Embed Size (px)
Citation preview
UYGULAMALI
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
GİRİŞ
Birçok mühendislik, fizik ve sosyal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade
edildiği zaman bu problemler, bilinmeyen fonksiyonun bir veya daha yüksek mertebeden
türevlerini içeren bir denklemi sağlayan fonksiyonun bulunması problemine dönüşür. Bu
mantıkla oluşturulmuş denklemlere ‘Diferansiyel Denklemler’ denir. Diferansiyel
denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup, bir çok pratik
problemin çözümünde önemli bir araçtır. Bu problemlere örnek olarak salınım
problemleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radyoaktif
maddelerin parçalanması problemleri, elektrik devreleri vb. gösterilebilir. Bu dersin amacı
diferansiyel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin çözümünü öğrenmektir.
Deneyler sonucunda herhangi bir radyoaktif maddenin, herhangi bir andaki kütlesinin değişim
hızının (başka deyişle cismin parçalanma hızının) o andaki kütlesi ile orantılı olduğu
görülmüştür. Eğer x anındaki kütle y(x) ise, kütlenin değişim hızı y'(x) türevidir. Deneyler
sonucuna göre,
y'(x) = k . y(x)
yazılabilir. Burada k verilmiş cisme bağlı bilinen sabit negatif bir sayıdır. Bu sayının negatif
olmasının sebebi, y(x) kütlesinin zaman geçtikçe azalmasının sonucu olarak y'(x) türevinin negatif
olmasıdır. Dolayısıyla radyoaktif kütlenin diferansiyel denklemi
y' - ky = 0 ’dır.
Yeterli derecede ısınmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda (örneğin, havada veya suda)
soğutulmaktadır. Deneyler gösteriyor ki bu durumda cismin soğuma hızı, cismin o andaki
sıcaklığı ve ortamın sıcaklığı arasındaki fark ile orantılıdır. Eğer x anındaki sıcaklık y(x) ise
y'(x) = k (y(x) – 30)
yazılabilir. Burada k cisme bağlı negatif bir sabittir. Böylece soğumanın diferansiyel denklemi
y' = k(y – 30) olur.
Diferansiyel Denklem Kavramı
x bağımsız değişkeni, bilinmeyen y=f(x) fonksiyonu ve bu fonksiyonun türevleri (y', y'',
y''',…, y(n) ) arasındaki bağıntıya diferansiyel denklem denir. Bu eşitlikte türevlerle
beraber y=f(x) fonksiyonunun kendisi x’in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir.
Böyle bir denklem sembolik olarak,
veya
şeklinde gösterilir.
)
Değişken sayısına göre;
1) Adi dif denklemler (Tek değişkenli)
2) Kısmi Türevli dif denklemler (Birden fazla değişkenli)
Lineerliğe göre;
1) Lineer dif denklemler
2) Non-lineer dif denklemler
Katsayılara göre;
1) Sabit Katsayılı dif denklemler
2) Değişken Katsayılı dif denklemler
Diferansiyel denklemlerde Sınıflandırma:
Mertebeye göre;
1) I. Mertebeden dif denklemler
2) Yüksek Mertebeden dif denklemler
y=f(x) fonksiyonu tek değişkenli bir fonksiyon ise denkleme adi diferansiyel denklem
denir.
Bilinmeyen y=f(x) fonksiyonu birden fazla değişkene bağlı ise ise kısmi diferansiyel
denklem denir.
adi diferansiyel denklem kısmi diferansiyel denklem
adi diferansiyel denklem
kısmi diferansiyel denklem
Denklemdeki en yüksek mertebeli türevin değerine diferansiyel denklemin mertebesi denir.
Diferansiyel Denklemin Mertebesi
Not: Yukarıdaki denklemlerde y, y', y'' fonksiyonları x değişkeninin fonksiyonlarıdır.
Genellikle, denklem yazılımında y, y', y'', . . . altındaki x değişkeni yazılmıyor.
Örneğin, y'(x) - y(x) = 0 yerine kısaca y' - y = 0 yazılır.
y Cosx
y y y
2 5 x y yx y
(II. Mertebeden dif.denklem)
(III. Mertebeden dif.denklem)
(I. Mertebeden dif.denklem)
(I. Mertebeden dif.denklem)
) )4( , , , , , ...... ) 0
nf x y y y y y y (n. Mertebeden dif.denklem)
Diferansiyel Denklemin Derecesi
Bir diferansiyel denklemdeki en yüksek mertebedeki türevin kuvvetine diferansiyel
denklemin derecesi denir.
y' = y/x 1. Dereceden dif. denk.
(y')2= y/x 2. Dereceden dif. denk.
y'' + 3(y')4 + 5y = 0 1. Dereceden dif. denk.
Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız.
3. mertebeden, 1. derece dif. denk.
2. mertebeden, 2. derece dif. denk.
2. mertebeden, 2. derece dif. denk.
2. mertebeden, derecesi tanımlı değil
Lineer ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler:
Lineer dif. denk.
Lineer olmayan dif. denk.
Bir diferansiyel denklemin çözümü; genel çözüm, özel çözüm ve tekil çözüm olmak üzere
üçe ayrılır.
Diferansiyel denklemin c sabitine bağlı çözümüne genel çözüm;
c’ye değerler verilerek elde edilen çözümlere özel çözüm denir.
Ayrıca bu genel çözümdeki integral sabitine özel değerler verilerek elde edilemeyen
fakat denklemi sağlayan çözümlere de tekil çözüm denir.
Genel, Özel ve Tekil Çözümler
21' yy
)cxy sin
) )
2sin2
1sin1
sin0
xyc
xyc
xyc
0110
0y
1y
2
1
genel çözüm
özel çözüm
tekil çözüm
İçerisinde keyfi sabitler içeren çözümlere genel çözüm denir.
