Završni rad [Metalne konstrukcije I]

5/27/2018 Zavr ni rad [Metalne konstrukcije I]

1/56

SVEUILITE JOSIPA JURJA STROSSMAYERAU OSIJEKU

GRAEVINSKI FAKULTET OSIJEK

ZAVRNI RAD

Osijek, 16.09.2013. Popovi, Denis


2/56



ZAVRNI RAD

TEMA: Izrada interakcijskih krivulja nepridranih elemenata optereenih tlakom i savijanjem

Osijek, 16.09.2013. Popovi, Denis

_________________


3/56



ZNANSTVENO PODRUJE: Tehnike znanostiZNANSTVENO POLJE: GraevinarstvoZNANSTVENA GRANA: Nosive konstrukcijeTEMA: Izrada interakcijskih krivulja nepridranih elemenata optereenih tlakom isavijanjemPRISTUPNIK: Popovi, Denis

Potrebno je saeto obrazloiti proraun otpornosti elemenata izloenih savijanju i uzdunoj tlanoj sili teproraunati nosivost HEB300 HEB400 profila na interakciju bono-torzijskog izvijanja i izvijanja.Statiki sustav nosaa je slobodno poduprta greda, a raspone je potrebno odabrati tako da nosai okoosi z-z imaju svedenu vitkost 0,5; 1; 1,5. Otpornosti je potrebno proraunati za gredu optereenutlanom uzdunom silom i kontinurianim optereenjem. Proraun otpornosti elemenata potrebno jeprovesti u koracima Ned/Nb,Rd,z od 0,1. Proraun otpornosti elemenata na bono-torzijsko izvijanjepotrebno je provesti prema postupku za opi sluaj, a interakciju bono-torzijskog izvijanja i izvijanjaprema Metodi 2, u skladu s EN 1993-1-1. Kvaliteta elinog materijala je S235.

Osijek, 16.09.2013.

Mentor: Predsjednik odbora zazavrne idiplomske radove:

Prof.Dr.sc. Damir Markulak, dipl.ing.gra. Izv.prof.Dr.sc. Lidija Tadi, dipl.ing.gra.

_________________________ _________________________


4/56

Metalne konstrucije I

Interakcija uzdune tlane sile i momenta savijanja

Popovi, Denis

Sadraj

1. Uvod.......................................................................................................................................... 12. Koncept nosivosti .................................................................................................................. 2

2.1 Openito............................................................................................................................ 22.2 Teorija plastinosti............................................................................................................ 22.3 Otkazivanje nosivosti ........................................................................................................ 3

3. Otpornost elinih elemenata............................................................................................. 53.1 Otpornost elmenta optereenog uzdunom centrinom tlanom silom ..................... 53.2 Otpornost elementa optereenog momentom savijanja

............................................... 9

3.3 Otpornost elementa optereenog istevremenim djelovanjem uzdunetlane sile i momentom savijanja ....................................................................................14

4. Primjer prorauna................................................................................................................ 184.1 Opis zadatka .................................................................................................................... 184.2 Numeriki primjer............................................................................................................ 19

5. Interakcijske krivulje za HEB300 ...................................................................................... 265.1

Interakcijske krivulje (My,Ed/Mb,Rd) .................................................................................. 26

5.2 Interakcijske krivulje (My,Ed; L) ...................................................................................... 306. Primjena interakcijskih krivulja ......................................................................................... 317. Zakljuak......................................................................................... ....................................... 358. Prilozi .............................................................................................. ........................................ 36

8.1 Interakcijske krivulje (My,Ed/Mb,Rd) za HEB320 ............................................................... 368.2 Ineterakcijske krivulje (My,Ed; L) za HEB320 ................................................................. 398.3 Interakcijske krivulje (My,Ed/Mb,Rd) za HEB340 ............................................................... 408.4 Ineterakcijske krivulje (My,Ed; L) za HEB340 ................................................................. 438.5 Interakcijske krivulje (My,Ed/Mb,Rd) za HEB360 ............................................................... 448.6 Ineterakcijske krivulje (My,Ed; L) za HEB360 ................................................................. 478.7 Interakcijske krivulje (My,Ed/Mb,Rd) za HEB400 ............................................................... 488.8 Ineterakcijske krivulje (My,Ed; L) za HEB400 ................................................................. 51

9.

Literatura ............................................................................................................................... 52


5/56



Popovi, Denis 1

1 UvodPojavom elika kao materijala drastino se poveavaju mogunosti njegove iroke primjene, kako ugraevinarstvu, tako i u drugim podrujima ljudske djelatnosti. Njegovu primjenu moemo zapaziti kodimpozantnih graevina koja svojom veliinom i oblikom nadahnjuju, te se svrstavaju meu modernauda svijeta. Kako bi dosegnuli granice moguega pred arhitekte se postavljaju izazovi kreativnosti,dok to za inenjere predstavlja izazov izvodljivosti, npr. neboder Burj Khalifa visok 828 m. Problemipostavljeni pred inenjersku struku su mnogobrojni, od prorauna do samoga izvoenja radova. Primodeliranju djelovanja takvih viekatnih skeletnih konstrukcija izuzimaju se pojedine komponentenosivoga sustava, odnosno okvira, te su najeeelementi izloeni istovremenom djelovanju uzdunetlane sile i momenta savijanja. Kao takvi, predstavljaju jedan od najuestalijihsluajeva optereenjanosivih elemenata u zgradarstvu. Njihovo meusobno djelovanje zbog svoje kompleksnosti, uz

nedovoljno dobro konstrukcijsko oblikovanje, moe dovesti do gubitka nosivosti i havarija konstrukcija.Gubitak nosivosti elemenata i konstrukcije u cjelini najee uzrokuje problem stabilnosti, koji se upraksi nalazi u irokom obimu. Pod pojmom stabilnosti u graevinskoj strucise poima stanje ravnoteeu kojemu tijelo pod utjecajem vanjske sile ne podlijee nepovratnim deformacijama izvan ravnine, slika1.1 a). U suprotnom, tijelo moe biti jo u stanju labilne i indiferentne ravnoteete ih moramo izbjegavatizbog nastanka povratnih deformacija, slika 1.1 b) i 1.1 c).

Slika 1.1Ravnoteni poloaji

Gubitak ravnotenog poloaja, u idealnim uvjetima, se moe opisati dosezanjem Eulerovekritine sile (Ncr) pri kojoj se javljaju deformacije koje uzrokuju ekscetricitet, odnosno istovremenodjelovanje uzdune tlane sile i momenta savijanja, koji je produkt uzdune sile (N) i deformacije (w). Uztakav moment savijanja, moe se pojaviti i moment savijanja nastao sluajem istog savijanja ilisavijanjem poprenim silama. U tom sluaju deformacija je rezultat kombiniranog djelovanja vanjskihoptereenja od kojih svaka pojedinana deformacija jednoga vanjskog optereenja uzrokuje daljnjepoveanje deformacije drugoga i obratno, stoga traenje ravnotee postaje iterativni postupak.


