„Методи розв’язування рівнянь вищих степенів ... · Web viewРозділ I. Розв’язування рівнянь методом розкладання

Пояснювальна записка.

Загальновідомо, що учню недостатньо мати відмінні знання шкільної

програми, щоб перемагати в математичних олімпіадах різних рівнів або скласти

вступні іспити у ВНЗ. Підготовка учнів передбачає оволодіння знаннями і

вміннями, які виходять за межі програми з математики для загальноосвітньої школи

і вимагає від вчителя клопіткої роботи. Запропонований практичний довідник має

на меті:

1. Продемонструвати основні підходи до розв’язування рівнянь вищих

степенів.

2. Сформувати вміння учнів розв’язувати рівняння вищих степенів.

3. Виховувати прагнення до самостійного пошуку знань та

використовувати їх на практиці.

4. Користуватися дослідницькими прийомами: збирати необхідну

інформацію, аналізувати її та робити потрібні висновки.

5. Розвивати пізнавальний інтерес і творчі здібності у якомога більшого

числа учнів.

6. Розвивати комунікативні навички.

7. Залучати учнів до активних занять математикою.

Основні завдання довідника:

1. Підвищення інтересу учнів сільських і міських загальноосвітніх шкіл до

вивчення математики.

2. Активізація роботи факультативів, гуртків, секцій, наукових товариств

та інших форм позакласної і позашкільної роботи зі школярами.

3. Надання допомоги учням старших класів у виборі майбутньої професії.

4. Залучення викладачів, аспірантів, студентів і співробітників науково-

дослідних інститутів до активної допомоги школі і пропаганди математичних

знань.

Довідник містить 10 розділів, у кожному з яких виділено рубрики:

“Це треба знати!”

“Самовчитель”

“Перевір себе”

У рубриці “Це треба знати!” наведено основні теоретичні відомості з певної

теми. Матеріал рубрики дозволить найбільш повно осмислити і систематизувати

теоретичний матеріал.

У рубриці “Самовчитель” наведено приклади розв’язування типових

завдань. В одних випадках це завдання, що ілюструють деякий алгоритм; в інших –

завдання, на прикладі яких показано різні способи розв’язання однієї проблеми.

У рубриці “Перевір себе” подано завдання, призначені для перевірки

навчальних досягнень. Правильність виконання завдань можна перевірити за

правильними відповідями, наведеними в кінці довідника.

Опрацювавши цей довідник, учні зможуть систематизувати й узагальнити

свої знання, уміння та навички з даної теми.

Автор зичить успіхів всім у нелегкій роботі та з вдячністю прийме всі

зауваження і пропозиції.

ЗмістПередмова

Теорія плюс практика

Розділ I. Розв’язування рівнянь методом розкладання лівої частини рівняння

на множники

1. Застосування основних формул множення

2. Введення нових допоміжних членів

3. Застосування основної теореми алгебри та теорем Безу і Вієта

4. Метод невизначених коефіцієнтів

Розділ II. Кубічні рівняння, їх розв’язування

2.1. Повні кубічні рівняння, їх розв’язування

2.2. Зведені неповні кубічні рівняння, їх розв’язування.

Розділ III. Зворотні рівняння, їх розв’язування

1. Зворотні рівняння парного степеня, їх розв’язування

2. Зворотні рівняння непарного степеня, їх розв’язування

Розділ IV. Симетричні рівняння, їх розв’язування.

Розділ V. Однорідні рівняння, їх розв’язування.

Розділ VI. Розв’язування рівнянь різних структур:

1. Рівняння виду

де

2. Рівняння виду ,

де ;



5. Рівняння виду .

Розділ VII. Розв’язування рівняння методом введення параметра замість

сталого коефіцієнта рівняння.

Розділ VIII. Метод Феррарі введення параметра для розв’язування рівнянь

четвертого степеня.

Розділ IX. Розв’язування рівняння методом заміни рівняння системою двох

рівнянь з двома невідомими.

