүний утгыг ол.1) x=2 , b=1.007 , c=−0.006ү ед
x (b−c )+2 (c−b )=(b−c ) ( x−2 )= (1.007+0.006 ) (2−2 )=0
2) x=0.86 , y=0.26 , c=1.5ү ед( x− y ) ( y+c )+ y ( y−x )=( x− y ) ( y+c− y )=c (x− y )=1.5 (0.86−0.26 )=1.5 ∙0.6=9
3) a=18.3 , b=−31.7 , p=24.6n=10.6 ү ед2a ( p−n )+ (n−p ) (a+b )=( p−n ) (2a−a−b )=( p−n ) (a−b )=(24.6−10.6 ) ∙ (18.3+31.7 )=10 ∙50=500
16. Батал
1)595−594=594 (59−1 )=594 ∙58 ;
2) 349+348=348 (34+1 )=35 ∙348;
3) 1126+1124=1124 (112+1 )=(121+1 )1124=122∙1124 ;
4) 514+513=513 (5+1 )=6 ∙513=30 ∙512;
5) 11n+1−11n=11n (11−1 )=10 ∙11n;
17. Тэгшитгэлийг бод.1) x (x−6 )−4 ( x−6 )=0
26
VIII анги( x−6 ) ( x−4 )=0 x−6=0 ; x−4=0 x=6 ; x=4 ;
2) x (x−8 )−3 ( x−8 )=0 ;
( x−8 ) ( x−3 )=0
x−8=0 ; x−3=0
x=8 ; x=3 ;3) x2−2 x=0 ;
x (x−2 )=0 x=0 ; x−2=0 x=2 ;
4) x2+12x=0 ;5) x3−x2=0
x2 ( x−1 )=0 ; x2=0; x−1=0x=0 ; x=1 ;
6) y ( y+9 )+( y+9 )=0( y+9 ) ( y+1 )=0 y+9=0 ; y+1=0 ; y=−9 ; y=−1 ;
7) x+24
= x15
8) x4= 416 x
9) 5 x−2.5− 34 ( 89−43 x)=x−1
5 x−52−23+x=x−1
5 x+ x−x=52+ 23−1 ;
5 x=136
;
x=1330
;
10) 22=2 x+3(x−1511 )−177 (x− 317
)
2 x+3 x−4511
−17 x7
+ 37=22
27
VIII анги14 x+21x−17 x
7=4511
−73+22
18x7
=135−77+72633
18x7
=78433
x=78433
∙ 718
x=2744297
=9 71297
;
11) 43 ( 95−x )−92 (x−13 )=5x−7
125
− 43x−92x+ 32=5 x−7
30x+8 x+27 x6
=24+15+7010
65x6
=10910
x=10910
∙ 665
x=327325
=1 2325
;
Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэх1. Олон гишүүнт болго
1) ( x+7 ) ( y+3 )=xy+3 x+7 y+21;
2) (a+x ) (a+2 x )=a2+2ax+ax+2 x2=a2+3ax+2 x2;3) ( x+8 ) ( y−3 )=xy−3 x+8 y−24 ;
4) (–u+ y ) (−1−u )=u+u2− y− yu;5) (b−7 ) (−b−4 )=−b2−4 y+7b+28 ;
2. Стандарт олон гишүүнт болго1) (5 x3−4 x) (x2+1 )=5 x5+5 x3−4 x3−4 x=5 x5+x3−4 x2) (9 p2−2 p ) (3 p−5 )=27 p3−45 p2−6 p2+10 p=27 p3−51 p2+10 p ;3) (2 x2−3 x−1 ) (5x+2 )=10 x3+4 x2−15x2−6 x−5 x−2=10 x3−11 x2−11x ;4) (c−4b ) (6 a−4b−3c )=6ac−4bc−3c2−24ab+16b2+12bc=16b2−24 ab+6ac+8bc−3c2 ;5) (0.2 x+0.2 y−z ) ( x− y )=0.2x2−0.2xy+0.2 xy−0.2 y2−xz+ yz=0.2x2−xz+ yz−0.2 y2 ;6) ( x+ y ) ( x2− xy+ y2)=x3−x2 y+x y2+x2 y−x y2+ y3=x3+ y3 ;7) (0.3 x−0.3 y+z ) (x+ y )=0.3 x2+0.3 xy−0.3 xy−0.3 y2+xz+ yz=0.3 x2+xz+ yz−0.3 y2 ;8) (a+b ) (a3−a2b+ab2−b3 )=a4−a3b+a2b2−ab3+a3b−a2b2+ab3−b4=a4−b4 ;9) ( x+1 ) ( x+2 ) ( x+3 )=(x2+3 x+2 ) ( x+3 )= x3+3 x2+3x2+9 x+2 x+6=x3+6 x2+11 x+6 ;
28
VIII анги
10)( x−2 ) (3 x+1 ) (4 x−3 )=(3x2−5 x−2 ) (4 x−3 )=12x3−9 x2−20 x2+15x−8x+6=12x3−29 x2+7 x+6 ;
3. Илэрхийллийг хялбарчил
1. (6− x−x2 )−( x−2 ) ( x+3 )=6−x−x2−(x2+x−6 )=6−x−x2−x2−x+6=−2x+12;
2. ( x+2 ) (x+3 )−x ( x+5 )=x2+5 x+6−x2−5 x=6 ;
3. ( x−4 ) ( x−2 )− (x−1 ) ( x−3 )=x2−6 x+8−( x2−4 x+3 )=x2−6 x+8−x2+4 x−3=−2 x+5 ; 4. Олон гишүүнт болго.
