第 4 章 连续系统的复频域分析
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
4.2 单边拉普拉斯变换的性质
4.3 单边拉普拉斯逆变换
4.4 连续系统的复频域分析
4.5 系统微分方程的复频域解
4.6 RLC系统的复频域分析
4.7 连续系统的表示和模拟
4.8 系统函数与系统特性
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
一个信号 f(t) 若满足绝对可积条件,则其傅里叶变换一定存在。例如, e-αtε(t)(α > 0) 就是这种信号。若 f(t) 不满足绝对可积条件, 则其傅里叶变换不一定存在。例如,信号 ε(t) 在引入冲激函数后其傅里叶变换存在, 而信号 eαtε(t)(α > 0) 的傅里叶变换不存在。若给信号 eαtε(t) 乘以信号 e-σt(σ > α) ,得到信号 e-(σ-α)t
ε(t) 。信号 e-(σ-α)tε(t) 满足绝对可积条件,因此其傅里叶变换存在。
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设有信号 f(t)e-σt(σ 为实数 ) ,并且能选择适当的 σ 使 f(t)e-σt
绝对可积,则该信号的傅里叶变换存在。 若用 F(σ+jω) 表示该信号的傅里叶变换,根据傅里叶变换的定义, 则有
dtetfdteetfjF tjtjt
)()()()(
根据傅里叶逆变换的定义,则
dejFetf tjt
)(2
1)(
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上式两边乘以 eσt ,得
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4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
任一信号 f(t) 的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于 f(t) 的
双边拉普拉斯变换是信号 f(t)e-σt 的傅里叶变换,因此,若 f(t)e-σt
绝对可积,即
dtetf t)(
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例 4.1 - 1 求时限信号 f1(t)=ε(t)-ε(t-τ) 的双边拉氏变换及其收敛域。式中, τ > 0 。
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例 4.1 - 2 求因果信号 f2(t)=e-αtε(t)(α > 0) 的双边拉氏变换
及其收敛域。 解 设 f2(t) 的双边拉氏变换为 F2(s), 则
dtetesF stat
)()(2
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.1-3 求反因果信号 f3(t)=-e-βtε(-t)(β > 0) 的双边拉氏变换及其收敛域。
第 4 章 连续系统的复频域分析
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图 4.1-1 双边拉氏变换的收敛域(a) F2(s) 的收敛域; (b) F3(s) 的收敛域; (c) F4(s) 的收敛域
o
j
£ o
(a )
j
£
(b )
j
o
(c )
第 4 章 连续系统的复频域分析
双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂, 并且信号与其
双边拉普拉斯变换不一一对应,这就使其应用受到限制。
实际中的信号都是有起始时刻的 (t < t0 时 f(t)=0) ,若起始
时刻 t0=0, 则 f(t) 为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变
换的积分下限为“ 0” ,该变换称为单边拉普拉斯变换。单
边拉普拉斯变换收敛域简单,计算方便,线性连续系统的复
频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。
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4.1.3 单边拉普拉斯变换
信号 f(t) 的单边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯逆变换 ( 或反变换 ) 分别为
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与双边拉普拉斯变换存在的条件类似,若 f(t) 满足
dtetf t
0)(
则 f(t) 的单边拉普拉斯变换 F(s) 存在。使 F(s) 存在的 S 复平面上 s 的取值区域称为 F(s) 的收敛域。因为 f(t) 的单边拉普拉斯变换等于 f(t)ε(t) 的双边拉普拉斯变换,所以,单边拉普拉斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同,即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于 jω 轴的一条直线的右边区域,可表示为
0]Re[ s
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4.1.4 常用信号的单边拉普拉斯变换
第 4 章 连续系统的复频域分析
第 4 章 连续系统的复频域分析
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4.2 单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性
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2. 时移性
第 4 章 连续系统的复频域分析
第 4 章 连续系统的复频域分析
第 4 章 连续系统的复频域分析
3. 复频移
第 4 章 连续系统的复频域分析 例 4.2-3 f1(t)=cos(ω0t)ε(t), f2(t)=sin(ω0t)ε(t) ,求 f1(t) 和 f2(t) 的象函数。
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例 4.2-4 .)(.),()cos()( 0 的象函数求为实数 tfattetf t
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4. 尺度变换
,]Re[),()( 0 ssFtf若 则
a
sF
aatf
1)(
式中, 为常数,a 0a
证
00
0
]Re[,Re
,]Re[)(
asa
s
a
sFssF
即为收敛域应为
的所以的收敛域为由于
第 4 章 连续系统的复频域分析 例 4.2-5 已知 ),()()(),()( 1 batbatftfsFtf
,0,0 ba 求 f1(t) 的象函数。
解 因为
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5. 时域卷积
第 4 章 连续系统的复频域分析
证 根据信号卷积的定义,并且 f1(t) 和 f2(t) 是因果信号,则
第 4 章 连续系统的复频域分析
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例 4.2-6 已知图 4.2-1(a) 所示信号 f(t) 与图 (b) 所示信号fτ(t) 的关系为 f(t)=fτ(t)*fτ(t) ,求 f(t) 的单边拉氏变换。
图 4.2-1 例 4.2-6 图(a) f(t) 的波形; (b) fτ(t) 的波形
to
f ( t )
2
(a )
to
f( t )
1
(b )
第 4 章 连续系统的复频域分析
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6. 时域微分
式中, f(1)(t) 、 f(2)(t) 、 f(n)(t) 分别表示 f(t) 的一次、二次、 n 次
导数, f(0-) 、 f(1)(0-) 、 f(i)(0-) 分别表示 f(t) 、 f(1)(t) 、 f(i)(t) 在 t
=0- 时的值。
第 4 章 连续系统的复频域分析
证 先证明式 (4.2-9) 和式 (4.2-10) 。根据单边拉普拉斯变换的定义, 则有
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反复应用式 (4.2 - 9) ,就可得到 f(n)(t) 的单边拉普拉斯变
换如式 (4.2 - 11) 所示。 f(1)(t) 的单边拉普拉斯变换的收敛域至
少是 Re [ s ]> σ0 。若 F(s) 在 s=0 处有一阶极点,则 sF
(s) 中的这种极点被消去, f(1)(t) 的单边拉普拉斯变换的收敛
域可能扩大。 f(n)(t) 的单边拉普拉斯变换的收敛域也有类似情
况。
若 f(t) 为因果信号,则 f(n)(0-)=0 (n=1, 2, …), 此时,时域
微分性质表示为 )()]([ )( sFstfL nn n=1, 2, … ; Re [ s ]> σ0
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.2-7
求 f1(t) 和 f2(t) 的单边拉氏变换。
)],([)( 21 te
dt
dtf t )],()( 2
2 tedt
dtf t
解
(1) 求 f1(t) 的单边拉氏变换。由于
)(2)()]([)( 221 tette
dt
dtf tt
故根据线性得
22
21)]([)( 11
s
s
stfLsF
若应用时域微分性质求解,则有
2
2)()]([)(
0
221
stetesLsF
t
tt
第 4 章 连续系统的复频域分析
(2) 求 f2(t) 的单边拉氏变换。由于
)(2)()( 222 tete
dt
dtf tt
因此得
2
2)]([)( 22
stfLsF
第 4 章 连续系统的复频域分析 7. 时域积分
若 f(t)←→ F(s) , Re [ s ]> σ0, 则有:
s
sFdftf
t )()()(
0