Розділ X. Інші цікаві методи розв’язування рівнянь вищих степенів

Розділ I. Розв’язування рівнянь методом розкладання лівої

частини рівняння на множники Існують такі способи розкладання многочлена на

множники:

Винесення за дужки:

За дужки можна виносити будь-який множник:

Наприклад,

чи

Групування.

Застосування основних формул множення :

( +

Ведення нових допоміжних членів :

Наприклад,

Виділення повного квадратного або куба :

Наприклад,

Розглянемо деякі більш складні приклади розкладання на множники:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Застосування основної теореми алгебри та теорем Безу і Вієта

Основна теорема алгебри:

Це треба знати!

Нехай задано рівняння fx=0. Якщо функцію fx можна подати у вигляді

добутку функцій q1, q2,…, qn, то розв’язком рівняння fx=0 є об’єднання множин

розв’язків цих функцій.

Теорема Безу:

Означення: Рівняння вигляду

де невідоме, називається цілим раціональним рівнянням

n- го степеня.

Якщо a0=1, то рівняння зведене з цілими коефіцієнтами.

Теорема: якщо рівняння (*) має раціональний корінь, то цей корінь - ціле

число, що є дільником вільного члена

Схема Горнера

Нехай потрібно поділити многочлен степеня n на двочлен (х-а). В частці

одержимо многочлен степеня n-1, а в остачі не буде міститися х. Можна записати:

На основі тотожності многочленів маємо:

Знайдемо коефіцієнти частки і остачі:

При використанні схеми Горнера зручно користуватися таблицею

а0 а1 а2 а3 … аn-1 аn

b0=а0

b1 =

=а1+b0a

b2 =

=а2+b1a

b3 =

=а3+b2а…

bn-1 =

=an-1+bn-2a

bn =

=an+bn-1a

Теорема Вієта:

Якщо зведене квадратне рівняння має дійсні корені, то їх сума

дорівнює – p, а добуток q.

Метод невизначених коефіцієнтів

Приклад 1.

2A=4, A=2, тоді B=-1.

Отже,

Приклад 2.

-А=3.

Отже,

Розклад многочлена на множники

Розклад на множники за допомогою групуванняЧлени многочлена групуються так, щоб вони мали спільний множник, який

виноситься за дужки.

Приклад 1. Розв’язати рівняння:.

Розв’язування

Групуємо два перші та два останні члени:,

а далі виносимо за дужки спільний множник :, .

Відповідь: .Приклад 2. Розв’язати рівняння:

.


Віднімемо і додамо , а число 20 розіб’ємо на два доданки 16 і 4:

Рівняння розпадається на два рівняння:

.

Відповідь: 2.

Використання формул скороченого множенняПриклад 3. Розв’язати рівняння:

.


Подамо ліву частину рівняння у вигляді добутку:.

Самовчитель

Рівняння розпадається на два рівняння:,

, .Відповідь: 1; 7; -1±2√2.



Розкладемо ліву і праву частини рівняння на множники:

Дістанемо рівняння,

яке розпадається на два рівняння:, ,

, .Відповідь: ; -⅔; -½; 3.

Виділення повного квадрата або куба двочленаПриклад 5. Розв’язати рівняння:

.


Виділимо повні квадрати:,

, .Остаточно маємо:

, ;, .

Відповідь: -1±√3. Приклад 6. Розв’язати рівняння:

.


Виділимо повний куб двочлена:, , .

Відповідь: .

У разі виділення повного куба деякі кубічні рівняння можна перетворити до вигляду

, або .Далі з розкладів

,

знаходимо за формулою:

. (1)



Знайдемо згідно з формулою (1):

.

Далі, скориставшись розкладом,

запишемо рівняння у вигляді, ,

, .



Розв’язування Знайдемо згідно з формулою (1):

.

