However. the gradient of V inherits the discontinuity in E; since E = -VV, Eq. 2.33implies thator, more conveniently,a Vabove a Vbelow 1p-p--- -an an 0 70where av - = V V . f i (2.37)artdenotes the normal derivative of V (that is, the rate of change in the direction perpendicularto the surface).Please note that these boundary conditions relate the fields and potentials just above andjust below the surface. For example, the derivatives in Eq. 2.36 are the limiting values aswe approach the surface from either side.Problem 2.30(a) Check that the results of Exs. 2.4 and 2.5, and Prob. 2.11, are consistent with Eq. 2.33.(b) Use Gauss's law to find the field inside and outside a long hollow cylindrical tube, whichcarries a uniform surface charge D. Check that your result is consistent with Eq. 2.33.(c) Check that the result of Ex. 2.7 is consistent with boundary conditions 2.34 and 2.36.2.4 Work and Energy in Electrostatics2.4.1 The Work Done to Move a ChargeSuppose you have a stationary configuration of source charges, and you want to move a testcharge Q from point a to point b (Fig. 2.39). Queition: How much work will you have todo? At any point along the path, the electric force on Q is F = QE; the force you mustexert, in opposition to this electrical force, is -QE. (If the sign bothers you, think aboutlifting a brick: Gravity exerts a force mg downward, but you exert a force mg upward. Ofcourse, you could apply an even greater force-then the brick would accelerate, and partFigure 2.392.4. WORK AND ENERGY IN ELECTROSTATICS 9 1of your effort would be "wasted" generating kinetic energy. What we're interested in hereis the minimum force you must exert to do the job.) The work is thereforeNotice that the answer is independent of the path you take from a to b; in mechanics, then,we would call the electrostatic force "conservative." Dividing through by Q, we haveIn words, the potential diflerence between points a and b is equal to the workper urtit chargerequired to carq a particle from a to b. In particular, if you want to bring the charge Q infrom far away and stick it at point r, the work you must do isso, if you have set the reference point at infinity,In this sense potential is potential energy (the work it takes to create the system) per unitcharge Gust as thejeld is the force per unit charge).2.4.2 The Energy of a Point Charge DistributionHow much work would it take to assemble an entire collection of point charges? Imaginebringing in the charges, one by one, from far away (Fig. 2.40). The first charge, ql, takesno work, since there is no field yet to fight against. Now bring in qz. According to Eq. 2.39,this will cost you q2 V1 (r2), where Vl is the potential due to ql, and r2 is the place we'reputting q2 :Figure 2.4092 CHAPTER 2. ELECTROSTATICS(412 is the distance between ql and q2 once they are in position). Now bring in q3; thisrequires work q3V1,*(r3), where V1,2 is the potential due to charges ql and q2, namely,(1/4neo)(q1/".13 + 421423). ThusSimilarly, the extra work to bring in 44 will beThe total work necessary to assemble the first four charges, then, isYou see the general rule: Take the product of each pair of charges, divide by their separationdistance, and add it all up:The stipulation j > i is just to remind you not to count the same pair twice. A nicer wayto accomplish the same purpose is intentionally to count each pair twice, and then divideby 2:l n n W _ - 4i4j CC, 8nco . 