Історія розвитку Історія розвитку квадратних рівняньквадратних рівнянь

ЗмістЗміст1. Необхідність відкриття квадратних рівнянь.2. Квадратні рівняння в Стародавньому Єгипті.3. Квадратні рівняння Стародавнього Вавилону.4. Квадратні рівняння в Стародавній Греції.5. Квадратні рівняння у Стародавньому Китаї.6. Квадратні рівняння в Індії.7. Квадратні рівняння в Середній Азії.8. Квадратні рівняння в Європі ХІІІ - ХVIIст.9. Франсуа Вієт.

Необхідність відкриття Необхідність відкриття квадратних рівняньквадратних рівнянь

• Алгебра виникла у зв’язку з вирішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Необхідність розв’язувати рівняння не тільки першого, а й другого порядку виникла в зв’язку з потребою вирішувати питання, пов’язані з земельними ділянками, з розвитком астрономії, та й самої математики.

Повернутись до змісту

Квадратні рівняння в Квадратні рівняння в Стародавньому ЄгиптіСтародавньому Єгипті

• Наші знання про математику Стародавнього Єгипту обмежені. Вони вміщуються у декількох невеликих і двох великих папірусах. Саме у великих папірусах і згадується про квадратні рівняння. Це приблизно 2000р. до н.е.

• В папірусі, який знаходиться в Берлінському музеї зустрічається така задача: “Квадрат та інший квадрат, сторона якого є ½+¼ сторони першого квадрата, мають разом площу 100. Обчисли мені це .” Цю задачу можна розв’язати склавши рівняння х²+ (½+¼)²х² = 100.

• Хід розв’язку самими єгиптянами зберігся не повністю, тому прослідкувати хід їх думок вченими не вдалось. Повернутись до змісту

Квадратні рівняння Квадратні рівняння Стародавнього ВавилонуСтародавнього Вавилону

• Вавилоняни вміли розв’язувати квадратні рівняння більше ніж 4000 р. тому. В ті часи царем Вавилону був великий Хаммураті. Правило розв’язків майже співпадає з сучасним, але невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цього. В клинописних текстах відсутні згадування про від’ємні числа та загальний метод розв’язування квадратних рівнянь.

• Ось одна з вавилонських задач: “ Площа А, яка складається з суми двох квадратів, складає 1000, сторона одного з квадратів складає 2/3 сторони іншого, зменшені на 10. Які сторони квадратів?”

• (2/3х – 10)² + х² =1000.• В книзі записано простий хід розв’язування:

“ Піднеси до квадрату 10, це дає 100, відніми 100 від 1000, це дає 900…” і т.д.

Повернутись до змісту

Квадратні рівняння в Квадратні рівняння в Стародавній ГреціїСтародавній Греції

• Математики Стародавньої Греції використовували для розв’язування лінійних і квадратних рівнянь метод прикладання площин. Прикладами таких задач є відшукання сторін правильних вписаних многокутників, яке називають “золотим перетином” відрізка, подання ребра правильного многокутника через діаметр описаної кулі і т.д.

• Метод розв’язку залежав від квадратного рівняння. Такі методи давали лише один додатній корінь. Стародавні математики розуміли необхідність так формулювати умову задач, щоб вони зазделегідь мали додатні розв’язки. Повернутись до змісту

Квадратні рівняння в Квадратні рівняння в Стародавньому КитаїСтародавньому Китаї

• У Стародавньому Китаї відомості про квадратні рівняння починають зустрічатись приблизно в ІІІст. до н.е.

• Наведемо приклад з трактату “ Математика в дев’яти книгах” (ІІст. до н.е.).

• “ Маємо місто з межею у вигляді квадратів зі стороною невідомої величини, в центрі кожної сторони знаходяться ворота, на відстані 20 бу ( 1 бу = 1,6м) від північних воріт (за межами міста) стоїть стовп, якщо пройти від південних воріт 14 бу прямо, потім повернути на захід і пройти ще 1775 бу, то можна побачити стовп. Яка межа міста?”

• Розв’язком цієї задачі є відповідь 250 бу. І знову ж таки китайські вчені від’ємний варіант розв’язку рівнянь не розглядають.

