7/28/2019 01_Khoang Cach Tu Diem Toi Mat Phang
http://slidepdf.com/reader/full/01khoang-cach-tu-diem-toi-mat-phang 1/5
Luyệ n thi Đại họ c cấ p tố c môn Toán Thầ y Đặ ng Việ t Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
01. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MẶT PHẲNGThầy Đặng Việt Hùng
BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨ C
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Hình chiếu vuông góc
của điểm S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng vớ i trung điểm của BC, mặt phẳng (SAC ) tạo vớ i đáy ( ABC ) mộtgóc 600. Tính thể tích hình chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC ) theo a, trong đó I
là trung điểm SB.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, hai mặt phẳng (SAC ) và (SBD) cùng
vuông góc vớ i mặt phẳng ( ABCD). Biết 2 3 ; 2 , AC a BD a= = khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng
(SAB) bằng3
.4
aTính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu của đỉnh S trên mặtphẳng ( ABCD) là trung điểm H của cạnh AD, góc giữa hai mặt phẳng (SAC ) và ( ABCD) bằng 600. Tínhthể tích của khối chóp S.HABC và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC). Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, BC = 2a. Gọi O là trung điểm
của BC , hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy ( ABC ) thỏa mãn 2 0OA OH + =
, góc giữa SC và mặt
đáy ( ABC ) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm I của SB tớ i mặt phẳng(SAH ).Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a, AD = 2a, tam giác SAC là tamgiác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i mặt đáy, gọi M là trung điểm của SD, N là điểm trêncạnh SC sao cho SC = 3SN . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ N đến mặt phẳng
( ACM ).Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B vớ i BC là đáy nhỏ. Biết rằngtam giác SAB là tam giác đều có cạnh vớ i độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i mặt đáy,
5SC a= và khoảng cách từ D tớ i mặt phẳng (SHC ) bằng 2 2a (vớ i H là trung điểm AB ). Tính thể tích
khối chóp S.ABCD theo a.Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật vớ i AB = a, AD = 2a. Gọi M là trung điểmcủa AD, H là giao điểm của AC và BM . Biết SH vuông góc vớ i mặt phẳng ( ABCD) và tâm mặt cầu ngoạitiếp hình chóp S.ABC D nằm ở mặt đáy. Tính thể tích khối chóp đã cho và khoảng cách từ H đến mặtphẳng (SCM ) theo a.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và AB = 4a, hình chiếu vuông góc củađỉnh S lên ( ABCD) trùng vớ i trung điểm I của đoạn thẳng OA. Biết khoảng cách từ I đến (SAB) bằng
2.
2SI Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, vớ i ;2
a AC BC a= = . Hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC ) cùng tạo vớ i mặt đáy ( ABC ) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B tớ i mặt phẳng (SAC ) theo a biết mặt phẳng (SBC ) vuông góc vớ i đáy ( ABC ).
7/28/2019 01_Khoang Cach Tu Diem Toi Mat Phang
http://slidepdf.com/reader/full/01khoang-cach-tu-diem-toi-mat-phang 2/5
Luyệ n thi Đại họ c cấ p tố c môn Toán Thầ y Đặ ng Việ t Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
HƯỚ NG DẪN GIẢI
Bài 1:
Gọi H, J lần lượ t là trung điểm của BC, AC .
Ta có( )SH ABC
AC SJ HJ AC
⊥⇒ ⊥
⊥. Suy ra góc 060SJH =
02 62; ; .tan 602 2 22= = = = = = BC AB a a AB a HJ SH HJ
Ta có ( )32
3.
1 . 1 6 6. . . 2 . .
3 2 6 2 6S ABC
AB AC aV SH a= = =
Gọi E là hình chiếu của H lên SJ , khi đó ta có ( ) HE SJ
HE SAC HE AC
⊥⇒ ⊥
⊥
Mặt khác, do / / / /( ) IH SC IH SAC ⇒ , suy ra
[ ] [ ] 0 6,( ) ,( ) .sin60 .
4d I SAC d H SAC HE HJ a= = = =
Bài 2:
Do hai mặt phẳng (SAC ) và (SBD) cùng vuông góc vớ i (A BCD) nên SO ⊥ ( ABCD).