1. (x4+x3 ) (x2+x3 )=x6+x7+x5+x6=x7+2x6+x5;2. (x2+4 xz+z2 ) (2 z− x )=2x2 z−x3+8x z2−4 x2 z+2 z3−x z2=−x3−2x2 z+7 x z2 ;3. (c2+cb+b2 ) (c2−cb+b2 )=c4−c3b+c2b2+c3b−c2b2+b2 c2−c b3+b4=c4+b4 ;
5. Асуултын тэмдгийн оронд тохирох илэрхийлэл ба тэмдгийг тавь.1. (a−5 ) (a+6 )=a2+a−30 ;2. 4 y2− y−3=( y+3 ) ( y−1 ) ;3. (5c+3 ) (3c+5 )=15c2+34 c+15
6. Илэрхийллийн утгыг ол.1.x=13ү ед (a−3 x ) (a+2x )−a (a−6 x )=a2+2ax−3ax−6 x2−a2+6ax=5 ax−6 x2=5a ∙ 1
3−6 ∙ 1
9=53a−23; ;
2.x=−1
2ү ед ( p−6 x ) ( p+2 x)−p ( p−4 x )=p2+2 px−6 px−12x2−p2+4 px=−12x2=−12∙ 1
4=−3 ; ;
3.x=2 1
3ү ед9 ( x−1 ) ( x+3 )−(3 x−6 ) (3 x−4 )=9x2+27 x−9 x−27−(9 x2−12 x−18 x+24 )=9 x2+18 x−27−9 x2+12 x+18x−24=48 x−51=48 ∙ 7
3=112 ;
7. Тэгшитгэлийг бод1. y (2− y ) (5− y )− y2 ( y−7 )=20
y (10−2 y−5 y+ y2 )− y3+7 y2=20 10 y−7 y2+ y3− y3+7 y2=20
10 y=20 y=2 2. (10 x+9 ) x−(5x−1 ) (2 x+3 )=8
10 x2+9x− (10x2+15 x−2 x−3 )=8 10 x2+9x−10 x2−15 x+2 x+3=8 −4 x=5 x=−5
4=−1 1
4;
3. 20−( x+6 ) (x+2 )=x(x−3)
8. Илэрхийллийн утга хувьсагчийн утгаас үл хамаарахыг батал.1. (u−3 ) (u+8 )− (u+6 ) (u−1 )=u2+8u−3u−u2+u−6u+6=6 ;2. 5b2− (a−5b ) (a−b )−6ab=5b2−a2+ab+5ab−5b2=6ab ;
29
VIII анги
9. Илэрхийллийн утга ол.1.139 ∙15+18 ∙139+15 ∙261+18 ∙261=139 (15+18 )+261 (15+18 )=139 ∙23+261∙33=33 (139+261 )=33 ∙400=13200 ;2.14.7 ∙13−2 ∙14.7+13∙5.3−2∙5.3=14.7 (13−2 )+5.3 (13−2 )=14.7 ∙9+5.3 ∙9=9 (14.7+5.3 )=9 ∙20=180 ;10. Олон гишүүнтийг хуваа.1) x2+x−30
x−5=
( x−5 ) ( x+6 )x−5
=x+6
2) 3ab−2b−9a+6b−3=
(b−3 ) (3a−2 )b−3
=3a−2;
3) x2−3x+2x−1
=( x−1 ) (x−2 )
x−1=x−2;
4) 6 x2+7 xy+2 y2
2x+ y=
(2 x+ y ) (3 x+2 y )2x+ y
=3 x+2 y ;
5) −9c2+12cd−4 d3 c−2d
=(3c−2d )(2−3c)
3c−2d=2−3c ;
11. Утгыг ол
1) x2+2 x+ax+b
=x+5үед a ,b−гол .