1=1 j=l(we must still avoid i = j, of course). Notice that in this form the answer plainly does notdepend on the order in which you assemble the charges, since every pair occurs in the sum.Let me next pull out the factor qi:The term in parentheses is the potential at point ri (the position of qi) due to all the othercharges-all of them, now, not just the ones that were present at some stage in the buildingupprocess. Thus,d IIThat's how much work it takes to assemble a configuration of point charges; it's also theamount of work you'd get back out if you dismantled the system. In the meantime, it2.4. WORK AND ENERGY IN ELECTROSTATICS 93represents energy stored in the configuration ("potential" energy, if you like, though forobvious reasons I prefer to avoid that word in this context).Problem 2.31(a) Three charges are situated at the corners of a square (side a), as shown in Fig. 2.41. Howmuch work does it take to bring in another charge, +q, from far away and place it in the fourthcorner?(b) How much work does it take to assemble the whole configuration of four charges?+4 -4Figure 2.4 12.4.3 The Energy of a Continuous Charge DistributionFor a volume charge density p, Eq. 2.42 becomes(The corresponding integrals for line and surface charges would be AV dl and a V da,respectively.) There is a lovely way to rewrite this result, in which p and V are eliminatedin favor of E. First use Gauss's law to express p in terms of E:Now use integration by parts (Eq. 1.59) to transfer the derivative from E to VBut VV = -E,so94 CHAPTER 2. ELECTROSTATICSBut what volume is this we're integrating over? Let's go back to the formula we startedwith, Eq. 2.43. From its derivation, it is clear that we should integrate over the regionwhere the charge is located. But actually, any larger volume would do just as well: The"extra" territory we throw in will contribute nothing to the integral anyway, since p = 0out there. With this in mind, let's return to Eq. 2.44. What happens here, as we enlarge thevolume beyond the minimum necessary to trap all the charge? Well, the integral of canonly increase (the integrand being positive); evidently the surface integral must decreasecorrespondingly to leave the sum intact. In fact, at large distances from the charge, E goeslike l / r 2 and V like l / r , while the surface area grows like r2. Roughly speaking, then,the surface integral goes down like l l r . Please understand that Eq. 2.44 gives you thecorrect energy W. whatever volume you use (as long as it encloses all the charge), but thecontribution from the volume integral goes up, and that of the surface integral goes down,as you take larger and larger volumes. In particular. why not integrate over all space? Thenthe surface integral goes to zero, and we are left withI all space IExample 2.8Find the energy of a uniformly charged spherical shell of total charge q and radius R.Solution 1: Use Eq. 2.43, in the version appropriate to surface charges:Now, the potential at the sulface of this sphere is (1/4nrg)q/R (a constant), soSolution 2: Use Eq. 2.45. Inside the sphere E = 0; outside,E = - 1 -qr.- 2 SO E = q24rrr0 r2 ( 4 ~ c ~ ) ~ r ~Therefore,Wtot =E0~ ( 4 n r ~ ) ~ 1 ($1 (r2 sin Qoutside- l q 2 4 x L m ; f i d r = - - , 1 q232rr 2 ~ o 8rco R2.4. WORK AND ENERGY IN ELECTROSTATICS 95Problem 2.32 Find the energy stored in a uniformly charged solid sphere of radius R andcharge y. Do it three different ways:(a) Use Eq. 2.43. Yell found the potential in Prob. 2.2 1.(b) Use Eq. 2.45. Don't forget to integrate over all space.(c) Use Eq. 2.44. Take a spherical volume of radius a. Notice what happens as a + W.Problem 2.33 Here is a fourth way of computing the energy of a uniformly charged sphere:Assemble the sphere layer by layer, each time bringing in an infinitesimal charge dq from faraway and smearing it uniformly over the surface, thereby increasing the radius. How muchwork d W does it take to build up the radius by an amount dr? Integrate this to find the worknecessary to create the entire sphere of radius R and total charge y.2.4.4 Comments on Electrostatic Energy(i) A perplexing "inconsistency." Equation 