ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

ПО ППП С ПРИМЕРАМИ Часть 1

Учебно-методическое пособие

Составитель О.И. Иванищева

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2008

2

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной мате-матики, информатики и механики 19 октября 2007 г., протокол № 2 Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент каф. технической кибернетики и автоматического регулирования Т.А. Радченко Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре теоретической и прикладной механики факультета ПММ Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 3 курса и магистров. Для специальности: 010500 – Механика

3

Содержание

1. Обработка экспериментальных данных в среде MathCAD................. 4 1.1 Интерполяция ................................................................................... 4

1.1.1 Линейная интерполяция Лабораторная работа № 1................................................................. 4 1.1.2 Интерполяция кубическими сплайнами Лабораторная работа № 2................................................................. 5 1.1.3 Интерполяция В-сплайнами Лабораторная работа № 3................................................................. 5 1.1.4 Двухмерная сплайн-интерполяция Лабораторная работа № 4................................................................. 7

1.2 Экстраполяция Лабораторная работа № 5 ...................................................................... 9 1.3 Регрессия ......................................................................................... 10

1.3.1 Линейная регрессия Лабораторная работа № 6............................................................... 10 1.3.2 Полиномиальная регрессия Лабораторная работа № 7............................................................... 11 1.3.3 Многомерная полиномиальная регрессия Лабораторная работа № 8............................................................... 14

1.4 Аппроксимация элементарными функциями Лабораторная работа № 9 .................................................................... 15 1.5 Аппроксимация функциями, заданными пользователем. Лабораторная работа № 10 .................................................................. 17 1.6 Оценка точности аппроксимирующей функции Лабораторная работа № 11 .................................................................. 19

2. Вопросы для самопроверки .................................................................. 21 Литература .................................................................................................. 23

4

Методическое пособие предназначено для проведения лабораторных работ по обработке экспериментальных данных с использованием возмож-ностей системы математических расчетов MathCAD. В первой части со-держатся задания по лабораторным работам с подробным указанием по-рядка выполнения, а также методические рекомендации и замечания. Из-ложение сопровождается примерами выполнения. Во второй части дается краткое описание методов и используемых функций. В третьей части представлен перечень вопросов, позволяющих проводить самоконтроль при освоении методов обработки результатов измерений.

1. Обработка экспериментальных данных в среде MathCAD Результаты измерений представляют собой дискретный набор точек

на плоскости или в пространстве. Для анализа таких результатов необхо-димо построить непрерывную кривую (или поверхность для двухмерных данных), которая отражала бы закономерности поведения реальной физи-ческой зависимости.

Для анализа экспериментальных зависимостей и приведения их к на-глядному виду часто используют такие средства, как интерполяция, сгла-живание и аппроксимация. Иногда для анализа зависимости необходимо найти ее Фурье-компоненту.

1.1. Интерполяция Система MathCAD позволяет проводить линейную интерполяцию и

сплайн-интерполяцию экспериментальных данных с помощью функций в категории Interpolation and Prediction. Вызвать эти функции можно с по-мощью команды меню Insert=>Function.

1.1.1. Линейная интерполяция Лабораторная работа № 1 Задание и порядок выполнения • Создать векторы vx и vy, содержащие координаты эксперимен-

тальных точек x и y. • Пересортировать массивы vx и vy так, чтобы значения элементов

вектора vx расположились в порядке возрастания. Для этого ис-пользовать функцию W csort V 0,( ):= . Пример сортировки пред-ставлен на рис. 1.

• Провести линейную интерполяцию набора экспериментальных точек, используя функцию linterp vx vy, x,( ).

5

Рис. 1. Сортировка набора точек Пример линейной интерполяции представлен на рис. 2. 1.1.2. Интерполяция кубическими сплайнами Лабораторная работа № 2 Задание и порядок выполнения • Провести сортировку элементов массивов экспериментальных

данных. • Построить кубические сплайны, используя функции

o lspline(vx,vy), o plspline(vx,vy), o cspline(vx,vy).

