35

4. Predavanje

Rekapitulacija (Kroz ovo na predavanju sam proći, to je materijal za lakše snalaženje studentima prilikom rješavanja određenih problema) Navier-Stokesove jednadžbe Pregled mogućih pojednostavljenih problema dinamike viskoznog strujanja Izotermičko, laminarno, nestlačivo strujanje newtonskih fluida opisano je jednadžbom kontinuiteta i s tri komponente Navier Stokesovih jednadžbi, dakle s 4 parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDJ). Tlak i tri komponente brzine su nepoznata polja koja su u najopćenitijem slučaju funkcije vremena i prostornih koordinata. Ovaj sistem PDE ima analitičko rješenje za ograničene klase strujanja. Čak i u slučaju relativno jednostavnih strujanja unutar pravilnih geometrija, nelinearnost koju unosi konvektivni član isključuje mogućnost traženja analitičkog rješenja. To objašnjava vrlo proširenu upotrebu numeričkih metoda u Mehanici fluida. Proračunska dinamika fluida (Computational Fluid Dynamics-CFD) je stoga najbrže rastuća grana mehanika fluida, pogotovo razvojem sve jačih i jačih računala. U prethodnim predavanjima smo razmatrali nestlačiva strujanja određene kategorije fluida kod kojih se Navier Stokesove jednadžbe značajno pojednostavljuju i moguće ih je analitički riješiti. U tu kategoriju spadaju tako zvana jednosmjerna strujanja (unidirectional flow), to jest strujanja kod kojih je samo jedna komponenta brzine različita od nule. U tom slučaju nepoznanice su samo komponenta brzine i tlak, dakle dvije varijable, i u večini slučajeva ta dva nepoznata polja međusobno su nezavisna. Dakle, moguće je prvo naći brzinu koja je rješenje odgovarajuću komponentu Navier Stokesove jednadžbe, a tada proračunati polje tlaka. Druga poslijedica pretpostavke jednosmjernosti strujanja je, da je brzina funkcija najviše dviju prostornih varijabli, i eventualno vremena t. Pri stacionarnom, jednodimenzijskom jednosmjernom strujanju broj nepoznatih polja je jedan, nepoznata brzina. U tom slučaju PDE prelaze u običnu linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda, koja ima analitičko rješenje. Kategorizacija strujanja Strujanja pri kojima su strujnice pravocrtne:

0)( zyxx vv,yvv -jednodimenzijska pravolinijska strujanja

( ), 0z z rv v r v v - aksijalnosimetrična pravolinijska strujanja

Kod aksijalno torzionlnih strujanja strujnice su koncentrične kružnice: ( ), 0r zv v r v v

1. Stacionarna, jednodimenzijska pravolinijska strujanja Pravolinijsko strujanja, strujanje kod kojega su strujnice pravci. Opisuje se obično u Kartezijskom koordinatnom sustavu, izabranom tako da se jedna os poklapa sa smjerom strujanja. Ako je strujanje aksijalnosimetrično opisuje se u cilindarskom koordinatnom sustavu kod kojeg se os z poklapa s osi simetrije.

36

B

strujanje

Hz

x

y

Geometrija strujanja u kanalu pravokutnog poprečnog presjeka

Os x se poklapa sa smjerom strujanja. Dakle xv je jedina komponenta brzine različita od

nule, 0 zy vv (1)

Iz jednadžba kontinuiteta za nestlačivo strujanje ,

0

z

v

y

v

x

v zyx

slijedi

0

x

vx ,

što znači da se xv ne mijenja sa smjerom strujanja, tj. )(xvv xx

)( t,z,yvv xx (2)

zbog (1) i (2) x -komponenta N-S jednadžbi

xxxxx

zx

yx

xx f

x

p

z

v

y

v

x

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

2

2

2

2

2

2

(3)

reducira se u

xxxx f

x

p

z

v

y

v

t

v

2

2

2

2 (4)

Ako je strujanje stacionarno, tada od (4) ostaje

xxx f

x

p

z

v

y

v

2

2

2

20

Za većinu jednosmjernih strujanja može se pretpostaviti da je

2

2

2

2

z

v

y

v xx

,

i brzina xv se može smatrati samo funkcijom varijable y , tj.

)(yvv xx ,

pa gornja jednadžba postaje

37

02

2

x

x fx

p

y

v

Dakle problem se u tom slučaju svodi na običnu linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda

xx f

x

p

y

v

2

2

d

d

Gornja jednadžba se može direktno integrirati samo ako je

.constx

p

Opće rješenje je

212

x d

d

2

1)( CyCyf

x

pyv x

Konstante integracije određuju se iz rubnih uvjeta.