)1(
,2,1)(
)()( ns
sFtf
nn
若 f(-n)(t) 表示从 -∞ 到 t 对 f(t) 的 n 重积分,则有
n
n
m
mmn
n
t
s
sFf
stf
s
sF
s
Fdftf
)()0(
1)(
)()0()()(
1
)(1
)(
)1()1(
(4.2-12)
(4.2-13)
第 4 章 连续系统的复频域分析
证明式 (4.2-12) : 因为
)()()()()()()(0
tttfdtfdft
根据时域卷积性质,则
s
sFtttfLdfL
t )()]()()([)(
0
因为 dftft
0
)1()2( )()(
2
)1(
0
)1()2( )()]([)()]([
s
sF
s
tfLdfLtfL
t
第 4 章 连续系统的复频域分析 证明式 (4.2-13): 因为
dff
dfdfdftf
t
tt
0
)1(
0
0)1(
)()0(
)()()()(
s
ftfLfL
)0()]()0([)]0([
)1()1()1(
单边拉普拉斯变换为
s
sF
s
tfLdf
t )()]([)(
0
s
sF
s
fdftf
t )()0()()(
)1()1(
根据线性得
第 4 章 连续系统的复频域分析
若 f(t) 是因果信号, f(n)(t) 是 f(t) 的 n 次导数,则 f(t) 等于 f
(n)(t) 从 0- 到 t 的 n 重积分。若 f(n)(t) 的单边拉普拉斯变换用 Fn(s)
表示,根据时域积分性质式 (4.2 - 12) ,则 f(t) 的单边拉氏变换为
nn
s
sFtfLsF
)()]([)(
若 f(t) 为非因果信号,则 L [ f(t) ] =L [ f(t)ε(t) ]。因此,
若 f(t)ε(t) 的 n 次导数 的单边拉普拉斯变换用 Fn(s)
表示,则 f(t) 的单边拉普拉斯变换 F(s) 也可由式 (4.2 - 17) 得到。
)]()([ ttfdt
dn
n
第 4 章 连续系统的复频域分析
非因果信号 f(t) 的单边拉普拉斯变换也可根据式 (4.2-13) 求解。 若 f(t) 在 t=-∞ 的值 f(-∞)=0 , f (1)(t) 是 f(t) 的一阶导数,则
dftft
)()( )1(
t > -∞
若 f(1)(t) 的单边拉普拉斯变换用 F1(s) 表示,则 f(t) 的单边拉普拉斯变换为
s
sF
s
ftfLsF
)()0()]([)( 1
若 f(-∞)≠0 ,则
)()()( )1( fdftf
t t > -∞
第 4 章 连续系统的复频域分析
对于 t > 0- ,有
dff
fdfdftf
)()0(
)()()()(
0 )1(
0 )1(0 )1(
则 f(t) 的单边拉普拉斯变换为
s
sF
s
ftfLsF
)()0()]([)( 1
nn
s
sF
s
ftfLsF
)()0()]([)(
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.2-8 求图 4.2-2(a) 所示因果信号 f(t) 的单边拉氏变换。
解 f(t) 的二阶导数为
)3(2)2(2)1(2)(2)2( ttttf
由于 δ(t) ←→ 1, 由时移和线性性质得 sss eeetfLsF 32)2(
2 2222)]([)(
2
32
22
2
)1(2)()]([)(
s
eee
s
sFtfLsF
sss
由时域积分性质
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.2-2 例 4.2-8 图(a) f(t) 的波形; (b) f′(t) 的波形; (c) f″(t) 的波形
t0
2
2
(a )
1 3 t0
f ( t )
2
2
(b )
1 3 t0
f ( t )
(2)
2
(c )
3
£ 2
1
(£ 2) (£ 2)
(2)
¡å¡äf ( t )
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.2-9 求图 4.2-3(a) 所示信号 f(t) 的单边拉普拉斯变换。
解 方法一 由于
)1()()()( ttttf
根据单边拉氏变换的定义, 得
s
ettfLtfLsF
s )1()]()([)]([)(
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.2-3 例 4.2-9 图
f ( t )¡ä
t0
1
(a )
1
£ 1
t0
1
(b )
1
f ( t )( t )
t0
(2)
(c )
1
(£ 1)
f ( t )
第 4 章 连续系统的复频域分析
方法二 f(0-)=-1 , f(t) 的一阶导数为
)1()(2)1( tttf f(1)(t) 的单边拉氏变换为
setfLsF 2)]([)( )1(1 Re [ s ]> -∞
s
e
s
e
s
s
sF
s
ftfLsF
ss
121
)()0()]([)( 1
Re [ s ]> 0
第 4 章 连续系统的复频域分析
8. 复频域微分
若 f(t)←→ F(s), Re [ s ]> σ0 , 则有
n
nn
ds
sFdtft
ds
sdFtft
)()()(
)()()(
Re [ s ]> σ0
n=1, 2, …; Re [ s ]> σ0
证 根据单边拉普拉斯变换的定义
0
)()( dtetfsF stRe [ s ]> σ0
第 4 章 连续系统的复频域分析 例 4.2-10 求 f(t)=tnε(t) 的单边拉氏变换。
解 由于 ,1
)(s
t Re [ s ]> 0 ,根据式 (4.2 - 21) ,得
2
11)]()[(
ssds
dttL
Re [ s ]> 0
于是得 2
1)]([
sttL Re [ s ]> 0
由于 t2ε(t)=(-t) [ (-t)ε(t) ],
322 21
)]([ssds
dttL
Re [ s ]> σ0
重复应用以上方法可以得到 1
!)]([
nn
s
nttL Re [ s ]> σ0
第 4 章 连续系统的复频域分析
9. 复频域积分
若 f(t)←→ F(s) , Re [ s ]> σ0 ,则有
dFt
tfs
)()(
式中, 存在, 的单边拉普拉斯变换的收敛域
为 Re [ s ]> 0 和 Re [ s ]> σ0 的公共部分。 t
tft
)(lim
0 t
tf )(
第 4 章 连续系统的复频域分析 证 根据单边拉普拉斯变换的定义
0
)()( dtetfsF stRe [ s ]> σ0
对上式两边从 s 到∞积分,并交换积分次序得
00)()()( dtdetfddtetfdF
s
tt
ss
因为 t > 0, 所以上式方括号中的积分 在 Re [ s ]> 0
时收敛。因此得
des
t
00
)()()()(
t
tfLdte
t
tfdt
t
etfdF st
st
s
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.2-11 ),(sin
)( tt
ttf 求 f(t) 的单边拉氏变换。
解 由于 ,1
1)(sin
2
stt 根据复频域积分性质,得
s
dt
ttLsF
s
s
1arctanarctan
1
1)(sin)(
2
第 4 章 连续系统的复频域分析
10. 初值和终值定理
(1) 初值定理
若信号 f(t) 不包含冲激函数 δ(t) 及其各阶导数, 并且
)()( sFtf Re [ s ]> σ0
则信号 f(t) 的初值为
)(lim)(lim)0(0
ssFtffst
第 4 章 连续系统的复频域分析
(2) 终值定理
若 f(t) 在 t→∞ 时极限 f(∞) 存在,并且
f(t) ←→ F(s) Re [ s ]> σ0; -∞ < σ0 < 0
则 f(t) 的终值为
)(lim)(lim)( ssFtffst
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.2-12 )()0(),(cos)( ffttetf t 和求
解 由于 cos t·ε(t)←→ ,根据复频移性质, 则有 12 s
s
1)1(
1)]([)(
2
s
stfLsF 1]Re[ s
由初值定理得
11)1(
)1(lim)(lim)0(
2
s
ssssFf
ss
由终值定理得
01)1(
)1(lim)(lim)(
200
s
ssssFf
ss
第 4 章 连续系统的复频域分析 表 4.1 单边拉普拉斯变换的性质
第 4 章 连续系统的复频域分析 表 4.2 常用信号的单边拉普拉斯变换
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.3 单边拉普拉斯逆变换
4.3.1 查表法
例 4.3-1 已知 ,求 F(s) 的原函数 f
(t) 。
解 F(s) 可以表示为
44
1)(
2
ss
ssF
22 )2(
1
44
1)(
s
s
ss
ssF
第 4 章 连续系统的复频域分析
由附录 F 查得编号为 15 的象函数与本例中 F(s) 的形式相
同。编号 15 的变换对为
)(])[()( 110201 tebtabb
as
bsb at
与本例中 F(s) 的表示式对比,则 b1=1, b0=1 , α=2 ,代入变
换对得
)()1()]([)( 21 tetsFFtf t
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.3.2 部分分式展开法
若 F(s) 为 s 的有理分式,则可表示为
011
1
011
1
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sA
sBsF
nn
n
mm
mm
式中, ai(i=0, 1, 2, …, n-1) 、 bi(i=0, 1, 2, …, m) 均为实数。若
m≥n, 则 为假分式。若 m < n ,则 为真分式。 )(
)(
sA
sB)(
)(
sA
sB
第 4 章 连续系统的复频域分析
式中, ci(i=0, 1, 2, …, n-1) 为实数。 N(s) 为有理多项式,其逆
变换为冲激函数及其一阶到 m-n 阶导数之和。 为有理真分式,可展开为部分分式后求逆变换。例如,
)(
)(
sA
sD
若 F(s) 为假分式,可用多项式除法将 F(s) 分解为有理多项式与有理真分式之和, 即
nmn
nmn
scsccsN
sA
sDsN
sA
sDscsccsF