2.45 clearly implies that the energy of astationary charge distribution is always positive. On the other hand, Eq. 2.42 (from which2.45 was in fact derived), can be positive or negative. For instance, according to 2.42, theenergy of two equal but opposite charges a distance G apart would be - ( 1 / 4 ~ t o ) ( q ~ / ~ ) .What's gone wrong? Which equation is correct?The answer is that both equations are correct, but they pertain to slightly differentsituations. Equation 2.42 does not take into account the work necessary to make the pointcharges in the first place; we started with point charges and simply found the work requiredto bring them together. This is wise policy, since Eq. 2.45 indicates that the energy of apoint charge is in fact iifznite:Equation 2.45 is more complete, in the sense that it tells you the total energy stored ina charge configuration, but Eq. 2.42 is more appropriate when you're dealing with pointcharges, because we prefer (for good reason!) to leave out that portion of the total energythat is attributable to the fabrication of the point charges themselves. In practice, afterall, the point charges (electrons, say) are given to us ready-made; all we do is move themaround. Since we did not put them together, and we cannot take them apart, it is immaterialhow much work the process would involve. (Still, the infinite energy of a point chargeis a recurring source of embartassment for electromagnetic theory, afflicting the quantumversion as well as the classical. We shall return to the problem in Chapter 1 1 .)Now, you may wonder where the inconsistency crept into an apparently water-tightderivation. The "flaw" lies between Eqs. 2.42 and 2.43: In the former, V(ri) representsthe potential due to all the other charges hut not qi, whereas in the latter, V(r) is thefullpotential. For a continuous distribution there is no distinction, since the amount of chargeright at the point r is vanishingly small, and its contribution to the potential is zero.(ii) Where is the energy stored? Equations 2.43 and 2.45 offer two different ways ofcalculating the same thing. The first is an integral over the charge distribution; the secondis an integral over the field. These can involve completely different regions. For instance,in the case of the spherical shell (Ex. 2.8) the charge is confined to the surface, whereas theelectric field is present everywhere outside this surface. Where is the energy, then? Is itstored in the field, as Eq. 2.45 seems to suggest, or is it stored in the charge, as Eq. 2.43implies? At the present level, this is simply an unanswerable question: I can tell you whatthe total energy is, and I can provide you with several different ways to compute it, but it isunnecessary to worry about where the energy is located. In the context of radiation theory(Chapter 11) it is useful (and in General Relativity it is essential) to regard the energy asbeing stored in the field, with a density-COE 2 = energy per unit volume.2But in electrostatics one could just as well say it is stored in the charge, with a density tpv.The difference is purely a matter of bookkeeping.(iii) The superposition principle. Because electrostatic energy is quadratic in thefields, it does not obey a superposition principle. The energy of a compound system is 11otthe sum of the energies of its parts considered separately-there are also "cross terms":For example, if you double the charge everywhere, you quadruple the total energy.Problem 2.34 Consider two concentric spherical shells, of radii a and h. Suppose the innerone cames a charge q, and the outer one a charge -q (both of them uniformly distributedover the surface). Calculate the energy of this configuration, (a) using Eq. 2.45, and (b) usingEq. 2.47 and the results of Ex. 2.8.