6/56



Popovi, Denis 2

2 Koncept nosivosti elinih konstrukcija

2.1 OpenitoZbog racionalnije potronje resursa, pa tako i graevinskog elika, pred inenjere se postavljaju uvjetimaksimalne iskoritenosti materijala. U donedavnom nainu proraunakonstrukcija koristila se metodadoputenih naprezanja koja zbog do tada nedovoljne istraenosti materijala nije zadovoljavalaoptimalno koritenje resursa. Prije svega, proraun se zasnivao na ogranienju materijala u podrujuelastinosti, te zbog toga nije kompatibilna metoda za proraun elinih konstrukcija ije je jedno odglavnih obiljeja duktilnost materijala. U obzir se nije uzimalo realno stanje konstrukcije koje uvelikemoe odstupati od njenih pretpostavljenih teorijskih karakteristika. Zbog modernizacije, te sve veegindustrijskog i ekonomskog napretka drutva pred graevinsku struku se postavljaju sve vei zahtjevi,stoga se u sve veoj mjeri poseeza uvoenjem nove metode analize i dimenzioniranja elemenata. Taj

problem je u dovoljnoj mjeri rijeen uvoenjem Eurokoda u kojemu se proraun bazira na metodigraninih stanja. Metoda graninihstanja dijeli se na dva osnovna dijela, granino stanje nosivosti kojese odnosi na dokaz stabilnosti i vrstoe konstrukcije,te je njenim uvjetovanjem dokazano da graevinau projektnom periodu nee izgubiti svojstva nosive kontstrukcije, dok se granino stanje uporabljivostiodnosi na ograniavanje deformacija i vibracija, odnosno iz njenog zadovoljavanja proizlazi dagraevina nije samo sigurna nego i ugodna za boravak.

Dvije su kljune razlike izmeu ove dvije metode prorauna, mogunost koritenja teorijeplastinosti u metodi graninih stanja uvelike omoguuje maksimalno iskoritenje potencijala elika kaomaterijala, a uzimanje u obzir realnog stanja konstrukcije sa svim svojim nesavrenostima poputvlastitih naprezanja i geometrijskih nepravilnosti elemenata osigurava veu pouzdanost konstrukcije.

2.2 Teorija plastinostiTeorija plastinosti primjenjiva je iskljuivo kod statiki neodreenih sustava. Kod statiki odreenihsustava, gubitak nosivosti se smatra dosezanje vrstoe odreenog dijela elementa, odnosnonajnapregnutijeg poprenog presjeka, te naknadnim formiranjem u plastini zglob koji sustav pretvara umehanizam, te kao takav nema svojstvo stabilnosti nosive konstrukcije. Formiranjem plastinog,odnosno plastinih zglobova u statiki neodreenim sustavima njihov viak veza se smanjuje, naprezanja se rasporeujute se gubitkom nosivosti smatra dosezanje tono odreenog broja plastinihzglobova koji je dovoljan da statiki neodreen sustav pretvori u mehanizam. Meutim, koritenje teorijeplastinosti nije mogue kod svih vrstaelemenata statiki neodreenih sustava, tj. moramo konstrukcijiomoguiti formiranje odreenog broja plastinih zglobova ograniavanjem lokalne vitkosti poprenogpresjeka u odnosu na vrstu optereenjai kvalitetu materijala. Nemogunost formiranja plastinog zglobaopisuje se dosezanjem prijevremenog deformiranja tlano napregnutog dijela presjeka, tj. lokalnimizboivanjem. Svrstavanjem poprenih presjeka s obzirom na lokalnu vitkost, poprene presjekeklasificiramo kao: plastine poprene presjeke (klasa 1), kompaktne poprene presjeke (klasa 2),nekompaktne poprene presjeke (klasa 3) i vitke poprene presjeke (klasa 4). Koritenje globalnogprorauna po teoriji plastinosti mogue je samo kod poprenih presjeka klase 1. Njegova svojstvakrutosti, vrstoe i deformacijske sposobnosti omoguuju daljnju preraspodjelu naprezanja nakondosezanja granice poputanja i potpune plastifikacije poprenog presjeka. Nakon formiranja plastinogzgloba omogueno je daljnje formiranje istih, slika 2.1 a), dok popreni presjek klase 2 zbog

nedovoljnog deformacijskog kapaciteta omoguuje formiranje samo jednog plastinog zgloba, slika 2.1b). Kod klase 3 i klase 4 pojava lokalnog izboivanja sprjeavaformiranje plastinog zgloba.


7/56



Popovi, Denis 3

Slika 2.1Formiranje plastinih zglobova kod poprenih presjeka klase 1 i klase 2

Ulaskom u zonu plastinosti element ima dostatnu deformabilnost koja e na vrijeme ukazati daje dosegnuta granica poputanja i da je prijeko potrebna intervencija u smislu rekonstrukcije elementa.Svojstvo duktilnosti nam omoguuje uoavanjete pojave, te zbog pravovremenog djelovanja sigurnostkonstrukcije i ljudi nee biti ugroena.

2.3 Otkazivanje nosivostiVjerojatnost otkazivanja nosivosti u inenjerskoj praksi je mjerljiva vrijednost odreena probabilistikimpristupom koja u obzir uzima neizvjesnosti u vijeku trajanja konstrukcije. Neizvjesnosti mogu bitiviekriterijalne:

- neizvjesnosti vezane uz prirodne sluajnosti djelovanja, svojstva materijala i geometrijskihveliina

- neizvjesnosti povezane s pojednostavljenim stvarnim uvjetima- neizvjesnost kao posljedica ljudskih pogreaka pri izvoenju i koritenju konstrukcije- neizvjesnost kao posljedica neiskustva projektanta

Neizvjesnosti prema Eurokodu uzimamo u obzir preko parcijalnih faktora () koje pridodajemo

karakteristinim vrijednostima otpornosti (Rk) i djelovanja (Ek). Karakteristine vrijednosti dobivaju sestatistikom analizom podataka, te za odreenu karakteristinu vrijednost (Rk) ili (Ek) vrijedi 5%,odnosno 95% fraktila dobivenih iz Gaussove razdiobe uestalosti statistikih podataka. Kombinacijomkarakteristinih vrijednosti i pripadnih parcijalnih faktora dobiva se proraunska vrijednost. Pri proraunuelinih konstrukcija openito moramo dokazati:

(2.1)

(2.2)


8/56



Popovi, Denis 4

gdje je:

fparcijalni faktor za djelovanja

mparcijalni faktor za otpornost

Ekkarakteristina vrijednost djelovanjaRkkarakteristina vrijednost otpornostiEdproraunska vrijednost djelovanjaRdproraunska vrijednost otpornosti

Pri dokazu uvjeta nosivosti iz izraza (2.2) primjeujemoda konstrukcija, odnosno element ima dostatnusigurnost, te da u eksploatacijskom vijeku konstrukcije sigurnost ljudi i konstrukcije nee biti ugroena.Razlika tih dviju veliina rezultira zonom sigurnosti (Z), slika 2.2.

Slika 2.2Gaussova razdioba uestalosti djelovanja i otpornosti

gdje je:Emsrednja vrijednost djelovanjaEk karakteristina vrijednost djelovanjaRmsrednja vrijednost otpornostiRkkarakteristina vrijednost otpornostiZ zona sigurnosti


9/56



Popovi, Denis 5

3 Otpornost elinih elemenata

3.1 Otpornost elementa optereenog uzdunom centrinom tlanom silomZa dokazivanje otpornosti elementa optereenog centrinom tlanom silom potrebno je provestiproraun dokaza nosivosti na razini poprenog presjeka i na razini elementa. Na razini poprenogpresjeka dovoljno je dokazati da popreni presjek sa svojom povrinom i kvalitetom materijala moepreuzeti djelovanje uzdune centrine tlane sile, slika 3.1.

