Розв׳язування раціональних рівнянь вищих степенів
Презентацію розробилаПрезентацію розробилаКулинич Лідія Йосипівна,Кулинич Лідія Йосипівна,вчитель математики вчитель математики Тинівської загальноосвітньої Тинівської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенівшколи І-ІІІ ступенівЖашківського районуЖашківського району
Мета: - Систематизація і узагальнення знань про рівняння вищих степенів, типи рівнянь, методи їх розв׳язування, - розвиток вміння робити висновки, мислити від конкретного до загального, - підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання.
0... 12
21
10 =+++++ −−−
nnnnn axaxaxaxa
Цілим раціональним рівнянням n-го степеня називається рівняння виду
Якщо a0=1, то рівняння називається зведеним. Розв’язування багатьох типів рівнянь вдається звести до розв’язування цілих раціональних рівнянь.
Повторимо основні теоретичні відомості
Для алгебраїчних рівнянь вищих степенів не існує єдиного загального методу розв’язування.
)1(.,0)( Axxf ∈=nggg ;...;; 21
.0)(;...;0)(;0)( 21 === xgxgxg n
Основні поняття та теореми , що використовують при розв’язуванні раціональних рівнянь з цілими коефіцієнтами.
Теорема 1. Нехай задано рівняння :
Якщо функцію f можна подати у вигляді добутку функцій
кожна з яких має ту саму область визначення А , то множина розв’язків рівняння (1) є об’єднанням множин розв’язків рівнянь
Метод невизначених коефіцієнтів .Схема Горнера.Ділення многочленів «кутом».
)(xPn α−xα=x )(αnPr =
α)(xPn 0)( =αnP
α)( α−x
Теорема Безу. Остача від ділення многочлена на двочлен
дорівнює значенню цього многочленна, якщо , тобто
Число називається коренем многочлена , якщо
Наслідок. Якщо число є коренем многочена Р(х), то цей многочлен ділиться на двочлен без остачі.
Основна теорема алгебри .Теорема Вієта. Теорема. Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами
012
21
1 ...)( axaxaxaxaxf nn
nn
nn +++++= −
−−
−
q
px = 0≠q
0a qna
має раціональний корінь ( ),то р є дільником вільного члена
, а - дільником коефіцієнта при старшому члені
Наслідок. Якщо коефіцієнт при старшому члені рівняння з цілими коефіцієнтами дорівнює 1, то всі раціональні корені цього рівняння (якщо вони існують) – цілі числа.
Методи розв'язування рівнянь вищих степенів
027283 234 =−+−− xxxx
.1;2;3
2;3
1 ±±±± 1−=x3
2=x
Розв’язування рівнянь методом розкладання на множники. Знайдемо Раціональні корені рівняння.
Раціональні корені рівняння потрібно шукати серед чисел
і
-корені рівняння. Понижуємо степінь рівняння. Знаходимо коефіцієнтиза схемою Горнера. При x=-1 маємо таблицю:
3-8 -2 7 -2
-1 3 -11 9 -2 0
Одержуємо 3x3-11x2+9x-2=0
3
2=x
393 2 =− xx
)393)(3
2)(1(27283 2234 +−−+=−+−− xxxxxxxx
2
53,
2
53,3
2,1 4321
−=+==−= xxxx
2
53,
2
53,3
2,1
−+−
При
3 -11 9 -2
2/3 3 -9 3 0
Одержуємо
Можемо записати, що
Отже,
Відповідь :
0213204 234 =−+−− xxxx
bdadbcxdacbxcaxxxxxx
bdadxdxbcxacxcxbxaxxxxxx
dcxxbaxxxxxx
++++++++=−+−−++++++++=−+−−
++++=−+−−
)()()(213204
.213204
))((213204
234234
223234234
22234
−==+
−=++=+
=
2
13
20
4
11
bd
adbc
dacb
ca
2−=bd2,1 −== db 2,1 =−= db1,2 =−= db 1,2 −== db
7
3
2
1
−===
−=
c
a
d
b
Метод невизначених коефіцієнтів .Розв’яжемо рівняння Рівняння не має раціональних коренів. Розв’яжемо його використовуючи метод невизначених коефіцієнтів. Для цього подамо ліву частину у вигляді добутку двох квадратних тричленів.
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х:
Розв’яжемо систему в цілих числах
Перевіримо
або
або або
Одержуємо :
)27)(13(213204 22234 +−−+=−+−− xxxxxxxx
2
417
2
417
2
133
2
133
4
3
2
1
−=
+=
−−=
+−=
x
x
x
x
2
417,
2
417,
2
133,
2
133 −+−−+−
Тоді
Звідки
Відповідь:
knk aa −= nk ...,2,1,0=
012132 234 =+−−− xxxx
2x0
12132
22 =+−−−
xxxx
013)1
(212
2 =−+−+x
xx
x
0... 12
21
10 =+++++ −−−
nnnnn axaxaxaxa
Симетричні рівняння .Симетричними називається рівняння виду
де , де
Розв’язати рівняння
Розв’язування :х=0 не є коренем даного рівняння . Поділимо обидві частини рівняння на
Згрупуємо члени рівняння:
21
1
22
2 −=+
=+
tx
x
tx
x
3,5 21 −== tt
31
51
−=+
=+
xx
xx
2
53
2
53
2
215
2
215
4
3
2
1
+−=
−−=
+=
−=
x
x
x
x
2
53,
2
53,
2
215,
2
215 +−−−+−
Введемо заміну:
МаємоЗа теоремою, оберненою до теореми Вієта
Одержуємо рівняння
З них знаходимо
Відповідь:
Коли розв’язуємо симетричне рівняння непарного степеня, то один корінь такого рівняння дорівнює -1.При ділення на х+1 це рівняння зводиться до симетричного рівняння парного степеня.