Подавши початкове рівняння у вигляді,

помноживши його на 9 і скориставшись розкладом куба суми,

дістанемо:, ,

, .



Розв’язування Знайдемо згідно з формулою (*):

.

Скориставшись розкладом

,

перепишемо початкове рівняння у вигляді:

, ;

, .


Приклад 10. Розв’язати рівняння:


1) Виділимо повний квадрат:

,

2) Використаємо формулу скороченого множення:



.


1) Введемо нові допоміжні члени:

2) Виділимо повний квадрат через групування:

3) Використаємо формулу скороченого множення:

Ø

Відповідь: Ø

Приклад 12. Розвязати рівняння:


24÷ ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12; ±24.

корінь рівняння.

0

x - 2

0

Відповідь: 1; 2; 3; 4.


Заміна:

1)

бо

0

2) у³ +6у²– 8у – 32 =0; , бо f(-2)=0.

у³ +6у²– 8у – 32 у+2

y2+4y-16

3)

Згадаємо, що , тоді маємо


Схема Горнера


, 36 ÷ ±1; ±2; ±3; ±4…


За схемою Горнера маємо:

1 -2 -11 12 36

1 1 -1 -12 0 36

-1 1 -3 -8 20 16

2 1 0 -11 -10 16

-2 1 -4 -3 18 0

-2 1 -6 9 0

3 1 -3 0

3 1 0

Відповідь:

1 ряд

2 ряд

Метод невизначених коефіцієнтівПриклад 15. Розв’язати рівняння:

, раціональних коренів рівняння не має.

1 крок: Подамо ліву частину у вигляді добутку двох квадратних тричленів:

=

2 крок: Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х:

3 крок: Якщо b = – 1, d = – 5, то

4 крок:

,

5 крок: Якщо b = 1, d = 5, то система не має розв’язків.

Відповідь: , .



Це рівняння не має раціональних коренів.Спробуємо розкласти даний многочлен на два квадратні множники з цілими

коефіцієнтами:.

Розкриваючи дужки і зрівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , дістаємо систему рівнянь:

,

де — цілі числа. З останнього рівняння знаходимо, що можливі такі випадки:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Оскільки квадратичні множники перестановочні, то випадки 1—4 повторюють випадки 5—8. Тому розглядатимемо лише випадки 1—4.

1. . Із системи рівнянь

знаходимо .Оскільки не є цілим числом, то розкладання на квадратичні множники з цілими

коефіцієнтами неможливе.2. . З системи рівнянь

знаходимо .Значення не є цілим числом.3. . Із системи рівнянь

знаходимо .Значення не є цілим числом.4. . Із системи рівнянь

знаходимо .Перевіряємо, чи виконується рівність : . Отже,

маємо розклад на множники:.

Розв’язуємо відповідні квадратні рівняння:, ,

, .

Корені щойно розглянутого рівняння — ірраціональні числа. Проте викладений спосіб розкладання на множники можна застосовувати й у разі, коли рівняння має раціональні корені.

Відповідь: ; .



Шукаємо розклад лівої частини рівняння на квадратні множники у вигляді: .

Приходимо до системи рівнянь із цілими коефіцієнтами :

.

Узявши , дістанемо систему рівнянь

звідки знайдемо Отже, маємо шуканий розклад на множники:

.Остаточно маємо:

, ,, .


Приклад 18. Розв’язати рівняння:х - 4х - 10х +37х-14=0


Аналогічно,за формулою (*) маємо систему:

a=-5; b=2; c=1; d=-7. Тоді ,

Відповідь:

Вправи для самостійного розв’язування.

Розв’язати рівняння:

1) Відповідь: -1; 3.

2) х Відповідь: .

3) Відповідь: 1; -2; ; -5.

4) Відповідь: 1; 3.

5) Відповідь: -2; 3.

Перевір себе

6) Відповідь: ; .

7) Відповідь: -5; -3; -1.

8) Відповідь: -4; -2; 1; 2.