(3.1)gdje je:

Nc,Rdotpornost poprenog presjeka na uzdunu tlanu siluA povrina poprenog presjeka (za klasu 1, 2 i 3, dok za klasu 4 vrijedi A=A eff)fy granica poputanja elika

M0 parcijalni faktor za otpornost poprenog presjeka

NEd vanjsko djelovanje uzdune tlane sile

Slika 3.1Element optereen uzdunom centrinom tlanom silom

Pri dokazu otpornosti na razini elementa uz dokaz otpornosti poprenog presjeka potrebno je

provesti provjeru otpornosti elementa na fleksijsko izvijanje. Fleksijsko izvijanje predstavlja pojavugubtika stabilnosti elementa izvan ravnine elementa koja se u idealn im uvjetima dogaa pri dosezanjuEulerove kritine sile (Ncr), slika 1.

(3.2)

gdje je:E modul elastinosti elikaI moment inercije poprenog presjekaL duljina elementa

Lcrduljina izvijanjak koeficijent izvijanja


10/56



Popovi, Denis 6

Pojava fleksijskog izvijanja dogaa se uvijek oko slabije osi presjeka, osim kod presjeka koji susimetrini oko obje osi, kvadratni i kruni uplji pro fili. S obzirom da su elini H profili uvijek slabiji okoosi z-z, dominantniji moment inercije oko osi y-y jami da e se nosa izviti oko osi z -z, ukoliko su uvjeti

oslanjanja jednaki za obje osi, a opisuje ih koeficijent izvijanja (k), slika 3.2.

Slika 3.2Duljine izvijanja

Izjednaavanjem Eulerove kritine sile i otpornosti poprenog presjeka slijedi:

(3.3)

(3.4)

Kombiniranjem izraza (3.3) i (3.4), te uvoenjem pojma vitkosti (l=Lcr/ i), slijedi:

(3.5)

Izrazom (2.7) dobivena je vitkost koja odgovara graninoj vitkosti za sve kvalitete elika, teuvrtavanjem vrijednostigranice poputanjadobivamo [1]:

- S 235 fy= 235 N/mm2 l1= 93,91- S 275 fy= 275 N/mm2 l1= 86,82- S 355 fy= 355 N/mm2 l1= 76,41- S 420 fy= 420 N/mm2 l1= 70,25


11/56



Popovi, Denis 7

U idealnim uvjetima granina vitkost bi oznaavala vrijednost pri kojoj se element nalazi u stanjuindiferentne ranvotee, no pri proraunu realnih elemenata u obzir uzimamo poetne nesavrenosti.Dvije su podijele nesavrenosti elemenata:

- geometrijske nesavrenosti:- os elementa odstupa od pravca, odnosno ima poetne deformacije e0- element nije savreno centrino optereen tlanom silom

- materijalne nesavrenosti:- u elementu postoje vlastita naprezanja, nastala obradom elika- granica poputanja nije jednaka u svakoj toki poprenog presjeka

Uzevi u obzir da realni element ima manju nosivost od idealnog elementa, Eurokod opsenimistraivanjem objedinjuje sve imperfekcije kod elinih elemenata te definira pet europskih krivuljaizvijanja, slika 3.3.

Slika 3.3Europske krivulje izvijanja

Eurokod direktno povezuje krivulje izvijanja (a0, a, b, c i d) sa dvijema vrijednostima. Vrijednost na

ordinati (c), izraz (3.7), predstvalja omjer otpornosti elementa na izvijanje (Nb,Rd) i otpornosti poprenog

presjeka (Nc,Rd), dok vrijednost na apscisi (

), predstavlja svedenu bezdimenzionalnu vitkost.

(3.6)

(3.7)


12/56



Popovi, Denis 8

Eksperimentalno dobivene krivulje izvijanja matematike su opisane:

(3.8)

gdje je:

pomona veliina za izraunavanje redukcijskog faktora c, izraz (3.9)

bezdimenzionalna vitkost

(3.9)

gdje je:

faktor nesavrenosti, tablica 1

Krivulja izvijanja ao a b c dFaktor nesavrenosti 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76Ekvivalentna geometrijska nesavrenost eo(elastini proraun)

L/350 L/300 L/250 L/200 L/150

Ekvivalentna geometrijska nesavrenost eo(elastini proraun)

L/300 L/250 L/200 L/150 L/100

Tablica 3.1Faktori nesavrenosti i ekvivalentne geometrijske nesavrenosti e0

Proraun faktora redukcije potrebno je provesti za obje osi nosaa, uzevi u obzir gore navedeneizraze. Konana otpornost elementa na izvijanje jednaka je minimalnoj otpornosti elementa na izvijanjeoko obje osi, odnosno:

(3.10)

gdje je:

c minimalni faktor redukcije, odnosno c= min ( cy; cz)

M1parcijalni faktor za otpornost elementa


13/56



Popovi, Denis 9

3.2 Otpornost elementa optereenog momentom savijanjaKod prorauna otpornosti elementa optereenog momentom savijanja moramo, analogno elementu

optereenom uzdunom tlanom silom, provjeriti otpornost elementa na razini poprenog presjeka i narazini elementa. Meutim, normalna naprezanja u poprenom presjeku nisu jednoznano odreena (tlakili vlak), ve su naprezanja unutar poprenog presjeka optereenog momentom savijanja i tlana ivlana, slika 3.4.

Slika 3.4[1] i [2] Raspodjela deformacija i naprezanja na poprenom presjeku

Otpornost poprenog presjeka proraunava se ovisno o klasi poprenog presjeka. Kod plastinih ikompaktnih poprenih presjeka, odnosno presjeka klase 1 i klase 2, mogue je u poprenom presjekudosegnuti plastinu otpornost poprenog presjeka.

(3.11)

gdje je:Mc,Rdotpornost poprenog presjeka na moment savijanjaWpl plastini moment otporafy granica poputanja

M0 parcijalni faktor za otpornost poprenog presjeka

My,Ed vanjsko djelovanje momenta savijanja


14/56



Popovi, Denis 10

Kod nekompaktnih poprenih presjeka nije mogue dosegnutiplastiu otpornost, jer nemaju rotacijskikapacitet koji bi bio dovoljan za plastifikaciju poprenog presjeka, stoga se otpornost poprenogpresjeka ograniava na dosezanje granice poputanja u najnapregnutijem vlakancu presjeka uz

koritenje prorauna po teoriji elastinosti.

(3.12)

gdje je:Wel,min elastini moment otpora najnapregnutijeg vlakanca presjeka

Vitki popreni presjeci su takoer ogranieni na dosezanje granice poputanja u najnapregnutijemvlakancu poprenog presjeka.

(3.13)

gdje je:Weff,min elastini moment otpora djelotvornog presjeka klase 4 najnapregnutijeg vlakanca presjeka

Ukoliko je moment nastao savijanjem poprenim silama, potrebno je prilikom proraunaotpornosti poprenog presjeka na savijanje provjeriti i otpornost poprenog presjeka na poprenu silu.Elastoplastino ponaanje materijala najbolje opisuje hipoteza najvee deformacijske energije (Huber-Mises-Hencky-eva hipoteza).