• Сравнить результаты интерполяции. Пример построения кубического сплайна представлен на рис. 3. 1.1.3. Интерполяция В-сплайнами Лабораторная работа № 3 Задание. 1) Построить интерполяционную кривую для выбранных

массивов экспериментальных данных, иcпользуя функцию bspline (vx,vy,u,n). Ее аргументы vx,vy – векторы, содержащие координаты экспе-риментальных точек, u – вектор с координатами точек сшивки, n – порядок интерполирующих полиномов.

2) Сравнить результаты интерполяции В-сплайнами и кубическими сплайнами.

6

Порядок выполнения: • Провести сортировку элементов массивов экспериментальных

данных. • Выбрать порядок интерполирующего полинома n (1,2,3). • Определить точки сшивки и создать вектор u. • Обратится к функции В-сплайн и получить первый аргумент v1

функции interp(v1,vx,vy,x),x). • Обратиться к функуции lspline(vx,vy) и получить первый аргу-

мент функции interp(v2,vx,vy,x). • Построить интерполяционные кривые на одной сетке. • Сравнить результаты. Пример представлен на рис. 4.

Рис. 2. Линейная интерполяция

7

Замечание. Пользоваться В-сплайнами следует в тех случаях, когда не удается получить удовлетворительный результат с помощью кубиче-ского сплайна, так как подбор точек сшивки может потребовать боль-ших затрат времени и не привести к хорошему результату.

1.1.4. Двухмерная сплайн-интерполяция Лабораторная работа № 4 Задание. Построить интерполяционную поверхность для экспери-

ментальных зависимостей, представленных в виде функции двух перемен-ных. Использовать функции lspline, plspline, cspline и interp.

Рис. 3. Пример построения кубического сплайна

Порядок выполнения. Так как интерполяционная поверхность мо-

жет быть построена только в случае, когда значения заданы в узлах прямо-угольной сетки, то следует:

8

• Представить экспериментальные данные в виде квадратной мат-рицы В размерности n.

Создать матрицу А из двух столбцов и n строк. Каждый столбец мат-рицы А задает положение линий сетки по одной из координат.

Рис. 4. Результаты интерполяции с помощью кубического и В-сплайна

• Воспользоваться одной из функций lspline(А,В), plspline(А,В),

cspline(А,В) и получить вектор v – первый аргумент функции in-

terp(v,А,В,w). Здесь ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

w и x, y – значения координат узлов сетки.

9

• Воспользоваться функцией interp ),,,( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yx

BAv для вычисления значе-

ний интерполяционной поверхности в точках с координатами (x,y).

Замечание. Элементы матрицы А не обязательно задавать с оди-наковым интервалом. Но они обязательно должны располагаться в по-рядке возрастания.

1.2. Экстраполяция Лабораторная работа № 5 Задание. Провести экстраполяцию одномерной экспериментальной

зависимости. Порядок выполнения. • Создать вектор v экспериментальных значений функции, распре-

деляя точки равномерно. • Выбрать величину m, указывающую количество элементов векто-

ра v, ближайших к правой границе. • Указать величину n – количество точек на промежутке экстрапо-

ляции. • Получить вектор, задающий значения функции справа от границы

экспериментальных данных в n точках. Для этого обратиться к встроенной функции predict(v,m,n).

• Сравнить результаты экстраполяции с помощью функции pre-dict(v,m,n) и кубического сплайна.

Пример выполнения представлен на рис. 6. Замечание. 1) Проводить экстраполяцию можно и с помощью куби-

ческих сплайнов, но на очень малом расстоянии от границы экспериме-тальных данных.

2) Для непериодических зависимостей удовлетворительный резуль-тат при использовании функции predict(v,m,n) получается редко и только на небольшом расстоянии [1].

10

Рис. 5. Пример двухмерной интерполяции кубическим сплайном

Рис. 6. Пример экстраполяции с помощью функции predict

1.3. Регрессия

1.3.1. Линейная регрессия Лабораторная работа № 6 Задание. Провести линейную регрессию экспериментальных данных по методу наименьших квадратов и методу медиан. То есть опреде-лить значения параметров a и b, чтобы прямая y a b x= + ⋅ наилучшим образом аппроксимировала заданный набор точек. Порядок выполнения. • Создать массивы vx и vy, содержащие значения координат экспе-

риментальных данных. • Провести сортировку.