38

Tablica 1 Jednadžbe i opće rješenje za stacionarno, jednodimenzijsko pravolinijsko strujanje u Kartezijevim koordinatama

2. Stacionarno, jednodimenzijsko aksijalnosimetrično pravolinijsko strujanje

Aksijalnosimetrična strujanja se obično opisuju u cilindarskom koordinatnom sustavu ( , ,r z ). Os z se izabire tako da se poklapa sa osi simetrije strujanja. Aksijalnosimetričnosr pretpostavlja da nema promjene brzine s kutem ,

0v

(1)

Postoje tri važne klase aksijalnosimetričnog jednosmjernog strujanja (strujanja pri kojima je samo jedna od komponenta brzine, , ir zv v v različita od nule)

Pretpostavke:

.constx

p,

z

v,vv x

zy

00

Jednadžba kontinuiteta:

)(0 yvvx

vxx

x

Navier-Stokesove jednadžbe x -komponenta :

0d

d2

2

xx f

y

v

x

p

y -komponenta :

0

yfy

p

z -komponenta:

0

zfz

p

Opće rješenje:

Czfyfxx

pp

Cyfx

p

CyCyfx

pv

zy

xxyyx

xx

1

212

2

1

39

1. Aksijalnosimetrična pravolinijska strujanja, strujanja kod kojih je aksijalna komponenta brzine, zv , različita od nule. Strujnice su pravci. Tipični primjeri strujanje su potpuno razvijena strujanja, pod djelovanjem gradijenta tlaka, u cilindričnim cijevima i prstenima kao i slijevanje fluida niz cilindrične ili konične cijevi.

2. Aksijalnosimetrična torzjska strujanja, strujanja kod kojih je samo azimutna, v ,

komponenta brzine različita od nule. Strujnice su koncentrične kružnice sa središtem na osi simetrije. Ova strujanja su dobra aproksimacija za rotaciju fluida kao kruto tijelo, strujanja u rotacionim strojevima kao i za virovita strujanja, npr tornado.

3. Aksijalnosimetrična radijalna strujanja, strujanja kod kojih je samo radijalna komponenta brzine, rv , različita od nule. Ova strujanja su tipični modeli za radijalno strujanje kroz porozne tvari, gibanje ulja prema bušotinam, usisavanje fluida kroz porozne cijevi.

Kao što je već napomenuto, pri aksijalnosimetričnim pravolinijskim strujanjima 0rv v

Jednadžba kontinuiteta za nestlačivi fluid,

1 10,z

rv v

rvr r r z

postaje

0

z

vz .

Iz gornje jednakosti i uvjeta (1) slijedi ),( trvv zz

Uz gornje pretpostavke z -komponenta N.-S. Jednadžbi, 2 2

2 2 2

1 1( )z z z z z z z

r z zvv v v v v v v p

v v r ft r r z r r r zr z

postaje

zzz f

z

p

r

vr

rrt

v

)(1

Za stacionarno strujanje, )(rvv zz , pa gornja jednadžba postaje

0)d

d(

d

d1

zz f

z

p

r

vr

rr (2)

Jedina komponenta tenzora naprezanja različita od nule je

r

vzzrrz d

d

za određivanje koje imamo na raspolaganju jednakost

0)(d

d1

zrz frrrz

p

Ako je gradijent tlaka zp / konstantan, opće rješenje jednadžbe (2) je

212 ln

4

1CrCrf

z

pv zz

40

Konstate integracije 1C i 2C određuju se iz rubnih uvjeta.

Geometrija aksijalnosimetričnog Poiseuille-ovog strujanja

Tablica 2 Jednadžbe i opće rješenje za stacionarno, aksijalnosimetrično pravolinijsko strujanje

Pretpostavke:

0, 0, .zr

v pv v const

z

Jednadžba kontinuiteta:

)(0 rvvz

vzz

z

Navier-Stokesove jednadžbe z -komponenta :

0d

d

d

d1

zz f

r

vr

rrz

p

r -komponenta :

0

rfr

p

-komponenta:

01

fp

r

Opće rješenje:

212 ln

4

1CrCrf

z

pv zz

r

Crf

z

pzzrrz

1

2

1

),( rCzz

pp

0.),( ffzaconstrC r

)(rvv zz zr

r

z

R

41

3. Stacionarno, jednodimenzijsko aksijalnosimetrično torzijsko strujanja U aksijalnosimetričnom torzijskom strujanja, također poznatom i kao virovito strujanje

0 zr vv , strujnice su kružnice sa središtem na osi simetrije. Takovo strujanje obično nastaje kada čvrsta cilindrična granica (koncentrična s osi simetrije) rotira oko svoje osi. Zbog aksijalne simetričnosti, / 0 , pa je jednadžba kontinuiteta za nestlačivi fluid

1 10,z

rv v

rvr r r z

(1)

automatski zadovoljena. Ako se pretpostavi da je masena sila paralelna s osi simetrije,

zegf

od r i z - komponenata N.-S. jednadžbi ostaje

2v p

r r

(2)

0

gz

p (3)

r -komponenta N.-S. jednadžbe pokazuje da je centrifugalna sila na element fluida u ravnoteži s radijalnim gradijentom tlaka. z -komponenta je poznata jednadžba hidrostatike. Kao što se vidi nelinearni konvektivni član je ostao, no analitičko rješenje za brzinu v postoji. Ono će se dobiti iz -komponente N.-S. jd..