x2+2x+a=( x+5 ) (x+b )Энэтэнцэлбишбиелэх утгыголно .x2+2x−15=( x+5 ) (x−3 ) ;a=−15 ,b=−3
12. Илэрхийлэл зохиож бод.13. Өргөн 3 x Урт 5 x+7
3 x+5x+7=328x+7=328x=25x=3,1253,125 ∙3=9.375 см (ө рг өн)3,125 ∙5+7=22.625см ( урт)
14. Квадратын тал - xКвадратын нэмэгдсэн тал −x+7 , бодлогын нөхцөлөөс ( x+7 )2−x2=63 x2+14 x+49−x2=63 14 x+49=63 14 x=14 x=1(анхныквадратынтал) 15. 3 ( x+4 ) ∙5 x=15 x2+400 тэгшитгэл үүснэ.15 x2+60 x=15 x2+400 60 x=400 x=400
60=203
=6 23;
3( 203 +4 )=3(6 23 +4)=3 ∙ 323 =32 кмц
(хурд);
30
VIII анги
5 ∙6 23=5 ∙ 20
3=1003
=33 13цаг.
15 x2+400=15 ∙(6 23 )2
+400=15 ∙(203 )2
+400=15 ∙ 4009
+400= 2000+12003
=32003
=1066 23км(зам )
16. 4 x ∙ (3x+1 )+2 x (10−4 x )+12−3 x+2 x ∙ (−2x+7 x )=82тэгшитгэлүү снэ .
12 x2+4 x+20 x−8x2+12−3 x−4 x2+14 x=82 35 x=82−1235 x=70 x=2 4 x (3 x+1 )=8 (6+1 )=56см 2 x (10−4 x )=4 (10−8 )=8см 12−3 x=12−6=6см 2 x (−2 x+7 )=4 ∙ (−4+7 )=4 ∙3=12см 17. X- жилийн дараа, ач охин 20+x ,өвөө61+x
Бодлогын нөхцөлөөс 3 (20+x )=61+x тэгшитгэл үүснэ.60+3 x=61+x
2 x=4 ;x=2жилийндараа18. Тэдний насны зөрөө 31−8=23.Одоо миний нас х, эцгийн нас 2х
болно.2 x−x=x насны з ө р өөx=23.Одоогийн аавын нас26 ,31−26=5жилийнө мнө .8−5=3 настай байсан.19. Насны зөрөө 27-3=24. Одоо хүүгийн насх, эцгийн нас 3х. Тэдний насны зөрөө 2 x=24 ; x=12 ( хүү гийнодоогийннас )ь 3∙12=36 эцгийнодоогийннас .20. X жилийн дараа: Бодлогын нөхцөлөөс 2 ( x+1 )=x+64
2 x+2=x+64 ; x=62жилийндараа .
1.1.8 Олон гишүүнтийг бүлэглэх аргаар үржигдэхүүн болгон задлах
1. Илэрхийллийг үржвэр хэлбэрт тавь.1) 4 a ( z− y )+3b ( z− y )=( z− y )(4 a+3b);2) 7a−7b+an−bn=7 (a−b )+n (a−b )=(a−b ) (7+n );
3) ax+ay−x− y=a (x+ y )−( x+ y )=( x+ y ) (a−1 ) ;
4) 1−bx−x+b=1+b−b (1+b )=(1+b ) (1−b ) ;
5) ab−8a−bx+8 x=a (b−8 )−x (b−8 )=(b−8 ) (a−x );
6) ax− y+x−ay=ax+x− y−ay=x (a+1 )− y (a+1 )=(a+1 )(x− y );7) ax−2bx+ay−2by=x (a−2b )+ y (a−2b )=(a−2b ) ( x+ y );
8) y5− y3− y2+1= y3 ( y2−1 )−( y2−1 )=( y2−1 ) ( y3−1 ) ;9) b6−3b4−2b2+6=b4 (b2−3 )−2 (b2−3 )=(b2−3 ) (b4−2 ) ;10) kn−mn−n2+mk=kn+mk−mn−n2=k (m+n )−n (m+n )= (m+n ) ( k−n );11) p2q2+ pq−q3−p3=p2q2−q3−p3+ pq=q2 ( p2−q )−p ( p2−q )=( p2−q ) (q2−p ) ;
31
VIII анги
12)21a+8 x y3−24 y2−7 axy=21a−7 axy−24 y2+8 x y3=7a (3−xy )−8 y2 (3−xy )= (3−xy ) (7−8 y2) ;2. Илэрхийллийг хялбарчил.