Повернутись до змісту

Квадратні рівняння в ІндіїКвадратні рівняння в Індії• Задачі на квадратні рівняння зустрічаються

в астрономічних трактатах “Аріабхатія”, у 492 р. індійським математиком і астрономом Аріабхатою. Інший індійський вчений Брахмагупта ( VIIст.)виклав загальне правило розв’язування квадратних рівнянь.

• А ось одна з задач відомого індійського математика ХІІст. Бхаскари: “Розділившись на дві зграї забавлялись мавпи в гаї. Одна восьма їх в квадраті танцювали вельми раді. А дванадцять на древах підняли веселий регіт, що навколо аж гуло. Скільки їх всього було?”

• І саме в розв’язанні Бхаскари помічаємо, що він знаходить два корені рівняння, отже він знав про двояку властивість кореня. (х/8)²=12 =х; х² - 64х =- 768; х² - 64х + 32²=-768 + =1024; (х-32)²=256; х=16 або х=48.

Аріабхата

Бхаскара

Повернутись до змісту

Квадратні рівняння в Квадратні рівняння в Середній АзіїСередній Азії

• Середньоазіатський вчений аль-Хорезмі (ІХст.) в трактаті “Китаб альджерб валь-мукабала” отримав формулу коренів квадратного рівняння методом виділення повного квадрата за допомогою геометричної ілюстрації.

Аль-Хорезмі

Повернутись до змісту

Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в Європі• Формули розв’язування квадратних рівнянь

в Європі були вперше викладені в “Книзі абака”, яку написав у 1202р. італійський математик Леонардо Фібоначчі.

• Загальне правило розв’язування квадратних рівнянь, зведених до єдиного канонічного вигляду х²+bх=с було сформульовано в Європі лише 1544 р. Штифелем.

• Вивід формули розв’язування квадратного рівняння в загальному вигляді зустрічається у Вієта, але він розглядав лише додатні корені.

• Лише у VIIст. Завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона і ін. вчених спосіб розв’язування квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

Л. Фібоначчі

Альбер Жирар

Повернутись до змісту

Франсуа Вієт (1540-1603)Франсуа Вієт (1540-1603)• Народився 1540 року на півдні Франції у невеликому

містечку Фонтене-ле-Конт провінції Пуату-Шарант.• Закінчив юридичну школу. Спочатку був адвокатом,

а потім радником французьких королів. Весь свій вільний від служби час Вієт віддавав заняттям з математики. Найбільше цікавила його алгебра.

• Особливо пишався Вієт відомою теоремою про залежність між коренями квадратного рівняння та його коефіцієнтами, яку він отримав самостійно. Теорему було оприлюднено 1591 року. Її названо ім'ям Вієта, а сам автор формулював її так: «Якщо B+D, помножене на А, мінус А в квадраті дорівнює BD, то А дорівнює В і дорівнює D». Теорема Вієта стала зараз одним з найвідоміших тверджень шкільної алгебри. Теорема Вієта варта уваги тим, що її можна узагальнити для многочленів будь-якого степеня.

Франсуа Вієт

Повернутись до змісту

ЛітератураЛітература1. О.Г. Черватюк, Г.Д. Шиманська. Елементи цікавої математики

на уроках математики.: Посібник для вчителя.-К.:Вид.-во «Радянська школа», 1968.-190с.(книга двох авторів)

2. Істер О.С.- Алгебра: підруч. Для 8 кл. загальноосвіт. Навч. Закл.- К.: освіта, 2008. -208с.(підручник одного автора)

3. Кравчук В. Р., Підручна М.В., Янченко Г.М.- Алгебра. Підручник для 8 класу/за редакцією З.І. Слєпкань. -Тернопіль: Підручники і посібники, 2004.-232с. (підручник трьох авторів)

4. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.- Алгебра: Підручн. Для 8 кл. з поглибленим вивченням математики. –Х.: Гімназія, 2010. -368с. (підручник трьох авторів)

5. Бабенко С.П. Усі уроки алгебри. 8 клас.- Х.: Вид.група “ Основа”, 2008.- 348с. (книга одного автора)

6. Старова О.О. Алгебра 8 клас.- Х.: Вид. група “Основа”, 2009.- 144с.-(Серія “ Мій конспект”) ( книга одного автора)

Інтернет-ресурси:

1. http://uk.wikipedia.org/wiki