Ako se pretpostavi da je

0p

,

integracijom jednadžbe (3) slijedi ),( trCgzp

Odnosno gradijent tlaka, rp / nije funkcija varijable z . Tada, iz (2) zaključujemo da

( , )v v r t

Zbog gornje pretpostavke, -komponente N.-S. jd. se reducira u

1vrv

t r r r

Za stacionarno strujanje, dobiva se obična diferencijalna jednadžba

0d

d1

d

d

vrrrr

, čije je opće rješenje

21

Cv C r

r .

Aksijalnosimetrično torziono strujanje Geometrija kružnog Couette-ovog strujanja

2

1

1R 2R

r

42

Tablica 3 Jednadžbe i opće rješenje za stacionarno, aksijalnosimetrično torzijsko strujanje

4. Stacionarno, jednodimenzijsko aksijalnosimetrično radijalno strujanje Kod aksijalnosimetričnog radijalnog strujanja,

0zv v .

Strujnice su pravci okomiti na os simetrije (vidi sliku). Zbog jednostavnosti, pretpostavlja se da rv komponenta brzine ne ovisi ni od z koordinate. Dakle , za slučaj stacionarnog strujanja, rv je funkcija samo varijable r :

Pretpostavke:

0, 0, 0,r z zv p

v v f g e

Pretpostavlja se da je masena sila paralelna s osi simetrije

Jednadžba kontinuiteta: automatski je zadovoljena Navier-Stokesove jednadžbe -komponenta :

0d

d1

d

d

vrrrr

z - komponenta :

0

gz

p

r -komponenta: 2

( )v p

v v rr r

Opće rješenje:

21

22

2 2 21 2

1 2 2

2

2 ln2 2

r r

Cv C r

rC

r

C r Cp C C r gz C

r

z

y

x r

43

)(rvv rr . (1) Karakteristično za radijalno strujanje je to da se jedina komponenta brzine koja je različita od nule određuje iz jednadžbe kontinuiteta, a ne iz r -komponente zakona održanja količine gibanja. To povlači za sobom činjenicu da je komponenta brzine rv

nezavisna od viskoznosti fluida (odnosno rv ne zavisi od konstitutivnih relacija za fluid). Zbog (1) jednadžba kontinuiteta prelazi u

,0

rrvr

(2)

iz koje slijedi

r

Cvr

1 , (3)

gdje je 1C konstanta. Brzina rv se može također odrediti i iz makroskopske bilance mase. Ako je Q volumenski protok fluida po jedinici visine, L , tada

rL

QvrLvQ rr π2

)π2( , što je identično izrazu (2) za L

QC

π21 .

Ako se pretpostavi da je masena sila paralelna s osi z

zegf

, r -komponenta N.-S. jednadžbi postaje

r

p

r

vv r

r

d

d

Kako je vidljivo ova jednakost sadrži nelinearni konvektivni član. z i -komponente N.-S. jd. postaju

0

gz

p

0p

Iz posljednjih jednadžbi slijedi ),( zrpp . Integracijom ovih jednadžbi dobiva se

,2

),(

d1

dd

d),(

2

21

321

Cgzr

Czrp

Cgzrr

C

Cgzrr

vvzrp r

r

Konstanta integracije određuje se iz zadavanjem tlaka u točki. Pri aksijalnosimetričnom radijalnom strujanju postoje dvije komponente tenzora naprezanja

,2d

d2

21

r

C

r

vrrr

,2221

r

C

r

vr

.

44

Tablica 4 Jednadžbe i opće rješenje za stacionarno, aksijalnosimetrično radijalno strujanja 5. Stacionarno dvodimenzionalno pravolinijsko strujanje Kao što je ranije objašnjeno za pravolinijska strujanja u x smjeru ),( zyvv xx i

jednadžba količine gibanja reducira se u tzv. Poisson-ovu jednadžbu:

Pretpostavke:

0, 0, ( ),z r r zv

v v v v r f g e

Jednadžba kontinuiteta:

r

Cvrv

r rr10)(

d

d

Navier-Stokesove jednadžbe r -komponenta :

r

p

r

vv r

r

d

d

z -komponenta :

0

gz

p

-komponenta:

),(0 zrppp

Opće rješenje:

1

1 12 2

212

2 , 2

2

r

rr

Cv

rC C

r r

Cp gz C

r

45

xxx

xxx

fx

p

z

v

y

v

fx

p

z

v

y

v

11

ili

1

2

2

2

2

2

2

2

2

(1)

To je eliptička PDJ. Kako je xp / funkcija samo varijable x , a xv je funkcija varijabli

y i z , gornju jednakost je moguće zadovoljiti samo ako je xp / konstantno. Ukoliko ne vrijedi činjenica da je