110
110
)(
)(
)()(
)(
)()(
第 4 章 连续系统的复频域分析
1
2
1
1)21(
)2)(1(
43)21(
23
61072)(
2
23
sss
ss
ss
ss
ssssF
则
)()2('2)()]([)( 21 teettsFLtf tt )(
第 4 章 连续系统的复频域分析
若 为有理真分式, 可直接展开为部分分式
后求逆变换。要把 F(s) 展开为部分分式,必须先求出 A(s)=0
的根。因为 A(s) 为 s 的 n 次多项式,所以 A(s)=0 有 n 个根 si
(i=1, 2, …, n) 。 si 可能为单根,也可能为重根;可能为实根,
也可能为复根。 si 又称为 F(s) 的极点。 F(s) 展开为部分分式
的具体形式取决于 si 的上述性质。
)(
)()(
sA
sBsF
第 4 章 连续系统的复频域分析
1. F(s) 仅有单极点
若 A(s)=0 仅有 n 个单根 si(i=1, 2, …, n) ,则根据附录 A
中式 (A-2) ,无论 si 是实根还是复根,都可将 F(s) 展开为
n
i i
i
n ss
K
ssssss
sB
sA
sBsF
121 )())((
)(
)(
)()(
式中,各部分分式项的系数 Ki
为
issii sFssK )()(
第 4 章 连续系统的复频域分析
i
ts
sste i
1)(
故 F(s) 的单边拉普拉斯逆变换可表示为
由于
)()]([)(1
1 teKsFFtfn
i
tsi
i
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.3-2 已知 ,求 F(s) 的单边拉氏逆变换 ( 原函数 )f(t) 。
65
5)(
2
ss
ssF
解 F(s) 的分母多项式 A(s)=0 的两个根分别为 s1=-2, s2=-
3 。因此, F(s) 的部分分式展开式为
32)3)(2(
5)( 21
s
K
s
K
ss
ssF
3)3)(2(
5)2( 21
sss
ssK
第 4 章 连续系统的复频域分析
2)3)(2(
5)3( 32
sss
ssK
所以
3
2
2
3)(
sssF
于是得
)()23()]([)( 321 teesFLtf tt
第 4 章 连续系统的复频域分析 2. F(s) 有重极点
若 A(s)=0 在 s=s1 处有 r 重根,而其余 (n-r) 个根 sj(j=r+1,
… , n) ,这些根的值是实数或复数,则由附录 A 中式 (A-8)
和 (A-11) 可得
n
rj
j
n
rj j
ir
ii
i
nrr
ss
KsF
ss
K
ss
K
ssssss
sBsF
1 11
11 1
1
11
)(
)()()()(
)()(
式中:
1)]()[(
)!(
1
)()(
11
1 1
11
ssr
r
ir
i
r
ii
i
sFssids
d
irK
ss
KsF
第 4 章 连续系统的复频域分析 先求 F1(s) 的逆变换,因为
ii
stt
i
1)(
)!1(
1 1
由复频移性质,可得
iits
sstte
i )(
1)(
)!1(
1
1
11
)()()!1( 1
1
11 1 sFteti
Kr
i
tsii
F(s) 的单边拉普拉斯逆变换为
)()()!1(
)]([)(11
111 1 teKteti
KsFLtf ts
n
rjj
r
i
tsii j
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.3-3 已知求 F(s) 的单边拉氏逆变换。
,)3()1(
53)(
2
ss
ssF
解 F(s) 有二重极点 s=-1 和单极点 s=-3 。因此, F(s) 可展开为
31)1()( 311
212
s
K
s
K
s
KsF
1)3()1(
53)1( 12
212
sss
ssK
1)3()1(
53)1( 12
211
sss
ss
ds
dK
第 4 章 连续系统的复频域分析
1)3()1(
53)3( 323
sss
ssK
于是得
3
1
1
1
)1(
1)(
2
ssssF
)()()]([)( 31 teetesFLtf ttt
第 4 章 连续系统的复频域分析
3. F(s) 有复极点
如果 A(s)=0 的复根为 s1,2=-α±jβ ,则 F(s) 可展开为
js
K
js
K
js
K
js
K
jsjs
sBsF
*11
21
))((
)()(
式中, K2=K*1 。 令 K1=|K1|ejφ, 则有
js
eK
js
eKsF
jj
11)(
第 4 章 连续系统的复频域分析
由复频移和线性性质得 F(s) 的原函数为
)()cos(2
)(][)]([)(
1
)()(1
)(1
)(1
1
tteK
eeeK
teeKeeKsFLtf
t
tjtjt
tjjtjj
对于 F(s) 的一对共轭复极点 s1=-α+jβ 和 s2=-α-jβ ,只需要
计算出系数 K1=|K1|ejφ( 与 s1 对应 ) ,然后把 |K1| 、 φ 、 α 、 β
代入式 (4.3 - 8) , 就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。
第 4 章 连续系统的复频域分析
如果 F(s) 有复重极点,那么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以 A(s)=0 的根为二重共轭复根 s1,2=-α±jβ
为例, 其 F(s) 可展开为
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()(
)()(
121211
21211
212
*11
2
*1211
212
212
22112
12
22
js
eK
js
eK
js
eK
js
eK
js
K
js
K
js
K
js
K
js
K
js
K
js
K
js
K
jsjs
sBsF
jjjj
第 4 章 连续系统的复频域分析
式中:
2
1
2
1
12*1222
11*1121
1212
1111
j
j
j
j
eKKK
eKKK
eKK
eKK
根据复频移和线性性质,求得 F(s) 的原函数为
)()cos(2)()cos(2
)()(
)]([)(
212111
)()(12
)()(11
1
2211
ttteKtteK
teeeetKteeeeK
sFLtf
tt
tjjtjjtjjtjj
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.3-4 已知 ,84
82)(
2
ss
ssF 求 F(s) 的单边拉氏逆变换 f(t) 。
解 F(s) 可以表示为
)22)(22(
82
4)2(
82)(
2 jsjs
s
s
ssF
F(s) 有一对共轭单极点 s1,2=-2±j2, 可展开为
)22()22()( 21
js
K
js
KsF
第 4 章 连续系统的复频域分析
于是得
4222
4221
21)()22(
21)()22(
j
js
j
js
ejsFjsK
ejsFjsK
22
2
22
2)(
44
js
e
js
esF
jj
2,2,4
,21 K 于是得
)(4
2cos22)]([)( 2 ttesFLtf t
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.3-5 已知 ,求 F(s) 的单边拉氏逆变换。 )2(
)4()(
2
ss
essF
s
解 F(s) 不是有理分式,但 F(s) 可以表示为 sesFsF 2
1 )()( 式中, F1( s)
2
12
)2(
4)(1
ssss
ssF
由线性和常用变换对得到)()2()]([)( 2
11
1 tesFLtf t
由时移性质得
)2(]2[
])([)]([)(
)2(2
21
11
te
esFLsFLtf
t
t
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.3-6 已知单边拉氏变换 22 )1(
2)(
s
ssF
求 F(s) 的原函数 f(t) 。
解 F(s) 为有理分式,可用部分分式法求 f(t) 。但 F(s) 又可表示为
1
1)(
2sds
dsF
因为 1
1)(sin
2
stt , 根据复频域微分性质,
则 F(s) 的原函数为
)(sin)](sin)[()]([)( 1 ttttttsFLtf
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.3-7 已知 ,1
1)(
2sesF
求 F(s) 的单边拉氏逆变换。
解 F(s) 不是有理分式,不能展开为部分分式。 F(s)
可以表示为
s
s
ss
s
e
e
ee
esF
4
2
22
2
1
1
11
1)(
对于从 t=0- 起始的周期性冲激序列 其单
边拉氏变换为
),(0
nTtn
sTn e
nTtL
1
1])([
0
0]Re[ s
第 4 章 连续系统的复频域分析
由于settL 21)]2()([ ]Re[s
因此,根据时域卷积性质得
s
s
n e
ettnt
4
2
0 1
1)]2()([)4(
于是得
)]42(4[
)2()(4)]([)(
0
0
1
ntnt
ttntsFLtf
n
n
)(
)(
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.3-7 中 f(t) 与 F(s) 的对应关系可以推广应用到一般从t=0- 起始的周期信号。设 f(t) 为从 t=0- 起始的周期信号,周期为 T , f1(t) 为 f(t) 的第一周期内的信号。 f(t) 和 f1(t) 如图 4.3-
1(a) 、 (b) 所示。 f(t) 可以表示为
0
10
1 )()()()(nn
nTttfnTtftf
令 f1(t) ←→ F1(s), f(t) ←→ F(s), 则有
sTe
sFsF
1
)()( 1 Re [ s ]> 0
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.3-1 因果周期信号
to
(a )
f1 ( t )
to
(b )
T 2 T
¡
f ( t )
第 4 章 连续系统的复频域分析
* 4.3.3 反演积分法
单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义