(3.14)

gdje je:

seekvivalentno jednoosno napreznje

snormalno naprezanje

tposmino naprezanje

Iz uvjeta da su normalna naprezanja jednaka nuli, slijedi:

(3.15)

gdje je:

typosmina granica poputanja

Stoga slijedi da je plastina otpornost poprenog presjeka na poprenu silu:

(3.16)gdje je:

Av povrina poprenog presjeka u smjeru sile (posmina povrina) VEd djelovanje poprene sile


15/56



Popovi, Denis 11

Meutim, ako djelovanje prelazi 50% otpornostipresjeka na poprenu silu, odnosno Ved > 0,5 Vpl,Rd,potrebno je provesti redukciju otpornosti poprenog presjeka na savijanje kojom se umanjuje stvarna

granica poputanja na posminoj povrini (Av) pomou koeficijenta .

(3.17)

Reducirana granica poputanja iznosi:

(3.18)

Slika 3.5.Redukcija granice poputanja pri djelovanju uzdune sile

Element optereen momentom savijanja se poput elementa optereenog tlanom silom takoermoe nai u stanju indiferentne, odnosno labilne ravnotee. Kod elementa optereenog momentom ok o

jae osi gubitak stabilnosti se dogaa naglim izbacivanjem oko slabije osi, tako da se nosa prognebono i tordira, odnosno rotira, stoga se ta pojava naziva bono-torzijsko izvijanje, slika 9.

Slika 3.6Pojava bono-torzijskog izvijanja


16/56



Popovi, Denis 12

Bono torzijsko izvijanje se u idealnim uvjetima dogaa pri dosezanju idealnog kritinog momentabono-torzijskog izvijanja:

(3.19)

gdje su:C1, C2 ,C3faktori koji ovise o uvjetima optereenja, odnosno o izgledu momentnog dijagrama k, kw faktori efektivne duljine bonog izvijanja koji u uzimaju u obzir rotaciju krajeva elemenata zg faktor utjecaja poloaja djelovanja optereenjaIz moment inercije oko z-z osi

I konstanta krivljenja

G modul posmika

IT torzijska konstanta

Uzevi u obzir da na nosa djeluje samo moment savijanja oko jae osi (My,Ed), problem bono-torzijskog izvijanja se promatra trodimenzionalno, jer izraz za M cr opisuju one geometrijskekarakteristike poprenog presjeka koje se odnose na otpornost poprenog presjeka na torziju (savijanjeoko osi x-x) i savijanje oko slabije osi z-z. No, pri istoj duljini elementa i istom poprenom presjekuidealni kritini momentse moerazlikovati ovisno o poloaju djelovanja optereenja (zg), gdje se poloajdjelovanja optereenja odnosi na centar posmika, odnosno rotacije. Prilikom djelovanja optereenja nagornjoj pojasnici javlja se destabilizirajui moment Mdstb, dok se pri djelovanju optereenja na donjojpojasnici javlja stabilizirajui moment Mstb. Sa slike 3.7 vidljivo je da je povoljnije djelovanje na donjojpojasnici, jer stabilizirajui moment tei k tome da element zarotira ponovno u stanje ravnotenogpoloaja. Oslanjanje krajeva nosaa karakterizira se faktorima k i k w, tj. za k=1,0 vrijedi stanje zglobnepovezanosti elementa, a za k=0,5 vrijedi stanje pune upetosti , analogno izvijanju tlano optereenogelementa. Faktor kw=1,0 openito treba uzimati u proraunu gdje posebnim mjerama nije sprijeenoleajno krivljenje presjeka, npr. potpuno ubetoniravanje krajeva elementa, ili ukruenje pojasnice i hrbtana mjestima povezivanja krajeva elemenata. U tablici 2 se opisuje prirast idealnog kritinog momentasavijanja ovisno o faktorima k, kw i zg na elementu duljine 10,60 m i poprenom profilu HEB 340,optereenog kontinuiranim optereenjem iji e se proraun detaljnije obraditi u poglavlju 4.

Slika 3.7.Poloaj djelovanja optereenja


17/56



Popovi, Denis 13

k kwMcr[kNm]

zg= + h/2 zg= 0 zg= - h/2

1,0 1,0 621,37 760,17 929,97

1,0 0,5 800,04 941,78 1108,640,5 1,0 1023,65 1520,34 2258,05

0,5 0,5 1364,90 1883,56 2599,31

Tablica 3.2Utjecaj fakora k, kwi zgna vrijednost idealnog kritinog momenta Mcr

Vidljivo je da vrijednost idealnog kritinog momenta, u navedenom sluaju,moe varirati od minimalnedo maksimalne vrijednosti i do oko 400 %, za razliite faktore pri jednakoj duljini i istom profilu.

Kako i kod gubitka stabilnosti kod elementa optereenog centrinim tlakom, tako i kod savijanja

elemenenta do izraaja dolaze imperfekcije elinih elemenata koji se u proraunu objedinjujueuropskim krivuljama izvijanja, slika 6. Stoga moramo i u sluaju bono-torzijskog izvijanja odrediti

svedenu vitkost (LT).

(3.20)

Za elemente ija je vitkost LT< 0,4 smatra se da su elementi dovoljno kruti (male vitkosti), te da nije

potrebno provoditi dokaze na otpornost bono-torzijskog izvijanja, dok se za LT1,2 smatra da jeotpornost jednaka vrijednosti idealnog kritinog momenta savijanja. Za elemente ija se svedena vitkost

nalazi unutar ta dva ekstrema [0,4LT < 1,2] utjecaj imperfekcija je najizraeniji, stoga je potrebnoprovesti dokaz nosivosti elementa. Prilikom prorauna otpornosti elementa na pojavu bono-torzijskogizvijanja se moe, u sluaj valjanih H profila, odabrati u kojim se sluajevima promatraju poprenipresjeci. Tako proraun moemo vriti za opi sluaj elementa jednolikog poprenog presjeka i zavaljane i ekvivalentne zavarene poprene presjeke. Navest e se primjer opeg sluaja. Usporednootpornosti elementa na centrini tlak, slijedi:

(3.21)

gdje je:

= 0,5 [1 + LT( 2LT0,2 ) + 2LT]

LTfaktor nesavrenosti

Otpornost elementa na bono-torzijsko izvijanje:

(3.22)


18/56



Popovi, Denis 14

3.3 Otpornost elementa optereenog istevremenim djelovanjem uzdune tlane sile imomentom savijanja

Iz prethodna dva primjera vidljivo je da element moe biti maksimalno iskoriten uz uvjet da jedjelovanje jednako otpornosti elementa u svakom pojedinom sluaju. Ali u kombinaciji ova dvadjelovanja nije mogue dosegnuti maksimalnu iskoritenost svakog pojedinog djelovanja. Ukoliko natapni element djeluje uzduna centrina tlana sila, te ako se postupno poveava, u idealnim uvjetimase ne dogaaprogib izvan ravnine djelovanja optereenja sve do dosezanja Eulerove kritine sile. Akoelement opteretimo poprenom silom, tada se od djelovanja poprene sile javlja progib (wP) pomoukojega e tlana sila proizvoditi dodatni moment od ekcentrinosti djelovanja, odnosno rezultirati edodatnim progibom (wN). Momenti od djelovanja poprene sile i od uzdune sile se zbrajaju, kao injihovi progibi, te se ekscentricitet poveava, stoga postupak pronalaska ravnotee postaje iterativnipostupak. Proraunski pristup se zasniva na pronalasku ravnotee na deformiranom nosau, odnosnoprema teoriji II. reda.