9) Відповідь: -1; ; 1; 3.

10) Відповідь: 2.

Розділ II. Кубічні рівняння, їх розв’язування

Математики постійно стикалися із задачами, що приводили їх

до розв’язування рівнянь 3, 4, 5-го степенів. Найчастіше 3-го.

Протягом багатьох сотень років учені безуспішно шукали рішення рівнянь 3-

го степеня.

Розв’язування одного виду кубічного рівняння було відкрито талановитим

узбецьким ученим з м. Самарканд Джемшидом аль-Паші (помер близько 1456 року).

Геометричний метод розв’язування одного виду чисельного кубічного рівняння був

відомий ще Архімеду. Алгебраїчний же метод рішення кубічного рівняння протягом

багатьох століть залишався невідомим. Перший крок у цьому напрямі зробив на

початку XVI століття італійський учений Сціліон дель Феро. Він знайшов розв’язок

рівняння х3+ах=b при a>0 і b>0. Своє розв’язання він повідомив і спадкоємцю по

кафедрі Фіорі. Той скористався цим секретом і викликав на математичний двобій

талановитого вченого Нікколо Тарталью (1500 – 1557), розраховуючи „вбити” своїм

умінням розв’язувати кубічні рівняння. Тарталья довідався, що Фіоре знає

таємницю розв’язання кубічного рівняння, і за тиждень до двобою самостійно

знайшов розв’язок рівняння більш загального вигляду x3+px=q, для будь-яких р і q.

12 лютого 1535 року, у день двобою, Тарталья розв’язав усі 30 задач Фіоре і

переміг його.

Ось рівняння Тартальї, записані в нашій символіці:

Рівняння виду:

х3 + рх + q = 0 має

Усяке рівняння 3-го степеня може бути зведене за допомогою спеціальної

підстановки до вигляду x3+px=q.

Цікаво знати

Свій спосіб Тарталья повідомив по секрету ученому Кордано, який

опублікував, його у своїй книзі. З тих пір формула зветься „формулою Кардано”.

Учень Кардано, Феррарі (XVI століття) знайшов формулу коренів рівняння

4-го степеня. Таким чином до кінця XVI століття вміли виражати корені рівнянь 1,

2, 3, 4-го степенів через їхні коефіцієнти за допомогою шести дій (додавання,

віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і здобування кореня) при

цьому кількість дій, необхідних для знаходження коренів, була нескінченною.

Протягом XVII-XVIII століття багато математиків безуспішно намагалися

знайти подібну формулу для розв’язання рівнянь 5, 6-го степеня і більш високих.

На початку XIX століття норвезький математик Нільс Абель (1802-1829)

довів, що рівняння п’ятого степеня і вищого в загальному вигляді не розв’язні в

радикалах (тобто не можна виразити їхні корені за допомогою шести дій).

З чисто практичної точки зору не завжди обов’язкове знання точних коренів

рівнянь вищих степенів. У науці розроблено численні методи наближеного

розв’язання рівнянь. Один із кращих способів належить великому російському

математику Н.І.Лобачевському.

Повні кубічні рівняння розв’язуються розкладанням

лівої частини на множники


Розкладемо ліву частину рівняння на множники за схемою

Горнера.

45: ±1; ±3; ±5…1 -1 -21 45

+1 1 0 -21 24

-1 1 -2 -18 63

3 1 2 -15 0

3 1 5 0

-5 1 0

Отже,

Відповідь:3; -5.

Приклад 2.



Нехай Тоді

Підставляючи по черзі дільники числа 72 в рівняння,

знаходимо, що корінь.

─72

у2+6у─36

; .

Пригадаємо, що Тоді

Відповідь:

Зведене неповне кубічне рівняння. Дані рівняння легко розв’язати за

універсальною підстановкою:

Зокрема, відома формула Кардано для даного рівняння має вигляд:



Використовуємо універсальну підстановку:

Маємо:



Перейдемо до системи:

Підбором визначаємо:

Відповідь:



Спробуємо розв’язати без універсальної підстановки.