1.2.7 ∙6.2−9.3 ∙1.2+6.2∙9.3−1.2∙2.7=2.7 ∙6.2−1.2∙2.7+6.2 ∙9.3−9.3 ∙1.2=2.7 (6.2−1.2 )+9.3 (6.2−1.2 )=2.7 ∙5+9.3 ∙5=5 ∙11=55 ;
3. Хоёр ба гурван гишүүнтийн үржвэр болго.1)an2+cn2−ap+a p2−cp+c p2=(an2+cn2)−(ap+cp)+(a p2+cn2 )−¿n2 (a+c )−p (a+c )+ p2 (a+c )=(a+c ) (n2−p+ p2 ) ;2)ac2−ad−bc2+cd+bd−c3=(ac2−ad )−(b c2−bd )−(c3−cd )=a (c2−d )−b (c2−d )−c (c2−d )=(c2−d ) (a−b−c ) ;3) p2−2 pq+q2+ p−q=p2−pq−pq+q2+ p−q=p (p−q )−q ( p−q )+ (p−q )=( p−q ) (p−q+1 );4. Олон гишүүнтийг үржигдэхүүнд задал1) x2−10 x+24=x2−4 x−6 x+24=x (x−4 )−6 ( x−4 )=( x−4 ) (x−6 ) ;2) x2+8 x+7=x2+ x+7 x+7=x ( x+1 )+7 ( x+1 )=( x+1 )(x+7);3) x2−2 x−35=x2−7 x+5 x−35=x ( x−7 )+5 ( x−7 )=( x−7 ) ( x+5 ) ;4) 2a2+8a+6=2a2+2a+6 a+6=2a (a+1 )+6 (a+1 )=(a+1 ) (2a+6 );5) 5a2−13a−6=5a2−15a+2a−6=5a (a−3 )+2 (a−3 )= (a−3 ) (5a+2 );6) 6a2−5a−4=6a2+3a−8a−4=3 a (2a+1 )−4 (2a+1 )=(2a+1 ) (3a−4 );7) 9 x2+3 x−3x−1=3 x (3 x+1 )−(3 x+1 )=(3 x+1 ) (3 x−1 ) ;8) 4 x2+12 x+9=4 x2+6 x+6 x+9=2x (2x+3 )+3 (2 x+3 )=(2 x+3 ) (2x+3 ) ;9) 8b2−2b−1=8b2−4b+2b−1=4b (2b−1 )+ (2b−1 )= (2b−1 ) (4b+1 );10) a2+2a+1=a2+a+a+1=a (a+1 )+(a+1 )=(a+1 ) (a+1 );5. Олон гишүүнтийг гишүүнтэд хуваа.
1) x3+3 x2+3 x+1x−1
=( x−1 ) ( x2−4 x−1 )
x−1= x2−4 x−1 ;
2) x3−x2−14 x+8x−4
=(x−4 )(x2+3 x−2)
x−4=x2+3 x−2;
3) x4+12 x3+54 x2+108x+81x+3
=( x+3 ) (x3+9 x2+27 x+27 )
x+3=x3+9 x2+27 x+27 ;
4) 2u4+3u3−4u2−2u+1
u−1=
(u−1 ) (2u3+5u2+u−1 )u−1
=2u3+5u2+u−1;
5) x5+1x+1
=( x+1 ) (x4−x3+x2−x+1 )
x+1=x4−x3+x2−x+1 ;
6) m8−1m−1
=(m−1 ) (m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1 )
m−1=m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1 ;
7) z6−1z+1
=( z+1 ) ( z5−z4+z3−z2+z−1 )
z+1=z5−z4+ z3−z2+z−1 ;
1.2 Хураангуй үржүүлэхийн томъёо.1. Илэрхийллийг олон гишүүнт болго.