式求逆变换,这种方法称反演积分法。
单边拉普拉斯逆变换的定义为
j
j
stdsesFj
tf
)(
2
1
0
)(0
0
t
t
第 4 章 连续系统的复频域分析
留数定理的内容为:若复变函数 G(s) 在闭合曲线 L 上及
其内部,除内部的有限个孤立奇点外处处解析,则 G(s)沿闭
合曲线 L 的积分等于 2πj 乘以 G(s) 在这些奇点 (si) 的留数之和,
即
L
Ls
sGsjdssGi内奇点
)]([Re2)(
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.3-2 拉普拉斯逆变换的积分路径
o
j
A
B
C D
1 2a
第 4 章 连续系统的复频域分析
若给积分路径 AB补充一半圆 C ,如图 4.3 - 2 所示,则构成一闭合路径 L(ACBA) 。若令 G(s)=F(s)est ,且 G(s) 的奇点全部是极点,根据留数定理, 则有
内极点L
st
s
st
L
C
stj
j
st
esFs
dsesFj
dsesFj
dsesFj
i
])([Re
)(2
1
)(2
1)(
2
1
第 4 章 连续系统的复频域分析
根据留数定理和约当引理,则 F(s) 的单边拉普拉斯逆变换为
左侧极点
])([Re
0)(
st
isesFs
a
tf t > 0
t<0
根据复变函数理论,若 F(s) 为有理真分式,并且 F(s)est 的极
点 s=si 为一阶极点,则该极点的留数为
issst
ist esFssesFs )()(])([Re
若 F(s)est 的极点 s=si 为 r 重极点,则该极点的留数为
ii
ssstr
ir
rst
sesFss
ds
d
resFs
)()()!1(
1])([Re
1
1
(4.3 - 15)
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.3-8 已知 ,)2)(3(
1)(
2
sssF Re [ s ]> -2 。
求 F(s) 的单边拉氏逆变换。
解 选 σa > -2 ,则 F(s)est 在 σa左侧的极点分别为一阶极
点 s1=-3 和二重极点 s2=-2 。
tts
stst
s
ts
stst
s
eteesFsds
desFs
eesFsesFs
222
2
33
)()2(])([Re
)()3(])([Re
2
1
第 4 章 连续系统的复频域分析
于是,根据式 (4.3 - 15) ,得
])([Re])([Re
0)(
21
st
s
st
sesFsesFs
tf
t > 0
t<0
)(])1([
0
23
223
tete
etee
tt
ttt
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.4 连续系统的复频域分析
4.4.1 连续信号的复频域分解
根据单边拉普拉斯逆变换的定义,若信号 f(t) 的单边拉普拉斯变换为 F(s) , 则信号 f(t) 可以表示为
dsesFj
tfj
j
st
)(
2
1)( 0t
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.4.2 基本信号 est 激励下的零状态响应
若线性时不变连续系统 (LTI) 的输入为 f(t), 零状态响应为 yf(t) ,冲激响应为 h(t) ,由连续系统的时域分析可知 :
)()()( thtfty f
若系统的输入为基本信号,即 f(t)=est, 则
dehedehthety ssttsstf
)()()()( )(
若 h(t) 为因果函数,则有
)()()(0
sHedehty ststf
第 4 章 连续系统的复频域分析
式中:
)]([)()()(00
thLdtethdehsH sts
即, H( s)是冲激响应 h(t) 的单边拉普拉斯变换,称为线
性边续系统的系统函数, est 称为系统的特征函数。
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.4.3 一般信号 f(t) 激励下的零状态响应
对于 σ-j∞ 到 σ+j∞ 区间上的任一 s ,信号 est产生的零状态响应为 H(s)est 。 est 与其响应的对应关系表示为
stst esHe )(
根据线性系统的齐次性,对于 σ-j∞ 到 σ+j∞ 区间上的任一 s ,
为一复数,因此,信号 产生的零状
态响应可以表示为
dssFj
)(2
1
stedssF
j)(
2
1
stst esdsHsFj
edssFj
)()(2
1)(
2
1
第 4 章 连续系统的复频域分析
根据线性系统的可加性,由于系统的输入信号 f(t) 可以分解为σ-j∞ 到 σ+j∞ 区间上不同 s 的指数信号 的和( 积分 ) ,因此,系统对 f(t) 的零状态响应等于这些指数信号产生的零状态响应之和。 对应关系为
stedssFj
)(2
1
j
j
stj
j
st dsesHsFj
dsesFj
tf
)()(
2
1)(
2
1)(
即 f(t)产生的零状态响应 Yf
(t)
dsesHsFj
tyj
j
stf
)()(
2
1)(
第 4 章 连续系统的复频域分析
因为 f(t) 、 h(t) 是因果信号,所以 yf(t) 也是因果信号。
另一方面,由于 yf(t)=h(t)*f(t) ,根据时域卷积性质,则 yf
(t) 的单边拉普拉斯变换为 )()()]([)( sFsHtyLsY ff
j
j
stf dsesY
j
tyf
)(
2
1
0
)(0
0
t
t
)(
)()(
sF
sYfsH
第 4 章 连续系统的复频域分析
式 (4.4-6) 和式 (4.4-7) 表明, 系统的零状态响应可按以
下步骤求解:
(1) 求系统输入 f(t) 的单边拉普拉斯变换 F(s);
(2) 求系统函数 H(s);
(3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换 Yf(s) , Yf(s)=H(s)F
(s);
(4) 求 Yf(s) 的单边拉普拉斯逆变换 yf(t) ;
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.4-1 已知线性连续系统的输入为 f1(t)=e-tε(t) 时,零状
态响应 yf1(t)=(e-t-e-2t)ε(t) 。若输入为 f2(t)=tε(t) ,求系统的零状
态响应 yf2(t) 。
)2)(1(
1
2
1
1
1)]([)(
1
1)]([)(
11
11
sssstYLsY
stfLsF
ff
2
1
)(
)()(
1
1
ssF
sYsH f
第 4 章 连续系统的复频域分析
f2(t) 的单边拉氏变换为
222
1)]([)(
stfLsF
yf2(t) 的单边拉氏变换为
sssss
sFsHtyLsY ff
1
)2(
12
4
1
)2(
1
)()()]([)(
22
222
于是得
)()12(4
1)]([)( 2
21
2 tetsYLty tff
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.5 系统微分方程的复频域解
设二阶连续系统的微分方程为
)()(')(")()(')(" 01201 tfbtfbtfbtyatyaty
式中, a0 、 a1 和 b0 、 b1 、 b2 为实常数; f(t) 为因果信号,因
此, f(0-) 、 f′(0-) 均为零。设初始时刻 t0=0, y(t) 的单边拉普拉
斯变换为 Y(s) ,对式 (4.5-1) 两端取单边拉普拉斯变换, 根据
时域微分性质,得
第 4 章 连续系统的复频域分析
)()()(
)()]0()([)]0(')0()([
012
2
012
sFbssFbsFsb
sYayssYaysysYs
)()(
)]0(')0()[()()(
012
2
1012
sFbsbsb
yyassYasas
分别令
)0(')0()()(
)(
)(
1
012
2
012
yyassM
bsbsbsB
asassA
第 4 章 连续系统的复频域分析
)()(
)(
)(
)()( sF
sA
sB
sA
sMsY
对式 (4.5-4) 取单边拉普拉斯逆变换,就得到系统的完全响应 y(t) 、零输入响应 yx(t) 和零状态响应 yf(t) , 即
)()(
)()(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)()(
1
1
1
sFsA
sBLty
sA
sMLty
sFsA
sB
sA
sMLty
f
x
第 4 章 连续系统的复频域分析
由于 Yf(s)=H(s)F(s), 则二阶系统的系统函数为
012
012
2
)(
)()(
asas
bsbsb
sA
sBsH
设 n 阶边续系统的微分方程为
m
j
ji
n
i
ii tfbtya
0
)(
0
)( )()(
n 阶系统的微分方程为
011
1
011
1
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sA
sBsH
nn
n
mm
mm
第 4 章 连续系统的复频域分析
关于响应的初始值需注意以下问题:
)()()( )()()( tytyty if
ix
i 1,,2,1,0 ni
于是得
)0()0()0( )()()( if
ix
i yyy
)0()0()0( )()()( if
ix
i yyy
( 1)对于 n 阶线性连续系统,由于 yx(t)+yf(t), 因此有
第 4 章 连续系统的复频域分析
)0()0( )()( iix yy
)0()0()0( )()()( if
iix yyy
( 2)对于 n 阶线性连续因果系统,若在 t<0 和 t>0 时 yx
(t) 满足的微分方程相同,则
)0()0( )()( ix
ix yy 1,,2,1,0 ni
对于因果系统,若输入 f(t) 为因果信号,则
一般不等于零,因此得
)0(,0)0( )()( if
if yy 而
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.5-1 已知线性系统的微分方程为
)()('3)(6)('5)(" tftftytyty
求系统的零输入响应 yx(t) 、零状态响应 yf(t) 和完全响应 y(t) 。
2)0(',1)0(),()( yytetf t
第 4 章 连续系统的复频域分析