11

• Использовать функцию line(vx,vy), результатом которой является вектор, содержащий последовательные значения параметров a и b.

• Построить регрессионную прямую на одной координатной пла-скости с экспериментальными точками (см. рис. 6).

• Оценить визуально качество регрессионной модели. • Использовать функции intercert(vx,vy) и slope(vx,vy). Первую –

для определения коэффициента a, вторую – для нахождения ко-эффициента b.

• Использовать функцию medfit(vx,vy), основанную на методе ме-диан. Сравнить результаты работы функций line(vx,vy) и inter-cert(vx,vy), slope(vx,vy), medfit(vx,vy).

Рис. 7. Пример линейной регрессии с помощью функции line Замечание. Метод наименьших квадратов является наиболее уни-

версальным, и функция line(vx,vy) считается в MathCAD основной функци-ей для проведения линейной регрессии.

1.3.2. Полиномиальная регрессия Лабораторная работа № 7

Задание. Провести регрессию экспериментальных данных, описы-вающих функцию одной переменной, с помощью полинома третьей степе-ни. Использовать функции loess(vx,vy,span), regress.

Порядок выполнения.

12

• Создать массивы vx и vy, содержащие значения координат экспе-риментальных данных.

• Провести сортировку. • Выбрать значение n = 3. • Обратиться к функции regress(vx,vy,n) и получить первый аргу-

мент функции interp(v,vx,vy,x). • Построить на одной координатной сетке экспериментальные точ-

ки и регрессионную кривую. • Сравнить результаты. Пример см. на рис. 8. • Использовать функцию loess (vx,vy,span). • Использовать результат этой функции в качестве первого аргу-

мента функции interp и построить регрессионную кривую, со-стоящую из отрезков полиномов второй степени. Пример см. на рис. 8.

Рис. 8. Результат использования полиномиальной регрессии На рис. 8 построена псевдоэкспериментальная последовательность

точек. В качестве теоретической функции выбран полином третьей степе-ни с коэффициентами 0,1–2,1.

Как видно, коэффициенты, рассчитанные с помощью функции regress, значительно отличаются от коэффициентов исходного полинома. Однако в области экспериментальных точек обе кривые достаточно близ-

13

ки. За пределами этой области кривые резко расходятся. Результат такой регрессии не стоит использовать для определения параметров теоретиче-ской зависимости или экстраполяции.

Рис. 9. Пример аппроксимации набора точек функциями loess и plspline На рис. 9 приведен результат сплайн-интерполяции с помощью

функции loess. Как видно, интерполяционная кривая значительно отлича-ется от теоретической, а регрессионная кривая дает более приемлемый ре-зультат.

Замечание. Выбирать значение параметра span можно по-разному.

Если выбрано значение span больше двух, то кривая не будет отличаться от результата функции regress со значением параметра n = 2. Если вы-брано маленькое значение, то результат может мало отличаться от интерполяционной кривой, а при очень маленьких значениях span будет выдано сообщение об ошибке. В реальных задачах для достижения наи-лучшего результата значение span приходится подбирать.

14

1.3.3 Многомерная полиномиальная регрессия Лабораторная работа № 8 Задание. Построить аппроксимирующую поверхность для двухмер-

ных экспериментальных зависимостей на основе двухмерной полиноми-альной регрессии. Использовать функции regress и loess в комбинации с функцией interp.

Порядок выполнения. • Чтобы воспользоваться функцией regress, массивы координат то-

чек vx и vy надо объединить в один массив Мxy. Первый столбец этого массива содержит координаты x, а второй – соответствую-щие значения координаты y.

• Выбрать порядок n регрессионной полиномиальной поверхности. • Получить первый аргумент функции interp. Для этого воспользо-

ваться функцией regress(Мxy,vz,n). Здесь vz – массив значений исследуемой функции.

• Построить поверхность, описывающую двухмерную эксперимен-тальную зависимость.

• Построить поверхность, являющуюся результатом двухмерной полиномиальной регрессии.