Для цього розкладаємо на множники:

= =

або

Відповідь:



Скористаємося попереднім методом:

або

Ø

Відповідь:


Розв’язування Вважаючи , приходимо до рівняння

.Зводимо рівняння до системи рівнянь

З рівняння знаходимо .

Із квадратного рівняння знаходимо .

1) ;

2) .

При і дістаємо одне значення . Решту розв’язків можна знайти, скориставшись комплексними числами.


1. Відповідь: -5; -3; -1.

2. Відповідь: 1.

3. Відповідь: 1; .

4. Відповідь: .*

* Вказівка: за формулою Кардану.

5. х3 – 7х – 6 = 0, Відповідь: -1; -2; 3.

6. 2х3 + х + 3 = 0, Відповідь: -1.

7. 2х3 + 2х – 60 = 0, Відповідь: 3.

8. х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0, Відповідь: 1; 2; 3.

9. 3х3 + х – 26 = 0, Відповідь: 2.

10. 2х3 + 4х2 + х + 2 = 0, Відповідь: -2.

Розділ III. Зворотні рівняння, їх розв’язування. Зворотні рівняння парного степеня, їх розв’язування.

Означення: Рівняння виду де

називається зворотним.

Нехай = .

не є коренем цього рівняння. Тоді обидві частини рівняння ділимо на



Маємо:

Далі групуємо доданки, виносимо множники a i b за дужки і робимо заміну:

При розв’язуванні зворотних рівнянь виду: де

ділемо на



1) – рівняння зворотне,

2) бо

3)

4)Заміна:

5)

Тоді маємо:

6) або

Відповідь: ;


1) Зворотне рівняння,

2) Проведемо групування:

3) , тому поділимо обидві частини рівняння на .


4) Позначимо: тоді

5) Отримаємо рівняння:

5) Повернемося до змінної х:

Тільки рівняння має розв’язки на множині дійсних чисел.

Відповідь: 1; 2.

Зворотні рівняння непарного степеня, їх розв’язування.

Для зворотного рівняння

корінь,якщо виконується умова:



1) Перевірка умови:

тоді корінь даного рівняння.

2)

3) знайдемо,використовуючи ділення кутом.



4) Тоді

Відповідь:


1. Відповідь: ø.

2. Відповідь:


4. . Відповідь: ; 4.5. x4 – 7x3 + 6x2 +21x + 9 = 0. Відповідь: (3±√21)/2; 2±√7.

6. 2x4 – 21x3 + 74x2 – 105x + 50 = 0. Відповідь: 1; 2; 2,5; 5.


Розділ IV. Симетричні рівняння, їх розв’язування. Означення: Рівняння виду називається

симетричним рівнянням четвертого степеня, якщо і

Щоб розв’язати це рівняння потрібно:

1) поділити на обидві частини рівняння, ;

2) згрупувати доданки, що мають однакові коефіцієнти;

3) винісши спільний множник за дужки, одержимо рівняння:

4) універсальна підстановка:

Властивості симетричного рівняння:

1. Якщо число є розв’язком симетричного рівняння, то обернене число

також буде його розв’язком.

2. Корінь симетричного рівняння не може дорівнювати 0.

3. Якщо симетричне рівняння парного степеня, то одним із способів його

розв’язування буде ділення обох частин рівняння на , бо

4. Якщо симетричне рівняння непарного степеня, то його корінь.

Приклад 1.

Розв’язати рівняння


– симетричне рівняння четвертого

степеня.

1) Обидві частини цього рівняння ділимо на , бо , та групуємо доданки з

однаковими коефіцієнтами:



2) Універсальна заміна:

3)

4) Повертаємось до заміни:



Розв’язування.

Рівняння – симетричне рівняння 4-го степеня.

1)

2)Зміна:

3)

4) Числа і – обернені.