f(t) 的单边拉氏变换为
1
1)]([)(
steLsF t
解
方法 1 根据单边拉氏变换的时域微分性质,对系统微分方程取单边拉氏变换,得
)()(3
)(6)]0()([5)]0(')0()([ 2
sFssF
sYyssYysysYs
第 4 章 连续系统的复频域分析
求 Y(s) 、 Yx(s) 、 Yf(s) 的单边拉氏逆变换,得
)()45()(
45)(
810)(
32
32
32
teeety
eety
eeety
tttf
ttx
ttt
0
0
t
t
第 4 章 连续系统的复频域分析
方法 2 分别根据 yx(t) 和 yf(t) 满足的微分方程求 yx(t) 和
yf(t) 。 yx(t) 满足的微分方程为
)()('3)(6)(5)( '" tftftytyty ffx
由于 f(t) 为因果信号,所以 f(0-)=0 , yf(0-)=y′f(0-)=0 。
yf(t) 满足的微分方程为
0)(6)(5)( '" tytyty xxx
yx(t) 的初始条件 yx(0-)=y(0-) 、 yx’(0-)=y′(0-) 。
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.6 RLC 系统的复频域分析4.6.1 KCL 、 KVL 的复频域形式
KCL 和 KVL 的时域形式分别为
0)(
0)(
tu
ti
设 RLC 系统 (电路 ) 中支路电流 i(t) 和支路电压 u(t) 的单边拉普拉斯变换分别为 I(s) 和 U(s) ,对式 (4.6 - 1) 取单边拉普拉斯变换,根据线性性质, 得到
0)(
0)(
sU
sI
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.6.2 系统元件的复频域模型
1. 电阻元件 (R)
设线性时不变电阻 R 上电压 u(t) 和电流 i(t) 的参考方向关联, 则 R 上电流和电压关系 (VAR) 的时域形式为
)()( tRitu
电阻 R 的时域模型如图 4.6-1(a) 所示。设 u(t) 和 i(t) 的象函数分别为 U(s) 和 I(s) ,对式 (4.6-3) 取单边拉普拉斯变换, 得 )()( sRIsU
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.6-1 R 的时域和 S 域模型
(a) 时域模型; (b) S 域模型
(a )
i ( t ) R
u ( t )£« £
(b )
I (s ) R
U (s )£« £
第 4 章 连续系统的复频域分析
2. 电感元件 (L)
设线性时不变电感 L 上电压 u(t) 和电流 i(t) 的参考方向关联, 则电感元件 VAR 的时域形式为
0)(1
)0()(
)()(
0tdu
Liti
dt
tdiLtu
t
(4.6-5)
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.6-2 电感 L 的时域和零状态 S 域模型(a) 时域模型; (b) 零状态 S 域模型
(a )
i ( t ) L
u ( t )£« £
(b )
I (s ) sL
U (s )£« £
第 4 章 连续系统的复频域分析
电感 L 的时域模型如图 4.6-2(a) 所示。设 i(t) 的初始值 i
(0-)=0(零状态 ) , u(t) 和 i(t) 的单边拉普拉斯变换分别为 U(s)
和 I(s) , 对式 (4.6-5) 取单边拉普拉斯变换,根据时域微分、积分性质, 得
)()( ssLIsU 若电感 L 的电流 i(t) 的初始值 i(0-) 不等于零,对式 (4.6-
5) 取单边拉普拉斯变换,可得
s
isU
sLsI
LissLIsU
)0()(
1)(
)0()()(
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.6-3 电感元件的非零状态 S 域模型(a) 串联模型; (b) 并联模型
(a )
I (s )
U (s )
£«£
£« £
sLLi (0 £ )
(b )
I (s )
U (s )£« £
sL
i L (0 -)s
第 4 章 连续系统的复频域分析
3. 电容元件 (C)
设线性时不变电容元件 C 上电压 u(t) 和电流 i(t) 的参考方向关联, 则电容元件 VAR 的时域形式为
dt
tduCti
tdiC
utut
)()(
0)(1
)0()(0
第 4 章 连续系统的复频域分析 电容元件的时域模型如图 4.6-4(a) 所示。若 u(t) 的初始值 u
(0-)=0(零状态 ) , u(t) 和 i(t) 的单边拉普拉斯变换分别为 U(s)
和 I(s) , 对式 (4.6-9) 取单边拉普拉斯变换,得
)(1
)( sIsC
sU
若电容元件 C 上电压 u(t) 的初始值 u(0-) 不等于零,对式(4.6-9) 取单边拉普拉斯变换, 得
)0()()(
)0()(
1)(
CussCUsI
s
usI
sCsU
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.6-4 电容元件的时域和零状态 S 域模型(a) 时域模型; (b) 零状态 S 域模型
(b )
I (s )
U (s )£« £
(a )
i ( t ) C
u ( t )£« £
sC1
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.6-5 电容元件的非零状态 S 域模型(a) 串联模型; (b) 并联模型
(b )
I (s )
U (s )£« £
C u C (0 £ )
(a )
I (s )
U (s )£« £
sC1
£« £
u (0 £ )s
sC1
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.6.3 RLC 系统的复频域模型及分析方法
例 4.6-1 图 4.6-6(a) 所示 RLC 系统, us1(t)=2V, us2(t)=4V,
R1=R2=1Ω , L=1H , C=1F。 t < 0 时电路已达稳态, t=0
时开关 S 由位置 1 接到位置 2 。求 t≥0 时的完全响应 iL(t) 、零
输入响应 iLx(t) 和零状态响应 iLf(t) 。 解 (1) 求完全响应 iL(t) :
VtuRR
Ru
ARR
tui
sC
sL
1)()0(
1)(
)0(
121
2
21
1
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.6-6 例 4.6-1 图
(b )
R2
R1
IL
(s )
L£«
£
sC1
u C (0 £ )s L i L (0 £ )
£«
£
Us2
(s )
I2
(s )
I 1 (s )
(a )
uC
( t )£«
£
R2
R1
i L ( t )
LC
S
t £½ 0
£«
£
us 2
( t )
21
£«
£
us 1
( t )
(c )
R 2R 1
IL x(s )
sL£«
£
sC1
u C (0 £ )s
Li L (0 £ )
I2x
(s )I1x
(s )
£«
£
(d )
R 2R 1
I L f(s )
sLsC1£«
£
I1 f
(s )
U s2 (s )
£«
£
第 4 章 连续系统的复频域分析
则 S 域的网孔方程为
)0()0(
)(1
)(1
)0()()(
1)(
1
221
2211
LC
CS
Lis
usIsLR
sCsI
sC
s
usUsI
sCsI
sCR
式中, , 把 Us2(s) 及各元件的值代入网
孔方程, 解网孔方程得
stuLsU ss /4)]([)( 22
第 4 章 连续系统的复频域分析
]1)1[(
)2(
)22(
42)()(
2
2
2
2
2
ss
s
sss
sssIsIL
求 IL(s) 的单边拉氏逆变换,得
)(4
3cos22)]([)( 1 AtesILti t
LL
0t
第 4 章 连续系统的复频域分析 (2) 求零输入响应 iLx(t) :设零输入响应 iLx(t) 的单边拉氏变换为 ILx(s) ,网孔电流的象函数分别为 I1x(s) 和 I2x(s) ,如图 4.6 -
6(c) 所示。列网孔方程,得
)0()0(1
)(1
)0()(
1)(
1
21
211
LC
x
Cxx
Lis
usLR
sCsI
sC
s
usI
sCsI
sCR
把各元件的值及 uC(0-) 和 iL(0-) 的值代入网孔方程,
1)1(
2)()(
22
s
ssIsI xLx
)(4
3cos2)]([)( 1 AtesILti t
LxLx
0t
第 4 章 连续系统的复频域分析
(3) 求零状态响应 iLf(t) :
对图 4.6 - 1(b) 所示电路模型,令 iL(0-)=0 、 uC(0-)=0 ,得到
开关 S 在位置 2 时零状态响应的 S 域电路模型,如图 4.6 -6(d)
所示。设零状态响应 ILf(t) 的单边拉氏变换为 ILf(s) ,可应用网孔
分析法求 ILf(s) , 然后求 ILf(s) 的逆变换得到 iLf(t) 。此外,也可
以根据 S 域电路模型求出系统函数 H(s) ,然后通过 H(s) 求 ILf(s)
和 iLf(t) 。令 ab端的输入运算阻抗为 Z(s) ,则有
sLRsC
sCsLR
RsZ
2
2
1 1
1)(
)(
第 4 章 连续系统的复频域分析
于是得
)(
)()( 2
1 sZ
sUsI s
f
)(
)(1
1
)(1
1
)( 2
2
1
2sZ
sU
sLRsC
sCsIsLR
sC
sCsI sfLf
把 Z(s) 的表示式代入上式得到 H(s) 为
22
1
)()(
1
)(
)()(
22121
212
ssRRsLCRRLCsRsU
sIsH
s
Lf
第 4 章 连续系统的复频域分析
因此得
]1)1[(
4)()()(
22
sssUsHsI sLf
求 ILf(s) 的单边拉氏逆变换, 得
))((4
3cos222)( Atteti t
Lf
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.7 连续系统的表示和模拟
4.7.1 连续系统的方框图表示
图 4.7-1 系统的方框图表示
f ( t ) y ( t )
第 4 章 连续系统的复频域分析
一个连续系统可以用一个矩形方框图简单地表示,如图 4.