2

2

2

2

z

v

y

v xx

treba zadržati oba člana u jednadžbi (1). U tom slučaju radi se o tako zvanom dvodimenzionalnom jednosmjernom strujanju. Postupak rješavanja prikazan je već ranije na primjeru strujanja kroz cijev kružnog i eliptičkog presjeka. Ponovimo još jednom postupak za slučaj strujanja kroz cijev eliptičkog presjeka. Poiseuilleovo strujanje u cijevi eliptičkog poprečnog presjeka Pretpostavimo da imamao potpuno razvijeno laminarno strujanje nestlačivog newtonskog fluida u beskonačno dugačkoj cijeli eliptičkog poprečnog presjeka, pod djelovanjem konstantnog gradijenta tlaka xp / . Masena sila se zanemaruje, pa jednadžba (1) postaje

1,1

2

2

2

2

2

2

2

2

b

z

a

yu

x

p

z

v

y

v xx

) (1)

su a i b poluosi eliptičkog poprečnog presjeka, vidi sliku. Brzina je nula na krutoj stijenci (granični uvjet na krutoj nepomičnoj stijenci), to jest rubni uvjet je

102

2

2

2

b

z

a

ynavx (2)

y

z

x

a

b

46

z

y

x

b

c

odnosno 01),(02

2

2

2

b

z

a

yzyfnavx

Budući da je zbog graničnog uvjeta (2) preko stijenke 0xv , to jest 0),( zyf ,

izražave se profil brzine u obliku

1),(),(

2

2

2

2

b

z

a

yCzyfCzyvx , (3)

Lako se pokazuje da izraz (3) postaje rješenje jednadžbe (1) kada C prima vrijednost

22

22

2

1

ba

ba

x

pC

(4)

(4) uvršteno u (3) daje za profilbrzine strujanja u cijevi eliptičkog presjeka

2

2

2

2

22

221

2

1),(

b

z

a

y

ba

ba

x

pzyvx

(5)

Poiseuilleovo strujanje u cijevi pravokutnog poprečnog presjeka Razmatramo stacionarno strujanje nestlačivog, newtonskog fluida, pod djelovanjem

konstantnog gradijenta tlaka x

p

u beskonačno dugačkoj cijev poprečnog pravokutnog

presjeka širine b2 i visine c2 .Strujanje je opisano Pissonovm jednadžbom

.1

2

2

2

2

x

p

z

v

y

v xx

(1)

Zbog postojanja simetrije u odnosu na ravnine 0y i 0z možemo razmatrati strujanje samo u prvom kvadrantu. Rubni uvjeti mogu se prikazati slijedećim relacijama

cznav

znaz

v

bynav

ynay

v

x

x

x

x

0

00

0

00

(2)

Jednadžba (1) može se pretvoriti u Laplaceovu jednadžbu uvođenjem supstitucije

47

0xv

0xv

),( cb 0

y

vx

0

z

vx

z

y

),(2

1),( '22 zyvzc

x

pzyv xx

(3)

Prvi član s desne strane jednakosti (3) predstavlja izraz za profil brzine pri strujanju između dvije beskonačne ravne ploče postavljene na cz . Uvrštenje izraza (3) u (1) vodi do

02

'2

2

'2

z

v

y

v xx (4)

Rubni uvjeti pri strujanja kroz cijev pravokutnog poprečnog presjeka Uvođenjem supstitucije (3) rubni uvjeti postaju

cznav

znaz

v

bynazcx

pv

ynay

v

x

x

x

x

'

'

22'

'

00

)(2

1

00

(5)

Rješenje gore definiranog problema je

,...2,1,2

π)12(

cos

cosh

cosh)1(

412

1),(

13

22

kk

c

z

c

b

c

y

c

zc

x

pzyv

k

k

k

k

k

k

k

x

(6)

Volumenski protok fluida dan je izrazom

15

3tanh

61

3

4

k k

k

c

b

b

cbc

x

pQ

(7)

48

033 ayz 033 ayz

032 az

y

yzPoiseuilleovo strujanje u cijevi trokutastog poprečnog presjeka Razmatramo stacionarno strujanje nestlačivog, newtonskog fluida, pod djelovanjem

konstantnog gradijenta tlaka x

p

u beskonačno dugačkoj cijev čiji poprečni presjek je

istostranični trokut stranica a .Ako se ishodište koordinatnog sustava postavi u težište trokuta tada tri stranice trokuta leže na pravcima,

033033,032 ayziayzaz . Strujanje je rješenja jednadžbe

.1

2

2

2

2

x

p

z

v

y

v xx

(1)

Budući da mora biti zadovoljen rubni uvjet da je brzina jednaka nuli na stijenci cijevi, pretpostavimo rješenje oblika

)33()33()32(),( ayzayzazAzyvx , (2)

gdje je A konstanta koja se određuje iz uvjeta da profil brzine (2) zadovolji jednadžbu (1). Diferenciranjem izraza (2) slijedi

azAz

viazA

y

v xx

32183218

2

2

2

2

što uvešteno u (1) vodi do rješenja

ax

pA

1

36

1

, pa za profil brzine strujanja dobivamo izraz

)33()33()32(1

36

1),( ayzayzaz

ax

pzyvx

Iz integrala profila po površini cijevi za volumenski protok se dobiva

4

320

3a

x

pQ

.