Akan tetapi, gradien V mewarisi diskontinuitas di E; sejak E = , Persamaan. 2.33mengimplikasikan bahwa

(2.35)

atau, lebih tepatnya,

,(2.36)

dimana

(2.37)

menunjukkan turunan normal V (yaitu, tingkat perubahan dalam arah tegak luruske permukaan).Perlu dicatat bahwa kondisi batas ini berhubungan dengan medan dan potensial tepat di atas dandi bawah permukaan. Sebagai contoh, derivatif dalam Pers. 2.36 adalah nilai-nilai batas seperti yang kita dekatkan pada permukaan dari kedua sisi.

Soal 2.30 (a) Periksa hasil dari contoh 2.4 dan 2.5, dan Soal. 2.11, sesuai dengan Persamaan. 2.33.(b) Gunakan Hukum Gauss untuk mencari medan di dalam dan di luar sepanjan tabung silinder berongga, yang membawa muatan permukaan seragam . Periksa hasil anda apakah sesuai dengan Persamaan. 2.33.(c) Periksa bahwa hasil dari contoh 2.7 sesuai dengan kondisi batas 2.34 dan 2.36.

2.4 Usaha dan Energi dalam Elektrostatik2.4.1 Usaha dalam muatan bergerak

Misalkan kamu memiliki konfigurasi stasioner dari sumber muatan, dan kamu ingin memindahkan muatan uji Q dari titik a ke titik b (Gambar. 2.39). Pertanyaan: Berapa banyak usaha yang harus kamu lakukan? Pada setiap titik di sepanjang lintasan, gaya listrik pada Q adalah F = QE; gaya yang harus kamu kerahkan, bertentangan dengan gaya listrik ini, adalah -QE. (Jika tanda mengganggumu, pikirkan ketika kamu mengangkat batu bata: Gravitasi memberikan gaya mg ke bawah, tetapi kamu mengerahkan gaya mg ke atas. Tentu saja, kamu bisa menerapkan gaya yang lebih besar- kemudian bata akan dipercepat, dan bagian

Gambar 2.39

usahamu akan "sia-sia" menghasilkan energi kinetik. Yang menarik di sini adalah gaya minimum yang harus dikerahkan untuk melakukan pekerjaan itu.) Usaha memiliki persamaan

Perhatikan bahwa jawabannya adalah tidak tergantung pada muatan yang kamu ambil dari a ke b; dalam mekanika, kemudian, kita sebut gaya elektrostatik "konservatif." Dengan membaginya dengan Q, kita memiliki

(2.38)

Dalam hal ini, perbedaan potensial antara titik a dan b sama dengan usaha per satuan muatandiperlukan untuk membawa partikel dari a ke b. Secara khusus, jika kamu ingin membawa muatan Q dari jauh dan tetap pada titik r, usaha yang harus kamu lakukan adalah

Jadi, jika Anda telah menetapkan titik acuan di tak terhingga,

(2.39)

Dalam hal ini potensial adalah energi potensial (usaha yang diperlukan untuk membuat sistem) per satuan muatan (hanya sebagai medan adalah gaya per satuan muatan).

2.4.2 Energi dari Distribusi Muatan Titik Berapa banyakkah usaha yang dibutuhkan untuk merakit seluruh kumpulan muatan titik? Bayangkan dalam membawa muatan, satu per satu, dari jauh (Gambar. 2.40). Muatan pertama, q1, tidak memiliki usaha, karena belum ada muatan yang melawan. Sekarang dalam membawa q2. Menurut Persamaan. 2.39, ini akan membebanimu q2 V1 (r2), di mana V1 adalah potensial pada q1, dan r2 adalah tempat kita meletakkan q2:

Gambar 2.40

adalah jarak antara q1 dan q2 ketika mereka berada di posisi yang sama). Sekarang membawa q3; ini membutuhkan usaha q3 V1,2 (r3), di mana V1,2 adalah potensial pada muatan q1 dan q2, yaituJadi

Demikian pula,usaha ekstra untuk membawa ke q4 akan

Total usaha yang diperlukan untuk merakit empat muatan pertama, kemudian, adalah

Kamu mengerti aturan umum: Ambil hasil setiap pasangan muatan, bagi dengan jarak pemisah, dan jumlahkan semuanya:

Ketentuan j>i mengingatkan kamu untuk tidak menghitung pasangan yang sama dua kali. Cara yang lebih baik untuk mencapai tujuan yang sama ini sengaja untuk menghitung setiap pasangan dua kali, dan kemudian dibagi oleh 2:

(2.40)(Kita harus menghindari i=j) Dengan ketentuan bentuk jawaban tidak bergantung pada susunan muatan yang kamu susun, sejak setiap pasangan membentuk penjumlahan. Biarkan saya menarik faktor qi :

(2.41) Istilah dalam kurung adalah potensial pada titik ri (posisi qi) mengacu pada semua muatan lain dari mereka semua, sekarang, bukan satu yang hadir pada beberapa tahap tertentu dalam membangun proses. Dengan demikian,

(2.42)

Berapa banyak usaha yang diperlukan untuk merakit konfigurasi muatan titik; itu jugajumlah usaha yang kamu dapat kembali jika kamu membongkar sistem. Sementara itu, yangmewakili energi yang tersimpan dalam konfigurasi (energi "potensial", jika kamu suka, meskipun untuk alasan yang jelas saya lebih memilih untuk menghindari kata itu dalam konteks ini).