7-1 所示。 方框图左边的有向线段表示系统的输入 f(t) ,右边的有向线段表示系统的输出 y(t) ,方框表示联系输入和输出的其他部分, 是系统的主体。此外,几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统,称为复合系统。组成复合系统的每一个系统又称为子系统。系统的组合连接方式有串联、并联及这两种方式的混合连接。此外,连续系统也可以用一些输入输出关系简单的基本单元 (子系统 ) 连接起来表示。这些基本单元有加法器、数乘器 (放大器 ) 、 积分器等。
第 4 章 连续系统的复频域分析
1. 连续系统的串联
图 4.7-2 连续系统的串联(a) 时域形式; (b) 复频域形式
¡
hn
( t )
Y (s )
¡
Hn
(s )
f ( t ) h1
( t )
F (s ) H1
(s )
h2
( t )
(a )
H2
(s )
(b )
y ( t )
第 4 章 连续系统的复频域分析
设复合系统的冲激响应为 h(t) ,根据线性连续系统时域分析的结论, h(t) 与 hi(t) 的关系为
)(**)(*)()( 21 thththth n
若 h(t) 和 hi(t) 为因果函数, h(t) 的单边拉普拉斯变换即系
统函数为 H(s) ,根据单边拉普拉斯变换的时域卷积性质,
H(s) 与 Hi(s) 的关系为
)()()()( 21 sHsHsHsH n
第 4 章 连续系统的复频域分析
2. 连续系统的并联
图 4.7-3 连续系统的并联(a) 时域形式; (b) 复频域形式
h1
( t )
h2
( t )
h n ( t )
¡
£«£«
£«+
(a )
F (s ) Y (s )
H1
(s )
H2
(s )
H n (s )
¡
£«
£«
£«
(b )
f ( t ) y ( t ) +
第 4 章 连续系统的复频域分析
复合系统的冲激响应 h(t) 与子系统冲激响应 hi(t) 之间的关系为
n
iin ththththth
121 )()()()()(
n
iin sHsHsHsHsH
121 )()()()()(
h(t) 的单边拉普拉斯变换,即系统函数 H(s) 与 hi(t) 的单边
拉普拉斯变换 Hi(s) 之间的关系为
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.7-1 某线性连续系统如图 4.7-4 所示。
其中, h1(t)=δ(t), h2(t)=δ(t-1), h3(t)=δ(t-3) 。
(1) 试求系统的冲激响应 h(t);
(2) 若 f(t)=ε(t) , 试求系统的零状态响应 yf(t) 。
解
(1) 求系统冲激响应 h(t): 图示复合系统是由子系统 h1(t) 与
子系统 h2(t)串联后再与子系统 h3(t) 并联组成的。设由子系统
h1(t) 和 h2(t)串联组成的子系统的冲激响应为 h4(t) ,由式 (4.7-
1) 和式 (4.7-2) 得
第 4 章 连续系统的复频域分析
sethLthLthLsH
tttththth
)]([)]([)]([)(
)1()1()()()()(
2144
214
复合系统的冲激响应和系统函数分别为
ss eethLthLthLsH
ttththth
334
34
)]([)]([)]([)(
)3()1()()()(
第 4 章 连续系统的复频域分析
(2) 求 f(t)=ε(t) 时系统的零状态响应 yf(t): 设系统零状态响
应 yf(t) 的单边拉氏变换为 Yf(s) ,则
seesFsHsY ss
f
1)()()()( 3
求 Yf(s) 的单边拉氏逆变换得
)3()1()]([)( 1 ttsYLtY ff
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.7-4 例 4.7-1 图
h 1 ( t ) h 2 ( t )
£«
£
h4
( t )
h 3 ( t )
+f ( t ) y ( t )
第 4 章 连续系统的复频域分析
3. 用基本运算器表示系统
图 4.7-5 基本运算器的时域和 S 域模型(a) 数乘器; (b) 加法器; (c) 积分器
f ( t ) af ( t )a F (s ) aF (s )a
(a )
f1
( t )£«f2
( t )
f1
( t )
f2 ( t )
£«
£«F
1(s )£«F
2(s )
F1
(s )
F 2 (s )
(b )
y ( t )£½¡Ò f ( )d ¡Ò F (s ) Y (s )£½
(c )
s1 F (s )
st
- ¡Þ
+
f ( t )
£«
£«+
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.7-2 某线性连续系统如图 4.7-6 所示。求系统函数 H(s),
写出描述系统输入输出关系的微分方程。
图 4.7-6 例 4.7-2 图
F (s ) Y (s )
a 0
a1
£«
£ £
b 0
b 1
s 2 X (s ) s X (s ) X (s ) £« £«+ +s
1s1
第 4 章 连续系统的复频域分析
解
012
012
)()(
)()()()(
asas
sFsX
sFsXassXasXs
Y(s) 为右边加法器的输出,该加法器有两个输入,如图所示。
因此有
于是得
)()()()()( 0101 sXbsbsXbssXbsY (4.7 - 6)
(4.7 - 5)
第 4 章 连续系统的复频域分析
把式 (4.7 - 5) 代入式 (4.7 - 6) , 得
)()(01
201 sFasas
bsbsY
系统函数为
012
01
)(
)()(
asas
bsb
sF
sYsH
)()()()( 01012 sFbsbsYasas
对上式应用时域微分性质, 得到系统微分方程为
)()(')()(')(" 0101 tfbtfbtyatyaty
第 4 章 连续系统的复频域分析 4.7.2 连续系统的信号流图表示 H1
(s )X
1(s ) X
2(s ) X
2(s )£½X
1(s )H
1(s )
(a )
H 1 (s )
X 2 (s ) X 4 (s )
X 1 (s )
X 3 (s )
H 2 (s )
H 3 (s )
(b )
X4
(s )£½X1
(s )H1
(s )£«X2
(s )H2
(s )
£«X 3 (s )H 3 (s )
H1
(s )
X2
(s )X (s )
X1
(s )
X 3 (s )
H2
(s )
H 3 (s )
(c )
X 1 (s )£½X (s )H 1 (s )
X2
(s )£½X (s )H2
(s )
X3
(s )£½X (s )H3
(s )
H1
(s )
X 2 (s ) X 4 (s )
X1
(s )
X 3 (s )
H2
(s )
H 3 (s )
H5
(s )
H 6 (s )
X5
(s )
X 6 (s )
(d )
X4
(s )£½X1
H1
(s )£«X2
(s )H2
(s )
£«X 3 (s )H 3 (s )
X 5 (s )£½X 4 (s )H 5 (s )
X6
(s )£½X4
(s )H6
(s )
图 4.7-7 信号流图的规则
第 4 章 连续系统的复频域分析
关于信号流图, 还有如下常用术语:
(1) 节点:信号流图中表示信号的点称节点。
(2) 支路:连接两个节点的有向线段称为支路。写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。
(3) 源点与汇点:
(5) 开路:一条通路与它经过的任一节点只相遇一次,该通路称开路。
(6) 环 (回路 ) :如果通路的起点和终点为同一节点,并且与经过的其余节点只相遇一次,则该通路称为环或回路。
第 4 章 连续系统的复频域分析 1. 连续系统的信号流图表示
图 4.7-8 信号流图与方框图的对应关系
F (s ) Y (s )H (s ) F (s ) Y (s )H (s )
(a )
F (s ) Y (s ) F (s ) Y (s )a
(b )
a
F 1 (s )
F 2 (s )
£«
£«Y (s )
(c )
F 2 (s )
Y (s )
F1
(s ) 1
1
F (s ) Y (s ) F (s ) Y (s )
(d )
s1 s
1
+
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.7-3 某线性连续系统的方框图表示如图 4.7-9(a) 所示。画出系统的信号流图。
图 4.7-9 例 4.7-3 图(a) 方框图; (b) 信号流图
Y (s )F (s ) 1 X 1 (s ) H 1 (s ) H 3 (s )
X 2 (s )
H 2 (s )
(b )
£«
(a )
£«
X 1 (s )H 1 (s ) H 3 (s )
H 2 (s )
Y (s )X 2 (s )+
F (s )
第 4 章 连续系统的复频域分析
解 系统的方框图中, H1(s) 、 H2(s) 、 H3(s) 分别是三个
子系统的系统函数。设加法器的输出为 X1(s), 子系统 H1(s) 的
输出为 X2(s) ,则有
)()()()( 221 sXsHsFsX
)()()( 112 sXsHsX
)()()( 23 sXsHsY
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.7-4 某线性连续系统的方框图表示如图 4.7-10(a) 所示。 画出系统的信号流图。
图 4.7-10 例 4.7-4 图(a) 方框图; (b) 信号流图
F (s ) Y (s )
a 0
a 1
£«
£ £
b 0
b 2
X 1 (s )
£«
£«
Y (s )F (s )1 X 1 (s ) X 2 (s )
(b )
s1
s1X 2 (s ) X 3 (s )
£«
b 1
(a )
£ a 1
£ a 0
s1
s1
X 3 (s )
b 2
b 1
b 0
+ +
第 4 章 连续系统的复频域分析
解 设左边加法器的输出为 X1(s) ,左边第一和第二个积分
器的输出分别为 X2(s) 和 X3(s) ,则有
)()()()(
)(1
)(
)(1
)(
)()()()(
302112
23
12
30211
sXbsXbsXbsY
sXs
sX
sXs
sX
sXasXasFsX
第 4 章 连续系统的复频域分析
2. 梅森公式 (Mason's Rule)
m
iiiP
sH 1)(
式中, Δ 称为信号流图的特征行列式,表示为
rqp
rqpnm
nmi
j LLLLLL,,,
1
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.7-5 已知连续系统的信号流图如图 4.7-11 所示。求系统函数 H(s) 。
图 4.7-11 例 4.7-5 图
G1
(s )
Y (s )F (s )H
2(s ) 1 H
3(s )
G 2 (s )
G 3 (s )
G 4 (s )
1H4