Відповідь:


1) ОДЗ:

2) - симетричне рівняння непарного степеня, тому за

властивістю 4 x=-1 – його розв’язок.

Використаємо схему Горнера:

Рівняння розв’язків немає, бо Д < 0.

Відповідь:

4 1 -5 -5 1 4

-1 4 -3 -2 -3 4 0

1 4 1 -1 -4 0

1 4 5 4 0


1. , Відповідь: ø.

2. 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0, Відповідь: ½; 2; -2±√3.

3. 2x4 + x3 – 6x2 + x +2 = 0, Відповідь: -2; -½; 1.

4. х4 – 2х3 – 13х2 – 2х + 1 = 0. Відповідь: (5±√21)/2; (-3±√5)/2.

5. 2x4 – 3x3 +5x2 – 3x + 2 = 0. Відповідь: ø.


Розділ V. Однорідні рівняння, їх розв’язування. Означення: Рівняння виду , де

і дійсні числа, а , многочлени називаються однорідними.

Якщо то обидві частини однорідного рівняння ділемо на або

тому при такому ділені коренів не втратимо. Заміна

зводить дане рівняння до квадратного.



Зведемо дане рівняння до однорідного, використовуючи формулу різниці кубів:

2 (x²+x+1)² – 13(x–1)(x²+x+1) – 7(x–1)=0 | (x-1)².

Зробимо заміну:

2t² – 13t –7=0, D=225, t =

t =7.

Повертаємося до змінної x:

або

Знаходимо корені:

Відповідь: -1; ; 2; 4.

Вправи для самостійного розв’язування.1. 2(x³+1)+(x+1)²=3(x²-x+1)² Відповідь: 0; 2.*

* Вказівка: (x+1)²+2(x+1)(x²-x+1)-3(x²-x+1)²=0 – однорідне рівняння.

2. 2(x2 + 6x +1)2 + 5(x2 + 6x +1) (x2 +1) + 2(x2 + 1)2 = 0, Відповідь: -2–√3;-1;-2+√3.

Розділ VI. Розв’язування рівнянь різних структур.




Рівняння виду де

Після об’єднання співмножників (1) та

заміни дане рівняння зводиться до квадратного.


Розв’язування.

заміна

Повертаємось до змінної х:

,




Якщо то

1)

2)



Відповідь:



Щоб звести дане рівняння до рівняння виду (1), помножимо третій і четвертий множники на 2 і 6:

.Оскільки 5 + 5 = 4 + 6, то групуємо перший і другий, а також третій і четвертий

множники:.

Позначимо , тоді , .Остаточно дістанемо:

, ,

, , .




Зводимо рівняння до вигляду (1):.

Оскільки – 1 – 4 = – 2 – 3, то групуємо перший і четвертий, а також другий і третій множники:

.Скориставшись заміною , дістанемо:

, .Повертаючись до початкових позначень, розв’язуємо такі рівняння:

, , ;, , .

Відповідь: -1/12; ½.


Відповідь: 0; 5.

Відповідь: -1; 12.



Відповідь:

5. Відповідь: .


7. х(х + 1) (х – 1) (х + 2) = 24 Відповідь: -3; 2.


.

Після об’єднання співмножників

та ділення обох частин рівняння на і

заміни дане рівняння зводиться до квадратного.


,

,

; Заміна : ,

=4,

Повертаємося до змінної х:

Відповідь:

Приклад 2. Розв’язати рівняння



.


Це рівняння не має кореня , тому можемо поділити обидві його частини на :

.

Виконавши заміну , дістанемо квадратне рівняння, розв’язки якого .

Повертаючись до початкових позначень, остаточно знаходимо:, ;

, .Відповідь: -2; -1.

Рівняння виду де

без остачі ділиться на двочлен

Рівняння розв’язують виділенням у других дужках виразу,що дорівнює

виразу у перших дужках. Після винесення спільного множника за дужки та

спрощення лівої частини, рівняння поділимо обидві частини на

з наступною заміною, яка приведе до квадратного рівняння.