49

ZAKONI SLIČNOSTI U MEHANICI FLUIDA Uvod Zbog matematičke složenosti vrlo je malen broj problema dinamike viskoznog strujanja koji imaju egzaktna analitička rješenja. U drugoj grupi, zbog određenih odnosa i razlike u redu veličine između pojedinih fizikalnih veličina u prirodi pojave, dopušteno je da se zanemare pojedini članovi Navier-Stokesovih jednadžbi, pa se egzaktna analitička tako pojednostavljenih jednadžbi nazivaju približnim rješenjima zadataka viskoznog strujanja. Suvremena elektronička računala omogućila su da se problemi viskoznog strujanja direktno numerički rješavaju, npr. metodom konačnih diferencija, metodom konačnih volumena. Unatoč uspjesima koji su ostvareni teorijskim pristupom rješavanju zadataka dinamike viskoznog strujanja, glavni izvor osnovnih spoznaja i temelj razvoja i provjere teorije i teorijskih rješenja još su uvijek i dugo će ostati rezultati eksperimenta. EKSPERIMENT-TEORIJA-EKSPERIMENT-TEORIJA….

S eksperimentom je sigurno počelo. Na kraju, čitav ovaj svijet rezultat je jednog eksperimenta, koji se još uvijek odvija.

Eksperiment je priroda, pojava u prirodi. Eksperiment je ono što je sigurno točno. Eksperiment je istina.

A teorija je pokušaj prirode da shvati samu sebe. Teorija, to su napori uma. To je probijanje zidova koje je ispred sebe stavila priroda, da čovjek ne bi otkrio njene tajne. Teorija: to je priroda protiv prirode

S lakoćom, na očigled nas, tu ispred nas, priroda rješava obične i parcijalne, linearne i nelinearne diferencijalne jednadžbe, prvog i stotog reda. One iste jednadžbe, koje UM, također proizvod prirode, nije u stanju riješiti, tek jedva da ih je postavio.

Eksperiment, teorija, pa opet eksperiment, pa opet teorija, i t. d., pa opet et cetera, to je znanost: gledanje prirode i razmišljanje o prirodi, iz današnje njene manifestacije predskazati onu sutrašnju njenu manifestaciju, rastumačiti zašto se eksperiment odvija upravo tako kako se odvija.

Ali to nije zatvoreni krug, to nije igra skrivača po kružnoj stazi u ravnini. To je spirala prema gore: sve uži i uži krugovi, sve viši i viši od nultog nivoa znanja, sve bliže i bliže točki, ali još uvijek i tako daleko od nje da će još barem jedna tolika vječnost, kolika je već prošla, trebati proći dok se ta točka uhvati ……

(prof. dr. sc. Mladen Fancev, 1973) Zakoni sličnosti u mehanici fluida definiraju kriterije za provođenje eksperimenta. Na zakonima sličnosti zasnivaju se metode za generalizaciju eksperimentalnih rezultata i za

50

predviđanje toka prototipne pojave na temelju ispitivanja modela. U principu model može biti manji ili veći od prototipa. Velika je prednost da se u laboratoriju mogu kontrolirati i simulirati vanjski uvjeti u kojima se odvojaju pokusi s modelom. Kriteriji sličnosti Općenito se za dvije fizikalne pojave kaže da su slične, ako se veličine koje karakteriziraju jednu pojavu mogu odrediti iz odgovarajućih veličina druge pojave, uzetih u odgovarajućim prostorno-vremenskim točkama, jednostavnim množenjem faktorom jednakim za sve točke. Taj se faktor naziva koeficijent sličnosti i različit je za različite fizikalne veličine. Znači, za bilo koju skalarnu,vektorsku ili tenzorsku veličinu vrijedi

const.),','('),( CtxCtx ii je koeficijent sličnosti za tu veličinu

Moguće je definirati tri kategorije sličnosti. GEOMETRIJSKA SLIČNOST dvaju strujanja određena je geometrijskom sličnošću granica strujanja.

.,' constCxCx LiLi koeficijent sličnosti za duljinu

.,' constCxCt tit koeficijent sličnosti za vrijeme

KINEMATIČKA SLIČNOST dvaju strujanja sadržava uvjet da se vektori brzina u odgovarajućim prostorno-vremenskim točkama razlikuju samo u skalarnom faktoru, konstantnom i jednakom u čitavom području strujanja.

.,' constCvCv vivi koeficijent sličnosti za brzinu

DINAMIČKA SLIČNOST dvaju strujanja postavlja uvjet da se vektori masenih i površinskih sila u odgovarajućim prostorno -vremenskim točkama razlikuju samo u skalarnom faktoru, konstantnom i jednakom u čitavom području strujanja. Npr.