Slika 3.8Interakcijsko djelovanje momenta savijanja i uzdune tlane sile


19/56



Popovi, Denis 15

Na slici 3.8 prikazan je dijagram odnosa djelovanja momenta savijanja i uzdune tlane sile u kojemu: - Linija A prikazuje elastino ponaanje elementa izloenog samo savijanju- Linija B prikazuje pojednostavljeno plastino ponaanje elementa izloenog samo savijanju-

Linija C prikazuje omeena je linijama A i B teprikazuje elastoplastino ponaanje elementaizloenog savijanju- Linija D prikazuje izvijanje idealnog tlanog tapa u elastinom podruju - Linija E prikazuje interaktivno djelovanje momenta savijanja i uzdune tlane sile u elastinom

podruju- Linija F prikazuje interakciju savijanja i uzdune tlane sile do postizanja pune plastifikacije- Linija G prikazuje konanu interakciju momenta savijanja i uzdune tlane sile za sluaj

elastoplastinog materijala

Prema prikazanom dijagramu interakcijskog djelovanja, za zakljuiti je da se otpornost elementaizloenog ovim dvjema djelovanjima uvelike smanjuje u elastoplastinom podruju.

Prilikom prorauna otpornosti elementa mora se proraun provesti i na razini poprenogpresjeka, a otpornost se promatra bazno na otpornosti poprenog presjeka na savijanje. Uz djelovanjetlane uzdune sile, za poprene presjeke klase 1i 2, moment se reducira na MN,y,Rd, uz uvjet da iznosuzdune tlane sileprelazi 25% otpornosti presjeka na tlak i/ili zauzima vie od50% povrine hrbta.

Razina uzdune sile Savijanje oko osi y-y

i/ili

;

Tablica 3.3Reducirana otpornost poprenog presjeka na savijanje za zavarene I i H profile

Ukoliko je potrebno reducirati otpornost presjeka na savijanje zbog poprene sile, tada moramo uotpornosti poprenog presjeka uvesti reduciranu granicu poputanja prema izrazu 3.18. Za poprenepresjeke klase 3 otpornost je ograniena na elastino podruje, te do ot kazivanja nosivosti dolaziprilikom dosezanja granice poputanja u najnapregnutijem vlakancu.

(3.23)


20/56



Popovi, Denis 16

gdje je:

sNnaprezanje od djelovanja tlane sile

sMnaprezanje od djelovanja momenta savijanja

U sluaju da razina poprene sile prelazi 50% otpornosti, moramo upotrijebiti reduciranu granicupoputanja (fy,red). Otpornost poprenog presjeka klase 4 dokazuje se prema izrazu:

(3.24)

gdje je:eNyekscentricitet koji se javlja zbog izuzimanja povrine kod poprenih presjeka klase 4

Prilikom prorauna elementa izloenog tlanoj sili i momentom savijanja openito moramodokazati:

(3.25)

(3.26)

gdje je:NEd proraunska uzduna silaNRk karakteristina otpornost poprenog presjeka na tlanu silu My,Ed proraunski moment savijanja oko osi y-yMy,Rk karakteristina otpornost poprenog presjeka na moment savijanja

My,Edproraunski moment savijanja nastao zbog ekscentriciteta uzdune tlane sile kod presjeka

klase 4

cy, czfaktori redukcije za izvijanje elementa

cLT faktor redukcije za bono-torzijsko izvijanje elementa

M1 parcijalni faktor za otpornost elementa

kij interakcijski faktori

Karakteristine otpornosti poprenih presjeka odreujemo s obzirom na klasu, a My,Edse javlja samo

kod presjeka klase 4. Interakcijski faktor kijje vodei parametar koji opisuje ponaanje ovakvogasustava, te za metode prorauna faktora k ij Eurokod propisuje dvije metode, Metoda 1 i Metoda 2.Metoda 1 kompleksnija je od Metode 2, a kao rezultat daje vee otpornosti elementa izloenoginterakcijskom djelovanju uzdune tlane sile i momenta savijanja. Metoda 2 konzervativnija je, teotpornosti raunate prema njoj su i do 20% manje, ovisno o vrsti optereenja. Zbog jednostavnostiupotrebe u inenjerskoj praksi primjenjivija je Metoda 2. Izraun interakcijskih fatora razlikuje se za

elemente osjetljive na torzijske deformacije (lLT > 0,4) i za neosjetljive (lLT 0,4). Prethodno je


21/56



Popovi, Denis 17

potrebno odrediti faktore ekvivalentnog momenta Cmy i CmLTkoji opisuju izgled momentnog dijagrama,slika 3.9.

Slika 3.9Opi prikaz ekvivalentnog momenta Cm

Faktori ekvivalentnog momenta transformiraju nejednoliki momentni dijagram u jednoliki, gdje se pritom

Cmy odnosi na promatrani dijagram cijeloga izdvojenoga elementa, a C mLT se odnosi na segmentemomentnoga dijagrama izmeu bonih pridranja, odnosno ukoliko je element nepridran vrijedi

Cmy=CmLT. Faktor y opisuje odnose izmeu nejednolikih momentnih dijagrama na rubovima

promatranoga elementa ili segmenta.

Interakcijski faktori kijza elemente neosjetljive na torzijske deformacije (LT< 0,4)Faktori kij Klasa presjeka 1 i 2 Klasa presjeka 3 i 4

kyy

kzy 0,6 kyy 0,8 kyy

Interakcijski faktori kijza elemente osjetljive na torzijske deformacije (LT0,4)

kyy

kzy

Tablica 3.4Izraun interakcijskih faktora kij


22/56



Popovi, Denis 18

4 Primjer prorauna

4.1 Opis zadatkaPotrebno je izraditi interakcijske krivulje nepridranih elemenata optereenih uzdunom centrinomtlanom silom i momentom savijanja za profile HEB 300-400. Interakcijske krivulje opisuju omjereMy,Ed/Mb,Rd i NEd/Nb,Rd, dobivene iz maksimalne nosivosti elemanata u zadanim uvjetima. Otpornosti seproraunavaju u koracima NEd/Nb,Rd,zod 0.1 do 0.9 za sve profile, tako da elementi imaju vitkost oko osiz-z 0.5, 1.0 i 1.5. Statiki sustav je prosta greda optereena kontinuiranom poprenom silom iuzdunom tlanom silom. Tijek prorauna prikazan je na slici 4.1 .

Slika 4.1.Tijek prorauna


23/56



Popovi, Denis 19

4.2 Numeriki primjerPotrebno je odrediti uinak djelovanja uzdune tlane sile i momenta savijanja iz uvjeta maksimalne

nosivosti. Zadan je popreni presjeka HEB 340, vitkost oko osi z-z 1.5, te omjer NEd/Nb,Rd= 0,4. Statikisustav je prikazan je na slici 4.2.