• Сравнить полученные результаты. • Чтобы воспользоваться функцией loess(Мxy,vz, span), выбрать

значение параметра span, контролирующего сложность аппрок-симирующей поверхности.

• Использовать результат функции loess в качестве первого аргу-мента функции interp.

• Построить поверхность, являющуюся результатом двухмерной полиномиальной регрессии.

• Сравнить результаты применения функций regress и loess. Пример выполнения представлен на рис. 10. Замечание. Необходимо соблюдать связь между максимально воз-

можным порядком полиномиальной поверхности и количеством точек в выборке. Количество точек должно быть не меньше, чем количество па-раметров в уравнении поверхности. Для полиномиальной поверхности по-рядка n количество параметров равно ( )1 ( 2) / 2n n+ ⋅ + .

Проводить регрессию с помощью функции loess можно не выше, чем для четырехмерных зависимостей. При этом использование функции re-gress не имеет ограничений. Нужно помнить только, что количество то-чек в выборке должно превышать количество коэффициентов в полиноме.

15

1.4. Аппроксимация элементарными функциями Лабораторная работа № 9

Задание. Провести регрессию экспериментальных данных с помощью o экспоненциальной функции, o логистической функции, o синусоидальной функции, o логарифмической функции, o упрощенной двухпараметрической логарифмической функции, o степенной функции.

Рис. 10. Полиномиальная регрессия двухмерной экспериментальной зависимости

Порядок выполнения. • Создать массивы данных vx и vy. • Выбрать регрессионную функцию. • Задать трехкомпонентный вектор vg, содержащий приблизитель-

ные значения параметров a, b, c, входящих в аппроксимирующую функцию.

16

• Обратиться к регрессионной функции и получить вектор опти-мальных коэффициентов аппроксимирующей функции.

• Построить в одной системе координат набор экспериментальных точек и регрессионную кривую.

• Сравнить результаты регессии при различных вариантах вектора vg. На рис. 11 приведен пример проведения экспоненциальной регрес-

сии с помощью функции expfit(vx,vy,vg)). Регрессия проведена при двух различных значениях параметра vg. Как видно, выбор вектора vg2 приво-дит к неудовлетворительному результату, а vg1 дает правильный ответ.

Рис. 11. Проведение экспоненциальной регрессии

17

Рис. 12. Аппроксимация с помощью функции linfit На рис. 12 представлен пример аппроксимации с помощью функции

linfit. Обрабатывалась псевдоэкспериментальная последовательность точек с логарифмической зависимостью. Полученная регрессионная кривая дос-таточно хорошо аппроксимирует заданную последовательность точек.

1.5. Аппроксимация функциями, заданными пользователем Лабораторная работа № 10 Задание. Провести аппроксимацию одномерной экспериментальной

функции элементарными функциями. Рассмотреть два случая. В первом случае регрессионная функция представляет линейную

комбинацию заданных функций. То есть регрессионная функция является линейной по всем параметрам. Использовать встроенную функцию lin-fit(vx,vy,F). (Описание см. в 2).

18

Во втором случае провести регрессию общего вида. Т.е. с использо-ванием произвольной функции, зависящей от любого числа параметров. Использовать функцию genfit(vx,vy,vg,F). (Описание см. в 2).

Порядок выполнения. • Создать векторы vx и vy.

Определить третий аргумент функции linfit(vx,vy,F). Это вектор-ная функция, из элементов которой должна быть построена ли-нейная комбинация, наилучшим образом аппроксимирующая за-данную последовательность точек.

• Обратившись к функции linfit, получить вектор линейных коэф-фициентов F. Каждый элемент этого вектора – коэффициент при функции, стоящей на соответствующем месте в векторе F.

• Получить регрессионную функцию. Для этого скалярно перемно-жить векторы F и F.

• Построить на одной координатной плоскости множество экспе-риментальных точек и аппроксимирующую кривую.

• Провести регрессию общего вида и построить регессионную кри-вую (см. 2).

• Сравнить результаты аппроксимации с помощиью функций linfit и genfit.

Примеры выполнения представлены на рис. 12, 13.