.,'

.,'

.,'

.,'

constCC

constCC

constCpCp

constCfCf

pp

fifi

51

Razmotriti će se uvjeti hidrodinamičke sličnosti izotermičkog viskoznog strujanja nestlačivog fluida konstantne viskoznosti (viskoznog, nestlačivog toplinski nevodljivog fluid).

..,,,0. constTconstconst v

Jednadžba kontinuiteta i Navier-Stokesove jednadžbe za dvije slične pojave, napisane u indeksnoj notaciji

0

j

j

x

v

jj

i

ii

j

ij

i

xx

v

x

pf

x

vv

t

v

2

(1)

0'

'

j

j

x

v

''

'2

''

'

''

''

''

'jj

i

ii

j

ij

i

xx

v

x

pf

x

vv

t

v

(2)

Ako se u jednadžbi (1) gustoća, viskoznost, tlak…. izraze preko koeficijenata sličnosti, slijedi

0'

'

j

j

L

v

x

v

C

C

''

'2

2''

'

''

2''

''

jj

i

L

v

iL

pif

j

ij

L

vi

t

v

xx

v

C

CC

x

p

C

CfCC

x

vv

C

CC

t

v

C

CC

(3)

Iz (3) i (2) direktno slijedi

2

2

L

v

L

pf

L

v

t

v

C

CC

C

CCC

C

CC

C

CC

(4)

Dijeljenjem izraza (4) s L

v

C

CC 2 slijedi

122

Lvv

p

v

Lf

vt

L

CCC

C

CC

C

C

CC

CC

C

Kako je općenito, za bilo koje fizikalno svojstvo

)',( MPM

PMP CC

dobivaju se uvjeti hidrodinamičke sličnosti beskonačne obitelji sličnih strujanja:

ShidemShvt

L

tv

L

tv

L

MM

M

PP

P ., (Strouhal)

52

FridemFrgL

v

Lg

v

Lg

v

MM

M

PP

P ., (Froude)

EuidemEuv

p

v

p

v

p

MM

M

PP

P .,

2

1

2

1

2

1 222

(Euler)

.idemRevLvLLvLv

M

MMM

P

PPP

(Reynolds)

Kriteriji (značajke, brojevi) sličnosti u mehanici fluida

NAZIV SIMBOL DEFINICIJA Odnos sila

Reynoldsov broj

Re, Rn

vLDvvL sr ,, inercijskesile

viskoznesile

Froudeov broj Fn, Fr gL

v

gL

v 2

, inercijskesile

gravitacijskesile

Strouhalov broj

Sh v

nD

vt

L,

lokalna promjena

konvektivna promjena

Eulerov broj Kavitacijski

broj Eu 22

0

2

1,

2

1v

pp

v

p v

sile tlaka

inercijske sile

Machov broj M, Ma p

v

c

v, inercijskesile

sile stlačivanja

Weberov broj Wb, We L

v

inercijskesile

sile površinske napetosti

Prandtlov broj Pr

pc transportno svojstvo fluida

53

“Zavisni” bezdimenzionalni koeficijenti u mehanici fluida

NAZIV SIMBOL DEFINICIJA

Koeficijent otpora CR; Cx; CD Av

R2

21

; Av

Rx2

21

; Av

D2

21

Koeficijent uzgona Cy; CL Av

Ry

221

; Av

L2

21

Koeficijent (površinskog) trenja w

C ; Cf 221 v

w

Koeficijent tlaka Cp 221

v

pp

Koeficijent momenta CM LAv

M

221

Koeficijent otpora trenja u cijevima

gv

DL

fh

2

2;

221

Δ

v

p

DL

f

Parametri sličnosti iz fizikalnih argumenata Parametre sličnosti moguće je dobiti i na način da se značajne veličine strujanja prikažu u bezdimenzijskom obliku. Da bi odredili značajne veličine u strujanju koristimo fizikalne argumente. Parametri sličnosti dobiti će se iz omjera sila. Prvo definiramo vrstu sila koja ima dominantnu značajku. Parametri sličnosti su samo omjer tih sila. Definiramo vrstu sila koje djeluju na česticu fluida:

Inercijalna sila 222

3 LUL

ULjaakceleracimasa

Viskozna sila ULLL

Upovršina

y

v

2

Gravitacijska sila gLagravitacijmasa 3

Sila tlaka 20 )( Lpp v

Za sličnost strujanja, na čestice moraju djelovati sile čije rezultante su u odgovarajućim prostorno vremenskim točkama istog smjera. Dakle, slijedeći omjeri moraju biti jednaki