Slika 4.2Statiki sustav

HEB 340

h [mm] b [mm] tw[mm]

340,00 300,00 12,00

tf[mm] r [mm] d [mm]

21,50 27,00 243,00

A [cm2] G [kg/m'] Iy[cm4]

170,90 134,00 36660,00

Wel,y[cm3] Wpl,y[cm3] iy[cm]

2156,00 2408,00 14,65

Iz[cm4] Wel,z[cm3] Wpl.z[cm3]

9690,00 646,00 985,70

iz[cm] It[cm4] Iw[cm6]

7,53 257,20 2454000,00

Kvaltiteta materijala: S235

- tmax = tf= 21,50 mm < 40 mm- fy = 235 N/mm2( = 1,00)- fu = 360 N/mm2- E = 210 000 N/mm2- G = 81 000 N/mm2- = 0,3


24/56



Popovi, Denis 20

Klasifikacija poprenog presjeka

Hrbat izloen tlaku

Uvjet za klasu 1:

Hrbat je klase 1

Pojasnica izloena tlaku

Uvjet za klasu 1:

Pojasnice je klase 1

Popreni presjekje klase 1


25/56



Popovi, Denis 21

Otpornost elementa na fleksijsko izvijanje

Izvijanje oko osi y-y

Odabir mjerodavne krivulje izvijanja

os y-y (b krivulja) => y=0,34


26/56



Popovi, Denis 22

Izvijanje oko osi z-z


os z-z (c krivulja) => z=0,49

Uinak djelovanja NEd


27/56



Popovi, Denis 23

Otpornost elementa na bono-torzijsko izvijanje


krivulja izvijanja a => LT=0,21


28/56



Popovi, Denis 24

Otpornost elementa na interakciju uzdune tlane silei momenta savijanja

Iz oblika momentog dijagrama slijedi:

Element osjetljiv na torzijsko deformacije

Proraun interakcijskog faktora kyy


29/56



Popovi, Denis 25

Proraun interakcijskog faktora kzy

Uinak djelovanja My,Ed

1. uvjet nosivosti

2. uvjet nosivosti


30/56



Popovi, Denis 26

5 Interakcijske krivulje za HEB300

5.1

Interakcijske krivulje (My,Ed/Mb,Rd)

Slika 5.1Interakcijska krivulja (My,Ed/Mb,Rd; NEd/Nb,Rd) za HEB300 (z= 0,5)

NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja

Ned[kN] 1. uvjet 2. uvjet My,Ed[kNm]

0 0,00 408,40 408,40 408,40

0,1 295,37 389,31 370,20 370,200,2 590,74 349,37 331,45 331,45

0,3 886,11 310,05 292,14 292,14

0,4 1181,49 271,34 252,25 252,25

0,5 1476,86 233,23 211,76 211,76

0,6 1772,23 195,69 170,67 170,670,7 2067,60 158,73 128,97 128,97

0,8 2362,97 122,32 86,63 86,63

0,9 2658,34 86,45 43,65 43,65

1 2953,71 0,00 0,00 0,00

Tablica 5.1Tablica vrijednosti uinkadjelovanja za HEB300 (lz= 0,5)


31/56



Popovi, Denis 27


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 383,95 383,95 383,95

0,1 243,00 366,75 349,29 349,29

0,2 486,01 330,66 313,88 313,880,3 729,01 295,80 277,69 277,69

0,4 972,02 262,12 240,68 240,680,5 1215,02 229,55 202,84 202,84

0,6 1458,03 198,05 164,13 164,13

0,7 1701,03 167,56 124,52 124,520,8 1944,04 138,03 83,99 83,99

0,9 2187,04 109,42 42,49 42,49

1 2430,05 0,00 0,00 0,00

Tablica 5.2Tablica vrijednosti uinkadjelovanja za HEB300 (lz= 0,75)


32/56



Popovi, Denis 28

Slika 5.3.Interakcijska krivulja (My,Ed/Mb,Rd; NEd/Nb,Rd) za HEB300 (z= 1,0)

NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 358,87 358,87 358,87

0,1 189,19 345,18 327,66 327,66

0,2 378,37 314,12 295,54 295,54

0,3 567,56 284,48 262,46 262,46

0,4 756,75 256,16 228,37 228,37

0,5 945,93 229,08 193,24 193,24

0,6 1135,12 203,15 157,01 157,01

0,7 1324,31 178,31 119,62 119,62

0,8 1513,49 154,48 81,04 81,04

0,9 1702,68 131,61 41,18 41,18

1 1891,87 0,00 0,00 0,00

Tablica 5.3.Tablica vrijednosti uinka djelovanja za HEB300 (lz= 1,0)


33/56



Popovi, Denis 29


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 309,14 309,14 309,14

0,1 110,21 300,87 282,26 282,260,2 220,42 277,78 254,59 254,59

0,3 330,63 256,00 226,09 226,09

0,4 440,83 235,45 196,73 196,73

0,5 551,04 216,00 166,46 166,46

0,6 661,25 197,58 135,25 135,25

0,7 771,46 180,11 103,05 103,05

0,8 881,67 163,51 69,81 69,81

0,9 991,88 147,73 35,48 35,48

1 1102,08 0,00 0,00 0,00



34/56



Popovi, Denis 30

5.2 Ineterakcijske krivulje (My,Ed; L)

Slika 5.5Interakcijske krivulje (My,Ed; L) za HEB300

z 0,4 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

L [cm] 284,68 355,85 533,78 711,70 889,63 1067,56 1245,48 1423,41

My,Ed[kNm]

NEd/Nb,Rd

0,1 378,40 370,20 349,29 327,66 304,63 282,26 261,30 242,17

0,2 338,30 331,45 313,88 295,54 274,77 254,59 235,68 218,42

0,3 297,73 292,14 277,69 262,46 244,01 226,09 209,30 193,97

0,4 256,69 252,25 240,68 228,37 212,32 196,73 182,12 168,780,5 245,17 211,76 202,84 193,24 179,65 166,46 154,10 142,82

0,6 173,15 170,67 164,13 157,01 145,97 135,25 125,21 116,04

0,7 130,64 128,97 124,52 119,62 111,21 103,05 95,39 88,41

0,8 87,61 86,63 83,99 81,04 75,34 69,81 64,62 59,89

0,9 44,07 43,65 42,49 41,18 38,29 35,48 32,84 30,44

Tablica 5.5Omjer uinka djelovanja momenta savijanja i duljine tapa za HEB300


35/56



Popovi, Denis 31

6 Primjena interakcijskih krivuljaPotrebno je napraviti privremenu mostnu konstrukciju radi omoguavanja prelaska buldozera preko

kanala. Masa buldozera iznosi 17 t. Rasponska konstrukcija je duljine 13 m i irine 4 m. Koji elini HEBprofil zadovoljava potrebne uvjete?