)2(0...
...
)1(,0...
...
02
221
1
11
222
121
20
120
11
2
1122
21
120
=++++
++++++
=++++
+++++
−−
−−
+−
−−
+−−
+−+
nnn
nn
nn
nn
nnn
nnn
nn
nn
nnn
axaxa
xaxaxaxaxa
axaxa
xaxaxaxa
βββ
βββ
β 0≠a
β
Зворотним рівнянням називають рівняння виду
де -деяке фіксоване число і число . Якщо
=1, з рівнянь (1) і (2) дістаємо симетричне рівняння відповідно парного та непарного степенів.
023332 234 =+−−+ xxxx
1−=β
,1
xx
xxy −=+= β
212
22 −+=x
xy
21 22
2 +=+ yx
x2x
Розв’язати рівняння
Розв’язуванняЦе зворотне рівняння парного степеня, в якому Зробимо заміну
то
звідки Поділимо обидві частини рівняння на
2
1,1
0132
033)2(2
03)1
(3)1
(2
023
3312
21
2
2
22
22
−=−=
=++
=−++
=−−++
=+−−+
yy
yy
yy
xx
xx
xxxx
4
171
17161
022
2
51
541
01
2
111
1
2
2
±−=
=+==−+
±−=
=+==−+
−=−−=−
x
D
xx
x
D
xx
xxàáî
xx
Відповідь:
4
171,
2
51,
4
171,
2
51 −−−−+−+−
6)1)(43()76( 2 =+++ xxx
4
193
10
01909712
6196494812
6)4)(4912(
73
6)473)(49)73(12(
6)473)(498436(
2
1
2
2
2
22
22
−=
−=
=++=+++
=++=+
=++++
=++++
t
t
tt
ttt
tt
txx
xxxx
xxxx
3
53
23
1073
2
1
2
−=
−=
−=+
x
x
xx
êîðåí³âíåìà
xx4
1973 2 −=+
3
5;3
2 −−
Метод спостережень Ейлер виділяв спостереження як один з методів дослідження чисел. Про цей метод не слід забувати, приступаючи до розв’язування нестандартного рівняння.1.Розв’язати рівняння
Розв’язування
Відповідь :
1204)8)(2)(14)(4( =+++− xxxx
30
70
0210040
1204)16)(56(
10
1204)1610)(5610(
1204)8)(2)(14)(4(
2
1
2
2
22
−==
=−−
=+−=+
=++−+=+++−
t
t
tt
tt
txx
xxxx
xxxx
2
9565
2
955
07010
7010
2
1
2
2
−−=
−−=
=−+=+
x
x
xx
xx
êîðåí³âíåìà
xx 30102 −=+
2
9565,
2
955 −−−−
2.Розв’язати рівняння
Розв’язування
Відповідь:
0143164 234 =−++− xxxx23x 224 xx −
2
1,2
1,32,32
0)12)(12(
014
0)14)(14(
0)14()14(4
0)14()4164(
4321
2
22
222
2234
−==−=+=
=+−=+−
=−+−=+−−+−
=−+−++−
xxxx
xx
xx
xxx
xxxxx
xxxxx
2
1,2
1,32,32
−−+
3.Розв׳язати рівняння:
Подамо як
і згрупуємо перші й останні три доданки:
Відповідь:
2,,)()(;)()( 121222 ≥∈=+−+=+++ −− nNnäåmbxaxmbxax nnnn
2
baxy
++= zy =2
16)5()3( 44 =+++ xx
16)1()1( 4 =++− yy
1614641464
64)(234234
4322344
=++++++−+−
+±+±=±
yyyyyyyy
babbabaaba
076 24 =−+ yy
Рівняння виду
Ці рівняння зводяться до простих шляхом заміни
і подальшої заміни Розв’язати
рівняння
Розв’язуванняЗаміна у=х+4Тоді маємо
рівняння
Скориставшись формулою бінома Ньютона (при n=4)
Звідки
2yz =
0762 =−+ zz
7,1 21 −== zz
5,3
1,1,1
21
212
−=−====
xx
yyy
72 −=y5,3 21 −=−= xx
Заміна
За теоремою Вієта
Повертаємося до заміни
- коренів не маєВідповідь:
0243 34 =+− xx
243)( 34 +−= xxxf
23 1212)( xxxf −=′
Застосування похідної до розв’язування рівнянь.Розв’язати рівняння
Розв’язування Дослідимо функцію
Похідна функції
)(xf ′
1,00)( ===′ xxïðèxf
0)( <′ xf
]1,0[]0,( i−∞
),1[ ∞)(xf
,1)1( =f )(xf
0243 34 =+− xx
Критичні точки функції:
існує на всій області визначення
,
на кожному з проміжків
Зростає на проміжку Точка 0 не є точкою екстремуму функції. В точці х=1 функція
набуває найменшого значення.
тоне може дорівнювати 0.Отже рівняння,
коренів не має
Відповідь: ∅
Література:1.Є.П.Нелін, О.Є.Долгова . Алгебра і початки аналізу.В, Світ дитинства,2005.2.Ф.П.Яремчук, П.А.Рудченко. Алгебра і елементарні функції. В.Наукова думка,19763.С.Т.Завало. Рівняння і нерівності. В.Радянська щкола,19734.М.І.Шкіль,Т.В.Колесник, Т.М.Хмара. Алгебра і початки аналізу для поглибленого вивчення. В.Освіта,2000.5.Ш.Г.Горделадзе, М.М.Кухарчук, Ф.П.Яремчук. Збірник конкурсних задач з математки.В.Вища школа,19766.Збірник задач з математики для вступників до втузів. За редакцією М.І.Сканаві. В. Вища школа,1992.