, ReULUL

UL

LU

silaviskozna

silaainercijaln

22

54

FrgL

U

gL

LU

silaskagravitacij

silaainercijaln

2

1

3

222

1

2

0

22

20

1

2

1

2

12

1

U

pp

LU

Lpp

tlakasila

sileeinercijalnvv

Važnost pojedinih kriterija sličnosti Parametri sličnosti označavaju da li različiti sistemi imaju slična svojstva strujanja. Parametri sličnosti daju smjernice za aproksimaciju kompleksnih fizikalnih problema. Primjer Profil duljine L uronjen je u fluid gustoće i dinamičkog koeficijenta viskoznosti . Profil se giba brzinom U pod djelovanjem gravitacijske sile g . Odredite hidrodinamičku silu F koja djeluje na profil. Kriteriji sličnosti za ovaj problem su

20

2

, , , ,1

2

vp pL U L U ULSh We Fr Re

UT gLU

Definiramo bezdimenzijski koeficijent sile:

2 2

¨1

2

F

FC

U L

Koeficijent sile funkcija je bezdimenzijskih parametara

g F

U

L

55

),,,,(),,,,( 111 ReFrWeShCCiliReFrWeShCC FFFF Postupak: Razmotrimo prvo pod kojim će uvjetima svaki kriterij sličnosti SP (similarity parameters)0 Odredimo FC iz uvjeta da svi SP0.

1. Strouhalov broj L

ShUT

.

Promjena Strouhalova broja uz zadržavanje fiksnih ostalih parametara, 1 1 1( , , , )We Fr Re

Ako je 1Sh možemo prihvatiti činjenicu da je strujanje stacionarno: 0t

.

Ako je 1Sh efekt nestacionarnosti je dominantan. Npr., za 10mL i 10m/sU nestacionarni učinci se mogu zanemariti ako je

1 1 1sL L

Sh T TUT U

Dakle, ako je 1sT vrijedi 0Sh i može se prihvatiti da je strujanje stacionarno. Prema tome za stacionarno strujanje:

),,,(,

),,,,0(111

111

ReFrWeCC

ReFrWeShCC

FF

FF

2. Kavitacijski broj 0

21

2

vp p

U

Promjena 1 uz zadržavanje fiksnih ostlaih parametara, ),,,0( 11 ReFrWeSh Ako je 1 , postoji kavitacija. Ako je 11 1 , ne će biti kavitacije. Općenito do pojave kavitacije će doći pri velikim brzinama ili kada je vpp 0 .

Npr., pretpostavimo gibanje gore spomenutog profila u vodi gustoće 3 310 kg/m .

Karakteristični tlak je 5 2 3 20 10 N/m a tlak isparavanja vode 10 N/mvp p .

2

1 0

0

121 1 14 m/s

12

v

v

U p pU U

p p

Dakle do pojave kavitacije ne će doći ako je brzina gibanja 14m/sU . U tom slučaju imamo stacionarno, ne-kavitirajuće strujanje:

),,(),,,0,0( 11111 ReFrWeCCReFrWeCC FFFF

3. Weberov broj 2U L

We

Promjena 1We uz zadržavanje fiksnih ostalih parametara, ),,0,0( 11 ReFrSh

56

U U

Ako je 1We utjecaj površinske napetosti je značajan. Ako je 11 1We We utjecaj površinska napetost nije značajan. Npr., Pretpostavimo da se profil giba u vodi brzinom od 1m/sU u blizini slobodne

površine iznad koje je zrak (gustoća vode 3 310 kg/m , koeficijent površinske napetosti 0.07 N/m ).

Površinska napetost se može zanemariti ako je

1 52 2

1 1 7 10 mWe L LU L U

Dakle u slučaju stacionarnog, ne-kavitirajućeg strujanja uz zanemarenje površinske napetosti vrijedi

),(),,0,0,0( 111 ReFrCReFrWeCC FFF

4. Froudeov broj, mjera gravitacijskih utjecaja U

Frgh

Promjena Fr uz zadržavanje fiksnih ostalih parametara,

),0,0,0( 111 ReWeSh

Gravitacijski utjecaji nisu značajni kada je 0 FrghU . To je slučaj kada je

slobodna površina odsutna (nema slobodne površine) daleko neporemećena (nema valova) Slijedeće skice ilustriraju slučajeve kada se gravitacijski učinci mogu zanemariti Zatvoreni kanal, nema slobodne površine

Mala brzina 0Fr , nema valova

stijenkakrutapovrsinaslobodna

g

Velika brzina U , nema valova

0, gFr

Duboko uronjeno tijelo, nema valova

0, Frh

U h

U

57

U bilo kojem gore spomenutom slučaju Froudeov broj nije značajni parametar.Dakle, za stacionarno, nekavitirajuće strujanje uz zanemarivanje utjecaja površineske napetosti i gravitacijskih učinaka vrijedi

)()Re,0,0,0,0( 11 ReCCFrCC FFFF

5. Reynoldsov broj

ULRe

1Re Stokesov zakon (creeping flow)

kritReRe Laminarno strujanje

kritReRe Turbulentno strujanje

Re Idealni fluid Dakle, za slučaj staconarnog, nekavitirajućeg strujanja uz zanemarivanje površinske napetosti i gravitacijskih učinaka, u idealnom fluidu