(s )H1
(s )
第 4 章 连续系统的复频域分析
解 系统信号流图共有四个环,环传输函数分别为
)()()()(
)()(
)()(
)()(
14324
443
332
221
sGsHsHsHL
sGsHL
sGsHL
sGsHL
)()()()(
)()()()(
442231
332221
sGsHsGsHLL
sGsHsGsHLL
第 4 章 连续系统的复频域分析
系统信号流图中从 F(s) 到 Y(s) 只有一条开路,开路传输函数P1 和对应的剩余流图特征行列式分别为
1
)()()()(
1
33211
sHsHsHsHP
得到系统信号流图的特征行列式为
)]()()()()()()()([
)]()()()()()()()()()([1
)()(1
44223322
1432443322
31214321
sGsHsGsHsGsHsGsH
sGsHsHsHsGsHsGsHsGsH
LLLLLLLL
)()()()(
)( 432111 sHsHsHsHPsH
得到系统函数为
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.7.3 连续系统的模拟
1. 直接形式
以二阶系统为例, 设二阶线性连续系统的系统函数为
012
012
2)(asas
bsbsbsH
给 H(s) 的分子分母乘以 s-2 ,得到
)(1)(
20
11
20
112
sasa
sbsbbsH
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.7-12 二阶系统直接形式信号流图(a) 直接形式Ⅰ ; (b) 直接形式Ⅰ的方框图表示;
(c) 直接形式Ⅱ ; (d) 直接形式Ⅱ的方框图表示
F (s ) Y (s )
a0
a 1
£«
£ £
b 0
b2
£«
£«
s1
s1
£«b 1
(b )(a )
Y (s )F (s )1
£ a1
£ a 0
b 2b 1
b0
s £ 1 s £ 1
(c )
1
£ a 1
£ a0
b 2
b 1
b 0s £ 1s £ 1
Y (s )F (s ) F (s ) Y (s )
(d )
b0 s
1s1
b 2
b 1
a 0
a1
£«
£ £
£« £«
+ +
++
第 4 章 连续系统的复频域分析
2. 级联 ( 串联 ) 形式
如果线性连续系统由 n 个子系统级联组成,如图 4.7-2 所示, 则系统函数 H(s) 为
)()()()( 21 sHsHsHsH n
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.7-6 已知线性连续系统的系统函数为
12198
2)(
23
2
sss
sssH
求系统级联形式信号流图。
解 用一阶节和二阶节的级联模拟系统。 H(s) 又可以表示为
)()()4)(3(
2
)1()( 21 sHsH
ss
s
s
ssH
第 4 章 连续系统的复频域分析
式中, H1(s) 和 H2(s) 分别表示一阶和二阶子系统。 它们的表
示式为
)127(1
2
127
2
)4)(3(
2)(
)(1
1
1)(
21
21
22
11
ss
ss
ss
s
ss
ssH
ss
ssH
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.7-13 例 4.7-6 图(a) 子系统信号流图; (b) 系统的级联形式信号流图
Y 1 (s )F 1 (s )
(a )
1 s £ 1
£ 1
1
Y 2 (s )F 2 (s )1 s £ 1
£ 7
1
£ 12
s £ 1 2
F (s )1 s £ 1
£ 1
1
Y (s )1 s £ 1
£ 7
1
£ 12
s £ 1 2
(b )
第 4 章 连续系统的复频域分析
3. 并联形式
若系统由 n 个子系统并联组成,如图 4.7-3 所示,则系
统函数 H(s) 为
)()()()( 21 sHsHsHsH n
这种情况下,先把每个子系统用直接形式信号流图模拟, 然后把它们并联起来,就得到系统并联形式的信号流图。
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.7-7 已知线性连续系统的系统函数 H(s) 为
6116
82)(
23
sss
ssH
求系统级联形式信号流图。
解 用一阶节和二阶节的级联模拟系统。 H(s) 又可以表示为
)()(
65
103
1
3
)]3)(2)[(1(
82)(
21
2
sHsH
ss
s
s
sss
ssH
第 4 章 连续系统的复频域分析
式中:
)65(1
103
652
103)(
)(1
3
1
3)(
21
21
2
1
1
1
ss
ss
ss
ssH
s
s
ssH
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.7-14 例 4.7-7 图
Y (s )
s £ 1
£ 5
£ 6
s £ 1
£ 3
£ 10
s £ 1
£ 1
3
1
1
1
1F (s )
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.8 系统函数与系统特性 4.8.1 H(s) 的零点和极点
线性时不变连续系统的系统函数 H(s)通常是复变量 s 的有理分式, 可以表示为
011
1
011
1
)(
)()(
asasas
bsbsbsb
sA
sBsH
nn
n
mm
mm
n
ij
m
jj
n
mm
ps
ssbm
pspsps
ssssssb
sA
sBsH
1
1
21
21
)(
)(
)())((
)())((
)(
)()(
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.8.2 H(s) 的零、极点与时域响应 1. 左半平面极点
若 H(s) 在左半平面负实轴上有一阶极点 p=-α(α > 0) ,则H(s) 的分母 A(s) 就有因子 (s+α) , h(t) 中就有对应的函数 Ae-αtε
(t) ;若 p=-α 为 r 重极点,则 A(s) 中就有因子 (s+α)r , h(t) 中就有对应的函数 Aitie-αtε(t)(i=1, 2, …, r-1) 。 A 、 Ai 为实常数。
若 H(s) 在左半平面负实轴以外有一阶共轭复极点 p1,2=-α±jβ ,则 A(s) 中就有因子[ (s+α)2+β2 ], h(t) 中就有对应的函数 Ae-αt
cos(βt+θ)ε(t) ;若 p1,2=-α±jβ 为 r 重极点,则 A(s) 中有因子[ (s+
α)2+β2 ] r , h(t) 中就有对应的函数 Aitie-αtcos(βt+θi)ε(t)(i=1, 2,
…, r-1) 。 A , Ai, θi 为实常数。
第 4 章 连续系统的复频域分析
2. 虚轴上极点
若 H(s) 在坐标原点有一阶极点 p=0 ,则 A(s) 中有因子 s ,
h(t) 中就有对应函数 Aε(t), A 为常数;若 p=0 为 r 重极点,则 A
(s) 中有因子 sr , h(t) 中就有对应函数 Aitiε(t)(i=1, 2, …, r-1) ,
Ai 为实常数。 若 H(s) 在虚轴上有一阶共轭虚极点 p1,2=±jβ ,
则 A(s) 中有因子 (s2+β2) , h(t) 中就有对应函数 A cos(βt+θ)ε(t) ,
A 、 θ 为实常数;若 p1,2=±jβ 为 r 重极点,则 A(s) 中有因子 (s2+
β2)r , h(t) 中就有对应函数 Aiti cos(βt+θi)ε(t)(i=1, 2, …, r-1) , Ai 、
θi 为实常数。
第 4 章 连续系统的复频域分析 3. 右半平面极点
图 4.8-1 H(s) 的极点分布与时域函数的对应关系
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.8.3 H(s) 与系统的频率特性
由线性连续系统的频域分析可知,系统冲激响应 h(t) 的傅里叶变换 H(jω) 表示系统的频率特性,称为系统的频率响应。下面讨论 H(jω) 与系统函数 H(s) 的关系。根据傅里叶变换的定义和单边拉普拉斯变换的定义,若 h(t) 为因果信号, 则有
0
)()()( dtethdtethjH tjtj
dtethsH tj
)()(
第 4 章 连续系统的复频域分析
H(s) 的收敛域包含 jω 轴,意味着 H(s) 的极点全部在左半平面。在这种情况下, H(s) 对应的系统称为稳定系统。根据以上讨论,可以得到以下结论:若因果系统的系统函数 H(s)
的极点全部在左半平面, 则
jssHjH )()(
m
ii
m
iim
js
pj
sjbsHjH
1
1
)(
)()()(
第 4 章 连续系统的复频域分析
设 bm > 0 ,并且令
i
i
jii
jii
eApj
eBsj
则式又可以表示为
)(
1
1 )()(
i
i
i
jn
i
ji
m
i
jim
eHeA
eBbjH
第 4 章 连续系统的复频域分析
式中:
n
mm
AAA
BBBbH
21
21)(
)()()( 2121 nm
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.8-2 H(s) 零、极点的矢量表示及差矢量表示
o
j
p i si
A i B ii
ij
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.8-1 已知二阶线性连续系统的系统函数为
20
2 2)(
ss
ssH
式中, α > 0, ω0 > 0, ω0 > α 。粗略画出系统的幅频和相频特性曲线。
解 H(s) 有一个零点 s1=α; 有两个极点,分别为
jjp 2202,1
第 4 章 连续系统的复频域分析
式中, 。 于是 H(s) 又可表示为 220
21
)(psps
ssH
由于 H(s) 的极点 p1 和 p2 都在左半平面,因此,系统的频率特性为
))(()()(
21 pjpj
jsHjH js
第 4 章 连续系统的复频域分析
令
则 H(jω) 又可表示为
,,, 221121 pjeApjeAjBe jjj
)()(
2121
)()( 21
21
jjjj
j
eHeAA
B
eAeA
BejH
幅频特性和相频特性分别为
21
)(AA
BH
21)(
第 4 章 连续系统的复频域分析
图 4.8-3 例 4.8-1 图(a) H(s) 零、极点的矢量和差矢量表示; (b) 系统的幅频特性和相频特性
第 4 章 连续系统的复频域分析
4.8.4 H(s) 与系统的稳定性
1. 稳定系统
一个连续系统,如果对任意有界输入产生的零状态响应也是有界的,则称该系统是有界输入有界输出意义下的稳定系统。 即对有限正实数 Mf 和 My ,若 |f(t)|≤Mf ,并且 |yf(t)|≤My ,则系统是稳定系统。
线性连续系统是稳定系统的充分必要条件是系统的冲激响应 h(t) 绝对可积。 设 M 为有限正实数,系统稳定的充分必要条件可表示为
Mdtth )(