Slika 6.1.Privremena konstrukcija

L = 13 mB = 4 m

Odreivanje uzdune tlane sile:

Pretpostavka :

Sila koenja = 10% mase buldozera

Otpornost elementa na uzdunu tlanu silu:

L = 1300 cmProfil HEB 300S235

Izraun otpornosti na izvijanje samo oko slabije osi (z-z) => mjerodavna otpornost


36/56



Popovi, Denis 32


os z-z (c krivulja) => z=0,49

Omjer djelovanja uzdune tlane sile i otpornosti

Zbog sigurnosti se usvaja:


37/56



Popovi, Denis 33

Odreivanje maksimalne vrijdnosti djelovanja momenta savijanja na glavni nosa

Oitana vrijednost(L = 1300 cm)

Odreivanje iznosa djelovanja momenta savijanja na glavni nosa


38/56



Popovi, Denis 34

Za izradu privremene rasponske konstrukcije dovoljno je koristiti 2 elina elementa HEB300.


39/56



Popovi, Denis 35

7 ZakljuakProvedenom parametarskom analizom na nepridranom elementu uslijed djelovanja momenta savijanja

i uzdune sile primjeuje se poveanje omjera My,Ed/Mb,Rdza 2% uslijed promjene relativne vitkosti okoosi z-z sa 0,5 na 1,5. Nakon dosezanja relativne vitkosti (lz) od 1,0 omjer se ustaljuje, jer se duljina

elementa pribliava velikoj vitkosti, za razliku od manjih duljina za koje se elementi mogu smatratielementima srednje vitkosti, poglavlje 5. Kljuni parametar pri analizi kombinacije djelovanja jeinterakcijski faktor kij, u kojemu poveanje relativne vitkosti uzrokuje smanjenje vrijednosti interakcijskogfaktora, tablica 3.4. Iz interakcijskih krivulja (My,Ed; L) vidljivo je da se uslijed poveanja duljinesa 3 m na14 m, za kontinuirano optereen element, maksimalno doputeno djelovanje momenta smanjuje zaprosjeno 37% uz omjer Ned/Nb,Rd od 0,1 te oko 32% pri omjeru od 0,9. Meutim, smanjenje nije

jednoznano odreeno za sve vrste optereenja. Ukoliko je element optereen koncetriranompoprenom silom ili kontinuiranim optereenjem vrijednosti omjera My,Ed/Mb,Rd i NEd/Nb,Rdmijenjaju sepriblino linearno, dok kod elementa opterenog istim savijanjem promjena vrijednosti poprimaparabolian oblik, slika 7.1. Pri omjeru Ned/Nb,Rd od 0,5; element optereen istim savijanjem moepreuzeti 28% vei intenzitet momenta od elementa optereenog kontinuiranim optereenjem, stogaisto savijanje predstavlja najpovoljniji oblik optereenja, dok se kontinuirano optereenje moe smatratinajnepovoljnijim oblikom optereenja.

Slika 7.1Promjena vrijednosti faktora ekvivalentnog momenta Cmza HEB340 (z = 0,5)


40/56



Popovi, Denis 36

8 Prilozi

8.1

Interakcijske krivulje (My,Ed/Mb,Rd) za HEB320


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 469,59 469,59 469,59

0,1 319,54 448,64 425,67 425,670,2 639,08 403,55 381,11 381,11

0,3 958,62 359,03 335,91 335,91

0,4 1278,16 315,07 290,04 290,04

0,5 1597,70 271,65 243,49 243,49

0,6 1917,24 228,76 196,24 196,240,7 2236,78 186,39 148,29 148,29

0,8 2556,32 144,55 99,61 99,61

0,9 2875,86 103,20 50,18 50,18

1 3195,40 0,00 0,00 0,00

Tablica 8.1Tablica vrijednosti uinka djelovanja za HEB320 (lz= 0,5)


41/56



Popovi, Denis 37


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 412,46 412,46 412,46

0,1 204,67 398,33 376,60 376,600,2 409,33 363,98 339,67 339,67

0,3 614,00 331,03 301,65 301,65

0,4 818,67 299,40 262,48 262,48

0,5 1023,33 269,02 222,09 222,09

0,6 1228,00 239,80 180,45 180,45

0,7 1432,67 211,69 137,49 137,49

0,8 1637,33 184,61 93,14 93,14

0,9 1842,00 158,53 47,33 47,33

1 2046,67 0,00 0,00 0,00



42/56



Popovi, Denis 38


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 355,09 355,09 355,09

0,1 119,23 347,69 324,21 324,21

0,2 238,45 322,97 292,42 292,42

0,3 357,68 299,50 259,69 259,69

0,4 476,90 277,19 225,96 225,96

0,5 596,13 255,96 191,20 191,20

0,6 715,36 235,74 155,35 155,35

0,7 834,58 216,44 118,36 118,36

0,8 953,81 198,01 80,18 80,18

0,9 1073,03 180,40 40,75 40,75

1 1192,26 0,00 0,00 0,00



43/56



Popovi, Denis 39

8.2 Ineterakcijske krivulje (My,Ed; L) za HEB320


z 0,4 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

L [cm] 284,3 355,38 533,07 710,76 888,45 1066,13 1243,82 1421,51

My,Ed[kNm]

NEd/Nb,Rd

0,1 435,11 425,67 401,56 376,60 350,01 324,21 300,05 278,02

0,2 389,00 381,11 360,85 339,67 315,70 299,42 270,63 250,76

0,3 342,35 335,91 319,24 301,65 280,36 259,69 240,34 222,690,4 295,16 290,04 276,70 262,48 243,95 225,96 209,12 193,77

0,5 247,42 243,49 233,19 222,09 206,42 191,20 176,95 163,96

0,6 199,10 196,24 188,69 180,45 167,71 155,35 143,77 133,22

0,7 150,22 148,29 143,16 137,49 127,78 118,36 109,54 101,50

0,8 100,74 99,61 96,56 93,14 86,56 80,18 74,21 68,76

0,9 50,68 50,18 48,85 47,33 43,99 40,75 37,71 34,94



44/56



Popovi, Denis 40

8.3 Interakcijske krivulje (My,Ed/Mb,Rd) za HEB340


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 525,96 525,96 525,96

0,1 338,56 503,53 476,77 476,770,2 677,12 453,91 426,87 426,87

0,3 1015,67 404,76 376,24 376,24

0,4 1354,23 356,09 324,86 324,86

0,5 1692,79 307,89 272,72 272,720,6 2031,35 260,14 219,81 219,81

0,7 2369,90 212,85 166,09 166,09

0,8 2708,46 166,01 111,57 111,57

0,9 3047,02 119,60 56,21 56,211 3385,58 0,00 0,00 0,00



45/56



Popovi, Denis 41


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 460,48 460,48 460,48

0,1 216,85 446,29 420,44 420,440,2 433,70 409,28 379,22 379,22

0,3 650,54 373,63 336,77 336,77

0,4 867,39 339,26 293,03 293,03

0,5 1084,24 306,09 247,95 247,95

0,6 1301,09 274,08 201,46 201,46

0,7 1517,93 243,15 153,49 153,49

0,8 1734,78 213,26 103,98 103,98

0,9 1951,63 184,36 52,84 52,84

1 2168,48 0,00 0,00 0,00



46/56



Popovi, Denis 42


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 394,60 394,60 394,60

0,1 126,32 388,36 360,29 360,29

0,2 252,64 362,60 324,97 324,97

0,3 378,97 338,00 288,59 288,59

0,4 505,29 314,49 251,11 251,11

0,5 631,61 291,99 212,48 212,48

0,6 757,93 270,45 172,64 172,64

0,7 884,25 249,79 131,53 131,53

0,8 1010,58 229,98 89,10 89,10

0,9 1136,90 210,95 45,28 45,28

1 1263,22 0,00 0,00 0,00



47/56



Popovi, Denis 43



z 0,4 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

L [cm] 282,86 353,58 530,37 707,16 883,95 1060,74 1237,53 1414,32

My,Ed[kNm]