1)

2) – однорідне рівняння. Поділимо його

частини на , , , ;

, згадаємо про заміну:

1) ; 2)



; ,



Розв’язування Щоб звести це рівняння до вигляду (2), позначимо , . Виконавши

заміну, дістанемо рівняння виду (2):.

Поділимо обидві частини цього рівняння на :

.

У результаті заміни дістанемо квадратне рівняння , розв’язки якого .

Повертаючись до початкових позначень, дістаємо:, , ,

, , .


Рівняння виду

Рівняння розв’язується множенням обох частин на таке число, щоб у других

і третіх дужках коефіцієнт при Потім у цих дужках виділяється двочлен

вводиться заміна цього двочлена, що значно спрощує рівняння.



Введемо заміну : = t



– біквадратне рівняння.

=

Повернемося до змінної t: або

Отже, або

Відповідь:


При використанні заміни дане рівняння зводиться до

біквадратного. При розв’язуванні рівнянь цього виду часто використовують метод

логічних міркувань.



тоді Нехай

Згадаємо трикутник Паскаля:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1



або t2+6=0,

Ø

Згадаємо заміну:


Відповідь: Приклад 3. Розв’язати рівняння:


Отже, а

Відповідь:


4


ОДЗ

,,




У результаті заміни дістаємо рівняння:,

або.

Поділивши обидві частини рівняння на , дістанемо біквадратне рівняння:.

Далі маємо:.

Остаточно знаходимо:.

Відповідь: -2; -1; 0.


1. Відповідь: 0; 2.

2. (х + 5)4 + (х + 3)4 = 2 Відповідь: -4.


,

,

3. (х – 2)4 + (х + 1)4 = 17 Відповідь: 0; 1.

4. (х + 6)4 + (х + 4)4 = 82 Відповідь: -3; 7.

Розділ VII. Розв’язування рівняння методом введення параметра

замість сталого коефіцієнта рівняння. Параметр вводять як проміжну змінну, відносно якої

розв’язують рівняння, що має степінь, нижчий від степеня основної змінної.

Розв’язавши рівняння, відносно параметра, використовують знайдені його

значення для знаходження розв’язків рівняння відносно основної змінної.

Приклад 1. Розв’язати рівняння :


Введемо параметр: . Маємо рівняння:

Відносно параметра а це буде квадратне рівняння.

Якщо , то

1). , 2).







Вказівка: параметр


Вказівка: параметр .

3. Відповідь: 1971; 1973.

Вказівка: параметр 1972=а

4. х4 – 2√7х2 + х + 7 – √7 = 0 Відповідь: вказівка а = √7.

5. х3 – (√7 + 1) х2 + 7 = 0 Відповідь: (1 ± √29)/2; √7.

Розділ VIII. Метод Феррарі введення параметра для розв’язування

рівнянь четвертого степеня.

Рівняння четвертого степеня були вперше

розглянуті індійськими математиками в Індії між

400 до н. е. і 200 н. е.

Лодовіко Феррарі

Лодовіко Феррарі є першим, хто здійснив відкриття розв’язку рівнянь

четвертого степеня (1540 p.), проте його робота мала один недолік: він спирався на

розв’язок кубічного рівняння, яким він не володів, тому цей розв’язок не було

опубліковано. Опублікували його розв’язок разом з розв’язком кубічного рівняння

його наставника Кардано у книзі “Ars Magna” (1545 p.).

Недоведеність того факту, що рівняння вищих степенів (п’ятого і вище) не

може мати коренів, представлених в радикалах, підбурювала вчених тих часів

шукати ці розв’язки. Але у 1824 році була опублікована теорема Абеля-Руффіні, яка

відкидала можливість виражати корені рівнянь вищих степенів через радикали.


.