Soal 2.31(a) Tiga muatan yang terletak di sudut-sudut persegi (sisi a), seperti ditunjukkan pada Gambar. 2.41. Berapa banyak usaha yang diperlukan untuk membawa muatan lain, +q, dari jauh dan menempatkannya di keempat sudut?(b) Berapa banyak usaha yang dibutuhkan untuk merakit seluruh konfigurasi empat muatan?

Gambar 2.4 1

2.4.3 Energi pada Distribusi Muatan BerlanjutPada kerapatan volume muatan , Persamaan. 2.42 menjadi

(2.43)

(Korespondensi integral yang sesuai untuk baris dan permukaan muatan menjadi dan ,masing-masing.) Ada cara terbaik untuk menulis ulang hasil ini, di mana dan V dieliminasi mendukung E. Pertama menggunakan hukum Gauss untuk mengekspresikan dalam istilah E:

jadi

Sekarang gunakan integrasi dengan bagian-bagian (Persamaan. 1.59) untuk mentransfer turunan dari E ke V

Tapi sehingga

(2.44)

Tapi volume apa yang kita integrasikan selanjutnya? Mari kita kembali ke rumus yang dimulaidengan, Persama. 2.43. Dari turunannya, jelas bahwa kita harus mengintegrasikan seluruh wilayahdi mana muatan berada. Tapi sebenarnya, setiap volume yang lebih besar akan melakukan apa saja yang baik: Wilayah "ekstra" akan memberikan tidak memberikan kontribusi apa-apa untuk integral, sejak = 0 di luar sana. Dengan pemikiran ini, mari kita kembali ke persamaan. 2.44. Apa yang terjadi di sini, seperti yang kita memperbesar volume luar minimum yang diperlukan untuk menangkap semua muatan? Nah, integral dari E2 hanya dapat hanya meningkatkan (integran menjadi positif); jelas integral permukaan harus menurun sejalan meninggalkan jumlah yang utuh. Bahkan, pada jarak yang besar dari muatan, E 1 / r2 dan V seperti 1 / r, sedangkan luas permukaan seperti r2. Secara kasar, kemudian, integral permukaan seperti 1/r. Perlu dimengerti Persamaan 2.44 memberi kamu energi W, apa pun volume yang kamu gunakan (asalkan membungkus semua muatan), tetapi kontribusi dari integral volume naik, dan bahwa dari integral permukaan turun,sebagaimana kamu mengambil volume yang lebih besar . Secara khusus. mengapa tidak mengintegrasikan seluruh ruang? Kemudian integral permukaan menuju nol, maka

(2.45)

Contoh 2.8Carilah energi kulit bola bermuatan seragam dimana total muatan q dan jari-jari R.Solusi 1: Gunakan Persamaan. 2.43, dalam versi yang sesuai untuk permukaan muatan:

Sekarang, potensial pada permukaan bola ini adalah (sebuah konstanta), sehingga

Solusi 2: Gunakan Persamaan. 2.45. Di dalam bola E = 0; di luar,

jadi

Sehubungan Dengan Itu,

2.4.4 Ulasan-Ulasan pada Energi Electrostatic (i) Ketidakkonsistenan yang membingungkan Persamaan 2.45 dengan jelas menyiratkan bahwa energi dari distribusi muatan stasioner selalu positif. Di sisi lain, Persamaan. 2.42 (dari mana2.45 sebenarnya diturunkan), bisa positif atau negatif. Misalnya, menurut persamaan 2.42, yangenergi dua muatan yang sama tetapi berlawanan terpisah pada jarak akan menjadi Apa yang salah? Persamaan mana yang benar?Jawabannya adalah bahwa kedua persamaan benar, tetapi mereka berhubungan dengan sedikit berbeda situasi. Persamaan 2.42 tidak memperhitungkan usaha yang diperlukan untuk membuat muatan titik pada tempat pertama; kami mulai dengan muatan titik dan menemukan usaha yang dibutuhkan untuk membawa mereka bersama-sama. Ini adalah kebijakan yang bijaksana, karena persamaan. 2.45 menunjukkan bahwa energi darimuatan titik sebenarnya tak terhingga:

Persamaan 2.45 lebih lengkap, dalam arti bahwa ia memberitahu kamu total energi yang tersimpan dalam konfigurasi muatan, tapi persamaan. 2.42 lebih tepat ketika kamu sedang berhadapan dengan muatan titik, karena kita lebih suka (untuk alasan yang baik!) untuk meninggalkan sebagian dari energi total yang disebabkan pembuatan titik biaya sendiri. Dalam prakteknya, setelahsemua, muatan titik (elektron) yang diberikan kepada kita siap pakai; semua yang kita lakukan adalah memindahkan mereka. Karena kita tidak menempatkan mereka bersama-sama, dan kita tidak bisa membawa mereka terpisah, itu adalah tidak penting berapa banyak pekerjaan proses akan melibatkan. (Namun, energi tak terbatas dari muatan titik adalah sumber berulang teori elektromagnetik, melanda versi kuantum serta klasik. Kita akan kembali ke masalah dalam Bab 1 1.)

Sekarang, kamu mungkin bertanya-tanya di mana inkonsistensi merayap ke dalam turunan kerapatan air. "Kerancuan" terletak di antara Persamaan. 2.42 dan 2.43: Dalam pembentuk, V (ri) merupakan potensial karena semua muatan lainnya yang bukan q, sedangkan di yang kedua, V (r) adalah potensial penuh. Untuk distribusi kontinu tidak ada perbedaan, karena jumlah muatantepat di titik r makin kecil, dan kontribusinya terhadap potensi adalah nol.

(ii) Dimana energi yang tersimpan? Persamaan 2.43 dan 2.45 menawarkan dua cara yang berbedamenghitung hal yang sama. Yang pertama adalah integral atas distribusi muatan; yang keduaadalah integral di atas medan. Ini melibatkan daerah yang sama sekali berbeda. Misalnya,dalam kasus kulit bola (Contoh. 2.8) muatan terbatas pada permukaan, sedangkan medan listrik hadir di mana-mana di luar permukaan ini. Dimana energi, maka? Apakah itudisimpan di medan, seperti persamaan. 2.45 tampaknya menunjukkan, atau itu disimpan dalam muatan, seperti persamaan. 2.43 menyiratkan. Pada tingkat ini, ini hanyalah sebuah pertanyaan yang tak terjawab: saya dapat memberitahu kamu apa itu energi total, dan saya dapat menyediakan beberapa cara yang berbeda untuk menghitungnya, tapi tidak perlu khawatir tentang di mana energi berada. Dalam konteks teori radiasi (Bab 11) sangat berguna (dan dalam Relativitas Umum adalah penting) menganggap energi sebagai disimpan pada medan, dengan massa jenis= energi per satuan volume. (2.46)

Tapi dalam elektrostatika dapat juga dikatakan itu disimpan dalam muatan, dengan massa jenis . Perbedaannya adalah murni masalah pembukuan.(iii) Prinsip superposisi. Karena energi elektrostatik adalah kuadrat dari medan, itu tidak mematuhi prinsip superposisi. Energi dari sistem senyawa bukanlah jumlah dari energi bagian-bagiannya dianggap terpisah-ada juga "istilah silang":

(2.47)Sebagai contoh, jika kamu memiliki dua kali muatan di mana-mana, kamu memiliki empat kali lipat energi total.