NEd/Nb,Rd

0,1 487,48 476,77 449,20 420,44 389,85 360,29 332,79 307,86

0,2 435,82 426,87 403,66 379,22 351,63 324,97 300,16 277,68

0,3 383,56 376,24 357,11 336,77 312,27 288,59 266,56 246,60

0,4 330,69 324,86 309,52 293,03 271,72 251,11 231,94 214,57

0,5 277,20 272,72 260,86 247,95 229,91 212,48 196,26 181,56

0,6 223,07 219,81 211,07 201,46 186,80 172,64 159,46 147,52

0,7 168,30 166,09 160,14 153,49 142,33 131,53 121,49 112,39

0,8 112,90 111,57 108,01 103,98 96,42 89,10 82,30 76,14

0,9 56,78 56,21 54,65 52,84 49,00 45,28 41,83 38,69



48/56



Popovi, Denis 44



NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 585,82 585,82 585,820,1 357,77 561,85 531,04 531,04

0,2 715,55 507,43 475,45 475,45

0,3 1073,32 453,41 419,06 419,06

0,4 1431,10 399,77 361,83 361,83

0,5 1788,87 346,51 303,76 303,760,6 2146,64 293,62 244,82 244,82

0,7 2504,42 241,12 185,00 185,00

0,8 2862,19 188,98 124,27 124,270,9 3219,96 137,20 62,61 62,61

1 3577,74 0,00 0,00 0,00



49/56



Popovi, Denis 45


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 511,39 511,39 511,39

0,1 229,16 497,12 466,93 466,930,2 458,31 457,30 421,15 421,15

0,3 687,47 418,78 374,00 374,00

0,4 916,62 381,51 325,43 325,43

0,5 1145,78 345,42 275,37 275,37

0,6 1374,93 310,46 223,74 223,74

0,7 1604,09 276,58 170,46 170,46

0,8 1833,24 243,72 115,48 115,48

0,9 2062,40 211,84 58,68 58,68

1 2291,56 0,00 0,00 0,00



50/56



Popovi, Denis 46


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 436,40 436,40 436,40

0,1 133,49 431,26 398,45 398,45

0,2 266,98 404,32 359,39 359,39

0,3 400,48 378,47 319,16 319,16

0,4 533,97 353,64 277,71 277,71

0,5 667,46 329,78 234,98 234,98

0,6 800,95 306,84 190,92 190,92

0,7 934,44 284,75 145,47 145,47

0,8 1067,93 263,47 98,54 98,54

0,9 1201,43 242,97 50,08 50,08

1 1334,92 0,00 0,00 0,00



51/56



Popovi, Denis 47



z 0,4 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

L [cm] 281,48 351,85 527,77 703,7 879,62 1055,55 1231,47 1407,39

My,Ed[kNm]

NEd/Nb,Rd

0,1 543,10 531,04 499,76 466,93 432,04 398,45 367,38 339,39

0,2 485,54 475,45 449,10 421,15 389,68 359,39 331,36 306,11

0,3 427,32 419,06 397,31 374,00 346,06 319,16 294,27 271,85

0,4 368,42 361,83 344,36 325,43 301,12 277,71 256,05 236,54

0,5 308,82 303,76 290,22 275,37 254,98 234,98 216,66 200,15

0,6 248,52 244,82 234,83 223,74 207,02 190,92 176,04 162,62

0,7 187,50 185,00 178,16 170,46 157,73 145,47 134,12 123,900,8 125,75 124,27 120,17 115,48 106,85 98,54 90,86 83,93

0,9 63,25 62,61 60,80 58,68 54,30 50,08 46,17 42,66



52/56



Popovi, Denis 48



NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 705,11 705,11 705,110,1 411,01 675,36 639,17 639,17

0,2 822,02 608,70 572,26 572,26

0,3 1233,03 542,23 504,39 504,39

0,4 1644,04 475,95 435,51 435,51

0,5 2055,05 409,87 365,61 365,610,6 2466,06 343,98 294,67 294,67

0,7 2877,07 278,29 222,67 222,67

0,8 3288,08 212,78 149,57 149,570,9 3699,09 147,46 75,36 75,36

1 4110,10 0,00 0,00 0,00



53/56



Popovi, Denis 49


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 610,73 610,73 610,73

0,1 277,51 593,46 557,63 557,630,2 555,03 545,46 502,96 502,96

0,3 832,54 498,82 446,66 446,66

0,4 1110,06 453,47 388,65 388,65

0,5 1387,57 409,37 328,86 328,86

0,6 1665,09 366,47 267,20 267,20

0,7 1942,60 324,71 203,58 203,58

0,8 2220,11 284,05 137,91 137,91

0,9 2497,63 244,46 70,08 70,08

1 2775,14 0,00 0,00 0,00



54/56



Popovi, Denis 50


NEd/Nb,Rd,z

Uzdunasila

Moment savijanja


0 0,00 515,24 515,24 515,24

0,1 159,08 511,97 470,44 470,44

0,2 318,16 482,62 424,31 424,31

0,3 477,24 454,26 376,82 376,82

0,4 636,32 426,84 327,88 327,88

0,5 795,40 400,30 277,44 277,44

0,6 954,49 374,62 225,42 225,42

0,7 1113,57 349,74 171,75 171,75

0,8 1272,65 325,63 116,34 116,34

0,9 1431,73 302,26 59,13 59,13

1 1590,81 0,00 0,00 0,00



55/56



Popovi, Denis 51



z 0,4 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

L [cm] 277,83 347,29 520,94 694,59 868,23 1041,90 1215,53 1389,17

My,Ed[kNm]

NEd/Nb,Rd

0,1 654,08 639,17 599,75 557,63 512,97 470,44 431,69 397,22

0,2 584,76 572,26 538,95 502,96 462,68 424,31 389,37 358,36

0,3 516,64 504,39 476,80 446,66 410,88 376,82 345,79 318,25

0,4 443,70 435,51 413,26 388,65 357,52 327,88 300,88 276,92

0,5 371,93 365,61 348,28 328,86 302,52 277,44 254,59 234,310,6 299,30 294,67 281,82 267,20 245,80 225,42 206,85 190,38

0,7 225,81 222,67 213,81 203,58 187,27 171,75 157,60 145,05

0,8 151,44 149,57 144,21 137,91 126,86 116,34 106,76 98,26

0,9 76,18 75,36 72,96 70,08 64,47 59,13 54,26 49,94



56/56



Popovi, Denis 52

9 Literatura[1] Markulak, D. (2008). Proraun elinih konstrukcija prema EN 1993-1-1. Osijek: Gradska tiskara

Osijek, d.d.[2]Androi, B., Dujmovi, D., Deba, I. (2009). elinekonstrukcije 1. Zagreb: Tiskara Zelina, d.d.

Documents

Završni rad [Metalne konstrukcije I]