第 4 章 连续系统的复频域分析
充分性:设线性连续系统的输入 f(t) 有界,即 |f(t)|≤Mf 。
系统的零状态响应 yf(t) 为
MMty ff )(
dtfhtfthty f )()()(*)()(
因此有
dtfhdtfhty f )()()()()(
即 dhMty ff
)()(
若 h(t) 绝对可积,
第 4 章 连续系统的复频域分析
必要性:所谓式 (4.8-16) 对系统稳定是必要的,是当 h(t)
不满足绝对可积条件时,则至少有某个有界输入 f(t)产生无界输出 yf(t) 。为此,设 f(t) 有界,则 f(-t) 也有界,并且表示为
1
0
1
)](sgn[)( thtf
h(t) > 0
h(t)=0
h(t) < 0
于是有
)()()( thtfth
第 4 章 连续系统的复频域分析
因为
dtfhty f )()()(
令 t=0, 根据式 (4.8 - 17) 则有
dhdfhy f )()()()0(
若 h(t) 不绝对可积, 即
dh )( , 则 yf(0)=∞ 。
第 4 章 连续系统的复频域分析
2. 罗斯 - 霍尔维兹准则
设 n 阶线性连续系统的系统函数为
011
1
011
1
)(
)()(
asasbsa
bsbsbsb
sA
sBsH
nn
nn
mm
mm
式中, m≤n , ai(i=0, 1, 2, …, n) 、 bj(j=0, 1, 2, …, m) 是实常数。H(s) 的分母多项式为
011
1)( asasasasA nn
nn
第 4 章 连续系统的复频域分析
H(s) 的极点就是 A(s)=0 的根。若 A(s)=0 的根全部在左半平面,则 A(s) 称为霍尔维兹多项式。
A(s) 为霍尔维兹多项式的必要条件是: A(s) 的各项系数 ai
都不等于零,并且 ai全为正实数或全为负实数。若 ai全为负实
数,可把负号归于 H(s) 的分子 B(s) ,因而该条件又可表示为 ai
> 0 。显然, 若 A(s) 为霍尔维兹多项式, 则系统是稳定系统。
罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则,称为罗斯 - 霍尔维兹准则 (R-H 准则 ) 。罗斯 -霍尔维兹准则包括两部分,一部分是罗斯阵列,一部分是罗斯判据 (罗斯准则 ) 。
第 4 章 连续系统的复频域分析 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则,称为罗斯 - 霍尔维兹准则 (R-H准则 ) 。罗斯 -霍尔维兹准则包括两部分,一部分是罗斯阵列,一部分是罗斯判据 (罗斯准则 ) 。
第 4 章 连续系统的复频域分析
若 n 为偶数,则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有 n+1 行 ( 以后各行均为零 ) ,第三行及以后各行的元素按以下规则计算:
第 4 章 连续系统的复频域分析
罗斯判据 ( 罗斯准则 ) 指出: 多项式 A(s) 是霍尔维兹多
项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。
若第一列元素的值不是全为正值, 则表明 A(s)=0 在右半平面
有根, 元素值的符号改变的次数 ( 从正值到负值或从负值到正
值的次数 ) 等于 A(s)=0 在右半平面根的数目。根据罗斯准则和
霍尔维兹多项式的定义,若罗斯阵列第一列元素值的符号相同
(全为正值 ) ,则 H(s) 的极点全部在左半平面, 因而系统是稳
定系统。 若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同, 则系
统是不稳定系统。
第 4 章 连续系统的复频域分析
综上所述,根据 H(s)判断线性连续系统的方法是:首先
根据霍尔维兹多项式的必要条件检查 A(s) 的系数 ai(i=0, 1, 2,
…, n) 。 若 ai 中有缺项 ( 至少一项为零 ) ,或者 ai 的符号不完
全相同,则 A(s) 不是霍尔维兹多项式, 故系统不是稳定系统。
若 A(s) 的系数 ai 无缺项并且符号相同,则 A(s) 满足霍尔维兹
多项式的必要条件,然后进一步再利用罗斯 -霍尔维兹准则判
断系统是否稳定。
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.8-2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为
232
1)(
12323
12)(
532
2)(
233
23452
2341
sss
ssH
sssss
ssH
sss
ssH
判断三个系统是否为稳定系统。
第 4 章 连续系统的复频域分析
解 H1(s) 的分母多项式的系数 a1=0 , H2(s) 分母多项式的
系数符号不完全相同,所以 H1(s) 和 H2(s) 对应的系统为不稳定
系统。 H3(s) 的分母多项式无缺项且系数全为正值,因此,进一
步用 R-H准则判断。 H3(s) 的分母为 232)( 23
3 ssssAA3(s) 的系数组成的罗斯阵列的行数为 n+1=4 ,罗斯阵列为
2
2
2
1
d
c
0
0
2
3
d
c
第 4 章 连续系统的复频域分析
根据式 (4.8 - 20) 和式 (4.8 - 21) , 得
202
22
2
1
222
31
2
1
2
2
d
c
000
02
2
1
002
01
2
1
0
0
d
c
因为 A3(s) 系数的罗斯阵列第一列元素全大于零,所以根据
R-H准则, H3(s) 对应的系统为稳定系统。
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.8-3 图 4.8-4 所示为线性连续系统的 S 域方框图表示。图中, H1(s) 为
图 4.8-4 例 4.8-3 图
)10)(1()(1
sss
KsH
K 取何值时系统为稳定系统。
F (s )£«
£
X (s )H 1 (s ) Y f(s )
第 4 章 连续系统的复频域分析
解 令加法器的输出为 X(s) , 则有
)]()()[()()()(
)()()(
11 sYsFsHsXsHsY
sYsFsX
ff
f
由上式得
Ksss
K
sH
sH
sF
sYsH
sFsH
sHsY
f
f
1011)(1
)(
)(
)()(
)()(1
)()(
231
1
1
1
第 4 章 连续系统的复频域分析
2
2
11
1
d
c
0
0
10
d
c
K
根据 H(s) 的分母构成罗斯阵列,得
第 4 章 连续系统的复频域分析
由式 (4.8-20) 和式 (4.8-21) 计算阵列的未知元素,得到阵列为
K
K
1110
11
1
0
0
10
K
根据 R-H准则,若 和 -K > 0 ,则系统稳定。 根据以上条件,当 K < 0 时系统为稳定系统。
011
10
K
第 4 章 连续系统的复频域分析 4.8.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换
0
)()()( dtetfdtetfjF tjtj
dtetfsF st
)()( 0]Re[ s
若 f(t) 为因果信号,则 f(t) 的傅里叶变换 F(jω) 和单边拉普拉斯变换 F(s) 分别为
由于 s=σ+ jω ,因此,若能使 σ=Re [ s ]等于零,则 F
(s) 就等于 F(jω) 。但是,能否使 σ 等于零,这取决于 F(s) 的收敛域。
F(s) 的收敛域为 Re [ s ]> σ0, σ0 为实数,称为收敛坐标。σ0 可能小于零,可能等于零,也可能大于零。
第 4 章 连续系统的复频域分析
1. σ0 < 0
如果 σ0 < 0 ,则 F(s) 的收敛域包含 jω 轴 (虚轴 ) , F(s)
在 jω 轴上收敛。若令 σ=0 ,即令 s=jω ,则 F(s) 存在。这时,f(t) 的傅里叶变换存在,并且令 s=jω ,则 F(s) 等于 F(jω) 。 即
jssFjF )()(
例如, ,其单边拉普拉斯变换为)1()( )1(2 tetf t
2)(
s
esF
s
2]Re[ s
的傅里叶变换为)(tf
2)()(
j
esFjF
j
js
第 4 章 连续系统的复频域分析
2. σ0=0
m
i i
iN js
KsFsF
1
)()(
若收敛坐标 σ0=0 , F(s) 的收敛域为 Re [ s ]> 0 , F(s)
的收敛域不包含 jω 轴,故 F(s) 在 jω 轴上不收敛。若令 s=jω ,则 F(s) 不等于 F(jω) 。和虚轴上都有极点,并且虚轴上的极点为 m 个一阶极点 jβi(i=1, 2, …, m) 。将 F(s) 展开为部分分式,
表示为
式中, FN(s) 表示左半平面极点对应的分式。令 FN(s) 的原函数
为 fN(t) ,则 F(s) 的原函数为
第 4 章 连续系统的复频域分析
)()()()]([)(1
1 tftfeKtfsFLtf MN
m
i
tjiN
i
m
i
tjiM teKtf i
1
)()(
的傅里叶变换为)(tf
)]([)]([)]([)( tfFtfFtfFjF MN
jsNN sFtfF )()]([
由于 是 的原函数,并且 的极点在左半面,故)(tfN )(sFN)(sFN
第 4 章 连续系统的复频域分析
根据傅里叶变换的线性性质和频移性质,并且由于 ε(t) 的傅里叶变换为 , 因此得
j
1)(
)()()(1
i
m
iijs KsFjF
m
i iiiM jj
ktfF1
1)()]([
m
iii
m
i i
ijsN
m
i iiijsN
Kjj
KsF
jjKsFjF
11
1
)()(
1)()()(
第 4 章 连续系统的复频域分析
3. σ0 > 0
若 σ0 > 0 ,则 F(s) 的收敛域也不包含 jω 轴,收敛域的
边界在右半平面内。 因此,不能用式 (4.8-24) 得到 F(jω) 。
例如, f(t)=e2tε(t), F(s)= , F(s) 的收敛域为 Re [ s ]
> 2 , f(t) 的傅里叶变换不存在。
2
1
s
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.8-4 已知 f(t)=e-2tcos t·ε(t) 的单边拉氏变换为
1)2(
2)(
2
s
ssF 0]Re[ s
求 傅里叶变换)(tf ).( jF
解 F( S)的收敛坐标 ,即 。因此00 20
1)2(
2)(
2
j
jjF
第 4 章 连续系统的复频域分析
另一方面,根据傅里叶变换的调制定理,由于
2
1)]([ 2
jteF t
所以有
1)2(
2
2)1(
1
2)1(
1
2
1
]cos)([)(
2
2
j
j
jj
tteFjF t
第 4 章 连续系统的复频域分析
例 4.8-5 已知 f(t)=(1-e-t)ε(t) 的单边拉氏变换为
)1(
1)(
sssF 0]Re[ s
求 傅里叶变换)(tf
解1
11)(
sssF
1
11)(
)(1
11)()()(
jj
jjsFjF js