Suy ra VSABCD =3
1SO.S ABCD
Diện tích đáy 2. 2 3 ABCD
S AC BD a= = Ta dễ dàng chứng minh đượ c tam giác ABD đều.Do tam giác ABD đều nên vớ i H là trung điểm của AB, K làtrung điểm của HB ta có DH AB⊥ và 3. DH a=
Ta có OK // DH và1 3
2 2
aOK DH = =
⇒ OK
⊥
AB ⇒
AB ⊥
(SOK )Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng(SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đườ ng cao2 2 2
1 1 1
2
aSO
OI OK SO⇒ = + ⇒ =
Đườ ng cao của hình chóp là .2
aSO =
Thể tích khối chóp S.ABCD:3
.
1 3.
3 3S ABCD ABCD
aV S SO= =
Bài 3: Gọi I là trung điểm của AO, suy ra 1 22 4
a HI OD= =
Ta có
( ) 0( ) ( ); D 60
( )
∩ =⇒ = =
⊥
SAC ABCD AC SAC ABC SIH
AC SHI
2 6.tan . 3
4 4
a aSH HI SIH = = =
22
.
1 3.
2 2 4 H ABC ABCD HDC
a aS S S a a= − = − =
Từ đó ta có2 3
. .
1 1 6 3 6. .
3 3 4 4 16S HABC H ABC
a a aV SH S = = =
(đvtt).Gọi E là trung điểm của BC , suy ra ( ) BC SHE ⊥
Dựng ( ) HK SE HK SBC ⊥ ⇒ ⊥ hay ( );( ) HK d H SBC =
B
S
C
A
H
J
I
E
S
A
BK
H
C
O
ID3a
a
7/28/2019 01_Khoang Cach Tu Diem Toi Mat Phang
http://slidepdf.com/reader/full/01khoang-cach-tu-diem-toi-mat-phang 3/5
Luyệ n thi Đại họ c cấ p tố c môn Toán Thầ y Đặ ng Việ t Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
Ta có22 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 8 1 11 3 33.
.6 3 3 111116
a a HK
a HK SH HJ a a a a= + = + = + = ⇔ = =
Vậy ( )33
;( ) .11
ad H SBC =
Bài 4: 2 0+ = OA OH nên H thuộc tia đối của tia OA và OA =
2OH.
32 2 2; ; .2 2
= = ⇒ = = = = ⇒ =a a BC AB a AB AC a AO a OH AH
Ta có 2 2 5.
2= + =
a HC HO OC
Lại có( ) 0 0 15; 60 .tan 60 .
2= = ⇒ = =
aSC ABC SCH SH HC
Từ đó ta đượ c ( )32
.1 1 15 15
. 2 . .3 2 2 6
= =S ABC
a aV a
Ta có( ,( )) 1
( )( ,( )) 2
⊥⇒ ⊥ → = =
⊥
BO AH d I SAH SI BO SAH
BO SH d B SAH SB
Do đó,1 1
( ,( )) ( ,( )) .2 2 2
= = =a
d I SAH d B SAH BI
Bài 5:Gọi O là trung điểm của AC , do ( ) ( ) ( )⊥ ⇒ ⊥SAC ABCD SO ABCD .Suy ra SO là chiều cao của chóp.
2 2 2 2 155
2= + = ⇒ = − =
a AC AB BC a SO SA AO
3
.
1 15. . .
3 3= =
S ABCD
aV SO AB AD
.
.
31
( ;( )). ( ;( ))3 ∆
∆= ⇒ =
N ACM
N ACM ACM
ACM
V
V d N ACM S d N ACM S
Lại có, . . . . . . . .
1 1 1
6 2 3= − − = − − =
N ACM S ADC S AMN M ADC S ADC S ADC S ADC S ADC V V V V V V V V
3
. .
1 15.
6 18⇒ = =
N ACM S ABDC
aV V
Áp dụng công thức đườ ng trung tuyến22 2 2
2 7 13; .