Genel çözümden, keyfi sabite (veya sabitlere) değerler verilmesiyle elde edilen çözümlere
denklemin özel çözümü denir.
x
y
x
y
1
1
GENEL ÇÖZÜM ÖZEL ÇÖZÜM
1. MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler
Örnek
ise y(x)’in genel çözümünü bulunuz.
ec yeniden bir keyfi sabit olduğundan ec yerine yine “C” yazarsak genel çözümü:
y=C ex
x
x
Örnek
e e
21' yy
2y1dx
dy dx
y1
dy
2
dxy
dy
21
cxyarcsin
denkleminin genel çözümünü bulunuz.
)cxsiny
Örnek
Örnek
100° C ye kadar ısıtılmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda soğutulmaktadır. 4 dakika sonra
cismin sıcaklığı 70° C olmuşsa, 10 dakika sonra cismin sıcaklığı kaç olur?
Bir önceki soruda soğumanın diferansiyel denkleminin genel çözümü y = 30 + Cekx
olarak bulunmuştu.
Başlangıçta cismin sıcaklığı 100° C olduğundan y(0) = 100 olur. Bu koşuldan yararlanarak
C sabitini bulalım:
Örnek
0tan drdr denkleminin genel çözümünü bulunuz.
0tan dr
dr0tan d
r
dr
) CCosr lnln CCos
r
ln
ACosr
Örnek
) 0' 2222 xyyyyxx denkleminin genel çözümünü bulunuz.
) ) 011 22 dxxydyyx ) )
011
22
dx
x
xdy
y
y
01111
22
dx
xxdy
yyCx
xy
y ln
1ln
1
yxC
y
x 11ln xy
yx
C eey
x
.
xy
yx
e
xAy
Örnek
denkleminin genel ve özel çözümünü bulunuz.
genel çözüm
özel çözüm
Örnek
ÖDEV
)baxy '
Değişkenlerine Ayrılabilir Hale Dönüştürülebilen Diferansiyel Denklemler
formundaki bir diferansiyel denklemde:
baxu dönüşümü yapılırsa:
)udu
dya
dx
du
du
dy
dx
dy
elde edilir ve diferansiyel denklem
değişkenlerine ayrılabilir hale dönüştürülür.
Örnek
)32sin' xy formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.
32 xu dönüşümü yapılırsa:
udu
dy
dx
du
du
dyy sin2' duudy .sin2
duudy .sin2 Cuy cos2
Cu
y 2
coselde edilir.
Bulunan çözümde u yerine 2x+3 yazılırsa:
)C
xy
2
32cos
istenen genel çözüm elde edilmiş olur.
)3cos' 2 yy formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.
3 yu dönüşümü yapılırsa:
udx
du
dx
du
du
dyy 2cos
1'
dx
u
du
2cos
dxu
du
2cosCxu tan
Bulunan çözümde u yerine λy+3 yazılırsa:
) Cxy 3tan
Örnek
)2833' yxy formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.
833 yxu dönüşümü yapılırsa:
'33 ydx
du )213 u
dx
du
dxu
du3
1 2 Cxu 3arctan )Cxu 3tan
Bulunan çözümde u yerine 3x+3y+8 yazılırsa:
)3
833tan
xCxy
Örnek
) 0cos' 222 xeyxyy x formundaki diferansiyel denklemin genel çözümünü
elde ediniz
22 yxu dönüşümü yapılırsa:
'22' yyxu 2
''
uxyy ilk denklemde yerine yazılırsa:
0cos2
' 2 xueu
x x ueu x 2cos2
'
dxeu
du x2cos2
Ceu x 2tan
Bulunan çözümde u yerine x2+y2 yazılırsa:
)xeCxy 2arctan2
)Ceu x 2arctan
Örnek
Homojen Denklemler
Eğer f(x,y) bir fonksiyon ve t bir gerçel sayı ise f(tx,ty)=tn f(x,y) özelliğine sahipse f’ye n.
dereceden homojen fonksiyon denir.
Örnek
) 22 53, yxyxyxf fonksiyonu homojenmidir?
) ) ) ) )2253, tytytxtxtytxf
) 22222 53, ytxytxttytxf ) )222 53, yxyxttytxf
) )yxfttytxf ,, 2
fonksiyon 2. dereceden homojendir.
Örnek
) 3, xxyyxf fonksiyonu homojenmidir?
) )yxfttytxf ,, 2
fonksiyon homojen değildir.
) ) ) )3, txtytxtytxf
) 332, xtxyttytxf ) )32, txxyttytxf
Homojen Diferansiyel Denklemler
Eğer f(x,y) fonksiyonu 0. dereceden homojen ise:
),( yxfdx
dy homojen diferansiyel denklemdir.
Homojen diferansiyel denklemler,
)('y
xfy
şekline getirilebilirler. Bu denklemlerde u=y/x dönüşümü uygulanılarak denklem çözülebilir.
Genel çözüm için hesaplanan integralde u=y/x koymak yeterlidir.
Örnek
22' yxyxy formundaki diferansiyel denklemin genel çözümünü
elde ediniz.
uxy uxuy ''
) 222' xuxuxuxux 21' uxu
x
dx
u
du
21
Cxu lnarcsin )Cxu lnsin
) Cxxy lnsin
2
2
'x
yxyy
formundaki diferansiyel denklemin genel çözümünü
elde ediniz.
uxy uxuy ''
2
222
'x
xuuxuxu
2' uxu
x
dx
u
du2
Cxu
ln1
Cx
xy
ln
Örnek