32
VIII анги
1) ( x+ y )2=x2+2 xy+ y2 ;2) (b+3 )2=b2+2 ∙ b ∙3+32=b2+6b+9 ;3) (9− y )2=92−2∙9 ∙ y+ y2=81−18 y+ y2 ;4) (0.3−m )2=0.09−0.6m+m2;5) (7 y−6 )2=49 y2−84 y+36 ;6) (5 y−4 x )2=25 y2−40 xy+16 x2;7) (6m−n )2=36m2−12mn+n2;
8) (x2−5 )2=x4−10 x2+25 ;
9) (2a+b4 )2=4 a2+4 ab4+b8;10) (0.1 x+5 y )2=0.01x2+xy+25 y2;11) (0.4b+5 )2=(0.4 b )2+2∙0.4 b∙5+52=0.16b2+4 b+25 ;12) (2b−0.5 )2=(2b )2−2∙2b∙0.5+0.52=4 b2−2b+0.25;
13) (x2−5 )2=(x2 )2−2 ∙5 ∙ x2+52= x4−10 x+25;
14) (2a+b4 )2=(2a )2+2∙2a ∙b4+(b4 )2=4 a2+4 ab4+b8;15) ( z2 y− y3 )2=( z2 y )2−2 ∙ z2 y ∙ y3+( y3 )2=z4 y2−2 z2 y 4+ y6;
16) (a n2−bn )2=(an2 )2−2∙ an2 ∙bn+ (bn )2=a2n4−2abn3+b2n2;2. Илэрхийллийг олон гишүүнт болго.
1) (5a+ 15 b)2
=(5a )2+2 ∙5a ∙ 15b+(15 b)
2
=25a2+2ab+ 125
b2
2) ( 13 x−3 y )2
=(13 x)2
−2 ∙ 13∙3 ∙ xy+ (3 y )2=1
9x2−2 xy+9 y2;
3) ( 13m4+9n2)2
=( 13m4)2
+2 ∙ 13∙9 ∙m4n2+(9n2 )2=1
9m8+6m4n2+81n4;
4) (12c4+ 14 a6c )2
=(12c4 )2+2 ∙12 ∙ 14c4∙ a6c+( 14 a6 c)
2
=144 c86a6 c5+ 116
a12 c2 ;
5) ( 12 x3+6 x)2
=( 12 x)2
+2 ∙ 12∙6 ∙ x3 ∙ x+(6 x )2=1
4x2+6 x4+36 x2 ;
6) (4 y3−0.5 y2 )2=(4 y3 )2−2∙4 ∙0.5 ∙ y3 ∙ y2+ (0.5 y2 )2=16 y6−4 y5+0.25 y4 ;7) (a+bn )2=a2+2abn+b2n;
8) (xk−3 y )2=x2k−6 xk y+9 y2 ;
9) (x3 k+3 x7 k)2=(x3k )2+2∙3 ∙ x3k ∙ x7k+(3 x7k )2=x6k+6 x10k+9x14 k ;3. Үржвэр болгоорой.1) x2+2xy+ y2= (x+ y )2= (x+ y ) ( x+ y );2) a2+12a+36=(a+6 )2=(a+6 ) (a+6 );3) 1−2 z+z2=(1−z )2=(1−z ) (1−z ) ;4) 4 x2+12 x+9=(2 x+3 )2=(2 x+3 ) (2 x+3 ) ;5) n2+4n+4=(n+2 )2=(n+2 ) (n+2 );6) 0.25 x2+10 xy+100 y2=(0.5 x+10 y )2=(0.5 x+10 y ) (0.5 x+10 y );7) 81a2−18 ab+b2=(9a−b )2=(9a−b ) (9a−b );
33
VIII анги
8) b2−4 ab+4 a2= (b−2a )2=(b−2a ) (b−2a );9) 121a2−44ax+4 x2=(11a−2 x )2=(11a−2 x ) (11a−2x ) ;10) – (16a2−24 ab+9b2 )=−(4a−3b )2=− (4a−3b ) (4 a−3b ) ;4. Одны оронд тохирох илэрхийллийг бичнэ үү.1) (3 x+7 y )2=9 x2+42 xy+7 y2 ;2) (3b+2a )2=9b2+12ab+4a2 ;3) (5c+7 y )2=25c2+70cy+49 y2 ;4) (5a4−6 x3 )=25a8−60 a4 x3+36 x6 ;5) (4 p7+0.5q4 )2=16 p14+4 p7q4+0.25q8 ;6) (8a3−7a4b3 )2=64 a6−112 a7b3+49a8b6;7) (3c2d+4 d4 )2=9 c4d2+24 c2d5+16d8;
8) (6 an−34 )
2
=36 a2n−9an+ 916
;
5. Хялбарчил
6. Хялбар аргаар бодоорой.7. Хоёр гишүүнтийн квадрат болго.
34