0.)0,0,0,0,0( constCC FF . To je tako zvani D'Alembert-ov paradoks. Pri gibanju tijela u idealnom fluidu dovoljno daleko od slobodne površine nema sile otpora. Modelska ispitivanja Učinci realnog viskoznog fluida ( 0 ) Ukupni otpor pri gibanju tijela kroz viskozni fluid može se rastaviti na dvije komponente: otpor tlaka ili otpor forme i otpor trenja ili viskozni otpor Ukupni otpor Otpor tlaka,

otpor forme Otpor trenja, viskozni otpor

Snp d

St d

n

i t

su jedinični vektor normale odnosno tangente na površini tijela. p i su normalna odnosno viskozna naprezanja. Koraci pri modelskim ispitivanjima

a. Provesti eksperiment s glatkim modelom pri ( )M M PRe Re Re i izmjeriti otpor

modela DMC . b. Proračunati otpor tlaka (forme) modela prema izrazu

( )PM DM fM M PS PC C C Re C C , DMC je izmjereni ukupni koeficijent otpora

modela a ( )fM MC Re je otpor trenja modela koji se računa.

c. Proračunati ukupni koeficijent otpora broda (prototipa) , ( )DS P fS SC C C Re

d. Ako je potrebno dodati dodatak za hrapavost fC .

Oprez: Pri eksperimentu se mora osigurati isti režim strujanja kao i u prototipnoj pojavi. Ako je granični sloj turbulentan onda i u eksperimentu mora biti turbulentan.

58

Otpor broda Za tijela koje se gibaju u blizini slobodne površine, važan parametar je Froudeov broj zbog efekta valova. Zbog toga je koeficijent otpora broda funkcija i Reynoldsova i Froudeova broja. ( , )t tC C Re Fn

Istovremeno je nemoguće zadovoljiti ova dva kriterija. Naime ako je

1

1/ 2 1/ 2

1 1/ 2 1/ 2

3 / 2

3 / 2

1

. 10 10 31.6, 0.032 što je nemoguće osigurati

S S S MM M MM S L

M S S M S

SM M M MM S L g

S S SM M S S

L L g

g

L

ML

S

v L Lv L vRe Re C C

v L

vv v L gFr Fr C C

v L gg L g L

C C C C

uz C

C C

npr za C C

Ili ako se stavi 1, (isti fluid za model i prototip)M SC odnosno

i npr. 10.0LC

slijedi 3 1000g L M SC C g g što je neostvarivo

Froudeova hipoteza

otporpreostali

indirektnomjerenjem

r

epovroplakaneneekvivalent

plocuravnuza

seracuna

ftt FrCReCFrReCC

)(

sin

)()(),(

Prema Froudeovoj hipotezi ukupni koeficijent otpora se sastoji od dva dijela, fC ,

poznata funkcija od Re , i RC , preostali otpor koji ovisi samo o Fr . Eksperiment se u tom slučaju provodi samo da bi se (indirektno) odredio koeficijent preostalog otpora. Prema tome, prilikom ispitivanja modela broda zadržavamo jednakost Froudeovih brojeva, da bi odredili preostali otpor, dok otpor trenja računamo.

59

PREDSKAZIVANJE REZULTATA ZA BROD NA OSNOVI ISPITIVANJA MODELA

U BAZENU Razbijanje ukupnog otpora na otpor valova i viskozni otpor

(S=’brod’ M=’model’; općenito M S i M S )

Pretpostavka: za brod i geometrijski sličan model ostvaruje se jednakost Froudeovih brojeva, tj. S MFr Fr Fr . U tom slučaju viskozne pojave na brodu nisu

hidrodinamički slične onima na modelu broda ( , ) ( , ) ( , )t S WS S vS SC Fr Re C Fr Re C Fr Re , wC koeficijent otpora valova, vC koeficijent

viskoznog otpora. Ako se zanemari utjecaj viskoznosti na otpor valova slijedi

( , ) ( , )wS S wM MC Fr Re C Fr Re

Dakle ( , ) ( , ) ( , ) ( , )tS S tM M vM M vS SC Fr Re C Fr Re C Fr Re C Fr Re

Za određivanje ukupnog otpora broda tSC iz gornjeg izraza potrebno je

mjerenjem u bazenu odrediti koeficijent ukupnog otpora modela tMC

odrediti koeficijente viskoznog otpora broda vSC i modela vMC .

Polazeći od činjenice da viskozni otpor zavisi i o Reynoldsovom i o Froudeovom broju predložen je slijedeći postupak određivanja ove komponente otpora

( , ) (1 ) ( ) ( )v fC Fr Re k f Fr C Re

gdje je k faktor forme koji predstavlja odnos viskoznog otpora i otpora trenja ravne ploče

( )f Fr funkcija određena iz mjerenja u vrtložnom tragu

( )fC Re koeficijent otpora trenja ekvivalentne ravne glatke ploče čoja je duljina

jednaka duljini broda, a površina jednaka oplakanoj površini broda u mirovanju