19

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

vy

q x( )

y x( )

vx x, Рис. 13. Регрессия общего вида

1.6. Оценка точности аппроксимирующей функции Лабораторная работа № 11 Задание. Сравнить точность логарифмической и линейной аппрок-

симации экспериментальных данных. Порядок выполнения. • Произвести оценку среднеквадратического отклонения экспери-

ментальных данных от аппроксимирующих функций. Для этого использовать встроенную функцию stderr(vr,vy). Здесь перемен-ная vy содержит экспериментальные данные, переменная vr – значения регрессионной функции.

• Сравнить результаты для логарифмической и линейной функций. Произвести оценку коэффициента корреляции между массивом экспериментальных данных и значениями регрессионной функ-ции. Для вычисления этого коэффициента можно воспользоваться встроенной функцией corr(vr,vy). Чем ближе данный коэфициент к единице, тем лучше выбранная функция аппроксимирует экспе-риментальные данные.

Пример использования функций stderr(vr,vy) и corr(vr,vy) представ-

лен на рис. 14.

20

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

vy

q x( )

y x( )

vx x, Рис. 14. Использование функции genfit

21

Рис. 15. Сравнение точности линейной и логарифмической функций 2. Вопросы для самопроверки

1) Что называется интерполяцией? 2) Какие виды интерполяции представлены в MathCAD? 3) Зачем нужна функция interp? 4) Какая функция используется для проведения линейной интер-

поляции? 5) Какую роль играет порядок координат вектора vx значений пе-

ременной x при построении интерполяционной кривой? 6) Какая функция служит для сортировки массива значений пе-

ременной x? 7) Какие условия накладываются на сплайн при кубической ин-

терполяции? 8) Какие функции существуют в MathCAD для кубической ин-

терполяции?

22

9) В чем различие между функциями, предназначенными для интерполяции с помощью кубических сплайнов?

10) Можно ли использовать кубические сплайны для построения интерполяционной поверхности для двумерных эксперимен-тальных данных?

11) Как зависит поведение кривой внутри интервала эксперимен-тальных значений от выбора функций lspline (vx,vy), pspline(vx,vy), cspline(vx, vy) при построении сплайна?

12) При каких условиях использование кубического сплайна мо-жет привести к несоответствию построенной кривой экспе-риментальным данным?

13) В чем основное отличие В-сплайна от интерполяции кубиче-скими сплайнами?

14) Является ли произвольным количество точек сшивки при ис-пользовании В-сплайна? Как оно связано с количеством экс-периментальных точек?

15) Какие условия накладываются на координаты точек сшивки при использовании В-сплайна?

16) Какие методы используют функции MathCAD для проведе-ния линейной регресии?

17) Как связан порядок полинома при проведении полиномиаль-ной регрессии с числом точек в выборке?

18) В чем отличие процедуры построения полиномиальной рег-рессии от двухмерной сплайн-интерполяции?

19) В каких случаях удобно использование В-сплайна? 20) Какие методы реализуются при проведении линейной регрес-

сии? 21) Выбрать правильное утверждение:

полиномиальная регрессия в MathCAD может проводиться а) одним полиномом; б) отрезками полиномов.

22) Можно или нет проводить полиномиальную регрессию с по-мощью функций regress и loess для многомерных экспери-ментальных зависимостей?

23) Какие функции MathCAD позволяют провести регрессию с ис-пользованием любой заданной функции?

24) Какие величины нужно рассмотреть для оценки качества рег-рессионной модели?

23

Литература 1. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков,

Г. М. Кобельков. – М. ; СПб. : Лаб. базовых знаний, 2001. – 630 с. 2. Бидасюк Ю. М. Mathsoft MathCAD 11 : самоучитель / Ю. М. Бида-

сюк. – М. ; СПб. ; Киев : Диалектика, 2004. – 208 с.

24

Учебное издание

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ППП С ПРИМЕРАМИ

Часть 1

Учебно-методическое пособие

Составитель Иванищева Ольга Ивановна

Редактор И.Г. Валынкина

Подписано в печать 21.04.08. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 28 экз. Заказ 386.

Издательско-полиграфический центр

Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. 208-298, 598-026 (факс)

http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133.