2 4 4 2
+= − = =
CS CD SD a aCM AM
Suy ra2 2 2 213 7 1 91
cos sin . .sin .2 . 2 82 5 2 5
∆
+ −= = ⇒ = ⇒ = =
ACM
AM AC CM a A A S AC AM A
AM AC
Vậy .3 4 15( ;( )) .3 91∆
= = N ACM
ACM
V ad N ACM S
Bài 6:
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
⊥
∩ = ⇒ ⊥
⊥
SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD
SH AB
3; 2; ; / / = = =SH a HC a BC a CG AB
⇒∆ AHG và ∆CHG vuông cân.
O
A
B
D
C
S
MN
I
A D
B C
S
H
G
K
7/28/2019 01_Khoang Cach Tu Diem Toi Mat Phang
http://slidepdf.com/reader/full/01khoang-cach-tu-diem-toi-mat-phang 4/5
Luyệ n thi Đại họ c cấ p tố c môn Toán Thầ y Đặ ng Việ t Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
Mặt khác
( ) ( )
( ) ( ) ( )
⊥
∩ = ⇒ ⊥
⊥
SHC ABCD
SHC ABCD HC DH SHC
DK HC
Suy ra ( ); ( ) 2 2= = DK d D SHC a
Ta có 045= = ⇒ ∆ AGH ADK IDG vuông cân tại I.
Đặt2
2; 2 22
= = ⇒ = = − ⇒ = −x
GD GI x DI x CI a x KI a
22 2 2 2 2
2+ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ ≡
xKI ID KD a x a x a DK DC
31 4. 3
3 3⇒ = =
SABCD ABCDV SH S a .
Bài 7: Ta dễ dàng tính đượ c
+5 5 10
2 6 3
a a aOA OS OH SH = = ⇒ = ⇒ =
+32 10
9
aV =
+ Ta dễ dàng chứng minh đượ c ( )2
; ...3
a HM HC HM d H SCM ⊥ ⇒ = ⇒ =
Bài 8:
Trong (ABCD) từ điểm I kẻ IH song song BC vớ i H thuộc AB. Do BC ⊥ AB => IH ⊥ AB
Mà SI ⊥ (ABCD) => SI ⊥ AB. Hay AB ⊥ (SHI) .
Từ I trong mặt phẳng (SHI) kẻ IK ⊥ SH tại K. ( ); ( ) IK d I SAB⇒ = =2
2SI (1)
Ta có1
4
IH AI
BC AC = = => IH =
4
BC a=
Mà2 2 2
1 1 1
IS IH IK + = (2) (Do tam giác SIH vuông tại I đườ ng cao IK)
Từ (1) và (2) =>2 2 2
2 1 1SI IH a
SI SI IH − = => = =
Suy ra, thể tích khối chóp S.ABCD là321 1 16. .
3 3 3 ABCD
aV SI S SI AB= = = (đvtt)
Bài 9: (Các em tự vẽ hình nhé)
S
K
BA
CD
I
H
O
7/28/2019 01_Khoang Cach Tu Diem Toi Mat Phang
http://slidepdf.com/reader/full/01khoang-cach-tu-diem-toi-mat-phang 5/5
Luyệ n thi Đại họ c cấ p tố c môn Toán Thầ y Đặ ng Việ t Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
- ABC ∆ vuông tại A có ;2
a AC BC a= =
0 030 ; 60 B C ⇒ = = .
- Kẻ SH BC ⊥ thì ( )SH ABC ⊥
- Và các góc SMH, SNH bằng 600, và HM HN =
- Ta có :0 0
sin 30 sin 60
HN HM a BC BH CH = = + = +
⇒Tính đượ c(3 3) 3( 3 1)
;4 4
a a HM SH
− −= =
- 21 3.
2 8 ABC
aS AB AC = =
- Thể tích3
.
1 (3 3).
3 32S ABC ABC
aV SH S
−= =
- Gọi khoảng cách từ B tớ i mp(SAC) là h thì .3S ABC
SAC
V h
S =
- SHM ∆ tính đượ c(3 3)
2
aSM
−=
21 (3 3).
2 8SAC
aS SM AC
−⇒ = =
3 3
4SAC
V ah
S ⇒ = = .
Vậy khoảng cách từ B tớ i (SAC ) là3
4
a