1 крок Виділимо повний квадрат у лівій частині, додавши і

віднявши , а інші доданки перенесемо в праву частину:




http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Math%2B2.gif%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

2 крок Введемо параметр а. Вважаючи вираз у лівій частині одержаного

рівняння за квадрат першого члена, за допомогою параметра

а, що є другим членом виділяємо повний квадрат різниці:

.

Ліву частину цього рівняння згортаємо за формулою

, праву спрощуємо.

3 крок Треба так підібрати параметр а, щоб у правій частині рівняння

був також повний квадрат, а це можливо тоді, коли дискрименант

правої частини дорівнює нулю.

Д=64а2 – 4(16-2а)(16+а2)=64а2–(64-8а)(16+а2)=8а3+128а-1024

8а3+128а-1024=0,

а3+16а-128=0, а=4 (методом підбору)

4 крок а=4 підставимо у рівняння

(х2-4х-4)2=(16-2×4)х2+32х+16+42,

(х2-4х-4)2=(2 х+4 )2.

Вираз з правої частини перенесемо в ліву та використаємо

5 крок формулу а2 - в2=(а-в)(а+в)

,

,

або

Розв’яжемо перше рівняння:

Д ;

.

Друге рівняння розв’язків не має.


Розділ IX. Заміна рівняння системою двох рівнянь з двома

невідомими. Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.


Нехай . Тоді маємо систему:

-

,

,

Повертаємося до системи:

1) 2)

, х2+4х+2=0,

. .

Відповідь: 31 ; .


Розділ X. Інші цікаві методи розв’язування рівняння вищих степенів.

1. Допомагає геометрична прогресія.

Приклад. Розв’язати рівняння:


Ліва частина рівняння, починаючи з третього доданка, є сумою нескінченно

геометричної прогресії, причому b1 = х², q = -x.

За формулою маємо:

Отже,

Помножимо ліву і праву частини цього рівняння на .

-13(1+ <1,

,

=23.

Відповідь: - , .

2. Допомагає тригонометрія

cos3 =4Це треба знати


Sinx=0, x= n, n є

Приклад. Розв’язати рівняння:


Нехай x = cos , де . Тоді

,

,

= sin , бо ,

cos3

-2sin

sin

Тоді :

Використаємо формулу: =

Тоді:

Відповідь:

Література:


1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з

математики: Навч. посібник. – 2-ге вид., доп. – К.: Либідь, 1993.

2. Горнштейн П. И. Тригонометрия помагает алгебре // Квант. – 1989. – № 5.

3. Лященко Г. М., Лященко М. Я. Розв’язування нерівностей з модулями // У світі

математики. – Вип. 5 (1999), №4.

4. Лященко М. Я., Головань М. С. Рівняння із змінною під знаком модуля / У світі

математики. – Т. 17. – Рад. шк., 1996.

5. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. – М.: ООО “Изд.

дом “ОНИКС 21 век””, 2003.

6. Математика в школі. – К.: Зодіак-ЕКО. – №7, 2007. – С. 22-32.

7. Математика в школі. – К.: Зодіак-ЕКО. – №9, 2006. – С. 24-29.

8. Математика. – К.: Шкільний світ. – №14, 2006. – С. 16-22.

9. Математика. – К.: Шкільний світ. – №38, 2005. – С. 12-17.

10.Математика в школах України. – Харків: Основа, №8, 2005. – С. 13-15.

11.Посібник абітурієнта з математики. – К.: Вид. центр НАУ, 2004.

12.Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. Математика. Методы решения

задач для поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 1995.

13.Програми для загальноосвітніх навчальних закладів. – К.: Навчальна книга,

2003.

14.Сканави В. И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. –

Москва: “Высшая школа”, 1988.

15.Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математики. – М.:

Просвещение, 1991.

Documents

„Методи розв’язування рівнянь вищих степенів ... · Web viewРозділ I. Розв’язування рівнянь методом розкладання